Formulario di Fisica Generale I Cinematica r Velocità: ~v = d~ dt v d2 ~ r Accelerazione: ~a = d~ dt = dt2 Moto uniformemente accelerato v − v0 = a · t x − x0 = v0 · t + 21 at2 x − x0 = 12 (v0 + vx )t vx2 − v02 = 2a(x − x0 ) Corpo √ in caduta da fermo: v = p2gh t = 2h/g Moto del Proiettile g y = x · tan θ − 2 x2 2v0 cos2 θ v 2 sin2 θ hmax = 0 2g v02 sin(2θ) xmax = g Moto Circolare Velocità angolare: ω = dθ dt Accel. angolare: α = dω = d2 θ dt dt2 2 2 1/2 ac= (a -at ) Moto Circolare Uniforme ω = 2π/T vtangenziale = ωr acentripeta = v 2 /r = ω 2 r Moto Circolare Unif. Accel. ω − ω0 = α · t θ − θ0 = ω0 · t + 0.5 αt2 at= ((a*v)*v) / v 2 Sistemi a più corpi P R Massa totale: mT = mi = dm Centro diPmassa: R ~rCM = ( mi~ri )/mP ri dm)/mT T =( ~ ~vCM = d~rCM /dt = mi~vi /mT ~aCM = d~vCM /dt = d2~rCM /dt2 Momento R P di inerzia: Iasse = mi ri2 = r2 dm Teorema assi paralleli: Iasse = ICM + mD2 Forza elastica: 2 2 L = − 12 k (xf − l0 ) + 21 k (xi − l0 ) Forza peso: L = −mgh 1 1 Gravità: L = Gm1 m2 · − rf ri 1 1 q1 q2 · − Elettrostatica: L = 4πε0 ri rf dL Potenza: P = = F~ · ~v = τ ω dt Energia Cinetica: K = 12 mv 2 1 m v2 + 1 I ω2 Rotazione: K = 2 T1 CM 2 CM 2 2 IAsseFisso ω Forze vive: Kf − Ki = LTOT Rx Potenziale: U = −L = − xif F~ · d~l Meccanica: E = K + U = 21 mv 2 + U Conservazione: Ef − Ei = LNON CONS En. potenziale forze fondamentali: Forza peso: U (h) = mgh Forza elastica: U (x) = 12 k(x − l0 )2 m1 Gravità: U (r) = −G r Potenza mecc. = Lavoro / tempo f = ω/2π, T = 2π/ω p Molla: ω = k/m p Pendolo: ω = g/L Costante elastica in serie = (k1*k2)/(k1+k2) Momenti di inerzia notevoli Anello intorno asse: I = mr2 Cilindro pieno intorno asse: I = 12 mr2 1 Sbarretta sottile, asse CM: I = 12 mL2 Sfera piena, asse CM: I = 52 mr2 Lastra quadrata, asse ⊥: I = 61 mL2 Gravitazione 3a legge di Keplero: T 2 = q T Vel. di fuga: v = 2GM RT 4π 2 GMS R3 Elasticità Modulo di Young: F/A = Y · ∆L/L Compressibilità: ∆p = −B · ∆V /V Modulo a taglio: F/A = Mt · ∆x/h Fluidi Impulso e Momento Angolare Quantità di moto: p~ = m~ R vt Impulso: I~ = p~f − p~i = t12 F~ dt ~ = ~r × p~ Momento angolare: L ~ = Iasse · ω Intorno ad un asse fisso: |L| Equazioni cardinali P p~T = p~i = mT · ~vCM ~T = PL ~ =I L ·ω ~ P i~ asse I card: Fext = d~ pT /dt = mT · aCM P ~ T /dt II card: ~τext = dL P Asse fisso: | ~τext | = Iasse · αasse Leggi di conservazione P p~T = costante ⇔ F~ext = 0 ~ T = costante ⇔ P ~τext = 0 L E = costante ⇔ LNONCONS = 0 Forze, Lavoro ed