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Dossier tecnico n° 1
Calcolo pratico delle correnti
di corto circuito
Calcolo pratico
delle correnti
di corto-circuito
Dossier Tecnico n° 1
Redatto a cura del
Servizio Tecnico Commerciale
Dipartimento di Bassa Tensione
Indice
1. Introduzione
2
2. Stabilimento della corrente
di corto-circuito
3
2.1. Guasto lontano dai generatori
3
2.2. Ampiezza massima della
corrente di cresta (asimmetrica)
5
2.3. Guasto ai morsetti dei generatori 5
3. Calcolo delle correnti
di corto-circuito
5
3.1. Guasto trifase equilibrato
5
3.2. Guasto bifase isolato
6
3.3. Guasti a terra
(bifase e monofase)
6
3.4. Determinazione
delle impedenze di rete
6
3.5. Metodi di calcolo delle correnti
di corto-circuito trifase
7
3.6. Composizione delle impedenze 8
4. Valori delle impedenze
degli elementi della rete
8
4.1. Rete a monte
8
4.2. Generatori sincroni
9
4.3. Trasformatori
9
4.4. Linee aeree
9
4.5. Cavi
9
4.6. Condotti sbarre
9
4.7. Motori e compensatori sincroni 10
4.8. Motori asincroni
10
4.9. Condensatori
10
4.10. Impedenze diverse
10
4.11. Apparecchiature
10
4.12. Arco di guasto
10
5. Applicazioni
11
Allegato 1
12
Pro memoria per il calcolo
delle correnti di corto-circuito
12
Allegato 2
13
Esempi di calcolo di corto-circuito
13
Considerazioni sull’uso del metodo
delle potenze di corto-circuito
15
1
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
1. Introduzione
Il corto-circuito costituisce per il gestore
di una rete una grande
preoccupazione, in ragione delle sue
conseguenze sovente catastrofiche;
per il progettista della rete, esso è uno
dei principali elementi che
condizionano la tecnica adottata ed
il costo dell’installazione.
L’uno e l’altro hanno dunque bisogno
di conoscere l’intensità delle correnti
di corto-circuito che si possono
manifestare nella rete.
Diversi metodi, talvolta condensati in
forma di grafici, sono stati elaborati per
effettuare questo calcolo;
essi giungono tutti a dei risultati
comparabili, ma con maggiore o minore
rapidità, e la scelta tra di essi dipende
da molteplici fattori.
Gli obiettivi del calcolo
i poteri di interruzione e chiusura
degli interruttori da installare,
■ la tenuta elettrodinamica dei punti
critici dell’impianto,
■ la tenuta termica dei cavi alle
sovracorrenti,
■ la regolazione (minima-massima)
dei relè di protezione,
■ la stabilità dinamica della rete,
che richiede il calcolo della corrente
di corto-circuito in funzione del tempo,
fino al termine del regime perturbato.
■
Il tipo di rete considerato
Il calcolo della rete di un utente di
bassa tensione di 400 kVA pone meno
problemi di quello di un complesso
siderurgico avente 100 MVA di potenza
installata, o anche di quello di una rete
di alta tensione di un intero paese.
Il tipo di guasto
Il guasto trifase è spesso il solo a
venire considerato perché rappresenta
generalmente il caso più sfavorevole,
con la corrente di corto-circuito più
elevata. D’altra parte il calcolo dei
guasti bifase-terra e fase-terra si rende
necessario per la regolazione delle
soglie di protezione. Inoltre può servire
conoscere sia il valore della corrente
di guasto minima, sia quello della
massima.
2
Il grado di precisione
considerato
Permette se non è troppo elevato,
di trascurare alcuni elementi difficili da
calcolare ma di modesta influenza.
Il presente studio si limita
al raggruppamento degli elementi
per effettuare rapidamente i calcoli
di corto-circuito rispondenti ai
seguenti criteri:
■ calcolo della corrente massima
di guasto trifase equilibrato,
■ con una approssimazione
da 5 a 15% per eccesso
■ per la determinazione del potere
di interruzione degli interruttori,
delle tenute termiche e dinamiche
dei quadri
■ nelle reti MT/BT di media
complessità quali si riscontrano
nella maggior parte delle industrie
e delle installazioni nel settore
terziario.
Negli altri casi:
reti molto complesse, si consiglia
l’uso di programmi computerizzati
appositamente compilati,
■ calcolo di guasti squilibrati a terra
che richiedono l’utilizzo dei componenti
simmetrici, si rimanda a testi
specialistici,
■ calcolo semplificato in BT, utilizzare
il procedimento esposto sulla Guida al
Sistema BT della MERLIN GERIN
■
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n° 1
2. Stabilimento della corrente di corto-circuito
Una rete semplificata si riconduce a un
generatore monofase, una impedenza
Zcc rappresentante tutte le impedenze
situate a monte dell’interruttore, una
impedenza del carico ZB .
Quando l’interruttore è chiuso, la
corrente di carico IB circola nella rete;
un guasto di impedenza trascurabile tra
i punti A e B dà luogo ad una corrente
di corto-circuito molto elevata Icc,
limitata unicamente dall’impedenza Zcc.
2.1 Guasto lontano
dai generatori
È il caso che si incontra più spesso
nelle reti; la lontananza non implica
necessariamente lontananza
geografica, ma sottintende che le
impedenze dei generatori siano inferiori
alle impedenze dei collegamenti tra
questi ultimi ed il punto di guasto.
Il regime transitorio è quello risultante
dall’applicazione ad un circuito ohmico
induttivo di una tensione:
i = ia + ic = 0
La figura 2 rappresenta la costruzione
grafica di "i" mediante la somma
algebrica delle ordinate delle 2
componenti ia e i c.
i = I ⋅ sen(ωt + θ)
a M
R
t
i = I ⋅ senθ ⋅ e L
c M
e=EM sen (ωt + ψ)
Zcc
R
L
A
Icc
rappresentando “e” il valore
della tensione all’istante “t”.
ZB
B
fig. 1
I valori istantanei della corrente
"i" risultano allora dalla somma di due
componenti:
IM
t
θ
ω
istante
di guasto
i = ia + ic
i = ia + ic
fig. 1
la prima alternata sinusoidale
La corrente Icc si stabilisce seguendo
un regime transitorio in funzione delle
reattanze X e delle resistenze R che
compongono l’impedenza Zcc
■
Z cc = R 2 + X 2
IM =
In corto-circuito la reattanza X=Lω è
generalmente ben più elevata che la
resistenza R, il rapporto R/X varia tra
0,15 e 0,3; per questi bassi valori esso
è praticamente uguale al cosϕ
ed essendo θ l’angolo elettrico che
caratterizza il ritardo θ/ω dell’istante
iniziale del guasto rispetto all’onda di
tensione,
cosϕ =
All’istante iniziale del corto-circuito, "i"
è nulla per definizione (trascurando la
corrente di carico IB), risulta cioè:
R +X
essendo IM la corrente massima:
EM
Z cc
■ l’altra
R
2
ia = IM sen (ωt + θ)
continua (unidirezionale)
2
Le capacità parallele degli elementi di
rete non influenzano praticamente lo
stabilimento della corrente di cortocircuito, viceversa esse giocano un
ruolo essenziale nel regime transitorio
di ristabilimento della tensione dopo
l’interruzione (frequenza propria).
Il regime transitorio di stabilimento
della corrente di corto-circuito è diverso
a seconda della posizione del punto
di guasto rispetto ai generatori.
ic = −IM ⋅ senθ ⋅ e
R
− ⋅t
L
essendo rispettivamente R ed L
la resistenza e l’induttanza totali a
monte del punto di guasto.
Il valore iniziale di ic dipende dall’angolo
θ, il suo smorzamento è tanto più
rapido quanto più il rapporto R/L è
elevato.
Si distinguono due casi estremi:
guasto ai morsetti del generatore,
■ guasto lontano dai generatori.
■
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n° 1
3
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
Si possono riscontrare i due casi
estremi illustrati dalla figura 3:
■ la componente continua è massima,
il corto-circuito si produce proprio
all’istante in cui la componente
alternata ia è massima;
la forza elettromotrice e passa
in questo istante per lo zero
(si considera ciò che è molto prossimo
a quanto avviene in pratica e cioè
che il cosϕ di corto-circuito sia
bassissimo e quindi che la corrente
di corto-circuito sia praticamente
in quadratura con la tensione).
Il regime di stabilimento si dice
asimmetrico,
■ la componente continua è nulla,
l’istante iniziale del corto-circuito
coincide con il passaggio per lo zero
della componente alternata;
la forza elettromotrice in questo istante
è massima (sempre considerando la
corrente in quadratura con la tensione).
Il regime di stabilimento si dice
simmetrico.
asimmetrico
simmetrico
i
i
IM = 2 ⋅Ieff
Icr
u
u
fig. 3: guasto lontano dagli alternatori
i
subtransitoria
transitoria
permanente
fig. 4: guasto ai morsetti di un alternatore
Icr = K ⋅ 2 ⋅Ieff
K
0,1
2
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1,9
dove Ieff: valore efficace della
componente alternata
Cos ϕ

