leggi della dinamica

Capitolo 5
Le leggi della dinamica
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in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte,
anche sulla rete Internet
È vietata ogni forma di proiezione pubblica
1 La dinamica newtoniana
La relazione tra le forze e il moto è oggetto di quella
parte della meccanica chiamata dinamica
(dal greco dỳnamis, “forza”)
I problemi fondamentali della dinamica sono due
– date le forze che agiscono su un corpo, determinare
il moto del corpo
– dato il moto di un corpo, determinare le forze che
agiscono su di esso
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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1 La dinamica newtoniana
La dinamica si basa su tre leggi fisiche enunciate per la
prima volta da Isaac Newton (1642-1727)
Le tre leggi trovarono subito un’applicazione nei moti celesti
e furono poi verificate accuratamente in laboratorio
Oggi sappiamo che le leggi di Newton governano tutti i
fenomeni fisici della vita quotidiana e richiedono correzioni
solo in due casi estremi
– quando la velocità dei corpi è prossima a quella della luce
(meccanica relativistica)
– quando si considerano fenomeni atomici e subatomici
(meccanica quantistica)
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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1 La dinamica newtoniana
Le leggi di Newton coinvolgono tre grandezze
– la forza (descrive le interazioni di un corpo
con un altro corpo o il resto dell’universo)
– l’accelerazione (una grandezza cinematica,
cioè che caratterizza il moto)
– la massa (una proprietà intrinseca dei corpi)
La massa ha un ruolo particolare: rappresenta la misura di
quanto sia difficile cambiare la velocità dell’oggetto
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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1 La dinamica newtoniana
Per lanciare una palla, non è richiesta una
forza molto grande; invece, per spostare
un’auto la forza che si deve esercitare è
molto più grande perché la massa
dell’auto è molto più grande
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
In laboratorio è possibile osservare il moto quasi in assenza
di attrito utilizzando una rotaia a cuscino d’aria
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
Dalle osservazioni si deduce che:
– un oggetto fermo rimane fermo se nessuna forza agisce
su di esso
– un oggetto in movimento con velocità costante continua
a muoversi con la stessa velocità se nessuna forza agisce
su di esso
È importante notare che l’espressione “nessuna forza”
utilizzata nell’affermazione precedente può anche voler dire
che sull’oggetto agiscono delle forze la cui risultante è nulla
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
Prima legge della dinamica (o prima legge di Newton)
Se la forza risultante che agisce su un oggetto è nulla,
la velocità dell’oggetto è costante
L’equilibrio statico (capitolo 2) è un caso particolare
di applicazione di questa legge
Quando la risultante delle forze è nulla e il corpo si muove
con velocità costante diversa da zero, si parla di
equilibrio dinamico
La prima legge di Newton, già nota a Galileo, è anche
conosciuta come legge (o principio) di inerzia
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
Sistemi di riferimento inerziali
Secondo la prima legge di Newton, la quiete e il moto
uniforme sono situazioni perfettamente equivalenti
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
Nell’esempio appena fatto diciamo che ognuno dei due
osservatori costituisce un sistema di riferimento inerziale,
cioè un sistema di riferimento in cui vale il principio di inerzia
Sistema di riferimento inerziale
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema in cui vale
il principio di inerzia. Se un sistema di riferimento è inerziale,
allora qualsiasi sistema di riferimento che si muove con
velocità costante rispetto al primo è un sistema inerziale
Se un oggetto si muove con velocità costante in un sistema
inerziale, è sempre possibile trovare un altro sistema inerziale
in cui l’oggetto è fermo
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
Sistemi di riferimento non inerziali
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
Nell’esempio precedente, il sistema di riferimento
dell’osservatore sul treno è un sistema non inerziale
perché in esso non vale il principio di inerzia
In generale:
Sistema di riferimento non inerziale
Qualsiasi sistema di riferimento che accelera rispetto
a un sistema inerziale è un sistema non inerziale
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2 La prima legge della dinamica
L’accelerazione massima
di rotazione della Terra è
molto piccola, perciò la
Terra può essere
