2.numeri complessi

Numeri complessi
1)Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi
1
a) 1  i
b) 1  i
c) 2i
d) 1  3i
e)
1i
2i
1i
3i
1 3i
1
f)
1  3 i 2
2)Scrivere in forma algebrica e trigonometrica i seguenti numeri complessi
1
1
a)1i 3 b)
c)
d) 5 1  i 3
1i 3
1  i 3  2
3)Semplificare le seguenti espressioni e determinare modulo e argomento del numero
complesso ottenuto
a)( 2  4i   3 i  1 3 i  1  i
b)( 2  i1  1  i 
3
1i
c)(12i) 4  1  2i 4
1  ii  2
d) 3i  2  i  3 
i2
1  2i
2i  1 2
4) Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri
a)ze 1i
b)ze 22i 
c)ze 1i 4
d)ze i

e)ze i 2
f)ze i
5)Mettere in forma esponenziale i seguenti numeri
a)z1-i
b)z-1i 3
c)z-2i
d)z-e i
e)z-1
f)z-1-2i
6)Determinare, se esistono, valori reali della x per i quali z(x2ix)(x-i) è un immaginario
puro.
7)Dati i numeri complessi z 1  1  i e z 2 
w z 1 z 2
8)Calcolare 3 i  1 6
9)Risolvere
a) zz  z-z  0
b) z 2  z  0
3 i  1, determinare il numero complesso
c) z  z  3 zi)
i
d) |z|  i  2
10)Determinare i luoghi geometrici descritti dalle seguenti relazioni
a)|z  1|  2
b)2 |z  i|  4
c) z  i  1
z1
11)Risolvere in C le seguenti equazioni
a)z 2  2z40
b)z 4  1  i 3 z0
c)(z-i) 3  i  0
d)z 4  16  0
e)z(z 5  i  0
f)z 2 z10
g)(z  zz 4  2z 2  2  0
h)|z  i||z|  |z  i| 2
i)z  Re z  z
l)z 4  8z
m)z 5  iz
n)z 4  |z|
o)z   1z
p) 2i
z  |z|
q) i  z
|z|
r)|z 2  9i|  16 1  92
i
z
s)z  z 2
t)|z|  i  2z
u)zRezz
v)izz  2z  4i  iz 2
z)|z| 2 |z  2|  |z| 3
aa)zz  z  z  0
ab)2|z| 2  z 3
ac)3x5z  5  7i
ad)|z| 2  z Re z  2Re z 2
12)Si verifichi che 1-i è una soluzione dell’equazione (z2i) 4  4  0 e si trovino le altre
senza risolvere l’equazione
13)Trovare le radici dell’equazione z 4  iz 3  8iz80 sapendo che essa ammette almeno
una radice immaginaria pura
14)Tra gli infiniti punti del piano complesso che verificano |z  i|  |z  3i  4| si determini
quello di modulo minimo
15)Disegnare nel piano complesso gli insiemi
Az  C : |Re z|  Im z
Bw  C : w  z 2 , z  A
Cu  C : u 2  z , z  A
16)L’insieme Ez  C : zz  2 è a)privo di punti di accumulazione
b) chiuso e limitato
c)aperto d)numerabile e)nessuna delle precedenti è la soluzione
esatta
17)L’equazione zi|z|  0 a) ha solo due soluzioni
b) ha una sola soluzione
c)ha infinite soluzioni
d)non ha soluzioni e)nessuna delle precedenti è la soluzione
esatta
18) Le radici complesse dell’equazione (iz) 5  2 sono
a)infinite b) 3 c) 5 d) 7 e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
19) L’equazione z-z  |z| a) non ha soluzioni in C
c) ha una soluzione in C
soluzione esatta
20)i 2006  a) 1
b) -1
b) ha infinite soluzioni in C
d) ha due soluzioni in C e)nessuna delle precedenti è la
c) i
d)-i e)nessuna delle precedenti è la soluzione
esatta
21)L’equazione zz  Re z 2 in C a)ha solo due soluzioni
soluzione c)ha infinite soluzioni
soluzione esatta
d)ha solo la soluzione z0
22)Sia zxiy, allora |3  z| 2 vale a)(3x) 2  y 2
c)9z 2
b)non ha alcuna
e)nessuna delle precedenti è la
b)(3x) 2  y 2
d)3xy e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
23)Le soluzioni di arg(z  /2 sono rappresentate sul piano di Gauss da
a)la semiretta x0 b)la semiretta y0 c) la semiretta y0
e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
24)Se z cos3isin3 allora z 2  a cos 2 3  i sin 2 3
d)la semiretta yx con x0
b)cos 2 3  i sin 2 3
d)cos9isin9 e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
c)cos6isin6
25)(|z|  1z 2  1  0 ha a)3 radici
b)solo radici reali c)infinite radici d)due radici
e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
26)Nel piano di Gauss l’insieme
Ez  C : z 4  1 corrisponde a) ai vertici di un
quadrato di centro 0 b)all’insieme1, 1 c)ai vertici di un quadrato di lato 1
un quadrato di centro 1 e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
d)ai vertici di
27)L’insieme E z  C : z  1z  a) b) Ez  C : |z|  1
c)1, 1, i, i
d)1, 1 e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
28)L’insieme Ez  C : |z  9|  i è a)una retta
e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
29)L’insieme E z  C :
3z
4i 3

