caricato da mUnToGiA1947

Le traiettorie della fisica. Da Galileo a Heisenberg. Elettromagnetismo, relatività e quanti con Physics in English ( PDFDrive.com )

1 2 3
Idee per
il tuo futuro
Ugo Amaldi
Le traiettorie
della fisica
Da Galileo a Heisenberg
Elettromagnetismo
Relatività e quanti
con Physics in English
SCIENZE
INTERNATIONAL SYSTEM OF UNITS
SI BASE UNITS
Base quantity
PREFIXES
Name
Symbol
Name
Symbol
Factor
18
Name
Symbol
Factor
length
metre
m
exa
E
10
deci
d
10⫺1
mass
kilogram
kg
peta
P
1015
centi
c
10⫺2
time
second
s
tera
T
1012
milli
m
10⫺3
9
electric current
ampere
A
giga
G
10
micro
µ
10⫺6
thermodynamic temperature
kelvin
K
mega
M
106
nano
n
10⫺9
kilo
k
103
pico
p
10⫺12
amount of substance
mole
mol
hecto
h
102
femto
f
10⫺15
luminous intensity
candela
cd
atto
a
10⫺18
deka
1
da
10
SI DERIVED UNITS
Derived quantity
Name
Symbol
Definition
area
square metre
m2
volume
cubic metre
m3
speed, velocity
metre per second
m/s
acceleration
metre per second squared
m/s2
frequency
hertz
Hz
plane angle
radian
rad
solid angle
steradian
sr
force
newton
N
m · kg · s⫺2
pressure
pascal
Pa
N/m2
energy, work, quantity of heat
joule
J
N·m
power
watt
W
J/s
electric charge
coulomb
C
s·A
electric potential difference
volt
V
W/A
capacitance
farad
F
C/V
electric resistance
ohm
1
V/A
magnetic flux
weber
Wb
V·s
magnetic flux density
tesla
T
Wb/m2
s⫺1
Ugo Amaldi
Le traiettorie della ﬁsica
Da Galileo a Heisenberg
Elettromagnetismo
Relatività e quanti
con Physics in English
Contenuti online
con la collaborazione di
Gianni Melegari ed Elena Joli
ebook.scuola.zanichelli.it/amalditraiettorie
a Clelia
Su questo sito ci sono esercizi interattivi e approfondimenti accessibili a tutti.
L’interactive e-book con le parole del libro sullo Zingarelli e sul Ragazzini,
gli esperimenti filmati, gli esperimenti virtuali e altri contenuti multimediali
e interattivi è riservato a chi possiede la chiave di attivazione.
SE VUOI ACCEDERE AI CONTENUTI ONLINE RISERVATI
Studente
Insegnante
Se non sei registrato:
Se non sei registrato:
1. Vai su my.zanichelli.it e seleziona Procedi con la registrazione.
2. Segui i tre passaggi per registrarti come studente. Ti arriverà un’e-mail: clicca sul link per
completare la registrazione.
1. Vai su my.zanichelli.it
e seleziona Procedi con la
registrazione.
2. Segui i tre passaggi per registrarti
come docente. Ti arriverà un’e-mail:
clicca sul link per completare la
registrazione.
Se sei registrato*:
Hai un Libro Misto (LM): devi acquistare
una chiave di attivazione.
1. Vai su my.zanichelli.it e nell’area
shop della tua area personale acquista
una chiave di attivazione.
2. Vai nella sezione La mia scrivania
e clicca sull’applicazione del libro.
Se sei registrato*:
Hai un Libro Misto Multimediale (LMM): l’accesso
è gratuito.
1. Cerca la tua chiave di attivazione stampata
in verticale sul bollino argentato in questa pagina
e inseriscila nel campo Attivazione nuova opera
nella tua area personale su my.zanichelli.it
1. Vai su my.zanichelli.it
2. Nella sezione La biblioteca del
docente della tua area personale
clicca sull’applicazione del libro.
2. Vai nella sezione La mia scrivania e clicca
sull’applicazione del libro.
D’ora in poi potrai entrare nell’area protetta (
) del sito del libro con il tuo indirizzo e-mail e la password.
* La registrazione su my.zanichelli.it è unica per tutte le opere del catalogo. Se ti sei già registrato,
per accedere alle risorse di altri volumi non occorre registrarsi di nuovo.
Per maggiori informazioni: www.scuola.zanichelli.it/attivazione
Libro scaricabile sul tablet e sul computer
www.zanichelli.it/libri-scaricabili
Libro scaricabile
Libro scaricabile multimediale
Il libro in PDF da sfogliare e annotare, sul tablet
e sul computer
Il libro arricchito con in più audio, video, animazioni
ed esercizi interattivi
Visita questo sito per sapere come:
• averli gratis se hai un Libro Misto Multimediale (LMM)
• acquistarli se hai un Libro Misto (LM)
SCIENZE
Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A., via Irnerio 34, 40126 Bologna [5913der]
www.zanichelli.it
I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti
di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale
con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito
e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera
non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.
Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti
di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume,
dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge
22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali
convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E.
Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale,
strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento
l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine
del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a
Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi)
Corso di Porta Romana, n. 108
20122 Milano
e-mail [email protected] e sito web www.clearedi.org
L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo
editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html.
La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%,
non essendo concorrenziale all’opera.
Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione,
le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti
di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà
di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore.
Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/
Le icone
Risorse online su
ebook.scuola.zanichelli.it/amalditraiettorie
Risorse online con codice di attivazione
Livello di difﬁcoltà degli esercizi
Esercizi facili: richiedono l’applicazione di una
formula per volta
Esercizi medi: richiedono l’applicazione di una
o più leggi ﬁsiche
Esercizi difﬁcili: richiedono il riconoscimento
di un modello ﬁsico studiato nella teoria
e la sua applicazione a situazioni concrete nuove
Hanno collaborato alla realizzazione del testo:
Edoardo Amaldi, Paolo Amaldi, Silvia Leo, Iris Schukraft
Realizzazione editoriale:
– Redazione: Antonia Ricciardi, Laura Russo, Stefania Varano
– Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini, Simona Vannini
– Progetto graﬁco, impaginazione e ricerca iconograﬁca: Miguel Sal & C.
– Disegni: Grafﬁto, Cusano Milanino (MI)
– Elaborazione delle immagini: Danilo Cinti
– Fotograﬁe sperimentali: Carlo Gardini, Massimiliano Trevisan
– Correzione bozze e indice analitico: T2, Bologna
Contributi:
– Pagine introduttive Le traiettorie della ﬁsica (Osservare, Spiegare):
Adele La Rana
– Mappe dei concetti: Danilo Cinti
– Schede di fisica e letteratura: Elena Joli
– Schede di fisica al cinema: Elena Joli, Massimiliano Trevisan
– Schede di storia della ﬁsica: Giulio Maltese, Daniele Gouthier,
Maria Chiara Montani
– Schede di epistemologia: Laura Russo
– Collaborazione alla stesura degli esercizi: Casimira Fischetti,
Maria Salvina Ferrari, Giuditta Parolini, Paola Sardella (Centro Servizi
Archeometria)
– Stesura degli esercizi di Test per l’università, Prove d’esame all’università
e Study Abroad: Elisa Lauretani
– Controllo soluzioni degli esercizi: Carlo Incarbone
– Stesura di Physics in English: Eleonora Anzola, Silvia Borracci,
Roger Loughney (revisione linguistica)
– Revisione esercizi e consulenza didattica: Casimira Fischetti,
Simona Graziadei
– Idee per il tuo futuro: Laura Mancuso, Elena Joli (testi),
Barbara Di Gennaro, Laura Russo (redazione), Sara Colaone (disegni),
Miguelsal & C., Bologna (impaginazione e progetto graﬁco)
Si ringrazia l’Associazione per l’Insegnamento della Fisica (AIF, www.aif.it)
per la gentile concessione dei testi dalle Olimpiadi della Fisica.
I contributi alla realizzazione dei contenuti multimediali e dell’interactive e-book
sono online su ebook.scuola.zanichelli.it/amalditraiettorie
Copertina:
– Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna
– Realizzazione: Roberto Marchetti
– Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna
Prima edizione: marzo 2012
Ristampa:
5 4 3 2
2014
2015
2016
Zanichelli garantisce che le risorse digitali di questo volume
sotto il suo controllo saranno accessibili, a partire dall’acquisto
dell’esemplare nuovo, per tutta la durata della normale
utilizzazione didattica dell’opera. Passato questo periodo,
alcune o tutte le risorse potrebbero non essere
più accessibili o disponibili: per maggiori informazioni,
leggi my.zanichelli.it/fuoricatalogo
File per sintesi vocale
L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti,
ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici
di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine
di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento
dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen
reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito
www.scuola.zanichelli.it/bisogni-educativi-speciali
Suggerimenti e segnalazione degli errori
Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi
controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono
tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile
pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che
vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo:
[email protected]
Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicate
nel sito www.zanichelli.it/aggiornamenti
Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità
certificato CertiCarGraf n. 477
secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008
Questo libro è stampato su carta che rispetta le foreste.
www.zanichelli.it/la-casa-editrice/carta-e-ambiente/
Stampa: Rotolito Lombarda S.p.A.
Via Sondrio 3, 20096 Seggiano di Pioltello (Milano)
per conto di Zanichelli editore S.p.A.
Via Irnerio 34, 40126 Bologna
INDICE
ELETTROMAGNETISMO
CAPITOLO
25
1
2
3
4
5
6
7
LA CARICA ELETTRICA
E LA LEGGE DI COULOMB
L’elettrizzazione per strofinìo 736
Animazione
Corpi negativi e corpi positivi
738
I conduttori e gli isolanti
739
La definizione operativa
della carica elettrica
741
In laboratorio
Funzionamento di un elettroscopio 741
La legge di Coulomb
743
Animazione
Il principio di sovrapposizione
delle cariche elettriche
745
L’esperimento di Coulomb
746
La forza di Coulomb
nella materia
748
L’elettrizzazione per induzione 750
Esperimento virtuale
Attrazioni elettriche
750
Animazione
Polarizzazione
e costante dielettrica
752
Epistemologia
La scienza è verificabile:
i neopositivisti
753
I concetti e le leggi
755
Mappa interattiva
755
Esercizi
757
CAPITOLO
26
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
IL CAMPO ELETTRICO
E IL POTENZIALE
Il vettore campo elettrico
766
Animazione
Il vettore campo elettrico
767
Il campo elettrico
di una carica puntiforme
769
Animazione Campo elettrico
di più cariche puntiformi
770
Le linee del campo elettrico
771
Esperimento virtuale
Le forze in campo
771
In laboratorio
Linee del campo elettrico
772
Il flusso di un campo vettoriale
attraverso una superficie
773
Il flusso del campo elettrico
e il teorema di Gauss
775
L’energia potenziale elettrica
777
Il potenziale elettrico
781
Animazione Il potenziale elettrico
non dipende dalla carica di prova 781
Animazione
Spostamento spontaneo delle cariche 782
Le superfici equipotenziali
784
Animazione Superfici equipotenziali
per una carica puntiforme
784
Animazione Superfici equipotenziali
per un campo elettrico uniforme 785
La deduzione del campo elettrico
dal potenziale
786
Esperimento virtuale
Potenziale al lavoro
787
La circuitazione
del campo elettrostatico
787
Fisica e letteratura
Isaac Asimov e l’energia elettrica 790
I concetti e le leggi
792
Mappa interattiva
793
Esercizi
794
CAPITOLO
27
1
2
3
4
5
6
FENOMENI
DI ELETTROSTATICA
La distribuzione della carica
nei conduttori in equilibrio
elettrostatico
Il campo elettrico
e il potenziale in un conduttore
all’equilibrio
Approfondimento
La gabbia di Faraday
Animazione Potenziale elettrico
in un conduttore in equilibrio
elettrostatico
Il problema generale
dell’elettrostatica
La capacità di un conduttore
Il condensatore
Esperimento virtuale
Punte e condensatori
Approfondimento
Moto di una carica in un campo
elettrico uniforme
Animazione
Capacità di un condensatore piano
Verso le equazioni di Maxwell
I concetti e le leggi
Mappa interattiva
Esercizi
III
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
808
810
810
811
812
814
816
816
817
819
821
823
823
825
INDICE
CAPITOLO
28
1
2
3
4
5
6
8
LA CORRENTE ELETTRICA
CONTINUA
L’intensità
della corrente elettrica
Animazione
L’intensità di corrente
I generatori di tensione
e i circuiti elettrici
Animazione
Il generatore di tensione
In laboratorio
Lampadine in serie e in parallelo
La prima legge di Ohm
I resistori in serie e in parallelo
Esperimento virtuale
Circuiti e resistori
Le leggi di Kirchhoff
La trasformazione
dell’energia elettrica
Animazione
L’effetto Joule
e la potenza dissipata
La forza elettromotrice
Animazione
La forza elettromotrice
Fisica e letteratura
Roberto Piumini
e il potenziale elettrico
I concetti e le leggi
Mappa interattiva
Esercizi
CAPITOLO
29
1
834
2
835
837
3
837
839
840
842
4
5
843
845
847
847
849
6
7
LA CORRENTE ELETTRICA
NEI METALLI
E NEI SEMICONDUTTORI
I conduttori metallici
La seconda legge di Ohm
Approfondimento Il resistore
variabile e il potenziometro
In laboratorio
La seconda legge di Ohm
La dipendenza della resistività
dalla temperatura
Esperimento virtuale
Buoni e cattivi conduttori
L’estrazione degli elettroni
da un metallo
L’effetto Volta
I semiconduttori
Il diodo a semiconduttore
Fisica e letteratura
George Gamow e la conduttività
I concetti e le leggi
Mappa interattiva
Esercizi
CAPITOLO
30
864
865
1
866
866
2
3
868
4
869
870
874
875
877
879
881
881
883
5
6
LA CORRENTE ELETTRICA
NEI LIQUIDI E NEI GAS
Le soluzioni elettrolitiche
Animazione
La dissociazione elettrolitica
In laboratorio Corrente elettrica
in una cella elettrolitica
L’elettrolisi
Le leggi di Faraday
per l’elettrolisi
Le pile e gli accumulatori
La conducibilità nei gas
Animazione
Ionizzazione di un gas
I raggi catodici
Esperimento virtuale
Raggi catodici
I concetti e le leggi
Mappa interattiva
Esercizi
849
852
853
853
855
IV
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
890
892
892
893
896
898
902
902
906
908
909
909
911
CAPITOLO
31
1
2
3
4
5
6
7
8
9
FENOMENI MAGNETICI
FONDAMENTALI
La forza magnetica
e le linee del campo magnetico 916
Animazione
I poli magnetici
917
Forze tra magneti e correnti
920
In laboratorio
Esperimento di Oersted
920
Animazione
Esperimento di Faraday
921
Forze tra correnti
921
L’intensità del campo magnetico 923
La forza magnetica su un filo
percorso da corrente
925
Animazione
L’intensità della forza magnetica 925
Il campo magnetico di un filo
percorso da corrente
926
Esperimento virtuale
Fili magnetici
927
Il campo magnetico
di una spira e di un solenoide
928
Il motore elettrico
931
L’amperometro e il voltmetro 932
Fisica e letteratura
José Saramago e le calamite
935
I concetti e le leggi
936
Mappa interattiva
937
Esercizi
938
CAPITOLO
32
1
2
3
4
5
6
7
IL CAMPO MAGNETICO
La forza di Lorentz
948
Esperimento virtuale
La forza di Lorentz
949
Il moto di una carica in un campo
magnetico uniforme
951
Animazione
Il moto di una carica in un campo
magnetico uniforme
951
Il flusso del campo magnetico 953
La circuitazione
del campo magnetico
955
Le proprietà magnetiche
dei materiali
957
Animazione
Le sostanze ferromagnetiche
957
Animazione
Le sostanze diamagnetiche
e paramagnetiche
957
Approfondimento
Il campo magnetico H
959
Il ciclo di isteresi magnetica
959
Verso le equazioni di Maxwell 963
Fisica e letteratura
Edgar Allan Poe
e la declinazione magnetica
965
Epistemologia
La scienza è falsificabile: Popper 966
I concetti e le leggi
968
Mappa interattiva
969
Esercizi
970
CAPITOLO
33
1
2
3
4
5
6
L’INDUZIONE
ELETTROMAGNETICA
La corrente indotta
978
Animazione Intensità del campo
magnetico indotto
979
La legge di Faraday-Neumann 981
Animazione
Moto di una sbarra metallica
in un campo magnetico
981
Esperimento virtuale
Forze elettromotrici indotte
982
La legge di Lenz
985
Animazione
La legge di Lenz
985
In laboratorio
Correnti di Foucault
986
L’autoinduzione
e la mutua induzione
987
L’alternatore
990
Approfondimento
Il risparmio energetico
990
Approfondimento
Il circuito capacitivo
in corrente alternata
992
Il trasformatore
994
Fisica al cinema
Elementi magnetici
997
I concetti e le leggi
998
Mappa interattiva
999
Esercizi
1000
V
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
INDICE
RELATIVITÀ E QUANTI
CAPITOLO
34
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
E LE ONDE
ELETTROMAGNETICHE
Il campo elettrico indotto
Il termine mancante
Le equazioni di Maxwell
e il campo elettromagnetico
Le onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche
piane
Approfondimento
La polarizzazione della luce
Lo spettro elettromagnetico
Le onde radio e le microonde
Storia della fisica
Sintesi, modernità
e innovazione: l’idea di «campo»
Le radiazioni infrarosse,
visibili e ultraviolette
I raggi X e i raggi gamma
La radio, i cellulari
e la televisione
I concetti e le leggi
Mappa interattiva
Esercizi
1008
1010
CAPITOLO
35
1
2
1012
1014
1015
3
4
5
1016
1017
1019
6
7
8
1020
9
1022
1024
10
11
1025
1028
1029
1030
12
13
LA RELATIVITÀ DELLO
SPAZIO E DEL TEMPO
Il valore numerico
della velocità della luce
1036
L’esperimento
di Michelson-Morley
1037
Gli assiomi della teoria
della relatività ristretta
1039
La relatività della simultaneità 1039
La dilatazione dei tempi
1042
La contrazione delle lunghezze 1046
L’equivalenza
tra massa ed energia
1048
Energia totale, massa
e quantità di moto
in dinamica relativistica
1052
Il problema della gravitazione 1054
I princìpi
della relatività generale
1056
Le geometrie non euclidee
1057
Gravità e curvatura
dello spazio-tempo
1059
Le onde gravitazionali
1062
Storia della fisica
Albert Einstein
1064
Epistemologia
La scienza è basata su paradigmi:
Kuhn
1066
I concetti e le leggi
1068
Mappa interattiva
1069
Esercizi
1070
CAPITOLO
36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
LA FISICA QUANTISTICA
L’effetto fotoelettrico
1076
La quantizzazione
della luce secondo Einstein
1078
Lo spettro dell’atomo
di idrogeno
1079
L’esperienza di Rutherford
1080
Il modello di Bohr
1085
I livelli energetici di un elettrone
nell’atomo di idrogeno
1088
Le proprietà ondulatorie
della materia
1092
In laboratorio Diffrazione
di un fascio di elettroni
1092
Esperimento virtuale
Onde e particelle
1093
Il principio
di indeterminazione
1094
Le onde di probabilità
1096
Il principio di sovrapposizione 1098
Stabilità degli atomi
e orbitali atomici
1100
Fisica classica e fisica moderna 1103
Storia della fisica
Teoria quantistica e realtà
1104
Fisica al cinema
Allarme laser
1106
I concetti e le leggi
1107
Mappa interattiva
1107
Esercizi
1109
VI
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
1
2
3
4
5
6
7
8
9
LA FISICA NUCLEARE
CAPITOLO
38
I nuclei degli atomi
Le forze nucleari
e l’energia di legame dei nuclei
La radioattività
In laboratorio
Radioattività e contatore Geiger
Esperimento virtuale
Decadimenti
La legge del decadimento
radioattivo
Approfondimento
Grandezze dosimetriche
L’interazione debole
La medicina nucleare
Storia della fisica
Enrico Fermi
La fissione nucleare
La fusione nucleare
La scelta nucleare
I concetti e le leggi
Mappa interattiva
Esercizi
1118
1
2
1122
1125
3
1125
4
5
1126
6
1127
7
8
1128
1129
1130
1132
1134
1138
1139
1141
1141
1143
9
10
LA FISICA OGGI
Le frontiere
L’inizio della fisica
delle particelle:
il positone e il muone
I neutrini
I quark
Le forze elettromagnetica e forte
Tre forze e tre famiglie
di particelle-materia
Il Modello Standard
Il lungo cammino
verso l’unificazione
Nona unificazione:
la forza forte con la forza
elettrodebole
Le costanti fisiche
Epistemologia
Modelli predittivi e utili
PHYSICS IN ENGLISH
Physics Talk
Reading Comprehension
INDICE ANALITICO
1148
1154
1155
1156
1158
1161
1163
1166
1167
1171
1173
E1
E2
E4
E18
VII
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA STORIA DELL’AMALDI
Questo libro è stato scritto nel ricordo di Ugo Amaldi (1875-1957), illustre
matematico, uomo di grande fede e magnifico didatta che nel 1904, presso la Zanichelli, pubblicò con Federigo Enriques (1871-1946) gli Elementi di geometria, primo
di una lunga serie di testi di geometria e analisi usati per più di ottant’anni nelle
scuole secondarie di tutta Italia.
Cinquant’anni dopo, Ginestra Amaldi ed Edoardo Amaldi pubblicarono, per la
Zanichelli, il Corso di fisica – ad uso dei licei scientifici che portava il sottotitolo rielaborato da un testo di Enrico Fermi, testo che era stato pubblicato, sempre dalla
Zanichelli, nel 1929.
Ginestra Amaldi (1911-1993), astronoma, ha pubblicato diversi libri di
divulgazione scientifica rivolti ai giovani. Uno di essi, Questo nostro mondo, è
stato tradotto in cinque lingue.
�
A
� Edoardo Amaldi (1908-1989),
scienziato di fama internazionale,
è stato collaboratore di Fermi nella
scuola di via Panisperna. Nel dopoguerra ha ricostruito la fisica italiana.
B
Edoardo Amaldi è stato uno dei padri fondatori del CERN (Conseil Européen pour
la Recherche Nucléaire), il prestigioso centro europeo per la ricerca nucleare, e ha
contribuito alla creazione dell’ESA (European Space Agency), l’ente spaziale europeo. Ha dedicato gli ultimi decenni della sua vita alla ricerca delle onde gravitazionali.
Dagli anni Cinquanta a oggi il libro di Edoardo e Ginestra ha avuto numerose
edizioni e rifacimenti completi; io ne sono il solo autore da più di vent’anni. Più di
due milioni di studenti hanno studiato fisica sulle pagine di questi testi.
La nuova edizione presenta una fisica ricca di esempi di esercizi e di risorse multimediali (esperimenti virtuali, animazioni, video girati in laboratorio) che parlano dell’esperienza quotidiana. È una fisica che vuole stimolare i giovani cittadini ad
acquisire una visione scientifica del mondo, attraverso le spiegazioni semplici ma
rigorose che hanno contraddistinto la storia degli «Amaldi».
Ugo Amaldi
Ginevra, gennaio 2012
VIII
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Idee per
il tuo futuro
CHE COSA FARÒ DA GRANDE
www.ideeperiltuofuturo.it
Sei alla ﬁne del tuo percorso scolastico. Che cosa fare adesso? Iscriversi a un
corso universitario? Fare uno stage o un corso professionalizzante? Cercare di
entrare subito nel mondo del lavoro? Studiare e al contempo lavorare?
Per aiutarti nella scelta ti proponiamo alcuni dati relativi al 2009-2011. È impossibile dire come saranno le cose tra qualche anno, i tempi recenti ci hanno
abituati a cambiamenti anche repentini.
La laurea “paga”. Una recente ricerca Isfol 1 ha mostrato che chi è laureato ha più possibilità di trovare un’occupazione e in media riceve uno stipendio più alto rispetto a chi
possiede soltanto un diploma.
Dal momento che i diplomati entrano nel mondo del lavoro prima dei laureati, inizialmente il tasso di occupazione per i primi è superiore rispetto a quello dei secondi,
ma già prima del compimento dei 30 anni chi possiede una laurea ha più possibilità
di trovare lavoro, per arrivare nella fascia 34-44 anni, dove il tasso di occupazione dei
laureati supera del 7% quello dei diplomati.
In media tra 25 e 64 anni è occupato il 73,1% dei diplomati e il 79,2% dei laureati.
Secondo uno studio OCSE del 2011 i giovani laureati subiscono di più gli effetti della
recente crisi economica rispetto ai loro coetanei con istruzione secondaria inferiore2.
Lo stipendio cambia
se si è laureati?
www.ideeperiltuofuturo.it
Quali lauree valgono un lavoro? Le lauree “brevi” servono? Le lauree triennali si rivelano molto utili ai ﬁni dell’occupazione: a un anno dal termine degli studi il 42,1% dei
laureati triennali lavora, con picchi dell’81,7% per le professioni sanitarie. Tirocini e
stages sono determinanti per formare e inserire questi laureati nel mondo del lavoro.
I tassi di occupazione più alti si hanno tra i medici, seguiti dai laureati in chimica farmaceutica e ingegneria. In generale sono le discipline di tipo scientiﬁco – sia a livello
di diploma sia a livello di laurea – le più spendibili nel mondo del lavoro, mentre le
discipline umanistiche condannano a una difﬁcile collocazione sul mercato, anche a
fronte di un eccesso di offerta di laureati in questi ambiti.
1 Tutti i dati sono tratti
da una ricerca Isfol
con dati relativi al
2010, (l’Isfol, Istituto
per lo Sviluppo
della Formazione
Professionale dei
Lavoratori è un ente
pubblico di ricerca), e
ISTAT del II Trimestre
2011.
A Nord c’è più lavoro, ma… A livello nazionale il tasso di disoccupazione è 7,8%, che
sale a 27,4% se si considerano solo i giovani (15-24 anni): più alto al Sud (39,2%), meno
al Centro (25,3%), più basso al Nord (19,0%). La situazione per le ragazze è più critica:
il tasso della disoccupazione femminile, nella fascia 15-24 anni, supera di circa 8 punti
percentuali quello maschile (32,3% per le donne, 23,9% per gli uomini), forbice che si
mantiene simile nelle diverse zone geograﬁche: al Nord il tasso è 22,7% per le donne e
16,4% per gli uomini; al Centro è 34,8% per le donne e 18,7% per gli uomini e a Sud è di
44,0% per le donne e 36,0% per gli uomini.
Tuttavia i dati della disoccupazione giovanile non devono scoraggiare chi cerca lavoro: se la disoccupazione giovanile è del 27,4%, vuol dire che una parte non piccola
dei giovani che hanno cercato lavoro (il 72,6%) lo ha trovato3. Inoltre i dati variano molto da luogo a luogo e anche all’interno di una stessa regione può esservi una grande varietà di situazioni. L’Emilia-Romagna è tra le regioni in cui la disoccupazione giovanile
incide meno, ma con grandi differenze tra le province: se Bologna nel 2010 raggiunge
un tasso di disoccupazione di 29,2%, a Piacenza il valore è più che dimezzato (13,6%)4.
2 Rapporto OCSE
Education at a Glance
2011.
3 Dati ISTAT del II
Trimestre 2011.
4 Dati Confartigianato
Imprese EmiliaRomagna, 2010.
IX
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
COME FUNZIONA L’UNIVERSITÀ
L’Università italiana offre corsi di studio organizzati in tre cicli:
laurea, di durata triennale (180 crediti formativi in un massimo di 20 esami), al termine della quale si consegue il titolo di Dottore; ad esempio laurea in Tecniche di
radiologia medica o in Scienze del comportamento e delle relazioni sociali.
POSSO ISCRIVERMI
ALL’UNIVERSITÀ?
Per iscriversi
all’Università è
necessario il diploma di
maturità quinquennale
oppure quello
quadriennale con un
anno integrativo o, in
alternativa, un obbligo
formativo aggiuntivo
da assolvere durante il
primo anno di corso.
Laurea magistrale, di durata biennale (120 crediti in un massimo di 12 esami), al
termine della quale si consegue il titolo di Dottore magistrale; ad esempio laurea in
Biotecnologie mediche o in Psicologia clinica.
Dottorato di ricerca e Scuola di specializzazione.
Esistono anche corsi di laurea magistrali a ciclo unico, della durata di 5 (300 crediti
in un massimo di 30 esami) o 6 anni (360 crediti in un massimo di 36 esami); ad esempio Medicina e Chirurgia.
Per approfondire gli studi si può accedere a master di 1° e di 2° livello e ai corsi di
alta formazione.
I crediti formativi universitari (CFU) misurano il carico di lavoro dello studente
(1 CFU = 25 ore di impegno; 60 CFU = 1 anno di impegno universitario), compresi lo
studio individuale ed eventuali esperienze di apprendistato5. Sono stati introdotti per
facilitare il confronto tra i sistemi e i programmi di differenti corsi e Atenei italiani ed
europei, e quindi il passaggio da un corso di studio a un altro, oppure da un’Università
a un’altra, anche straniera: i CFU sono trasferibili in ECTS (European Credit Transfer
and Accumulation System) e quindi riconosciuti nelle Università di tutta Europa.
Tramite i CFU è possibile valutare ai ﬁni della laurea anche esperienze quali stages e
tirocini. Inﬁne i CFU permettono di sempliﬁcare la determinazione dei piani di studio
individuali (PSI) che ciascuno studente può modulare su se stesso. In alcuni casi è
possibile personalizzare il proprio percorso di studi, inserendo nel piano degli esami
da sostenere alcuni corsi non previsti dal piano di studi istituzionale.
Quando si presenta il PSI bisogna rispettare il minimo di crediti obbligatori per
ciascun ambito disciplinare previsti dal proprio corso di laurea.
Quanto costa l’Università. I costi variano a seconda dell’Ateneo, della zona geograﬁca
(il Nord è mediamente più caro del 28,3% rispetto al Sud) e della fascia di reddito dello
studente. Ad esempio, se si ha un basso reddito (ﬁno a 10 000 euro annui) le tasse oscillano tra i 290 euro di Bari e i 1005 di Parma.
Per una fascia di reddito ﬁno a 30 000 euro le spese universitarie variano tra gli 847
euro della Sapienza di Roma e i 1548 del Politecnico di Torino. Esiste la possibilità di
accedere a borse di studio ed esoneri parziali o totali per reddito o per merito, che in
alcuni Atenei tengono conto anche del voto di maturità (esonero per chi si è diplomato
con il massimo dei voti e la lode)6.
5 Regolamento recante
norme concernenti
l’autonomia didattica degli
atenei, Decreto Ministeriale
3 novembre 1999, n.509
6 Dati Federconsumatori
II Rapporto sui costi degli
atenei italiani – 2011
aggiornato il 4/10/2011.
X
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
TEST DI AMMISSIONE
L’accesso ad alcuni corsi di laurea è ﬁltrato da una prova di ammissione, per iscriversi
alla quale occorre versare un contributo: sono Medicina e Chirurgia, Odontoiatria e
Protesi Dentaria, Medicina Veterinaria, le lauree a ciclo unico ﬁnalizzate alla formazione in altre Professioni Sanitarie e in Architettura.
Le prove di ammissione comprendono 80 quesiti: una parte di cultura generale e
ragionamento logico, una parte sulle materie caratterizzanti i diversi indirizzi universitari.
Ad esempio, per essere ammessi a Medicina bisogna rispondere a 40 quesiti di cultura generale e ragionamento logico, 18 di biologia, 11 di chimica e 11 di ﬁsica e matematica.
Il tempo a disposizione è di 2 ore (15 minuti in più per Architettura); ogni risposta
corretta fa guadagnare 1 punto, le risposte sbagliate fanno perdere 0,25 punti, mentre
le risposte non date valgono 0.
Altre facoltà come Ingegneria, Economia e Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali hanno una prova d’ingresso che può essere orientativa («sono pronto ad affrontare
questa facoltà?») o richiedere il superamento di un punteggio minimo; in alcuni casi, lo
studente che non la superi può avere dei debiti formativi da recuperare entro il primo
anno dall’immatricolazione.
Se in una sede universitaria il numero di posti disponibili è minore del numero degli
iscritti, il test può diventare selettivo.
Nel caso del test d’ingresso a Ingegneria, meno di un quarto dei quesiti a risposta
chiusa è di ﬁsica. Gli argomenti trattati sono: meccanica, ottica, termodinamica, elettromagnetismo, struttura della materia.
Esistono poi delle prove anticipate di veriﬁca delle conoscenze per gli studenti degli
ultimi anni delle superiori, che hanno così l’opportunità di avere dei crediti nel momento di accesso all’università nelle materie scientiﬁche.
Puoi metterti alla prova risolvendo i quesiti proposti.
Architettura
01
02
Un astronauta orbita attorno alla Terra in
una capsula spaziale la cui distanza dalla
superﬁcie terrestre è uguale al raggio della
Terra. Qual è la relazione fra la massa dell’astronauta nella capsula e quella dell’astronauta sulla Terra?
b
c
d
e
(Prova di ammissione 2002)
http://
accessoprogrammato.
miur.it
Qui trovi tante
informazioni in più e
degli esempi di test
www.cisiaonline.it
Per saperne di più
www.progetto
laureescientifiche.eu
www.testingresso
scienze.org
Un recipiente rigido contiene un gas ideale
ad una data pressione. Un aumento di temperatura del gas provoca:
a un aumento di pressione.
b nessun effetto.
c una diminuzione di densità.
d effetti diversi in diverse ore del giorno.
e la liquefazione del gas.
a Sulla Terra la massa è un quarto di quella
nella capsula.
Sulla Terra la massa è quattro volte quella
nella capsula.
Sono uguali.
Sulla Terra la massa è doppia di quella nella
capsula.
Sulla Terra la massa è la metà di quella sulla
capsula.
Qui trovi tante
informazioni in più e
le prove assegnate
negli ultimi anni
(Prova di ammissione 2008)
03
Il suono è un’onda che si propaga:
a nel vuoto con velocità di 340 m/s.
b nel vuoto con frequenza uguale a 20 Hz.
c in un mezzo elastico con velocità che dipen-
de dal mezzo.
d nel vuoto con velocità di 3 108 m/s.
e in un mezzo elastico con velocità uguale a
3 108 m/s.
(Prova di ammissione 2000)
XI
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
TEST DI AMMISSIONE
Ingegneria
04
08
Quale di questi fenomeni relativi alla propagazione ondulatoria non può essere messo
in luce utilizzando onde sonore?
a è attratta dal polo Sud del magnete.
b è attratta dal polo Nord del magnete.
c subisce una forza perpendicolare al campo
d
a Rifrazione
Riﬂessione
e Diffrazione
b Interferenza
magnetico.
d subisce una forza parallela al campo magnetico.
c Polarizzazione
e non subisce alcuna forza da parte del magnete.
(Prova di ammissione 2005)
05
Le linee di forza del campo elettrostatico
(Prova di ammissione 2000)
09
a non possono essere linee chiuse.
b sono sempre linee chiuse.
Un fotone è caratterizzabile con la frequenza n o con la lunghezza d’onda Ѥ. Detta h la
costante di Planck:
c sono sempre linee rette.
a hv è l’energia del fotone.
d si intersecano nei punti a potenziale massimo.
b
e possono avere una forma qualsiasi.
c h dipende dalla frequenza.
Una quantità di carica Q viene depositata su
un conduttore isolato costituito da una sfera piena dotata di una cavità sferica al suo
interno. In condizioni statiche la carica si distribuirà:
a sulle due superﬁci interna ed esterna, pro-
porzionalmente alla loro superﬁcie.
Ѥ è direttamente proporzionale a v.
d la velocità di propagazione nel vuoto è fun-
(Prova di ammissione 2002)
06
Una carica elettrica positiva, ferma tra i poli
di un magnete:
zione di Ѥ.
e se Ѥ supera il centimetro abbiamo a che fare
con raggi gamma.
(Prova di ammissione 2003)
Medicina Veterinaria
10
b la carica non rimane sul conduttore ma vie-
Il lavoro necessario per comprimere una mole
di gas perfetto ben isolato termicamente:
a non è mai nullo.
ne immediatamente dispersa nell’atmosfera
per effetto “corona”.
c uniformemente sulla superﬁcie interna della
cavità.
d uniformemente nel volume del metallo.
e uniformemente sulla superﬁcie esterna della sfera.
b è nullo perché non c’è scambio di calore con
l’esterno.
c viene fornito dallo stesso gas.
d non può essere espresso in Joule ma in Pascal.
e non dipende dal valore del volume ﬁnale a
cui si giunge.
(Prova di ammissione 2005)
(Prova di ammissione 2008)
Medicina e Chirurgia
07
Un corpo di 200 grammi viene legato a un
estremo di un ﬁlo sottile inestensibile, molto
leggero e lungo un metro. Il corpo viene fatto
oscillare con un’ampiezza di pochi centimetri.
Il tempo impiegato a percorrere un ciclo completo (periodo) dipende essenzialmente
a dalla lunghezza del ﬁlo.
b dall’ampiezza delle oscillazioni.
c dal tipo di supporto a cui è agganciato il ﬁlo.
d dalla natura del ﬁlo.
e dal materiale che forma il corpo appeso.
(Prova di ammissione 2008)
11
Se avvicino rapidamente una potente calamita ad una spira formata da un ﬁlo di rame
chiuso a cerchio, si può notare che:
a nella spira viene indotta una circolazione di
corrente elettrica.
b la spira si illumina.
c la spira si deforma trasformandosi in un’el-
lisse molto stretta e lunga.
d il rame dapprima neutro acquista una forte
carica elettrica indotta.
e la spira inizia a ruotare con velocità costante
intorno ad un suo diametro.
(Prova di ammissione 2006)
XII
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
DOVE SI STUDIA LA FISICA
La ﬁsica non si studia solo nel corso di laurea in Fisica, ma la puoi trovare anche a:
Ingegneria,
Chimica Industriale,
Scienze Statistiche,
Architettura,
Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Farmacia,
(ad esempio nei corsi di Astronomia,
Agraria,
Informatica, Matematica,
Scienze Biologiche, Scienze Geologiche),
Puoi metterti alla prova risolvendo gli esercizi proposti.
01
Una mole di gas perfetto monoatomico
a pressione p0 = 1 atm e temperatura
T0 = 300 K è riscaldata isobaricamente ﬁno
al volume V1 = 2V0 e successivamente riscaldata isocoricamente ﬁno alla pressione
p2 = 2 p0. Supponendo le due trasformazioni
reversibili, si rappresentino le trasformazioni
in un piano (V, p) e si calcoli:
la quantità di calore assorbita dal gas.
la variazione di energia interna del gas.
il lavoro compiuto dal gas.
03
a F=4N
b F=6N
c F=8N
d F = 12 N
e F = 16 N
(Esame di Fisica, Corso di laurea in CTF, Università La Sapienza di Roma,
2003/2004)
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze Biologiche, Università di
Genova, 2009/2010)
02
Un protone urta in modo completamente
anelastico un secondo protone inizialmente
fermo. Dopo l’urto si osserva che il sistema
dei due protoni si muove su una traiettoria
circolare di raggio r = 42,0 cm, in una regione in cui è presente un campo magnetico
uniforme, perpendicolare al piano della
traiettoria, di valore 0,05 T. Si ricorda che la
carica del protone è e = 1,6 10-19 C e la sua
massa è mp = 1,67 10-27 kg.
Determinare:
il modulo della velocità dei due protoni
dopo l’urto.
il modulo della forza di Lorentz.
il modulo della velocità del protone in
moto prima dell’urto.
Il motore di un modellino d’aereo di 2 kg
esercita sull’aereo una forza di 10 N. Se l’aereo accelera a 3 m/s2, qual è il modulo della
forza della resistenza dell’aria che agisce
sull’aereo?
04
Due sferette sono cariche positivamente
e quindi si respingono. Se la forza repulsiva
agente su ciascuna di esse ha modulo
6 10-2 N quando la distanza tra di esse è
20 cm, quanto vale la forza quando la loro
distanza è 10 cm?
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Tossicologia, Università La Sapienza di
Roma, 2002/2003)
05
Onde radio ricevute da un apparecchio hanno E = 10-1 V/m. Assumendo che l’onda sia
piana, calcolare l’ampiezza del campo magnetico.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Biotecnologie, Università degli Studi di
Torino, 2004/2005)
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia, Università La Sapienza di
Roma, 2009/2010)
XIII
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
STUDY ABROAD
La rete ENIC (European
Network of Information
Centres) è nata
proprio per fornire
notizie e consigli sul
riconoscimento di
diplomi, titoli e altre
qualiﬁche universitarie o
professionali straniere.
La rete NARIC (National
Academic Recognition
Information Centres)
mira a informare
sulle opportunità
e le procedure di
riconoscimento dei titoli
di studio all’estero.
Vuoi studiare ﬁsica
a Oxford?
www.ideeperiltuofuturo.it
Ti interessano
i programmi
di scambio
universitari?
www.ideeperiltuofuturo.it
Vorrei studiare in Europa. I cittadini dell’Unione europea (UE) possono studiare, dalla
scuola primaria al dottorato di ricerca, in uno dei paesi UE.
Per facilitare questi scambi è stato creato Ploteus, il portale delle opportunità di
apprendimento (www.europa.eu/ploteus): programmi di scambio, borse di studio,
descrizioni dei sistemi di istruzione e apprendimento dei vari paesi europei, nonché
indicazioni dei siti web degli istituti di istruzione superiore, i database dei corsi di formazione, le scuole... Attraverso Ploteus è possibile anche avere notizie pratiche, ad
esempio su come raggiungere la località e dove alloggiare, sul costo della vita, le tasse,
i servizi cui si può accedere.
Per sapere se il diploma conseguito in Italia sia o meno riconosciuto nei diversi sistemi
di istruzione esteri è utile visitare il sito www.enic-naric.net che contiene una grande
mole di informazioni sulle Università dei 55 paesi che aderiscono al network, oltre che
i link ai siti per richiedere direttamente il riconoscimento del proprio titolo di studio
e i dettagli sulle modalità, i tempi, i requisiti per fare domanda di iscrizione. Sul sito
si trovano anche notizie sui diversi sistemi d’istruzione europei e sulle opportunità di
studio all’estero, su prestiti e borse di studio, nonché su questioni pratiche collegate
alla mobilità e all’equipollenza.
Vorrei studiare negli Stati Uniti. Se la meta sono gli USA è bene conoscere la differenza
tra colleges e universities: i primi offrono solo undergraduate degrees (equivalenti alla
laurea triennale), corsi di studi della durata di 4 anni, mentre le universities anche graduate degrees (corsi di formazione dopo la laurea: master e PhD, o dottorato).
Gli undergraduate degrees non sono dedicati a una materia: a seconda della sede
presso cui si studia, questo diploma avrà più o meno prestigio. In base ai programmi di
studio, al prestigio, ai costi si sceglie l’Università che fa al caso nostro.
Una volta scelta l’Università che si desidera frequentare bisogna fare domanda, essere ammessi, e poi dichiarare la materia del major, l’ambito disciplinare principale
che lo studente sceglie. In ogni caso qualsiasi undergraduate degree prevede corsi obbligatori in più materie (sia letterarie sia scientiﬁche). Questa è una differenza signiﬁcativa rispetto all’Università italiana.
Per gli Stati Uniti l’iscrizione per gli studenti stranieri può essere fatta presentando
domanda ai vari colleges all’inizio dell’ultimo anno di scuola superiore. Occorre presentare: le pagelle degli anni precedenti tradotte ufﬁcialmente (ufficial translations of
transcripts), i materiali e gli esami richiesti anche agli studenti americani (come i test
SAT), i risultati del TOEFL (Test of English as a Foreign Language) o del IELTS (International English Language Test), e un’intervista, che spesso può essere condotta nel
paese di provenienza da rappresentanti dell’Università a cui si fa domanda.
L’esame SAT di primo livello è un test nel quale il candidato deve rispondere a tre sezioni di domande (Mathematics, Critical Reading, Writing), ciascuna con un punteggio
totale di 800, per un totale di 2400 punti dall’intero esame. Punteggi di circa 700 in
ciascuna parte dell’esame sono ritenuti ottimi e attorno al 600 molto buoni.
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
VERSO IL LAVORO
Vorresti trovare lavoro? Sul sito www.ideeperiltuofuturo.it trovi tante informazioni utili per aiutarti nella tua ricerca: dai centri per l’impiego ai siti e ai giornali
di riferimento, dai contratti a come si sostiene un colloquio di lavoro.
Quando si è alla ricerca di un lavoro, prima o poi arriva il momento di inviare
(per posta ordinaria o per e-mail) il proprio Curriculum Vitae (CV) e una lettera
di accompagnamento alle aziende per le quali si desidera lavorare, sperando di
essere chiamati per un colloquio.
Il Curriculum Vitae è la carta di identità professionale del candidato e deve indicare
l’iter formativo, le conoscenze e le competenze di chi si propone per ottenere un impiego.
Si comincia sempre dai dati anagraﬁci, per un’inquadratura iniziale, e dai contatti
(indirizzo, numero di telefono, cellulare, e-mail...), per poi passare in rassegna le precedenti esperienze lavorative e le varie tappe della propria istruzione/formazione, dalla
più recente alla più lontana nel tempo.
Altre informazioni indispensabili riguardano la padronanza di una o più lingue straniere e le competenze tecniche; conviene anche mettere in rilievo le capacità relazionali e organizzative, se si posseggono.
Per quanto riguarda altre informazioni personali, è meglio inserire solo quelle che possono essere apprezzate dalla speciﬁca azienda
cui è indirizzato il CV.
Inﬁne, non bisogna mai dimenticare di autorizzare il trattamento
dei dati personali, facendo riferimento al d. lg. 196/2003.
Un CV efﬁcace sarà completo, chiaro e soprattutto breve (due
pagine di solito sono sufﬁcienti): bisogna tenere conto che
chi lo legge è abituato a valutarne decine tutti i giorni e apprezzerà il fatto di trovare subito le informazioni che gli
interessano.
Meglio selezionare solo le aziende che più si avvicinano al proprio proﬁlo professionale e scrivere per ciascuna una lettera di accompagnamento mirata.
I portali che si occupano di selezione del personale solitamente danno la possibilità di compilare CV online, secondo modelli prestabiliti;
oppure si può preparare da soli il CV e poi caricarlo sul sito su cui ci si vuole proporre.
Scarica il CV
Europass
www.europassitalia.it
La lettera di accompagnamento (o cover letter )
va preparata con molta attenzione perché serve
a convincere il selezionatore a prendere in considerazione l’offerta di lavoro e quindi a esaminare
il CV.
La forma deve essere curata e corretta, per dimostrare un buon livello di istruzione.
La lettera di accompagnamento è una
e-mail (o una lettera) dalla quale devono emergere in maniera sintetica (dieci righe al massimo) le motivazioni del candidato, le competenze, i titoli, le esperienze che rendono la
persona adatta per quel posto di lavoro.
XV
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
VERSO IL LAVORO
Vuoi cercare
lavoro in Italia o
all’estero?
www.ideeperiltuofuturo.it
Sintetici sì, ma non vaghi o generici: l’impegno nello scrivere la lettera sta proprio
nel risultare sinceri, con le idee chiare ma anche aperti a varie possibilità.
La lettera deve far capire che si conosce, anche se dal di fuori, l’azienda e che se ne
comprendono le necessità. Per avere queste informazioni è necessario visitarne il sito
internet ma anche, ad esempio, cercare e, se si può, sperimentare i prodotti di quell’azienda. In questo modo sarà più facile mettersi dal punto di vista dell’azienda stessa,
capire quali competenze potrebbero essere utili e puntare su quelle.
Le possibilità di essere valutati crescono se la busta che contiene lettera e CV, o l’email, è indirizzata al direttore del settore nel quale vorremmo lavorare e non genericamente all’impresa o, ad esempio, all’ufﬁcio delle risorse umane. In questo caso bisogna
fare accurati controlli per essere certi di scrivere correttamente il nome, il titolo di studio, la posizione che ricopre la persona a cui indirizziamo la lettera ed essere sicuri che
effettivamente lavori ancora lì.
Una lettera di accompagnamento. Carla è diplomata in Servizi per l’agricoltura e
lo sviluppo rurale. Ha sfruttato un periodo di lavoro part-time in un call center per
avere il tempo di cercare un corso di formazione che faccia al caso suo. Dopo ha
frequentato un corso della Regione di 180 ore in
Sicurezza alimentare.
Nel frattempo visita i siti di varie
aziende della zona in cui abita e ne individua alcune cui decide di inviare il CV.
[email protected]
La ditta dove vorrebbe lavorare è “La
a
Mozzarella”, che produce latte e derivaOfferta di collaborazione
ti. Nel sito si insiste sulla qualità dei prodotti unita al rispetto dell’ambiente.
Egr. dott. Biancolatte,
A chi vuole lavorare per “La Mozho frequentato l’Istituto professionale per i Servizi per l’agricoltura e lo sviluppo rurale
di A… diplomandomi con 96/100. Di recente ho seguito un corso di specializzazione
zarella” è richiesta personalità, grinta
a
della Regione B… in Sicurezza alimentare, che verteva sulle moderne tecniche di analisi
e condivisione dei valori dell’azienda.
degli alimenti.
Con una telefonata Carla veriﬁca che il
Il vostro nome, che conosco sin da piccola, per me è sinonimo di serietà e af⇒dabilità
responsabile della sicurezza alimentare
e condivido l’obiettivo di puntare sulla qualità e la sostenibilità della produzione e
sul rispetto per l’ambiente; mi è sempre piaciuta l’idea di lavorare nell’area della
è il dott. Biancolatte.
produzione e del controllo alimentare, e in particolare nella produzione dei latticini
Ecco la lettera di accompagnamento
che apprezzo molto, pertanto vi chiedo gentilmente di informarmi riguardo alla vostra
scritta da Carla.
disponibilità.
Le porgo i miei più cordiali saluti,
Carla Bianchi
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LE TRAIETTORIE
DELLA FISICA
James Clerk Maxwell (1831-1879)
Unifica all’interno di quattro fondamentali equazioni
le molte frammentate conoscenze acquisite fino allora
sui fenomeni elettrici e magnetici, rivelando che la
luce, l’elettricità e il magnetismo sono tutti fenomeni
ondulatori descritti dalle stesse leggi: quelle del campo
elettromagnetico.
Domenico Pacini (1878-1934)
e Victor Franz Hess (1883-1964)
Sono gli scopritori dei raggi cosmici, nel 1912.
La scoperta arriva da ricerche indipendenti e
complementari sulla conducibilità elettrica dell’aria:
Pacini raccoglie dati sulla superficie e nelle profondità
del mare, Hess compie misure in cielo a bordo di
palloni aerostatici.
Albert Einstein (1879-1955)
Padre della teoria della relatività, cambia per sempre
la nostra visione dello spazio e del tempo. I suoi
contributi scientifici spaziano dalla teoria atomica –
l’introduzione del concetto di fotone, l’equivalenza
massa-energia, la descrizione matematica del moto
browniano – alla cosmologia.
Clyde Cowan (1919-1974)
e Frederick Reines (1918-1998)
Con loro nasce la fisica del neutrino: incoraggiati
da Fermi, nel 1956 realizzano il primo rivelatore di
particelle in grado di vedere l’elusivo corpuscolo.
Ne provano così l’effettiva esistenza, fino allora solo
prevista dalla teoria. Ritirerà il Nobel solo Reines,
39 anni dopo, nel 1995.
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
1912
I RAGGI COSMICI
Pacini misura la velocità di scarica dell’elettroscopio
sulla superficie del mare e nell’acqua, a diverse profondità. La misura è un indice del numero di ioni che
colpiscono il corpo carico per unità di tempo: più
forte è la radiazione ionizzante, più numerosi sono gli
ioni nell’aria e più velocemente il corpo perde carica.
Trova che la velocità di scarica sul mare è confrontabile con quella riscontrata sul terreno, mentre
diminuisce scendendo sott’acqua, come se la scato-
S
Le aurore polari sono
prodotte dall’interazione di protoni ed
elettroni del vento
solare con l’atmosfera:
ai Poli le particelle
vengono accelerate
dal campo magnetico
terrestre, irradiando
energia.
Al largo della costa di Livorno, a bordo di una lancia dell’Accademia Navale, Domenico Pacini osserva
la scatola di rame che viene lentamente calata in mare.
All’interno c’è un oggetto metallico elettricamente carico – un elettroscopio – e un apparecchio in grado di
misurare la velocità con cui si scarica. Pacini vuole scoprire da dove proviene la misteriosa radiazione capace
di rubare le cariche all’elettroscopio, neutralizzandolo.
Il primo a osservare il fenomeno era stato Henri
Coulomb, nel 1785, durante i suoi esperimenti di elettrostatica: un corpo carico, anche se ben isolato, al passare del tempo si scarica. Coulomb ipotizzò che fossero
le molecole d’aria, urtando il corpo metallico, a portar
via le cariche elettriche, caricandosi a loro volta.
All’inizio del Novecento diviene chiaro che non sono le molecole neutre a strappare all’elettroscopio le sue
cariche negative (elettroni), bensì gli ioni positivi in cui
le molecole sono scomposte: deve esistere una radiazione ionizzante che le separa in ioni con carica opposta. E
ciò avviene anche se l’aria è contenuta in una scatola di
rame o in un’ampolla di vetro. Ma qual è la natura di
questa radiazione e da dove proviene? Alla fine dell’Ottocento Henri Becquerel e i coniugi Curie hanno scoperto l’esistenza degli elementi radioattivi: materiali
che emettono spontaneamente radiazione e capaci di
impressionare una lastra fotografica o di ionizzare un
gas. Può la naturale presenza di elementi radioattivi nel
terreno causare la radiazione che scarica l’elettroscopio?
Misure in mare, misure in cielo
S
la di rame che sigilla l’apparato si allontanasse dalla
sorgente della radiazione. Pacini conclude che “esiste
nell’atmosfera una sensibile causa ionizzante, con radiazioni penetranti, indipendente dall’azione diretta
delle sostanze radioattive nel terreno” (1912).
Negli stessi anni il fisico austriaco Victor Hess conduce analoghe misure in cielo, usando i palloni aerostatici, e
nel 1912 trova un risultato complementare: l’elettroscopio si scarica più rapidamente quanto più si va in alto. La
conclusione salta agli occhi: a rubare le cariche all’elettroscopio è nientemeno che una radiazione proveniente dal
cosmo! Hess riceverà il Nobel per la scoperta dei raggi cosmici nel 1936, appena due anni dopo la morte di Pacini.
Messaggeri di supernove
Senza saperlo, Coulomb aveva osservato l’effetto di
una causa molto lontana: come una specie di primitiva antenna, l’elettroscopio segnalava l’arrivo di particelle cariche dallo spazio. Oggi sappiamo che i raggi
cosmici sono fatti al 90% di protoni e per il resto di
nuclei, elettroni e altre particelle, provenienti sia dallo
spazio galattico (per esempio dal Sole) che extragalattico, messaggeri di fenomeni remoti e potenti come le
esplosioni di supernove. Ogni secondo arrivano al livello del mare circa 100 particelle per metro quadrato:
un portentoso laboratorio naturale che ha permesso
negli anni la scoperta di particelle nuove come il positone (1932), il muone (1936) e il pione (1947), prima
che sopraggiungesse l’era degli acceleratori di particelle.
RAGGI COSMICI
Sono particelle, essenzialmente protoni, provenienti dallo
spazio galattico ed extragalattico.
La particella primaria investe l’atmosfera, generando a
cascata uno sciame secondario di particelle, che giungono
ﬁno al suolo.
Sono in grado di scaricare un elettroscopio e interferire
con l’elettronica dei veicoli spaziali.
732
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
E
karrapavan/Shutterstock
O
R
V
A
R
E
Un rivelatore a scintillazione per l’osservazione
dei neutrini, a Los Alamos
(anni Novanta). Esso
viene riempito di un
liquido che scintilla al
passaggio di particelle
molto energetiche:
sulle pareti sono visibili
i fotomoltiplicatori, che
traducono i tenui bagliori
di luce in impulsi elettrici.
Alla fine degli anni Quaranta, il neutrino è ancora
una particella fantasma, invisibile per qualunque rivelatore di particelle. Perché i fisici sono convinti che esista?
L’ipotesi del neutrino è nata nel 1930 per risolvere un
problema, che minacciava uno dei capisaldi della fisica:
il principio di conservazione dell’energia. Il problema
riguardava il cosiddetto decadimento beta dei nuclei atomici, in cui un neutrone del nucleo si trasforma (decade)
spontaneamente in un protone più un elettrone. Attraverso un decadimento beta, un elemento chimico può
spontaneamente trasmutare in un altro. Per esempio, un
neutrone di un nucleo di carbonio-14 (fatto di 6 protoni
e 8 neutroni) può trasformarsi in un protone, producendo un nucleo di azoto-14 (7 protoni, 7 neutroni).
Già agli inizi del Novecento si era osservato che in
trasmutazioni come questa è sempre emesso un elettrone. Ma alla fine degli anni Venti le misure mettono
in luce una preoccupante discrepanza: l’energia finale
del nucleo trasmutato e dell’elettrone non è uguale
all’energia del nucleo di partenza.
Nel 1930 si fanno strada due ipotesi, formulate da
due padri della fisica atomica. Ipotesi di Niels Bohr:
alle scale subatomiche non vale più la legge di conservazione dell’energia. Ipotesi di Wolfgang Pauli:
l’energia mancante corrisponde a quella di una particella ancora inosservata, elettricamente neutra e di
massa quasi nulla, che viene emessa nel decadimento
assieme all’elettrone.
Nel 1933 Enrico Fermi dà concretezza all’idea di
NEUTRINI
Sono particelle prodotte nel decadimento beta dei nuclei
atomici e hanno massa molto piccola.
Esistono tre tipi di neutrini, associati a tre diverse particelle
con carica elettrica negativa: neutrino-elettrone, neutrinomuone e neutrino-tauone.
Elettricamente neutri, percorrono l’Universo senza quasi
interagire con la materia attraversata.
1956
IL NEUTRINO
Pauli, costruendo la teoria del decadimento beta e
usando per la nuova particella il diminutivo italiano
neutrino. Secondo la teoria, insieme all’elettrone viene emesso un antineutrino, l’antiparticella del neutrino, e non un neutrino.
Nei decenni successivi altri processi subatomici
sono via via descritti con l’intervento di neutrini e
antineutrini. Le previsioni sono puntualmente confermate dagli esperimenti, anche se il neutrino e l’antineutrino restano di per sé invisibili.
Misure sottoterra
Nei laboratori di Los Alamos, dove pochi anni prima
è stata creata la prima bomba atomica, Frederick Reines e Clyde Cowan progettano un enorme rivelatore a
scintillazione, da collocare vicino a una sorgente che
emetta un grande flusso di particelle.
Il rivelatore da 10 tonnellate entra in funzione nel
1955, a 11 metri dal reattore nucleare di Savannah
River, in Sud Carolina. Esso contiene migliaia di litri
di un liquido che emette tenui bagliori (scintilla) al
passaggio di particelle subatomiche veloci. Un flusso di migliaia di miliardi di antineutrini al secondo
– emessi dai nuclei radioattivi nella fissione nucleare
dell’uranio – attraversa ogni centimetro quadro del
rivelatore. Alcuni di essi – 2 o 3 all’ora – possono interagire con i protoni del liquido, provocando due reazioni in cascata a distanza di 3-10 microsecondi l’una
dall’altra.
Il processo lascerebbe una firma caratteristica: due
scintillazioni consecutive nell’intervallo di 3-10 microsecondi. Rivelare questi due lampi di luce significa, in pratica, osservare l’antineutrino, provando così
l’esistenza della sua controparte: il neutrino.
Il rivelatore è posto 12 metri sotto il livello del suolo, al riparo dal rumore di fondo dei raggi cosmici,
sorgenti di particelle indesiderate. È in questa cavità
sotterranea che nel 1956 l’antineutrino si palesa, dopo quasi un trentennio, in un duplice bagliore.
733
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
1865
LE ONDE
ELETTROMAGNETICHE
R
E
Un radiotelescopio
puntato al cielo, mentre capta le onde radio
provenienti da stelle
e galassie lontane.
La radio-astronomia
permette di osservare
fenomeni e corpi celesti
a frequenze molto
minori di quelle della
luce visibile.
Nel 1865 il fisico inglese James Clerk Maxwell
riunì in quattro equazioni fondamentali i numerosi
risultati sui fenomeni elettrici e magnetici ottenuti
nel corso di un secolo. Ma le equazioni di Maxwell,
oltre a descrivere i fenomeni conosciuti, ne prevedevano altri, così nuovi e inattesi che per anni restarono
inesplorati. La previsione più sconcertante era che il
campo elettrico e il campo magnetico si propagano
nello spazio sotto forma di onde, accoppiati in un
unico ente fisico: il campo elettromagnetico. Maxwell
calcolò che la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche doveva valere circa 300 000 km/s: in
pratica, la velocità della luce! Da ciò concluse che la
luce stessa è costituita da onde elettromagnetiche di
una particolare frequenza (o, equivalentemente, lunghezza d’onda).
Per circa vent’anni le onde previste da Maxwell
restarono solo un’elegante conseguenza teorica delle
equazioni. Perché divenissero reali occorreva da un
lato poterle produrre, dall’altro rivelarle.
L’esperimento di Hertz
Come generare le onde elettromagnetiche? Secondo le
equazioni di Maxwell, un’onda è emessa ogni volta che
viene accelerata una carica elettrica – costituita, per
esempio, da un gran numero di elettroni contenuti in
un metallo. In questo caso, infatti, è prodotto un campo elettromagnetico variabile nel tempo: è la variazione a propagarsi come onda, alla velocità della luce.
Con queste idee in mente, nel 1887 il fisico tedesco Heinrich Hertz costruisce un apposito oscillatore elettrico. Uno speciale dispositivo (rocchetto di
Ruhmkorff) fornisce impulsi periodici di corrente, interrompendo meccanicamente e a intervalli di tempo
regolari una corrente continua. Ai capi del rocchetto
sono connesse due sferette metalliche, separate da una
distanza di pochi millimetri: a causa della corrente a
singhiozzo, le sfere si caricano e scaricano periodicamente. A ogni scarica, nell’intercapedine è emessa una
scintilla e le cariche elettriche oscillano ad alta frequenza. Per rivelare le onde emesse, Hertz usa un circuito
risonante, costituito da un conduttore circolare con
un’interruzione di qualche frazione di millimetro: il
campo elettromagnetico variabile prodotto dall’oscillatore genera in esso una corrente che ne carica e scarica le estremità e provoca nell’intercapedine una scintilla, in coincidenza con quella emessa dall’oscillatore.
Si sta davvero propagando un’onda elettromagnetica dall’oscillatore al ricevitore o la scintilla è dovuta
a un altro fenomeno? Se di onda si tratta, deve poter
essere riflessa, come tutte le onde. Hertz orienta allora l’oscillatore verso una superficie metallica, in modo
che il segnale vi rimbalzi prima di arrivare al rivelatore. La conferma arriva, letteralmente, alla velocità della
luce: il ricevitore scintilla! Le onde elettromagnetiche
non sono solo un artificio matematico: esistono.
Le onde ottenute da Hertz hanno lunghezza d’onda 60-70 cm: rientrano nell’intervallo di frequenze che oggi identifichiamo con le onde radio. Successivamente l’italiano Augusto Righi riuscì a ridurre a
pochi centimetri, limitando così la diffrazione e arrivando a riprodurre i fenomeni tipici dell’ottica. Eppure, Hertz era convinto che le sue onde non avrebbero mai avuto un’applicazione pratica. Non sempre
è possibile prevedere la portata delle proprie scoperte: di lì a poco il giovane Guglielmo Marconi avrebbe inventato il telegrafo senza fili e nel 1901 avrebbe
trasmesso il primo segnale radio attraverso l’oceano.
LE ONDE RADIO
Sono onde elettromagnetiche con lunghezze d’onda maggiori di ⬃ 10 cm (frequenze minori di 3 GHz).
Viaggiano alla velocità della luce e si usano per la radio,
la televisione e i telefoni cellulari.
Particolari stelle e galassie emettono onde radio che giungono ﬁno a noi (radio-pulsar e radio-galassie), studiate
dalla radioastronomia.
734
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
V
Cecilia Lim H M/Shutterstock
P
E
D
E
R
E
La luce delle galassie
distanti arriva a noi
spostata verso il
rosso, come se le onde
che la costituiscono
fossero state stirate e
allungate: è il segno che
le galassie si stanno
allontanando da noi a
grande velocità.
Nel 1916 Albert Einstein ha appena completato la
formulazione della relatività generale. Le sue equazioni
di campo descrivono come la massa e l’energia dei corpi
celesti, con la loro semplice presenza, modificano lo spazio e il tempo circostanti. Oltre ad applicare le equazioni
a un sistema isolato, come una stella e un suo satellite,
Einstein cerca una soluzione che comprenda l’intera
struttura dell’Universo, descrivendo come evolve lo spazio-tempo a grande scala. Con sgomento, si accorge che
le sue equazioni prevedono un fenomeno sconcertante:
l’Universo non è statico, esso si espande o si contrae.
Davanti all’idea di un Universo instabile – che evolve
verso un futuro incerto – persino Einstein fa un passo
indietro. La previsione deve essere sbagliata: egli corregge le sue equazioni inserendovi un termine ad hoc,
la cosiddetta costante cosmologica. Un piccolo artificio
matematico ad argine della spaventosa espansione.
Le osservazioni astronomiche di Hubble
Dieci anni dopo, all’Osservatorio di Mount Wilson
in California, Edwin Hubble osserva attraverso il telescopio le galassie lontane, aloni luminescenti distanti
milioni di anni luce. I dati che ha raccolto e analizzato parlano chiaro: ovunque guardi, esse si stanno
allontanando. È come se osservasse dal centro di una
gigantesca esplosione tutti i frammenti e le pietre venire scaraventati al rallentatore lontano da lui. Solo
che i frammenti sono intere galassie e le loro velocità
arrivano a migliaia di chilometri al secondo.
LA RECESSIONE DELLE GALASSIE
Le galassie si allontanano a causa della continua espansione dello spazio che le separa dalla nostra Via Lattea.
La velocità di recessione aumenta linearmente con la
distanza delle galassie (Legge di Hubble).
Da qualche miliardo di anni si ha un valore di accelerazione non ancora spiegato nell’allontanamento delle galassie.
1916
L’ESPANSIONE
DELL’UNIVERSO
Hubble trae queste conclusioni studiando gli spettri
luminosi. Uno spettro di luce galattica mostra numerose righe scure (righe di assorbimento), distanziate secondo intervalli caratteristici, che identificano gli elementi principali di cui le galassie sono fatte (per esempio, l’idrogeno). Hubble nota che, sebbene le righe
siano ben riconoscibili e identificabili, esse appaiono
traslate verso la zona rossa dello spettro (spostamento
verso il rosso). Normalmente, per esempio, l’idrogeno
mostra due righe di assorbimento nella parte violetta,
centrate intorno alla lunghezza d’onda 460 nm.
Nello spettro di una galassia lontana, la doppia riga risulta centrata attorno a lunghezze d’onda maggiori (o
frequenze minori), più vicine alla luce rossa.
Un fenomeno simile avviene nelle onde sonore,
quando ascoltiamo la sirena di un’ambulanza che si
allontana: il suono slitta verso frequenze più basse e si
fa meno acuto (effetto Doppler). In quel caso, però, è
la sorgente a muoversi, mentre per le galassie distanti non è propriamente così. Qui, infatti, interviene
il fenomeno predetto dalle equazioni di Einstein: le
onde luminose arrivano a noi allungate – come stirate – perché lo spazio tra noi e la sorgente si espande,
accrescendo così la distanza. È analogo a quanto accade nel caso di un palloncino ricoperto di puntini
disegnati: man mano che lo gonfiamo, la superficie si
dilata e la distanza tra i puntini cresce.
Hubble osserva, inoltre, che maggiore è la distanza
delle galassie, maggiore è lo spostamento verso il rosso e
quindi la loro velocità di recessione. Davanti ai suoi occhi
attoniti si stende un cosmo dinamico, in espansione.
Quando nel 1929 Einstein verrà a conoscenza della
sua scoperta, dirà che la costante cosmologica è stata “la
più grossa cantonata della sua vita”. Di lì a poco sorgerà l’ipotesi che l’Universo si sia evoluto a partire da una
colossale, primigenia esplosione: un Big Bang, come la
chiamò per scherno l’astrofisico Fred Hoyle, durante
una trasmissione radiofonica del 1950. Oggi il nome indica la più accreditata teoria sull’origine del Cosmo.
735
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
LA CARICA ELETTRICA
E LA LEGGE DI COULOMB
Piotr Zajc/Shutterstock
1
L’ELETTRIZZAZIONE PER STROFINÌO
Un corpo che ha acquisito la capacità di attirare oggetti leggeri è detto
elettrizzato.
L’elettrizzazione per strofinìo avviene in diversi tipi di oggetti (per esempio di gomma, di vetro, di ceramica) ed è anche all’origine della parola «elettricità».
Gli antichi greci non avevano a disposizione gomma o plastica, ma notarono
che lo stesso fenomeno che abbiamo appena descritto aveva luogo strofinando
pezzi di ambra. La parola «elettricità»
deriva infatti dal greco elektron che significa, appunto, «ambra». Questo materiale è una resina di conifere, prodotta
in epoche molto antiche (anche dieci
milioni di anni fa), che si è fossilizzata.
Nella goccia di ambra è rimasto intrappolato un insetto.
Un corpo elettrizzato attira un altro oggetto non elettrizzato. Ma cosa succede se
avviciniamo due oggetti che sono stati strofinati?
736
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Falk Kienas/Shutterstock
Martyn F. Chillmaid/Science Photo Library
Un pettine di plastica sfregato contro un golf di lana acquista una proprietà che prima non aveva: quella di attirare a sé degli oggetti molto leggeri, come palline di polistirolo o pezzetti di carta.
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
� Due bacchette di plastica elettriz-
zate si respingono reciprocamente.
� Anche
due bacchette di vetro elettrizzate si respingono l’una con
l’altra.
plastica
25
� Però una bacchetta di vetro e una
di plastica, entrambe elettrizzate, si
attirano.
vetro
plastica
vetro
vetro
A
CAPITOLO
B
plastica
C
Quindi, due oggetti elettrizzati possono attrarsi o respingersi. Strofinando altri materiali, scopriamo che alcuni si comportano come la plastica, altri come il vetro.
L’ipotesi di Franklin
Possiamo spiegare questo fenomeno facendo l’ipotesi che esistano due tipi di elettricità, o di cariche elettriche. Seguendo una convenzione che risale al fisico statunitense
Benjamin Franklin, chiamiamo:
• carica elettrica positiva quella degli oggetti che si comportano come il vetro;
• carica elettrica negativa quella degli oggetti che si comportano come la plastica.
Possiamo allora affermare che:
se due corpi hanno cariche elettriche dello stesso segno, si respingono; invece,
se hanno cariche elettriche di segni opposti, si attraggono.
Benjamin Franklin
(1706-1790) fisico
statunitense. Formulò la
legge di conservazione della
carica elettrica e inventò il
parafulmine. Contribuì anche
alla stesura della costituzione
americana.
Il modello microscopico
Nel 1897, il fisico inglese John Joseph Thomson scoprì l’elettrone, una particella di
massa molto piccola (1030 kg) che ha carica negativa. In seguito si comprese che
tutti gli atomi contengono due tipi di particelle cariche:
• gli elettroni, con carica negativa,
• i protoni, con carica positiva.
Poiché la carica di un protone controbilancia esattamente la carica di un elettrone,
ogni atomo, avendo lo stesso numero di protoni e di elettroni, è neutro, cioè
ha carica elettrica uguale a zero.
Per esempio, l’atomo di elio nella figura 1 ha due elettroni e due protoni; quello di
uranio 92 elettroni e 92 protoni.
atomo di elio
protoni
elettroni
Figura 1 Rappresentazione
dell’atomo di elio.
737
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
ELETTROMAGNETISMO
Questo modello microscopico della materia, basato su atomi neutri con protoni
positivi ed elettroni negativi, spiega il comportamento elettrico dei corpi, che sono
costituiti da moltissimi atomi.
Di solito i corpi sono neutri, perché sono costituiti da tanti «grani» (gli atomi)
neutri. Quando un corpo è carico, significa che c’è uno squilibrio tra protoni ed
elettroni.
�Un corpo è negativo quando ha più
elettroni che protoni.
-
-
+
-
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
+
+
+
-
+
-
-
+
-
+
�Un corpo è positivo quando ha meno elettroni che protoni.
+
-
+
-
+
+
+
+
+
+
-
A
+
+
+
+
-
-
+
+
+
-
+
+
B
Quindi un corpo carico contiene cariche di tutti e due i tipi; però soltanto gli elettroni sono mobili e possono trasferirsi da un corpo all’altro.
Infatti, come mostra anche la figura alla pagina precedente, negli atomi i protoni
sono legati tra loro (insieme ai neutroni) e formano un corpuscolo detto nucleo. Per
questa ragione i protoni non sono liberi di muoversi e non abbandonano l’atomo a
cui appartengono.
ANIMAZIONE
• Un corpo negativo ha un eccesso di elettroni;
• un corpo positivo ha una mancanza di elettroni.
Corpi negativi e corpi positivi
(1 minuto e mezzo)
Che cosa succede, a livello microscopico, durante lo strofinìo?
� Strofinando
il vetro con la lana,
degli elettroni passano dal vetro alla lana.
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
� Il vetro, che invece ha perso degli
di prima, è carico negativamente.
elettroni, è carico positivamente.
+
-
+
-
+
+
-
-
+
-
+
+
-
-
+
+
+
-
panno
di lana
+
+
� Il panno, che ora ha più elettroni
-
-
+
-
+
-
+
+
-
+
negativo
-
+
+
-
+
-
+
+
+
-
+
+
-
+
- +
-
+
-
-
+
B
+
+
-
+
-
C
738
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
+
+
+
+
+
+
-
vetro
A
+
+
+
-
-
+
-
+
+
+
+
positivo
25
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
CAPITOLO
Nelle zone molto fredde questo fenomeno è particolarmente rilevante perché a bassa temperatura
l’umidità dell’aria è praticamente
uguale a zero e l’aria secca non disperde le cariche. Per esempio, nella base di Amundsen-Scott, che è
posta al Polo Sud, sono a disposizione vari tipi di strutture che servono per scaricare l’elettricità statica e che vengono utilizzate continuamente; altrimenti, il contatto
con un oggetto metallico o anche
solo una stretta di mano potrebbero dar luogo a forti scosse elettriche.
2
John Beatty/Science Photo Library
La carica totale è rimasta sempre la stessa. Prima dello strofinìo c’era equilibrio e il
vetro e la lana erano neutri. Dopo, c’è un eccesso di elettroni nel panno e una mancanza nel vetro, per cui entrambi i corpi sono elettrizzati.
L’elettrizzazione per strofinìo ha luogo in diverse occasioni nella vita quotidiana:
per esempio, in una giornata secca la carrozzeria di un’automobile in moto si può
caricare per attrito con l’aria. Ma anche lo sfregamento di una felpa di pile con lo
schienale di una poltrona in materiale sintetico può portare all’elettrizzazione della
persona seduta. In questi e altri casi l’elettrizzazione può essere rivelata dalla scintilla
che scocca tra la persona che si è caricata e un altro oggetto.
I CONDUTTORI E GLI ISOLANTI
Un oggetto di plastica, gomma o vetro si carica per strofinìo. Invece, se strofiniamo
con un panno un oggetto di metallo, non sempre riusciamo a elettrizzarlo.
Prima prendiamo in mano un cucchiaio di metallo e lo strofiniamo con un panno
di lana. Osserviamo che il cucchiaio non attrae i pezzettini di carta (figura 2).
Poi impugniamo il cucchiaio con dei guanti di plastica. Dopo averlo di nuovo
strofinato, osserviamo che il cucchiaio si elettrizza e attrae i pezzi di carta.
Questo esperimento ci dice che tutti gli oggetti si possono caricare per strofinìo,
ma alcuni, in particolari circostanze, non sono in grado di trattenere la carica elettrica. Per esempio, gli oggetti di metallo perdono la carica quando sono a contatto con
le mani nude.
• Le sostanze come la plastica, che si caricano sempre quando sono strofinate,
si chiamano isolanti elettrici.
• Le sostanze come i metalli o il nostro corpo, che si comportano in modo
diverso, si dicono conduttori elettrici.
Figura 2 Per caricare il cucchiaio per
strofinìo occorre indossare un guanto di
materiale isolante.
Questa distinzione non è assoluta: tutte le sostanze possono essere ordinate secondo
la capacità di trattenere, o di lasciare fluire, le cariche elettriche. Esistono quindi sostanze più o meno conduttrici oppure più o meno isolanti.
La plastica e il vetro sono ottimi isolanti mentre i metalli, in particolare il rame e
l’argento, sono ottimi conduttori.
739
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
ELETTROMAGNETISMO
Il modello microscopico
Gli esperimenti di strofinìo possono essere spiegati facendo queste ipotesi:
• negli isolanti tutte le cariche occupano delle posizioni fisse e non possono
spostarsi;
• nei conduttori vi sono cariche elettriche che si muovono liberamente.
Per esempio, nei conduttori metallici vi sono degli elettroni liberi, che si spostano
con facilità da un atomo all’altro. In un isolante, invece, gli elettroni sono molto legati ai protoni dell’atomo e difficilmente se ne allontanano.
Perché, secondo questo modello microscopico, il cucchiaio di metallo non si elettrizza quando lo impugniamo con le mani nude?
Come mostra la figura 3, durante lo strofinìo gli elettroni passano dal panno al
cucchiaio, poi arrivano a terra attraverso il nostro corpo, che è un conduttore.
Usando i guanti di plastica gli elettroni si fermano nel cucchiaio, perché sono
bloccati dalla plastica, che è un materiale isolante.
Quindi, quando teniamo in mano il
cucchiaio senza guanti, gli elettroni
transitano nel cucchiaio e non si accumulano elettrizzandolo.
Nei cavi che trasportano l’energia
elettrica, gli elettroni si muovono lungo il filo di metallo e non si scaricano a
terra attraverso il traliccio, perché tra
i fili e il traliccio ci sono gli isolatori,
costituiti da materiale isolante.
mycola/Shutterstock
Figura 3 Il cucchiaio si elettrizza
per strofinìo, ma le cariche sono
continuamente scaricate a terra tramite
la mano e il corpo, che sono conduttori.
L’elettrizzazione per contatto
�Abbiamo un primo conduttore, ca-
�Mettendo in contatto i due condut-
rico, che impugniamo con un manico isolante, e un secondo conduttore
neutro.
tori, parte della carica del primo passa
sul secondo. Ora anch’esso è carico.
isolante
conduttore
manico
isolante
A
B
740
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
25
CAPITOLO
All’inizio il primo conduttore era negativo, perché aveva un eccesso di elettroni.
Una parte di questi elettroni è fluita nel secondo conduttore, che a sua volta è diventato negativo.
Questo esperimento mette in luce che
i conduttori possono essere elettrizzati per contatto.
L’elettrizzazione per contatto permette di
suddividere una carica in n parti uguali.
Per esempio, immaginiamo di avere una
sfera carica e altre due sfere, identiche ma
scariche. Ponendo le tre sfere a contatto (figura 4), per simmetria la carica si distribuisce allo stesso modo su di esse: se le si stacca, si ottengono tre sfere elettrizzate, ciascuna con una carica che è 1/3 di quella
della sfera carica di partenza.
3
A
B
C
B
A
C
B
C
A
Figura 4 Metodo per dividere una
carica in tre parti uguali, usando
sferette identiche.
LA DEFINIZIONE OPERATIVA
DELLA CARICA ELETTRICA
L’elettroscopio (figura 5) è uno strumento che serve per sapere se un oggetto è carico. È formato da un’asta metallica verticale, con in alto una sferetta conduttrice e
in basso due foglie conduttrici molto sottili. Il tutto è contenuto in un recipiente di
vetro che serve da protezione e da sostegno.
�Se si tocca la sferetta con un oggetto elettrizzato, parte della carica passa
all’asta e, così, si distribuisce in tutto il
dispositivo fino alle foglioline.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
�Le foglioline
risultano cariche dello
stesso segno e si respingono. Così, la
loro divaricazione attesta che l’oggetto in esame è elettricamente carico.
+
+
+
asta
conduttrice
foglie
conduttrici
Figura 5 Elettroscopio a foglie.
+
+
+
+
manico
isolante
+
+
+ +
+ +
A
sfera
conduttrice
+
+
+
+
+
IN LABORATORIO
+
Funzionamento di un
elettroscopio
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
B
Un oggetto è carico se, messo a contatto con l’elettroscopio, fa divaricare le
sue foglie.
741
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
25
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
La misura della carica elettrica
L’elettroscopio permette di confrontare in modo operativo due cariche elettriche,
per sapere quale delle due è più grande. Prendiamo due sferette conduttrici uguali,
che abbiamo prima caricato per contatto.
� Tocchiamo l’asta dell’elettrosco-
pio con la sferetta A e osserviamo la
divaricazione delle foglioline.
+
+
+
+
A
scarichiamo l’elettroscopio
(per esempio toccando l’asta con
le dita), in modo da riportarlo nella
sua condizione iniziale.
� Ora
poniamo l’elettroscopio a
contatto con la sferetta B e osserviamo di nuovo l’angolo formato
dalle due foglioline.
+
+
+
+
� Poi
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
B
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
0
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
B
+
+
+
+
C
Se nei due casi gli angoli formati dalle foglioline sono uguali, anche le cariche sulle
due sferette erano uguali. Altrimenti la carica maggiore era quella che ha fatto divaricare di più le foglie. In linea di principio,
per misurare la carica elettrica, si sceglie una carica come unità di misura, poi
si tara l’elettroscopio con una scala che misuri le divaricazioni delle foglioline.
Il coulomb
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della carica elettrica è il coulomb (simbolo C), dal nome dello scienziato francese Charles Augustin de Coulomb. Definiamo il coulomb a partire dalla carica dell’elettrone.
Charles-Augustin
de Coulomb
(1736-1806) fisico francese.
Oltre alla forza elettrica,
determinò per via sperimentale
la forza che si esercita tra due
magneti.
Tutti gli elettroni dell’Universo hanno la stessa carica (negativa) e, il cui
valore numerico è e 1,6022 1019 C.
Per ottenere una carica negativa di 1 C occorrono quindi
1
= 6,2414 # 10 18
1,6022 # 10 -19
elettroni.
742
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
25
CAPITOLO
Finora non è mai stata osservata una carica più piccola di quella dell’elettrone e tutte
le particelle elementari conosciute hanno una carica che è un multiplo (positivo o
negativo) della
carica elettrica elementare e 1,6022 1019 C .
Conservazione della carica elettrica
Torniamo a considerare la bacchetta di vetro caricata con un panno di lana: prima
e dopo, la carica totale è sempre la stessa. Prima dello strofinìo c’era equilibrio e il
vetro e la lana erano neutri. Dopo, c’è un eccesso di elettroni nel panno e una mancanza nel vetro, per cui i due corpi sono elettrizzati con cariche di uguale valore e di
segno opposto.
Questo fenomeno è un esempio di una proprietà generale, detta legge di conservazione della carica elettrica:
Sistema ﬁsico chiuso
in un sistema chiuso la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene
costante, qualunque siano i fenomeni che in esso hanno luogo.
4
Un sistema fisico si dice chiuso
se non scambia materia con
l’esterno.
LA LEGGE DI COULOMB
Consideriamo due corpi puntiformi e indichiamo con Q1 e con Q2 le cariche elettriche che si trovano su di essi. La forza elettrica che si esercita tra di esse è descritta
dalla legge di Coulomb, secondo cui
il valore della forza elettrica tra due cariche puntiformi è:
• direttamente proporzionale a ciascuna carica,
• inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Questo è riassunto nella formula
prima carica (C)
seconda carica (C)
forza di Coulomb (N)
costante di proporzionalità
(Nm2/C2)
F = k0
Q1 Q2
r2
(1)
distanza (m)
Se le cariche sono nel vuoto, la costante di proporzionalità k0 vale:
k 0 = 8,99 # 10 9
N : m2
.
C2
Questo valore numerico non può essere ricavato da alcun ragionamento ed è, perciò, una costante naturale determinata sperimentalmente. Essa è la sintesi di tantissime misure che danno lo stesso risultato.
Mantenendo fissa la distanza r:
• se si triplica una delle cariche, anche il valore della forza triplica;
• se si dimezza una delle cariche, anche il valore della forza si riduce alla metà.
743
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
ELETTROMAGNETISMO
forza F (N)
v della forza varia in funzione di r come è
Mantenendo fisse le cariche, l’intensità F
mostrato nella figura 6. In particolare:
• se la distanza raddoppia la forza diventa quattro (22) volte più piccola;
• se la distanza si riduce di quattro volte, la forza diventa sedici (42) volte più
grande.
La figura 7 mostra come varia la forza di Coulomb, al variare della distanza, nel caso
di una carica positiva e di una negativa che si attraggono.
O
r
Q-
distanza di separazione r (m)
1
Figura 6 Grafico del modulo della
forza di Coulomb in funzione della
distanza tra le cariche.
F
F
2r
Q-1
F
4
Q-1
Figura 7 Esempio della variazione
della forza di Coulomb con la distanza
tra le cariche.
Q+2
3r
Q+2
F
4
Q+2
F
9
F
9
ESEMPIO
Due cariche puntiformi di 1,0 C si trovano, nel vuoto, alla distanza di 1,0 m.
f Con quale forza si respingono?
Sostituiamo i valori numerici nella forza di Coulomb:
Q1 Q2
(1,0 C) # (1,0 C)
N : m2
= c 8,99 # 10 9
=
m#
2
2
(1,0 m ) 2
r
C
C2
N : m2
,
1
0
= f 8,99 # 10 9
#
= 9,0 # 10 9 N .
p
C2
m2
F = k0
Il valore della forza repulsiva è circa uguale a nove miliardi di newton, che
è enorme: si tratta di 90 volte il peso della tour Eiffel di Parigi. Ciò significa che
non è possibile isolare due cariche pari a 1 C (neanche una sola, in realtà), né
tantomeno portarle alla distanza di 1 m tra loro.
Le cariche che incontriamo nella vita quotidiana e nei laboratori sono
milioni o miliardi di volte più piccole del coulomb. Molto spesso, infatti,
per misurarle si usano il microcoulomb (1 C 106), il nanocoulomb
(1 nC 109 C) e il picocoulomb (1 pC 1012 C).
Direzione e verso della forza
La direzione della forza elettrica è quella della retta che congiunge le due cariche
puntiformi.
Come sappiamo, il verso è repulsivo (verso l’esterno) se le due cariche hanno
lo stesso segno e attrattivo (verso l’interno) se le cariche hanno segni diversi. Ciò è
espresso anche dalla legge di Coulomb:
se Q1 e Q2 hanno lo stesso segno, F risulta positiva (forza repulsiva); invece, se
Q1 e Q2 hanno segni diversi, F risulta negativa (forza attrattiva).
744
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
25
CAPITOLO
La costante dielettrica
È abituale scrivere la costante k0 della legge di Coulomb come
k0 =
1
,
4 f0
(2)
dove f0 è detta costante dielettrica assoluta del vuoto (o, più semplicemente, costante dielettrica del vuoto). Il suo valore numerico, ottenuto ricavando f0 nella
(2), è
C2
.
N : m2
Utilizzando la (2), possiamo scrivere la legge di Coulomb per cariche poste nel vuoto
nella forma
f0 8,854 1012
F0 =
1
Q1 Q2
4 f0
r2
.
(3)
Il principio di sovrapposizione
Una carica puntiforme può risentire contemporaneamente delle forze elettriche generate da numerose cariche presenti nelle vicinanze. In questo caso:
la forza totale che agisce su una carica elettrica è uguale alla somma vettoriale
delle singole forze che agirebbero su di essa se ciascuna delle altre cariche fosse
presente da sola.
Questo risultato sperimentale, che è detto principio di sovrapposizione, è illustrato
nella figura 8.
forza
esercitata
da Q 2
forza risultante
agente su Q
ANIMAZIONE
Il principio di sovrapposizione
(1 minuto)
F
F2
F1
forza esercitata
da Q 1
carica
minore
Q
carica
maggiore
Q1
Q2
Figura 8 Come ottenere, con il
principio di sovrapposizione, la forza
complessiva su Q.
La forza elettrica e la forza gravitazionale
La forza elettrica tra due cariche ha la stessa forma matematica della forza gravitazionale di Newton tra due masse:
FN = G
m1 m2
.
r2
745
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
ELETTROMAGNETISMO
Le due forze sono simili perché:
• agiscono a distanza (e non a contatto);
• diminuiscono in modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza;
• sono direttamente proporzionali a una grandezza caratteristica (rispettivamente
la massa e la carica).
Tuttavia, le due forze sono diverse perché:
• le cariche sono di due tipi diversi (positive e negative), mentre per le masse non
esiste una simile proprietà;
• per questo motivo, la forza gravitazionale ha un solo comportamento (quello attrattivo), mentre la forza elettrica è attrattiva o repulsiva;
• la forza gravitazionale agisce tra qualsiasi coppia di corpi, mentre la forza elettrica
agisce solo tra corpi carichi. Se i due corpi sono neutri, si attraggono di pochissimo perché hanno una massa, ma non subiscono forze elettriche perché non hanno carica;
• nelle condizioni ordinarie, la forza elettrica è molto più intensa di quella gravitazionale.
Confronto tra forza elettrica e forza gravitazionale
Forza elettrica
Forza gravitazionale
Tipo di forza
a distanza
a distanza
Dipendenza dalla distanza
inverso del quadrato
inverso del quadrato
Direttamente proporzionale a:
prodotto delle cariche
prodotto delle masse
Valori delle grandezze caratteristiche
cariche positive e negative
masse solo positive
Verso della forza
attrattivo e repulsivo
solo attrattivo
5
L’ESPERIMENTO DI COULOMB
sistema di
sospensione
filo di
quarzo
supporto
isolante
contrappeso
D
B
A
P
Charles Coulomb determinò le caratteristiche della forza elettrica nel 1784, servendosi
di una bilancia a torsione (figura 9).
Questo strumento permette di misurare
la forza che si esercita tra due sferette cariche: la sfera B è sostenuta da un supporto isolante, mentre la sfera A si trova a un
estremo di un manubrio che può ruotare
appeso a un filo. Una sfera D, elettricamente neutra, permette di equilibrare il manubrio sotto l’effetto della forza di gravità.
Come nell’esperimento originale di Coulomb, supponiamo che tra le sfere A e B (cariche) si eserciti una forza repulsiva Fv ; questa, a sua volta, genera un momento della
v che pone in rotazione il manubrio.
forza M
Figura 9 Bilancia di torsione.
746
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
�La torsione del filo provoca un mov e capace
mento elastico di ritorno M
di opporsi alla deformazione; così si
giunge a una nuova posizione di equilibrio, in cui il filo ha subito un primo
angolo di torsione e la somma vettoriale dei due momenti delle forze è
nulla.
25
CAPITOLO
� A questo punto si ruota il meccanismo di sospensione del filo di un
ulteriore angolo, tale da portare il
manubrio nella posizione voluta, per
esempio perpendicolare al segmento
che congiunge i centri delle sfere A e B.
Indichiamo con l’angolo di torsione
totale del filo.
α
D
effetto di rotazione
della forza elettrica
B
A
D
effetto di rotazione dovuto
alla torsione del filo
B
P
A
A
B
v e e Mv (calcolati ri• Nella condizione di equilibrio, i due momenti della forza M
spetto al punto medio P tra le sfere A e D) hanno versi opposti e moduli uguali:
M Me .
(4)
• Visto che la forza elettrica è perpendicolare al segmento PA (figura 10), il modulo
del momento M è dato dal prodotto tra il modulo della forza elettrica e la distanza
PA = b :
M Fb.
B
b
P
A
D
Figura 10 AB è perpendicolare ad
AD ; quindi AP = b è il braccio del
momento di Fv rispetto a P.
F
• Coulomb aveva precedentemente trovato sperimentalmente che il modulo del
momento elastico è direttamente proporzionale all’angolo di torsione del filo:
Me c ,
747
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
ELETTROMAGNETISMO
dove c è una costante di proporzionalità che dipende dalle caratteristiche del filo di
sospensione.
Sostituendo le due formule precedenti nella condizione di equilibrio (4) si ottiene
Fb c ,
da cui si trova
F=
c
b
(5)
Il coefficiente c è una costante caratteristica della particolare bilancia di torsione che
si utilizza.
La formula (5) permette quindi di determinare la forza F misurando il valore
dell’angolo .
Per esempio, Coulomb verificò che, dimezzando una delle due cariche su A o B,
anche l’angolo di torsione si dimezzava. Ciò significa che la forza elettrica si dimezza, indicando che essa è direttamente proporzionale al valore di ognuna delle cariche come è espresso dalla formula (3).
In modo analogo Coulomb osservò che, raddoppiando la distanza tra le sfere A e
B e mantenendo costanti le cariche, l’angolo di torsione si riduceva a un quarto di
quello ottenuto in precedenza.
La (5) implica che, in tale caso, la forza elettrica si è ridotta di quattro volte, in
accordo con la proporzionalità della formula (3) con l’inverso del quadrato della
distanza.
6
LA FORZA DI COULOMB NELLA MATERIA
In un mezzo materiale isolante (per esempio, nell’acqua o dentro il vetro), a parità
di cariche e di distanza misuriamo una forza di Coulomb minore della forza F0 che
agisce nel vuoto.
Gli esperimenti mostrano che il rapporto
fr =
F0
Fm
(6)
è indipendente dalle cariche che interagiscono e dalla loro distanza. fr si chiama costante dielettrica relativa del mezzo considerato e, essendo il rapporto tra due forze, è un numero puro.
Si tratta di una grandezza che caratterizza il mezzo materiale e che misura di
quanto l’intensità della forza elettrica è ridotta, rispetto al vuoto, dalla presenza del
mezzo.
Nel vuoto si ha Fm F0, per cui la costante dielettrica relativa del vuoto è per definizione uguale a 1. In ogni altro caso, dal momento che F0 è sempre maggiore di Fm
la costante dielettrica relativa risulta maggiore di 1.
Dalla formula (6) si ottiene
Fm =
F0
fr
.
Se sostituiamo al numeratore del secondo membro l’espressione della legge di Coulomb, troviamo l’equazione che fornisce la forza che si esercita in un mezzo materia748
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
25
CAPITOLO
le tra due cariche puntiformi Q1 e Q2 poste a distanza r:
k 0 Q1 Q2
fr r 2
(7)
Q1 Q2
.
4 f 0 fr r 2
(8)
Fm =
oppure
Fm =
1
La costante dielettrica assoluta
Si usa definire una nuova costante, indicata con f, attraverso la relazione
f = f0 fr
(9)
f è detta costante dielettrica assoluta del mezzo considerato e ha le stesse unità di
misura di f0. Grazie a essa è possibile scrivere la legge di Coulomb nella forma generale
F=
1 Q1 Q2
.
4 f r2
(10)
Se si ha f f0 la formula precedente descrive la forza di Coulomb nel vuoto
(F F0); in ogni altro caso la (8) descrive l’interazione in un mezzo materiale isolante (F Fm).
La tabella a fianco mostra il valore della costante dielettrica relativa per diversi
materiali; come si vede, quella relativa all’aria è quasi uguale a 1. Quindi, dal punto
di vista pratico si trattano spesso le cariche elettriche poste nell’aria come se fossero
nel vuoto.
ESEMPIO
Due cariche Q1 8,2 108 C e Q2 7,6 108 C sono immerse in acqua alla
distanza r 2,3 cm.
f Qual è l’intensità della forza con cui si respingono?
• Nella tabella leggiamo che la costante dielettrica relativa dell’acqua è
fr 80.
• Allora sostituiamo questo valore e quelli del problema nella formula (7), in
modo da trovare:
9
c 8 ,99 # 10
k0 Q1 Q2
=
F=
fr r 2
80
= 1, 3 # 10 -3 N .
N:m
m
C2
Costanti dielettriche
relative (T 298 K)
ambra
2,8
carta
2,1
legno
3-7
PVC
4,5
silicio
12
vetro
5-10
zucchero
3,3
alcol etilico
(etanolo)
24-26
ghiaccio (268 K)
75
acqua
80
vapore acqueo*
(393 K)
1,00060
aria (273 K)*
1,00056
*a pressione normale (1,01 105 Pa).
2
#
( 8,2 # 10 -8 C) # ( 7, 6 # 10 -8 C)
=
( 0,023 m ) 2
749
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
25
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
7
L’ELETTRIZZAZIONE PER INDUZIONE
pla
astic
ca
a
- - -- - - -
F +
+
-
sfera di metallo
scarica
Figura 11 Per effetto dell'induzione
una sfera conduttrice neutra è attratta
da una bacchetta elettrizzata.
Se avviciniamo una bacchetta elettrizzata a una pallina di metallo
scarica, appesa a un filo isolante (figura 11), osserviamo che la bacchetta attrae la pallina.
Come fa un corpo carico ad attrarne uno scarico? La ragione sta
nella legge di Coulomb, secondo la
quale la forza elettrica diminuisce
rapidamente con l’aumentare della
distanza.
Nell’esempio della figura:
• la bacchetta di plastica, carica negativamente, respinge gli elettroni che sono liberi
di muoversi dentro la sfera conduttrice.
• Di conseguenza, la superficie della sfera vicina alla bacchetta diventa positiva (mancano elettroni), mentre la superficie lontana diventa negativa (ci sono elettroni in più).
• Per la legge di Coulomb, l’attrazione tra cariche vicine è maggiore della repulsione tra cariche lontane: quindi la sfera è attratta verso la bacchetta.
Nel complesso il conduttore è ancora neutro, ma la carica non è più distribuita in
modo uniforme.
ESPERIMENTO VIRTUALE
Si chiama induzione elettrostatica la ridistribuzione di carica causata, in un
conduttore neutro, dalla vicinanza di un corpo carico.
Attrazioni elettriche
• Gioca
• Misura
• Esercitati
L’induzione elettrostatica è reversibile: basta allontanare la bacchetta elettrizzata e
sulla sfera le cariche, positive e negative, tornano a mischiarsi.
Mediante l’induzione elettrostatica è possibile caricare un conduttore neutro.
�Se si tocca la sfera con un dito, mantenendo vicino la bacchetta elettrizzata, gli elettroni si allontanano attraverso il nostro corpo, che è un conduttore.
+
- - +
- - - - - - +++
- - -
A
�Dopo aver tolto il dito e avere allon-
tanato la bacchetta elettrizzata, la sfera
rimane carica positivamente, perché
mancano elettroni.
+ +
+
+
+ +
- - --
B
750
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
25
LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB
CAPITOLO
Gli elettroni, attraverso il nostro corpo, finiscono al suolo, che è un conduttore capace di accumulare carica elettrica in grande quantità.
Mettere a terra un conduttore significa collegarlo al suolo mediante un altro conduttore (per esempio, il nostro corpo o un filo metallico), che consente il passaggio
delle cariche. Nella figura 12 è disegnato il simbolo della messa a terra.
simbolo
di messa
a terra
L’elettròforo di Volta
Figura 12 Simbolo elettrico di un
conduttore collegato a terra.
Il fenomeno dell’induzione elettrostatica viene sfruttato nell’elettròforo di Volta, inventato dallo scienziato italiano Alessandro Volta. Esso è costituito da un piatto metallico collegato a un manico isolante e appoggiato su un supporto isolante (per esempio,
un disco di plastica). Il suo utilizzo richiede una serie di passaggi:
1. Prima si elettrizza il supporto per strofinìo.
2. Poi si appoggia sul supporto carico il piatto metallico, che si carica per induzione
(figura 13). Se il supporto ha carica negativa, la faccia inferiore del piatto è positiva
supporto
mentre quella superiore è negativa.
isolante
3. Toccando il piatto con un dito, le cariche
negative che si trovano sulla faccia superiore si scaricano a terra e il piatto rimane
carico positivamente.
È ora possibile afferrare il piatto carico con il
manico isolante e usarlo per fare esperimenti di elettrostatica.
Alessandro Volta
(1745-1827) fisico e chimico
italiano. Scoprì il metano. Introdusse per primo il concetto di
potenziale elettrico e costruì i
primi strumenti per misurarlo.
Inventò moltissimi dispositivi
elettrici, tra cui la pila.
manico
isolante
piatto
metallico
Figura 13 Elettròforo di Volta.
Una volta esaurita la carica presente sul piatto, per averne altra basterà
appoggiarlo di nuovo sul supporto isolante (che è ancora elettrizzato e,
quindi, non va strofinato tutte le volte) e ripetere il procedimento da capo.
I metodi di elettrizzazione
Metodo
Descrizione
Meccanismo
Materiali
Per strofinìo
Si ottiene strofinando tra loro
due corpi.
Elettroni passano da un oggetto (che
si carica positivamente) a un altro
(che si carica negativamente).
Isolanti o conduttori impugnati
con un manico isolante.
Per contatto
Si ottiene mettendo a contatto un corpo elettricamente
neutro con uno caricato in
precedenza.
Una parte delle cariche che si trovano sul corpo elettrizzato si sposta su
quello che era neutro.
Avviene in maniera molto efficace
tra corpi conduttori. Un corpo isolante può cedere solo le cariche
che si trovano su quella parte che
è in diretto contatto con il corpo
neutro.
Per induzione
Si pone un corpo carico (induttore) in prossimità di un
conduttore scarico (indotto)
costruito in modo da poterlo
suddividere in due parti.
Senza allontanare il corpo
induttore, si separano le due
parti del conduttore indotto.
A causa dell’induzione elettrostatica
le cariche del corpo neutro si separano: quelle dello stesso segno della
carica inducente si allontanano da
essa, quelle di segno opposto le si
avvicinano.
Due conduttori posti dapprima
vicini e poi allontanati.
751
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
25
ELETTROMAGNETISMO
La polarizzazione
In un isolante gli elettroni non sono liberi di muoversi. Tuttavia, se avviciniamo un
oggetto carico a un isolante, gli elettroni nelle molecole si spostano di poco, in modo
da creare una piccola ma diffusa ridistribuzione di carica.
�Una penna di plastica, che è stata elettrizzata per strofinìo, riesce ad attrarre i pezzettini di carta che sono di
materiale isolante.
�La penna respinge gli elettroni della
carta, in modo che le cariche di segno
opposto siano nel complesso più vicine
rispetto alle cariche dello stesso segno.
- - -- - - -- + +
- - -- - - + + +
+ +- + +
- - -- + +- + +
+ +- - + +- +
- - + + -+ - - + + - +
- a
+
- - + + -+ - +
- C. Gardini, Parma 2004
carta
A
B
Per la legge di Coulomb l’attrazione prevale sulla repulsione e i pezzettini di carta
sono attratti dalla penna.
Si chiama polarizzazione la ridistribuzione di carica in un isolante neutro,
causata dalla vicinanza di un corpo carico.
ANIMAZIONE
Polarizzazione e costante
dielettrica
(1 minuto)
Figura 14 Effetto di schermo di una
carica positiva da parte delle molecole
polarizzate di un materiale isolante.
La polarizzazione spiega come
mai la forza di Coulomb è minore
quando le cariche sono poste in
un materiale isolante.
Per esempio, una carica positiva sferica attrae verso di sé gli
elettroni delle molecole che la circondano (figura 14).
In questo modo la carica positiva è schermata dallo strato di
cariche negative che la avvolge
e, come risultato, interagisce più
debolmente con le altre cariche
presenti nella stessa zona di spazio.
Ciò provoca una diminuzione della forza elettrica e, di conseguenza, il valore della
costante dielettrica relativa fr risulta maggiore di 1.
752
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
EPISTEMOLOGIA
LA SCIENZA È VERIFICABILE:
I NEOPOSITIVISTI
Illustrazione di Emiliano Ponzi
«La concezione scientifica del mondo
è empiristica e positivistica: si dà solo
conoscenza empirica, basata sui dati
immediati. Con questo si delimitano i
confini per il contenuto di ogni scienza
che aspiri a essere tale.»
Rudolf Carnap, Hans Hahn,
Otto Neurath,
La concezione scientifica del mondo,
Vienna 1929
Nel 1620 Francesco Bacone, scienziato e filosofo
fra i fondatori della scienza moderna, paragona il
metodo per fare buona scienza al sistema di produzione del vino: bisogna raccogliere il maggior
numero possibile di osservazioni come fossero
«moltissime uve, fatte maturare al punto giusto»,
e pressarle poi nel torchio, per ottenere il «succo»
delle leggi scientifiche. Questo è il cosiddetto metodo induttivo, che consiste nel passaggio da un
insieme di giudizi empirici particolari a un giudizio universale, che permetta di formulare predizioni sui fenomeni non ancora osservati.
La filosofia della scienza, o epistemologia, si occupa di indagare i fondamenti del metodo scientifico. Che cosa è scienza e cosa non lo è? Come fa
lo scienziato a ricavare delle leggi universali? Qui,
e nel corso di alcune pagine all’interno di questo
volume, cercheremo di dare risposte a queste domande e ci renderemo conto che tali risposte non
sono affatto univoche.
N. prova
l (m )
T (s )
1
1,500 ± 0,001
2,4 ± 0,1
2
1,300 ± 0,001
2,2 ± 0,1
3
1,100 ± 0,001
2,1 ± 0,1
4
0,900 ± 0,001
1,9 ± 0,1
5
0,700 ± 0,001
1,6 ± 0,1
6
0,500 ± 0,001
1,4 ± 0,2
7
0,300 ± 0,001
1,1 ± 0,2
E dal grafico corrispondente abbiamo rilevato una relazione di proporzionalità diretta tra la lunghezza l del
pendolo e il quadrato del periodo T, ossia: T 2 k l.
A partire da un insieme di osservazioni, abbiamo così ottenuto tramite induzione una legge, che
vale per tutti i pendoli che compiano piccole oscillazioni. Questa legge è un giudizio universale, che
permette di predire quale sarà, a parità di condizioni, il comportamento di un altro pendolo.
RUSSELL: SCIENZA E CREDENZA
RACCOLTE DI FATTI
Prendiamo, innanzitutto, la legge di oscillazione
del pendolo: nel primo volume abbiamo derivato
questa legge facendo variare la lunghezza l del pendolo e misurando ogni volta con un cronometro
il periodo T corrispondente. Abbiamo ottenuto la
seguente tabella:
Tuttavia, chi ci assicura che il pendolo, che finora
si è comportato in modo conforme alla nostra legge, non si comporterà in maniera diversa domani?
Il matematico e filosofo di Cambridge, Bertrand
Russell (1872-1970), sostiene che lo scienziato, per
formulare giudizi universali e, in generale, per fare
scienza, deve credere nell’uniformità della natura.
753
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Per illustrare questo principio, Russell si serve del
celebre esempio di quel tacchino, al quale ogni mattina viene portato da mangiare alle nove. Da bravo induttivista, il tacchino decide, prima di trarre
conclusioni affrettate, di valutare ogni variabile di
temperatura, di giorno della settimana e di abito del
padrone. Raccolto un numero sufficiente di casi, il
tacchino ne inferisce il seguente giudizio universale:
«Tutti i giorni mi danno da mangiare alle nove.»
Tuttavia, la vigilia di Natale, il tacchino constata a
proprie spese il venire meno di questa regolarità: alle nove infatti il padrone arriva per tirargli il collo.
Il racconto di Russell mette in evidenza, in primo
luogo, come ogni giudizio scientifico universale si
fondi necessariamente su una credenza e, in secondo luogo, come la probabilità delle nostre predizioni,
per quanto cautamente siano state ottenute, si possa
avvicinare alla certezza, senza però giungervi mai.
I NEOPOSITIVISTI: CONTRO LA METAFISICA
I Neopositivisti rigettano la posizione di Russell, che
ammette una contaminazione inaccettabile tra la
scienza e una forma di metafisica, la credenza. Dopo
i positivisti del XIX secolo, essi sono infatti i nuovi
sostenitori dell’empirismo e del metodo induttivo. I
membri del Circolo di Vienna, o Neopositivisti, sono
scienziati e pensatori provenienti da diversi campi del
sapere, che dal 1922 si raccolgono intorno alla figura di Moritz Schlick e attorno all’obiettivo comune
di promuovere una concezione scientifica del mondo.
Essi vedono nella scienza empirica un tipo di sapere
chiaro e largamente condivisibile, mentre considerano la metafisica come la matrice di tutti gli pseudoproblemi tipici della «cattiva» filosofia. La risposta del
Circolo di Vienna al problema dell’induzione è perciò
radicalmente diversa da quella di Russell. Per i Neopositivisti, ciò che giustifica il passaggio dalle osservazioni alla legge scientifica non è una credenza, ma la
semplice abitudine, che segue dalla ripetizione regolare di fatti, come, ad esempio, la relazione costante
che si misura tra il periodo e la lunghezza del pendolo.
LA SCIENZA È CIÒ CHE È VERIFICABILE
Perché i fatti? Perché i fatti sono considerati le
componenti elementari e incontrovertibili del sapere. Ad esempio, se vogliamo convincere un nostro interlocutore a darci ragione, gli diciamo:
«Guarda qui, se non ci credi!»
che equivale a dire:
«Osserva questo fatto: è evidente e incontrovertibile!»
I Neopositivisti intendono fondare un sapere sul
quale tutti possano trovarsi d’accordo. Esso deve
constare esclusivamente di fatti, oppure, dove ciò
non fosse possibile, come nel caso dell’aritmetica,
di verità logiche del tipo:
AA
La centralità dei fatti è tale da costituire il criterio in
base al quale distinguere i giudizi scientifici da quelli
pseudoscientifici. Scienza, per i Neopositivisti, è ciò
che è verificabile mediante il confronto con i fatti.
Muniti di tale criterio di demarcazione, i Neopositivisti procedono a un’analisi logica del linguaggio,
volta a purificare il sapere scientifico da ogni residuo metafisico. Il confronto di ogni giudizio con un
dato di fatto è il fattore che determina la verità o la
falsità del giudizio stesso (vedi la tabella sotto).
Un giudizio che non esprima alcun contenuto
fattuale (per esempio «Il nulla nulleggia») è privo
di significato e, pertanto, non è né vero né falso:
esso non appartiene al dominio della scienza, ma a
quello della metafisica. La legge di oscillazione del
pendolo, invece, è scientifica perché è stata ripetutamente verificata mediante il confronto coi fatti.
SCIENZA VERA O PROBABILE?
Secondo i Neopositivisti, dunque, la scienza consta
esclusivamente di giudizi empirici, oppure di giudizi sempre veri come le tautologie (per esempio A =
A). Tuttavia, una scienza di questo genere è esposta
a un grave rischio: quello di incontrare un’eccezione.
Come abbiamo visto nel caso del tacchino induttivista di Russell, da una raccolta di tantissimi fatti non si
può ottenere, senza un pizzico di metafisica, un giudizio universale.
La scienza empirica dei Neopositivisti, pertanto,
è una scienza altamente probabile, ma mai assolutamente certa. Questa caratteristica non costituisce un
difetto per i Neopositivisti: la relazione coi fatti rappresenta infatti l’unica condizione affinché si possa
raggiungere l’obiettivo di una scienza rigorosa e intersoggettiva, benché solamente probabile.
ALTRE TEORIE EPISTEMOLOGICHE
• Popper (pagina 966) sostiene che i fatti puri
non esistano e che il criterio di demarcazione
tra scienza e pseudoscienza sia la falsificabilità
delle teorie.
• Kuhn (pagina 1066) ritiene che gli scienziati, dopo
una rivoluzione scientifica, vedano cose nuove anche osservando nella stessa direzione e con gli stessi
strumenti di prima.
• Il punto di vista dell’autore a pagina 1173.
754
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
5
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
LA CARICA ELETTRICA
I corpi si possono elettrizzare, assumendo una carica elettrica totale di segno positivo o negativo: cariche di segno
uguale si respingono, cariche di segno diverso si attraggono.
Elettrizzazione
Gli elettroni possono passare da un corpo all’altro. Un corpo elettrizzato negativamente ha un eccesso di elettroni; un corpo
elettrizzato positivamente ha una mancanza di elettroni.
Isolanti e conduttori
• Negli isolanti (plastica, ceramica) le cariche non possono spostarsi.
• Nei conduttori (ferro, corpo umano) vi sono cariche elettriche libere di muoversi.
Elettrizzazione per stroﬁnio
Strofinando il vetro con la
lana lo si può elettrizzare, cioè gli elettroni passano dal vetro alla lana.
Induzione
• Riguarda i conduttori.
panno
di lana
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
vetro
• È la ridistribuzione
di carica, in un
conduttore neutro
(sfera metallica),
causata dalla vicinanza di un corpo
carico (plastica).
astic
ca
a
F +
- - -- - -
+
-
sfera di metallo
scarica
• Permette di caricare un conduttore neutro.
Polarizzazione
Elettrizzazione per contatto
• Riguarda i conduttori.
Parte della carica presente
su un conduttore elettrizzato passa a un secondo
conduttore che viene a
contatto con esso.
• è la ridistribuzione di
carica, in un conduttore neutro (sfera metallica), causata dalla
vicinanza di un corpo
carico (plastica)
A
B
C
B
A
B
C
A
C
- - -- - - -- + +
- - -- - - + + +
+ +- + +
- - -- +
+ +
+ -+ - - + + - - +
- - + + -+ - -+ + -+ - +
- a
+
- - + + -+ - +
- carta
• Permette di caricare
un conduttore neutro.
Carica elementare
Carica elettrica
• È l’opposto della carica dell’elettrone.
• Un oggetto è carico se, messo a contatto con un
elettroscopio, fa divaricare le sue foglie.
• Vale e 1,6021 1019 C.
• Tutte le particelle
elementari conosciute hanno una
carica che è un
multiplo (positivo
o negativo) di e.
atomo di elio
protoni
elettroni
• Per misurare la
carica elettrica si
sceglie una carica
come unità di misura, poi si tara
l’elettroscopio con
una scala che misuri le divaricazioni delle foglioline.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
manico
isolante
• La carica elettrica
si misura in Coulomb (C).
755
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
+
+
+
+
CAPITOLO
CAPITOLO
5
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
LA LEGGE DI COULOMB
La forza elettrica di Coulomb, come la forza gravitazionale, è una forza a distanza, e in condizioni ordinarie è molto
più intensa di quella gravitazionale. Agisce solo tra corpi carichi, mentre la gravitazione agisce sempre.
Forza di Coulomb nel vuoto
F = k0
Q1Q2
r2
• Il valore della forza elettrica tra due cariche puntiformi
è direttamente proporzionale a ciascuna carica e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
• Se Q1 e Q2 hanno lo stesso segno, F risulta positiva (forza repulsiva); invece, se Q1 e Q2 hanno segni diversi, F
risulta negativa (forza attrattiva).
• k0 è una costante naturale di proporzionalità determinata sperimentalmente che nel vuoto vale
N : m2
k0 8,99 109
C
Principio di sovrapposizione
La forza totale che
agisce su una carica
elettrica è uguale alla
somma vettoriale delle singole forze che
agirebbero su di essa
se ciascuna delle altre cariche fosse presente da sola.
r
Q+2
Q-1
F
F
2r
Q-1
Q+2
F
4
F
4
3r
Q-1
Q+2
F
9
F
9
Costante dielettrica assoluta del vuoto f0
forza risultante
agente su Q
forza
esercitata
da Q 2
F
F2
forza esercitata
da Q 1
Q
1
.
4 f0
C2
.
N : m2
• La formula della forza di Coulomb diviene:
1 Q1Q2
F
4 f0 r 2
• Vale f0 8,854 1012
F1
carica
minore
• È definita ponendo k0 carica
maggiore
Q1
Q2
Costante dielettrica relativa del
mezzo fr
F
fr Fm
costante dielettrica relativa del mezzo =
forza di Coulomb nel vuoto
=
forza di Columb nella materia
• È il rapporto tra la forza elettrica F tra due cariche nel vuoto
e la forza Fm tra le stesse due
cariche in un mezzo materiale.
• È un numero puro.
• Nei mezzi materiali, a causa
della loro polarizzazione, è
sempre maggiore di 1.
Forza di Coulomb nella materia
1 Q1Q2
4 f r2
• In un mezzo materiale isolante
(per esempio nell’acqua o dentro il vetro), a parità di cariche
e di distanza, la forza di Coulomb Fm ha un valore minore di
quello della forza F che agisce
nel vuoto, a causa della polarizzazione dell’isolante.
Fm • f è la costante dielettrica assoluta del mezzo considerato e
misura di quanto l’intensità
della forza elettrica è ridotta,
rispetto al vuoto, dalla presenza del mezzo.
Costante dielettrica assoluta del
mezzo fr
f f0fr
cost. dielett. assoluta mezzo =
= cost. dielett. assoluta vuoto #
# cost. dielett. relativa mezzo
• È il prodotto della costante
dielettrica assoluta del vuoto
f0 per la costante dielettrica
relativa fr del mezzo considerato.
• Ha le stesse unità di misura
di f0.
756
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
2
Attacca sul piano del tavolo due strisce di nastro
adesivo lunghe circa 10 cm e poi staccale velocemente, l’una dopo l’altra. Ora prova ad avvicinarle. Cosa noti e come spieghi questo fenomeno?
6
Hai a disposizione un elettroscopio a foglie e due
corpi carichi. Come puoi sapere se i due corpi sono carichi dello stesso segno o di segno opposto?
7
Su una rivista leggi la seguente notizia: « Il professor Rossi e la sua équipe hanno scoperto che
alcune cellule irradiate con raggi X si caricano
positivamente con una carica q 0,8 1019 C ».
Se è vero che ogni carica elettrica è dotata di massa, è vero anche che ogni oggetto dotato di massa
possiede una carica elettrica?
䉴 Perché sei sicuro che la notizia contiene un er3
4
5
In un giorno con poca umidità strofina avanti e
indietro una decina di volte un palloncino gonfio
con un golf e poi avvicinalo ai tuoi capelli. I capelli sono attratti dal palloncino? E il palloncino è
un conduttore o un isolante?
Spesso, quando d’inverno scendi dall’auto, prendi la scossa chiudendo la portiera. Per evitare
questo fenomeno alcuni automobilisti, un tempo, fissavano alla carrozzeria catene o strisce metalliche che dall’auto arrivavano a terra. Spiega a
cosa servivano e come funzionavano.
Due cubi metallici identici sono carichi negativamente, e il secondo ha una carica doppia del primo.
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Due corpi che possiedono la stessa carica elettrica
si trovano a una certa distanza d.
䉴 Che
cosa succede se nel punto di mezzo tra di
essi poniamo prima un elettrone e poi un protone?
10
–
Un elettrone e un protone sono fermi a una distanza d quando all’improvviso vengono lasciati
liberi di muoversi e, per effetto della forza di
Coulomb, si avvicinano fino a urtarsi.
䉴 L’urto avviene a metà strada fra l’elettrone e il
protone? Perché?
11
Il coefficiente c di proporzionalità tra il momento elastico della bilancia e l’angolo di torsione del
filo dipende anche dalle caratteristiche della bilancia?
12
Nel S.I. quale unità di misura si può usare per la
costante dielettrica relativa?
13
La forza tra due cariche elettriche poste nel vuoto
è uguale alla forza che si esercita tra le stesse cariche poste alla stessa distanza nello zucchero?
14
Strofina una bacchetta di plastica (per esempio,
una penna) con un panno e avvicinala al filo
dell’acqua che scende dal rubinetto. Se non c’è
troppa umidità nell’aria, l’acqua si polarizza.
–
–
䉴 Come si distribuisce la carica sui tre cubi?
䉴 Dopo il contatto i tre cubi tendono a spostarsi?
Perché?
9
–
–
–
Perché quando si parla delle forze che agiscono
tra due particelle cariche, che sono dotate di massa, si parla solo della forza elettrica e non della
forza gravitazionale?
–
Un terzo cubo, identico ai precedenti ma neutro,
è inserito fra i due cubi carichi a contatto con entrambi.
–
8
–
–
–
rore di stampa?
757
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
Suola delle scarpe
Braccialetto d’argento
Le tue dita
Ringhiera del balcone
Tavolo di legno
䉴 Descrivi
il comportamento dell’acqua in questo semplice esperimento.
15
Un isolante si può caricare per induzione?
16
Spiega, anche aiutandoti con un disegno, perché
un palloncino di gomma strofinato su un maglione può rimanere attaccato a una parete verticale.
3
LA DEFINIZIONE OPERATIVA
DELLA CARICA ELETTRICA
3
Un nucleo di plutonio-239 contiene 94 protoni e
145 neutroni. Un protone ha una carica positiva
uguale alla carica elementare e.
䉴 Calcola la quantità di carica che contiene.
[1,506 1017 C]
4
PROBLEMI
A lightning flash carries a charge of approximately 20 C.
䉴 How many electrons is the lightning flash com-
posed of?
1
L’ELETTRIZZAZIONE PER STROFINÌO
1
Stabilisci quali di questi oggetti si possono caricare per strofinìo.
Oggetto
Si
[1.2 1020]
5
Nel filamento di una lampadina scorrono circa
3 1018 elettroni al secondo.
Quanta carica in coulomb attraversa la lampadina in un’ora di funzionamento?
No
[2 103 C]
Cucchiaio di metallo
Bacchetta di vetro
6
Bacchetta di ambra
Determina quanti elettroni occorrono per avere
una carica di 1 C.
Aria secca
[6,01018]
Auto
7
2
2
I CONDUTTORI E GLI ISOLANTI
䉴 Quanto vale la carica acquistata
Stabilisci quali dei seguenti oggetti sono fatti di
materiale isolante e quali di materiale conduttore.
Oggetto
Isolante
Penna biro
Interno del cavo
del computer
Esterno del cavo
del computer
Una bacchetta di vetro viene strofinata con un
panno di lana. Sulla sua superficie si deposita una
carica Q 7,2106 C.
dalla lana?
䉴 Quanti elettroni sono stati spostati?
[7,2106 C; 4,51013]
Conduttore
4
LA LEGGE DI COULOMB
8
Considera due cariche identiche Q 1,0 C. Immagina che la loro distanza assuma i valori 1,0
cm, 2,0 cm, 4,0 cm, 6,0 cm, 8,0 cm, 10,0 cm.
758
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
䉴 Traccia i vettori forza che agiscono sulla carica
centrale Q2.
䉴 Disegna l’andamento della forza F con cui si
respingono nel vuoto in funzione della loro distanza d.
9
䉴 Determina direzione, verso e intensità della
forza risultante su Q2.
Due cariche Q1 2,0 106 C e Q2 1,5 105 C
sono poste nel vuoto alla distanza di 3,0 cm.
䉴 Calcola l’intensità della forza con cui si attraggono.
䉴 Ora sposti le cariche a una distanza doppia.
Quanto vale allora l’intensità della forza? Che relazione di proporzionalità esiste fra la forza e la
distanza?
[13,5 N]
13
[0 N]
14
[3,0 10 N]
2
10
Risolvi nuovamente l’esercizio precedente cambiando di segno alla carica Q3.
Due cariche identiche q 3,0 106 C si respingono con una forza di 10,0 N.
In un atomo di idrogeno, nello stato fondamentale, la distanza fra l’unico elettrone e il protone
del nucleo vale 0,53 1010 m.
䉴 Calcola la forza elettrica che si esercita fra elettrone e protone.
䉴 A quale distanza si trovano?
[8,2 108 N]
[9,0 cm]
15
11
Una sfera di carica 6,3 103 C viene attratta
con una forza di 1500 N da un’altra carica posta a
7,0 cm di distanza.
䉴 Quanto vale la seconda carica?
Tre cariche puntiformi Q1 4,0 106 C,
Q2 5,0 106 C e Q3 3,0 106 C sono disposte sui vertici di un triangolo rettangolo di cateti a 3,0 cm e b 4,0 cm. La carica Q2 è posta
in corrispondenza del vertice dell’angolo retto.
[1,3 107 C]
Q1
12
Considera tre cariche allineate:
Q1 2,50 106 C,
Q2 3,00 106 C,
a
Q3 2,50 10 C.
6
La distanza fra Q1 e Q2 è uguale alla distanza fra Q2
e Q3 e vale 10,0 cm.
Q2
Q1
Q3
b
Q2
Q3
䉴 Traccia i vettori forza che agiscono sulla carica Q2.
䉴 Determina direzione, verso e intensità della
forza risultante su Q2.
r
16
r
[2,2 102 N]
PROBLEMA SVOLTO
Due palline uguali portano cariche uguali pari a 7,4 C
e sono poste alla distanza di 50 cm. La forza di attrazione gravitazionale potrebbe, in linea di principio, equilibrare la forza
elettrica di repulsione tra le palline.
m
Fel
Q
m
Fgrav
䉴 Quale dovrebbe essere la massa di ciascuna delle due palline per
ottenere l’equilibrio tra forza elettrica e forza gravitazionale?
Fgrav
r
Q = 7,4 μC
r = 50 cm
m=?
759
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Fel
Q
ESERCIZI
Grandezze
Simboli
Valori
Q
7,4 C
Distanza tra le cariche
r
50 cm
Massa delle sfere
m
?
Carica elettrica
Dati
Incognite
Commenti
Uguale per le due sfere
Per equilibrare la forza elettrica repulsiva
Strategia e soluzione
• L’uguaglianza tra il modulo della forza di Newton e quella della forza di Coulomb è espressa
dall’equazione
k
Q2
m2
G 2 = k0 2 & m2 = 0 Q2 .
G
r
r
• Dall’ultima formula possiamo ricavare
m=
=
k0
Q=
G
c 8,99 # 10
1,35 # 10 20
9
kg 2
1
N : m2
#
f
p # ^7,4 # 10 -6 Ch =
m
6,67 # 10 -11 N : m 2
C2
kg 2
kg
# ^7,4 # 10 -6 Ch = c 1,16 # 10 10
m # ^7,4 # 10 -6 Ch = 8,6 # 10 4 kg.
2
C
C
Discussione
In linea di principio, la forza elettrica repulsiva tra le due cariche potrebbe essere equilibrata se ciascuna di esse avesse una massa di circa 86 000 kg. È evidente che ciò non è realizzabile in pratica.
Il risultato di questo calcolo ci mostra come, nelle situazioni quotidiane, la forza di Newton è molto meno intensa di quella di Coulomb.
La forza gravitazionale è molto intensa su scala astronomica perché, in quel caso, le masse degli
oggetti coinvolti sono enormi.
Nota che il risultato ottenuto non dipende dalla distanza tra le due sfere, fornita tra i dati del problema: entrambe le forze dipendono dall’inverso del quadrato della distanza e, quindi, nei calcoli
questo dato si elimina.
17
Due palline uguali portano cariche uguali pari a
2,45 107 C e sono poste alla distanza di
15,0 cm. La loro forza di repulsione elettrica, in
linea di principio, potrebbe equilibrare la loro attrazione gravitazionale.
䉴 Quanto
dovrebbe valere in questo caso la loro
massa?
manubrio lungo 6,0 cm. Nell’esperimento si usano due cariche di 9,7 108 C poste alla distanza
di 2,5 cm e il manubrio è posizionato in modo da
essere perpendicolare alla forza elettrica.
䉴 Calcola il modulo del momento elastico rispet-
to al punto medio del manubrio nella condizione
di equilibrio.
[2,84 103 kg]
5
L’ESPERIMENTO DI COULOMB
18
Una ripetizione dell’esperimento di Coulomb è
effettuata con una bilancia a torsione che ha il
760
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[4,1 103 N m]
6
LA FORZA DI COULOMB NELLA MATERIA
PROBLEMA SVOLTO
19
Due cariche puntiformi positive Q1 9,20 107 C e
Q2 4,15 107 C sono immerse in acetone e distano
tra loro 6,47 cm. Esse si respingono con una forza di
0,039 N.
acetone
䉴 Calcola la costante dielettrica relativa dell’acetone.
r
Q1
F
Grandezze
Simboli
Prima carica
Dati
Seconda carica
Distanza tra le cariche
Incognite
Valori
Q2
F
Q 1= 9,20 ⫻10-7 C
Q2 = 4,15 ⫻10-7 C
r = 0,0647 m
F = 39 mN
εr = ?
Commenti
Q1
9,20 10
C
Q2
4,15 10
C
7
7
r
6,47 cm
Forza tra le cariche
Fm
0,039 N
Costante dielettrica relativa
dell’acetone
fr
?
In cui sono immerse le cariche
elettriche
Strategia e soluzione
Dalla formula (7) si ottiene
fr =
2
^9,20 # 10 -7 C h # ^4,15 # 10 -7 Ch
k0 Q1 Q2
1
9 N : m
=
#
#
#
= 21
8,99
10
f
p
Fm r 2
0,039 N
C2
0,0647 2 m 2
Discussione
Nel vuoto, la forza tra le stesse cariche poste alla stessa distanza sarebbe 21 volte più grande di
quella misurata nell’acetone. Quindi si avrebbe
F0 21 Fm 21 (0,039 N) 0,82 N.
20
Calcola la costante dielettrica relativa del polietilene.
䉴
[2,29]
21
䉴 Qual è il valore della forza con cui le due cariche si respingono?
Due cariche puntiformi Q1 3,65 108 C e
Q2 7,10 108 C sono immerse nel polietilene
e distano tra loro 2,35 cm. Esse si respingono con
una forza di 1,84 102 N.
[1,16 104 N]
22
Due cariche puntiformi uguali, poste nel silicio e
a una distanza di 3,25 cm, esercitano una sull’altra una forza di 1,14 102 N.
䉴 Calcola il valore delle due cariche.
[1,27107 C]
Le stesse cariche del problema precedente sono
poste nell’acqua a 5,00 cm tra loro.
761
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
䉴 Qual
è la posizione di equilibrio elettrostatico
di una terza carica elettrica?
PROBLEMI GENERALI
1
䉴 È importante conoscere il segno della terza ca-
Quattro cariche puntiformi (Q1 22,0 C, Q2 Q4 15,0 C, Q3 13,0 C) sono disposte in
senso orario sui vertici di un quadrato di lato 40 cm.
Q1
Q2
rica?
[0,73 m da A]
4
Una particella carica negativamente di massa
9,16 108 kg si trova alla distanza di 1,00 nm da
una particella identica che ha la stessa carica. Il
valore della loro forza di repulsione elettrostatica
nel vuoto è uguale a quello della loro forza di attrazione gravitazionale.
䉴 Determina la carica delle particelle.
Q4
Q3
䉴 Quanti elettroni ci vogliono per ottenere quel
valore della carica?
䉴 Determina direzione, verso e intensità della
forza elettrica risultante sulla carica Q1.
Determina direzione, verso e intensità della
forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone
(fr 21).
䉴
[7,89 1018 C; 49]
5
䉴 Al
centro del quadrato ora è posta una carica
Q 3,0 C. Determina direzione, verso e intensità del vettore forza elettrica risultante sulla
carica Q.
䉴 Quanto vale la costante elastica della molla?
[9,6 101 N; 4,6 102 N; 1,7 N]
2
Due sfere conduttrici identiche, inizialmente
scariche, di massa m 500,0 g vengono a contatto in momenti successivi con un’altra sfera, identica alle precedenti, dotata di carica Q 4,8 107 C. Dopo il contatto, si trovano a una distanza di 3,0 cm. Determina:
(Suggerimento: considera le forze elettrica ed elastica all’equilibrio.)
[1,4 102 N/m]
6
䉴 la carica sulle due sfere dopo il contatto;
La forza di repulsione elettrica fra due elettroni
nel vuoto ha un valore pari al peso del sistema
sulla superficie della Terra.
Determina a quale distanza si trovano l’uno
dall’altro.
䉴
䉴 la forza elettrica con cui le due sfere si respingo-
no dopo il contatto;
䉴 Effettua
di nuovo il calcolo nel caso in cui un
protone sostituisca un elettrone.
䉴 l’accelerazione con cui la prima si allontana
dalla seconda, supponendo che quest’ultima sia
vincolata in un punto.
[Q1 2,4 107 C, Q2 1,2 107 C;
2,9 101 N; 5,8 101 m/s2]
3
La lunghezza a riposo di una molla orizzontale di
materiale plastico è di 16,2 cm. I suoi estremi sono
elettrizzati con cariche di valore uguale ma di segno opposto. La carica positiva vale 3,1 106 C.
Per effetto dell’attrazione tra le cariche elettriche,
la molla si accorcia e la sua lunghezza diventa
9,8 cm.
Due cariche puntiformi positive A e B si trovano
alla distanza di 2,0 m. Le due cariche valgono
3,0 C e 9,0 C.
[3,59 m; 0,12 m]
7
Una sbarretta isolante di lunghezza 2a porta ai
suoi estremi due cariche puntiformi e uguali Q ed
è posta nel vuoto. Come è mostrato nella figura,
altre due cariche negative, di valore Q, sono posizionate in modo da formare due triangoli equilateri con un lato in comune.
762
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
䉴 Verifica che la forza totale agente su ciascuna
delle cariche negative è nulla.
uniforme con centro nel punto medio M di AB
nel piano perpendicolare ad AB e passante per M.