considerata un
sistema inerziale
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3 La seconda legge della dinamica
La seconda legge della dinamica newtoniana stabilisce,
fondamentalmente, che forze non bilanciate producono
un’accelerazione
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3 La seconda legge della dinamica
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3 La seconda legge della dinamica
Seconda legge della dinamica (o seconda legge di
Newton)
Se su un oggetto di massa m agisce una forza risultante Ftot,
l’oggetto subisce un’accelerazione a proporzionale alla forza
risultante, che ha la stessa direzione e lo stesso verso
Ftot = ma
La costante di proporzionalità m è la massa dell’oggetto
La seconda legge in forma vettoriale si può scrivere in termini
di componenti cartesiane del vettore Ftot
Ftot x = max
Ftot y = may
Ftot z = maz
e vale indipendentemente per ogni componente
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3 La seconda legge della dinamica
Anche se il rimorchiatore esercita una
notevole forza sulla nave, l’accelerazione
della nave è piccola; ciò dipende dal fatto
che l’accelerazione di un corpo è
inversamente proporzionale alla sua
massa e, in questo caso, la massa della
nave è molto grande
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
La forza esercitata sul giocatore di hockey
dal suo compagno è molto più piccola
rispetto a quella del rimorchiatore;
tuttavia l’accelerazione del giocatore è
molto maggiore di quella della nave a
causa della sua massa relativamente
piccola
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3 La seconda legge della dinamica
Usando la seconda legge della dinamica possiamo ridefinire il
newton come segue
Newton
Il newton è la forza necessaria per
dare a un corpo di massa 1 kg
un’accelerazione di 1 m/s2:
1 N = (1 kg)(1 m/s2) = 1 kg · m/s2
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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1
La forza del lanciatore
Un lanciatore di baseball imprime un’accelerazione costante
a una palla, facendole raggiungere da ferma la velocità
v = 40 m/s su una distanza di 2,0 m. Determina la forza
esercitata dal lanciatore sulla palla, sapendo che questa
ha una massa m = 0,15 kg
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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1
La forza del lanciatore
DESCRIZIONE DEL
PROBLEMA
Scegliamo l’asse x nella direzione del lancio.
La palla viene accelerata da v0 = 0 a
v = 40 m/s su una distanza Δx = 2,0 m.
Dal momento che ci interessa solo la forza
del lancio e non il moto successivo della
palla, ignoriamo gli effetti della gravità
STRATEGIA
La forza è data da Fx = max, dove m è la
massa nota della palla. Per calcolare
l’accelerazione ax usiamo la legge cinematica
del moto uniformemente accelerato che lega
la velocità allo spostamento
v2 = v02 + 2axΔx
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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1
La forza del lanciatore
DATI
Massa della palla: m = 0,15 kg
Velocità iniziale della palla: v0 = 0
Velocità finale della palla: v = 40 m/s
INCOGNITA
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
Forza esercitata dal lanciatore: Fx
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2
La forza del lanciatore
SOLUZIONE
Dalla relazione:
v2 = v20 + 2axΔx
ricaviamo l’accelerazione ax
Sostituendo i valori numerici otteniamo
Calcoliamo la forza
Fx = max = (0,15 kg)(4,0・102 m/s2) = 60 N
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3 La seconda legge della dinamica
Caso particolare della seconda legge: Ftot = 0
Se la risultante delle forze che agiscono su un corpo è nulla,
il corpo o è fermo o si muove con velocità costante
In altre parole, quando su un oggetto agisce una forza
risultate nulla ritroviamo la prima legge di Newton
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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4 La terza legge della dinamica
La natura non produce mai una sola forza alla volta
Le forze si presentano sempre in coppia
Le due forze di questa coppia hanno la stessa intensità
e direzione, ma verso opposto
Terza legge della dinamica (o terza legge di Newton)
Se un oggetto 1 esercita una forza F sull’oggetto 2, allora
l’oggetto 2 esercita una forza di uguale intensità e verso
opposto, –F, sull’oggetto 1
Le forze di azione e reazione agiscono sempre su
oggetti diversi e quindi non si eliminano a vicenda
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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4 La terza legge della dinamica
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2
Incontro al lago
Due gruppi di canoisti si incontrano nel mezzo di un lago.
