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Formulario di Fisica Generale I
Cinematica
r
Velocità: ~v = d~
dt
v
d2 ~
r
Accelerazione: ~a = d~
dt = dt2
Moto uniformemente accelerato
v − v0 = a · t
x − x0 = v0 · t + 21 at2
x − x0 = 12 (v0 + vx )t
vx2 − v02 = 2a(x − x0 )
Corpo
√ in caduta da fermo:
v = p2gh
t = 2h/g
Moto del Proiettile
g
y = x · tan θ − 2
x2
2v0 cos2 θ
v 2 sin2 θ
hmax = 0
2g
v02 sin(2θ)
xmax =
g
Moto Circolare
Velocità angolare: ω = dθ
dt
d2 θ
Accel. angolare: α = dω
dt = dt2
Moto Circolare Uniforme
ω = 2π/T
vtangenziale = ωr
acentripeta = v 2 /r = ω 2 r
Moto Circolare Unif. Accel.
ω − ω0 = α · t
θ − θ0 = ω0 · t + 12 αt2
Moto curvilineo
v2
d |~v |
~a = aT θ̂ + aR r̂ =
θ̂ − r̂
dt
r
Sistemi a più corpi
P
R
Massa totale: mT =
mi = dm
Centro diPmassa:
R
~rCM = ( mi~ri )/mP
ri dm)/mT
T =( ~
~vCM = d~rCM /dt =
mi~vi /mT
~aCM = d~vCM /dt = d2~rCM /dt2
Momento
R
P di inerzia:
Iasse = mi ri2 = r2 dm
Teorema assi paralleli:
Iasse = ICM + mD2
Forza elastica:
2
2
L = − 12 k (xf − l0 ) + 21 k (xi − l0 )
Forza peso: L = −mgh 1
1
Gravità: L = Gm1 m2 ·
−
rf ri
1
1
q1 q2
·
−
Elettrostatica: L =
4πε0
ri
rf
dL
Potenza: P =
= F~ · ~v = τ ω
dt
Energia
Cinetica: K = 12 mv 2
1
m v2 + 1 I ω2
Rotazione: K = 2 T1 CM 2 CM
2
2 IAsseFisso ω
Forze vive: Kf − Ki = LTOT
Rx
Potenziale: U = −L = − xif F~ · d~l
Meccanica: E = K + U = 21 mv 2 + U
Conservazione: Ef − Ei = LNON CONS
En. potenziale forze fondamentali:
Forza peso: U (h) = mgh
Forza elastica: U (x) = 21 k(x − l0 )2
m1 m2
Gravità: U (r) = −G
r
1
q1 q2
Elettrostatica: U (r) =
·
4πε0
r
Impulso e Momento Angolare
Quantità di moto: p~ = m~
R vt
Impulso: I~ = p~f − p~i = t12 F~ dt
~ = ~r × p~
Momento angolare: L
~ = Iasse · ω
Intorno ad un asse fisso: |L|
Equazioni cardinali
P
p~T = p~i = mT · ~vCM
~T = PL
~ =I
L
·ω
~
P i~ asse
I card:
Fext = d~
pT /dt = mT · aCM
P
~ T /dt
II card:
~τext = dL
P
Asse fisso: | ~τext | = Iasse · αasse
Leggi di conservazione
P
p~T = costante ⇔
F~ext = 0
P
~ T = costante ⇔ ~τext = 0
L
E = costante ⇔ LNONCONS = 0
Forze, Lavoro ed Energia
Legge di Newton: F~ = m~a
Momento della forza: ~τ = ~r × F~
Forze Fondamentali
Forza peso: Fg = mg
Forza elastica: Fel = −k(x − l0 )
Mm
Gravità: F~g = −G 2 r̂
r
1 q1 q2
~
Elettrostatica: FE =
r̂
4πε0 r2
Forze di Attrito
~|
Statico: |F~S | ≤ µS |N
~
~ |v̂
Dinamico: FD = −µD |N