La frequenza del moto è 1,0 kHz.
-Q
q
I
60°
+Q
+Q
M
q
l = 2a
A
l
l
M
B
-Q
䉴 Calcola la forza totale che le due cariche positi8
ve esercitano su quella negativa e, in particolare,
mostra che questa forza punta sempre verso M.
A un sottile cilindro isolante, la cui altezza h è
molto maggiore del diametro di base d, viene avvicinata una carica positiva Q. Il cilindro è sospeso orizzontalmente e la carica è posta lungo l’asse
del cilindro a una distanza h/2 da una delle due
basi. Il cilindro è allora attratto dalla carica con
una forza F.
Determina la carica di polarizzazione Qp del
cilindro, ipotizzando che le cariche di polarizzazione siano localizzate solo sulle basi del cilindro.
䉴 Calcola il modulo della velocità della sferetta.
[29 N; 5,1 102 m/s]
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
䉴
(Suggerimento: la forza F con cui il cilindro polarizzato è attratto da Q è la forza risultante dell’interazione di ognuna delle due basi, dove consideriamo localizzata la carica, con la carica Q.)
>
9
1
Elenca e descrivi i tre modi per elettrizzare i corpi, anche dal punto di vista microscopico.
2
Spiega la differenza a livello microscopico tra
conduttori e isolanti.
3
Descrivi l’esperimento con cui Coulomb ha ricavato la sua legge.
4
Spiega il funzionamento dell’elettròforo di Volta.
2
9Fh
H
32k 0 Q
Due cariche di valore 4,0 105 C sono poste agli
estremi di una molla orizzontale di materiale plastico di costante elastica 540 N/m. La sua lunghezza dopo l’allungamento dovuto alla repulsione delle cariche risulta di 79,0 cm. L’apparato
è immerso in una bacinella contenente olio isolante di costante dielettrica 2,2.
Determina la lunghezza della molla a riposo
nell’olio.
䉴
(Suggerimento: risolvi prima il problema 5.)
[7,7 101 m]
10
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
Due cariche q 5,0 C sono poste, nel vuoto,
agli estremi di un segmento AB lungo 2l, con
l 6,0 cm. Come è mostrato nella figura, una
sferetta di massa m 9,0 mg e con una carica negativa q 4,0 C compie un moto circolare
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
Due sferette elettricamente cariche con carica di
segno opposto vengono collocate vicine l’una
all’altra, ciascuna sospesa ad un filo inizialmente
verticale. Indicare la descrizione più adeguata tra
le seguenti:
A
le sferette si attraggono.
B
le sferette si respingono.
C
le sferette non si muovono dalla posizione iniziale.
763
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
D
le sferette si mettono a ruotare.
forza su ognuna delle cariche q negative sia nulla.
E
le sferette oscillano indefinitamente.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze Biologiche, Università di Genova, 2007/2008)
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria, 2009/2010)
2
2
Tra due cariche q1 e q2 poste ad una certa distanza r
si esercita una forza F. Per ottenere una forza pari
a 4 F la distanza r tra le due cariche deve essere:
Rimane la stessa perché non varia la distanza.
dimezzata.
B
Raddoppia.
B
raddoppiata.
C
Dimezza.
C
divisa per 4.
D
Quadruplica.
D
restare invariata.
E
Dipende dal segno delle due cariche.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2003/2004)
3
La legge di Coulomb stabilisce che la forza di interazione tra due cariche elettriche puntiformi e
ferme nel vuoto è:
A
inversamente proporzionale al cubo della distanza tra le due cariche.
B
inversamente proporzionale alla distanza tra
le due cariche.
C
direttamente proporzionale alla distanza tra
le due cariche.
D
E
direttamente proporzionale al quadrato della
distanza tra le due cariche.
inversamente proporzionale al quadrato della
distanza tra le due cariche.
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
Due cariche negative uguali (q 106 C) sono
poste agli estremi di un segmento orizzontale di
lunghezza d 20 cm, ed una carica positiva Q è
posta nel punto di mezzo del segmento.
䉴 Descrivere le forze che agiscono su Q e calcolar-
Due particelle di carica positiva q e 4q sono separate da una distanza d. Determinare la posizione
x di un punto compreso tra le due cariche, misurato da q, presso il quale la forza netta su una terza carica sarebbe zero.
A
x 2d
B
xd 2
C
xd 3
D
xd 4
E
xd 5
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2003/2004)
STUDY ABROAD
(Prova di ammissione al Corso di laurea delle Professioni Sanitarie, 2008/2009)
1
A
A
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2008/2009)
3
Due cariche sono separate da una distanza l. Se il
valore di ogni singola carica raddoppia, di quanto varia la forza elettrostatica tra le cariche?
Q1
1
P
A known positive charge is located at point P as
shown above, between two unknown charges, Q1
and Q2. P is closer to Q2 than Q1. If the net electric
force acting on the charge at P is zero, it may correctly be concluded that:
ne la risultante.
A
both Q1 and Q2 are positive.
䉴 Calcolare
B
both Q1 and Q2 are negative.
il valore che deve avere Q perché la
Q2
764
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
2
C
Q1 and Q2 have opposite signs.
D
Q1 and Q2 have the same sign, but the magnitude of Q1 is greater than the magnitude of Q2.
E
Q1 and Q2 have the same sign, but the magnitude of Q2 is greater than the magnitude of Q1.
Two particles have charges q and 2q, respectively.
Which figure BEST describes the electric forces
acting on the two particles?
4
A
(Scholastic Aptitude Test (SAT), USA)
B
Two small conducting spheres are identical
except that sphere X has a charge of 10 microcoulombs and sphere Y has a charge of 6 microcoulombs. After the spheres are brought in
contact and then separated, what is the charge on
each sphere, in microcoulombs?
C
A
Sphere X
4
Sphere Y
0
B
Sphere X
2
Sphere Y
2
C
Sphere X
2
Sphere Y
2
D
Sphere X
+4
Sphere Y
0
E
Sphere X
Sphere Y
6
10
D
q
2q
q
2q
q
2q
q
2q
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
(Scholastic Aptitude Test (SAT), USA)
3
Two small charges of 2C (microcoulombs) and
6 C respectively are placed 4 cm apart as shown.
+2 μC
-6 μC
+
–
4 cm
Where should a third charge 8 C be placed so
that there is no net force on the 6 C charge?
A
4 cm left of the 6 C charge.
B
16 cm left of the 6 C charge.
C
16 cm right of the 6 C charge.
D
8 cm left of the 6 C charge.
E
8 cm right of the 6 C charge.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
765
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
26
IL CAMPO ELETTRICO
E IL POTENZIALE
Ahmed Mater/Flickr
1
IL VETTORE CAMPO ELETTRICO
La forza che si esercita tra due corpi carichi è una forza a distanza, come quella gravitazionale che si esercita tra due masse. In entrambi i casi, non è chiaro come sia
possibile che un corpo che si trova in un punto A possa avvertire un effetto elettrico
(o gravitazionale) dovuto a un secondo corpo situato in un punto B che può essere
molto lontano da A, magari separato da esso da spazio vuoto di materia.
Per risolvere questa difficoltà si interpretano i dati sperimentali introducendo il
concetto di campo. Il concetto di campo elettrico è costruito a partire da due idee:
• la presenza di una carica elettrica Q1 modifica le caratteristiche dello spazio
che la circonda; in particolare cambia le proprietà in un punto B in cui si
trova una seconda carica Q2;
• la carica Q2 avverte una forza elettrica, che è dovuta alle nuove proprietà
della zona di spazio in cui essa si trova.
Figura 1 Metafora del telo elastico
che illustra l’idea di campo elettrico.
Si dice che la carica Q1 genera un campo elettrico e che la zona di spazio in cui si possono avvertire forze elettriche è sede di un campo elettrico. La forza elettrica che agisce sulla carica Q2 ci permette di constatare che nel punto B esiste un campo elettrico, ma esso esisterebbe comunque, anche se non ci fosse una carica a rilevarlo.
Per chiarire il concetto si può utilizzare la metafora del telo elastico (figura 1): la
carica Q1 è rappresentata in questo modello da una prima sfera che, appoggiata sul
telo, ne cambia la forma. La carica Q2 è analoga alla seconda sfera, che si muove verso
la prima come se fosse attirata da essa ma che, in realtà, segue soltanto l’inclinazione
della zona di telo in cui si trova: l’interazione non avviene direttamente tra la prima
sfera e la seconda, ma è «comunicata» a distanza grazie alle proprietà dello spazio in
cui le due sfere sono immerse.
766
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
26
CAPITOLO
Definizione del vettore campo elettrico
Consideriamo il campo elettrico generato da un sistema di n cariche puntiformi (come quello della figura 2); vogliamo caratterizzare in modo quantitativo le proprietà
di tale campo in un punto P in cui non si trova alcuna carica.
Per prima cosa, mettiamo una carica di prova q nel punto P scelto.
P
ANIMAZIONE
Il vettore campo elettrico
(2 minuti)
forza (N)
Fv
q+
(1)
carica di prova positiva (C)
Il campo elettrico si misura in newton/coulomb (N/C). In sostanza, per determinare
il campo elettrico in un punto dello spazio, mettiamo la carica di prova positiva q+
in quel punto, poi
� osserviamo
la direzione e il verso
della forza
�e misuriamo con un dinamometro
il valore della forza.
-3
F = 6 ⫻10
N
q+ = 2 ⫻10-7 C
q+
Q1
A
+
cariche
che generano
il campo
-
–
Q2
Q1
+
q+
Q1
Figura 2 Sistema di cariche che
genera un campo elettrico, di cui
vogliamo studiare le caratteristiche nel
punto P.
La forza Fv che agisce sulla carica di prova dipende:
• dalle cariche che generano il campo (se queste cariche fossero diverse oppure posizionate diversamente, anche Fv cambierebbe);
• dal punto P (in un altro punto la forza sarebbe differente);
• dal valore della carica di prova (se la carica di prova fosse più grande, anche la
forza sarebbe maggiore).
Vogliamo definire una grandezza che descriva l’interazione elettrica in ogni punto
dello spazio, ma che non dipenda dalla particolare carica di prova che usiamo. Conviene quindi introdurre una grandezza unitaria, che si ottiene dividendo la forza Fv
per la carica di prova q.
Questa nuova grandezza si chiama vettore campo elettrico:
Ev =
Q4
F
Q3
Una carica di prova è una carica elettrica puntiforme, abbastanza piccola da
non modificare, a causa delle forze che essa esercita, il sistema fisico che si
intende studiare.
vettore campo
elettrico (N/C)
Q2
Q2
B
767
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
26
ELETTROMAGNETISMO
Per ottenere il valore del campo elettrico, dividiamo il modulo della forza per la
carica di prova:
E=
N
F
6 # 10 -3 N
=
= 3 # 10 4 .
C
q + 2 # 10 -7 C
La direzione e il verso del vettore campo elettrico sono gli stessi della forza che agisce
sulla carica di prova positiva.
Il calcolo della forza
Se conosciamo il campo elettrico, siamo in grado di calcolare la forza che agisce su
qualsiasi carica. Moltiplicando per q i due membri della definizione di Ev , isoliamo
l’incognita Fv e otteniamo:
forza (N)
vettore campo
elettrico (N/C)
Fv = qEv
(2)
carica elettrica (C)
Per esempio, su una carica q 2 109 C, che si trova in un punto dove c’è un campo elettrico di 4 103 N/C, agisce una forza che ha valore
F = qE = ^ 2 # 10 -9 C h # c 4 # 10 3
N
-6
m = 8 # 10 N .
C
�Se la carica q è positiva, il campo e-
�Se la carica q è negativa, il campo e-
lettrico e la forza hanno la stessa direzione e lo stesso verso.
lettrico e la forza hanno la stessa direzione e versi opposti.
E
E
F
F
+2 ⫻ 10-9 C
A
-2 ⫻
-9
C
B
Conoscere il vettore Ev in una zona dello spazio è un’informazione molto potente:
siamo in grado di calcolare la forza elettrica che agisce su qualsiasi carica in quella
zona.
Se poniamo q 1 C, notiamo che i vettori Fv ed Ev hanno lo stesso valore numerico. Quindi
l’intensità del vettore campo elettrico in un punto P è numericamente uguale
al valore della forza che agirebbe su una carica puntiforme di 1 C posta in P.
768
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
2
26
CAPITOLO
IL CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA
PUNTIFORME
Il campo elettrico più semplice è quello generato da una singola carica puntiforme
Q. Per la legge di Coulomb, il valore della forza elettrica tra questa carica Q e la carica
di prova q, quando si trovano nel vuoto a distanza r, è
F = k0
Qq +
.
r2
L’intensità E del campo elettrico è uguale al rapporto tra la forza e la carica di prova:
E=
F
=
q+
k0
Q q+
r2 = k Q .
0 2
r
q+
Quindi l’intensità del campo elettrico E di una carica puntiforme Q in un punto, nel
vuoto, a distanza r da essa è:
carica che genera
il campo (C)
campo elettrico in un
punto P (N/C)
E = k0
Q
r2
distanza tra il punto P
e la carica (m)
(3)
Quando le cariche sono immerse in un mezzo materiale isolante (per esempio
nell’acqua distillata), la forza di Coulomb è ridotta di un fattore fr, la costante dielet1
con f f0fr, e il valore
trica relativa del mezzo. In questo caso la costante k0 vale
4␲ f
del campo elettrico Evm nella materia è uguale al rapporto tra la forza
Fm =
Qq +
4 f r2
1
e la carica di prova q+:
Figura 3 Campo elettrico uscente da
una carica positiva.
Em =
1 Q
.
4 f r2
(4)
I valori di E e di Em non dipendono dalla carica di prova q (che non compare più
nelle formule finali), mentre dipendono dal valore della carica Q che genera il campo elettrico e dal materiale in cui essa si trova. Inoltre, essi sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza r tra la carica Q e il punto in cui si esamina il
campo elettrico.
• Se la carica che crea il campo è positiva, i vettori campo elettrico sono diretti verso
l’esterno (figura 3). Con Q 0, l’intensità data dalle formule (3) e (4) risulta positiva.
• Se la carica che crea il campo è negativa, i vettori campo elettrico sono diretti verso l’interno (figura 4). Con Q 0, l’intensità di E e di Em risulta negativa.
Figura 4 Campo elettrico entrante
in una carica negativa.
Campo elettrico di più cariche puntiformi
Nello spazio possono essere presenti diverse cariche puntiformi. Per esempio, immaginiamo che ci siano due cariche positive.
769
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
� La
sola carica puntiforme Q1 genera il campo elettrico Ev 1 nel punto P.
� Aggiungiamo la carica Q2 che, se
fosse da sola, creerebbe in P il campo Ev 2.
� Il campo elettrico in P è allora la
somma vettoriale dei campi Ev 1 ed
Ev 2.
E
E2
E2
E1
E1
E1
P
P
P
Q2
Q2
Q1
Q1
A
Q1
B
C
Come accade per le forze, che sono grandezze vettoriali,
ANIMAZIONE
Campo elettrico di più cariche
puntiformi
(1 minuto)
i diversi campi elettrici in uno stesso punto si sommano con la regola del
parallelogramma.
La presenza di una carica non influisce sui campi elettrici generati dalle altre: l’effetto totale di più cariche, le cui posizioni non cambiano, è semplicemente la somma
vettoriale di ciò che accadrebbe se ogni carica fosse presente da sola.
ESEMPIO
Nel vuoto, a distanza di 7,4 cm da una carica puntiforme Q, si misura un
campo elettrico di 9,2 104 N/C rivolto verso la carica Q.
f Calcola il valore di Q.
• Visto che il campo elettrico è rivolto verso di essa, la carica Q è negativa.
• Allora il modulo e il verso del campo elettrico si possono sintetizzare
scrivendo che la sua intensità è pari a E 9,2 104 N/C.
• A questo punto è possibile isolare Q nella formula (3) e si ottiene:
2
Q=
Er
=
k0
c - 9,2 # 10
= - 5,6 # 10 -8
N
2
m # (0,074 m )
C
=
N : m2
8,99 # 10 9
C2
N : m2 C2
=- 5,6 # 10 -8 C.
C N : m2
4
770
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
3
CAPITOLO
LE LINEE DEL CAMPO ELETTRICO
Mettendo dei pezzettini di filo da cucito in un bagno d’olio, possiamo visualizzare il
campo elettrico: i fili si dispongono a raggiera intorno a una carica positiva Q che
crea il campo elettrico.
+
-
+
-
+
+
-
+
+
- - - +
- + + + +- + - -- -+
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
+
--
+
+
ESPERIMENTO VIRTUALE
+
- - - + + + +
+
----
+
- - - -+
+ + + +
-- +
-
+
+
-
+
+
-
-
+
-
+
-
+
+
+
-
+
+
- -+ - - +
+
+
+
- --
--
+
+
-
+
+
-
-
+
pezzettino
di filo
A
-
+
-
+
-
+
-
schematizzare il campo
elettrico, tracciando alcune linee che
seguono la direzione dei fili.
+
+
+
� Possiamo
H. Waage, Princeton University 1996
�Questo accade perché la carica polarizza i fili, che si allineano nella direzione del campo elettrico.
B
Le forze in campo
• Gioca
• Misura
• Esercitati
Queste linee, dette linee di campo, non esistono nella realtà. Sono una nostra costruzione che serve per visualizzare il campo elettrico.
Costruzione delle linee di campo
Consideriamo il campo elettrico generato da un insieme di cariche fisse. Scegliamo un
punto P1 e disegniamo il vettore campo elettrico Ev1 generato in P1 da tutte le cariche in
esame. Poi ci spostiamo di un tratto s nella direzione e nel verso di Ev1 fino a un punto P2, in cui disegniamo ancora il campo elettrico Ev2 che, in generale, è diverso da Ev1 .
Ripetendo questa operazione più volte, come nella figura 5, otteniamo una linea
spezzata che congiunge i punti P1, P2, P3, …, Pn, che distano tutti s dal precedente.
Se si sceglie un valore di s sempre più piccolo, fino a farlo tendere a zero, la
spezzata diventa una linea orientata che modifica la propria direzione in modo
continuo e che è, in ogni punto, tangente al vettore campo elettrico in quel punto.
Essa è una linea del campo elettrico.
In ogni punto dello spazio, che non è occupato da cariche puntiformi, passa una
e una sola linea di campo; però, se si disegnassero le linee di campo in tutti i punti la
pagina sarebbe colorata in modo uniforme. Così si stabilisce di disegnarne solo alcune, scelte in modo da essere più dense dove il campo è più intenso e più rade dove il
campo è più debole.
In definitiva, le linee del campo elettrico hanno le seguenti proprietà:
•
•
•
•
in ogni punto sono tangenti al vettore campo elettrico (figura 6);
sono orientate nel verso del vettore campo elettrico;
escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative;
la loro densità è direttamente proporzionale all’intensità del campo elettrico.
E1
P2
P4
E3
E4
P5
P1
Figura 5 Costruzione geometrica di
una linea di campo elettrico.
P
E
linea del
campo elettrico
Figura 6 In un punto P il vettore Ev è
tangente alla linea di campo.
771
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
P3
E2
E5
CAPITOLO
26
ELETTROMAGNETISMO
Il campo di una carica puntiforme
Q+
E
Figura 7 Linee di campo uscenti da
una carica positiva.
E
Q–
Figura 8 Linee di campo entranti in
una carica negativa.
Guardando le linee di un campo elettrico, si colgono a
colpo d’occhio alcune importanti informazioni. Esaminiamo il campo creato nello spazio da una carica
positiva e quello di una carica negativa (figure 7 e 8).
In entrambi i casi le linee sono semirette che
hanno origine nella carica al centro.
• Le linee escono dalla carica positiva. Quindi il
campo è tangente alle semirette e punta verso l’esterno (infatti una carica di prova q è respinta da Q).
• Le linee entrano nella carica negativa. Quindi il
campo è tangente alle semirette e punta verso l’interno (infatti una carica di prova q è attratta da Q).
In tutti e due i casi le linee sono dense vicino alla
carica e si diradano man mano che si allontanano.
Questo significa che il campo è più intenso vicino
alla carica ed è più debole lontano, in accordo con
il fatto che il campo elettrico di una carica puntiforme diminuisce con l’inverso del quadrato della
distanza secondo la formula (4).
Il campo di due cariche puntiformi
Densità delle linee di
campo
La densità delle linee di campo
diminuisce con il quadrato r
della distanza dalla carica, come
l’intensità del campo, perché la
superficie di una sfera vale 4 r 2
e quindi cresce con r 2.
Esaminiamo i campi di due cariche uguali, nel primo caso di segni opposti e nel secondo caso tutte e due positive.
Osserviamo le linee del campo nella zona 1 compresa tra le due cariche.
� Nella
zona 1 i campi si rafforzano,
perché una carica di prova q è respinta verso destra dalla carica positiva e
attratta verso destra da quella negativa. Quindi nella zona 1 il campo è intenso e, in modo coerente, le linee di
campo sono fitte.
� Nella zona 1 i campi tendono ad
annullarsi, perché una carica di prova
q è respinta verso destra dalla prima
carica e respinta verso sinistra dalla seconda. Quindi nella zona 1 il campo è
molto debole e, in modo coerente, le
linee di campo sono rade.
2
2
1
3
1
3
IN LABORATORIO
Linee del campo elettrico
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
A
B
Nelle zone esterne 2 e 3 il campo assomiglia a quello della carica puntiforme più vicina. Per esempio, nella zona 2 il campo è simile a quello di una sola carica positiva,
perché l’altra carica, che è lontana, fa sentire poco la sua influenza.
772
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
4
26
CAPITOLO
IL FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE
ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE
Nel capitolo «I fluidi» si introduce la portata q di un fluido attraverso una superficie. La portata è definita come il rapporto tra il volume ᐂ di fluido che attraversa la
superficie in un tempo t e l’intervallo di tempo t stesso:
q=
Dᐂ
.
Dt
Simboli diversi
La portata è stata indicata
con q per non confonderla
con la carica elettrica q e il
volume è stato indicato con ᐂ
per distinguerlo dal potenziale
elettrico V che è definito più
avanti in questo capitolo.
Se il fluido si muove con velocità vv e la superficie ha area S:
�quando la superficie è perpendicolare a vv , la portata è data dalla formula
(8) del capitolo «I fluidi»
q Sv;
� quando la superficie è parallela a
vv, attraverso di essa non passa fluido e,
quindi, la portata è uguale a zero.
v
v
v
v
v
v
v
v
q ⫽Sv
S
q=0
v
v
v
v
v
S
A
B
Quanto vale la portata attraverso la superficie quando essa è inclinata in
modo qualunque rispetto alla velocità del fluido? Per rispondere alla
domanda conviene scomporre vv in
due componenti: vv= , perpendicolare
alla superficie, e vv// , ottenuto proiettando vv sulla superficie (figura 9). Se
indichiamo con l’angolo formato
dai vettori vv e vv= , secondo la trigonometria
v//
v
α
v
Figura 9 Il vettore velocità v
v è
v ev
v.
scomposto nei vettori v
S
v = v cos .
=
(5)
La portata q attraverso S è la somma della portata calcolata con vv= e di quella dovuta a vv// :
q = q ^ vv= h + q ^ vv// h .
(6)
con:
• q ^ vv= h = Sv = , come è mostrato nella figura A precedente;
• q ^ vv// h = 0 , come è illustrato nella figura B precedente.
Così, ricordando anche la (5), la formula (6) diventa:
q = q ^ vv= h + q ^ vv// h = Sv = + 0 = Sv cos .
(7)
773
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
//
26
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
ESEMPIO
Una cornice rettangolare di area S 0,63 m2 è immersa in una conduttura
d’acqua in modo che l’angolo tra la velocità vettoriale dell’acqua e il vettore vv=
sia 45°. La portata dell’acqua attraverso la superficie è q 2,4 m3/s.
f Determina il modulo v della velocità con cui l’acqua scorre nella
conduttura.
Se si isola v nella formula (7) si può calcolare:
v=
m3
3 ,8 m 3 1
m
s
=
=
= 5 ,4 .
:
2
2
s
s
(0,63 m ) # cos 45c
m
2 2
2 ,4
qr
S cos
Il vettore superficie
S
Per caratterizzare una superficie piana immersa nello spazio è comodo definire il
vettore superficie Sv ; esso ha
• direzione perpendicolare alla superficie (figura 10);
• modulo pari all’area S della superficie stessa.
Figura 10 Il vettore superficie è
perpendicolare alla superficie a cui si
riferisce.
S3
S2
S4
S1
Figura 11 Il verso del vettore
superficie è uscente da una superficie
chiusa.
Per una superficie generica il verso è arbitrario. Ma se
la superficie che si considera è parte di una superficie
chiusa si adotta una convenzione particolare: si sceglie come verso di tale vettore quello uscente dalla superficie chiusa, come è mostrato nella figura 11 nel caso di un parallelepipedo.
Avendo introdotto il vettore superficie, la formula
(7) può essere riscritta come il prodotto scalare tra il
vettore velocità vv e il vettore superficie Sv :
q = vv : Sv;
S5
(8)
nota che l’angolo che compare nella (6) è proprio quello formato dai due vettori vv
ed Sv (figura 12).
Il prodotto scalare vv Sv si chiama flusso del vettore velocità vv attraverso la
superficie orientata Sv e si indica con il
simbolo
v
α
Figura 12 Angolo
S e vv .
vettori v
formato dai
S
S
USv ^ vvh = vv : Sv
(9)
(il simbolo si legge «fi» ed è la lettera
greca maiuscola che corrisponde alla
«F» dell’alfabeto latino).
774
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
5
26
CAPITOLO
IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
E IL TEOREMA DI GAUSS
La definizione (8) contiene il vettore velocità vv , ma può essere scritta per un campo
vettoriale qualunque, per esempio il campo elettrico. In questo caso
data una superficie piana descritta dal vettore Sv e un campo elettrico Ev
costante sulla superficie orientata Sv , il flusso del vettore campo elettrico (o
flusso del campo elettrico) attraverso Sv è definito dalla relazione
flusso del campo
elettrico (Nm2/C)
vettore campo
elettrico (N/C)
USv ^ Ev h = Ev : Sv
(10)
vettore superficie (m )
2
Se si vuole calcolare il flusso ( Ev ) del campo elettrico attraverso una superficie (figura 13) che non è piana, o su cui il campo elettrico non è costante, bisogna suddividere in n parti DSvi (i 1, …, n) così piccole da soddisfare le condizioni della definizione (superficie piana e campo elettrico costante su di essa).
Dopo di che occorre
• calcolare per ogni piccola superficie piana DSvi il flusso i( Ev ) Evi DSvi (dove
Evi è il valore del campo elettrico su DSvi );
• determinare il flusso complessivo ( Ev ) come la somma di tutti i contributi
i( Ev ):
^ Ev h = 1 ^ Ev h + 2 ^ Ev h + ... + n ^ Ev h =
= Ev1 : Sv1 + Ev2 : Sv2 + ... + Evn : Svn
(11)
Utilizzando il simbolo di sommatoria (che è stato introdotto nel capitolo «Entropia
e disordine» della Termodinamica), la formula precedente si scrive come
UX ^ Ev h = / DUi ^ Ev h = / Evi : DSvi .
n
n
i=1
i=1
(12)
ESEMPIO
ΔS2
ΔS1
Ei
ΔSi
⍀
Figura 13 Superficie non piana
divisa in n parti Dv
Si .
Uso del simbolo Il simbolo DS i (invece di S i )
ricorda che ogni superficie
piana in cui è stata suddivisa
è infinitamente piccola. Allo
stesso modo, il simbolo i(E )
ricorda che il flusso attraverso
la superficie infinitesima DS i è
infinitamente piccolo.
Una superficie piana di area S 14,8 cm2 è immersa in un campo elettrico
uniforme di modulo E 319 kN/C. L’angolo tra i vettori Sv ed Ev vale 53,0°.
f Calcola il flusso di campo elettrico USv ^ Ev h attraverso tale superficie.
Utilizzando la definizione (10) si può calcolare:
Sv (Ev) = Ev : Sv = ES cos =
N
= c 3,19 # 10 5 m # ^ 1,48 # 10 -3 m 2 h # cos ^ 53,0c h =
C
2
N : m2
2 N :m
.
= c 4,72 # 10
m # 0,602 = 2,84 # 10 2
C
C
775
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
Il teorema di Gauss per il campo elettrico
Lo scienziato tedesco Karl Friedrich Gauss (1777-1855), che fu matematico, fisico e
astronomo, dimostrò un importante teorema relativo al flusso del campo elettrico.
Il teorema di Gauss per il campo elettrico stabilisce che il flusso del campo
elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla
carica totale contenuta all’interno della superficie:
flusso del campo
elettrico (Nm2/C)
+q
carica totale all'interno
della superficie (C)
Q
UX (Ev) = ftot
+3q
costante dielettrica
del mezzo (C2/(Nm2))
superficie chiusa
+q
+q
Figura 14 Il flusso di campo
elettrico attraverso le due superfici
gaussiane è lo stesso.
(13)
Il valore del flusso non dipende dalla forma della superficie , purché sia chiusa, né
da come è posizionata e suddivisa la carica Qtot, purché sia all’interno della superficie. Le due superfici della figura 14 hanno forme diverse ma contengono la stessa
carica Qtot 3q. Per il teorema di Gauss, il flusso del campo elettrico attraverso le
due superfici ha lo stesso valore, dato da 3q/f.
Dimostrazione del teorema di Gauss
Dimostriamo ora il teorema di Gauss (formula (13)) nel caso particolare in cui:
• il campo elettrico è generato da una singola carica puntiforme positiva Q;
• la superficie attraverso cui si calcola il flusso del campo elettrico è una sfera di
raggio r con il centro nel punto occupato da Q (figura 15A).
Secondo le formule (11) e (12), per calcolare il flusso UX (Ev) del campo elettrico
attraverso la sfera, dobbiamo suddividerla in n parti così piccole da poterle considerare piane. In questo modo, come si vede dalla figura 15B,
• tutti i vettori superficie DSvi , perpendicolari alle singole superfici, hanno la direzione del raggio della sfera in quel punto e sono rivolti verso l’esterno;
• in ogni punto anche il vettore Evi ha direzione radiale e verso uscente dalla carica.
E3
ΔS3
r
E2
+Q
Figura 15 Dimostrazione del teorema
di Gauss. In ogni zona della superficie
sferica (A) il vettore superficie DSvi
è parallelo al corrispondente vettore
campo elettrico (B).
ΔS2
+Q
Ω
A
Ei
B
ΔS1
E1
ΔSi
Quindi il vettore Evi è, in ogni zona della sfera, parallelo al corrispondente vettore
DSvi , per cui il prodotto scalare dei due vettori è uguale al prodotto dei rispettivi moduli. È quindi possibile calcolare il flusso i( Ev ) attraverso la generica superficie
DSvi :
776
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
i ^ Ev h = Evi : Svi = E i S i .
26
CAPITOLO
(14)
Inoltre, visto che i punti della sfera hanno la stessa distanza dalla carica posta al suo
centro, i vettori Evi hanno tutti lo stesso modulo
Ei = E =
1 Q
,
4 f r2
(15)
dove è la costante dielettrica 0r del mezzo materiale in cui si trova la carica Q. Per
calcolare il flusso UX (Ev) attraverso la superficie sferica, possiamo introdurre le relazioni (14) nella (11) e scrivere
(Ev) = Ev1 : Sv1 + Ev2 : Sv2 + ... + Evn : Svn =
= E 1 S 1 + E 2 S 2 + ... + E n S n =
= E ^ S 1 + S 2 + ... + S nh = ES (16)
S 4 r2
(17)
dove
è l’area della sfera di raggio r, ottenuta nella (16) come somma delle aree di tutte le
piccole parti in cui la sfera era stata suddivisa.
Ora possiamo sostituire nella (16) le espressioni (15) e (17), in modo da trovare:
1 Q Y 2 Q
,
UX (Ev) = ES X = Y
: 4[ r =
f
4 [f r2
che è proprio il teorema di Gauss (13), dimostrato nel caso particolare che abbiamo
esaminato.
6
L’ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA
Nel paragrafo 7 del capitolo «L’energia meccanica», l’energia potenziale U associata
a una forza conservativa Fv è definita con una procedura che comporta due passi:
1. Se un sistema di corpi passa dalla configurazione A alla configurazione B mentre
agisce una forza conservativa Fv, si definisce la differenza di energia potenziale
U UB UA attraverso la relazione
U WA " B
Conﬁgurazione
Con la parola «configurazione»
si intende la disposizione nello
spazio dei corpi del sistema.
(18)
dove WA " B è il lavoro fatto dalla forza Fv nel passaggio dalla configurazione A a
quella B.
2. Una volta scelta ad arbitrio una configurazione R di zero (in modo che in R si abbia UR 0 J), si chiama energia potenziale del sistema in una configurazione A la
differenza di energia potenziale tra A e R:
UA UA 0 UA UR WR " A WA " R
(19)
Così l’energia potenziale di A risulta uguale al lavoro fatto dalla forza conservativa mentre il sistema passa dalla configurazione A a quella di riferimento R.
777
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
L’energia potenziale della forza di Coulomb
La formula della forza di Coulomb
1 Q1 Q2
4 f r2
F=
Segno «meno»
La formula (20) è scritta con il
segno meno in accordo con la
convenzione, che utilizziamo
per la legge di Coulomb, di
indicare con il segno positivo le
forze repulsive e con il segno
negativo le forze attrattive.
può essere ottenuta da quella della forza della gravitazione universale di Newton
FN =- G
m1 m2
r2
(20)
1
Q Q .
4 f 1 2
(21)
con la sostituzione
- Gm 1 m 2 $
Le due forze hanno la stessa forma matematica e, di conseguenza, anche le stesse
proprietà.
In particolare, visto che la forza di Newton è conservativa, è vero anche che
la forza di Coulomb è conservativa.
Quindi possiamo definire anche per la forza elettrica (come per tutte le altre forze
conservative) un’energia potenziale.
L’energia potenziale di Newton UN per un sistema di due masse m1 e m2 poste a
distanza r è data dalla formula
Distanza r
La distanza r definisce la
configurazione del sistema.
U N =- G
m1 m2
+ k;
r
da questa, operando la sostituzione (21), si ottiene l’espressione dell’energia potenziale per un sistema di due cariche puntiformi Q1 e Q2 poste a distanza r:
U^ r h =
(22)
Il parametro k che compare nelle ultime due formule ha un valore che dipende dalla
scelta che si effettua per la condizione di zero dell’energia potenziale.
Come nel caso gravitazionale, anche per l’energia potenziale elettrica la convenzione più comune consiste nel porre uguale a zero l’energia potenziale di due cariche
puntiformi poste a distanza infinita. Con tale scelta, la costante k risulta nulla e si
ottiene l’espressione
energia
potenziale U
0
1 Q1 Q2
+ k.
4 f r
energia potenziale
elettrica (J)
distanza r
Figura 16 Grafico dell’energia
potenziale del sistema di due cariche
puntiformi di segno uguale in funzione
della loro distanza. Se le cariche hanno
segno opposto, l’energia potenziale è
negativa.
costante dielettrica
(C2/(N m2))
prima carica (C)
seconda carica (C)
U^ r h =
1 Q1 Q2
4 f r
(23)
distanza (m)
La figura 16 mostra l’andamento dell’energia potenziale U(r) data dalla formula (23),
778
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
CAPITOLO
in funzione della distanza r tra due cariche dello stesso segno; essa conferma che U si
annulla quando r diventa infinitamente grande.
Lo stesso risultato può essere ottenuto calcolando un limite:
lim
U ^ r h = lim
r"3
r"3
1 Q 1 Q2 Q1 Q2
1 Q Q
lim = 1 2 # 0 = 0 .
=
4 f r
4 f r"3 r
4 f
L’energia potenziale in meccanica ed elettrostatica
F
z
zero
r
zero
M
F
m
Tipo
Deﬁnizione
Formula
Livello zero
Sistema
Gravitazionale della
forza-peso (cioè vicino alla Terra)
Lavoro compiuto dalla
forza-peso quando
un corpo di massa m
scende di un dislivello z
mgz
z 0m
Terra corpo
Gravitazionale di
Newton (cioè tra
due masse M e m)
Lavoro compiuto dalla
forza di gravità quando le masse sono spostate fino a distanza
infinita tra loro
mM
-G r
Masse a
distanza infinita
Masse M e m
a distanza r
Elastica di una
molla
Lavoro compiuto dalla
forza elastica quando
si riporta la molla nella posizione di riposo
1 2
ks
2
Molla a riposo (s 0 m)
Molla ideale
Elettrostatica della
forza di Coulomb
Lavoro compiuto dalla
forza elettrica quando
le cariche sono spostate a distanza infinita tra loro
1 Qq
4 f r
Cariche a
distanza infinita
Cariche elettriche Q e q a
distanza r
r
zero
F
s
r
Q
q
r
zero
ESEMPIO
Due cariche elettriche puntiformi Q1 813 nC e Q2 561 nC si trovano nel
vuoto alla distanza r 11,2 cm.
f Usando la convenzione usuale sulla condizione di zero, calcola l’energia
potenziale U del sistema.
• La convenzione usuale sulla condizione di zero conduce alla formula (23).
• Dal momento che le cariche sono nel vuoto, si ha f f0.
• Possiamo quindi calcolare:
1 Q1 Q2
=
4 f0 r
^ 8,13 # 10 -7 C h # ^ - 5,61 # 10 -7 C h
N : m2
#
=
= c 8 ,99 # 10 9
m
0,112 m
C2
2
N:m2 C
=- 3,6 6 # 10 -2
=- 3,6 6 # 10 -2 N : m =- 3,66 # 10 -2 J.
C2 m
U=
779
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
26
ELETTROMAGNETISMO
Il caso di più cariche puntiformi
Q1
U14
Se sono presenti più di due cariche puntiformi,
U12
Q4
U24
Q2
U13
U34
l’energia potenziale del sistema è data dalla somma delle energie potenziali che
si ottengono scegliendo le cariche a coppie in tutti i modi possibili.
U23
Q3
Figura 17 Rappresentazione
dei diversi contributi per il calcolo
dell'energia potenziale di un sistema di
quattro cariche elettriche.
Esaminiamo, come esempio, il sistema fisico della figura 17, formato da quattro cariche
numerate da 1 a 4. Se indichiamo con Uij l’energia potenziale relativa alle cariche numero i e numero j, l’energia potenziale U del sistema nella configurazione rappresentata è data dalla somma di sei contributi:
U U12 U13 U14 U23 U24 U34 .
(24)
I sei contributi sono alcuni positivi e altri negativi, a seconda dei segni delle cariche.
Immaginiamo ora di allontanare all’infinito le cariche una alla volta, cominciando
con quella numero 1.
Carica Q1. Mentre questa carica è portata all’infinito, la forza elettrica dovuta alle
altre cariche compie un lavoro
W1 U12 U13 U14 .
che è la somma dei singoli lavori che sarebbero compiuti su Q1 dalle forze generate
dalle cariche Q2, Q3 e Q4 se fossero presenti da sole.
Carica Q2. Il lavoro fatto dalla forza elettrica dovuta alle due cariche rimanenti,
quando Q2 è spostata all’infinito, vale
W2 U23 U24 .
Carica Q3. Quando anche Q3 è portata all’infinito, il lavoro compiuto dalla forza
elettrica è
W3 U34 .
Carica Q4. Può essere lasciata dove si trova, visto che è già a distanza infinita dalle altre.
In definitiva, mentre «disgreghiamo» il sistema della figura precedente, portando
le cariche a distanza infinita l’una dall’altra, le forze elettriche compiono un lavoro
W W1 W2 W3 U12 U13 U14 U23 U24 U34
che è uguale all’energia potenziale, data dalla formula (24), del sistema di quattro
cariche. L’energia potenziale può essere sia positiva sia negativa.
Energia cinetica nulla
Si intende che, all’inizio,
le cariche fossero ferme
all’infinito e che, alla fine, siano
ancora ferme nella posizione
loro attribuita. Sotto tale
ipotesi il lavoro fatto dalla forza
elettrica mentre le cariche si
allontanano è uguale a quello
della forza esterna nel fare
avvicinare le cariche.
L’energia potenziale di un sistema di cariche è uguale al lavoro fatto dalle forze
elettriche se il sistema viene «disgregato», portando tutte le cariche a distanza
infinita tra loro.
In modo equivalente, si può dire che l’energia potenziale di un sistema di cariche è
pari al lavoro fatto da una forza esterna, che si oppone alla forza elettrica, mentre
si costruisce il sistema di cariche, portandole da una distanza infinita fino alla loro
posizione finale con energia cinetica nulla.
780
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
7
26
CAPITOLO
IL POTENZIALE ELETTRICO
Consideriamo un sistema fisico costituito da
N cariche elettriche Q1, Q2, …, QN. Se vogliamo studiare il loro effetto complessivo in un
punto A dello spazio (figura 18), dobbiamo
mettere in quel punto una carica di prova q,
che non appartiene all’insieme che intendevamo esaminare. Sappiamo che è possibile
definire una grandezza unitaria, il vettore
campo elettrico Ev , che dipende dalle N cariche che generano il campo, ma non dalla
carica di prova. È utile, però, disporre anche
di una grandezza scalare che abbia le stesse
proprietà; questa grandezza è il potenziale
elettrico.
ANIMAZIONE
carica
di prova
Il potenziale elettrico non
dipende dalla carica di prova
(1 minuto e mezzo)
A
q
Q1
Q3
QN
Q2
Figura 18 Sistema di N cariche
elettriche; nel punto A è posta una
carica di prova.
cariche che generano
il campo elettrico
La definizione del potenziale elettrico
Calcoliamo l’energia potenziale relativa alla carica di prova q nel punto A in presenza delle N cariche che generano il campo. Se indichiamo con Ui l’energia potenziale
del sistema formato dalla carica di prova q e dalla carica Qi, l’energia potenziale complessiva UA, relativa a q nel punto A, è data dalla somma
n
U A = U1 + U2 + f + U N = / Ui .
i=1
Sulla base di questa grandezza definiamo il potenziale elettrico VA del punto A attraverso la relazione
potenziale elettrico (J/C o V)
VA =
UA
q
energia potenziale
elettrica (J)
(25)
carica di prova (C)
Il potenziale elettrico nel punto A è uguale al rapporto tra l’energia potenziale
UA (dovuta all’interazione di ciascuna delle cariche che generano il campo con
la carica di prova q posta in A) e la stessa carica di prova q.
Come vedremo meglio tra poco, VA risulta indipendente dalla carica di prova. Dipende, invece, dalle N cariche che generano il campo e dal punto A.
Inoltre, il valore dell’energia potenziale UA dipende dalla configurazione di zero
scelta e, quindi, anche il potenziale elettrico dipende da tale scelta.
Le grandezze che descrivono un sistema di cariche
Vettori
Scalari
Dipendono dalla carica
di prova
Forza elettrica Fv
Energia potenziale elettrica U
Non dipendono dalla
carica di prova
Campo elettrico Ev
Potenziale elettrico V
781
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
26
ELETTROMAGNETISMO
La differenza di potenziale elettrico
Mettendo la carica di prova q in un altro punto B dello spazio possiamo conoscere la
corrispondente energia potenziale UB e, quindi, il potenziale elettrico VB nel punto B:
VB =
Tensione
UB
.
q
Calcoliamo ora la differenza di potenziale elettrico tra i due punti B e A:
La differenza di potenziale
elettrico si chiama anche
tensione elettrica.
DV = V B - V A =
U B U A DU
.
=
q
q
q
(26)
Utilizzando la definizione (18) di U, dal calcolo precedente si ottiene
DV =
W
DU
=- A " B
q
q
(27)
dove WA " B è, come sempre, il lavoro fatto dalla forza elettrica sulla carica di prova q
durante il suo spostamento da A a B.
Il moto spontaneo delle cariche elettriche
ANIMAZIONE
potenziale V
Spostamento spontaneo
delle cariche
(1 minuto e mezzo)
Figura 19 Il moto spontaneo delle
cariche positive è da punti a potenziale
maggiore verso punti a potenziale
minore; quello delle cariche negative in
verso opposto.
0
distanza r
Se la forza elettrica compie un lavoro positivo (WA " B
0) mentre
la carica positiva q si sposta da A
verso B, questo spostamento può
avvenire anche spontaneamente. In
questo caso la differenza di potenziale V VB VA è negativa, cioè
si ha VA VB: il moto naturale delle
cariche positive è, quindi, da punti
a potenziale maggiore verso punti
a potenziale minore. Per le cariche
negative vale la proprietà opposta:
il lavoro WA " B è positivo quando la
differenza di potenziale è positiva.
Quindi (figura 19):
• Le cariche positive «scendono» lungo la differenza di potenziale, cioè
passano spontaneamente da punti a potenziale più alto verso punti a
potenziale più basso.
• Le cariche negative «risalgono» la differenza di potenziale, cioè passano
spontaneamente da punti a potenziale più basso verso punti a potenziale
più alto.
L’unità di misura del potenziale elettrico
Dalle formule (25) e (26) si vede che, nel Sistema Internazionale, l’unità di misura
del potenziale elettrico è il J/C (joule fratto coulomb).
782
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
CAPITOLO
Tale unità è chiamata anche volt (V) in onore di Alessandro Volta:
1 V =1
J
C
Dalla (26), riscritta come
U qV,
si ricava che
tra due punti c’è una differenza di potenziale di 1 V quando, spostando una
carica di 1 C da un punto a un altro, l’energia potenziale cambia di 1 J.
Il potenziale di una carica puntiforme
Vogliamo ora calcolare il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme Q
in un punto P a distanza r da essa. Se mettiamo in P una carica di prova q, la formula
(23) fornisce l’energia potenziale del sistema formato dalle due cariche:
U^ r h =
1 qQ
.
4 f r
Allora, per la formula (25), l’espressione di V(r) è
V^ r h =
qQ 1
1 Y
1 Q
=
4 f r Y
q 4 f r
(28)
Potenziale
e carica di prova
Il potenziale elettrico dato dalla formula (28) è positivo o negativo a seconda del segno
della carica ed è nullo nei punti che sono infinitamente distanti da Q. Con un’altra scelta
della condizione di zero, il potenziale elettrico in P differisce dalla (28) per una costante.
Se il campo elettrico è generato da più cariche, il potenziale elettrico in un punto
P dove non vi siano cariche è la somma algebrica dei potenziali che si misurerebbero
in P se ciascuna delle cariche che generano il campo fosse presente da sola.
Nella formula per V (r) non
compare la carica di prova
q. Si conferma, quindi, che
il potenziale elettrico non
dipende dalla carica di prova.
L’elettrocardiogramma
alengo/SiStockPhoto
Bork/Shutterstock
Il funzionamento del cuore genera delle piccole differenze di potenziale (dell’ordine
di 1 mV) tra diversi punti del corpo umano. Queste differenze di potenziale variano
nel tempo seguendo l’andamento dell’attività cardiaca.
Mettendo degli elettrodi in punti prefissati del corpo umano è possibile misurare
queste differenze di potenziale e la loro variazione nel tempo. Il tracciato che ne risulta
fornisce ai medici informazioni di grande importanza sullo stato di salute del cuore.
783
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
26
ELETTROMAGNETISMO
ESEMPIO
Il punto P si trova, nel vuoto, alla distanza r 7,32 cm da una carica
puntiforme Q 58,4 nC.
f Con la solita convenzione sul livello di zero, calcola il potenziale elettrico in P.
Risolviamo il problema sostituendo i valori numerici nella formula (28),
scritta con f f0:
Q
- 5 ,84 # 10 -8 C
N : m2
= c 8 ,99 # 10 9
=
#
m
4 f0 r
C2
7, 32 # 10 -2 m
J
N : m Y2 : Y
C
N:m
= 7 ,17 # 10 3
= 7 ,17 # 10 3
= 7 ,17 # 10 3 =
$
Y
2
m
C
C
Y
C
= 7 ,17 # 10 3 V .
V=
8
1
LE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
Come il campo elettrico può essere rappresentato graficamente dalle linee di campo,
il potenziale elettrico è rappresentato dalle superfici equipotenziali.
ANIMAZIONE
Superfici equipotenziali
per una carica puntiforme
(1 minuto)
Si chiama superficie equipotenziale il luogo dei punti dello spazio in cui il
potenziale elettrico assume uno stesso valore.
Per esempio, dalla formula
V^ r h =
Q
superfici
equipotenziali
Figura 20 Le superfici
equipotenziali relative a una singola
carica puntiforme Q sono sfere centrate
su Q.
1 Q
4 f r
vediamo che le superfici equipotenziali del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q sono formate dai punti che hanno la stessa distanza r dalla carica, cioè da superfici sferiche con centro in Q.
Queste superfici equipotenziali sferiche sono rappresentate, in sezione, nella figura 20. La figura illustra la proprietà fondamentale delle superfici equipotenziali:
in ogni punto, la superficie equipotenziale è perpendicolare alla linea di
campo che passa per quel punto.
superfici equipotenziali
Figura 21 Le superfici equipotenziali
di un campo elettrico uniforme sono
piani paralleli tra loro e perpendicolari
alle linee di campo.
Per il campo di una carica puntiforme Q, illustrato
dalla figura 20, ciò è chiaro: le linee di campo sono
semirette disposte lungo i raggi uscenti da Q, e i raggi
sono in ogni punto perpendicolari alle superfici
equipotenziali sferiche.
Un altro esempio semplice è quello del campo elettrico uniforme, cioè uguale in tutti i punti
dello spazio. In tal caso le linee di campo sono rettilinee, parallele ed equidistanti l’una dall’altra e
le superfici equipotenziali sono piani paralleli tra
loro e perpendicolari alle linee di forza (figura 21).
784
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
CAPITOLO
Dimostrazione della perpendicolarità tra linee di campo
e superfici equipotenziali
ANIMAZIONE
Consideriamo un campo elettrico
uniforme e, all’interno di esso, un
segmento AB perpendicolare alle
linee di campo (figura 22). Indichiamo con sv il vettore spostamento
da A a B. Ora calcoliamo la differenza di potenziale V(B) V(A); per
farlo, pensiamo di trasportare una
carica di prova q da A fino a B e indichiamo con WA " B il lavoro compiuto dalla forza elettrica nel corso
di questo spostamento:
A
F
Superfici equipotenziali per
un campo elettrico uniforme
(1 minuto e mezzo)
Δs
B
Figura 22 Lo spostamento Dv
s
è perpendicolare alla forza elettrica Fv.
V = V ^ B h - V ^ A h =-
WA " B
.
q
La forza elettrica, parallela alle linee di campo, è perpendicolare al vettore spostamento
sv: si ha WA " B 0. Sostituendo questo risultato nella formula precedente, si trova
V =-
WA " B
=0
q
Quindi A e B hanno lo stesso potenziale e, naturalmente, lo stesso vale per tutti i
punti del piano, perpendicolare alle linee di campo, di cui essi fanno parte. Quel
piano è, allora, una superficie equipotenziale.
La dimostrazione precedente vale anche per una superficie equipotenziale qualunque, purché se ne prenda una calotta così piccola da potere essere considerata
piana. La figura 23 mostra, per esempio, che la perpendicolarità locale tra linee di
campo e superfici equipotenziali è valida per il campo elettrico generato da un dipolo elettrico, cioè un sistema formato da due cariche uguali e opposte.
superfici
equipotenziali
Figura 23 Linee di campo e
superfici equipotenziali per il sistema
formato da due cariche elettriche
uguali e opposte.
785
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
26
ELETTROMAGNETISMO
ESEMPIO
Una carica puntiforme Q 1,7 nC è posta in acqua distillata.
f Calcola il raggio r della superficie equipotenziale sferica che corrisponde al
valore V 0,68 V.
Nella formula (28) possiamo ricavare r, ottenendo:
r=
1 Q
1 Q
=
.
4 f V 4 f 0 fr V
Per l’acqua distillata vale fr 80, per cui troviamo
r=
Q
=
4 f 0 fr V
1
1
#
C2
m # 80
N : m2
YJ : m Y
C
N : m2 Y
C
N:m:m 1
= 0,28
= 0,28
= 0,28
= 0,28 m.
J
C
J/C
Y
C Y
CY2 V
9
4 # c8 ,854 # 10 -12
- 1,7 # 10 -9 C
=
- 0,68 V
LA DEDUZIONE DEL CAMPO ELETTRICO
DAL POTENZIALE
Se conosciamo il campo elettrico Ev (e quindi la forza Fv q Ev che agisce su una carica di prova q) possiamo calcolare il potenziale elettrico in una certa zona di spazio.
Vogliamo ora mostrare che
è possibile calcolare il campo elettrico in un punto dello spazio se si conosce
l’andamento del potenziale elettrico nei dintorni di quel punto.
Verso del campo elettrico
Il verso del vettore campo
elettrico è quello in cui si
muovono le cariche positive.
Queste, a loro volta, si spostano
da punti a potenziale maggiore
verso punti a potenziale
minore.
Per fare il calcolo ci concentriamo su una zona di spazio abbastanza piccola da potere considerare uniforme il campo elettrico al suo interno. In essa consideriamo un
punto A, in cui il potenziale vale VA e la superficie equipotenziale 1 che contiene A.
Visto che consideriamo uniforme il campo elettrico, le superfici equipotenziali
appaiono piane e parallele tra loro.
Ciò ci permette di determinare la direzione e il verso del vettore campo elettrico
Ev nel punto A. Infatti, la direzione di Ev è quella perpendicolare alle superfici equipotenziali e il suo verso punta nel senso in cui il potenziale diminuisce (figura 24).
⍀2 (V ⫽ VP⫹ΔV)
B
⍀1 (V ⫽ VP)
Δl
E
Figura 24 Il punto A appartiene
alla superficie potenziale 1; il punto
B a 2, a cui corrisponde un potenziale
leggermente minore rispetto a 1.
A
Δs
Per determinare l’intensità di Ev ,
consideriamo una seconda superficie equipotenziale su cui il potenziale elettrico vale VA V, dove V
è una differenza di potenziale infinitesima e negativa. Così 2 si trova,
rispetto a 1, dalla parte in cui punta Ev , a una distanza s da 1. V è
una quantità nota, dal momento che
abbiamo fatto l’ipotesi di conoscere
l’andamento del potenziale elettrico
nei dintorni di A.
786
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
Ora spostiamo una carica di prova positiva q dal punto A a un punto B di 2. Il lavoro WA " B fatto dalla forza elettrica Fv durante tale spostamento lv è
W A " B = Fv : vl = qEv : vl .
CAPITOLO
ESPERIMENTO VIRTUALE
Potenziale al lavoro
• Gioca
• Misura
• Esercitati
La formula (27) del paragrafo 7 ci permette allora di calcolare
V =-
q Ev : vl
WA " B
==- Ev : vl .
q
q
(29)
Dalla figura precedente si vede che la proiezione vl// di vl , parallela a Ev , è la distanza sv tra le due superfici equipotenziali:
v
vl// = s,
quindi
Ev : vl = E l // = E s,
per cui la formula (29) consente di ottenere
V =- Ev : vl =- E s.
(30)
Da quest’ultima formula si ricava l’intensità di Ev :
E =-
V
s
Segno di E
(31)
Il modulo E del vettore campo
elettrico è positivo perché
si è scelta una differenza di
potenziale V che è negativa.
In definitiva, conoscendo il campo elettrico è possibile calcolare il potenziale e, al
contrario, conoscendo il potenziale è possibile calcolare il campo elettrico. Ciò significa che le due descrizioni della realtà fisica, basate sull’uso di queste due quantità
(una vettoriale e l’altra scalare), sono equivalenti tra loro.
Dalla formula (31) si vede che il campo elettrico si può misurare in volt fratto metro (V/m); questa unità di misura è equivalente al newton fratto coulomb (N/C) che
già conosciamo. Come si controlla facilmente:
1
10
N:m
J/C
V
N
=1
=1
=1 .
m
m
C
C:m
LA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO
ELETTROSTATICO
Come è spiegato nel paragrafo 4, l’idea del flusso di un campo vettoriale attraverso
una superficie nacque all’interno dello studio della fluidodinamica, dove il flusso
del vettore velocità corrisponde alla portata di un fluido attraverso la superficie in
esame.
Un altro concetto che, storicamente, è nato nell’ambito dello studio dei fluidi,
ma che poi si è rivelato utile anche nel campo dell’elettricità, è la circuitazione di un
campo vettoriale.
787
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
26
ELETTROMAGNETISMO
Definizione della circuitazione di Ev
Per calcolare la circuitazione occorre scegliere ad arbitrio una linea chiusa orientata
ᏸ. Una linea chiusa ha due sensi di percorrenza: per definire ᏸ occorre specificare in
quale dei due versi la linea è percorsa.
Una volta nota ᏸ, per calcolare la circuitazione del vettore campo elettrico,
• si divide ᏸ in n parti, ciascuna così piccola da poterla considerare rettilinea e da
potere considerare uniforme il campo elettrico lungo di essa;
• indicato con vli il vettore spostamento che descrive il tratto numero i di ᏸ, si
determina il vettore campo elettrico Evi che esiste nei punti di vli ;
• conoscendo Evi e vli , si calcola il loro prodotto scalare Evi vli .
v lungo ᏸ, che è indicata con il simbolo ( Ev ), è per
La circuitazione del vettore E
ᏸ
definizione la somma dei prodotti scalari relativi a tutti i tratti vli , con 1 i n:
ᏸ ^ Ev h = Ev1 : vl1 + Ev2 : vl2 + ... + Evn : vln = / Evi : vli
(32)
i
La circuitazione in fluidodinamica
Vladislav Gurfinkel/Shutterstock
CAPITOLO
Nella dinamica dei fluidi, la circuitazione del vettore velocità ᏸ(vv ) permette di determinare se il movimento della corrente è laminare (cioè senza vortici) o turbolento
(cioè con vortici).
ᏸ(vv ) è definita in modo identico alla formula (32), con i vettori vvi , che indicano
la velocità del fluido nella zona considerata, al posto dei vettori Evi .
Per fissare le idee, scegliamo la curva orientata ᏸ come una circonferenza percorsa in senso antiorario.
�Se ᏸ è centrata su un vortice antio-
�Se ᏸ è posta in una zona senza vor-
rario, il moto del fluido segue bene un
andamento circolare e, in tutti i tratti
di ᏸ, il prodotto scalare vvi vli è positivo. Così anche la somma, data da
ᏸ(vv ), risulta positiva.
tici, come una corrente che scorre con
velocità uniforme, alcuni dei prodotti
scalari sono positivi (come in Q) e altri
negativi (come in P) e la somma di tutti questi termini si annulla.
prodotto scalare negativo
v1
ΔlP
moto dell'acqua
vi
A
v
P
li
ᏸ
ΔlQ
ᏸ
v2
prodotto scalare
positivo
A
v
Q
prodotto scalare
positivo
B
788
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
26
CAPITOLO
Quindi, se la circuitazione di vv è:
• positiva, nella zona ci sono vortici con lo stesso verso di ᏸ;
• negativa, nella zona ci sono vortici con verso opposto a quello di ᏸ;
• uguale a zero, nella zona non ci sono vortici.
Il significato della circuitazione del campo elettrico
La circuitazione e il lavoro
Per la formula (30) del paragrafo precedente, si ha
Evi : vli =- Vi ,
dove Vi è la differenza di potenziale tra i punti estremi del segmento orientato rappresentato da vli .
Così la formula (32) diviene
ᏸ
^ Ev h = / ^ - Vi h =- / Vi = 0,
i
Il prodotto Evi lvi è uguale al
lavoro fatto dal campo elettrico
quando si sposta di lvi la
carica di 1 C.
(33)
i
perché la sommatoria delle differenze di potenziale lungo una linea chiusa è sempre
nulla. Questa proprietà deriva dal fatto che, calcolando la sommatoria lungo ᏸ, si ritorna al punto da cui si è partiti: il potenziale ha lo stesso valore di quello di partenza
e la differenza di potenziale è nulla.
Tutto ciò dipende dal fatto che il campo elettrico è conservativo: il lavoro
fatto dalla forza elettrica mentre una
carica di prova è spostata da un punto A allo stesso punto A lungo la curva
chiusa ᏸ non dipende dal particolare
cammino seguito ed è quindi nullo,
così come è nullo il lavoro fatto, con
spostamento uguale a zero, su una carica di prova che rimane ferma in A.
A
ᏸ
Figura 25 Linea chiusa orientata. Il
punto A può essere considerato l’inizio e
la fine della linea.
Abbiamo ottenuto un risultato importante:
la circuitazione del campo elettrico è nulla, qualunque sia il cammino
orientato lungo il quale essa è calcolata. Questa proprietà esprime in modo
matematico il fatto che il campo elettrico è conservativo.
Il risultato enunciato sopra è valido nel caso in cui tutte le cariche presenti siano in
equilibrio, cioè nel caso elettrostatico. Come si vede nei capitoli «L’induzione elettromagnetica» e «L’equazione di Maxwell e le onde elettromagnetiche», quando vi sono cariche in movimento è necessario estendere la teoria che stiamo sviluppando.
Volendo usare un linguaggio corretto, che ci sarà utile in seguito, si deve dire che la
circuitazione del campo elettrostatico è sempre uguale a zero.
789
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA E LETTERATURA
ISAAC ASIMOV E L’ENERGIA ELETTRICA
Io, robot è stato pubblicato per la prima volta nel 1950. È un’antologia di nove
racconti, che hanno tutti come protagonisti dei robot, vere e proprie forme di vita
artificiali costruite dall’uomo.
La raccolta è pubblicata in un momento di intensa affermazione della scienza nella vita dell’umanità, simboleggiata dai programmi di esplorazione dello spazio da
parte dell’Unione Sovietica e degli Stati Uniti. I robot di Asimov, chimico e biologo
prima che scrittore e abile comunicatore scientifico, sono i primi veri robot dell’era
delle macchine, frutto dell’ingegnosità e della ragione umane, prodotti da un uso
sapiente e accorto della scienza e della tecnologia.
Nel brano proposto, tratto dal racconto intitolato «Essere razionale», il robot QT-1,
chiamato affettuosamente Cutie, intrattiene una conversazione con i due collaudatori Gregory Powell e Mike Donovan, incaricati di individuare difetti ed errori
di funzionamento nei robot prototipo. QT-1 è un essere perfettamente razionale,
migliore dell’uomo poiché privo della libertà di commettere il male: seguendo in
maniera impeccabile e rigorosa la logica del suo pensiero, non può quindi essere
stato creato dall’uomo, essere imperfetto, quindi inferiore.
Mike Donovan grugnì dietro un grosso sandwich
di pomodoro e insalata quando Cutie bussò con
discrezione ed entrò.
«C’è Powell?»
La voce di Donovan era soffocata, interrotta
dalle pause per la masticazione.
«Sta raccogliendo dati sulle funzioni della corrente di elettroni.»
Non aveva ancora finito di parlare che Gregory
Powell entrò, con lo sguardo fisso sui fogli che teneva in mano, e si lasciò cadere su una sedia. Sparse i fogli davanti a sé e cominciò a scarabocchiare
qualche calcolo. Donovan guardò al di sopra delle
sue spalle, masticando l’insalata e lasciando cadere
briciole di pane. Cutie aspettava, in silenzio.
Powell alzò la testa. «Il potenziale Zeta sta salendo, ma lentamente. Nonostante questo le funzioni
di corrente sono irregolari e non so cosa possiamo
aspettarci. Oh ciao, Cutie. Credevo che stessi controllando l’impianto della nuova barra di comando.»
«L’ho giò controllato» disse il robot, tranquillo.
«Sono venuto qui per parlare con voi due» fece
tranquillamente il robot.
«Oh!» Powell sembrò a disagio. «E va bene, siediti. No, non su quella sedia. Ha una gamba incrinata e tu non sei un peso leggero.»
Il robot obbedì e disse, placido:
«Sono arrivato ad una conclusione.»
Donovan si accigliò e mise da parte ciò che rimaneva del suo sandwich.
Isaac Asimov
Io, robot
Mondadori
«Si tratta di una di quelle dannate…»
Powell lo zittì con un gesto impaziente.
«Continua Cutie. Ti ascoltiamo.»
«Ho trascorso questi ultimi due giorni in una
introspezione molto attenta,» disse Cutie. «E i
risultati sono interessantissimi. Ho cominciato
dall’unico assunto valido e certo che ritengo possibile stabilire. Io esisto perché penso….»
Powell gemette.
«Oh Giove! Un robot Cartesio!»
«Chi è Cartesio?» chiese Donovan. «Senti, dobbiamo proprio continuare ad ascoltare questo
pazzoide di metallo?»
«Buono, Mike!»
Cutie continuò imperturbabile.
«E la domanda che ne consegue immediatamente è questa: qual è la causa della mia esistenza?»
La mandibola di Powell si indurì.
«Sei pazzo. Ti ho già detto che siamo stati noi, a
costruirti.»
«E se non credi a noi,» aggiunse Donovan, «saremo felicissimi di farti a pezzi.»
Il robot aprì le mani poderose in un gesto di deprecazione.
«Non accetto nulla per imposizione. Un’ipotesi
deve essere sostenuta dalla ragione, altrimenti non è
degna di considerazione… E supporre che siate stati
voi a crearmi va contro tutti i principi della logica.»
Powell urtò con il braccio il pugno di Donovan,
per bloccarlo.
790
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
«E perché affermi questo?»
Cutie rise. Era una risata molto inumana: il suono più assolutamente meccanico che avesse mai
proferito. Era acuta ed esplosiva, regolare e implacabile come lo scandire di un metronomo.
«Guardatevi!» esclamò finalmente. «Non lo dico
per disprezzarvi, ma guardatevi! La materia di cui
siete fatti è molle e flaccida, manca di resistenza e di
forza e deve dipendere, per il rifornimento d’energia,
dall’inefficiente ossidazione di materia organica…
come questa!» E puntò il dito, con un gesto di disapprovazione, verso ciò che rimaneva del sandwich di
Donovan. «Voi passate periodicamente attraverso
uno stato di coma e la minima variazione di temperatura, di pressione atmosferica, di umidità o di intensità delle radiazioni altera la vostra efficienza. Voi
siete soltanto surrogati! Io invece, sono un prodotto
finito. Io assorbo direttamente l’energia elettrica e
la utilizzo con un’efficienza pari al cento per cento
circa. Sono composto di metallo fortissimo, sono
continuamente cosciente e posso sopportare senza
difficoltà le condizioni ambientali più diverse. Questi
sono fatti che, insieme all’evidente proposizione che
un essere non può creare un altro essere a lui superiore, riducono a nulla la vostra sciocca ipotesi.»
Donovan scattò in piedi accigliato, mormorando imprecazioni che crebbero a mano a mano di
intensità fino a diventare perfettamente udibili.
«E va bene, figlio di un ammasso di ferraglie. Se
non ti abbiamo creato noi, chi ti ha creato?»
Cutie annuì, serio. «Bravo, Donovan. Questa è
proprio la domanda che mi sono posto subito dopo avere sgretolato la vostra ipotesi. È chiaro che il
mio creatore dev’essere più potente di me, e resta
quindi un’unica possibilità.»
I due terrestri lo guardarono con espressione
vacua.
«Qual è il centro di ogni attività, qui alla stazione?»
continuò il robot. «Che cos’è che tutti noi serviamo?
Che cosa assorbe completamente la nostra attenzio-
LE PAROLE DELLA SCIENZA
Il nutrimento di Cutie è energia elettrica assorbita direttamente e utilizzata senza dispersioni e sprechi. Il
nutrimento dell’uomo, invece, è energia ricavata, nelle parole di Asimov messe in bocca al robot, «dall’inefficiente ossidazione di materia organica», cioè cibo.
In entrambi i casi, la materia prima per fare funzionare sia la forma di vita artificiale che quella naturale è energia. Il termine energia è usato ampiamente
ne?» Cutie fece una pausa, aspettando la risposta.
Donovan, sbalordito, si girò verso Powel.
«Scommetto che questa testa di cavallo meccanica sta parlando del Convertitore d’Energia. È così,
Cutie?» sorrise Powell.
«Sto parlando del Padrone» fu la risposta fredda
e brusca.
Donovan scoppiò a ridere fragorosamente, e
anche Powell trattenne a stento i singulti.
Cutie si alzò in piedi e guardò ora l’uno ora l’altro terrestre con i suoi occhi scintillanti. «Che vi
piaccia o no, le cose stanno così, e non mi stupisce
il vostro scetticismo. Voi due non rimarrete qui a
lungo, ne sono certo. Sei stato proprio tu, Powell,
a dire che in un primo tempo solo gli uomini servivano il Padrone, che poi i robot furono destinati
al lavoro di ordinaria amministrazione e che infine
sono subentrato io per le funzioni di controllo. Sono fatti indubbiamente veri, ma la spiegazione da
te data è del tutto illogica. Volete che vi dica qual è
la verità che si nasconde dietro l’intera faccenda?»
«Sì, sì. Cutie. Sei proprio spassoso.»
«Il Padrone ha creato dapprima gli umani, esseri inferiori cui era più facile dare vita. A poco a
poco li ha sostituiti con i robot, che si trovavano
già un gradino più su. E alla fine ha creato me, affidandomi il compito di rimpiazzare gli ultimi umani. Da ora in avanti, sarò io a servire il Padrone.»
«Scordatelo» disse Powell, brusco. «Tu obbedirai
ai nostri ordini senza tante storie, finché non saremo
sicuri che sia in grado di far funzionare il Convertitore. Capito bene? Il Convertitore, non il Padrone.
Se non saremo soddisfatti di te, ti smantelleremo. E
adesso, se non ti spiace, puoi anche andartene. Ah,
prendi con te questi dati e provvedi ad archiviarli.»
Cutie prese il tabulato che Powell gli porse e uscì
senza proferire verbo. Donovan si appoggiò allo
schienale della sedia e si passò una mano tra i capelli.
«Mi sa che quel robot ci procurerà qualche guaio. È matto da legare.»
nella lingua parlata: è sinonimo di forza, di vigore,
di robustezza. Spesso si legge o si sente parlare di
energia fisica, psichica, nervosa. Esistono anche le
energie rinnovabili, e a volte il metano è chiamato
energia azzurra.
IN DIECI RIGHE
Illustra il significato del termine energia in ambito fisico, e fai un confronto con la moltitudine di significati che può assumere nella lingua parlata.
791
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
5
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
IL CAMPO ELETTRICO
Una carica elettrica modifica le proprietà dello spazio in cui essa si trova; una seconda carica si muove secondo le proprietà dello spazio modificato dalla prima.
Campo elettrico
Linee di campo
v
Ev F
q
• Sono utilizzate per rappresentare il campo elettrico.
forza sulla carica di prova
campo elettrico =
carica di prova
• Il vettore Ev ha il verso
delle linee di campo.
• È il rapporto tra la forza che agisce sulla carica di
prova e la carica stessa.
• Il modulo di Ev in una
regione è proporzionale alla densità di linee di campo in
quella regione.
• Si misura in
• In ogni punto sono tangenti al campo elettrico.
N
V
oppure m .
C
Carica puntiforme
Più cariche puntiformi
Modulo del campo elettrico
Q
E 1
4 f r2
Campo elettrico
linea del
campo elettrico
Ev Ev1 Ev2
campoelettrico totale campo elettrico =
=
E
P
1
$ carica elettrica
4 $ costante dielettrica assoluta mezzo
^distanzah2
• Non dipende dalla carica di prova q.
campo elettrico1 campo elettrico 2
Principio di sovrapposizione: i diversi campi elettrici in uno
stesso punto si sommano con la regola del parallelogramma.
• Ha direzione radiale rispetto a Q.
• Ha verso uscente dalle cariche positive; entrante
nelle cariche negative.
Flusso del vettore campo elettrico
• Caso semplice (superficie piana e campo Ev uniforv Ev Sv
me): v
S (E ) • È il prodotto scalare fra il
campo elettrico Ev e la superficie orientata sul quale il
campo elettrico è costante.
Teorema di Gauss per l’elettrostatica
Q tot
U ^Evh =
f
flusso del campo elettrico =
carica totale
=
costante dielettrica assoluta del mezzo
• Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica
totale contenuta all’interno della
superficie.
• Il flusso del campo elettrico è zero
se la superficie non racchiude nessuna carica al suo interno.
• Il valore del flusso non dipende dalla
forma della superficie, purché sia chiusa.
ΔS2
ΔS1
Ei
ΔSi
• È massimo quando il campo
elettrico e il vettore superficie sono paralleli, è zero
quando sono perpendicolari.
2
• Si misura in N : m .
C
⍀
+q
+q
Vettore superﬁcie
+q
Si definisce per una superficie piana S immersa nello
spazio.
• Ha direzione perpendicolare alla superficie.
• Ha modulo pari all’area della superficie.
• Ha verso arbitrario se la superficie è aperta, verso uscente se la superficie è chiusa.
792
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
S
MAPPA INTERATTIVA
L’ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA E IL POTENZIALE ELETTRICO
La forza elettrica è conservativa, quindi possiamo definire per un sistema di cariche un’energia potenziale elettrica, che
è una grandezza scalare e dipende dalla carica posta in quel punto.
Energia potenziale della forza di Coulomb
Potenziale elettrico in un punto
1 Q1Q2
U(r) r +k
4 f
1 ^carica 1 h # ^carica 2 h
$
+ cost.
en. pot. =
4 f
distanza
UA
VA q
• U(r ) è l’energia del sistema di due cariche Q1 e Q2,
poste a distanza r in un materiale che ha costante
dielettrica f.
• È il rapporto tra l’energia potenziale UA e la carica di
prova q posta nel punto A.
• Il valore di k dipende dalla scelta della configurazione di zero R dell’energia potenziale.
• La costante k risulta nulla se si pone uguale a zero
l’energia potenziale del sistema di due cariche puntiformi poste a distanza infinita tra loro.
• U cioè si annulla quando r diventa infinitamente grande.
potenziale elettrico in A =
en. potenziale della carica in A
carica di prova in A
• L’energia potenziale UA è dovuta all’interazione di
ciascuna delle cariche che generano il campo con la
carica
carica di prova q.
di prova
• Dipende dalla configurazione di zero scelta.
• Si misura in volt
1J .
c1 V =
m
1C
Q3
QN
Q2
cariche che generano
il campo elettrico
Differenza di potenziale elettrico
Moto delle cariche elettriche
WA " B
U
V = q =- q
• Le cariche positive «scendono» lungo la differenza di potenziale, cioè passano
spontaneamente da punti a potenziale più alto verso punti a potenziale più basso.
differenza di potenziale =
=
differenza di en. potenziale
carica di prova
• È il rapporto fra la differenza
di energia potenziale elettrica
U UB UA tra i due punti
A e B e la carica di prova q.
• W A " B è il lavoro fatto dalla
forza elettrica sulla carica
di prova q durante il suo spostamento da A a B.
• Le cariche negative «risalgono» la differenza di potenziale, cioè passano spontaneamente da punti a potenziale più basso verso punti a potenziale più alto.
Carica puntiforme
Potenziale elettrico V (r ) 1 Q
4 f r
Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme Q in un punto a distanza r dalla carica:
• non dipende dalla carica di prova q.
• dipende dalla carica che genera il campo.
• È chiamata anche tensione
elettrica.
• dipende dal punto considerato.
Superﬁcie equipotenziale
Intensità del campo elettrico
È il luogo dei punti dello spazio in
cui il potenziale elettrico assume
uno stesso valore.
DV
DS
• V è la differenza di potenziale tra due punti A e B e S
è la distanza tra le superfici
equipotenziali che passano
per quei due punti.
• Le superfici equipotenziali servono per rappresentare graficamente il potenziale elettrico.
• In ogni punto, la superficie
equipotenziale è perpendicolare alla linea di campo elettrico
che passa per quel punto.
A
q
Q1
• si annulla a distanza infinita dalla carica Q.
E =-
• Conoscendo il campo elettrico è possibile ricavare il potenziale e viceversa.
Circuitazione del campo elettrico
l2+
ᏸ ^Evh = Ev1 : lv1 + Ev2 : v
v
v
v
v
/
+ ... + E n : l n = E i : l i
i
• Quando tutte le cariche sono in
equilibrio, la circuitazione del
campo elettrico è uguale a zero:
Cᏸ ^Ev h= - / DV i = 0
• Ciò equivale ad affermare che il
campo elettrostatico è conservativo.
793
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
Il vettore campo elettrico è una grandezza unitaria?
2
Nel punto A c’è una carica positiva e nel punto B
si trova una carica negativa. Il punto C è posto sul
segmento AB.
9
Ordina le seguenti figure da quella in cui la portata è minima fino a quella in cui la portata è massima. (Ipotizza che i moduli di vv e di Sv siano gli
stessi in tutte le figure.)
a)
b)
S
䉴 Disegna
la direzione e il verso del campo elettrico in C, dovuto alle due cariche presenti nei
punti A e B.
3
4
Per definire il vettore campo elettrico in un punto dello spazio è sufficiente conoscere il valore
della forza elettrica che agisce su una carica positiva di 1 C?
S
v
v
c)
d)
S
S
v
v
10
Descrivi il campo elettrico rappresentato nella figura sotto.
Le linee tratteggiate rappresentano le sezioni di
alcune superfici chiuse. I cerchietti raffigurano
corpi con cariche q e q.
Attraverso quali superfici il flusso elettrico è
nullo?
䉴
S3
+6Q
–Q
+
+q
S2
5
La densità delle linee di campo diminuisce con il
quadrato della distanza dalla carica, come l’intensità stessa del campo elettrico: perché?
6
Perché le linee di un campo elettrico non possono mai intersecarsi?
7
Il flusso di un campo vettoriale è una grandezza
scalare o vettoriale?
8
Descrivi il verso del vettore superficie Sv introdotto per caratterizzare una superficie piana
chiusa immersa nello spazio sede di un campo
vettoriale.
+
+q
–
–q
S1
11
È corretta l’affermazione: «Il teorema di Gauss
stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla somma delle cariche contenute
all’interno della superficie»?
12
L’energia potenziale elettrica per un sistema di
due cariche puntiformi Q1 e Q2 poste a distanza r
Q1 Q2
è data dalla relazione: U r = 1
+k.
4␲f0 r
䉴 Cosa indica il parametro k?
13
Osserva il grafico dell’energia potenziale U(r) di
794
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
direzione, il verso e l’intensità del campo elettrico?
un sistema formato da due cariche puntiformi in
funzione della loro distanza r.
distanza r
21
energia potenziale U
0
Analizza la figura seguente, in cui si mostra un
vortice circolare di fluido, con un verso opposto a
quello in cui è percorsa la linea chiusa circolare ᏸ.
䉴 Qual è il segno del prodotto scalare
vvA lvA nel
punto A?
䉴 In
altri punti come B e C, il segno dello stesso
prodotto cambia?
䉴 Che segno ha la circuitazione del campo di ve-
locità del fluido lungo ᏸ?
vC
䉴 Di che segno sono le cariche?
B
C
14
Considera prima tre cariche uguali positive poste
ai vertici di un triangolo, e poi tre cariche dello
stesso valore di quelle precedenti, ma negative,
poste ai vertici dello stesso triangolo.
A
䉴 L’energia potenziale è uguale nei due casi?
15
Due cariche si trovano in due punti in cui il potenziale elettrico ha lo stesso valore: le loro energie potenziali sono sicuramente uguali?
16
Su una recinzione metallica vedi un cartello con
la scritta: pericolo, alta tensione. Cosa vuol dire?
17
Due superfici equipotenziali possono intersecarsi, in uno o più punti?
18
Considera una regione dello spazio nella quale le
linee di un campo elettrico uniforme sono parallele all’asse x di un sistema di riferimento xyz, con
verso negativo.
22
In un campo vettoriale la circuitazione si può calcolare lungo una qualsiasi curva chiusa?
PROBLEMI
1
IL VETTORE CAMPO ELETTRICO
1
Una carica di 0,18 C è posta in punto dello spazio
in cui il campo elettrico ha modulo pari a 40 N/C.
䉴 Calcola il modulo della forza che agisce sulla
carica.
Come sono orientate le sue superfici equipotenziali?
[7,2 N]
2
20
Motiva la tua adesione, o il tuo dissenso, rispetto
all’affermazione che segue. «I valori del potenziale e del campo elettrico dipendono dalla posizione del livello di zero del potenziale.»
Conoscendo il valore del potenziale, quali sono la
lA
vA
䉴
19
vB
Su una carica puntiforme q 1,2 103 C agisce
una forza elettrostatica di intensità pari a 9,0 N.
䉴 Qual è l’intensità del campo elettrico nel punto
occupato dalla carica?
䉴 Quali sono la direzione e il verso del vettore
campo elettrico in quel punto, rispetto a quelli
795
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
della forza elettrica su q?
5
[7,5 103 N/C]
3
Una carica q1 3,8 101 C subisce l’azione di
una forza elettrostatica di modulo F1 17 N.
Nella stessa posizione, una carica q2 risente di
una forza F2 25 N.
䉴 Calcola l’intensità della forza che agisce su q e
disegnane il vettore, usando la scala 1 cm 102 N.
䉴 Calcola il valore dell’accelerazione della particella e disegnane il vettore, usando la scala
1 cm 102 m/s2.
䉴 Determina il valore di q2.
[0,56 C]
4
Nella figura è rappresentato il vettore Ev , di modulo pari a 70 N/C, in un punto A. Nello stesso
punto c’è una particella puntiforme di carica
q 5,0 104 C e massa m 0,71 kg.
Una carica q 3,6 103 C è collocata in un
punto dello spazio in cui è presente un campo
elettrico di modulo pari a 25 N/C.
q
A
䉴 Calcola l’intensità della forza elettrostatica che
agisce sulla carica.
E
䉴 È possibile dire in che direzione e verso si spo-
sterà la carica una volta lasciata libera di muoversi?
[9,0 102 N]
2
6
[3,5 102 N; 4,9 102 m/s2]
IL CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA PUNTIFORME
PROBLEMA SVOLTO
Q = +3,19 ⫻10-9 C
r = 13,7 cm
Una carica positiva Q di 3,19 nC genera un campo
elettrico.
E=?
䉴 Determina il vettore campo elettrico in un pun-
to B posto nel vuoto a 13,7 cm di distanza da Q.
E
B
r
Q
A
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Carica elettrica
Q
3,19 nC
Distanza dalla carica
r
13,7 cm
Vettore campo elettrico
Ev
?
Commenti
Strategia e soluzione
• Indichiamo con A il punto in cui si trova la carica puntiforme Q. Il campo elettrico Ev in B è un
vettore con le seguenti caratteristiche:
• la direzione è data dal segmento AB;
• visto che Q è positiva, il verso di Ev è quello uscente da Q, cioè quello che va da A verso B;
• il valore di Ev è dato dalla formula
E = k0
2
3,19 # 1,0 -9 C
Q
N
9 N : m
8
,
99
10
=
#
#
= 1,53 # 10 3 .
c
m
C
r2
C2
^0,137 m h2
796
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Discussione
L’ordine di grandezza di k0 è 1010 N m2/C2, quello di Q è 109 C e quello di r è 0,1 m. Quindi l’ordine di grandezza del risultato è
2
N
N
10 -9 C
10 10 - 9 N : m
N : m2
10 10
=
= 10 1 - ^ -2 h = 10 3 .
#
2
2
2
-1 2
C
C
C
^0 ,1 m h
^10 h C : m
Questo ordine di grandezza concorda con quello del risultato ottenuto prima.
7
rC 36 m e rD 45 m.
Una carica puntiforme Q 2,0 104 C si trova
nel vuoto e genera un campo elettrico nello spazio circostante. Il punto P si trova a una distanza
di 2,0 m da Q.
䉴 Calcola il modulo di
B
E nel punto P.
C
[4,5 105 N/C]
8
A
Una carica di 8,0 105 C genera in un punto
dello spazio vuoto circostante un campo elettrico
di valore 5,0 105 N/C.
D
Q
䉴 A che distanza dalla carica si trova il punto considerato?
[1,2 m]
9
䉴 Calcola
il modulo del vettore campo elettrico
nei punti A, B, C e D.
Una carica Q si trova nel vuoto e produce in
un punto P un campo elettrico di modulo
2,0 104 N/C. Il punto P si trova a una distanza di
0,40 m da Q.
䉴 Disegna il vettore campo elettrico nei punti A,
B, C, D (usa la scala 1 cm " 105 N/C).
[3,1 105 N/C; 1,2 105 N/C;
6,1 104 N/C; 3,9 104 N/C]
䉴 Determina il valore di Q.
[0,36 C]
10
13
Una carica Q 1,6 104 C si trova immersa in
olio (r 2,5).
䉴 Calcola il rapporto tra il modulo del campo
elettrico e il modulo del campo gravitazionale generati dal protone in un punto a distanza r.
䉴 Determina
il valore del campo elettrico a una
distanza di 4,0 m.
(mp 1,67 1027 kg; e 1,6 1019 C;
G 6,67 1011 (N m2)/kg2)
[3,6 104 N/C]
11
Una carica Q 3,0 105 C genera a una distanza di 40,0 cm un campo elettrico di modulo
1,2 105 N/C.
䉴 La carica si trova nel vuoto? Perché?
12
Nel disegno seguente, una carica Q 8,8 103 C genera un campo elettrico nello spazio
vuoto che la circonda. Considera i punti A, B, C e
D alle seguenti distanze da Q: rA 16 m, rB 26 m,
Un protone genera nello spazio vuoto circostante
un campo elettrico e un campo gravitazionale.
[1,3 1028 kg/C]
14
Una carica puntiforme Q 3 103 C è fissata
in un punto dello spazio vuoto. Una seconda carica q di massa m 4,2 103 kg si trova alla distanza di 2 m dalla prima e, lasciata libera, inizia a
muoversi con un’accelerazione di 5 m/s2.
䉴 Calcola il valore di q.
[3 109 C]
797
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
3
15
LE LINEE DEL CAMPO ELETTRICO
PROBLEMA SVOLTO
Due cariche Q1 6,0 pC e Q2 6,0 pC
sono separate da una distanza L 8,2 cm
e poste nel vuoto.
Q1
Q2
M
䉴 Qual
è il vettore campo elettrico nel
punto medio M tra le posizioni occupate dalle due cariche?
Grandezze
Dati
Incognite
L
Simboli
Valori
Prima carica
Q1
6,0 pC
Seconda carica
Q2
6,0 pC
Distanza tra le cariche
L
8,2 cm
Vettore campo elettrico
Ev
?
Q1 = 6,0 pC
Q2 = –6,0 pC
L = 8,2 cm
Q1M = MQ2
E=?
Commenti
Nel punto medio tra le cariche
Strategia e soluzione
• Le due cariche Q1 e Q2, da sole, genererebbero nel punto M i due campi elettrici descritti,
rispettivamente, dai vettori Ev 1 ed Ev 2. Il vettore campo elettrico Ev che si osserva nel punto M è la
somma di questi due vettori:
Ev Ev 1 Ev 2.
• Come si vede dalla figura, i due vettori Ev 1 ed Ev 2 sono paralleli e hanno lo stesso verso. Infatti il
primo è uscente dalla carica positiva Q1 e il secondo è diretto verso la carica negativa Q2. Inoltre
hanno lo stesso modulo, perché le due cariche Q1 e Q2 sono uguali in modulo e M è nel punto
medio tra esse.
Q1
+
E1
M
Q2
–
E2
Quindi possiamo scrivere la relazione
Ev 2 Ev 1,
che ci fornisce la direzione e il verso del campo elettrico Ev .
• Il modulo di Ev si calcola conoscendo quello di Ev 1:
Q
Q1
E 2E1 2k0
8k0 21 .
2
L
^L/2 h
• Sostituendo i valori numerici si ottiene
E = 8 # c 8,99 # 10 9
^6,0 # 10 -12 Ch
N : m2
N
= 64 :
m#
2
C
C
^8,2 # 10 -2 m h2
il modulo del campo elettrico in M è di circa 64 N/C.
798
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Discussione
Se le due cariche Q1 e Q2 sono uguali in modulo e in segno, il campo elettrico nel punto medio M
tra di esse risulta nullo, perché i due vettori Ev 1 ed Ev 2 generati dalle due cariche hanno stessa direzione, stesso modulo e versi opposti.
16
Due cariche puntiformi q1 e q2 si trovano nel vuoto a una distanza di 12 cm. Qual è il vettore campo elettrico nel punto medio tra le posizioni occupate dalle cariche quando:
4
IL FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE
ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE
20
Una grata rettangolare con i lati che misurano rispettivamente 2,0 m e 3,0 m è inserita in una conduttura in cui l’acqua scorre alla velocità di
3,1 m/s. Il profilo laterale della grata è inclinato di
30° rispetto alla velocità del liquido.
䉴 q1 q2?
䉴 q1 2,4 103 C e q2 1,2 103 C?
[0 N/C; 9,0 109 N/C]
17
Due cariche puntiformi q1 1,6 103 C e
q2 9,0 105 C si trovano nel vuoto a una
distanza di 3,0 m. Determina il modulo del campo elettrico:
䉴 Calcola la portata dell’acqua attraverso la grata.
[9,3 m3/s]
21
䉴 generato da q2, nel punto occupato dalla carica
q1.
Una griglia quadrata di superficie S 4,00 m2 viene inserita all’interno di una conduttura in cui
l’acqua si muove con una velocità di 7,5 m/s. La
portata dell’acqua attraverso la griglia è di 15 m3/s.
䉴 Determina l’inclinazione della cornice rispetto
alla velocità.
䉴 generato da q1, nel punto occupato dalla carica
q2.
[30°]
[29,0 104 N/C; 1,6 106 N/C]
18
Tre cariche uguali pari a 8,9 104 C sono poste
nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di
lato l 3,0 m. Calcola quanto vale il campo elettrico:
22
䉴 nel baricentro del triangolo;
Una grata circolare di raggio pari a 1,00 m si trova immersa in una conduttura in cui l’acqua
scorre con una velocità v uniforme. La grata è inclinata di 45° rispetto alla direzione di v e la portata attraverso di essa è 32,7 m3/s.
䉴 Quanto vale il modulo della velocità?
䉴 nel punto medio di uno dei lati.
La grata viene ruotata in modo tale da essere inclinata di un angolo di 60° rispetto alla direzione di vv .
[0 N/C; 1,2 10 N/C]
6
䉴 Di quanto dovrebbe diminuire la superficie af19
Due cariche puntiformi positive sono immerse
in un mezzo di costante dielettrica r 1,8 a una
distanza di 1,5 m. La carica q1 vale 5,2 103 C. Il
campo elettrico totale si annulla in un punto che
dista 0,50 m da q1 e appartiene al segmento che
congiunge le due cariche.
finché la portata non cambi?
[15 m/s; 0,57 m2]
䉴 Sposti le cariche nel vuoto: il campo elettrico si
Nella figura a pagina seguente è rappresentata
una manica a vento che si gonfia sotto l’azione
del vento. L’imboccatura è circolare e ha raggio
R, mentre la lunghezza complessiva è d. Il vento
si muove con velocità costante di modulo v e direzione perpendicolare all’imboccatura.
annulla in una posizione diversa?
䉴 Calcola il flusso del vettore velocità dell’aria at-
䉴 Quanto vale q2?
[2,1 102 C ]
23
traverso l’imboccatura della manica.
799
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
(Suggerimento: la superficie dell’imboccatura assieme alla superficie laterale costituiscono una
superficie chiusa…)
[R2 v]
E
䉴 Quanto vale il flusso del campo elettrico attrastanislaff/Shutterstock
verso ? Motiva la risposta.
5
24
27
IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
E IL TEOREMA DI GAUSS
Un cilindro di raggio r e altezza h è immerso in
un campo elettrico uniforme diretto lungo l’asse
del cilindro. Determina il flusso del campo elettrico:
Determina il valore della carica q se:
䉴 la carica è nel vuoto;
䉴 la carica è immersa in un mezzo con fr 2,7.
[41 nC; 0,11 C]
䉴 attraverso ogni superficie di base del cilindro;
Una superficie chiusa contiene tre cariche
puntiformi nel vuoto. Calcola il flusso di Ev attraverso nel caso in cui:
䉴 totale attraverso il cilindro.
䉴 q1 1,6 104 C, q2 2,0 104 C e
28
䉴 attraverso la superficie laterale del cilindro;
[0 (N m2)/C;
25
Una carica q è racchiusa in una superficie chiusa
e il flusso del campo elettrico Ev attraverso vale 4,6 103 N m2/C.
q3 2,0 104 C.
r 2E e r 2E; 0 (N m2)/C]
䉴 q1 1,6 104 C, q2 2,0 104 C e
Osserva la distribuzione di cariche della figura.
q3 2,0 104 C.
[1,8 107 (N m2)/C; 6,3 107 (N m2)/C]
S3
S2
29
+q
–q
–q
+q
Una carica q 1,2 101 C si trova nel centro di
una sfera con una superficie di 34,5 m2.
䉴 Calcola il modulo del campo elettrico sui punti
+q
della sfera.
[3,9 108 N/C]
S1
䉴 Calcola il flusso del campo elettrico, corrispon-
dente alla distribuzione totale delle cariche, attraverso ognuna delle superfici indicate.
v ) q/f0; (S2)( Ev ) q/f0; (S3)( Ev ) 0 (N m2)/C]
[(S1)( E
26
Nella figura è rappresentata una superficie sferica
chiusa immersa in un campo elettrico uniforme.
6
L’ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA
30
L’atomo di idrogeno è costituito da un protone e
da un elettrone posti alla distanza del raggio di
Bohr, pari a 5,29 1011 m.
䉴 Calcola
l’energia potenziale di questo sistema
di cariche nel vuoto.
800
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[4,35 1018 J]
31
Two point-like charges are in the vacuum at a
distance of 25 cm from each other. The electrostatic potential energy of the system is 28.6 108
J. Q1 has a charge of 3.0 109 C.
䉴 Calculate Q2.
33
Quattro cariche puntiformi di valori rispettivamente Q1 4,0 nC, Q2 2,5 nC, Q3 3,3 nC,
Q4 4,0 nC, occupano, nel vuoto, i vertici di
un quadrato di lato 4,8 cm.
䉴 Determina l’energia potenziale del sistema.
[8.0 10
7
32
10
C]
[2,5 106 J]
IL POTENZIALE ELETTRICO
PROBLEMA SVOLTO
Q2
Q1
Nel punto A è fissata una carica elettrica Q1 3,68 108 C e
nel punto B, che dista 80,0 cm da A, è fissata una seconda
carica elettrica Q2 5,74 109 C. Il punto P è posto sul
segmento AB, a una distanza di 50,0 cm da A. Le cariche sono poste nel vuoto.
A
-8
Q1= 3,68 ⫻10 C
-9
Q2= -5,74 ⫻10 C
AB = 80,0 cm
AP = 50,0 cm
VP = ?
䉴 Calcola il valore del potenziale elettrico in P.
Grandezze
Dati
Simboli
Prima carica
Seconda carica
Incognite
Valori
Commenti
Q1
3,68 10
Q2
5,74 10
Distanza tra le cariche
8
C
9
C
80,0 cm
Distanza tra P e Q1
r1
50,0 cm
Potenziale elettrico in P
VP
?
Da cui la distanza tra P e Q2 è
r2 30,0 cm
Strategia e soluzione
• Per prima cosa possiamo scrivere
VP V1 V2 ,
dove V1 è il potenziale elettrico in P dovuto alla sola carica Q1 e V2 è il potenziale in P dovuto a Q2.
• Ora calcoliamo
V1 = k 0
B
P
Q1
N : m 2 3,68 # 10 -8 C
= 8,99 # 10 9
= 662 V
#
r1
C2
5,00 # 10 -1 m
e
2
Q2
- 5,74 # 10 -9 C
:
N
m
= 8,99 # 10 9
=- 172 V .
#
V2 = k 0
r2
C2
3,00 # 10 -1 m
• Quindi il potenziale elettrico in P è
VP V1 V2 662 V 172 V 490 V.
801
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
Discussione
Il problema è stato risolto utilizzando la convenzione più comune sulla condizione di zero del
potenziale, in cui si pone uguale a zero il potenziale a distanza infinita dalle cariche che generano il
campo. Questa convenzione è utilizzata negli esercizi e nei problemi del capitolo.
34
Due cariche q1 4,0 108 C e q2 4,0 108 C
sono poste nel vuoto agli estremi di un segmento
lungo 30 cm. Calcola il valore del potenziale elettrico:
38
䉴 in un punto del segmento che dista 10 cm dalla
carica q1;
Tra due lastre A e B, considerate infinite e uniformemente cariche, c’è un campo elettrico uniforme di intensità E 1,5 105 V/m. Una carica di
1,0 106 C si sposta dal punto P al punto Q lungo la traiettoria indicata nella figura.
E
P’
䉴 nel punto medio del segmento;
䉴 in un punto del segmento che dista 10 cm dalla
carica q2.
Q
A
[1,8 10 V; 0 V; 1,8 10 V]
3
35
P
3
B
La distanza tra i punti P e P è di 4,0 cm, mentre
la distanza tra P e Q è 2,0 cm.
Tra i poli di una batteria da automobile vi è una
differenza di potenziale di 24,0 V.
䉴 Determina la forma delle superfici equipotenziali che passano per i punti P, P e Q.
Calcola il lavoro che compie la forza elettrica quando una carica positiva, equivalente a
1,00 1018 cariche elettriche elementari, si sposta
dal polo positivo a quello negativo della batteria.
䉴
䉴 Calcola il lavoro che occorre compiere per tra-
sportare la carica q.
[6,0 103 J]
[3,84 J]
36
Due cariche qA 5,0 nC e qB 3,0 nC occupano
nel vuoto due vertici di un triangolo equilatero. Il
lato del triangolo misura 50 cm.
9
LA DEDUZIONE DEL CAMPO
ELETTRICO DAL POTENZIALE
䉴 Calcola il valore del potenziale elettrico nel ter-
39
Considera una regione dello spazio nella quale le linee di un campo elettrico uniforme di intensità
uguale a 5 103 N/C sono parallele all’asse x di un
sistema di riferimento xyz, con verso negativo. Due
punti A e B si trovano sulla stessa linea di campo e la
differenza fra i potenziali elettrici in A e in B vale 4 V.
zo vertice.
[1,4 102 N m/C]
8
LE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
37
Una carica puntiforme q 6,2 105 C posta
nel vuoto genera un campo elettrostatico. La
condizione di zero del potenziale riguarda i punti
posti a distanza infinita da q.
䉴 Calcola la distanza tra i due punti.
[8 104 m]
䉴
Un protone si muove tra i punti A e B di un campo
elettrico uniforme, posti sulla stessa linea di campo e distanti tra loro 0,75 m. Tra i punti A e B esiste
una differenza di potenziale di 50 V. Calcola:
䉴 Calcola il raggio della superficie equipotenziale
䉴 il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico per spostare il protone da A a B.
Calcola il raggio delle superfici equipotenziali per le quali il potenziale vale rispettivamente
V1 5,0 104 V, V2 50 V.
che corrisponde al valore V2 se la carica è posta in
acqua distillata.
40
䉴 l’intensità del campo elettrico.
[11 m; 1,1 10 m; 1,4 10 m]
4
2
802
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[8,0 1018 J; 67 V/m]
41
PROBLEMA SVOLTO
In un campo elettrico uniforme consideriamo due punti P e Q
che si trovano sulla stessa linea di campo. La distanza tra i
due punti è 2,57 cm e i potenziali elettrici in P e in Q valgono, rispettivamente, VP 32,8 V e VQ 14,2 V.
superfici equipotenziali
䉴 Determina, in direzione, verso e modulo, il vettore campo
elettrico nella zona di spazio dove di trovano P e Q.
VQ = 14,2 V
PQ = 2,57 cm
VP = 32,8 V
Grandezze
Dati
Incognite
P
Q
E=?
Simboli
Valori
Potenziale in P
VP
32,8 V
Potenziale in Q
VQ
14,2 V
Distanza tra P e Q
PQ
2,57 cm
Vettore campo elettrico
Ev
?
Commenti
Uniforme nella zona di P e Q
Strategia e soluzione
• Visto che il campo elettrico è uniforme, le linee di campo sono
segmenti paralleli ed equidistanziati. Quindi il campo elettrico,
di modulo costante, ha
E
P
E
Q
– la direzione delle linee di campo;
– il verso in cui il potenziale diminuisce, cioè il verso che va da P a Q.
• Per calcolare il modulo del campo elettrico si utilizza la formula (31):
E =-
VQ - VP
^14,2 - 32,8h V
V
V
=== 724 .
0,0257 m
s
m
PQ
Discussione
I singoli valori di VP e di VQ dipendono da dove si è posto il livello di zero del potenziale elettrico,
ma il valore di E non dipende da tale scelta. Infatti, E è calcolato a partire da V, che è una quantità che non dipende dalla scelta dello zero del potenziale: con un’altra scelta della condizione di
riferimento, i valori di VP e di VQ sarebbero diversi da quelli dati nel testo del problema, ma la loro
differenza sarebbe stata la stessa.
803
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
Fv
sappiamo che il campo elettrico si misura in N/C. Il risultato del proq
blema, invece, fornisce per E l’unità di misura V/m; mostriamo che queste due unità di misura
coincidono:
J
1
N:m
J
V
N
C
1 =
=1
=1
=1 .
m 1m
m:C
C
m :C
Dalla definizione Ev =
42
allontanandosi dalle pareti, per effetto della viscosità. Nella figura che segue, il valore della velocità sul lato AB è v1 50 cm/s, quello sul lato
CD è v2 30 cm/s. Le dimensioni del rettangolo
sono AB 20 mm, BC 5,0 mm.
Tra due piastre metalliche poste alla distanza di
10 cm esiste una differenza di potenziale di 24 V.
In un punto equidistante dalle due piastre si trova una carica q 4,0 1018 C.
䉴 Disegna le linee del campo elettrico tra le piastre
䉴 Calcola la circuitazione di
e determina direzione e verso del campo elettrico.
vv lungo il rettangolo.
[4,0 103 m2/s]
䉴 Calcola l’intensità del campo elettrico fra le due
piastre.
䉴 Calcola la forza elettrica che si esercita sulla ca-
rica q.
D
C
A
B
[2,4 102 N/C; 9,6 1016 N]
v
10
LA CIRCUITAZIONE
DEL CAMPO ELETTROSTATICO
43
Un campo elettrico (non elettrostatico) ha linee
di campo circolari, una delle quali è rappresentata nella figura.
PROBLEMI GENERALI
1
Nel sale da cucina (NaCl), gli ioni Na e Cl si dispongono secondo uno schema molto preciso,
che costituisce il reticolo cristallino del composto. L’unità elementare di questo reticolo è data
da un cubo il cui lato misura 5,64 1010 m. Ai
vertici del cubo sono collocati gli ioni Na e Cl
come nella figura seguente.
Na
L’intensità del vettore campo elettrico è di 150
V/m e il raggio della circonferenza è di 4,00 cm.
Cl
䉴 È un campo conservativo?
Calcola la circuitazione di Ev lungo la circonferenza.
䉴
[37,7 V]
44
La velocità dell’acqua che scorre in un tubo cresce man mano che ci si avvicina all’asse del tubo,
䉴 Calcola il campo elettrico
Ev nel centro del cubo.
Calcola il campo elettrico Ev in ciascuno dei
vertici dovuto alle cariche che si trovano sugli
䉴
804
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
altri vertici. (Ricorda che la carica dell’elettrone
vale 1,6021 1019 C.)
6
[0 N/C; 5,43 109 N/C (Cl); 5,43 109 N/C (Na)]
2
Due lastre parallele e cariche di segno opposto distano fra loro 3,0 cm. Fra le due lastre una particella di carica q 2,0 1015 C e di massa
1,5 1012 kg rimane in equilibrio elettrostatico.
Due cariche puntiformi pari a q1 7 102 C e
q2 4 102 C si trovano nel vuoto a una distanza di 2,00 m.
A quale distanza dalla carica q2 si trovano i
punti, sulla retta che congiunge le due cariche, in
cui il campo elettrico generato dalle due cariche
si annulla?
䉴
[0,9 m]
3
Le cariche q1 6,0 106 C e q2 6,0 106 C
sono fissate in due punti, A e B, che distano tra di
loro 1,0 m. Una terza carica, q3 4 105 C si
trova nel punto C della figura, situato 30 cm a destra di B. Il punto D si trova 20 cm a destra di C.
A
B
q1
q2
C
[2,2 102 V]
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
D
q3
䉴 Calcola il lavoro necessario per spostare la cari-
ca q3 dal punto C al punto D.
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
Nell’origine di un sistema di riferimento Oxy è
posta una carica q1 1,4 106 C. Nel punto P
di coordinate P(2,0 cm; 0,0 cm) viene posta una
seconda carica q2 uguale a q1.
Definisci la grandezza fisica campo elettrico,
spiegando il significato delle grandezze che compaiono nella definizione.
2
Spiega che cosa sono le linee del campo elettrico e
di quali proprietà godono.
Calcola il potenziale elettrico nel punto Q di coordinate Q(5,0 cm; 0,0 cm):
3
Enuncia il teorema di Gauss per il campo elettrico nella sua forma più generale e fornisci un
esempio della sua applicazione.
4
Definisci le grandezze energia potenziale elettrica
e potenziale elettrico, spiegando se sono vettori o
scalari, e se dipendono o meno dalla presenza di
una carica di prova.
5
Descrivi le proprietà e le caratteristiche delle superfici equipotenziali.
6
Illustra come si può calcolare il campo elettrico in
un punto dello spazio se si conosce l’andamento
del potenziale elettrico nei dintorni di quel punto.
[2,7 J]
4
䉴 Quanto vale la differenza di potenziale fra le
due lastre?
䉴 in presenza della sola carica q1;
䉴 in presenza delle cariche q1 e q2.
[2,5 105 V; 1,7 105 V]
5
Una pallina di massa 8 103 kg e carica
q 4 103 C, inizialmente ferma all’interno di
un campo elettrico, viene messa in moto e si sposta da un punto A con potenziale VA 2 V fino a
un punto B con potenziale nullo e alla stessa quota di A.
䉴 Calcola la velocità acquistata dalla pallina.
[1 m/s]
805
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
2
Un sistema di cariche è costituito da due cariche
puntiformi uguali e opposte collocate a una certa
distanza tra di loro. Che cosa si può dire del campo elettrico generato da un tale sistema?
A
È dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici prodotti dalle singole cariche.
B
È dato dalla differenza dei campi elettrici prodotti dalle singole cariche.
L’intensità della forza agente su una carica elettrica
puntiforme che si trova in un campo elettrico (costante in modulo, direzione e verso) di intensità E:
A
è proporzionale al cubo di E.
B
è proporzionale al quadrato di E.
C
è direttamente proporzionale a E.
D
è inversamente proporzionale a E.
E
è inversamente proporzionale al quadrato di E.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina Veterinaria, 1999/2000)
C
È dappertutto nullo perché le due cariche sono uguali e opposte.
D
È identico a quello di una carica puntiforme
di valore pari a metà della carica positiva.
E
È identico a quello di una carica puntiforme
di valore pari a metà della carica negativa.
A
vettoriale e scalare.
B
entrambe vettoriali.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina Veterinaria, 2005/2006)
C
entrambe scalari.
D
scalare e vettoriale.
Le linee di forza del campo elettrostatico
E
entrambe vettoriali, ma solo in questo caso
per simmetria sferica.
A
non possono essere linee chiuse.
B
sono sempre linee chiuse.
C
sono sempre linee rette.
D
si intersecano nei punti a potenziale massimo.
E
possono avere una forma qualsiasi.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Ingegneria, 2002/2003)
3
4
5
Il campo elettrico ed il potenziale generati da una
carica puntiforme Q sono grandezze rispettivamente:
(Prova di ammissione al Corso di laurea delle Professioni Sanitarie, 2004/2005)
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
1
Due cariche elettriche uguali e opposte si trovano
ad una distanza D. Quanto vale il potenziale elettrico nel punto di mezzo tra le due cariche?
Una carica elettrica q1 10 nC si trova nell’origine delle coordinate, mentre una seconda carica
q2 6 nC si trova lungo l’asse x nel punto
x2 8 cm.
A
Zero.
䉴 Determinare il modulo e il verso del campo
elettrico in un punto posto sull’asse x di coordinate x 5 cm.
B
Il doppio del potenziale dovuto a ogni singola
carica.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2007/2008)
C
Tende all’infinito.
D
Non è definito.
E
La metà del potenziale dovuto a ogni singola
carica.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina e Chirurgia, 2008/2009)
2
Due cariche elettriche uguali q1 q2 16 C,
sono poste alla distanza d 4 cm. Determinare:
il campo elettrico nel punto P fra le due cariche, sulla loro congiungente, a distanza
p 0,5 cm da q1 .
䉴
䉴 l’accelerazione a cui è soggetto un elettrone in
806
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
P, in modulo, direzione e verso, assumendo come verso positivo quello che va da q2 a q1.
2
䉴 la posizione nella quale deve essere messo l’elettrone (sulla congiungente, fra q1, q2) affinché
esso resti in quiete.
3
(me 9,1 1031 kg, e 1,6 1019 C)
4
At a position of a distance r from the point
charge, potential energy due to electric force
1
is proportional to .
r
(Examination for Japanese University Admission
for International Students)
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2006/2007)
3
Due cariche puntiformi, Q1 50 C e Q2 1 C,
sono separate da una distanza r. Qual è la forza più
intensa, quella che Q1 esercita su Q2 o viceversa?
A
Q1 crea un campo elettrico maggiore, quindi
la forza che essa esercita su Q2 sarà maggiore.
B
La forza è proporzionale alla carica, quindi Q1
avvertirà una forza maggiore.
C
D
E
A small charged plastic foam ball is held at rest by
the electric field between two large horizontal
oppositely charged plates.
䉴 If the charge on the ball is 5.7 C and its mass is
1,4 104 kg, what is the magnitude of the electric field strength? Show your work.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
A
3
Dato che la forza di Coulomb è conservativa,
le due forze devono essere inversamente proporzionali alla carica, quindi la forza su Q2 è
maggiore.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Tossicologia,
Università La Sapienza di Roma, 2003/2004)
4
2
Per stabilire la forza maggiore, occorre valutare l’orientamento delle due forze rispetto alla
retta congiungente le due cariche.
Per il principio di azione e reazione le due forze in modulo devono essere uguali.
At a position of a distance r from the point char1
ge, strength of electric field is proportional to .
r
At a position of a distance r from the point
charge, potential energy due to electric force
is proportional to Q.
60°
60°
-q
+q
Una particella di massa 1 mg e di carica 1 mC
è soggetta alla gravità ed è immersa in un campo
elettrico uniforme orizzontale, di intensità
E 10 V/m. Si determini il modulo dell’accelerazione.
Two point charges are at rest at a certain distance
from each other, as shown in the figure above.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Biotecnologie,
Università degli Studi di Milano, 2004/2005)
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
䉴 Draw
an arrow from point A showing the direction of the total electric field at point A produced by these two charges.
STUDY ABROAD
1
A point charge of electric charge Q is placed in a
vacuum. Choose the unsuitable one from the following 1-4.
1
At a position of a distance r from the point charge, strength of electric field is proportional to Q.
807
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
FENOMENI
DI ELETTROSTATICA
Proehl Studios/Corbis
1
Fase transiente
Questo capitolo è dedicato allo studio delle proprietà elettriche dei corpi conduttori
carichi in equilibrio elettrostatico.
Si chiama equilibrio elettrostatico la condizione in cui tutte le cariche
presenti sui conduttori che costituiscono il sistema in esame sono ferme.
ASchindl/Shutterstock
Quando si carica un
conduttore, la carica elettrica
viene conferita a zone
particolari del corpo e poi
si ridistribuisce su tutto il
conduttore. In questo capitolo
si esamina la configurazione
assunta dalle cariche stesse
al termine della fase di
ridistribuzione, quando
il sistema elettrico torna
all’equilibrio.
LA DISTRIBUZIONE DELLA CARICA
NEI CONDUTTORI IN EQUILIBRIO
ELETTROSTATICO
La localizzazione della carica
Gli esperimenti mostrano che:
all’equilibrio, la carica elettrica presente in eccesso nei conduttori si trova
tutta sulla loro superficie esterna.
808
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
� Per
esempio, elettrizziamo una
sfera conduttrice (dotata di un sostegno isolante) fornendole una
carica Q.
–
–
–
–
� Poi
mettiamola a contatto con
due semisfere metalliche scariche
(con manici isolanti) che seguono
la forma della sfera.
averle allontanate, osserviamo che la sfera non è più elettrizzata. La carica si è portata sulle
due semisfere esterne.
–
–
–
–
–
A
CAPITOLO
� Dopo
– –
–
– –
27
B
–
–
–
–
–
–
C
Quindi, la carica si è spostata dalla zona più interna (la sfera elettrizzata all’inizio
dell’esperimento) a quella più esterna.
A
+++
++ + +
++++
+ ++
Un altro esperimento che dà lo stesso
risultato è quello del cosiddetto pozzo
di Faraday, in cui un conduttore carico
A (per esempio la sfera sostenuta da un
filo isolante rappresentata nella figura 1)
viene inserito in un recipiente metallico
P fino a toccarne la superficie interna.
Ciò che si vede è che A rimane completamente scarico, mentre la sua carica si porta sulla superficie esterna di P.
P
+
+ +
P
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
+
+
+
+
Figura 1 La sfera A si scarica
completamente quando viene a
contatto con l’interno del recipiente
metallico P.
Il valore della densità superficiale di carica
Su una sfera che non subisce forze elettriche esterne, per simmetria la carica si dispone in modo uniforme. In altre parole, se si considera una parte di sfera di area S e si
misura la carica Q che si trova su di essa, si vede che la densità superficiale di carica
=
DQ
DS
risulta sempre la stessa, in modo indipendente dalla forma, dall’estensione e dalla
posizione, sulla sfera, della superficie di area S.
Ma ciò non è più vero se il conduttore carico ha una forma irregolare. Gli esperimenti, infatti, mostrano che
la carica si concentra nelle parti del conduttore in equilibrio elettrostatico che
hanno una curvatura più accentuata, mentre il valore della densità di carica è minore dove la forma della superficie è meno incurvata e ancora più piccolo
nelle zone in cui il conduttore è incavato.
809
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
IN LABORATORIO
ELETTROMAGNETISMO
La figura 2 illustra il concetto, mostrando che la carica prelevata sulla punta (caso
a) fa divaricare con un angolo maggiore le foglioline di un elettroscopio, mentre la
carica prelevata da zone sempre meno appuntite del conduttore (casi b e c) le fa divaricare di un angolo sempre minore.
Potere delle punte in un
conduttore carico
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
+
++
a
+
+++ + +
++
+++
+
+
+
+ +
+
+
+
b
+
c
Figura 2 La densità di carica è
maggiore sulle parti del conduttore che
hanno una curvatura più accentuata.
2
APPROFONDIMENTO
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE
IN UN CONDUTTORE ALL’EQUILIBRIO
Esaminiamo ora le proprietà del campo elettrico e del potenziale elettrico sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico e all’interno di esso.
La gabbia di Faraday
(2 pagine)
Il campo elettrico all’interno di un conduttore carico
in equilibrio
Anche se la carica netta presente su un conduttore si porta sulla sua superficie esterna, al suo interno si ha una carica totale nulla formata dall’insieme di moltissime
cariche dei due segni. Se il corpo è conduttore, alcune di queste cariche sono libere
di muoversi: in un conduttore metallico si tratta delle cariche negative trasportate
dagli elettroni.
Possiamo affermare che
all’interno di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico il campo
elettrico è nullo.
Infatti, se il campo elettrico all’interno del conduttore non fosse nullo:
• le cariche libere al suo interno si muoverebbero per effetto di Ev ;
• se le cariche si muovono, il conduttore non è in equilibrio elettrostatico come si
è ipotizzato.
Si riconosce, quindi, che la condizione di equilibrio elettrostatico richiede che,
all’interno del conduttore, valga la condizione Ev 0.
810
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
27
CAPITOLO
Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore carico
in equilibrio
E
Sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico il campo
elettrico ha direzione perpendicolare alla superficie stessa.
+
E
La dimostrazione è simile a quella precedente: supponiamo, per assurdo, che Ev non
sia perpendicolare alla superficie (figura 3). Allora il suo componente Ev// , parallelo
alla superficie, darebbe origine a una forza elettrica capace di muovere le cariche
elettriche presenti sulla superficie esterna del conduttore.
Ma ciò è in contraddizione con l’ipotesi che il conduttore si trovi in equilibrio.
Quindi Ev// deve essere nullo e, di conseguenza, Ev deve essere perpendicolare alla
superficie del conduttore.
Figura 3 Il vettore Ev// , se esistesse,
provocherebbe un moto di cariche lungo
la superficie del conduttore.
Il potenziale elettrico in un conduttore carico in equilibrio
Verso del campo elettrico
Il campo elettrico è rivolto
verso l’esterno se il conduttore
è carico positivamente; verso
l’interno in caso contrario.
Il potenziale elettrico ha lo stesso valore in tutti i punti all’interno e sulla
superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico.
Per dimostrarlo, scegliamo due punti A e B
del conduttore. Nella figura 4 uno di essi è
sulla superficie del conduttore e l’altro è al
suo interno, ma il ragionamento si applica
anche se si trovano entrambi sulla superficie o entrambi all’interno.
In tutti questi casi possiamo trasportare
una carica di prova q da A a B attraverso
un percorso tutto contenuto all’interno del
conduttore, dove il campo elettrico è nullo.
+
+
+
+
+
+
+
ANIMAZIONE
+
+
+
V(B) = V(A)
+
E =0
+
+
+
A
q +
W
+
B= 0
+
B
+
+
+
+
+
+
+
Potenziale elettrico in un
conduttore in equilibrio
elettrostatico (1 minuto)
+
+
+
Figura 4 Il cammino AB è tutto
contenuto all’interno del conduttore,
dove il campo elettrico è nullo.
Di conseguenza il lavoro W A " B fatto dalle forze elettriche su q in tale tragitto è uguale a zero:
W A " B = 0.
Per la formula (27) del capitolo «Il campo elettrico e il potenziale», la differenza di
potenziale tra i punti A e B è
V ^Bh - V ^ Ah =-
WA " B
= 0.
q
Quindi, per ogni coppia di punti A e B del conduttore, si ha V(A) V(B): tutti i punti del conduttore si trovano allo stesso potenziale.
In particolare,
la superficie esterna di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico è
sempre una superficie equipotenziale.
811
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
ELETTROMAGNETISMO
Un’applicazione del teorema di Gauss
Il teorema di Gauss permette di spiegare perché, in un conduttore carico in
equilibrio elettrostatico, la carica netta si trova sulla superficie.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Ω
E=0
+
+
Figura 5 Il flusso del campo elettrico
attraverso la superficie gaussiana è nullo.
Le cariche elettriche
negli atomi
Da questa dimostrazione non
si deduce che all’interno del
conduttore non vi possono
essere cariche elettriche (come
i nuclei e gli elettroni degli
atomi). Tali cariche positive e
negative, però, devono dare
una somma nulla.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
( Ev ) 0.
+
Ma, per il teorema di Gauss (formula (13) del capitolo «Il campo elettrico e il potenziale»), vale la relazione
UX ^ Ev h =
Q tot
f0
,
dove Qtot è la carica totale che si trova all’interno di e f0 è la costante dielettrica del
vuoto. Dal momento che si ha ( Ev ) 0, anche la carica Qtot risulta nulla.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Ω
+
+
Figura 6 Il flusso di campo
elettrico è nullo anche se la superficie
gaussiana segue la superficie interna
del conduttore (linea tratteggiata).
Consideriamo un conduttore carico in
equilibrio elettrostatico e una superficie chiusa contenuta all’interno di
esso (figura 5). Dal momento che il
campo elettrico Ev è nullo in tutti i
punti di , anche il flusso di campo
elettrico attraverso la superficie ( Ev )
è uguale a zero:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Quindi, dal teorema di Gauss segue che
la somma delle cariche contenute in una
superficie chiusa , che si trova all’interno di un conduttore carico in equilibrio
elettrostatico, è sempre nulla. Ciò è vero
qualunque sia la forma di ; in particolare, l’affermazione precedente continua
a essere vera se riproduce la superficie
interna del conduttore (linea tratteggiata
nella figura 6).
Quindi, in un conduttore carico in equilibrio elettrostatico, la carica in eccesso non
può essere all’interno del conduttore stesso. Di conseguenza, come mostrano i dati
sperimentali, essa si può trovare soltanto sulla sua superficie.
3
IL PROBLEMA GENERALE
DELL’ELETTROSTATICA
Ciò che abbiamo appreso nei paragrafi precedenti ci permette di precisare qual è, in
linea di principio, lo scopo che ci poniamo nello studiare l’elettrostatica. Supponiamo di avere n conduttori di cui conosciamo la forma e la posizione nello spazio, e di
sapere quanto vale la carica che si trova su ognuno di essi; una volta noti questi dati
812
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
27
CAPITOLO
Campo elettrico o potenziale
il problema generale dell’elettrostatica consiste nel determinare il potenziale
elettrico V, oppure il campo elettrico Ev , in tutti i punti dello spazio.
La risoluzione di questo problema richiede conoscenze matematiche avanzate. È però importante sapere che la teoria che stiamo sviluppando permette, a chi possieda
gli strumenti matematici necessari, di risolvere il problema in modo generale (eventualmente con l’aiuto di un computer).
Calcolato il valore del vettore Ev in tutti i punti dello spazio, si può ricorrere al teorema di Coulomb. Esso si dimostra a partire dal teorema di Gauss e stabilisce che, in
condizioni di equilibrio elettrostatico, la densità superficiale di carica che si trova
in un punto P che appartiene alla superficie di un conduttore è legata al modulo del
campo elettrico Ev in quel punto dalla relazione
E= f
Come è spiegato nel capitolo
«Il campo elettrico e il
potenziale», le due richieste
sono equivalenti perché in una
zona di spazio si può calcolare
il potenziale se si conosce
il campo elettrico oppure
quest’ultimo se si conosce il
potenziale.
(1)
dove f è la costante dielettrica assoluta del mezzo isolante in cui il conduttore è immerso.
Così, una volta noto il campo elettrico Ev in tutti i punti dello spazio (e, in particolare, sulla superficie dei conduttori presenti nel sistema fisico che stiamo esaminando) è possibile conoscere anche il valore della densità superficiale di carica
presente sui conduttori.
Abbiamo quindi a disposizione una descrizione completa del sistema che volevamo studiare.
ESEMPIO
In una zona della superficie di un conduttore carico, in equilibrio
elettrostatico, si misura un campo elettrico di modulo E 53,8 kN/C.
Il conduttore è posto nel vuoto (f f0).
f Quanto vale la densità superficiale di carica in quella zona del conduttore?
Isolando nella formula (1) possiamo calcolare il valore della densità
superficiale di carica:
= Ef0 = c 5,38 # 10 4
2
N
m # f 8,854 # 1 0 -1 2 C 2 p = 4 ,76 # 10 -7 C2 .
C
m
N :m
Le convenzioni per lo zero del potenziale
Per conoscere il potenziale elettrico in tutti i punti dello spazio, come ci si propone
di fare quando si affronta il problema generale dell’elettrostatica, bisogna prima decidere dove si pone lo zero del potenziale. Le scelte più comuni sono tre.
1. All’infinito: nella formula (28) del capitolo «Il campo elettrico e il potenziale»
si è posto uguale a zero il potenziale elettrico nei punti che si trovano a distanza
infinita dalla carica puntiforme Q che genera il campo. In generale,
813
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
ELETTROMAGNETISMO
La connessione a terra
Nei casi più semplici si può
realizzare una connessione a
terra collegando l’impianto a
un palo metallico conficcato
nel terreno o a un tubo
metallico sotterraneo. Quando
serve un’efficienza maggiore
si interra, possibilmente in
una zona in cui il terreno
si mantiene umido, un
conduttore piano di dimensioni
adeguate.
messa a terra
la scelta di porre uguale a zero il potenziale dei punti infinitamente lontani
è vantaggiosa quando il campo elettrico è generato da un numero finito di
cariche puntiformi.
2. Al potenziale di terra: nelle applicazioni industriali e in altri contesti produttivi si
usa porre uguale a zero il potenziale elettrico a cui si trova la Terra. Così, quando si
dice che «un conduttore si trova a un potenziale di 20 000 V» si intende che 20 000 V
è la differenza tra il potenziale del conduttore in esame e quello della Terra.
Un conduttore collegato elettricamente con il terreno (e che, quindi, ha lo
stesso potenziale della Terra) si dice «messo a terra».
conduttore
Figura 7 Conduttore collegato «a
terra».
Il simbolo tecnico per la connessione «a terra» è indicato nella figura 7.
3. Al potenziale di massa: la convenzione precedente cessa di essere utile quando
si ha a che fare con ambienti metallici isolati dal terreno, come un’automobile o
un aereo. In questi casi si preferisce assegnare lo zero del potenziale elettrico alla
condizione in cui si trova l’involucro metallico che racchiude gli strumenti. Per
esempio, dire che «il polo positivo della batteria di un’auto si trova a 12 V» significa che il potenziale di tale elettrodo supera di 12 V quello della scocca dell’auto,
a cui è collegato il polo negativo della batteria.
messa a massa
Un conduttore collegato elettricamente a un involucro metallico (e che,
quindi, ha il suo stesso potenziale) si dice «messo a massa».
conduttore
Il simbolo tecnico per la connessione «a massa» è indicato nella figura 8.
4
Figura 8 Conduttore collegato «a
massa».
Zero del potenziale
all’inﬁnito
Se il conduttore è scarico e
non ci sono altre cariche nello
spazio, il campo elettrico è zero
ovunque. Quindi il potenziale
è costante in tutto lo spazio.
Se si è posto uguale a zero il
potenziale dei punti all’infinito,
è nullo anche il potenziale sul
conduttore.
LA CAPACITÀ DI UN CONDUTTORE
Consideriamo un conduttore isolato, cioè un corpo conduttore lontano da ogni altro corpo elettrizzato. Se, all’inizio, il conduttore è scarico, possiamo attribuire a
esso un valore del potenziale elettrico pari a zero.
Se ora elettrizziamo il conduttore isolato con una carica Q, il potenziale del conduttore passa dallo zero a un certo valore V, che è positivo o negativo a seconda del
segno della carica.
Gli esperimenti mostrano che la carica che si trova sul conduttore isolato e il
potenziale a cui esso si porta sono direttamente proporzionali.
Per esempio, se raddoppiamo Q, anche il valore di V raddoppia; se lo triplichiamo,
anche V triplica.
Ciò può essere espresso dicendo che il rapporto tra la carica che si trova sul conduttore e il suo potenziale è una costante, che si chiama capacità elettrostatica del
conduttore (o, per brevità, capacità del conduttore) e si indica con il simbolo C:
814
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
27
CAPITOLO
carica sul conduttore (C)
capacità del
conduttore (C/V o F)
C=
Q
V
(2)
potenziale del
conduttore (V)
La capacità del conduttore dipende solo dalla forma del conduttore, dalle sue dimensioni e dal materiale isolante in cui esso è immerso. In onore dello scienziato
inglese Michael Faraday (1791-1867), nel Sistema Internazionale la capacità elettrostatica si misura in farad (F):
1 F=
1C
.
1V
(3)
Michael Faraday
(1791-1867) fisico e chimico
inglese. Scoprì il benzene
e fu il primo a ottenere la
liquefazione di un gas. In fisica,
scoprì l’esistenza delle correnti
indotte e studiò le correnti
elettriche nei liquidi.
Quindi
un conduttore ha la capacità elettrostatica di 1 F se, elettrizzato con 1 C di
carica, si porta al potenziale di 1 V.
Il potenziale di una sfera carica isolata
Si dimostra che il campo elettrico all’esterno e sulla superficie di una sfera elettrizzata con una carica Q è uguale a quello che sarebbe generato da una carica puntiforme
Q posta al centro della sfera.
D’altra parte, conoscendo il campo elettrico in una porzione dello spazio si può
calcolare in modo univoco il potenziale elettrico nella stessa zona di spazio. Così
anche il potenziale elettrico all’esterno e sulla superficie di una sfera di raggio R
deve essere uguale a quello di una carica puntiforme Q e deve quindi essere dato (se
si pone lo zero del potenziale all’infinito) dall’equazione (28) del capitolo «Il campo
elettrico e il potenziale»:
V^ r h =
1 Q
4 f r
^r $ Rh.
(4)
Il potenziale V sulla superficie della sfera si calcola dalla formula precedente ponendo r R:
V = V^ Rh =
1 Q
4 fR
(5)
La capacità di una sfera conduttrice isolata
L’espressione precedente permette di calcolare la capacità elettrostatica di una sfera
conduttrice isolata di raggio R.
Infatti, se forniamo alla sfera una carica Q, essa si porta al potenziale dato dalla
(5). Quindi la definizione (2) permette di calcolare
815
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
27
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
C=
Q
=
V
Q
4 fR
=Q
= 4 fR
Q
1 Q
4 fR
(6)
Ne risulta che la capacità di una sfera conduttrice isolata è direttamente proporzionale al raggio della sfera stessa.
Dalla (6) si vede che, essendo 4 un numero puro, l’unità di misura della costante
dielettrica assoluta è data da quella della capacità (farad) divisa per quella della distanza (metro); quindi, l’unità di misura di f e di f0 si può esprimere anche come F/m.
ESEMPIO
Una sfera conduttrice isolata di raggio R 0,500 m è posta in aria.
f Calcola la capacità elettrostatica C della sfera.
• Essendo posta in aria (fr 1,00056) possiamo considerare la sfera nel
vuoto, visto che il suo raggio è conosciuto con tre sole cifre significative.
• Allora, sulla base della formula (6) possiamo calcolare:
C = 4 f 0 R = 4 # a 8,854 # 1 0 -12
5
F
k # ( 0,500 m
Y ) = 5,56 # 10 -1 1 F .
m
Y
IL CONDENSATORE
ESPERIMENTO VIRTUALE
Un condensatore piano è formato da due lastre metalliche parallele,
chiamate armature, poste a una distanza piuttosto piccola rispetto alla loro
estensione.
Punte e condensatori
• Gioca
• Misura
• Esercitati
–Q
+Q
Gethin Lane/iStockPhoto
Figura 9 Rappresentazione
schematica di un condensatore piano.
Se carichiamo una di esse con una carica positiva Q e mettiamo l’altra a terra,
sulla faccia interna di quest’ultima viene indotta una carica Q (figura 9).
Quando è caricata, la prima armatura passa dal potenziale di terra (che
possiamo considerare uguale a zero) al
potenziale V. La seconda armatura, invece, rimane al potenziale nullo di terra.
Tutto ciò non vale soltanto per un
condensatore piano, ma per un condensatore di qualunque tipo. In generale:
si chiama condensatore un dispositivo formato da due armature fatte in
modo che, quando una di esse riceve la carica Q, l’altra acquista per induzione
una carica Q.
La fotografia a lato mostra alcuni condensatori di uso comune.
816
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
27
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
CAPITOLO
La capacità di un condensatore
Gli esperimenti mostrano che la carica Q presente sull’armatura positiva di un
condensatore è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale V
tra le armature.
Signiﬁcato dei simboli
Quindi il rapporto tra le due grandezze è costante. Si definisce allora la capacità del
condensatore come:
capacità (C/V o F)
La formula (7) è molto simile
alla (2), ma non identica:
nella (2), V è il potenziale del
conduttore che ha ricevuto
la carica Q, nella (7) V è la
differenza di potenziale tra le
armature.
carica elettrica (C)
C=
Q
DV
(7)
differenza di
potenziale (V)
Nella formula precedente, il simbolo Q indica la carica posta sull’armatura positiva e
anche la differenza di potenziale V è presa con il segno positivo.
La capacità di un condensatore dipende dalla sua forma e dalle sue dimensioni,
ma non dalle grandezze elettriche (carica o differenza di potenziale). Si misura in
farad come la capacità di un conduttore.
ESEMPIO
L’armatura positiva di un condensatore acquista una carica Q 90,0 μC
quando ai suoi capi è applicata una differenza di potenziale V 360 V.
APPROFONDIMENTO
Moto di una carica in un
campo elettrico uniforme
(5 pagine)
f Quanto vale la capacità C del condensatore?
Sostituendo i valori numerici nella formula (7) si ottiene:
C=
Q
9,00 # 10 -5 C
C
=
= 2,50 # 10 -7 = 2,50 # 10 -7 F.
360 V
V
V
Il campo elettrico generato da un condensatore piano
Si può modellizzare un condensatore piano considerando due distribuzioni piane e
infinite di carica, parallele tra loro. Uno dei piani ha una densità superficiale di carica positiva pari a , l’altro ha una densità di carica . In questo modo si «dimenticano» le armature in metallo che compongono il condensatore e si considerano
soltanto le cariche elettriche presenti.
Come conseguenza del teorema di Gauss, si dimostra che il campo elettrico generato da un piano di carica ha direzione perpendicolare al piano stesso e modulo
E=
2f
(8)
Dimostrazione
della formula (8)
Per mostrare la formula (8) basta
applicare il teorema di Gauss a un
cilindro di base S tagliato a metà
dal piano di carica in modo da
contenere la carica Q S.
uguale in tutti i punti dello spazio esterno alle cariche. Il campo elettrico Ev+ generato dalle cariche positive è uscente da esse, mentre il campo elettrico Ev- dovuto alle
cariche negative è diretto verso queste ultime. I due campi Ev+ ed Ev- hanno lo stesso
modulo, dato dalla formula (8), perché i valori assoluti di e di sono uguali.