Dopo una breve chiacchierata, una persona della canoa 1, per
separare le canoe, spinge la canoa 2 con una forza di 46 N. Se
la massa della canoa 1 e dei suoi occupanti è m1 = 150 kg e la
massa della canoa 2 e dei suoi occupanti è m2 = 250 kg,
determina l’accelerazione prodotta dalla forza su ognuna delle
due canoe
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2
Incontro al lago
DESCRIZIONE DEL
PROBLEMA
Scegliamo direzione e verso positivo dell’asse
x in modo che punti dalla canoa 1 verso la
canoa 2. Indichiamo con F1 e F2 le forze
esercitate rispettivamente sulla canoa 1 e
sulla canoa 2. Queste forze sono dirette
lungo l’asse x e hanno verso opposto. La
componente F2x è positiva e vale F2x = 46 N,
mentre la componente F1x, per la terza legge
di Newton, ha lo stesso valore ma segno
negativo, F1x = –46 N
STRATEGIA
Per la terza legge di Newton la forza che
agisce sulla canoa 1 ha la stessa intensità
della forza che agisce sulla canoa 2,
ma le masse delle canoe sono diverse
e quindi anche le loro accelerazioni sono
diverse. Possiamo determinare ’accelerazione
di ciascuna canoa usando la seconda legge
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di Newton
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
2
Incontro al lago
DATI
Forza esercitata sulla canoa 2: F2x = 46 N
Forza esercitata sulla canoa 1: F1x = –46 N
Massa delle canoe: m1 = 150 kg, m2 = 250 kg
INCOGNITE
Accelerazione fornita a ciascuna delle due
canoe: a1x, a2x
SOLUZIONE
Utilizziamo la seconda legge di Newton per
determinare l’accelerazione della canoa 2
Eseguiamo lo stesso calcolo per la canoa 1,
tenendo presente che l’accelerazione di questa
canoa è nel verso negativo
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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2
Incontro al lago
OSSERVAZIONI
Sulle due canoe agisce una forza della stessa
intensità, quindi la canoa più leggera subisce
un’accelerazione maggiore e compie uno
spostamento maggiore
PROVA TU
Se la massa della canoa 2 viene aumentata,
la sua accelerazione aumenta, diminuisce
o rimane la stessa? Verifica la risposta
calcolando l’accelerazione nel caso in cui la
canoa 2 venga sostituita da un’imbarcazione
di massa 2,5・104 kg
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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Caduta libera e velocità di regime
La forza di attrito dell’aria, nella maggior parte delle
situazioni pratiche, non è irrilevante
Quando si lancia nel vuoto con il paracadute chiuso,
un paracadutista
– all’inizio accelera per gravità
– successivamente rallenta,
a causa della forza
di attrito dovuta alla
resistenza dell’aria
– infine raggiunge una
velocità di regime
costante, proporzionale
al suo peso
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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Caduta libera e velocità di regime
Qual è la velocità di regime nella caduta libera?
Quando un corpo cade, viene rallentato dalla forza di
attrito dovuta alla resistenza dell’aria secondo la
relazione
Fa = –kv
dove k è il coefficiente di viscosità dell’aria
Quando la forza di attrito diventa uguale in modulo
alla forza peso mg, per il principio di inerzia il corpo
comincia a cadere con velocità costante (velocità di
regime)
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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Caduta libera e velocità di regime
PROVA TU
Ricava la formula
La velocità di regime può essere
ricavata applicando la seconda
legge della dinamica al moto di un
corpo in caduta libera, sottoposto
soltanto alla forza peso e a una forza di attrito. Come abbiamo
detto, quest’ultima può con buona approssimazione essere
considerata proporzionale alla velocità v con la quale sta
cadendo il corpo e quindi può essere scritta nella forma
Fa = –kv, dove k è il coefficiente di viscosità dell’aria. In base
a queste informazioni, esplicita i passaggi matematici
necessari per ricavare la formula che abbiamo scritto sopra
per la velocità di regime
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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5 Applicazioni delle leggi della dinamica
Caduta libera
Ogni corpo è soggetto alla forza di gravità
esercitata dalla Terra. Questa forza, diretta
verso il basso, è la forza peso del corpo. La
sua intensità è il peso P
P = mg
Tutti i corpi in caduta libera,
indipendentemente dalla loro massa,
hanno la stessa accelerazione, pari
all’accelerazione di gravità g, e
raggiungono terra con la stessa velocità
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
Tutti i corpi in caduta
libera hanno la stessa
accelerazione,
indipendentemente
dalla loro massa
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5 Applicazioni delle leggi della dinamica
