GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI
Grandezza scalare: completamente caratterizzata da una “scala” (valore) in rapporto ad un’unità di misura.
Questa descrizione corrisponde alle grandezze fisiche (grandezze misurabili) discusse fino al 900.
Alcune grandezze fisiche richiedono ulteriori elementi per una caratterizzazione completa.
Esempio:
Spostamento: non è sufficiente (in generale) dire “mi sono spostato di 1 metro e poi di un altro
metro” per sapere dove sono finito.
Bisogna indicare una:
Direzione
Verso
Punto di applicazione
Il punto di applicazione non è un elemento necessario nella descrizione del vettore come ente matematico,
ma occorre per il vettore fisico.
Esempio:
Forza applicata a maniglia o cerniera porta.
ALGEBRA VETTORIALE
1. PRODOTTO PER UNO SCALARE
𝑏⃗ = 𝑚𝑎
|𝑏⃗| = 𝑚|𝑎|
{
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒/𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑚
2. VETTORE OPPOSTO
𝑏⃗ = −𝑎
(prodotto scalare −1)
3. VERSORE
𝑎 = 𝑎𝑢
⃗
𝑎 = |𝑎| 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑙𝑒𝑔𝑎𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
{
𝑢
⃗ 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
|𝑢
⃗|=1
4. REGOLA DI SOMMA
𝑐 = 𝑎 + 𝑏⃗
𝑐 = 𝑏⃗ + 𝑎
Commutativo
Completa definizione di vettore:
Caratterizzato da modulo, direzione e verso
Risponde alla regola di somma descritta
5. DIFFERENZA TRA VETTORI
𝑎 − 𝑏⃗ = 𝑎 + −1(𝑏⃗)
Opporre parallelogramma con diagonale “sbagliata” e
punta “girata”
6. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
𝑎 + 𝑏⃗ + 𝑐 = (𝑎 + 𝑏⃗) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏⃗ + 𝑐)
7. SCOMPOSIZIONE SU ASSI
𝑣 = 𝑣𝑟 𝑢̂𝑟 + 𝑣𝑠 𝑢̂𝑠
Più in generale la scomposizione può essere su tre assi (nello spazio)
Caso più frequente è la scomposizione in assi cartesiani
8. SCOMPOSIZIONE IN ASSI CARTESIANI
𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘⃗
𝑖, 𝑗, 𝑘 = 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟𝑖 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑎𝑠𝑠𝑖 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑖
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘⃗
𝑏⃗ = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘⃗
𝑎 + 𝑏⃗ = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘⃗ + 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘⃗ = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 )𝑖 + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 )𝑗 + (𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 )𝑘⃗
Le componenti si sommano (o si sottraggono).
Le componenti “scalano” nel caso di prodotto per uno scalare.
La scomposizione dipende dalla scelta del sistema di riferimento. La rappresentazione di un vettore non
richiede un sistema di riferimento (disegnare un segmento orientato non richiede il supporto di un sistema
di riferimento).
Modulo e direzione rispetto agli assi.
𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
𝑣𝑦
𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝜃
→
tan 𝜃 =
{ 𝑣 = 𝑣 sin 𝜃
𝑣𝑥
𝑦
Le relazioni vettoriali hanno validità indipendentemente dal sistema di riferimento, anche se un vettore si
esplicita nelle sue componenti.
1. L’operazione di collegare un punto a un altro non richiede il supporto di un sistema di riferimento
2. Le operazioni definite sono invarianti
3. Il modulo (componente scalare) e le direzioni relative sono invarianti
TRASLAZIONE
𝑎𝑦 = 𝑥2 − 𝑥1
𝑥1′ = 𝑥1 + 𝑂𝑂′
𝑥2′ = 𝑥2 + 𝑂𝑂′
′
𝑥2 − 𝑥1′ = 𝑥2 − 𝑥1
E così anche per la componente 𝑦.
Quindi il vettore ha lo stesso modulo nei due riferimenti.
Due vettori hanno la stessa direzione relativa (serve il prodotto scalare per dimostrarlo).
ROTAZIONE DI ASSI
𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝛼
𝑣𝑥′ = 𝑣 cos(𝛼 − 𝜃)
𝑣𝑦 = 𝑣 sin 𝛼
𝑣𝑦′ = 𝑣 sin(𝛼 − 𝜃)
𝑣𝑥′ = 𝑣 cos 𝛼 cos 𝜃 + 𝑣 sin 𝛼 sin 𝜃
𝑣𝑦′ = −𝑣 cos 𝛼 sin 𝜃 + 𝑣 sin 𝛼 cos 𝜃
𝑣𝑥′ = 𝑣𝑥 cos 𝜃 + 𝑣𝑦 sin 𝜃
𝑣𝑦′ = −𝑣𝑥 sin 𝜃 + 𝑣𝑦 cos 𝜃
Trasformazioni delle componenti di un vettore sotto rotazione.