817
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
ELETTROMAGNETISMO
X
EA+ EA
A
Figura 10 I campi elettrici generati
dai due piani di carica hanno versi
opposti all’esterno dei due piani e lo
stesso verso nella zona interna.
X
B
E= 0
EB+
EC E C+
EB
C
X
E= f
E= 0
Nel punto A della figura 10 i campi elettrici
EvA+ ed EvA- sono uguali in direzione e
modulo, mentre hanno versi opposti: la
loro somma è quindi nulla. Lo stesso accade in tutti gli altri punti dello spazio che
(come, per esempio, C) si trovano all’esterno dei due piani di carica.
Invece nel punto B, posto tra i due
piani, i campi elettrici EvB+ ed EvB- sono
uguali tra loro, per cui la loro somma è
uguale al doppio di ciascuno dei due. In
particolare, il modulo del campo elettrico risultante è il doppio di quello dato
dalla formula (8).
In definitiva,
all’esterno di un condensatore piano infinito il campo elettrico è nullo.
All’interno il campo elettrico è uniforme, ortogonale alle armature, diretto da
quella positiva a quella negativa e con una intensità data dalla formula:
E ^ condensatore piano h = 2 E ^ piano di carica h =
f
.
(9)
Il campo generato da un condensatore piano infinito è illustrato nella figura 11. Le
linee di campo che ne risultano sono limitate all’interno del condensatore, dove risultano parallele tra di loro, perpendicolari alle armature ed equidistanziate.
Figura 11 Andamento ideale delle
linee di campo elettrico all’interno di un
condensatore piano.
porzioni delle armature
–Q
+Q
+Q
–Q
Figura 12 Andamento reale delle
linee di campo elettrico generate da un
condensatore piano.
+ ++ ++
++ ++ ++
++ ++
++
+
+ ++ +
+
+
+
+
++
+ ++ + +
Naturalmente nessun condensatore ha armature infinitamente estese. Ma anche in
un condensatore reale, come quello della figura 12, c’è un’ampia zona interna dove
le linee di campo sono praticamente uguali a quelle del condensatore piano infinito.
Vicino ai bordi, invece, le linee di campo sono notevolmente diverse da quelle
(rettilinee ed equidistanziate) del caso ideale. Inoltre il campo elettrico all’esterno
del sistema non è nullo. Ma nei condensatori che si utilizzano in pratica le armature
sono, a parità di dimensioni, molto più ravvicinate di quelle della figura precedente,
per cui gli effetti di bordo sono trascurabili e le proprietà del sistema seguono con
ottima approssimazione quelle di un condensatore piano ideale.
818
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
27
CAPITOLO
ESEMPIO
In un condensatore piano l’armatura positiva (di area S 26,5 cm2) porta una
carica Q 11,4 nC. Tra le armature si trova uno strato di nylon (fr 3,50).
f Determina il modulo E del campo elettrico presente tra le armature del
condensatore.
• La densità di carica sull’armatura positiva del condensatore vale
=
Q
11,4 # 10 -9 C
C
=
= 4,30 # 10 -6 2 .
S
m
26,5 # 10 -4 m 2
• Allora siamo in grado di calcolare il valore di E mediante la formula (9):
C
2
m
E= =
=
=
F
f
f 0 fr
a 8 ,854 # 10 -12 k # 3,5 0
m
Y
m
C V
V
Y
5 C
:
:
= 1, 39 # 10
= 1 , 39 # 10 5
= 1,39 # 10 5 .
m Y
m
C
m Y2 F
4, 30 # 10 -6
La capacità di un condensatore piano
Supponiamo di avere un condensatore piano con armature di area S. La distanza
d tra di esse è piccola rispetto alle loro dimensioni. Tra le armature, che portano le
cariche Q e Q, è posto un materiale isolante con costante dielettrica f.
Per la formula (30) del capitolo «Il campo elettrico e il potenziale» la differenza di
potenziale (positiva) tra le armature è data da
DV = EDs = Ed =
f
d=
Qd
.
Sf
In base alla definizione (7), siamo quindi in grado di calcolare la capacità C di un
condensatore piano, che risulta
C=
Q
Sf
S
=Q
=f
Qd
d
DV
Sostituzioni
Tra il secondo e il terzo
passaggio si è applicata la
formula (9), E /f. In quella
successiva si è ricordata la
definizione Q/S.
ANIMAZIONE
Capacità di un condensatore
piano (2 minuti)
(10)
F
E
3
cm
d
Z
A
X
S
C
D
2“
Il fatto che C dipende da d viene utilizzato per costruire le tastiere dei
computer: il tasto è appoggiato sopra
un condensatore che ha una determinata capacità. Quando si schiaccia il tasto (figura 13), d diminuisce e,
quindi, la capacità del condensatore
aumenta.
R
La formula precedente conferma che la capacità del condensatore piano è una costante che dipende soltanto dalle sue caratteristiche geometriche (in questo caso,
l’estensione delle armature, la distanza tra di esse e il materiale isolante posto al loro
interno).
rmaaturree
d
Figura 13 La variazione della
distanza d tra le armature cambia la
capacità del condensatore posto al di
sotto di un tasto del computer.
819
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
ELETTROMAGNETISMO
I circuiti elettronici delle tastiere rilevano la variazione di capacità e segnalano al
computer che il tasto è stato premuto.
Anche i sistemi con touch-screen capacitivi funzionano rilevando una variazione
della capacità elettrica in un punto dello schermo. A questo proposito esistono diverse tecnologie ma, in tutti i casi, lo schermo sensibile al tocco contiene uno o più
strati di materiale conduttore (spesso disposti in righe e in colonne per determinare
le coordinate del punto in cui avviene il contatto con lo schermo).
Sean Locke/iStockPhoto
Quando tocchiamo lo schermo con un
dito andiamo ad aggiungere un conduttore che prima non c’era, e ciò fa cambiare le proprietà capacitive di quella
zona. Si crea così un segnale che viene
rilevato e interpretato dal software del
dispositivo.
Come si è spiegato, un touch-screen
capacitivo richiede che si tocchi lo schermo con un conduttore (un dito va benissimo); quindi esso non funziona se lo si
maneggia con i guanti oppure se si utilizza uno stilo di scrittura con la punta isolante.
L’elettròmetro
Un elettròmetro è uno strumento che misura le differenze di potenziale in
maniera statica, cioè senza essere attraversato da un flusso continuo di cariche
elettriche.
Gli elettròmetri sono strumenti di grande importanza pratica e, in alcuni casi, sono
insostituibili.
A
asta
conduttrice
B
contenitore
in metallo
Figura 14 Schema costruttivo di un
elettrometro a foglie.
supporto
isolante
Il tipo più semplice di elettròmetro
è costituito, come quello della figura
14, da un elettroscopio a foglie in cui
il contenitore esterno, isolato dall’asta centrale, è costruito in metallo (a
parte una finestra trasparente che
permette di osservare le foglie). L’asta e il contenitore esterno formano
le armature di un condensatore, la
cui capacità C è calcolata o misurata
dal costruttore.
Se si connettono i morsetti A e B
ai punti tra cui si vuole misurare la
differenza di potenziale, le armature
dell’elettròmetro acquistano le cariche Q e Q e la deviazione delle
foglie aumenta al crescere di Q.
820
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI DI ELETTROSTATICA
27
CAPITOLO
Dalla definizione di capacità di un condensatore (formula (7)) si ricava
DV =
Data la proporzionalità diretta tra Q
e V, si può tarare direttamente in
volt la scala graduata dell’elettròmetro e si ottiene uno strumento in cui
l’angolo formato tra le foglie indica la
differenza di potenziale che si vuole
misurare.
La figura 15 mostra un tipo di elettròmetro usato spesso per la misura
di tensioni elevate (alcune migliaia
di volt). Come si vede, le due foglie
dell’elettroscopio sono diverse tra
loro: una è fissa e rigida, l’altra è formata da una lamina leggera e può
ruotare attorno a un perno; in questo
modo essa funziona da indice e mostra il valore della tensione applicata
ai contatti A e B.
6
Q
.
C
lamina
metallica
A
kV
90
80
70
60
50
B
40
30
20 10
0
Figura 15 Elettròmetro con indice
mobile.
VERSO LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Le proprietà matematiche fondamentali del campo elettrico sono riassunte in due
equazioni
(Ev ) =
Q tot
f
e
ᏸ (Ev) = 0
vedremo nel capitolo «Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche» che si
tratta di due delle equazioni di Maxwell, scritte nel caso statico.
Prima equazione
Che cosa dice
La prima equazione (teorema di Gauss per il campo elettrico) stabilisce che il flusso
del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualunque è direttamente
proporzionale alla carica totale contenuta nella superficie (somma algebrica delle
cariche positive e negative all’interno).
Che cosa significa
Le linee del campo elettrico sono aperte: escono dalle cariche positive e terminano
su quelle negative. Però le cariche elettriche che si trovano al di fuori della superficie
gaussiana non contribuiscono al flusso perché le linee di campo che esse generano
intersecano due volte, una volta entrando e una volta uscendo, e quindi il loro
contributo totale al flusso è zero.
821
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
27
ELETTROMAGNETISMO
Quali sono le conseguenze
• Le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrico.
• Su un conduttore in equilibrio elettrostatico la carica si localizza sulla superficie.
• Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico ha modulo dato dal teorema di Coulomb.
Seconda equazione
Che cosa dice
La seconda equazione (teorema della circuitazione per l’elettrostatica) stabilisce che
la circuitazione del campo elettrostatico lungo qualunque curva chiusa orientata ᏸ
è sempre uguale a zero.
Che cosa significa
La seconda delle formule precedenti afferma che il campo elettrostatico è conservativo, cioè che il suo lavoro per trasportare una carica puntiforme da un punto A a un
punto B è indipendente dal percorso scelto per congiungerli.
Quali sono le conseguenze
È possibile definire il potenziale elettrico, cioè un «dislivello elettrico» che stabilisce
qual è il moto spontaneo delle cariche elettriche.
La tabella seguente riassume le proprietà appena esposte.
Equazione
Campo
Grandezza
interessata
A parole
Proprietà
del campo
Conseguenze
Q tot
f
(teorema di
Gauss per il
campo elettrico)
Ev
Flusso
Il flusso del campo
elettrico attraverso
una superficie
chiusa è direttamente proporzionale alla carica totale
contenuta all’interno della superficie.
Linee aperte che escono dalle cariche positive ed entrano nelle
cariche negative
• Le cariche elettriche
sono le sorgenti del
campo elettrico
• Carica elettrica sulla
superficie dei conduttori in equilibrio
• Teorema di Coulomb
ᏸ(Ev ) = 0
(teorema della
circuitazione
per il campo
elettrostatico)
Ev
Circuitazione
La circuitazione
del campo elettrostatico è nulla,
qualunque sia il
cammino orientato
lungo il quale essa
è calcolata.
Conservativo
Si può definire un potenziale elettrico
U (Ev ) =
(E) = 0
822
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
IL CAMPO ELETTRICO E IL POTENZIALE IN UN CONDUTTORE
IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO
Lo scopo generale dell’elettrostatica consiste nel determinare il potenziale elettrico o il campo elettrico in tutti i punti
dello spazio, partendo dalla conoscenza della carica, della forma e della posizione di un numero n dato di conduttori
che costituiscono il sistema.
Equilibrio elettrostatico
• È la condizione in cui tutte le cariche presenti sui conduttori che costituiscono il sistema
in esame sono ferme.
• All’equilibrio, la carica elettrica presente in eccesso nei conduttori si trova tutta sulla loro
superficie esterna.
• La densità superficiale di carica è maggiore nelle parti del conduttore che hanno una
curvatura più accentuata, mentre è minore dove la forma della superficie è meno incurvata e ancora più piccola nelle zone in cui il conduttore è incavato.
Teorema di Coulomb
+
+ +
+
Campo elettrico
All’interno di un conduttore carico all’equilibrio:
E= f
campo elettrico =
+
+++ + +
++
+++
+
+
densità superficiale di carica
costante dielettrica assoluta del mezzo
• Il modulo del campo elettrico Ev in un punto P che
appartiene alla superficie di un conduttore è direttamente proporzionale alla densità superficiale di carica in quel punto; f è la costante dielettrica assoluta del mezzo isolante in cui si trova il conduttore.
• Si dimostra a partire dal teorema di Gauss.
• Il campo elettrico è molto intenso in prossimità delle
punte di un conduttore.
Ev 0
• Se il campo elettrico all’interno non avesse valore nullo, le cariche libere all’interno si muoverebbero e il
conduttore non sarebbe più in equilibrio elettrostatico.
Sulla superficie di un conduttore carico all’equilibrio:
Ev ha direzione perpendicolare alla superficie.
• Se Ev non fosse perpendicolare alla superficie, la sua
componente parallela alla superficie produrrebbe
una forza elettrica capace di fare muovere le cariche
presenti sulla superficie, e il conduttore non sarebbe
più in equilibrio elettrostatico.
• Ev è rivolto verso l’esterno se il conduttore è carico
positivamente; verso l’interno se è carico negativamente.
Potenziale elettrico
In un conduttore carico
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
V(B) = V(A)
• Il potenziale elettrico ha lo stesso valore in tutti i punti all’interno e sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico.
+
• La superficie esterna di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico è sempre una superficie
equipotenziale.
Sfera carica isolata di raggio R
1 Q
1 Q
per r R
V=
V=
4 fr
4 fR
E =0
q +
+
+
A
+
W Ae
B
+
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
V (r)
per r R
R
• Per r R è uguale al potenziale di una carica puntiforme Q.
• Partendo da r 0, il valore di V(r) si mantiene costante fino a r R, poi diminuisce in modo
inversamente proporzionale a r.
0
823
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
+
=0
r=R
r
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
CAPACITÀ DI UN CONDUTTORE
La quantità di carica che si può accumulare sui conduttori dipende dalla loro forma e dimensione. I condensatori
permettono di aumentare notevolmente la capacità di accumulare cariche elettriche: quindi diventano serbatoi di
energia, con innumerevoli applicazioni pratiche e industriali.
Capacità elettrostatica di un conduttore
C=
Q
V
capacità =
carica elettrica
potenziale
Unità di misura
1F
1C
(farad)
1V
• La carica Q che si trova su un conduttore isolato e il potenziale V a cui esso si porta sono direttamente proporzionali.
• Dipende solo dalla forma e dalle dimensioni del conduttore.
Capacità di una sfera conduttrice isolata
C 4 fR
• La sfera ha raggio R ed è immersa in un materiale
con costante dielettrica f.
• La capacità è direttamente proporzionale al raggio
della sfera.
Capacità di un condensatore
C
Q
DV
capacit à =
carica elettrica su una armatura
differenza di potenziale tra le armature
–Q
• Un condensatore è un dispositivo formato da due armature fatte in modo che, quando una di esse riceve la
carica Q, l’altra acquista per induzione una carica –Q.
• La carica Q presente sull’armatura positiva di un condensatore è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale V tra le armature.
+Q
Capacità di un condensatore piano
S
capacit à = costante dielettrica
Cf
d
superficie armatura
assoluta del mezzo
distanza tra le armature
• Un condensatore piano è formato da due lastre metalliche parallele, chiamate armature, poste a una distanza piuttosto
piccola rispetto alla loro estensione.
Campo elettrico
All’interno di un condensatore piano infinito:
E= f
m
EB
EC< E C
A
EB<
C
E0
m
E f
E0
EA EA<
DQ
• è il valore della densità superficiale di carica delle armature.
DS
• Il vettore campo elettrico è uniforme, ortogonale alle armature, diretto da quella positiva a quella negativa.
<m
B
All’esterno di un condensatore piano infinito:
+Q
Ev 0
• All'interno di un condensatore piano reale, con una distanza fra le armature molto piccola rispetto alla loro
estensione, il campo elettrico è con ottima approssimazione uguale a quello del condensatore infinito.
824
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
–Q
ESERCIZI
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
2
3
4
Su un cubo di materiale conduttore è aggiunta una
carica positiva Q che si distribuisce tutta sulle
pareti esterne. Dato che le facce del cubo sono tutte uguali e non ci sono parti incurvate, possiamo
affermare che la carica si è distribuita con uguale
densità su tutta la superficie esterna del cubo?
Il teorema di Gauss permette di spiegare perché
in un conduttore carico in equilibrio elettrostatico la carica netta si trova sulla superficie: questo
vuole anche dire che all’interno del conduttore
non vi possono essere cariche elettriche?
Perché i passeggeri che si trovano all’interno di
un’automobile colpita da un fulmine restano illesi?
Un conduttore A si trova a un potenziale VA rispetto al potenziale di terra. Sai che la Terra si
trova a un potenziale VT rispetto a un conduttore
B preso come riferimento (VB 0 V).
䉴 Quali differenze puoi sottolineare?
10
Un campo elettrostatico si dice conservativo se la sua
circuitazione lungo qualsiasi curva chiusa orientata
è nulla. Questa definizione equivale ad affermare
che il lavoro compiuto dalle forze del campo tra due
punti non dipende dal percorso effettuato?
11
Spiega perché le linee di campo di un campo elettrostatico non possono essere chiuse.
PROBLEMI
1
LA DISTRIBUZIONE DELLA CARICA
NEI CONDUTTORI IN EQUILIBRIO
ELETTROSTATICO
1
Una sfera metallica ha una densità superficiale di
carica pari a 8,4 C/m2 e raggio 30 cm.
䉴 Calcola la carica con cui è stata elettrizzata.
䉴 Quanto
vale il potenziale V Al del conduttore A
rispetto al conduttore B?
5
Come si può effettuare una connessione a terra?
6
La capacità di un conduttore è data dal rapporto
tra la carica che si trova sul conduttore e il suo
Q
potenziale elettrico: C = . Possiamo dire che la
V
capacità è direttamente proporzionale alla carica
e inversamente proporzionale al potenziale?
7
8
9
[29,5 C]
2
䉴 Calcola la densità superficiale media di carica.
[3,5 107 C/m2]
3
Immagina la Terra come una sfera conduttrice
isolata. Dato che essa ha una massa molto grande, avrà anche una capacità molto grande: sei
d’accordo con questa affermazione?
Per aumentare la capacità di un condensatore
piano, Giulio allontana le armature del condensatore per introdurvi un materiale isolante.
Quanto vale la massima distanza a cui può portare le armature se l’isolante è nylon (fr 3,5)?
Considera l’espressione relativa alla capacità di
un conduttore carico isolato e quella relativa alla
capacità di un condensatore.
Un cilindro metallico isolato di raggio di base pari a 1,0 cm e altezza 30 cm è elettrizzato con una
carica di 6,8 nC.
Una sfera di raggio R1, elettrizzata con una carica
Q, ha una densità superficiale di carica . Una
seconda sfera, di raggio R2, elettrizzata con la
stessa quantità di carica Q, ha una densità superficiale di carica doppia della prima.
䉴 Calcola il rapporto tra R2 e R1.
[ 2 /2]
2
IL CAMPO ELETTRICO
E IL POTENZIALE IN UN
CONDUTTORE ALL’EQUILIBRIO
4
Una sfera conduttrice di raggio 10 cm è elettrizzata con una carica di 2,7 C. Sulla sua superficie
esterna una carica di 3,5 nC viene spostata tra
825
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
due punti distanti 3,0 cm.
䉴 Quanto vale la carica sulla superficie della prima e della seconda sfera?
䉴 Calcola il lavoro compiuto per spostare la carica.
5
䉴 Calcola il valore del campo elettrico nei punti
A e B distanti rispettivamente 5,0 cm e 12 cm dal
centro delle sfere.
Il campo elettrico di una sfera conduttrice carica
posta nel vuoto è descritto dal grafico:
[7,5 nC; 0 N/C; 2,1 ⫻ 103 N/C]
E (V/m)
7
3
9,0 10
Considera le due sfere dell’esercizio precedente.
Sulla seconda sfera viene aggiunta una carica
Q2 ⫽ ⫺ 7,5 nC mentre sulla prima sfera la carica
rimane invariata.
䉴 Quanto vale adesso il campo elettrico nei punti
A e B?
0
5,0 10-2
䉴 Disegna il grafico del campo elettrico in funzione della distanza r dal centro delle sfere.
r (m)
䉴 Ricava dal grafico il raggio della sfera.
䉴 Calcola la carica con cui è elettrizzata.
[5,0 ⫻ 10⫺2 m; 2,5 nC]
6
3
9
Due sfere conduttrici concentriche, di spessore
trascurabile, hanno raggi R1 ⫽ 10 cm e
R2 ⫽ 20 cm e densità superficiali di carica
␴1 ⫽ 6,0 ⫻ 10⫺8 C/m2 e ␴2 ⫽ 1,5 ⫻ 10⫺8 C/m2.
Tra le due sfere è inserito un dielettrico con costante dielettrica relativa pari a 2,2.
8
Considera le due sfere concentriche degli esercizi
precedenti, ma con uno spessore d ⫽ 2,0 cm non
trascurabile. R1 e R2 sono i raggi interni delle due
sfere.
䉴 Come cambiano i campi elettrici, in funzione
di r, calcolati nei due problemi precedenti?
䉴 Disegna il grafico del campo elettrico generato dalle due sfere in funzione della distanza r dal
centro delle sfere.
IL PROBLEMA GENERALE DELL’ELETTROSTATICA
PROBLEMA SVOLTO
R = 23,0 cm
Q = -3,45 10-10 C
E=?
Un conduttore sferico isolato, posto nel vuoto, ha un raggio di
23,0 cm e possiede una carica pari a ⫺3,45 ⫻ 10⫺10 C.
䉴 Determina il vettore campo elettrico sulla sua superficie.
r
Q
Strategia e soluzione
• In ogni punto Ev è perpendicolare alla superficie della sfera. Ciò significa che è
disposto lungo la direzione del raggio che congiunge il centro O della sfera con il
punto P. Visto che la carica Q è negativa, il verso di Ev va da P a O (figura a lato).
P
E
O
Q
826
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
• Per calcolare l’intensità di Ev secondo la formula (1) bisogna prima determinare la densità
superficiale di carica elettrica . Visto che la sfera è isolata, la carica si distribuisce sulla sua
superficie in modo uniforme e il valore di è dato semplicemente dal rapporto tra la carica Q e la
superficie S 4 R2 della sfera:
Q - 3,45 # 10 -10 C
C
= =
=- 5,19 # 10 -10 2 .
2
S
4 ^0,230 m h
m
• Il conduttore sferico è posto nel vuoto e quindi si ha f f0; così l’intensità del vettore Ev risulta
E=
- 5,19 # 10 -10 C : m -2
␴
N
=
= - 58,6 .
f 0 8,854 # 10 -12 C 2 : N -1 : m -2
C
Discussione
Dal momento che la superficie della sfera è S 4 R2, nel caso che stiamo esaminando la formula
(1) diviene:
Q
1 Q 1
1 Q
E= =
.
=
=
f 0 f0 S f 0 4 R 2 4 f0 R 2
Si tratta della formula che fornisce il valore del campo elettrico di una carica puntiforme in un
punto che dista R dalla carica stessa. Quindi la formula (1) è in accordo con la formula (15) del
capitolo 26 «Il campo elettrico e il potenziale», che dice che il campo all’esterno (e sulla superficie)
di una distribuzione di carica che ha simmetria sferica è uguale a quello che si avrebbe se tutta la
carica fosse concentrata al centro della distribuzione.
10
In prossimità di una superficie sferica conduttrice nel vuoto la densità di carica elettrica è
1,77 109 C/m2.
12
䉴 Determina il vettore campo elettrico in prossimità della superficie.
䉴 Quali sono i valori del potenziale del condutto-
[200 N/C]
11
Il potenziale in un punto a distanza 2,00 mm dalla superficie di un conduttore è di 103 V, mentre
il potenziale del conduttore è di 100 V.
䉴 Quanto vale la densità di carica sulla superficie
del conduttore in prossimità del punto considerato?
[1,3 108 C/m2]
Un conduttore A e un conduttore B si trovano,
rispettivamente, a un potenziale di 120 V e di
300 V rispetto al potenziale di terra. Decidi di
assumere come riferimento per il potenziale il
conduttore A.
re B e della Terra?
[180 V; 120 V]
13
La Terra si comporta come un buon conduttore
carico. Nelle vicinanze del suolo il campo elettrico è diretto verso il basso e il suo valore è dell’ordine di 150 V/m.
䉴 Calcola la densità di carica presente al suolo.
䉴 Stima la carica in eccesso posseduta dalla Terra.
[1,33 109 C/m2; 6,80 105 C]
827
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
4
LA CAPACITÀ DI UN CONDUTTORE
PROBLEMA SVOLTO
14
R = 6,38 ⫻106 m
C=?
Considera la Terra come un conduttore isolato di raggio
R 6,38 106 m e posto nel vuoto.
R
䉴 Qual è la sua capacità elettrostatica?
Grandezze
Simboli
Valori
Commenti
Dati
Raggio della Terra
R
6,38 106 m
Incognite
Capacità elettrostatica
C
?
Posta nel vuoto
Strategia e soluzione
• Visto che il conduttore Terra è considerato nel vuoto, utilizzeremo la formula (6) con f f0.
• Sostituendo in tale formula i valori numerici troviamo
C 4 f0 R 4 3,14 c 8,854 # 10 -12
F
m (6,38 106 m) 7,09 104 F.
m
Discussione
La capacità elettrostatica di una sfera delle dimensioni della Terra è quindi minore di un millesimo
di farad. Si vede allora che il farad è un’unità di misura troppo grande per poter essere di comodo
uso con conduttori di dimensioni comuni (o anche eccezionali come la stessa Terra).
Nelle applicazioni tecnologiche si utilizzano comunemente capacità dell’ordine del picofarad
(1 pF 1012 F), del nanofarad (1 nF 109 F) e del microfarad (1 F 106 F).
15
Una sfera conduttrice isolata nel vuoto ha una
capacità elettrostatica di 1,00 F.
䉴 Determina il raggio R della sfera.
䉴 Quanto vale il rapporto tra R e il raggio terrestre?
17
Una sfera conduttrice cava, come nella figura
sotto, è posta nel vuoto, ha raggio interno
r1 4,0 cm e possiede una carica di 7,7 nC. Il potenziale della sfera, con la convenzione che sia zero all’infinito, è 1,2 103 V. Il punto P dista
15 cm dal centro della sfera.
[8,99 109 m; 1,41 103]
16
Una sfera metallica nel vuoto, inizialmente scarica, viene portata al potenziale di 3,5 102 V. Il
raggio della sfera è di 10 cm.
Calcola la carica Q depositata sulla superficie
esterna.
䉴
T
0
P
䉴 Quante cariche elementari formano Q?
[3,9 109 C; 2,4 1010]
䉴 Trova il valore del raggio esterno r2 della sfera.
828
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
condensatore?
䉴 Calcola il valore del potenziale nel punto P.
[2,5 kV]
䉴 Calcola il valore del potenziale nel punto T sul-
la superficie interna.
[5,8 102 m; 4,6 102 V; 1,2 103 V; 1,2 103 V]
Un condensatore ha l’armatura positiva a un potenziale 20 V e l’armatura negativa a 5 V.
Questi valori sono riferiti al potenziale di terra.
La sua capacità è di 3,0 nF.
Considera la sfera cava carica dell’esercizio precedente.
䉴 Determina la carica presente sulle due armature.
䉴 Calcola il valore del potenziale nel centro O.
18
20
[45 nC]
䉴 Realizza il grafico (in scala) che mostra l’anda-
mento del potenziale elettrico in un punto P in
funzione della distanza r di P da O.
21
Come si modifica il grafico del potenziale se
sulla sfera è presente una carica di uguale valore
ma negativa?
䉴
5
IL CONDENSATORE
19
Un condensatore di capacità 2,9 nF ha una carica
Q 7,2 C sull’armatura positiva e una carica Q 7,2 C sull’armatura negativa.
䉴
23
Le misure eseguite su un condensatore hanno
fornito i seguenti valori: Q 8,80 C depositata sull’armatura negativa e V 120 V.
䉴 Calcola la capacità del condensatore.
[7,33 108 F]
22
Un condensatore piano di capacità 6,6 109 F
ha le armature, quadrate, poste a distanza
5,0 104 m e riempite con un materiale di costante dielettrica fr 4,0.
䉴 Quanto misura il lato delle armature?
Qual è la differenza di potenziale ai capi del
[31 cm]
PROBLEMA SVOLTO
Un condensatore piano è formato da due fogli quadrati di
alluminio, entrambi con un lato di 15 cm, incollati dalle parti opposte di un foglio di nylon (fr 3,5) che ha uno spessore
d 0,30 mm.
l
εr
䉴 Qual è la capacità del condensatore?
d
l = 15 cm
ε r = 3,5
d = 0,30 mm
C=?
fogli di
alluminio
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Lato di un foglio
l
15 cm
Costante dielettrica relativa del nylon
fr
3,5
Distanza tra i fogli
d
0,30 mm
Capacità del condensatore
C
?
Commenti
Strategia e soluzione
• La formula (10) può essere riscritta come:
S
S
l2
C f fr f0 fr f0 .
d
d
d
829
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
• Sostituendo i valori numerici nell’espressione precedente troviamo:
^0,15 m h2
l2
F
C fr f0 3,5 c 8,85 # 10 -12 m 2,3 109 F.
d
m
^3,0 # 10 -4 m h
La capacità del condensatore vale 2,3 nF.
Discussione
Per confronto con il condensatore, consideriamo una sfera isolata posta nel vuoto e calcoliamo
che raggio dovrebbe avere per possedere la stessa capacità del condensatore, cioè una capacità
Csfera 2,3 nF. Dalla formula (6), scritta nel caso del vuoto, abbiamo
Csfera 4 f0r & r C sfera
2,3 # 10 -9 F
= 21 m.
4␲ f 0
4 # 3,14 # ^8,85 # 10 -12 F/m h
Un condensatore di 15 cm di lato ha quindi la stessa capacità di una sfera isolata di 21 m di raggio.
Se si vuole accumulare carica elettrica, è evidente il vantaggio che si ha usando un condensatore
piuttosto che un conduttore isolato.
24
Un condensatore piano è realizzato con due lastre circolari di raggio 11,0 cm poste, in aria, a
una distanza di 2,50 mm. Il campo elettrico tra le
armature è 8,02 104 V/m.
Accademia Nazionale delle Scienze, 2004
䉴 Determina la capacità del condensatore.
䉴 Calcola la carica di ciascuna armatura.
䉴 Calcola la differenza di potenziale tra le armature.
[135 pF; 27,0 nC; 200 V]
25
Considera il condensatore dell’esercizio precedente. Lo spazio tra le armature viene riempito con
della carta (r 2,10) e la differenza di potenziale
fra le armature viene mantenuta costante (200 V).
27
䉴 Di quanto è aumentata la capacità del condensatore con l’introduzione del dielettrico?
䉴 Quanta carica in più è fluita sulle armature?
Quanto devono distare le due armature nel
vuoto?
䉴
[149 pF; 29,8 nC]
26
Un assone è un prolungamento sottile e lungo di
una cellula nervosa. La sua membrana è carica
positivamente all’esterno e negativamente all’interno per cui, entro certi limiti, si comporta come
un condensatore piano. Lo spessore medio della
membrana è pari a 1 108 m e la superficie ha
area 2 106 m2. Assumi r 5. La differenza di
potenziale tra i due lati della membrana è 1 V.
䉴 Calcola la capacità elettrica dell’assone.
[9 nF]
Devi costruire un condensatore piano usando
come armature due foglietti di stagnola quadrati
di lato 10,0 cm. Vuoi che il tuo sistema possa
mantenere sulla lastra negativa dieci miliardi di
elettroni in eccesso quando la differenza di potenziale è pari a 4,00 V.
[0,221 mm]
28
Le armature parallele di un condensatore piano
posto nell’aria sono a distanza 4,00 cm l’una
dall’altra e hanno area pari a 60,0 cm2. Sulle armature è presente una carica di 5,60 nC. Un elettrone entra nel campo elettrico, attraverso un foro posto nel centro dell’armatura carica positivamente, con velocità di modulo v0. Fai l’ipotesi che
l’elettrone si muova perpendicolarmente alle armature del condensatore.
830
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
䉴
Quale valore deve avere v0 perché la velocità
dell’elettrone si annulli a metà tra le armature?
䉴 il valore iniziale e finale del potenziale della
prima pallina.
䉴 Il risultato ottenuto dipende dalla direzione
della velocità iniziale v0?
(Suggerimento: quando le due palline si toccano
formano un unico conduttore.)
(Suggerimento: pensa alla conservazione dell’energia per l’elettrone…)
[4,8 107C/m2; Q1 9,4 nC; Q2 5,6 nC; 2,7 kV; 1,7 kV]
[2,72 107 m/s; no]
3
PROBLEMI GENERALI
1
Una particella di carica q e massa m viene lasciata
libera da un punto P posto a metà tra le facce di un
condensatore piano mantenute a una differenza di
potenziale costante V, come nella figura sotto. I valori numerici sono: d 10 cm; m 1,0 mg;
q 1,0 C; V 1,0 V.
䉴 A quale distanza in verticale (h) dal punto P deve essere praticato un foro su una faccia del condensatore in modo che la particella carica ci passi
attraverso?
(Olimpiadi della Fisica 2007, gara di secondo livello)
+
[4,9 cm]
-
P
Un filo infinito rettilineo, di raggio r0, viene caricato uniformemente. Il campo elettrico esternamente a tale filo è inversamente proporzionale
alla distanza dall’asse del filo.
䉴 Determina in quali punti intorno al filo la
densità di energia elettrica è un decimo di quella
massima.
[Nei punti a distanza r 10 r0 dall’asse]
4
Un condensatore sferico è formato da due sfere
conduttrici concentriche, di raggi R1 e R2, elettrizzate con cariche Q1 e Q2 uguali in modulo ma
di segno opposto.
Attorno alla Terra, a circa 60 km di altezza, uno
strato di particelle ionizzate (ionosfera) costituisce l’armatura esterna di un condensatore sferico
di cui la superficie terrestre è l’armatura interna.
Il campo elettrostatico dell’atmosfera terrestre
è diretto verso il basso e ha intensità pari a circa
150 V/m.
FP
ionosfera
h
d/2
2
Una pallina conduttrice di raggio 5,0 cm posta
nel vuoto è elettrizzata con una carica Q 1,5 108 C. La pallina viene messa a contatto con
un’altra pallina conduttrice scarica di raggio
3,0 cm. In seguito le due sferette vengono separate e allontanate. Calcola:
䉴 la densità superficiale di carica iniziale della
prima pallina;
䉴 la carica presente sulle due sferette dopo che
sono state allontanate;
Determina la formula della capacità del condensatore sferico.
䉴
䉴 Calcola la capacità del condensatore sferico
Terra-ionosfera.
>C = 4␲ f 0
831
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
R1 R2
; 7,6 # 10 -2 FH
R 2 - R1
ESERCIZI
5
Un condensatore piano che ha le armature di superficie pari a 40 cm2 distanti fra loro 2,0 mm viene caricato a una differenza di potenziale di
600 V. Mantenendo collegato il condensatore alla sorgente di carica che mantiene costante la differenza di potenziale, lo spazio tra le armature è
riempito con olio (fr 4,5).
D
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2008/2009)
2
䉴 Calcola
il valore del campo elettrico tra le armature del condensatore prima e dopo l’inserimento del dielettrico.
Calcola la capacità del condensatore prima e
dopo l’introduzione del dielettrico.
䉴
Una quantità di carica Q viene depositata su un
conduttore isolato costituito da una sfera piena
dotata di una cavità sferica al suo interno. In condizioni statiche la carica si distribuirà:
A
sulle due superfici interna ed esterna, proporzionalmente alla loro superficie.
B
la carica non rimane sul conduttore ma viene
immediatamente dispersa nell’atmosfera per
effetto «corona».
C
uniformemente sulla superficie interna della
cavità.
D
uniformemente nel volume del metallo.
E
uniformemente sulla superficie esterna della
sfera.
[3,0 105 V/m; 18 pF]
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
Rispondi ai quesiti in un massimo di dieci righe.
1
2
3
4
Quali prove sperimentali conosci per affermare
che la carica in eccesso si distribuisce solo sulla
superficie esterna dei conduttori in equilibrio
elettrostatico?
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Ingegneria, 2005/2006)
3
Illustra quali sono le caratteristiche del campo
elettrico e del potenziale in un conduttore carico
in equilibrio elettrostatico.
Ricava la formula per calcolare la capacità di un
condensatore piano ideale in funzione delle sue
caratteristiche geometriche e fisiche.
Quali sono le più comuni convenzioni che riguardano la scelta del livello di zero del potenziale elettrico?
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
Qual è il valore della carica elettrica che si deve
dare ad un conduttore isolato di capacità pari a
4 F affinché esso acquisti il potenziale di 200 V?
A
8 104 C
B
4C
C
2 102 C
0,1 C
In un condensatore a facce piane parallele la capacità non è:
A
direttamente proporzionale alla superficie
delle armature.
B
uguale al rapporto fra carica e differenza di
potenziale fra le armature.
C
inversamente proporzionale alla distanza fra
le armature.
D
direttamente proporzionale alla distanza fra
le armature.
E
direttamente proporzionale alla costante dielettrica relativa del mezzo interposto.
(Prova di ammissione al Corso di laurea delle Professioni Sanitarie, 2005/2006)
4
In un condensatore a facce piane parallele, per
raddoppiare la capacità occorre:
A
raddoppiare la distanza fra le armature.
B
dimezzare la costante dielettrica del mezzo interposto fra le armature.
C
dimezzare la carica a pari differenza di potenziale.
832
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
D
dimezzare la distanza fra le armature e raddoppiarne la superficie.
E
raddoppiare la superficie delle armature.
(Prova di ammissione al Corso di laurea delle Professioni Sanitarie, 2002/2003)
1
1
STATEMENT 1
For practical purposes, the earth is used as a reference at zero potential in electrical circuits.
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
And
Una superficie sferica conduttrice di raggio
R 10 cm, possiede una carica positiva Q 1,6 10 12 C. Un elettrone si trova inizialmente in un
punto A a una distanza d 40 cm dalla superficie
della sfera ed è dotato di una velocità vA 105 m/s
diretta verso il centro della sfera. Descrivere quello
che succede e calcolare (me 9,1 1031 kg):
The electrical potential of a sphere of radius R
with charge Q uniformly distributed on the surQ
face is given by
.
4␲f0 R
A STATEMENT 1 is true, STATEMENT 2 is
true; STATEMENT 2 is a correct explanation
for STATEMENT 1.
A
il valore del potenziale nel punto A.
B
la velocità dell’elettrone un attimo prima di
urtare la superficie della sfera.
C
il campo elettrico e il potenziale nel punto P a
una distanza di 5 cm dal centro della sfera.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2009/2010)
2
STUDY ABROAD
STATEMENT 2
B
STATEMENT 1 is true, STATEMENT 2 is
true; STATEMENT 2 is NOT a correct explanation for STATEMENT 1.
C
STATEMENT 1 is true, STATEMENT 2 is false.
D
STATEMENT 1 is false, STATEMENT 2 is
true.
(Joint Entrance Examination for Indian Institutes
of Technology (JEE), India, 2008/2009)
Un condensatore a facce piane parallele è costituito da due piastre di superficie S 10 cm2 e distanti
fra loro d 5 cm. Sulle armature del condensatore
si trova una carica Q 1 C. Calcolare:
A
la capacità del condensatore.
B
l’intensità del campo elettrico fra le piastre del
condensatore.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2009/2010)
3
Un condensatore piano è costituito da 2 armature di superficie S 12 cm2 distanti d 3 mm.
Alle armature è applicata una differenza di potenziale 10 V. Determinare:
A
la capacità del condensatore.
B
il campo elettrico al suo interno.
C
la densità di carica su ciascuna armatura.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2009/2010)
833
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
28
LA CORRENTE ELETTRICA
CONTINUA
vladek/Shutterstock
Soluzioni elettrolitiche
Mettendo nell’acqua un po’
di sale da cucina (NaCl), si
formano degli ioni Na (atomi
di sodio che hanno perso un
elettrone) e Cl (atomi di cloro
con un elettrone in più). Così
l’acqua salata è un conduttore
e può essere attraversata da
una corrente elettrica dovuta
al moto contemporaneo e in
versi opposti di cariche dei due
segni.
Figura 1 La corrente elettrica in
un filo metallico è dovuta a un moto
ordinato di elettroni. Nelle soluzioni
saline le cariche sono invece portate da
atomi carichi, detti ioni.
1
L’INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA
i
−
Si chiama corrente elettrica
un moto ordinato di cariche
elettriche.
In un filo metallico le cariche elettriche in movimento sono elettroni negativi, ma in
altri casi ci possono essere dei portatori di carica sia positivi che negativi.
Esiste un’analogia tra il moto delle cariche elettriche e quello di un liquido.
dislivello
corrente
del liquido
Figura 2 Un dislivello di quota crea
una corrente di un liquido.
−
−
Nel filamento di tungsteno di una
lampadina accesa si muovono delle
cariche elettriche (figura 1).
Per fare scorrere l’acqua in una conduttura occorre che il liquido si trovi a livelli diversi, in modo che un
volumetto d’acqua posto ai due livelli abbia una differenza di energia
potenziale.
Allo stesso modo, per far muovere le cariche è necessaria una differenza di potenziale elettrico: le cariche positive seguono la «discesa di
potenziale» mentre quelle negative
la risalgono (figura 2).
834
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
28
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
CAPITOLO
L’intensità di corrente
Consideriamo una sezione trasversale S del filo in cui c’è la corrente elettrica (figura
3). Aspettiamo per un intervallo di tempo t e indichiamo con Q il valore della
carica che attraversa la sezione S nel tempo t.
S
-
+
+
-
+
+
+
-
+
-
–
-
Figura 3 La caricaQ, fatta di
cariche positive che vanno verso destra
e cariche negative che vanno verso
sinistra, attraversa la superficie S in un
tempo t.
+
Per indicare quanto è «grande» la corrente elettrica introduciamo una nuova grandezza, l’intensità di corrente elettrica:
intensità di corrente
elettrica (A)
carica elettrica (C)
i=
Q
t
(1)
intervallo di tempo (s)
ANIMAZIONE
L’intensità di corrente
(2 minuti)
André Marie Ampère
Sergey Shustov/Shutterstock
Nel Sistema Internazionale l’intensità
di corrente elettrica si misura in coulomb fratto secondi (C/s). In onore del fisico francese André Marie
Ampère (1775-1836), a questa unità
di misura è stato dato il nome di ampere (simbolo A). Una corrente di 1 A
trasporta 1 C di carica in 1 s.
L’intensità di corrente si misura
con l’amperometro, che può essere
analogico o digitale.
Ivaschenko Roman/Shutterstock
Si chiama intensità di corrente elettrica il rapporto tra la quantità di carica
che attraversa una sezione del conduttore e l’intervallo di tempo impiegato.
(1775-1836) fisico francese.
Studiò per primo la forza
magnetica che si esercita tra due
fili paralleli percorsi da corrente
e creò la prima teoria sistematica
dei fenomeni magnetici.
L’intensità di corrente è una grandezza unitaria che misura la quantità di carica che
attraversa la sezione S del conduttore in un secondo.
ESEMPIO
Nell’intervallo di tempo t 0,10 s una sezione di un conduttore è
attraversata da una carica Q 0,050 C.
f Calcola l’intensità di corrente che attraversa quella sezione del conduttore.
Per la formula (1) l’intensità di corrente richiesta è:
i=
Q
0,050 C
C
=
= 0,50 = 0,50 A.
0,10 s
t
s
835
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
28
ELETTROMAGNETISMO
Il verso della corrente
Seguendo un’antica consuetudine,
si definisce come verso della corrente elettrica quello in cui si muovono le
cariche positive.
Di conseguenza, il verso convenzionale della corrente elettrica è quello che fa passare da punti a potenziale elettrico più alto verso punti che si trovano a potenziale minore.
Il valore di Q che compare nella formula (1) si calcola considerando la somma
delle cariche positive che attraversano la sezione S (figura 3) nel verso convenzionale
della corrente e delle cariche negative che passano attraverso S nel senso opposto.
La convenzione sul verso della corrente elettrica si applica anche ai conduttori,
come quelli metallici, in cui non ci sono cariche positive in movimento: se gli elettroni, carichi negativamente, si muovono da destra verso sinistra come nella figura
4, la corrente convenzionale è diretta da sinistra a destra.
i
-
+
Figura 4 Il verso convenzionale
della corrente elettrica è quello in cui
si muovono le cariche positive; quelle
negative danno contributo alla corrente
muovendosi in senso opposto.
-
-
-
-
-
–
-
La corrente continua
Una pila stilo, collegata a una lampadina, almeno per un po’ di tempo fornisce una
corrente continua.
Una corrente si dice continua quando la sua intensità non cambia nel tempo.
Molto spesso, su alimentatori o altri dispositivi
con indicazioni in lingua inglese la corrente
continua è indicata con il simbolo «DC»
(dall’inglese direct current).
Dalla formula (1) si ottiene
Deca, 2004
Q i t.
(2)
Nel caso di una corrente continua, la carica che
attraversa una sezione del filo e il tempo trascorso sono direttamente proporzionali: dopo
un tempo doppio, triplo, … anche la carica trasportata dalla corrente raddoppia, triplica ecc.
836
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
2
28
CAPITOLO
I GENERATORI DI TENSIONE
E I CIRCUITI ELETTRICI
In una conduttura, la differenza di livello genera una corrente di liquido. Questa
corrente, man mano che fluisce, tende ad annullare il dislivello.
�Quando il liquido si trova allo stesso
livello, la corrente non fluisce più.
�Per mantenere la corrente del liquido, occorre ricreare il dislivello con
una pompa.
ANIMAZIONE
Il generatore di tensione
(1 minuto e mezzo)
pompa
+
B
La pompa toglie l’acqua dove il livello è basso e la trasporta dove il livello è alto, ricreando così il dislivello che causa la corrente di liquido.
In modo simile, la differenza di potenziale genera una corrente elettrica. Questa
corrente, man mano che fluisce, tende ad annullare la differenza di potenziale. Per
mantenere la corrente, occorre ricreare il «dislivello» di potenziale con una pila o
con un altro generatore di tensione.
+
+
+
+
allkaaline
li e PO
PO
POWE
OWER
A
Si chiama generatore ideale di tensione continua un dispositivo capace di
mantenere ai suoi capi una differenza di potenziale costante, per un tempo
indeterminato e qualunque sia la corrente da cui è attraversato.
+
+
+
+
+
+
+
Un generatore di tensione continua, come la pila della figura 5, ha la stessa funzione
della pompa: preleva le cariche positive (convenzionali) dove il potenziale è basso ()
e le trasporta dove il potenziale è alto (). Poi, quando si trovano a potenziale più alto,
le cariche scendono naturalmente lungo il dislivello elettrico, creando una corrente.
Il generatore ideale di tensione è (come il punto materiale o il gas perfetto) un
modello semplificato del comportamento dei dispositivi reali, utile per analizzare in
prima approssimazione il comportamento dei sistemi fisici. Nell’ultimo paragrafo
di questo capitolo si mostra come è possibile rendere il modello più realistico.
Figura 5 Le cariche positive
convenzionali si muovono dal polo −
a quello + all’interno del generatore
di tensione e dal + al − nel circuito
esterno.
I circuiti elettrici
Cariche positive
convenzionali
Colleghiamo i capi di una lampadina ai poli di una pila con due fili di rame: vediamo
che la lampadina si illumina. Ciò che abbiamo realizzato è un circuito elettrico.
Anche nei conduttori metallici,
in cui la corrente è dovuta
soltanto al movimento degli
elettroni, non si fa alcun errore
se si ragiona in termini di
cariche positive ipotetiche che
si muovono nel senso della
corrente convenzionale.
Si chiama circuito elettrico un insieme di conduttori connessi in modo
continuo e collegati a un generatore.
837
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
28
ELETTROMAGNETISMO
• Se la catena dei conduttori non è interrotta, il circuito si dice chiuso e in esso
fluisce una corrente elettrica.
• Se è interrotta, il circuito si dice aperto e in esso non c’è corrente.
Il circuito della figura 6 è formato da una pila e da tre conduttori: una lampadina e
due fili di rame. Lo stesso circuito è modellizzato nello schema posto a destra, in cui è
indicato il verso della corrente convenzionale.
i
+
i
alkaline POWER
+
Figura 6 Lampadina collegata a
una pila; a fianco lo schema circuitale
corrispondente.
i
i
Ciascun elemento di un circuito è rappresentato da un simbolo (tabella sotto).
Simboli elettrici
Generatore di tensione continua
+
-
Lampadina
Filo di collegamento
Interruttore aperto
Interruttore chiuso
Collegamento in serie
Le tre lampadine della figura 7 sono collegate in serie, cioè una di seguito all’altra.
Lo schema circuitale a lato mette in evidenza che in ogni lampadina passa la stessa
corrente.
i
i
i
i
Figura 7 Tre lampadine collegate
in serie; a fianco lo schema circuitale
corrispondente.
+
9V
-
ne POWER
- +
i
i
i
i
838
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
28
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
CAPITOLO
i
Più conduttori sono collegati in serie se sono posti in successione tra loro. In
essi passa la stessa corrente elettrica (figura 8).
Di solito sono poste in serie le lampadine dell’albero di Natale. Quando una lampadina brucia, il circuito si apre, la corrente smette di circolare e quindi tutte le altre si
spengono.
A
B
C
Figura 8 Conduttori in serie sono
attraversati dalla stessa corrente
elettrica.
Collegamento in parallelo
i
+
Patrick Johnson/Shutterstock
Le tre lampadine della figura 9 sono collegate in parallelo: gli estremi di sinistra sono connessi tra loro e anche gli estremi di destra sono connessi tra loro. Lo schema
posto a fianco mette in evidenza che la corrente si divide in tre rami nell’estremo di
sinistra e si ricongiunge nell’estremo di destra.
-
i1
- +
i2
A
B
i3
Figura 9 Tre lampadine collegate in
parallelo; a fianco lo schema circuitale
corrispondente.
Più conduttori sono collegati in parallelo se hanno le prime estremità
connesse tra loro e anche i secondi estremi connessi tra loro. Essi sono
sottoposti alla stessa differenza di potenziale.
Nell’esempio precedente, la differenza di potenziale ai capi di ciascuna lampadina è
quella fornita dalla pila e quindi è la stessa.
Nell’impianto elettrico di casa tutti gli utilizzatori (lampadine, televisore, elettrodomestici…) sono collegati in parallelo tra loro, in modo da funzionare tutti con la
stessa differenza di potenziale, che è prelevata dalle prese (figura 10).
La connessione in parallelo consente
ai singoli utilizzatori di funzionare in
modo indipendente. Per esempio, si
può tenere spenta la lavatrice mentre il televisore è acceso. Questo non
accadrebbe se la connessione fosse in
serie: spegnere la lavatrice significherebbe aprire il circuito, impedendo
che al televisore arrivi la corrente.
IN LABORATORIO
Lampadine in serie
e in parallelo
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
Figura 10 In un appartamento
i diversi utilizzatori elettrici sono
collegati in parallelo tra loro.
839
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
28
ELETTROMAGNETISMO
3
LA PRIMA LEGGE DI OHM
Facciamo un esperimento per capire come varia l’intensità di corrente in un conduttore quando cambiamo la differenza di potenziale ai suoi capi. Possiamo pensare,
per esempio, di avere a disposizione molte pile di tipo diverso.
Durante l’esperimento il conduttore deve essere mantenuto in condizioni stabili
di temperatura, di pressione e di tutte le altre grandezze che possono modificarne il
comportamento elettrico.
�Misuriamo
la corrente con un amperometro, collegato in serie con il
conduttore, in modo da essere attraversato dalla stessa corrente.
� Misuriamo
la differenza di potenziale con un voltmetro, collegato in
parallelo al conduttore, in modo da
avere ai suoi capi la stessa differenza di
potenziale.
am
mperr
i
A
A
+
voltmetro
conduttore
alkaline POWER
alkaline POWER
+
i
-
V
V
i
A
B
Riportiamo i dati sperimentali in un diagramma corrente-tensione e otteniamo così
la curva caratteristica del conduttore. Le curve caratteristiche possono avere molte
forme.
� Diversa è la curva caratteristica di
� Ancora diversa è quella dell’arco
un LED luminoso, che si usa negli
stereo e nei cellulari.
elettrico, la «lampadina» dei vecchi
proiettori per cinema.
intensità di corrente i
0
B
A
O
differenza di potenziale
differenza di potenziale V
intensità di corrente i
diagramma sotto mostra la
curva caratteristica di un tubo al
neon.
intensità di corrente i
� Il
O
V
differenza di potenziale
V
C
Il fisico tedesco Georg Simon Ohm verificò sperimentalmente che esiste un’ampia classe
di conduttori (che comprende i metalli e le soluzioni di acidi, basi e sali) per i quali la
curva caratteristica è una retta passante per l’origine, come quella della figura 11.
840
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
intensità di corrente i
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
28
Georg Simon Ohm
(1775-1836) fisico tedesco.
È famoso per le due leggi
che portano il suo nome, ma
fece anche studi di acustica
e di ottica. Definì in modo
preciso i concetti di «intensità
di corrente» e di «forza
elettromotrice».
O
differenza di potenziale
Figura 11 La curva caratteristica dei
conduttori ohmici è una retta passante
per l’origine degli assi V e i.
V
Dal suo nome, i conduttori di questo tipo sono detti ohmici.
La prima legge di Ohm afferma che:
nei conduttori ohmici l’intensità di corrente è direttamente proporzionale alla
differenza di potenziale applicata ai loro capi.
Ciò si esprime con la formula
intensità di corrente
elettrica (A)
differenza di potenziale (V)
i=
DV
R
resistenza elettrica
(V/A o )
(3)
La costante di proporzionalità R si chiama resistenza elettrica e si misura in volt
fratto ampere (V/A). Questa unità di misura è chiamata ohm ():
1=
1V
.
1A
Un conduttore ha la resistenza di 1 quando, sottoposto a una differenza di potenziale di 1 V, è attraversato dalla corrente di 1 A. 1 è la resistenza di un normale filo
elettrico di rame lungo quasi 50 m.
ESEMPIO
Ai capi di un conduttore, che ha una resistenza elettrica di 51 , è applicata
una differenza di potenziale V 3,0 V.
f Calcola l’intensità di corrente che attraversa il conduttore.
Sostituendo i valori numerici nella formula (3) possiamo calcolare:
i=
CAPITOLO
3 ,0 V
V
V
A
=
= 0,059
= 0,059 V : = 0,059 A.
R
51 V/A
V
841
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
28
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
Olav Wildermann/iStockPhoto
I resistori
Si chiama resistore un componente elettrico che segue la prima legge di Ohm.
Per esempio, un filo di rame o di alluminio è un resistore. In laboratorio, per costruire i circuiti elettrici, si usano spesso resistori come quelli della fotografia.
Negli schemi elettrici, la presenza di un resistore è indicata dal simbolo mostrato
in figura 12:
Figura 12 Simbolo circuitale del
resistore.
4
Resistori e resistenze
Spesso i resistori sono chiamati
impropriamente resistenze.
I RESISTORI IN SERIE E IN PARALLELO
Consideriamo ora un circuito formato da un generatore di tensione collegato a una
rete di resistori. In questo caso:
si chiama resistenza equivalente della rete di resistori quella di un singolo
resistore che, sottoposto alla stessa differenza di potenziale V a cui è soggetta
l’intera rete, assorbe dal generatore la stessa corrente elettrica.
Se indichiamo con ieq tale corrente, la resistenza equivalente Req è data dalla formula
R eq =
V
.
i eq
(4)
Resistori in serie
Il circuito della figura 13 è costituito da una pila e da due resistori in serie tra loro e
con il generatore. Lo stesso circuito è modellizzato nello schema posto a destra.
R1
inne POW
W
WER
+
V
i
i
-
V
R1
+
i
Figura 13 Due resistori collegati
in serie; a fianco lo schema circuitale
corrispondente.
i
R2
i
R2
Per definizione, l’intensità i della corrente che passa nel circuito deve essere la stessa
se si sostituiscono i due resistori (di resistenze R1 e R2) con un unico resistore equivalente; quindi si ha
842
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
28
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
ieq(serie) i.
(5)
Invece, la differenza di potenziale V ai capi del generatore è la somma delle tensioni
V1 e V2 agli estremi dei due resistori:
V V1 V2.
(6)
CAPITOLO
ESPERIMENTO VIRTUALE
Circuiti e resistori
• Gioca
• Misura
• Esercitati
Siamo ora in grado di dimostrare che
la resistenza equivalente di più resistori posti in serie è uguale alla somma delle
resistenze dei singoli resistori:
Req R1 R2 R3 …
(7)
Dimostriamo la formula (7) nel caso di due resistori. Con le notazioni introdotte
sopra, per la prima legge di Ohm le tensioni ai capi dei resistori sono
V1 R1i e V2 R2i.
Sostituendo queste espressioni nella (6) si trova
V R1i R2i (R1 R2)i
e infine, se sostituiamo nella (4) il risultato appena trovato e la (5), otteniamo
R eq =
V ^R 1 + R 2h i
=
= R 1 + R 2,
i eq
i
che dimostra la (7) nel caso particolare di due resistori.
La legge per le resistenze in serie mostra che ogni resistore aggiunto in serie aumenta la resistenza totale del circuito; ciò è dovuto al fatto che ogni resistore in più
aggiunge un nuovo ostacolo al fluire della corrente.
Di solito, in un circuito come quello disegnato all’inizio del paragrafo i fili di connessione hanno resistenze trascurabili rispetto a quelle dei resistori con cui sono collegati in
serie e, quindi, si possono considerare come conduttori ideali (di resistenza zero). Ma
anche se la loro resistenza non è trascurabile rispetto a quelle dei resistori, si può sempre
disegnare uno schema circuitale in cui le connessioni sono conduttori ideali, mentre le
resistenze dei fili sono inglobate in quelle dei resistori usando la formula (7).
Resistori in parallelo
Il circuito della figura 14 è costituito da una pila e da due resistori collegati in parallelo tra loro. Lo stesso circuito è rappresentato dallo schema a fianco.
A
i
inne POW
W
WER
+
i2
i1
R1
i
A
R2
i1
i2
B
i
V
+
i
i1
i2
R1
R2
i1
i2
Figura 14 Due resistori collegati in
parallelo; a fianco lo schema circuitale
corrispondente.
B
843
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
28
ELETTROMAGNETISMO
La corrente erogata dal generatore reale dello schema precedente è uguale alla somma delle correnti i1 e i2 che attraversano i due resistori. Ma essa è anche uguale alla corrente ieq che attraversa il resistore equivalente dello schema sotto (figura 15).
Quindi si ha
ieq(parallelo) i1 i2.
ieq
ieq
+
V
Figura 15 Circuito equivalente a
quello con due resistori in parallelo.
(8)
Req
ieq
ieq
Siamo ora in grado di dimostrare che
se si hanno più resistori collegati in parallelo, l’inverso della loro resistenza
equivalente Req è uguale alla somma degli inversi delle resistenze dei singoli
resistori:
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
(9)
R eq R 1 R 2 R 3
Dimostriamo la (9) nel caso di due resistori. Essendo in parallelo, essi sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale V mantenuta dal generatore, per cui si ha
i1 =
V
R1
e i2 =
V
.
R2
(10)
Ora possiamo sostituire le formule (8) e (10) nella (4), riscritta come
i eq
1
,
=
R eq V
in modo da ottenere l’espressione
i eq
1
1
=
=
^i + i 2 h =
R eq V V 1
=
1 V V
1 1
1
1
1
+
c
m = V c R + R mV = R + R ,
V R1
R2
1
2
1
2
che è la formula (9) nel caso particolare di due resistori. Secondo tale formula, ogni
resistore aggiunto in parallelo diminuisce la resistenza totale del circuito, perché si
offre una possibilità in più al fluire della corrente elettrica.
844
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
28
CAPITOLO
ESEMPIO
Tre resistori di resistenze R1 400 , R2 400 e R3 800 sono collegati
in parallelo tra loro.
f Quanto vale la resistenza equivalente del sistema di tre resistori?
• Scrivendo la formula (9) nel caso particolare di tre resistori si ottiene
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
=
+
+
=
R eq
R1 R2 R3
400 400 800 = 2,50 # 10 -3 -1 + 2,50 # 10 -3 -1 + 1,25 # 10 -3 -1 =
= 6,25 # 10 -3 -1 .
• Ora prendiamo il reciproco del primo e dell’ultimo termine nella
precedente catena di uguaglianze e otteniamo il risultato:
R eq =
1
= 160 .
6,25 # 10 -3 -1
Risoluzione di un circuito
Nelle applicazioni, è spesso utile risolvere un circuito di cui sono note le caratteristiche dei generatori e dei resistori presenti.
Risolvere un circuito significa determinare il valore e il verso di tutte le
correnti presenti e, di conseguenza, anche il valore delle tensioni ai capi di
tutti i resistori.
5
LE LEGGI DI KIRCHHOFF
Un circuito con più di un generatore, o in cui la disposizione dei resistori sia particolarmente complessa, non può essere risolto con il metodo dei resistori in serie e in
parallelo visto nel paragrafo precedente.
Un metodo alternativo consiste nel determinare le n correnti incognite scrivendo
un sistema di n equazioni che le contengono. Queste equazioni possono essere determinate utilizzando le leggi di Kirchhoff, che esprimono le proprietà fondamentali
di qualunque circuito ohmico (che, cioè, contiene soltanto generatori di tensione e
resistori).
La prima di queste leggi si applica ai nodi e la seconda alle maglie del circuito.
Sistema lineare
In questo modo si ottiene, in
generale, un sistema lineare
determinato di n equazioni
in n incognite. Tale sistema
ammette una e una sola
soluzione.
Gustav Robert Kirchhoff
Un nodo è un punto in cui convergono tre o più conduttori. Una maglia è un
tratto chiuso di circuito. Una maglia è fatta di più rami che connettono due
nodi.
Per esempio, nella figura 16 i punti A e B sono nodi e il percorso evidenziato in giallo
è una delle tre maglie del circuito. Ognuno dei due tratti di circuito che collegano A a
B è un ramo.
(1824-1887), fisico e
matematico tedesco. Oltre che
per i suoi studi sulle correnti
elettriche, è noto per essere
uno dei fondatori dell’analisi
spettroscopica, che permette di
determinare i costituenti di una
sostanza a partire dall’analisi
della radiazione che essa
emette.
845
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
V1
R1
- +
A
28
i1
B
i2
- +
R2
V2
i3
ELETTROMAGNETISMO
A ogni ramo del circuito si assegnano un numero d’ordine e un verso di percorrenza; in questo modo è possibile indicare le intensità di corrente che fluiscono in quel
ramo con un simbolo i1, i2, i3, … e assegnare a ogni corrente un verso provvisorio
(quello assegnato al ramo), utile per lo studio del circuito.
La legge dei nodi
R3
Figura 16 I punti A e B sono nodi del
circuito; il percorso evidenziato in giallo
è una maglia.
La prima legge di Kirchhoff (o legge dei nodi) stabilisce che la somma delle
intensità di corrente entranti in un nodo è uguale alla somma di quelle uscenti.
Se si adotta la convenzione di considerare positive le correnti entranti e negative
quelle uscenti, la legge dei nodi può essere espressa dicendo che la somma algebrica
delle m correnti entranti in un nodo è sempre uguale a zero:
m
i 1 + i 2 + ... + i m = / i k = 0,
(11)
k=1
dove i simboli ik, con 1 k m, indicano le intensità (con segno) delle m correnti
che percorrono i rami che convergono nel nodo.
La prima legge di Kirchhoff è una conseguenza del principio di conservazione della carica elettrica. Infatti, se il secondo membro dell’equazione (11) fosse positivo,
in corrispondenza del nodo si avrebbe creazione di carica. Al contrario, se esso fosse
negativo si avrebbe scomparsa di carica elettrica (o creazione di carica negativa).
La legge delle maglie
La seconda legge di Kirchhoff (o legge delle maglie) afferma che la somma
algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una
maglia è uguale a zero.
Se, percorrendo una data maglia, si incontrano p variazioni di potenziale, la legge
delle maglie può essere espressa mediante la formula
p
V1 + V2 + ... + V p = / Vk = 0.
(12)
k=1
La legge delle maglie esprime il fatto che, descrivendo un percorso chiuso lungo il
circuito, ritorniamo allo stesso potenziale da cui eravamo partiti. Quindi la differenza di potenziale totale attraversata, uguale alla somma algebrica delle singole differenze di potenziale incontrate, non può che essere nulla.
Una carica q che percorre l’intera maglia subisce una variazione di energia potenziale
U tot = q Vtot = q / Vk = q # ^ 0 V h = 0 J.
p
k=1
Quindi, al termine del percorso lungo l’intera maglia la carica q ha la stessa energia
potenziale che aveva all’inizio. In altre parole, la seconda legge di Kirchhoff è un’espressione del principio di conservazione dell’energia.
846
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
6
28
CAPITOLO
LA TRASFORMAZIONE
DELL’ENERGIA ELETTRICA
Un ferro da stiro e un asciugacapelli contengono un resistore che si scalda quando è
percorso da una corrente elettrica.
�Nel ferro da stiro il calore riscalda la
piastra.
�Nell’asciugacapelli il calore riscalda
l’aria.
resistenze
Tensione alternata
Collegati alla rete elettrica
domestica, questi
elettrodomestici non
funzionano con una tensione
continua, ma con una tensione
alternata. Lo stesso effetto di
riscaldamento potrebbe però
essere ottenuto facendoli
attraversare da una corrente
continua.
aria
fredda
aria calda
resistenze
A
B
In questi elettrodomestici, mentre passa la corrente, l’energia (potenziale) elettrica
si trasforma in energia interna del filo che diventa caldo in quanto è aumentata l’energia cinetica media delle sue molecole.
L’aumento di energia interna è dissipato sotto forma di calore, che serve per scaldare una piastra di metallo (ferro da stiro), l’aria (asciugacapelli e stufa elettrica),
l’acqua (lavatrice, lavastoviglie e boiler) e anche alimenti (tostapane).
La trasformazione di energia elettrica in calore si chiama effetto Joule.
Consideriamo un resistore percorso da una corrente elettrica.
Si chiama potenza dissipata dal resistore la rapidità con cui l’energia elettrica
è trasformata in energia interna del resistore.
Per esempio, se un ferro da stiro dissipa la potenza di 1 kW significa che, in ogni secondo, 1000 J di energia elettrica si trasformano in energia interna.
In un resistore di resistenza R nel quale circola la corrente i, la potenza dissipata P
è data dalla formula
potenza dissipata (W)
resistenza ()
P Ri2
Resistore
Un resistore è un conduttore
ohmico, cioè che segue la
prima legge di Ohm.
ANIMAZIONE
L’effetto Joule e la potenza
dissipata
(1 minuto e mezzo)
(13)
intensità di corrente (A)
Quindi la potenza dissipata è direttamente proporzionale alla resistenza e al quadrato della corrente elettrica. Per esempio, se l’intensità di corrente triplica, la potenza
dissipata aumenta di nove volte.
L’effetto Joule è utilizzato anche per realizzare semplici dispositivi con cui si verifica lo stato di carica delle pile: ponendo le dita sugli estremi di una striscia conduttrice, come nella fotografia a fianco, si applica la differenza di potenziale fornita
dalla pila ai capi di un sottile conduttore, che così si scalda. Questo riscaldamento
847
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
28
ELETTROMAGNETISMO
provoca la variazione di colore della zona che ricopre il conduttore: più la pila è
efficiente, maggiore è il riscaldamento del conduttore, più evidente è la colorazione
che ne consegue.
ESEMPIO
Un conduttore ohmico di resistenza R 130 è percorso da una corrente di
1,80 A.
f Calcola il valore della potenza P dissipata dal conduttore.
Ricaviamo il valore di P dalla formula (13):
P = Ri 2 = ^ 130 h # ^ 1,80 A h2 = 421 : A 2 =
J C
V
= 421 : A 2 = 421 : = 421 W.
A
C s
Dimostrazione della formula della potenza dissipata
Consideriamo un resistore di resistenza R. Ai suoi estremi A e B il potenziale elettrico ha valori, rispettivamente, VA e VB. La prima legge di Ohm afferma che:
VA VB Ri.
(14)
Il resistore è percorso da una corrente i che, in un intervallo di tempo t, trasporta
una carica
q it.
Quando una carica q si sposta da un punto all’altro, tra i quali esiste una differenza
di potenziale (VA VB), il lavoro fatto dal campo elettrico è
W q(VA VB) it(VA VB).
La potenza P è definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e il tempo impiegato.
Troviamo quindi
P=
W i t ^ V A - V B h
=
= i^VA - VBh.
t
t
(15)
La formula precedente vale per qualunque conduttore, anche non ohmico. Nel caso
di un conduttore ohmico, sostituendo in essa la (14) si ottiene
P i(VA VB) i (Ri) Ri2,
che è proprio la formula (13).
La conservazione dell’energia nell’effetto Joule
Il fisico inglese James P. Joule (1818-1889) fece un’importante esperienza con l’apparato sperimentale della figura 17: un resistore è posto all’interno di un calorimetro
che contiene una massa nota m di acqua, che ha calore specifico c.
848
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
28
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
L’amperometro A misura l’intensità i della
corrente che percorre il resistore, il voltmetro V permette (nota la corrente i) di misurare la resistenza R del resistore, mentre un
cronometro misura l’intervallo di tempo t
durante il quale i è costante e diversa da zero. Nello stesso tempo, il termometro misura l’aumento di temperatura T dell’acqua,
dovuto alla potenza elettrica dissipata dal
resistore.
CAPITOLO
V
i
i
Figura 17 Apparato di Joule
per controllare la conservazione
dell’energia nei fenomeni termici che
coinvolgono correnti elettriche.
Joule verificò sperimentalmente che l’energia
W P t Ri2 t
ceduta dalla corrente nella resistenza durante l’intervallo di tempo t è uguale all’energia
W cm T
assorbita dall’acqua.
Il risultato dell’esperimento è una conferma che anche per i fenomeni elettrici
vale il principio di conservazione dell’energia totale.
Infatti, tutta l’energia elettrica spesa dal generatore di tensione per fare fluire la corrente i si ritrova come aumento di energia interna dell’acqua. Esattamente come
avviene quando si scalda l’acqua in altri modi, per esempio compiendo un lavoro
meccanico con un mulinello a pale, si può fare aumentare l’energia interna di un
sistema senza usare quell’energia in transito che chiamiamo calore.
Il kilowattora
I consumi di energia elettrica sono di solito espressi non in joule, ma in kilowattora
(kWh), che è un’unità di misura di energia (e non di potenza).
Un kilowattora è l’energia assorbita in un’ora da un dispositivo che dissipa la
potenza di 1000 W:
1 kWh 1000 W 3600 s 3,6 106 J
Per esempio, una lavatrice, nella fase in cui scalda l’acqua, assorbe una potenza di
2 kW. Se continua a funzionare per due ore, consuma un’energia di 4 kWh.
7
LA FORZA ELETTROMOTRICE
All’interno di un generatore di tensione vi sono forze capaci di spingere le cariche
contro il campo elettrico: le cariche positive verso il polo «» e gli elettroni verso il
polo «». In questo modo si mantiene ai capi del generatore la differenza di poten-
ANIMAZIONE
La forza elettromotrice
(1 minuto e mezzo)
849
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
28
ELETTROMAGNETISMO
ziale, anche se cariche elettriche continuano a spostarsi nel circuito esterno. Chiamiamo W il lavoro che il generatore compie, contro le forze del campo elettrico, per
spostare una carica q positiva dal polo negativo a quello positivo.
È conveniente caratterizzare ogni generatore con una nuova grandezza unitaria,
che esprime quanto lavoro serve per spostare 1 C di carica. Questa grandezza si chiama forza elettromotrice del generatore:
La forza elettromotrice fem di un generatore è il rapporto tra il lavoro W che
esso compie per spostare una carica q al suo interno e la carica q stessa.
forza elettromotrice (V)
lavoro (J)
fem =
W
q
(16)
carica elettrica (C)
La forza elettromotrice si misura in joule fratto coulomb, cioè in volt. Per esempio,
una pila rettangolare con una forza elettromotrice di 9 V compie un lavoro di 9 J
per trasportare al suo interno una carica positiva di 1 C dal polo negativo al polo
positivo.
La forza elettromotrice di un generatore ideale di tensione è uguale alla differenza
di potenziale che esso mantiene ai propri estremi. Ma per i generatori reali le cose
non stanno così.
La forza elettromotrice è infatti uguale alla massima tensione che si può avere tra i
poli di un generatore reale di tensione.
Questa differenza di potenziale
massima agli estremi del generatore
si ha soltanto quando esso non eroga
corrente.
�
� Quando
circola corrente, la differenza di potenziale ai capi del generatore è minore della forza elettromotrice.
polo +
inne POW
W
WER
V = fem
-
polo –
A
i
+
inne POW
W
WER
CAPITOLO
V < fem
i
B
Infatti, quando circola corrente, una parte dell’energia fornita dal generatore serve
per vincere la resistenza al moto delle cariche al suo interno. Ciò significa che il generatore può fornire al circuito esterno un’energia potenziale minore: il «dislivello
elettrico» che la pila produce si riduce.
Per descrivere questa diminuzione di tensione associamo a ogni generatore reale
una nuova grandezza caratteristica, che si chiama resistenza interna del generatore
ed è indicata con il simbolo r.
850
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
28
CAPITOLO
La resistenza interna misura l’impedimento al moto delle cariche che si ha
all’interno del generatore.
Il generatore reale di tensione
Un generatore reale di tensione è modellizzato come un generatore ideale di
tensione collegato in serie a una opportuna resistenza interna.
V Ri.
i
+
V
alkalinne PO
OW
WER
R
Mostreremo ora che un dispositivo di questo genere ha le proprietà illustrate in precedenza.
Secondo il modello del generatore reale, un circuito costituito da una pila collegata in serie a un resistore può essere rappresentato utilizzando lo schema della figura
18, dove la forza elettromotrice fem è la differenza di potenziale ai capi del generatore
ideale di tensione e la differenza di potenziale V ai capi della pila (cioè del generatore reale) è uguale a quella ai capi del resistore di resistenza R, per cui si ha
fem
R
r
(17)
Per calcolare i è sufficiente applicare la seconda legge di Kirchhoff all’unica maglia
del circuito (percorsa in senso orario). Visto che, quando si attraversa un generatore
ideale di tensione nel senso convenzionale della corrente, si incontra una differenza
di potenziale positiva pari a fem, possiamo scrivere
Figura 18 Schema circuitale che
rappresenta un generatore reale
collegato a una resistenza esterna.
fem ri Ri 0,
da cui otteniamo
i=
fem
.
R+r
Tensione e forza
elettromotrice
Sostituendo l’ultima espressione nella formula (17) otteniamo infine
R
f .
V =
R + r em
(18)
La frazione positiva R/(R r)
è, in generale, minore di uno.
Quindi, se r 0 si ha V fem.
La (18) mostra che, a causa della resistenza interna r, la differenza di potenziale V
prodotta da un generatore è minore della sua forza elettromotrice fem. Le due grandezze sono uguali soltanto in due casi: per r 0 (come si ha in un generatore ideale)
oppure nel caso limite in cui R diviene infinitamente grande; infatti si ha
lim
R "+3
R
= 1.
R+r
Una resistenza R infinitamente grande significa, in pratica, un circuito aperto, in cui
non circola corrente elettrica.
Questo modello è quindi in grado di giustificare quanto affermato in precedenza:
la forza elettromotrice di un generatore reale è uguale alla differenza di potenziale
tra i suoi poli soltanto quando questa è misurata a circuito aperto, in una situazione
in cui la corrente elettrica erogata è nulla.
851
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA E LETTERATURA
ROBERTO PIUMINI
E IL POTENZIALE ELETTRICO
«Intuiva che la corrente va prodotta in uno spazio, con rumori e consumazioni di sostanze, lavoro continuo e sensibile di marchingegni.»
Nel racconto Il ciclista illuminato, Roberto Piumini (1947-) narra in modo divertente
e fantasioso le avventure di Zugalà, un bizzarro ciclista professionista ormai vecchio,
che dopo una vita da gregario, affamato di gloria, un giorno decide di dare una svolta
alla sua esistenza. Intento a percorrere una difficile e interminabile salita, a un certo
punto, mosso dal desiderio di gustarsi per un attimo «il bel paesaggio» e godersi
«la solitudine della campagna», volta la bicicletta e decide di scendere in discesa,
controcorrente, per affrancarsi da una vita di fatiche. Giunto in una cascina che pare abbandonata, incontra Alisa, una contadina che vive condannata al buio, come
punizione per aver rifiutato le profferte amorose di Baldo Gerino, il dio elettricista.
Zugalà fa visita al dio elettricista per chiedergli di restituire la luce ad Alisa, e invece
impara a produrre luce da sé: il segreto è pedalare mentre lavora nei campi.
Nel brano proposto, il dio elettricista accoglie Zugalà e gli mostra il sistema di centrali
elettriche e fili di collegamento, ma senza svelare il suo segreto per produrre energia:
vuole che Zugalà lo impari da solo, leggendo e studiando. Trasformando energia meccanica in energia elettrica, Zugalà troverà finalmente uno scopo al suo pedalare…
– Sediamo, sarai stanco – disse Baldo Gerino, e indicò una delle poltrone.
Sentendosi stanco davvero, ma infastidito da
quell’offerta che riportava alla sua scombinata
fatica di prima, Zugalà sedette di fronte a lui, ma
non rilassato: stava impettito, la schiena rigida e
scostata dallo schienale, per mostrarsi all’erta: buffo come un contadino davanti ad un notaio.
Ci fu silenzio. A Zugalà sembrò il momento per
affrontare la questione.
– Comunque, questa è una centrale elettrica,
no? – disse con voce alta, pressante.
– Certo – rispose Baldo Gerino, morbidamente
– Hai visto i fili… Da qui si distribuisce la corrente
a tutta la zona.
– Ma le macchine? – chiese perentorio Zugalà:
che poco sapeva di fisica, ma intuiva che la corrente va prodotta in uno spazio, con rumori e consumazioni di sostanze, lavoro continuo e sensibile di
marchingegni.
– Le macchine? – chiese sorridendo Baldo Gerino.
– Voglio dire, dove sono i macchinari che producono la corrente? – disse il ciclista, agitando le
gambe nello sforzo di proprietà verbale.
Baldo Gerino mimò nel viso un giocoso imbarazzo.
– Vedi, mio caro – disse – Qui non ci sono macchinari. In altre centrali, altrove, magari ne fanno uso:
Roberto Piumini
Il ciclista illuminato
Il melangolo
qui la corrente si produce con diverso procedimento.
– Cioè? – fece Zugalà fissandolo negli occhi, attento ad ogni segno di beffa […].
– Il sistema si basa essenzialmente, seppure in
modo analogo, sul concetto tradizionale di differenza di potenziale – spiegò pacato Baldo Gerino.
[…] Baldo Gerino aiutava la spiegazione con
calmi e descriventi gesti delle mani.
Le sue dita tendevano fili, percorrevano linee,
indicavano spostamenti di energia.
LE PAROLE DELLA SCIENZA
Per mantenere una corrente elettrica in un circuito,
occorre mantenere ai capi di un conduttore una
differenza di potenziale. Il termine potenziale in fisica
entra nella definizione di numerose grandezze: oltre
alla differenza di potenziale, esistono anche l’energia
potenziale elettrica, l’energia potenziale gravitazionale,
ecc. Nella lingua parlata non specialistica, inoltre, si
parla di potenziale bellico o nucleare, e nello studio
della lingua latina esiste il congiuntivo potenziale.
IN DIECI RIGHE
Illustra i significati del termine
potenziale a partire dagli esempi forniti, mettendo
in evidenza analogie e differenze nel suo utilizzo in
ambiti linguistici diversi.
852
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
PRIMA LEGGE DI OHM
Una differenza di potenziale ai capi di un conduttore genera una corrente elettrica: quindi un circuito elettrico è
un insieme di conduttori connessi in modo continuo e collegati a un generatore di tensione, cioè un dispositivo che
idealmente è capace di mantenere ai suoi capi una differenza di potenziale costante, per un tempo indeterminato e
qualunque sia la corrente da cui è attraversato.
Intensità di corrente elettrica
i
DQ
Dt
intensità di corrente elettrica =
carica elettrica
intervallo di tempo
• È il rapporto tra la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore e l’intervallo di tempo impiegato.
• Una corrente elettrica è un moto ordinato di cariche elettriche.
• Il verso convenzionale della corrente elettrica è quello in cui si muovono le cariche positive, cioè da punti a potenziale
elettrico più alto a punti a potenziale minore: nei metalli, è il verso opposto a quello in cui si muovono gli elettroni.
• Una corrente si dice continua se la sua intensità non cambia nel tempo.
• Si misura con amperometro, che va collegato in serie al conduttore.
1C
.
• L’unità di misura è l’ampere 1 A =
1s
Conduttore ohmico
intensità di corrente i
O differenza di potenziale V
+
+
–
-
+
DV
R
• Nei conduttori ohmici l’intensità di corrente è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata ai loro capi.
• La costante di proporzionalità R si chiama resistenza elettrica.
1V
• La resistenza elettrica si misura in ohm (): 1 1A
• Un resistore è un componente elettrico che segue la prima legge di Ohm.
• La differenza di potenziale ai capi di un resistore si misura con il voltmetro, che va collegato in parallelo al conduttore, e deve avere una resistenza
interna molto grande.
Forza elettromotrice di un generatore
Resistori in parallelo
Resistori in serie
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
R eq R 1 R 2 R 3
Req R1 R2 R3 ...
• L’inverso della loro resistenza equivalente è
uguale alla somma degli inversi delle resistenze dei singoli resistori.
-
+
+
i
Resistori
• Due resistori in parallelo sono sottoposti alla stessa differenza di
potenziale.
+
+
Prima legge di Ohm
• Il grafico che esprime la relazione fra la differenza di potenziale ai suoi capi e l’intensità di
corrente che lo attraversa è una
retta che passa per l’origine.
• Il diagramma
tensione-corrente di un
conduttore si
chiama curva
caratteristica.
i
-
• Due resistori sono in
serie quando i conduttori sono posti in successione tra loro: in
essi passa la stessa
corrente elettrica.
• La loro resistenza
equivalente è uguale
alla somma delle resistenze dei singoli resistori.
Ideale
W
fem q
• è il rapporto tra il lavoro W che il generatore compie per
spostare una carica q al suo interno e la carica q stessa.
• È uguale alla differenza di potenziale che un generatore mantiene ai propri estremi.
Reale
V fem Ri
• Un generatore reale è un generatore ideale in serie a
una data resistenza interna r; R è la resistenza del circuito esterno; V è la tensione ai capi del generatore.
• Quindi V < fem per un generatore reale.
• V fem in due casi:
1) r 0 (generatore ideale);
2) R " h (circuito aperto).
853
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
LEGGI DI KIRCHHOFF
Risolvere un circuito significa determinare il valore e il verso di tutte le correnti presenti e, di conseguenza, anche il
valore delle tensioni ai capi di tutti i resistori.
Leggi di Kirchhoff
• Esprimono le proprietà fondamentali di un circuito ohmico.
V1
• Sono necessarie per risolvere un circuito con più di un generatore o con una
disposizione di resistori complessa.
Prima legge (legge dei nodi)
i1 i2 … im m
/
R1
- +
A
ik 0
i1
B
i2
k ⫽1
• La somma delle intensità di corrente entranti in un nodo è uguale alla somma
di quelle uscenti (un nodo è un punto del circuito in cui convergono tre o più
conduttori).
- +
R2
V2
• È una conseguenza del principio di conservazione della carica.
i3
R3
Seconda legge (legge delle maglie)
V1 V2 … Vp p
/
⌬Vk = 0
k ⫽1
• Alla fine della maglia si ritrova lo stesso potenziale dell’inizio.
Potenza dissipata per un conduttore ohmico
Kilowattora
P i(VA VB) Ri 2
• L’energia elettrica si misura di solito in kilowattora:
1 kWh 3,6 106 J
potenza resistenza (intensità di corrente)
2
• È la rapidità con cui l’energia elettrica è trasformata
in energia interna del resistore.
• 1 kWh è l’energia assorbita in un’ora da un dispositivo che dissipa la potenza di 1000 W.
• In un conduttore ohmico, è direttamente proporzionale alla resistenza e al quadrato della corrente elettrica.
Effetto Joule e conservazione dell’energia
W Ri 2 t cm T
• L’effetto Joule è la trasformazione dell’energia elettrica in calore: si può
spiegare a livello microscopico osservando che un conduttore metallico
si scalda perché gli ioni positivi del reticolo cristallino assorbono, attraverso gli urti, l’energia cinetica degli elettroni accelerati dal campo elettrico, e così aumentano la propria energia cinetica media, cioè la propria temperatura.
V
i
i
• James Joule verificò, usando un resistore immerso in una massa m di
acqua, che l’energia erogata dal resistore risulta uguale a quella assorbita dall’acqua, dove c è il calore specifico e T è la conseguente variazione di temperatura dell’acqua.
854
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
A
ESERCIZI
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
Il passaggio di corrente elettrica in un conduttore
indica un movimento continuo di elettroni: allora anche il moto di agitazione termica degli elettroni dà luogo a una corrente elettrica?
2
Sai spiegare perché convenzionalmente il verso
della corrente elettrica è quello in cui si muovono
le cariche positive?
3
Un conduttore metallico è percorso da corrente:
quanto vale la carica totale presente al suo interno?
4
In un circuito elettrico che ruolo svolge il generatore?
5
In un telecomando per lo stereo sono necessarie
due pile slim da 1,5 V. Devono essere disposte
una di fianco all’altra, ma se non si inseriscono
entrambe il telecomando non funziona. Perché?
6
L3
8
9
10
Una decorazione di lampadine dell’albero di Natale ha smesso di funzionare: puoi capire subito
quale lampadina devi sostituire per riaccenderla?
12
Cosa occorre fare per dimezzare in un circuito il
valore di una resistenza?
13
La seconda legge di Kirchhoff afferma che la
somma delle differenze di potenziale che si incontrano quando si percorre una maglia è sempre uguale a zero?
14
Immagina di collegare allo stesso generatore che
fornisce una tensione di 120 V due lampadine,
prima una da 40 W e poi una da 100 W. Quale
delle due lampadine ha il valore più alto della resistenza?
15
In un conduttore passa la corrente i e viene dissipata una potenza P. Quale potenza è dissipata se
nello stesso conduttore passa una corrente doppia?
16
Qual è l’utilità dell’inserimento di un fusibile
all’interno di un circuito elettrico?
17
Il termine forza elettromotrice sta a indicare la forza che il generatore esercita sulle cariche elettriche?
18
La resistenza interna di un generatore deve essere
opportuna: ma opportunamente grande o opportunamente piccola?
Nel circuito mostrato nella figura stabilisci quali
lampadine sono in serie e quali in parallelo.
i1
7
11
i3
i2
L2
L1
In un circuito elettrico, per misurare la corrente e
la differenza di potenziale ai capi di un conduttore, come devono essere inseriti un amperometro
e un voltmetro e perché?
PROBLEMI
Perché è pericoloso toccare un dispositivo elettrico (phon, rasoio…) con le mani bagnate?
1
Perché gli uccelli su un cavo elettrico non restano
fulminati?
L’INTENSITÀ DELLA
CORRENTE ELETTRICA
1
Attraverso la sezione di un filo di rame passa in
ogni minuto la quantità di carica Q 0,36 C.
Due conduttori vengono collegati prima in serie
e poi in parallelo. Quale tipo di collegamento
conferisce un valore maggiore della resistenza
equivalente?
Calcola l’intensità di corrente che attraversa il
filo.
䉴
[6,0 mA]
855
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
2
In un filo elettrico circola una corrente di intensità 4,0 102 A per 5,0 s.
5
䉴 Calcola la carica totale che attraversa una sezione del filo in quell’intervallo di tempo.
A conductor has an electric resistance of 12 and the electric current that flows through it has
a value of 20 mA.
䉴 What is the value of the potential difference
between its ends?
䉴 Calcola il numero di elettroni che attraversano
[2.4 102 V]
la sezione del filo in quel lasso di tempo.
[0,20 C; 1,2 1018]
3
6
Un filo di tungsteno è percorso da una corrente
di 0,35 A. La carica che passa attraverso una qualsiasi sezione del filo è di 4,20 C.
Un conduttore di resistenza 2,0 106 è sottoposto a una differenza di potenziale di 5,0 102 V.
䉴 Calcola l’intensità di corrente che percorre il
conduttore.
[2,5 104 A]
䉴 Calcola il tempo necessario perché la carica da-
ta attraversi la sezione del filo.
[12 s]
3
LA PRIMA LEGGE DI OHM
4
Una batteria che mantiene una differenza di potenziale di 1,5 V è collegata a un resistore e l’intensità di corrente che fluisce nel circuito vale
30 mA.
7
Un alimentatore mantiene una differenza di potenziale costante ai propri morsetti. Quando lo si
collega a un resistore da 150 , esso produce una
corrente di 80 mA. In un secondo momento viene collegato a un resistore da 560 .
䉴 Calcola la corrente che attraversa il secondo resistore.
[21 mA]
䉴 Calcola il valore della resistenza del resistore.
[50 ]
8
I RESISTORI IN SERIE E IN PARALLELO
PROBLEMA SVOLTO
R1 = 130
In un circuito sono inseriti, in serie, una batteria da 12,0 V e tre
resistori con resistenze di 130 , 150 e 200 .
+
12V
i= ?
R2
R3 = 200
2
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Differenza di potenziale della batteria
V
12,0 Prima resistenza
R1
130 Seconda resistenza
R2
150 Terza resistenza
R3
200 i
?
Intensità di corrente
856
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Commenti
R2 = 150
䉴 Quanto vale l’intensità di corrente?
allkaline
4
Strategia e soluzione
• Le tre resistenze in serie sono equivalenti a una sola resistenza di valore
Req R1 R2 R3 (130 150 200) 480 .
• Come si vede nella figura, la resistenza Req è sottoposta alla stessa
tensione V che la batteria mantiene ai suoi estremi. Quindi, per la prima
legge di Ohm vale la relazione
V
i=
R eq
+
V
-
Req
• Sostituendo i valori numerici otteniamo
i=
V 12,0 V
=
= 0,0250 A.
R eq
480 Discussione
Applicando la prima legge di Ohm ai tre resistori, otteniamo che le differenze di potenziale ai loro
estremi sono, rispettivamente,
V1 R1 i 130 0,0250 A 3,25 V,
V2 R2 i 150 0,0250 A 3,75 V,
V3 R3 i 200 0,0250 A 5,00 V.
La somma di queste tre differenze di potenziale è
(3,25 3,75 5,00) V 12,0 V,
che è proprio la tensione mantenuta dalla batteria. Quindi il risultato ottenuto è corretto.
9
In un circuito sono inseriti, in serie, una batteria
da 6,0 V e tre resistori con resistenze rispettivamente uguali a 60 , 80 e 50 .
11
䉴 Quanto vale l’intensità di corrente?
䉴 Calcola la resistenza equivalente del circuito.
[32 mA]
10
Un circuito contiene una batteria da 12,0 V e due
resistori collegati in parallelo. Le loro resistenze
sono rispettivamente uguali a 150 e 300 .
䉴 Quanto vale l’intensità di corrente erogata dal
generatore?
䉴 Quanto vale l’intensità di corrente in ciascun
resistore?
[0,120 A; 8,00 10 A; 4,00 10 A]
2
2
In un circuito sono collegati in serie un generatore di tensione di 18,0 V e dieci resistori uguali.
Viene misurata l’intensità di corrente, che risulta
di 6,0 mA.
䉴 Calcola la resistenza di ciascun resistore.
[3,0 103 ; 3,0 102 ]
12
Due resistori sono collegati in parallelo in un circuito alimentato con una differenza di potenziale
di 9,0 V. Il generatore eroga una corrente di intensità 0,12 A.
䉴 Quanto vale la resistenza equivalente del circuito?
[75 ]
857
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
13
Nel circuito della figura, la resistenza R1 vale
150 ed è collegata in serie a una resistenza variabile Rx. Il generatore mantiene una differenza
di potenziale di 220 V.
C
R2
R4
䉴 Risolvi il circuito.
+
[1: 12,0 V, 40,0 mA; 2: 12,0 V, 60,0 mA;
3: 16,0 V, 66,7 mA; 4: 16,0 V, 33,3 mA]
R1
-
5
LE LEGGI DI KIRCHHOFF
16
Il circuito nella figura è alimentato da un generatore che eroga una tensione di 24 V.
䉴 Per quale valore di Rx l’intensità di corrente che
attraversa il circuito è massima?
R1 = 6,0
R
2
[0 ; 1,47 A]
8,
0
Il circuito in figura contiene un generatore che
mantiene una differenza di potenziale di 80 V e
cinque resistenze che valgono R1 80 ,
R2 R4 10 , R3 20 , R5 40 .
R1
=
R3 = 12,0
䉴 Quanto vale la massima intensità di corrente
che può attraversare il circuito?
14
R3
V
Rx
V
R1
R4 = 10,0
䉴 Calcola le intensità di corrente che attraversano ogni resistore.
R2
[i1 2,6 A ; i2 1,0 A; i3 0,69 A; i4 0,83 A]
R3
V
+
-
17
In riferimento alla figura, supponi che V 220 V,
R1 10 , R3 20 e i1 3,0 A.
R5
R4
i1
R1
V
䉴 Risolvi il circuito.
R3
i3
䉴 Determina il valore di i3.
[Req 100 , i i1 0,80 A, V1 64 V, V5 16 V,
i5 i2 i3 i4 0,40 A;
V2 V4 4,0 V; V3 8,0 V]
15
R2
Nel circuito della figura il generatore mantiene
una differenza di potenziale di 28,0 V e le resistenze valgono R1 300 , R2 200 ,
R3 240 e R4 480 .
[9,5 A]
18
Nel circuito della figura si ha V1 10 V,
V2 15 V, R1 20 , R2 60 e R3 40 .
䉴 Determina il verso e il valore di tutte le correnti
presenti nel circuito.
[i1 2,9 102 A, i2 6,8 103 A, i3 2,3 102 A]
858
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
R1
A
6
LA TRASFORMAZIONE
DELL’ENERGIA ELETTRICA
20
Sulla targhetta di un asciugacapelli compare la
scritta: tensione 220 V, potenza 1000 W.
B
- +
R2
V1
䉴 Quanto vale la resistenza degli elementi riscaldanti?
R3
- +
[48,4 ]
V2
19
Nel circuito nella figura si hanno i seguenti valori
delle resistenze: R1 5,0 , R2 R3 10 ,
R4 R5 20 , R6 40 , R7 30 . La differenza di potenziale ai capi del generatore è 10 V.
R1
21
䉴 Quanto vale la potenza dissipata dal resistore?
[67mW]
R2
22
R5
V
+
-
In un resistore di resistenza pari a 1,5 k circola
una corrente elettrica di intensità 6,7 mA.
Un filo di ferro, attraversato da una corrente di
0,28 A, dissipa una potenza di 28 mW.
䉴 Quanto vale la sua resistenza?
R3
[0,36 ]
R7
23
R6
R4
Un resistore dissipa una potenza di 15 W.
䉴 Quanti kilowattora consuma in 24 ore?
䉴 Quanto vale questa energia, espressa in joule?
[0,36 kWh; 1,3 MJ]
䉴 Determina la resistenza equivalente del circuito.
䉴 Determina la corrente totale che lo attraversa.
䉴 Determina la differenza di potenziale ai capi di R7.
[20 ; 0,50 A; 7,5 V]
24
PROBLEMA SVOLTO
L’accendisigari di un’automobile è formato da un conduttore
metallico che può essere collegato alla batteria dell’auto, che
mantiene una differenza di potenziale di 12 V. Nel manuale
leggiamo che l’accendisigari sviluppa una potenza di 38 W.
䉴 Determina l’intensità della corrente presente nell’accendi-
i
i
V
sigari quando esso è in funzione.
i
+
-
R
i
i
i
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Differenza di potenziale della batteria
V
12 V
Potenza dissipata
P
38 W
Intensità di corrente
i
?
Commenti
859
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
V = 12 V
P = 38 W
i= ?
ESERCIZI
Strategia e soluzione
• In questo caso conviene utilizzare la relazione (15)
P i(VA VB) iV,
da cui isoliamo:
i=
P
.
V
• Sostituendo in questa espressione i valori numerici troviamo
38 W
= 3,2 A.
i=
12 V
Discussione
Dai dati ottenuti possiamo conoscere anche il valore della resistenza elettrica R del conduttore
contenuto nell’accendisigari. Si trova
R=
25
V
12 V
=
= 3 ,8 .
i
3,2 A
La potenza dissipata da una stufetta elettrica è di
1,3 kW quando viene collegata alla rete elettrica
domestica, che ha una tensione di 220 V.
28
Calcola l’intensità di corrente che passa attraverso il resistore all’interno della stufetta.
䉴
Una batteria di forza elettromotrice 7,0 V viene
inserita in un circuito elettrico con un resistore.
Si misurano la corrente elettrica e la differenza di
potenziale ai capi del resistore e si trovano i valori
i 90 mA e V 6,0 V.
䉴 Quanto vale la resistenza del resistore?
䉴 Calcola, inoltre, l’energia fornita in 10 min.
䉴 Quanto vale la resistenza interna della batteria?
[5,9 A; 7,8 105 J]
[67 ; 11 ]
26
Un kilowattora di energia costa in media 0,10 euro. Decidi di sostituire una lampadina da
100 W con una da 12 W a basso consumo nella
tua camera. La lampadina resta accesa circa 3,0
ore al giorno.
29
Una resistenza da 25 è collegata a una batteria
di forza elettromotrice 12 V e resistenza interna
1,3 . Disegna il circuito e calcola:
䉴 la corrente che circola
䉴 A quanto ammonta il risparmio sulla bolletta
dell’energia elettrica nell’arco di un mese?
nel circuito;
䉴 la differenza di potenziale ai capi della pila.
[0,46A; 11V]
[0,79 euro]
30
7
LA FORZA ELETTROMOTRICE
27
Ai capi di una batteria risulta una differenza di
potenziale di 12,0 V se è misurata a circuito aperto e 11,8 V se è misurata quando il circuito è
chiuso su una resistenza R 400 .
䉴 Quanto vale la resistenza interna r della pila?
Una pila di forza elettromotrice fem e resistenza
interna r alimenta un resistore la cui resistenza R
può essere variata da 0 a .
䉴 Esprimi la corrente i, che circola nell’utilizzatore, e la differenza di potenziale in funzione di R.
䉴 Esprimi la potenza elettrica in funzione di R, e
determina per quale valore della resistenza il valore della potenza è massimo.
[circa 7 ]
860
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[P è massima per R r]
una resistenza interna di 50 . Lo stimolatore è
posizionato sui muscoli di entrambe le cosce di
un atleta, che si possono considerare come due
resistenze uguali e in serie. Calcola:
PROBLEMI GENERALI
1
Un pacemaker, dispositivo impiantato nelle persone cardiopatiche, è alimentato da batterie a
lunga durata che erogano una corrente di
5,6 A. La carica totale che le batterie sono in
grado di fornire durante tutto il loro funzionamento è di 1,5 103 C.
䉴 la resistenza del muscolo di ciascuna coscia
dell’atleta;
䉴 la differenza di potenziale ai capi di ciascun
muscolo.
[6,1 102 ; 2,9 V]
䉴 Dopo quanto tempo ci si aspetta che il disposi-
tivo smetta di funzionare?
Ai capi della pila di un telefono cellulare c’è una
differenza di potenziale di 3,7 V e la corrente erogata è di 0,80 A. Determina:
La resistenza equivalente di un circuito è data da
R R
R R
R eq = R 1 + 2 3 + 4 5 . Supponi che i vaR2 + R3 R4 + R5
lori delle resistenze siano R1 200 , R2 600 ,
R3 400 , R4 R5 120 e la corrente totale
valga 440 mA.
䉴 la carica che fluisce nel cellulare in 45 s;
䉴 Disegna il circuito corrispondente.
6
[8,5 anni]
2
䉴 la potenza sviluppata per effetto Joule;
䉴 l’energia dissipata per effetto Joule in 45 s.
7
[36 C; 3,0 W; 1,3 102 J]
3
Una caldaia per abitazioni contiene 80 kg d’acqua. Quando viene accesa, la caldaia scalda l’acqua tramite un resistore, portandola da 20 °C a
50 °C. La tensione ai capi del resistore è 220 V e la
corrente che lo attraversa è di 4,5 A.
Calcola l’intensità di corrente che attraversa
la lampada prima che venga inserita la seconda
lampadina.
䉴
䉴 Determina quanto tempo impiega la caldaia a
scaldare l’acqua.
䉴 Calcola la resistenza della seconda lampadina.
䉴 Supponi
che la seconda lampadina sia inserita
in parallelo invece che in serie. Quanto vale l’intensità di corrente attraverso la prima lampada?
[2,8 h]
4
A una pila si collega un resistore di resistenza pari
a R 50 che è così percorso da una corrente di
0,80 A. Collegando in parallelo alla resistenza R
una seconda resistenza R1 25 , la corrente
complessiva diventa 2,0 A. Calcola:
䉴 la resistenza interna r della pila;
䉴 la forza elettromotrice della pila.
[5,6 ; 44 V]
5
Uno stimolatore elettrico per aumentare la muscolatura produce impulsi della durata di qualche secondo. Supponi che durante ognuno di
questi impulsi la corrente rimanga costante e assuma il valore di 4,7 mA. La pila che genera la
corrente ha una forza elettromotrice di 6,0 V e
Una lampada è alimentata da un generatore di
tensione da 15 V, con resistenza interna trascurabile. La resistenza della lampada vale 10 . In un
secondo momento, una seconda lampadina è inserita in serie alla prima e l’intensità di corrente
diminuisce fino al valore 1,0 A.
[1,5 A; 5 ; 1,5 A]
8
In un cantiere una gru solleva carichi da 50 kg
ciascuno a 20 m di altezza. Per un guasto del sistema elettrico è necessario ricorrere a un motore
in corrente continua alimentato da una batteria
di automobile da 12 V e 40 Ah (cioè in grado di
fornire una corrente di 40 A per un’ora). Per sollevare ciascun carico la gru impiega 1 minuto. Il
rendimento del sistema è del 60%. Calcola:
䉴 la potenza necessaria per sollevare ogni carico;
䉴 la quantità di carichi che la gru riesce a sollevare prima che si esaurisca la batteria.
[1,6 102 W; 1,1 102]
861
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
2
3
Definisci la grandezza fisica intensità di corrente
elettrica e la relativa unità di misura nel Sistema
Internazionale, enunciando e illustrando poi la
prima legge di Ohm. Fai qualche esempio di conduttori ohmici e non ohmici.
1
3
Illustra, aiutandoti anche con uno schema, i collegamenti in serie e in parallelo di due o più conduttori, e ricava in entrambi i casi le espressioni
delle resistenze equivalenti.
4
Ad una batteria da automobile da 12 V vengono
collegati in serie due elementi resistivi così costituiti:
66,6 mA
B
54,5 mA
E
960,0 mA
C
600,0 mA
1
B
120 ohm
72 ohm
B
i1 25 mA e i2 250 mA
C
i1 i2 250 mA
D
i1 500 mA e i2 50mA
Una corrente di 2 A viene erogata da una batteria
a corrente continua ed alimenta due lampadine
collegate in parallelo che offrono una resistenza
di 100 ciascuna: quanto vale la potenza (in
watt) erogata dalla batteria?
200 W
D
40 W
1
W
40
Si consideri un circuito composto da una batteria
e da 4 resistenze in serie. Sapendo che R1 200 ,
R2 3 R1, R3 0,5 R1, R4 R1 e che la corrente
erogata dalla batteria vale 10 mA, calcolare:
䉴 la resistenza equivalente del circuito.
Un circuito elettrico è costituito da tre resistenze
collegate in parallelo. Le prime due hanno un valore di 20 e 40 ohm rispettivamente, mentre il valore resistivo della terza è ignoto. Misurando la
resistenza totale del circuito si ricava un valore di
12 ohm. Qual è il valore più probabile della terza
resistenza?
A
i1 250 mA e i2 25 mA
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina, 2009/2010)
2
A
E
400 W
C 1 W
50
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria, 2008/2009)
Trascurando la resistenza dei conduttori, qual è il
valore più probabile della corrente circolante nel
circuito?
D
240 ohm
Due resistenze elettriche R1 100 e R2 1000 sono poste in parallelo tra loro e il circuito è alimentato da una batteria a 25 V. Sono attraversate
rispettivamente da i1 e i2 dove:
B
2. una resistenza da 40 ohm.
150,0 mA
32 ohm
A
1. due resistenze da 60 ohm e 120 ohm collegate
tra loro in parallelo;
A
D
E
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2008/2009)
Descrivi le differenze che esistono tra un generatore ideale e un generatore reale di tensione.
TEST PER L’UNIVERSITÀ
48 ohm
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina Veterinaria, 2009/2010)
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
C
䉴 la tensione V ai capi della batteria.
䉴 la potenza dissipata in R1.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze Biologiche, Università di Genova, 2009/2010)
2
Una lampadina di resistenza R 10 è collegata a
862
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
un generatore di differenza di potenziale di 50 volt.
R and S. The following observations were made.
䉴 Calcolare la potenza dissipata dalla lampadina.
䉴 Volendo ridurre la potenza dissipata dalla lam-
P
R
padina a 1/4 del suo valore iniziale, che resistenza
le si deve collegare in serie?
Q
S
Qual è in questo secondo caso la corrente che
circola nel circuito?
䉴
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2007/2008)
STUDY ABROAD
1
1) There is a measurable resistance between P
and Q.
2) Resistance between P and R is twice that
between P and Q.
3) There is no measurable resistance between Q
and S.
Which graph represents the total heat developed
from time t 0 by a resistor carrying a steady
current?
Which of the following circuits is most likely to
be within the box? Assume that all the resistances
shown are equal.
A
O
A
R
Q
S
P
R
Q
S
P
R
Q
S
O
time
B
O
C
P
A
time
O
time
D
B
C
time
D
E
O
(Scholastic Aptitude Test (SAT), USA)
2
A resistor of resistance 1.5 k has a voltage of
30 V applied across it. What is the current through
it? (Give your answer in amperes.)
(BioMedical Admission Test (BMAT), UK,
2005/2006)
3
P
R
Q
S
P
R
Q
S
time
The figure shows a box with four terminals: P, Q,
E
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
863
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA
NEI METALLI
E NEI SEMICONDUTTORI
CAPITOLO
29
VladisChern/Shutterstock
1
Enrico Fermi
(1901-1954) fisico italiano.
Eccelleva sia nell’ambito
teorico sia in quello
sperimentale. Nel 1931 scoprì
la statistica quantistica di
Fermi-Dirac. Nel 1933 fece
la teoria del decadimento
debole. Nel 1934 scoprì, con
i «ragazzi di via Panisperna»,
la radioattività indotta dai
neutroni. Trasferitosi negli
Stati Uniti, nel 1942 costruì
a Chicago il primo reattore
nucleare. Collaborò al progetto
Manhattan, che culminò nella
costruzione delle prime bombe
atomiche. A lui è dedicato
il Fermilab di Chicago, uno
dei grandi centri mondiali
di ricerca sulle particelle
fondamentali.
I CONDUTTORI METALLICI
In un filo di metallo, gli atomi sono impacchettati in una struttura regolare, detta
reticolo cristallino, che è costituita da ioni positivi (cioè atomi a cui sono stati tolti
uno o più elettroni).
Gli elettroni «sfuggiti» agli atomi del metallo, per esempio rame, sono liberi di
spostarsi all’interno del reticolo; per questa ragione sono detti elettroni di conduzione. Essi si comportano come le molecole di un gas, per cui si parla di «gas di elettroni» o di «mare di Fermi», dal nome del fisico italiano Enrico Fermi, che per primo
ne ha descritto le proprietà.
�Il moto di agitazione termica porta
gli elettroni a muoversi in tutte le direzioni, urtando gli ioni del reticolo. Così lo spostamento medio degli elettroni è nullo e non crea nessuna corrente
elettrica.
elettrone
�Quando si collega il filo a un generatore, all’interno del filo si genera un
campo elettrico che spinge gli elettroni verso il polo positivo, nel verso opposto a quello del vettore Ev .
ione
E
A
B
864
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
29
CAPITOLO
Così, al moto disordinato di agitazione termica si sovrappone un moto ordinato, e
lentissimo, degli elettroni liberi verso i punti a potenziale maggiore. La traiettoria di
ogni singolo elettrone è il risultato dell’accelerazione costante che esso subisce per
effetto del campo elettrico e delle brusche «frenate» dovute agli urti contro gli ioni
dell’edificio cristallino.
Spiegazione microscopica dell’effetto Joule
Questo modello della conduzione elettrica nei metalli spiega come mai avviene l’effetto Joule: nei numerosi urti tra gli elettroni e gli ioni positivi del cristallo, accade
spesso che gli elettroni perdano buona parte dell’energia acquistata per azione del
campo elettrico e la cedano agli ioni, che così aumentano la propria energia cinetica
media, cioè la propria temperatura. Quindi:
un conduttore metallico si scalda perché gli ioni del reticolo cristallino
assorbono, attraverso gli urti, l’energia cinetica degli elettroni che sono stati
accelerati dal campo elettrico.
La velocità di deriva degli elettroni
Anche se il moto degli elettroni in un metallo è così complicato, è conveniente utilizzare un modello semplificato, ma efficace, in cui si immagina che tutti gli elettroni che contribuiscono alla corrente elettrica si muovano verso i punti a potenziale
maggiore con lo stesso valore vd della velocità.
La velocità di deriva vd è il modulo della velocità media degli elettroni nel
metallo.
Per una corrente di intensità i 1,0 A che scorre in un filo di rame con una sezione
di 1,0 mm2, la velocità di deriva risulta
7,4 # 10 -5
m
.
s
Si tratta di una velocità molto piccola rispetto a quelle dell’esperienza quotidiana (in
un’ora, gli elettroni percorrono in media meno di 30 cm nel filo) e molto più piccola
di quella di agitazione termica, che è dell’ordine di 105 m/s. Però, producendo uno
spostamento netto degli elettroni, la velocità di deriva ha effetti fisici importanti.
2
Accendere la luce
Quando si aziona l’interruttore,
per avere luce non è
necessario attendere che gli
elettroni che si trovano nel
generatore arrivino fino alla
lampadina: il campo elettrico
si propaga nel conduttore
con una velocità dell’ordine
di c facendo muovere tutti gli
elettroni di conduzione nel
circuito e, dal nostro punto
di vista, l’accensione della
lampadina è istantanea.
LA SECONDA LEGGE DI OHM
Un filo metallico è caratterizzato da una lunghezza l e da un’area trasversale A. Oltre
alla sua prima legge, che permette di introdurre la resistenza R di un conduttore metallico, Ohm scoprì una seconda legge sperimentale:
la resistenza di un filo conduttore è direttamente proporzionale alla sua
lunghezza e inversamente proporzionale alla sua area trasversale.
A
l
Figura 1 Filo conduttore di lunghezza l
e area trasversale A.
865
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
29
ELETTROMAGNETISMO
R=
resistività (m)
lunghezza (m)
l
A
(1)
area trasversale (m2)
resistenza elettrica ()
APPROFONDIMENTO
La costante di proporzionalità si chiama resistività e dipende dal particolare materiale con cui è fatto il filo e dalla sua temperatura. È numericamente uguale alla
resistenza di un «filo» di quel materiale, lungo 1 m e con una sezione di 1 m2.
Per ricavare le dimensioni fisiche della resistività, isoliamo nella (1):
Il resistore variabile
e il potenziometro
(2 pagine)
=R
A
l
(2)
e otteniamo
6@ = 6R@
6l 2@
6A@
= 6R@ :
= 6R@ : 6 l @ .
6l@
6l@
Quindi, nel Sistema Internazionale la resistività si misura in m.
Le due leggi di Ohm valgono, sebbene in modo talvolta approssimato, per la maggior parte dei corpi solidi. È allora possibile assegnare a ogni materiale un valore
della resistività. La tabella qui sotto riporta, per diverse sostanze, il valore della resistività alla temperatura di 20 °C.
IN LABORATORIO
Resistività di alcune sostanze (a 20 °C)
La seconda legge di Ohm
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
Sostanza
Resistività ( m)
alluminio
2,8 108
argento
1,6 108
ferro
10 108
mercurio
96 108
platino
10 108
rame
1,7 108
carbonio
3,5 105
germanio
0,46
silicio
100 -1000
neoprene
109
polietilene
108 -109
polistirene (polistirolo)
107 -1011
porcellana
1010 -1012
vetro
1010 -1014
teflon
1014
Conoscere il valore della resistività permette di dire se un certo materiale è un buon
conduttore o un buon isolante.
Come è mostrato nella figura 2, i buoni conduttori elettrici hanno valori della
resistività che vanno da 108 m a 105 m; i valori di dei buoni isolanti superano i 1011 m. Esistono poi delle sostanze con caratteristiche intermedie, che
sono dette semiconduttori.
866
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
semiconduttori
10-7
10-5
10-3
10-1
101
103
B
105
107
109
1011
1013
paraffina
Si
zolfo
Cu2O
ZnO
quarzo
porcellana
Ge
Ag Cu Al Fe
CAPITOLO
isolanti
ambra
conduttori
elettrici
29
1015
1017
resistività a 20 °C ( . m)
Figura 2 Schema delle resistività
di diversi materiali.
ESEMPIO
Un filo di rame è lungo l 2,5 m e ha una sezione di area A 8,0 107 m2.
f Calcola la resistenza R del filo.
Nella tabella precedente leggiamo che il valore della resistività del rame è
1,7 108 m.
Grazie a questo dato e a quelli forniti nel testo, dalla formula (1) otteniamo
R=
2 ,5 m
l
= ^1,7 # 10 -8 : m h #
= 0,053 A
8,0 # 10 -7 m 2
Il touch screen resistivo
Nei dispositivi con touch screen resistivo, davanti allo schermo sono posti due strati
conduttori separati da elementi isolanti (figura 3); in questo modo, in condizioni
normali i due strati non sono a contatto.
A uno dei due strati conduttori è applicata una differenza di potenziale, per cui il potenziale elettrico varia lungo
di esso in modo continuo, come si può dimostrare a partire dalla seconda legge di Ohm. L’altro strato possiede
un dispositivo in grado di misurare il potenziale.
Lo strato di plastica esterno dello schermo è deformabile. In questo modo, quando si preme lo schermo in un
punto P, in quella zona i due strati conduttori arrivano
a toccarsi; si ha quindi un contatto elettrico e viene misurata la differenza di potenziale (per esempio) tra P e il
bordo sinistro dello schermo. In questo modo si misura
la coordinata x di P. In modo analogo si misura anche la
coordinata y e si individua così il punto di pressione sullo schermo, in modo che il software del dispositivo possa
acquisire il comando che ne deriva.
substrato di
vetro o plastica
strato esterno
flessibile e
resistente
schermo
piatto
rivestimento
conduttore
Figura 3 Schema costruttivo di un
touch screen resistivo.
Per la sua struttura, un touch screen resistivo può quindi essere comandato non solo
da un dito (come il touch screen capacitivo), ma anche da un pennino di scrittura,
da un’unghia o da qualunque altro oggetto adatto (come il cappuccio di una normale penna).
867
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
29
ELETTROMAGNETISMO
resistività
3
LA DIPENDENZA DELLA RESISTIVITÀ
DALLA TEMPERATURA
La figura 4 mostra l’andamento sperimentale della resistività in funzione della temperatura per molti metalli, come il rame, l’argento e l’oro. Come si vede, in generale,
293
nei metalli la resistività aumenta al crescere della temperatura.
i
O
100
200
300
400
temperatura T (K)
Figura 4 Grafico della resistività
di molti materiali in funzione della
temperatura assoluta.
Infatti, quando la temperatura del metallo aumenta, gli ioni del reticolo cristallino
oscillano attorno alle posizioni di equilibrio in maniera più veloce e ampia. Ciò rende più probabili gli urti tra elettroni e ioni e, in questo modo, aumenta l’impedimento opposto dal reticolo cristallino al movimento degli elettroni.
Il coefficiente di temperatura
In un ampio intervallo di temperatura, che si estende da valori piuttosto bassi (attorno ai 100 K) fino ad arrivare quasi alla temperatura di fusione del metallo, la relazione tra resistività e temperatura è bene rappresentata da una retta.
In tale intervallo, quindi, la resistività T del metallo alla temperatura T è legata
a 293, quella a 293 K (che, di solito, è riportata sulle tabelle) attraverso la relazione
sperimentale
T 293(1 T)
(3)
dove si ha T T 293 K e è detto coefficiente di temperatura della resistività
per il metallo. Nella tabella seguente sono riportati i coefficienti di temperatura per
diversi metalli.
Coefﬁcienti di temperatura della resistività per alcuni metalli
Metallo
␣ (K1)
Argento
3,9 103
Rame
4,3 103
Alluminio
4,3 103
Ferro
6,5 103
ESEMPIO
Alla temperatura T1 293 K la resistività del ferro è 293 1,0 107 m.
f Calcola la resistività T del ferro alla temperatura T2 413 K.
L’incremento di temperatura del ferro tra le temperature T1 e T2 è:
T T2 T1 (413 293) K 120 K.
Nella tabella precedente leggiamo che il coefficiente di temperatura per la
resistività del ferro è
6,5 103 K1.
868
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
29
CAPITOLO
ESPERIMENTO VIRTUALE
Ora possiamo calcolare T grazie alla formula (3):
T = 293 ^1 + T h =
= ^1,0 # 10 -7 : m h # 61 + ^6,5 # 10 -3 K -1h # ^120 K h@ =
= ^1,0 # 10 -7 : m h # 1,78 = 1,8 # 10 -7 : m.
Buoni e cattivi
conduttori
• Gioca
• Misura
• Esercitati
I superconduttori
Al diminuire della temperatura, l’andamento della resistività nei metalli può avere
due andamenti diversi:
�di solito, quando T si riduce a zero la
resistività tende a stabilizzarsi e ad acquistare un valore limite L.
�Però in alcuni metalli, come il mercurio, a basse temperature la resistività
si annulla bruscamente.
( . m)
T
L
O
resistività
resistività
( . m)
Hg
10
20
O
30
temperatura T (K)
A
TC
temperatura T (K)
B
Una volta raggiunto il valore zero a una temperatura specifica, chiamata temperatura critica Tc, la resistività di questi metalli si mantiene nulla fino allo zero assoluto.
Questo fenomeno, chiamato superconduttività, fu scoperto nel 1911 dal fisico
olandese Heike Kamerlingh Onnes, mentre studiava la resistività del mercurio. La
tabella seguente mostra il valore delle temperature critiche per diversi metalli superconduttori.
Temperature critiche di alcuni metalli superconduttori*
Metallo
Tc (K)
Alluminio (Al)
1,175
Mercurio (Hg)
4,154
Indio (In)
3,408
Niobio (Nb)
9,25
Piombo (Pb)
7,196
Titanio (Ti)
Heike Kamerlingh Onnes
(1853-1926) fisico olandese.
Riuscì per primo a ottenere l’elio
liquido e costruì un dispositivo
capace di raggiungere la
temperatura di 0,9 K, ai tempi
la temperatura più bassa mai
ottenuta. Per la scoperta della
superconduttività ricevette il
premio Nobel per la fisica nel
1913.
0,40
*Handbook of Chemistry and Physics, 84 Edizione, CRC Press 2004.
a
869
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
29
ELETTROMAGNETISMO
Negli ultimi anni sono stati creati nuovi materiali che diventano superconduttori a
temperature molto al di sopra dello zero assoluto. Alla data del marzo 2012, il migliore risultato ottenuto in questa ricerca appartiene a un materiale complesso che
risulta avere una temperatura critica di 138 K.
Si tratta di un risultato importante perché temperature di questo tipo sono superiori a quella dell’azoto liquido e quindi possono essere ottenute con tecnologie più
semplici di quelle, basate sull’elio liquido, necessarie per rendere superconduttori i
metalli della tabella.
In un superconduttore percorso da corrente non avviene l’effetto Joule, perché la
sua resistenza vale, rigorosamente, 0 . Una volta che gli elettroni di conduzione sono stati messi in moto, essi continuano a circolare senza che nel circuito sia inserito
un generatore. In esperienze di questo tipo si è visto che la corrente può mantenersi
inalterata per molti anni.
Il fenomeno della superconduttività non può essere spiegato sulla base della fisica
classica, ma è una conseguenza delle proprietà ondulatorie degli elettroni di conduzione all’interno di alcuni materiali.
Azoto liquido
A pressione atmosferica la
temperatura di ebollizione
dell’azoto è 77 K.
4
L’ESTRAZIONE DEGLI ELETTRONI
DA UN METALLO
In condizioni normali gli elettroni liberi non escono dai metalli.
�All’interno del metallo, un elettrone
è circondato da ogni parte dagli ioni
del reticolo e la risultante delle loro
forze di attrazione su di esso è nulla.
+
+
�Vicino
alla superficie ciò non è più
vero, perché le forze dovute agli ioni
che si trovano da una parte non sono
equilibrate da ioni che siano dalla parte opposta.
+
+
+
+
F=0
–
+
–
F
+
+
+
+
+
F
+
A
+
+
+
+
–
+
B
Come risultato, su un elettrone posto vicino alla superficie del metallo agisce una
forza elettrica rivolta verso l’interno, che gli impedisce di uscire dal metallo stesso.
Se si vuole estrarre un elettrone dal metallo, è necessario fornirgli energia.
Si chiama lavoro di estrazione il minimo lavoro che occorre compiere per
fare uscire un elettrone da un metallo.
Un elettrone all’interno di un metallo possiede un’energia totale ᏱTot che è pari alla
870
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
29
somma della sua energia cinetica K (che è sempre positiva) e della sua energia potenziale U. Visto che l’elettrone è soggetto alla forza attrattiva del reticolo di ioni positivi, con la solita scelta di porre uguale a zero l’energia potenziale dei punti infinitamente lontani dalle cariche, il valore di U è negativo.
Un elettrone fermo appena al di fuori del metallo ha energia cinetica e potenziale pari a zero (l’energia potenziale è uguale a quella che lo stesso elettrone avrebbe
all’infinito, cioè nulla, perché al di fuori del reticolo cristallino non si avvertono forze elettriche). Quindi la sua energia totale è nulla.
Siccome l’elettrone non esce spontaneamente dal metallo, dobbiamo dedurne
che la sua energia totale, quando si trova nel reticolo cristallino, è negativa:
ᏱTot K U 0 .
(4)
Il minimo lavoro capace di estrarre un elettrone dal metallo è quello che consente di
passare dal valore negativo di ᏱTot dato dalla (4) al valore nullo. Quindi il lavoro di
estrazione risulta
We 0 ᏱTot ᏱTot.
(5)
Il potenziale di estrazione
Un modo semplice per fornire energia a un elettrone consiste nel sottoporlo a una
differenza di potenziale elettrico.
Per questa ragione è conveniente introdurre una nuova grandezza, il potenziale di
estrazione Ve:
il potenziale di estrazione di un elettrone da un metallo è la differenza di
potenziale (considerata positiva) a cui deve essere sottoposto un elettrone per
fornirgli una quantità di energia pari al lavoro di estrazione.
Da questa definizione si ricava la formula
Ve =
We
e
(6)
dove e è la carica elementare.
L’elettronvolt
È comodo misurare il lavoro di estrazione in elettronvolt (eV):
un elettronvolt è l’energia acquistata da una carica con modulo pari alla
carica elementare e, quando è accelerata da una differenza di potenziale di
un volt.
In base alla definizione e alla formula W qV si trova:
1 eV e (1 V) (1,60 1019 C) (1 V) 1,60 1019 J.
(7)
871
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
29
ELETTROMAGNETISMO
L’elettronvolt è un’unità di misura che non appartiene al Sistema Internazionale, ma che
è molto usata nello studio dei fenomeni atomici e subatomici. Per esempio, per ionizzare
un atomo di idrogeno che si trova in condizioni normali occorre un’energia pari a
2,18 # 10 -18 J
= 13,6 eV.
J
1,60 # 10 -19
eV
Allo stesso modo, come mostra la tabella seguente i lavori di estrazione degli elettroni dai metalli sono dell’ordine di qualche eV.
Osserviamo che i potenziali di estrazione – espressi in volt – sono numericamente uguali ai lavori di estrazione espressi in elettronvolt, perché i valori numerici di
entrambe le grandezze si ottengono dividendo il lavoro di estrazione (espresso in
joule) per la quantità 1,60 1019.
Nella descrizione dei fenomeni nucleari e subnucleari si usano multipli dell’elettronvolt: 1 MeV vale un milione di eV (106 eV) e un GeV vale un miliardo di eV (109 eV).
Lavoro di estrazione e potenziale di estrazione di elettroni da diversi metalli
Metallo
Potenziale di estrazione (V)
Lavoro di estrazione (eV)
Argento (Ag)
4,70
Calcio (Ca)
3,20
Ferro (Fe)
4,63
Nichel (Ni)
4,91
Potassio (K)
2,25
Rame (Cu)
4,48
Sodio (Na)
2,28
Torio (Th)
3,47
Zinco (Zn)
4,27
Per esempio, nell’acceleratore
LHC (Large Hadron Collider) del
CERN di Ginevra, il cui percorso
sotterraneo di 27 km è mostrato
nella fotografia a lato, i protoni sono portati a un’energia di
3500 GeV, cioè 3,5 1012 eV.
Questa energia è pari a 3,5 TeV,
dato che T è il simbolo del “tera”,
che corrisponde al fattore 1012.
CERN
CAPITOLO
L’effetto termoionico
Si può fornire energia agli elettroni scaldando il metallo in cui si trovano. L’aumento
di temperatura provoca un aumento dell’energia cinetica media degli elettroni. Così, alcuni di essi acquistano un’energia maggiore del lavoro di estrazione e possono
uscire dal metallo.
872
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
29
CAPITOLO
Tra gli elettroni che hanno questa proprietà, soltanto quelli che si trovano vicino alla
superficie del metallo e con il vettore velocità rivolto verso l’esterno riescono a sfuggire.
L’estrazione di elettroni da un metallo mediante riscaldamento si chiama
effetto termoionico.
-
Esso è utilizzato nei vecchi televisori e monitor a tubo catodico per creare il fascio di
elettroni che «disegna» l’immagine sullo schermo. Come si vede nella figura 5, gli
elettroni sono emessi da un filamento metallico (l’elettrodo negativo) reso incandescente dalla corrente elettrica. Gli stessi elettroni, poi, sono accelerati verso un elettrodo positivo e formano il «pennello» che giunge sullo schermo.
L’effetto fotoelettrico
filam
ilamento
ento
to
m ta
met
tallicco
co
+
-
elettroni espulsi
metallo
Figura 6 Una lastra di metallo
emette elettroni per effetto fotoelettrico.
L’estrazione di elettroni ottenuta illuminando il metallo si chiama effetto
fotoelettrico.
L’effetto fotoelettrico permette la costruzione delle celle fotoelettriche, quei dispositivi che, per esempio, impediscono che un cancello elettrico si chiuda quando passa
un veicolo o una persona.
� Se qualcosa interrompe il fascio di
luce, dal metallo non escono più elettroni: nel circuito esterno non circola
corrente e il cancello si blocca.
luce
-
-
-
-
+
+
i
i
A
schermo del
tele
te
le
eviso
vissoor
ore
Figura 5 Il filamento metallico ad
alta temperatura emette elettroni per
effetto termoionico.
Un altro modo per fornire energia agli elettroni di conduzione consiste nell’illuminare
il metallo con luce visibile o ultravioletta, a
seconda del metallo considerato (figura 6). La
luce trasporta energia che può essere assorbita
dagli elettroni vicini alla superficie del metallo; in questo modo alcuni di essi, avendo ricevuto un’energia maggiore del lavoro di estrazione, riescono a sfuggire all’esterno.
� In condizioni normali, un fascio
di luce colpisce la cella fotoelettrica e
provoca l’emissione degli elettroni.
Nel circuito esterno circola corrente.
+
+
-
+
B
873
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
29
ELETTROMAGNETISMO
L’EFFETTO VOLTA
5
All’inizio dell’Ottocento Alessandro Volta scoprì un importante fenomeno, nel
quale tra due metalli posti a contatto si stabilisce una differenza di potenziale. In
termini moderni, la sua scoperta (detta effetto Volta) si può esprimere dicendo che
Enunciato equivalente
dell’effetto Volta
La differenza di potenziale tra i
due metalli a contatto è anche
numericamente uguale alla
differenza, cambiata di segno,
tra i loro lavori di estrazione,
espressi in elettronvolt.
mettendo a contatto due metalli, tra di essi si instaura una differenza di
potenziale uguale alla differenza, cambiata di segno, tra i rispettivi potenziali
di estrazione.
Questa differenza di potenziale dipende dalle caratteristiche fisiche dei due metalli
posti a contatto (temperatura, stato di ossidazione delle superfici…) ma non dalla
forma e dalle dimensioni dei due pezzi di metallo e neppure dall’area delle superfici
di contatto.
Per discutere come mai ciò avviene, immaginiamo di unire un pezzo di calcio fatto a U e uno simile di nichel. Il potenziale di estrazione di un elettrone dal calcio vale
3,20 V, mentre il valore del potenziale di estrazione del nichel è 4,91 V. Ciò vuol dire
che gli elettroni liberi del nichel sono più legati di quelli che si trovano nel calcio.
�Quindi, un certo numero di elettroni
passa dal calcio al nichel. Così, il nichel
acquista una carica negativa, mentre il
calcio si carica positivamente.
calcio
� Il flusso di elettroni cessa quando,
tra i due metalli, si è instaurata una
differenza di potenziale che tende a far
passare gli elettroni dal nichel al calcio.
+ ++ + + +
+ +
+ + +
+
+ +
+
+ +
+
+
+
++
+
+ + + + + +
+ + + ++ + + +
−
−
−
−
VCa–Ni
calcio
nichel
−
−
nichel
− − −
−
− − − − −−
− − − − −
−− −
− −
−
−
−
−
−
−
−
− −
− − − −− −
− −
− − −
−
− − −
forza elettrica sugli elettroni
A
B
All’equilibrio questi due meccanismi si compensano: la differenza di potenziale dovuta al contatto tra i metalli è uguale e opposta alla differenza tra i loro due potenziali di estrazione. Nel caso del calcio e del nichel tale differenza di potenziale è
VCa–Ni [Ve(Ca) Ve(Ni)] (3,20 4,91) V 1,71 V.
(8)
La catena di più metalli
Supponiamo di mettere a contatto tre metalli. Per esempio, inseriamo un blocco di
zinco tra il calcio e il nichel dell’esempio precedente. La differenza di potenziale che
874
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
29
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
CAPITOLO
la differenza di potenziale tra i due metalli estremi di una catena di metalli è la
stessa che si avrebbe se essi fossero posti a diretto contatto.
Volta si rese conto che non tutti i conduttori seguono la legge dei contatti successivi.
Egli chiamò conduttori di prima specie quelli per i quali essa è valida (per esempio i
metalli) e conduttori di seconda specie gli altri (per esempio le soluzioni diluite di
sali o di acidi in acqua).
Combinando in modo opportuno conduttori di prima e di seconda specie Volta
realizzò la pila, il primo generatore di tensione capace di fornire una corrente elettrica in modo continuo e non impulsivo (come avviene nella scarica di un conduttore).
6
Vladimir Melnikov/ Museo del Dipartimento di Fisica Università «La Sapienza»,
si instaura tra calcio e zinco è uguale a quella che si crea quando questi due metalli
sono posti direttamente a contatto.
Questo esempio è un caso particolare della legge dei contatti successivi, scoperta
anch’essa da Alessandro Volta:
I SEMICONDUTTORI
I semiconduttori (per esempio, il silicio e il germanio) sono materiali solidi con una resistività intermedia tra quella dei conduttori e quella degli isolanti. Inoltre, al contrario
di quanto avviene nei conduttori, tale resistività diminuisce al crescere della temperatura.
La densità dei portatori di carica, che possono dar luogo a una corrente elettrica nel
solido semiconduttore, è circa un miliardesimo di quella che si ha nei metalli, cosicché la
capacità di conduzione elettrica di un semiconduttore è più bassa di quella di un metallo.
Portatori di carica
Il numero di elettroni di
conduzione è dell’ordine di
1014 in un centimetro cubo di
germanio, e di 1023 in uno di
rame.
I semiconduttori drogati
Si può aumentare la conduzione nei semiconduttori introducendo impurezze all’interno della loro struttura cristallina. Un semiconduttore così modificato si dice drogato, mentre il semiconduttore puro si dice anche intrinseco.