Moto lungo un piano inclinato
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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5 Applicazioni delle leggi della dinamica
Accelerazione di un corpo lungo un piano inclinato
L’accelerazione di un corpo che scivola lungo un piano
inclinato in assenza di attrito non dipende dalla massa
del corpo ed è pari a
a = g sen 
Nel caso limite in cui  = 90°, il piano inclinato diventa
un piano verticale e il moto diventa di caduta libera
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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5 Applicazioni delle leggi della dinamica
Moto in presenza di attrito
Su un corpo in moto su una superficie rugosa agisce una forza
di attrito dinamico Fd proporzionale alla forza premente sulla
superficie F⊥ e agente in verso opposto allo scivolamento:
Fd = md F⊥
Quando si applica la seconda legge della dinamica a corpi
in moto su superfici rugose bisogna tenere conto, oltre che
delle forze applicate, anche della forza di attrito
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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5 Applicazioni delle leggi della dinamica
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
L’oscillatore armonico
Un oggetto su cui agisce una forza del tipo F = –kx è
chiamato oscillatore armonico e il suo moto è un moto
armonico semplice
Oscillatore armonico
Un oscillatore armonico è un oggetto su cui agisce una forza
proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e
diretta in verso opposto rispetto a tale spostamento
Il tempo T necessario a completare un’oscillazione viene
chiamato periodo dell’oscillatore
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
La posizione della massa oscilla fra x = +A e x = –A
A rappresenta il massimo spostamento del carrello rispetto
al punto di equilibrio, da entrambi i lati (ampiezza del moto)
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
Periodo di oscillazione di una massa attaccata a una
molla, T
È importante osservare che il periodo è indipendente
dall’ampiezza A
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3
Una misura ingegnosa
Irene deve misurare la massa di un vaso da fiori ma non
dispone di una bilancia. Possiede però un cronometro, una
molla e una massa di riferimento di 1,00 kg. Collega allora
alla molla un carrello di massa trascurabile e misura il periodo
delle oscillazioni del carrello quando su di esso è posta la massa
di riferimento, trovando T1 = 0,72 s. Rifà poi la misura ponendo
sul carrello il vaso e ottiene T2 = 1,21 s. Qual è la massa
del vaso? (Supponi che la molla sia ideale e trascura l’effetto
di tutti gli attriti)
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3
Una misura ingegnosa
DESCRIZIONE DEL
PROBLEMA
STRATEGIA
Quando alla molla viene attaccato il corpo
di massa m1 = 1,00 kg il periodo del suo
moto armonico è T1 = 0,72 s. Il vaso da fiori,
di massa m2, è soggetto a un moto armonico
di periodo T2 = 1,21 s
Usando la formula del periodo
di un oscillatore armonico
scriviamo il rapporto T2 /T1 e da questo
deriviamo m2 in funzione di T1 e m1
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3
Una misura ingegnosa
DATI
Massa del corpo di riferimento: m1 = 1,00 kg
Periodo del moto armonico del corpo
di riferimento e del vaso:
T1 = 0,72 s e T2 = 1,21 s
INCOGNITA
Massa del vaso: m2
SOLUZIONE
Usando
calcoliamo T2 /T1
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3
Una misura ingegnosa
SOLUZIONE
Ricaviamo m2:
Sostituiamo i valori numerici e determiniamo la
massa del vaso m2
OSSERVAZIONI
La costante elastica della molla, k, può essere
calcolata invertendo la relazione
Si ottiene
Ma nel calcolo di m2 non abbiamo avuto
bisogno di k, che si cancella nel rapporto T2 /T1
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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3
Una misura ingegnosa
PROVA TU
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
Se il vaso avesse una massa di 3,00 kg,
quale sarebbe il periodo del suo moto
armonico?
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6 Il moto armonico
Il pendolo semplice
Un pendolo semplice è formato da una massa m attaccata a
un filo leggero, oppure a un’asta, di lunghezza L
Quando le oscillazioni del pendolo sono piccole il suo moto è
un moto armonico
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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6 Il moto armonico
Periodo di un pendolo (per piccole oscillazioni), T
Osserviamo che
– T dipende dalla lunghezza L del pendolo
e dall’accelerazione di gravità g
– T non dipende dalla massa m e dall’ampiezza
dell’oscillazione
Capitolo 5: Le leggi della dinamica
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