Dimostrazione che il modulo è invariante (la lunghezza del segmento non è cambiata)
2
2
2
2
𝑣 ′ = √𝑣𝑥′ + 𝑣𝑦′ = √(𝑣𝑥 cos 𝜃 + 𝑣𝑦 sin 𝜃) + (−𝑣𝑥 sin 𝜃 + 𝑣𝑦 cos 𝜃) =
= √𝑣𝑥2 (cos2 𝜃 + sin2 𝜃) + 𝑣𝑦2 (cos2 𝜃 + sin2 𝜃) + 𝑑𝑜𝑝𝑝𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑖 𝑠𝑖 𝑒𝑙𝑖𝑑𝑜𝑛𝑜 =
= √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = 𝑣
Direzioni relative di due vettori sono anche preservate (l’angolo compreso non dipende dalla rotazione).
Nota: un raggio vettore che individua un punto di coordinate (𝑥, 𝑦) unisce l’origine con (𝑥, 𝑦)
𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂
Si trasforma per rotazione di assi come un vettore
qualunque. Dunque, il cambio di coordinate è descritto dalla
medesima trasformazione.
𝑥 ′ = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃
𝑦 ′ = −𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃
Le componenti dei vettori si trasformano come le coordinate nel cambio di un sistema di riferimento.
Questo ci dice che i vettori sono covarianti.
{
PRODOTTO SCALARE
𝑎 ∙ 𝑏⃗ = 𝑎𝑏 cos 𝜃
Il risultato è una grandezza scalare con unità di misura definite del prodotto delle unità di 𝑎 e 𝑏.
Proprietà:
È invariante per roto-traslazioni: i moduli dei vettori e l’angolo (direzioni relative) sono proprietà
invarianti
È commutativo 𝑎 ∙ 𝑏⃗ = 𝑏⃗ ∙ 𝑎
L’operazione definita è consistente con le proprietà geometriche introdotte nell’algebra dei vettori dalle
operazioni di somma e differenza:
𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2
Prodotto scalare di un vettore per sé stesso dà il modulo quadro del vettore
|𝑎 + 𝑏⃗| = (𝑎 + 𝑏⃗) ∙ (𝑎 + 𝑏⃗) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 cos 𝜃 + 𝑏 2
Consistente con il teorema del coseno (o Carnot)
|𝑎 − 𝑏⃗| = (𝑎 − 𝑏⃗) ∙ (𝑎 − 𝑏⃗) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃 + 𝑏 2
Consistente con il teorema del coseno (o Carnot)
In termini di componenti cartesiane:
𝑎 ∙ 𝑏⃗ = (𝑎𝑥 𝑢̂𝑥 + 𝑎𝑦 𝑢̂𝑦 + 𝑎𝑧 𝑢̂𝑧 )(𝑏𝑥 𝑢̂𝑥 + 𝑏𝑦 𝑢̂𝑦 + 𝑏𝑧 𝑢̂𝑧 ) =
= 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑢̂𝑥 𝑢̂𝑥 + 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑢̂𝑥 𝑢̂𝑦 + 𝑎𝑥 𝑏𝑧 𝑢̂𝑥 𝑢̂𝑧 + 𝑎𝑦 𝑏𝑥 𝑢̂𝑦 𝑢̂𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝑢̂𝑦 𝑢̂𝑦 + 𝑎𝑦 𝑏𝑧 𝑢̂𝑦 𝑢̂𝑧 + 𝑎𝑧 𝑏𝑥 𝑢̂𝑧 𝑢̂𝑥 + 𝑎𝑧 𝑏𝑦 𝑢̂𝑧 𝑢̂𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧 𝑢̂𝑧 𝑢̂𝑧
= 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧
Sfruttando:
𝑢̂𝑥 𝑢̂𝑥 = 𝑢̂𝑦 𝑢̂𝑦 = 𝑢̂𝑧 𝑢̂𝑧 = 1
𝑢̂𝑥 𝑢̂𝑦 = 𝑢̂𝑦 𝑢̂𝑧 = 𝑢̂𝑧 𝑢̂𝑥 = 0
(𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟𝑖 ∥)
(𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟𝑖 ⊥)