Consideriamo un cristallo di silicio in cui siano contenuti atomi di un altro elemento in proporzione di uno su un milione. Supponiamo che questi atomi estranei
siano distribuiti uniformemente in tutto il cristallo di modo che al suo interno vi sia,
ogni tanto, un atomo diverso al posto di uno di silicio.
Tra gli elementi che si usano più comunemente per drogare i cristalli di silicio vi
sono l’arsenico (As) e il boro (B). L’arsenico ha cinque elettroni nel guscio più esterno e, quindi, può formare cinque legami covalenti; invece il boro può formare tre
legami perché ha tre elettroni nel guscio più esterno.
Allo zero assoluto, il silicio forma un reticolo cristallino in cui ogni atomo forma un legame covalente con quattro atomi vicini (figura 7): in ognuno
di questi legami i due atomi mettono in comune
un elettrone ciascuno. In tale situazione, il cristallo
non possiede portatori di carica liberi di muoversi
e, quindi, esso è un isolante.
Ma i legami tra gli atomi di silicio non sono molto forti, per cui la situazione cambia all’aumentare
della temperatura.
Si
Si
Si
Si
Si
Figura 7 Struttura tridimensionale
del silicio cristallino.
875
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
29
Rappresentazione ideale
Nelle figure a lato e in quelle
seguenti il reticolo cristallino
è disegnato planare per
chiarezza. In realtà gli atomi
sono legati tra loro nella
struttura tetraedrica mostrata
nella figura 7.
ELETTROMAGNETISMO
� Quando
T è abbastanza elevato, il
moto di agitazione termica riesce a
rompere qualche legame, allontanando alcuni elettroni dai propri atomi.
–
–
–
Si
–
Si
–
–
Si
–
Si
–
Si
–
Sii
S
–
Si
–
–
Si
vA
–
–
Si
–
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
–
–
Si
–
–
–
–
Si
Si
–
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
Si
–
–
–
–
–
–
lacuna
–
–
–
–
–
Si
–
punto in cui un elettrone è
«sfuggito» dall’atomo rimane un posto libero, che si chiama buca o lacuna
e si comporta come se fosse una carica
positiva.
–
Si
–
–
–
–
elettrone
� Nel
–
–
B
Più alta è la temperatura, più numerosi sono i portatori di carica (elettroni e lacune)
che sono presenti nel materiale. Ecco perché la resistività dei semiconduttori diminuisce all’aumentare della temperatura.
�Se si sostituisce un atomo di Si con
�Se si sostituisce un atomo di Si con
uno di As, quattro legami si saturano
con gli atomi vicini e rimane ancora
libero un elettrone.
uno di B, tre legami si saturano con
gli atomi vicini e rimane ancora una
lacuna.
–
–
–
Si
–
Si
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
–
–
–
Si
–
–
lacuna
–
Si
–
–
–
vA
–
–
–
–
Si
–
elettrone
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
Si
Si
–
–
–
–
Si
–
–
–
–
As
–
–
Si
–
B
–
–
–
Si
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
–
B
L’elettrone libero dell’arsenico aumenta il numero di portatori di carica
disponibili per la conduzione: l’arsenico svolge il ruolo di donatore di elettroni.
Un semiconduttore arricchito in elettroni tramite questo tipo di drogaggio viene
detto di tipo-n (n come negativo).
Nel caso del boro, il quarto legame non formato fornisce al cristallo un «posto»
libero, cioè una lacuna.
876
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI METALLI E NEI SEMICONDUTTORI
29
CAPITOLO
Un cristallo preparato in questo modo è detto semiconduttore di tipo-p (p come
positivo).
Gli atomi che, come il boro, forniscono lacune sono chiamati accettori.
I portatori positivi di carica
Le lacune si spostano nel reticolo e, quando è applicato un campo elettrico, contribuiscono al processo di conduzione come se fossero, esse stesse, cariche positive in
moto.
Il moto della lacuna è, in realtà, un complesso fenomeno dovuto agli atomi di
silicio e agli elettroni: non c’è nessuna particella positiva che si sposti attraverso il
reticolo.
Per agitazione termica, si può rompere il legame di un elettrone che si trova vicino a una lacuna.
Allora l’elettrone «spaiato» può legarsi allo ione silicio che ha un posto libero e la
lacuna si sposta in senso opposto all’elettrone.
Il moto delle lacune in un semiconduttore è simile a quello del posto libero che
rimane nel gioco del «Quindici»: le pedine numerate rappresentano gli elettroni,
che si muovono nel verso opposto a quello del campo elettrico Ev . Ogni moto di una
pedina provoca lo spostamento nel verso opposto del posto vuoto (lacuna).
Come si vede nella figura 8, alla fine la lacuna si è spostata nel verso di Ev , comportandosi come una carica positiva.
E
1
5
E
2
6
4
7
8
9 10 11
3 14 15 12
7
1
5
E
2
6
4
7
8
9 10
13 14 15 12
13
2
1
5
E
2
6
9 1
10 7
4
8
13 1
14 15 12
1
5
Movimento delle lacune
Una lacuna si muove a
causa dello spostamento di
un elettrone da un legame
a un altro. Gli elettroni di
conduzione non intervengono
nel fenomeno.
E
2
6
3
4
1
8
5
9 10 7
13
1
3 14 15 12
2
4
9
7 11
13
12
Figura 8 Nel gioco del «Quindici» lo
spazio vuoto si muove nel verso opposto
a quello in cui vengono spostate le
pedine.
IL DIODO A SEMICONDUTTORE
Un medesimo cristallo semiconduttore può essere drogato in modo da avere una
parte di tipo-n e l’altra di tipo-p. In questo modo si ottiene un dispositivo detto diodo a giunzione o diodo a semiconduttore. Da una parte i portatori di carica sono
prevalentemente elettroni, dall’altra lacune. A causa dell’agitazione termica, alcuni
elettroni di conduzione passano dalla parte n alla parte p, attraversando la superficie
di contatto; contemporaneamente alcune lacune si spostano in senso contrario.
Un elettrone che passa nel semiconduttore di tipo-p trova presto una lacuna con
cui combinarsi e lo stesso accade a una lacuna che passa nel semiconduttore di tipon: il processo per il quale un elettrone di conduzione occupa la posizione vacante
corrispondente a una buca è detto ricombinazione.
La ricombinazione degli elettroni e delle lacune forma sui due lati della giunzione un sottile strato privo di portatori mobili, detto strato di svuotamento (figura 9).
strato di svuotamento
n
–
+
–
+
–
+
+
–
–
–
+
+
E
+
+
–
–
–
Figura 9 In un diodo a semiconduttore,
tra il cristallo drogato n e quello drogato p
si forma una zona di svuotamento.
877
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
p
+
CAPITOLO
29
ELETTROMAGNETISMO
Nello stesso tempo, la diffusione delle lacune dal semiconduttore di tipo-p a quello di
tipo-n lascia alle proprie spalle delle cariche negative fisse (gli ioni dell’accettore); analogamente, nel cristallo di tipo-n restano cariche positive fisse sugli ioni del donatore.
Si crea una separazione di carica che, nello strato di svuotamento, genera un
campo elettrico diretto dal cristallo n (ora positivo) al cristallo p.
Al campo elettrico corrisponde una differenza di potenziale di barriera, che si oppone
a ogni ulteriore diffusione dei portatori di carica: il valore tipico di questa differenza
di potenziale è 0,6-0,7 V per il silicio e circa la metà per il germanio.
La polarizzazione del diodo
Il diodo a giunzione agisce da raddrizzatore, consentendo il passaggio della
corrente elettrica in un verso, ma non nel verso opposto.
n
p
+
+
+
–
+
–
+
–
–
–
A
-
+
Figura 10 Al diodo è applicata
una polarizzazione inversa: non si ha
passaggio di corrente.
n
p
+
+
+
–
+
–
+
–
–
–
A
Figura 11 Un diodo a cui si applica
una polarizzazione diretta conduce
corrente.
Sizd617474
+
-
Connettendo il polo positivo di un generatore di tensione alla regione n e quello negativo alla regione p (figura 10), si applica
una polarizzazione inversa.
Il campo elettrico esterno estrae altre lacune dalla regione p e altri elettroni dalla regione n, per cui lo strato di svuotamento si
estende e attraverso la giunzione può passare soltanto una corrente molto debole
(corrente di saturazione inversa).
Se si applica una polarizzazione diretta,
collegando il cristallo n al polo negativo del
generatore e il cristallo p a quello positivo
(figura 11), nel circuito fluisce corrente elettrica.
Il generatore crea un campo elettrico diretto
in verso opposto a quello preesistente nella
giunzione, fornendo elettroni alla regione n
e formando lacune nella zona di tipo-p.
Mentre gli elettroni risalgono la differenza di potenziale, incontrano le lacune che
la discendono e può avvenire la ricombinazione dei portatori. Ma questa perdita è
compensata dall’afflusso di nuovi elettroni
e nuove lacune forniti dal generatore, per
cui la corrente fluisce nel circuito con continuità.
Nella fotografia è rappresentato un diodo a semiconduttore comunemente usato
nei circuiti elettrici.
878
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA E LETTERATURA
GEORGE GAMOW E LA CONDUTTIVITÀ
«Se tutti gli atomi si affannassero a tenere per sé i propri elettroni
come alcuni di essi fanno, non esisterebbe una cosa chiamata
conduttività elettrica.»
Nel 1937 il fisico e cosmologo George Gamow, nato a Odessa nel 1904 e morto
a Boulder, in Colorado, nel 1968, scrive il primo racconto della serie che ha
come protagonista Mr Tompkins, un uomo comune, impiegato di banca, dotato
di grande curiosità per la scienza. Gamow è uno dei grandi scienziati del secolo
scorso, tra gli iniziatori della teoria del big bang, e uno degli autori della teoria
quantistica del decadimento radioattivo alfa. Grazie a una innata vena umoristica e a un peculiare talento narrativo, i suoi libri di divulgazione scientifica,
che raccontano le avventure di Mr Tompkins all’interno dell’atomo, a spasso
nell’Universo, dentro la cellula, hanno appassionato lettori e scienziati da oltre
cinquant’anni. Gino Segrè, professore di fisica e astronomia all’Università della
Pennsylvania e nipote di Emilio Segrè, uno dei ragazzi di via Panisperna sotto
la guida di Enrico Fermi, attribuisce ai libri di divulgazione scientifica scritti da
Gamow il merito di aver destato il suo interesse giovanile per la scienza e le sue
problematiche.
Nel brano proposto, Mr Tompkins si addormenta durante una conferenza sulla
struttura dell’atomo, e inizia a sognare di essere un elettrone di conduzione. A
rispondere a tutti i suoi interrogativi, c’è un frate, Padre Pauli, così chiamato dal
nome di Wolfgang Pauli, fisico austriaco al quale si deve la formulazione di un
principio della meccanica quantistica che regola il comportamento, fra gli altri,
degli elettroni all’interno di un atomo.
Forse il successo delle avventure «scientificamente fantastiche» di Mr Tompkins
sta proprio nelle parole di Gamow: «Mi piace vedere le cose in termini chiari e
semplici, e sforzandomi di semplificarle per me stesso, ho imparato a farlo anche
per gli altri.»
Dopo aver ripreso fiato, si mise a esaminare la
situazione. Si ritrovò serrato da atomi da ogni
parte, atomi molto più grandi di tutti quelli che
aveva visto finora. Poteva contare addirittura
ventinove elettroni in ciascuno di essi. Se avesse
saputo la fisica un po’ meglio, avrebbe riconosciuto gli atomi del rame, ma visto così da vicino
il gruppo in quanto tale non aveva affatto l’aspetto di un pezzo di rame. Mr Tompkins osservò che
gli atomi non soltanto erano molto vicini gli uni
agli altri, ma erano anche disposti secondo uno
schema regolare che si estendeva a perdita d’occhio.
Ma ciò che lo sorprese di più fu il fatto che questi atomi non sembravano preoccuparsi particolarmente di trattenere ciascuno la propria quota di
elettroni, soprattutto di elettroni esterni. In effetti
le orbite esterne erano per lo più vuote, e una folla
George Gamow
Il nuovo mondo
di Mr Tompkins
Zanichelli
di elettroni liberi si aggirava pigramente nelle vicinanze, fermandosi di tanto in tanto, ma mai per
molto tempo, alla periferia di qualche atomo. Gli
vennero in mente le bande di ragazzi che si ritrovano di sera agli angoli delle strade e vagabondano
privi di meta senza nulla da fare.
Sfinito dal suo volo a perdifiato attraverso lo
spazio, Mr Tompkins provò dapprima a riposarsi
un po’ su una delle orbite stazionarie di uno degli
atomi di rame. Presto, però, lo contagiò il sentimento di irrequietezza del resto della folla, e si unì
agli altri elettroni nel loro movimento che non andava da nessuna parte.
«Devo dire che le cose non sembrano molto ben
organizzate, quaggiù» commentò fra sé e sé. «Ci
sono troppi elettroni che non fanno la loro parte,
conducendo vite senza senso. Mi chiedo se Padre
Pauli conosce questa gente.»
879
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA E LETTERATURA
«Certo che la conosco» disse la voce familiare del
frate. Padre Pauli si era materializzato all’improvviso dal nulla. «Non c’è nulla di cui preoccuparsi. Questi elettroni non disobbediscono ad alcuna
regola. In effetti svolgono un lavoro molto utile.
Se tutti gli atomi si affannassero a tenere per sé i
propri elettroni come alcuni di essi fanno, non
esisterebbe una cosa chiamata conduttività elettrica. Niente elettrodomestici, niente luci elettriche,
niente computer, tv, radio.»
«Mi stai dicendo che questi elettroni, questi
elettroni a zonzo, sono responsabili della corrente
elettrica?» chiese Mr Tompkins. «Non vedo come.
Non si direbbe che si muovano in una particolare
direzione.»
«Aspetta e vedrai» disse il frate. «C’è bisogno
soltanto che qualcuno prema l’interruttore. E, già
che ci siamo, non so perché tu usi il termine “essi”;
dovresti dire “noi”. Sembri non ricordare che tu
stesso sei un elettrone di conduzione.»
[…]
Mr Tompkins si sentì strattonare improvvisamente. Lui e tutti gli altri elettroni vaganti erano
improvvisamente sollecitati e venivano sospinti
tutti in una comune direzione.
«Ehi! Che succede adesso?» urlò.
«Qualcuno deve aver premuto l’interruttore
della luce. Vi state avviando verso il filamento della
lampadina» rispose il frate, che nel frattempo si era
fatto piccolo e lontano. «Addio! è stato un piacere
chiacchierare con te.»
Dapprima il viaggio fu molto piacevole e senza
difficoltà, come quando si viene trasportati su un
tappeto semovente in aeroporto. Mr Tompkins e gli
altri elettroni liberi si facevano gentilmente strada
in mezzo al reticolo di atomi. Mr Tompkins tentò di
fare conversazione con un elettrone vicino.
«Davvero rilassante, non è vero?» osservò.
L’elettrone gli lanciò uno sguardo minaccioso.
«Come no! Ovviamente tu sei nuovo in questo
circuito. Aspetta finché non saremo arrivati alle
rapide.»
Mr Tompkins non sapeva cosa volesse dire
quella frase, ma non gli sembrava incoraggiante.
Comunque non dovette aspettare a lungo. D’un
tratto il canale attraverso il quale stavano passando
si restrinse. Gli elettroni si trovavano ora a cozzare gli uni contro gli altri mentre si stringevano per
passare. Faceva sempre più caldo e c’era una luce
sempre più forte.
«Stà attento!» esclamò la sua compagna mentre
veniva scaraventata contro il suo fianco.
Mr Tompkins si svegliò, e vide che la donna che
era seduta vicino a lui sulla panca della sala delle
conferenze si era addormentata anche lei, ed era
scivolata di fianco addosso a lui, spingendolo contro il muro.
LE PAROLE DELLA SCIENZA
Mr Tompkins è un elettrone di conduzione all’interno di un circuito elettrico. Il termine conduzione, in
fisica, è sinonimo di propagazione: possiamo parlare
infatti di conduzione elettrica, ma anche di conduzione termica.
IN DIECI RIGHE
Rifletti sull’uso del termine conduzione nella lingua
di tutti i giorni, sul suo significato, e fai alcuni esempi,
ricavati dal calcio, dall’economia ecc.
880
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
5
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
SECONDA LEGGE DI OHM E SUPERCONDUTTORI
Nei conduttori metallici la conduzione elettrica è descritta dalle due leggi sperimentali di Ohm e le cariche responsabili della corrente elettrica sono gli elettroni di conduzione, sfuggiti agli atomi del metallo.
Velocità di deriva
È il modulo della velocità media degli elettroni in un metallo, all’interno
del quale è attivo un campo elettrico.
• Si tratta di una velocità dell’ordine di 104 m/s.
vd
i
A
Seconda legge di Ohm
R=
vd t
Unità di misura
La resistività si misura in m
I
A
lunghezza del conduttore
sezione del conduttore
• La resistenza R di un filo conduttore è direttamente proporzionale alla sua
lunghezza l e inversamente alla sua area trasversale A.
resistenza elettrica = resistività #
• è la resistività, una proprietà che dipende dal particolare materiale con
cui è fatto il filo.
• I buoni conduttori hanno resistività bassa; nei buoni isolanti la resistività è
molto elevata; nei semiconduttori essa ha valori intermedi.
semiconduttori
10-7
10-5
10-3
10-1
101
Si
103
B
105
107
109
1011
1013
1015
paraffina
Cu2O
ZnO
zolfo
Ge
quarzo
porcellana
Ag Cu Al Fe
isolanti
ambra
conduttori
elettrici
1017
resistività a 20 °C ( . m)
Variazione della resistività con la temperatura
• Il parametro è detto coefficiente di temperatura della resistività per il metallo;
T T 293 K.
resistività
T 293(1 T )
• Nei metalli, al crescere della temperatura diventano più probabili gli urti tra elettroni e ioni
del reticolo cristallino: di conseguenza il movimento degli elettroni è ostacolato e la resistività aumenta.
i
• Questa relazione è valida da valori bassi di temperatura (circa 100 K) fin quasi alla temperatura di fusione del metallo; se a basse temperature la resistività si annulla bruscamente,
il materiale è detto superconduttore.
O
100
200
300
temperatura T (K)
881
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
293
400
5
CAPITOLO
CAPITOLO
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
METALLI E SEMICONDUTTORI
I semiconduttori sono alla base di diodi, transistori e circuiti integrati, componenti fondamentali dell’elettronica.
Lavoro di estrazione
Potenziale di estrazione
Elettronvolt
We Etot
We
Ve e
Il lavoro di estrazione si misura in
elettronvolt (eV):
potenziale di estrazione =
lavoro di estrazione
=
carica elettrone
1 eV 1,60 1019 J
lavoro di estrazione energia totale
elettrone
• È il minimo lavoro che occorre
compiere per fare uscire un elettrone da un metallo.
• È uguale all’opposto dell’energia
totale (negativa) dell’elettrone nel
metallo.
• È una unità di misura non SI.
• È la differenza di potenziale (positiva) a cui deve essere sottoposto
un elettrone per fornirgli una
quantità di energia pari al lavoro di
estrazione We.
• È molto usata in ambito atomico.
• I potenziali di estrazione sono
numericamente uguali alle
energie di estrazione espresse
in eV.
Applicazioni
Effetto termoionico
-
Effetto Volta
Effetto fotoelettrico
VCa–Ni
calcio
+
+ ++ + + +
+ +
+ + +
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+ +
+ + + + + +
+ + + ++ + + +
elettroni espulsi
schermo del
tele
te
levis
viso
so
ore
or
<
<
<
metallo
nichel
forza elettrica sugli elettroni
• È l’estrazione di elettroni da un
metallo mediante riscaldamento.
• Si utilizza nei vecchi televisori e
monitor a tubo catodico.
• È l’estrazione di elettroni ottenuta
illuminando il metallo con luce di
tipo opportuno.
• Si usa nella costruzione di celle fotoelettriche.
Mettendo a contatto due metalli, tra di
essi si instaura una differenza di potenziale uguale alla differenza, cambiata di segno, tra i rispettivi potenziali
di estrazione.
Semiconduttori
Materiali solidi con resistività intermedia tra quella dei conduttori e quella degli isolanti (per esempio silicio e germanio).
• In un semiconduttore si ha un banda quasi piena detta banda di valenza, e una banda quasi vuota, la banda di conduzione.
• Per temperature T > 0 K, per effetto dell’agitazione
termica, alcuni elettroni superano il gap e raggiungono
i livelli inferiori della banda più alta. Ecco perché la
resistività diminuisce al crescere della temperatura.
• Alla temperatura T 0 K un cristallo di silicio è un
isolante con un piccolo gap fra la più alta banda di
energia occupata e la successiva banda vuota.
• Un semiconduttore si dice drogato quando si introducono impurezze nel cristallo per aumentarne la conduzione.
Semiconduttore di tipo-p
Semiconduttore di tipo-n
• Atomi di silicio (con quattro elettroni nello strato
esterno) sono sostituiti da atomi accettori
che, come quello di boro, possono formare
tre legami covalenti.
–
–
–
Si
–
–
–
Si
–
–
–
lacuna
–
–
Si
–
–
–
–
Si
–
–
–
–
–
–
As
–
• Così si creano legami non formati, detti lacune, che si comportano come portatori di carica positiva.
–
Si
–
–
–
Si
–
–
–
–
–
Si
–
–
–
Si
–
• Atomi di silicio sono
sostituiti da atomi donatori che, come quello di arsenico, possono
formare cinque legami
covalenti.
–
–
–
–
Si
–
Si
–
–
–
Si
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
–
–
–
Si
As
Si
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Si
–
elettrone
–
–
–
Si
–
–
• Così si crea un eccesso
di elettroni di conduzione.
Drogando un medesimo cristallo semiconduttore in modo che abbia una parte di tipo-p e una di tipo-n, si ottiene un diodo a
semiconduttore o a giunzione.
882
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
Considera gli elettroni in un conduttore metallico non percorso da correnti elettriche. Quanto
vale la loro velocità di deriva?
2
Perché nei metalli la conduzione elettrica è legata
solo alle cariche negative?
3
La resistività del ferro è maggiore di quella dell’argento. Un filo di ferro e uno di argento della stessa
lunghezza possono avere la stessa resistenza?
4
Tutti i circuiti elettrici sono realizzati con conduttori di collegamento tra il generatore e gli utilizzatori. Quali devono essere le caratteristiche di
resistività e sezione di questi conduttori?
5
Un conduttore viene attraversato da una certa
corrente. Vogliamo diminuire la potenza dissipata su di esso e possiamo intervenire solo sulle
10
Associa l’effetto all’apparecchiatura che lo utilizza.
Effetto
caratteristiche geometriche del conduttore: cosa
dobbiamo fare?
6
In un metallo, la relazione tra resistività e temperatura è rappresentata sempre da una retta, qualunque sia il valore considerato di temperatura e
qualunque sia il metallo?
7
La temperatura critica è quella temperatura uguale per tutti i metalli superconduttori alla quale la
resistività diventa nulla. Vero o falso? Perché?
8
Nello studio di fenomeni atomici e subatomici si
usa spesso esprimere il lavoro di estrazione in
elettronvolt. Perché?
9
Per estrarre un elettrone dall’argento bisogna
scaldare il metallo a una temperatura maggiore o
minore di quella necessaria per estrarre un elettrone dal potassio?
Televisore
Stufa elettrica
Cancello elettrico
Termoionico
Fotoelettrico
Joule
11
Si pone a contatto un blocchetto di rame con uno
di zinco. Quale dei due metalli si porta al potenziale maggiore rispetto all’altro?
12
Si può realizzare una pila che sfrutta l’effetto Volta mettendo a contatto esclusivamente conduttori di prima specie?
13
Quali fattori determinano se un semiconduttore si
comporta come un isolante o come un conduttore?
14
15
Gli elettroni di conduzione intervengono nel
movimento delle lacune all’interno di un semiconduttore?
In un dato cristallo di silicio puro sono presenti N
elettroni di conduzione. Qual è il numero di lacune presenti nello stesso cristallo?
16
Il diodo è un conduttore ohmico?
17
Il diodo permette di raddrizzare una corrente alternata e di trasformarla in una corrente continua
a impulsi. I valori massimo e minimo della corrente alternata sono 1,0 mA e 1,0 mA. Fra quali valori sarà compresa l’intensità della corrente raddrizzata?
PROBLEMI
1
I CONDUTTORI METALLICI
1
In un filo d’argento che contiene 5,8 1028 elettroni di conduzione per metro cubo circola una
corrente elettrica di intensità 0,50 A. Il diametro
del filo è 0,40 mm.
883
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
䉴 Calcola la velocità di deriva degli elettroni di
conduzione.
di volume del conduttore.
䉴 il
numero di elettroni di conduzione che hanno attraversato il conduttore nell’intervallo di
tempo considerato.
[4,3 104 m/s]
2
Un filo di rame con un diametro di 1,4 mm, che
contiene 1,8 1030 elettroni di conduzione per
metro cubo, viene collegato a un generatore di
tensione. La velocità di deriva degli elettroni di
conduzione nel filo vale 6,4 105 m/s.
䉴 Calcola l’intensità della corrente che circola nel
[5,6 1028 m3; 3,1 1018]
2
LA SECONDA LEGGE DI OHM
5
La resistività dell’interno del corpo umano vale
0,15 m (la pelle ha una resistività molto maggiore). Considera un dito lungo 9,0 cm e di sezione 3,1 cm2.
filo.
[28 A]
3
Un conduttore cilindrico di volume 6,0 cm3 è attraversato da una corrente per un tratto di lunghezza 0,40 cm. Il numero di elettroni di conduzione per metro cubo nel conduttore è 6,2 1026 m3
e la loro velocità di deriva vale 1,3 105 m/s.
䉴 Quanto vale la resistenza del dito?
[44 ]
6
A copper wire is 30 m long and has a section
of 2.6 mm2.
䉴 What is the value of its resistance?
䉴 Calcola l’intensità della corrente che attraversa
il conduttore.
[0.20 ]
[1,9 A]
7
4
In un filo conduttore cilindrico circola per un secondo una corrente di 0,50 A. La sezione del conduttore è di 0,13 106 m2 e la velocità di deriva
degli elettroni è 4,3 104 m/s. Calcola:
Il filamento di tungsteno di una lampadina è lungo 8,0 cm e ha resistenza pari a 0,10 ; la sua resistività vale 5,6 108 m.
䉴 Calcola il diametro del filamento di tungsteno.
[0,24 mm]
䉴 il numero di elettroni di conduzione per unità
8
PROBLEMA SVOLTO
Un filo di nichel lungo 87 cm e con un diametro
di 0,26 mm è percorso da una corrente di
intensità 0,78 A quando alle sue estremità è
applicata una differenza di potenziale pari a 1,0 V.
i
d
A
䉴 Quanto vale la resistività del nichel?
Grandezze
Dati
Valori
Lunghezza del filo
l
87 cm
Diametro del filo
d
0,26 mm
Intensità di corrente
Incognite
V
Simboli
Differenza di potenziale
Resistività del nichel
I = 87 cm
d = 0,26 mm
i = 0,78 A
V = 1,0 V
ρ=?
I
i
0,78 A
V
1,0 V
?
Commenti
Ai capi del filo
884
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Strategia e soluzione
• Dai dati ricaviamo innanzitutto la resistenza R del filo, che risulta
1,0 V
V
R=
=
= 1 ,3 .
0,78 A
i
• Poi calcoliamo l’area trasversale A del filo, che risulta
d 2
A c m (1,3 104 m)2 5,3 108 m2.
2
• Siamo quindi in grado di utilizzare la formula (2), da cui otteniamo
5,3 # 10 -8 m 2
A
= R = ^1 , 3 h #
= 7,9 # 10 -8 : m .
0,87 m
l
La resistività del nichel risulta, quindi, pari a 7,9 108 m.
Discussione
Come puoi controllare nella tabella del paragrafo 2, la resistività del nichel risulta circa 4,6 volte
maggiore di quella del rame.
Quindi il nichel è un buon conduttore elettrico, visto che la sua resistività è dell’ordine di
107 m, ma non è un conduttore buono quanto il rame.
9
䉴 Calcola il valore dell’intensità della corrente
che attraversa il filo di rame.
[2,0 A]
10
1,8 107 m.
Un filo di rame lungo 92 cm (Cu 1,7 108 m), con un diametro di 0,18 mm, è
collegato a un generatore di tensione che eroga
una differenza di potenziale di 1,2 V.
Un filo conduttore lungo 5,0 m con un diametro
di 2,0 mm ha una resistenza di 20 . Un secondo
filo conduttore, dello stesso materiale del primo,
ma con un diametro di 4,0 mm, ha una resistenza
di 12 .
䉴 Calcola la resistività della sbarretta di ferro alla
temperatura di 293 K.
[9,8 108 m]
12
La resistività di un filo di argento alla temperatura di 20 °C vale 1,6 108 m. Il filo viene riscaldato fino alla temperatura di 95 °C. Il coefficiente di temperatura della resistività per l’argento vale 3,9 103 K1.
䉴 Calcola il rapporto tra la resistenza elettrica del
filo alla temperatura di 95 °C e la sua resistenza a
20 °C.
䉴 Calcola la lunghezza del secondo filo conduttore.
[1,3]
[12 m]
3
LA DIPENDENZA DELLA RESISTIVITÀ
DALLA TEMPERATURA
11
Il coefficiente di temperatura del ferro è
6,5 103 K1. La resistività di una sbarretta di
ferro alla temperatura di 4,2 102 K vale
885
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
13
PROBLEMA SVOLTO
Grandezze
α = 3,93 ⫻ 10–3 K–1
T= ?
forno
Simboli
Valori
293
1,06 10 m
T
1,57 107 m
Resistività a 293 K
Dati
Resistività alla temperatura T
Commenti
7
Coefficiente di temperatura
della resistività
3,93 103 K1
Temperatura del forno
Incognite
ρ293 = 1,06 ⫻ 10–7 Ω · m
ρT = 1,57 ⫻ 10–7 Ω · m
sbarra di platino
Alla temperatura di 293 K la resistività del platino
è 1,06 107 m. La resistività di una sbarra
dello stesso materiale, posta in un forno per un
tempo abbastanza lungo, risulta essere
1,57 107 m. Il coefficiente di temperatura della resistività per il platino è
3,93 103 K1.
䉴 Determina la temperatura del forno.
?
T
Strategia e soluzione
• Dalla formula (3) si ricava
T =
1
c
T
- 1 m.
293
• Sostituendo i valori numerici nella relazione trovata otteniamo
T =
1,57
1
- 1 m = ^2,54 # 10 2 Kh # 0,48 = 1,2 # 10 2 K.
c
3,93 # 10 -3 K -1 1,06
Quindi possiamo ottenere
T 293 K T 2,93 102 K 1,2 102 K 4,1 102 K.
La temperatura del forno vale all’incirca 410 K.
Discussione
La temperatura di fusione del platino vale 2045 K; con temperature dell’ordine di alcune centinaia
di kelvin, come quelle del problema precedente, l’utilizzo della formula (3) è giustificato.
14
Un filo di rame lungo 1,0 m con una sezione di
1,0 mm2 alla temperatura di 293 K ha una resistenza di 1,7 102 . Il filo è riscaldato con un
saldatore e la sua resistenza aumenta fino a 2,0 102 . Il coefficiente di temperatura del rame
è 4,3 103 K1.
䉴 Calcola la temperatura finale del filo di rame.
[334 K]
15
Un conduttore di lunghezza 5,2 m e diametro
0,21 mm alla temperatura di 20 °C presenta una
resistività di 8,9 108 m. Nel conduttore,
inserito in un circuito con una differenza di potenziale di 48 V, alla temperatura di 100 °C, circola una corrente di 2,4 A.
䉴 Calcola il coefficiente di temperatura del conduttore.
[6,2 103 K1]
886
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
4
16
䉴 Qual è il valore della differenza di potenziale di
contatto?
L’ESTRAZIONE DEGLI ELETTRONI
DA UN METALLO
[0,21 V]
Un fotone possiede un’energia di 2,2 eV.
21
䉴 Calcola la sua energia in joule.
[3,5 1019 J]
17
Tre blocchetti di metallo, rispettivamente di torio, rame e argento, sono messi a contatto e formano una catena di metalli. Calcola:
䉴 la differenza di potenziale di contatto tra ogni
coppia di blocchetti.
Il lavoro di estrazione di un elettrone da un metallo è 5,44 1019 J. Una lastra di quel metallo
viene illuminata e gli elettroni in superficie ricevono un’energia di 6,63 1019 J.
䉴 la differenza di potenziale di contatto tra i due
blocchetti posti alle estremità della catena.
[1,01 V; 0,22 V; 1,23 V]
Calcola l’energia cinetica degli elettroni che
escono dalla lastra.
䉴
(Suggerimento: supponi che non vi siano altre dispersioni di energia.)
[1,19 10
19
PROBLEMI GENERALI
J]
1
18
Una lastra di sodio è illuminata con una radiazione in grado di estrarre elettroni di conduzione.
La luce fornisce un’energia di 5,2 1019 J a un
elettrone di superficie, in assenza di qualsiasi altra dispersione di energia. Il lavoro di estrazione
di un elettrone dal sodio è pari a 3,7 1019 J.
䉴 Calcola il valore della velocità dell’elettrone
estratto.
䉴 la corrente che attraversa ognuno dei due fili
nella fase iniziale.
[5,7 105 m/s]
19
Un diodo a vuoto è costituito da un’ampolla di
vetro che contiene due elettrodi. Il catodo è l’elettrodo che, riscaldato, raggiunge l’incandescenza
ed emette elettroni. L’anodo è l’elettrodo che riceve gli elettroni accelerati dalla differenza di potenziale che esiste tra i due elettrodi. In un diodo
la differenza di potenziale tra i due elettrodi è di
400 V.
Calcola la velocità massima con la quale gli
elettroni emessi dal catodo raggiungono l’anodo.
䉴
[1,2 107 m/s]
5
L’EFFETTO VOLTA
20
In un esperimento di laboratorio sono posti a
contatto un blocchetto di rame e un blocchetto di
zinco.
Due fili di rame di sezione circolare sono lunghi
8,0 m e hanno un diametro pari a 0,20 mm. La
resistività del rame è Cu 1,7 108 m. In
una prima fase agli estremi di ogni filo viene applicata una differenza di potenziale di 12 V e, in
seguito, i due fili vengono affiancati in parallelo,
lasciando inalterata la differenza di potenziale.
Calcola:
䉴 la corrente che attraversa il circuito quando i
fili sono appaiati.
(Ridotto dalla seconda prova di maturità scientifica sperimentale, 1986)
[2,8 A; 5,6 A]
2
Un filo di ferro lungo 3,4 m, con sezione
0,42 mm2 è inserito in un circuito elettrico. Alla
temperatura di 20 °C e alimentato da una differenza di potenziale di 12 V, il circuito è percorso
da una corrente di intensità 4,2 A. Trascorso un
certo intervallo di tempo, l’intensità della corrente è dimezzata, mentre la differenza di potenziale
è rimasta costante. Il coefficiente di temperatura
del ferro vale 6,5 103 K1.
䉴 Qual è la temperatura finale del filo di ferro?
[1,7 102 °C]
887
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
3
Un uccello si posa su un cavo di rame nel quale
scorre una corrente di 32 A. Il cavo ha una sezione di 0,13 cm2; la resistività del rame è di
1,7 108 m. La distanza tra le zampe dell’uccello è pari a 5,5 cm. Calcola:
䉴 la resistenza del tratto di cavo compreso tra le
zampe dell’uccello.
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
Rispondi ai quesiti in un massimo di dieci righe.
1
Enuncia la seconda legge di Ohm, descrivi tutte le
grandezze nella formula che esprime tale legge e
specifica le relative unità di misura.
2
Illustra come varia la resistività di un metallo con
la temperatura.
3
Spiega che cos’è il lavoro di estrazione di un elettrone da un metallo e descrivi alcuni dei possibili
modi di estrazione.
4
Descrivi la differenza tra un semiconduttore drogato di tipo-n e uno drogato di tipo-p.
5
Descrivi il funzionamento di un diodo a semiconduttore, analizzando in particolare il suo utilizzo come raddrizzatore di corrente.
䉴 la differenza di potenziale tra le zampe.
[7,2 105 ; 2,3 103 V]
4
Per estrarre un elettrone dall’argento occorre
un’energia minima di 4,70 eV. Una radiazione
elettromagnetica incide su una lastra d’argento e
riesce a fornire agli elettroni un’energia di
6,00 eV.
䉴 Determina la velocità degli elettroni liberi.
[6,76 105 m/s]
5
I lavori di estrazione di due metalli differiscono
di 2 eV. Quando si pongono i due metalli a contatto, alcuni elettroni passano dall’uno all’altro e
si localizzano presso la superficie. Secondo un
possibile modello descrittivo, le superfici dei due
metalli sono a effettivo contatto solo in alcuni
punti (che si possono trascurare in questo esercizio) mentre, per lo più, sono affacciate a una distanza piccola su scala macroscopica, ma grande
su scala atomica. Possiamo quindi pensare che le
superfici dei due metalli formino un condensatore piano ai cui capi si ha una differenza di potenziale pari alla differenza fra i potenziali di estrazione. Ipotizziamo inoltre che, in questa occasione, gli elettroni siano stati spostati da un metallo
all’altro mediamente di 3 108 cm.
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
䉴 Stima
quanti elettroni per metro quadrato sono stati spostati.
(Suggerimento: devi calcolare n/S, dove n è il numero di elettroni che costituiscono la carica del
condensatore piano e S è la superficie dei metalli
affiancati.)
[4 1017 m2]
Si vuole costruire un resistore da 10 usando filo di
rame di sezione circolare, con diametro d = 1 mm.
Se la resistività del Cu è 1,7 108 m, che
volume di rame sarà necessario impiegare?
A
3,63 × 104 m3
B
I dati non sono sufficienti per rispondere.
C
3,63 mm3
D
363 mm3
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
2
Due conduttori, il primo di rame Cu (resistività
1,7 108 m) ed il secondo di platino Pt (resistività 11,7 108 m) hanno lunghezza
uguale e sezione, rispettivamente, 1 cm2 e
8 cm2. Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
A
La resistenza dei due conduttori è la stessa
poiché hanno uguale lunghezza.
888
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
3
B
Il conduttore in Cu ha minor resistenza perché ha minor sezione.
C
Il conduttore in Pt ha resistenza minore perché la sua sezione è maggiore.
D
Il conduttore in Pt ha resistenza minore perché il rapporto resistività/sezione è minore.
E
Il conduttore in Cu ha minor resistenza perché ha minor resistività.
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
1
Una rondine si posa su un filo dell’alta tensione e
la distanza tra le due zampette è di 3 cm. Il cavo è
di alluminio (resistività elettrica 2,65 108 m), ha la sezione di 1,2 cm2 e trasporta
una corrente di 100 A. Calcolare:
䉴 la resistenza elettrica di un metro di filo.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Ingegneria, 2005/2006)
䉴 la differenza di potenziale tra le due zampette
della rondine.
L’unità di misura della resistività è:
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2007/2008)
A
/m2
B
m2
C
/m
Un filo di resistività r 8,2 105 m lungo
1,2 m, di sezione A 3 106 m2 è collegato ad
una batteria da 12 volt. Calcolare:
D
m
䉴 la resistenza elettrica del filo.
E
m3
䉴 la corrente che attraversa il filo.
2
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Ingegneria, 2002/2003)
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2003/2004)
889
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
LA CORRENTE ELETTRICA
NEI LIQUIDI E NEI GAS
David Munns/Science Photo Library
1
LE SOLUZIONI ELETTROLITICHE
Studiando il passaggio della corrente elettrica nei liquidi, lo scienziato inglese Michael Faraday (1791-1867) osservò che l’acqua pura è praticamente isolante, mentre
diventa conduttrice se si scioglie in essa una piccola quantità di sale (per esempio
sale da cucina, cioè cloruro di sodio: NaCl), o di un acido (per esempio acido solforico: H2SO4), o di una base (per esempio idrossido di sodio: NaOH). Invece le soluzioni in acqua della maggior parte dei composti organici (come, per esempio, lo zucchero) non sono conduttrici.
-
+
A
elettrodi
Figura 1 Apparato sperimentale per
studiare la conduzione dei liquidi.
Questo esperimento si realizza mediante l’apparato sperimentale della figura 1, detto cella
elettrolitica: inseriamo nel liquido che vogliamo studiare due elettrodi, cioè due conduttori
metallici collegati ai poli di un generatore. Se
il liquido in esame è un conduttore, il circuito
è chiuso e l’amperometro A, in serie agli altri
conduttori, segnala il passaggio di una corrente
elettrica.
Per mettere in luce la debolissima conduzione dell’acqua distillata occorre un amperometro molto sensibile.
Aggiungendo quantità anche piccole di sali, acidi o basi, la conduzione dell’acqua
aumenta notevolmente.
Qualsiasi sostanza che, disciolta nell’acqua, la rende conduttrice si chiama
elettrolita.
890
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
30
CAPITOLO
Le altre sostanze si dicono non-elettroliti. Le soluzioni con elettroliti sono dette soluzioni elettrolitiche.
L’esperienza mostra che per le soluzioni elettrolitiche vale la prima legge di
Ohm.
Questa affermazione è vera finché la temperatura della soluzione non diventa troppo alta. Quando la soluzione bolle, al suo interno avvengono fenomeni complessi e
la prima legge di Ohm non è più rispettata.
La dissociazione elettrolitica
Il diverso comportamento elettrico delle soluzioni elettrolitiche e di quelle non elettrolitiche si spiega a partire dalla loro struttura microscopica.
Come esempio di elettrolita consideriamo il sale
da cucina: esso è prevalentemente costituito da
cloruro di sodio, la cui formula chimica è NaCl.
Come è mostrato nella figura 2, ogni cristallo di
questo sale è un vero e proprio edificio ottenuto dall’aggregazione regolare nello spazio di un
grande numero di «unità costruttive», gli ioni positivi sodio (Na+) e gli ioni negativi cloro (Cl–).
+
–
ione Cl–
+
–
ione Na+
+
–
+
–
Figura 2 Struttura cristallina del
cloruro di sodio (NaCl).
Tali ioni si sono formati a seguito del trasferimento di un elettrone da un atomo di
sodio a un atomo di cloro (figura 3).
Na+
Cl–
Figura 3 Un elettrone passa
dall’atomo di sodio (Na, che diviene
uno ione Na) all’atomo di cloro (Cl, che
diventa uno ione Cl).
La stabilità dell’edificio cristallino è dovuta alla forza attrattiva che si esercita tra
ogni ione e quelli di segno opposto.
All’attrazione che si stabilisce tra gli ioni di segno opposto si dà il nome di
legame ionico.
Nei cristalli ionici (come quello di NaCl) la forza di attrazione tra gli ioni positivi e
quelli negativi è così grande da mantenere ciascuno di essi fisso nella posizione che
occupa nel reticolo cristallino.
Quando però sciogliamo uno di questi cristalli in acqua, gli ioni divengono liberi
di muoversi poiché l’acqua ha la capacità di demolire la struttura ordinata del cristallo liberando gli ioni, che si disperdono nel solvente.
Agitazione termica
A rigore, bisogna dire che le
forze coulombiane tra cariche
opposte fanno sì che rimanga
fissata la posizione media di
ogni ione nel reticolo cristallino.
Infatti, tutti gli ioni oscillano
attorno a tale posizione a
causa del moto di agitazione
termica, che aumenta con la
temperatura.
891
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
30
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
L’azione delle molecole di acqua dipende dalla loro natura polare: a causa della forma angolata e delle proprietà fisiche di idrogeno e ossigeno, al loro interno la carica
non è distribuita simmetricamente, ma tende ad accumularsi alle estremità, come
è mostrato nella figura 4. Quindi la molecola d’acqua si comporta come un dipolo
elettrico.
H
+
–
O
+
–
H
Figura 4 La molecola dell’acqua
è polare: cariche elettriche di segno
opposto si accumulano alle estremità.
� Le molecole d’acqua che penetrano nel reticolo cristallino schermano
la carica elettrica degli ioni; in questo
modo fanno diminuire le forze elettriche di attrazione che si esercitano tra
di essi.
�Il moto di agitazione termica nel li-
quido completa poi lo sfaldamento del
reticolo e la dispersione degli ioni. Alla
fine il cristallo scompare e gli atomi restano in soluzione come ioni positivi e
negativi.
ANIMAZIONE
–
La dissociazione elettrolitica
(1 minuto e mezzo)
– + – + –
+ – + – +
– + – + –
Na+
– + – +
+ – + –
– + –
H2O
Cl–
+
–
+
A
Na+
+
–
+
+
–
–
–
+
–
–
Al fenomeno che avviene durante la dissoluzione delle sostanze ioniche
in acqua e che comporta la dispersione di ioni nel solvente si dà il nome di
dissociazione ionica o dissociazione elettrolitica.
–
+
+
Questi ioni, circondati da molecole di acqua, possono poi muoversi liberamente
nella soluzione (figura 5). L’effetto di schermo da parte delle molecole d’acqua è dovuto al grande valore della costante dielettrica relativa dell’acqua (fr 80), che riduce la forza di Coulomb tra due ioni del cristallo.
Cl–
+
+
B
+
–
Figura 5 Dissociazione elettrolitica
del cloruro di sodio in acqua.
IN LABORATORIO
Corrente elettrica
in una cella elettrolitica
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
Le particolari proprietà delle soluzioni elettrolitiche sono quindi la conseguenza
della dissociazione ionica che si verifica al momento della dissoluzione in acqua di
sostanze quali acidi, basi e sali.
Per le soluzioni acquose di acidi la liberazione degli ioni nel solvente segue in realtà
una via leggermente diversa poiché gli acidi, a differenza dei sali e delle basi, non
hanno struttura ionica.
La maggior parte dei composti organici, come lo zucchero, ha invece struttura
molecolare. Ciò significa che le «unità costruttive» del loro edificio cristallino sono
le molecole. In ogni molecola gli atomi costituenti sono uniti da forti legami covalenti; le molecole, al contrario, si attraggono tra di loro con forze molto più deboli.
Un cristallo di zucchero è allora il risultato dell’aggregazione regolare nello spazio di
un grande numero di molecole trattenute nel reticolo cristallino da attrazioni piuttosto deboli. Quando si pone un tale cristallo in acqua, esso si dissolve disperdendo
nel solvente le molecole di zucchero che, essendo elettricamente neutre, non possono dar luogo a una corrente elettrica.
892
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
30
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
L’ELETTROLISI
Una corrente elettrica continua che attraversa una soluzione elettrolitica determina
in essa svariati fenomeni. Se, per esempio, si fa passare corrente elettrica in acqua,
in cui è stato aggiunto un acido opportuno, si osserva lo sviluppo di numerose bollicine gassose in prossimità degli elettrodi; il gas così prodotto può essere raccolto
utilizzando il dispositivo della fotografia a lato.
Come altro esempio, la corrente che circola in una soluzione azzurra di solfato di
rame (CuSO4) provoca invece il deposito di un solido rosso-bruno su uno degli elettrodi e la progressiva decolorazione della soluzione azzurra.
In generale, si dà il nome di elettrolisi all’insieme dei fenomeni che hanno
luogo nelle soluzioni elettrolitiche per effetto del passaggio della corrente
continua.
NREL/Us Depratment Of Energy/Science Photo Library
2
CAPITOLO
Utilizzando il modello di soluzione elettrolitica descritto al paragrafo precedente, è
possibile spiegare in che modo si realizza il passaggio della corrente e quali fenomeni
essa determina all’interno della soluzione.
Quando agli elettrodi immersi nella soluzione si applica una differenza di potenziale, all’interno del liquido si stabilisce un campo elettrico, diretto dalla lastra a
potenziale più alto (ànodo) a quella a potenziale più basso (catodo).
Gli ioni che prima vagavano qua e là in modo caotico, sotto l’effetto dell’agitazione termica, sono sottoposti a una forza elettrica che li costringe a migrare verso gli
elettrodi di segno opposto (figura 6): gli ioni positivi, pur continuando ad agitarsi, si
muovono lentamente verso il catodo, mentre quelli negativi tendono a raggiungere
l’ànodo, sovrapponendo un moto ordinato a quello disordinato dovuto all’agitazione termica.
+
–
i
ànodo
+
–
–
+
–
–
–
E
+
i +
+
catodo
soluzione
elettrolitica
Figura 6 In una soluzione
elettrolitica la corrente elettrica è
dovuta al moto di ioni dei due segni,
che migrano in versi opposti.
Nota che, a differenza di ciò che accade in un conduttore metallico, dove i portatori di carica sono i soli elettroni, in una soluzione elettrolitica la corrente elettrica è
dovuta a cariche di entrambi i segni: ioni positivi e ioni negativi che migrano nella
stessa direzione ma in versi opposti.
Poiché la massa di un elettrone è piccolissima rispetto a quella di uno ione, il
passaggio della corrente elettrica in un metallo avviene sostanzialmente senza trasferimento di massa; in un conduttore elettrolitico invece i portatori di carica, gli ioni,
hanno massa migliaia di volte più grande di quella di un elettrone e possono dare
luogo a depositi consistenti di materia in prossimità degli elettrodi. Tali depositi
si formano a seguito delle trasformazioni chimiche che subiscono gli ioni quando
giungono sugli elettrodi.
893
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
ELETTROMAGNETISMO
Le reazioni chimiche provocate dall’elettrolisi
Acqua salata
Una soluzione acquosa di
cloruro di sodio contiene
moltissime molecole
d’acqua, fra le quali sono
dispersi numerosi ioni Na
e Cl e pochi ioni H e OH
provenienti dalla dissociazione
di alcune molecole di acqua.
Ciascuna di queste specie
subisce trasformazioni in
corrispondenza degli elettrodi,
complicando notevolmente la
descrizione del fenomeno.
Esaminiamo in dettaglio il processo dell’elettrolisi. Per fare ciò prendiamo in considerazione un liquido ionico come il cloruro di sodio fuso, che si forma quando si
riscaldano i cristalli di sale da cucina a una temperatura superiore a 800 °C. In questa
condizione il cristallo ionico si disgrega a causa dell’agitazione termica e, all’interno
del liquido così ottenuto, gli ioni sono allora liberi di muoversi verso gli elettrodi di
segno opposto quando questi sono collegati a un generatore di tensione.
Analogamente alla soluzione acquosa di cloruro di sodio, i portatori di carica sono gli ioni Na e gli ioni Cl; il fatto che nel sale fuso siano presenti soltanto questi
ioni rende però più semplice la previsione e la descrizione delle trasformazioni provocate dall’elettrolisi.
Come mostra la figura 7, sotto l’azione del campo elettrico gli ioni Na giungono
sull’elettrodo negativo, il catodo, dal quale ciascuno di essi acquista un elettrone.
catodo di
ferro (–)
ànodo di grafite (+)
diaframma
metallico
Cl2 (g)
Na (I)
Cl
sodio
fuso
+
Figura 7 Il cloruro di sodio fuso
si scinde in sodio metallico e in cloro
gassoso.
Separazione dei prodotti
Il diaframma di metallo che
si vede nella figura impedisce
che il sodio e il cloro prodotti
dall’elettrolisi vengano a
contatto, poiché reagirebbero
tra loro per ridare cloruro di
sodio.
NaCl
fuso
Na+
Cl–
–
riscaldamento
Come conseguenza ogni ione Na si trasforma in un atomo neutro; al catodo si ha
allora deposito di sodio, Na (che a questa temperatura è liquido e galleggia sulla
massa fusa del sale).
Gli ioni Cl giungono invece sull’elettrodo positivo, l’ànodo, a cui ciascuno di
essi cede un elettrone. Ogni ione Cl si trasforma pertanto in un atomo neutro; dalla
combinazione a due per due di tali atomi si formano le molecole biatomiche di cloro, Cl2, che si liberano allo stato gassoso.
Il risultato dell’elettrolisi del cloruro di sodio fuso è dunque la produzione di sodio metallico fuso e cloro gassoso. Il processo può essere schematizzato dalle seguenti reazioni:
Na 1e $ Na
Cl $
reazione catodica ()
1
Cl 1e reazione anodica ()
2 2
La somma delle reazioni catodica e anodica corrisponde alla trasformazione complessiva che si verifica durante l’elettrolisi:
NaCl $ Na 1
Cl
2 2
(1)
L’elettrolisi di sali fusi è il processo industriale con il quale si ottengono molti metalli
importanti dal punto di vista tecnologico; oltre al sodio, si producono in modo analogo anche il potassio, il magnesio e l’alluminio.
894
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
30
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
Il processo elettrolitico con cui si ottiene l’alluminio è stato effettuato per la prima
volta nel 1886 da un giovane studente di chimica, lo statunitense Charles Martin
Hall (1863-1914). Prima di allora l’alluminio era un metallo più prezioso dell’oro
nonostante esso sia l’elemento metallico più abbondante nella crosta terrestre.
Tramite un processo di elettrolisi, che avviene in soluzioni che contengono sali
metallici, è anche possibile depositare strati sottili di metallo (per esempio zinco
o argento) su oggetti diversi, purché questi siano posti al catodo (polo negativo)
di una cella elettrolitica contenente gli ioni del metallo con cui si vuole ricoprire
l’oggetto. A questo processo di deposizione elettrolitica si dà il nome di galvanoplastica.
CAPITOLO
Charles Martin Hall
(1863-1914) ingegnere e
chimico statunitense. Nel
1886 inventò il metodo di
produzione dell'alluminio
tramite processo
elettrolitico. Fondò la
Reduction Company, che
aprì il primo stabilimento
di produzione di alluminio
su larga scala e che
ancora oggi esiste con il
nome di Alcoa.
Le celle a combustibile
Una corrente elettrolitica è presente anche nelle celle a combustibile.
Una cella a combustibile è un generatore di tensione alimentato, per
esempio, da idrogeno.
È formata da due elettrodi porosi, separati da una sottile membrana elettrolitica, che
lascia passare gli ioni positivi ma non gli elettroni.
di sinistra entra l’idrogeno, che è scomposto in protoni
ed elettroni da un catalizzatore. I protoni diffondono attraverso la membrana e raggiungono l’elettrodo di destra, che diviene l’elettrodo positivo.
elettroni, bloccati dalla membrana, fluiscono lungo il filo esterno
verso l’elettrodo positivo, generando
una corrente. All’elettrodo di destra,
si combinano con i protoni e con l’ossigeno dell’aria dando vapore acqueo.
elettrodi
–
+
+
H2
+
+
H2O
+
+
+
+
A
ossigeno
dell’aria
(O2)
+
+
H2
idrogeno
noo re
rresiduo
esi
es
s duo
uo
i
elettrodi
membrana
m
eemb
bra
rana
m
membrana
B
La corrente che circola nel circuito esterno può essere usata per alimentare un dispositivo, ad esempio un motore elettrico.
Esistono già automobili che funzionano con motori elettrici alimentati con celle a
combustibile. In questi veicoli non si fa il «pieno» di benzina o gasolio, ma di idrogeno. I loro gas di scarico, costituiti da vapore acqueo, non sono inquinanti.
Car Culture/Corbis
elettroni
idrogeno
(H2)
� Gli
aria e vapore
acqueo
� Dall’elettrodo
895
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
ELETTROMAGNETISMO
3
Raccolta differenziata
Il grande consumo di energia
elettrica necessario per la
produzione dell’alluminio
rende molto vantaggioso il suo
riutilizzo. Gli oggetti in alluminio
devono pertanto essere sempre
riciclati.
LE LEGGI DI FARADAY PER L’ELETTROLISI
L’esperienza mostra che per produrre mediante l’elettrolisi 20 g di alluminio (sufficienti per una lattina da bibite) è necessario far circolare una corrente elettrica di 1 A
per 59 ore.
È possibile calcolare come produrre per via elettrolitica una certa massa di sostanza grazie a due leggi che Michael Faraday ottenne sperimentalmente nel 1833. Esse
possono essere ricavate partendo dalla conoscenza del modello atomico e molecolare della materia, cioè sapendo che la materia è fatta di atomi, e che gli atomi della
stessa sostanza sono tutti identici tra loro.
La prima legge di Faraday
La prima legge di Faraday stabilisce che
la massa di sostanza che si libera presso un elettrodo è direttamente
proporzionale alla carica che, attraversando la soluzione, è giunta allo stesso
elettrodo.
Per spiegare questa affermazione consideriamo una cella elettrolitica e supponiamo
che, in essa, giungano a un particolare elettrodo N ioni di massa m e carica q (che
prendiamo in valore assoluto, senza considerare se è positiva o negativa).
La massa m di uno ione è uguale alla massa MA di una mole della sostanza divisa
per il numero di grani (atomi, molecole, ioni...) contenuti in una mole, che è il numero di Avogadro NA,
m=
MA
.
NA
(2)
Inoltre la carica q dello ione è un multiplo della carica e dell’elettrone (anche questa
considerata in valore assoluto):
q ze.
(3)
Il numero z si chiama valenza dello ione. Per esempio lo ione Cu che, in valore
assoluto, ha una carica pari al doppio di quella dell’elettrone, ha valenza z 2.
Per calcolare la massa di materiale che si libera all’elettrodo si deve moltiplicare la
massa di uno ione per il numero di ioni che giungono all’elettrodo. La stessa relazione vale per la carica.
La massa M di sostanza che si libera presso l’elettrodo è allora data dalla formula
M Nm N
MA
,
NA
mentre la quantità di carica Q che giunge all’elettrodo è
Q Nq Nze.
Dividendo membro a membro le ultime due equazioni otteniamo
MA
M
1
M
,
=N A
=
N A N ze N A ze
Q
896
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
30
da cui ricaviamo
M=
MA
Q
N A ze
(4)
La relazione che abbiamo ottenuto giustifica la prima legge di Faraday perché la
massa M è direttamente proporzionale alla carica Q attraverso una costante di proporzionalità che dipende da costanti universali (NA ed e) e dalle proprietà dello ione
in esame (MA e z).
Al denominatore della (4) compare il prodotto Ne, che corrisponde al modulo
della carica elettrica posseduta da una mole di elettroni. Tale grandezza è talvolta
indicata come un faraday (1 F) di carica. Nelle Unità S.I. vale
1 F NAe (6,02 1023 mol1) (1,60 1019 C) 9,63 104
C
.
mol
ESEMPIO
La massa molare dell’alluminio è MA 2,698 102 kg/mol e la valenza dello
ione Al3 è z 3.
f Calcola la carica Q necessaria a fare depositare al catodo 1,00 g di alluminio
metallico.
N ze
• Dalla formula (4) si ricava l’espressione per Q, che risulta Q = M A .
MA
• Grazie ai dati riportati nel libro ricordiamo che il numero di Avogadro
vale NA 6,02 1023 mol1 e che il valore della carica elementare è
e 1,60 1019 C.
• Con questi dati e quelli riportati nel testo del problema possiamo ricavare
N ze
Q = M A = ^1,00 # 10 -3 kg h #
MA
c 6,02 # 10
1
-19
m # 3 # ^1,60 # 10 Ch
mol
=
kg
2,698 # 10 -2
mol
23
= 1,07 # 10 4 C.
La seconda legge di Faraday
La stessa quantità di carica che fluisce in soluzioni elettrolitiche diverse fa depositare
agli elettrodi masse diverse degli elementi contenuti nelle soluzioni.
Questo caso è descritto dalla seconda legge di Faraday:
una stessa quantità di carica, attraversando soluzioni elettrolitiche diverse,
libera agli elettrodi masse di sostanze che sono direttamente proporzionali ai
rispettivi equivalenti chimici.
M
L’equivalente chimico di una sostanza è definito come il rapporto A tra il suo
z
peso atomico (o molecolare) espresso in grammi e la sua valenza.
897
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
ELETTROMAGNETISMO
Per esempio, il rame ha peso atomico 63,55 e, come abbiamo visto in precedenza,
g
g
.
valenza uguale a 2. Il suo equivalente chimico è quindi 63,55
= 31,78
2 mol
mol
La seconda legge di Faraday non è altro che un’altra versione della formula (4),
che può essere riscritta come
M=
Q MA
.
NA e z
(5)
Questa equazione mostra infatti che, tenendo Q fissata, la massa M è direttamente
M
proporzionale all’equivalente chimico A .
z
Il significato della seconda legge di Faraday può essere facilmente compreso in
maniera intuitiva: infatti, ogni volta che quattro elettroni sono sottratti oppure ceduti a un elettrodo, presso di esso:
� sono
liberati quattro atomi di una
sostanza che ha valenza z 1,
–
–
� oppure
sono liberati due atomi di
una sostanza che ha z 2.
Na+
–
Cu++
–
Na+
–
Na+
Cu++
–
–
elettrodo
A
Na+
–
elettrodo
B
D’altronde, ogni atomo porta con sé una massa che è proporzionale al suo peso atomico. Così, la massa di sostanza liberata all’elettrodo è
• direttamente proporzionale al peso atomico;
• inversamente proporzionale alla carica dello ione, cioè alla valenza;
e, quindi, direttamente proporzionale all’equivalente chimico.
4
Andrew Lambert Photography/Science Photo Library
CAPITOLO
LE PILE E GLI ACCUMULATORI
Mediante l’elettrolisi si può trasformare il sale da cucina fuso in sodio metallico e
cloro gassoso grazie al generatore di corrente che fornisce energia e «costringe» gli
ioni Na a prendere elettroni dal catodo e gli ioni Cl a cederli all’anodo.
La reazione opposta avviene, però, in modo spontaneo quando poniamo un pezzettino di sodio metallico in un recipiente che contiene gas cloro: in questo caso si
assiste a una trasformazione violenta che libera energia e porta alla produzione di
una polvere bianca di cloruro di sodio. La fotografia a fianco mostra gli effetti della
liberazione di energia nella reazione: durante la combinazione del sodio con il cloro
si sviluppa una fiamma gialla molto intensa che provoca un notevole riscaldamento
del sistema e dell’ambiente.
Poiché il cloruro di sodio è costituito da ioni Na e Cl, durante la reazione gli
atomi di sodio devono avere ceduto elettroni agli atomi di cloro.
898
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
30
CAPITOLO
Possiamo riassumere questo fenomeno dicendo che il sodio metallico e il cloro gassoso si trasformano spontaneamente in cloruro di sodio scambiandosi elettroni e
liberando energia in modo violento. Prima della reazione il sodio metallico e il cloro
gassoso possedevano un’energia potenziale «chimica», che lo scambio di elettroni
trasforma in un aumento dell’agitazione termica, cioè in energia interna.
In opportune condizioni è però possibile controllare lo scambio di elettroni fra i
due elementi e utilizzare la loro energia potenziale, in modo graduale, per generare
una corrente elettrica. Ciò accade in una cella a combustibile, che usa idrogeno e
ossigeno iniettati dall’esterno. Però le sostanze che reagiscono possono essere all’interno del dispositivo.
Si definisce pila (o cella elettrochimica) un generatore di tensione in grado
di compiere lavoro a spese dell’energia potenziale chimica delle sostanze
contenute al suo interno.
La forza elettromotrice di una pila è il frutto di una trasformazione chimica spontanea in cui le sostanze reagenti si scambiano elettroni.
Le «pile a secco»
La pila è stata inventata nel 1799 da Alessandro Volta. Egli realizzò questo dispositivo impilando (da cui il nome «pila») molte coppie di dischi di zinco e di rame,
separate l’una dall’altra da un panno imbevuto di un conduttore elettrolitico, come
acido solforico diluito (figura 8).
La pila di Volta è «umida», perché contiene delle componenti liquide. Una sua
evoluzione è detta «pila a secco». Come esempio, la figura 9 mostra la struttura di
una comune pila zinco-carbone, che è costituita da un contenitore di zinco che racchiude un cilindro di grafite circondato da uno strato di diossido di manganese. Tra
questo e lo zinco è posta una soluzione elettrolitica (pasta gelatinosa di diossido di
manganese MnO2 e di cloruro d’ammonio NH4Cl).
+
zinco
–
rame
V
+
Figura 8 Struttura schematica della
pila di Volta.
e
WEERR
WE
elettrodo di carbone
(positivo)
diossido di manganese
e cloruro d’ammonio
soluzione elettrolitica
Figura 9 Spaccato di una comune
pila zinco-carbone.
Catodo e ànodo
elettrodo di zinco
(negativo)
Le proprietà della pila sono determinate dai seguenti comportamenti elettrici:
• Gli atomi dell’elettrodo di zinco tendono a perdere due elettroni e a trasformarsi
in ioni Zn, che poi migrano nella soluzione elettrolitica. A causa dell’eccesso di
elettroni che rimangono nel suo interno, l’involucro di zinco diviene negativo e
costituisce l’elettrodo «» della pila.
Per gli ioni che migrano nella
parte umida, l’involucro di
zinco e la barra di carbone
sono l’ànodo e il catodo che
acquistano e perdono elettroni.
Visti fuori della pila, essi sono
rispettivamente un catodo,
che respinge gli elettroni lungo
un conduttore esterno, e un
ànodo, che li attira.
899
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
ELETTROMAGNETISMO
• L’elettrodo di carbone si carica invece di segno positivo, perché tende a cedere elettroni al diossido di manganese (MnO2), che si trasforma in triossido di dimanganese (Mn2O3). Così l’elettrodo di carbone diviene il polo «» della batteria.
Ma la separazione delle cariche agli elettrodi non avviene indefinitamente; per
esempio, la carica negativa dell’elettrodo di zinco attira verso di sé gli ioni Zn che
erano passati nella soluzione elettrolitica; si raggiunge così una condizione in cui il
numero di ioni positivi che passano dallo zinco alla soluzione è uguale a quello degli
ioni che seguono il percorso inverso (figura 10).
elettrodo
di zinco
ioni positivi
che passano
in soluzione
Zn++
Figura 10 All’equilibrio, il numero di
ioni di zinco che passano dall’elettrodo
alla soluzione è uguale al numero di ioni
che si muovono in verso opposto.
Jerry Mason/Science Photo Library
soluzione
elettrolitica
Riciclare le batterie
esaurite
Le batterie elettriche
contengono sostanze che
sono dannose per l’ambiente
e, una volta esaurite, non
vanno gettate nella spazzatura,
ma portate negli appositi
contenitori per la raccolta
differenziata.
ioni positivi
attratti
dall'elettrodo
negativo
In questa situazione di equilibrio i due elettrodi si stabilizzano a potenziali diversi. Se li si collega con un filo conduttore, gli elettroni si spostano attraverso di esso
dall’elettrodo di zinco, in cui sono in eccesso, a quello di carbone, dando luogo a una
corrente convenzionale nel verso opposto.
In tal modo la precedente condizione di equilibrio viene meno e, in prossimità
dei due elettrodi, le cariche riprendono a separarsi. La pila permette così di ottenere
una corrente continua:
l’energia necessaria per mantenere una corrente elettrica nel circuito esterno
alla pila è fornita dal fenomeno chimico che provoca lo scioglimento
dell’elettrodo di zinco e la trasformazione del diossido di manganese.
Le pile alcaline sono simili a quelle zinco-carbone, ma usano l’idrossido di potassio
(KOH) come elettrolita al posto del cloruro d’ammonio. In generale, rispetto alle
pile zinco-carbone hanno la possibilità di erogare più energia a parità di volume e di
potere essere immagazzinate più a lungo in attesa del loro utilizzo.
Gli accumulatori elettrici
Le batterie delle automobili, che si chiamano «accumulatori elettrici», sono in sostanza delle batterie ricaricabili.
Mentre l’automobile va, trasforma parte del lavoro del motore in energia
elettrica mediante l’alternatore. Questa energia elettrica è accumulata nelle
batterie (processo di carica).
L’energia immagazzinata nella batteria permette di compiere lavoro
azionando il motorino elettrico che mette in moto l’automobile o accendendo
i fari (processo di scarica).
900
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
La figura 11 mostra uno spaccato di una batteria da automobile, formata da una successione di elettrodi di piombo immersi in
una soluzione di acido solforico. Le lastre
di piombo negative sono isolate da quelle
positive mediante sottili lamine isolanti e
porose (i separatori). Quando la batteria
è carica, l’elettrodo negativo è formato da
piombo metallico, mentre quello positivo
è ricoperto di diossido di piombo. Durante
il processo di scarica, entrambe le sostanze
reagiscono con l’acido solforico (H2SO4)
presente nella batteria e si ricoprono di solfato di piombo, sottraendo acido solforico
alla soluzione elettrolitica.
La figura 12 mostra una coppia di elementi della batteria. Ognuno di questi
elementi fornisce una forza elettromotrice di circa 2 V e una normale batteria
da automobile contiene sei di questi elementi collegati in serie tra loro, in modo
da fornire una forza elettromotrice nominale di 12 V.
� Quando gli elettrodi dell’accumulatore sono ricoperti di solfato di
piombo (PbSO4) e la concentrazione
dell’acido solforico in soluzione è a un
livello minimo, la batteria è «scarica» e
cessa di funzionare.
–
piastra
negativa
separatori
piastra positiva
Figura 11 Spaccato di una batteria
da automobile.
lamina di piombo
metallico
lamina di piombo
e diossido di
piombo
–
+
separatore
di vetro
o plastica
Figura 12 Coppia di elementi
contenuti in una batteria da
automobile.
soluzione diluita di
acido solforico in acqua
� Ma
la reazione chimica avvenuta
all’interno dell’accumulatore durante
il processo di scarica è reversibile, ed è
possibile riportare il dispositivo nella
sua condizione iniziale in cui l’elettrodo positivo è ricoperto di diossido di
piombo (PbO2).
si forma
diossido
di piombo
+
–
+
4,5 V
A
CAPITOLO
elettrodo negativo
elettrodo
positivo
si forma piombo
metallico
lamine di piombo
rivestite di solfato
di piombo
+
30
B
Durante il processo di carica, all’interno dell’accumulatore avviene l’elettrolisi che
trasforma il solfato di piombo di una piastra in piombo metallico e quello dell’altra
piastra in diossido di piombo. Poiché a tali prodotti compete maggiore energia potenziale chimica, l’accumulatore ha immagazzinato energia a spese del lavoro compiuto dal generatore esterno ed è pronto a funzionare nuovamente come generatore
di forza elettromotrice.
901
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
ELETTROMAGNETISMO
La capacità energetica di una pila o di un accumulatore è di solito espressa empiricamente in ampere-ora (Ah). Per esempio, una capacità di 1 Ah indica che la batteria
può sostenere una corrente di intensità 1A per un’ora.
ESEMPIO
Una batteria da automobile che mantiene una differenza di potenziale
V 12 V può avere una capacità di 80 Ah.
f Qual è il valore della carica totale Q che la batteria può erogare?
f Quanto vale l’energia teorica W che tale batteria può fornire?
• L’indicazione 80 Ah indica che la batteria in esame può erogare una
corrente i 1,0 A per un tempo t 1,0 h. Sulla base della definizione di i,
la carica Q è data da
Q = i t = (1,0 A) # (80 h) = (1,0 A) # (80 h ) # c 3600
= (80 A) # (3600 s) = 2,9 # 10 5 A : s = 2,9 # 10 5 C.
s
m=
h
• Se la batteria potesse mantenere ai suoi estremi la differenza di potenziale
V nel corso di tutto il suo funzionamento, erogherebbe un’energia totale
W data da:
W = Q V = (2,9 # 10 5 C) # (12 V ) = 3,5 # 10 6 C : V = 3,5 # 10 6 J.
5
LA CONDUCIBILITÀ NEI GAS
A differenza di quanto accade in un conduttore metallico e in una soluzione elettrolitica, in un gas (ben protetto da influenze esterne) non vi sono portatori di carica.
Quindi:
per sua natura un gas è un isolante perfetto.
ANIMAZIONE
Però il gas diventa conduttore se qualche causa esterna produce la ionizzazione di
alcune sue molecole.
Si può ionizzare una frazione (sia pure molto piccola) delle molecole di un gas
investendolo con radiazioni elettromagnetiche di energia adeguata (luce visibile,
raggi ultravioletti, raggi X, raggi gamma), oppure con corpuscoli veloci di dimensioni subatomiche (elettroni, protoni) emessi da sostanze radioattive o accelerati da
acceleratori di particelle.
Questi agenti «ionizzanti» forniscono agli elettroni di alcune molecole del gas
un’energia sufficiente a staccarli da esse. Quindi:
Ionizzazione di un gas
(2 minuti)
in un gas ionizzato sono presenti ioni positivi, elettroni liberi e ioni negativi,
che si formano spesso per cattura di un elettrone libero da parte di una
molecola.
902
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
30
CAPITOLO
Per esempio:
�un fotone di luce ultravioletta colpisce un atomo di ossigeno e fornisce
a uno degli elettroni più esterni l’energia sufficiente per allontanarsi.
fotone
�L’atomo
diviene così uno ione positivo, perché gli manca un elettrone.
Ora, nel gas ci sono una carica negativa (l’elettrone) e una positiva libere di
muoversi.
+
+
elettrone
ossigeno
ione ossigeno
A
B
Eventualmente, l’elettrone perso dall’atomo di ossigeno può essere catturato da
un’altra molecola presente del gas, che si trasforma in uno ione negativo.
In pratica, non è mai possibile sottrarre completamente un gas all’azione di qualche agente ionizzante.
Infatti, tutti i materiali di cui è costituita la crosta terrestre contengono piccole
quantità di sostanze radioattive, che emettono elettroni, particelle alfa o raggi gamma. Alla ionizzazione del gas contribuiscono anche le fiamme, la radiazione solare
e i raggi cosmici (cioè la «pioggia» di particelle subatomiche che investe la Terra,
proveniente dagli spazi interstellari).
Proprio perché al loro interno è sempre presente un certo numero di ioni, i gas
possono essere attraversati dalla corrente elettrica.
Le scariche elettriche nei gas
Per osservare il fenomeno della scarica elettrica in un gas, lo si racchiude in un tubo
trasparente, alle cui estremità sono fissati due elettrodi metallici. Essi sono collegati
a un circuito esterno costituito da un generatore G e da una resistenza variabile R
(figura 13). Modificando la resistenza R, si fa variare la corrente che attraversa il gas e
la differenza di potenziale applicata agli elettrodi.
resistenza variabile R
+
–
generatore G
A
V
Figura 13 Apparato sperimentale
per studiare la conduzione in un gas.
903
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
30
ELETTROMAGNETISMO
A qualsiasi pressione del gas si osserva che l’intensità di corrente non è direttamente
proporzionale alla differenza di potenziale ai capi del tubo. La relazione tra queste
due grandezze è complessa e diversa da caso a caso. Ciò significa che, a differenza dei
conduttori metallici e delle soluzioni elettrolitiche,
per i gas non vale la prima legge di Ohm.
H. Unland, 2007
CAPITOLO
Variando la pressione del gas e la differenza di potenziale tra gli elettrodi, la scarica
assume aspetti molto diversi.
Mantenendo il gas a pressione atmosferica, se si applica tra gli elettrodi una tensione sufficientemente elevata, all’interno del tubo scocca una scintilla. Essa è più o
meno ramificata a seconda della distanza tra gli elettrodi e della loro forma, ed è accompagnata da un rumore secco.
La formazione della scintilla è il risultato di un processo in cui numerose
molecole si ionizzano e acquistano energia, che riemettono subito dopo sotto
forma di luce.
Nel dettaglio, la formazione della scintilla è il risultato di due meccanismi simultanei, la produzione di ioni e l’emissione luminosa.
1. Produzione di ioni. Quando la differenza di potenziale tra gli elettrodi è di molte
migliaia di volt, il campo elettrico esercita sui pochi ioni presenti all’interno del
gas una forza così intensa che essi, tra un urto con una molecola di gas e l’altro,
acquistano un’energia cinetica molto grande.
Così gli ioni, colpendo violentemente altre molecole del gas, strappano elettroni e
formano altri ioni, che vengono a loro volta accelerati dal campo elettrico e sono
in grado di urtare e ionizzare altre molecole.
Si ha così una produzione di ioni a valanga, che provoca un rapidissimo aumento
della corrente.
2. Emissione luminosa. A seguito degli urti, le molecole del gas immagazzinano
temporaneamente energia, che poi riemettono sotto forma di luce.
� Uno
ione veloce urta un atomo di
una molecola neutra; l’urto non è così energetico da ionizzarlo, ma porta
comunque un elettrone dell’atomo su
un’orbita di diametro più grande ed
energia maggiore.
io
one
�Trovandosi in una situazione di insta-
bilità, l’atomo subito dopo ritorna nella
condizione iniziale: l’elettrone, tornando nella sua orbita originale, emette l’energia acquistata nell’urto sotto forma
di una particella di luce, il fotone.
attomo
foootoon
n
collisione
A
emissione
missione
di luce
attom
moo eccitato
B
904
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
30
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
AraBus/Shutterstock
Aspirando il gas dal tubo mediante una
pompa da vuoto, la scarica avviene in
modi diversi, a seconda della pressione
del gas. A 1000 Pa (circa un centesimo di
atmosfera) la scintilla è silenziosa e invade tutto il tubo. Si ha la cosiddetta scarica
a bagliore, che viene utilizzata per i tubi
fluorescenti per l’illuminazione e per le
insegne luminose. A pressioni inferiori la
luminosità diminuisce progressivamente
per poi sparire del tutto.
CAPITOLO
c./Shutterstock
Le lampade a fluorescenza fanno parte della famiglia delle lampade a scarica in gas.
Nelle lampade a incandescenza, la luce è prodotta per riscaldamento di un filamento
di tungsteno in cui circola corrente elettrica, fino a raggiungere temperature di 2500 K.
Il filamento si assottiglia per evaporazione durante l’uso e si spezza dopo circa mille
ore di funzionamento.
Solo il 5-10% della potenza assorbita produce luce visibile; la maggior parte
dell’energia consumata è dispersa sotto forma di calore.
Una lampada a fluorescenza è formata da un tubo di vetro in cui all’inizio è praticato il vuoto; poi il tubo è riempito con un gas nobile, solitamente argo o neon, e
con una piccola quantità di vapori di mercurio. Ai due estremi del tubo sono posti
due elettrodi. Uno strato di polveri bianche fluorescenti, per esempio di fosforo, è
depositato sulle pareti interne del tubo.
Gli elettroni emessi dal catodo sono accelerati dal campo elettrico presente. Percorrendo il tubo, colpiscono ed eccitano gli atomi di mercurio che, quando ritornano nella loro condizione normale, emettono radiazione ultravioletta. Questa radiazione, per noi invisibile, viene assorbita dallo strato di fosforo che la riemette a una
frequenza più bassa, visibile.
Una lampada fluorescente compatta (a basso consumo) permette di ridurre di circa
il 70% i consumi di energia elettrica rispetto a una lampada a incandescenza con uguale
flusso luminoso: per esempio, una lampada a risparmio energetico da 20 W fornisce le
stesse prestazioni di una a incandescenza da 100 W. La sua durata è di circa diecimila ore
e il costo iniziale più alto è ammortizzato da una maggiore efficienza e durata.
La tabella mostra un confronto, in condizioni reali di funzionamento, fra quattro
soluzioni di illuminazione basate su diverse tipologie di lampade.
Pali Rao/iStock Photo
Le lampade a fluorescenza
Confronto fra diverse soluzioni di illuminazione
Tipo di lampada
Efﬁcienza
(lm/W)
Potenza lampada
(W)
Durata vita
(ore)
Costo lampada
(€/unità)
Risparmio
(€/anno)*
Incandescenza
12
100
1000
1,00
–
Alogene
15,5
100
2000
2,00
161
Fluorescenti compatte elettroniche
60
20
10 000
7,00
524
100
32
10 000
12,00
598
Fluorescenti
tubolari
* Risparmio rispetto alla soluzione con lampade ad incandescenza.
905
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
30
ELETTROMAGNETISMO
6
I RAGGI CATODICI
Quando nel tubo a scarica la pressione del gas è dell’ordine di 101 Pa o 102 Pa (cioè
da un milione a dieci milioni di volte minore della pressione atmosferica), sulla parete
di fronte al catodo (l’elettrodo negativo) compare una piccola macchia fluorescente.
Si osserva che il bagliore scompare quando si fa cessare la scarica. Quindi si deduce che nel tubo sotto tensione si produce un fascio di raggi che, colpendo la parete
opposta del tubo, la rendono fluorescente.
Gli ioni positivi presenti nel gas sono accelerati verso il catodo e, quando lo colpiscono, cedono energia che estrae elettroni dal metallo da cui il catodo è formato. A
causa della loro origine, quando furono scoperti alla fine dell’Ottocento, questi raggi
furono chiamati raggi catodici.
I raggi catodici sono costituiti da elettroni emessi dal catodo a causa del
bombardamento che esso subisce da parte degli ioni positivi.
macchia
fluorescente
–
cattto
o o
odo
+
ànodo
alla pompa
Figura 14 Apparecchio a vuoto con
anodo cilindrico per studiare i raggi
catodici.
Gli elettroni emessi sono a loro volta accelerati verso l’anodo. È allora conveniente
costruire tubi in cui l’anodo ha una forma particolare, come quella cilindrica che si
vede nella figura 14.
Gli elettroni, che non sono frenati nel loro moto perché il tubo è praticamente
vuoto, sono accelerati verso l’elettrodo positivo e acquistano una velocità notevole:
quando la differenza di potenziale applicata al tubo è di 10 000 V, essi raggiungono
una velocità di circa 100 000 km/s, ma non è troppo difficile applicare tensioni ancora più elevate e ottenere, quindi, velocità ancora maggiori.
Quando elettroni così veloci giungono al di là dell’anodo, la forza elettrica attrattiva non riesce a deviare in modo significativo la loro traiettoria. Così essi continuano
praticamente in linea retta e collidono sulla parete di vetro che si trova oltre l’anodo.
Qui cedono al vetro la loro energia cinetica, che viene riemessa sotto forma di
energia luminosa, provocando quel bagliore che si osserva di fronte al catodo.
Il tubo a raggi catodici
tubo
u catodico
–
alimentatore
per riscaldare
il catodo
+
generatore
di tensione tra
catodo e ànodo
I vecchi televisori e schermi per i computer utilizzano un tubo a raggi catodici (o
tubo catodico), che è un’ampolla di vetro a forma di imbuto, all’interno della quale
è stato fatto il vuoto.
Nella parte più stretta del tubo è posto il cannone elettronico, che serve a produrre e ad accelerare gli elettroni del fascio catodico. Nella sua forma più semplice, il
cannone elettronico è costituito da un catodo riscaldato fino all’incandescenza e da
un anodo forato (figura 15).
Nei tubi catodici si genera un fascio di elettroni molto più intenso di quello che si
aveva nei tubi a vuoto più antichi; infatti,
Figura 15 Schema del cannone
elettronico contenuto nel tubo catodico.
nei tubi catodici gli elettroni sono emessi per effetto termoionico dal catodo
ad alta temperatura, e non semplicemente per bombardamento da parte degli
ioni positivi.
Una volta emessi dal catodo, gli elettroni sono accelerati verso l’anodo e una parte
di essi passa attraverso il foro praticato nell’elettrodo positivo, formando un fascio
filiforme ed essenzialmente monoenergetico (cioè costituito da particelle che hanno
tutte la stessa energia).
906
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
30
Il fascio così formato è diretto verso il centro dello schermo fluorescente che si trova
nella parte opposta del tubo catodico e formerebbe semplicemente l’immagine di un
puntino luminoso al centro dello schermo. Per muovere il punto luminoso in altri
punti dello schermo (come è necessario per ottenere un’immagine sullo schermo
del televisore o del computer) bisogna deviare il fascio mediante forze elettriche o
magnetiche.
Nei televisori e nei monitor la deviazione del fascio è ottenuta grazie a forze magnetiche, che sono l’argomento dei prossimi capitoli.
Forze elettriche sono utilizzate invece nell’oscilloscopio a raggi catodici, uno strumento usato per rappresentare su uno schermo l’andamento di una grandezza fisica
in funzione del tempo o in funzione della variazione di una seconda grandezza fisica.
Nell’oscilloscopio, sul cammino del fascio catodico sono posti due condensatori
piani (figura 16): uno di essi serve per deviare il fascio a destra o a sinistra, l’altro verso l’alto o il basso.
Un elettrone che entra nel condensatore risente di una forza costante e quindi si
muove con accelerazione costante. Come è mostrato nella figura 17, il suo moto è
quindi simile a quello di un sasso lanciato in aria. In particolare
una particella carica che entra tra le armature di un condensatore piano con
una velocità iniziale obliqua rispetto alle linee di campo elettrico descrive un
moto parabolico.
CAPITOLO
Electronic Specifier
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI E NEI GAS
schermo
Figura 16 Deviazione del fascio
catodico che passa attraverso due
condensatori.
Variando in modo opportuno la differenza di potenziale ai capi dei condensatori, è
possibile spostare il puntino fluorescente in un punto qualunque dello schermo: il
moto di tale puntino disegna il grafico della grandezza che si intende studiare.
La deflessione del fascio catodico
Consideriamo uno degli elettroni che fanno parte del fascio catodico prodotto dal
cannone elettronico. Nel momento in cui esso entra nel condensatore piano, l’elettrone ha una velocità iniziale vv0 parallela alle armature del condensatore. Queste
sono lunghe 2l e distano d tra loro; inoltre, la distanza tra il centro S dello schermo e
il punto medio Q di un’armatura vale L.
Per analizzare il moto dell’elettrone, utilizziamo un sistema di riferimento Oxy in
cui l’asse x ha la direzione e il verso di vv0 , e l’origine è posta nel punto in cui gli elettroni del fascio catodico entrano nel campo elettrico generato dal condensatore (la
figura 18 è volutamente fuori scala, per rendere più chiara la forma della traiettoria).
Come è spiegato nel capitolo «Fenomeni di elettrostatica», il campo elettrico Ev
all’interno del condensatore è uniforme e perpendicolare a vv0 . L’intensità di Ev vale
E =-
V
V
=.
s
d
La forza Fv che agisce su un elettrone del fascio è quindi perpendicolare a vv0 , è rivolta
verso l’armatura positiva del condensatore e ha modulo
F =- eE =- e c-
V
V
,
m=e
d
d
Figura 17 Traiettoria del fascio
catodico all’interno di un condensatore
piano.
y
T
r
D
P
R
v0
0
Q
S
L
2l
Figura 18 La traiettoria seguita dal
fascio catodico è parabolica all’interno
del condensatore e rettilinea al di
fuori di esso, dove non agiscono forze
elettriche. In realtà, le linee del campo
sono distorte alle estremità delle
piastre e gli elettroni del fascio sono
soggetti a una forza decrescente anche
fuori del condensatore.
dove e è la carica dell’elettrone (e 1,60 1019 C).
Per la seconda legge della dinamica, la forza Fv imprime all’elettrone un’accelerazione verticale av il cui modulo è
907
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
F
E
x
30
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
ESPERIMENTO VIRTUALE
Raggi catodici
• Gioca
• Misura
• Esercitati
a=
F
e V
=
,
m
md
dove m è la massa dell’elettrone (m 9,11 1031 kg).
A questo punto si possono scrivere le leggi del moto della coordinata x (che varia con
moto rettilineo uniforme) e della coordinata y (che, essendo la velocità iniziale vv0 nella
direzione x, descrive un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla):
x = v0 t
* y = 1 at 2 = e V t 2
2
2md
Le equazioni sono state scritte indicando con t 0 s l’istante in cui l’elettrone passa
per l’origine. Eliminando t tra le due equazioni si ottiene la forma della traiettoria
parabolica dell’elettrone all’interno del condensatore:
y=
L’effetto della forza-peso
Alla velocità (abbastanza
comune in questi fenomeni)
di almeno 106 m/s, l’elettrone
percorre l’intera traiettoria in un
intervallo di tempo t minore
o uguale a 106 s. In questo
intervallo di tempo la sua
distanza di caduta per effetto
della forza-peso è all’incirca
at 2/2, dell’ordine di 1011 m.
Si tratta quindi di un effetto del
tutto trascurabile.
e V 2
x .
2mv 20 d
2el 2 V
L’equazione precedente permette di determinare le coordinate P f 2l,
p del
mv 20 d
punto P in cui il fascio esce dal condensatore.
Giunti in P, gli elettroni non risentono più di alcuna forza elettrica (data la loro
velocità, la forza gravitazionale è trascurabile) e iniziano a muoversi di moto rettilineo uniforme lungo la retta r, tangente in P alla parabola trovata in precedenza,
fino al punto T in cui il fascio incide sullo schermo. Si può dimostrare che r interseca
l’asse delle x nel punto Q di ascissa l.
Ora possiamo notare che i due triangoli QRP e QST della figura precedente sono
simili, visto che sono entrambi rettangoli e che l’angolo \
RQP è in comune. Quindi
possiamo scrivere la proporzione
ST
= RP ,
QS
QR
da cui ricaviamo l’ordinata D del punto che si illumina sullo schermo:
D = ST =
2el 2 V 1
2elL V
RP
.
L=
QS =
2
l
QR
mv 20 d
mv 0 d
(6)
ESEMPIO
Facendo riferimento alle notazioni della dimostrazione precedente,
all’interno di un tubo catodico si ha: l 4,50 cm, d 6,00 mm, L 62,0 cm,
V 3,21 V. La velocità iniziale degli elettroni è v0 8,70 106 m/s.
f Calcola il valore D della distanza tra il centro dello schermo e il punto in cui
giungono gli elettroni.
Sostituendo i valori numerici nella formula (6) otteniamo il valore richiesto:
2 # ^1,60 # 10 -19 Ch # ^0,0450 m h # ^0,620 m h # ^3,21 V h
2elL V
=
=
2
mv 20 d
^9,11 # 10 -31 kgh # a 8,70 # 10 6 m k # ^6,00 # 10 -3 m h
s
J:m
(C : V) : m
= 0,0693
= 0,0693
= 0,0693 m.
J
m2
kg : 2
s
D=
908
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
LA CORRENTE ELETTRICA NEI LIQUIDI
Una soluzione è elettrolitica se contiene elettroliti, cioè sostanze disciolte in essa che la rendono conduttrice. L’acqua
utilizzata come solvente produce la dissociazione elettrolitica, cioè indebolisce la forza attrattiva tra gli ioni di un cristallo ionico e li disperde in soluzione: gli ioni positivi e negativi sono i responsabili della conduzione elettrica nelle
soluzioni elettrolitiche. Gli ioni sono molto più massivi degli elettroni, per cui lo spostamento di carica comporta
anche un significativo trasporto di materia.
Elettrolisi
Insieme dei fenomeni che hanno luogo nelle soluzioni elettrolitiche per effetto del passaggio
della corrente continua.
• Due elettrodi sono immersi nella soluzione e sono collegati a un generatore di tensione: all’interno del liquido si stabilisce un campo elettrico, diretto dall’elettrodo a potenziale più alto (ànodo) all’elettrodo a potenziale più basso (catodo).
+
–
i
ànodo
• Gli ioni sono soggetti a una forza elettrica che li spinge a migrare verso gli elettrodi.
catodo
• Al catodo e all’anodo avvengono reazioni chimiche: per esempio, nel caso del cloruro
di sodio fuso, al catodo arrivano ioni Na che acquistano elettroni e depositano sodio
metallico; all’anodo arrivano ioni Cl che cedono elettroni, diventano atomi neutri e
si legano ad altri atomi per formare molecole Cl2 gassose.
soluzione
elettrolitica
Leggi di Faraday per l’elettrolisi
Prima legge
MA
Q
M
N A ze
La massa M di sostanza che si libera presso un elettrodo è direttamente proporzionale alla carica Q che, attraversando la
soluzione, è giunta allo stesso elettrodo.
Seconda legge
Q MA
M
NA e z
Una stessa quantità di carica, attraversando soluzioni elettrolitiche diverse, libera agli elettrodi masse M di sostanze che
MA
sono direttamente proporzionali ai rispettivi equivalenti chimici z .
• La seconda legge di Faraday è un’altra versione della formula che esprime la prima legge, dove si mette in evidenza l’equivalente chimico, e si interpreta tenendo fissata la quantità di carica Q che fluisce in soluzioni elettrolitiche diverse.
Valenza di uno ione
Equivalente chimico
q
z e
• È il rapporto tra il modulo della carica dello ione e la
carica elementare.
MA
z
• È il rapporto tra il peso atomico (o molecolare) di
uno ione, espresso in grammi, e la sua valenza.
Pila o cella elettrochimica
• È un generatore di tensione in grado di compiere lavoro a spese dell’energia potenziale delle
sostanze chimiche contenute al suo interno.
zinco
• La reazione che avviene in una pila è l’opposto di quella dell’elettrolisi: mentre l’elettrolisi può trasformare sale da cucina fuso in sodio metallico e cloro gassoso grazie all’energia fornita dal generatore, il
sodio metallico e il cloro gassoso possono scambiarsi elettroni e utilizzare la loro energia chimica per
generare energia elettrica, fornendo la forza elettromotrice di una pila. Esempi di celle elettrochimiche sono la pila di Volta, la pila a secco zinco-carbone e l’accumulatore elettrico.
909
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
–
rame
V
+
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
LA CORRENTE ELETTRICA NEI GAS
Un gas diventa conduttore se una causa esterna ionizza parte delle sue molecole. In un gas ionizzato, i portatori di
carica responsabili della conduzione elettrica sono elettroni liberi, ioni positivi e ioni negativi, che si formano per cattura di un elettrone da parte di una molecola.
Prima legge di Ohm
• A differenza dei metalli e delle soluzioni elettrolitiche, per i gas non vale la prima legge di Ohm.
• A qualsiasi pressione, l’intensità di corrente che attraversa un gas racchiuso in un tubo alle cui estremità sono fissati
due elettrodi metallici, non è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale ai capi del tubo.
Scintilla
È il risultato di un processo in cui numerose molecole si ionizzano e acquistano energia,
che riemettono subito dopo sotto forma di luce.
ione
atomo
o
Produzione di ioni a valanga
Gli ioni, soggetti a una differenza di potenziale, acquistano energia cinetica e, urtando le
molecole del gas, le ionizzano. Questi ioni vengono a loro volta accelerati dal campo elettrico, sono in grado di urtare e ionizzare altre molecole e così via.
collisioone
aatomo ecccitato
t
ffo
oo
oto
Emissione luminosa
Un elettrone di una molecola acquista energia quando questa è urtata da uno ione veloce e si
porta su un livello energetico superiore. Poi ritorna nella condizione iniziale emettendo sotto
forma di luce l’energia che aveva acquistato.
emissione
di luce
Raggi catodici
• Sono costituiti da elettroni emessi dal catodo a causa del bombardamento che esso
subisce da parte degli ioni positivi.
macchia
fluorescente
• Si producono quando la pressione nel tubo a scarica è dell’ordine di 101 Pa o 102 Pa.
–
• Si osservano sulla parete di fronte al catodo (elettrodo negativo) sotto forma di una piccola
macchia fluorescente.
• Gli elettroni accelerati verso l’anodo (elettrodo positivo) raggiungono velocità elevate e quindi
la forza elettrica non riesce a deviare la loro traiettoria che si mantiene quasi rettilinea.
catod
do
do
+
ànoodo
aalla pomp
pa
pa
Tubo catodico
Oscilloscopio catodico
Ampolla di vetro a forma di imbuto, all’interno della quale
è stato fatto il vuoto e che contiene un cannone elettronico.
Strumento usato per rappresentare su uno schermo l’andamento di una grandezza fisica in funzione del tempo o
in funzione della variazione di una seconda grandezza.
• È contenuto nei tipi più
vecchi di televisori e
schermi per computer.
• Il cannone elettronico
produce e accelera gli
elettroni del fascio catodico, emessi per effetto
termoionico dal catodo
ad alta temperatura.
tubo catodico
–
toore
re
per riscaldare
il catodo
+
generatore
di tensione tra
catodo e ànodo
• La deviazione del fascio necessaria per far muovere
il puntino luminoso su tutto lo schermo è ottenuta
mediante forze magnetiche.
• Sul cammino del fascio catodico, sono posti due
condensatori piani: uno di essi devia il fascio a
destra e a sinistra, l’altro in alto e in basso.
• La deviazione del
puntino luminoso
sullo schermo è ottenuta mediante forze
elettriche, variando
la differenza di
potenziale ai capi
dei condensatori.
910
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
schermo
ESERCIZI
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
2
Per quale motivo le sostanze organiche che si dissolvono in acqua, come lo zucchero, non sono
elettroliti?
9
10
Quando immergi del cloruro di sodio in acqua, il
legame tra due ioni adiacenti Na e Cl diminuisce di circa 1/80.
䉴 Come è possibile stimare questa diminuzione?
(Suggerimento: modellizza due ioni adiacenti sodio e cloro come due particelle cariche puntiformi.)
Come funzionano le lampade a fluorescenza?
Le curve sperimentali che descrivono l’andamento della corrente in funzione della differenza di
potenziale applicata a un gas a pressione atmosferica, ottenute con un dispositivo come quello descritto nel paragrafo 5 e riportato qui sotto, presentano un andamento piatto per un determinato
intervallo di tensione. Infatti, pur variando la differenza di potenziale ai capi del tubo che contiene
il gas, l’intensità della corrente che passa nel circuito rimane costante.
䉴 Come puoi spiegare questo fenomeno?
3
4
Che cosa accade durante l’elettrolisi agli ioni che
arrivano all’anodo e al catodo?
resistenza variabile R
+
Il corpo umano può essere considerato una soluzione elettrolitica?
–
generatore G
A
5
Due celle elettrolitiche vengono attraversate da
una stessa carica Q. Ai catodi si depositano due
masse m1 e m2 di due diverse sostanze. Sai che m1 è
il triplo di m2.
䉴 Cosa puoi dire degli equivalenti chimici delle
due sostanze?
6
Il simbolo a fianco ci consiglia di riciclare i contenitori
di alluminio.
䉴 Perché si sente fortemente
questa esigenza?
7
Sulla confezione di pile alcaline da 1,5 V sono riportati i tempi indicativi di funzionamento di alcuni
dispositivi elettronici. Per esempio, è possibile alimentare per 60 min una radiolina, per 240 min un
lettore CD di musica ecc.
V
11
䉴 Quale numero contrassegna il settore bersaglio?
A +
B'
䉴 Come è possibile che ci siano diversi tempi di
funzionamento, se la carica disponibile per le reazioni chimiche interne alla pila è sempre la stessa?
8
Perché è opportuno portare le batterie elettriche
esaurite negli appositi contenitori per la raccolta
differenziata e non gettarle nella spazzatura?
La figura sottostante rappresenta un tubo a raggi
catodici in cui gli elettroni, emessi dal catodo incandescente, attraversano le coppie di placchette
AA e BB , tra loro ortogonali. Se la differenza di
potenziale è la stessa per le due coppie, tenendo
conto dei segni delle placchette riportati in figura,
il fascio di elettroni colpirà lo schermo in un punto del quadrante.
+
B
2
A'
3
12
1
4
Perché in un tubo a raggi catodici si fa il vuoto?
911
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
PROBLEMI
2
Nella dissociazione elettrolitica del solfato di zinco si producono ioni SO4.
䉴 Qual è il rapporto tra la massa dello ione SO4
2
L’ELETTROLISI
1
La dissociazione elettrolitica di NaOH produce
gli ioni negativi OH.
e due masse elettroniche?
䉴 Per
quale motivo è opportuno confrontare la
massa di questo ione con quella di due elettroni?
[8,754 104]
䉴 Di quante volte uno di questi portatori di cari-
ca negativa è più massivo di un elettrone?
[3,100 104]
3
3
LE LEGGI DI FARADAY PER L’ELETTROLISI
PROBLEMA SVOLTO
Una cella elettrolitica a nitrato d’argento (AgNO3) è attraversata
da una carica di 285 C. In soluzione acquosa, il nitrato d’argento si
scompone negli ioni Ag e NO3.
䉴 Determina la quantità di argento che si deposita su uno
degli elettrodi.
+
–
+
–
Q = 285 C
MAg = ?
Ag+
+
–
NO3–
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Commenti
Carica
Q
285 C
Che attraversa la cella elettrolitica
Valenza
z
1
Dello ione Ag
Massa
M
?
Dell’argento depositato presso un elettrodo
Strategia e soluzione
• Lo ione Ag porta una sola carica elementare e ha, quindi, z 1.
• Nella tavola periodica alla fine del libro leggiamo che una mole d’argento ha massa
MA 107,9 g/mol 0,1079 kg/mol.
• Ora siamo in grado di introdurre questi valori numerici nella formula (4), insieme con
NA 6,02 1023 mol1 ed e 1,60 1019 C. In questo modo otteniamo
kg
0,1079
MA
mol
# ^285 Ch = 3,19 # 10 -4 kg.
Q=
M=
1
N A ze
23
-19
c 6,02 # 10
m # ^1,60 # 10 Ch
mol
Discussione
Il passaggio di 285 C di carica nella cella elettrolitica porta al deposito, su un elettrodo, di circa 1/3
di grammo d’argento. Per depositare 1 g di argento occorre che la cella elettrolitica sia attraversata
da una carica di 285/0,319 C 893 C ottenibile, per esempio, con una corrente di 1 A che fluisce
per circa un quarto d’ora.
912
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
4
In una cella elettrolitica a solfato di rame (CuSO4)
è passata una carica di 500 C. La dissociazione elettrolitica produce ioni Cu e SO4.
11
䉴 Determina la quantità di rame che si deposita
su uno degli elettrodi.
[1,65 104 kg]
5
Cecilia vuole ricoprire le perline sferiche di una
sua collana con un sottile strato di argento, di
spessore d 1,0 104 m, utilizzando una cella a
nitrato d’argento. Le perline hanno un raggio di
4,0 mm e sono in tutto 20. La densità dell’argento
è 10490 kg/m3 e la massa di uno ione d’argento è
1,8 1022 g.
䉴 Quanta carica deve attraversare la cella?
Al catodo di una cella elettrolitica a nitrato di argento si depositano 5,00 g di argento.
䉴 Quanto nitrato di argento deve essere sciolto in
soluzione?
䉴 Qual è la carica che ha attraversato la cella?
[4,46 103 C]
6
6.79 kg of an unknown substance, whose ions
have valency 2, are extracted in an electrolytic
cell. The charge flowing in the cell is 2.00 104 C.
䉴
7
[3,7 103 C; 6,5 g]
4
12
Name the unknown substance.
Marco vuole ottenere 2,00 g di zinco utilizzando
una cella elettrolitica a solfato di zinco percorsa
da una corrente di 2,50 A.
䉴 Calcola
per quanto tempo deve far passare la
corrente.
[2,36 103 s]
8
In una cella elettrolitica a nitrato d’argento
(AgNO3) passa per 2,0 ore una corrente di intensità i 2,50 A. La massa di uno ione argento è
1,8 1022 g.
Per quante volte sarebbe possibile far partire
l’auto (nell’ipotesi di non avere altri consumi di
energia elettrica)?
䉴 Quanta energia viene impegnata in ogni accen-
sione?
sitata su un elettrodo.
[20 g]
䉴 Per quale motivo se, all’atto dell’avviamento, si
Una soluzione di sali di calcio è collegata in serie a
una soluzione di sali di argento. La carica che fluisce nelle due soluzioni elettrolitiche è la stessa.
[Circa 1 400; 2,4 kJ]
䉴 Trova
il rapporto tra le masse di calcio e d’argento liberate agli elettrodi.
[0,1857]
10
La batteria di un’automobile alimenta il motorino
d’avviamento che, a sua volta, mette in moto il veicolo. Il motorino d’avviamento assorbe una corrente di 40 A e funziona solo per pochi secondi.
Fai l’ipotesi che la batteria abbia la capacità di
80 Ah e forza elettromotrice 12 V e che il motorino d’avviamento funzioni solitamente per 5,0 s.
Supponi che la batteria presenti un qualche difetto e non sia in grado di ricaricarsi durante il movimento dell’auto.
䉴
䉴 Calcola qual è la massa totale di argento depo-
9
LE PILE E GLI ACCUMULATORI
Una cella elettrolitica contiene una soluzione di
un sale di calcio. Per ottenere 10,0 g di calcio deve
essere attraversata da una carica di 4,81 104 C.
䉴 Qual è la valenza del calcio?
accendono i fari, il motorino d’avviamento «fatica» a partire?
13
Una batteria da 80 Ah è completamente scarica e
bisogna ricaricarla. Per farlo, colleghiamo la batteria a un generatore di tensione che fornisce una
differenza di potenziale di 12 V e fa circolare una
corrente di 8,0 A.
䉴 Quanto tempo occorre per caricarla?
Quanta energia elettrica si spende in questa
operazione?
䉴
[2]
[10h; 3,5106J ]
913
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
5
14
bo è posto uno schermo fluorescente. In queste
condizioni, un elettrone arriva al termine delle
placche spostato verticalmente, rispetto alla sua direzione di moto, di un tratto y.
LA CONDUCIBILITÀ NEI GAS
Tra le armature di un condensatore, il cui dielettrico è l’aria, si formano 1015 coppie di ioni in un secondo per mezzo di una radiazione ionizzante.
Ogni ione possiede una carica di valore pari alla carica elementare. Solo il 40% degli ioni riesce a raggiungere le armature prima di ricombinarsi. Il condensatore è collegato a un generatore di tensione.
y
T
Qual è l’intensità della corrente elettrica che
passa nel circuito?
䉴
y
v0
[13 105A]
O
15
Un condensatore piano di capacità 0,7 nF e distanza fra le superfici 5 mm è collegato in serie a
un alimentatore ad alta tensione attraverso una
resistenza di 10 k. L’aria tra le superfici del condensatore è ionizzata da raggi X in modo da formare 1014 coppie di ioni ogni centimetro cubo e
ogni secondo. La carica di ogni ione è uguale a
quella di un elettrone. Assumi che tutti gli ioni
raggiungano le superfici del condensatore prima
di ricombinarsi.
Determina la caduta di tensione ai capi della
resistenza.
D
+ + + + + + + +
Q
S
x
L
– – – – – – – –
2l
䉴 Calcola y.
Calcola l’ordinata del punto luminoso sullo
schermo.
䉴
[4,2 mm; 10 cm]
PROBLEMI GENERALI
䉴
1
[0,6 mV]
6
16
I RAGGI CATODICI
Una cella elettrolitica contiene una soluzione di
idrossido di sodio (NaOH) ed è attraversata per
24 ore da una corrente di 6,0 A. La massa di uno
ione ossigeno è 2,67 1023 g.
䉴 Calcola quanto ossigeno viene liberato.
In un tubo a vuoto sono collocate due piastre
conduttrici, parallele, alla distanza di 4,8 cm, con
una differenza di potenziale di 40 V tra loro. Uno
ione ossigeno, con carica pari al doppio di quella
elementare, inizialmente in quiete in prossimità
di una piastra, viene accelerato verso l’altra piastra, la raggiunge e la urta.
[43 g]
2
䉴 Quanto vale la sua energia cinetica nel momen-
to dell’urto?
Una resistenza regolabile Rx è collegata in serie a
una cella elettrolitica a nitrato d’argento di resistenza R 4,0 e a una pila di fem 4,5 V di resistenza interna ri 1,0 . Sai che 1,0 A di corrente
depositano al catodo in un secondo 1,118 mg di
argento. Vuoi ottenere un deposito di 1,0 g di argento in 2,0 h.
䉴 Quanto deve valere Rx?
[1,3 1017 J]
[31 ]
17
Un fascio di elettroni entra con velocità orizzontale
3,6 107 m/s tra le placche metalliche di controllo
di un tubo a raggi catodici; la lunghezza delle placche è 2l 5,0 cm, la loro distanza è d 0,40 cm, e
tra di esse è applicata la differenza di potenziale di
100 V. A una distanza L 60 cm dal centro del tu-
3
Una corrente di 1,0 A libera 37 mg di idrogeno
all’ora in una cella elettrolitica che contiene una
soluzione di acido cloridrico (HCl). Una corrente elettrica che attraversa una cella elettrolitica
che contiene cloruro rameico (CuCl2) deposita
914
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
sul catodo 3,5 g di rame in un’ora.
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
䉴 Qual è il valore della corrente elettrica che pas-
sa nella cella elettrolitica?
[3,0 A]
4
Una pila di fem 4,5 V e resistenza interna 0,50 è collegata a una cella elettrolitica a solfato di rame CuSO4. L’anodo è un elettrodo di rame, mentre il catodo è costituito da una medaglia di raggio r 2,0 cm e spessore trascurabile, che deve
essere ricoperta di rame.
Il circuito elettrico esterno alla pila ha una resistenza elettrica R 4,00 ; il rame ha una densità
di 8,96 g/cm3. Vuoi ottenere uno strato di 0,20 mm
di spessore.
Rispondi ai quesiti in un massimo di dieci righe.
1
Descrivi il fenomeno della dissociazione elettrolitica.
2
Enuncia le due leggi di Faraday per l’elettrolisi.
3
Illustra la struttura e spiega il principio di funzionamento di un tubo a raggi catodici.
䉴 Determina il tempo necessario.
[1,4 104 s]
5
Un fascio di elettroni entra all’interno di un condensatore piano in direzione parallela alle sue armature in modo da essere equidistante da esse. Le
armature sono lunghe 6,2 cm, distano tra loro
5,0 mm e la differenza di potenziale tra di esse è
pari a 2,2 V. Quando il fascio esce dal condensatore, si osserva che esso si è avvicinato di 2,0 mm
all’armatura positiva.
䉴 Determina il modulo della velocità iniziale degli elettroni presenti nel fascio.
䉴 Determina le componenti della velocità finale
degli elettroni.
(Suggerimento: utilizza un sistema di riferimento
in cui l’asse y ha la direzione e il verso del vettore
campo elettrico all’interno del condensatore, con
l’armatura positiva verso il basso come mostra la
figura.)
– – – – – – – –
v0
E
vx
F
+ + + + + + + +
vy
[8,6 106 m/s; vx 8,6 106 m/s; vy 5,6 105 m/s]
915
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
31
FENOMENI MAGNETICI
FONDAMENTALI
Robert Brook/Science Photo Library
1
Figura 1 Una sbarretta di acciaio
posta a contatto con un cristallo di
magnetite attira piccoli oggetti di ferro.
LA FORZA MAGNETICA E LE LINEE
DEL CAMPO MAGNETICO
Nell’antica Grecia, già ai tempi di Talete (VI secolo a.C.) era noto che un
minerale di ferro, la magnetite, ha la
proprietà di attirare oggetti di ferro.
La magnetite è un magnete naturale.
In condizioni normali una sbarretta di acciaio non attira delle puntine di ferro, ma se la mettiamo a
contatto con un pezzo di magnetite,
acquista questa proprietà.
La sbarretta di acciaio si è così magnetizzata ed è divenuta un magnete
artificiale o calamita.
magnetite
Sono sostanze ferromagnetiche il ferro, l’acciaio, il
nickel, il cobalto e le loro leghe: per esempio, la lega di ferro, neodimio e boro con cui sono costruiti
i magneti della fotografia a destra.
916
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Central Scientific Company
Si chiamano sostanze ferromagnetiche i materiali che possono essere
magnetizzati.
31
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
CAPITOLO
Un ago magnetico è una piccola calamita che può ruotare attorno al suo centro. Si
osserva che l’ago ruota fino a disporsi nella direzione Nord-Sud. L’estremo dell’ago
magnetico che punta verso Nord si chiama polo nord dell’ago, l’altro estremo si
chiama polo sud.
Ogni magnete ha un polo nord e un polo sud. Essi si individuano cercando le
zone del magnete che esercitano un’azione più intensa sui poli di una calamita. Gli
esperimenti mostrano che
�due poli nord o due poli sud, affac-
ciati, si respingono;
�un
polo nord e un polo sud, vicini
tra loro, si attraggono.
N
N
N
S
S
S
S
N
repulsione
Tobias Machhaus/Shutterstock
Le forze tra i poli magnetici
ANIMAZIONE
I poli magnetici
(1 minuto e mezzo)
attrazione
A
B
Poli magnetici dello stesso tipo si respingono, poli magnetici di tipo diverso si
attraggono.
Il campo magnetico
Una calamita esercita una forza magnetica su una seconda calamita. Usando lo stesso linguaggio che abbiamo già adoperato nel caso elettrico, diciamo che
ogni magnete genera nello spazio che lo circonda un campo magnetico.
Come quello elettrico, anche il campo magnetico è descritto da un vettore, che indiv.
cheremo con il simbolo B
Nord
geografico
nord
magnetico
S
N
O
Il campo magnetico terrestre
Il fatto che un ago magnetico, libero di muoversi, ruota fino a disporsi nella direzione Sud-Nord dimostra che esso è soggetto a un campo magnetico. In effetti, la Terra
è un enorme magnete, che esercita i suoi effetti su tutti gli altri magneti posti nelle
vicinanze.
In vicinanza del Polo Nord geografico c’è una zona, chiamata polo nord magnetico
(figura 2), verso cui si dirigono i poli nord delle bussole. In modo corrispondente,
nei pressi del Polo Sud geografico si trova il polo sud magnetico.
N
Sud geografico
sud magnetico
Figura 2 Il magnete-Terra ha un polo
sud magnetico nella zona del Polo Nord
geografico e viceversa.
Nella zona del polo nord magnetico, il magnete-Terra ha un polo sud, visto
che attira i poli nord di tutte le bussole.
917
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
E
S
31
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
La direzione e il verso del campo magnetico
direzione
N
S
verso
Figura 3 Un ago di bussola fornisce
la direzione e il verso del campo
magnetico.
Per esplorare le proprietà di un campo magnetico utilizziamo il magnete di prova,
cioè un piccolo ago magnetico, che genera un campo abbastanza debole da non disturbare quello dovuto al sistema che intendiamo esaminare.
Se poniamo un magnetino di prova in un punto di un campo magnetico, osserviamo che l’ago ruota attorno al proprio centro fino a fermarsi, dopo qualche oscillazione, in una posizione di equilibrio.
Definiamo la direzione e il verso del campo magnetico nel punto:
• la direzione è data dalla retta che unisce i poli nord e sud del magnete di prova;
• il verso va dal polo sud al polo nord del magnete di prova.
Il verso del campo magnetico, in sostanza, è quello indicato dalla freccia che è spesso
disegnata sull’ago della bussola (figura 3).
Le linee di campo
Possiamo visualizzare il campo magnetico mettendo della limatura di ferro vicino a
una calamita.
�La limatura di ferro disegna delle
linee che si accumulano sui poli
della calamita.
�Questo accade perché ogni frammento di ferro si magnetizza e si dispone lungo il campo.
� Schematizziamo
il campo magnetico tracciando alcune linee che
seguono i disegni della limatura.
S
Phil Deffinger, Color_Rc, inc
N
A
B
C
Dal punto di vista matematico, le linee di campo magnetico si disegnano con lo stesso
procedimento già visto per le linee di campo elettrico. La differenza è che, ora, al posto
della carica di prova si usa un magnete di prova: partendo da un punto P, osserviamo
la direzione e il verso del campo magnetico in tale punto. Poi spostiamo in tal senso
l’ago di un tratto sv , molto piccolo, e determiniamo ancora il campo magnetico.
Ripetendo molte volte questa operazione e facendo tendere a zero la lunghezza di
sv otteniamo una linea come quella della figura 4.
Figura 4 I magneti di prova si
dispongono in direzione tangente
a una linea di campo magnetico.
N
S
918
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
31
Come conseguenza della definizione precedente, le linee del campo magnetico
hanno le seguenti proprietà:
• in ogni punto sono tangenti alla direzione del campo magnetico;
• escono dai poli nord dei magneti ed entrano nei poli sud;
• la loro densità è direttamente proporzionale all’intensità del campo
magnetico.
Confronto tra campo magnetico e campo elettrico
Il campo elettrico e il campo magnetico hanno proprietà simili:
• sono campi di forza, cioè campi che descrivono gli effetti di una forza (in un caso
quella elettrica, nell’altro quella magnetica);
• entrambi possono essere descritti da linee di campo;
• esistono due tipi di poli magnetici, come esistono due tipi di carica elettrica;
• in modo analogo a quanto accade per le cariche elettriche, poli dello stesso tipo si
respingono e di tipo diverso si attraggono;
• un conduttore scarico può essere elettrizzato da un corpo carico, come una sbarretta di acciaio può essere magnetizzata da una calamita.
Però i due campi differiscono per aspetti molto importanti:
• quando si ha l’elettrizzazione per contatto, parte della carica elettrica del primo
corpo passa al secondo; nella magnetizzazione di un oggetto ferromagnetico non
si ha alcun passaggio di poli magnetici;
• mentre esistono oggetti carichi positivamente o carichi negativamente, una calamita ha sempre entrambi i poli sud e nord.
� Se
dividiamo una calamita in due
parti, ciascuno dei frammenti ha un
polo nord e un polo sud.
N
S
A
� Suddividendo
le due calamite piccole in quattro parti, otteniamo otto
magneti, ciascuno con due poli.
N
N
N
S
N
S
S
S
N
S
N
S
N
N
N
S
N
S
S
S
N
S
N
S
B
Non è possibile suddividere un magnete in modo da ottenere un polo nord
isolato o un polo sud isolato.
919
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
31
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
2
IN LABORATORIO
FORZE TRA MAGNETI E CORRENTI
Nel 1820 il fisico danese Hans Christian Oersted scoprì un legame inaspettato tra
fenomeni elettrici e fenomeni magnetici.
Esperimento di Oersted
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
� Egli dispose un filo elettrico, collegato a una batteria, nella direzione
nord-sud, sopra un ago magnetico.
�Quando faceva passare la corrente nel
filo, l’ago ruotava, tendendo a disporsi
perpendicolarmente al filo stesso.
O
O
i
A
Hans Christian Oersted
(1777-1851) fisico e chimico
danese. Inventò uno strumento
per misurare la compressibilità
dei liquidi e fu il primo a
ottenere l’alluminio metallico.
E
E
S
interruttore
aperto
B
L’esperienza di Oersted mette in luce che
un filo percorso da corrente genera un campo magnetico.
Il campo magnetico generato dal filo è avvertito dall’ago della bussola, che si sposta
in una nuova posizione di equilibrio.
Il campo magnetico generato da un filo percorso da corrente
Spargendo della limatura di ferro su un cartoncino, otteniamo la forma delle linee
del campo magnetico prodotto da un filo rettilineo.
� In un piano perpendicolare al filo percorso dalla corrente le linee del
campo magnetico sono circonferenze
concentriche al filo.
�Il verso convenzionale delle linee di
campo, si ottiene puntando il pollice
nel senso della corrente. Le altre dita si
chiudono nel verso del campo.
i
i
B
A
B
920
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
31
CAPITOLO
L’esperienza di Faraday
Nel 1821 il fisico inglese Michael Faraday scoprì che
un filo percorso da corrente, in un campo magnetico, subisce una forza.
ANIMAZIONE
Esperimento di Faraday
(1 minuto)
Mettiamo un filo metallico in un campo magnetico, in direzione perpendicolare alle
linee di campo.
Se diamo corrente al filo, su di esso agisce una forza perpendicolare sia al filo stesso sia alle linee di campo magnetico (figura 5).
F
i
–
Figura 5 Un filo percorso da corrente
immerso in un campo magnetico
subisce una forza.
+
Il verso della forza magnetica che si esercita su un filo rettilineo percorso da corrente
è dato dalla regola della mano destra (figura 6). Ponendo:
B
F
i
• il pollice della mano destra nel verso della corrente,
• le altre dita nel senso delle linee di campo magnetico,
• il verso della forza è quello che esce dal palmo della mano.
Figura 6 Regola della mano destra
per determinare il verso della forza
magnetica.
3
FORZE TRA CORRENTI
Le esperienze di Oersted e di Faraday mostrano che esiste una relazione tra corrente
elettrica e campo magnetico, perché una corrente elettrica
• genera un campo magnetico,
• subisce una forza magnetica.
Ci si può aspettare, allora, che esista una forza magnetica tra due fili percorsi da
corrente: infatti, ciascuno di essi genera un campo magnetico e subisce la forza del
campo creato dall’altro.
La verifica sperimentale di questo fenomeno fu fatta dal fisico francese André
Marie Ampère una settimana dopo essere venuto a conoscenza dell’esperimento di
Oersted.
921
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
31
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
�Egli verificò che due fili rettilinei e
paralleli si attraggono se sono percorsi
da correnti nello stesso verso.
�Invece i due fili rettilinei e paralleli
si respingono se conducono correnti
elettriche che hanno versi opposti.
i2
i2
i1
i1
A
l
B
Eseguendo l’esperimento con due fili molto più lunghi della distanza che li separa, si
ottiene la legge di Ampère (figura 7):
i1
d
i2
Figura 7 Grandezze fisiche che
compaiono nella legge di Ampère.
il valore della forza che agisce su un tratto, lungo l, di uno dei fili è
direttamente proporzionale alle due correnti che circolano; inoltre è
inversamente proporzionale alla distanza d tra i fili.
La formula che esprime la legge di Ampère è, quindi,
F = km
i1 i2
l.
d
Per semplicità, immaginiamo di compiere l’esperimento di Ampère nel vuoto. In
questa condizione, nel Sistema Internazionale è abituale porre
km =
0
,
2
dove 0 è una nuova costante, detta permeabilità magnetica del vuoto. Per essa è
stato scelto un valore esatto:
0 = 4 # 10 -7
N
.
A2
(1)
Quindi, nel Sistema Internazionale l’espressione usuale della forza di Ampère è:
prima corrente (A)
seconda corrente (A)
permeabilità magnetica
del vuoto (N/A2)
F=
0 i1 i2
l
2
d
forza (N)
922
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
(2)
lunghezza (m)
distanza (m)
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
31
CAPITOLO
ESEMPIO
Due fili paralleli, attraversati da correnti di intensità i1 i2 1 A, sono posti
alla distanza d 1 m.
f Qual è il modulo F della forza elettrica che agisce su un tratto, di lunghezza
l 1 m, di uno dei due fili?
Per trovare il valore di F sostituiamo i dati numerici nella formula (2):
F=
0 i1 i2
l=
2
d
4
# 10 -7
2
N
A 2 (1 A ) # (1 A )
# (1 m ) = 2 # 10 -7 N.
1m
La definizione dell’ampere
Il valore della permeabilità magnetica del vuoto 0 non è misurato con un esperimento, ma è stato scelto convenzionalmente per definire in modo operativo l’unità
di misura dell’intensità di corrente elettrica, cioè l’ampere. Come è mostrato nell’esempio precedente, con la scelta dell’equazione (1):
una corrente ha intensità di 1 A se, circolando in due fili rettilinei e paralleli
molto lunghi, che distano 1 m tra di loro, provoca una forza di 2 107 N su
ogni tratto di filo lungo 1 m.
La definizione del coulomb
Lungo tutto lo studio dell’elettrostatica il coulomb di carica è stato trattato come un’unità di misura fondamentale, anche se non era stato definito in modo
operativo. Una volta introdotte le correnti elettriche, l’ampere è stato considerato
(provvisoriamente) come un’unità di misura derivata dal coulomb: per definizione, 1 A (1 C)/(1 s). Da questa definizione si ricava
1 C (1 A) (1 s).
Ora, avendo a disposizione l’ampere, che è una delle unità fondamentali del Sistema
Internazionale, siamo in grado di dire che cosa è un coulomb di carica:
un coulomb è la carica che attraversa, in un secondo, una sezione di un filo in
cui è presente una corrente elettrica di intensità pari a un ampere.
4
La carica elementare
Con questa definizione la
carica di un elettrone vale
e 1,60 1019 C.
L’INTENSITÀ DEL CAMPO MAGNETICO
Usando un ago magnetico, sappiamo come determinare la direzione e il verso del
v . Rimane ora da definire il suo valore.
campo magnetico B
A questo scopo utilizziamo un pezzetto di filo elettrico rettilineo. La sua lunghezza è l e l’intensità di corrente che lo attraversa è i. Portiamo questo filo di prova nella
zona dove c’è il campo magnetico che ci interessa studiare.
923
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
31
ELETTROMAGNETISMO
Gli esperimenti mostrano che la forza sul filo di prova dipende dall’angolo che esso
forma con le linee di campo magnetico, e che il modulo della forza è massimo quanv.
do il filo è perpendicolare alla direzione di B
�Per operare in condizioni ben defini-
�Un dinamometro ci permette di mi-
te, poniamo il filo perpendicolare alle
linee del campo magnetico.
surare la forza magnetica che agisce sul
filo di prova percorso dalla corrente.
B
+
B
i
F
i
A
B
Gli esperimenti mostrano che il modulo della forza Fv raddoppia quando si raddoppia o la corrente i oppure la lunghezza l.
Definendo il modulo del campo magnetico B con la formula
B=
F
il
si ottiene quindi un valore che non dipende dalla scelta di i ed l.
La grandezza B ha un valore che dipende solo dal campo magnetico presente e dal
punto ove è posto il filo di prova.
L’unità di misura di B
Dalla definizione precedente si può ricavare l’unità di misura di B:
forza magnetica (N)
campo magnetico
(N/(Am) o T)
Nikola Tesla
(1856-1943) fisico e
inventore serbo. Inventò
numerosi dispositivi, tra cui il
trasformatore di tensione, che
contribuirono a introdurre e
diffondere l’uso della corrente
alternata in campo civile e
industriale.
intensità
di corrente (A)
B=
F
il
(3)
lunghezza (m)
La formula (3) mostra infatti che l’unità di misura del campo magnetico è il newton
fratto ampere fratto metro (N/(A m)).
Nel Sistema Internazionale questa unità di misura è detta anche tesla (simbolo T),
dal nome del fisico e inventore serbo Nikola Tesla:
1 T=1
N
.
A:m
Il campo magnetico di una piccola calamita è dell’ordine del centesimo di tesla,
mentre un elettromagnete capace di sollevare un’auto raggiunge campi magnetici
di due tesla.
924
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
31
CAPITOLO
ESEMPIO
Un filo rettilineo, di lunghezza l 1,0 cm e percorso da una corrente
di intensità i 0,26 A è posto in un campo magnetico, in direzione
perpendicolare a quella delle linee di campo nel punto in cui esso si trova.
La forza magnetica che agisce sul filo ha modulo F 3,7 104 N.
f Calcola il modulo B del vettore campo magnetico nella zona in cui si trova
il filo.
Sostituendo i valori numerici nella formula (3), otteniamo
B=
5
3,7 # 10 -4 N
N
F
=
= 0,14
= 0,14 T.
A:m
il
^0,26 Ah # ^0,010 m h
LA FORZA MAGNETICA SU UN FILO
PERCORSO DA CORRENTE
Se conosciamo il campo magnetico, siamo in grado di calcolare la forza F che agisce
su un pezzo di filo lungo l percorso da una corrente i. Quando il filo è perpendicolare
alle linee del campo, subisce una forza di modulo
F Bil.
ANIMAZIONE
L’intensità della forza
magnetica
(2 minuti)
(4)
Come è mostrato dagli esperimenti di Faraday, la direzione della forza è perpendicolare sia al campo magnetico, sia al filo e il verso è dato dalla regola della mano destra
(figura 8).
F
i
B
B
i
F
Figura 8 La regola della mano
destra fornisce la direzione e il verso
della forza magnetica che agisce su un
filo percorso da corrente.
Se il filo non è perpendicolare al campo magnetico, la forza è più piccola. Ciò che
conta non è il valore del campo magnetico, ma quello della sua componente B = perpendicolare al filo. Nel caso generale la formula diventa
F = B = il.
(5)
925
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
31
ELETTROMAGNETISMO
v è perpendicolare al fi�Quando B
lo si ha B = B e la forza magnetica
ha il valore massimo.
i
v è inclinato rispetto
B
al filo, B = è minore di B e la forza
magnetica ha un valore minore.
v è parallelo al filo si ha
B
B = 0: la forza magnetica è nulla
su un filo parallelo al campo.
� Se il campo
� Se
F
B
i
B=B
F
F=0
B
i
A
B
B =0
C
L’operazione di prodotto vettoriale permette di esprimere con una sola formula tutte le caratteristiche (direzione, verso e modulo) di un vettore che ha le proprietà indicate nelle figure. Tale formula è
v
Fv = ivl # B,
(6)
dove vl è un vettore che ha la direzione e la lunghezza del filo rettilineo, e il verso
della corrente i. L’intensità di Fv è data anche dalla formula
F Bil sen ,
(7)
v.
dove è l’angolo compreso tra i vettori vl e B
ESEMPIO
Un filo rettilineo di lunghezza l 36,4 cm e attraversato da una corrente
elettrica i 4,15 A, è posto in direzione perpendicolare alle linee di un campo
magnetico di modulo B 5,62 102 T.
f Calcola il valore F della forza magnetica che agisce sul filo.
• Il problema si risolve con la formula (4) o, in modo equivalente, ponendo
sen(90°) 1 nella formula (7).
• Allora possiamo calcolare la forza magnetica:
F = Bil = ^ 5,62 # 10 -2 T h # ^ 4,15 A h # ^ 0,364 m h = 8,49 # 10 -2 N.
6
IL CAMPO MAGNETICO DI UN FILO
PERCORSO DA CORRENTE
Conoscendo la forza magnetica che agisce su un filo percorso da corrente, siamo in
grado di capire perché due fili rettilinei e paralleli si attraggono quando sono attraversati da correnti che circolano nello stesso verso e si respingono quando le correnti
hanno versi opposti.
Ricorda che le linee del campo magnetico generato da un filo sono circonferenze
concentriche al filo e perpendicolari a esso.
926
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
�Nella zona in cui si trova il filo 2, il
v1 generato dal filo
campo magnetico B
1, tangente alla linea di campo, è rivolto come nella figura.
v1
la corrente i2 e il campo B
come nella figura, la forza magnetica
Fv1 " 2 , esercitata dal filo 1 sul filo 2, è rivolta verso il filo 1.
� Con
i1
i1
31
CAPITOLO
ESPERIMENTO VIRTUALE
Fili magnetici
• Gioca
• Misura
• Esercitati
i2
i2
B1
F1
1
1
B1
2
2
2
B
A
Per il terzo principio della dinamica, la forza Fv2 " 1 che il filo 2 esercita sul filo 1 è
uguale e opposta a Fv1 " 2 . Quindi, come aveva trovato sperimentalmente Ampère, i
due fili con correnti equiverse si attraggono.
Se il verso di una delle due correnti viene invertito, entrambe le forze cambiano
verso e i fili si respingono.
Valore del campo magnetico generato da un filo
In un punto a distanza d da un filo rettilineo, molto lungo rispetto a d, in cui circola
una corrente i (figura 9), il valore del campo magnetico è dato dalla formula
permeabilità magnetica
del vuoto (N/A2)
i
intensità di corrente (A)
d
i
B= 0
2 d
campo magnetico (T)
(8)
distanza (m)
Il campo magnetico generato da un filo rettilineo in un punto è quindi direttamente
proporzionale alla corrente nel filo e inversamente proporzionale alla distanza tra il
punto e il filo.
La formula (8) è detta legge di Biot e Savart, perché è stata determinata sperimentalmente, nel 1820, dal fisico francese Jean Baptiste Biot (1774-1862) con l’aiuto
dell’allievo Félix Savart (1791-1841).
B
Figura 9 Linea di campo circolare
generata dalla corrente i che fluisce in
un filo rettilineo.
ESEMPIO
Un lungo filo rettilineo è percorso da una corrente di intensità i 8,44 A.
f Calcola il modulo B del campo magnetico generato dalla corrente in un
punto a distanza d 3,82 cm dal filo stesso.
Per la legge di Biot e Savart (8) il valore di B si calcola come:
i
B= 0 =
2 d
c4
N
m # ^8,44 A h
A2
N
= 4,42 # 10 -5
= 4,42 # 10 -5 T .
-2
A
:m
# ^3,82 # 10 m h
# 10 -7
2
927
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
31
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
Dimostrazione della formula di Biot-Savart
i
i1
d
Consideriamo due fili paralleli in cui sono presenti correnti di intensità i e i1 (figura 10).
v generato dalla corrente i è perpendicolaLa distanza tra i fili è d. Il campo magnetico B
re al filo con la corrente i1. Quindi, per la formula (4), la forza magnetica che agisce su
un tratto, lungo l, di questo secondo filo è
F Bi1l,
Figura 10 Due fili paralleli, a
distanza d, trasportano correnti di
intensità i e i1.
dove B è il valore del campo magnetico che vogliamo calcolare, cioè quello generato
dal filo con la corrente i. La stessa forza sul secondo filo è data anche dalla legge di
Ampère (formula (2)):
F=
0 ii 1
l.
2 d
Uguagliando i secondi membri di queste due equazioni, otteniamo
Bi 1 l =
7
i
Figura 11 Linee di campo magnetico
dovute a una spira circolare percorsa
da corrente.
0 ii 1
i
l & B= 0 .
2 d
2 d
IL CAMPO MAGNETICO DI UNA SPIRA
E DI UN SOLENOIDE
Consideriamo una spira circolare (cioè un filo conduttore a cui è stata data una forma circolare) percorsa da corrente. Il campo magnetico generato dalla spira può essere calcolato, in linea di principio, suddividendo la spira stessa in un numero molto
grande di parti così piccole da poter essere considerate rettilinee e sommando poi
vettorialmente i campi magnetici (ciascuno di intensità molto debole) generati da
ognuno di questi piccoli tratti.
