L’ordinamento è rilevante?
si
no
¡ ¢
n!
Dn,k =
Cn,k = nk
(n − k)!
¡
¢
R
R
Dn,k = nk
Cn,k
= n+k−1
k
Con ripetizione?
no
si
Calcolo combinatorio: sottoinsiemi di ampiezza k scelti da un insieme di numerosità n
Distribuzione e parametri
px
x∈
Degenere in a
1
1
Uniforme discreta su {1, · · · , k}
k
¡ n¢ x
Binomiale (n, p)
p (1 − p)n−x
x
Geometrica p
p(1 − p)n−1
Poisson λ
Ipergeometrica (n, N, A)
E(X)
{a}
{1, · · · , k}
{0, · · · , n}
{1, 2, · · · }
λx e−λ /x!
¡A¢¡N −A¢ ¡N ¢
/ n
x
n−x
{0, 1, 2, · · · }
V (X)
a
0
k+1
2
k2 −1
12
np
np(1 − p)
1
p
1−p
p2
λ
A
n· N
A
(1
nN
λ
A N −n
−N
) N −1
Valore atteso e varianza delle principali distribuzioni discrete studiate
Distribuzione e parametri
uniforme su (a, b)
esponenziale λ
Gamma (λ, ν)
Normale (µ, σ 2 )
Cauchy
fX (x)
FX (x)
1
b−a
−λx
x−a
b−a
−λx
λe
λν −λx ν−1
e x
Γ(ν)
− 12 (x−µ)2
1
√
2σ
e
2
2πσ
1
π(1+x2 )
+
1
π
E(X) V (X)
x ∈ (a, b)
x>0
x>0
a+b
2
1
λ
ν
λ
–
x ∈ IR
µ
arctan x
x ∈ IR
@
1−e
–
1
2
x∈
(b−a)2
12
1
λ2
ν
λ2
2
σ
@
Valore atteso e varianza delle principali distribuzioni assolutamente continue studiate
Funzione Gamma: è definita per ν > 0 come
Z +∞
Γ(ν) =
e−x xν−1 dx.
0
Proprietà:
Γ(1) = 1;
√
1
Γ( ) = π;
2
Γ(ν + 1) = ν · Γ(ν);
se ν ∈ IN allora Γ(ν) = (ν − 1)!
Ricorda: la distribuzione χ2n è una Gamma di parametri (λ = 21 , ν = n2 ).