Energia Legge di Newton: F~ = m~a Momento della forza: ~τ = ~r × F~ Forze Fondamentali Forza peso: Fg = mg Forza elastica: Fel = −k(x − l0 ) Mm Gravità: F~g = −G 2 r̂ r 1 q1 q2 ~ Elettrostatica: FE = r̂ 4πε0 r2 Forze di Attrito ~| Statico: |F~S | ≤ µS |N ~ ~ |v̂ Dinamico: FD = −µD |N Viscoso: F~V = −β~v Lavoro Rx Rθ L = xif F~ · d~l = θif τ dω Forza costante: L = F~ · ~l Ek = 1/2 * m * ω2 * A2 * cos2(ωt+φ) Urti Per due masse isolate p~T = costante: 2 v2 Anelastico: vf = m1mv11 +m +m2 Elastico (conservazione energia): m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f 2 2 2 2 m1 (v1i − v1f ) = m2 (v2f − v2i ) m1 −m2 2m2 v1f = m1 +m2 v1i + m1 +m2 v2i 2m1 2 −m1 v2f = m m1 +m2 v2i + m1 +m2 v1i Moto Armonico x(t) = A cos ωt + φ0 v(t) = −ωA sin ωt + φ0 a(t) = −ω 2 A cos ωt + φ0 = −ω 2 x(t) r v 2 0 A = x20 + ω 1 Spinta di Archimede: Vls· ρli · g Continuità: A · v = costante Bernoulli: p + 21 ρv 2 + ρgy = costante hx ρx = hy ρy F = 6πrvµ Qm = (V/t)ρ Onde Velocità v, pulsazione ω, lunghezza d’onda λ, periodo T , frequenza f , numero d’onda k. v = ω/k = λ/T = λf ω = 2π/T, k = 2π/λ Onde su una corda Velocità: v = pT /µ Spostamento: y = ymax sin(kx − ωt) Potenza: P = 21 µv(ωymax )2 Onde sonore p p Velocità: v = B/ρ = γp/ρ p v(T ) = v(T0 ) T /T0 Spostamento: s = smax cos(kx − ωt) Pressione: ∆P = ∆Pmax sin(kx − ωt) ∆Pmax = ρvωsmax Intensità: I = 21 ρv(ωsmax )2 = Intensità(dB): β = 10 log10 2 ∆Pmax 2ρv I I0 Soglia udibile I0 = 1.0 × 10−12 W/m Effetto Doppler v + vO cos θO f0 = f v − vS cos θS 2 Termodinamica Primo principio Calore e cap. termica: Q = C · ∆T Calore latente di trasf.: Lt = Q/m Lavoro sul sistema: dW = −pdV Q + Wsulsistema En. interna: ∆U = Q − Wdelsistema Z B dQREV Entropia: ∆SAB = T A Calore specifico Per unità di massa: c = C/m Per mole: cm = C/n Per i solidi: cm ≈ 3R Gas perfetto: cp − cV = R cV cp γ = cp /cV 5 monoatom. 32 R 52 R 3 5 7 7 biatomico R R 2 2 5 Gas perfetti Eq. stato: pV = nRT = N kb T Energia interna: ∆U = ncV ∆T V T Entropia: ∆S = ncV ln Tfi + nR ln Vfi Isocora (∆V = 0): W = 0 ; Q = ncv ∆T Isobara (∆p = 0): W = −p∆V ; Q = ncp ∆T Isoterma (∆T = 0): V W = −Q = −nRT ln Vfi Adiabatica (Q = 0): pV γ = cost. T V γ−1 = cost. ; p1−γ T γ = cost. 1 (Pf Vf − Pi Vi ) W = ∆U = γ−1 Massa = massa di una mole × massa prot. Macchine termiche QC Efficienza: η = QWH = 1 − Q H C.O.P. frigorifero = QWC C.O.P. pompa di calore= QWH C Eff. di Carnot: ηREV = 1 − TTH Teorema di Carnot: η ≤ ηREV Espansione termica dei