Nella figura 11 sono rappresentate le linee, calcolate in questo modo, del campo
magnetico generato da una spira di forma circolare. Si nota che sull’asse della spira
la linea di campo ha la forma di una retta, cioè è sovrapposta all’asse stesso. Ciò
v ha la stessa diresignifica che, in questi punti, il vettore che rappresenta il campo B
zione dell’asse. In altre parole:
Asse della spira
L’asse di una spira circolare
è la retta perpendicolare al
piano che contiene la spira e
passa per il suo centro.
v ha
in ogni punto dell’asse di una spira circolare il campo magnetico B
direzione perpendicolare al piano che contiene la spira.
Il verso del campo magnetico generato da una spira può essere ottenuto grazie alla
regola della mano destra: se si dispongono le dita della mano destra nel senso in cui
v (figura 12).
fluisce la corrente nella spira, il pollice indica il verso di B
i
R
P
Figura 12 Avvolgendo le dita della
mano destra nel verso in cui scorre la
corrente elettrica, il pollice fornisce il
verso del campo magnetico.
B
y
Se il raggio della spira è R e l’intensità della corrente elettrica che fluisce in essa è i,
928
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
31
CAPITOLO
l’intensità del campo magnetico che si ha in un punto dell’asse della spira che ha una
distanza y dal centro della spira stessa può essere calcolata e risulta:
B=
0 iR 2
3
2 ^R 2 + y 2h
.
(9)
Da questa espressione si deriva, come caso particolare, l’intensità del campo al centro della spira; a questo scopo è sufficiente porre y 0 nella formula (9). Così si
trova
B=
0 i
2 R
(10)
ESEMPIO
Una spira circolare di raggio R 7,0 cm è percorsa da una corrente di
intensità i 3,1 A. Il punto P si trova sull’asse della spira a distanza
y = 4,4 cm dal suo centro.
f Calcola il modulo B del campo magnetico in P.
Dalla formula (9) si ottiene:
B=
0 iR 2
N
2
m # ^3,1 A h # ^0,070 m h
A2
=
2 6^0,070 m h2 + ^0,044 m h2@3
-7
c 4 # 10
=
3
2 ^R 2 + y 2h
N : m2
1,9 # 10 -8
A = 1,7 # 10 -5 N = 1,7 # 10 -5 T.
=
-3
A:m
1,1 # 10 m 3
Campo magnetico di un solenoide
Una bobina il cui filo è avvolto a
elica come nella figura 13 è detta
solenoide. Questo sistema fisico
può essere schematizzato come se
fosse formato da un grande numero di spire circolari tutte uguali, impilate l’una sull’altra con un
«passo» che è dato dalla distanza
tra due spire contigue.
Se il solenoide è infinitamente esteso, le proprietà del campo
magnetico sono particolarmente
semplici:
passo
i
i
2r
l
Figura 13 Solenoide.
Campo magnetico sull’asse
il campo magnetico esterno a un solenoide infinito è nullo, mentre quello
interno è uniforme e parallelo all’asse del solenoide.
Il campo magnetico in un
punto dell’asse si ottiene
sommando i contributi di tutte
le spire, che sono dati dalla
formula (9).
929
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
31
Solenoide inﬁnito
Se il solenoide è infinitamente
lungo, sia N che l tendono
all’infinito, ma il rapporto N/l
(il numero di spire per unità di
lunghezza) ha un valore finito
e, quindi, il modulo di B è
determinato.
ELETTROMAGNETISMO
Il modulo del campo magnetico all’interno del solenoide (lungo l, formato da N spire e percorso da una corrente di intensità i) è dato dalla formula:
numero di spire
corrente (A)
campo magnetico (T)
permeabilità magnetica
del vuoto (N/A2)
B = 0
Ni
l
(11)
lunghezza (m)
Un solenoide reale (e, quindi, di dimensioni finite) approssima bene il comportamento appena descritto se la sua lunghezza è molto maggiore del raggio delle spire.
La figura 14 mostra le linee di campo magnetico per un solenoide reale.
Figura 14 Linee del campo
magnetico generato da un solenoide
reale.
Si nota che:
• all’interno del solenoide il campo è particolarmente intenso (le linee sono fitte);
• all’esterno il campo magnetico è debole (le linee sono rade);
• nella zona centrale del solenoide le linee sono parallele ed equidistanziate, per
cui il campo magnetico è uniforme, parallelo all’asse del solenoide ed è dato dalla
formula (11).
Il comportamento sarebbe ancora più simile a quello del solenoide infinito se, a parità di raggio delle spire e del passo di avvolgimento, il solenoide fosse ancora più
lungo.
ESEMPIO
Un solenoide lungo l 26,1 cm è formato da N 180 spire avvolte in modo
regolare ed è percorso da una corrente di intensità i 4,50 A.
f Calcola il modulo B del campo magnetico all’interno del solenoide.
Dalla formula (11) possiamo calcolare:
B = 0
180 # ^4,50 A h
Ni
N
= c 4 # 10 -7 2 m #
= 3,90 # 10 -3 T.
0,261 m
l
A
930
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
31
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
CAPITOLO
IL MOTORE ELETTRICO
8
Un motore elettrico è un dispositivo che trasforma energia elettrica in energia
meccanica.
Esaminiamo un semplice modello di
motore elettrico a corrente continua
(figura 15): è costituito da una spira
rettangolare, vincolata a ruotare intorno a un asse perpendicolare alle
linee del campo magnetico. Immettendo una corrente continua nella
spira, essa subisce delle forze magnetiche che la fanno ruotare su se
stessa.
sosha/Shutterstock
Un lettore di DVD contiene un motore elettrico che fa ruotare il DVD posto all’interno.
N
B
i
S
i
Figura 15 Struttura schematica di
un motore elettrico.
Supponiamo che all’inizio la spira si trovi sul piano parallelo alle linee del campo.
Ciascuno dei due lati orizzontali, lunghi l, è perpendicolare alle linee del campo e
subisce una forza
F Bil.
�La forza magnetica
Fv1 , sul lato in al-
to, esce dalla pagina.
i
i
v2 , sul lato in
� La forza magnetica F
basso, entra nella pagina.
F1
i
F1
F1
F2
F2
i
B
i
i
B
B
A
B
B
Le due forze, che hanno la stessa direzione (perpendicolare alla pagina) e versi opposti, formano una coppia di forze che costringe la spira a ruotare.
La corrente cambia verso
Il movimento continua fino a quando il piano della spira diventa perpendicolare al
campo magnetico.
In questa posizione le due forze sono sulla stessa retta e tendono a deformare la
spira, senza farla ruotare.
931
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
31
ELETTROMAGNETISMO
Tuttavia, la spira non si ferma di colpo, ma prosegue la rotazione per inerzia e oltrepassa di poco la posizione orizzontale (figura 16).
F2
i
Figura 16 Quando la spira è
perpendicolare alle linee di campo
F 2 non la
magnetico, le forze v
F 1 ed v
fanno ruotare. Una volta raggiunta la
posizione perpendicolare alle linee di
campo, la spira continua a ruotare per
inerzia.
i
B
F1
B
Per far sì che la spira continui a ruotare, bisogna invertire il senso della corrente non
appena essa oltrepassa la posizione orizzontale.
�Con la corrente che circola in senso
opposto, le forze cambiano verso e la
coppia continua a favorire la rotazione.
�Ciò che inverte il senso della corren-
te ogni mezzo giro sono i contatti striscianti tra il commutatore che ruota e
le spazzole fisse.
mutato
u atore
ree
commutatore
spazzola
zoola
oa
i
N
B
F2
i
F1
S
B
i
i
B
A
Quindi,
cambiando il senso della corrente ogni mezzo giro, la coppia di forze
magnetiche mantiene la spira in rotazione.
I motori elettrici reali, per funzionare a dovere, non hanno una sola spira, ma contengono diverse bobine, ciascuna costituita da numerose spire.
9
L’AMPEROMETRO E IL VOLTMETRO
Lo stesso momento della forza che fa girare il motore elettrico permette anche di
misurare le correnti e le differenze di potenziale.
932
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI
31
CAPITOLO
Lo strumento che misura l’intensità della corrente elettrica si chiama
amperometro.
L’amperometro analogico è costituito da una bobina rigida di filo metallico disposta tra
le espansioni polari di un magnete e vincolata a ruotare intorno a un asse perpendicolare
alle linee di campo (figura 17). La bobina è avvolta attorno a un cilindro di ferro che serve
a concentrare il più possibile il campo magnetico all’interno della bobina stessa.
F
S
N
F
molla
Figura 17 Schema costruttivo di un
amperometro analogico.
i
Facendo circolare nell’amperometro la corrente continua di cui si vuole misurare l’intensità, la bobina subisce una coppia di forze che tende a farla ruotare. Si dimostra che
il momento M che agisce sulla bobina è direttamente proporzionale alla corrente i.
La rotazione della bobina attorno al proprio asse è contrastata da una molla, che
esercita un momento di ritorno proporzionale all’angolo di rotazione. All’equilibrio, quando il momento motore della forza magnetica e quello resistente della molla si compensano, l’indice fissato sulla bobina si ferma in corrispondenza a un angolo di rotazione che è direttamente proporzionale al momento M applicato e, quindi,
alla corrente che circola nella bobina (figura 18).
F
N
S
i
F
Figura 18 La rotazione della bobina,
contrastata da una molla, provoca il
movimento dell'indice lungo la scala
graduata.
Dopo avere tarato l’amperometro, si legge direttamente l’intensità di corrente su
una scala graduata.
Utilizzo dell’amperometro
Nell’amperometro deve fluire la stessa corrente che si vuole misurare. Quindi:
un amperometro deve essere inserito in serie nel circuito dove passa la
corrente che si vuole misurare.
933
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
31
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
A
-
+
RP
R
i
-
+
generato
Figura 19 L’amperometro va inserito
in serie al circuito.
Come è mostrato nella figura 19, bisogna interrompere il circuito in un punto e collegare i
suoi estremi liberi con i morsetti dello strumento.
Il filo che costituisce la bobina dell’amperometro e le altre parti che lo compongono
possiedono una resistenza propria RP, che si
somma a quella del circuito in esame. In questo modo non si misura più la corrente che
fluiva nel circuito, ma una corrente minore. Il
fatto di usare uno strumento di misura altera
(sia pure di poco) il sistema che si intende esaminare.
Per rendere minima la perturbazione provocata dall’amperometro, occorre che la resistenza interna RP dell’amperometro sia piccola rispetto alla resistenza totale del circuito. Un amperometro è tanto migliore, quanto minore è la sua resistenza interna.
Il voltmetro
Elettròmetro e voltmetro
Gli elettròmetri (come
l’elettròmetro a condensatore
che è illustrato nel capitolo
«Fenomeni di elettrostatica»)
servono per misurare le
differenze di potenziale a
circuito aperto. I voltmetri
misurano le differenze di
potenziale a circuito chiuso.
Lo stesso dispositivo che misura la corrente elettrica può essere utilizzato anche per
misurare le differenze di potenziale.
Lo strumento che misura la differenza di potenziale tra due punti di un
circuito percorso da corrente si chiama voltmetro.
Un voltmetro analogico è costituito da un amperometro a bobina, a cui è collegata
in serie una resistenza di valore noto R0. L’amperometro misura la corrente i0 che
attraversa la resistenza e lo strumento è tarato in modo da leggere direttamente, sulla
scala graduata, il valore
V R0i0.
Come mostra la figura 20,
il voltmetro deve essere collegato in parallelo al circuito, con i morsetti
collegati ai due punti tra i quali si vuole misurare la differenza di potenziale.
La resistenza R0 del voltmetro deve essere molto grande, in modo da non alterare in modo
significativo la corrente che fluirebbe nel circuito se il voltmetro non fosse connesso.
V
-
+
R0
i0
R
Figura 20 Il voltmetro va inserito
nel circuito in parallelo alla differenza
di potenziale che si vuole misurare.
i
+
generator
934
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA E LETTERATURA
JOSÉ SARAMAGO E LE CALAMITE
«...e questa è la bussola, senza la quale non si va da nessuna parte.»
Nel romanzo storico Memoriale del convento dello scrittore portoghese José Saramago, premio Nobel per la letteratura nel 1998, si narra della costruzione del
grandioso e imperioso convento di Mafra, voluto da re Giovanni V di Portogallo fra
il 1713 e il 1730. L’accurato impianto documentario identifica l’opera come un
romanzo storico, in cui trovano spazio il riso e la tragedia, il delirio di grandezza di
coloro che ordinarono la costruzione del convento e le storie degli umili che con la
loro fatica realizzarono quell’impresa.
Sotto l’ombra della mano minacciosa e potente dell’Inquisizione, a questa vicenda si intreccia una narrazione parallela, la progettazione e infine costruzione di
una macchina per volare, l’uccellaccio, da parte del padre gesuita Bartolomeu
Lourenço de Gusmao. Il gesuita è aiutato nella sua impresa da Baltasar Mateus
il Sette-Soli, ex-soldato monco di una mano, che nel brano proposto entra per la
prima volta nel laboratorio. La macchina per volare sfida la gravità fra scienza e
misticismo, ma quell’intreccio di ferri, spranghe, lamine, fasci nulla può senza «le
calamite», poiché senza bussola «non si va da nessuna parte».
Baltasar entrò subito dietro al padre, curioso, si
guardò intorno senza capire quel che vedeva, forse
si aspettava un pallone, delle ali di uccello in grande, un sacco di penne, e non ce la fece a tacere i
suoi dubbi. Allora è questo, e padre Bartolomeu
rispose, Sarà questo, e aprendo una cassa, prese un
foglio che srotolò, dove si vedeva il disegno di un
uccello, doveva essere l’uccellaccio, questo Baltasar era capace di riconoscerlo e poiché a prima
vista era il disegno di un uccello, finì col credere
che tutti quei materiali, uniti e sistemati ciascuno
al posto suo, sarebbero stati capaci di volare. Più
per se stesso che per Sette-Soli, che dal disegno
non vedeva altro che la somiglianza con l’uccello,
e gli bastava, il padre spiegò, in tono dapprima sereno, poi animandosi, Questo che vedi qui sono le
vele che servono per tagliare il vento e che si muovono secondo che è necessario, e qui c’è il timone
con cui si dirigerà la barca, non a caso, ma per mano e scienza del pilota, e questo è il corpo della
nave dell’aria, a forma di conchiglia marina a prua
e a poppa, dove si mettono i tubi del mantice per il
caso che venga a mancare il vento, come tante volte succede sul mare, e queste sono le ali, senza di
loro come si potrebbe equilibrare la barca volante,
e di queste sfere non ti parlerò, perché sono un
segreto mio, basterà che ti dica che, senza quello
che avranno dentro, la barca non volerà, ma su
questo punto non sono ancora sicuro, e a questo
soffitto di ferri appenderemo delle palle di ambra,
perché l’ambra risponde molto bene al calore dei
raggi del sole per l’effetto che voglio, e questa è la
JJoséé Saramago
S
Memoriale del convento
Feltrinelli
bussola, senza la quale non si va da nessuna parte,
e queste sono le carrucole, servono per spiegare o
raccogliere le vele, come nelle navi del mare. Tacque alcuni istanti e aggiunse, E quando tutto sarà
montato e concordante in sé, io volerò. […]
Vuoi venire tu ad aiutarmi, domandò. Baltasar fece un passo indietro, stupefatto. Io non so
niente, sono un uomo dei campi, oltre a questo mi
hanno insegnato solo ad ammazzare, e così come
mi ritrovo, senza questa mano, Con quella mano e
quell’uncino puoi fare tutto quanto vuoi, e ci sono
cose che un uncino fa meglio di una mano intera,
un uncino non sente dolore se deve fissare un filo e
un ferro, non si taglia, né si brucia, e io ti dico che
Dio è monco, e ha fatto l’universo. […]
Ma ogni cosa a suo tempo. Per ora, mancano
ancora a padre Bartolomeu Lourenço il denaro per
comprare le calamite che, secondo lui, faranno volare l’uccellaccio e che, per di più, dovranno venire
dall’estero.
LE PAROLE DELLA SCIENZA
La macchina per volare, che nelle intenzioni del gesuita
deve sfidare la gravità, non può funzionare senza bussola e soprattutto senza il segreto delle calamite.
IN DIECI RIGHE
A partire dal significato della parola calamita nella
fisica, illustra con quale accezione tale termine è utilizzato nel linguaggio ordinario non specialistico.
935
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
5
CAPITOLO
CAPITOLO
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
LA FORZA MAGNETICA
In natura esistono sostanze dette ferromagnetiche che possono essere magnetizzate, e diventano calamite o magneti artificiali. Ogni magnete produce nello spazio intorno a sé un campo magnetico: quindi una calamita esercita una forza
magnetica su una seconda calamita.
Polo nord e polo sud di un magnete
• Il polo nord è l’estremo del magnete che punta verso il Polo Nord terrestre; l’estremo opposto
si chiama polo sud.
• Non è possibile ottenere un polo magnetico nord o sud isolato.
N
N
N
S
S
S
S
N
• Due poli nord o due poli sud, affacciati, si respingono.
• Un polo nord e un polo sud, vicini, si attraggono.
attrazione
repulsione
Linee di campo
• Il campo magnetico, come il campo elettrico, si rappresenta mediante linee di campo.
• Si disegnano utilizzando un magnete di prova, cioè un piccolo ago magnetico.
• In ogni punto sono tangenti alla direzione del campo magnetico.
• Escono dai poli nord dei magneti ed entrano nei poli sud.
N
S
• La loro densità è direttamente proporzionale all’intensità del campo magnetico.
Esperienza di Oersted
Esperienza di Ampère
Un filo percorso da corrente genera un campo magnetico (che fa
ruotare un ago magnetico).
• Due fili rettilinei e paralleli si attraggono se attraversati da correnti nello
stesso verso, si respingono se le correnti hanno versi opposti.
Esperienza di Faraday
Legge di Ampère
Le esperienze di Oersted e Faraday
mostrano che esiste una relazione
fra corrente elettrica e campo magnetico, perché una corrente elettrica genera un campo magnetico
e subisce una forza magnetica.
• Fra due fili percorsi da corrente esiste una forza magnetica.
F
0 i 1 i 2
l
d
2
con 0 4 107 N/A2
• Il valore della forza che agisce su un tratto, lungo l, di uno dei fili è direttamente proporzionale alle due correnti i1 e i2 ed è inversamente proporzionale alla distanza d tra i fili.
Permeabilità magnetica del vuoto
L’ampère
0 4 10
• Una corrente ha intensità di 1 A se, circolando in due fili rettilinei molto
lunghi, che distano 1 m tra di loro, provoca una forza di 2 107 N su
ogni tratto di filo lungo 1 m.
7
N/A
2
• Il valore di 0 non deriva da
misure sperimentali ma è stato
fissato convenzionalmente per
definire in modo operativo
l’unità di misura dell’intensità
di corrente, cioè l’ampere.
• È una unità di misura fondamentale del SI.
Il coulomb
• È la carica che attraversa, in 1 s, una sezione di un filo percorsa da una
corrente di intensità 1 A.
1 C (1 A) (1 s)
• È una unità di misura derivata dall’ampere.
936
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
MAPPA INTERATTIVA
L’INTENSITÀ DEL CAMPO MAGNETICO
Usando un ago magnetico, determiniamo la direzione e il verso di un campo magnetico. Per definire la sua intensità,
usiamo un filo di prova percorso da corrente immerso nel campo magnetico.
Valore del campo magnetico
forza
F
campo magnetico =
intensità
di
corrente
^
h # ^lunghezza filoh
il
• F è il valore della forza che agisce su un filo lungo l immerso perpendicolarmente in un campo
magnetico e percorso da una corrente di intensità i.
B
B=
i
• La sua unità di misura nel SI è il tesla: 1 T 1 N/(A m).
Filo percorso da corrente
Spira circolare
Solenoide
Forza magnetica su un filo percorso
da corrente
Campo magnetico
0 iR 2
B=
3
2 ^R 2 + y 2 h
Campo magnetico all’interno di un
solenoide
Ni
B 0
l
Fv ilv Bv
B
F
i
• Il valore della
forza è espresso come
F B⬜il o
F Bil sen e la direzione e il
verso della forza si ottengono con
la regola della mano destra.
Campo magnetico di un filo percorso
da corrente (legge di Biot-Savart)
0 i
B=
2 d
• Le linee di campo
sono circonferenze
concentriche al filo
e perpendicolari a
esso: puntando il
pollice nel senso
della corrente, le altre dita si chiudono
nel verso del campo.
• Il campo magnetico ha direzione
parallela all’asse, verso dato dalla
regola della mano destra.
Campo magnetico nel centro della
spira circolare
0 i
B=
2 R
• All’esterno di un solenoide infinito il campo è nullo; al suo interno
è uniforme, parallelo all’asse del
solenoide.
passo
i
R
P
B
y
i
l
B
937
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
䉴 Disegna la direzione e il verso della forza magnetica che agisce in ciascuno dei seguenti fili
percorsi da corrente immersi in un campo magnetico.
Nella figura sono disegnate alcune linee del campo
magnetico generato da una calamita rettilinea.
䉴 Qual è il verso delle linee di campo?
a)
i
S
N
b)
2
3
4
Sei un astronauta e ti trovi su un pianeta sconosciuto. Sei sprovvisto di attrezzature sperimentali
e intorno a te non ci sono minerali. Hai due barre
di ferro: una è magnetizzata, l’altra non lo è. Sai
anche che il pianeta, a differenza della Terra, non
possiede un campo magnetico. Come puoi stabilire quale delle due barre è quella magnetizzata?
i
c)
Perché il fatto che il polo nord di un ago magnetico di una bussola si orienta verso il Nord non
contraddice la regola per la quale due poli dello
stesso nome si respingono?
i
B
d)
B
B
Nella figura sotto disegna la direzione e il verso
della forza magnetica che agisce sul filo percorso
da corrente.
i
B
e)
i
B
i
B
S
B
5
N
Il segno 䉺 indica una corrente o un campo magnetico che esce dal foglio, mentre il simbolo 䊟
rappresenta una corrente o un campo magnetico che entra.
6
Due conduttori paralleli sono percorsi da due correnti, una doppia dell’altra, circolanti nello stesso
verso. In che relazione stanno tra di loro la forza che
il conduttore 1 esercita sul conduttore 2 e quella che
il conduttore 2 esercita sul conduttore 1?
7
Come cambia la forza che si esercita tra due conduttori rettilinei percorsi da corrente se si rad-
938
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
e perpendicolarmente ad esso: la sbarretta può
levitare?
doppia la corrente che circola in entrambi i conduttori e si dimezza la loro distanza?
8
Si misura il valore di B in un punto mediante un
filo di prova lungo l e attraversato da una corrente di intensità i. Poi si ripete la misura utilizzando
lo stesso filo, ma con una corrente di intensità 4 i.
Come cambia il valore di B misurato?
9
Dimostra che l’unità di misura della permeabilità
kg : m
.
magnetica del vuoto può essere scritta come
C2
10
Nelle figure che seguono, i valori della lunghezza
l di un filo conduttore rettilineo, dell’intensità di
v
corrente i e del modulo del campo magnetico B
in cui è immerso il filo sono gli stessi. vl indica un
vettore che ha la direzione e la lunghezza del filo
rettilineo e il verso della corrente i.
13
...
i costante
O
d costante
O
Due conduttori rettilinei e paralleli sono percorsi
da due correnti uguali, ma di verso opposto.
Quanto vale il campo magnetico nel punto medio di un segmento ideale che li unisce?
15
«In ogni punto dell’asse di una spira circolare il
v ha direzione perpendicolare
campo magnetico B
al piano che contiene la spira.» Come definiresti
l’asse di una spira?
16
In un solenoide ideale, infinitamente lungo, in
cui il numero delle spire e la lunghezza tendono
all’infinito, ha senso parlare di un valore finito
del campo magnetico?
17
Che cosa succede se all’interno di un solenoide
percorso da corrente introduciamo un pezzo di
ferro?
18
Nel motore elettrico ogni volta che la spira raggiunge la posizione di equilibrio bisogna invertire il verso della corrente. Questo vuol dire che la
spira dopo ruota in senso opposto?
l
b)
...
14
B
a)
...
...
䉴 Disponi le seguenti figure in ordine decrescente dell’intensità della forza magnetica.
B
Inserisci le grandezze opportune sugli assi x e y
dei grafici seguenti impiegando anche più volte i
simboli «B», «d», «i».
l
B
B
l
l
c)
11
12
d)
Un filo rettilineo di lunghezza l è percorso da una
corrente di intensità i ed è posto in un campo magnetico di intensità B. La relazione F Bil è valida?
Supponi di inserire una sbarretta di rame percorsa da corrente all’interno di un campo magnetico
939
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
19
Nelle figure che seguono, i valori della corrente i
che circola nella spira, della superficie della spira
v sono gli
e del modulo del campo magnetico B
stessi. I simboli 䉺 e 䊟 indicano il verso in cui circola la corrente nei tratti di spira perpendicolari
al piano del foglio.
c)
d)
i
B
䉴 Determina in tutti i casi se si tratta di equilibrio
B
stabile, equilibrio instabile o di non equilibrio e,
in questo ultimo caso, indica il verso in cui ruota
la spira.
20
Nel motore elettrico, cosa accade se si invertono i
collegamenti dei fili alla batteria?
a)
21
Per migliorare la sensibilità di un amperometro
analogico, il progettista decide di aumentare il
numero di avvolgimenti nella bobina in cui scorre la corrente i in modo da aumentare il momento torcente generato dalla stessa i. Quale inconveniente è introdotto nella qualità dell’amperometro da questa modifica?
22
Quale differenza puoi notare fondamentalmente
tra il funzionamento di un motore elettrico e
quello di un amperometro?
b)
i
i
B
B
PROBLEMI
3
1
FORZE TRA CORRENTI
PROBLEMA SVOLTO
In due lunghi fili conduttori rettilinei, che distano tra loro 2,2 cm, sono
presenti due correnti di intensità 3,8 A e 7,5 A.
i1
i2
䉴 Qual è il valore della forza magnetica che agisce su un tratto di filo lungo 2,0 m?
l
d
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Distanza tra i fili
d
2,2 cm
Prima corrente
i1
3,8 A
Seconda corrente
i2
7,5 A
Lunghezza del tratto di filo
l
2,0 m
Modulo della forza magnetica
F
?
Commenti
Su cui si esercita la forza
940
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Strategia e soluzione
• Sostituendo i valori numerici nella formula di Ampère otteniamo
F=
^3,8 A h # ^7,5 A h
0 i1 i2
4 # 10 -7 N
l =c
#
# ^2,0 m h = 5,2 # 10 -4 N.
2m
2 d
2
^0,022 m h
A
Discussione
Abbiamo calcolato la forza con il valore di km che vale se i fili sono nel vuoto. Il valore di km nell’aria, però, è maggiore di quello nel vuoto solo per 360 parti su un miliardo. Quindi il valore del
risultato praticamente non cambierebbe per nulla con il valore corretto di km nell’aria.
2
䉴 Calcola l’intensità della forza magnetica tra di essi.
Due fili rettilinei paralleli, distanti 5,0 cm sono
attraversati da due correnti di intensità rispettivamente i1 2,50 A e i2 5,20 A.
䉴 Calcola
l’intensità della forza magnetica su un
tratto di filo lungo 0,850 m.
[5,3 m; 1,9 105 N]
6
[4,4 105 N]
3
Due fili rettilinei lunghi 2,00 m sono paralleli tra
loro e distano 1,5 cm. I due fili sono attraversati da
correnti di 2,7 A e 6,8 A che fluiscono nello stesso
verso.
Due fili paralleli di rame, di sezione S 3 106 m2
e lunghezza l 1,20 m si trovano nel vuoto a una
distanza d 0,43 m. All’istante t0 ai capi di uno dei
due fili viene applicata una differenza di potenziale
di 20 V.
La resistività del rame vale Cu 1,7 108 m.
Calcola il modulo della forza magnetica che
agisce sui fili.
䉴
Dopo un intervallo di tempo t, anche al secondo filo viene applicata la stessa differenza di potenziale.
䉴 Calcola il modulo della forza che agisce sui due fili.
䉴 Calcola il modulo della forza per unità di lunghezza che agisce sui due fili.
䉴 Calcola il modulo della forza magnetica che
agisce sui due fili.
䉴 La forza è attrattiva o repulsiva?
[4,9 104 N; 2,4 104 N]
4
Due fili paralleli sono percorsi dalle correnti i1 e
i2, con la stessa intensità pari a 3,21 A ma di verso
opposto. I due fili sono lunghi 0,68 m e la forza
che si esercita tra di essi ha modulo pari a 21 N.
䉴 Determina la distanza tra i fili.
[0 N; 4,8 N
7
Tre fili rettilinei paralleli sono posti sui vertici di
un triangolo equilatero di lato d 35 cm, come
mostrato nella figura, e sono attraversati dalle
correnti i1, i2 e i3. Le correnti hanno tutte intensità uguali a 2 A.
filo 1
[6,7 102 m]
5
In due fili paralleli e rettilinei sono presenti due
correnti che scorrono nel medesimo verso. I due
fili distano fra di loro 0,32 m e le due correnti
hanno entrambe intensità pari a 1,7 A. La forza
tra i due fili ha intensità 9,5 106 N.
d
䉴 Determina la lunghezza dei fili.
Supponi che la lunghezza dei fili raddoppi.
filo 2
filo 3
941
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
䉴 Determina modulo, direzione e verso della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 nel
caso in cui le correnti i1, i2 e i3 siano tutte uscenti
dal foglio.
11
[4 106 N]
4
L’INTENSITÀ DEL CAMPO MAGNETICO
8
Il campo magnetico nello spazio compreso tra le
espansioni di un magnete è omogeneo e ha intensità pari a 0,10 T. Una sbarra conduttrice lunga
70 cm e percorsa da una corrente di 70 mA è disposta perpendicolarmente alle linee del campo
magnetico.
䉴 Calcola il valore di i1.
[1 A]
12
Qual è il modulo della forza che agisce sulla
sbarra?
䉴
[4,9 103 N]
9
Un filo conduttore lungo 23,5 cm è posto in una
regione occupata da un campo magnetico omov , le cui linee di campo sono perpendicogeneo B
lari al filo. Nel filo passa una corrente di intensità
3,5 A e su di esso agisce una forza di modulo
2,2 104 N.
䉴 Determina il modulo di
Un’asta di alluminio con sezione 1,0 mm2 viene
sospesa a un dinamometro in modo da stare in
equilibrio in posizione orizzontale. L’asta viene disposta in modo da essere orientata perpendicolarmente al meridiano magnetico e, successivamente, in essa si fa passare una corrente di 1,6 A da Est a
Ovest. Quando circola corrente si osserva una diminuzione del peso dell’asta pari allo 0,128%. La
densità dell’alluminio vale 2600 kg m3.
䉴 Determina l’intensità del campo magnetico
terrestre nella posizione della misura.
[2,0 105 T]
v.
B
[2,7 104 T]
10
In una regione occupata da un campo magnetico
v omogeneo di modulo 3 105 T, un condutB
tore rettilineo è attraversato da una corrente i1 in
v
direzione perpendicolare alle linee di campo di B
3
e risente di una forza di modulo 7 10 N. Un
secondo conduttore, parallelo al primo e della
stessa lunghezza, è attraversato da una corrente
i2 8,7 A e subisce una forza di intensità
4,9 102 N. Trascura la forza fra i due fili.
Una barra di ferro di lunghezza l 23 cm e massa 0,12 kg è disposta orizzontalmente in una regione occupata da un campo magnetico di modulo 8 102 T omogeneo e le cui linee di campo
sono dirette perpendicolarmente al filo come
mostra la figura (il simbolo 䉺 indica che le linee
del campo magnetico escono dal foglio).
5
LA FORZA MAGNETICA
SU UN FILO PERCORSO DA CORRENTE
13
Il campo magnetico tra le espansioni polari di un
elettromagnete è uniforme, di intensità 0,50 T
e diretto verticalmente verso il basso. All’interno
di questa regione, è collocato un filo di lunghezza
pari a 10 cm percorso da una corrente di 5,0 A.
Calcola l’intensità della forza magnetica che agisce sul filo quando:
䉴 Determina il verso e il valore della minima intensità di corrente i, da fare passare nella barra,
necessaria per farla sollevare.
䉴 il filo è in posizione orizzontale,
䉴 il filo è deviato di 30° dall’orizzontale e la corrente scorre verso l’alto,
(Suggerimento: sulla barra agisce anche la forzapeso, e perché la barra si sollevi, occorre che la
forza totale che agisce sia diretta verso l’alto.)
[i
䉴 il filo è deviato di 30° dall’orizzontale e la corrente scorre verso il basso,
6 10 A]
䉴 il filo è in posizione verticale e la corrente scorre dall’alto verso il basso.
[0,25 N; 0,22 N; 0,22 N; 0 N]
B
14
Un tratto di conduttore rettilineo lungo 20,0 cm
942
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
è posto tra le espansioni di un magnete. Il campo
magnetico è uniforme e la sua intensità vale
0,400 T. Quando nel conduttore circola una corrente elettrica continua di 0,320 A, si misura la
forza magnetica che agisce sul conduttore e si
trova Fm 1,28 102 N.
va a un potenziale V1 a un punto che si trova a un
potenziale V2; in questo senso può essere schematizzato come un filo percorso da una corrente
continua. Per stimare l’intensità della corrente, si
misura l’intensità del campo magnetico a 150 m
dal punto in cui un fulmine si scarica e si ottiene
il valore 2,5 104 T.
䉴 Determina l’angolo formato dal conduttore
con il campo magnetico.
䉴 Determina l’intensità della corrente trasportata dal fulmine.
[30° oppure 150°]
[1,9 105 A]
15
Una barra cilindrica di alluminio lunga 75 cm e
di resistenza 2,1 104 è appoggiata su un tavolo, in un punto della superficie terrestre in cui
il campo magnetico vale 4,80 105 T, è orizzontale e forma un angolo di 30° con la barra. Ai
capi della barra è applicata una differenza di potenziale V. La massa della barra è 0,22 kg.
19
䉴 Determina il valore minimo che deve avere V
perché la barra si sollevi.
䉴 Calcola il valore della distanza d.
[25 V]
16
Supponi che un paziente portatore di un pacemaker come questo si trovi in prossimità del
punto in cui si scarica un fulmine, che trasporta
una corrente di intensità pari a 1,9 105 A.
In una località, il campo magnetico terrestre ha
componente verticale, diretta verso l’alto,
BV 6 105 T, mentre la componente orizzontale, diretta verso Nord, ha intensità
BO 2 105 T. Un filo lungo 2,0 m viene teso in
direzione Est-Ovest ed è percorso da una corrente
continua di intensità 20 A con verso da Est a Ovest.
intensità, modulo e direzione della
forza totale che agisce sul filo.
Alcuni pacemaker sono dotati di un interruttore
magnetico che viene pilotato dall’esterno attraverso un campo magnetico. Per poter agire sul
pacemaker, il campo deve avere una intensità di
5 104 T. Tale campo viene generato tramite
un filo percorso da corrente di intensità di
1,2 103 A che è posizionato dal medico a una
distanza d dal paziente.
䉴 Qual è la distanza minima che deve esserci tra il
paziente e il fulmine perché non subentrino problemi cardiaci?
[0,5 m; 8 10 m]
䉴 Determina
[circa 3 103 N; 72° fra la verticale
verso il basso e il Nord]
6
IL CAMPO MAGNETICO
DI UN FILO PERCORSO DA CORRENTE
17
A current of 2.0 A flows in a conductive
straight wire. The distance between the point P
and the wire is 50 cm.
䉴 Calculate
the intensity of the magnetic field in
P generated by the conductor.
20
Nella figura seguente A e B rappresentano le sezioni di due lunghi conduttori rettilinei e paralleli, che distano fra loro 10 cm e sono percorsi da
corrente in verso opposto, uscente nel filo A e entrante nel filo B. Le intensità di corrente valgono,
rispettivamente, 2,0 A e 3,0 A. I punti P1, P2 sono
disposti in modo tale da avere P1 A 2,0 cm e
P2 A 4,0 cm e P3 A 3,0 cm.
䉴 Determina l’intensità del campo magnetico ge-
nerato dai fili nei punti P1, P2 e P3. Assumi che
il vettore campo magnetico abbia verso positivo
quando è orientato verso l’alto.
[1,5 105 T; 2,0 105 T; 1,7 105 T]
[8.0 107 T]
18
Un fulmine è costituito da una certa quantità di
carica elettrica che, in un intervallo di tempo
molto breve, si trasferisce da un punto che si tro-
P1
P2
P3
A
B
943
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
7
21
IL CAMPO MAGNETICO DI UNA SPIRA
E DI UN SOLENOIDE
PROBLEMA SVOLTO
Un solenoide ha 400 spire e la sua lunghezza l è
di 56,4 cm. L’intensità del campo magnetico al
suo interno è 2,10 103 T.
i
N = 400
l = 56,4 c
B = 2,10 x
Dati
Incognite
T
i=?
䉴 Quanto vale l’intensità di corrente che attraversa il solenoide?
Grandezze
–3
l
Simboli
Valori
Numero di spire del solenoide
N
400
Lunghezza del solenoide
I
56,4 cm
Valore del campo magnetico
B
2,10 103 T
Intensità di corrente
i
?
Commenti
Nel filo del solenoide
Strategia e soluzione
• Nella formula (11) possiamo ricavare i, che risulta
Bl
i=
.
0 N
• Sostituendo i valori numerici nell’ultima espressione troviamo
i=
^2,10 # 10 -3 Th # ^0,564 m h
= 2,36 A.
-7 N
#
#
#
4
3,14
10
400
c
m
A2
Discussione
Il valore del campo magnetico terrestre varia da punto a punto, ma è dell’ordine di 105 T. Quindi
il campo magnetico generato dal solenoide di questo problema è un centinaio di volte più intenso
del campo magnetico terrestre.
22
23
Un solenoide è formato da 300 spire ed è lungo
72 cm. Al suo interno, il campo magnetico ha
modulo 3,4 104 T.
Supponi che lo stesso solenoide venga allungato,
mantenendo lo stesso numero di spire, fino a misurare 72 cm.
䉴 Determina l’intensità della corrente che circola
nel solenoide.
䉴 Quanta corrente occorre per avere lo stesso
campo magnetico?
[0,65 A]
[2,1 103 T; 6,1 A]
Un solenoide lungo 58 cm è formato da 200 spire
ed è attraversato da una corrente di 4,89 A.
䉴 Determina l’intensità del campo magnetico
all’interno del solenoide.
24
Una spira circolare di raggio 3,2 cm è percorsa da
una corrente di 4,89 A che circola in verso orario.
Determina l’intensità del campo magnetico:
䉴 al centro della spira,
944
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
metro che ha una resistenza interna di 2,50 mV.
䉴 sull’asse della spira, a 2,0 cm dal centro.
[9,6 10 T; 5,9 10 T]
5
25
5
In questo modo, si misura l’intensità di quale
corrente?
䉴
Due spire rispettivamente di raggio 4,5 cm e
7,2 cm sono disposte nello stesso piano in modo
tale che i rispettivi centri siano sovrapposti. Nelle
due spire circola una corrente con la stessa intensità di 8,5 A ma di verso opposto.
䉴 Quanto vale la corrente misurata con l’amperometro?
[2,7A]
A
B
Supponi di potere variare la corrente nella spira
più piccola.
䉴 Quanto deve essere l’intensità della corrente
nella spira più piccola affinché il campo magnetico totale nel centro sia nullo?
45
29
[4,4 105 T; 5,3 A]
26
82
35
Determina il campo magnetico totale nel centro.
䉴
Un solenoide è lungo 20,0 cm e ha un diametro di
50,0 mm. Il filo di rame utilizzato per realizzare le
spire dell’avvolgimento ha una sezione di diametro 0,50 mm. Ai capi del solenoide è applicata un
differenza di potenziale affinché il campo magnetico all’interno abbia un’intensità di
1,26 103 T. La resistività del rame vale
Cu 1,7 108 m.
Tra i punti A e B del sistema di resistenze nella figura scorre una corrente di intensità 4,0 A. In parallelo alla resistenza da 55 si collega un voltmetro che ha una resistenza interna di 4,00 k.
䉴 Quanto vale la differenza di potenziale misurata con il voltmetro?
[85 V]
55
A
䉴 Calcola il valore della differenza di potenziale.
12
B
[2,7 V]
35
8
IL MOTORE ELETTRICO
27
Una spira quadrata di lato 3,00 cm è immersa in
un campo magnetico di modulo 2,1 102 T, le
cui linee di campo formano un angolo di 45° con
l’asse della spira. Nella spira circola una corrente
i di 1,3 A.
PROBLEMI GENERALI
1
䉴 Determina intensità, direzione e verso della
forza che agisce su ogni singolo lato per effetto
del campo magnetico.
[8,2 104 N, 5,8 104 N]
9
28
䉴 Determina il campo magnetico in A, B, C e D.
L’AMPEROMETRO E IL VOLTMETRO
Tra i punti A e B del sistema di resistenze nella figura c’è una differenza di potenziale di 120 V. In
serie alla resistenza da 45 si collega un ampero-
Due fili rettilinei r ed s sono perpendicolari fra
loro e si trovano sullo stesso piano. Nel filo r fluisce una corrente di 5,0 A, e nel filo s una corrente
di 3,0 A. I punti A, B, C e D appartengono al piano dei due fili, sono situati in posizione simmetrica a due a due rispetto ai fili e distano 4,0 cm da
r e 2,0 cm da s.
[5,0 106 T; 5,5 105 T; 5,0 106 T; 5,5 105 T]
2
Un filo rettilineo indefinito attraversato da una
corrente di 3,2 A è affiancato a una spira circolare
945
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
no in verso opposto sono collegati fra di loro da
un elastico di materiale isolante e di costante elastica k 5,6 106 N/m. La lunghezza a riposo
dell’elastico è 0,72 m.
di raggio 3,0 cm e attraversata da una corrente i.
Il filo e la spira sono situati nello stesso piano e il
centro della spira dista 5,0 cm dal filo.
䉴 Calcola il valore di i affinché il campo magneti-
3
co complessivo nel centro della spira possa essere
nullo.
䉴 Determina l’allungamento dell’elastico quando il sistema si trova in condizioni di equilibrio.
[0,61 A]
[1,5 102 m]
Due conduttori rettilinei e paralleli molto lunghi
distano tra di loro 5,0 m e sono percorsi da una
corrente continua con la stessa intensità 2,0 A. La
corrente fluisce nei due conduttori in verso opposto. I punti A e B distano 5,0 m da entrambi i
fili.
Calcola l’intensità del campo magnetico in A
e B.
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
Illustra la definizione operativa della grandezza
v.
fisica vettore campo magnetico B
2
Il campo magnetico e il campo elettrico sono entrambi campi vettoriali. Quali sono le principali
differenze e le principali analogie?
3
Cosa è un motore elettrico? Come funziona?
4
Illustra le esperienze di Oersted e di Faraday relative alle forze magnetiche e spiega l’importanza
dei loro risultati sperimentali.
䉴
[8,0 108 T, in entrambi in punti]
B
A
4
Un conduttore rettilineo indefinito, percorso da
una corrente di 30 A, dista 30 cm da un altro conduttore rettilineo indefinito percorso da una corrente in senso contrario. In un punto P posto sulla striscia di piano compresa tra i due fili il campo
magnetico generato dalla prima corrente è metà
di quello generato dalla seconda e il campo magnetico risultante è 1,0 104 T. Determina:
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
䉴 le distanze del punto P dai due conduttori.
䉴 l’intensità della seconda corrente.
[18 cm, 12 cm; 40 A; 3,3 105 T ; 6,7 105 T]
5
Due fili rigidi paralleli lunghi 1,0 m e percorsi
dalle correnti i1 0,25 A e i2 1,1 A che scorro-
A
6,28 104 T
C
0,5 T
B
1T
D
1,5 103 T
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
䉴 il valore dei due campi magnetici componenti.
(Adattato dalla seconda prova di maturità sperimentale, 1981)
Un solenoide lungo 5 cm è costituito da 50 spire
ed è attraversato da una corrente elettrica di
0,5 A. Qual è l’intensità del campo magnetico al
centro del solenoide? (La permeabilità magnetica
del vuoto vale nel sistema SI 4 107 N/A2)
2
Intorno ad un filo metallico percorso da corrente
elettrica si stabilisce:
A
un campo magnetico.
B
un campo elettrico.
946
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
C
un campo gravitazionale.
D
un campo di etere.
E
una differenza di potenziale elettrico.
A
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina Veterinaria, 2005/2006)
B
O
O
time
time
C
D
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
1
Un circuito formato dal parallelo fra un solenoide
e una resistenza R 6 è alimentato da una batteria con V 12 V. Il solenoide ha sezione quadrata di lato l 1 cm, è costituito da N 10 000 spire
ed è realizzato con un filo di rame con resistività
1,7 108 m e sezione s 0,5 mm2. Il solenoide è lungo 40 cm. Si calcoli:
time
O
time
O
(Scholastic Aptitude Test (SAT), USA)
䉴 la corrente generata dalla pila.
2
In the electric circuit shown below switch S is open.
䉴 il campo magnetico B generato dal solenoide.
15 V
ammeter
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze Biologiche, Università di Genova, 2008/2009)
A
4
2
Due fili conduttori paralleli di lunghezza infinita
sono attraversati da due correnti dirette nello
stesso verso di modulo rispettivamente I1 10 A
e I2 20 A. La distanza tra i due fili è d 12 cm.
Determinare:
il punto dello spazio in cui il campo B è nullo
(indicare la distanza rispetto al filo percorso dalla
corrente I1).
䉴
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Farmacia,
Università La Sapienza di Roma, 2007/2008)
STUDY ABROAD
1
Which graph best represents the magnetic field
established at the center of a coil by a steady current in the coil?
switch S
(open)
3
2
V
䉴 il campo magnetico nel punto a distanza inter-
media tra i due fili.
time
E
䉴 la resistenza equivalente del circuito.
䉴 la corrente che circola nel solenoide.
O
voltmeter
What is the effect on the ammeter and voltmeter
readings when switch S is closed?
A
The ammeter reading increases; the voltmeter
reading decreases.
B
The ammeter reading decreases; the voltmeter reading increases.
C
The ammeter reading increases; the voltmeter
reading increases.
D
The ammeter reading decreases; the voltmeter reading decreases.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
947
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO MAGNETICO
CAPITOLO
32
LA FORZA DI LORENTZ
1
Come mai un filo percorso da corrente genera un campo magnetico e risente dell’effetto di un campo magnetico esterno? Possiamo sostituire il filo percorso da corrente con un fascio catodico ed effettuare un esperimento.
�Si osserva che il fascio è deviato da
v con la stessa regola delun campo B
la mano destra che vale per un filo.
Quindi, cariche elettriche in moto risentono della forza magnetica, e non
importa se siano contenute o meno in
un filo metallico.
�Osserviamo ora un filo percorso da
corrente affiancato a un tubo catodico, con le due correnti rivolte nello
stesso verso: le due correnti (nel filo e
nel fascio catodico) si attraggono, esattamente come avviene tra due fili percorsi da correnti equiverse.
N
i1
i2
S
F
i
B
A
B
Ancora una volta non è importante che gli elettroni dei raggi catodici si muovano
nel vuoto e non in un filo metallico. La cosa importante è che siano cariche in movimento: infatti, una carica elettrica ferma non subisce alcuna forza dovuta alla corrente che fluisce in un filo.
948
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO MAGNETICO
32
CAPITOLO
Possiamo quindi affermare che
il campo magnetico è generato da cariche elettriche in moto e, a loro volta,
cariche elettriche in moto sono soggette a forze dovute a un campo magnetico.
Quando fu scoperto l’effetto magnetico delle correnti elettriche, lo stesso Ampère
propose che anche il campo magnetico generato dalle calamite fosse dovuto all’effetto collettivo del moto di cariche elettriche presenti all’interno dei magneti.
Questo argomento è discusso nel paragrafo 5 di questo capitolo.
La forza magnetica che agisce su una carica in moto
v riUna carica puntiforme q che si muove con velocità vv in un campo magnetico B
v
sente di una forza Fq che è data dalla formula
velocità (m/s)
forza (N)
v
Fvq = qvv # B
(1)
carica (C)
campo magnetico (T)
ESPERIMENTO VIRTUALE
Fvq è detta forza di Lorentz, dal nome del fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz
(1853-1928).
Il valore della forza di Lorentz può essere espresso come
Fq qvB⬜
(2)
Fq qvB sen ,
(3)
La forza di Lorentz
• Gioca
• Misura
• Esercitati
oppure con la formula
v.
dove è l’angolo compreso tra i vettori vv e B
v
La direzione della forza Fq è perpendicolare al piano definito dai vettori velocità e
campo magnetico; il verso è dato dalla regola della mano destra, tenendo conto del
segno della carica:
�se la carica è positiva, si pone il pollice
della mano destra nel verso della velocità e le altre dita nel verso del campo
magnetico.
B
�Se invece la carica è negativa, il pollice della mano destra va orientato nel
verso opposto a quello della velocità.
carica positiva
carica negativa
B
v
F
+
F
–
v
A
B
949
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
32
ELETTROMAGNETISMO
In entrambi i casi, quindi, il pollice va rivolto nel verso della corrente convenzionale
generata dalle cariche in moto.
ESEMPIO
Un protone di carica q e si muove in direzione perpendicolare a un campo
magnetico di modulo B 67,3 mT. La forza magnetica che agisce sul protone
vale Fq 9,26 × 1016 N.
f Calcola la velocità v del protone.
• Visto che la velocità del protone e il campo magnetico sono perpendicolari,
si ha sen 1 e B = B. Inoltre si ha q e 1,60 1019 C. Quindi, in
questo caso le formule (2) e (3) diventano
Fq evB.
• Si può isolare v nella formula precedente e si ottiene
Fq
9, 26 # 10 -16 N
=
=
eB ^ 1,60 # 10 -19 C h # ^6 , 73 # 10 -2 T h
N
A:m
m
= 8,60 # 10 4
= 8 , 60 # 10 4
= 8,60 # 10 4 .
s
N
A:s
C:
A:m
v=
Dimostrazione della forza magnetica su una carica in moto
La forza magnetica che agisce su un filo percorso da corrente è la somma vettoriale
delle forze che il campo magnetico esercita sugli elettroni che lo percorrono. Ritorniamo quindi al modello del capitolo «La corrente elettrica nei metalli e nei semiconduttori», secondo cui si trascura l’agitazione termica e tutti gli elettroni di conduzione presenti nel filo si muovono con la stessa velocità di deriva v, che ha verso
opposto a quello della corrente.
Secondo tale modello, l’intensità di corrente è data dalla formula
i enAv,
(4)
dove n è il numero di elettroni per unità di volume che sono liberi di muoversi nel
metallo di cui è fatto il filo, e A è l’area della sezione trasversale del filo.
Per fissare le idee, consideriamo un
tratto di filo di lunghezza l; sappiamo che la forza magnetica che agisce su tale porzione di filo vale
B
i
v
–
v
Figura 1 La forza magnetica su un
filo è la somma vettoriale delle forze
F elettrone che agiscono
magnetiche v
su ogni elettrone che contribuisce al
passaggio della corrente nel filo.
A
Felettrone
I
F il B = .
–
Felettrone
Su ogni elettrone che si muove
all’interno del tratto di filo in esame
agisce una forza, perpendicolare alla velocità dell’elettrone e quindi al
filo, di modulo Felettrone (figura 1).
950
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO MAGNETICO
32
CAPITOLO
Il valore di Felettrone, che è uguale per tutti gli elettroni perché tutti hanno la stessa carica e la stessa velocità, è data dal modulo della forza magnetica F, che agisce sul filo,
diviso per il numero N di elettroni di conduzione presenti nel filo:
Felettrone =
F ilB =
=
.
N
N
(5)
Il tratto cilindrico di filo che stiamo considerando ha un volume pari ad Al, per cui il
numero di elettroni di conduzione contenuti al suo interno è
N nAl.
(6)
Ora possiamo sostituire la (4) e la (6) nella (5), ottenendo
Felettrone =
ilB = enAvlB =
=
= evB =,
N
nAl
che è proprio la formula di Lorentz (2), scritta per una particella che ha carica |q| e,
cioè per un elettrone.
2
IL MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO
MAGNETICO UNIFORME
La forza di Lorentz, che agisce su una carica puntiforme q in moto, ha sempre direzione perpendicolare alla velocità vettoriale con cui si muove la carica
e, quindi, al suo spostamento istantaneo (figura 2).
Ciò significa che il lavoro W compiuto da Fvq
sulla carica è sempre nullo:
s
v
Fq
W 0.
Il teorema dell’energia cinetica afferma che la variazione di energia cinetica K di un punto materiale è
uguale al lavoro W delle forze che agiscono su di esso.
Figura 2 La forza di Lorentz che
agisce su una carica è perpendicolare
alla sua velocità.
Nel caso della forza di Lorentz abbiamo
K W 0.
Quindi l’energia cinetica della carica puntiforme non cambia. Ciò significa che
la forza di Lorentz non può cambiare il valore della velocità di una carica.
Modifica invece la direzione del vettore velocità.
Moto con velocità perpendicolare a un campo Bv uniforme
Consideriamo, come nella figura 2, una carica puntiforme q positiva che si muove
v con una velocità vv perpendicolare alle linee del
in un campo magnetico uniforme B
campo. Si dimostra che
951
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
32
ELETTROMAGNETISMO
sotto le condizioni dette, la carica puntiforme q si muove di moto circolare
uniforme.
Infatti, il moto è uniforme perché, come abbiamo visto in precedenza, il modulo di vv è
v è uniforme e perpencostante. Inoltre, se B
dicolare a vv , la forza Fvq :
• è sempre perpendicolare a vv ;
v , per cui è contenu• è perpendicolare a B
ta nel piano della figura;
• ha un valore costante dato da Fq qvB.
v
Fq
Fq
v
Fq
v
Figura 3 La carica puntiforme, con
velocità perpendicolare alle linee di
campo magnetico, descrive un moto
circolare uniforme.
Quindi Fvq ha le proprietà della forza centripeta che, in un moto circolare uniforme, è sempre perpendicolare alla velocità del punto materiale, ha modulo costante
e varia in modo da rimanere sempre nello stesso piano, che è quello in cui avviene il
moto circolare stesso (figura 3).
Si tratta della stessa cosa che accade a un satellite in orbita circolare attorno alla
Terra. La forza di gravità ha modulo costante, è in ogni punto perpendicolare alla
velocità (il cui valore rimane, a sua volta, costante) ed è sempre contenuta nel piano
dell’orbita.
Il raggio della traiettoria circolare
Possiamo ora calcolare il raggio r della traiettoria circolare descritta da una particella
v uniforme, con una
puntiforme di massa m e carica q che si muove in un campo B
velocità vv perpendicolare a esso. La forza di Lorentz
ANIMAZIONE
Il moto di una carica in un
campo magnetico uniforme
(1 minuto e mezzo)
Fq qvB
è la forza centripeta del moto, che ha forma generale
Fc = m
v2
.
r
Uguagliando le ultime due espressioni otteniamo
qvB = m
v2
,
r
da cui possiamo isolare r, che risulta
r=
mv
qB
(7)
Il raggio dell’orbita circolare è direttamente proporzionale alla massa della particella
e alla sua velocità, inversamente proporzionale alla sua carica e al campo magnetico
presente.
952
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
32
IL CAMPO MAGNETICO
ESEMPIO
Una particella di carica q 3,20 1019 C e massa 6,64 1027 kg si muove
con velocità v 2,53 104 m/s in direzione perpendicolare alle linee di un
campo magnetico di modulo B 7,82 103 T.
f Quanto vale il raggio r della traiettoria circolare descritta dalla particella?
Il valore di r è fornito dalla formula (7):
^6,64 # 10 -27 kgh # a 2,53 # 10 4 m k
mv
s =
r=
=
qB
^3,20 # 10 -19 Ch # ^7,82 # 10 -3 Th
m
m
kg : 2
kg :
s
s
= 6,71 # 10 -2
= 6,71 # 10 -2
= 6,71 # 10 -2 m.
N
m
A :s:
kg : 2
A :m
s
m
Il valore della carica specifica dell’elettrone
e
tra il valore e della carica elementare e la massa m dell’elettrone prenm
de il nome di carica specifica dell’elettrone.
Questa grandezza fu misurata per la prima volta nel 1897 da Joseph John
Thomson per i «raggi catodici». Grazie a ciò, egli è spesso indicato come lo scopritore dell’elettrone. In effetti, la verifica sperimentale del fatto che tutte le particelle che
costituiscono un fascio di raggi catodici hanno lo stesso valore di e/m rese ragionevole pensare che esse fossero tutte identiche tra loro.
Per ripetere l’esperimento di J.J. Thomson si può utilizzare un apparato sperimentale come quello rappresentato nella fotografia: un fascio di elettroni, generato
per effetto termoionico e immerso in un campo magnetico che ne rende circolare la
traiettoria, è reso visibile grazie a un gas a bassa pressione. Misurando il raggio della
traiettoria circolare, il campo magnetico e la differenza di potenziale che accelera gli
elettroni, si ricava il valore di e/m.
3
UniRoma1, 1998
Il rapporto
IL FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO
Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie si definisce in modo analogo
al flusso del campo elettrico.
Se la superficie in questione è piana ed è descritta da un vettore superficie Sv , con il
v costante sulla superficie, il flusso Sv ( Bv ) del campo magnetico attraverso
campo B
Sv è definito come
v h = Bv $ Sv = BScos
Sv ^ B
(8)
v e Sv .
dove è l’angolo compreso tra i vettori B
Nel Sistema Internazionale il flusso del campo magnetico si misura in tesla per
metro quadrato (T m2). Questa unità è chiamata anche weber (Wb) dal nome del
fisico tedesco Wilhelm Eduard Weber (1804-1891).
Il verso del vettore superficie Sv che descrive una superficie piana è scelto ad arbitrio; una volta operata questa scelta, la superficie piana possiede una faccia positiva,
che è quella rivolta nel verso di Sv .
953
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
32
ELETTROMAGNETISMO
� Quando le linee di campo magnetico escono dalla faccia positiva della
v h è positivo, perché
superficie, Sv ^ B
v
v
l’angolo tra B e S è acuto (cos
0).
v h è negativo quando le
Sv ^ B
linee di campo magnetico entrano nella faccia positiva, perché in quel caso
v e Sv è ottuso (cos 0).
l’angolo tra B
�Invece
faccia positiva
S
S
B
B
flusso positivo
flusso negativo
A
B
ESEMPIO
Una superficie piana ha area S 1,46 103 m2 e il suo vettore superficie
forma un angolo 60° con un campo magnetico di modulo B 0,0548 T.
v h del campo magnetico attraverso la superficie S.
f Calcola il flusso Sv ^ B
Dalla definizione (8) si ricava
v) = BScos = ^0,0548 Th # ^1,46 # 10 -3 m 2h # cos ^60ch =
Sv (B
1
= ^8,00 # 10 -5 T : m 2h # = 4,00 # 10 -5 T : m 2 = 4,00 # 10 -5 Wb.
2
Flusso attraverso una superficie non piana
Se si vuole calcolare il flusso del campo magnetico attraverso una superficie S qualunque, bisogna suddividere S in n parti Svi (i 1, …, n) così piccole da soddisfare
le condizioni della definizione (superficie piana e campo magnetico costante su di
v i il vettore campo magnetico nei punti della piccola superficie
essa). Indicando con B
v ) del campo magnetico attraverso S è dato da
Svi, il flusso S(B
v h = / Bvi : Svi = / B i S i cos
s ^ B
dove
i
n
n
i=1
i=1
i
v i e Svi.
(i 1, …, n) è l’angolo formato dai vettori B
Il teorema di Gauss per il magnetismo
Si dimostra che
il flusso del campo magnetico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale
a zero.
954
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
(9)
IL CAMPO MAGNETICO
32
Questo risultato, che è il teorema di Gauss per il magnetismo, si esprime con la
formula
v) 0
( B
(10)
dove è una superficie chiusa qualunque.
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa (spesso detta «gaussiana») è direttamente proporzionale alla carica elettrica totale contenuta all’interno
della superficie. Ma, mentre esistono cariche elettriche isolate, non esistono monopòli magnetici, cioè poli magnetici, nord o sud, isolati. Per questo, il valore del
secondo membro della (10) è nullo: all’interno di una superficie chiusa qualunque,
si ha sempre una uguale quantità di poli nord e poli sud magnetici.
Dimostrazione del teorema di Gauss per il magnetismo
Dimostriamo il teorema di Gauss per il magnetismo nel caso particolare del campo
magnetico generato da un filo rettilineo infinito.
� Consideriamo una superficie gaussiana cilindrica, con l’asse sovrapposto
al filo percorso da corrente. Le linee di
v sono circonferenze concentricampo B
che al filo e parallele alle basi del cilindro.
v1)
�In ogni piccola zona (come la S
della superficie laterale del cilindro,
v è tangente alla superficie
il campo B
stessa e, quindi, perpendicolare al vettore superficie: il flusso è nullo.
i
i
S2
B2
B1
B
S1
A
B
Lo stesso è vero per tutte le piccole regioni (come la Sv2) in cui vengono suddivise le due
basi del cilindro. Dal punto di vista matematico, ciò significa che nella formula (9) si ha
i
90° (i 1, …, n)
per cui si può calcolare
vh = / B i S i cos i = / B i S i cos 90° = / B i S i # 0 = 0
^ B
n
n
n
i=1
i=1
i=1
che dimostra la formula (10) in questo caso particolare.
4
LA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO MAGNETICO
v) del vettore Bv, lungo un cammino orientato ᏸ, si definisce in
La circuitazione ᏸ(B
modo analogo alla circuitazione del campo elettrico: si suddivide ᏸ in n parti lvj , cia955
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
32
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
scuna così piccola da poterla considerare rettilinea e da potere considerare uniforme
il campo magnetico lungo essa, e si calcola
v) ᏸ(B
dove
j
n
n
j=1
j=1
/ Bv j : vl j = / B j : l j cos
(11)
j
vj e lvj.
è l’angolo formato dai vettori B
Il teorema di Ampère
Una corrente si dice concatenata al cammino ᏸ se
attraversa una superficie che ha come contorno la
linea ᏸ. Nella figura 4, la corrente è concatenata al
cammino ᏸ1, ma non ai cammini ᏸ2 e ᏸ3.
Per la circuitazione del campo magnetico si dimostra che vale il teorema di Ampère, secondo cui
i
ᏸ3
ᏸ2
Figura 4 La corrente i è concatenata
alla linea ᏸ1 ma non alle linee ᏸ2 e ᏸ3.
i1
B2
i2
l
B1
v) 0 / i k .
ᏸ(B
(12)
k
ᏸ1
Nella formula precedente la sommatoria è estesa alle k correnti concatenate con ᏸ
(quelle non concatenate non danno contributo). Inoltre, la corrente è presa con il
segno positivo se il campo magnetico che essa genera ha lo stesso verso con cui è
v1 della figura 5, generato dalla corrente i1) e
percorso il cammino ᏸ (come il campo B
segno negativo in caso contrario.
Il teorema di Ampère stabilisce che la circuitazione del campo magnetico può essere diversa da zero. Ciò ha un significato fisico molto importante, perché indica che
il campo magnetico non è conservativo.
Figura 5 La corrente i1 ha segno
convenzionale positivo perché il campo
magnetico che essa genera ha lo stesso
verso del cammino ᏸ; la corrente i2 ha
segno convenzionale negativo.
Dimostrazione del teorema di Ampère
Dimostriamo il teorema di Ampère nel caso
particolare del campo magnetico generato da
un filo infinito percorso da una corrente i. Per
v, calcoliamo
sfruttare la simmetria del campo B
la circuitazione lungo un cammino circolare, di
raggio r, che si sovrappone con una delle linee
del campo magnetico.
In questo modo, come è mostrato nella figura 6, in ogni tratto del cammino lo spostamento
v j preinfinitesimo vl j è parallelo al vettore B
sente in quella zona.
i
B3
l3
l2
l1
B2
B1
Figura 6 Con ᏸ che coincide con
una linea di campo magnetico, i vettori
spostamento Dvlj risultano sempre
paralleli ai corrispondenti campi v
Bj .
Ciò significa che possiamo applicare la formula (11) sapendo che
j
0° (j 1, …, n)
Così otteniamo
v) ᏸ(B
n
/ B j l j cos
j=1
j
=
n
n
j=1
j=1
/ B j # l j cos0° = / B j l j .
956
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
32
IL CAMPO MAGNETICO
Circuitazione del campo
elettrico
v j hanno direzioni diverse, ma lo stesso modulo
I campi magnetici B
Bj =
Nel capitolo «Il campo elettrico
e il potenziale» si mostra che
per il campo elettrostatico, che
è conservativo, la circuitazione
è nulla lungo qualunque linea
orientata.
0 i
.
2 r
Sostituendo questa formula nella precedente otteniamo
v) ᏸ(B
n
n
j=1
j=1
/ B j l j = /
0 i
i
l j = 0
2 r
2 r
n
/ l j :
j=1
Quando il numero di tratti vl j tende all’infinito, la sommatoria delle distanze lj
diventa la lunghezza 2 r della circonferenza lungo cui è calcolata la circuitazione.
Quindi la formula precedente diviene
v) ᏸ(B
0 i
2 r
n
/ l j = 0
j=1
2
CAPITOLO
Proprietà del segno
di sommatoria
0 i
esce dal
2 r
segno di sommatoria perché
non dipende dall’indice j.
La quantità
i
^ 2 r h = 0 i,
r
che coincide con la (12) nel caso particolare di una sola corrente.
Nota che, nel calcolo precedente, il risultato non dipende dal raggio r del cammino perché il suo perimetro è direttamente proporzionale a r, mentre il valore del
campo magnetico è inversamente proporzionale a r: nella formula della circuitazione questi due fattori si cancellano.
5
LE PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MATERIALI
Esistono materiali che, come il ferro e il nichel, sono attratti in maniera piuttosto
intensa da un magnete. Le sostanze che si comportano in questo modo sono dette
ferromagnetiche e sono le stesse che, come è spiegato all’inizio del capitolo precedente, si magnetizzano se sono poste a contatto con un magnete permanente, come
un cristallo di magnetite.
Se utilizziamo magneti ordinari abbiamo l’impressione che le sostanze non ferromagnetiche non risentano in alcun modo della presenza di un campo magnetico.
Però in laboratorio, dove si ottengono campi magnetici di grande intensità, possiamo osservare diversi tipi di comportamenti: per esempio l’acqua, l’argento e il rame
vengono debolmente respinti da un campo magnetico. Invece l’aria e l’alluminio
sono attratti, anche in questo caso con una forza molto piccola.
ANIMAZIONE
Le sostanze ferromagnetiche
(1 minuto e mezzo)
Le sostanze che sono respinte da un campo magnetico si dicono
diamagnetiche. Quelle che vengono debolmente attratte sono chiamate
paramagnetiche.
Ampère aveva fatto l’ipotesi che il comportamento dei magneti permanenti fosse
dovuto all’effetto di correnti elettriche microscopiche che fluiscono al loro interno.
A cavallo tra il Settecento e l’Ottocento, egli non aveva però alcuna idea di quali fossero e come si generassero queste correnti.
Oggi sappiamo che all’interno degli atomi ci sono davvero correnti «elementari»,
dovute al moto degli elettroni attorno al nucleo e al loro spin. Ogni atomo, quindi, si
può comportare come una spira percorsa da corrente che, come accade per il motore elettrico, in un campo magnetico esterno ruota fino ad allineare il proprio vettore
v.
superficie al campo B
Consideriamo, per esempio, un cilindro di ferro.
ANIMAZIONE
Le sostanze diamagnetiche e
paramagnetiche
(2 minuti e mezzo)
Lo spin degli elettroni
Lo spin è una proprietà delle
particelle subatomiche che non
è spiegabile sulla base della
fisica classica. È descritta nel
capitolo «La teoria quantistica».
957
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
32
ELETTROMAGNETISMO
� In
condizioni normali, i singoli
atomi di ferro sono orientati a caso
v totale
e, di conseguenza, il campo B
che generano nel materiale è nullo.
� In presenza di un campo magne-
tico esterno, le «spire» atomiche
percorse da corrente si orientano
v diverso da
e generano un campo B
zero.
�La sovrapposizione delle correnti elementari dei singoli atomi, tutte dello stesso verso, è equivalente
a una corrente che circola sulla superficie del cilindro.
B=0
B=0
A
B
C
vm (il pedice m ricorda
Questa corrente genera, a sua volta, un campo magnetico B
che si tratta di un campo magnetico dovuto alla presenza di materia).
Così, in tutto lo spazio il campo magnetico che si misura non è più il campo mav0 , ma il campo totale
gnetico esterno B
v Bv0 Bvm .
B
(13)
Interpretazione microscopica delle proprietà magnetiche
Sostanze ferromagnetiche. Possiedono correnti elettriche elementari piuttosto inv0 e generano un campo Bvm intenso).
tense (che subiscono fortemente l’effetto di B
v0 e Bvm hanno lo stesso verso, per cui Bv Bv0 Bvm può essere molto più intenso di
B
v0 . Per questa ragione, anche se Bv0 è uniforme, Bv è più intenso all’interno del mateB
riale: in tale zona le linee di campo magnetico si addensano.
campo magnetico totale: B = B0 + Bm
B0
Bm
Sostanze paramagnetiche. Hanno correnti elettriche elementari piuttosto deboli.
v0 avviene come nelle sostanze ferromagneIl loro allineamento nella direzione di B
v Bv0 Bvm è poco magtiche, ma gli effetti sono molto meno evidenti. Il campo B
v
giore di B0 e l’addensamento delle linee di campo all’interno del materiale è trascurabile.
B0
Bm
958
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
IL CAMPO MAGNETICO
32
CAPITOLO
Sostanze diamagnetiche. In condizioni normali hanno correnti elettriche elementari uguali a zero, perché al loro interno gli effetti magnetici dovuti ai singoli eletv0 , che agisce sugli elettroni in
troni si compensano. Un campo magnetico esterno B
movimento, disturba questo equilibrio e genera un campo magnetico debole, ma
v0 . Così il campo magnetico totale Bv Bv0 Bvm è di
con verso opposto a quello di B
v
poco minore di B0 : le linee di campo magnetico tendono a essere espulse, anche se
di poco, dal materiale.
B0
Bm
La permeabilità magnetica relativa
Per descrivere la risposta di un materiale all’azione di un campo magnetico esterno
si introduce una nuova grandezza, detta permeabilità magnetica relativa r della
sostanza in esame, definita dalla relazione
v r Bv0
B
(14)
v e Bv0 hanno la stessa unità di misura, r è un
Dal momento che i campi magnetici B
numero puro.
v risulta direttamente proporPer le sostanze diamagnetiche e paramagnetiche, B
v
zionale a B0 e quindi r è una costante.
v è minore di Bv0 , r risulta minore di
Per le sostanze diamagnetiche, per le quali B
1 (anche se di pochissimo). Al contrario, nelle sostanze paramagnetiche r è maggiore di 1 (tabella seguente).
APPROFONDIMENTO
Il campo magnetico H
(2 pagine)
Permeabilità magnetiche relative r di alcune sostanze
Sostanza
r
Sostanza
r
bismuto
0,99983
rame
acqua
0,999910
idrogeno
mercurio
0,999968
aria
argento
0,999981
sodio
1,000008
vetro
0,999987
ossigeno
1,000018
6
0,999990
Sostanza
alluminio
r
1,000021
0,9999999979
platino
1,00021
1,00000036
cromo
1,00033
palladio
1,00078
IL CICLO DI ISTERESI MAGNETICA
v non è direttamente proNei materiali ferromagnetici il campo magnetico totale B
v0 , come avviene nelle sostanze diamagnetiche e paraporzionale al campo esterno B
magnetiche, e la permeabilità magnetica relativa è grande.
Per vedere cosa accade in questo caso, avvolgiamo un solenoide attorno a un lungo cilindro fatto di una sostanza ferromagnetica. Questo solenoide fornisce il campo
v0 , il cui modulo è dato dalla formula
esterno B
B = 0
Permeabilità magnetica
relativa molto elevata
Il supermalloy (una lega di
ferro, nichel, molibdeno e
manganese) ha un valore
massimo di r uguale a
8 105.
N
i,
l
e quindi può essere variato a piacere cambiando l’intensità della corrente i che fluisce
nel solenoide stesso (il numero N di spire e la lunghezza l del solenoide sono fissi).
Nella figura 7 è presentato un grafico che descrive i valori assunti dall’intensità del
v al variare dell’intensità di Bv0 .
campo magnetico totale B
959
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
32
ELETTROMAGNETISMO
La curva sperimentale parte dall’origine degli assi: prima di fare fluire corrente nel
v che Bv0 sono nulli.
solenoide sia B
Br
campo totale B
a
– B0m
b
c
0
e
+ B0m
f
d
– Br
Figura 7 Ciclo di isteresi magnetica
di un materiale ferromagnetico.
campo esterno B0
v0 aumenta anche Bv, ma non in modo lineare: per le soNel tratto Oa al crescere di B
v non è proporzionale a Bv0 e, quindi, lo scalare r non è una
stanze ferromagnetiche B
costante.
Giunti nella zona a del grafico, il valore di B tende a rimanere costante (valore
di saturazione); ciò significa che praticamente tutte le spire atomiche magnetiche
all’interno del materiale sono orientate.
Se ora si riduce la corrente i nel solenoide in modo da far diminuire l’intensità di
B0, il sistema magnetico non ripercorre a ritroso il comportamento precedente, ma
descrive la curva che va da a a b. Quando B0 si annulla, nel cilindro ferromagnetico
rimane un campo magnetico residuo di intensità Br (punto b del grafico):
il cilindro ha acquisito una magnetizzazione permanente ed è divenuto un
magnete artificiale.
Per eliminare questa magnetizzazione residua è necessario invertire il segno di B0
(cioè invertire il verso in cui scorre la corrente elettrica nel solenoide). In questo
modo si giunge al punto c, in cui B è uguale a zero, ma B0 ha un valore negativo.
Facendo in modo che B0 diminuisca ancora e poi torni a crescere, si ottiene la
curva della figura 7, che prende il nome di curva di isteresi magnetica. Si vede che
questa curva non passa più dall’origine (che corrisponde allo stato iniziale in cui sia
B0 che B erano uguali a zero).
La temperatura di Curie
Pierre Curie
(1859-1906) fisico francese.
Insieme al fratello JacquesPaul scoprì l’effetto
piezoelettrico. Si interessò
di fisica dei cristalli e di
magnetismo. Insieme alla
moglie Maria Sklodowska Curie
isolò il radio e il polonio. Nel
1903 ricevette con Maria Curie
il premio Nobel per i suoi studi
sulla radioattività.
Anche un materiale ferromagnetico può essere smagnetizzato, ma per portarlo in
questa condizione è necessario aumentare a sufficienza il moto di agitazione termica
portandolo al di sopra di una certa temperatura caratteristica della sostanza, detta
temperatura di Curie dal nome del fisico francese Pierre Curie.
Al di sopra della temperatura di Curie ogni materiale ferromagnetico diviene
paramagnetico e perde la propria magnetizzazione residua.
960
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
32
IL CAMPO MAGNETICO
CAPITOLO
Le memorie magnetiche digitali
Il fenomeno della magnetizzazione residua è utilizzato nella realizzazione di memorie magnetiche digitali. In un computer tutte le informazioni sono rappresentate da una sequenza di 0 e 1 (l’«alfabeto» del computer è composto da due soli
caratteri).
Ragnarock/Shutterstock
Nel disco rigido, queste informazioni
sono immagazzinate sotto forma di zone in cui la magnetizzazione ha un certo
verso oppure quello opposto (figura 8).
Lo stesso accade nelle chiavette USB, nei
nastri digitali e in altri tipi di memorie
magnetiche.
Figura 8 In un disco rigido le
informazioni sono conservate come
orientazione di campi magnetici.
Per fare in modo che il segnale memorizzato sia «robusto» (cioè, che non si cancelli
spontaneamente e che possa essere letto facilmente da una testina o da un altro dispositivo analogo), occorre che la magnetizzazione residua del materiale utilizzato sia elevata. Quindi, per costruire le memorie magnetiche si utilizzano materiali che hanno
curve di isteresi simili a quelle della figura 9.
B
campo
magnetico
totale
B0
campo
magnetico
esterno
Figura 9 Ciclo di isteresi magnetica
con grande magnetizzazione residua.
961
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
32
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
L’elettromagnete
Avvolgendo un solenoide attorno a un nucleo di ferro speciale si ottiene un elettromagnete (figura 10).
B
i
Figura 10 Schema costruttivo di un
elettromagnete.
campo B
magnetico
totale
Un elettromagnete si comporta come una calamita che è messa in funzione a
comando, azionando un interruttore.
Quando nel solenoide circola corrente, il nucleo di ferro genera un campo magnetico che può essere diverse centinaia di volte maggiore di quello che sarebbe creato
dal solenoide posto nell’aria.
Non appena però la corrente si interrompe, il nucleo si smagnetizza quasi completamente. Per ottenere ciò, per i nuclei degli elettromagneti si utilizzano materiali,
come il ferro dolce, che hanno una curva di isteresi analoga a quella mostrata nella
figura 11, con una magnetizzazione residua particolarmente bassa.
Gli elettromagneti hanno moltissime applicazioni.
B0
campo
magnetico
esterno
Figura 11 Ciclo di isteresi magnetica
con piccola magnetizzazione residua.
� Nella
fisica delle particelle, potentissimi elettromagneti sono impiegati
per guidare il moto di fasci di particelle
che circolano negli acceleratori.
akva/Shutterstock
Adam Hart-Davis/Science Photo Library
� Le testine dei registratori audio o video contengono dei piccoli elettromagneti che creano sul nastro una copia
«magnetica» del suono o dell’immagine da riprodurre.
A
B
962
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
32
IL CAMPO MAGNETICO
Inoltre, gli elettromagneti sono usati anche in molti macchinari di uso industriale.
Per esempio, le gru che sollevano le automobili nelle autodemolizioni, contengono
potenti elettromagneti.
VERSO LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Le proprietà matematiche fondamentali del campo magnetico sono riassunte in due
equazioni
v) 0
( B
e
vh = / i ;
ᏸ ^ B
0
k
Alex Bartel/Science Photo Library
7
k
come vedremo nel capitolo «Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche»,
sono due delle quattro equazioni di Maxwell, scritte nel caso statico (le prime due
sono state presentate nel paragrafo 6 del capitolo «Fenomeni di elettrostatica»).
Prima equazione
Che cosa dice
La prima equazione stabilisce che il flusso del campo magnetico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale a zero.
Che cosa significa
Per ogni linea di campo entrante, ce n’è una uscente, quindi le linee del campo magnetico sono chiuse.
Questa caratteristica delle linee di campo magnetico lo differenzia dal campo
elettrico che invece ha linee aperte, che hanno gli estremi in corrispondenza delle
cariche (come abbiamo visto studiando il teorema di Gauss per il campo elettrico,
prima equazione di Maxwell).
Quali sono le conseguenze
• Non esistono poli magnetici isolati (monopoli): a ogni polo nord magnetico (da
cui le linee di campo escono) corrisponde necessariamente un polo sud a esso
indissolubilmente connesso (in cui le linee di campo entrano).
v non hanno né inizio né fine (o sono chiuse op• Le linee del campo magnetico B
pure si estendono all’infinito, come accade nel caso di un solenoide illimitato).
Seconda equazione
Che cosa dice
La seconda equazione riguarda la circuitazione del campo magnetico, e stabilisce
che questa non è sempre uguale a zero, come invece succede per il campo elettrico. Il
suo valore dipende dalle correnti concatenate al percorso ᏸ considerato (cioè dalle
correnti che attraversano una superficie che ha ᏸ come contorno).
Che cosa significa
Il fatto che la circuitazione del campo magnetico non sia sempre zero implica che
il campo magnetico non è conservativo. Una volta fissate le correnti che formano il
sistema fisico, il valore della circuitazione dipende dal percorso ᏸ scelto.
Quali sono le conseguenze
• Le cariche in movimento (correnti elettriche) sono le sorgenti del campo magnetico.
963
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
32
ELETTROMAGNETISMO
• Siccome il campo magnetico non è conservativo, non ha senso introdurre una «energia potenziale magnetica» come quella elettrica e quella gravitazionale. Di conseguenza,
mentre esiste un potenziale elettrico non ha senso definire un «potenziale magnetico».
La tabella seguente riprende anche quanto è stato detto a proposito del campo elettrico. Le quattro equazioni scritte nella colonna di sinistra sono dette equazioni di
Maxwell per i campi statici.
Equazione
Campo
Grandezza
interessata
A parole
Proprietà
del campo
Conseguenze
Q tot
f
(Teorema di
Gauss per il
campo elettrico)
Ev
Flusso
Il flusso del campo
elettrico attraverso
una superficie
chiusa è direttamente proporzionale alla carica totale
contenuta all’interno della superficie.
Linee aperte che escono dalle cariche positive ed entrano nelle
cariche negative
• Le cariche elettriche
sono le sorgenti del
campo elettrico
• Carica elettrica sulla
superficie dei conduttori in equilibrio
• Teorema di Coulomb
ᏸ(Ev ) = 0
(teorema della
circuitazione
per il campo
elettrostatico)
Ev
Circuitazione
La circuitazione
del campo elettrostatico è nulla,
qualunque sia il
cammino orientato
lungo il quale essa
è calcolata.
Conservativo
Si può definire un potenziale elettrico
U (Ev ) =
(E) = 0
(Bv ) 0
(Teorema di
Gauss per il
campo magnetico)
Flusso
Bv
Il flusso del campo
magnetico attraverso qualunque
superficie chiusa è
nullo.
Linee chiuse
Non esistono monopoli
magnetici isolati
B
i
i
(e)
v
ᏸ (B )
=
0
/ ik
Circuitazione
Bv
k
(Teorema di
Ampère)
La circuitazione del
campo magnetico
lungo un percorso
ᏸ è diversa da
zero in presenza di
correnti elettriche
concatenate a ᏸ.
Non conservativo
i
Γ (B) ≠ 0
1
2
Γ (B) = 0
964
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
• Le cariche in movimento (correnti
elettriche) sono le
sorgenti del campo
magnetico
• Non si può definire
un potenziale magnetico
FISICA E LETTERATURA
EDGAR ALLAN POE E
LA DECLINAZIONE MAGNETICA
Edgar Allan Poe (1809-1849), una delle più importanti figure della letteratura statunitense,
scrisse il romanzo Le avventure di Gordon Pym, ispirandosi alla vicenda di un capitano di
marina, James Weddell, che nel 1823 si era avventurato con un brigantino verso il Polo
Sud, non riuscendo però a raggiungerlo a causa di una grossa piattaforma di ghiaccio.
Oggi potremmo definire Le avventure di Gordon Pym un horror psicologico per i toni foschi
e inquietanti che avvolgono lo snodarsi degli eventi. Affascinato dai viaggi per mare, nel
1827 il giovane Gordon Pym si imbarca di nascosto sulla baleniera Grampus, d’accordo
con il suo migliore amico, figlio del capitano dell’imbarcazione. I due ragazzi attraverseranno una serie di terribili avventure: un sanguinario ammutinamento, una violentissima tempesta, l’esaurirsi delle provviste con conseguenze drammatiche, la morte dell’equipaggio.
Nel brano proposto, il brigantino sta procedendo verso sud: la continua e frenetica registrazione della «variazione magnetica» della bussola, che indica la rotta della nave,
assicura che i sopravvissuti hanno già oltrepassato il Circolo Polare Antartico e si stanno
inoltrando in un territorio inesplorato.
10 gennaio.
[…] Detto giorno, verso le dodici, ci trovammo a 78° 30’ di latitudine e 40° 15’ di longitudine
ovest. Faceva molto freddo, e raffiche di grandine
c’investivano di continuo, da nord-est. In quella
direzione scorgemmo enormi icebergs. Del resto,
tutto l’orizzonte ad est appariva chiuso da una vasta
gradinata di ghiacci. [...] La variazione della bussola, per azimut, fu meno notevole di prima, quando
avevamo passato il Circolo Antartico.
14 gennaio.
La mattina raggiungemmo l’estremità occidentale della banchisa che ci aveva sbarrato il cammino, e, doppiatala, sboccammo in un mare aperto,
senza il più piccolo pezzo di ghiaccio. Lanciata la
sonda, trovammo una corrente che portava a sud
con una velocità di mezzo miglio all’ora. La temperatura dell’aria era di 47 gradi Fahrenheit, quella dell’acqua di 34. Volgemmo allora a sud e così
procedemmo senza mai incontrare seri ostacoli
sino al 16. […] La variazione per azimut era diminuita, e il clima era dolce e piacevole. Oramai non
si vedeva più un pezzo di ghiaccio. Per cui nessuno
a bordo dubitava della possibilità di raggiungere il
Polo.
17 gennaio.
[…] Eravamo a 82° 50’ di latitudine sud. Noi ci
eravamo a quell’epoca inoltrati a sud per più di otto gradi oltre i limiti raggiunti da tutti i navigatori che ci avevano preceduto, e il mare si estendeva
pur sempre perfettamente libero e aperto davanti a
Edgar Allan Poe
Le avventure
di Gordon Pym
Mondadori
noi. La variazione magnetica andava regolarmente
diminuendo a mano a mano che si avanzava. […]
Non avevamo che due preoccupazioni: quella di
trovarci prossimi ad esaurire la nostra provvista di
combustibile, e quella dei sintomi di scorbuto manifestati da qualche marinaio. Ma in virtù di esse,
capitan Guy cominciò a considerare necessario il
ritorno, e parlò di drizzare la prora a nord. Da parte mia, ero persuaso che andando avanti sulla nostra rotta avremmo finito per incontrare una terra
di qualche importanza e nient’affatto sterile come
nelle alte latitudini dell’Artico, e insistei caldamente perché volesse perseverare, almeno ancora per
qualche giorno, nella direzione tenuta sino allora.
LE PAROLE DELLA SCIENZA
La «variazione magnetica della bussola» è un indicatore della declinazione magnetica, che in fisica rappresenta l’angolo fra il meridiano magnetico (indicato
dalla direzione dell’ago di una bussola) e il meridiano
geografico in un punto della superficie terrestre. Tale
quantità, fondamentale nella navigazione per stabilire con precisione la rotta, dà conto del fatto che il Polo Nord (o Sud) magnetico non coincide con il Polo
Nord (o Sud) geografico.
IN DIECI RIGHE
Illustra in quali altri modi il termine declinazione è
usato, per esempio in astronomia o in grammatica,
con il significato di flessione.
965
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
EPISTEMOLOGIA
LA SCIENZA È FALSIFICABILE: POPPER
Illustrazione di Emiliano Ponzi
«La scienza non è l’assimilazione
di dati sensibili che entrano in noi
attraverso gli occhi, le orecchie e così
via e che noi poi in qualche modo
mescoliamo e trasformiamo in teorie.
[…] La scienza consta di teorie, che
sono opera nostra. Noi facciamo
teorie.»
(K. R. Popper)
La scoperta di J.J. Thomson che tutte le particelle di
un fascio catodico hanno la stessa carica specifica
appare come un risultato puramente sperimentale e
dunque come un esempio di ciò che, secondo i Neopositivisti, può dirsi scienza: una legge generale ottenuta per induzione, a partire da una raccolta di fatti.
Tuttavia, si può dire che esista una relazione univoca
e diretta tra i fatti (cioè le misurazioni svolte, l’apparecchiatura impiegata, le osservazioni del fascio catodico) e la scoperta dell’elettrone? Questo problema
ci introduce alle riflessioni di Karl Raimund Popper
(1902-1994), considerato dagli stessi Neopositivisti
«l’oppositore ufficiale» del Circolo di Vienna.
OSSERVAZIONE E TEORIA
Il primo punto criticato da Popper riguarda la nozione di fatto. Secondo i Neopositivisti, un fatto è
ciò che si presenta alla pura osservazione: per questo, esso viene percepito da chiunque in maniera
chiara e univoca.
Per scardinare i fondamenti di questa visione,
Popper utilizza un singolare esperimento. Un giorno
entra in aula e dice ai suoi studenti di fisica: «Prendete carta e matita; osservate attentamente e registrate
quel che avete osservato.» Gli studenti, sbalorditi, gli
domandano: «Ma che cosa dobbiamo osservare?»
Questa è la prova che l’osservazione pura non
esiste. I fatti non si presentano spontaneamente
allo sguardo, ma devono essere cercati mediante
opportune domande. Un problema da risolvere o
un’ipotesi da verificare sono gli elementi che gui-
dano l’osservazione e logicamente la precedono. E
i problemi e le ipotesi hanno senso solo se vi è una
teoria o un modello, anche primitivo, che li inquadri. L’osservazione, conclude Popper, è carica di
teoria (theory ladenness).
ESPERIMENTO E TEORIA
In fase sperimentale, lo studio dei fenomeni è ulteriormente veicolato dalla teoria, la quale influenza
sia la costruzione degli apparati di osservazione,
sia la progettazione di esperimenti. Per quanto riguarda gli strumenti di osservazione, è esemplare
il caso di Galileo. Se l’atto di puntare un telescopio
verso il cielo ci appare oggi naturale, così non era nel
Seicento. La filosofia della natura allora prevalente
sosteneva infatti una netta separazione tra il mondo
terrestre (o sublunare) e quello dei corpi celesti.
L’atto di Galileo rappresenta una clamorosa rivoluzione concettuale, perché sottende la possibilità di applicare al cielo la fisica terrestre. In secondo
luogo, l’adozione del telescopio come strumento di
osservazione della realtà non era affatto naturale nel
Seicento. Il suo funzionamento presuppone la conoscenza di una teoria fisica: l’ottica. Grazie all’ottica
possiamo affermare che, se osserviamo una formica
a occhio nudo e poi con una lente, vediamo ancora la
stessa formica, ma ingrandita. Ancora meno scontata
è l’applicazione di questo ragionamento ai corpi celesti: nel Seicento non era ovvio che quello che si poteva vedere puntando il telescopio verso il cielo fosse
lo stesso oggetto, che a occhio nudo era un puntino
966
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
luminoso, ingrandito. È chiaro dunque che un’affermazione apparentemente empirica, come: «guarda
qui, si vede col telescopio!» contiene, nel caso delle
osservazioni di Galileo, una forte carica di teoria.
Nel caso della progettazione di esperimenti la
teoria assume un ruolo ancora più determinante.
La progettazione dell’esperimento di J.J. Thomson,
ad esempio, sottende un bagaglio corposo di conoscenze fisiche (campo elettrico, dinamica di un punto
materiale ecc.) e la lettura dei suoi risultati richiede
l’adozione, precedente all’esperimento stesso, di un
apparato di ipotesi e concetti. In questo caso, sono
fondamentali i concetti di forza e accelerazione e le
leggi che legano la prima grandezza alla seconda e alla
carica elettrica. Inoltre, l’intera progettazione dell’esperimento discende dall’avere considerato il fascio
catodico come un insieme di particelle cariche.
RACCOLTE DI FATTI?
La critica di Popper all’induttivismo riguarda anche il processo mediante il quale, a partire da una
raccolta di fatti, si vorrebbe formulare un giudizio
universale. Ad esempio, osserviamo l’inferenza
descritta qui sotto:
«Questo cigno (1) è bianco»
«Questo cigno (2) è bianco»
«Questo cigno (3) è bianco»
…
«Questo cigno (100) è bianco»
(giudizio particolare)
,
«Tutti i cigni sono bianchi»
(giudizio universale)
Essa rappresenta un errore logico, perché si fonda
su un passaggio illecito da un insieme finito di giudizi particolari a un giudizio universale, che vale
per un numero illimitato di casi.
L’elaborazione di un giudizio universale, come
una legge scientifica, non può essere un procedimento puramente empirico di raccolta e «spremitura» di tantissime osservazioni, come voleva Bacone. Per fare una teoria occorre un tocco di genio
o, per dirla con Popper, un’intuizione creativa, che
suggerisca allo scienziato una visione più ampia
dei fenomeni: essa consiste in una nuova ipotesi
esplicativa, che lo scienziato elabora liberamente e che poi sottopone alla prova empirica. I fatti,
che per i Neopositivisti costituivano l’ingrediente
fondamentale della scienza, intervengono solo nel
secondo stadio dell’impresa scientifica: quello del
controllo empirico. La fase della scoperta, invece, contiene sempre un elemento irrazionale. Che
cos’è allora la scienza, secondo Popper?
SCIENZA È CIÒ CHE È FALSIFICABILE
Popper elabora un nuovo criterio per distinguere ciò
che è scienza da ciò che non lo è. La critica alla nozione
di fatto e il ruolo assegnato alla creatività dello scienziato rendono inadeguato il criterio neopositivistico
della verificabilità («scientifico è ciò che è verificabile
mediante il confronto coi fatti»). Il nuovo criterio di
demarcazione è la falsificabilità: una teoria è scientifica solo quando è possibile confutarla, ossia, quando
è possibile trovare un fatto che, dopo controlli ripetuti, non si accorda con ciò che la teoria stessa prevede in maniera univoca. In questo senso, l’astrologia è
una pseudoscienza, perché non è possibile sottoporre
la sua metodologia a un controllo rigoroso.
La condotta dello scienziato moderno è una conseguenza di questa caratteristica della scienza: quando propone una nuova teoria, egli la pubblica su una
rivista scientifica, in modo che i suoi colleghi possano
metterla alla prova. Il rinvenimento di un errore nella
teoria non sminuisce la stima nello scienziato che l’ha
proposta, ma dà noterietà a chi l’ha falsificata.
IL PROGRESSO DELLA SCIENZA
La scienza popperiana è un sapere congetturale, dotato di verità provvisoria: ogni teoria è vera soltanto fino a prova contraria. Ma la probabilità che essa
venga in futuro falsificata diminuisce all’aumentare
del numero di prove sperimentali. Va sottolineato
che la costante autocritica cui la scienza sottopone i
propri risultati costituisce un indispensabile fattore
di progresso. Per esempio, le leggi di Keplero, che
per secoli si sono dimostrate vere alla prova dei fatti,
hanno incontrato un’eccezione nel caso di Mercurio. Esso descrive un’orbita aperta, detta «a rosetta»,
che non rientra nel modello previsto da Keplero.
La falsificazione della teoria porta, nel XX secolo, a
un suo fecondo superamento. La relatività generale
non solo fornisce un nuovo modo di comprendere
tutte le osservazioni, che avevano sostenuto la teoria
precedente, ma spiega anche il caso di Mercurio. Fino ad ora verificata, la relatività generale attende di
essere migliorata ed eventualmente falsificata.
ALTRE TEORIE EPISTEMOLOGICHE
• I Neopositivisti (pagina 753) sostengono che la
scienza sia un sapere empirico ottenuto per induzione, verificabile ma mai assolutamente certo.
• Kuhn (pagina 1066) sostiene che il passaggio da
una teoria all’altra richieda un radicale mutamento di punto di vista.
• Il punto di vista dell’autore a pagina 1173.
967
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
5
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
IL MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME
Il campo magnetico è generato da cariche elettriche in moto e, a loro volta, cariche elettriche in moto sono soggette a
forze dovute a un campo magnetico.
Forza di Lorentz
forza di Lorentz (carica elettrica) (velocità) (campo magnetico)
Fvq = qvv # Bv
• È esercitata da un campo magnetico su una carica q in moto con velocità vv.
• Il suo modulo è dato da Fq qvB⬜ o Fq qvB sen .
• La direzione è perpendicolare al piano definito dai vettori vv e Bv.
• Il verso è dato dalla regola della mano destra: se la carica è positiva, si punta il pollice nel verso della velocità; se è
negativa, si punta il pollice nel verso opposto a quello di vv.
• La forza di Lorentz e lo spostamento istantaneo della carica sono perpendicolari: di conseguenza, la forza non può
cambiare il valore della velocità di una carica, ma può modificare la sua direzione.
Moto di una carica
Raggio della traiettoria circolare di una carica in moto con vv perpendicolare a Bv uniforme
r
mv
qB
raggio =
(massa) : (velocità)
(carica elettrica) : (campo magnetico)
• Una carica q di massa m, che ha una velocità vv perpendicolare alle linee di un campo Bv
uniforme, descrive un moto circolare uniforme.
• La forza che agisce sulla carica è la forza centripeta.
Carica speciﬁca dell’elettrone
e
m
• Dall’osservazione di una carica in moto in un campo
magnetico uniforme su una traiettoria circolare, si
può determinare la carica specifica, il rapporto tra la
carica della particella e la sua massa.
• Un elettrone, emesso per effetto termoionico da un
cannone elettronico a cui è applicata la differenza di
potenziale V e che è inserito in un campo Bv in
direzione perpendicolare al campo stesso, descrive
una circonferenza di raggio r.
968
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
s
v
Fq
MAPPA INTERATTIVA
PROPRIETÀ DEL CAMPO MAGNETICO
Le proprietà del campo magnetico sono sintetizzate dalle espressioni del flusso e dalla circuitazione del campo magnetico.
Flusso del vettore campo magnetico
Caso semplice (superficie piana e campo
uniforme):
Sv ( Bv ) Bv Sv BS cos
flusso del campo magnetico (campo
magnetico)(vettore superficie)
Caso generale (superficie qualunque suddivisa in porzioni così piccole da essere considerate piane):
n
n
U ^Bvh = / Bvi DSvi = / B i DS i cos i
i=1
i=1
• È il prodotto scalare fra il vettore campo magnetico e il vettore superficie
sul quale il campo magnetico è costante.
• È massimo quando il campo magnetico e il vettore superficie sono paralleli, è zero quando sono perpendicolari.
• Si misura in Weber (1 Wb 1 T m2)
Segno del ﬂusso del campo magnetico
Teorema di Gauss per il magnetismo
• Il verso del vettore superficie Sv è scelto ad arbitrio.
(Bv ) 0
•
Sv (Bv ) è positivo se le linee di campo magnetico escono dalla faccia positiva della superficie; è negativo
quando le linee di campo entrano nella faccia positiva.
faccia positiva
S
S
B
B
flusso positivo
flusso negativo
Circuitazione del campo magnetico
Cᏸ ^Bvh =
n
n
j=1
j=1
/ Bvj : D lvj = / B j Dl j cos
linee di
campo uscenti
• Il flusso del campo
magnetico attraverso
qualunque superficie
chiusa è uguale a zero.
flusso
totale
nullo
• Ciò indica che non
esistono monopòli
magnetici: per questa
ragione le linee di
campo magnetico non
hanno inizio né fine.
linee di
campo entranti
Campo magnetico totale dovuto alla presenza di materia
j
• La circuitazione di Bv lungo un cammino chiuso è la
somma dei prodotti scalari relativi a tutti gli n tratti
lvj, doveBvj è il campo magnetico uniforme lungo lvj.
Teorema di Ampère
Cᏸ ^Bvh = 0 / i k
k
• La sommatoria è estesa a tutte le correnti concatenate.
• Il campo magnetico non è conservativo: la sua
circuitazione può essere diversa da zero.
• La corrente è positiva se il campo magnetico che
genera ha lo stesso verso con cui è percorso il
cammino chiuso, negativa in caso contrario.
Bv Bv 0 Bv m campo magnetico totale campo
magnetico esterno campo magnetico della materia
• Ogni atomo di un pezzo di ferro si comporta come
una «spira» microscopica percorsa da corrente,
dovuta al moto degli elettroni.
• Un campo magnetico esterno Bv0 orienta nella
propria direzione i momenti magnetici elementari
della materia, creando un nuovo campo magnetico
della materia Bvm: nello spazio quindi si misura il
campo magnetico totale Bv .
Sostanze ferromagnetiche
Possono essere magnetizzate e
sono attratte in maniera intensa
da un magnete.
Sostanze paramagnetiche
Sono debolmente attratte da un magnete.
Sostanze diamagnetiche
Sono debolmente respinte da un magnete.
969
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
B=0
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
Una particella carica attraversa una regione dello
spazio senza risentire dell’azione di nessuna forza. Puoi dedurre che in quella regione dello spazio non è presente un campo magnetico?
2
La forza magnetica su un filo percorso da corrente può essere letta come la somma algebrica delle
forze che il campo magnetico esercita sugli elettroni che si muovono al suo interno?
3
In quali casi una particella di massa m che entra
in un campo magnetico è sottoposta a una forza?
4
Un elettrone e un protone che viaggiano alla stessa
velocità entrano in un campo magnetico uniforme in direzione perpendicolare al campo. Descrivi
cosa succede alle traiettorie delle due particelle.
10
Tre correnti di intensità i1, i2 e i3 sono concatenate al cammino orientato ᏸ. I versi delle correnti e
del cammino sono mostrati nella figura seguente.
i1
5
Una particella che entra in un campo magnetico
uniforme con una velocità perpendicolare al
campo descrive una traiettoria circolare?
6
In un moto circolare uniforme il periodo di rotazione dipende dal raggio della circonferenza descritta. Dimostra che il periodo di rotazione del
moto circolare uniforme descritto da una particella carica in un campo magnetico uniforme
non dipende dal raggio della traiettoria.
7
8
9
In una zona A di un campo magnetico il flusso del
campo attraverso un dato circuito vale 0,012 Wb.
In un’altra zona B del campo il flusso attraverso
una seconda superficie vale 0,006 Wb. Si può dedurre che in A il campo è più intenso che in B?
Una stessa superficie viene collocata in due regioni diverse di uno spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme. Puoi affermare che il
flusso attraverso quella superficie è uguale nelle
due regioni considerate?
Il teorema di Gauss per il magnetismo afferma
che il flusso del campo magnetico attraverso una
superficie chiusa qualsiasi è sempre nullo. Invece, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è direttamente proporzionale alla carica
elettrica contenuta all’interno della superficie.
Sai dire perché esiste questa differenza?
i2
i3
䉴 Calcola la circuitazione del campo magnetico
lungo il cammino ᏸ.
11
«La circuitazione di un campo magnetico lungo un
cammino chiuso è proporzionale alla somma dei
valori assoluti delle correnti concatenate al percorso
chiuso.» Sei d’accordo con questa affermazione?
12
Nel passaggio
vh = /
L ^ B
0 i
i n
l = 0 / l
2 r j 2 r j=1 j
perché si può estrarre dal segno di sommatoria il
i
fattore 0 ?
2 r
n
j=1
13
Qual è l’unità di misura della permeabilità magnetica relativa di un mezzo?
14
Quali sostanze hanno un valore della permeabilità magnetica relativa maggiore di 1?
15
Nel ciclo di isteresi magnetica il valore del campo
magnetico residuo è minore di quello che si ha
nella zona di saturazione. Qual è la ragione di
questa differenza di valori?
16
Nella tabella seguente sono indicate sei applicazioni tecniche che sfruttano per il loro funzionamento i magneti permanenti (MP), gli elettromagneti (EM) e altri principi fisici (A).
䉴 Associa a ciascuna applicazione la sigla opportuna.
970
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
Applicazione
Funzionamento
17
Alcune teorie delle particelle elementari ipotizzano l’esistenza di monopoli magnetici. Se esistesse
un monopolo magnetico di tipo Nord, come dovrebbe essere il flusso del campo magnetico attraverso una superficie che lo contiene?
18
Il fatto che il campo magnetico non è conservativo implica che la forza di Lorentz non è conservativa?
Floppy disk
Motore elettrico
Motore a scoppio
Testina del videoregistratore
Tubo al neon
Gru da demolizione
PROBLEMI
1
1
LA FORZA DI LORENTZ
PROBLEMA SVOLTO
Un elettrone si muove con velocità c/10 in direzione perpendicolare
al campo magnetico terrestre, in un punto dove esso ha un’intensità
di 4,8 105 T.
c
10
B = 4,8 ⫻10–5 T
B
v=
Fq = ?
䉴 Calcola il modulo della forza magnetica che agisce sull’elettrone.
v
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Velocità dell’elettrone
v
c/10
Valore del campo magnetico
B
4,8 105 T
Modulo della forza magnetica
Fq
?
Fq
Commenti
Strategia e soluzione
• Visto che la velocità dell’elettrone è perpendicolare alle linee di campo magnetico si ha
B= B
per cui il problema può essere risolto con la formula (2), scritta come
c
Fq evB e
B.
10
• Sostituendo nella formula precedente i corrispondenti valori numerici si trova
Fq =
ecB ^1,60 # 10
=
10
-19
Ch # ^3,00 # 10 8 m/sh # ^4,8 # 10 -5 Th
= 2,3 # 10 -16 N .
10
Discussione
Nei calcoli si è posta la carica dell’elettrone uguale a e (e non a e) perché il problema chiede il
modulo della forza magnetica; quindi il segno della carica non è rilevante.
971
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
2
pendicolare alla direzione di moto della particella e di intensità pari a 0,12 T.
Un protone si muove in un campo magnetico uniforme di intensità 1,0 102 T, in una direzione
perpendicolare a quella del campo magnetico. Sul
protone agisce una forza di modulo 1,6 1016 N.
Calcola il raggio della circonferenza descritta
dalla particella.
䉴
䉴 Calcola il modulo della velocità del protone.
[17 cm]
[1,0 10 m/s]
5
7
3
Una carica di 0,50 C si
muove con una velocità di
3,0 m/s in direzione perpendicolare a quella di un
campo magnetico di 0,15 T,
come indicato nella figura.
B
Un elettrone che si muove alla velocità di
1,0 105 m/s entra in un campo magnetico perpendicolare alla direzione di moto. Si vuole che
l’elettrone compia traiettorie circolari di raggio
non superiore a 10 cm.
䉴 Come
deve essere regolata l’intensità del campo magnetico?
v
Determina intensità, direzione e verso della
forza che agisce sulla carica.
[B 5,7 106 T]
䉴
[2,3 107 N; uscente dal foglio]
4
Una carica di 1,0 C viaggia in un campo magnetico di 0,15 T, con una velo45° v
B
cità di 3,0 m/s in una direzione che forma un angolo
di 45° con la direzione del
campo magnetico, come indicato nella figura.
Un elettrone e un protone vengono introdotti
contemporaneamente, e con la stessa velocità, in
un campo magnetico uniforme diretto perpendicolarmente alla direzione della velocità delle particelle.
䉴 Calcola il rapporto rp /re tra i raggi delle traiettorie descritte dalle due particelle.
[1,84 103]
Determina intensità, direzione e verso della
forza che agisce sulla carica.
3
IL FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO
[3,2 107 N; uscente dal foglio]
9
Un circuito con la superficie di 4 cm2 è orientato
rispetto a un campo magnetico di 2 103 T come nelle due situazioni riportate nella figura. La
faccia gialla è, per convenzione, quella positiva,
cioè rivolta nel verso di Sv.
䉴
5
8
Un tratto di filo di rame lungo 10 cm e con la sezione di 1,0 mm2, è percorso da una corrente di
10 mA. Esso è immerso in un campo magnetico
uniforme, perpendicolare al filo, di intensità 1,0 T.
Nel filo di rame vi sono 8,4 1028 elettroni di
conduzione per m3. Calcola:
䉴 Calcola il flusso del campo magnetico attraver-
so il circuito in entrambi i casi.
[8 107 Wb; 6 107 Wb]
䉴 la forza che agisce su quel tratto di filo.
䉴 la forza che agisce su un elettrone di conduzio-
B
ne.
[1,0 103 N; 1,2 1025 N]
2
IL MOTO DI UNA CARICA IN
UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME
6
Una particella , composta da due protoni e due
neutroni, si muove alla velocità di 1,0 106 m/s
ed entra in un campo magnetico uniforme, per-
B
= 45°
10
Una lamina rettangolare, i cui lati misurano
6,5 cm e 8,4 cm, è immersa in un campo magnetico. Il flusso magnetico attraverso la lamina vale
972
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
v e Sv formano tra di
6,2 105 Wb e i vettori B
loro un angolo di 42°.
4
LA CIRCUITAZIONE
DEL CAMPO MAGNETICO
13
Un filo rettilineo infinitamente lungo è percorso
da una corrente di 5 101 A. Calcola l’intensità
del campo magnetico:
䉴 Calcola l’intensità del campo magnetico.
[1,5 102 T]
11
Una bobina costituita da 25 spire di raggio 4,0 cm
viene immersa in un campo magnetico di intensità 0,5 102 T in modo che la superficie delle
spire sia perpendicolare alla direzione delle linee
del campo. In seguito la bobina viene ruotata di
90°.
䉴 in un punto A distante 1 mm dal filo.
䉴 in un punto B distante 1 cm dal filo.
[1 104 T; 1 105 T]
14
䉴 Calcola la variazione del flusso del campo ma-
gnetico attraverso la bobina.
[6,3 104 Wb]
12
Un solenoide lungo 62,5 cm è percorso da una
corrente di 3,23 A che genera al suo interno un
v . L’area di ognuna delle spire
campo magnetico B
che compongono il solenoide è di 30,0 cm2 e il
flusso del campo magnetico attraverso la superficie trasversale del solenoide stesso è uguale a
9,75 106 Wb.
Un quadrato di lato 5,0 cm racchiude al suo interno tre fili percorsi rispettivamente dalle correnti i1 1,4 A, i2 1,8 A, i3 1,1 A. La corrente
i3 circola in verso opposto a quello delle altre due
correnti, e il campo magnetico che essa genera ha
lo stesso verso con cui è percorso il cammino
quadrato.
䉴 Quanto vale la circuitazione del campo magnetico lungo il quadrato?
[2,6 106 T m]
䉴 Calcola il numero di spire che compongono il
solenoide.
5
LE PROPRIETÀ MAGNETICHE
DEI MATERIALI
15
Un blocco di palladio è immerso in un campo
magnetico uniforme di 890,0 T.
[500]
䉴 Calcola l’intensità del campo magnetico all’interno del palladio.
[890,7 T]
16
PROBLEMA SVOLTO
B
Un cucchiaino d’argento è posto all’interno di un
solenoide che genera un campo magnetico di
0,080 T.
䉴 Determina il verso e il valore del campo magnetico generato dagli atomi d’argento per effetto del
campo magnetico esterno.
Grandezze
B = 0,080 T
BAg = ?
Ag
i
Simboli
Valori
Dati
Campo magnetico esterno
B
0,080 T
Incognite
Campo magnetico della materia
Bm
?
Commenti
Verso e modulo
973
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
Strategia e soluzione
• In base alle formule (13) e (14) possiamo scrivere
v 0 Bv Bv 0 Bv m.
r B
• Dal primo e ultimo passaggio di questa catena di uguaglianze ricaviamo
Bm (r 1) B0 ,
dove è stato eliminato il segno di vettore perché i due campi magnetici hanno certamente la stessa
direzione, mentre il problema chiede il verso e il valore di Bm.
•
Il valore di r per l’argento è riportato nella tabella precedente. Con questo dato e quello sul
valore di B0 troviamo:
Bm (r 1) B0 (0,999981 1) (0,080 T) 1,9 105 (8,0 102 T) 1,5 106 T.
v m ha verso opposto al vettore Bv 0 (come è ovvio per il fatto che l’argento è una
Quindi il vettore B
sostanza diamagnetica) e il suo modulo risulta uguale a 1,5 T.
Discussione
Il valore del campo magnetico totale all’interno della materia, calcolato con il numero corretto di
cifre significative, è
B B0 Bm 8,0 102 T 0,00015 102 T (8,0 0,00015) 102 T 8,0 102 T.
L’effetto magnetico degli atomi di argento non è abbastanza intenso da modificare in modo significativo il valore del campo magnetico all’interno del solenoide.
17
䉴 il modulo del campo magnetico generato dagli
atomi dell’alluminio per effetto del campo magnetico esterno.
䉴 il modulo del campo magnetico totale risultante.
[1,3 106 T; 6,3 102 T]
18
䉴 Calcola la permeabilità magnetica relativa del
nucleo di ferro.
Un nucleo di alluminio è posto all’interno di un
solenoide lungo 40 cm, composto da 2000 spire.
Il solenoide è alimentato con una corrente di
10 A. Calcola:
All’interno di un solenoide, lungo 50 cm, composto da 1000 spire, viene inserito un nucleo di
ferro. Nel solenoide circola una corrente di 5A e
nello spazio si misura un campo magnetico totale
di 1,3 10 T.
[1,0 103]
19
Il campo magnetico all’interno di un solenoide
vuoto vale B0 4,00 105 T. La misura del
campo magnetico viene effettuata nuovamente
dopo aver inserito, in successione e separatamente, due nuclei di materiali diversi. Nel primo
caso si ottiene un valore B1 4,00 102 T e nel
secondo caso un valore B2 che è 0,997 103 volte
minore di B1.
䉴 Calcola la permeabilità magnetica relativa dei
materiali che formano i due nuclei.
䉴 Indica la classificazione magnetica dei due materiali.
[1,00 103; 1,00]
974
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
solenoide che genera un campo magnetico di
0,050 T.
PROBLEMI GENERALI
1
䉴 Determina il verso e il valore del campo magnetico generato dagli atomi di alluminio per effetto del campo magnetico esterno.
Un solenoide formato da 102 spire al cm è percorso da una corrente di 0,15 A. Parallelamente al
suo asse viaggiano degli elettroni alla velocità di
1,0 105 m/s e al ritmo di 0,40 1016 s1.
䉴 Calcola la forza magnetica sugli elettroni.
[1,1 106 T]
6
[0 N]
2
Una particella , dotata di energia cinetica di
5,0 MeV, si muove su un piano perpendicolare alle
linee di un campo magnetico di intensità 1,2 T. La
massa della particella vale 6,7 1027 kg.
Calcola il periodo e il raggio della traiettoria
descritta da un protone.
䉴
䉴 Calcola il raggio della traiettoria descritta dalla
䉴 Determina
come variano il raggio e il periodo
della traiettoria circolare descritta da un protone,
in funzione di K.
particella.
[27 102m]
3
Un solenoide viene costruito avvolgendo un metro di filo conduttore attorno a una sagoma cilindrica, lunga 10 cm e di raggio 1,0 cm. Un secondo
solenoide viene ottenuto avvolgendo due metri
di filo conduttore attorno a una sagoma cilindrica lunga 20 cm e di raggio 2,0 cm.
(Dalla seconda prova di maturità sperimentale,
1983)
[2,19 106 s; 3,05 m; r K ; T indipendente da K]
7
䉴 Di quante volte deve essere maggiore la corrente che circola nel secondo solenoide rispetto a
quella nel primo solenoide perché l’intensità del
campo magnetico in entrambi i solenoidi sia la
stessa?
(Adattato dalla seconda prova di maturità sperimentale, 1992)
[8,1 106 m/s]
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
[2 volte; 0,5 volte]
Il campo magnetico terrestre in prossimità della
tua scuola ha una componente di 4,4 105 T
verso il basso e una componente di 3,2 105 T
orizzontale. Le dimensioni del pavimento e del
soffitto di un’aula della scuola sono 28 m 42 m.
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
Ricava la formula che fornisce il raggio della traiettoria circolare descritta da una carica puntiforme
che entra in un campo magnetico uniforme in
direzione perpendicolare al campo stesso.
2
Definisci la grandezza fisica flusso del campo magnetico e fai un confronto con la grandezza fisica
flusso del campo elettrico.
䉴 Calcola l’intensità del flusso magnetico attraverso il pavimento dell’aula.
[5,2 102 Wb]
5
Un mestolo di alluminio è posto all’interno di un
Un fascio collimato di elettroni monoenergetici
penetra nel vuoto in un campo magnetico uniforme di modulo 2,0 104 T perpendicolarmente
alle linee di campo. La regione in cui agisce il campo si estende per una lunghezza di 20 cm. All’uscita del dispositivo, il fascio risulta deviato di un angolo 60° rispetto alla direzione iniziale.
䉴 Calcola la velocità degli elettroni.
Di quante volte deve essere maggiore la corrente nel secondo solenoide rispetto a quella nel
primo solenoide perché il flusso del campo magnetico attraverso una sezione dei due solenoidi
sia lo stesso?
䉴
4
Un fascio di protoni, ciascuno dei quali possiede
un’energia cinetica K 4,00 105 eV, è proiettato in un campo magnetico uniforme di modulo
3,00 102 T. La direzione del fascio e la direziov sono tra di loro perpendicolari.
ne di B
975
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
3
4
Definisci la grandezza fisica circuitazione del campo magnetico ed enuncia il teorema di Ampère,
specificando il significato di tutti i simboli che
compaiono nella formula che esprime questo teorema.
Illustra prima la forza di Lorentz, poi l’effetto
magnetico delle correnti elettriche.
4
2
Nel Sistema Internazionale delle unità di misura,
quale delle seguenti grandezze fisiche viene misurata in weber (Wb)?
A
Il flusso di induzione magnetica.
B
La forza elettromotrice.
C
La resistività.
D
La potenza.
E
L’intensità del campo magnetico.
D
5,1 × 102 m/s
Una forza compie lavoro solo se ha una componente lungo la direzione del moto della particella.
Nel caso della forza di Lorentz (forza agente su
una particella carica in moto in un campo magnetico), la forza è sempre perpendicolare alla
direzione del moto. Quale delle seguenti grandezze fisiche, riferite ad una particella su cui agisca solo la forza di Lorentz, risulta necessariamente nulla:
A
il lavoro compiuto sulla particella.
B
l’energia cinetica della particella.
C
la velocità della particella.
D
l’accelerazione impressa alla particella.
(Prova di ammissione al Corso di laurea delle Professioni Sanitarie, 2009/2010)
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
In una resistenza da 10 passa una corrente di
10 A. Individuare l’affermazione corretta.
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
A
Ai capi della resistenza c’è una differenza di
potenziale di 10 V.
B
Il campo elettrico è nullo.
C
La resistenza immagazzina un’energia di 200 J.
D
La resistenza dissipa una potenza di 1000 W.
E
La resistenza induce un campo magnetico di
100 T.
1
il modulo e la direzione della forza esercitata
fra i due fili.
䉴 l’intensità del campo magnetico nel punto A
che si trova in mezzo ai due fili.
䉴 la forza che subisce un elettrone che passa nel
punto A con velocità v 105 m/s perpendicolare
al piano dove giacciono i due fili.
Una carica positiva q 3 104 C è sottoposta ad
un campo magnetico di intensità B 5 105 T
perpendicolare alla sua direzione di moto. La forza
di Lorentz cui è soggetta la carica ha un’intensità di
1,6 105 N; qual è la velocità della carica?
A
1,1 × 103 m/s
B
2,1 × 103 m/s
Due fili di lunghezza l 1 m paralleli posti alla
distanza d 2 cm sono percorsi da una corrente
I 3 A. Le due correnti circolano in verso opposto. Calcolare:
䉴
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Scienze
Motorie, 2009/2010)
3
1,1 × 104 m/s
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2008/2009)
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
C
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2009/2010)
2
Un protone si muove su un’orbita circolare di
raggio R 4 cm, in un piano ortogonale ad un
campo magnetico uniforme, con una frequenza
976
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
f 7,6 × 106 Hz. Assumendo la massa del protone mp 1,67 × 1027 kg, calcolare:
2
The sensitivity of a moving coil galvanometer is
increased by placing a suitable magnetic material
as a core inside the coil.
䉴 il valore del campo B.
䉴 l’energia cinetica del protone.
And
䉴 se il campo magnetico uniforme è ottenuto uti-
STATEMENT 2
lizzando un solenoide di 5000 spire di filo distribuite uniformemente su una lunghezza di 25 cm,
determinare la corrente che percorre il solenoide.
Soft iron has a high magnetic permeability and
cannot be easily magnetized or demagnetized.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2009/2010)
3
Un elettrone si muove di moto rettilineo alla velocità di 7,3 107 m/s. Ad un tratto entra in una
zona dove c’è un campo B 10 T e inizia a percorrere una circonferenza. Calcolare il raggio
della circonferenza e la forza che agisce sull’elettrone durante il moto circolare (carica e massa
dell’elettrone sul formulario).
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2005/2006)
STUDY ABROAD
1
A particle of electric charge q moves with speed v
in a uniform magnetic field whose magnitude of
magnetic flux density is B. What is the magnitude
of the force f on the particle? Further, which is the
direction of the force? Choose the correct one with
the proper combination from the following 1-4.
1
f qvB; opposite to the direction of motion
of the particle.
2
f qvB; perpendicular to the direction of
motion of the particle and the direction of the
magnetic field.
1
f=
; perpendicular to the direction of
qvB
motion of the particle and the direction of the
magnetic field.
1
f=
; opposite to the direction of motion
qvB
of the particle.
3
4
STATEMENT 1
A
STATEMENT 1 is true, STATEMENT 2 is
true; STATEMENT 2 is a correct explanation
for STATEMENT 1.
B
STATEMENT 1 is true, STATEMENT 2 is
true; STATEMENT 2 is NOT a correct explanation for STATEMENT 1.
C
STATEMENT 1 is true, STATEMENT 2 is false.
D
STATEMENT 1 is false, STATEMENT 2 is
true.
(Joint Entrance Examination for Indian Institutes
of Technology (JEE), India, 2008/2009)
3
A particle with charge q and mass m moves at
speed v in a uniform magnetic field B at right angle to the direction of the field. The particle moves in a circle. Show that the period T of the particle’s revolution does not depend on v. Show your
work.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
(Examination for Japanese University Admission
for International Students)
977
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE
ELETTROMAGNETICA
CAPITOLO
33
J. Henning Buchholz/Shutterstock
1
LA CORRENTE INDOTTA
Sappiamo che una corrente elettrica genera un campo magnetico. Al contrario, può
un campo magnetico generare una corrente elettrica? Una semplice esperienza mette in luce che questo è possibile.
�Mentre la calamita si muove in su e
in giù, l’amperometro segna il passaggio di una corrente elettrica.
�Invece, se la calamita è ferma, l’amperometro rimane fermo sul valore di
zero.
S
S
N
N
A
A
A
B
La corrente non è creata da una pila o da una batteria, che non sono presenti nel circuito, ma dal movimento della calamita. All’interno della bobina, il campo magnetico della calamita diventa più o meno intenso a seconda che la calamita si avvicini o si
allontani.
Un campo magnetico che varia genera una corrente indotta.
978
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
CAPITOLO
Il fenomeno fisico che produce correnti indotte si chiama induzione elettromagnetica.
Si può fare variare il campo magnetico all’interno di un circuito anche in altri
modi. Per esempio, mettiamo vicino al circuito senza batteria (circuito indotto) un
secondo circuito (circuito induttore), nel quale facciamo variare la corrente diminuendo o aumentando il valore di una resistenza variabile.
• Quando la resistenza è piccola, nel circuito induttore circola una corrente intensa, che genera un forte campo magnetico nella bobina del circuito indotto.
• Quando la resistenza è grande, il campo magnetico nella bobina del circuito indotto è piccolo.
La variazione della corrente nel circuito
induttore genera una corrente indotta nel
circuito senza batteria, perché il campo
magnetico che lo attraversa varia (figura 1).
Invece, se la corrente nel circuito induttore resta uguale, nell’altro circuito
non circola una corrente indotta, perché
il campo magnetico che lo attraversa non
varia.
Quindi, ogni volta che, per qualche ragione, in un circuito varia il campo magnetico esterno, si genera una corrente indotta.
potenziometro
A
circuito
induttore
B
A
circuito
indotto
-
+
prima
dopo
Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica è sfruttato, per esempio, per la realizzazione del contagiri di un’automobile. Un magnete è fissato sull’albero motore
dell’automobile (figura 2), che ruota su sé stesso e quindi allontana e avvicina ripetutamente il magnete alla spira.
Figura 1 Variando la corrente
nel circuito induttore (in blu) anche
l’amperometro inserito nel circuito
indotto (in rosso) segna un passaggio
di corrente.
ANIMAZIONE
Intensità del campo
magnetico indotto
(1 minuto e mezzo)
microprocessore
motore
spira
albero
motore
magnete
Figura 2 Schema di funzionamento
del contagiri di un’automobile.
Nella spira si genera un segnale elettrico che permette al microprocessore di contare il numero di
giri fatti dal motore in un tempo fissato. Conoscendo la marcia innestata e la circonferenza delle ruote, il sistema calcola la velocità dell’automobile. Un
sistema simile è anche montato su molte biciclette,
con il magnete sulla ruota e il sensore fissato sulla
forcella.
979
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
33
ELETTROMAGNETISMO
Il ruolo del flusso del campo magnetico
Gli esperimenti mostrano che la corrente indotta dipende da tre grandezze: la rapidità di variazione del campo magnetico esterno, l’area del circuito indotto e la sua
orientazione. Per esempio, tra i tanti casi possibili, si verifica che la corrente indotta
è più intensa quando:
� muoviamo
con rapidità la calamita, per ottenere un campo magnetico che varia velocemente;
� la bobina ha un maggior numero
di spire, così che l’area del circuito è
più grande;
� cambiamo
rapidamente l’orientazione del circuito rispetto alle linee del campo magnetico.
A
S
S
N
N
N
S
B
A
A
B
A
C
In tutti i casi, si vede che
si ha una corrente indotta quando varia il flusso di campo magnetico
attraverso la superficie che ha per contorno il circuito indotto.
v h di campo magnetico attraverso la superfiCiò che conta, quindi, è il flusso Sv ^ B
v
cie S :
porta
«effficace»
«efficace»
Sv
Figura 3 La «porta efficace» a
disposizione per tirare in porta dipende
dall’angolo di tiro.
^ Bv h = Bv : Sv = BScos ,
v h nel tempo dipende proprio dalle tre grandezze
vediamo che la variazione di Sv ^ B
elencate sopra: rapidità di variazione del campo magnetico, superficie racchiusa dal
circuito, orientazione tra circuito e campo magnetico.
Il flusso di campo magnetico esprime con un numero la «facilità» con cui le linee
del campo magnetico attraversano una superficie. Come in un tiro in porta (figura 3), la facilità è massima quando il tiro è perpendicolare alla porta e diminuisce
sempre più quando l’angolo tra la perpendicolare alla porta e la direzione del tiro
aumenta.
L’interruttore differenziale
Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica permette di realizzare un semplice dispositivo (l’interruttore differenziale, talvolta detto «salvavita») in grado di proteggere dal pericolo di folgorazione quando un apparecchio elettrico ha una perdita di
corrente.
980
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
La figura 4 mostra uno schema semplificato del funzionamento dell’interruttore
differenziale; nello schema la resistenza R rappresenta i vari dispositivi utilizzatori
dell’impianto elettrico all’interno di un’abitazione.
I solenoidi S1 e S2 hanno lo stesso numero di spire, avvolte in versi opposti. Il
solenoide di test ST è collegato a una centralina C che, in caso di necessità, comanda
l’apertura degli interruttori I1 e I2. L’apertura di tali interruttori avviene in qualche
millesimo di secondo e isola l’impianto elettrico domestico.
In condizioni normali i due solenoidi S1 e S2 sono percorsi da correnti uguali; visto che però sono avvolti in versi opposti, il flusso magnetico totale nella zona in cui
si trova il solenoide ST è nullo.
Se, però, in qualche punto della resistenza R si sviluppa un contatto che
determina una dispersione di corrente (figura 5), il campo magnetico
prodotto da S1 rimane inalterato,
ma quello generato da S2 diminuisce.
Così, in questa seconda condizione
il flusso attraverso ST passa dal valore zero a un altro valore non nullo:
così in ST si crea una corrente indotta ed è questo il segnale che aziona la
centralina C, mettendo in sicurezza
l’impianto.
2
R
i1
i2
ciambella
metallica
S2
S1
ST
i1
R
i2
meccanismo
di sgancio
C
I1
i1
I2
interruttori
linea elettrica
i1
Figura 4 Schema semplificato del
salvavita.
i2
is
Figura 5 In caso di folgorazione si
crea una corrente che dall’impianto
elettrico si propaga verso terra
attraversando una persona.
LA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN
Analizziamo ora, in un caso particolare, il meccanismo che porta alla generazione di
una corrente indotta.
Dapprima consideriamo una sbarra metallica che si muove di moto rettilineo
uniforme in un campo magnetico. Per fissare le idee, la sbarra si muove verso destra,
in direzione perpendicolare alla propria lunghezza, mentre le linee di campo magnetico escono dalla pagina.
�La forza di Lorentz agisce sugli elet-
troni di conduzione nella sbarra e li
spinge verso l’alto, mentre in basso si
accumula carica positiva.
ANIMAZIONE
Moto di una sbarra metallica
in un campo magnetico
(2 minuti)
� La separazione delle cariche crea
nella sbarra un campo elettrico che
tende a spostare gli elettroni verso il
basso.
FLorentz
FLorentz
E
v
FE
+ +
A
CAPITOLO
B
981
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
33
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
Se il campo magnetico è uniforme e la sbarra continua a muoversi a velocità costante, tra i suoi estremi si stabilizza una differenza di potenziale dovuta alle cariche positive e negative presenti ai suoi estremi, e la separazione delle cariche si interrompe.
All’equilibrio, la forza elettrica compensa quella magnetica.
i
i
i
v
i
Figura 6 Muovendo la barretta in
un campo magnetico perpendicolare
a essa e al suo moto, nel circuito si
genera una corrente indotta.
La situazione cambia se facciamo
muovere la sbarra a contatto con un
filo conduttore a forma di U, fermo
nel campo magnetico (figura 6). Gli
elettroni che si erano accumulati nella parte alta della sbarra possono ora
muoversi lungo il filo, generando una
corrente elettrica.
Lo spostamento degli elettroni rompe l’equilibrio che si era formato nella
sbarra e il moto delle cariche all’interno di essa è continuo. La sbarra, in moto in un campo magnetico, si comporta
come un generatore di forza elettromotrice.
Durante il funzionamento di questo particolare generatore, il flusso di campo magnetico attraverso il circuito continua a cambiare (per la precisione, a diminuire),
visto che la sbarra continua ad avvicinarsi al lato opposto del circuito e quindi la
superficie attraverso la quale si calcola il flusso diventa sempre più piccola.
L’espressione della legge di Faraday-Neumann
Osservazioni sperimentali
Questa legge è in accordo
con tutti gli esempi di correnti
indotte presentati nel paragrafo
precedente: ogni volta che si
ha una variazione di flusso
magnetico (a causa di una
variazione del campo, della
superficie o dell’angolo che
essi formano) si ha una forza
elettromotrice indotta e, quindi,
una corrente indotta, se il
circuito è chiuso.
ESPERIMENTO VIRTUALE
Forze elettromotrici
indotte
• Gioca
• Misura
• Esercitati
Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica è descritto in modo generale dalla legge
di Faraday-Neumann, che collega la forza elettromotrice fem indotta in un circuito
v ) di campo magnetico attraverso la superficie Sv delialla variazione del flusso ( B
mitata dal circuito.
La legge di Faraday-Neumann, che prende il nome da Michael Faraday e dal fisico tedesco Franz Ernst Neumann (1798-1895), è espressa dall’equazione
variazione del flusso
di campo magnetico (Wb)
fem =forza elettromotrice
indotta (V)
vh
^ B
t
(1)
intervallo di tempo (s)
v ) è la variazione di flusso che avviene nell’intervalNella formula precedente, ( B
lo di tempo t; quindi il secondo membro della formula (1) rappresenta la rapidità
di variazione del flusso di campo magnetico. Il segno «meno» che compare nella (1)
rappresenta la legge di Lenz, a cui è dedicato il prossimo paragrafo.
Conoscendo la resistenza R del circuito indotto possiamo determinare il valore
della corrente indotta, che risulta:
i=
vh
fem
1 ^ B
.
=R
R t
982
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
(2)
33
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
CAPITOLO
ESEMPIO
Nell’intervallo di tempo t 5,2 103 s il flusso di campo magnetico
v ) 7,3 104 Wb.
attraverso una spira varia del valore ( B
f Calcola il valore della forza elettromotrice fem indotta nella spira.
Il valore della forza elettromotrice è fornito dalla formula (1):
v)
- 7,3 # 10 -4 Wb
(B
T : m2
==
=
0,14
t
s
5,2 # 10 -3 s
J
N m2
= 0,14
= 0,14 = 0,14 V.
:
C
A:m s
fem = -
La forza elettromotrice indotta istantanea
La formula (1) fornisce la forza elettromotrice media indotta in un circuito nell’intervallo di tempo t. Per ottenere il valore istantaneo di una grandezza fisica occorre
calcolare il limite di questa grandezza per t che tende a zero.
Dalla legge di Faraday-Neumann si ottiene, in questo caso
fem = lim c t " 0
v)
v)
d (B
(B
m =:
dt
t
(3)
la forza elettromotrice indotta istantanea è uguale alla derivata temporale del
flusso di campo magnetico, cambiata di segno.
Per la corrente istantanea indotta
in un circuito di resistenza R vale
una formula analoga alla (2):
v)
1 d (B
.
R dt
magnete
permanente
Figura 7 Il pick-up di una chitarra
elettrica.
(4)
N S
Il fenomeno dell’induzione
elettromagnetica è alla base del
funzionamento del pick-up
delle chitarre elettriche. Come
è mostrato nella figura 7, esso è
composto da un magnete permanente attorno a cui è avvolta
una bobina.