Viscoso: F~V = −β~v
Lavoro
Rx
Rθ
L = xif F~ · d~l = θif τ dω
Forza costante: L = F~ · ~l
Urti
Per due masse isolate p~T = costante:
2 v2
Anelastico: vf = m1mv11 +m
+m2
Elastico
(conservazione energia):
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
2
2
2
2
m1 (v1i
− v1f
) = m2 (v2f
− v2i
)
m1 −m2
2m2
v1f = m1 +m2 v1i + m1 +m2 v2i
2m1
2 −m1
v2f = m
m1 +m2 v2i + m1 +m2 v1i
Moto Armonico x(t) = A cos ωt + φ0
v(t) = −ωA sin ωt + φ0
a(t) = −ω 2 A cos ωt + φ0 = −ω 2 x(t)
r
v 2
0
A = x20 +
ω
1
v0
φ0 = arctan −
ωx0
f = ω/2π, T = 2π/ω
p
Molla: ω = k/m
p
Pendolo: ω = g/L
Momenti di inerzia notevoli
Anello intorno asse: I = mr2
Cilindro pieno intorno asse: I = 12 mr2
1
Sbarretta sottile, asse CM: I = 12
mL2
Sfera piena, asse CM: I = 52 mr2
Lastra quadrata, asse ⊥: I = 61 mL2
Gravitazione
3a legge di Keplero: T 2 =
q
T
Vel. di fuga: v = 2GM
RT
4π 2
GMS
R3
Elasticità
Modulo di Young: F/A = Y · ∆L/L
Compressibilità: ∆p = −B · ∆V /V
Modulo a taglio: F/A = Mt · ∆x/h
Fluidi
Spinta di Archimede BA = ρL V g
Continuità: A · v = costante
Bernoulli: p + 21 ρv 2 + ρgy = costante
Onde
Velocità v, pulsazione ω, lunghezza d’onda λ, periodo T , frequenza f ,
numero d’onda k.
v = ω/k = λ/T = λf
ω = 2π/T, k = 2π/λ
Onde su una corda
p
Velocità: v = T /µ
Spostamento: y = ymax sin(kx − ωt)
Potenza: P = 12 µv(ωymax )2
Onde sonore
p
p
Velocità: v = B/ρ = γp/ρ
p
v(T ) = v(T0 ) T /T0
Spostamento: s = smax cos(kx − ωt)
Pressione: ∆P = ∆Pmax sin(kx − ωt)
∆Pmax = ρvωsmax
Intensità: I = 21 ρv(ωsmax )2 =
Intensità(dB): β = 10 log10
2
∆Pmax
2ρv
I
I0
Soglia udibile I0 = 1.0 × 10−12 W/m
Effetto
Doppler v + vO cos θO
f0 =
f
v − vS cos θS
2
Termodinamica
Primo principio
Calore e cap. termica: Q = C · ∆T
Calore latente di trasf.: Lt = Q/m
Lavoro sul sistema: dW = −pdV
Q + Wsulsistema
En. interna: ∆U =
Q − Wdelsistema
Z B
dQREV
Entropia: ∆SAB =
T
A
Calore specifico
Per unità di massa: c = C/m
Per mole: cm = C/n
Per i solidi: cm ≈ 3R
Gas perfetto: cp − cV = R
cV
cp
γ = cp /cV
5
monoatom. 32 R 52 R
3
5
7
7
biatomico
R
R
2
2
5
Gas perfetti
Eq. stato: pV = nRT = N kb T
Energia interna: ∆U = ncV ∆T
V
T
Entropia: ∆S = ncV ln Tfi + nR ln Vfi
Isocora (∆V = 0):
W = 0 ; Q = ncv ∆T
Isobara (∆p = 0):
W = −p∆V ; Q = ncp ∆T
Isoterma (∆T = 0):
V
W = −Q = −nRT ln Vfi
Adiabatica (Q = 0): pV γ = cost.
T V γ−1 = cost. ; p1−γ T γ = cost.