1
5
b)un cerchio c)il punto i9 d)
è a)la parte interna di un cerchio b) la parte
esterna di un cerchio c) una circonferenza d) un semipiano aperto e)nessuna delle precedenti è
la soluzione esatta
30)L’insieme E z  C :
7i
z  3i
 3 a)la parte interna di un cerchio b) la parte esterna
di un cerchio c) un cerchio d) un semipiano aperto e)nessuna delle precedenti è la soluzione
esatta
31)L’insieme E z  C : z  i  3 a)un insieme limitato
z4
b) la parte esterna di un cerchio c) un cerchio chiuso d) un semipiano
precedenti è la soluzione esatta
32)L’equazione z 2  z 2  5|z| a)ha infinite soluzioni in C
c) ha due soluzioni in C
d) ha una sola soluzione in C
soluzione esatta
e)nessuna delle
b) non ha soluzioni in C
e)nessuna delle precedenti è la
33) Siano dati tre numeri complessi zcos   i sin , z 1  1 cos  1  i sin  1 ,
z 2  2 cos  2  i sin  2  tali che z5z 1 z 2 . Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
a)arg(z 1    1   2
b)  5 1  2
c)Rez5Rez 1 Rez 2 d)arg(z 2   2 1   2 
e)nessuna delle precedenti è la soluzione esatta
34)Trovare la parte reale e immaginaria di z
1i
1  2i2  3i
35)Disegnare nel piano di Gaussi l’insieme dei punti che appartengono ad
a)Az  C : |z  2|  |z  2i|
b)Bz  C : |z  1  i|  |2z  1  i|
c)Cz  C : 2  Re z  4
36)Risolvere in C le seguenti equazioni
a)z 2  6iz  i  0
b)z 2  4z  2  0
c)z 6  i
d) 1  1  1  0
z1
z3
e)z 6  5iz 4  0
5
37)Per quali z C il numero complesso w z z è reale e di modulo 1?
2i
38)Data z 1  1 determinare z , z 2 , z 4 , z 18
i
1i
39)Quando ha senso l’equazione |z 2  1|  z  z 2 ?
40)Provare che
|Re z|  |Im z|
 |z|  |Re z|  |Im z|
2
41)Trovare l’insieme delle soluzioni complesse della seguente equazione 1  iz
1  iz
1
Soluzioni
1)
a) zi
b) z 12 
c)z-1i
d)z-i
1 3 i
e)z 8
1
2
i
2)
a)z2(cos 3  i sin
b)z
1i 3
4
1i 3
8