N
S
porzione
di corda
magnetica
pick-up
all’amplificatore
Le corde della chitarra sono costruite con un materiale adatto, che viene magnetizzato. Così l’oscillazione della corda crea un campo magnetico variabile nella bobina
sottostante che, a sua volta, genera una corrente elettrica che riproduce il movimento della corda. È questo il segnale che viene inviato all’amplificatore e che genera il
caratteristico suono della chitarra elettrica.
Artmim/Shutterstock
i =-
bobina
fonorivelatrice
corda
metallica
della
chitarra
983
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
33
ELETTROMAGNETISMO
Dimostrazione della formula di Faraday-Neumann
Dimostriamo ora la formula (1) nel caso particolare della sbarretta che si muove a
contatto con un filo fermo, sagomato a forma di U. Per questo sistema fisico calcoleremo i due membri della formula (1) e verificheremo che sono uguali.
Ai–Af
I
v
v è perpendicolare al piano del circuito
Calcolo della variazione di flusso. Il campo B
v
v ) BA, dove A è l’area racchiusa
(figura 8), per cui il flusso di B si calcola come ( B
dal circuito.
Se A passa dal valore iniziale Ai a quello finale Af , possiamo scrivere
v t
Figura 8 Il campo magnetico Bv è
perpendicolare alla superficie piana
che ha come contorno il circuito.
v ) f ( Bv ) i( Bv ) BAf BAi B(Af Ai).
( B
Nell’intervallo di tempo t la sbarra, che si muove con velocità costante di modulo
v, percorre una distanza s vt, facendo diminuire l’area da Ai ad Af . Come si vede dalla figura, se indichiamo con l l’altezza del circuito abbiamo
Ai Af lv t.
Sostituendo questa espressione in quella precedente troviamo, allora,
v ) B(Af Ai) B[Af (Af lv t)] Blv t
( B
e siamo infine in grado di calcolare il secondo membro della (1), che risulta
-
v)
(B
- Blv t
== Blv
t
t
(5)
Calcolo della forza elettromotrice. Nel circuito indotto è dissipata energia per effetto Joule. Come sappiamo, la potenza Pd dissipata in questo modo è data dalla
formula
Pd fem i
(6)
dove fem e i sono, rispettivamente, la forza elettromotrice indotta e la corrente indotta.
i
i
i
F
Figura 9 Sulla corrente i presente
nella sbarra agisce una forza
magnetica che si oppone al moto della
sbarra stessa.
v
La sbarra, che si muove verso destra,
è percorsa dalla corrente i rivolta verso il basso. Come è mostrato
nella figura 9, il campo magnetico
esercita su questa corrente una forza
che si oppone al moto della sbarra. Il
modulo di tale forza è
i
F Bil.
Perché la sbarra continui a muoversi con velocità costante, bisogna che sia spinta da
una forza esterna uguale e contraria alla forza magnetica. Il lavoro compiuto da questa forza esterna è quello che fornisce l’energia dissipata per effetto Joule.
In un intervallo di tempo t la forza esterna, che ha la stessa direzione e lo stesso
verso dello spostamento della sbarra, compie un lavoro
984
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
CAPITOLO
W Fs Bilvt,
per cui la potenza Pe erogata dalla forza esterna è
W
Bilv t
(7)
=
= Bilv.
t
t
Imponendo che la potenza dissipata Pd (formula (6)) sia uguale alla potenza fornita
Pe (formula (7)) otteniamo
Pe =
fem i Bilv & fem Blv.
(8)
Come si vede, il valore Blv della forza elettromotrice, dato dalla formula (8), è uguale a
v )/t, dato dalla (5), per cui la dimostrazione è conclusa.
quello della quantità ( B
3
LA LEGGE DI LENZ
ANIMAZIONE
Quando una calamita si avvicina a un circuito (figura 10), il campo magnetico prodotto dalla calamita, nella zona di spazio dove si trova il circuito,
aumenta.
La variazione del flusso magnetico attraverso la superficie delimitata dal circuito produce una corrente indotta che, a sua volta, genera un proprio campo
magnetico. Vi sono quindi due campi magnetici:
v calamita, che
• il campo magnetico della calamita B
crea la variazione di flusso,
vindotto della corrente indotta.
• il campo magnetico B
La legge di Lenz
(2 minuti e mezzo)
S
N
B1 B2
prima
B
calamita
Figura 10 Muovendo la calamita
verso l’alto e verso il basso, il campo
magnetico nella spira cambia
continuamente.
dopo
Qual è il verso della corrente indotta? Tenendo conto che questi due campi si sommano come vettori esaminiamo due possibilità.
�Se la corrente indotta circola in sen-
vindotto è diretto verso il basso orario, B
vcalamita .
so e rinforza l’aumento B
� Se
invece la corrente indotta va in
vindotto è diretto verso
senso antiorario, B
vcalamita .
l’alto e contrasta l’aumento B
N
N
Bindotto
i
Bindotto
i
i
i
Bindotto
Bindotto
Bcalamita
Bcalamita
A
B
Nel primo caso, il campo indotto accentuerebbe l’aumento del flusso totale, il quale,
a sua volta, creerebbe una corrente indotta più intensa e quindi un nuovo campo
magnetico indotto, innescando un processo senza fine. Si otterrebbe così energia
elettrica gratis, in contrasto con il principio di conservazione dell’energia.
Poiché questo non è possibile, la corrente indotta deve circolare in senso antiorario, in modo da contrastare l’aumento del campo della calamita.
985
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
33
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
Quindi il principio di conservazione dell’energia determina il verso della corrente
indotta. Secondo la legge di Lenz,
B
B
i
Bindotto
B
Bindotto
i
B
Figura 11 Figura sopra: il flusso
S(Bv) aumenta. Figura sotto: il flusso
S(Bv) diminuisce. Il campo magnetico
dovuto alla corrente indotta è sempre
tale da opporsi alla variazione di flusso
che la genera.
il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di
flusso che la genera.
Per un circuito che rimane invariato al passare del tempo questa legge, che prende il
nome dal fisico russo Emilij Kristianovič Lenz (1804-1865), (figura 11) dice che
v del campo magnetico esterno
• una corrente indotta, causata da un aumento B
v
vindotto , che ha verso opposto a
B , genera un proprio campo magnetico indotto, B
v;
quello di B
v del campo magnetico esterno
• una corrente indotta, causata da una diminuzione B
v
v.
v
B , genera un proprio campo magnetico indotto, Bindotto , che ha lo stesso verso di B
Dal punto di vista matematico, la legge di Lenz è espressa dal segno meno che compare nelle formule (1), (2), (3) e (4).
Le correnti di Foucault
Una lamina di rame, che è un materiale diamagnetico, non risente in modo apprezzabile della presenza di un campo magnetico. Però, se si tenta di estrarre rapidamente
tale lamina da un campo magnetico piuttosto intenso, si avverte una forte resistenza.
Questo effetto è dovuto al fatto che, quando la lamina di rame è estratta dal campo magnetico, le sue parti che si trovano al bordo del campo subiscono una variazione di flusso magnetico (figura 12).
flusso
diverso
da zero
flusso
uguale
a zero
Figura 12 Estraendo un conduttore
da un campo magnetico si ottiene una
variazione di flusso magnetico che
origina correnti indotte nel conduttore.
IN LABORATORIO
La variazione del flusso di campo magnetico origina delle correnti indotte, che
scorrono nel volume del metallo e hanno un andamento simile a quello di un
vortice.
Correnti di Foucault
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
Esse sono dette correnti parassite o correnti di Foucault, dal nome del fisico francese Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868).
Per la legge di Lenz, le correnti di Foucault sono tali da opporsi alla variazione di
flusso che le ha generate e, proprio per questa ragione, la forza magnetica che agisce
su di esse è rivolta nel verso opposto a quello del moto che si vuole imprimere alla
lamina estraendola dal magnete.
986
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
33
Una verifica del fatto che le correnti parassite sono dovute alla variazione di flusso
magnetico la si ottiene estraendo lentamente la stessa lamina di rame dal campo magnetico: la forza frenante che si avverte è molto minore di quella che si era rilevata in
precedenza, perché ora la variazione del flusso magnetico è meno rapida e, quindi, le
correnti sono più deboli.
Lo stesso accade nel circuito indotto esaminato nel paragrafo precedente: la forza
magnetica che agisce sulla corrente che circola nella sbarra conduttrice si oppone al
moto della sbarra stessa.
Le correnti di Foucault sono alla base del funzionamento dei freni magnetici che
sono presenti in alcuni tipi di treni o nelle attrazioni dei parchi di divertimento, ma
anche del meccanismo di regolazione magnetica della difficoltà di pedalata che è
presente in molte biciclette da camera.
Un altro fenomeno legato alle correnti parassite è il riscaldamento per effetto Joule di parti in metallo, in presenza di campi magnetici variabili. Il problema si pone,
per esempio, nei nuclei metallici presenti nei motori elettrici a corrente alternata o
nei trasformatori.
Questo meccanismo è in grado di dissipare grandi quantità di energia e, per evitarlo, i nuclei stessi non sono costruiti come blocchi compatti, ma assemblando un
grande numero di lamierini o di fili, separati da sottili strati isolanti. In questo modo
la resistenza elettrica del nucleo metallico è elevata e, di conseguenza, le correnti parassite risultano poco intense.
4
CAPITOLO
newphotoservice/Shutterstock
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
L’AUTOINDUZIONE E LA MUTUA INDUZIONE
Per avere l’induzione elettromagnetica non è necessaria la presenza di un campo
magnetico esterno. Infatti:
la variazione della corrente in un circuito elettrico genera una forza
elettromotrice indotta nel circuito stesso.
intensità di corrente
intensità di corrente
Questo fenomeno, che si chiama autoinduzione, accade, per esempio, quando si
chiude l’interruttore di un circuito elettrico. In tal caso:
• la corrente, che prima era nulla, cresce rai
pidamente creando un campo magnetico
sempre più intenso attraverso la superficie
del circuito stesso;
• così il flusso di campo magnetico attraverso il
l’interruttore
circuito aumenta e si genera una corrente inviene chiuso
dotta che, per la legge di Lenz, tende a opporsi alla variazione di flusso che l’ha generata;
O
istante t
• l’effetto complessivo di queste due correnti,
che circolano contemporaneamente in versi
i
opposti, è quello di rallentare la crescita della corrente nel circuito (figura 13).
l’interruttore
Invece, quando si apre il circuito la corrente non
viene aperto
si annulla istantaneamente, ma lo fa con un certo
ritardo: l’apertura del circuito provoca una diminuzione del flusso magnetico e, di conseguenza,
la corrente indotta circola nello stesso verso di
O
quella che era prima presente (figura 14).
istante t
Figura 13 Grafico dell’intensità
di corrente in funzione del tempo alla
chiusura di un circuito elettrico.
Figura 14 Grafico dell’intensità
di corrente in funzione del tempo
all’apertura di un circuito elettrico.
987
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
33
ELETTROMAGNETISMO
L’induttanza di un circuito
Il flusso di campo magnetico che attraversa un circuito è direttamente proporzionale all’intensità di corrente che fluisce nel filo che forma il circuito stesso; ciò è
espresso dalla formula
v ) Li
( B
(9)
La costante di proporzionalità L, che è caratteristica del circuito e del materiale
in cui esso è immerso, è la grandezza fisica che descrive quanto è intenso l’effetto
dell’autoinduzione.
L prende il nome di coefficiente di autoinduzione (o induttanza) del circuito.
Nel Sistema Internazionale L si misura in Wb/A; questa unità di misura prende il
nome di henry (H), dal nome del fisico statunitense Joseph Henry (1797-1878).
Figura 15 Simbolo circuitale
dell’induttanza.
R
+
L
-
Figura 16 Circuito RL con un
generatore di tensione continua.
Funzione esponenziale
La funzione esponenziale
interviene nelle formule (10)
e (11) perché, in un circuito
con resistenza R, la corrente i
è tale che
Conoscendo l’induttanza L, la resistenza R del circuito e la forza elettromotrice fem
del generatore, è possibile scrivere l’espressione della corrente che fluisce nel circuito RL dopo la chiusura dell’interruttore. Essa risulta:
i^ t h =
fem Ri,
che vale insieme alla seconda
delle formule (12): la sola
funzione non nulla che è
uguale alla propria derivata è
l’esponenziale.
Negli schemi elettrici l’induttanza di un circuito o
di un suo elemento è indicata con il simbolo grafico della figura 15. Quindi, per descriverne tutte le
proprietà, un circuito che contiene un generatore,
un resistore e un’induttanza deve essere ridisegnato come nella figura 16.
La grandezza L può rappresentare semplicemente il coefficiente di autoinduzione del circuito,
oppure anche quello di una bobina inserita in serie
nel circuito per amplificare l’effetto dell’autoinduzione. Un circuito elettrico come quello della figura precedente è detto circuito RL.
R
fem ^
1 - e- L th
R
(10)
mentre quella che si ha dopo l’apertura del circuito ha la forma
i^ t h =
fem - R t
e L
R
(11)
Entrambe le formule sono scritte nell’ipotesi di indicare con t 0 s l’istante in cui si
agisce sull’interruttore.
La definizione (9) permette di scrivere la legge di Faraday-Neumann in una forma adatta allo studio dei circuiti elettrici. Infatti, se nell’intervallo di tempo t la
corrente passa dal valore iniziale i1 a quello finale i2 la variazione di flusso nel circuito è
v ) 2 1 Li2 Li1 L(i2 i1) Li
( B
e la forza elettromotrice indotta vale
fem =-
v)
(B
i
=-L
t
t
oppure
988
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
fem =- L
di
dt
(12)
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
ESEMPIO
In un circuito elettrico che ha un’induttanza L 37 H, l’intensità di
corrente varia del valore i 1,3 A durante l’intervallo di tempo t 0,054 s.
f Calcola il valore della forza elettromotrice fem indotta in questo modo nel
circuito.
f Qual è il significato del segno che si è ottenuto nel risultato?
• Per rispondere alla prima domanda ricorriamo alla prima delle formule
(12):
1,3 A
i
Wb A
:
=- ^ 3,7 # 10 -5 H h #
=- 8,9 # 10 -4
=
0,054 s
t
A s
T : m2
N m2
= - 8,9 # 10 -4
=- 8,9 # 10 -4
=- 8,9 # 10 -4 V.
:
s
A:m s
fem = - L
• Il risultato ottenuto ha segno negativo. Ciò significa che la forza
elettromotrice indotta si oppone al fluire della corrente elettrica, che sta
aumentando.
La mutua induzione
Consideriamo ora due circuiti distinti. Un cambiamento della corrente i1 che fluisce
nel primo circuito provoca una variazione del flusso magnetico 1 " 2 relativo al secondo circuito e quindi genera in esso una corrente di intensità i2. Anche in questo
caso il flusso 1 " 2 è direttamente proporzionale all’intensità della corrente che genera il flusso stesso, cioè a i1:
1 " 2 Mi1.
M è una costante caratteristica della forma dei due circuiti, della loro posizione relativa e della sostanza materiale in cui sono immersi.
La costante M si chiama coefficiente di mutua induzione dei due circuiti. Il nome deriva dal fatto che, se si inserisce un generatore nel secondo circuito, il flusso
2 " 1 presente nel primo circuito e dovuto alla corrente i2, che fluisce nel secondo, è
direttamente proporzionale alla corrente stessa, con la stessa costante di proporzionalità che si aveva nel caso precedente:
2 " 1 Mi2.
In modo analogo al caso dell’autoinduzione è possibile ricavare, dalla conoscenza di
M, la forza elettromotrice indotta nei due circuiti.
Per esempio, la forza elettromotrice fem1 " 2 che sorge nel secondo circuito a causa
della variazione di i1 è data dalle formule
f em1 " 2 =- M
i1
t
oppure
f em1 " 2 =- M
di 1
dt
(13)
Nel Sistema Internazionale M si misura in henry (H) perché è dato dal rapporto tra
un flusso di campo magnetico e un’intensità di corrente.
989
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
33
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
5
APPROFONDIMENTO
L’ALTERNATORE
La tensione elettrica che usiamo nelle nostre case è generata nelle centrali elettriche
dagli alternatori, che sono un’applicazione della legge sperimentale dell’induzione
elettromagnetica.
Il risparmio energetico
(4 pagine)
Un alternatore è un dispositivo che trasforma energia cinetica in energia
elettrica.
Infatti, l’alternatore contiene delle parti che devono continuare a muoversi, altrimenti esso smette di produrre forza elettromotrice.
� L’alternatore
di un’automobile,
che alimenta la batteria, è mantenuto in movimento dal motore.
A
B
Forza elettromotrice più
intensa
La forza elettromotrice indotta
aumenta anche se il campo
magnetico è più intenso, se
l’area della spira è maggiore o
se l’avvolgimento contiene non
una ma più spire.
� La
dinamo di una bicicletta, che
fa accendere le luci, è mantenuta in
movimento dal moto della ruota.
estike/Shutterstock
una centrale elettrica l’alternatore è mantenuto in movimento
dalla rotazione di una turbina.
Bagiuiani/Shutterstock
REDAV/Shutterstock
� In
C
In linea di principio un alternatore è costituito da una spira che viene fatta ruotare
con velocità angolare costante all’interno di un campo magnetico (figura 17). La div fa sì che il flusso maversa orientazione della spira rispetto alle linee del campo B
gnetico vari continuamente, generando così una corrente indotta.
Per la legge di Faraday-Neumann, più rapidamente muoviamo la spira, maggiore
è la forza elettromotrice e, a parità di resistenza elettrica, maggiore è anche la corrente indotta nella spira.
N
S
Figura 17 Schema costruttivo
semplificato di un alternatore.
990
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
CAPITOLO
Seguendo il movimento della spira, vista in sezione nella figura 18, il flusso:
1. all’inizio è massimo,
2. è uguale a zero a 90°,
3. diventa minimo a 180°, dove il flusso è negativo,
4. si annulla di nuovo a 270°,
5. torna massimo a 360° nella posizione di partenza.
L’alternatore genera una tensione alternata, che cambia continuamente valore, ma
si ripete sempre uguale dopo un periodo T, che è il tempo impiegato dalla spira a fare
un giro completo.
Questa tensione alternata provoca una corrente alternata che scorre con intensità
variabile, per metà periodo in un senso e per l’altra metà periodo nel senso opposto.
1
B
0° faccia +
2
90
0°
3 180°
4 270°
360°
6
S
flusso magnetico
Figura 18 Posizioni successive
della spira dell’alternatore nel
campo magnetico. Al di sotto, in
corrispondenza, grafici del valore
del flusso magnetico e della forza
elettromotrice indotta.
forza elettromotrice indotta
Si dimostra che, se si fa ruotare la spira con un movimento regolare di frequenza f,
nel circuito si genera una forza elettromotrice variabile data dalla formula
fem(t) f0 sen(2 ft)
(14)
In un circuito che contiene una resistenza R tale forza elettromotrice genera una corrente
variabile nel tempo, direttamente proporzionale alla forza elettromotrice, di equazione
i(t) i0 sen(2 ft)
(15)
dove si è posto
i0 =
f0
.
R
La formula (15) è rappresentata dal grafico della
figura 19. Esso descrive, come si è detto, una corrente alternata che varia periodicamente, passando dal valore massimo i0 al valore minimo
i0. Allo stesso modo, la formula (14) rappresenta una forza elettromotrice alternata.
Per esempio, la corrente alternata che fluisce
intensità di corrente i (A)
I valori i0 e f0 sono detti «ampiezza», rispettivamente, della corrente e della forza
elettromotrice.
i0
T
Figura 19 L’intensità della corrente
alternata varia periodicamente tra i
valori i0 e −i0.
–i0
istante t (s)
991
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
33
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
nei fili dei nostri impianti domestici ha una frequenza di 50 Hz, cioè un periodo di
0,020 s. Negli Stati Uniti la frequenza è invece 60 Hz.
In un circuito ohmico attraversato da corrente alternata la potenza istantanea
P(t) R[i(t)]2
Figura 20 Il valore medio della
potenza istantanea erogata da una
corrente alternata vale la metà del
valore massimo Ri 20 .
varia continuamente, passando dal valore minimo nullo al valore massimo Ri 20
(linea rossa nella figura 20). Si può dimostrare (e si vede anche a occhio) che il suo
valore medio P è
potenza istantanea P (W)
Il valore efficace della forza elettromotrice e della corrente
Ri20
1 2
Ri
2 0
0
istante t (s)
1
P = Ri 20 .
2
(16)
La stessa potenza è anche fornita da una corrente continua di intensità ieff, con
i eff =
i0
2
(17)
Infatti, la potenza erogata da tale corrente continua è
P = Ri 2eff = R c
APPROFONDIMENTO
i0 2 1 2
m = Ri 0 = P .
2
2
Questa potenza media è rappresentata dalla linea blu della figura precedente.
La quantità ieff data dalla formula (17) è detta valore efficace della corrente:
Il circuito capacitivo in
corrente alternata
il valore efficace della corrente alternata rappresenta l’intensità di una
corrente continua che eroga la stessa potenza fornita dalla corrente
alternata.
In analogia, si definisce il valore efficace della forza elettromotrice feff attraverso la
relazione
feff =
f0
2
(18)
Grazie a tale definizione la potenza media può anche essere scritta nella forma
P ieff feff .
(19)
In ambito tecnico e professionale i valori efficaci della corrente e della forza elettromotrice sono molto più usati delle corrispondenti ampiezze.
Per esempio, quando si dice che negli impianti elettrici domestici la forza elettromotrice è di 220 V si intende dire che feff 220 V. Quindi, come è mostrato
992
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
CAPITOLO
310 V
220 V
0
tensione
V (V)
nella figura 21, a circuito aperto la tensione alternata oscilla tra il valore massimo
f0 2 feff 310 V e il valore minimo 310 V.
0,02
istante t (s)
–310 V
Figura 21 A circuito aperto,
la tensione tra i poli di una presa
domestica (di valore efficace 220 V)
varia tra 310 V e −310 V.
1
_ s
periodo T = 50
La corrente trifase
Gli alternatori installati nelle centrali elettriche sono costituiti da un rotore, simile a una
ruota a cui sono fissati gli elettromagneti, e da uno statore, che consiste in tre bobine fisse
nelle quali sono prodotte le correnti indotte (figura 22).
In questo modo si ottengono, in uscita dall’alternatore, tre tensioni indipendenti,
con la stessa ampiezza e la stessa frequenza e che sono progettate in modo da essere
sfasate di un terzo di periodo. L’insieme delle tre correnti si chiama corrente trifase,
mentre ciascuna di esse prende il nome di fase.
S
N
N
N
N
N
S
N
S
N
S
S
S
S
N
S
�Visto che sono sfasate di un terzo di
periodo, in ogni istante la somma delle
tre forze elettromotrici della corrente
trifase è uguale a zero.
� Se
esse alimentano utilizzatori (lampadine, lavatrici, televisori) con caratteristiche uguali, la somma delle tre correnti è nulla e non serve un filo di ritorno.
Figura 22 Schema costruttivo di un
alternatore trifase.
utilizzatori
tensione ΔV (V)
0
neutro
1
T
3
1
T
3
1
T
3
periodo
istante t (s)
A
B
Nello schema circuitale precedente gli utilizzatori sono rappresentati come
resistenze e il generatore come bobine.
Per alimentare tre utenze servono sei fili elettrici (due per ognuna di esse); con
il sistema della corrente trifase, in linea di principio ne bastano tre.
In pratica, se il sistema è progettato bene, la somma delle tre correnti che circolano nelle
tre fasi, anche se non è nulla, è comunque piccola. Quindi serve un quarto filo, indicato
come neutro nello schema precedente, ma per esso basta un conduttore piuttosto sottile.
In questo modo si ha un risparmio di materiale che, su lunghe distanze, può essere anche molto consistente.
993
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
33
CAPITOLO
ELETTROMAGNETISMO
6
nucleo di ferro
f1eff n
1
circuito
primario
I trasformatori servono per innalzare e abbassare la tensione dalla rete di distribuzione dell’energia elettrica. Sono anche utilizzati negli alimentatori di dispositivi
elettronici, per esempio i telefoni cellulari, che si ricaricano con una tensione molto
minore dei 220 V della rete elettrica.
f2eff
n2
IL TRASFORMATORE
Il trasformatore è un dispositivo capace di modificare il valore della tensione
e della corrente alternata.
circuito
secondario
È composto da un nucleo di ferro, attorno a cui sono avvolte due bobine (figura 23).
• Il circuito primario genera un campo magnetico che varia con la corrente alternata.
• Di conseguenza, nel circuito secondario si genera una corrente indotta.
Il nucleo di ferro aumenta l’intensità del campo magnetico generato dal circuito
primario e fa sì che, in pratica, tutte le linee di questo campo magnetico siano concatenate al circuito secondario.
Il circuito primario è formato da n1 spire, mentre quello secondario è formato
da n2 spire. Se indichiamo con f1eff il valore efficace della tensione in ingresso nel
trasformatore e con f2eff il valore efficace di quella in uscita, dalla legge di FaradayNeumann si dimostra la seguente relazione:
Figura 23 Struttura di un
trasformatore.
Il ﬂusso di B
tensione efficace
in uscita (V)
Il flusso di B prodotto da
ciascuna delle n1 spire del
primario è proporzionale a
f1eff n1. Lo stesso vale per
ciascuna delle n2 spire del
secondario che, essendo in
serie, producono una forza
elettromagnetica pari a
n2 (f1eff n1).
f2eff = f1eff
tensione efficace
in ingresso (V)
n2
n1
numero di spire
del secondario
(20)
numero di spire del primario
Quindi, costruendo il trasformatore con un numero opportuno di spire nei due circuiti, è possibile modificare il valore della tensione alternata nel modo che si desidera. Il numero
n2
n1
si chiama rapporto di trasformazione.
I trasformatori possono avere caratteristiche e dimensioni molto diverse tra loro.
�Un piccolo trasformatore di uso do-
�Nelle cabine elettriche cittadine, trasformatori molto più grandi abbassano
la tensione alternata da 132 kV a 15 kV.
emel82/Shutterstock
Khotenko Volodymyr/Shutterstock
mestico abbassa la normale tensione
di 220 V fino a valori di pochi volt.
A
B
994
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
L’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
33
CAPITOLO
ESEMPIO
Un trasformatore a cui è applicata una forza elettromotrice alternata
efficace f1eff 220 V ha un circuito primario con n1 403 spire e un circuito
secondario con n2 22 spire.
f Determina il valore efficace f2eff della forza elettromotrice in uscita dal
trasformatore.
Per determinare il valore di f2eff possiamo fare ricorso alla formula (20):
f2eff = f1eff
n2
22
= ^ 220 V h #
= 12,0 V .
403
n1
La trasformazione delle correnti
Indichiamo con i1eff e i2eff, rispettivamente, i valori efficaci delle correnti alternate
in ingresso nel trasformatore e in uscita da esso. Per il principio di conservazione
dell’energia in assenza di dispersione, la potenza i1eff f1eff che entra nel primario si
ritrova tutta all’uscita, cioè ai capi del secondario che eroga la potenza i2eff f2eff . Uguagliando le due espressioni si ricava che:
i valori efficaci delle correnti sono inversamente proporzionali a quelli delle
tensioni:
i 2eff
f1eff
.
=
i 1eff
f2eff
Trasformatore ideale
La formula (21) vale nel caso
ideale di un trasformatore
che ha un rendimento del
100%, cioè non disperde
energia sotto altre forme. In
effetti, il rendimento di un
trasformatore di buona qualità
può raggiungere il 99,5%.
(21)
Così, mantenendo costanti le caratteristiche della tensione e della corrente in ingresso nel trasformatore, passando a tensioni piccole si generano correnti di grande intensità, mentre se in uscita si vogliono alte tensioni si ottengono correnti di intensità
piccola.
Ciò è importante nella distribuzione a lunghe distanze dell’energia elettrica. Infatti, se la resistenza della linea elettrica è R, la potenza media dissipata per effetto
Joule lungo di essa è
P = Ri 2eff .
Per limitare la dissipazione occorre quindi avere:
• linee elettriche che abbiano un valore di R relativamente basso; ciò può essere
ottenuto utilizzando materiali con una resistività piccola e costruendo cavi con
una sezione grande (che, però, non può crescere oltre a una certa misura, perché
le linee diventerebbero troppo pesanti e costose);
• correnti con un valore efficace ridotto; ciò è ottenuto trasportando la corrente ad
alta tensione (tipicamente 220 kV e 380 kV).
Una volta giunta in prossimità del luogo di utilizzazione, il valore della forza elettromotrice viene abbassato per motivi di sicurezza e di praticità. Si tratta di un processo
complesso, che avviene per stadi successivi ed è schematizzato nella figura 24.
995
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
33
ELETTROMAGNETISMO
convertitore
centrale
elettrica
alternatore
10 kV
linea
ad alta
tensione
220/380 kV
stazione primaria
di trasformazione
tensione
continua
per tram
e ferrovie
cabina
industria
pesante
cabina
industria
leggera
rete
primaria
132/20 kV
trasformatore
elevatore
cabina di
trasformazione
rete
secondaria
15/3 kV
cabina di
trasformazione
Figura 24 Schema delle
trasformazioni di tensione efficace
dalla produzione di forza elettromotrice
alternata al suo utilizzo.
220/380 V altre
utenze
Elettricità senza fili
Nel giugno del 2007 un gruppo di scienziati del Massachusetts Institute of Technology (MIT) ha annunciato di essere riuscito a trasmettere a più di due metri di distanza, senza usare cavi di collegamento, abbastanza energia elettrica da accendere
una lampadina da 60 W.
Il metodo di trasmissione sfrutta lo stesso fenomeno dell’induzione elettromagnetica che avviene in un trasformatore, nel quale l’energia del circuito primario viene
quasi tutta assorbita dal secondario. In questo caso, però le bobine, invece di essere
avvolte intorno allo stesso nucleo di ferro sono lontane e, senza accorgimenti particolari, soltanto una parte molto piccola dell’energia erogata dal primario sarebbe
assorbita dal secondario.
Invece gli scienziati del MIT, sagomando opportunamente le bobine, hanno usato un fenomeno di risonanza, simile a quello a cui è soggetto un diapason percosso,
che mette in movimento un secondo diapason anche lontano accordato sulla stessa
nota, ma non altri diapason che emettono note diverse. In questo modo si è ottenuto
un rendimento del 45%, che è probabilmente migliorabile in futuro.
Si può quindi pensare, in un futuro non lontano, di ricaricare il cellulare o il computer portatile senza connetterli alla presa elettrica con un cavo e, allo stesso modo,
di fare funzionare dispositivi elettrici ed elettronici non collegati ad alcuna presa.
996
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA AL CINEMA - CIAK, SI SBAGLIA
ELEMENTI MAGNETICI
INDIANA JONES E IL REGNO DEL TESCHIO DI CRISTALLO
Nazione:
Stati Uniti
Anno:
2008
Durata:
117’
Regia:
Steven Spielberg
Interpreti:
Harrison Ford, Cate Blanchett, Shia LaBeouf
Sito web:
www.indianajones.com
TRAMA DEL FILM L’archeologo e avventuriero Indiana Jones si trova a fronteggiare un commando di soldati sovietici guidati da Irina
Spalko. Catturato allo scopo di aiutarli a recuperare una cassa dal
contenuto misterioso in un hangar militare nel deserto del Nevada,
riesce a fuggire e a ritornare alla sua università. Qui riceve un messaggio di soccorso da parte di una sua vecchia fidanzata. Si mette allora alla ricerca della donna seguendo una pista che lo porta in Perù,
sulle tracce della città mitica di El Dorado e del suo tesoro, il Teschio
di Cristallo. Qui dovrà affrontare nuovamente Irina Spalko e i servizi
segreti sovietici.
ELEMENTI MAGNETICI
Minuto: 00:07:45 - 00:12:00
In questa scena, Indiana Jones è costretto da Irina ad
aiutare i soldati sovietici a recuperare una cassa che
contiene un oggetto alieno “altamente magnetizzato”.
Per individuarla all’interno di un enorme magazzino,
lancia in aria della polvere da sparo dicendo che “il
metallo contenuto nella polvere segnerà la via” a causa della forza di attrazione magnetica. Vediamo una
nuvoletta di polvere rimanere a mezz’aria e poi velocemente dirigersi verso un punto preciso. Avvicinatosi
alla zona raggiunta dalla polvere da sparo, l’archeologo chiede delle cartucce di proiettili contenenti pallini
di piombo e li lancia sopra un cumulo di casse; questi
vengono attratti da una particolare cassa, permettendo
così di individuare l’oggetto magnetico.
GIUSTO O SBAGLIATO?
È possibile che un campo magnetico sia in grado
di esercitare una forza di attrazione su oggetti quali
polvere da sparo e pallini di piombo?
Normalmente la polvere da sparo è un composto
esplosivo di carbone, zolfo e salnitro e non contiene alcun metallo. Poiché nessuna di queste sostanze ha proprietà magnetiche, risulta che complessivamente la polvere da sparo non dovrebbe essere
�
né attratta né respinta da un campo magnetico.
I pallini contenuti nelle cartucce dei proiettili
sono normalmente di piombo, un metallo diamagnetico, cioè che viene debolmente respinto da un
campo magnetico esterno. In nessuno dei due casi,
quindi, Indiana Jones sarebbe riuscito a individuare la cassa fortemente magnetizzata.
CACCIA ALL’ERRORE
� Ora prova tu a risolvere questa caccia all’errore
scientifico:
Minuto: 00:15:40
Indiana Jones sta cercando di fuggire dall’hangar ma
è inseguito da un militare sovietico. Durante una colluttazione, i due si ritrovano sopra un carrello dotato di
razzi posteriori per la propulsione. Non se ne accorge
finchè i razzi si accendono e i freni si sbloccano. Allora
il carrello parte a tutta velocità e i due, rimasti a bordo,
vengono spinti contro lo schienale dell’alloggiamento
dall’accelerazione del mezzo. Dopo una folle corsa
lungo i binari fuori dall’hangar, il carrello viene rapidamente frenato da una pozza piena d’acqua situata alla
fine dei binari. Indiana Jones e il suo rivale giacciono
esausti appoggiati allo schienale.
� È possibile che durante la brusca frenata i corpi dei
due uomini rimangano nella stessa posizione? Perché?
997
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
CAPITOLO
5
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
I CONCETTI E LE LEGGI
LA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN
Un campo magnetico che varia genera in un circuito una corrente indotta, che dipende da tre grandezze: la rapidità di
variazione del campo magnetico esterno, l’area del circuito indotto e la sua orientazione. Si ha corrente indotta quando varia il flusso di campo magnetico attraverso la superficie che ha per contorno il circuito indotto.
Legge di Faraday-Neumann
fem DU (Bv )
;
Dt
fem dU (Bv )
dt
forza elettromotrice media =
variazione del flusso del campo magnetico
intervallo di tempo
forza elettromotrice istantanea = derivata del flusso del campo magnetico rispetto al tempo
A
• La forza elettromotrice indotta media è direttamente proporzionale alla rapidità con cui varia il
flusso di campo magnetico; la forza elettromotrice indotta istantanea è uguale alla derivata temporale del flusso di campo magnetico, cambiata di segno.
• Nel caso di circuito in moto, la corrente indotta è interpretata come l’effetto della forza di Lorentz che agisce sugli elettroni di conduzione nel circuito.
Legge di Lenz
• Il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che la genera.
• La legge di Lenz è espressa, dal punto di vista matematico, dal segno «meno» che compare nella legge di Faraday-Neumann.
• La legge di Lenz afferma la validità del principio di conservazione dell’energia: se il campo indotto, per esempio, accentuasse un aumento di flusso totale, questo creerebbe una corrente indotta più intensa e quindi un nuovo campo magnetico indotto, innescando un processo senza fine.
Induttanza o coefﬁciente di autoinduzione
(Bv ) Li
R
flusso del campo magnetico induttanza corrente elettrica
• L’induttanza L è la costante di proporzionalità tra il flusso del campo magnetico attraverso il circuito e la
1 Wb
.
• corrente che fluisce nel circuito stesso. Si misura in henry (H): 1 H 1A
• L è caratteristica del circuito e del materiale in cui è immerso.
+
-
Legge di Faraday-Neumann per l’autoinduzione
variazione della corrente elettrica
Di
forza elettromotrice media =- (induttanza) :
intervallo di tempo
Dt
di
forza elettromotrice istantanea =- (induttanza) # (derivata della corrente elettrica rispetto al tempo)
fem L
dt
• Per avere induzione elettromagnetica non è necessario un campo magnetico esterno: l’autoinduzione è la produzione di
una forza elettromotrice indotta a causa della variazione di corrente che si ha nel circuito stesso.
fem L
Corrente del circuito RL
Un circuito RL è costituito da un generatore di tensione collegato in serie a una resistenza e a un’induttanza.
i
O
l'interruttore
viene chiuso
istante t
intensità di corrente
i
intensità di corrente
Chiusura
fem ^ - R t h
= 1e L
i (t) R
• La corrente prima aumenta rapidamente, poi
tende a raggiungere il valore di equilibrio.
1 Wb
• L’induttanza si misura in henry:1 H 1A
l'interruttore
viene aperto
O
istante t
998
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Apertura
fem - R t
i(t) e L
R
• La corrente continua a
scorrere per un certo
tempo dopo l’apertura
del circuito.
MAPPA INTERATTIVA
I CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
La tensione elettrica degli impianti domestici è generata nelle centrali elettriche dagli alternatori, dispositivi che trasformano energia cinetica in energia elettrica e che sono un’applicazione della legge sperimentale dell’induzione elettromagnetica.
Forza elettromotrice alternata
fem (t) f0 sen(t)
forza elettromotrice alternata (ampiezza della forza elettromotrice)sen(velocità angolare spiratempo)
• La tensione alternata è prodotta dall’alternatore, in cui una spira rettangolare ruota all’interno di un campo magnetico:
la variazione del flusso di campo magnetico genera nella spira una corrente indotta.
• è la velocità angolare costante della spira attorno al suo asse; f0 è detto ampiezza della forza elettromotrice.
• La tensione alternata cambia continuamente valore, ma si ripete uguale dopo un periodo T, impiegato dalla spira a fare
un giro completo.
Trasformatore
i (t) i0 sen(t)
corrente alternata (ampiezza della
corrente)sen(velocità angolare spira tempo)
• Scorre con intensità variabile.
• Il verso cambia ogni metà periodo.
intensità di corrente i (A)
Corrente alternata
T
i0
–i0
istante t (s)
Valore efficace della corrente alternata
i0
valore massimo della corrente
corrente efficace ieff 2
2
• Rappresenta l’intensità di una corrente continua che eroga la stessa potenza
fornita dalla corrente alternata.
Valore efficace della forza elettromotrice alternata
f0
feff 2
ampiezza della forza elettromotrice
forza elettromotrice efficace 2
Dispositivo capace di modificare il
valore della tensione e della corrente alternata.
Tensioni e correnti efficaci per il
trasformatore
i 2eff
f 1eff
n2
f2eff f1eff n ;
1
f 2eff
i 1eff
• Le tensioni efficaci in ingresso
f1eff e in uscita f2eff sono direttamente proporzionali al numero di spire delle due bobine.
• Il quoziente n2/n1 si chiama rapporto di trasformazione.
• Permette di scrivere la potenza media dissipata come P ieff feff.
• Dire che la tensione domestica è 220 V significa in realtà che feff 220 V.
nucleo di ferro
f1eff n
1
f2eff
circuito
primario
circuito
secondario
999
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
scita della corrente totale?
Perché, mentre la calamita ruota, si accende la
lampadina?
10
La somma delle tre forze elettromotrici di un sistema trifase è nulla poiché sono sfasate di un terzo di
periodo l’una dall’altra. Le tre tensioni hanno la
stessa ampiezza e la stessa frequenza. Immagina
che ciascuna delle tensioni sia rappresentata da un
vettore. Come devono essere disposti i tre vettori
perché la loro somma sia il vettore nullo?
11
Su quale legge fisica è basato il funzionamento
dell’alternatore?
12
Il rapporto tra correnti e forze elettromotrici
i 2, eff
f1, eff
=
è pensato su un rendimento ideale del
i 1, eff
f2, eff
trasformatore. Se un trasformatore reale dovesse
avere un rendimento dell’80% di quello ideale, come si trasformerebbe la relazione precedente?
13
Un trasformatore potrebbe funzionare alimentato con una corrente continua pulsante?
14
Esprimi la relazione che esiste tra le correnti che
circolano nei due circuiti di un trasformatore e il
rapporto di trasformazione.
calamita
lampadina
bobina
2
Una spira formata da un filo conduttore flessibile
è posta in un campo magnetico. Descrivi tre modi per indurre nella spira una corrente elettrica.
3
La corrente indotta che si registra in un circuito
quando varia il campo magnetico esterno è costante nel tempo?
4
Una calamita si trova al centro di una spira circolare. Se si fa ruotare la calamita intorno al proprio
asse, si instaura una forza elettromotrice indotta?
5
Come si può far variare il flusso concatenato con
una superficie?
6
Un magnete rettangolare cade a terra, dove si trova un grosso anello di materiale conduttore. Il
magnete, cadendo sull’anello, si muove con l’accelerazione di un corpo in caduta? (Trascura la
resistenza dell’aria.)
7
PROBLEMI
1
LA CORRENTE INDOTTA
1
Una spira circolare ha un’area di 12,6 cm2 ed è
immersa in un campo magnetico di 0,0060 T le
cui linee di campo sono perpendicolari alla superficie della spira.
Una lamina di rame viene estratta da un intenso
campo magnetico. La resistenza che essa oppone
allo spostamento è maggiore quando la si estrae
lentamente o quando la si estrae rapidamente?
8
Quale relazione esiste tra il flusso del campo magnetico che attraversa un circuito e l’intensità di
corrente che scorre nel filo?
9
Quando chiudi l’interruttore di un circuito, per
effetto dell’autoinduzione, cosa succede alla cre-
䉴 Calcola il flusso del campo magnetico attraver-
so la spira.
[7,6 106 Wb]
2
La spira dell’esercizio precedente compie una rotazione di 30° rispetto alla posizione precedente.
䉴 Calcola il nuovo valore del flusso del campo
magnetico.
1000
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[6,5106 Wb ]
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
3
Un circuito quadrato di lato 10 cm è immerso in
un campo magnetico. La linee del campo formano un angolo di 45° con il piano della spira. In
questa posizione il flusso di campo attraverso la
superficie è di 7,5 103 Wb.
2
LA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN
5
The flux of the electromagnetic field through
a circuit of resistance 37 rises from 3.1 Wb to
10.5 Wb in 20 s.
䉴 Calcola il campo magnetico che genera il flusso.
䉴 Calculate the electromotive force (emf) and
the current through the circuit during this time
lapse.
[1,1 T]
4
L’area di ognuna delle spire che formano una bobina è pari a 2,0 cm2. La bobina è percorsa da una
corrente che genera al suo interno un campo magnetico di 0,25 T. Il flusso del campo attraverso la
bobina è di 1,0 Wb.
[0.37 V; 0.010 A]
Una spira circolare di raggio 2,5 cm è immersa in
un campo magnetico di modulo 0,15 T. All’inizio
è posta perpendicolarmente alle linee di campo.
Successivamente subisce una rotazione di 30°.
La rotazione avviene in 10 s.
6
䉴 Calcola il numero di spire della bobina.
[2,0 104]
䉴 Calcola la variazione del flusso del campo ma-
gnetico.
䉴 Calcola la forza elettromotrice indotta.
[23,9 105 Wb; 3,9 106 V]
7
PROBLEMA SVOLTO
Una bobina è composta da 20 spire, ognuna con un’area
di 4,0 cm2, ed è collegata a un circuito che contiene una
lampadina da torcia elettrica, ma nessun generatore.
Avvicinando e allontanando una calamita, il campo
magnetico medio sulla superficie della bobina passa
dal valore zero al valore di 9,4 mT. Un ragazzo sposta la
calamita vicino e poi lontano dalla bobina due volte al
secondo.
S
n = 20 spire
A1 = 4,0 cm2
Bf = 9,4 mT
t = 0,5 s
N
䉴 Qual
è il modulo della forza elettromotrice media indotta nel circuito da tale variazione di flusso?
Grandezze
Dati
Incognite
fem = ?
Simboli
Valori
Numero di spire
n
20
Area di una spira
A1
4,0 cm2
Campo magnetico iniziale
Bi
0T
Campo magnetico finale
Bf
9,4 mT
Intervallo di tempo
t
0,50 s
Forza elettromotrice indotta media
fem
?
Commenti
Per la variazione del
campo magnetico
1001
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
Strategia e soluzione
• L’area di una spira della bobina è A1 4,0 104 m2; essendo composta da n 20 spire, essa è
equivalente a un’unica spira di area
A nA1 20 4,0 104 m2 8,0 103 m2.
• Il valore iniziale del campo magnetico è Bi 0 T e quello finale è Bf 9,4 103 T, per cui la
variazione del flusso magnetico è
v ) f i ABf ABi ( B
8,0 103 m2 (9,4 103 T 0 T) 7,5 105 Wb.
• Visto che la calamita è mossa avanti e indietro due volte al secondo, questa variazione di flusso
avviene nell’intervallo di tempo t 0,50 s.
• Ora sostituiamo i valori numerici trovati nella legge di Faraday-Neumann (scritta senza il segno
meno perché il problema chiede il modulo della fem) e otteniamo:
fem =
7,5 # 10 -5 Wb
Wb
=
= 1,5 # 10 -4
= 1,5 # 10 -4 V.
0,50 s
t
s
Discussione
Nel circuito c’è una lampadina da torcia elettrica, che non si illumina con una forza elettromotrice
indotta di 0,15 mV. Per ottenere una fem adeguata, per esempio 1,5 V, dobbiamo aumentare la forza elettromotrice indotta di 10 000 volte.
Potremmo ottenere questo effetto diminuendo della stessa misura il valore che sta al denominatore della formula di Faraday-Neumann. Ma questo significa avvicinare e allontanare la calamita
20 000 volte al secondo.
La forza elettromotrice indotta è quindi troppo bassa per accendere la lampadina. In pratica
occorre utilizzare dispositivi più adatti allo scopo, come la dinamo o l’alternatore, in cui i campi
magnetici sono più elevati e il numero di spire è più grande.
8
Una bobina è composta da 35 spire, di raggio
2,0 cm, ed è collegata a un circuito che non contiene un generatore. Avvicinando e allontanando
una calamita, il campo magnetico medio sulla
superficie della bobina varia di 5,8 mT. La calamita viene spostata vicino e poi lontano dalla bobina quattro volte al secondo.
Calcola il modulo della forza elettromotrice
media indotta nel circuito da tale variazione di
flusso.
䉴
[1,0 103 V]
9
S
Considera una bobina posta nelle stesse condizioni sperimentali dell’esercizio precedente,
composta da un numero diverso di spire di uguale area, e in grado di produrre una forza elettromotrice di 0,45 V.
䉴 Da quante spire è formata?
[1,6 104]
N
10
Una sbarra conduttrice chiude un circuito a forma di U, immerso in un campo magnetico di intensità 0,4 T diretto perpendicolarmente alla superficie del circuito, come nella figura. La sbarra
1002
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
viene spostata verso destra, a partire dalla posizione AD, alla velocità di 3,0 cm/s. AB misura
2,0 101 m e il lato BC misura 1,0 101 m. La
sbarra si muove per un intervallo di tempo di 3,0
s. Il circuito ha una resistenza di 5,0 V.
䉴 Calcola il valore della forza elettromotrice indotta.
䉴 Disegna direzione e verso del campo magnetico indotto.
䉴 Indica il verso della corrente indotta nella spira
dalla variazione di flusso.
䉴 Calcola la variazione di flusso nell’intervallo di
tempo dato.
t1
Calcola l’intensità di corrente che circola nel
circuito a causa dello spostamento della sbarra.
䉴
t2
[3,6 103 Wb; 2,4 104A
B
D
C
B1
B2
v
[5,6 104 V]
A
B
3
LA LEGGE DI LENZ
11
Il valore del campo magnetico nella figura aumenta nel tempo.
il verso del campo magnetico indotto e
quello della corrente indotta.
4
L’AUTOINDUZIONE
E LA MUTUA INDUZIONE
13
Un circuito in cui il flusso di un campo magnetico vale 8,0 105 Wb è percorso da una corrente
di intensità 8,0 101 A.
䉴 Quanto vale l’induttanza del circuito?
[1,0 104 H]
䉴 Indica
14
䉴 Cambia qualcosa se il campo esterno diminui-
sce nel tempo?
Un circuito ha un coefficiente di autoinduzione
di 5,5 101 H. L’intensità della corrente passa
da 0 a 5,0 101 A in 4,0 s.
䉴 Calcola la forza elettromotrice indotta nel circuito.
B
[69 mV]
15
12
Una spira metallica di area pari a 31 cm2 è inserita
in un campo magnetico che varia di 0,18 T in
1,0 s. Nella figura è disegnata la situazione della
spira nel campo in due istanti successivi.
Una coppia di circuiti ha un coefficiente di mutua induzione di 35 mH. All’inizio, la corrente
che scorre nel primo circuito ha un’intensità di
0,85 A. In seguito, l’intensità della corrente aumenta fino a 1,8 A in 4,5 s.
䉴 Calcola la variazione del flusso magnetico relativo al secondo circuito.
䉴 Calcola
la forza elettromotrice indotta nel secondo circuito.
[3,0 102 Wb; 7,4 mV]
1003
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
5
16
L’ALTERNATORE
PROBLEMA SVOLTO
V(t)
Un resistore con una resistenza di 184 è percorso da una
corrente alternata che ha un’ampiezza di 0,847 A.
R = 184
i0 = 0,847 A
ieff = ?
R
䉴 Calcola il valore efficace della corrente, la potenza dissipata sul resistore e il valore efficace della tensione alternata
ai capi del resistore.
Dati
Incognite
P=?
feff = ?
Grandezze
Simboli
Valori
Resistenza
R
184 V
Ampiezza della corrente alternata
i0
0,847 A
Valore efficace della corrente
ieff
?
Potenza dissipata
P
?
Valore efficace della tensione
feff
?
Commenti
Strategia e soluzione
• Il valore efficace della corrente alternata è dato dalla formula (17):
i
0,847 A
i eff = 0 =
= 0,599 A.
2
2
• Una volta noto ieff, il valore della potenza dissipata può essere calcolato come
P Ri2eff (184 ) (0,599 A)2 66,0 W.
• Ora il valore feff della forza elettromotrice efficace può essere ricavato dalla (19):
feff =
66,0 W
P
=
= 110 V.
i eff 0,599 A
Discussione
Una corrente alternata con un’ampiezza di 0,847 A, attraversando una resistenza, produce lo stesso effetto termico di una corrente continua di 0,599 A.
17
䉴 il valore efficace della tensione alternata ai capi
Un resistore con una resistenza di 150 è attraversato da una corrente alternata che ha un’ampiezza di 300 mA. Calcola:
del resistore.
[212 mA; 6,75 W; 31,8 V]
䉴 il valore efficace della corrente.
18
䉴 la potenza dissipata dal resistore.
Considera la situazione dell’esercizio precedente.
Calcola l’ampiezza della forza elettromotrice
alternata applicata ai capi del resistore.
䉴
[45,0 V]
1004
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
19
A un circuito puramente resistivo è applicata una
differenza di potenziale alternata con un valore
efficace di 110 V. La potenza massima dissipata
nel circuito è di 200 W. Calcola:
Calcola la sua potenza reale.
[3,18 A; 3,1 103 W]
24
䉴 il valore efficace della corrente.
䉴 il valore della resistenza del circuito.
[1,82 A; 60,4 ]
20
Un generatore fornisce una tensione alternata
con valore massimo di 80 V e frequenza 50 Hz. Il
circuito ha una resistenza totale di 15 .
䉴 Quante spire contiene il circuito secondario?
[27]
25
䉴 Calcola il valore massimo della corrente che at-
traversa il resistore.
Determina l’equazione che esprime l’andamento della tensione alternata in funzione del
tempo.
䉴
<5,3 A; f ^ t h = ^ 80 V h sen <c 3,1 # 10
21
2
Una tensione efficace di 2,2 102 V è applicata ai
morsetti del circuito primario di un trasformatore in cui passa una corrente di 10 A. Nel primario
ci sono 100 spire, mentre nel secondario ce ne sono 10 000. Calcola:
䉴 la potenza sviluppata dalla corrente nel prima-
rio.
rad
m tFF
s
il valore della tensione efficace ai capi del secondario.
䉴
Un generatore di tensione alternata è collegato a
una stufa di resistenza 250 . Il valore massimo
della tensione alternata è di 200 V. Calcola:
䉴 il valore efficace della corrente.
䉴 l’intensità efficace della corrente che passa nel
secondario nel caso in cui la potenza fornita dalla
corrente nel secondario sia pari all’85% della potenza fornita dalla corrente nel primario.
䉴 la potenza dissipata dalla stufa.
[2,2 103 W; 2,2 104 V; 85 103 A]
䉴 la quantità di calore prodotta per effetto Joule
in un intervallo di tempo di 15 min.
PROBLEMI GENERALI
[0,566 A; 80,0 W; 7,20 104 J]
1
6
IL TRASFORMATORE
22
In un trasformatore il circuito primario ha 900
spire mentre il secondario ne ha 400. La tensione
in entrata è quella di rete (220 V).
䉴 Calcola il valore efficace della tensione di uscita.
䉴 la variazione di flusso.
la corrispondente variazione del campo magnetico esterno.
䉴
Il circuito primario di un trasformatore ha 140
spire mentre il secondario ne ha 660. Al primario
viene applicata una tensione di 220 V che genera
una corrente di 15,0 A.
䉴 Calcola la corrente del secondario trascurando
la dissipazione di energia.
䉴
Il trasformatore ha un rendimento del 95%.
Una spira circolare di raggio 5,0 cm ha una resistenza pari a 4,0 103 . Un campo magnetico
è disposto perpendicolarmente ad essa e ha
un’intensità variabile nel tempo. La variazione di
flusso del campo magnetico avviene in 2,0 s e
produce nella spira una corrente di 0,50 A. Calcola:
䉴 il valore della forza elettromotrice indotta.
[97,8 V]
23
Un trasformatore è utilizzato in un lettore CD
portatile. Il circuito primario, collegato con la
presa di corrente ha 660 spire. La tensione efficace in ingresso è 220 V, quella in uscita è 9,0 V.
[2,0 103 V; 4,0 103 Wb; 0,51 T]
2
Una sbarretta conduttrice scorre su due guide
metalliche parallele appoggiate sopra un piano
orizzontale e si muove con velocità costante
v 20 cm/s. Le guide distano tra di loro 20 cm e
1005
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
sono collegate da un conduttore di resistenza
R 2,0 . La sbarretta si muove in un campo
magnetico di intensità 0,50 T, perpendicolare al
piano e orientato come nella figura.
un circuito puramente ohmico di resistenza 10 .
Calcola:
䉴 le correnti efficaci del circuito primario e di
quello secondario.
䉴 la potenza fornita dalla corrente nel secondario.
B
[33mA; 1,0 A; 10 W]
5
R
v
Calcola:
䉴 il
valore della forza elettromotrice indotta agli
estremi della sbarretta.
䉴 l’intensità di corrente che l’attraversa.
3
Due solenoidi sono concentrici, ossia sono infilati
uno dentro l’altro e hanno lo stesso asse. Il primo,
più esterno, ha 50 spire per ogni centimetro di
lunghezza ed è percorso da una corrente di 1,5 A. Il
secondo, all’interno, ha 4,0 102 spire, ognuna di
area 10 cm2. La corrente che circola nel primo solenoide subisce una variazione e si riduce di un
terzo in un centesimo di secondo. In questo modo
varia il flusso di campo magnetico nel solenoide
interno.
䉴 la forza di attrito che agisce sulla sbarretta.
䉴 Calcola il valore della forza elettromotrice indotta nel solenoide interno.
(Maturità scientifica sperimentale, 1997)
䉴 Stabilisci, tramite la legge di Lenz, il verso della
[20 mV; 10 mA; 1,0 mN]
corrente indotta nel secondo solenoide rispetto a
quello della corrente nel primo solenoide.
Una bobina con induttanza 0,20 H è attraversata
da una corrente che varia nel tempo secondo il
grafico della figura. Considera intervalli di tempo
di 5 secondi. Calcola:
[1,2 101 V]
䉴 la forza elettromotrice autoindotta nei singoli
intervalli di tempo.
䉴 la forza elettromotrice media nei primi 15 s.
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
Descrivi in quali modi può essere variato il flusso
di un campo magnetico.
2
Enuncia la legge di Lenz, spiegandone il significato
alla luce del principio di conservazione dell’energia.
3
Nell’ambito delle correnti alternate, spiega il significato di valore efficace di una corrente o di
una forza elettromotrice.
4
Descrivi il funzionamento di un alternatore e di
un trasformatore.
5
Dimostra l’espressione della legge di FaradayNeumann.
[2,7 101 V; 9,2 102 V; 0 V; 3,6 101 V;
1,2 101 V]
10,0
9,0
corrente (A)
8,0
7,0
6,7
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0
0
4
5
10
15
20
25
Al primario di un trasformatore con 3720 spire è
applicata una tensione efficace di 300 V. Il secondario ha 124 spire. I suoi morsetti sono chiusi su
1006
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
1
TEST PER L’UNIVERSITÀ
dicolarmente al campo magnetico. Si calcoli:
Una stufetta elettrica da 770 watt è collegata alla
rete elettrica domestica che eroga 220 volt. Qual è
il valore efficace della corrente elettrica circolante?
䉴 la corrente indotta nella bobina.
A
3,5 A
D
12,25 mA
B
0,28 A
E
1,75 mA
C
62,8 A
䉴 la f.e.m. media indotta nella bobina.
䉴 l’energia
totale dissipata nel filo nell’intervallo
di tempo )t.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2009/2010)
2
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria, 2009/2010)
2
Se la velocità di variazione del campo magnetico
applicato a una spira conduttrice raddoppia, che
cosa accade alla f.e.m. indotta nella spira, supponendo che tutti gli altri parametri rimangano invariati?
A
Raddoppia.
C
Si riduce di un fattore2.
B
Rimane la stessa.
D
Quadruplica.
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2008/2009)
3
avere una buona calamita.
B
essere fatta di materiale superconduttore.
C
avere un condensatore per accumulare cariche elettriche.
D
avere olio refrigerante per disperdere il calore.
E
essere collegata a una pila alcalina.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria, 2008/2009)
1
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2003/2004)
STUDY ABROAD
1
Perché una dinamo di bicicletta possa permettere
alla lampadina di accendersi deve:
A
Una spira conduttrice circolare di raggio 20 cm e
di resistenza elettrica pari a 3 ohm è perpendicolare ad un campo magnetico che aumenta da zero
a 1,3 T in 0,005 secondi. Trovare il valore medio
della corrente indotta.
A 100 % efficient transformer has 1500 turns on
its primary coil. The input to the transformer is
250 V ac. The output current is 10 A and the output
power is 0.5 kW. What is the number of turns on
the secondary coil?
(BioMedical Admission Test (BMAT), UK,
2008/2009)
2
A charger unit for a mobile phone contains a
transformer. In use the primary coil of the transformer is connected to the mains supply and the
secondary coil provides a low voltage output. If
the transformer were to be re-designed to produce half the voltage output, which one of the following could achieve this?
A
Fewer turns on the primary coil.
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
B
Fewer turns on the secondary coil.
C
Thinner wire for the primary coil.
Una bobina di N 10 spire è posta in un elettromagnete il cui campo, partendo da zero, aumenta fino a raggiungere il valore B0 1 T in un tempo )t 10 s. La bobina ha un’area di 100 cm2,
una resistenza R 0,5 , ed è orientata perpen-
D
Thinner wire for the secondary coil.
(BioMedical Admission Test (BMAT), UK,
2005/2006)
1007
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
E LE ONDE
ELETTROMAGNETICHE
zhuda/Shutterstock
1
IL CAMPO ELETTRICO INDOTTO
Mettiamo un anello conduttore all’interno di un campo magnetico. Se facciamo aumenv , nell’anello si genera una corrente indotta. Gli elettare progressivamente il valore di B
troni che prima avevano una velocità media nulla, ora si muovono nel filo (figura 1).
B
Figura 1 Corrente elettrica dovuta
ad elettroni che si muovono nel verso
opposto al campo elettrico.
-
-
E
Se vediamo una carica elettrica che accelera, sappiamo che su di essa agisce un campo elettrico. Quindi, sugli elettroni dell’anello metallico agisce un campo elettrico.
Però questo campo elettrico non è generato, come al solito, da altre cariche elettriche. Infatti nel sistema fisico che stiamo esaminando (un anello conduttore posto
in un campo magnetico variabile) non ci sono cariche elettriche libere.
Esistenza del campo elettrico indotto
La corrente indotta nell’anello
conduttore rivela la presenza
del campo elettrico indotto, ma
esso esiste anche se non c’è
un circuito conduttore nella
zona interessata.
Il campo elettrico che causa una corrente indotta, detto campo elettrico
indotto, è generato da un campo magnetico che varia nel tempo.
Un campo magnetico variabile dà origine a un campo elettrico indotto con le linee
di campo chiuse su se stesse e poste in un piano perpendicolare al campo magnetico.
1008
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
v aumenta, le linee del campo
� Se B
elettrico hanno tutte lo stesso verso,
definito dalla legge di Lenz.
34
CAPITOLO
v diminuisce, le linee del campo
B
elettrico si avvolgono in senso opposto al precedente.
�Se
B
B
E
E
B diminuisce
B aumenta
A
B
Quindi, un campo elettrico può essere generato da:
• cariche elettriche;
• campi magnetici variabili.
La circuitazione del campo elettrico indotto
Il campo elettrico indotto è caratterizzato dal valore della sua circuitazione, che, come si dimostra in seguito, è dato dalle formule:
vh
v h =- ^ B
^E
t
oppure
vh
v h =- d ^B
^E
dt
(1)
Il comportamento del campo elettrico dipende quindi dal valore assunto dal secondo membro delle formule precedenti:
v nullo) e delle correnti continue ( Bv costante) con
• nel caso dell’elettrostatica ( B
circuiti fissi, la variazione del flusso di campo magnetico è nulla; in questo caso si
v ) 0 e si conferma che il campo elettrostatico è conservativo, per cui si può
ha ( E
definire la grandezza «energia potenziale»;
• se il campo magnetico è variabile oppure i circuiti sono in movimento, il secondo
membro delle formule (1) può essere diverso da zero. In tali situazioni, quindi, la
circuitazione del campo elettrico è diversa da zero e ne risulta che il campo elettrico indotto non è conservativo, e il potenziale elettrico non può essere definito.
Calcolo della circuitazione del campo elettrico
Indichiamo con Fv (ie) la forza elettrica, dovuta all’induzione elettromagnetica, che agisce su una carica di prova q, presente nell’anello conduttore in cui scorre la corrente
indotta. Il campo elettrico indotto si calcola, al solito modo, mediante la formula
_ ie i
v = Fv
E
q
(2)
Nel capitolo «La corrente elettrica continua», la forza elettromotrice è definita come
fem =
W
,
q
(3)
1009
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
dove W è il lavoro fatto dalle forze non elettrostatiche nel trasportare la carica q.
Calcoliamo il lavoro W compiuto dalla forza elettrica indotta in un giro completo della spira. Come al solito, dividiamo il circuito in n tratti abbastanza piccoli da
potere essere descritti dagli spostamenti infinitesimi lvk , con 1 k n; indichiamo
inoltre con Fv _kie i la forza, dovuta al campo elettrico indotto, che agisce sulla carica di
prova q nel tratto lvk dell’anello.
Il lavoro elementare Wk compiuto da tale forza per spostare q del tratto lvk è
W k = Fv_kie i : vlk
e il lavoro totale si ottiene sommando tutti i lavori elementari
W=
n
n
k=1
k=1
/ W k = / Fv_kie i : vlk .
Siamo quindi in grado di calcolare la forza elettromotrice che, secondo la (3), risulta
n
_ ie i
: v
lk
k
n v _ ie i
F
W
k=1
=
= / k : vlk .
fem =
q
q
q
k=1
_
i
ie
v
F
v che esiste nella
Per la formula (2), il rapporto k è il campo elettrico indotto E
k
q
zona descritta dallo spostamento vlk . La formula precedente si può riscrivere quindi come
/ Fv
fem = / Evk : vlk = ^Evh
n
k=1
n
dove abbiamo ricordato che, per definizione, la sommatoria
/ Ev
k:
vlk , estesa a un
k=1
cammino chiuso, è uguale alla circuitazione ( Ev ) del campo Ev .
D’altronde, sappiamo che il valore di fem è dato dalla legge di Faraday-Neumann
fem =-
vh
^ B
;
t
sostituendo quest’ultima nella formula precedente otteniamo allora
^ Ev h =-
vh
^ B
;
t
che è la prima delle formule (1); calcolando il limite per t " 0 del secondo membro
si ottiene la seconda formula.
2
James Clerk Maxwell
(1831-1879) fisico scozzese. Si
interessò alla teoria dei colori e
contribuì a stabilire che ci sono
tre colori fondamentali. Ciò gli
permise di ottenere la prima
fotografia a colori della storia.
Diede contributi fondamentali
alla teoria cinetica dei gas e
alla termodinamica, oltre che
all’elettromagnetismo.
IL TERMINE MANCANTE
La scoperta dell’induzione elettromagnetica porta a modificare la legge che fornisce
v )/t.
la circuitazione del campo elettrico: da ( Ev ) 0 a ( Ev ) ( B
Ci chiediamo allora se, in base alle nuove conoscenze, debba essere cambiata ann
v ) 0 / i k , che descrive la circuitazione del campo
che la legge di Ampère, ( B
k=1
magnetico.
Il fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879) scoprì una ragione che obbliga, in effetti, a modificare la legge di Ampère.
1010
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
34
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
CAPITOLO
Consideriamo un condensatore che si sta caricando perché nei fili collegati a esso
fluisce una corrente elettrica i. Confrontiamo le circuitazioni di campo magnetico
calcolate lungo cammini diversi.
� Per la legge di Ampère, le circui-
� A ᏸ3 non è concatenata alcuna
corrente elettrica. Quindi, per la
legge di Ampère, la circuitazione di
v lungo ᏸ3 vale zero.
B
tazioni calcolate lungo ᏸ1 e ᏸ2 valgono 0i, perché a essi è concatenata una corrente di valore i.
i
ᏸ1
i
i
� Quanto vale la circuitazione lun-
go ᏸ4, posta al bordo del condensatore? La risposta è ambigua: non si
sa se i è concatenata a ᏸ4.
i
i
ᏸ3
ᏸ2
A
B
i
ᏸ4
C
Quindi, applicando la legge di Ampère, la circuitazione del campo magnetico deve
diventare improvvisamente uguale a zero all’interno del condensatore. Inoltre, in
v ) è indeterminato.
corrispondenza del bordo del condensatore il valore di ( B
Per evitare questo risultato, logicamente insoddisfacente, Maxwell corresse la legge di Ampère scrivendo:
^ Bv h =
0
ci + f0
^ Ev h
m
t
(4)
dove il flusso del campo elettrico è calcolato attraverso una superficie che ha come
contorno il cammino lungo il quale si esegue la circuitazione. Il termine aggiunto
i s = f0
^ Ev h
t
(5)
è detto corrente di spostamento. Maxwell, convinto della sostanziale simmetria tra
campo elettrico e campo magnetico, scrisse tale espressione in analogia alla formula
(1) e in modo che il suo valore numerico fosse uguale a quello della corrente i che
carica il condensatore.
In questo modo la circuitazione lungo il cammino ᏸ3 ha lo stesso valore di quella
lungo i cammini ᏸ1 e ᏸ2. Per continuità da destra e da sinistra, anche la circuitazione
lungo ᏸ4 è determinata e ha lo stesso valore delle altre.
Avendo aggiunto la corrente di spostamento, che dipende dalla variazione del
flusso di campo elettrico, risulta dalla (4) che
un campo elettrico variabile genera un campo magnetico.
La forma delle linee del campo magnetico indotto è simile a quella delle linee del
campo elettrico indotto, ma il loro verso segue una regola opposta. Infatti i due campi sono simmetrici, ma non identici.
1011
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
Ev aumenta, il verso delle linee del
campo magnetico indotto è opposto a
quello visto per il campo elettrico indotto.
Ev diminuisce, le linee del campo magnetico indotto si avvolgono
nell’altro verso.
�Se
� Se
E
E
B
B
E aumenta
E diminuisce
A
B
Quindi, un campo magnetico può essere generato da:
• correnti elettriche;
• campi elettrici variabili.
3
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
E IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Nei paragrafi precedenti abbiamo ricavato due nuove equazioni:
ᏸ ^Evh =e
vh =
^B
ᏸ
0
vh
^B
t
c/ i k + f0
k
vh
^E
m.
t
Rispetto alla (4), l’equazione precedente è stata scritta nel caso più generale in cui ci
sono diverse correnti elettriche concatenate al circuito ᏸ.
Prima equazione
Che cosa dice
La prima equazione stabilisce che la circuitazione del campo elettrico lungo un cammino chiuso ᏸ è direttamente proporzionale alla rapidità di variazione del flusso del
campo magnetico, calcolato attraverso una superficie che ha ᏸ come contorno.
Che cosa significa
Nel caso non statico, il campo elettrico non è conservativo.
Quali sono le conseguenze
• Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica.
• Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico.
1012
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
34
CAPITOLO
Seconda equazione
Che cosa dice
La legge per la circuitazione del campo magnetico nel capitolo «Il campo magnetico» era incompleta: al secondo membro compare, oltre al termine dettato dal teorema di Ampère, un termine proporzionale alla rapidità di variazione del flusso di
campo elettrico.
Che cosa significa
v
La corrente di spostamento is f0 ( Ev )/t contribuisce alla circuitazione di B
alla pari delle correnti convenzionali.
Quali sono le conseguenze
Il primo addendo mostra che il campo magnetico è generato da cariche in moto
(correnti elettriche); il secondo stabilisce che un campo elettrico variabile genera un
campo magnetico.
Le equazioni di Maxwell
Nella sua fondamentale opera Treatise On Electricity and Magnetism (Trattato sull’elettricità e il magnetismo), pubblicato nel 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879)
dimostrò che tutte le proprietà dell’elettricità, del magnetismo e dell’induzione elettromagnetica possono essere derivate partendo da quattro sole equazioni, che hanno quindi il ruolo di assiomi della teoria.
Per questa ragione le quattro equazioni sono dette, nel loro insieme, le equazioni
di Maxwell. Esse sono elencate nella tabella seguente nella loro forma generale; le
stesse equazioni, scritte per i campi statici, sono esposte nel paragrafo 7 del capitolo
«Il campo magnetico».
Equazione
Q tot
U ^Evh = f
(6)
Campo
Grandezza interessata
Principali conseguenze
Ev
Flusso
Le cariche sono sorgenti del campo elettrico.
Ev, Bv
Circuitazione
•
Bv
Flusso
Non esistono monopoli magnetici isolati.
Circuitazione
Sorgenti del campo magnetico sono:
• le correnti elettriche (primo addendo);
• i campi elettrici variabili (secondo addendo).
(Teorema di Gauss per il campo
elettrico)
(7)
DU ^Bv h
Cᏸ^Ev h = Dt
(Teorema della circuitazione per
il campo elettrico)
(8)
(Bv) 0
(Teorema di Gauss per il campo
magnetico)
Cᏸ ^Bv h =
0 f/ ik
k
+ f0
DU ^Ev h
p
Dt
(9) Ev Bv
,
(Teorema della circuitazione per
il campo magnetico)
•
Correnti indotte.
Un campo magnetico variabile è sorgente
di un campo elettrico.
Per fare un solo esempio dell’importanza di questo insieme di equazioni, combinando insieme la quarta di esse con la prima (e utilizzando proprietà matematiche
più evolute di quelle che si affrontano nella scuola secondaria), si dimostra che nei
fenomeni elettrici e magnetici la carica totale si conserva.
1013
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
In questo modo la conservazione della carica elettrica, che è stata scoperta in un
primo tempo come un’importantissima legge sperimentale, trova posto nell’architettura matematica e logica che si può costruire a partire dalle equazioni di Maxwell.
Il campo elettromagnetico
Nel caso statico vi sono due equazioni che descrivono il comportamento del campo
elettrico e altre due che regolano i fenomeni magnetici. Nel caso generale, invece,
v . Ciò imnella seconda e nella quarta equazione compaiono entrambi i campi Ev e B
plica che non è più possibile studiare uno dei due in modo isolato, ignorando l’altro.
Si capisce, invece, che essi sono due aspetti diversi di un unico ente fisico.
A tale ente si dà il nome di campo elettromagnetico. Di conseguenza, la teoria
che stiamo sviluppando è detta elettromagnetismo.
Il campo elettrostatico e il campo magnetico statico sono casi particolari del
campo elettromagnetico e si ottengono, rispettivamente, se si hanno soltanto
cariche ferme oppure soltanto correnti continue.
4
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Per discutere le conseguenze delle equazioni di Maxwell, teniamo in movimento
una carica Q, facendola oscillare tra i punti A e A . Questo movimento genera:
• un campo elettrico variabile, perché la posizione di Q cambia sempre;
• un campo magnetico variabile, perché una carica elettrica che oscilla equivale a
una corrente elettrica variabile.
� Per
effetto del movimento di Q,
in un punto P1 si genera un campo
elettrico variabile.
� Questo,
a sua volta, genera un
campo magnetico variabile in un
punto P2 spostato rispetto a P1.
� Ma il campo magnetico variabile
in P2 crea un campo elettrico indotto in un altro punto P3.
E´1
E´1
B2
E1
E1
P1
P1
A
B
E´1
B2
E1
B´2
P2
E´3
P1
P2
B´2
E3
P3
C
In realtà, in P1 c’è anche un campo magnetico variabile, che genera in P2 un campo
elettrico variabile, che genera in P3 un ulteriore campo magnetico…
Così il campo elettromagnetico si propaga anche nello spazio vuoto. Ciò che si crea
è un’onda elettromagnetica, prevista teoricamente da James Clerk Maxwell nel 1861;
l’esistenza delle onde elettromagnetiche fu provata sperimentalmente dal fisico tedesco Heinrich Rudolph Hertz in una serie di esperimenti compiuti tra il 1886 e il 1889.
Un’onda elettromagnetica trasporta energia e continua a propagarsi anche
quando la carica che l’ha generata smette di muoversi.
1014
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
34
CAPITOLO
La velocità della luce
Partendo dalle equazioni (6), (7), (8) e (9), Maxwell dimostrò che la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nello spazio vuoto è
v onde elettromagnetiche =
1
f0
.
0
Vediamo che cosa si ottiene calcolando il valore numerico di tale quantità:
1
f0
=
0
^ 8 ,8 54 # 10
-12
1
=
C / ^ N : m2 h # ^ 4 # 10 -7 N/A2 h
2
1
=
^ 8 ,854 # 10 -12 h # ^ 4 # 10 -7 h
=
9 ,988 # 10 16
m 2 : A2
A2 : s 2
N : m2
C2
= 2 , 998 # 10 8
2
:
A
=
N
m
.
s
Questo valore numerico è uguale alla velocità della luce misurata nel vuoto, per cui
si ha
1
f0
= c.
(10)
0
Sulla base di questo risultato, Maxwell concluse che
La luce è una particolare onda elettromagnetica.
La luce visibile è quindi un’onda elettromagnetica che viaggia nel vuoto alla velocità
c determinata dalle costanti ␧0 e 0 secondo la (10). Così la luce proveniente da lontane galassie, raccolta dai telescopi, giunge a noi dopo avere viaggiato per miliardi di
anni e noi possiamo rivelarla anche quando la galassia da cui era stata irraggiata ha
cessato di esistere da molto tempo.
5
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE
Un’antenna trasmittente (figura 2) è una struttura
di metallo, lungo la quale gli elettroni vengono fatti
oscillare avanti e indietro a una frequenza opportuna.
Il moto degli elettroni è generato dalla tensione fornita da un apposito circuito oscillante, che determina la
frequenza f.
Mentre gli elettroni oscillano di moto armonico,
l’antenna emette un’onda elettromagnetica di frequenza f che si propaga nello spazio.
I campi elettrici e magnetici generati dalle antenne
sono molto complicati, ma le onde elettromagnetiche
si ricevono a grande distanza dall’antenna ricevente.
Figura 2 Nell’antenna trasmittente
gli elettroni sono posti in oscillazione
da un opportuno circuito.
1015
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
antenna
z
B
E
Ciò permette di semplificare la trattazione, perché in queste condizioni l’antenna
appare puntiforme e le onde che essa emette hanno fronti d’onda sferici (figura 3).
L’osservatore, però, rileva solo una calotta molto piccola della superficie sferica, per
cui i fronti d’onda che egli riceve sono quelli di un’onda piana.
Il profilo spaziale dell’onda
Consideriamo una delle infinite rette che si dipartono dall’antenna. Essa rappresenta la direzione di propagazione dell’onda. In ogni punto di questa retta troviamo un
v , legati (nel vuoto) dalla condizione
campo elettrico Ev e un campo magnetico B
E cB.
Figura 3 A grande distanza
dall’antenna, una porzione limitata
di un fronte d’onda sferico appare di
forma piana.
(11)
v sono perpendicolari e proporzionali tra loro; inoltre sono
I campi Ev e B
perpendicolari alla direzione di propagazione dell’onda.
L’onda elettromagnetica è, quindi, un’onda trasversale, in quanto le due grandezze
che variano oscillano in senso perpendicolare allo spostamento dell’onda (figura 4).
Immaginiamo di scattare un’«istantanea» dell’onda lontano dall’antenna.
E
Osserviamo che i valori dei due
campi variano nello spazio in modo
regolare, descrivendo un’onda che ha
lunghezza d’onda .
�
B
direzione
di propagazione
Figura 4 In un’onda
elettromagnetica piana il campo
elettrico e quello magnetico sono
perpendicolari tra loro e alla direzione
di propagazione dell’onda.
�Dopo un intervallo di tempo t l’intera onda si è spostata del tratto c t,
dove c è la velocità della luce nel vuoto.
istante t 1
x
istante t 1 + t
x
c t
E
APPROFONDIMENTO
E
y
y
B
B
z
La polarizzazione della luce
(4 pagine)
A
z
B
ESEMPIO
IN LABORATORIO
Un’onda elettromagnetica piana si propaga nel vuoto. A un certo istante e in
un punto fissato, il modulo del suo campo magnetico vale B 5,1 109 T.
Polarizzazione lineare della
luce
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
f Quanto vale il modulo del campo elettrico E nello stesso punto e allo stesso
istante?
Si può calcolare il campo elettrico richiesto con la formula (11):
E = cB = a 3,00 # 10 8
m
-9
k # (5,1 # 10 T) =
s
m
N
N
= 1,5
= 1,5 .
:
s A:m
C
1016
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
34
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
CAPITOLO
L’onda elettromagnetica nel tempo
v al passare
Ora ci mettiamo in un punto P fissato e osserviamo come variano Ev e B
del tempo. Come è illustrato nella figura 5, che è un grafico spazio-tempo, i due
vettori variano continuamente con la stessa legge del moto armonico: per la (11)
essi aumentano insieme fino a un valore massimo, si annullano nello stesso istante e
giungono poi, contemporaneamente, ai loro valori minimi.
in un punto P
E
T
B
T
t
Figura 5 Variazione dell’onda
magnetica, al trascorrere del tempo, in
un punto fissato.
v oscillano in modo concorde, entrambi con
In un punto fissato, i campi Ev e B
frequenza f c/.
6
LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO
Sappiamo che la luce visibile è un particolare tipo di onda elettromagnetica. Altri
tipi sono, per esempio, le onde radio, i raggi ultravioletti e i raggi X.
Nel vuoto, tutte le onde elettromagnetiche si propagano con velocità c. Ciò che
differenzia le diverse onde elettromagnetiche è la loro frequenza di oscillazione.
Radiotelescopi
David Parker/Science Photo Library
Il radiotelescopio del Kitt Peak
National Observatory (Arizona)
della fotografia qui a fianco
utilizza onde elettromagnetiche
della lunghezza d’onda da 1 a
9 mm.
Si chiama spettro elettromagnetico l’insieme delle frequenze delle onde
elettromagnetiche.
La tabella della pagina seguente riporta le principali proprietà dello spettro elettromagnetico. La scala delle frequenze e delle lunghezze d’onda non è regolare: strisce
di uguale lunghezza non rappresentano intervalli uguali di frequenze.
1017
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ELETTROMAGNETISMO
sorgenti di
radiazione
e–
tipo di
radiazioni
oggetti
rilevabili
quark
3x10 28
acceleratori
di particelle
3x10
sorgenti
radioattive
23
10 –5 fm
1 fm
3x10 19
0,01nm
3x10 16
10 nm
3x10 15
0,1 m
7
14
0,4 m
4
14
0,7 m
10 14
3 m
tubi per
raggi X
10 12
100 m
1 mm
10 11
1 cm
10 10
10 cm
antenna parabolica
10 9
10 m
10
7
6
antenna radio
10
10 5
100 m
nucleo
atomo
proteina
virus
cellula
ape
palla
1m
10 8
protone
microonde
10 13
onde radio
err e lampade
p
infrarossi
visibile
sorgenti di
radiazione di
sincrotrone
raggi gamma
e–
finestre
atmosferiche
frequenza
lunghezza
(hertz)
d’onda (m)
raggi X
34
ultravioletti
CAPITOLO
casa
1 km
10 km
La colonna delle finestre atmosferiche indica qualitativamente quali radiazioni sono
assorbite dall’atmosfera. Per esempio, l’atmosfera assorbe i raggi X e gamma che
arrivano dallo spazio (striscia scura), impedendo che queste radiazioni danneggino
la vita sulla Terra. È invece trasparente (striscia chiara) alla luce visibile e alle onde
radio che provengono dal Sole e dalle stelle.
Nella colonna degli oggetti rilevabili sono disegnati alcuni oggetti che possono essere osservati con la parte dello spettro elettromagnetico indicata a lato (e con tutte
quelle di lunghezza d’onda inferiore).
Infatti, a causa del fenomeno della diffrazione, per avere ombre nette è necessario che la lunghezza d’onda della radiazione utilizzata sia minore delle dimensioni
dell’oggetto rilevato. Così, per osservare un’ape serve una radiazione che abbia una
lunghezza d’onda non maggiore di 102 m e per osservare una cellula occorrono
almeno le lunghezze d’onda del visibile.
1018
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
7
34
CAPITOLO
LE ONDE RADIO E LE MICROONDE
Esaminiamo ora le diverse parti dello spettro elettromagnetico.
Le onde radio occupano la parte a bassa frequenza dello spettro, con
lunghezze d’onda comprese tra 10 km e 10 cm.
Per le trasmissioni radio si utilizzano diverse onde elettromagnetiche a seconda delle
differenti esigenze. Per esempio:
le onde medie hanno lunghezze
d’onda attorno a 300 m. Grazie alla
diffrazione, queste onde aggirano facilmente ostacoli piccoli come alberi e
case. Sono invece fermate dalle montagne.
�
�Per trasmissioni a lunga distanza sono usate onde radio con compresa tra
10 km e 10 m. Queste onde sono riflesse dagli strati ionizzati dell’atmosfera
e possono così superare la curvatura
terrestre.
ionosfera
500 km
A
B
I segnali televisivi viaggiano su onde che hanno una lunghezza d’onda dell’ordine del
metro. Esse possono essere bloccate facilmente anche da ostacoli di piccole dimensioni.
Quindi, i segnali televisivi possono essere captati soltanto da antenne che hanno
dimensioni dell’ordine del metro e «vedono» il trasmettitore.
�Per
fare in modo che il segnale televisivo possa essere visto ovunque (e
anche per rinforzarlo), tra la stazione
televisiva e gli utenti sono situati molti ripetitori, che ricevono il segnale e lo
inviano di nuovo dopo averlo amplificato.
antenna
trasmittente
� In alternativa, il segnale televisivo
è inviato a un satellite in orbita, che
lo amplifica e lo rimanda verso Terra.
Poiché tutte le antenne riceventi «vedono» il satellite, non c’è bisogno di
installare dei ripetitori per ritrasmettere il segnale.
ripetitore
antenna
ricevente
A
B
1019
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
STORIA DELLA FISICA
SINTESI, MODERNITÀ E
INNOVAZIONE: L’IDEA DI «CAMPO»
1 Osservatorio di Mauna Kea,
Hawaii
(Tomas Banik/Shutterstock)
2 Michael Faraday
(National Library Of Medicine/
Science Photo Library)
3 James Clerk Maxwell
(Emilio Segre Visual Archives/
American Insitute Of Physics/
Science Photo Library)
4 Simulazione del CERN sulla
rivelazione delle particelle
di Higgs.
Tutti abbiamo in tasca un cellulare e
sappiamo che qualche volta lo possiamo
usare e qualche volta no. «Non c’è campo» è una frase che si sente spesso: non c’è
campo in montagna e non c’è campo in
metropolitana, ad esempio. Ma cos’è che
non c’è quando «non c’è campo»?
Il fenomeno è questo: i cellulari risentono, quasi dappertutto, di una qualche
azione, che però non è presente in alcuni
luoghi (la montagna, la metropolitana)
dove questa grandezza non arriva. Proprio il telefonino ci permette di verificare
la presenza o meno del campo elettromagnetico, che, emesso dalle antenne distribuite sul territorio, esercita forze sulle
cariche elettriche mobili presenti nell’antenna del telefonino stesso.
Dal punto di vista logico il telefonino
è come una carica di prova, che ci segnala
l’esistenza di un effetto che i nostri sensi
non percepiscono.
NEWTON E LE FORZE
Ma come si è giunti a sviluppare il concetto di campo? Partiamo dall’inizio.
Era il 1687 e Isaac Newton pubblicava
i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, in cui propose per primo in modo
compiuto e chiaro il concetto di forza. Da
quel momento si afferma l’idea che dall’esterno le forze modificano lo stato di moto di un corpo. La Terra si muove lungo
un’orbita attorno al Sole perché questo
esercita una forza di attrazione su di essa.
Con Newton, la forza non è più «nel»
corpo e «nel» suo movimento ma è qualcosa di esterno che modifica lo stato di
moto. Così esterna che Newton stesso considera due tipi di forze: quelle «di
contatto» e quelle «a distanza». In realtà
la distinzione non è così netta: per esempio, ora sappiamo che la forza di attrito
(che per Newton era senz’altro una forza
di contatto) è in realtà una forza elettrica
a distanza tra cariche che fanno parte di
molecole molto vicine tra loro.
Successivamente oltre al concetto di
azione a distanza fu introdotto quello di
«campo», che permette di risolvere problemi di tipo logico («come fa una forza,
come quella gravitazionale, ad agire a distanza attraverso lo spazio vuoto?») ma,
soprattutto, ha aperto la strada a sviluppi
prima inimmaginabili.
FARADAY E IL CAMPO
Negli anni Venti dell’Ottocento prendono piede le ricerche sui fenomeni elettrici
e sul magnetismo. È Michael Faraday che
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
durante la sua ricerca sul magnetismo capisce che
il campo elettrico e quello magnetico non sono solo campi di forza che influenzavano il moto delle
particelle, ma concetti fisici analoghi al campo gravitazionale. Tre fenomeni apparentemente distinti
(magnetismo, elettricità e gravitazione) vengono
ricondotti a una stessa idea fisico-matematica:
quella di «campo».
Faraday infatti affianca alla ricerca sperimentale
riflessioni teoriche generali. E scrive: «Non bisogna supporre per un momento che speculazioni
di questo tipo siano inutili o necessariamente dannose. Esse dovrebbero essere sempre considerate come dubbie e soggette a errore e a variazione,
ma sono tuttavia ausili potenti nelle mani dello
sperimentatore e del matematico, in quanto esse
sono utili non solo per rendere provvisoriamente più chiara un’idea vaga, fornendole qualcosa
come una forma definita che può essere soggetta
all’esperimento e al calcolo, ma conducono anche,
attraverso un processo di deduzione e correzione,
alla scoperta di nuovi fenomeni, e provocano così
un aumento e un avanzamento della verità fisica
reale che, a differenza delle ipotesi che portano a
essa, diviene conoscenza fondamentale, destinata
a non essere cambiata».
Insomma Faraday aveva già colto che i campi
«sono degli ausili potenti nelle mani dello sperimentatore e del matematico» in particolare perché
«conducono anche alla scoperta di nuovi fenomeni», generando «un avanzamento della verità fisica
reale» che «diviene una conoscenza fondamentale».
MAXWELL E L’ELETTROMAGNETISMO
Da lì a poco, nel decennio 1856-1865, James Clerk
Maxwell completa la sua teoria elettromagnetica,
e porta a compimento e maturazione la riflessione di Faraday, con l’introduzione delle equazioni per il campo elettromagnetico: le equazioni di
Maxwell sono ancora oggi il prototipo delle equazioni di campo.
Lo stesso Maxwell nel 1865 esplicita: «Ho preferito cercare una spiegazione dei fenomeni elettrici e magnetici supponendo che essi siano prodotti da azioni che avvengono nel mezzo circostante oltre che nei corpi eccitati, sforzandomi di
spiegare l’azione tra corpi distanti senza assumere l’esistenza di forze capaci di agire direttamente
a notevole distanza. La teoria che propongo può
perciò essere chiamata una teoria del “campo
elettromagnetico” poiché essa ha a che fare con lo
spazio nelle vicinanze di corpi elettrici e magnetici, e può essere definita una teoria “dinamica”
poiché assume che nello spazio vi sia della materia in movimento dalla quale vengono prodotti
gli effetti osservati».
In effetti, con la scoperta delle onde elettromagnetiche, il campo elettrico e quello magnetico devono essere considerati come oggetti fisici reali che
si propagano con una loro velocità trasportando
energia nello spazio.
LA FISICA DEL CERN
L’idea di campo e il linguaggio matematico che da
esso nasce sono alla base anche degli sviluppi della
fisica recente e futura. Un campo quantizzato permette di descrivere la creazione e l’annichilazione
di coppie particella-antiparticella.
In particolare, il campo di Higgs promette di
spiegare l’origine delle masse delle particelle fondamentali mediante le particolari interazioni che
ha con esse. Si tratta di un campo scalare che, a differenza di un campo di pressione o di densità, interagisce con se stesso, facendo in modo di abbassare l’energia totale dell’Universo. Così il campo di
Higgs, per il solo fatto di essere presente, giustifica
la propria esistenza. Le particelle di Higgs, le manifestazioni corpuscolari di questo campo, sono attivamente ricercate in tutti i più grandi laboratori
di particelle del mondo, a cominciare dal CERN di
Ginevra.
Così, a partire dal quello gravitazionale fino a
quello quantizzato, il concetto di «campo» ha avuto un successo e un’utilità assolutamente imprevedibili a priori. Si tratta di un concetto fecondo
che, come diceva Faraday, ha fornito un «ausilio
potente» su cui i fisici hanno basato i propri ragionamenti, precisandone le caratteristiche ed estendendone le applicazioni.
1021
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
Le microonde
mojito.mak[dog]gmail[dot]com/Shutterstock
La lunghezza d’onda delle microonde è compresa tra 10 cm e 1 mm.
Le microonde sono utilizzate per le comunicazioni telefoniche a lunga distanza, ma
anche per i telefonini cellulari.
Il radar emette impulsi di microonde che sono riflessi da aerei, navi e altri oggetti
di grandi dimensioni. L’intervallo di tempo che separa l’emissione dell’impulso dalla ricezione del segnale riflesso consente di determinare la distanza dell’ostacolo e di
localizzare la sua posizione.
Nei forni a microonde la radiazione elettromagnetica agisce sulle molecole d’acqua e su altre molecole polari che sono contenute nei cibi. Mentre il campo elettrico
della radiazione oscilla, esercita una forza sulle cariche elettriche di queste molecole,
che oscillano a loro volta per allinearsi al campo Ev .
Il processo assorbe energia dalle onde elettromagnetiche e la trasferisce al cibo
contenuto nel forno, che così si riscalda.
8
LE RADIAZIONI INFRAROSSE, VISIBILI
E ULTRAVIOLETTE
Una lampadina emette radiazione infrarossa, visibile e ultravioletta.
La radiazione visibile è costituita dalle onde elettromagnetiche che
percepiamo sotto forma di luce.
Questa parte dello spettro elettromagnetico è approssimativamente compresa tra la
lunghezza d’onda di 7 107 m (che il nostro cervello interpreta come colore rosso)
e quella di 4 107 m, che vediamo come violetto.
A ogni lunghezza d’onda compresa tra questi due estremi il nostro cervello associa una delle sfumature presenti nei colori dell’arcobaleno. Al di fuori di questo
intervallo, l’occhio è cieco.
La radiazione infrarossa
A lunghezze d’onda maggiori di 7 107 m e fino a 1 mm troviamo la
radiazione infrarossa.
Noi percepiamo sulla pelle le radiazioni infrarosse come una sensazione di calore. Si
possono fare riprese e fotografie nell’infrarosso, che servono per mettere in evidenza
le differenti temperature di una stessa zona o di uno stesso oggetto.
Per esempio, una condizione di pericolo che si realizza in un circuito elettrico
difettoso o sovraccaricato può essere riconosciuta subito, senza neppure aprire il
dispositivo, con una fotografia fatta con una pellicola a raggi infrarossi. Nella fotografia a destra della figura 6 alla pagina seguente, le parti in giallo e verde sono più
calde di quelle in blu e quelle in rosso sono ancora più calde.
1022
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
34
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
CAPITOLO
È evidente che un componente elettrico si sta scaldando troppo e deve essere riparato.
Satelliti in orbita fuori dell’atmosfera osservano il cielo raccogliendo le radiazioni
infrarosse. Grazie a essi è possibile rilevare corpi e oggetti celesti «freddi», come nubi
di gas, nane brune, molecole interstellari o pianeti.
Si può misurare la temperatura corporea grazie a termometri che, inseriti nell’orecchio, analizzano la radiazione infrarossa emessa dal sangue che circola nel timpano.
Il biossido di carbonio (CO2) che si trova nell’atmosfera è trasparente alla luce
visibile, ma assorbe le radiazioni infrarosse.
�Una parte dell’energia che proviene
dal Sole attraversa l’atmosfera e giunge fino al suolo, dove è assorbita. Così
il suolo, la vegetazione e tutti gli oggetti si scaldano.
IPAC, California Institute of Technology, 1992
Figura 6 Una foto a raggi infrarossi
mette in evidenza le differenze
di temperatura all’interno di un
dispositivo elettrico.
� Essi
riemettono parte dell’energia
sotto forma di radiazione infrarossa.
Questa però, non può essere dispersa
nello spazio perché è assorbita dalla
CO2 e da altri gas.
assorbita
e riflessa
dalle nubi
assorbita
dall’aria
A
B
È questo l’effetto serra. L’aumento della concentrazione di biossido di carbonio
(CO2), provocato soprattutto dai processi di deforestazione e di combustione dovuti alle attività umane, ha l’effetto di innalzare la temperatura della superficie terrestre
e dell’atmosfera.
1023
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
La radiazione ultravioletta
A lunghezze d’onda minori di 4 107 m e fino a circa 108 m troviamo la
radiazione ultravioletta.
I raggi ultravioletti hanno la proprietà di favorire diverse reazioni chimiche, come quelle
che producono la melanina, il pigmento che dà il colore alla pelle. È per questo motivo
che l’esposizione ai raggi ultravioletti, aumentando la melanina, fa abbronzare.
Però i raggi ultravioletti possono essere pericolosi per la pelle e per gli occhi, procurando danni anche gravi, che favoriscono l’insorgenza di tumori.
In astronomia, la rilevazione dei raggi ultravioletti permette di studiare alcune
caratteristiche del Sole, come pure l’evoluzione di galassie giovani e molto calde e,
ancora, la temperatura e la composizione del mezzo interstellare.
tubo
a vuoto
raggi X
9
I RAGGI X E I RAGGI GAMMA
Passiamo ora alle radiazioni elettromagnetiche più energetiche.
sorgente
di elettroni
–
+
I raggi X hanno lunghezze d’onda comprese all’incirca tra 108 m e 1011 m.
bersaglio
Petar Lazovic/Shutterstock
Figura 7 Schema costruttivo di un
tubo per generare raggi X.
Come è mostrato nella figura 7, essi sono prodotti mediante appositi tubi a vuoto,
nei quali gli elettroni subiscono una rapida decelerazione urtando contro un bersaglio metallico.
I raggi X sono molto penetranti, per cui sono utilizzati per mettere in evidenza
strutture nascoste.
In una radiografia, i raggi X passano attraverso i tessuti molli, ma sono arrestati
dalle ossa. Così, la diversa colorazione di una lastra fotografica permette di vedere
l’interno del nostro corpo.
Nel 1953 il fisico Francis H.C. Crick e il biologo James D. Watson hanno usato immagini ottenute con l’interferenza di raggi X per scoprire la struttura a doppia elica del
DNA, la molecola di acido desossiribonucleico che contiene l’informazione genetica.
I raggi gamma
A lunghezze d’onda minori di 1012 m si trovano i raggi gamma.
Essi sono emessi naturalmente dai nuclei e accompagnano le trasformazioni radioattive e le reazioni nucleari. Raggi gamma di frequenza ancora maggiore sono prodotti quando elettroni di alta energia, estratti da un acceleratore di particelle, colpiscono un bersaglio. Questi raggi gamma artificiali sono utilizzati per la radioterapia
dei tumori, a cui sono sottoposti in Italia più di centomila pazienti all’anno.
I raggi gamma hanno una grande capacità di ionizzare gli atomi e possono essere
pericolosi per gli esseri viventi. Poiché sono radiazioni molto penetranti, per assorbirli sono necessari diversi centimetri di piombo. I raggi gamma sono anche utilizzati per sterilizzare strumenti chirurgici e rifiuti ospedalieri infetti.
1024
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
34
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
10
CAPITOLO
LA RADIO, I CELLULARI E LA TELEVISIONE
Le trasmissioni radio, quelle televisive e le comunicazioni telefoniche dei telefoni
cellulari sono veicolate da onde elettromagnetiche.
La radio
Nella modulazione di ampiezza si genera un’onda radio che è ottenuta miscelando
in modo opportuno due onde generatrici.
� L’onda
portante è un’onda periodica che ha la frequenza caratteristica della stazione che emette il
segnale.
� L’onda modulante ha i contenu-
� L’onda radio emessa dalla stazio-
ti sonori da trasmettere, per esempio la frequenza di una nota in un
brano musicale.
ne ha la frequenza della portante,
mentre l’ampiezza segue la forma
della modulante.
modulazione di ampiezza
intensità
intensità
tempo
B
A
tempo
intensità
onda modulante
onda portante
tempo
C
L’apparecchio radio che riceve il segnale si sintonizza sulla frequenza della portante
e un apposito circuito estrae dall’onda radio le informazioni date dall’onda modulante e le invia all’altoparlante affinché siano tradotte di nuovo in sonoro.
Nella modulazione di frequenza (figura 8) l’ampiezza dell’onda radio rimane
costante, mentre la sua frequenza varia (attorno a un valore dato) in un modo che
dipende dal segnale che si vuole trasmettere.
La modulazione di frequenza consente una riproduzione migliore del suono ed è
meno sensibile ai disturbi causati dalle scariche elettriche dell’atmosfera.
ampiezza
costante
generatore di
frequenza variabile
Figura 8 Grafico di un’onda
elettromagnetica modulata in
frequenza.
Il telefono cellulare
Le onde radio sono emesse e ricevute anche dai telefoni cellulari (o telefonini). Ogni
apparecchio che emette e riceve onde radio occupa una banda di frequenze.
Per esempio, in Italia il primo intervallo di frequenze destinato alla telefonia mobile è compreso tra 890 MHz e 920 MHz (figura 9).
Ogni apparecchio che trasmette o riceve ha bisogno di una banda di frequenze
ampia 0,025 MHz (per esempio quella compresa tra 890,000 MHz e 890,025 MHz,
oppure quella tra 908,350 MHz e 908,375 MHz).
Così, il massimo numero di apparecchi che possono funzionare contemporaneamente è dato dal rapporto tra l’intervallo di frequenze a disposizione e l’ampiezza di
una singola banda:
N max =
890 MHz
banda
Figura 9 Suddivisione in bande del
primo intervallo di frequenze destinato
alla telefonia digitale.
920 MHz - 890 MHz
30 MHz
=
= 1200.
0,25 MHz
0,25 MHz
1025
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
920 MHz
CAPITOLO
34
ELETTROMAGNETISMO
Però gli utenti dei telefonini sono molti di più. Ciò è possibile perché, come è schematizzato nella figura 10, il territorio è diviso in celle esagonali (ciò spiega perché il
telefonino si chiama «cellulare»).
Al centro di ogni cella c’è un’antenna che riceve e trasmette i segnali dei telefonini. Le antenne non sono molto potenti e, quindi, i segnali che esse emettono superano di poco i limiti della cella. Ciò significa che la stessa banda di frequenze può essere
utilizzata in due celle che non siano adiacenti. Per esempio, nelle dieci celle della
figura le bande numero 4, 5 e 6 sono usate due volte.
and
nd
da 2
d
ba da 7
band
da 3
banda 6
segnali
radio
digitali
band
da 4
Figura 10 Per la telefonia cellulare il
territorio è suddiviso in celle esagonali,
al centro di ognuna delle quali c’è
un’antenna che trasmette e riceve.
ban
ndaa 5
centrale
telefonica
Questo espediente moltiplica in modo enorme il numero di utenti della rete telefonica mobile. Quando un utente passa da una cella all’altra, il suo telefono si sintonizza automaticamente con una nuova antenna cambiando banda di trasmissione
senza che l’utente se ne accorga.
La televisione
Il segnale televisivo trasporta le informazioni sull’immagine da riprodurre secondo
uno schema progressivo. A partire da un certo istante:
� il
segnale contiene le istruzioni su
come «disegnare» la prima riga dello
schermo, fatta di puntini più o meno
brillanti.
1
� Poi arrivano le informazioni che
riguardano la seconda riga e via via
quelle successive fino al fondo dello
schermo.
1
2
3
4
A
B
1026
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
34
Tutto ciò è molto veloce: l’intero schermo è ridisegnato 50 volte al secondo.
Nei vecchi televisori a tubo catodico il «pennello» di raggi catodici illuminava
uno alla volta i punti dello schermo, nella successione mostrata a pagina precedente.
A causa della permanenza delle immagini sulla rètina, i nostri occhi non si rendono
conto di questo rapido processo di scrittura e percepiscono un’immagine continua.
Nei televisori a cristalli liquidi e al plasma ogni puntino rimane acceso tutto il tempo, ma l’immagine viene comunque ridisegnata ogni cinquantesimo di secondo per
fare posto alle eventuali variazioni che il segnale trasmette.
Lo schermo di un televisore a colori contiene più di un milione di elementi colorati
(detti pixel). Essi sono distribuiti a gruppi di tre (rosso, verde e blu) e l’intensità relativa
di questi tre colori fondamentali determina la particolare tinta percepita dall’occhio.
Negli schermi LCD una luce bianca
proviene dalla parte posteriore dello schermo. I singoli pixel hanno
filtri dei tre colori principali; con
un apposito meccanismo che sfrutta la proprietà ottiche dei cristalli
liquidi, ciascuno di essi permette
il passaggio (in trasmissione) di un
fascio di luce più o meno intenso.
CAPITOLO
ene/Shutterstock
LE EQUAZIONI DI MAXWELL E LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Figura 11 In questo ingrandimento
di uno scehrmo LCD sono visibili i pixel
che formano l’immagine.
La figura 11 mostra un’immagine ingrandita di uno schermo a cristalli liquidi in cui
i singoli pixel che concorrono a formare l’immagine sono ben visibili.
Lo schermo di un televisore al plasma presenta un grande numero di cellette racchiuse tra due lastre di vetro; ognuna di queste cellette contiene un gas nobile, come
neon o xeno, insieme a una piccola quantità di vapori di mercurio ed è raggiunta da
una coppia di elettrodi che vengono attivati ai tempi opportuni.
Così ogni celletta, una volta sottoposta a un campo elettrico, funziona come una
lampada a fluorescenza: la corrente nel gas eccita gli atomi di mercurio che emettono luce ultravioletta; questa è quindi assorbita da fosfori (contenuti nella celletta
stessa) dei tre colori principali. Così, ancora una volta, dalla miscela di rosso, verde e
blu possiamo ottenere le diverse tonalità di colore.
Trasmissioni analogiche e trasmissioni digitali
Nelle trasmissioni televisive analogiche il contenuto (audio e video) da riprodurre è
codificato in modo analogo a quello delle trasmissioni radio: la parte video è modulata in ampiezza, quella audio è modulata in frequenza ed entrambe le informazioni
sono contenute nello stesso «canale».
Invece, nella televisione digitale il segnale è codificato come una lunga sequenza
binaria di 1 e 0, come accade nei DVD e nei CD. Con tecniche di compressione dati,
ciò permette di inserire più informazioni nello stesso ambito di frequenze; inoltre,
il sistema digitale consente di introdurre metodi di controllo degli errori di trasmissione e (entro certi limiti) di correzione degli stessi.
Siccome i televisori sono tutti progettati per funzionare in modalità analogica,
nelle zone dove il segnale televisivo terrestre è digitale è necessario collegare il televisore a un decoder, che trasforma il segnale digitale in analogico. Lo stesso vale per la
ricezione satellitare di trasmissioni televisive, anche se il decoder è diverso.
Gli apparecchi televisivi e i videoregistratori più recenti sono venduti con il decoder per il digitale terrestre contenuto direttamente al loro interno; per quelli più
datati, o per ricevere segnali da satelliti, è necessario utilizzare un decoder esterno,
che è posto in serie tra la presa dell’antenna e il televisore.
1027
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Un campo elettrico può essere generato da cariche elettriche e da campi magnetici variabili. Un campo magnetico
può essere generato da correnti elettriche e da campi elettrici variabili. Tutte le proprietà dell’elettricità, del magnetismo e dell’induzione elettromagnetica possono essere derivate partendo da quattro assiomi, le equazioni di Maxwell.
Campo elettrico indotto
Fv (ie )
Ev = q
campo elettrico indotto =
forza elettrica indotta
carica elettrica
• È il rapporto fra la forza elettrica Fv(ie), dovuta all’induzione elettromagnetica, su una carica di prova q presente nel circuito conduttore in cui scorre la corrente
indotta e la carica stessa.
• Un campo magnetico che varia nel tempo genera un
campo elettrico indotto, che a sua volta causa una corrente indotta.
B
B
E
E
B diminuisce
B aumenta
Circuitazione del campo elettrico indotto
U (Bv)
C (Ev) =t
C (Ev) =-
e
Circuitazione del campo magnetico
C ^Bvh =
d U (Bv)
dt
circuitazione del campo elettrico =
• Il campo elettrostatico è conservativo, cioè (Ev) 0.
DU ^Evh
p
Dt
• Il flusso di Ev è calcolato attraverso una superficie che
ha come contorno il cammino lungo il quale si esegue
la circuitazione.
• Il campo elettrico indotto non è conservativo, cioè
(Ev) 0.
• Maxwell riscrive così il teorema di Ampère:
Equazioni di Maxwell
(Ev) 0
Caso generale
Q
U(Ev)= f
0
DU(Bv)
C (Ev) =⌬t
U(Bv) 0
U(Bv) 0
(Bv) 0i
v
(Bv) 0 i + f 0 DU(E )
⌬t
• Nel caso generale,
nella seconda e nella
quarta equazione
compaiono sia Bv
che Ev.
)
• Nel caso statico, ci
sono due equazioni
relative al campo
elettrico e due equazioni che descrivono
il campo magnetico.
f i +f0
circuitazione del campo magnetico = permeabilità
magnetica del vuoto # ^corrente elettrica +
+ corrente di spostamento)
variazione del flusso del campo magnetico
=intervallo di tempo
Caso statico
Q
U(Ev)= f
0
0
Cᏸ (Bv )= 0 / i k per rendere matematicamente
k
consistente la legge della circuitazione.
Corrente di spostamento
DU(Ev)
Dt
corrente di spostamento = costante dielettrica
variazione del flusso del campo elettrico
del vuoto #
intervallo di tempo
i s = f0
)
• È il termine aggiunto da Maxwell al teorema di
Ampère, in analogia con l’espressione della circuitazione del campo elettrico.
1028
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
MAPPA INTERATTIVA
LUCE E ONDE ELETTROMAGNETICHE
Un campo elettrico variabile genera un campo magnetico variabile, che a sua volta genera un campo elettrico variabile e così via. In questo modo si propaga un’onda elettromagnetica, che trasporta energia e continua a propagarsi
anche quando la carica che l’ha generata smette di muoversi.
Velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto
1
f0
1
= velocità della luce nel vuoto
costante dielettrica del vuoto # permeabilità magnetica del vuoto
=c
0
• Questa relazione si ricava dalle equazioni di Maxwell.
• Il valore ottenuto è uguale alla velocità della luce nel vuoto, quindi la luce è una particolare onda elettromagnetica.
Onde elettromagnetiche
Onda elettromagnetica piana
Frequenza dei campi Ev e Bv in un’onda elettromagnetica piana
E cB
f c/
• Si ottiene a grande distanza
dall’antenna trasmittente, lungo
la quale gli elettroni vengono
fatti oscillare di moto armonico
avanti e indietro a una frequenza opportuna.
• In un punto fissato, i campi Ev e Bv oscillano in modo concorde, entrambi con la stessa frequenza: aumentano insieme fino ai valori masin un punto P
simi, poi si annullano e
E
T
raggiungono contemporaneamente i valori miniB
T
t
mi.
E
B
direzione
di propagazione
Spettro elettromagnetico
È l’insieme delle frequenze delle onde elettromagnetiche.
onde radio
6
105 10
10 km
107
108
100m
1 km
10 m
microonde
109
1m
1010
10 cm
infrarossi
visibile
14
1011 1012 1013 10 4,1x 1014
1 cm
100 Rm 3 Rm
1 mm
0,7 Rm
ultravioletti
raggi X
7,5 x 1014 3 x 1015 3 x 1016
0,4 Rm
0,1Rm
10 nm
raggi gamma
3 x 1019
3 x 1023
0,01 nm 1 fm
3 x 1028
10 –5 fm
1029
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
frequenza (hertz)
lunghezza d’onda
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
In una zona di spazio priva di cariche elettriche è
posto un solenoide in cui fluisce una corrente
elettrica che diminuisce nel tempo. All’interno
del solenoide è presente un campo elettrico?
2
Supponi di far ruotare una barra magnetizzata
attorno a un asse perpendicolare passante per il
suo centro. Questo movimento può generare un
campo elettrico indotto?
tipi di atmosfera assorbe il maggior numero di
lunghezze d’onda?
tipo 1
3
Dimostra che la corrente di spostamento ha le dimensioni fisiche di una corrente.
4
Il caso generale delle equazioni di Maxwell nel
vuoto consente di studiare separatamente il campo elettrico e il campo magnetico?
10
Può esistere un’onda elettromagnetica che presenta un campo elettrico oscillante e un campo
magnetico nullo?
In base alla risposta della domanda precedente,
quale atmosfera, secondo te, è più ricca di elementi?
11
Elenca in ordine di lunghezza d’onda crescente i
vari tipi di onde elettromagnetiche.
12
Il forno a microonde viene utilizzato anche per
ottenere una cottura più rapida dei cibi. Sai spiegare perché?
13
Per le comunicazioni a grande distanza vengono
utilizzate onde radio di frequenza più bassa.
Perché?
14
Perché nei radar vengono utilizzate le microonde?
15
Perché un corpo solido riscaldato emette onde
elettromagnetiche e di che tipo di onde si tratta?
16
In che modo è possibile notare il carattere ondulatorio della luce nella vita quotidiana?
17
Come tutte le onde elettromagnetiche, anche i
raggi X possono essere diffratti se vengono a contatto con oggetti che abbiano le dimensioni opportune. Quali devono essere queste dimensioni?
18
Quali radiazioni vengono utilizzate nelle radiografie e perché?
5
6
7
8
9
La corrente di spostamento è stata ipotizzata da
Maxwell per via teorica, a partire da considerazioni di simmetria tra campi elettrici e magnetici
non statici e solo in un secondo momento se ne è
avuta la conferma sperimentale. Puoi affermare
la stessa cosa sulla scoperta delle onde elettromagnetiche?
Un’onda elettromagnetica passa da un mezzo a
un altro: che cosa cambia?
A cosa può essere approssimata un’onda elettromagnetica a grande distanza dall’antenna che la
genera?
Le seguenti immagini rappresentano due dei
quattro spettri di emissione tipici delle stelle secondo la classificazione di Secchi: la stella Vega
rientra nel primo tipo mentre il Sole è compreso
nel secondo tipo. Gli spettri sono rappresentati
così come potevano essere osservati con gli spettrografi a prisma dei primi dell’Ottocento. Le righe nere corrispondono all’assorbimento di alcune particolari lunghezze d’onda dello spettro
da parte delle molecole presenti nell’atmosfera
della stella. Analizzando gli spettri, quale dei due
tipo 2
1030
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
19
Dove vengono prodotte le onde radio che riceviamo con la nostra radio e i nostri televisori?
20
Perché il telefonino viene anche chiamato cellulare?
Determina l’espressione della circuitazione
( Ev ) in funzione del tempo t.
䉴
[BS sent]
PROBLEMI
1
1
2
3
IL CAMPO ELETTRICO INDOTTO
Una spira circolare di raggio 2,9 cm è immersa in
un campo magnetico uniforme, di valore
6,8 106 T, le cui linee di campo formano un
angolo di 60° con il piano della spira.
l’intensità della corrente di spostamento media tra le armature.
䉴 Calcola la variazione del flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana S posta nel
vuoto all’interno del condensatore.
Determina il modulo della circuitazione di E
lungo un cammino che coincide con la spira circolare.
䉴 Determina il modulo della circuitazione media
[0,2 A; 4 104 V m]
4
4
di Ev lungo un cammino che coincide con la spira circolare durante l’intervallo di tempo in cui il
campo magnetico diminuisce di valore.
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Un mezzo trasparente è attraversato da un’onda
luminosa; la costante dielettrica relativa fr vale
2,10 mentre la permeabilità magnetica relativa r
è circa uguale a 1.
N
-10 N
: m ; 9,0 # 10
: mF
C
C
䉴 Determina la velocità con cui si propaga la luce
attraversandolo.
Una spira si trova immersa in un campo magnev diretto perpendicolarmente al
tico uniforme B
piano della spira, come nella figura. Indichiamo
con B il modulo del campo magnetico e con S il
valore del vettore superficie, che supponiamo abv . All’istante t 0 s la spira
bia lo stesso verso di B
inizia a ruotare attorno all’asse a perpendicolare
v e a Sv con velocità angolare (le linee del
a B
campo magnetico escono dal piano del foglio).
[2,08 108 m/s]
<0
2
Un condensatore a facce piane e parallele è inserito in un circuito con una resistenza totale di 30 .
All’istante t 0 s, l’interruttore viene chiuso e una
batteria alimenta il circuito con una tensione continua di 5 V. Dopo 2,1 106 s la corrente cessa di
circolare.
䉴 Determina
䉴
A partire dall’istante t 0 s, il valore del campo
magnetico diminuisce progressivamente fino a
raggiungere l’intensità di 9,7 107 T all’istante
t1 15 s.
IL TERMINE MANCANTE
5
L’indice di rifrazione di un materiale vale 2,419 e
la costante dielettrica relativa è fr 2,8.
䉴 Determina il valore della permeabilità magnetica relativa r.
[2,1]
6
Un circuito che oscilla con un periodo di
0,800 s genera un’onda elettromagnetica.
䉴 Determina
la frequenza e la lunghezza d’onda
della radiazione prodotta.
[1,25 MHz; 240 m]
a
1031
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
5
7
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
PIANE
della partita.
In un punto P si rileva un’onda elettromagnetica
piana il cui campo elettrico ha un valore massimo di 2,1 V/m.
(Considera pari alla velocità della luce la velocità di propagazione del segnale televisivo in aria
e supponi che l’antenna di Carlo «veda» direttamente il trasmettitore della stazione televisiva.)
䉴 Quanto tempo impiega il segnale televisivo per
raggiungere l’antenna della casa di Carlo?
䉴 Calcola, nello stesso punto, il valore massimo
del campo magnetico.
[1,5 104 s]
[70 10 T ]
9
13
8
Un’onda elettromagnetica ha una frequenza di
7,2 1012 Hz. Calcola la sua lunghezza d’onda:
䉴 nel vuoto.
䉴 in un mezzo in cui la velocità di propagazione è
di 2,2 108 m/s.
䉴 Quanto
tempo impiegò il segnale di allarme a
raggiungere New York?
[4,2 105 m; 3,1 105 m]
9
Un elicottero in volo rileva in un punto dello spazio un’onda elettromagnetica piana. Il massimo
valore del campo elettrico dell’onda elettromagnetica in quel punto è 7,0 102 N/C.
[6 103 s]
14
䉴 Calcola
il valore massimo del campo magnetico in quel punto.
10
Nel 2004, la missione Cassini-Huygens è arrivata
nei pressi del pianeta Saturno dopo un viaggio
durato sette anni. Assumi che la distanza fra la
Terra e Saturno sia di 1,4 1012 m.
䉴 Quanti
secondi passano fra il momento in cui
un segnale elettromagnetico è inviato dalla Terra e il momento in cui viene ricevuto dalla sonda
Cassini vicino a Saturno?
[2,3 1010 T]]
6
David Sarnoff sostenne di essere stato il primo a
ricevere il segnale di SOS dal radiotelegrafo del
TITANIC che, nel 1912, stava affondando a largo
dei Banchi di Terranova, a circa 1800 km da New
York.
LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO
[0,47 104 s]
Una lampada al sodio emette luce monocromatica con una lunghezza d’onda 5890 Å.
䉴 La radiazione emessa è visibile?
11
Christian Darkin/Science Photo Library
(1 Å 1 1010 m)
An electromagnetic wave has a wavelength of
600 nm.
䉴 Which kind of radiation does it belong to?
䉴 Which is its frequency?
[5.00 1014 Hz]
7
12
LE ONDE RADIO E LE MICROONDE
Carlo sta guardando una partita di calcio in televisione, a casa propria, che si trova a 45 km dallo
stadio. A un certo punto l’arbitro fischia l’inizio
8
15
LE RADIAZIONI INFRAROSSE,
VISIBILI E ULTRAVIOLETTE
Il nostro corpo emette soprattutto raggi infrarossi con lunghezze d’onda intorno a 105 m.
䉴 Quanto vale la frequenza corrispondente?
1032
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[3 1013 Hz]
16
Una radiazione elettromagnetica ha una frequenza di 2,70 1015 Hz.
PROBLEMI GENERALI
䉴 Qual è la sua lunghezza d’onda?
1
䉴 A quale banda dello spettro appartiene?
[1,11 107 m]
9
17
I RAGGI X E I RAGGI GAMMA
䉴 l’ampiezza del campo magnetico.
䉴 la lunghezza d’onda dell’onda piana.
Calcola il rapporto tra la lunghezza d’onda delle
onde radio «lunghe» e i raggi gamma.
Quale sarà il rapporto tra le frequenze delle
stesse onde?
䉴
10
Un’onda elettromagnetica piana ha frequenza
3,0 MHz e il suo campo elettrico ha un’ampiezza
E0 3,0 103 N/C. La sua velocità di propagazione vale 1,6 108 m/s. Calcola:
[1,0 105 T; 53 m]
2
LA RADIO, I CELLULARI
E LA TELEVISIONE
Il segnale di una stazione radio a modulazione di
ampiezza AM ha una frequenza di 850 kHz. L’antenna della stazione radio AM è alta un quarto
della lunghezza d’onda delle onde radio.
䉴 Quanto è alta l’antenna?
[88 m]
18
Un telefonino trasmette in una banda la cui frequenza massima è 900,000 MHz.
3
䉴 Quanto vale la frequenza minima della banda?
Un’antenna televisiva, che opera su un canale alla
frequenza di 6,20 107 Hz, per funzionare al meglio in ricezione deve avere una lunghezza totale
uguale a metà della lunghezza d’onda del segnale
stesso.
䉴 Calcola il valore assoluto della circuitazione del
campo elettrico indotto lungo un cammino che
coincide con il perimetro della spira, nell’intervallo di tempo in cui il campo magnetico varia
secondo la legge data.
䉴 Calcola l’altezza dell’antenna.
[2,4m]
[2,0 108 N m/C]
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
alessandro0770
19
Una spira circolare ha un raggio di 5,0 cm e si trova immersa in un campo magnetico uniforme,
perpendicolare al piano della spira. Dall’istante
di tempo t 0 s in poi, il modulo del campo magnetico varia secondo la legge
B(t) (2,6 106 T/s)t.
1
Scrivi la definizione della grandezza fisica corrente di spostamento, spiegandone l’origine storica.
2
Analizza le equazioni di Maxwell e metti in luce le
proprietà dei campi elettrici e magnetici costanti
e variabili.
3
Illustra qual è il meccanismo alla base della generazione e propagazione di onde elettromagnetiche.
1033
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
4
Elenca le suddivisioni dello spettro elettromagnetico, citando le principali proprietà di alcune
di esse.
5
Descrivi il principio di funzionamento di un’antenna trasmittente.
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
4
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
Indicare la corretta affermazione sulle onde elettromagnetiche:
A
la velocità di propagazione dipende solo
dall’ampiezza.
B
la velocità di propagazione dipende solo dalla
frequenza.
è uguale a quella della luce nel vuoto.
B
è uguale a quella del suono in quel mezzo.
C
dipende dalla lunghezza d’onda dei raggi X.
D
dipende dalla frequenza dei raggi X.
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
5
Cosa sono i raggi infrarossi?
si propagano nel vuoto.
A
D
si propagano solo in presenza di un campo
gravitazionale.
Sono raggi di natura elastica, come il suono,
ma con frequenza diversa.
B
Sono raggi di natura elettromagnetica, che in
assenza di dispositivi speciali non possono essere visti dall’occhio umano normale.
C
Sono i raggi luminosi che danno origine alla
nostra (umana) sensazione del colore violetto.
D
Non sono onde elettromagnetiche, ma di altra
natura.
E
Sono ultrasuoni.
non si propagano nei mezzi materiali.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Scienze
Motorie, 2009/2010)
Le onde elettromagnetiche che vengono utilizzate per le trasmissioni radio tra imbarcazioni:
A
trasportano energia indipendentemente dalla
frequenza utilizzata.
B
non possono trasportare energia che si scaricherebbe in mare.
C
trasportano energia ma solo se in un certo intervallo di frequenze.
D
contengono campi elettrici, ma non magnetici.
E
contengono campi magnetici ma non elettrici.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina Veterinaria, 2008/2009)
3
A
C
E
2
I raggi X sono onde elettromagnetiche la cui velocità in un determinato mezzo:
Che cosa distingue le onde elettromagnetiche luminose da quelle radio?
A
L’intensità.
B
La lunghezza d’onda.
C
L’energia trasportata in un secondo.
D
La distanza a cui possono arrivare.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria, 1999/2000)
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
1
Onde radio ricevute da un apparecchio hanno
E 101 V/m. Assumendo che l’onda sia piana,
calcolare l’ ampiezza del campo magnetico.
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Biotecnologie,
Università degli Studi di Torino, 2004/2005)
1034
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
STUDY ABROAD
1
2
STATEMENT 1
If the accelerating potential in an X-ray tube is
increased, the wavelengths of the characteristic
X-rays do not change.
Because
STATEMENT 2
When an electron beam strikes the target in an
X-ray tube, part of the kinetic energy is converted
into X-ray energy.
A
Statement 1 is true, Statement 2 is true; Statement 2 is a correct explanation for Statement 1.
B
Statement 1 is true, Statement 2 is true; Statement 2 is NOT a correct explanation for Statement 1.
C
Statement 1 is true, Statement 2 is false.
D
Statement 1 is false, Statement 2 is true.
In the electromagnetic spectrum there are different types of radiation. Which one of the following lists gives the radiation types in order of
increasing wavelength?
A
-radiation, X-rays, visible light, radio waves.
B
X-rays, radio waves, visible light, -radiation.
C
radio waves, -radiation, visible light, X-rays.
D
-radiation, X-rays, radio waves, visible light.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
3
Ultraviolet light is responsible for sunburns. Explain why you don’t get sunburned while sitting
behind a glass window.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
(Joint Entrance Examination for Indian Institutes
of Technology (JEE), India, 2007/2008)
1035
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO
SPAZIO E DEL TEMPO
CAPITOLO
35
Mark Williamson/SciencePhotoLibrary
1
IL VALORE NUMERICO DELLA VELOCITÀ
DELLA LUCE
La luce è un’onda elettromagnetica, cioè un’onda trasversale che si propaga anche
nel vuoto. Anzi, proprio nel vuoto la luce raggiunge la sua massima velocità,
c 299 792 458
Trasformazioni di Galileo
Puoi trovare le trasformazioni di
Galileo nel capitolo «I princìpi
della dinamica».
m
.
s
Nei capitoli sull’elettromagnetismo abbiamo incontrato le equazioni di Maxwell. In
particolare, sappiamo che da esse si deduce per via teorica il valore numerico di c, che
risulta lo stesso in tutti i sistemi di riferimento, qualunque sia la loro velocità relativa.
Ciò è in completo disaccordo con le previsioni della meccanica classica e, in particolare, con le trasformazioni di Galileo. Per chiarire, consideriamo un’automobile che percorre un’autostrada rettilinea alla velocità costante di 30 m/s. A un certo punto un passeggero lancia una palla a una velocità di 10 m/s. Secondo le trasformazioni di Galileo:
�se la palla è lanciata in avanti, la sua
velocità rispetto al sistema di riferimento dell’autostrada è
m
m
m
30 + 10 = 40 .
s
s
s
�Se la palla è lanciata all’indietro, la
sua velocità misurata nel sistema di riferimento dell’autostrada è
m
m
m
30 - 10 = 20 .
s
s
s
10 m/s
10 m/s
40 m/s
20 m/s
30 m/s
A
30 m/s
B
1036
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
Per la luce non è così: secondo la teoria di Maxwell, la luce emessa in
avanti e all’indietro da un’astronave
ha sempre velocità c (figura 1), qualunque sia la velocità con cui l’astronave si muove. Quindi, per l’elettromagnetismo la velocità della luce è
un’invariante, cioè una grandezza
che non dipende dal sistema di riferimento in cui è prodotta o misurata.
In questa situazione
stessa velocità c
35
CAPITOLO
Figura 1 I lampi di luce emessi
dall'astronave nel verso del suo moto e
nel verso opposto si propagano con la
stessa velocità c.
due delle teorie fondamentali della fisica classica, la meccanica e
l’elettromagnetismo, risultano in contraddizione tra loro.
Si tratta di un problema grave: infatti, entrambe le teorie hanno un campo di applicabilità molto vasto; entrambe possiedono una struttura concettuale solida e coerente; entrambe sono in accordo con un numero enorme di esperimenti.
Non si può risolvere il problema, quindi, se non facendo una scelta: almeno una
delle due teorie deve essere modificata in modo da eliminare la contraddizione. Ma
per decidere qual è la teoria da modificare occorre sapere quale delle due fa la previsione giusta riguardo alle proprietà della velocità della luce nel vuoto.
2
L’ESPERIMENTO DI MICHELSON-MORLEY
A metà dell’Ottocento gli esperimenti sull’interferenza e la diffrazione della luce
avevano convinto i fisici della natura ondulatoria della luce, ma non era ancora chiaro di quale onda si trattasse.
Si pensò che la luce fosse, come tutte le altre onde, una perturbazione che si
propaga in un particolare mezzo materiale, chiamato etere luminifero, che
riempie tutto l’Universo.
Se l’etere esiste è naturale ammettere che le equazioni dell’elettromagnetismo siano
valide in modo rigoroso in un solo sistema di riferimento privilegiato, quello in cui
l’etere è in quiete.
Per verificare questa ipotesi occorreva rilevare il cosiddetto «vento d’etere», cioè
il moto della Terra attraverso l’etere luminifero. L’esperimento, che ha origine da
un’idea esposta da Maxwell nel 1875 in un articolo scritto per la nona edizione
dell’Enciclopedia Britannica, fu condotto tra il 1881 e il 1887 dai fisici statunitensi
Albert A. Michelson (1852-1931) e Edward W. Morley (1838-1923).
L’apparato sperimentale di Michelson e Morley
L’apparato sperimentale utilizzato da Michelson e Morley è basato sul fenomeno
dell’interferenza della luce: un fascio di luce monocromatica (cioè di un solo colore)
è diretto dalla sorgente di luce L su uno specchio semiriflettente H.
Albert Abraham Michelson
(1852-1931), fisico
statunitense di origine tedesca,
premio Nobel per la fisica nel
1907. Ricercatore di ottica,
nel 1881 effettuò una prima
volta l’esperimento per il quale
è famoso. L’esperimento
fu ripetuto nel 1887 in
collaborazione Edward Williams
Morley (1838-1923), fisico e
chimico statunitense.
1037
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
� Parte del fascio che incide su H è
riflesso verso lo specchio B, mentre
il resto giunge allo specchio A.
L
S
� La
luce che incide su A è riflessa
di nuovo su H e parte di essa arriva
allo schermo S.
sorgente
di luce
� La luce riflessa da B attraversa lo
specchio H e arriva anch’essa allo
schermo S.
L
specchio
semiargentato
B
L
S
B
S
B
H
H
H
l
l
specchi
schermo
A
A
A
A
B
C
I due fasci, giungendo sullo schermo S, formano una figura di interferenza costituita
da frange chiare e scure alternate.
Entrambi i raggi percorrono il tratto LH e il tratto HS; quindi, in quei due segmenti i loro comportamenti sono uguali. Sono invece diversi i comportamenti dei
due fasci di luce lungo i segmenti AH e BH (entrambi lunghi l).
H
A
Figura 2 L’apparato sperimentale è
disposto con il segmento AH parallelo
alla velocità vv del laboratorio rispetto
al Sole.
v
All’inizio si dispone l’apparato sperimentale con il segmento AH parallelo alla velocità istantanea del laboratorio nel sistema di riferimento del Sole (figura 2).
In questo modo, nel sistema di riferimento del laboratorio l’apparato sperimentale è fermo e l’etere scorre da A
verso H con velocità vv , creando un «vento d’etere».
Così, secondo la meccanica classica, nel tratto HA il moto della luce è ostacolato
dall’etere in moto contrario, mentre è facilitato nel tratto AH; invece, nei tratti HB e
BH della figura precedente la luce si muove perpendicolarmente al moto della Terra
e, quindi, impiega un tempo diverso.
Dopo aver registrato su una lastra fotografica la figura di interferenza con il segmento HA parallelo alla velocità vv della Terra, Michelson e Morley ruotarono l’apparato in modo da avere il segmento HB parallelo a vv , con HA che viene a trovarsi
perpendicolare a tale vettore.
Nella nuova configurazione, i tempi di percorrenza nei due tratti si invertono e
ci si aspetta di vedere sullo schermo S una nuova figura di interferenza, diversa da
quella precedente. Invece
l’esperimento di Michelson e Morley non rivelò alcuna variazione nella figura
di interferenza.
Questo risultato non cambiò neppure quando, per aumentare la sensibilità dell’apparato sperimentale, i fasci luminosi furono fatti riflettere otto volte.
Di conseguenza, la teoria dell’etere si rivelava inadatta a descrivere il comportamento della luce: tutto il problema doveva essere ripensato da capo.
1038
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
3
35
CAPITOLO
GLI ASSIOMI DELLA TEORIA
DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA
Per risolvere la contraddizione tra meccanica ed elettromagnetismo, ben sottolineata dall’esperimento di Michelson e Morley, Einstein propose di rifondare da capo la
fisica partendo da due assiomi (o princìpi):
1. Principio di relatività ristretta: le leggi e i principi della fisica hanno la
stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2. Principio di invarianza di c: la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi
di riferimento inerziali, indipendentemente dal moto del sistema stesso o
della sorgente da cui la luce è emessa.
Il principio di relatività ristretta estende a tutta la fisica il principio di relatività galileiana che vale per la meccanica. L’assioma nasce direttamente dalla convinzione di
Einstein che la natura sia regolata da leggi semplici ed eleganti. In effetti, una fisica in
cui le leggi sono le stesse in tutti i sistemi inerziali è molto più semplice di una in cui
le leggi variano nel passare da un sistema di riferimento all’altro.
Relatività ristretta
Questo principio è chiamato
di relatività ristretta per
distinguerlo dal principio di
relatività generale che Einstein
introdusse in seguito.
Relatività galileiana
Il principio di relatività
galileiana è stato sviluppato
nel paragrafo 4 del capitolo
«I princìpi della dinamica».
L’invarianza di c spiega il risultato negativo dell’esperimento di MichelsonMorley.
Infatti, se la velocità della luce non dipende dal sistema di riferimento, le durate dei
percorsi dallo specchio semiargentato agli specchi A e B sono le stesse sia quando
l’apparato sperimentale è orientato in un certo modo, sia quando è ruotato di 90.
Ecco, quindi, che non si osserva alcuna variazione nella figura di interferenza.