1
(Pf Vf − Pi Vi )
W = ∆U = γ−1
Macchine termiche
Efficienza: η = QWH = 1 −
QC
QH
QC
W
C.O.P. frigorifero =
C.O.P. pompa di calore= QWH
C
Eff. di Carnot: ηREV = 1 − TTH
Teorema di Carnot: η ≤ ηREV
Espansione termica dei solidi
Esp. lineare: ∆L/Li = α∆T
Esp. volumica: ∆V /Vi = β∆T
Coefficienti: β = 3α
β gas perfetto, p costante: β = 1/T
Conduzione e irraggiamento
Corrente termica:
∆T
kA
P = ∆Q
∆t = R = ∆x ∆T
Resistenza termica: R = ∆x
kA
Resistenza serie: Req = R1 + R2
Resistenza parallelo: R1eq = R11 + R12
Legge Stefan-Boltzmann: P = eσAT 4
L. onda emissione: λmax = 2.898TmmK
Gas reali
Eq. Van Der Waals:
(p + a( Vn )2 )(V − nb) = nRT
Calcolo vettoriale
Prodotto scalare:
~·B
~ = |A||
~ B|
~ cos θ
A
~
~
A·B =
Ay By + Az Bz
pAx Bx + q
~
~
~
|A| = A · A = A2x + A2y + A2z
~ A|
~
versore: Â = A/|
Prodotto vettoriale:
î
ĵ
k̂
~×B
~ = Ax Ay Az
A
Bx By Bz
~×B
~ = (Ay Bz − Az By )î
A
+ (Az Bx − Ax Bz )ĵ
+ (Ax By − Ay Bx )k̂
Trigonometria
sin(α)
sin2 (α) + cos2 (α) = 1, tan(α) = cos(α)
sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α)
sin(α±β) = sin(α) cos(β)±cos(α) sin(β)
cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓sin(α) sin(β)
sin(α) = ± cos(π/2 ∓ α) = ± sin(π ∓ α)
cos(α) = sin(π/2 ± α) = − cos(π ± α)
sin2 (α) = 1−cos(2α)
, cos2 (α) = 1+cos(2α)
2
2
α+β
sin(α) + sin(β) = 2 cos α−β
2 sin 2
α+β
cos(α) + cos(β) = 2 cos α−β
2 cos 2
Derivate
d
0
dx f (x) = f (x)
d
0
dx (a · x) = af (a · x)
d
0
dx f (g(x)) = f (g(x))
d n
n−1
dx x = nx
1
d 1
dx xn = −n xn+1
d x
x
dx e = e
d
1
dx ln x = x
d
dx sin(x) = cos(x)
d
dx cos(x) = − sin(x)
Integrali
Z
f (x)dx = I(x)
Costanti fisiche
Costanti fondamentali
Grav.: G = 6.67 × 10−11 m3 /(s2 · kg)
Vel. luce nel vuoto: c = 3.00 × 108 m/s
Carica elementare: e = 1.60 × 10−19 C
Massa elettrone: me = 9.11 × 10−31 kg
Massa protone: mp = 1.67 × 10−27 kg
Cost. dielettrica: ε0 = 8.85 × 10−12 F/m
Perm. magnetica: µ0 = 4π × 10−7 H/m
Cost. Boltzmann: kb = 1.38×10−23 J/K
23
−1
N. Avogadro: N
A = 6.022 × 10 mol
8.314 J/(mol · K)
C. dei gas: R =
0.082 L · atm/(mol · K)
C. Stefan-Boltzmann:
σ = 5.6 × 10−8 W/(m2 · K4 )
Altre costanti
Accel gravità sulla terra: g = 9.81 m/s2
Raggio terra: RT = 6.37 × 106 m
Massa terra: MT = 5.98 × 1024 kg
Massa sole: MS = 1.99 × 1030 kg
Massa luna: ML = 7.36 × 1022 kg
Vol. 1 mole di gas STP: VST P = 22.4 L
Temp 0 assoluto θ0 = −273.15 ◦ C
· g 0 (x)
Z
f (x − a)dx = I(x − a)
Z
f (a · x)dx =
I(a · x)
a
xn+1
, n 6= −1
n+1
Z
1
1
1
=−
· n−1 , n 6= 1
n
(n − 1) x
Z x
1
dx = ln x
Z x
ex dx = ex
Z
sin(x)dx = cos(x)
Z
cos(x)dx = − sin(x)
Z x1
f (x)dx = I(x1 ) − I(x0 )
Z
xn dx =
x0
Approssimazioni (x0 = 0)
sin x = x + O(x2 )
(1 + x)α = 1 + αx + O(x2 )
ln(1 + x) = x + O(x2 )
Versione 2, 13 giugno 2011.
[email protected] et al.
2