3

1
cos 5
2
3
1
4
cos
4
3
5

3
i sin 4

3
 i sin
c)z


3)
a)z(2 2   i5  2 3 
b)z 13 1  5i
4)a)|z|  e, arg z  1
b)|z|  e 2 , arg z  2
c)|z|  e 1 , arg z  4
d)|z|  1, arg z  
e)|z|  1, arg z  2
f)|z|  e  , arg z  1
5)
a)|z| 
b)|z| 
c)|z| 
d)|z| 
e)|z| 
f)|z| 
2 , arg z   4
2, arg z  23 
5 , arg z  arctg 12   
1, arg z  0
1, arg z  
5 , arg z  arctg2  
6)x0,-3
7)w( 3  1  i1  3 
8)z 1 2(cos 3  i sin 3 ; z 2 2(cos  i sin ; z 3 2(cos 5
 i sin
3
9)
a)x 2  y 2  2x  0
3
b)x-1/2;y 2
c)x-1/3,y-2/3
d) impossibile
10)
a)x 2  y 2  2x  4  0
5
3

b)4 x 2  y  1 2  16
c)y x
11)
a)z-1i 3
b)z 1 0;z 2  3 2 2 e i/4 ; z 3  3 2 2 e i11/12 ; z 4  3 2 2 e i19/12
c)z 1  e i/2 ; z 2  e i7/6 ; z 3  e i5/3
d)z 1  4e i/4 ; z 2  4e i3/4 ; z 3  4e i5/4 ; z 4  4e i7/4
e)z 1 0,z 2  e i3/10 ; z 3  e i7/10 ; z 4  e i11/10 ; z 5  e i5/3 ; z 6  e i7/5
f)z(-13i/2
g)z0,z 2  1  1
h)zi,(x,1/2)
i)(0,0)
l)  0,   2,   2k/5 k0,..,4
m)  0,   1,   /12  k/3 k0,..,4
n)  0,   1,   k/2 k0,1,2
o)(0,1
p)  2 ,   /2  2k k0,1
q)  1,   /2  2k k0,1
r)z 2  9i, z 2  16
s)  0,   1,   2k/3 k0,1,2
t)x 34 , y   12
u)(0,0)
v)(0,2);( 2 , 0
z)x-1/2
aa)x 2 y 2 -2x 0
ab)(0,0)-(2,0)-(-1, 3 
ac)(5/8,-7/5)
ad)(0,0)
12) z 1  2 cos 4  i sin 4 ; z 2  2 cos 3
 i sin 3
;
4
4
5
5
7
7
z 3  2 cos 4  i sin 4 ; z 4  2 cos 4  i sin 4 
13)(z 3  8iz  i  0; z 1  i; z 2 2cos
z 4 2cos 3
 i sin 3

2
2

6
 i sin

6
; z 3 2cos
5
6
 i sin
5
6
;
14)(- 32 ,  32 
C
zC:

8
,
3
8
,

2
zC:
15)Ax, y : |x|  y, B 
5
8
,
7
8
,
9
8
,
11
8
,
, ,
13
8
,
3
2
, 2 ,
15
8
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
b
c
c
c
b
c
a
c
c
c
a
d
d
a
b
b
d
d
34) Rez 7/65 Imz9/65
35)
a)xy
b)3x 2  3y 2  2x  2y  0
c)-2 x  4
36)
a)z3i 9  i
b) z2 2

c)   1,    12

k
3
d) z
e) z0; z 5 cos
 i sin
3 2
2
37)  
38)z
z 
2
z 
z4 
z 18 
6
1
2
1
2
2 ; 
3
4

8
k0,..,5
3
4
; z 
5
4
1
2
15
8
 i sin
5
4

 k 4 ; k  0, . . , 5
7
 i sin 7
;
4
4
7
7
4
cos 8  i sin 8 ; z 
1
cos 3
 i sin 3

2
2
2
1
cos   i sin 
4
1
z 4  2 z 2  32
cos 3
 i sin 3
2
2
cos
39)(1/2,0)
40) disuguaglianza triangolare
41) (x,0)
5 cos
4

cos
 i sin
15
8