In realtà Einstein, quando cominciò a elaborare la propria teoria, non era a conoscenza dell’esperimento di Michelson-Morley. Per lui l’assioma 2 era motivato dalle
stesse ragioni di semplicità ed eleganza che sono alla base dell’assioma 1. Anzi, in un
certo senso si può vedere il secondo assioma come un caso particolare del primo:
se le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, in ognuno di essi
valgono le equazioni di Maxwell che prevedono un ben preciso valore della velocità
della luce. Quindi tale velocità risulta la stessa in tutti i sistemi inerziali.
4
LA RELATIVITÀ DELLA SIMULTANEITÀ
Albert Einstein, partendo dall’ipotesi della costanza di c, comprese che tutta la fisica
sviluppata fino ad allora si basava su un’ipotesi data per scontata e che, in realtà, non
è affatto ovvia.
Tale ipotesi è che esiste in fisica un tempo assoluto, cioè un tempo che scorre immutabile e indifferente, identico in tutti i sistemi di riferimento. Einstein analizzò in modo
critico l’idea del tempo assoluto, partendo dallo studio del concetto di simultaneità.
Newton e il tempo assoluto
L’idea del tempo assoluto e
dello spazio assoluto, presente
in tutta la fisica classica, era
stata enunciata da Newton
nel suo fondamentale
lavoro sulla meccanica
Philosophiae naturalis principia
mathematica.
Il concetto di simultaneità
Per capire bene il pensiero di Einstein bisogna chiedersi cosa significa misurare un
intervallo di tempo, per esempio quello tra la partenza di un atleta e il suo arrivo al
traguardo. Se voglio misurare la durata della gara, devo dichiarare che
1039
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
�Contemporaneamente alla partenza
�mentre simultaneamente all’arrivo il
dell’atleta il mio orologio segnava, per
esempio, il valore 11:18.42,60 (ore 11 e
18 minuti, 42 secondi e 6 decimi),
quadrante dello stesso orologio indicava le cifre 11:18.52,90; in tal modo ho
misurato una durata della gara pari a
10,3 s.
A
B
È chiaro che, per eseguire la misura dell’intervallo di tempo, ho dovuto utilizzare
due volte il concetto di simultaneità tra due eventi: per esempio, la partenza dell’atleta e la comparsa del valore 11:18.42,60 sull’orologio devono essere simultanei, e altrettanto deve valere all’arrivo dell’atleta.
Nella vita quotidiana ci sembra ovvio decidere se due eventi sono simultanei o no.
Però vale la pena di esaminare con precisione se ciò è veramente scontato.
La definizione operativa di simultaneità
P1
M
P2
Figura 3 I due lampi sono simultanei
perché giungono nello stesso istante
in M, che è equidistante dai punti di
emissione P1 e P2.
L’assioma sulla costanza della velocità della luce permette di stabilire in modo operativo e non ambiguo quando due fenomeni sono simultanei o no.
Per semplificare le cose, supponiamo che i fenomeni F1 e F2 consistano nell’emissione di luce da parte di due corpi che si trovano nei punti P1 e P2 dello spazio. Per
un intervallo di tempo molto breve i due corpi diventano luminosi e la luce che essi
emettono, propagandosi, permette a tutti gli osservatori di sapere che i due fenomeni hanno avuto luogo.
Per dire se due eventi sono simultanei o no, scegliamo un punto M che sia equidistante da P1 e P2 (figura 3). Per definizione:
i fenomeni F1 e F2 (che avvengono nei punti P1 e P2) sono simultanei se la luce che
essi emettono giunge nello stesso istante in un punto M equidistante da P1 e P2.
Il ragionamento che sta alla base di questa definizione è semplice: se le distanze P1 M
e P2 M sono uguali, i raggi di luce (che hanno la stessa velocità) impiegano intervalli
di tempo uguali per percorrerle. Quindi, se i due raggi di luce arrivano in M nello
stesso istante, devono essere partiti simultaneamente.
La simultaneità è relativa
Proviamo ora ad applicare la definizione precedente a un esempio specifico, inven1040
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
35
CAPITOLO
tato dallo stesso Einstein: consideriamo un treno che si muove a grande velocità rispetto a un osservatore O1 che si trova a terra, lungo i binari. Un secondo osservatore
O2 si trova sul treno, a metà strada tra due punti A e B.
A un certo punto, due petardi
esplodono sui binari in corrispondenza dei punti A e B (figura 4). Le
due esplosioni sono testimoniate
dai segni di bruciatura che rimangono sui binari e sul treno, e la luce
emessa da esse si propaga in tutte le
direzioni con velocità c.
Il tutto è stato preparato in modo
che i raggi luminosi emessi dai due
petardi giungano a O1 nello stesso
istante (figura 5). Inoltre l’osservatore O1, misurate le distanze tra il
punto in cui si trovava quando ha
visto le esplosioni e le due bruciature lasciate dalle esplosioni stesse, determina che tali distanze sono uguali. Sulla base della definizione precedente, egli giudica che i due petardi
sono esplosi simultaneamente.
Dal treno l’osservatore O2 dà un
giudizio differente: infatti, mentre i
raggi luminosi si propagano, il treno si sposta (nel nostro esempio)
verso sinistra (figura 6). Quindi O2
vede prima l’esplosione che avviene
alla testa del treno e soltanto dopo
un certo intervallo di tempo vede
anche l’esplosione che ha avuto luogo in coda al treno: non c’è dubbio
che, secondo lui, le due esplosioni
non sono state simultanee.
O2
Figura 4 Due petardi esplodono sui
binari nei punti A e B; gli osservatori
O1 e O2 si trovano (il primo a terra e il
secondo sul treno, che si muove verso
sinistra) a metà strada tra A e B.
O1
A
B
O2
O1
A
B
Figura 5 Per O1 le esplosioni sono
simultanee, perché avverte nello stesso
istante i lampi di luce emessi dai due
petardi.
O2
O1
A
B
Allora i due eventi che stiamo esaminando, cioè le due esplosioni, sono stati simultanei per un osservatore e non simultanei per l’altro. Non c’è nulla di sbagliato: infatti,
entrambi gli osservatori si sono attenuti strettamente alla definizione operativa di
simultaneità. Entrambi hanno condotto in modo corretto le loro osservazioni. Eppure i loro responsi sono diversi.
Inoltre non c’è nulla di speciale che distingua il sistema di riferimento del treno
da quello in cui i binari sono fermi: in maniera del tutto simmetrica, due eventi che
sono simultanei per O1 non lo sono per O2. Dobbiamo quindi ammettere che
il giudizio di simultaneità è relativo: due eventi che risultano simultanei in un dato
sistema di riferimento non lo sono in un altro che si muova rispetto al primo.
L’analisi precedente, basata sul fatto che la velocità della luce ha un valore finito, ci fa
capire che il tempo assoluto su cui è fondata la meccanica classica non ha significato
Figura 6 Per O2 le esplosioni non
sono simultanee, perché avverte il
lampo di luce emesso da A prima di
quello emesso da B.
Deﬁnizione operativa
di tempo
Ricorda che in fisica
qualunque grandezza, anche
il tempo, è introdotta mediante
una definizione operativa.
Di conseguenza, per un fisico
esiste il tempo assoluto soltanto
se è possibile individuare un
metodo per misurarlo.
1041
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
Due diverse velocità
della luce
La conclusione è valida
anche se la velocità della luce
assumesse valori diversi nei
due sistemi di riferimento.
RELATIVITÀ E QUANTI
fisico: lo avrebbe se la luce si propagasse a velocità infinita. In quel caso, il giudizio di
simultaneità sarebbe assoluto, uguale per tutti gli osservatori.
Nella vita quotidiana, le velocità che riusciamo a ottenere sono così piccole rispetto
a c che non è possibile avere un’esperienza diretta della relatività della simultaneità.
Vedremo però che le cose cambiano se ci si muove a velocità abbastanza vicine a c.
5
Vedere il Sole
Per esempio, se potessimo
vedere un orologio posto sul
Sole, leggeremmo il tempo che
esso segnava più di 8 minuti
prima.
LA DILATAZIONE DEI TEMPI
Il valore finito della velocità della luce porta a chiedersi cosa significa confrontare
tra loro due misure di tempo che sono state fatte in luoghi diversi. Infatti, noi non
vediamo mai un orologio come è «in questo istante», ma come era quando partiva
da esso la luce che entra nei nostri occhi.
Di conseguenza, occorre introdurre nella teoria che stiamo costruendo un protocollo che dica come possiamo sincronizzare tra loro due orologi (che consideriamo
identici e privi di difetti di costruzione) posti a una certa distanza tra loro.
La sincronizzazione degli orologi
Supponiamo quindi di avere due orologi identici posti a una distanza nota D. Il primo di questi orologi è programmato per emettere un lampo di luce a un orario fissato t t0 (per esempio a mezzanotte) e il secondo orologio è in grado di rilevare
l’arrivo dello stesso lampo di luce.
Dal momento che la luce descrive il tragitto tra il primo orologio e il secondo
nell’intervallo di tempo t D/c, per definizione:
due orologi sono sincronizzati se il secondo di essi, nell’istante in cui riceve il
lampo di luce emesso dal primo, segna il valore t t0 D/c.
Questa procedura (illustrata nella figura 7) è in accordo con la definizio-
D
Figura 7 Schema logico del metodo
di sincronizzazione degli orologi.
ne di simultaneità che abbiamo visto
in precedenza. Infatti, se ognuno dei
due orologi emette un raggio di luce
nell’istante in cui segna l’orario, un
osservatore che si trovi nel sistema di
riferimento in cui gli orologi stessi
sono fermi e che occupi il punto medio tra le loro posizioni riceve simultaneamente i due lampi di luce.
Quindi, usando il linguaggio comune «i due orologi sono sincronizzati
perché segnano simultaneamente lo
stesso orario».
La misura di un intervallo di tempo
Utilizziamo ora gli orologi che abbiamo sincronizzato. Un osservatore O2, che si trova su una piattaforma mobile, ha a disposizione un orologio che emette luce.
1042
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
A un certo istante, un brevissimo
lampo di luce viene emesso verso
uno specchio posto a distanza d (figura 8). Il lampo si riflette e ritorna
verso il basso.
Quando il sensore rileva l’arrivo
del raggio riflesso, l’orologio si ferma e segna il valore dell’intervallo
di tempo t impiegato dalla luce
nel percorso di andata e ritorno
(che ha lunghezza 2d):
2d
t =
.
c
Contemporaneamente la piattaforma, su cui si trova l’osservatore O2, si
muove verso destra con velocità vv nel
sistema dell’osservatore O1, che è fisso
rispetto al suolo. O1 descrive lo stesso
fenomeno con i propri apparati di misura. Visto che, mentre la luce percorre il proprio cammino, la piattaforma
di O2 si muove verso destra, per O1
la traiettoria del raggio di luce è una
spezzata inclinata a destra (figura 9).
35
CAPITOLO
specchio
d
sensore di luce
sistema di
riferimento
di O2
Laser
Figura 8 L’apparato sperimentale
è fermo per l'osservatore O2: la luce
percorre avanti e indietro lo stesso
segmento.
B
specchio
ssistema
istema di
rif imento
t
di O1
A
H
Laser
v
C
Figura 9 L’osservatore O1 vede
l’apparato sperimentale che si muove
verso destra: la luce percorre quindi
una linea spezzata.
Laser
Nel sistema di riferimento del suolo (sistema di O1) sono disposti molti orologi sincronizzati tra loro e identici a quello di O2. Di questi, uno si trova in corrispondenza
del punto A da cui la luce è emessa e registra l’istante in cui ciò accade; un altro è nel
luogo C dove il raggio luminoso arriva e, come il primo, registra l’orario di tale fenomeno. In questo modo O1 può leggere i due istanti di tempo iniziale e finale del moto
del raggio di luce e, quindi, calcolare l’intervallo di tempo t che li separa.
Per O1 il raggio di luce percorre una spezzata ABC, con i segmenti AB e BC che sono
i lati di un triangolo isoscele di base AC. Il teorema di Pitagora fornisce la relazione
AB 2 = AH 2 + HB 2
(1)
AB è metà della distanza percorsa dalla luce, che viaggia sempre alla stessa velocità
c, nell’intervallo di tempo t ; HB è metà della distanza percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo t e AH è metà dello spostamento della piattaforma (a velocità v)
nell’intervallo t . Quindi valgono le formule
AB = 1 c tl ,
2
HB =
1 c t,
2
AH =
1 v tl .
2
Ora possiamo elevare queste formule al quadrato, sostituirle nella formula (1) e
moltiplicare entrambi i membri per il numero 4. Si ottiene l’equazione
c2(t )2 v2(t )2 c2(t)2,
Massima velocità
da cui otteniamo la fondamentale relazione
tl =
1
v 2
1 -a k
c
t
(2)
Se la velocità di un corpo
crescesse fino a essere
maggiore di c, l’argomento
della radice quadrata
diventerebbe negativo. Ciò
è impossibile e quindi c è la
velocità massima di ogni corpo.
1043
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
I due intervalli di tempo t e t , misurati in due sistemi di riferimento diversi per la
durata dello stesso fenomeno, sono differenti. Dopo la relatività della simultaneità,
abbiamo scoperto anche che la misura della durata dipende dal sistema di riferimento in cui questa grandezza è misurata.
È una nuova conferma della non esistenza, in fisica, del tempo assoluto.
La dilatazione dei tempi e l’intervallo di tempo proprio
Visto che il denominatore che compare nella formula (2) è un numero minore o, al
massimo, uguale a uno, l’intervallo di tempo t è sempre maggiore o uguale di t.
Questo effetto prende il nome tradizionale di dilatazione dei tempi:
la durata di un fenomeno (per esempio il moto di una particella) risulta
minima quando è misurata in un sistema di riferimento inerziale S che è
solidale con il baricentro del sistema fisico in esame.
Per questa ragione S è detto sistema di riferimento solidale con il fenomeno. In tutti
i sistemi di riferimento in moto rispetto a S la durata del fenomeno è maggiore.
Per esempio, la durata del suono di una sveglia risulta minima nel sistema di riferimento in cui la sveglia è ferma, mentre è maggiore in tutti i sistemi di riferimento
in cui la sveglia è in moto.
Allo stesso modo, nell’esempio appena discusso dell’orologio laser, il sistema di
riferimento solidale con il fenomeno è O2, in cui la piattaforma, l’emettitore laser, lo
specchio e il sensore di luce sono fermi.
La durata del fenomeno misurata in un sistema di riferimento solidale con esso si
chiama intervallo di tempo proprio (o, in breve, tempo proprio) del fenomeno e si
indica con il simbolo !.
In particolare, se il fenomeno da studiare è il moto di un punto materiale (per
esempio una particella elementare, o una sonda spaziale) che si muove con velocità
vv costante, il sistema di riferimento solidale con tale fenomeno è quello che si muove con il corpo (o, in modo equivalente, quello in cui il corpo è sempre fermo); notiamo che, in tale sistema di riferimento, il punto materiale in esame occupa sempre
la stessa posizione.
ESEMPIO
L’astronauta Bruno viaggia verso una stella lontana alla velocità v 0,95 c,
mentre il suo gemello Carlo rimane sulla Terra. Bruno raggiunge la stella
dopo un viaggio che, misurato dagli strumenti di bordo dell’astronave, è
lungo t 10 anni.
f Quanto vale la lunghezza t dello stesso viaggio secondo l’orologio
terrestre di Carlo?
• L’intervallo di tempo t 10 anni è il tempo proprio del fenomeno, perché
è misurato nel sistema di riferimento in cui l’astronave risulta ferma.
• Allora il valore di t si calcola con la formula (2):
tl =
t
v 2
1 -a k
c
=
10 anni
10 anni
=
= 32 anni.
2
0,31
1 - (0,95)
1044
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
35
CAPITOLO
Il «paradosso dei gemelli»
La dilatazione relativistica del tempo prevista dalla teoria di Einstein non vale solo
per gli orologi, ma per tutti i fenomeni naturali, compresi le reazioni chimiche e i
processi biologici.
Consideriamo l’astronauta Bruno dell’esempio precedente, che parte a 20 anni e
viaggia nello spazio a una velocità prossima a c, impiegando 10 anni a compiere il
viaggio di andata e altri 10 per il ritorno; quando arriva di nuovo sulla Terra, Bruno
ha 40 anni. Invece il gemello Carlo, che è rimasto sulla Terra, ha aspettato 64 anni
(due volte 32 anni) per potere rivedere il fratello e, nel momento dell’incontro, egli
ha 84 anni.
Quindi Bruno è rimasto più giovane di Carlo, così come un orologio a bordo del
razzo avanza più lentamente di un orologio della base terrestre.
La storia dei gemelli è conosciuta con il nome di paradosso perché in origine era
citata come una confutazione della teoria della relatività.
Infatti, si potrebbe affermare che, per Bruno, è la Terra che si sposta nello spazio
alla velocità di 0,95 c, quindi dovrebbe essere Carlo a essere rimasto più giovane.
Dato che alla fine i due gemelli si incontrano, uno dei due ragionamenti è corretto e
l’altro è sbagliato.
La definitiva spiegazione del paradosso sta nel fatto che il problema non è simmetrico: Carlo durante tutto il viaggio si trova in un sistema approssimativamente inerziale
(la Terra), mentre Bruno accelera alla partenza e, per tornare al punto di partenza,
deve arrestare i motori, invertire la rotta e ripartire, quindi il suo moto è soggetto ad
accelerazioni e il suo sistema, almeno per una parte del moto, non è inerziale.
Questo problema può essere trattato in modo quantitativo nell’ambito della relatività ristretta. Inoltre, per tenere conto degli effetti delle accelerazioni, si può controllare il risultato ottenuto applicando la teoria della relatività generale: essa conferma il fatto che è Bruno, il gemello astronauta, a rimanere più giovane.
Il paradosso dei gemelli è dunque scientificamente fondato, benché descriva una
situazione sorprendente e, come indica l’etimologia del termine, «contraria al senso
comune».
I simboli ␤ e ␥
Signiﬁcato di "
Per semplificare la formula (2) introduciamo due nuovi simboli. Il primo simbolo è
"=
v
c
(3)
" è il rapporto tra il modulo v della velocità di un oggetto o di un sistema di riferimento e quello della velocità della luce nel vuoto.
Inoltre definiamo il coefficiente di dilatazione
=
1
1-
2
v
c2
=
1
1 - "2
(4)
" e sono numeri puri: il loro valore non dipende dal sistema di unità di misura
utilizzato.
La figura 10 mostra il grafico di al variare di v. Si vede che, per piccoli valori della
velocità, è circa uguale a 1. Ma per v c il grafico di ha un asintoto verticale: ciò
significa che il valore di è sempre più grande quanto più v si avvicina a c.
" è il modulo della velocità in
un sistema di unità di misura
naturale in cui si sceglie come
unità di misura delle velocità
l’unica velocità universale,
cioè quella con cui la luce si
propaga nel vuoto.
a
7
6
5
4
3
2
1
O
Figura 10 Grafico del coefficiente
di dilatazione in funzione della
velocità v.
1045
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
0,6 1,2 1,8 2,4 3
v (10 8 m/s)
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
Usando il coefficiente di dilatazione, la formula (2) si riscrive
t t.
6
(5)
LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
Dopo avere esaminato la relazione tra misure di durata compiute da osservatori che
si trovano in moto relativo, affrontiamo ora l’argomento delle misure di lunghezza.
Le lunghezze poste nella direzione del moto relativo si
contraggono
Ritorniamo ancora all’esempio del treno che si muove ad alta velocità. L’osservatore
O1 (quello solidale con il terreno) ha piantato due paletti nel terreno in modo da individuare così un segmento parallelo ai binari (e, quindi, al moto di O2). O1 misura la
distanza tra i paletti, il cui valore risulta x.
Ciò significa che, nel sistema di riferimento di O1, le posizioni x1 e x2 dei due estremi del segmento sono costanti nel tempo e il valore di x è dato dalla differenza tra
tali posizioni. Se t è l’intervallo di tempo (misurato nel sistema di riferimento di
O1) che un punto fissato del treno impiega per passare da x1 a x2, con x x2 x1 si
ha
x vt.
Per O2, prima di tutto, è necessario definire cosa significa «lunghezza di un segmento
in movimento».
Esiste una definizione naturale:
in un dato sistema di riferimento, la lunghezza di un segmento che si muove
con velocità v si ricava dalla misura del tempo necessario affinché passino per
uno stesso punto i suoi due estremi.
Così la distanza x , misurata da O2, che vede i paletti muoversi con velocità vv e
misura il tempo t , vale
x vt .
Stessa v
Il modulo della velocità v con
cui O1 vede allontanarsi O2 è
identico a quello con cui O2
vede allontanarsi O1. Infatti c’è
una completa simmetria tra
i due sistemi di riferimento:
avremmo potuto benissimo
considerare il sistema del treno
come «fermo» e quello del
terreno come «in moto».
Figura 11 L’osservatore O2 misura la
distanza tra i paletti rilevando il tempo
che separa gli istanti in cui egli passa
a lato dei due paletti e moltiplicando
tale intervallo di tempo per la velocità
del treno.
Come si vede nella figura
11, P è un punto fisso per
l’osservatore O2. Quindi il
passaggio dei due paletti in
corrispondenza di P è un
fenomeno solidale con il
sistema di riferimento del
treno. Ciò significa che il
tempo t è più breve di t
e che si può utilizzare la formula (5), ma con i ruoli dei
simboli t e t scambiati.
sistema di O2
v
P
P
x1
x2
sistema di O1
1046
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
t è la durata del fenomeno vista da O2 e t t è la durata (che è maggiore)
dello stesso fenomeno misurata nel sistema di riferimento O1, che non è solidale con
il fenomeno stesso. Allora, tenendo conto che t t/, si ha
xl = v t l = v
t
.
35
CAPITOLO
Lunghezze perpendicolari
al moto
Si dimostra che le lunghezze
di segmenti posti in direzione
perpendicolare al moto
rimangono invariate.
Se, però, ricordiamo che l’intervallo di tempo t misurato da O1 è uguale a x/v troviamo una seconda relazione fondamentale:
xl =
x
=
1-
v2
x.
c2
(6)
La lunghezza propria
La lunghezza di un segmento misurata nel sistema di riferimento in cui esso è in
quiete si chiama lunghezza propria del segmento. Siccome la quantità 1 - v 2 /c 2
che compare nella formula (6) è sempre minore di 1, si vede che
la lunghezza di un segmento misurata in un sistema di riferimento in cui esso
è in movimento risulta sempre minore della lunghezza propria del segmento
stesso.
Quindi, la lunghezza propria è la massima lunghezza del segmento che può essere
misurata nei diversi sistemi di riferimento in moto relativo. Come per il tempo, scopriamo che anche lo spazio assoluto della meccanica classica non esiste, e questo è
conseguenza del fatto che il tempo assoluto non esiste.
Questi fatti vengono spesso condensati nella frase «all’aumentare della velocità
il tempo scorre più lentamente e le lunghezze si contraggono»: si sottintende la
specificazione «rispetto alle stesse grandezze misurate nel riferimento che utilizziamo abitualmente»: in esso determiniamo la lunghezza di segmenti fermi rispetto a noi ma, in generale, non siamo solidali rispetto ai fenomeni che osserviamo.
Il carattere relativo dei valori di alcune grandezze fisiche è la proprietà che dà il
nome a tutta la teoria einsteiniana della relatività.
ESEMPIO
La lunghezza propria di una sbarra vale x 4,0 m. Il sistema di riferimento
O2 si muove, rispetto alla sbarra, con velocità v 8,7 107 m/s.
f Calcola la lunghezza x della sbarra secondo le misure effettuate in O2.
• Applicando la formula (6) otteniamo:
8,7 # 10 7 m/s 2
v2
=
x
1
f
p # (4,0 m) =
c2
3,0 # 10 8 m/s
= 1 - 0,084 # (4,0 m) = 0,96 # (4,0 m) = 3,8 m.
xl =
1-
1047
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
7
Legge di Lavoisier
Nel 1789 il chimico francese
Antoine Lavoisier (17431794) enunciò la sua legge di
conservazione della massa,
secondo cui «in ogni reazione
chimica la somma delle
masse dei reagenti è uguale
alla somma delle masse dei
prodotti».
L’EQUIVALENZA TRA MASSA ED ENERGIA
La conservazione dell’energia è una legge fondamentale della fisica classica. Oltre a
ciò, in tutti i fenomeni fisici e chimici si osserva che la massa totale dei sistemi sotto
esame si conserva.
Invece, nella teoria della relatività si scopre che la grandezza fisica «massa», presa
singolarmente, non si conserva. Infatti la massa non è altro che una forma di energia
che va aggiunta all’energia cinetica e all’energia potenziale nell’enunciare la conservazione dell’energia meccanica.
In particolare, come dimostreremo nel seguito, la teoria della relatività afferma che:
se un corpo assorbe una quantità di energia E la sua massa non si conserva,
ma aumenta della quantità
m =
E
.
c2
(7)
Viceversa, la massa del corpo diminuisce se esso perde energia, per esempio emettendo onde elettromagnetiche.
ESEMPIO
Attraverso un passaggio di calore, un cucchiaio assorbe l’energia E 100 J.
f Quanto vale l’aumento m della massa del cucchiaio per effetto di questo
riscaldamento?
Dalla formula (7) possiamo calcolare
m =
E
=
c2
100 J
m 2
a 3,00 # 10
k
s
kg :
= 1,11 # 10 -15
8
m2
s2
m2
s2
= 1,11 # 10 -15 kg.
Da quanto abbiamo visto nell’esempio precedente, per i normali fenomeni quotidiani la variazione relativistica della massa è così piccola da non potere essere rilevata neppure con misure precisissime.
La quantità di moto della luce
Quantità di moto della luce
La verifica sperimentale del
trasferimento di quantità di
moto dalla luce alla materia,
per quanto molto difficile da
eseguire su superfici piccole
e in presenza dell’aria, è stata
compiuta nel 1903 da Nichols
e Hull.
Le onde elettromagnetiche non trasportano soltanto energia, ma anche quantità di
moto. In particolare, se un corpo assorbe un fotone, cioè un «pacchetto» di onde
elettromagnetiche che ha energia E, riceve una quantità di moto
p=
E
.
c
(8)
L’effetto è così reale che la NASA sta studiando delle vele solari che, a causa della
pressione dovuta alla luce del Sole o di altre stelle, sono in grado di spingere le navi
spaziali del futuro.
Le vele solari sono progettate in modo da riflettere la luce incidente, invece di as-
1048
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
35
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
CAPITOLO
NASA
sorbirla. In questo modo la variazione della loro quantità di moto sarebbe il doppio
di quella data dalla formula (8).
La foto a lato mostra una vela solare quadrata, con il lato di 20 m, che è sottoposta
a verifiche al Glenn Research Center della NASA.
Secondo i calcoli, una vela con una massa di 1 g per metro quadrato, dell’area di 1 km2,
potrebbe raggiungere una velocità dell’ordine del centesimo della velocità della luce.
Un esperimento ideale
Consideriamo ora un corpo di massa m fermo nel sistema di riferimento S e che assorbe, nello stesso istante, due «pacchetti» di onde elettromagnetiche (per esempio
due lampi di luce oppure due fotoni) che giungono da direzioni opposte e che traE
sportano ciascuno l’energia (figura 12). Per la formula (8), ciò implica che ciascun
2
pacchetto di energia cede al corpo una quantità di moto
p=
Le vele solari sono progettate
in modo da riflettere la luce
incidente, invece di assorbirla.
In questo modo la variazione
della loro quantità di moto
sarebbe il doppio di quella data
dalla formula (8).
E
.
2c
S
Dal momento che le due quantità di moto cedute al corpo dai pacchetti di energia
hanno stessa direzione, versi opposti e stesso modulo, la somma vettoriale delle due
è uguale al vettore nullo e, dopo l’assorbimento dell’energia E, la velocità resta nulla
e il corpo rimane fermo nel sistema S.
Osserviamo lo stesso fenomeno in un sistema di riferimento S che si muove rispetto a S
con una velocità vv perpendicolare (in S) alla
direzione di propagazione dei due pacchetti di
onde elettromagnetiche (nella figura 13, S si
muove verso sinistra rispetto a S). Il modulo di
vv deve essere abbastanza piccolo da giustificare, nel seguito, l’uso della meccanica classica.
La figura illustra come appare in S l’assorbimento dei due pacchetti di onde elettromagnetiche. In S la somma vettoriale delle quantità di
moto cedute dalla luce al corpo di massa m non
è nulla, ma è pari al doppio della componente
orizzontale px di uno dei due vettori (le componenti verticali py e py sono uguali e opposte).
La figura 14 mostra la velocità cv di uno dei
pacchetti di energia, la sua quantità di moto
pvl1 , la velocità vv con cui la massa m si muove in S e il componente pvlx di pvl1 parallelo a
vv . Poiché v è piccola, in pratica si ha p1 p.
I due triangoli ABC e ADE che così si formano sono simili, essendo rettangoli con un
angolo acuto in comune. Dalla proporzionalità tra i due cateti BC e DE con le corrispondenti ipotenuse AC e AE si ottiene
S'
p'y
m
v
p'1
p'x
Figura 12 Nel sistema S, il
blocchetto di massa m assorbe due
fotoni che si muovono in versi opposti e
rimane fermo.
m
p'x
– p'y
p1 = p
p2 = –p
S
p'2
Figura 13 Nel sistema S i due
fotoni hanno direzioni oblique e solo
i componenti lungo y si annullano a
vicenda.
A
p'1
B
p'x
c
C
D
v E
vE
v
=
plx = p =
;
c 2c 2c 2
c
Vele riﬂettenti
E
–v
Figura 14 I triangoli rettangoli ABC
e ADE sono simili.
1049
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
di conseguenza, la quantità di moto del corpo aumenta della quantità
pl = 2pxl =
vE
.
c2
Quindi, nel sistema di riferimento S :
• prima dell’assorbimento dei due pacchetti di energia, il corpo aveva una quantità
di moto di modulo
pli mv;
• dopo l’assorbimento il modulo della quantità di moto aumenta e diviene
vE
plf = mv + 2 .
c
Però, nonostante l’aumento della quantità di moto, la velocità in S del corpo di
massa m non può cambiare, visto che in S la velocità rimane uguale a zero.
Quindi la quantità di moto del corpo è cambiata, ma non la sua velocità. Di
conseguenza, deve essere cambiata l’unica altra grandezza che entra nella
definizione della quantità di moto, cioè la sua massa.
Così, dopo avere assorbito l’energia E il corpo deve avere una nuova massa m , tale che
vE
plf = mv + 2 = ml v.
c
Il secondo e il terzo termine della precedente catena di uguaglianze formano un’equazione, che può essere risolta dando la relazione
E
ml - m = 2 ,
c
che è proprio la formula (7), che volevamo dimostrare.
La massa è energia
L’equazione che abbiamo appena dimostrato permette di affermare che la massa
è una forma di energia, in quanto essa scompare (secondo una precisa relazione)
quando compare energia e viceversa.
Tutte le trasformazioni di massa in energia e di energia in massa sono regolate
dalla relazione di Einstein che, di solito, è scritta nella forma
E mc2.
(9)
In particolare, dalla (9) si deduce che un corpo fermo e non soggetto a forze possiede
una energia per il solo fatto di avere una massa m0 tale energia si chiama energia di
quiete o di riposo del corpo:
E0 m0c2.
1050
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
(10)
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
35
CAPITOLO
La relazione (10) è confermata negli esperimenti sulle particelle elementari, dove
è possibile osservare la «materializzazione» di particelle a spese della scomparsa di
energia e, viceversa, l’annichilazione di due particelle con conseguente emissione
della quantità di energia prevista dalla relazione di Einstein.
La Tomografia a Emissione di Positoni (PET)
L’annichilazione di due particelle, con emissione di energia, è alla base del funzionamento di un esame diagnostico che si chiama Tomografia a Emissione di Positoni (PET, Positron Emission Tomography) e che permette di visualizzare i tumori.
Inoltre, grazie alla PET, è possibile esaminare diverse caratteristiche del cervello nonostante esso sia contenuto all’interno della scatola cranica.
L’esame si realizza introducendo nel nostro corpo una sostanza radioattiva (per
esempio uno zucchero contenente fluoro radioattivo) che, decadendo, emette positoni. Un positone è l’antiparticella dell’elettrone, cioè una particella che ha la stessa
massa dell’elettrone ma carica opposta. Quando un positone e un elettrone si incontrano, secondo la relazione di Einstein, la loro massa si trasforma interamente in
energia, emessa sotto forma di due fotoni«gamma» ().
Così, un positone emesso all’interno
dell’organismo si ferma entro un paio
di millimetri e «annichila» un elettrone
atomico (figura 15). I due fotoni, emessi in direzioni opposte, sono rivelati
dai moltissimi contatori del tomografo
PET.
La PET fornisce preziose informazioni su quali parti del corpo si attivano e
quindi, essendo più ossigenate, metabolizzano più zucchero marcato con il
fluoro radioattivo che emette positoni.
positone
+
a
a
–
elettrone
Figura 15 Un positone emesso da
un nucleo radioattivo e un elettrone si
annichilano, generando due fotoni che si propagano in versi opposti.
Per esempio, quando si esegue un particolare lavoro mentale, come parlare, scrivere,
leggere, ascoltare (vedi le fotografie sotto), si osserva una maggiore attività in alcune
zone piuttosto che in altre e i diversi colori delle immagini rispecchiano queste differenze. Così, la PET permette di studiare le modalità di funzionamento del cervello.
Questa tecnica di indagine permette anche di diagnosticare anomalie presenti
nell’organismo, dall’epilessia ai tumori. In questo caso, le cellule malate sono metabolicamente attive e, quindi, assorbono più zucchero delle cellule sane circostanti; il
tomografo PET, rivelando i due fotoni emessi permette di delimitare il tumore con
precisione millimetrica.
1051
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
8
ENERGIA TOTALE, MASSA E QUANTITÀ
DI MOTO IN DINAMICA RELATIVISTICA
Un corpo di massa m0 fermo possiede l’energia di riposo E0 m0 c2. Secondo la fisica
classica esso, quando si muove con velocità vv , possiede anche un’energia cinetica
1
K = m 0 v 2 . Quindi, secondo la fisica classica (cioè quando il modulo della velocità
2
è molto piccolo rispetto a c) l’energia totale E che il corpo possiede è
1 v2
1
E = m0 c2 + m0 v2 = m0 c2 c 1 +
m.
2 c2
2
2,4
Con una calcolatrice e un pò di pazienza si verifica che, a basse velocità, il termine
che compare tra parentesi nell’ultimo membro della (11) è praticamente uguale al
fattore di dilatazione . In effetti, si dimostra che l’energia totale di una particella
relativistica è data dalla formula generale
E (10–12J)
2,0
1,6
1,2
0,8
E=
0,4
0
2,80
(11)
2,85
2,90
2,95
3,00
v (108 m/s)
Figura 16 Grafico dell’energia totale
di un elettrone in funzione della sua
velocità.
m0 c2
= m 0 c 2
2
v
1- 2
c
(12)
di cui la (11) è un’approssimazione, valida quando la velocità v è molto minore di c.
Nella figura 16 è rappresentato il grafico dell’energia totale E di un elettrone in
funzione della sua velocità v, per valori di v abbastanza vicini a c. Come si vede, il
grafico di E possiede un asintoto verticale per v c. Ciò significa che, quando la velocità v di un corpo si avvicina indefinitamente a c (rimanendo minore di c), la sua
energia totale tende a diventare infinitamente grande.
Di conseguenza, per accelerare un corpo fino a portarlo alla velocità c occorre fornirgli una quantità infinita di energia. Dal momento che ciò non è possibile, c risulta
una velocità limite. Resta così confermato che
nessun corpo massivo può raggiungere la velocità c né, tantomeno, superarla.
L’energia cinetica relativistica
Conoscendo l’espressione che fornisce l’energia totale E posseduta da un corpo, si
può definire l’energia cinetica relativistica Kr come la parte di E che dipende da v,
cioè come la differenza tra l’energia totale del corpo e la sua energia di riposo:
Kr ( 1) m0 c2.
(13)
In effetti, lo stesso ragionamento fatto in relazione alla formula (11) permette di
affermare che, quando v è molto minore di c, l’espressione (13) si riduce alla forma
dell’energia cinetica classica:
K r = ^ - 1 hm 0 c 2 , c 1 +
1
1 v2
- 1 mm 0 c 2 = m 0 v 2 .
2
2 c2
Ancora una volta, i risultati della meccanica newtoniana si trovano come caso limite
(per v molto minore di c) della meccanica relativistica.
1052
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
35
CAPITOLO
ESEMPIO
Un elettrone (massa m0 9,11 1031 kg) si muove con una velocità di
modulo v 2,67 108 m/s.
f Calcola la sua energia cinetica secondo la meccanica classica e secondo la
relatività.
• Secondo la meccanica classica l’energia cinetica Kc dell’elettrone è
Kc =
m 2
1
1
m v 2 = # ^ 9,11 # 10 -31 kg h # a 2,67 # 10 8 k = 3,25 # 10 -14 J.
s
2 0
2
• Calcoliamo ora la grandezza
-1 =
1
v 2
1 -a k
c
-1 =
1
- 1 = 2,19 - 1 = 1,19.
2,67 # 10 8 m/s 2
1 -c
m
3,00 # 10 8 m/s
• Allora l’energia cinetica relativistica Kr vale
K r = ^ - 1 h m 0 c 2 = 1,19 # ^ 9,11 # 10 -31 kg h # a 3,00 # 10 8
m 2
-14
k = 9,76 # 10 J.
s
• L’energia cinetica relativistica risulta tre volte superiore a quella calcolata
secondo la meccanica newtoniana.
La massa relativistica
La formula (12) che fornisce l’energia totale di un corpo può essere resa simile, in
forma, all’espressione (10) che dà l’energia di riposo dello stesso corpo. Per questa
ragione è abituale definire la massa relativistica m di un corpo come
m = m 0 =
m0
v2
1- 2
c
.
(14)
Così, come si era anticipato nella formula (9), l’espressione (12) può essere scritta
come
E m0 c2 (m0) c2 mc2.
(15)
Quindi la massa relativistica non è una costante, ma dipende dalla velocità. Essa aumenta dello stesso fattore con cui si allungano i tempi e si accorciano le lunghezze.
Per v 0 essa si riduce al valore minimo m m0 che si misura nel sistema di riferimento in cui il corpo è fermo; proprio per questa ragione m0 prende il nome di
massa di riposo del corpo.
La quantità di moto relativistica
L’espressione (14) permette di introdurre la quantità di moto relativistica pv r in modo analogo a quella classica. Definiamo quindi la quantità di moto relativistica di
un corpo che ha massa di riposo m0 e velocità vv come
1053
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
pvr = mvv =
m 0 vv
v2
1- 2
c
.
(16)
Ricorrendo alla stessa approssimazione di bassa velocità già usata in precedenza,
possiamo controllare che, per v molto minore di c, si ha
pvr , m 0 vvc 1 +
1 v2
1
v 2
m = m 0 vv + m 0 vva k , m 0 vv.
2 c2
2
c
Quindi, anche nel caso della quantità di moto l’espressione classica si ottiene come
caso limite, per basse velocità, della formula relativistica.
9
La testimonianza
di Einstein
Nell’opera Come io vedo il
mondo Einstein racconta che
i primi tentativi di introdurre
la gravitazione nella relatività
portavano, per esempio, a
prevedere che l’accelerazione
di gravità di un corpo dovesse
dipendere dalla sua velocità
orizzontale. Un tale risultato
era in contrasto sia con
l’esperienza, sia con il senso
estetico di Einstein.
IL PROBLEMA DELLA GRAVITAZIONE
La relatività ristretta può essere sviluppata in modo naturale e coerente in modo da
contenere la teoria elettromagnetica. In effetti, storicamente la relatività nasce da un
problema elettromagnetico, e cioè dal fatto che la teoria di Maxwell prevede lo stesso
valore di c per tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Al contrario, fin dall’inizio non fu chiaro se fosse possibile, e come, introdurre
l’attrazione gravitazionale nell’ambito della relatività ristretta. Lo stesso Einstein si
dedicò a tale problema, ma i risultati a cui giunse gli sembrarono inaccettabili. Così
si convinse che l’introduzione della gravità nella sua teoria richiedeva una rifondazione radicale della teoria stessa.
Einstein quindi si chiese se non fosse possibile ampliare il primo degli assiomi
della relatività ristretta, secondo cui le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i
sistemi di riferimento inerziali. Egli non pensava che questa classe di sistemi di riferimento dovesse avere qualcosa di speciale rispetto a tutti gli infiniti altri possibili.
Partendo da questi problemi egli sviluppò la relatività generale, che supera e completa la relatività ristretta. Uno dei punti di partenza della nuova teoria fu l’approfondimento della relazione tra massa inerziale e massa gravitazionale di un corpo.
La proporzionalità diretta tra massa inerziale e massa
gravitazionale
Nel capitolo «La gravitazione» è illustrata la relazione tra massa inerziale e massa
gravitazionale di un corpo: esse hanno definizioni operative diverse e, quindi, sono
due grandezze fisiche logicamente distinte.
Ma l’esperienza mostra che la massa inerziale di un corpo e la sua massa gravitazionale sono sempre direttamente proporzionali; è così possibile scegliere le loro unità
di misura in modo che esse risultino uguali.
L’uguaglianza tra la massa inerziale mi e la massa gravitazionale mg di uno stesso
corpo giustifica il fatto, già noto a Galileo, che tutti i corpi che si trovano nella stessa
zona di spazio risentono della stessa accelerazione di gravità, in modo indipendente
dalla loro massa e dal materiale di cui sono costituiti.
Equivalenza tra caduta libera e assenza di peso
Eseguiamo un esperimento ideale e immaginiamo di trovarci all’interno di un
ascensore. Improvvisamente, per un guasto, l’ascensore inizia a cadere liberamente
1054
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
35
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
CAPITOLO
verso il basso e noi cadiamo con esso. Che cosa osserviamo?
Tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione di modulo g; quindi tutti gli oggetti interessati (l’ascensore, noi stessi, la cartella che teniamo in mano) si muovono
con la stessa legge del moto.
� Tutti i corpi sono partiti da fermi
e subiscono la stessa accelerazione.
Quindi, a ogni istante, hanno la medesima velocità verticale.
�Così, se apriamo la mano vediamo
che la cartella «galleggia» al nostro
fianco. Anche i nostri piedi non premono il pavimento.
v
v
v
B
La stessa cosa si osserva all’interno di una navicella in orbita attorno alla Terra: la
navicella e i corpi presenti in essa orbitano attorno alla Terra con la stessa velocità,
per cui all’interno della navicella si ha la sensazione di non avere peso.
All’interno di un ascensore in caduta libera vicino alla Terra o in una navicella in
orbita osserviamo quindi gli stessi fenomeni di «assenza di peso» che potrebbero
accadere su un’astronave che si muove a velocità costante in una zona di spazio lontanissima da ogni corpo celeste.
In effetti,
NASA
A
Ambito limitato
nessun esperimento che si possa compiere in un ambiente chiuso (purché
limitato a uno spazio abbastanza ristretto e di durata temporale abbastanza
breve) permette di capire, a chi sta al suo interno, se si trova in un ascensore in
caduta libera o in un’astronave soggetta a una forza totale nulla.
Per esempio, se l’esperimento
dura abbastanza a lungo
si registrerà l’impatto
dell’ascensore con il terreno e
si capirà che non ci si trovava
su un’astronave.
Equivalenza tra accelerazione e forza-peso
Esiste un fenomeno complementare a quello descritto: se l’astronave, lontana da
ogni corpo celeste, inizia ad accelerare sotto la spinta dei suoi motori, tutti i corpi presenti al suo interno (che, per il principio di inerzia, tendono a conservare il
proprio moto rettilineo uniforme) si trovano «spinti» verso la coda dell’astronave,
proprio come i passeggeri all’interno di un autobus in accelerazione hanno la sensa1055
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
zione di essere spinti verso il fondo.
Considera una persona che si trova all’interno dell’astronave, con la testa rivolta
verso la prua e i piedi che toccano una bilancia pesapersone che, a sua volta, è a contatto con il pavimento dell’astronave (figura 17).
�Quando l’astronave si muove a velocità costante, non essendoci alcuna
forza di gravità la bilancia indica che il
peso della persona che vi si trova sopra
vale 0 kg.
Figura 17 L’astronave si trova
lontanissima da ogni corpo celeste. Al
suo interno una bilancia è a contatto
con il pavimento e una persona tocca
con i piedi la bilancia.
� Se
l’astronave ha un’accelerazione
costante, la persona e la bilancia sono
«spinti» verso poppa. La bilancia indica che la persona ha un peso costante
diverso da zero.
23 kg
00 kg
A
B
Se l’accelerazione dell’astronave è costante, si crea al suo interno una forza-peso fittizia che permette agli astronauti di «appoggiare i piedi» su un «pavimento», evitando i disagi e i problemi di salute legati all’assenza di gravità.
Nella situazione appena presentata,
MGM/ THE KOBAL COLLECTION
nessun esperimento compiuto in un locale chiuso (purché limitato a
uno spazio ristretto e di durata temporale non eccessiva) permette allo
sperimentatore di stabilire se si trova in presenza di un campo gravitazionale o
all’interno di un mezzo di trasporto che sta accelerando in modo costante.
Lo stesso effetto può essere ottenuto in una grande stazione spaziale che ruota attorno a un asse.
Le persone che vivono al suo interno sperimentano una forza-peso fittizia, dovuta alla forza centrifuga apparente e percepiscono come «verticale» la direzione che
passa per l’asse di rotazione.
10
I PRINCÌPI DELLA RELATIVITÀ GENERALE
Siamo ora in grado di enunciare i primi due princìpi su cui Einstein basò la teoria
della gravitazione.
1056
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
35
CAPITOLO
Il principio di equivalenza
Dall’analisi di esperimenti ideali come quelli discussi nel paragrafo precedente, Einstein giunse a formulare uno dei princìpi fondamentali della sua teoria, che prende il
nome di principio di equivalenza.
Il principio di equivalenza stabilisce che:
in una zona limitata dello spazio-tempo è sempre possibile scegliere un
sistema di riferimento in modo da simulare l’esistenza di un dato campo
gravitazionale uniforme o, al contrario, in modo da eliminare l’effetto di una
forza di gravità costante.
Il principio di equivalenza è una conseguenza della proporzionalità diretta tra massa
gravitazionale e massa inerziale.
Il principio di relatività generale
Secondo Einstein, non c’è alcuna ragione convincente per la quale i sistemi di riferimento inerziali debbano essere «privilegiati» rispetto a tutti gli altri sistemi di
riferimento che si possono concepire. Anzi, tutti i sistemi di riferimento devono
avere la stessa «dignità»: in fin dei conti, ciò che accade in un sistema di riferimento
inerziale in cui non agiscono forze avviene, in modo indistinguibile, in un sistema di
riferimento che è in caduta libera all’interno di un campo gravitazionale. Allo stesso
modo, ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale in presenza della gravità
è identico a ciò che avviene in un sistema di riferimento accelerato.
Tutto ciò portò Einstein ad enunciare il principio di relatività generale, secondo cui
le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.
Curvatura dello spazio e moto lungo le geodetiche
Il principio di equivalenza e il principio di relatività generale furono i punti di partenza
della teoria della gravitazione di Einstein. Ma lo stesso Einstein raccontò che, per passare
dalle intuizioni iniziali a una visione coerente della nuova fisica, furono necessari anni
di lavoro duro e ostinato. Alla fine, però, venne alla luce una teoria organica e completa.
Tale teoria, che prende il nome di relatività generale, richiese l’introduzione di
altre due idee fondamentali, che sono discusse nei prossimi paragrafi:
• la presenza di masse incurva lo spazio-tempo;
• i corpi soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere, che
si muovono seguendo le geodetiche (curve di minima lunghezza) dello spazio-tempo.
11
LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Per millenni l’unico spazio concepito e studiato è stato lo spazio euclideo. In esso si
considera valido il quinto postulato di Euclide, secondo cui esiste ed è unica la parallela condotta da un punto esterno a una retta. Sulla base di questo postulato (e degli
altri) si dimostrano le proprietà della geometria euclidea. Per esempio, che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a un angolo piatto, oppure
Pubblicazioni matematiche
Nel 1829 e nel 1832 furono
pubblicati, rispettivamente,
i lavori fondamentali del
matematico russo Nicolaj
Lobacevskij (1793-1856) e del
matematico ungherese János
Bolyai (1802-1860). Una prima
sistemazione organica delle
geometrie non euclidee in un
numero arbitrario di dimensioni
fu pubblicata nel 1854 dal
matematico tedesco Bernhard
Riemann (1826-1866).
1057
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
che la linea di minima distanza che connette due punti fissati è un segmento di retta.
Nei primi decenni dell’Ottocento diversi matematici scoprirono che è possibile costruire nuove teorie geometriche modificando il quinto postulato di Euclide (ammettendo per esempio che, per un punto esterno a una retta data, sia possibile condurre infinite parallele alla retta stessa).
Si può visualizzare uno spazio non euclideo in due dimensioni considerando la
superficie di una sfera. Però occorre «dimenticare» che la sfera è immersa nello spazio euclideo tridimensionale: bisogna pensare che la superficie sferica è «tutto ciò
che esiste». Per esempio, per andare dal punto A al punto B della figura 18 occorre
seguire una delle traiettorie arancio; la traiettoria blu (che esce dalla sfera) e quella
verde (che passa al suo interno) non sono ammissibili (perché «non esistono»).
A
B
Figura 18 Sulla superficie di una
sfera, le traiettorie blu e verde non
«esistono».
In un simile spazio occorre definire cosa è una «retta». Per retta passante per A e B intendiamo quella linea che, dal punto di vista usuale, è una circonferenza massima, cioè
una circonferenza ottenuta intersecando la sfera con un piano che passa per il centro
della sfera stessa. Tale scelta è motivata dal fatto che un «segmento» di tale retta è la
linea (tutta appartenente alla sfera) di minima lunghezza che congiunge A e B.
Tre rette, intersecandosi, formano un triangolo.
La geometria sulla sfera ha proprietà peculiari: per esempio
�data una retta r della sfera (linea ros-
sa) e un punto P esterno a essa, tutte le
rette della sfera che passano per P intersecano r. Quindi, per il punto P non
è possibile condurre alcuna parallela
alla retta r.
Il triangolo disegnato sotto, con
l’arco BC che è un quarto dell’«equatore», contiene tre angoli retti. Quindi
la somma degli angoli interni di tale
triangolo è (molto) maggiore di un
angolo piatto.
�
A
P
O
C
r
A
B
B
Quello appena presentato è un esempio di geometria non euclidea ellittica (introdotta da Riemann).
1058
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
35
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
CAPITOLO
Oltre alle geometrie ellittiche esistono quelle iperboliche (introdotte da Lobacevskij e
da Bolyai). Un modello di spazio iperbolico è fornito dall’opera di Maurits Cornelis
Escher (1898-1972) Limite del cerchio IV (figura 19).
In essa si visualizza un modello del matematico francese Henri Poincaré (18541912) che permette di fare corrispondere all’intero piano iperbolico i punti interni di
un cerchio.
In tale corrispondenza tutte le figure disegnate, anche se diventano sempre più
piccole nello spazio euclideo, hanno le stesse dimensioni iperboliche.
Lo sfumare delle figure quando ci si avvicina al bordo del cerchio suggerisce l’idea
che esso ne contenga un numero infinito.
M.C. Escher/Cordon Art-Baarn-Holland
Nelle geometrie ellittiche non esistono rette parallele a una retta data,
condotte per un punto esterno a essa. Inoltre, la somma degli angoli interni di
un triangolo è sempre maggiore di un angolo piatto.
Figura 19 Maurits Cornelis Escher,
Limite del cerchio IV.
Nelle geometrie iperboliche, per un punto esterno a una retta è possibile
condurre infinite rette parallele a quella data. Inoltre, la somma degli angoli
interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto.
Nella teoria geometrica generale di Riemann tutto ciò è dimostrato in maniera rigorosa. In particolare, per ogni spazio si può definire una proprietà intrinseca che si
chiama curvatura. Gli spazi con geometria ellittica hanno curvatura positiva, mentre
quelli con geometria iperbolica hanno curvatura negativa. Nel complesso, tali spazi
si dicono curvi.
Lo spazio tridimensionale di Euclide e lo spazio-tempo quadridimensionale di
Minkowski hanno curvatura nulla. Spazi di questo tipo si dicono piatti.
La caratteristica di uno spazio di essere curvo o piatto può essere determinata
all’interno dello spazio stesso. Per esempio, misurando con grande precisione gli
angoli interni di un triangolo potremmo avere la risposta: se il risultato è pari a un
angolo piatto, lo spazio è piatto, se è superiore a un angolo piatto lo spazio ha geometria ellittica e se è inferiore a un angolo piatto lo spazio ha geometria iperbolica.
12
GRAVITÀ E CURVATURA
DELLO SPAZIO-TEMPO
Come è detto nel paragrafo 10, secondo Einstein la presenza di masse incurva lo
spazio-tempo.
Una volta nota la distribuzione delle masse, l’equazione di campo di Einstein
permette di calcolare qual è la geometria dello spazio.
In generale, tale geometria varia da zona a zona: le parti di spazio-tempo più vicine
alle masse hanno curvature più accentuate di quelle che si trovano lontane da esse.
Non scriviamo la forma dell’equazione di campo di Einstein, perché la sua comprensione richiede conoscenze di matematica che non si apprendono al liceo.
Lo spazio-tempo di Minkowski della teoria della relatività ristretta è piatto, perché in esso non si tiene conto degli effetti gravitazionali delle masse.
1059
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
Le curve geodetiche
Anche nello spazio-tempo curvo della relatività generale è possibile definire (e misurare) la distanza percorsa lungo un cammino.
Le curve di minima lunghezza che uniscono due punti si chiamano curve
geodetiche (o, più brevemente, geodetiche).
Per esempio, nello spazio euclideo piatto le curve geodetiche sono segmenti di retta. Invece, su una superficie sferica le linee geodetiche sono archi di circonferenza massima.
In relatività generale le curve geodetiche sono importanti perché, come è detto
nel paragrafo 10, le particelle che risentono soltanto della forza di gravità seguono
linee geodetiche nello spazio-tempo.
� Consideriamo
due punti materiali
che si muovono lungo due geodetiche
su una sfera. A un certo istante la distanza tra di essi è d1.
� A
un istante successivo la distanza
tra i punti è d2, minore di d1, e il moto
delle masse porta a una diminuzione
continua della distanza.
m2
m1
d2
m1
A
d1
m2
B
Immaginiamo di essere un osservatore esterno che può vedere i due punti materiali
ma non la forma dello spazio sferico su cui essi si muovono. Notando che i punti si
avvicinano, diciamo che tra di essi agisce una forza attrattiva dovuta alla gravità.
Secondo la relatività generale, invece, tale forza non esiste e l’avvicinamento reciproco dei punti materiali è soltanto un effetto della geometria dello spazio in cui essi
si muovono.
Figura 20 La massa grande
deforma il telo elastico; la massa più
piccola si muove seguendo la curvatura
del telo.
La stessa idea è illustrata da un
altro modello semplificato (figura 20), in cui un telo elastico è
deformato da una sfera pesante
posta su di esso. Una seconda
sfera appoggiata sul telo ne segue l’inclinazione e si muove
verso la sfera grande, come se
fosse attratta da essa. Ma non
esiste alcuna forza tra di esse: la
sfera grande è la causa che ha de-
1060
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
35
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
CAPITOLO
terminato una curvatura del telo (che rappresenta lo spazio-tempo) e il moto della
sfera piccola dipende da tale curvatura in quanto avviene lungo una geodetica.
la gravità è spazio-tempo curvo in azione.
I buchi neri
Un buco nero, come lo definì il fisico americano John Wheeler nel 1968
«è un oggetto la cui forza di gravità è talmente intensa che nulla può sfuggirgli,
nemmeno la luce».
NASA/GSFC/Dana Berry
Per loro natura, quindi, i buchi neri sono invisibili.
Ma la loro presenza può essere dimostrata attraverso gli effetti gravitazionali che
esercitano su corpi vicini. L’immagine rappresenta la radiazione ad alta energia
emessa da particelle subatomiche elettricamente cariche in rapida rotazione intorno
a un buco nero.
L’idea di base non è recente: nel 1796 il matematico francese Pierre Simon de Laplace (1749-1827) osservò che un corpo con la stessa densità della Terra e un diametro
pari a 250 volte quello del Sole avrebbe esercitato una forza di attrazione gravitazionale così intensa che la sua velocità di fuga sarebbe stata superiore alla velocità della
luce.
Oggi i fenomeni che accadono nell’intorno dei buchi neri sono ben compresi; il
primo passo fu fatto da Karl Schwarzschild, che nel 1917 dedusse dalle equazioni di
campo della relatività generale le condizioni matematiche affinché lo spazio-tempo
incurvato potesse trattenere qualunque tipo di radiazione.
L’intenso campo gravitazionale di un buco nero può essere prodotto nello stadio
finale della vita di una stella di massa superiore al valore critico di tre masse solari,
quando esaurisce il proprio combustibile nucleare e collassa su se stessa. In seguito il
buco nero può aumentare di massa attirando a sé materiale proveniente da stelle che
si trovano nelle vicinanze.
1061
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
35
RELATIVITÀ E QUANTI
13
LE ONDE GRAVITAZIONALI
Se la geometria dello spazio-tempo è determinata dalla distribuzione delle masse
presenti, quando tale distribuzione viene modificata (per esempio perché una di tali
masse si sposta) la geometria dello spazio-tempo cambia di conseguenza.
Tale variazione nella geometria non è istantanea in tutto l’Universo ma si propaga, a partire dal luogo dove ha avuto origine, alla velocità della luce c.
NASA
La propagazione della variazione della geometria dello spazio-tempo prende il
nome di onda gravitazionale.
Edoardo Amaldi
(1908-1989), fisico italiano.
Fu uno dei collaboratori di
Enrico Fermi all’Istituto di
Fisica di Via Panisperna,
dove si occupò di radioattività
artificiale indotta dai neutroni.
Si deve in gran parte alla sua
opera la rinascita della fisica
italiana ed europea dopo la
seconda guerra mondiale. Fu
uno dei promotori dell’istituto
Nazionale di Fisica Nucleare
(INFN), del CERN di Ginevra,
di cui fu il primo segretario
generale dal 1952 al 1954, e
dell’European Space Agency.
La teoria della relatività generale permette il calcolo della produzione delle onde gravitazionali
da parte di un sistema fisico che cambia rapidamente struttura. L’intensità è sempre bassissima
tranne che nel caso di eventi cosmici molto energetici, come l’esplosione di una supernova. La
foto a fianco mostra l’anello di gas che circonda i
resti della supernova SN 1987A, apparsa nella
Grande Nube di Magellano il 23 febbraio 1987,
quando furono irradiate onde gravitazionali.
L’anello di gas, che già circondava la stella al momento dell’esplosione, è riscaldato
dall’enorme onda d’urto che si è propagata dalla stella, a una velocità di più di un
milione e mezzo di kilometri all’ora.
La probabilità che uno di tali eventi avvenga nella zona di Universo in cui ci troviamo è però molto bassa. Sono quindi necessari strumenti sensibilissimi e lunghe attese.
La distorsione locale dello spazio-tempo dovuta all’onda gravitazionale si può rivelare in diversi modi. Per esempio, essa può mettere in oscillazione una massa che
era ferma, oppure può fare variare la distanza che separa due masse.
Fin dal 1971 Edoardo Amaldi si propose di esplorare la possibilità di rivelare la presenza di onde gravitazionali mediante una «antenna gravitazionale risonante», cioè un
cilindro di grande massa che può essere messo in oscillazione dal passaggio di un’onda
di gravità. Per questo diede vita, presso il Dipartimento di Fisica dell’Università di Roma, a un gruppo di ricerca che fu la base dell’attuale Centro Interuniversitario di Ricerche sulla Gravitazione, detto ora «Edoardo Amaldi». Dalla sua morte, in suo onore
le conferenze internazionali biennali che si occupano di onde gravitazionali si chiamano «Edoardo Amaldi International Symposia on Gravitational Waves».
Le onde gravitazionali interagiscono molto debolmente con la materia; per fare un esempio, un’onda gravitazionale che attraversasse il Sole perderebbe soltanto
una parte su 1016 della sua energia. Perciò la rilevazione di tali onde pone problemi
fisici e tecnologici eccezionali. D’altronde, proprio questa debole interazione con la
materia rende le onde gravitazionali strumenti di importanza straordinaria per la
ricerca astronomica e cosmologica: per esempio, un’onda gravitazionale che passa
attraverso il Sole e che fosse, in un giorno lontano, rilevata sulla Terra potrebbe fornire una specie di «radiografia» dell’interno del Sole.
Il segnale da raccogliere, se si vuole utilizzare un’antenna gravitazionale, è così debole che occorre eliminare tutti i disturbi esterni: sia quelli dovuti alla stessa agitazione
termica del materiale di cui l’antenna è fatta, sia quelli provenienti dall’esterno (traffico, eventi microsismici, anche il semplice calpestio dei ricercatori).
Per risolvere il primo problema l’antenna risonante deve essere mantenuta a tempe-
1062
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
35
� Secondo il progetto, LISA sarà costituito da tre navicelle spaziali in orbita attorno al Sole, poste in modo da
formare un triangolo equilatero con i
lati lunghi 5 milioni di kilometri.
INFN
rature molto basse. L’antenna Nautilus, che si trova presso i Laboratori Nazionali di Frascati, ha una massa di 2300 kg; fare in modo che un simile oggetto rimanga a temperature minori di 0,1 K non è affatto facile, ma i ricercatori sono riusciti a risolvere il problema.
In questo modo, nel cilindro di alluminio lungo circa tre metri, detto appunto «antenna
risonante criogenica», è possibile rivelare una variazione di lunghezza di soli 1018 m.
L’isolamento dell’antenna dalle perturbazioni esterne richiede poi l’uso di sospensioni e «ammortizzatori» di grande efficacia (si pensi che già le vibrazioni del
sistema che mantiene l’antenna a bassa temperatura risultano eccessive se non sono
attutite con appositi accorgimenti).
Oltre alle antenne risonanti, per la ricerca di onde gravitazionali si usano oggi
metodi interferometrici abbastanza simili, nella concezione, a quello di MichelsonMorley. Si tratta di mettere in evidenza l’onda gravitazionale rivelando le piccole
variazioni nella distanza che essa provoca tra due specchi paralleli.
A Càscina, vicino a Pisa, è in funzione un rivelatore interferometrico di onde gravitazionali, chiamato VIRGO, costruito dall’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare. Il
rivelatore è composto da due bracci ortogonali lungo ciascuno 3 km, in cui è fatto
il vuoto. La luce emessa da apparecchi laser estremamente stabili percorre i bracci
compiendo riflessioni multiple, per un cammino di 120 km complessivi.
Al passaggio dell’onda gravitazionale le variazioni di lunghezza sono diverse per i
due bracci e, così, la figura di interferenza generata dai raggi laser cambia, segnalando l’evento e misurandone caratteristiche quali l’intensità e la durata.
Un esperimento analogo, detto LIGO, è attivo negli Stati Uniti e utilizza due rivelatori simili a VIRGO (con bracci lunghi 4 km), uno situato in Louisiana e l’altro
nello stato di Washington.
Fino al 2012 nessuno di questi apparati sperimentali era riuscito a individuare, al
di là di ogni dubbio, un segnale che sia interpretabile come il passaggio di un’onda
gravitazionale.
L’interferometro LISA, che sarà costruito da ESA e NASA, è progettato in modo
da essere molto più sensibile di quelli terrestri e non soggetto ai disturbi subìti dai
rivelatori posti sulla Terra.
CAPITOLO
Laboratori Nazionali Frascati
LA RELATIVITÀ DELLO SPAZIO E DEL TEMPO
�Il centro del triangolo seguirà l’orbita della Terra, a una distanza di 50
milioni di kilometri dal nostro pianeta. Il lancio del sistema è previsto per il
2017 e la durata prevista per la missione è di cinque anni.
1U
A
Terra
Venere
20°
Sole
60°
Mercurio
A
B
Fasci laser saranno inviati da una navicella all’altra, per cui il gigantesco interferometro funzionerà sullo stesso principio di VIRGO.
Con tutti questi strumenti realizzati o in via di costruzione, gli scienziati sono
fiduciosi di essere in grado di rilevare nei prossimi anni le onde di gravità.
1063
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I FISICI
Robert Quinlan/Alamy
Private Collection/ The Bridgeman Art Library
ALBERT EINSTEIN
Albert Einstein nacque nella città tedesca di Ulm il 14 marzo 1879. Manifestò
spiccati interessi scientifici fin da ragazzo.
Completati gli studi secondari in Svizzera,
si laureò in fisica al Politecnico di Zurigo
nel 1900. L’anno dopo si fece svizzero e
nel 1902, non riuscendo a trovare una posizione accademica, si impiegò all’Ufficio
Brevetti di Berna.
L’ANNUS MIRABILIS (1905)
Nel 1905 Einstein lasciò la sua prima impronta nella fisica con tre lavori fondamentali.
Nel primo Einstein ipotizzava che la
luce potesse avere una duplice natura,
corpuscolare e ondulatoria, e che in certi
fenomeni prevaleva il primo aspetto, ovvero quello di un insieme di «quanti di
luce», battezzati in seguito «fotoni». Einstein applicò l’ipotesi al fenomeno dell’effetto fotoelettrico, cioè all’estrazione di
elettroni dalla superficie di un metallo
da parte di radiazione di data lunghezza
d’onda. La sua spiegazione fu confermata
sperimentalmente dall’americano Millikan nel 1916, e fu la motivazione principale del premio Nobel che Einstein ricevette nel 1921.
Tema del secondo articolo è il «moto
browniano» di particelle minutissime in
sospensione in un liquido. Einstein ne costruì la teoria, considerando le particelle
soggette agli urti dovuti all’agitazione termica delle molecole del liquido. La teoria
fu verificata nel 1909 dal francese JeanBaptiste Perrin e contribuì all’affermazione dell’ipotesi della natura atomica della
materia.
Nel terzo articolo vedeva la luce la teoria
della relatività ristretta. Nella meccanica di Galilei-Newton la velocità vv di un
corpo diviene vv Vv (trasformazione
galileiana) se si passa da un sistema di
riferimento inerziale a un altro, in moto
rispetto al primo con velocità uniforme
Vv . Nell’elettromagnetismo di Maxwell,
invece, la velocità c della luce nel vuoto
è una costante universale. Sembrava così
che le leggi dell’elettromagnetismo dovessero valere esattamente solo in un sistema
di riferimento assoluto, identificato con
l’«etere»; tuttavia nessun esperimento
aveva permesso di rivelare un moto della
Terra rispetto all’etere. Einstein affrontò il
problema in modo originale, dimostrando che la nozione di simultaneità tra due
eventi dipende dal sistema di riferimento in cui ci si trova. Ne scaturiva una te-
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
oria semplice ed elegante, basata sui postulati che
1) tutti i fenomeni fisici hanno la stessa forma in
ogni riferimento inerziale; 2) la velocità della luce
c nel vuoto è costante in tutti i sistemi di riferimento. Veniva così rimossa l’incongruenza tra le leggi
di trasformazione valide per i fenomeni meccanici
e quelle valide per i fenomeni elettromagnetici.
In un altro lavoro del 1905 Einstein derivò la
formula E mc2, come conseguenza della relatività.
«IL PENSIERO PIÙ FELICE DELLA MIA VITA»
L’imponente produzione scientifica procurò al
suo autore una cattedra universitaria prima a Zurigo (1909) e poi a Praga (1911). Egli tornò a Zurigo l’anno successivo per poi trasferirsi a Berlino
nel 1914.
Meditando su come includere la gravitazione nella teoria della relatività, nel 1907 gli venne
quello che Einstein avrebbe chiamato in seguito
«il pensiero più felice della mia vita»: un uomo che
cade dal tetto di una casa non sente il proprio peso. In queste circostanze un uomo ha certamente
cose più urgenti di cui preoccuparsi; ciò non toglie
l’eccezionale significato fisico di questa intuizione:
il moto uniformemente accelerato è equivalente
all’effetto prodotto da un campo gravitazionale.
Sul finire del 1915 Einstein pervenne all’enunciato finale della sua teoria della relatività generale.
La nuova teoria spiegava fenomeni rimasti fuori
dalla portata della legge di gravitazione universale di Newton; prediceva inoltre il valore corretto
dell’incurvamento dei raggi luminosi che passano vicino al bordo di una massa come quella del
Sole. Questo effetto fu misurato da due spedizioni mandate a osservare l’eclisse totale di Sole del
29 maggio 1919: una di queste era guidata dallo
scienziato britannico Arthur S. Eddington il quale, nella riunione della Royal Society di Londra del
6 novembre 1919 annunciò che la relatività generale di Einstein era confermata. L’indomani il Times dette la notizia e Einstein divenne di colpo una
celebrità mondiale.
«DIO NON GIOCA A DADI COL MONDO»
Se la Relatività fu la creazione d’un solo uomo, la
teoria dei quanti, l’altra rivoluzione della fisica del
Novecento, fu la creazione di molti. Einstein le
dette contributi decisivi tra il 1905 e il 1925. L’anno successivo al lavoro sull’effetto fotoelettrico
prodotto dai quanti di luce, Einstein pubblicò una
teoria quantistica che spiegava per la prima volta
l’andamento dei calori specifici dei solidi con la
temperatura, problema non risolvibile in fisica
classica. Nel 1916 scrisse un fondamentale lavoro
sull’interazione tra radiazione e materia. Da questi sviluppi sarebbero scaturite invenzioni come il
laser.
Nel 1924-25 Einstein dette il suo ultimo contributo alla teoria dei quanti, elaborando alcune idee
del fisico indiano Satyendra N. Bose e costruendo
la statistica quantistica del gas perfetto monoatomico (statistica di Bose-Einstein). Einstein non
partecipò però alla costruzione della meccanica
quantistica propriamente detta, sviluppatasi nel
1925-27. Già da qualche anno manifestava disagio per il carattere intrinsecamente probabilistico
della teoria dei quanti, disagio estrinsecato nella
frase che dà il titolo al paragrafo, e che lo portò a
un intenso dibattito sui fondamenti della fisica col
danese Niels Bohr.
PENSATORE E PACIFISTA
Nel dicembre 1932, poco prima dell’avvento di
Hitler al potere, Einstein lasciò Berlino e la Germania per trasferirsi negli Stati Uniti, all’Institute for
Advanced Study di Princeton. Nel 1941 divenne
cittadino statunitense.
Nell’ultima parte della vita si dedicò alla «teoria
di campo unificato», che si poneva gli obiettivi di
risolvere il dualismo onda-particella e di descrivere un unico campo che, in casi particolari, potesse
dar luogo sia al campo gravitazionale sia a quello
elettromagnetico. I risultati furono insoddisfacenti, e Einstein divenne sempre più isolato rispetto al
tumultuoso sviluppo della fisica.
Einstein è stato il maggiore fautore di una «fisica dei princìpi», la cui ipotesi filosofica di fondo è
che la natura obbedisca a princìpi semplici e universali.
La celebrità lo rese un personaggio pubblico. Le
sue prese di posizione furono improntate a pacifismo e a spirito libertario. Nel 1939 Einstein firmò
una lettera al presidente degli Stati Uniti Roosevelt
allo scopo di richiamarne l’attenzione sulle potenzialità belliche delle recenti scoperte in fisica nucleare. L’ultimo pronunciamento pubblico fu la
firma di un manifesto contro il riarmo nucleare
che diede luogo al movimento Pugwash per il disarmo mondiale.
Einstein si sposò due volte, ed ebbe due figli dalla prima moglie. Morì il 18 aprile 1955. Le sue ceneri vennero disperse in un luogo segreto.
1065
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
EPISTEMOLOGIA
LA SCIENZA È BASATA SU PARADIGMI:
KUHN
Illustrazione di Emiliano Ponzi
«Quando mutano i paradigmi,
il mondo stesso cambia con essi.
[…] gli scienziati vedono cose nuove
e diverse anche guardando con gli
strumenti tradizionali nella stessa
direzione in cui avevano guardato
prima.»
(T. Kuhn,
La struttura delle rivoluzioni scientifiche,
Chicago 1962)
La spiegazione fisica della gravitazione ha una storia
lunga e travagliata. La gravità è stata vista come una
tendenza naturale dei corpi, come una forza a distanza o come un effetto della curvatura dello spaziotempo. Secondo Thomas Kuhn (1922-1996), questi
modelli fisici sono legati alla particolare visione del
mondo che ogni scienziato necessariamente abbraccia. Kuhn, nel suo famoso libro «The Structure of
Scientific Revolutions» pubblicato nel 1962, chiama
questi modelli paradigmi.
LA SCIENZA È SOLUZIONE DI ROMPICAPO
Un paradigma è un insieme di modelli esplicativi,
teorie e pratiche sperimentali, ai quali una comunità scientifica, per un certo tempo, riconosce la capacità di costituire il fondamento della propria ricerca.
Lo strumento principale di veicolazione del
paradigma è il manuale, su cui ogni apprendista
si forma: esso contiene, oltre alle leggi e alle osservazioni, alcuni casi esemplari di spiegazione. Ad
esempio, i Principi matematici di filosofia naturale
di Newton hanno avuto per secoli la funzione di
educare gli scienziati a riconoscere i problemi rilevanti per il loro campo di ricerca e ad applicarvi le
corrette strategie di risoluzione.
L’occupazione prevalente degli scienziati è infatti la soluzione di una serie di rompicapo strumentali, concettuali e matematici per consolidare, confermare e sviluppare il paradigma vigente.
Kuhn definisce questa fase scienza normale.
IL PARADIGMA PRECEDE L’OSSERVAZIONE
E L’ESPERIMENTO
Il paradigma definisce anche il significato che lo
scienziato attribuisce ai dati sperimentali. Ogni osservazione assume un significato diverso a seconda del
quadro teorico in cui si colloca. Ad esempio, un astronomo tolemaico e uno copernicano osservano la stessa traiettoria del Sole sulla volta celeste, ma attribuiscono a queste osservazioni significati diversi. Dove il
primo vede una prova del fatto che il Sole gira attorno
alla Terra, il secondo vede un movimento apparente
del Sole, dovuto alla reale rivoluzione della Terra.
Il paradigma delimita anche il tipo di esperimenti,
e quindi di scoperte, che lo scienziato può effettuare.
Gli esperimenti di Galileo sul pendolo, ad esempio,
non avrebbero mai potuto essere compiuti da Aristotele. Influenzato dalle sue categorie concettuali,
legate ai luoghi naturali verso cui tendono i corpi,
Aristotele vede nel pendolo un solo corpo che cade
con difficoltà, perché vincolato a una catena.
LE RIVOLUZIONI SCIENTIFICHE
Come avviene allora il passaggio da un paradigma
all’altro? Kuhn afferma che la scienza normale entra in una fase di crisi quando incontra un’anomalia, ossia quando incontra un rompicapo che non
si lascia risolvere mediante gli strumenti concettuali offerti dal paradigma.
Il paradigma tolemaico, ad esempio, è andato in
1066
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
crisi perchè sempre più difficile da conciliare con
le osservazioni. La soluzione di questa anomalia, a
opera di Copernico, ha richiesto un radicale mutamento di punto di vista, che ha collocato il Sole al
centro dell’universo. Questa fase è la rivoluzione
scientifica, che prelude all’istituzione di un nuovo
paradigma.
PARADIGMI RIVALI
Dopo la rivoluzione, lo scienziato non interpreta
semplicemente i dati precedenti in modo diverso:
egli li pone in un nuovo sistema di relazioni reciproche, dando loro una diversa struttura.
Sostenitori di paradigmi diversi guardano entrambi il mondo, ma in alcune aree vi vedono cose
differenti e in diverse relazioni fra loro, come accade con questo dettaglio del quadro di Salvador
Dalì, Mercato degli schiavi con il busto invisibile di
Voltaire. Qui il busto di Voltaire si vede alternativamente alle cinque piccole figure umane, a seconda del punto di vista assunto dall’osservatore, e le
due visioni si escludono a vicenda.
Per questo motivo si dice che paradigmi rivali sono incommensurabili: in ognuno di essi vigono
regole, concetti e problematiche tanto diverse da
impedire agli scienziati di capirsi.
IL PROGRESSO DELLA SCIENZA
La transizione da un paradigma in crisi a uno nuovo, pertanto, non è un procedimento cumulativo o
graduale. L’incommensurabilità abolisce infatti le
condizioni di un confronto critico à la Popper tra
paradigmi rivali. Il passaggio implica una ricostruzione integrale del campo disciplinare su nuove
basi. Il nuovo modello esplicativo non può sorgere
dalla semplice falsificazione della teoria precedente:
quando uno scienziato incorre in un’anomalia tenta infatti di incasellarla nel vecchio modello esplicativo. Egli è disposto ad abbandonare una teoria
soltanto se ha a disposizione una valida alternativa
costruita confrontando sia i paradigmi con la natura, sia i paradigmi fra loro.
Il progresso della scienza pertanto consiste non
tanto nella graduale approssimazione alla verità,
mediante falsificazione successiva delle teorie, ma
in un miglioramento dell’efficienza dei modelli
che descrivono ambiti di fenomeni più estesi.
Le posizioni di Popper e di Kuhn non sono veramente contrapposte, ma complementari. Infatti Popper risponde alla domanda «Qual construtto intellettuale ha il diritto di chiamarsi scientifico?» mentre
Kuhn concentra l’attenzione sugli aspetti sociologici
chiedendosi «Cosa succede quando una teoria/paradigma è riconosciuto “falso” da uno o più scienziati?»
Teorie epistemologiche a confronto
Che cos’è la
scienza
Il criterio di
demarcazione
tra scienza e
non scienza
Le scoperte
scientifiche
La validità
delle teorie
Il progresso
della scienza
Neopositivisti
(pag. 753)
Un sapere
empirico.
La verificabilità.
Si ottengono per
induzione, a partire da una raccolta
di fatti.
Si confermano vere
(probabilmente) a
fronte di ripetute
verifiche empiriche.
Le teorie scientifiche non sono vere,
ma probabili.
Popper
(pag. 966)
Un sapere
congetturale.
La falsificabilità.
Sono prodotte dallo
scienziato, a partire
da un’intuizione
creativa.
Si dimostrano vere
(provvisoriamente)
o false alla prova dei
fatti.
Le teorie scientifiche sono vere fino
a prova contraria.
Kuhn
Nascono con
Non è un
Un modello
problema rile- rivoluzioni
sostenuto da
scientifiche.
un paradigma. vante.
Sono confermate e
sviluppate durante
i periodi di scienza
normale.
Le teorie scientifiche
funzionano, finché
non emerge un’anomalia.
Il punto di vista dell'autore a pagina 1173
1067
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
LA RELATIVITÀ RISTRETTA
Partendo dall’ipotesi della costanza di c, Einstein comprese che non esiste un tempo assoluto, cioè un tempo che
scorre immutabile e identico in tutti i sistemi di riferimento. Due eventi che risultano simultanei in un dato sistema di
riferimento non lo sono in un altro che si muova rispetto al primo.
Assiomi della teoria della relatività ristretta
Contrazione delle lunghezze
Principio di relatività ristretta
Principio di invarianza di c
Le leggi e i principi della fisica hanno
la stessa forma in tutti i sistemi di
riferimento inerziali.
La velocità della luce è la stessa in
tutti i sistemi di riferimento inerziali,
indipendentemente dal moto del
sistema stesso o della sorgente da
cui la luce è emessa.
• Estende a tutta la fisica il principio di relatività galileiana che
vale per la meccanica.
• Spiega il risultato negativo dell’esperimento di Michelson-Morley.
Dilatazione dei tempi
specchio
d
sistema di
riferimento
di O2
ssistema
istema di
rif imento
t
di O1
Laser
A
Laser
2d
Dt = c
Dt l =
Intervallo di tempo misurato nel sistema inerziale O2 solidale con il baricentro del sistema fisico in esame
(sistema solidale con il fenomeno).
H
v
1
1 - "2
x1
x' = v t ' =
x
x2
=
1 -f
v2
p x
c2
x' = lunghezza di un segmento
nel sistema di riferimento O1 in cui
esso è fermo
C
Laser
Dt = Dt
Intervallo di tempo misurato nel
sistema O1 in cui l’oggetto è in moto
con velocità v.
• " = v /c è sempre minore o al massimo uguale a 1, quindi l’intervallo di
tempo t ' è sempre maggiore o uguale a t.
• La durata di un fenomeno misurata in un sistema solidale con esso si
chiama intervallo di tempo proprio (o tempo proprio) e si indica con il
simbolo !: è il minimo valore che la durata del fenomeno può avere al
variare del sistema di riferimento.
1
è detto coefficiente di dilatazione e il suo
• Il coefficiente =
1 - "2
valore è sempre più grande quanto più v si avvicina a c.
• In un sistema di riferimento, la
lunghezza x' di un segmento che
si muove con velocità v si ricava
dalla misura del tempo t ' necessario affinché passino per uno
stesso punto i suoi due estremi.
• La lunghezza di un segmento
misurata in un riferimento in
cui esso è in quiete si chiama
lunghezza propria.
• Visto che la quantità 1 - v 2 /c 2
è sempre minore di 1, la lunghezza di un segmento misurata in un
sistema di riferimento in cui esso
è in movimento risulta sempre
minore della lunghezza propria
del segmento: questo effetto
prende il nome di contrazione
delle lunghezze.
• Questo effetto non si riscontra se i
segmenti sono perpendicolari a vv.
Energia totale di una particella relativistica
Relazione di Einstein
E = mc
2
• Regola tutte le trasformazioni
di massa in energia e di energia in massa.
E=
m0c 2
v2
1 -f 2 p
c
2,4
= m 0 c 2 è il fattore di dilatazione
• Quando la velocità v di un corpo si avvicina
indefinitamente a c, la sua energia totale tende
a diventare indefinitamente grande.
2,0
E (10–12J)
sensore di luce
v
x' = lunghezza dello stesso segmento
in un riferimento O2 che si muove con
velocità v rispetto al primo.
B
specchio
sistema di O2
1,6
1,2
0,8
0,4
0
2,80
2,85
2,90
2,95
v (108 m/s)
• Per accelerare un corpo fino alla velocità c bisogna fornirgli una quantità di
energia infinita: dato che questo non è possibile, c risulta una velocità limite,
cioè nessun corpo massivo può raggiungere né superare la velocità c.
1068
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
3,00
MAPPA INTERATTIVA
LA RELATIVITÀ GENERALE
La massa inerziale di un corpo e la sua massa gravitazionale sono direttamente proporzionali ed è possibile scegliere
le loro unità di misura in modo che esse risultino uguali. Ciò fa sì che, in una data zona dello spazio, l’accelerazione di
gravità risulta costante, cioè uguale per tutti i corpi.
Caduta libera e «assenza di peso»
Accelerazione e forza-peso
Nessun esperimento che si possa
compiere in un ambiente chiuso (purché limitato a uno spazio
abbastanza ristretto e di durata
temporale abbastanza breve)
permette di capire, a chi sta al
suo interno, se si trova in un
ascensore in caduta libera o in
un’astronave soggetta a una
forza totale nulla.
Nessun esperimento compiuto
in un locale chiuso (purché limitato a uno spazio ristretto e
di durata temporale non eccessiva) permette allo sperimentatore di stabilire se si trova in presenza di un campo
gravitazionale o all’interno di
un mezzo di trasporto che sta
accelerando in modo costante.
Principi della relatività generale
Principio di equivalenza
Principio di relatività generale
In una zona limitata dello spazio-tempo è sempre possibile
scegliere un sistema di riferimento in modo da simulare
l’esistenza di un dato campo gravitazionale uniforme o, al
contrario, in modo da eliminare l’effetto di una forza di
gravità costante.
Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi
di riferimento.
• È una conseguenza della proporzionalità diretta tra
massa gravitazionale e massa inerziale.
• Di conseguenza, i sistemi di riferimento inerziali non
hanno più un ruolo privilegiato in fisica.
• La velocità vettoriale della luce cambia da punto
a punto.
Geometrie non euclidee
Gravità e spazio-tempo
Si ottengono modificando il quinto postulato di Euclide
e riguardano gli spazi curvi.
Le masse dicono allo spazio-tempo come incurvarsi e lo
spazio-tempo dice alle masse come muoversi: la gravità
è spazio-tempo curvo in azione.
Geometrie ellittiche
A
Un modello di geometria
ellittica è la superficie di una
sfera: in tale spazio, le rette
sono circonferenze massime.
Geometrie iperboliche
C
• Le caratteristiche della gravità non sono dovute a
forze che agiscono nello spazio-tempo, ma alla
struttura stessa dello spazio-tempo.
B
• In un Universo «quasi
piatto» l’effetto della
curvatura dello spaziotempo è sperimentalmente indistinguibile
da quello della forza di
Newton.
Un modello di geometria
iperbolica è una superficie
a forma di sella.
1069
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
Un’astronave diretta verso la Terra passa di fianco a un «faro» spaziale con una velocità c/4 rispetto a esso. Nell’istante in cui sono affiancati il
«faro» lancia verso Terra un lampo di luce verde e
l’astronave un lampo di luce blu (figura sotto).
Fuori dall’atmosfera terrestre c’è un sensore in
grado di rilevare i lampi di luce. Quale dei due
lampi, quello verde o quello blu, è segnalato per
primo dal sensore situato vicino alla Terra?
v = c/4
c/4
c/
/4
2
L’apparato sperimentale di Michelson e Morley
opera solo grazie alla riflessione della luce?
3
Come cambierebbe il risultato dell’esperimento
di Michelson e Morley se il valore costante di c
fosse di 150 000 km/s?
4
In che cosa differiscono le opinioni di Maxwell e
di Einstein sul valore della velocità della luce nel
vuoto?
5
Il principio di relatività ristretta afferma che la
velocità della luce nel vuoto è la medesima in tutti i sistemi di riferimento inerziali?
6
Secondo la definizione operativa di simultaneità,
due fenomeni che avvengono rispettivamente
nei punti A1 e A2 sono simultanei se la luce che
essi emettono giunge nello stesso istante nel punto medio della distanza tra A1 e A2?
7
L’assioma sulla costanza di c è una conseguenza
della definizione operativa di simultaneità?
8
All’interno della concezione del tempo assoluto
di Newton è possibile che due eventi che risulta-
no simultanei per un osservatore non lo siano per
un altro?
9
Due eventi risultano simultanei in un sistema di
riferimento: puoi affermare che lo sono anche in
un secondo sistema di riferimento?
10
Bruno parte in astronave per un viaggio verso la
stella Vega con un orologio a bordo, mentre la
sorella Alice resta a Terra. Come cambia la durata
del viaggio a bordo, rispetto a quella registrata a
Terra, man mano che la velocità dell’astronave si
avvicina alla velocità della luce?
11
Un’asta è lunga L in un sistema di riferimento a
essa solidale e L’ in un sistema inerziale che si
muove rispetto al primo in direzione parallela a
quella da misurare. Quanto vale il rapporto L/L’?
12
Sei seduto su un’astronave ferma alla stazione
spaziale e ti addormenti leggendo un libro in attesa della partenza. Quando ti svegli l’astronave è
già in viaggio alla velocità di 0,7c. Il libro ti appare più grande o più piccolo di come ti appariva
quando eri fermo rispetto alla stazione?
13
La conservazione della massa e la conservazione
dell’energia sono due leggi fondamentali e indipendenti della meccanica classica e della meccanica relativistica?
14
La relazione di Einstein E mc2 si può leggere
affermando che la massa è una forma di energia.
Che relazione matematica esiste tra le due grandezze?
15
L’equivalenza massa-energia è una legge che vale
solo nel campo dei fenomeni cui si applica la
meccanica relativistica?
16
L’energia totale di un corpo, secondo la fisica clas1 v2
sica, è data dall’espressione E = m 0 c 2 c 1 +
m.
2 c2
L’energia totale di una particella relativistica è data
dalla espressione E gm0c2 . Che relazione esiste
tra queste due espressioni e perché?
1070
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
20 test (30 minuti)
17
Come puoi scrivere la quantità di moto relativistica utilizzando il coefficiente di dilatazione ?
18
Attraverso qualsiasi esperimento di laboratorio si
può ricavare solo che il rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale è costante. Come puoi
arrivare a concludere che esso vale proprio 1?
19
Dati due punti A e B su una superficie sferica, il
segmento che, attraversando la sfera, unisce i due
punti A e B può essere definito come la «retta»
passante per quei due punti?
20
Un pianeta si muove seguendo la curvatura dello
spazio-tempo. Durante il suo movimento, lo
spazio-tempo rimane invariato?
21
22
1
2
L’ESPERIMENTO
DI MICHELSON-MORLEY
2
Un gregge di pecore si sposta a velocità v lungo
uno stretto sentiero di montagna. Gli animali
procedono in fila indiana sotto la sorveglianza di
un cane che si muove ripetutamente, con velocità
V costante, da un capo all’altro della fila lunga l.
«La superficie terrestre è uno spazio bidimensionale curvo in cui si possono definire coordinate
curvilinee come la latitudine e la longitudine.» In
questo spazio si deve sempre tener conto della
curvatura della superficie terrestre?
Uno dei problemi più delicati legati alla rilevazione di segnali deboli e rari è la «contaminazione» con segnali simili a quelli attesi, ma dovuti a
eventi casuali. Per ridurre questa difficoltà, ciascun gruppo sperimentale che lavora sulle onde
gravitazionali comunica i propri risultati agli altri gruppi. Confrontando i dati del mio gruppo
con quelli degli altri, come posso avere la certezza
che l’evento da me registrato sia reale?
PROBLEMI
1
J. McNally, National Geographic, ottobre 2001
TEST INTERATTIVI
䉴 In questo modello zoomorfo dell’esperimento
di Michelson-Morley, quanto tempo impiega il
cane per compiere un tragitto completo (testa del
gregge-coda del gregge e ritorno)?
䉴 Come cambia l’intervallo di tempo calcolato
nella domanda precedente se, anziché un cane,
fosse stato adoperato un sistema di controllo basato su raggi luminosi in moto a velocità c?
<
2lV
2V
;
F
V 2 - v2 c
5
LA DILATAZIONE DEI TEMPI
3
Anche i processi biologici devono soddisfare gli
assiomi della relatività.
䉴 Quale velocità deve avere una navicella perché
il suo equipaggio invecchi della metà rispetto al
personale di controllo rimasto a terra?
IL VALORE NUMERICO
DELLA VELOCITÀ DELLA LUCE
[0,87c]
Nel 1999, un gruppo di scienziati guidati dalla ricercatrice Lene Hau è riuscito a rallentare la velocità di un raggio di luce fino a circa 61 km/h.
䉴 Calcola l’ordine di grandezza del rapporto fra
la velocità rallentata e c.
[107]
1071
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
4
PROBLEMA SVOLTO
Una piattaforma (come quella di cui si parla nel paragrafo 4) si muove con velocità v1.
Confrontando i dati, si vede che l’intervallo di tempo t' misurato da O1 è maggiore dello 1,0% rispetto
all’intervallo di tempo proprio.
䉴 Quanto vale v1?
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Tempo proprio del fenomeno
t
Intervallo di tempo nel sistema in moto
t'
Valori
Rapporto tra i due tempi
t'/t'
1,010
Velocità della piattaforma
v1
?
Commenti
Strategia e soluzione
• Per risolvere il problema basta applicare la formula (2),
ponendo t /t 1,010. In questo modo otteniamo
1 -c
t’ = 1,010
t
v1 = ?
v1 2
1 2
m =c
m = 0,9803
c
1,010
da cui si trova
Laserr
m
v 1 = 1 - 0,9803 c = 0,0197 c = 4,21 # 10 7 .
s
v1
Laser
riiferi
e imento
erime
to di O1
Discussione
Per avere una dilatazione dei tempi dello 1% (significativa, ma non facilmente avvertibile) occorre
una velocità di 4,21 107 m/s, cioè di quasi 152 000 km/h. Si vede bene che, perché gli effetti previsti dalla relatività ristretta divengano rilevanti, le velocità in gioco devono essere molto elevate.
5
䉴 Quanto dura per la base madre?
Un fascio di muoni in un acceleratore ha una vita
media misurata in laboratorio prima di decadere
circa 30 volte maggiore che in natura.
(Ricorda che 1 UA 1,496 1011 m)
[12:00; 37,5 min]
䉴 A quale velocità si muovono i muoni?
6
[0,9994 c]
6
LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
Un’astronave della celebre saga Star Trek si trova
ferma a una distanza di 15 UA dalla base madre.
L’equipaggio dà inizio a un esperimento inviando un fascio di raggi luminosi alle ore 9:55 del
mattino secondo i loro orologi.
7
Un razzo sulla Terra misura 3,0 m. Una volta in
volo nello spazio, la sua lunghezza misurata da
Terra è 1/3 più corta.
䉴 A che velocità si muove il razzo?
[0,75 c]
䉴 A che ora gli orologi della base madre vedono i
raggi luminosi?
8
Appena emesso il fascio di raggi luminosi, l’astronave inizia a muoversi con velocità costante
v 0,600 c. L’esperimento secondo gli orologi a
bordo dura 30,0 min.
Un’asta rigida è lunga 2,00 m misurata nel sistema di riferimento a essa solidale.
䉴 Con quale velocità deve muoversi rispetto a un
osservatore perché gli appaia contratta di 1,00 m?
1072
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[0,866 c]
9
Durante una missione spaziale, un asteroide lungo 50 m passa accanto a una navicella in movimento con velocità relativa v 3,0 105 m/s.
7
L’EQUIVALENZA
TRA MASSA ED ENERGIA
䉴 Quanto è lungo l’asteroide per gli astronauti a
bordo?
10
Quanta energia sarebbe possibile ricavare dalla
distruzione di 1 g di materia?
[9 1013 J]
䉴 Quanto sarebbe lungo se la velocità della navi-
cella rispetto all’asteroide fosse v 0,999 c?
[50 m; 2,2 m]
11
PROBLEMA SVOLTO
mU = 238,0508 u
mTh = 234,0436 u
mHe = 4,0026 u
Un nucleo di uranio-238 (massa mU 238,0508 u) può
«decadere» in modo spontaneo, dando origine a un nucleo di
torio-234 (massa mTh 234,0436 u) e a un nucleo di elio-4 (massa mHe 5 4,0026 u).
E=?
U
䉴 Quanto vale l’energia emessa nel corso di tale decadimento?
Th
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
mU
238,0508 u
Massa di un nucleo di torio-234
mTh
234,0436 u
Massa di un nucleo di elio-4
mHe
4,0026 u
E
?
Massa di un nucleo di uranio-238
Energia emessa nel decadimento
Commenti
Strategia e soluzione
• La somma delle masse dei nuclei di torio e di elio è
mTh mHe (234,0436 4,0026) u 238,0462 u
e, quindi, risulta minore della massa del nucleo originale di uranio.
• La differenza tra la massa iniziale e quella finale del sistema è
m mU (mTh mHe) 0,0046 u.
Da quanto visto nell’Unità «La temperatura» in Termologia sappiamo che u 1,6605 1027 kg;
possiamo quindi ottenere il valore di m nel Sistema Internazionale come:
kg
m (4,6 103 u) c 1,6605 # 10 -24
m
u
7,6 1030 kg.
• Per la relazione di Einstein, alla scomparsa di questa massa deve corrispondere l’emissione di una
quantità E di energia pari a
m2
E m c2 (7,6 1030 kg) c 9,0 # 10 16 2 m s
13
56,8 10 J.
1073
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
Discussione
12
Considera una particella di massa m pari a
1,0 1026 kg, in quiete nel laboratorio, che decade e si divide in due parti uguali, ognuna di
massa 0,45m.
Brand X, The industrial environments
Tale risultato è confermato dai dati sperimentali: la fissione
di un nucleo di uranio-238 in torio-234 e elio-4 rilascia nell’ambiente
proprio la quantità di energia che è appena stata calcolata. È questa energia, dovuta alla scomparsa di piccole quantità di massa, che permette il
funzionamento delle centrali elettriche nucleari (fotografia a fianco), anche se con reazioni nucleari diverse da quella appena discussa.
9
IL PROBLEMA DELLA GRAVITAZIONE
16
Alice è in piedi all’interno di un ascensore in caduta libera.
䉴 Quanto vale l’energia emessa nel corso del decadimento?
䉴 Quanto vale la reazione vincolare del pavimento esercitata su Alice?
[9,0 1011 J]
13
Nelle reazioni chimiche, di solito, vengono liberati circa 105 J per ogni kilogrammo di sostanza.
11
LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
17
Sulla superficie curva di uno spazio-tempo a geometria iperbolica è disegnato un triangolo isoscele. Sai che due angoli interni di questo triangolo
valgono 72° e 50°.
Calcola la variazione di massa associata a una
variazione di energia di 105 J.
䉴
[1012 kg]
䉴 Quanto vale il terzo angolo?
8
ENERGIA TOTALE, MASSA
E QUANTITÀ DI MOTO
IN DINAMICA RELATIVISTICA
14
Una particella relativistica è accelerata fino ad acquistare un’energia totale di 6,45 108 J e una
quantità di moto di 21,3 1017 kg m/s.
[50°]
䉴 Calcola la velocità finale della particella.
Calcola l’energia cinetica relativistica Kr della
particella.
䉴
[2,97 108 m/s; 5,54 108 J]
15
Un elettrone con un’energia di 3,2 109 J percorre un tunnel di 2,0 km di lunghezza.
䉴 Calcola la lunghezza del percorso misurata nel
sistema di riferimento dell’elettrone.
18
Tracciamo un triangolo su una superficie arbitraria, fissando tre punti e congiungendoli con
opportune geodetiche. Misuriamo i tre angoli interni di questa figura, trovando i seguenti valori:
27°, " 85°, 69°.
䉴 Che tipo di geometria ha questa superficie?
[5,1 cm]
1074
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
12
GRAVITÀ E CURVATURA
DELLO SPAZIO-TEMPO
19
Considera un globo terrestre.
uguale alla velocità della luce, il corpo diventa un
buco nero.
䉴 Determina la formula che ti permette di calcolare il valore critico del raggio per il quale un corpo celeste diventa un buco nero.
䉴 Determina le rotte geodetiche (cioè quelle di
minima distanza, dette anche lossodromiche) tra:
Roma e una città posta approssimativamente
sullo stesso meridiano, per esempio Luanda, in
Angola.
䉴 Calcola quale raggio dovrebbe avere la Terra
per diventare un buco nero.
<R =
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
PROBLEMI GENERALI
1
Nel sistema di riferimento in moto l’intervallo di
tempo misurato supera del 10% il suo tempo
proprio.
Spiega quando, in un dato sistema di riferimento
inerziale, due eventi si dicono simultanei.
2
䉴 Consideriamo ora che in un sistema di riferimento in moto la lunghezza misurata sia inferiore del 10% alla lunghezza propria. Quale deve
essere in questo caso la velocità di un osservatore
rispetto all’altro?
Illustra i fenomeni relativistici noti come dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze.
3
Illustra l’equivalenza relativistica tra massa ed
energia.
[#0,417 c; #0,436 c]
4
Scrivi l’espressione della quantità di moto relativistica e mostra come, da essa, si possa ottenere la
formula della quantità di moto che si utilizza nella meccanica classica.
5
Enuncia il principio di relatività generale e spiega
in cosa si differenzia dal principio di relatività ristretta.
6
Qual è l’interpretazione della gravità secondo
Einstein?
In un romanzo di fantascienza, un’automobile
imbocca un tunnel alla velocità 3 c/2 . Nel sistema di riferimento del tunnel S quest’ultimo è
lungo 50 m e l’ingresso dell’automobile è simultaneo all’accensione delle luci.
䉴 Quanto tempo impiega l’automobile nel suo
sistema di riferimento per uscire dal tunnel?
[9,6 108 s]
3
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
䉴 Qual è la velocità di un osservatore rispetto
all’altro?
2
Nel tubo catodico di un monitor, un elettrone è
accelerato da fermo fino a un’energia cinetica pari a 4,6 1015 J.
䉴 Dai una stima dell’errore percentuale che si
commette nel calcolo della velocità finale dell’elettrone se ci si limita a una trattazione non relativistica.
[4%]
4
2GM
; 8,86 mm F
2
c
La velocità di fuga da un corpo celeste di massa M
2GM
e raggio R è v . Se la velocità di fuga è
R
1075
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
CAPITOLO
36
Sam K Tran/SciencePhotoLibrary
1
L’EFFETTO FOTOELETTRICO
Nel 1902 il fisico tedesco Philipp Lenard studiò sperimentalmente le leggi dell’effetto fotoelettrico, che consiste nell’emissione di elettroni da parte di lastre di metallo
su cui incide luce di lunghezza d’onda opportuna.
Lenard introdusse l’uso di un tubo a vuoto nel quale una radiazione monocromatica ultravioletta, di lunghezza d’onda , colpisce una lastra metallica.
�L’elettrodo M (l’ànodo) è connesso
�Quando il potenziale di M è positi-
a un resistore variabile in modo che la
differenza di potenziale tra il catodo L
e l’ànodo M possa variare tra valori negativi e valori positivi.
vo e grande, tutti gli elettroni emessi
da L sono raccolti e la corrente limite,
misurata da un amperometro, è tanto
maggiore quanto più grande è l’irradiamento del metallo.
tubo
oa
vuoto
too
–
L
–
–
–
A
– M
i
S
i
intensità di corrente i
rad
ad
diaz
dia
d
azz
ulttrav
ravi
I2 = 2I1
I1 = irradiamento della
radiazione ultravioletta
- Va 0
differenza di potenziale V tra M e L
A
B
1076
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Come si vede nella figura a pagina precedente
la corrente limite è proporzionale all’irradiamento dovuto alla radiazione
ultravioletta.
Quando M è scelto sempre più negativo rispetto a L, la corrente della figura precedente diminuisce fino ad annullarsi. Ciò accade per una differenza di potenziale
Va che non dipende dall’irradiamento.
La grandezza Va è detta potenziale di arresto perché essa ferma anche gli elettroni più veloci emessi per effetto della radiazione che colpisce la piastra L.
Le difficoltà dell’elettromagnetismo classico
Le curve del grafico tensione-corrente precedente mostrano che il valore di Va, e
quindi l’energia cinetica massima degli elettroni, non dipendono dall’irradiamento
determinato dalla radiazione ultravioletta incidente sulla piastra.
Questo risultato sperimentale non può essere spiegato con l’elettromagnetismo
classico.
Infatti, secondo la teoria di Maxwell l’energia di estrazione è fornita agli elettroni, legati nel metallo, dal campo elettrico oscillante dell’onda incidente. Aumentando l’irradiamento, dovrebbe allora aumentare l’energia cinetica che gli elettroni possiedono
dopo avere speso, per uscire dal metallo, un’energia uguale al lavoro di estrazione We.
I dati sperimentali mostrano che Kmax dipende in modo cruciale non dall’irradiamento della radiazione incidente (come invece ci si aspetta dall’elettromagnetismo
classico), ma dalla sua frequenza. In particolare, si osserva che
si ha emissione di elettroni per effetto fotoelettrico soltanto se la frequenza f della
radiazione incidente è maggiore di un valore minimo fmin, che dipende dal metallo.
energia massima (J)
Se la frequenza f è maggiore di fmin, i dati sperimentali mostrano che Kmax aumenta
linearmente con (f fmin). La figura 1 è stata ottenuta sulla base dei dati, pubblicati
nel 1916 da Robert Millikan, per gli elettroni emessi dal sodio. Lo stesso andamento
vale per tutti i metalli esaminati, ma i valori di fmin cambiano al variare del metallo.
Anche questi risultati sperimentali
sono in contraddizione con la teoria
6x10-19
di Maxwell secondo la quale, affin5x10-19
ché un elettrone venga strappato al
4x10-19
metallo, è sufficiente che il campo
elettrico oscillante gli ceda un’energia
3x10-19
maggiore del lavoro di estrazione We.
2x10-19
Infatti, secondo l’elettromagnetismo
classico, ciò dovrebbe avvenire con
1x10-19
radiazione di qualunque frequenza
O
purché il suo irradiamento, che si
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
esercita su una piccolissima porzione
frequenza f (1015 Hz)
del metallo, sia abbastanza grande.
Figura 1 Effetto fotoelettrico: grafico
sperimentale dell’energia cinetica
massima degli elettroni emessi
in funzione della frequenza della
radiazione incidente.
1077
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
2
Annus mirabilis
Il 1905 è lo stesso anno in
cui Einstein pubblicò l’articolo
sull’interpretazione del moto
browniano, la prima memoria
sulla relatività ristretta e
l’articolo nel quale apparve
per la prima volta l’energia di
riposo di un corpo.
Massa nulla del fotone
Secondo la Relatività, nessun
corpo massivo può raggiungere
la velocità della luce nel vuoto,
c. I fotoni, che hanno velocità
c, devono quindi avere massa
nulla.
LA QUANTIZZAZIONE DELLA LUCE
SECONDO EINSTEIN
Per spiegare le leggi sperimentali dell’effetto fotoelettrico, nel 1905 Albert Einstein
ribaltò in modo radicale l’interpretazione della natura della luce che si era affermata
con Marxwell. Secondo Einstein
la radiazione elettromagnetica è composta da singoli pacchetti di energia, i
quanti del campo elettromagnetico, che più tardi furono chiamati fotoni.
Ogni fotone ha massa nulla e trasporta un’energia E direttamente proporzionale alla
sua frequenza f ; secondo Einstein, la costante di proporzionalità non è altro che la
costante
h 6,626 1034 J s
(1)
introdotta dal fisico tedesco Max Planck in un altro contesto. L’energia E di un fotone di frequenza f risulta essere, quindi:
costante di Planck (Js)
E hf
(2)
energia (J)
frequenza (Hz)
Quindi, nella radiazione elettromagnetica, l’energia è quantizzata: data la frequenza
f dell’onda, l’energia trasportata da un fascio luminoso monocromatico può assumere soltanto un insieme discreto di valori, tutti multipli di una quantità fondamentale.
Il modello dei fotoni di Einstein non è in contraddizione con la teoria elettromagnetica di Maxwell: l’enorme numero di fotoni che costituisce un fascio di luce
ordinario si comporta come un’onda, esattamente come le molecole di un corpo,
pur avendo proprietà «granulari», costituiscono un mezzo che appare continuo su
scala macroscopica.
ESEMPIO
Una luce blu può avere frequenza f 6,50 1014 Hz.
f Calcola l’energia E di un fotone di quella luce blu.
• L’energia del fotone si calcola con la formula (2):
E = hf = ^6,63 # 10 -34 J : s h # c 6,50 # 10 14
1
-19
m = 4,31 # 10 J.
s
La spiegazione dell’effetto fotoelettrico
In certe condizioni i fotoni rivelano la loro «individualità». In effetti, secondo Einstein, le proprietà dell’effetto fotoelettrico si spiegano se si ammette che, nel metallo
colpito da un fascio di luce ultravioletta, si ha sempre e soltanto l’interazione di un
singolo fotone con un solo elettrone.
1078
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
L’elettrone può uscire dal metallo soltanto se l’energia E del fotone è almeno uguale
al lavoro di estrazione We. La proprietà di quantizzazione E hf pone allora la condizione
hf $ We ,
da cui
f$
We
.
h
Deve quindi esistere una frequenza minima
fmin =
We
h
(3)
al di sotto della quale l’effetto fotoelettrico non può avvenire. Una delle difficoltà
dell’interpretazione dell’effetto fotoelettrico è così risolta.
Per studiare il secondo aspetto problematico, prendiamo in esame l’interazione
elettrone-fotone: un elettrone che assorbe un fotone di energia E hf e non dissipa
energia, a causa di urti con gli ioni del metallo, esce con energia cinetica Kmax .
La conservazione dell’energia permette allora di scrivere l’equazione
(4)
Kmax hf We
Ecco che Kmax dipende soltanto da f e non dall’irradiamento dell’onda elettromagnetica. Cioè, Kmax non dipende dal numero di fotoni che, ogni secondo, incidono
sull’unità di area del metallo.
Combinando le equazioni (3) e (4) si trova che Kmax è proporzionale a (f fmin):
Kmax h(f fmin),
(5)
come è mostrato dai dati sperimentali.
3
LO SPETTRO DELL’ATOMO DI IDROGENO
Se si scompone con un prisma la luce emessa da un gas monoatomico portato ad alta
temperatura o attraversato da corrente elettrica, si vede un insieme di righe brillanti,
ciascuna di colore ben definito (cioè di frequenza ben determinata). Si tratta di uno
spettro di righe.
Una parte dello spettro di emissione dell’idrogeno atomico è mostrato nella figura 2. La scala numerica è espressa in angstrom (1 Å 1010 m).
8 000 7 000
6 000
5 500
5 000
4 500
Si nota che le righe si addensano verso le lunghezze d’onda più piccole, cioè verso
le frequenze f c/ più alte. Nel 1885 il fisico svizzero Johann Balmer (1825-1898)
scoprì per via empirica che le frequenze delle righe visibili nello spettro dell’idrogeno monoatomico sono date dalla formula
4 000
Figura 2 Spettro di emissione
dell’idrogeno atomico.
1079
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
1
1
f = cR H c - 2 m ,
4 n
Serie spettrali
Con m 2, dalla (7) si
ritrova la serie di Balmer
espressa dalla formula (6).
Il caso m 1 descrive
frequenze nell’ultravioletto
(serie di Lyman), mentre
con m 3 si ottengono le
linee nell’infrarosso (serie di
Paschen).
(6)
dove c è la velocità della luce nel vuoto, RH 1,097 107 m1 è una costante di
proporzionalità e n è un numero intero maggiore di 2. L’insieme dei valori di f che si
ottengono dalla formula (6) è detto serie spettrale di Balmer.
La serie spettrale di Balmer contiene le righe di emissione dell’idrogeno che si
trovano nell’ambito della luce visibile. Fu soltanto nei primi anni del 1900 che, con
nuove tecniche sperimentali, fu scoperta l’esistenza di due nuove serie, una nella
zona infrarossa e una nell’ultravioletto.
In tutti questi casi le frequenze delle diverse onde elettromagnetiche emesse
dall’idrogeno sono calcolabili mediante la formula
f = cR H c
1
1
- m,
m2 n2
(7)
dove m e n sono due numeri interi con n m.
All’inizio del 1900 non si capiva perché ogni elemento chimico dovesse avere un
ben preciso spettro di emissione. La soluzione di tale problema richiese nuove conoscenze sulla struttura della materia e nuove idee teoriche, che sono l’argomento dei
prossimi paragrafi.
ESEMPIO
Facendo riferimento alla formula (7), la seconda linea della serie di Lyman ha
m 1 e n 3.
f Calcola il valore della frequenza f di tale linea.
Sostituendo i dati nella formula (7) otteniamo:
1
1
1
- 2 m = cR H c 1 - m =
2
9
m
n
m
m # c 1,097 # 10 7 1 m # 8 = 2,923 # 10 15 Hz.
= c 2,998 # 10 8
9
s
m
f = cR H c
4
Diffrazione della luce
visibile
Per la luce visibile si può
assumere una lunghezza
d’onda dell’ordine di 500 nm
(0,5 103 mm). Ostacoli di
queste dimensioni o più piccoli
sono «aggirati» dall’onda
luminosa e non possono essere
messi in evidenza.
L’ESPERIENZA DI RUTHERFORD
L’esplorazione delle strutture microscopiche degli esseri viventi e della materia si
è sviluppata dal Seicento all’Ottocento grazie all’uso dei microscopi ottici. Questi,
però, non riescono a esaminare oggetti che si trovano all’interno di corpi opachi e, a
causa della diffrazione della luce, non possono distinguere dettagli molto più piccoli
del micrometro.
Per risolvere queste limitazioni sono state sviluppate metodologie che utilizzano
fasci diversi da quelli di luce; per esempio i fasci di ultrasuoni permettono di vedere
all’interno di organismi biologici e i raggi X, in più, sono in grado di esaminare dettagli molto più piccoli del micrometro.
In fisica si utilizzano spesso anche i fasci di materia, per esempio formati da elettroni, o da particelle alfa (che sono cariche positivamente). Questi due tipi di particelle subatomiche sono stati utilizzati per primi, perché sono emessi spontaneamente dai materiali radioattivi, ma ora si utilizzano fasci di molti generi diversi, ottenuti
1080
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
artificialmente, tra cui fasci di neutrini, elettroni, antielettroni, protoni e antiprotoni, neutroni e ioni.
Il modello atomico di Thomson
John Joseph Thomson
Alla fine dell’Ottocento molti fisici ritenevano fondata l’ipotesi che la materia fosse
formata da corpuscoli elementari molto piccoli, detti «atomi». Un grande numero
di dati sperimentali raccolti sia in chimica, sia nell’ambito della termodinamica, poteva essere spiegato in maniera relativamente semplice applicando il modello atomico e molecolare della materia.
Gli studi elettrici mostravano che nella materia sono presenti cariche elettriche
di due tipi. La scoperta dei raggi catodici (in particolare, gli studi del fisico e matematico inglese John Joseph Thomson a questo riguardo) aveva messo in evidenza
che esistono nella materia delle particelle, poi chiamate «elettroni», molto leggere,
praticamente puntiformi e dotate di carica negativa.
Quindi sembrava probabile che gli atomi contenessero al loro interno gli elettroni; però, dal momento che la materia è globalmente neutra, ogni atomo doveva anche contenere cariche positive in modo da annullare le cariche negative degli elettroni presenti.
Visto che gli elettroni sono molto leggeri, era
necessario che la carica positiva portasse con
sé praticamente tutta la massa dell’atomo.
J. J. Thomson propose quindi un modello in
cui immaginava che la carica positiva fosse distribuita in modo uniforme, occupando tutto
il volume dell’atomo, mentre quella negativa
era concentrata in corpuscoli (ciò è mostrato
in modo semplificato nella figura 3):
(1856-1940) fisico e
matematico inglese. Dimostrò
sperimentalmente che i
raggi catodici erano formati
da particelle negative, poi
chiamate elettroni. Misurò poi
il rapporto carica/massa per
queste particelle, che risultò
molto più grande di quello del
protone. Per questi risultati
J. J. Thomson è considerato
lo scopritore dell’elettrone e
ricevette il premio Nobel nel
1906.
carica positiva
–
–
–
–
–
–
–
carica negativa
Figura 3 Rappresentazione
schematica del modello atomico di
Thomson.
secondo il modello di Thomson, l’atomo è costituito da una sfera di carica
positiva in cui sono disseminati gli elettroni «come l’uvetta nel panettone».
Per questa ragione il modello atomico di Thomson è spesso chiamato «modello a
panettone» (plum pudding model).
Secondo i calcoli di Thomson, per avere stabilità sotto l’effetto delle forze di Coulomb che si esercitano tra la carica positiva e quella negativa, gli elettroni dovevano
muoversi in modo approssimativamente circolare all’interno della carica positiva.
Descrizione dell’esperimento di Rutherford
Il fisico neozelandese Ernest Rutherford portò a termine nel 1911, con i suoi collaboratori Hans Geiger ed Ernest Marsden, una celebre serie di esperimenti in cui
sottopose a verifica sperimentale il modello atomico di Thomson. Per interpretare
i risultati Rutherford fece l’ipotesi che la legge di Coulomb, allora verificata quando
le cariche elettriche erano a pochi centimetri l’una dall’altra, fosse valida anche a
distanze atomiche e subatomiche.
Come è mostrato nella figura 4, l’esperimento consisteva nel lanciare contro una
lamina d’oro molto sottile un fascio di particelle, dette «alfa».
Ernest Rutherford
(1871-1937) fisico
neozelandese. Scoprì le
emissioni alfa e beta della
radioattività naturale e
caratterizzò le particelle
negative (elettroni) e positive
che le compongono. Per
queste scoperte ricevette il
premio Nobel per la chimica
nel 1908. Elaborò una teoria
sulla trasmutazione dei nuclei
radioattivi, usò la radioattività
per determinare l’età della
Terra e scoprì l’esistenza dei
nuclei degli atomi.
1081
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
schermo di
solfuro di zinco
sorgente
di particelle
alfa
amina
a d oro
o
Figura 4 Struttura dell’apparato
sperimentale di Rutherford.
Un esempio su scala umana aiuta a comprendere l’esperimento. Supponiamo che
due bersagli di forma diversa siano nascosti alla vista perché rinchiusi in scatole di
carta velina molto sottile.
È sempre possibile ricostruire la forma dell’oggetto senza vederlo direttamente se
si lanciano contro le scatole un gran numero di palline di gomma:
�se la scatola contiene un cubo, molte
�Se la scatola contiene un tetraedro,
palline tornano verso la persona che le
lancia.
le palline escono deviate verso l’alto e
verso i lati.
A
angolo di
diffusione
+
lamina d’oro
Figura 5 Definizione dell’angolo di
diffusione.
B
Gli atomi non si possono vedere, ma è possibile studiare la loro struttura lanciando
contro di essi particelle che hanno dimensioni più piccole di quelle dell’atomo.
Le «palline» utilizzate da Rutherford e collaboratori erano particelle alfa, che sono emesse spontaneamente da particolari elementi radioattivi. Esse hanno una massa uguale a quella dell’atomo di elio e una carica positiva pari a 2e.
Le particelle alfa hanno quindi una massa che è circa 10 000 volte maggiore di
quella di un elettrone e viaggiano a una velocità che è dell’ordine di un decimo di
quella della luce. Quasi tutte attraversavano la lamina d’oro come se questa non esistesse e, emergendo dall’altra parte, erano intercettate da uno schermo fluorescente.
Ogni impatto di una particella alfa veniva segnalato sullo schermo da un minuscolo
lampo di luce.
L’angolo formato dalla particella alfa che esce dalla lamina, rispetto alla sua direzione iniziale, è detto «angolo di diffusione» (figura 5).
1082
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Misurando gli angoli di diffusione delle particelle alfa si ottengono
informazioni sulla struttura dei bersagli contro cui esse hanno urtato, anche
se i bersagli non sono visibili.
Nell’esperimento gli atomi di oro contenuti nella lamina sono i bersagli. Le particelle alfa, mentre attraversano una lamina spessa 107 m, ne incontrano circa un migliaio. Gli elettroni, così leggeri rispetto alle particelle alfa, non possono deviarle in
modo significativo; quindi ciascuna particella alfa risente soltanto dell’interazione
repulsiva delle cariche positive presenti negli atomi.
Se è corretto il modello atomico di Thomson, con la carica positiva dispersa in
un volume relativamente grande, questa repulsione non può essere molto intensa.
Come conseguenza,
il modello atomico di Thomson prevede che, passando attraverso la lamina
d’oro, le particelle alfa debbano avere angoli di diffusione piccoli.
La figura 6 mostra, in modo qualitativo, il risultato che ci si aspettava per l’esperimento di Rutherford nel caso in cui il modello di Thomson fosse corretto.
previsione secondo il modello di Thomson
particelle alfa
lamina d'oro
Figura 6 Previsione del risultato
dell’esperimento di Rutherford atteso
sulla base del modello di Thompson.
Il risultato dell’esperimento di Rutherford
Invece, Rutherford fu molto sorpreso nello
scoprire che alcune particelle alfa (circa 1
su 8000) tornavano addirittura indietro,
cioè erano riflesse dalla lamina (figura 7).
Come egli scrisse più tardi, «era quasi altrettanto incredibile che vederci rimbalzare addosso un proiettile da artiglieria,
dopo averlo sparato contro un foglio di
carta velina».
Per spiegare questo risultato Rutherford propose un nuovo modello atomico:
risultato
sultato dell’esperiment
dell’esperimento
t
lamina d'oro
Figura 7 Rappresentazione grafica
del risultato dell’esperimento di
Rutherford.
1083
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
l’atomo è costituito da un nucleo positivo estremamente piccolo posto al
centro di una sfera molto più grande, dove la carica negativa degli elettroni è
distribuita in modo più o meno uniforme.
10–10 m
L’atomo di Rutherford ha un raggio dell’ordine di
1010 m e contiene un nucleo con un raggio
dell’ordine di 1014 m. La figura 8, che rappresenta
tale modello atomico, non è in scala, perché il raggio dell’atomo dovrebbe essere (1010 m)
/(1014 m) 104 volte più grande di quello del
puntino centrale.
Figura 8 Rappresentazione grafica
del modello atomico di Rutherford.
Questo modello spiega il fatto che l’angolo di diffusione misurato nell’esperimento
di Rutherford è talvolta grande, fino a raggiungere anche il valore di 180°. Infatti,
come mostra la figura 9, la carica positiva è concentrata nei nuclei e alcune particelle
alfa, che casualmente passano vicino a un nucleo, possono subire deviazioni molto
grandi. Tutte le altre particelle, che attraversano la lamina passando lontano dai nuclei, hanno invece deviazioni molto piccole o anche nulle.
Figura 9 Interpretazione dei risultati
dell’esperimento di Rutherford alla luce
del suo modello atomico.
particelle
alfa
nucleo
Se al centro dell’atomo c’è un nucleo positivo, ci si deve chiedere come si comportano gli
elettroni presenti attorno al nucleo. Di certo non possono essere fermi, perché altrimenti
sarebbero attirati sul nucleo dalla forza di Coulomb. Fu naturale pensare che gli elettroni
ruotassero attorno al nucleo come i pianeti attorno al Sole, con la forza gravitazionale di
attrazione sostituita dalla forza attrattiva tra nucleo positivo ed elettroni negativi.
Per questa ragione, il modello atomico di Rutherford è spesso chiamato modello
planetario dell’atomo.
1084
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
5
36
CAPITOLO
IL MODELLO DI BOHR
Secondo il modello planetario, l’atomo è formato da un nucleo positivo e da Z elettroni che descrivono orbite chiuse attorno a esso. Gli elettroni hanno tutti la stessa
carica elettrica e. Siccome l’atomo è neutro, il nucleo deve avere una carica positiva Ze, uguale e opposta alla carica negativa totale degli elettroni.
Analizziamo ora, utilizzando le leggi della meccanica newtoniana e dell’elettromagnetismo, la struttura di un atomo di idrogeno prevista dal modello planetario.
Secondo tale modello, l’atomo di idrogeno è composto da un elettrone di massa me e
carica e che percorre (con una velocità di modulo v) una circonferenza di raggio r
attorno a un nucleo di carica e.
Energia totale di una carica in moto circolare uniforme
Un moto circolare uniforme richiede la presenza di una forza centripeta
Fc = m e a c = m e
v2
r
che mantiene il punto materiale di massa me sulla circonferenza. Nel caso dell’elettrone la forza centripeta è l’attrazione di Coulomb
F=
Q1 Q2
1 (- e)(+ e)
1 e2
=
=.
4 f0 r 2
4 f0
4 f0 r 2
r2
1
Il segno meno che compare in questa espressione indica semplicemente che la forza
tra l’elettrone (negativo) e il nucleo (positivo) è attrattiva. D’altronde è proprio questa attrazione a creare la forza centripeta necessaria a incurvare la traiettoria dell’elettrone.
Quindi il valore assoluto di F deve essere uguale all’intensità di Fc:
me
v2
1 e2
.
=
r
4 f0 r 2
Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione precedente per r e dividendoli per
me troviamo il valore del quadrato della velocità v:
v2 =
e2
.
4 f0 m e r
1
(8)
Ogni elettrone è caratterizzato dalla sua energia totale Etot, che è data dalla somma
dell’energia potenziale U e dell’energia cinetica K.
Grazie ai calcoli precedenti ora siamo in grado di determinare Etot. Infatti, con
la solita convenzione sulla condizione di riferimento, l’energia potenziale U è data
dalla formula (23) del capitolo «Il campo elettrico e il potenziale»
U=
Q1 Q2
1 (- e)(+ e)
1 e2
.
=
=4 f0 r
4 f0
r
4 f0 r
1
(9)
Inoltre la (8) permette di calcolare l’energia cinetica dell’elettrone, che risulta
K=
1
1
1
e2
1 e2
.
me v2 = me
=
2
2
4 f0 m e r
8 f0 r
(10)
1085
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
Abbiamo così ottenuto un risultato importante: l’energia cinetica di un elettrone
che orbita attorno al nucleo di idrogeno è sempre pari alla metà della sua energia
potenziale, cambiata di segno.
Tenendo conto di tutto ciò, l’energia totale Etot del sistema elettrone-nucleo è
E tot = U + K =-
e2
1 e2
1 e2
+
=4 f0 r
8 f0 r
8 f0 r
1
(11)
L’energia totale dell’elettrone è negativa perché il sistema è legato (non si può scindere spontaneamente) e si è scelto lo zero dell’energia potenziale quando l’elettrone
e il nucleo positivo sono a distanza infinita. Inoltre, l’energia totale è esattamente
l’opposto dell’energia cinetica dell’elettrone.
Il contributo di Niels Bohr
Niels Bohr
(1885-1962) fisico danese.
Sviluppò il modello atomico
che porta il suo nome (per il
quale ricevette il premio Nobel
nel 1922) e diede contributi
fondamentali allo sviluppo della
teoria quantistica e alla sua
sistemazione concettuale tanto
che, ancora oggi, si utilizza
l’interpretazione probabilistica
«di Copenhagen».
Nel 1912 il giovane fisico danese Niels Bohr, che stava studiando a Manchester sotto
la guida di Rutherford, si rese conto che il modello atomico planetario non poteva
essere corretto. Infatti un elettrone descrive un’orbita chiusa perché è continuamente soggetto a un’accelerazione centripeta; come è spiegato nel capitolo «Le equazioni
di Maxwell e le onde elettromagnetiche», una carica accelerata emette sempre energia sotto forma di onde elettromagnetiche, cioè di onde simili alle onde radio e alla
luce visibile.
Quando l’elettrone perde energia, il raggio della sua orbita diminuisce. Perciò la
sua traiettoria non è più circolare, ma è una spirale che si avvicina sempre più al nucleo, finché l’elettrone vi cade sopra in un intervallo di tempo dell’ordine di 107 s.
Questa conseguenza della fisica classica contraddice il fatto che gli atomi sono
stabili e non si distruggono in un decimo di milionesimo di secondo.
Perciò Bohr suppose che, a livello atomico, le leggi classiche della meccanica e
dell’elettromagnetismo non valessero più e che al loro posto fosse necessario introdurre nuove leggi della fisica, allora tutte da scoprire.
Per spiegare la stabilità degli atomi Bohr introdusse alcune ipotesi, allora arbitrarie, ma che in seguito sono state spiegate nel quadro di una teoria più generale:
• il raggio delle orbite degli elettroni attorno al nucleo può avere soltanto un
certo insieme di valori permessi;
• quando l’elettrone percorre una di queste orbite (dotate di un’energia totale
ben definita) non irraggia.
Quindi, come la carica elettrica, anche le orbite degli elettroni in un atomo sono
quantizzate:
Comportamento classico
Secondo la meccanica classica
un satellite che abbia la
velocità adatta può trovarsi
a qualunque distanza da un
pianeta.
nell’atomo di Bohr il raggio r dell’orbita, la velocità v dell’elettrone e la sua
energia totale Etot non possono assumere valori qualunque, ma solo un
insieme di valori ben definiti.
Abbiamo quindi un raggio r1 a cui corrisponde una velocità v1 dell’elettrone e un’energia totale Etot,1, poi un intervallo di valori vietati di r fino a giungere a un raggio r2
a cui corrispondono una velocità v2 dell’elettrone e un’energia Etot,2 e così via.
1086
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Le orbite permesse dell’atomo di idrogeno
Un elettrone che si muove in un atomo risente, per prima cosa, della forza di attrazione coulombiana da parte del nucleo positivo. Oltre a ciò, però, avverte anche le
interazioni repulsive degli altri elettroni presenti. Dal momento che tutti gli elettroni cambiano posizione a ogni istante, la descrizione matematica di queste forze è
molto complicata.
Perciò Bohr iniziò il proprio studio dal caso più semplice, quello di un atomo
che contiene un solo elettrone (Z 1), cioè dall’atomo di idrogeno. Inoltre, per
semplicità Bohr suppose che l’orbita descritta dall’elettrone attorno al nucleo fosse
circolare.
Secondo Bohr la condizione di quantizzazione, che permette di stabilire quali orbite sono permesse in questo caso, è data dalla formula
2 rn pn nh,
(12)
dove n è un numero intero positivo (n 1, 2, 3, …) detto numero quantico principale, rn è il raggio dell’orbita numero n e pn è il modulo della quantità di moto dell’elettrone su tale orbita.
Il principio di esclusione di Pauli
Per descrivere il comportamento chimico degli atomi occorre aggiungere un’ultima
ipotesi (principio di esclusione di Pauli):
su una stessa orbita non possono muoversi più di due elettroni.
Per l’atomo di berillio (che ha quattro
elettroni e, quindi, un nucleo di carica
4e), la figura 10 mostra una rappresentazione schematica che tiene conto del
modello atomico di Bohr e del principio
di esclusione di Pauli: nel suo stato fondamentale (quello di minima energia) due
elettroni (cioè il massimo numero possibile) sono sull’orbita più vicina al nucleo
e altri due sull’orbita successiva.
–
–
+
+ +
+
–
–
Figura 10 Schema dell’atomo di
berillio secondo il modello di Bohr.
La tavola periodica degli elementi
Nel modello di Bohr ogni atomo è contraddistinto dal valore di Z, che si chiama numero atomico e rappresenta sia il numero degli elettroni presenti nell’atomo neutro, sia la carica del nucleo misurata come multiplo di e.
Sappiamo già che l’atomo di idrogeno ha Z 1; l’elio ha Z 2, cioè ha un nucleo
di carica 2e, attorno a cui si muovono due elettroni; l’uranio ha Z 92, cioè ha
novantadue elettroni e un nucleo di carica 92e.
Classificando gli elementi per numero atomico crescente e incolonnando gli atomi i cui elementi hanno le stesse proprietà chimiche, si ritrova l’ordine con cui essi
erano stati raggruppati, nella seconda metà dell’Ottocento, dal chimico russo Dimitri I. Mendeleev (1834-1907).
1087
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
1
I
18
VIII
IDROGENO
H
1,008
2
II
LITIO
BERILLIO
Li
Be
3
nome
numero atomico
IDROGENO
1
1
H
2
simbolo
peso atomico (u)
1,008
4
ELIO
He
13
III
14
IV
15
V
16
VI
17
VII
4,003
BORO
CARBONIO
AZOTO
OSSIGENO
FLUORO
NEON
B
C
N
O
F
Ne
5
6
7
8
9
10
6,941
9,012
10,81
12,01
14,01
16,00
19,00
20,18
SODIO
MAGNESIO
ALLUMINIO
SILICIO
FOSFORO
ZOLFO
CLORO
ARGON
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
11
12
13
14
15
16
17
18
22,99
24,31
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
26,98
28,09
30,97
32,07
35,45
39,95
POTASSIO
CALCIO
SCANDIO
TITANIO
VANADIO
CROMO
MANGANESE
FERRO
COBALTO
NICHEL
RAME
ZINCO
GALLIO
GERMANIO
ARSENICO
SELENIO
BROMO
CRIPTON
K
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
39,10
40,08
44,96
47,87
50,94
52,00
54,94
55,85
58,93
58,69
63,55
65,41
69,72
72,64
74,92
78,96
79,90
83,80
RUBIDIO
STRONZIO
ITTIRIO
ZIRCONIO
NIOBIO
MOLIBDENO
TECNEZIO
RUTENIO
RODIO
PALLADIO
ARGENTO
CADMIO
INDIO
STAGNO
ANTIMONIO
TELLURIO
IODIO
XENON
Rb
Sr
Y
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
Rh
Pd
Ag
Cd
In
Sn
Sb
Te
I
Xe
85,47
87,62
88,91
91,22
92,91
95,94
(98,91)
101,1
102,9
106,4
107,9
112,4
114,8
118,7
121,8
127,6
126,9
131,3
CESIO
BARIO
LANTANIO
AFNIO
TANTALIO
WOLFRAMIO
RENIO
OSMIO
IRIDIO
PLATINO
ORO
MERCURIO
TALLIO
PIOMBO
BISMUTO
POLONIO
ASTATO
RADON
Cs
Ba
La
Hf
Ta
W
Re
Os
Ir
Pt
Au
Hg
Tl
Pb
Bi
Po
At
Rn
195,1
197,0
207,2
209,9
(210)
(210)
37
55
38
56
39
57
40
72
41
73
42
74
43
75
44
76
45
77
132,9
137,3
138,9
178,5
180,9
183,9
186,2
190,2
192,2
FRANCIO
RADIO
ATTINIO
RUTHERFORDIO
DUBNIO
SEABORGIO
BOHRIO
HASSIO
MEITNERIO
Fr
Ra
Ac
Rf
Db
Sg
Bh
Hs
Mt
(223)
(226)
(227)
87
88
89
104
(267)
105
108
109
78
79
DARMSTADIO ROENTGENIO
110
111
Ds
Rg
48
80
49
81
50
82
51
83
52
84
53
85
54
86
200,6
204,4
COPERNICIO
UNUNTRIO
Cn
Uut
Uuq
Uup
Uuh
Uuo
(294)
112
113
UNUNQUADIO UNUNPENTIO UNUNHEXIO
114
115
(222)
UNUNOCTIO
116
118
(271)
(272)
(270)
(276)
(281)
(280)
(285)
(284)
(289)
(288)
(293)
CERIO
PRASEODIMIO
NEODIMIO
PROMEZIO
SAMARIO
EUROPIO
GADOLINIO
TERBIO
DISPROSIO
OLMIO
ERBIO
TULIO
ITTERBIO
LUTEZIO
Ce
Pr
Nd
Pm
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Db
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
140,1
140,9
144,2
(144)
150,4
152,0
157,3
158,9
162,5
164,9
167,3
168,9
173,0
175,0
TORIO
PROTOATTINIO
URANIO
NETTUNIO
PLUTONIO
AMERICIO
CURIO
BERKELIO
CALIFORNIO
EINSTENIO
FERMIO
MENDELEVIO
NOBELIO
LAURENZIO
Th
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
No
232
231
238
(237)
(244)
(243)
(247)
(247)
(252)
(252)
(257)
(258)
(259)
90
ATTINIDI
107
47
(268)
58
LANTANIDI
106
46
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
Lr
(262)
Il termine «sistema periodico degli elementi» deriva proprio dal fatto che gli elementi che si trovano sulla stessa colonna (detta gruppo) hanno proprietà chimiche simili.