solidi Esp. lineare: ∆L/Li = α∆T Esp. volumica: ∆V /Vi = β∆T Coefficienti: β = 3α β gas perfetto, p costante: β = 1/T Conduzione e irraggiamento Corrente termica: ∆T kA P = ∆Q ∆t = R = ∆x ∆T Resistenza termica: R = ∆x kA Resistenza serie: Req = R1 + R2 Resistenza parallelo: R1eq = R11 + R12 Legge Stefan-Boltzmann: P = eσAT 4 (p / ρ) = (RT/A) Gas reali Eq. Van Der Waals: (p + a( nV )2 )(V − nb) = nRT (1/2)mv2 = (3/2)KbT --- (1/2)Iω2 = KbT Calcolo vettoriale Prodotto scalare: ~·B ~ = |A|| ~ B| ~ cos θ A ~ ~ A·B = Ay By + Az Bz pAx Bx + q ~ ~ ~ |A| = A · A = A2x + A2y + A2z ~ A| ~ versore: Â = A/| Prodotto vettoriale: î ĵ k̂ ~×B ~ = Ax Ay Az A Bx By Bz ~×B ~ = (Ay Bz − Az By )î A + (Az Bx − Ax Bz )ĵ + (Ax By − Ay Bx )k̂ Trigonometria sin(α) sin2 (α) + cos2 (α) = 1, tan(α) = cos(α) sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α) sin(α±β) = sin(α) cos(β)±cos(α) sin(β) cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓sin(α) sin(β) sin(α) = ± cos(π/2 ∓ α) = ± sin(π ∓ α) cos(α) = sin(π/2 ± α) = − cos(π ± α) sin2 (α) = 1−cos(2α) , cos2 (α) = 1+cos(2α) 2 2 α+β sin(α) + sin(β) = 2 cos α−β 2 sin 2 α+β cos(α) + cos(β) = 2 cos α−β 2 cos 2 Derivate d 0 dx f (x) = f (x) d 0 dx (a · x) = af (a · x) d 0 dx f (g(x)) = f (g(x)) d n n−1 dx x = nx 1 d 1 dx xn = −n xn+1 d x x dx e = e d 1 dx ln x = x d dx sin(x) = cos(x) d dx cos(x) = − sin(x) Integrali Z f (x)dx = I(x) Costanti fisiche Costanti fondamentali Grav.: G = 6.67 × 10−11 m3 /(s2 · kg) Vel. luce nel vuoto: c = 3.00 × 108 m/s Carica elementare: e = 1.60 × 10−19 C Massa elettrone: me = 9.11 × 10−31 kg Massa protone: mp = 1.67 × 10−27 kg Cost. dielettrica: ε0 = 8.85 × 10−12 F/m Perm. magnetica: µ0 = 4π × 10−7 H/m Cost. Boltzmann: kb = 1.38×10−23 J/K 23 −1 N. Avogadro: N A = 6.022 × 10 mol 8.314 J/(mol · K) C. dei gas: R = 0.082 L · atm/(mol · K) C. Stefan-Boltzmann: σ = 5.6 × 10−8 W/(m2 · K4 ) Altre costanti Accel gravità sulla terra: g = 9.81 m/s2 Raggio terra: RT = 6.37 × 106 m Massa terra: MT = 5.98 × 1024 kg Massa sole: MS = 1.99 × 1030 kg Massa luna: ML = 7.36 × 1022 kg Vol. 1 mole di gas STP: VST P = 22.4 L Temp 0 assoluto θ0 = −273.15 ◦ C · g 0 (x) Z f (x − a)dx = I(x − a) Z f (a · x)dx = I(a · x) a xn+1 , n 6= −1 n+1 Z 1 1 1 =− · n−1 , n 6= 1 n (n − 1) x Z x 1 dx = ln x Z x ex dx = ex Z sin(x)dx = cos(x) Z cos(x)dx = − sin(x) Z x1 f (x)dx = I(x1 ) − I(x0 ) Z xn dx = x0 Approssimazioni (x0 = 0) sin x = x + O(x2 ) (1 + x)α = 1 + αx + O(x2 ) ln(1 + x) = x + O(x2 )