Cosa determina queste proprietà chimiche? Gli atomi interagiscono tra loro
essenzialmente a causa delle interazioni degli elettroni che occupano le orbite più
esterne. Devono essere quindi le configurazioni degli elettroni esterni e meno legati
che determinano la collocazione di un elemento in una delle caselle del sistema periodico degli elementi.
6
I LIVELLI ENERGETICI DI UN ELETTRONE
NELL’ATOMO DI IDROGENO
Consideriamo l’orbita numero n dell’atomo di idrogeno, di raggio rn, che viene percorsa dall’elettrone con una velocità di modulo vn. Scrivendo pn mevn nella condizione di quantizzazione (12) ed elevandola al quadrato otteniamo:
4
2 2
n
r m 2e v 2n = n 2 h 2 .
Nella relazione precedente possiamo ora sostituire la formula (8), scritta per v vn e
r rn; in questo modo troviamo
4
2 2
n
r m e2
e2
= n 2 h 2,
4 f0 m e r n
1
da cui si ricava l’espressione che fornisce i raggi delle orbite permesse nel modello
atomico di Bohr per l’atomo di idrogeno:
1088
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
rn = n 2
f0 h
36
CAPITOLO
2
= (5,29 # 10 -11 m ) n 2
me e2
(13)
La figura 11 mostra i raggi delle orbite permesse che, sulla base della formula appena dimostrata, sono direttamente proporzionali al quadrato del numero quantico principale.
n=5
n=4
n=3
n=2
r2=4r1
r3=9r1
r1
r4=16r1
n=1
Figura 11 Raggi delle orbite
permesse per l’elettrone dell’atomo di
idrogeno.
r5=25r1
Ora sostituiamo l’espressione (13) nella formula (11): in questo modo possiamo calcolare l’energia totale che corrisponde alle diverse orbite permesse dell’atomo di idrogeno:
E (n) =-
me e4 1
13,6 eV
=2 2
2
8f 0 h n
n2
(14)
Questi valori di energia sono detti livelli energetici dell’atomo. Come si vede dalla
formula precedente, essi sono quantizzati e risultano inversamente proporzionali al
quadrato del numero quantico principale.
ESEMPIO
Un elettrone percorre la prima orbita permessa dell’atomo di idrogeno.
f Calcola, in joule e in elettronvolt, l’energia che corrisponde a tale orbita.
L’energia richiesta si ottiene ponendo n 1 nella formula (14). In questo
modo si ottiene:
Energia dell’elettrone
Nel linguaggio dei fisici è
comune dire che la formula
a fianco esprime «l’energia
dell’elettrone» nel livello
energetico numero n. In realtà,
l’energia (14) appartiene al
sistema elettrone-nucleo,
anche se l’unica particella che
nell’atomo può cambiare le
caratteristiche del sistema è
l’elettrone.
(9,11 # 10 -31 kg) # (1,60 # 10 -19 C) 4
=
C2 2
-34
2
(
#
#
: s)
8 # c 8,854 # 10 -12
6,63
10
J
m
N : m2
kg : J 2 : m 2
kg : C 4 N 2 : m 4
= - 2,17 # 10 -18 2 2 :
=- 2,17 # 10 -18
=
4
J :s
C
J 2 : s2
= - 2,17 # 10 -18 J .
E (1 ) = -
me e4 1
=8f20 h 2 1 2
1089
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
La stessa energia può essere espressa in elettronvolt come
E (1) =
- 2,17 # 10 -18 J
=- 13,6 eV.
-19 J
1,60 # 10
eV
L’energia di legame di un elettrone
La formula (14) dà una misura di quanto l’elettrone è legato al nucleo di idrogeno.
Per definizione:
l’energia di legame WL di un elettrone è uguale al minimo lavoro che è
necessario compiere per estrarre l’elettrone dall’atomo.
Un elettrone che si trova fermo a distanza infinita dal nucleo ha K 0 J e, per la formula (9), anche U 0 J; ciò significa che ha Etot K U 0 J.
Per strappare un elettrone di energia E(n) da un atomo con il minimo lavoro possibile bisogna portare l’elettrone dall’energia E(n) all’energia zero. Per fare questo
occorre compiere un lavoro (che è l’energia di legame)
WL 0 J E(n) E(n)
(15)
Poiché E(n) è negativo, l’energia di legame è positiva.
s
–
+ + +
+
+
+
+
+
Figura 12 Per estrarre un elettrone
da un atomo occorre compiere un lavoro
positivo.
F
Per controllare che l’energia di legame è positiva basta pensare che, per
strappare un elettrone da un atomo,
dobbiamo applicare su di esso una
forza rivolta verso l’esterno (figura
12). Siccome anche lo spostamento è
verso l’esterno, i vettori forza e spostamento sono paralleli e il lavoro
fatto per allontanare l’elettrone dal
nucleo è positivo.
Kuznetsov Alexey/Shutterstock
La giustificazione dello spettro dell’atomo di idrogeno
Secondo il modello di Bohr, un elettrone che percorre un’orbita permessa non irraggia. Tuttavia, poiché un
gas attraversato da una corrente elettrica emette luce, come per esempio
in un tubo al neon, dobbiamo chiederci come avviene l’emissione dei
fotoni da parte degli atomi.
1090
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Bohr postulò che un fotone è emesso da un atomo quando un suo elettrone
passa da un’orbita permessa di energia maggiore (più esterna) a un’altra
orbita permessa di energia minore (più interna).
L’atomo di idrogeno ha un solo elettrone. Esso può ricevere energia dall’esterno, per
esempio mediante un urto e passare a un’orbita di numero quantico n, con energia
E(n) maggiore di quella iniziale.
L’atomo, così disturbato, si trova in uno «stato eccitato», che è instabile. Dopo un
intervallo di tempo che è di solito molto breve (minore di 10–8 s), l’elettrone «salta»
su un’orbita di numero quantico m (con m < n) la cui energia E(m) è minore di E(n).
La differenza di energia
E E(n) E(m)
è liberata sotto forma di un fotone di frequenza
f=
E ( n) - E ( m )
E
=
.
h
h
(16)
Dalla formula (14), tale frequenza risulta
f=
E (n) - E (m)
me 4 1
1
= 2 3 c 2 - 2 m.
h
8f 0 h m
n
(17)
Ponendo
me 4
= cR H
8 f20 h 3
(18)
la (17) risulta identica alla (7), che è così stata ricavata partendo dalle ipotesi di Bohr.
Inoltre la (18) fornisce un’espressione esplicita di RH in accordo con i risultati sperimentali.
�Nel modello di Bohr le orbite dell’atomo di idrogeno hanno raggi proporzionali a n2 ed energie inversamente proporzionali a n2.
�Se l’elettrone passa su un’orbita in-
terna, la frequenza del fotone emesso
è direttamente proporzionale al salto
energetico.
E4= – 0,85 eV
E3= – 1,51 eV
E2= – 3,40 eV
E1= – 13,6 eV
A
B
Soltanto alcune energie possono essere emesse e assorbite dall’atomo. Inoltre, ogni
atomo assorbe soltanto le energie che è in grado di emettere.
1091
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
7
Numero di fotoni
Il numero di fotoni che formano
un fascio di luce è enorme. Per
esempio, su ogni m2 arrivano
dal Sole circa 5 1017 fotoni.
LE PROPRIETÀ ONDULATORIE
DELLA MATERIA
Nei fenomeni di interferenza un fascio di luce ultravioletta si comporta come un’onda elettromagnetica. Invece, nell’effetto fotoelettrico lo stesso fascio di luce si comporta come se fosse costituito da un flusso di fotoni che interagiscono con la materia
come particelle singole.
Ma la luce è fatta di onde o di particelle? Sulla base dei fatti osservati, dobbiamo
ammettere che a questa domanda non si può dare una risposta univoca:
l’oggetto fisico «luce» si presenta come onda o come particella a seconda delle
condizioni sperimentali.
Questa dualità è una proprietà intrinseca della luce e di tutte le radiazioni elettromagnetiche, e non una limitazione delle nostre conoscenze; le descrizioni ondulatoria e
corpuscolare della luce sono alternative.
La dualità onda-particella della materia
Louis Victor de Broglie
(1892-1987) fisico
francese. Fratello minore
di Maurice, altro importante
fisico dell’epoca, nella sua
dissertazione di laurea propose
il dualismo onda-particella
per la materia. Per i suoi studi
sulla teoria atomica ricevette il
premio Nobel per la fisica nel
1929.
Negli anni 1923-24 il fisico francese Louis de Broglie, considerando la dualità ondaparticella della luce, si chiese se una analoga dualità non potesse esistere anche per
la materia. Con considerazioni di tipo relativistico, egli intuì che a ogni particella
materiale con quantità di moto pv si deve associare un’onda di lunghezza d’onda (detta lunghezza d’onda di de Broglie della particella) tale che
=
h
p
(19)
ESEMPIO
La quantità di moto di un elettrone ha modulo p 5,44 1024 kgm/s.
f Calcola la lunghezza d’onda di de Broglie associata all’elettrone.
Sostituendo il valore di p nella relazione di de Broglie (19) troviamo:
=
h
=
p
kg : m 2 : s
s
6,63 # 10 -34 J : s
:
= 1,22 # 10 -10
= 1,22 # 10 -10 m .
2
m
:m
kg
-24
s
5,44 # 10 kg :
s
IN LABORATORIO
Dal momento che h è una costante molto piccola (in unità S.I.) e che è inversamente proporzionale a f, agli oggetti macroscopici corrispondono lunghezze d’onda
che sono praticamente nulle e che, quindi, non generano alcun effetto osservabile
nella vita quotidiana. Invece, elettroni e altre particelle subatomiche hanno lunghezze d’onda di de Broglie relativamente grandi (rispetto alle dimensioni degli atomi) e
ne determinano i comportamenti fisici.
La relazione di de Broglie:
(a) ingloba la relazione di Planck per i fotoni E hf e
(b) permette di giustificare la condizione di quantizzazione di Bohr per l’atomo di
idrogeno.
Diffrazione di un fascio
di elettroni
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
1092
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
E
Per quanto riguarda il punto (a), basta ricordare che per i fotoni vale p = (forc
mula (8) del capitolo «La relatività»), per cui dalla (19) si ha:
=
c
h
=h
E
p
E=h
&
c
= hf.
In relazione al punto (b), vediamo a cosa corrisponde, nel modello ondulatorio, il
moto circolare di un elettrone atomico.
�Nel modello corpuscolare l’elettrone
gira continuamente lungo una traiettoria circolare di raggio rn senza irraggiare.
� Nel
modello ondulatorio l’elettrone è un’onda stazionaria che deve «richiudersi su se stessa».
3
ESPERIMENTO VIRTUALE
Onde e particelle
• Gioca
• Misura
• Esercitati
4
2
rn
5
1
nucleo
9
orbita
dell’elettrone
A
6
nucleo
10
7
8
B
Perché l’onda «si richiuda», la lunghezza 2 rn dell’orbita non può essere arbitraria,
ma deve essere un multiplo della lunghezza d’onda dell’elettrone:
2 rn n.
Nella figura sopra è stato scelto n 10.
Sostituendo la (19) nella formula precedente, si ottiene
2 rn pn nh,
che è proprio la condizione di quantizzazione di Bohr per un’orbita circolare dell’atomo di idrogeno, scritta nella formula (12).
Quindi la condizione di Bohr, così misteriosa dal punto di vista corpuscolare,
secondo il modello ondulatorio di de Broglie è dovuta alla natura ondulatoria degli
elettroni: le proprietà degli atomi, e in particolare la quantizzazione delle loro energie, sono determinate dal fatto che gli elettroni atomici si comportano come onde di
de Broglie.
Vi è grande analogia tra il comportamento della radiazione elettromagnetica e
quello dei corpuscoli che costituiscono la materia.
Sia la radiazione elettromagnetica, sia le particelle subatomiche mostrano
in alcuni fenomeni natura ondulatoria, in altri natura corpuscolare. Questa
proprietà è chiamata dualismo onda-particella.
Nel 1927 i fisici statunitensi Clinton J. Davisson e Lester H. Germer confermarono sperimentalmente il modello di de Broglie: essi inviarono contro un bersaglio metallico un
fascio di elettroni la cui lunghezza d’onda, calcolata con la formula (19), era dello stesso
ordine di grandezza del passo reticolare, cioè della distanza tra gli atomi del cristallo.
1093
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
� Gli elettroni diffusi dal reticolo e
analizzati da opportuni rivelatori formarono una figura di diffrazione,
A
�proprio come i raggi X della stessa
lunghezza d’onda inviati sullo stesso
bersaglio.
B
Questo risultato, del tutto incomprensibile per la fisica classica, non lasciava dubbi:
particelle materiali (per esempio elettroni) si comportano, in determinate circostanze, come onde.
8
Werner Heisenberg
(1901-1976) fisico tedesco.
Inventore della Meccanica
delle matrici, fu uno dei
fondatori della fisica quantistica
e, per questa ragione, ricevette
il premio Nobel per la fisica nel
1932.
IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
La fisica quantistica, sviluppata tra il 1920 e il 1930, riesce a inquadrare in una sola
teoria coerente gli aspetti ondulatorio e corpuscolare della materia. Non potendo
affrontare nei dettagli questa teoria, che matematicamente è molto complicata, ne
esaminiamo ora il principio fondamentale.
Tale principio, enunciato dal fisico tedesco Werner Heisenberg, è conseguenza
dell’osservazione, apparentemente ovvia, che la fisica prende in esame soltanto entità e fenomeni che possono essere misurati. Nel mondo microscopico questa osservazione ha conseguenze impensabili per chi è abituato a osservare e descrivere
soltanto fenomeni macroscopici.
� La
pallina da biliardo, illuminata
per essere osservata, riceve quantità
di moto dal fascio di luce. Però questa quantità di moto non ha rilevanza,
perché non esercita una forza apprezzabile sulla pallina.
�Il moto di un elettrone è invece per-
turbato in modo imprevedibile dai fotoni con i quali si vuole determinare la
sua posizione e, dopo l’osservazione,
la quantità di moto dell’elettrone è indeterminata.
e
p
Pe = ?
A
B
1094
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Non è quindi possibile conoscere con precisione dove l’elettrone si trova,
senza impartirgli una quantità di moto non determinabile.
È quindi impossibile sapere con precisione e contemporaneamente dove l’elettrone si
trova e che velocità ha. Anche il concetto di traiettoria perde senso, perché si può parlare
di traiettoria di un corpo soltanto se si può osservare il suo moto senza perturbarlo.
Prima forma del principio di indeterminazione
Il principio di indeterminazione rende quantitative le precedenti considerazioni qualitative. Indicando con x e p le indeterminazioni della posizione x e della quantità
di moto p di un corpo materiale, Heisenberg ricavò dalla natura ondulatoria di tutte
le particelle il principio di indeterminazione, espresso dalla formula
' - 1034 J s.
x p - '
Se un corpo si muove lungo una retta,
non è possibile misurare con precisione grande quanto si vuole sia la sua
posizione x, sia la sua quantità di moto
p. Il meglio che si può fare è determinare x e p in modo che siano in accordo con la formula (20).
Il principio di indeterminazione implica che quanto più piccolo è x (ossia
più è accurata la misura di x), tanto più
grande è p (cioè la misura di p è più
imprecisa) e viceversa (figura 13).
(20)
p=
La costante di Planck
ridotta
Il simbolo ' (che si legge
«acca tagliato») è il rapporto
h/2 tra la costante di Planck
e 2 . Si chiama «costante di
Planck ridotta».
h/2
x
p2
p1
x2
x1
Figura 13 Secondo il principio
di indeterminazione di Heisenberg,
l'indeterminazione sulla posizione e
quella sulla quantità di moto sono
inversamente proporzionali.
Per ragioni di principio, non è possibile affermare, quindi, che un corpo si trova fermo (cioè con quantità di moto esattamente uguale a zero) in una certa posizione.
Il principio di indeterminazione vale per tutti i corpi, sia macroscopici che microscopici. Però, per gli oggetti che ci circondano esso ha conseguenze pratiche del
tutto irrilevanti: poiché la costante di Planck è molto piccola su scala macroscopica,
le indeterminazioni x e p sono trascurabili rispetto agli errori di misura. Così
la fisica quantistica, applicata ai corpi macroscopici, dà risultati in perfetto
accordo con la fisica classica.
ESEMPIO
La posizione di un elettrone in un atomo è conosciuta con un’indeterminazione x - 1011 m.
f Determina la corrispondente indeterminazione p sulla quantità di moto.
Dall’espressione (20) possiamo isolare p:
p -
10 -34 J : s
m
'
- 10 -23 kg : .
x
s
10 -11 m
1095
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
Seconda forma del principio di indeterminazione
«Piccolo» e «grande»
Come per le misure di
posizione e di quantità di
moto, che compaiono nella
prima forma del principio
di Heisenberg, anche qui
il significato degli aggettivi
«grande» e «piccolo» è fissato
dal valore della costante di
Planck ridotta ' .
Accanto alla (20), che contiene le indeterminazioni x e p, vale una seconda forma
del principio di indeterminazione:
t E - '
che riguarda l’incertezza sul tempo, t, e quella sulla misura dell’energia, E.
La (21) afferma che, se su un sistema si esegue una misura di energia, la precisione
intrinseca E con la quale è possibile ottenere il risultato è determinata dalla durata
della misurazione: più breve è la misura, più impreciso è il valore trovato dell’energia.
Viceversa, se si vuole conoscere ciò che accade in un intervallo di tempo molto
piccolo, il comportamento quantistico dei sistemi impone che si debbano impartire
energie grandi: così, dopo la misura, l’energia del sistema è molto indeterminata.
9
Erwin Schrödinger
(1887-1961) fisico austriaco.
Oltre che alla fisica atomica,
si dedicò alla termodinamica
statistica, alla biologia
molecolare, all’epistemologia e
alla storia della fisica. Per i suoi
contributi alla fisica quantistica
ricevette il premio Nobel per
la fisica nel 1933 insieme a
P.A.M. Dirac.
(21)
LE ONDE DI PROBABILITÀ
In un’onda elettromagnetica vibrano il campo elettrico e il campo magnetico. Che
cosa vibra in un’onda di materia?
La risposta a questa domanda è data dalla fisica quantistica, la teoria rigorosa delle proprietà del mondo microscopico, sviluppata negli anni Venti da molti fisici, tra
i quali vanno ricordati in modo particolare Werner Heisenberg, l’austriaco Erwin
Schrödinger, il danese Niels Bohr, il tedesco Max Born (1882-1970) e l’inglese Paul
Adrien Maurice Dirac (1902-1984).
Secondo questa teoria, ciò che vibra in un’onda di materia è una grandezza di cui
non è possibile dare un’interpretazione classica. Questa grandezza si chiama ampiezza di probabilità o funzione d’onda ed è indicata con la lettera greca $ (psi).
Essa si calcola mediante l’equazione di Schrödinger, dal nome di colui che per
primo l’ha scritta; in tale equazione vanno introdotte le forze a cui sono soggette le
particelle del sistema quantistico che si considera.
L’ampiezza di probabilità di una particella è una grandezza che dipende dalle coordinate x, y, z e dall’istante t. Essa serve a calcolare la probabilità che, all’istante t,
la particella considerata si trovi in un certo volume di spazio V, centrato sul punto
(x, y, z).
�Nel modello corpuscolare una particella è pensata come un punto materiale che si muove con quantità di moto pv lungo una direzione, che si può
scegliere come asse x.
�La fisica quantistica utilizza la funzione $ della posizione x, che determina la probabilità di osservare la
particella in una zona piuttosto che in
un’altra.
p
x
x
x
A
B
1096
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
La probabilità di osservare la particella è proporzionale al quadrato di $.
Nelle zone in cui $ oscilla, la probabilità di trovarvi una particella è diversa da zero.
Non si trova mai la particella fuori da questa regione, dove $ è nulla. Questo gruppo
localizzato di oscillazioni si chiama pacchetto d’onda.
L’ampiezza di probabilità e il principio di Heisenberg
La rappresentazione delle proprietà di un sistema quantistico attraverso la funzione
d’onda e il principio di Heisenberg sono strettamente collegati; infatti
facendo uso dell’ampiezza di probabilità $, la fisica quantistica spiega il
principio di indeterminazione di Heisenberg.
Come è mostrato nella figura precedente, per un pacchetto d’onda l’indeterminazione sulla posizione della particella è in genere diversa da zero: se si vuole osservare
la particella, non si sa dove la si troverà all’interno di una regione che ha lunghezza
x.
Cosa si può dire della quantità di moto della stessa particella? Nel caso estremo
di un’onda sinusoidale che si estende a tutto lo spazio, la lunghezza d’onda è una
e ben definita e lo stesso accade per la quantità di moto p h/. Quindi l’indeterminazione p è nulla e, contemporaneamente, l’indeterminazione x è massima
(infinita), dato che la particella si può trovare ovunque.
Così, quando x è grandissimo l’indeterminazione p tende a zero, come è previsto dal principio di Heisenberg: p - '/x. Reciprocamente, più il pacchetto
d’onda è corto (x piccolo), maggiore è l’incertezza e quindi maggiore è p.
Nel primo esempio la posizione
è mal definita e la quantità di moto è
definita bene; nel secondo, a una posizione meglio definita corrisponde una
maggiore incertezza sul valore di e
quindi su p.
�
A
�Nei casi in cui la posizione x è nota
con precisione (caso 3), il pacchetto
contiene meno oscillazioni e la sua
è molto mal definita. Per questo la
quantità di moto p h/ ha una grande incertezza p.
1
3
2
4
B
Quando, come nell’esempio 4, il pacchetto d’onda è concentrato in un punto
(x - 0), il concetto di «lunghezza d’onda» perde senso ( " ) e la quantità di
moto p h/ è completamente indeterminata (p " ).
Consideriamo un insieme di elettroni o fotoni che, propagandosi nello spazio,
trasportano energia e costituiscono una «radiazione». Alla domanda: «in realtà si
tratta di onde o corpuscoli?» la risposta corretta è che non si può rispondere.
1097
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
• Quando si propaga nello spazio, ogni radiazione va pensata come costituita da
pacchetti d’onda delle ampiezze di probabilità di tutte le particelle del sistema.
• Quando la si osserva interagire con qualche dispositivo, essa si comporta
come onda (diffusa nello spazio) o come corpuscolo (concentrato in un
punto) a seconda del tipo di misura che su di essa si esegue.
10
IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
Se un certo sistema quantistico S è descritto da due funzioni d’onda $a e $b, che
descrivono due possibili stati del sistema, allora esso è descritto anche dalla funzione
d’onda
$ a$a b$b,
dove a e b sono, in generale, numeri relativi.
fenditura
B
Rb
L
Figura 14 Apparato sperimentale
per studiare le proprietà della
sovrapposizione di stati quantici.
Valori della probabilità
Poiché la probabilità è
proporzionale al quadrato
dell’ampiezza $, la probabilità
che l'elettrone passi attraverso
a2
A è pA = 2
a + b2
e quella che passi attraverso B
b2
è pB = 2
.
a + b2
R
fenditura
A
RA
Per capire cosa ciò comporta, consideriamo il caso idealizzato della figura 14, in
cui il sistema S è costituito da un elettrone
emesso dalla sorgente L, da uno schermo
opaco in cui sono praticate due fenditure
e da un rivelatore R posto al di là di tale
schermo.
Rispetto a questo sistema, un elettrone
che giunge sul rivelatore può essere descritto da due funzioni d’onda fondamentali: la prima, che chiameremo $a, descrive un elettrone che è passato dalla fenditura A; la seconda, $b, descrive un elettrone
che è passato dalla fenditura B.
Entrambe queste situazioni (questi stati quantici) sono ben chiare dal punto di vista
della fisica classica e, anche, della nostra esperienza quotidiana. Ma cosa significa
dire, in meccanica quantistica, che lo stato dell’elettrone è descritto dalla funzione
d’onda $ a$a b$b? Non significa che esso è passato per entrambe le fenditure
né, se la cosa può avere senso, che è passato un po’ attraverso la prima e un po’ attraverso la seconda.
Significa soltanto che, per esso, la domanda «qual è la fenditura attraversata
dall’elettrone?» non ha una risposta definita.
Se facciamo in modo che la sorgente L emetta in successione soltanto elettroni
descritti dalla funzione d’onda $ a$a b$b possiamo mettere altri due rivelatori RA e RB in corrispondenza delle due fenditure per verificare se gli elettroni passano
attraverso la fenditura A oppure attraverso la B.
In questo caso, qualche volta un elettrone è rivelato da RA e altre volte da RB, ma
mai due elettroni sono rivelati contemporaneamente. Quindi l’esperimento mostra
che, su N elettroni che attraversano lo schermo, Na passano per la fenditura A e i
rimanenti (N Na) risultano passare attraverso la B. Il risultato di ogni singola misurazione non è in alcun modo prevedibile a priori: tutto ciò che è possibile calcolare
è la probabilità che un elettrone passi attraverso una determinata fenditura.
1098
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Quando si esegue questo tipo di misura l’elettrone è certamente passato
per una fenditura determinata e, quindi, non è più descritto dallo stato
$ a$a b$b ma da uno dei due stati fondamentali $a e $b (a seconda di
qual è la fenditura da cui risulta passato).
Secondo la concezione classica della fisica quantistica, detta «interpretazione di Copenhagen», l’atto di compiere una misura (nel nostro esempio l’attivazione di uno
dei due rilevatori RA o RB) fa «collassare» la funzione d’onda dallo stato di sovrapposizione a uno dei due stati fondamentali. I coefficienti numerici che compaiono nella sovrapposizione delle funzioni d’onda determinano le probabilità dei diversi
eventi e quindi del fatto che la funzione d’onda $ collassi nello stato $a piuttosto
che nello stato $b; secondo la fisica quantistica questo è il massimo di informazione
che si può avere sul sistema.
Il gatto di Schrödinger
Per mettere in evidenza le difficoltà concettuali legate all’interpretazione di Copenhagen, nel 1935 il fisico Erwin Schrödinger propose, come esperimento concettuale,
la seguente «situazione abbastanza comica», come egli stesso la definì: «un perfido
scienziato pone un gatto, un atomo radioattivo e una fiala di veleno in una scatola
perfettamente isolata dall’esterno. Nel corso di un’ora, l’atomo può, con la stessa
probabilità, decadere o non decadere. Il fisico collega l’atomo alla fiala di cianuro in
modo che il veleno sia liberato nel momento in cui l’atomo decade. Il veleno è abbastanza tossico da uccidere immediatamente il gatto.»
Dopo un’ora lo scienziato apre la scatola e, nel caso che trovi il gatto morto, si
chiede se, durante l’ora trascorsa, il gatto era vivo oppure era morto.
Al paradosso del gatto di Schrödinger, la meccanica classica e la meccanica quantistica danno risposte diverse.
• Per la fisica classica, indipendentemente dall’osservatore, il gatto è per una certa
frazione di quell’ora del tutto vivo e, per il resto del tempo, del tutto morto.
• Secondo il punto di vista della meccanica quantistica, invece, i due stati «gatto
vivo» e «gatto morto» nel sistema totale della scatola sono sovrapposti fino al momento in cui il fisico compie l’osservazione. Egli stabilisce così il destino del gatto
in quanto, in quell’istante, lo stato misto «collassa» e il gatto deve essere necessariamente vivo o morto.
L’origine del paradosso del gatto di Schrödinger risiede nel fatto che la teoria quantistica assegna delle probabilità ai possibili esiti di un esperimento, mentre ogni
esperimento ha, in effetti, uno e un solo risultato reale.
Un istante prima di aprire la scatola, lo stato fisico che descrive il sistema della
scatola (con tutto ciò che essa contiene) è, con la probabilità del 50%, la sovrapposizione di due configurazioni:
• atomo non decaduto, fiala intatta, gatto vivo.
• atomo decaduto, fiala aperta, gatto morto.
Quindi, finché non viene osservato, il gatto si trova in uno stato di sovrapposizione
tra lo stato «vivo» e quello «morto». In altre parole, per tutta l’ora il gatto è «vivo a
metà» e «morto a metà».
Quando apre la scatola, lo scienziato effettua una misura, e ciò obbliga il sistema,
per così dire, a scegliere fra le due possibili configurazioni: solo in quel momento,
uno dei due possibili stati del sistema diventa reale.
Schrödinger, con il suo paradosso, mise in evidenza i due aspetti controversi
dell’interpretazione di Copenhagen:
1099
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
• uno, di natura propriamente fisica: una indeterminazione a livello
microscopico (la sovrapposizione di due stati di un atomo) genera
conseguenze paradossali quando è trasferita al livello macroscopico (il gatto);
• uno, di natura propriamente filosofica, legato al ruolo centrale
dell’osservatore: lo scienziato che effettua la misura diventa l’agente
che obbliga la natura a scegliere. Possiamo accettare, si chiedono con
Schrödinger molti fisici, che «la mente dello sperimentatore» abbia un
ruolo privilegiato nell’universo?
Una via d’uscita soddisfacente è stata suggerita, ma non è accettata da tutti gli esperti.
Secondo il modello della «decoerenza dinamica», sono le continue interazioni del sistema quantistico con l’ambiente esterno che, fungendo da misura, distruggono la
sovrapposizione dei due stati. E ciò accade tanto più rapidamente quanto più grande
è il sistema.
Per questo, pur chiuso nella sua scatola e non osservato dal di fuori, il gatto è ad
ogni istante o «tutto vivo» o «tutto morto»: l’aria e le superfici interne della scatola
non smettono mai di «osservarlo».
11
nuvola
elettronica
Figura 15 Rappresentazione
schematica delle nuvole elettroniche
che circondano il nucleo di un atomo.
STABILITÀ DEGLI ATOMI E ORBITALI ATOMICI
Spesso non è conveniente far uso della fisica quantistica, che unifica in una sola descrizione gli aspetti ondulatorio e corpuscolare della radiazione ma richiede un apparato matematico complesso, e si preferisce fare ricorso a modelli specifici.
A seconda del fenomeno, si usa il «modello corpuscolare» oppure il «modello ondulatorio», sapendo che si tratta di due descrizioni diverse ma non contraddittorie.
Il più lontano dalla realtà è il modello corpuscolare; fortunatamente, il principio
di indeterminazione ci aiuta a introdurre nelle sue applicazioni le correzioni necessarie. Per esempio, esso ci aiuta a capire la stabilità degli atomi.
La stabilità degli atomi non è spiegata dal modello corpuscolare di Bohr, ma è richiesta dal principio di indeterminazione. Si stabilisce infatti una situazione di equilibrio: la forza di Coulomb agisce sugli elettroni, che irraggiando cadrebbero sul nucleo;
però un elettrone prossimo al nucleo sarebbe molto localizzato e avrebbe quindi una
quantità di moto eccessiva e, di conseguenza, un’energia cinetica troppo grande.
Imponendo che si realizzi un compromesso tra queste due tendenze si può ricavare l’ordine di grandezza delle dimensioni degli atomi, che risulta corretto (1010m).
Questo ragionamento non è però sufficiente se si vuole spiegare la struttura di un
atomo, con un nucleo di carica Ze, attorno a cui «ruotano» Z elettroni.
Poiché non si possono pensare gli elettroni come minuscoli pallini, bisogna usare
il modello ondulatorio: gli elettroni sono descritti dalla loro ampiezza di probabilità.
Non ci sono elettroni che «girano» attorno al nucleo. Secondo la fisica quantistica, al posto delle orbite bisogna immaginare delle nuvole sottili in cui l’elettrone
è disperso. Si tratta di nuvole stazionarie, in modo che la probabilità di trovare un
elettrone a una certa distanza dal nucleo non cambia nel tempo.
La nuvola degli elettroni più legati è vicina al nucleo, quelle degli elettroni meno
legati sono più lontane. Le nuvole elettroniche della figura 15 (dette in chimica orbitali) descrivono gli stati di un solo elettrone legato a un nucleo di numero atomico Z.
Nel guscio definito dal «numero quantico principale» n 1 è contenuta una sola
oscillazione dell’ampiezza di probabilità, in quanto si ha 2 r. Nel secondo guscio vi sono due oscillazioni (numero principale 2) e nel terzo guscio tre oscillazioni (n 3).
1100
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
Per il principio di esclusione di Pauli il guscio con n 1 non può ospitare più di
due elettroni. Così, in un atomo complesso gli elettroni sono obbligati a occupare
molti gusci di numero principale crescente.
Le proprietà chimiche dell’elemento sono definite dagli elettroni che occupano i
gusci più esterni e, quindi, meno legati al nucleo.
Per completare il quadro bisogna ancora rispondere a una domanda: come mai
gli elettroni atomici, che nel modello corpuscolare ruotano attorno al nucleo, non
irraggiano? La risposta è implicita nel concetto di «onda elettronica stazionaria». Gli
elettroni non ruotano in realtà attorno al nucleo: la loro ampiezza di probabilità è
diversa da zero, ma non si ha un flusso circolare di carica elettrica.
In questa situazione stazionaria, è naturale che gli elettroni non irraggino.
36
CAPITOLO
Spettro discreto
e spettro continuo
I livelli energetici sono
quantizzati (spettro discreto)
fino allo stato in cui un
elettrone e il nucleo sono
separati. Per energie più grandi
il sistema non è legato e tutte le
energie sono possibili (spettro
continuo).
Anche questa apparente contraddizione del modello di Bohr è risolta come conseguenza della natura ondulatoria degli elettroni.
Emissione e assorbimento di fotoni
Ma allora gli elettroni atomici non irraggiano mai? Sappiamo che, secondo la teoria
di Bohr, essi emettono fotoni nel passare da un’orbita di raggio maggiore a una più
interna. Con il nuovo linguaggio appena introdotto, possiamo dire che un elettrone
atomico irraggia quando l’ampiezza di probabilità che lo descrive cambia improvvisamente, passando da uno stato di energia superiore (che è più lontano dal nucleo) a
uno di energia inferiore (che è più vicino al nucleo).
Per porre l’accento sull’energia degli stati permessi, si parla di livelli energetici
dell’atomo. Il livello energetico fondamentale è quello di energia complessiva minima. I livelli energetici eccitati hanno energie maggiori.
Si usa rappresentare i livelli energetici di un atomo come segmenti orizzontali
che, lungo la verticale, hanno altezze proporzionali alla loro energia. Nella figura 16
sono rappresentati i livelli energetici dell’atomo di idrogeno.
0 eV
–1,5 eV
E atomo
–3,4 eV
fotone
ultravioletto
–13,6 eV
Figura 16 Emissione di un fotone
quando un atomo passa da un
livello energetico eccitato al livello
fondamentale.
Quando un sistema quantizzato, che contiene cariche elettriche, passa da un livello
energetico più alto a uno più basso, emette contemporaneamente un fotone di energia E uguale alla differenza di energia tra i due stati tra cui avviene la transizione.
1101
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
36
RELATIVITÀ E QUANTI
Di conseguenza, anche la frequenza f E/h del fotone è quantizzata. Così la natura
ondulatoria degli elettroni atomici spiega l’osservazione degli spettri di righe emessi
dagli atomi.
Viceversa, quando un atomo è colpito da una particella, esso può assorbire soltanto le energie corrispondenti alle differenze dei suoi livelli energetici.
Di solito l’atomo rimane nello stato di energia superiore per un intervallo di tempo dell’ordine di 108 s. Esistono però casi in cui la durata di tale permanenza può
allungarsi fino a 103 s. Quando ciò accade si dice che lo stato di energia E2 è metastabile, cioè quasi stabile.
�Supponiamo di avere un atomo, che
�La presenza di questo fotone provo-
si trova nello stato di energia E2, e che
nelle sue vicinanze si trovi un fotone
che ha proprio la frequenza f data dalla formula (7).
ca la transizione dell’atomo stesso nello stato di energia E1, con l’emissione
di un secondo fotone identico al primo.
E2
E1
A
–
E2
E1
–
B
Il fotone emesso ha la stessa energia del fotone che ha causato la transizione e
il fenomeno si chiama emissione stimolata.
L’idea dell’emissione stimolata fu introdotta nel 1917 da Einstein. Il fenomeno accade negli atomi e in tutti i sistemi quantizzati.
Il laser
Nel laser (acronimo di Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, cioè
«amplificazione della luce mediante l’emissione stimolata di radiazione») il meccanismo dell’emissione stimolata è utilizzato per ottenere un intenso fascio di luce
composto da fotoni tutti identici tra loro.
Ciò è possibile grazie a una specie di «reazione a catena» per la quale un fotone
casualmente presente ne fa emettere un altro che ha la stessa lunghezza d’onda e che
si muove nella stessa direzione. I due fotoni risultanti stimolano l’emissione di altri
due fotoni identici e così via.
Questo fenomeno a valanga è possibile perché i fotoni tendono a occupare lo stesso stato.
Perché ciò avvenga è necessario che un livello di energia E2 sia occupato da elettroni provenienti da uno stato di energia E1. Così, quest’ultimo risulta semivuoto.
1102
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA QUANTISTICA
36
CAPITOLO
Visto che, in condizioni normali, accade il contrario (con lo stato di energia inferiore molto popolato e quello di energia superiore semivuoto), tale condizione è detta
inversione di popolazione.
Come si può ottenere un’inversione di popolazione? La figura 17 illustra il meccanismo che si realizza, tra l’altro, nei laser a rubino.
E3
assorbimento
transizione
spontanea
E2
E1
metastabile
–
– – – – – – – – –
luce
laser
–
emissione stimolata
12
Figura 17 Schema delle transizioni
di elettroni tra livelli energetici che
permettono il funzionamento del laser.
FISICA CLASSICA E FISICA MODERNA
Per riuscire a descrivere la struttura degli atomi e dei legami chimici è stato necessario rinunciare, con le teorie relativistica e quantistica, a due idee «classiche» fondamentali: il tempo assoluto e la natura corpuscolare delle particelle subatomiche.
Ora sappiamo che lo scorrere del tempo e la simultaneità sono concetti relativi, che
la massa è una delle tante forme di energia e che gli elettroni e i fotoni hanno una
duplice natura, ondulatoria e corpuscolare.
Essi si propagano sotto forma di onde. Le grandezze che oscillano sono, nel caso
v . L’ampiezza di probabilità
dei fotoni, il campo elettrico Ev e il campo magnetico B
$ è la grandezza che oscilla nel caso degli elettroni. La struttura degli atomi e delle
molecole, l’emissione di fotoni e la loro interazione con la materia sono determinate
dalle proprietà ondulatorie delle particelle subatomiche.
Ma allora è necessario rigettare tutto quello che la fisica classica ha insegnato?
Certamente no, perché le leggi della fisica classica sono più che sufficienti per spiegare il moto dei corpi ordinari, come gli oggetti che cadono oppure i satelliti lanciati
in orbita con i razzi.
La fisica classica è applicabile, e dà risultati in perfetto accordo con l’esperienza,
quando si considerano corpi le cui velocità sono piccole rispetto alla velocità della
luce e le cui dimensioni non sono submicroscopiche. Adesso siamo in grado di specificare con più precisione che cosa si intende con questa affermazione.
Poiché la teoria della relatività contiene come grandezza caratteristica la velocità
delle onde elettromagnetiche, c 3 108 m/s e la fisica quantistica contiene la costante di Planck ridotta, ' - 1034 J s, possiamo dire che le condizioni che devono
essere soddisfatte perché a un sistema di corpi si possano applicare le leggi della fisica classica sono due:
• le velocità dei corpi devono essere piccole rispetto alla velocità c;
• i prodotti delle quantità di moto per le dimensioni caratteristiche dei corpi
devono essere grandi rispetto a '.
1103
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
STORIA DELLA FISICA
TEORIA QUANTISTICA E REALTÀ
La teoria quantistica ha modificato profondamente la visione del mondo fisico
ereditata dalla fisica classica. Questa avventura intellettuale iniziò cento anni fa
quando i fisici scoprirono che non solo
un pezzo di materia ma anche un fascio
di onde elettromagnetiche ha natura granulare: ciascuno di questi «granuli» (detti
«pacchetti di energia» o «fotoni») è diffuso nello spazio e trasporta una quantità di
moto p h/, dove è la lunghezza d’onda. Analogamente, un fascio di elettroni
di quantità di moto p si comporta come
un’onda «elettronica» di lunghezza d’onda calcolabile con la stessa relazione di
De Broglie p h/ .
UN’ONDA E DUE FENDITURE
Nel famoso esperimento delle due fenditure, i minimi e massimi, osservati ponendo una lastra fotografica al di là dello
schermo, sono dimostrazione inequivocabile della natura ondulatoria sia del
fascio di onde elettromagnetiche sia del
fascio di elettroni, fenomeni che si manifestano quando le fenditure distano non
molto più della lunghezza d’onda . Se si
riduce l’intensità della sorgente, di modo che sia emesso un fotone (oppure un
elettrone) alla volta, un solo granellino di
bromuro d’argento della lastra viene colpito e, dopo lo sviluppo, indica il punto
ove è arrivato il fotone (oppure l’elettrone). Nei due casi la disposizione dei minimi e dei massimi è la stessa.
In entrambi i casi l’ente fisico che trasporta l’impulso p è onda mentre viaggia,
investendo entrambe le fenditure, ma si
manifesta, quando arriva in un punto ben
definito, come particella. Per via di questo
dualismo onda-particella è opportuno introdurre un nuovo termine: diciamo che
i fasci usati nei due esperimenti sono costituiti di «ondelle», enti fisici submicroscopici che trasportano quantità di moto
ed energia. La propagazione delle ondelle
nello spazio è determinato dalle equazioni
di Maxwell nel caso delle ondelle elettromagnetiche e dall’equazione di Schrödinger nel caso delle ondelle elettroniche.
DETERMINISMO E PROBABILISMO
Queste equazioni sono deterministiche,
nel senso che le condizioni iniziali e le
forze in gioco determinano esattamente
le distribuzioni nello spazio dei vettori
«campo elettrico» e «campo magnetico»
v (nel caso dei fotoni) e della granEv e B
dezza scalare «funzione d’onda elettronica» $ (nel caso degli elettroni). Poiché la
probabilità di osservare l’arrivo dell’ondella in un punto specifico dipende dal
valore di queste funzioni in quel punto,
all’arrivo sulla lastra il comportamento
dell’ondella è invece probabilistico. È questo il nocciolo dell’interpretazione della
teoria quantistica detta «di Copenhagen»,
perché lì viveva e insegnava Niels Bohr.
IL COLLASSO DELL’ONDA
Per descrivere meglio ciò che succede,
consideriamo un corto pacchetto d’onda elettronico e una lastra posta a grande
distanza dallo schermo. L’interferenza
tra le porzioni del pacchetto che passano
attraverso le due fenditure produce, al di
là dello schermo e poco prima dell’arrivo
sulla lastra, la tipica sequenza di massimi e
minimi della funzione d’onda. Per questa
parte del fenomeno non ha evidentemente senso parlare di «traiettoria» dell’ondella. Allorché l’ondella colpisce la lastra
e interagisce con i numerosissimi granuli di bromuro d’argento, uno solo di essi
viene attivato e la funzione d’onda, che
prima si propagava con continuità, fa un
salto e «collassa» in un solo punto. Non si
può sapere a priori dove questo accadrà e
l’osservatore non può influenzare il processo. Invece per il buon senso comune, e
anche per la fisica classica, ogni particella
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
si muove con continuità lungo una sequenza definita di posizioni, che costituiscono la sua traiettoria, e colpisce sempre una lastra nel punto in cui la
traiettoria la interseca.
Va sottolineato che Schrödinger, con il paradosso del gatto mezzo vivo e mezzo morto, volle
proprio mettere in luce le assurdità in cui si incappa quando il collasso di una funzione d’onda si
manifesta a livello macroscopico. Per questo egli
cercò in tutti i modi di eliminare il collasso dalla
teoria e finì col dire a Bohr: «Se avessi saputo che
non saremmo riusciti a liberarci di questi dannati
salti, non mi sarei mai occupato di questa questione».
Se, come pensavano Bohr e Heisenberg, la funzione d’onda codifica soltanto la conoscenza che
un osservatore ha del sistema, il collasso corrisponde abbastanza naturalmente all’aggiunta di
nuova informazione. Se però – come la maggior
parte dei fisici oggi ritiene – la funzione d’onda è
più che semplice informazione, tanto che interferisce con se stessa, anche il collasso deve essere,
in qualche modo, fisicamente reale, nonostante si
tratti di un fenomeno più veloce della luce, causato
da un atto di osservazione.
Il fenomeno probabilistico del «collasso della funzione d’onda» è la prima vera sorprendente novità introdotta dalla meccanica quantistica.
Ancora più strano è il fenomeno detto in inglese
«entanglement», la cui migliore traduzione italiana è «ingarbugliamento». Si tratta di un insospettabile legame che si stabilisce tra due ondelle anche
quando esse si trovano lontanissime l’una dall’altra.
LE ONDELLE INGARBUGLIATE
Il problema fu posto in un famoso lavoro pubblicato nel 1935 da Einstein con due colleghi fisici,
Podolski e Rosen. Essi descrissero quello che è da
allora noto come il «paradosso EPR». L’esperimento concettuale consiste, in buona sostanza,
nel decadimento di una ondella subatomica (per
esempio un pione neutro) in due ondelle (per
esempio un elettrone e un positone) che si allontanano l’una dall’altra lungo una retta che possiamo
assumere essere l’asse x. Le due quantità di moto
sono identiche in modulo e hanno verso opposto.
Anche i moduli delle velocità sono uguali, di modo
che, a ogni istante, se l’elettrone si trova nel punto di coordinata x, il positone si trova esattamente
nel punto x. Se lo spazio è vuoto, e quindi non vi
sono altre interazioni, dopo molto tempo si può
eseguire sul positone, lasciandone completamente indeterminata la quantità di moto, una misura
infinitamente precisa di posizione, ottenendo xe.
Allo stesso modo si può eseguire sull’elettrone una
misura infinitamente precisa della quantità di moto pe. Si giunge così alla conclusione che l’elettrone
si trova esattamente nel punto xe con, esattamente,
la quantità di moto pe, il che contraddice il principio di indeterminazione.
L’unica possibile soluzione è che in qualche
modo elettrone e positone rimangano sempre e
comunque in comunicazione, di modo che, agendo sull’uno, si agisca anche sull’altro, qualsiasi
sia la distanza che separa le due ondelle. Einstein
era convinto che questo fosse impossibile perché
avrebbe violato la «sua» teoria della relatività e per
questo usò il paradosso per concludere che la teoria quantistica non poteva essere corretta.
Ma, nonostante fiumi di inchiostro, il paradosso è ancora lì. Gli esperimenti sull’orientazione
degli spin di due ondelle originate nello stesso decadimento, pubblicati nel 1981 da Alain Aspect e
collaboratori – e molti altri successivi nei quali si
sono eseguite misure su ondelle distanti decine di
kilometri – hanno confermato le previsioni della
teoria quantistica nel caso di ondelle «ingarbugliate». Bisogna accettare il fatto che due ondelle, che
si allontanano indefinitamente, non possono essere descritte da due funzioni d’onda separate, ma
sono necessariamente rappresentate da una sola
funzione d’onda che non può essere «sgarbugliata» in due componenti; essa è una, reagisce a ogni
misura come un tutt’uno e la distanza è assolutamente irrilevante.
Questo risultato mina alla radice uno dei principi di base del pensiero filosofico occidentale e
della fisica classica: ogni sistema fisico può essere
isolato allontanandolo sufficientemente dagli altri
sistemi, di modo che ha senso parlare di una realtà
esterna costituita da «elementi di realtà» separati.
Fortunatamente si può dimostrare che le azioni a
distanza, dovute all’ingarbugliamento delle funzioni d’onda, si trasmettono sì istantaneamente,
ma non violano i principi della relatività perché
con esse non è possibile trasmettere alcuna informazione. Einstein aveva quindi allo stesso tempo
ragione e torto.
In conclusione, non si può non essere d’accordo con la frase di Bohr: «Coloro che non restano
sconcertati quando vengono in contatto per la prima volta con la teoria quantistica sicuramente non
l’hanno capita.»
1105
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
FISICA AL CINEMA - CIAK, SI SBAGLIA
ALLARME LASER
OCEAN’S TWELVE
Nazione:
Stati Uniti, Australia
Anno:
2004
Durata:
125’
Regia:
Steven Soderbergh
Interpreti:
George Clooney, Brad Pitt, Julia Roberts
Sito web:
http://www.imdb.com/title/tt0349903/
TRAMA DEL FILM L’astuto ladro Danny Ocean, che con la sua banda
di undici persone aveva messo in atto un colossale furto in tre casinò
di Las Vegas, viene sfidato dal professionista del crimine Night Fox. In
ballo c’è il titolo di “più grande ladro di tutti i tempi”. La sfida consiste nel
rubare un preziosissimo uovo decorativo appartenuto allo Zar di Russia.
Danny architetta un piano ambizioso: vuol far credere al rivale di aver
vinto la sfida, lasciandogli rubare una copia dell’oggetto prezioso. Solo
alla fine gli rivelerà la verità, costringendolo ad ammettere di essere un
ladro di capacità inferiori.
ALLARME LASER
Minuto: 01:42:20 - 01:44:10
Night Fox spiega a Danny Ocean come è riuscito a
rubare l’oggetto prezioso eludendo la protezione a
raggi laser. In un flashback, lo vediamo procedere ballando a passi di capoeira, la danza marziale
brasiliana, in modo da non incrociare mai nessuno dei tanti raggi laser ben visibili, colorati di blu,
presenti nel salone.
GIUSTO O SBAGLIATO?
È possibile che l’interruzione di un fascio laser
mobile attivi un circuito d’allarme ?
Il circuito d’allarme evocato nel film assomiglia a un
sistema cosiddetto a fotocellula, simile a quei dispositivi che, per esempio, impediscono che un cancello elettrico si chiuda quando passa una persona o
un veicolo. La fotocellula funziona grazie all’effetto
fotoelettrico; quando un fascio di luce incide sulla
cella fotoelettrica, vengono emessi elettroni e nel
circuito esterno – in questo caso nel circuito d’allarme – circola corrente. Quando un corpo blocca il
fascio di luce, dalla fotocellula non fuoriescono più
elettroni e la corrente si interrompe, attivando l’allarme. In sistemi di questo tipo il fascio luminoso
viene dunque sempre orientato verso la fotocellula,
in modo da alimentare la corrente nel circuito.
Nel sistema antirapina mostrato nel film numerose
sorgenti laser disposte in vari punti del salone proiettano altrettanti raggi in varie direzioni. Se il ladro
attraversasse con il suo corpo uno di questi raggi, il
sistema dovrebbe attivare un allarme, ma il fascio
luminoso, essendo mobile, non incide su alcuna fotocellula. In altre parole, per disporre di un sistema
d’allarme che utilizzi laser mobili, sarebbe necessario avere anche delle fotocellule che seguano il movimento del laser, cosa che nel film non appare.
CACCIA ALL’ERRORE
�
� Ora prova tu a risolvere questa caccia all’errore
scientifico.
Un raggio laser è un fascio molto sottile di luce monocromatica emesso da un generatore laser, che
attraversa in linea retta l’aria, un corpo trasparente,
e quando colpisce un oggetto viene diffuso in tutte
le direzioni. A quel punto, l’occhio di un osservatore,
colpito da uno dei raggi diffusi, è in grado di vedere
l’oggetto. Nel film, si vedono i raggi di luce laser come
dei nitidi segmenti blu, che partono dalla sorgente e
arrivano fino ai muri o al pavimento della stanza.
� È possibile vedere, in condizioni ordinarie, un
raggio laser quando attraversa l’aria? Cosa si può aggiungere all’aria per visualizzare il fascio di luce?
1106
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
I MODELLI ATOMICI DI RUTHERFORD E DI BOHR
Secondo il modello di Thomson, l’atomo era un oggetto neutro, costituito da una sfera di carica positiva in cui erano
disseminati gli elettroni. Oggi sappiamo che la carica elettrica positiva è concentrata nel nucleo e per spiegare la stabilità
degli atomi è necessario ammettere che, come la carica, anche le orbite degli elettroni in un atomo sono quantizzate.
Esperimento di Rutherford
Modello atomico di Rutherford
• Fu eseguito nel 1911 per verificare la validità del
modello di Thomson: una sottile lamina di oro fu
bombardata con particelle alfa (positive) emesse da
una sorgente radioattiva.
• L’atomo è costituito da un nucleo positivo
estremamente piccolo posto al centro di una sfera
molto più grande, dove la carica negativa degli
elettroni è distribuita in modo più o meno uniforme.
• Quasi tutte le particelle alfa attraversano la lamina
in linea retta, ma alcune subivano deviazioni molto
forti, fino a rimbalzare all’indietro.
• Ha un raggio dell’ordine di 1010 m e contiene un
nucleo con un raggio dell’ordine di 1014 m.
• Secondo il modello atomico
di Thomson, passando
attraverso la lamina d’oro,
le particelle alfa avrebbero
dovuto avere angoli di
diffusioni piccoli.
risultato
sultato dell’esperimen
dell’esperimento
lamina d'oro
• Gli elettroni orbitano attorno al
nucleo come i pianeti attorno al
Sole: la forza «gravitazionale» di
attrazione è sostituita dalla forza di
attrazione fra nucleo positivo ed
elettroni negativi.
10–10 m
• Il volume dell’atomo di Rutherford supera il volume
del nucleo di 1012 volte.
Modello atomico di Bohr
Principio di esclusione di Pauli
• Il raggio r dell’orbita, la velocità v dell’elettrone e la sua energia totale Etot non
possono assumere valori qualunque, ma solo un insieme di valori ben definiti.
• Stabilisce che su una stessa
orbita non possono muoversi
più di due elettroni.
• Quando l’elettrone percorre una di queste orbite (dotate di un’energia
totale ben definita) non irraggia: così si supera la difficoltà del modello
di Rutherford, in base al quale l’elettrone mentre percorre la sua orbita
dovrebbe emettere energia precipitando a spirale nel nucleo in 107 s.
• Serve per descrivere il comportamento chimico degli atomi.
–
• Lo stato fondamentale di un atomo è per definizione quello di minima
energia.
–
+
+ +
+
–
• Il numero quantico principale è un numero intero positivo n che fornisce il
numero d’ordine dell’orbita considerata a partire da quella più vicina al nucleo.
Raggi delle orbite di Bohr
Per l’atomo di idrogeno:
rn = n 2
f0 h 2
mee
2
=
= (5,29 # 10 -11 m) n 2
• h vale 6,626 1034 J s ed è
la costante di Planck, m è la
massa dell’elettrone; e la carica elementare e n il numero
quantico principale.
• I raggi delle orbite sono
direttamente proporzionali al
quadrato del numero quantico
principale.
–
Energia totale di un elettrone
in un atomo di idrogeno
Livelli energetici di un elettrone
nell’atomo di idrogeno
E tot = U + K =
1 e2
1 e2
+
=
r
4 f0
8 f0 r
1 e2
=8 f0 r
Energia totale di un elettrone
nell’atomo di idrogeno
• L’elettrone dell’atomo di
idrogeno ha carica e e il
nucleo ha carica e e la
loro distanza è r.
• L’energia totale è esattamente
uguale all’opposto dell’energia
cinetica dell’elettrone.
• È negativa perché il sistema
è legato e lo zero dell’Epot è
all’infinito.
E (n) = -
13, 6 eV
mee 4 1
=n2
8f20 h 2 n 2
• L’energia di legame di un
elettrone che occupa la
n-esima orbita è l’opposto di
Entot: fornendogli tale energia,
esso può uscire dall’atomo.
• 1 eV 1,60 1019 J:
l’elettronvolt è una unità di
misura non SI.
1107
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I CONCETTI E LE LEGGI
MAPPA INTERATTIVA
DUALITÀ ONDA-CORPUSCOLO E PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
La fisica quantistica è la teoria rigorosa delle proprietà del mondo microscopico, sviluppata negli anni Venti: applicata ai corpi macroscopici, dà risultati in perfetto accordo con la fisica classica.
Difficoltà dell’elettromagnetismo classico
La teoria classica di Maxwell non permette di spiegare l’andamento delle curve del grafico tensione-corrente degli elettroni emessi da una lastra metallica investita da radiazione ultravioletta.
• Sperimentalmente, si ha emissione di elettroni solo se la frequenza f della radiazione
incidente è maggiore di un valore minimo fmin, che dipende dal metallo.
intensità di corrente i
Effetto fotoelettrico
I2 = 2I1
I1 = irradiamento della
radiazione ultravioletta
- Va 0
Fotoni
Singoli pacchetti di energia che, secondo Einstein, formano la radiazione elettromagnetica:
differenza di potenziale V tra M e L
• ogni fotone ha massa nulla e energia quantizzata e pari a E hf; h 6,62607 1034 J s è la costante di Planck;
E hf
modulo della quantità di moto p = c = c , anch’essa quantizzata.
Dualità onda-particella della radiazione
Principio di indeterminazione di Heisenberg
• L’oggetto fisico «luce» si presenta come onda o come
particella a seconda delle condizioni sperimentali.
Prima forma: x p - '
• Nei fenomeni di interferenza un fascio di luce si comporta come un’onda elettromagnetica; negli effetti fotoelettrico e Compton lo stesso fascio di luce si comporta come se fosse formato da un flusso di fotoni.
Seconda forma: t E - '
Relazione di De Broglie
• A una particella con quantità di moto p è associata
h
una lunghezza d’onda = p .
costante di Planck
lunghezza d’onda =
quantità di moto
• Anche le particelle subatomiche, come la
radiazione, mostrano in certi fenomeni natura
ondulatoria, in altri natura corpuscolare.
• Davisson e Germer con un esperimento nel 1927
confermano il modello di de Broglie: elettroni diffusi
da un reticolo formano una figura di diffrazione,
comportandosi così come onde.
Principio di sovrapposizione
• Un sistema quantistico S definito
da due possibili stati del sistema
$a e $b è descritto dalla funzione
d’onda $ a$a + b$b dove a e b
sono, in generale, numeri relativi.
fenditura
B
Rb
R
L
fenditura
RA
A
• Quando si esegue la misura il sistema S non è più descritto dallo
stato $ a$a + b$b, ma la funzione d’onda «collassa» a uno dei due stati fondamentali $a o $b.
• I coefficienti numerici a e b determinano le probabilità
che la funzione d’onda collassi nello stato $a o nello stato $b.
indeterminazione posizione indeterminazione
quantità di moto costante di Planck ridotta
indeterminazione tempo indeterminazione energia costante di Planck ridotta
h
• '=
- 10 -34 J : s è la costante di Planck ridotta.
2
• Non è possibile conoscere con precisione dove
l’elettrone si trova, senza impartirgli una quantità di
moto non determinabile; inoltre, più breve è la
misura dell’energia effettuata su un sistema, più
impreciso è il valore trovato dell’energia.
Funzione d’onda ⌿ (x, y, z, t)
• Si tratta della soluzione dell’equazione di
Schrödinger del sistema in esame.
• Fornisce le proprietà quantistiche del sistema.
• Esprime un’ampiezza di probabilità: dipende da x, y,
z e t e serve per calcolare la probabilità che la
particella alla quale è associata si trovi in un volume
di spazio in un certo intervallo di tempo.
• La probabilità di osservare la particella
è proporzionale al quadrato di $.
• Nelle zone in cui $
oscilla, la probabilità
di trovarvi la particella
è diversa da zero; al di
fuori di questa regione,
dove $ è nulla, la
particella non può
essere osservata.
1108
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
x
x
ESERCIZI
20 test (30 minuti)
TEST INTERATTIVI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
L’energia cinetica massima acquistata dagli elettroni estratti per effetto fotoelettrico dipende
dall’irradiamento della radiazione incidente?
2
Un fascio di luce incide su una superficie metallica. I fotoni incidenti hanno un’energia maggiore
di quella del lavoro di estrazione dell’elettrone
dal metallo e una frequenza maggiore della frequenza minima di soglia.
䉴 Come cambia il numero di elettroni estratti
nell’unità di tempo dalla superficie considerata
se la frequenza della radiazione aumenta mentre
l’intensità rimane costante?
3
8
Immagina di scattare una fotografia di un volto
usando solo pochi fotoni. Secondo la quantizzazione della radiazione proposta da Einstein, otterresti un’immagine sbiadita del volto fotografato?
4
Nell’effetto fotoelettrico, un elettrone assorbe un
fotone di energia E hf e, negli urti con gli ioni
del metallo non dissipa energia: puoi affermare
che, come previsto dalla legge di conservazione
dell’energia, l’energia cinetica massima dell’elettrone è uguale all’energia del fotone?
5
Un gas monoatomico ad alta temperatura emette
uno spettro di righe.
䉴 Per l’idrogeno, verso quali frequenze si adden-
sano le righe spettrali?
6
7
1
1
Nella formula di Balmer: f = cR H c - 2 m che
4 n
1
1
cosa rappresenta il termine R H c - 2 m ?
4 n
Di quante volte il volume dell’atomo di Rutherford supera il volume del nucleo?
Completa la tabella:
Distribuzione della carica positiva
Modello di Thomson
Modello di Rutherford
Uniforme nell’intero volume
dell'atomo.
Concentrata nel nucleo atomico
di raggio 1014 m.
Distribuzione della carica negativa
Schema grafico
Tipo di modello
Limite del modello
9
10
Cosa si intende con il termine quantizzazione di
una grandezza fisica?
11
In che relazione stanno l’energia potenziale di un
elettrone che ruota intorno al nucleo di idrogeno
e la sua energia cinetica?
12
Calcoliamo la velocità dell’elettrone nella prima
orbita di Bohr e troviamo che v1 2,18 106 m/s.
䉴 Che considerazioni possiamo fare confrontando
questo valore con quello della velocità della luce?
13
planetario solare.
Per quale motivo il modello atomico planetario
non poteva essere corretto?
Il modello atomico di Rutherford è detto anche
modello planetario, per analogia con il sistema
Continuando con questa analogia, come potresti definire l’energia di legame della Terra nel
Sistema Solare?
䉴
14
Nel modello di Bohr per l’atomo di idrogeno,
quali sono le grandezze quantizzate?
15
a) Un elettrone di un atomo di idrogeno salta dallo
stato con numero quantico n1 2 allo stato con
numero quantico n2 1 ed emette un fotone.
b) Un elettrone di un atomo di idrogeno salta dallo stato con numero quantico n1 80 allo stato
con numero quantico n2 2 ed emette un fotone.
䉴 Che relazione esiste tra le lunghezze d’onda dei
fotoni emessi nel caso a) e nel caso b)?
1109
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
16
17
18
19
20
21
Perché con un microscopio elettronico possiamo
vedere più dettagliatamente che con un microscopio ottico?
䉴 Calcola la frequenza minima per l’estrazione.
Secondo la relazione di de Broglie che tipo di
proporzionalità esiste tra la lunghezza d’onda associata a una particella e la sua quantità di moto?
䉴 Stabilisci cosa succede se la superficie viene in-
Si misura la quantità di moto di una particella subatomica con una indeterminazione di 1021 kg m/s.
Quanto vale, almeno, la corrispondente indeterminazione sulla posizione?
vestita da un intenso fascio di luce gialla.
vestita da un debole fascio di luce violetta.
[5,49 1014 Hz]
2
LA QUANTIZZAZIONE DELLA LUCE
SECONDO EINSTEIN
2
Per effetto fotoelettrico gli elettroni sono estratti
da una superficie solo se la luce incidente ha una
frequenza minima di 5,49 1014 Hz. Calcola:
Se il valore della costante di Planck fosse nullo,
cosa succederebbe alle incertezze sulle coppie di
grandezze posizione/quantità di moto ed energia/tempo?
Un sistema fisico descritto da una sovrapposizione di stati è un sistema che ammette due ampiezze di probabilità $A e $B : queste due ampiezze
individuano due stati del sistema diversi dal punto di vista energetico?
l’energia minima dei fotoni per estrarre un
elettrone.
䉴
䉴 il lavoro di estrazione per gli elettroni.
[3,64 1019 J; 3,64 1019 J]
3
La particolare struttura elettronica di ogni atomo
determina le sue proprietà chimiche. Infatti il numero e il tipo di legami che un atomo può creare
dipendono dal numero di elettroni esterni.
䉴 Come,
e dove, devono essere collocati gli elettroni perché atomi diversi possano avere uguale
comportamento chimico?
22
䉴 Stabilisci cosa succede se la superficie viene in-
䉴 Calcola
il lavoro di estrazione relativo a quella
superficie.
[5,71 1019 J]
4
Un laser è un generatore di luce, ma la luce che
produce è diversa da quella di una lampadina
qualsiasi.
ne in grado di ottenere il risultato richiesto.
luce prodotta da un laser rispetto a quella di una
lampadina a incandescenza?
1
L’EFFETTO FOTOELETTRICO
1
Per effetto fotoelettrico gli elettroni sono estratti
da una superficie solo se la luce incidente ha
546 nm.
Da una superficie sono estratti elettroni che hanno un’energia cinetica massima di 0,70 eV, con il
ricorso a una luce di lunghezza d’onda minore o
uguale a 5,5 107 m. Da quella stessa superficie
si vogliono ora estrarre elettroni con energia cinetica massima pari a 0,20 eV.
䉴 Calcola il valore della frequenza della radiazio-
䉴 Quali sono le caratteristiche che distinguono la
PROBLEMI
Su una superficie incide una radiazione con lunghezza d’onda 330 nm. Gli elettroni estratti
possiedono un’energia di 0,200 eV.
[4,2 1014 Hz]
3
LO SPETTRO DELL’ATOMO
DI IDROGENO
5
Considera la serie spettrale di Balmer dell’atomo
di idrogeno.
䉴 Calcola i valori delle lunghezze d’onda delle ri-
ghe dello spettro per n 4 e per n 5.
1110
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
[4,9 107 m; 4,3 107 m]
6
tra protone ed elettrone.
Considera lo spettro dell’atomo di idrogeno nella
serie di Lyman.
䉴 Quale delle due forze è più intensa?
䉴 Calcola il valore massimo e il valore minimo del-
[8,2 108 N; 3,6 1047 N]
le lunghezze d’onda delle righe di questo spettro.
[1,2 107 m; 0,91 107 m]
4
L’ESPERIENZA DI RUTHERFORD
7
Nel modello planetario l’atomo di idrogeno è formato da un nucleo costituito da un solo protone e
da un elettrone che orbita attorno a esso mantenendo una distanza media di 5,3 1011 m.
6
I LIVELLI ENERGETICI
DI UN ELETTRONE
NELL’ATOMO DI IDROGENO
8
Un elettrone percorre la seconda orbita di Bohr.
Calcola:
䉴 il raggio dell’orbita circolare descritta.
䉴 Calcola
la forza elettrica tra elettrone e nucleo
(massa del protone mp 1,67 1027 kg, massa
dell’elettrone me 9,11 1031 kg).
䉴
9
䉴 l’energia posseduta dall’elettrone.
[2,12 1010 m; 25,4 1019 J]
Calcola la forza di interazione gravitazionale
PROBLEMA SVOLTO
Nello stato fondamentale, l’elettrone dell’atomo di idrogeno si
trova nell’orbita con numero quantico principale uguale a 1.
Il raggio r1 di tale orbita è chiamato raggio di Bohr e si indica anche
con il simbolo a0.
-
+
ao
䉴 Calcola il valore del raggio di Bohr.
n=1
ao = r1
ao = ?
Grandezze
Dati
Numero quantico principale
Incognite
Raggio dell’orbita
Simboli
Valori
n
1
a0; r1
?
Commenti
Strategia e soluzione
• Con n 1, la formula (13) permette di calcolare il raggio di Bohr come
f h2
f h2
a0 r1 1 2 0 2 = 0 2 .
me
me
• Sostituendo i valori numerici nell’espressione precedente si ottiene
r1 =
f0 h 2
me 2
=
68,854 # 10 -12 C 2 / ^N : m 2h@ # ^6,626 # 10 -34 J : sh2
= 5,29 # 10 -11 m.
2
-19
-31
3,1416 # ^9,11 # 10 kgh # ^1,602 # 10 Ch
Discussione
Il calcolo precedente fornisce, per l’atomo di idrogeno, un raggio dell’ordine di 1010 m, in accordo con la stima delle dimensioni atomiche ottenuta a suo tempo da Rutherford.
1111
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
10
L’elettrone di un atomo di idrogeno si trova nello
stato fondamentale.
13
䉴 Calcola la lunghezza dell’orbita percorsa dall’elettrone nello stato fondamentale secondo il modello di Bohr.
䉴 Come cambia il risultato se l’elettrone si trova
sulla seconda orbita di Bohr con n 2? Perché?
(Per il valore del raggio dell’orbita dello stato
fondamentale consulta il problema precedente)
䉴 Scrivi
la costante di struttura fine in funzione
del raggio di Bohr .
[3,32 1010 m; 13,3 1010 m]
11
䉴 Calcola il valore di . Quali sono le sue dimensioni fisiche? (Consulta le tabelle in fondo al libro
per i valori delle costanti.)
Nel modello di Bohr, i raggi delle orbite dell’elettrone nell’atomo di idrogeno sono multipli del raggio
di Bohr, che si indica anche con il simbolo a0.
䉴 Calcola il raggio della sesta orbita di Bohr.
< =
14
[1,90 109 m]
12
La costante di struttura fine, uno tra i principali
parametri della fisica atomica e subatomica, può
essere espressa servendosi delle costanti dell’elete2
tromagnetismo come (e carica ele2f0 hc
mentare; f0 costante dielettrica del vuoto;
h costante di Planck; c velocità della luce nel
vuoto).
h 1
; 7,297 # 10 -3F
mc a 0
L’elettrone di un atomo d’idrogeno si trova
sull’orbita con numero quantico 3.
䉴 Calcola il lavoro di estrazione.
L’elettrone di un atomo di idrogeno si trova a
una distanza dal nucleo di 13,23 Å.
L’energia richiesta per estrarre un elettrone è
maggiore o minore se l’elettrone si trova nello
stato fondamentale?
䉴
䉴 Quale orbita sta percorrendo l’elettrone secon-
do il modello di Bohr?
[2,42 1019 J]
䉴 Calcola la forza di interazione coulombiana tra
il nucleo e l’elettrone in questo caso.
[L’orbita che corrisponde a n 5; 1,32 1010 N]
15
PROBLEMA SVOLTO
L’elettrone in un atomo di idrogeno si trova nello stato fondamentale.
䉴 Determina la sua energia totale.
-
+
ao
n=1
E1 = ?
Grandezze
Simboli
Valori
Dati
Numero quantico principale
n
1
Incognite
Energia totale
E1
?
Strategia e soluzione
• L’energia E1 dello stato fondamentale si calcola come
E1 =
1 m e2 2
m e2 2
c
m =- c
m.
2
8 f0 h
1 8 f0 h
1112
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Commenti
Dello stato con n 1
• Sostituendo in questa formula i valori numerici si ottiene
E 1 =-
^9,11 # 10
m e2 2
c
m =8 f0 h
8
-31
kgh
=- 2,18 # 10 -18 J.
^1,602 # 10 -19 Ch2
#>
H =
^8,854 # 10 -12 C : N -1 : m -2h # ^6,626 # 10 -34 J : sh
2
Discussione
Come conseguenza delle formule (10) e (11), l’energia cinetica dell’elettrone nello stato fondamentale è
K E1 2,18 1018 J. Quindi il modulo della velocità con cui l’elettrone percorre la sua orbita è
2 # ^2,18 # 10 -18 Jh
m
2K
v=
=
= 2,19 # 10 6 .
s
m
9,11 # 10 -31 kg
Questa velocità è inferiore a un centesimo della velocità della luce nel vuoto e, quindi, è giustificato il fatto di avere utilizzato la formula classica K mv2/2 nei calcoli precedenti.
16
Considera la formula generale che esprime l’energia totale di un elettrone nell’atomo di idrogeno secondo il modello di Bohr.
17
Un elettrone salta dall’orbita con numero quantico
n 2 all’orbita con numero quantico n 1, ed
emette un fotone che appartiene alla serie di Lyman.
䉴 Esprimi questa relazione in funzione del raggio
䉴 Calcola
la frequenza e la lunghezza d’onda del
di Bohr.
fotone.
䉴 Esprimi analogamente la velocità dell’elettrone
in funzione del raggio di Bohr.
䉴 Indica la banda dello spettro elettromagnetico
a cui appartiene la radiazione emessa.
䉴 Calcola l’energia totale e la velocità dell’elettro-
[2,45 1015 Hz; 1,22 107 m]
ne, supponendo che si trovi nell’orbita con numero quantico principale 4.
[En (k/n2)(1/a0); k (e2/8 f0);
vn (1/n)( 2k/ma 0 ); k(e2/8 f0);
1,36 1019 J; 5,46 105 m/s]
7
18
LE PROPRIETÀ ONDULATORIE DELLA MATERIA
PROBLEMA SVOLTO
m = 23
230
30
0g
Un modellino di automobile, la cui massa è 230 g, si muove in
linea retta e percorre una distanza di 1,8 m in un intervallo di
tempo di 4,5 s.
t = 4,
4,5
5s
1,,8 m
1
s = 1,8
=?
䉴 Quanto vale la sua lunghezza d’onda di de Broglie?
Grandezze
Dati
Incognite
m
Simboli
Valori
Massa dell’automobilina
m
230 g
Distanza percorsa
s
1,8 m
Intervallo di tempo
t
4,5 s
Lunghezza d’onda di de Broglie
?
Commenti
1113
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
Strategia e soluzione
• Il modulo medio della quantità di moto della macchinina è
1,8 m
s
m
p = mv = m
= ^0,230 kgh #
= 0,092 kg : .
4,5 s
t
s
• Quindi la sua lunghezza d’onda di de Broglie risulta
6,63 # 10 -34 J : s
m2
s2
h
-33
:
:
kg
7,2
10
#
= =
=
= 7,2 # 10 -33 m.
p 9,2 # 10 -2 kg : m/s
s 2 kg : m
Discussione
La lunghezza d’onda trovata è 31 ordini di grandezza più piccola dell’estensione dell’oggetto a cui
si riferisce: essa non può avere alcun effetto fisico apprezzabile sul comportamento dell’automobilina che, quindi, segue le leggi della fisica classica.
19
䉴 Da questo risultato, puoi dire perché non è
possibile osservare le proprietà ondulatorie degli
oggetti del mondo macroscopico?
Una particella di massa 1,0 mg possiede un’energia cinetica di 0,50 nJ.
䉴 Calcola la lunghezza d’onda di de Broglie della
[1,14 1034 m]
particella.
[6,6 1025 m]
20
Una palla ha una massa di 0,145 kg ed è lanciata a
una velocità di 40,0 m/s.
䉴 Quanto
vale la lunghezza d’onda di de Broglie
della palla?
8
22
21
La lunghezza d’onda di de Broglie associata a un
protone vale 7,0 1012 m.
䉴 Calcola il valore della differenza di potenziale
che ha accelerato il protone.
[17 V]
IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
PROBLEMA SVOLTO
m = 50 g
x = 10–15 m
p=?
Una palla da biliardo ha una massa di 50 g. Supponi di potere
misurare la sua posizione con una indeterminazione di
1015 cm (pari circa alle dimensioni di un nucleo atomico).
䉴 Calcola
l’incertezza che, secondo il principio di Heisenberg, si ha sulla determinazione della quantità di
moto della palla.
Grandezze
Dati
Incognite
Simboli
Valori
Massa della palla
m
50 g
Indeterminazione sulla posizione
x
1015 cm
Indeterminazione sulla quantità di moto
p
1114
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
Commenti
?
Strategia e soluzione
• Dalla formula (20) otteniamo
p -
6,6 # 10 -34 J : s
m
h
=
= 10 -19 kg : .
s
2 x 2 # 3,14 # 10 -15 m
Discussione
L’indeterminazione trovata è dello stesso ordine della quantità di moto che la palla avrebbe se percorresse le dimensioni di un atomo (1010 m) in un anno. Su scala macroscopica, quindi, si tratta
di un valore talmente piccolo da essere trascurabile.
Per confronto, la quantità di moto pe di un elettrone che si muove a una velocità pari al 99% di c è
pe me v 1,9 1021 kg m/s. L’indeterminazione di 1019 kg m/s è cinquanta volte maggiore di questo valore e, quindi, enorme.
23
La posizione di una pallina di massa 1 mg è conosciuta con un’incertezza di 1mm. Calcola:
gamente all’idrogeno da cui prendono nome, hanno un solo elettrone, ma diversa carica nucleare Ze.
䉴 il limite teorico dell’incertezza sulla velocità
della pallina.
䉴 Ricava le formule per il raggio atomico e l’ener-
[1 10
24
19
gia degli atomi idrogenoidi, secondo il modello
di Bohr.
m/s]
䉴 Determina il raggio e l’energia dello stato fondamentale dell’elio He1, cioè l’atomo di elio a cui
è stato strappato un elettrone.
La vita media di un elettrone in uno stato eccitato
di un atomo è di circa 10 ns e, quando ritorna allo
stato fondamentale, l’atomo emette un fotone.
Calcola:
Ze
2
>r n = n
䉴 il minimo valore teorico dell’incertezza con cui
si può conoscere l’energia del fotone emesso.
䉴 il
corrispondente allargamento della riga spettrale, cioè l’intervallo di frequenza nel quale può
essere emesso il fotone.
3
[1026 J; 107 Hz]
f0 h
2
mZe
2
=
1
Z2 m e2
2
rn; E nZe =- 2 f
p = Z E n ;H
Z
n 8 f0 h
2,65 1011 m, 28,72 1018 JnH
I modelli che descrivono la struttura atomica
spiegano la forma e le caratteristiche degli spettri
atomici, nei quali ciascuna riga corrisponde alla
transizione di un elettrone da un’orbita all’altra.
䉴 Calcola l’energia emessa durante la transizione
dell’elettrone dalla terza orbita allo stato fondamentale nell’atomo di idrogeno.
PROBLEMI GENERALI
1
Calcola l’accelerazione centripeta dell’elettrone per l’orbita percorsa.
䉴
Quanto vale l’accelerazione centripeta per lo
stato fondamentale?
䉴
[3,53 1020 m/s2; 9,04 1022 m/s2]
2
(Suggerimento: consulta il problema svolto n°15 per
il valore dell’energia dello stato fondamentale.)
L’elettrone di un atomo di idrogeno, descritto
con il modello di Bohr, percorre in un’orbita
5,31 109 m.
Gli atomi idrogenoidi (He1, Li11, Be111 ecc.), analo-
[1,94 1018 J]
4
Una superficie è investita da una radiazione elettromagnetica di lunghezza d’onda 4,0 107 m.
La lunghezza d’onda di soglia (corrispondente alla
frequenza minima al di sotto della quale l’effetto
fotoelettrico non avviene) della superficie investita dalla radiazione è di 6,0 107 m.
䉴 Calcola, in eV, la massima energia cinetica che
1115
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
ESERCIZI
possono avere gli elettroni emessi dalla superficie.
(Dalla Maturità Scientifica sperimentale, Progetto
Brocca, 1997)
5
TEST PER L’UNIVERSITÀ
1
Che cos’è un fotone?
[1,0 eV]
A
Lo stato energetico di un elettrone legato ad
un nucleo.
Un elettrone è costretto a muoversi in uno spazio
unidimensionale lungo 0,1nm.
B
䉴 Calcola il limite teorico dell’incertezza sulla
quantità di moto che l’elettrone può possedere.
La quantità di energia espressa dal prodotto
della costante di Planck per la lunghezza d’onda della radiazione elettromagnetica.
C
(Dall’Esame di Stato di Liceo Scientifico, Progetto
Brocca, 2000)
La minima energia di un elettrone legato a un
nucleo.
D
Il quanto di energia associato a un’onda elettromagnetica.
[1 1024 kg m/s]
6
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
Un neutrone che viaggia alla velocità di
1,78 103 m/s incide sulla superficie di un cristallo e subisce una diffrazione.
䉴 Calcola
la lunghezza d’onda di de Broglie del
2
neutrone.
[2,23 1010 m]
QUESITI PER L’ESAME DI STATO
Rispondi ai quesiti in un massimo di 10 righe.
1
Spiega come è possibile, mediante l’esperimento
di Rutherford, sottoporre a verifica il modello
atomico di Thomson.
2
Enuncia e illustra le due ipotesi che sono alla base
del modello atomico di Bohr.
3
Illustra l’effetto fotoelettrico ed evidenziane gli
aspetti sperimentali.
4
Enuncia la condizione di quantizzazione di Bohr
e la giustificazione dello spettro dell’atomo di
idrogeno.
Enuncia e commenta il principio di indeterminazione di Heisenberg.
A
h% è l’energia del fotone.
B
è direttamente proporzionale a %.
C
h dipende dalla frequenza.
D
la velocità di propagazione nel vuoto è funzione di .
E
se supera il centimetro abbiamo a che fare
con raggi gamma.
(Prova di ammissione al Corso di laurea in Medicina e Chirurgia, 2003/2004)
3
5
Un fotone è caratterizzabile con la frequenza % o
con la lunghezza d’onda . Detta h la costante di
Planck:
Un laser emette un fascio di luce più intenso rispetto a quello di un laser apparentemente identico; ciò vuol dire che
A
emette fotoni di frequenza più elevata.
B
emette un maggior numero di fotoni al secondo.
C
emette fotoni il cui spettro di frequenza è più
ampio.
D
emette fotoni di frequenza minore.
(Concorso a borse di studio per l’iscrizione ai Corsi
di laurea della classe «Scienze e Tecnologie Fisiche»
della SIF, 2006/2007)
1116
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
PROVE D’ESAME ALL’UNIVERSITÀ
1
2
Nel modello di Bohr dell’atomo di idrogeno un
elettrone percorre un’orbita circolare attorno ad
un protone fermo al centro dell’orbita.
Element x is in the second period of the Periodic
Table. An atom of element y has six more protons than an atom of element x. Which statement
must be correct?
A
Elements x and y are in the same period of the
table.
䉴 Dato il raggio dell’orbita r 0,53 108 cm e
B
la massa dell’elettrone m 9,11 1031 kg, calcola il periodo di rotazione dell’elettrone.
Elements x and y have the same number of
electrons in the first shell.
C
(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 1999/2000)
Element y has six more electrons in its outer
shell than does element x.
D
The nucleon number of element y is six more
than that of element x.
STUDY ABROAD
1
n
Energy above ground state
3
7 eV
2
3 eV
1
0 eV
The three lowest energy levels of an atom are
shown above. An atom in the n = 3 state can, in
a single transition, spontaneously emit a photon
having an energy of
A
3 eV only
D
4 eV or 7 eV only
B
4 eV only
E
3 eV or 4 eV only
C
7 eV only
(BioMedical Admission Test (BMAT), UK,
2008/2009)
3
The table shows the work-function energy (W)
for photoelectric effect in three different metals.
Metal
W
Ca
4.60 1019 J
Li
4.65 1019 J
Zn
6.94 1019 J
Which of these metals will emit electrons when
hit by visible light with wavelength 400 nm? Explain your reasoning.
(Trends in International Mathematics and Science
Study, 2008/2009)
(Scholastic Aptitude Test (SAT), USA)
1117
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
CAPITOLO
37
Sebastian Duda/Shutterstock
1
I NUCLEI DEGLI ATOMI
Come ha scoperto Rutherford, l’atomo è composto da un nucleo di carica positiva
abbracciato dalla «nuvola» di probabilità degli elettroni carichi negativamente.
� L’ordine
di grandezza del diametro del nucleo è 1015 m. Il diametro
dell’atomo è circa 100 000 volte più
grande, dell’ordine di 1010 m.
�L’atomo è praticamente vuoto. Se il
nucleo occupasse il centro di un campo di calcio a Roma, la nuvola degli elettroni coprirebbe l’intera Italia.
nucleo
nucleo
10–15 m
Roma
atomo
10–10 m
A
B
Nel 1925 lo stesso Rutherford e l’inglese James Chadwick (1891-1974) studiarono la
diffusione delle particelle alfa che, inviate contro un bersaglio fisso, risultavano deviate a grandi angoli.
1118
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
37
CAPITOLO
Come è spiegato nel capitolo «La teoria quantistica», queste particelle giungevano
alla minima distanza dal nucleo dell’atomo.
I dati sperimentali mostrarono che:
a piccole distanze dal nucleo le particelle alfa sono soggette, oltre che alla forza
di Coulomb, anche ad altre forze che agiscono soltanto nell’ambito nucleare.
L’esistenza di queste forze si riconosce perché la traiettoria delle particelle alfa che
giungono molto vicine al nucleo è diversa da quella osservata per le particelle che ne
rimangono più distanti e, quindi, avvertono la sola forza repulsiva di Coulomb.
I protoni e i neutroni
Ancora Rutherford, nel 1919, riuscì a ottenere per la prima volta la trasmutazione
di un nucleo, cioè la trasformazione di un elemento in un altro. Dirigendo delle
particelle alfa su uno strato di azoto gassoso, osservò che talvolta un nucleo di azoto, colpito da una particella , la assorbe e si trasforma in un nucleo di ossigeno. In
questa trasformazione viene emessa una particella diversa da quella incidente, un
protone.
Il protone ha carica e (opposta a quella dell’elettrone) e massa
mp 1,6726 1027 kg.
Nel 1932 Chadwick scoprì l’esistenza di un’altra particella neutra ma di massa simile
a quella del protone. Essa fu chiamata neutrone.
Il neutrone ha carica 0 e massa mn 1,6749 1027 kg.
Gli esperimenti mostrano che ogni nucleo è formato da un certo numero di protoni
e neutroni (figura 1). Per questa ragione queste particelle sono chiamate, collettivamente, nucleoni.
atomo
nucleo
nucleoni
neutrone
protone
Figura 1 L’atomo contiene un nucleo
che, a sua volta, è composto da protoni
e neutroni.
1119
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
Numero atomico e numero di massa
Ogni nucleo è caratterizzato da:
• numero atomico (Z) uguale al numero di protoni nel nucleo;
• numero di neutroni (N) contenuti nel nucleo;
• numero di massa (A) uguale al numero totale di protoni e neutroni nel nucleo:
(1)
AZN
Per esempio, il nucleo dell’atomo di alluminio (Z 13, A 27) è costituito da
Z 13 protoni e N (27 13) 14 neutroni. Esso viene indicato con una particolare notazione:
A numero di massa
27
13
A1
(2)
Z numero atomico
Protone
(A 1, Z 1)
1p
1
Neutrone
(A 1, Z 0)
1n
0
Particella alfa
(A 4, Z 2)
4 He
2
Con lo stesso simbolismo il protone, il neutrone e la particella alfa (nucleo di elio
emesso da un nucleo radioattivo) sono indicati come è mostrato nella tabella a lato.
In condizioni normali, gli atomi sono neutri. Ciò significa che
il numero atomico Z di un nucleo è anche il numero di elettroni contenuti
nell’atomo corrispondente, quando esso non è ionizzato.
Le reazioni nucleari
La notazione della formula (2) permette di rappresentare sinteticamente le reazioni
nucleari.
Nelle reazioni nucleari i nuclei reagenti si scambiano protoni e neutroni per
formare altri nuclei (prodotti della reazione).
1p
1
Come indicare il protone
Poiché un protone è il nucleo
di un atomo di idrogeno, al
posto di 11 p si può scrivere 11 H .
4
2 He
4
2
14
7 N
17
8 O
Figura 2 Rappresentazione grafica
della reazione nucleare della formula (3).
Per esempio, la trasformazione
dell’azoto (147 N) in ossigeno (178 O),
scoperta da Rutherford e illustrata
nella figura 2, si scrive:
He + 147 N " 11 p + 178 O.
(3)
Nelle reazioni nucleari il numero di
protoni si conserva e lo stesso vale
per il numero di neutroni. Quindi:
le somme dei numeri scritti in alto e di quelli scritti in basso sono uguali dalle
due parti della freccia.
1120
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
37
CAPITOLO
Per esempio, nella formula (3) si trova:
per A: 4 14 1 17;
per Z: 2 7 1 8.
ESEMPIO
Un neutrone che colpisce un nucleo di azoto-14 provoca una reazione
nucleare in cui si genera un nuovo nucleo e viene emesso anche un protone.
f Determina qual è il nuovo nucleo generato nella reazione e scrivi la
reazione nucleare corrispondente.
• L’azoto-14, il neutrone e il protone si indicano rispettivamente come 147 N
(l’azoto ha numero atomico Z 7), 10 n e 11 p .
• Il sistema dei reagenti (azoto-14 e neutrone) ha un numero di massa totale
Atot 14 1 15; il numero atomico totale è Ztot 7 0 7.
• Visto che il protone possiede Ap 1 e Zp 1, il nucleo generato nella
reazione possiede numero di massa A Atot Ap 15 1 14 e numero
atomico Z Ztot Zp 7 1 6.
• La tavola periodica degli elementi mostra che l’elemento con Z 6 è il
carbonio; quindi il nucleo generato è il carbonio-14 e la reazione nucleare
in esame si scrive come
14
7
N + 10 n " 146 C + 11 p.
Gli isòtopi
Il numero atomico Z è la carta di identità di un atomo: tutti gli atomi di idrogeno
hanno un nucleo con un protone, tutti gli atomi di elio hanno un nucleo con due
protoni e così via. Il numero di neutroni, invece, può variare.
� Il nucleo di idrogeno più comune
� Il nucleo di idrogeno che contie-
ha un protone e nessun neutrone.
ne un protone e un neutrone è chiamato deuterio.
idrogeno «normale» 11 H
deuterio 21 H
A
B
� Il
nucleo di idrogeno che contiene un protone e due neutroni è
chiamato trizio.
trizio 31 H
C
I tre nuclei di idrogeno hanno lo stesso valore di Z ( 1) ma diversi valori di A, perché hanno un diverso valore del numero di neutroni N.
1121
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
Quando due nuclei hanno lo stesso valore di Z ma diversi valori di A si dice
che essi sono isòtopi dell’elemento di numero atomico Z.
Il termine «isòtopo» deriva dal greco isos topos, che significa «stesso posto», perché i
nuclei con lo stesso Z occupano lo stesso posto nella tavola periodica degli elementi.
235
Per esempio, l’uranio-238 ( 238
92 U ) e l’uranio-235 ( 92 U ) sono due isòtopi dell’elemento uranio. Dal punto di vista chimico si comportano nello stesso modo, perché
le proprietà chimiche sono determinate soltanto dal numero di elettroni e non dalla
massa del nucleo.
2
LE FORZE NUCLEARI E L’ENERGIA
DI LEGAME DEI NUCLEI
Se tra i nucleoni si esercitasse soltanto la forza elettrica, nessun nucleo potrebbe esistere, a causa della forza repulsiva tra particelle di carica positiva. L’esistenza stessa
dei nuclei indica quindi che, come è stato verificato sperimentalmente da Rutherford e Chadwick,
tra i nucleoni agisce una forza nucleare attrattiva che, all’interno del nucleo,
prevale su quella elettrica repulsiva.
intensità della forza
I neutroni risentono quindi di una forza nucleare che li porta ad attrarre gli altri
neutroni e i protoni, mentre non sono responsabili della repulsione coulombiana.
Quindi essi contribuiscono a rendere il nucleo stabile, ed è per questa ragione che i
nuclei con carica maggiore (e, di conseguenza, una repulsione elettrostatica più intensa tra i protoni) contengono una grande percentuale di neutroni.
La forza nucleare è molto intensa alle piccole distanze e diminuisce rapidamente
quando i due nucleoni si allontanano.
Come mostra la figura 3, due protoni che si trovano a una distanza:
• inferiore a 0,5 1015 m, si respingono;
• compresa tra 0,5 1015 m e 3 1015 m, si attraggono con una forza nucleare
di modulo maggiore della forza elettrica con cui si respingono, per cui restano
vicini;
• maggiore di 3 1015 m, non risentono più della forza nucleare, per cui si respingono elettricamente.
Figura 3 Andamento della forza
nucleare e della forza di Coulomb
tra due protoni in funzione della loro
distanza.
forza coulombiana
0
forza nucleare
0
1
2
3
4
distanza (⫻10 –15 m)
1122
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
5
LA FISICA NUCLEARE
37
CAPITOLO
Il difetto di massa e l’energia di legame
Misurando la massa di un nucleo si scopre che
la massa di un nucleo è sempre minore della somma delle masse delle
particelle che lo compongono. La differenza così calcolata si chiama difetto
di massa.
Per esempio, la massa del deuterio (indicato con D o con 21 H ) è
mD 3,3436 1027 kg,
mentre la somma delle masse del protone e del neutrone è
mp mn (1,6726 1,6749) 1027 kg 3,3475 1027 kg.
Quindi la massa del nucleo di deuterio è inferiore a quella dei suoi costituenti della
quantità
m mp mn mD (3,3475 3,3436) 1027 kg 0,0039 1027 kg 3,9 1030 kg.
Per capire come mai ciò accade, immaginiamo di esercitare una forza esterna per
allontanare tra loro il protone
e il neutrone che formano il
nucleo di deuterio. Visto che
la forza nucleare è attrattiva,
durante l’allontanamento la
forza esterna compie un lavoro positivo (figura 4).
forza
nucleare
p
forza
esterna
6s
n
lavoro
positivo
Figura 4 Per allontanare un
neutrone da un protone occorre
compiere un lavoro positivo.
Quindi, il sistema formato dai due nucleoni legati nel nucleo di deuterio ha un’energia minore di quello dato dagli stessi due nucleoni lontani tra loro. Questo argomento vale per ogni nucleo.
Per la relazione massa-energia di Einstein, a questa differenza (negativa) di energia corrisponde una differenza di massa, cioè il difetto di massa misurato sperimentalmente.
Il difetto di massa corrisponde all’energia di legame del nucleo, cioè alla
minima energia necessaria per separare i costituenti del nucleo portandoli
molto lontani tra loro.
Per esempio, l’energia di legame EL del deuterio può quindi essere calcolata, a partire
dal difetto di massa m, come:
EL mc2 (3,9 1030 kg) (3,0 108 m/s)2 3,5 1013 J 2,2 MeV.
1123
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
37
Figura 5 Grafico dell’energia di
legame per nucleone in funzione del
numero di massa del nucleo.
RELATIVITÀ E QUANTI
energia di legame per nucleone (MeV)
CAPITOLO
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
62Ni
4He
107Ag 140
Ce
56Fe 99Mo
12Ca
176Lu
238U
208Pb
8Li
3He
2H
0
50
100
150
200
250
La figura 5 mostra l’andamento
dell’energia di legame per nucleone, cioè l’energia di legame
del nucleo divisa per il numero
di massa A, in funzione di A.
Come si vede, nella maggior
parte dei casi questa grandezza
ha un valore che si aggira attorno agli 8 MeV per nucleone.
Nella figura sono evidenziati alcuni nuclei.
Nella reazione nucleare rappresentata dalla formula (3) la somma delle masse dei
nuclei reagenti (2,9899 1026 kg) è minore di quella delle masse dei nuclei finali
(2,9901 1026 kg). Secondo la relatività, questa maggiore massa è compensata da
una parziale scomparsa dell’energia cinetica dei nuclei che, urtandosi, reagiscono.
La relatività prevede che deve esistere una differenza tra masse dei reagenti e masse dei prodotti anche nelle reazioni chimiche, nelle quali si libera oppure scompare
energia. Però nei processi chimici entrano in gioco energie dell’ordine di grandezza
delle energie di legame degli elettroni negli atomi, pari ad alcuni elettronvolt (e non
alcuni MeV, come nel caso delle reazioni nucleari): il difetto di massa legato a tali
scambi di energia non è misurabile neppure con le bilance più precise.
ESEMPIO
La massa del nucleo di litio-8 è m 13,3189 1027 kg.
f Determina il difetto di massa m e l’energia di legame per nucleone w (in
MeV) del litio-8.
• Il litio ha Z 3 e, quindi, il litio-8 ha N A Z 5 neutroni. Con i valori
riportati in questo paragrafo per la massa del protone mp e per la massa mn
del neutrone possiamo calcolare il difetto di massa del litio-8, che risulta:
m = 3m p + 5m n - m =
= 3 # ^ 1,6726 # 10 -27 kg h + 5 # ^ 1,6749 # 10 -27 kg h - 13,3189 # 10 -27 kg =
= ^ 13,3923 - 13,3189 h # 10 -27 kg = 0,0734 # 10 -27 kg =
= 7,34 # 10 -29 kg.
• Ora possiamo calcolare l’energia di legame per nucleone w come
-29
8 m 2
m : c 2 ^ 7,34 # 10 kg h # a 3,00 # 10 s k
=
= 8,26 # 10 -13 J.
w=
A
8
• Visto che 1 MeV corrisponde a 1,60 1013 J, il valore di w espresso in MeV
risulta:
w=
8,26 # 10 -13 J
= 5,16 MeV.
J
-13
1,60 # 10
MeV
Notiamo che il valore ottenuto è in accordo con quello indicato nel grafico
della figura precedente.
1124
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
37
CAPITOLO
Gli stati energetici dei nuclei
Anche i protoni e i neutroni legati in un nucleo hanno, come tutte le particelle subatomiche, natura ondulatoria. Di conseguenza, come accade agli atomi,
i nuclei possono trovarsi soltanto in un insieme definito di stati, ciascuno
dotato di uno specifico valore dell’energia.
Ogni stato permesso è determinato dal fatto che le onde di tutti i nucleoni che lo
formano devono essere chiuse su se stesse.
Di solito i nuclei si trovano nello stato fondamentale, cioè quello con energia più
bassa. Ma i nuclei finali di reazioni nucleari o di decadimenti radioattivi (illustrati
nel paragrafo successivo) possono essere prodotti in uno stato eccitato di energia superiore. Tale situazione è però instabile e, in un tempo brevissimo, il nucleo subisce,
per effetto delle forze elettromagnetiche, una transizione allo stato fondamentale,
con l’emissione di un fotone che ha energia pari alla differenza tra l’energia dello
stato iniziale e quella dello stato finale (figura 6).
Dal momento che le energie di legame dei nuclei sono di diversi MeV, le energie
dei fotoni emessi sono anch’esse dell’ordine del MeV e, quindi, molto maggiori di
quelle emesse nelle transizioni atomiche. Questi pacchetti di energia elettromagnetica di altissima energia sono detti fotoni gamma ().
3
energia in MeV
20
15
10
5
0
fotone
gamma
Figura 6 Emissione di un fotone
gamma nella transizione tra due livelli
energetici di un nucleo.
LA RADIOATTIVITÀ
Alla fine dell’Ottocento fu scoperto che molti dei nuclei che esistono in natura hanno la proprietà di essere instabili: a un certo istante emettono un corpuscolo e si
trasformano o, come si dice, decadono nel nucleo di un altro elemento.
IN LABORATORIO
Radioattività
e contatore Geiger
• Video (2 minuti)
• Test (3 domande)
I nuclei che decadono spontaneamente sono detti radioattivi.
La radioattività è un fenomeno naturale. Per esempio il radon-222 ( 222
86 Rn ), un gas
radioattivo emesso dal suolo, è presente da sempre nell’aria che respiriamo. Esso
decade spontaneamente in un nucleo di polonio-218 ( 218
84 Po ), emettendo anche una
particella alfa. Questo fenomeno, illustrato nella figura 7, si descrive in simboli come:
222
86
86
136
222
86 Rn
(4)
4
Rn " 218
84 Po + 2 He.
84
+
2
2
+
4
2 He
134
218
84 Po
Figura 7 Schema grafico
dell'emissione di una particella alfa da
parte di un nucleo di radon-222.
Poiché la particella alfa ha Z 2 e A 4, il numero atomico del nucleo figlio è diminuito di 2 (nell’esempio precedente, da 86 a 84) e il numero di massa è diminuito di
4 unità (nell’esempio, da 222 a 218).
1125
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
fotone
gamma
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
ESPERIMENTO VIRTUALE
Decadimento alfa e decadimento beta
Decadimenti
• Gioca
• Misura
• Esercitati
La trasformazione (4) è un esempio di decadimento alfa.
Nel decadimento alfa la trasformazione del nucleo è accompagnata
dall’emissione di una particella alfa, cioè di un nucleo di elio 42 He .
I due tipi di trasformazione nucleare più comune in natura sono il decadimento alfa
e il decadimento beta.
Nel decadimento beta la trasformazione del nucleo è accompagnata
dall’emissione di un elettrone.
L’elettrone veloce emesso nel decadimento beta è anche detto, per ragioni storiche,
particella beta. Un esempio di decadimento beta è quello in cui un nucleo di piom210
bo-210 ( 210
82 Pb ) si trasforma in uno di bismuto-210 ( 83 Bi ) emettendo un elettrone e
un neutrino-elettrone (ve):
210
82
Pb " 210
83 Bi + e + v e .
(5)
Il neutrino-elettrone è una particella di carica nulla e con massa praticamente nulla
che si muove quasi a velocità c. Lo si può pensare come un elettrone neutro. Come
si vede nella formula (5), nel decadimento beta il numero di massa dei due nuclei
non cambia. Invece, passando dal nucleo padre al nucleo figlio, il numero atomico
aumenta di una unità perché un neutrone si è trasformato in un protone.
Esiste anche il decadimento beta inverso, in cui un protone del nucleo si trasforma in un neutrone con emissione di un positone e1 (l’antiparticella dell’elettrone)
e di un neutrino-elettrone. Per esempio, l’azoto-12 ( 127 N ) decade in un nucleo di
carbonio-12 ( 126 C ) con l’emissione di un positone e di un neutrino:
12
7
N " 126 C + e + + v e .
A seguito del decadimento beta inverso il numero di massa rimane invariato e il numero atomico del nucleo diminuisce di uno.
Le famiglie radioattive
Abbiamo visto che un nucleo di radon-222 emette una particella alfa e decade in
un nucleo di polonio-218. A sua volta, il polonio-218 emette una particella alfa e si
trasforma in un altro elemento radioattivo, il piombo-214, il quale subisce un altro
decadimento, e così via, fino a ottenere alla fine un nucleo stabile. In altre parole,
esistono vere e proprie famiglie radioattive, nelle quali si susseguono
elementi radioattivi (alcuni per decadimento alfa, altri per decadimento beta)
finché si giunge a un nucleo stabile.
In natura esistono tre grandi famiglie radioattive, indicate con i nomi dei loro «capostipiti»:
1126
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
37
CAPITOLO
• la famiglia dell’uranio;
• la famiglia del torio;
• la famiglia dell’attinio.
La figura 8 mostra la famiglia radioattiva dell’uranio. La catena inizia con l’uranio-238 e termina con il piombo-206, che è l’elemento stabile della famiglia.
238
9a
10
x
56
decadimento
alfa
234
numero di massa A
24,5 d
4a
10
8x
226
90
15
222
82
3,
218
05
214Pb
214
210
206
3,
5
0
x1
7
2,
a
234U
68 s
230Th
226Ra
222Rn
218Po
m
19,7 m
214Bi
26,8 m
d
a
238U
234Pa
234Th
decadimento
beta
230
4
4,
–5
10
210TI
210Bi
1,32m 22 a
210Pb
0d
14
206Pb
s
214Po
5d
210Po
80
81
82
83
84
Hg
TI
Pb
Bi
Po
85
86 87
88
numero atomico Z
At
Rn
Fr
Ra
89
90
91
92
Ac
Th
Pa
U
Figura 8 La famiglia radioattiva
dell'uranio. Le frecce colorate indicano
i decadimenti che fanno passare da un
nucleo all’altro. I numeri sono i periodi
di dimezzamento dei nuclei.
LA LEGGE DEL DECADIMENTO RADIOATTIVO
Una certa quantità di sostanza radioattiva diminuisce al passare del tempo come
conseguenza del decadimento spontaneo dei suoi nuclei. Per esempio, consideriamo una certa massa di radon-222:
• dopo 3,8 giorni, la quantità iniziale di radon si è ridotta alla metà;
• dopo un intervallo di tempo doppio, cioè 7,6 giorni, la massa di radon si è dimezzata ulteriormente, riducendosi a un quarto del valore iniziale;
• dopo un intervallo triplo, cioè 11,4 giorni, il radon si è ridotto a un ottavo, e così via.
L’intervallo di tempo necessario perché la massa di un materiale radioattivo si
dimezzi viene indicato con T1/2 e si chiama periodo di dimezzamento.
La tabella a lato mostra i periodi di dimezzamento di alcuni nuclei radioattivi.
Se indichiamo con N0 il numero di nuclei radioattivi presenti all’istante t 0 s, il
numero N(t) di nuclei «sopravvissuti» all’istante t è dato dall’equazione
N^ t h = N 0 e - !
t
(6)
! è una costante tipica di ogni tipo di nucleo, che è detta vita media del nucleo ed è
legata al periodo di dimezzamento attraverso la relazione
Elemento
T1/2
radon-222
3,8 giorni
piombo-210
22 anni
radio-226
1600 anni
carbonio-14
5730 anni
uranio-238
4,47 miliardi
di anni
Vita media
La «vita media» è l'intervallo di
tempo dopo il quale il numero
di nuclei si è ridotto del fattore
1/e. Per ricavare la relazione tra
! e T1/2 basta porre et /! 1/2.
1127
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
T1/2 ! ln 2.
(7)
Rappresentando in un grafico la legge (6) si ottiene la curva di decadimento della
figura 9.
APPROFONDIMENTO
numero di nuclei radioattivi presenti
Grandezze dosimetriche
(2 pagine)
Figura 9 Grafico del numero
di nuclei radioattivi presenti in un
campione in funzione del tempo.
N0
N0
2
N0
4
0
T1/2 2T1/2 3T1/2 4T1/2 5T1/2
tempo t
La legge di decadimento dei nuclei radioattivi è conseguenza del fatto che
la probabilità di decadimento di un
nucleo è costante nel tempo. Infatti i
nuclei non hanno memoria del tempo
trascorso e si comportano sempre nello
stesso modo: la probabilità di decadere
nel prossimo secondo non dipende da
quanto tempo hanno sopravvissuto e,
quindi, il loro numero si dimezza in intervalli di tempo sempre uguali.
La datazione con il carbonio-14
Il periodo di dimezzamento è tipico di ogni tipo di nucleo radioattivo, e rimane invariato qualunque sia la pressione, la temperatura o lo stato di aggregazione del composto chimico di cui fa parte l’elemento. Per questo motivo, il decadimento radioattivo è
utilizzato oggi come «orologio nucleare».
Per esempio, la quantità residua di carbonio-14 presente nei resti di organismi
morti permette di stabilire a che età risalgono.
Tutti gli organismi viventi scambiano continuamente carbonio con l’ambiente circostante. Nell’atmosfera, il carbonio è presente sotto forma di carbonio-12 e di un suo
isòtopo radioattivo, il carbonio-14. Un nucleo di questo carbonio è prodotto nella collisione di un neutrone dei raggi cosmici con un nucleo di azoto-14 secondo la reazione:
14
7
morte dell’organismo
carbonio –14
m0
1
2
m0
1
4
1
8
m0
m0
0
Figura 10 Grafico della presenza
di carbonio-14 in un organismo in
funzione del tempo dopo la sua morte.
N + 10 n " 146 C + 11 p.
T1/2
2T1/2
3T1/2
4T1/2
Patrick Landmann/Science Photo Library
tempo trascorso dopo
la morte (T1/2 = 5730 anni)
Quando un organismo (pianta, animale, uomo) muore, però, lo scambio di
carbonio cessa e il carbonio-14, presente nell’organismo, decade.
La concentrazione del carbonio-14
in un essere umano è costante fino a
quando muore; da quel momento, decresce esponenzialmente con un periodo di dimezzamento pari a 5730 anni
(figura 10).
Gli archeologi, per esempio, utilizzano il metodo di datazione col carbonio-14 per stabilire l’età di reperti quali
ossa e denti delle mummie egizie.
Con questo metodo, è possibile datare campioni fino a circa 50 000 anni:
per reperti più antichi, la concentrazione di carbonio-14 è troppo bassa per
poter essere misurata in modo sufficientemente assicurato.
1128
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
5
37
CAPITOLO
L’INTERAZIONE DEBOLE
Il decadimento alfa è descrivibile come una semplice successione di eventi:
• due protoni e due neutroni di un nucleo, che ne contiene diversi, si trovano vicini
e formano una particella alfa;
• questo sottosistema del nucleo, può uscire dal nucleo stesso se ha una velocità
rivolta verso l’esterno e l’energia totale del nucleo è sufficiente.
Il decadimento beta, invece, non può essere spiegato mediante un meccanismo di
questo genere, perché gli elettroni emessi non preesistono all’interno del nucleo radioattivo.
Consideriamo un neutrone isolato, che è instabile e decade, trasformandosi in un protone, secondo il processo (figura 11)
1
0
n
10,3 min 1
1
"
p + e + ve .
neutrone
e
ie
protone
(8)
1n
0
1p
1
+ e + ie
Figura 11 Decadimento di un
neutrone.
L’elettrone e il neutrino-elettrone non esistevano prima del decadimento; essi rivelano l’esistenza di un fenomeno nuovo, la creazione di particelle.
Il fenomeno della creazione di particelle permette di produrre l’elettrone e
il neutrino a spese di una parte dell’eccesso di energia di riposo del neutrone
rispetto al protone.
Anche in un atomo, quando un fotone è emesso, a causa della forza elettromagnetica, nel passaggio da un livello eccitato a uno di energia minore, il fotone non preesisteva, ma è creato nel momento della transizione. Nel 1933 Enrico Fermi propose
una teoria del decadimento beta partendo proprio da questa analogia.
Energia di un neutrone
Un neutrone ha più energia di
un protone perché ha massa
maggiore:
mn 1,6749 1027 kg e
mp 1,6726 1027 kg.
La forza responsabile dell’emissione beta è chiamata interazione debole.
Nei nuclei che mostrano radioattività beta simile alla (8) il decadimento del neutrone
avviene con un periodo di dimezzamento diverso da quello del neutrone libero, a causa della presenza degli altri nucleoni.
Per esempio, il nichel-63 decade in un nucleo di rame-63, con un periodo di dimezzamento di 85 anni, secondo la reazione:
63
28
85a
Ni " 63
29 Cu + e + v e .
Esistono isòtopi naturali che sono radioattivi beta; sono però molto più numerosi gli isòtopi artificiali che emettono elettroni o, in molti casi, le loro antiparticelle positive, i positoni.
Forze e tipi di decadimento
Antiparticelle
Un protone che in un
nucleo si trasforma in un
neutrone emette un positone
(antiparticella dell’elettrone) e
un «neutrino-elettrone» ve.
Riassumiamo qui quanto si è detto sui diversi tipi di decadimento radioattivo.
• Decadimento alfa: è dovuto all’azione della forza nucleare che tiene legati neutroni e protoni a formare un nucleo. Il corpuscolo emesso è una particella alfa, di
1129
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
carica 2e perché formata da due protoni e due neutroni.
• Decadimento beta: è effetto della forza debole che fa decadere il neutrone isolato
e anche neutroni o protoni legati in alcuni nuclei. Sono emessi un elettrone e un
antineutrino oppure un positone e un neutrino, che sono creati nel momento del
decadimento del neutrone o del protone.
• Emissione gamma: è effetto della forza elettromagnetica e avviene dopo un decadimento alfa, un decadimento beta o una reazione nucleare, quando un nucleo,
prodotto in uno stato eccitato, si porta in uno stato più legato.
alluminio piombo
1 mm 2,5-5 cm
particelle alfa
particelle beta
Figura 12 Differente penetrazione
nella materia dei diversi tipi di
radiazione.
fotoni gamm
ma
pelle
Le particelle alfa penetrano pochissimo nella materia (figura 12). Gli elettroni (e i positoni) emessi da nuclei radioattivi beta sono più penetranti. I fotoni gamma, invece,
possono attraversare vari centimetri di materia molto densa prima di essere assorbiti.
6
LA MEDICINA NUCLEARE
I radioisotopi hanno trovato negli ultimi decenni moltissime applicazioni in campo
medico-sanitario e biologico. Vogliamo concentrare la nostra attenzione sull’uso dei
traccianti radioattivi, sulla terapia dei tumori e sulla tomografia a emissione di positoni.
I traccianti radioattivi
Altri usi dei traccianti
I traccianti vengono utilizzati
anche nelle ricerche in campo
agricolo per testare l'azione di
un fertilizzante. Si aggiunge
al fertilizzante in esame
una piccola quantità di un
radioisotopo e lo si somministra
ad alcune piante. Un contatore
misura poi la quantità di
fertilizzante radioattivo assunto
dalle piante.
I traccianti radioattivi sono isotopi radioattivi che funzionano come
«etichette identificative» per segnalare la presenza e la posizione di una
determinata sostanza in un organismo vivente, animale o vegetale.
Per esempio, un radioisotopo dello iodio prodotto artificialmente, 131
33 I, viene adoperato per l’esame della tiroide che, in un soggetto sano, sovrintende alla distribuzione
nell’organismo dello iodio. Si fa ingerire al paziente un composto chimico a base di
iodio, in cui una certa percentuale di atomi di iodio è costituita da atomi radioattivi.
Dopo alcune ore, si può determinare in quali punti del corpo si localizza lo iodio.
Basta misurare la quantità di fotoni gamma emessi dal radioisotopo con un contatore esterno posto a contatto con le diverse parti del corpo.
La terapia dei tumori
Nella terapia dei tumori, le particelle emesse da una sorgente di isotopi
radioattivi, oppure da un acceleratore di particelle, sono impiegate per
distruggere le cellule maligne.
1130
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
37
LA FISICA NUCLEARE
CAPITOLO
Adroterapia
Per combattere i tumori profondi, negli anni
Cinquanta si sono cominciati a utilizzare
radioisotopi come il cobalto-60 che, nel decadimento radioattivo, emette fotoni gamma di energia elevata, dell’ordine di 1 MeV,
in grado di penetrare nel corpo del paziente. Oggi si usano invece «acceleratori lineari» di elettroni (linac) per produrre fotoni
gamma più energetici (fino a 20 MeV), e
quindi più penetranti di quelli del cobalto.
In Italia, ogni anno quasi la metà dei
malati di tumore è trattata con radioterapia mediante fotoni gamma: i pazienti
trattati sono circa 120 000 all’anno.
Antonia Reeve/Science Photo Library
Nuove tecniche più precise ed
efficaci dei raggi X utilizzano
fasci di protoni e di ioni
carbonio. Nel 2010 è entrato
in funzione a Pavia il Centro
Nazionale di Adroterapia
Oncologica progettato negli
anni Novanta dalla Fondazione
TERA.
La tomografia a emissione di positoni
Una delle applicazioni più innovative ed efficaci del decadimento radioattivo in
campo medico è conosciuta come tomografia a emissione di positoni (PET).
La tomografia a emissione di positoni usa farmaci radioattivi per visualizzare
il metabolismo dei tessuti nel corpo umano.
Al paziente viene somministrato un farmaco radioattivo contenente in genere un
radioisotopo del fluoro, il fluoro-18. Si tratta di uno zucchero che si concentra in
tessuti ad alto metabolismo, come i tessuti cancerosi e quelli infiammati. I nuclei
radioattivi decadono all’interno del corpo, emettendo positoni che, nell’incontro
con un elettrone, generano due fotoni gamma molto energetici.
due fotoni emergono dal
corpo in direzioni opposte e vengono
rilevati da piccoli «cristalli» che circondano il paziente.
�Misurando
la radiazione prodotta,
si ha un’immagine computerizzata
della parte in esame, per esempio il
cervello.
xpixel/Shutterstock
Hank Morgan/Science Photo Library
� Questi
A
B
La tomografia a emissione di positoni è una delle più spettacolari applicazioni, alla diagnostica delle malattie, della fisica subatomica e degli strumenti sviluppati per rivelare le
radiazioni.
1131
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
I FISICI
American Institute of Physics/Science Photo Library
Suchan/Shutterstock
ENRICO FERMI
Enrico Fermi nasce a Roma il 29 settembre 1901. Impara presto a leggere e scrivere e dimostra una memoria eccezionale. Da ragazzo studia per suo conto testi
scientifici, sotto la guida di un amico del
padre, Adolfo Amidei, e compie esperimenti con Enrico Persico, al quale si lega
dopo la morte del fratello Giulio. Amidei
convince la famiglia a mandarlo alla Scuola Normale di Pisa, dove Enrico, all’esame
d’ammissione, stupisce gli esaminatori
con la sua preparazione.
Fermi conosce già gran parte delle materie e ha tempo per approfondire le conoscenze di teoria dei quanti e relatività,
allora in Italia poco note. A Pisa stringe
amicizia con Franco Rasetti. Nel luglio
1922 si laurea con una tesi sui raggi X e in
quel periodo pubblica i primi lavori teorici sulla relatività. Dopo due soggiorni
all’estero, nell’autunno del 1924 va a Firenze come professore incaricato di fisicamatematica. Sul finire del 1926, venticinquenne, vince la cattedra di fisica teorica
a Roma. Pochi mesi prima ha pubblicato
la sua fondamentale statistica, detta di
Fermi-Dirac, che descrive il comportamento delle particelle con spin semintero.
Al congresso di Como del 1927, dove intervengono i maggiori scienziati, Fermi è
già una star.
I «RAGAZZI DI VIA PANISPERNA»
Con la regia di Orso Mario Corbino, nel
1927-8 si forma il gruppo di via Panisperna: viene chiamato Rasetti e si aggiungono
Emilio Segrè, Edoardo Amaldi ed Ettore
Majorana (e nel 1931 Bruno Pontecorvo).
Nel 1928 Fermi sposa Laura Capon; i figli
Nella e Giulio nascono nel 1931 e nel 1936.
Oltre ai corsi regolari, Fermi è solito riunire gli allievi nel suo studio e spiegare loro i
più disparati argomenti di fisica.
Nel 1927-32 il gruppo lavora sulla fisica atomica e molecolare, ricco campo di
studi che si va sistematizzando dopo l’avvento della meccanica quantistica. Alla
fine degli anni Venti è però chiaro che il
nucleo atomico sarà la prossima sfida per
i fisici, e il gruppo Fermi vi si prepara con
scrupolo. Nell’ottobre 1931 viene organizzato a Roma un importante convegno
di fisica nucleare e, poco dopo, il britannico Chadwick scopre il neutrone.
Sul finire del 1933 Fermi enuncia la
sua teoria del decadimento beta, costruita
come una teoria quantistica di campo, in
analogia all’elettrodinamica quantistica
proposta da Dirac nel 1927. Con la teoria
di Fermi nasce la fisica della cosiddetta
«interazione debole», una delle quattro
forze fondamentali (le altre sono la forza
di gravità, la forza elettromagnetica e la
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
forza forte, che tiene insieme i nuclei).
All’inizio del 1934, a Parigi, i coniugi JoliotCurie annunciano la scoperta della radioattività
artificiale indotta da particelle alfa. Fermi pensa di
riprodurre l’effetto con i neutroni, elettricamente
neutri e più idonei a penetrare nel nucleo.
Il successo giunge quasi subito: vengono scoperti
molti isotopi radioattivi nuovi e, nel gruppo, si diffonde la sensazione, che si rivelerà erronea, d’aver
prodotto anche elementi transuranici. Nell’ottobre
1934 il gruppo di giovani scienziati guidati da Fermi
scopre che il potere dei neutroni d’innescare la radioattività artificiale aumenta fortemente se questi vengono fatti passare in sostanze come l’acqua o la paraffina dove gli urti contro i protoni fanno loro perdere
energia. È la scoperta del potere dei «neutroni lenti».
EMIGRAZIONE E ANNI DI GUERRA
Dal 1935 la situazione internazionale si fa pesante,
dapprima con la guerra d’Etiopia e poi con la guerra civile spagnola. Fermi resta a Roma con Amaldi a
lavorare sulle proprietà dei neutroni. Per stare al passo con i grandi laboratori servono però maggiori finanziamenti. Nel 1937 muoiono Corbino e Marconi,
numi tutelari del gruppo. La proposta di Fermi di costituire un Istituto Nazionale di Radioattività viene rifiutata nel maggio 1938. Poco prima c’è stata l’annessione dell’Austria alla Germania nazista, e nel settembre, all’annuncio delle leggi razziali, i Fermi decidono
di emigrare negli Stati Uniti, paese che Enrico conosce e ammira. Dopo aver ritirato il Nobel, conferitogli
per le scoperte nel campo della radioattività artificiale,
Fermi si reca a insegnare alla Columbia University di
New York, dove giunge il 2 gennaio 1939.
Poco dopo si diffonde la notizia che bombardando l’uranio con neutroni si è in grado di scinderne il nucleo, liberando un’enorme quantità di
energia. È la scoperta della fissione, mancata a suo
tempo dal gruppo Fermi e realizzata grazie agli
esperimenti di Otto Hahn e Fritz Strassmann. In
breve Fermi e altri dimostrano che nella fissione
vengono emessi altri neutroni, cosa che rende teoricamente possibile una reazione a catena, la produzione di energia e anche le esplosioni nucleari.
Il 1° settembre 1939 scoppia la Seconda guerra
mondiale. Einstein, il più celebre tra i fisici viventi,
scrive al presidente Roosevelt per attirarne l’attenzione sulle ricerche nucleari. Fermi riceve un modesto finanziamento che gli consente di proseguire gli studi.
Con l’entrata in guerra degli Stati Uniti (7 dicembre 1941) le ricerche nucleari vengono militarizzate. Fermi si trasferisce a Chicago, dove il 2
dicembre 1942 realizza la prima reazione a catena.
Si trasferisce poi a Los Alamos, dove un’imponente comunità di scienziati sta lavorando alla bomba
atomica. Il 16 luglio 1945 una bomba al plutonio è
fatta esplodere nel deserto; meno di un mese dopo due ordigni distruggono le città di Hiroshima e
Nagasaki. Il 15 agosto il Giappone si arrende.
LA «SCUOLA DI CHICAGO»
Nel dopoguerra Fermi si dedica alla fisica delle particelle fondamentali, pur continuando a dare contributi fondamentali in altri campi (ottica neutronica,
astrofisica, sistemi non-lineari). Con l’allievo ChenNing Yang propone nel 1949 che la particella portatrice dell’interazione nucleare forte sia composta da
un nucleone (protone o neutrone) e da un antinucleone. È il cosiddetto modello di Fermi-Yang, che
giocherà un ruolo importante negli anni a venire.
Fermi torna a insegnare e in breve nasce la
«scuola di Chicago», da dove usciranno premi
Nobel e scienziati di primo piano, che influenzeranno grandemente la fisica della seconda metà del
Novecento. Anche in Italia i suoi allievi, primo tra
tutti Amaldi, saranno dopo la guerra tra gli autori
della rinascita scientifica del Paese e dell’Europa.
Nel 1951 il sincrociclotrone di Chicago entra in
funzione e con esso Fermi e il suo gruppo giungono
a intuire l’esistenza di una «risonanza nucleare», una
particella dalla vita brevissima. È l’ultima grande scoperta sperimentale, per la quale Fermi usa con grande abilità il MANIAC, il computer di Los Alamos.
Sono gli anni della Guerra Fredda. Nel 1947-50
Fermi, cittadino americano dal 1944, è consulente
del Governo degli Stati Uniti per le politiche nucleari. Nel 1949 i sovietici fanno esplodere la loro
prima bomba atomica e la commissione di cui fa
parte Fermi discute se consigliare di proseguire le
ricerche sulla bomba all’idrogeno, ben più potente
di quella di Hiroshima. Fermi vota contro, ma la
successiva scoperta di una spia a Los Alamos induce il presidente Truman a finanziarne lo sviluppo.
Nel periodo della «caccia alle streghe» viene inquisito Julius Oppenheimer, già direttore di Los Alamos. La testimonianza di Fermi al processo (aprile
1954) è improntata a lealtà ed equilibrio.
All’inizio degli anni Cinquanta Fermi è all’apice
della fama. Presidente dell’American Physical Society nel 1953, referente di autorità politiche, conteso dalle Università, voce ascoltata in ogni consesso.
Compie due viaggi in Italia nel 1949 e nel 1954. Nel
secondo soffre già per la malattia che lo porterà alla
morte, che giunge a Chicago il 28 novembre 1954.
1133
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
7
LA FISSIONE NUCLEARE
Nelle reazioni nucleari, come in quelle chimiche, viene liberata (o assorbita) una
certa quantità di energia, detta energia di reazione.
Nelle reazioni chimiche due o più atomi, o molecole, di sostanze diverse si combinano per dare molecole di una nuova sostanza. In questi processi le ampiezze di
probabilità degli elettroni esterni cambiano distribuzione e le energie liberate, o assorbite, sono di qualche elettronvolt.
Nelle reazioni nucleari si tratta invece di due nuclei che si combinano e le energie
sono dell’ordine di alcuni milioni di elettronvolt perché i legami sono dovuti alle forze nucleari e non a quelle elettriche.
Si chiamano esoenergetiche le reazioni nucleari che producono energia, in quanto la massa totale dei nuclei finali è minore di quella dei nuclei iniziali; quelle che,
per avvenire, assorbono energia si dicono endoenergetiche.
La curva della figura 5 mostra che l’energia di legame per nucleone ha un massimo nella zona del ferro e del nichel. Quindi, se si fondono due nuclei di basso numero atomico per ottenerne un terzo più pesante, questo è più legato dei nuclei di
partenza e, di conseguenza, ha un difetto di massa maggiore.
Ciò significa che una simile reazione di fusione riversa nell’ambiente un’energia
pari alla differenza di energie di riposo tra i nuclei iniziali e quello finale.
Per esempio, un nucleo di deuterio ( 21 H ) e uno di trizio ( 31 H ) fondono per produrre un nucleo di elio-4 ( 42 H ) e un neutrone secondo la reazione
2
1
H + 31 H " 42 He + 10 n.
In essa, i due nuclei iniziali hanno una massa totale di 8,35094 1027 kg, mentre la
massa complessiva delle particelle finali vale 8,31958 1027 kg. Così in ogni fusione sparisce una massa pari a 3,136 1029 kg; questa scomparsa di massa determina
il rilascio di 2,8181 1012 J (cioè 17,59 MeV) di energia.
In modo simmetrico, lo stesso accade nella zona opposta del grafico della figura 5,
quando un nucleo molto massivo si suddivide (fissiona) in nuclei più leggeri.
Per questa ragione
le reazioni nucleari di maggior interesse dal punto di vista della produzione di
energia si possono suddividere in due gruppi:
• reazioni di fusione, in cui due o più nuclei leggeri si uniscono;
• reazioni di fissione, in cui un nucleo pesante si spezza in due o più nuclei.
La fissione nucleare
Nel 1939, Otto Hahn e Fritz Strassmann scoprirono che un nucleo di uranio, colpito
da un neutrone, si spezza in due frammenti pressoché uguali, che costituiscono due
nuclei più piccoli.
Si ha fissione nucleare quando un nucleo di massa elevata cattura un
neutrone e si divide, cioè si fissiona, in due nuclei più piccoli.
1134
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
�Il nucleo di uranio-235 è fissile. Col-
�I due neutroni emessi in media colpi-
pito da un neutrone, si scinde in due
nuclei. Il numero totale di protoni e
neutroni resta invariato.
scono e fissionano altri due nuclei di uranio. Allo stadio successivo i nuclei fissionati sono quattro, poi otto, e così via.
136
52
Te
n
1
n
0
n
3 10 n
235
92
n
U
97
40
A
n
Zr
n
CAPITOLO
Arricchimento dell’uranio
Il 99,3% dell’uranio che si
trova in natura è uranio-238,
che non è fissile. Quindi
soltanto lo 0,7% dell’uranio che
si estrae è uranio-235, utile per
la fissione nucleare.
Di qui la necessità di arricchire
l’uranio della sua componente
fissile prima di poterlo
utilizzare.
n
n
n
37
n
n
n
n
n
n
n
B
Quando un neutrone colpisce un nucleo di uranio-235, questo si spezza in molti
modi possibili, liberando circa 0,2 GeV di energia e due o tre neutroni.
I neutroni emessi possiedono energia, e muovendosi attraverso la massa dell’uranio circostante, possono andare a urtare altri nuclei di uranio-235, dando così luogo
ad altre fissioni. I nuclei veloci e una parte dei neutroni prodotti nelle reazioni successive sono frenati dalla materia circostante e, poiché le cedono circa 0,2 GeV per
ogni fissione, ne aumentano la temperatura.
Questa serie di fissioni successive, una volta innescata, può mantenersi da sé, liberando energia che riscalda la massa di materiale entro cui si svolge la reazione a
catena mantenuta dai neutroni.
Le centrali nucleari
Se non è controllata, la reazione a catena libera un’enorme quantità di energia e può
produrre una violenta esplosione, come accade nelle bombe atomiche, che impiegano neutroni veloci. Invece,
nei reattori nucleari la reazione di fissione nucleare avviene in condizioni
controllate.
Il primo reattore nucleare fu messo in funzione a Chicago il 2 dicembre 1942 da
un gruppo di scienziati guidato da Enrico Fermi.
Il reattore originale di Fermi produceva una potenza di 0,5 W, sufficiente per tenere in funzione soltanto la lampadina di una torcia. Da allora la tecnologia dei reattori nucleari ha fatto enormi progressi. Oggi un reattore fornisce di norma 1 GW di
potenza elettrica, capace di alimentare un’intera città.
Un reattore a fissione è un generatore di energia prodotta dalla fissione di
nuclei pesanti.
1135
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
CAPITOLO
37
RELATIVITÀ E QUANTI
Il principio fisico dei generatori nucleari di energia, cioè la reazione a catena delle
fissioni, è piuttosto semplice. Tuttavia, per sfruttarli come fonti di energia, è necessario tenere conto di svariati fattori affinché la reazione a catena inizi e si mantenga,
ma non diventi incontrollabile.
�Il cuore del reattore, o nocciolo, è composto da un moderatore, in genere acqua, entro cui sono immerse barre di uranio cilindriche, lunghe un paio di metri e di diametro di qualche centimetro.
A
Neutroni lenti
L’uso dei neutroni lenti è
essenziale per il funzionamento
controllato degli attuali reattori
nucleari. Invece le bombe
nucleari utilizzano i neutroni
veloci.
�Sopra al nocciolo si trova il meccani-
smo che aziona le barre di controllo (in
genere di cadmio). Queste, in caso di
incidente, servono ad assorbire neutroni e controllare così la reazione a catena.
B
Nei reattori nucleari a uranio-235 o plutonio-239, la fissione ha luogo sotto l’azione
di neutroni lenti, che, come scoperto nel 1934 da Fermi e dai suoi collaboratori, i
«ragazzi di via Panisperna», sono i più efficaci per produrre reazioni nucleari. Ecco
perché è necessario l’uso di un moderatore, in genere acqua o grafite, per rallentare
i neutroni. Quando le barre di controllo sono inserite fra le barre di uranio, molti
neutroni vengono assorbiti e così bloccano la reazione a catena.
In tutti i reattori nucleari, tranne in quelli tipo Chernobyl, in condizioni di funzionamento normale non c’è bisogno di agire con le barre di controllo. Infatti il reattore è progettato in modo tale che, se il flusso di neutroni aumenta, il reattore tende
a spegnersi da solo senza alcun intervento esterno. I reattori di nuova generazione
sono dotati di più sistemi di sicurezza «intrinseca» come questo.
L’energia liberata dalla fissione scalda l’acqua in cui le barre di uranio sono immerse. L’acqua calda mescolata a vapore che si trova all’interno di un circuito chiuso, entra
in uno scambiatore di calore, dove produce vapore ad alta temperatura. Esso mette in
rotazione una turbina e infine un alternatore per produrre energia elettrica.
vapore acqueo
turbina
alternatore
barre di
controllo
trasformatore
acqua
Figura 13 Schema di funzionamento
di una centrale elettrica nucleare a
fissione.
nocciolo
barre di uranio
1136
Ugo Amaldi LE TRAIETTORIE DELLA FISICA - Vol.3 © Zanichelli 2012 con Physics in English
LA FISICA NUCLEARE
37
CAPITOLO
Gli elementi prodotti nella fissione dell’uranio-235 sono una trentina e molti di essi
danneggiano il buon funzionamento del reattore, perché assorbono neutroni interrompendo la reazione a cat