R

 R2 + X 2
1,8



1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
R
X
fig. 5: ampiezza massima della corrente di cresta (asimmetrica)
4
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n° 1
2.2. Ampiezza massima
della corrente di cresta
(asimmetrica)
È nella condizione di asimmetria totale
che la prima cresta di corrente
raggiunge la sua ampiezza massima Icr;
questo valore è tanto più alto quanto lo
smorzamento della componente
continua è lento, in corrispondenza
con un rapporto R/X basso.
È indispensabile calcolare Icr per
determinare il potere di chiusura e gli
sforzi elettrodinamici; il suo valore si
deduce dal valore efficace della
corrente di corto-circuito simmetrica Ieff
mediante la relazione:
Icr = K ⋅ 2 ⋅Ieff
il coefficiente k è ricavabile dalla curva
di figura 5 in funzione del rapporto R/X,
più rapido da calcolare rispetto al cosϕ,
ma a cui è comunque molto vicino
per bassi valori (< 0,3).
2.3. Guasto ai morsetti
dei generatori
Il regime transitorio di stabilimento
della corrente viene complicato in
questo caso a causa della variazione
della forza elettromotrice risultante
dal corto-circuito.
Per semplificare la valutazione,
si considera la forza elettromotrice
costante, con la reattanza interna della
macchina variabile; questa reattanza
evolve nel tempo secondo
i 3 stadi:
■ reattanza subtransitoria
che interviene tra 1 e 2/100 di secondo
dopo l’istante di guasto,
■ reattanza transitoria
che si evidenzia fino a qualche decimo
di secondo,
■ reattanza permanente
da considerare dopo circa 0,3 - 0,5 sec.
Nell’ordine indicato, i valori delle 3
reattanze vanno aumentando, ciò
corrisponde a una diminuzione
progressiva della corrente di cortocircuito, rappresentata in figura 4 nei
due regimi estremi di simmetria e di
asimmetria.
La corrente di corto-circuito è allora
espressa da 4 componenti:
■ le tre componenti alternate:
subtransitoria, transitoria e permanente
■ la componente continua che risulta
dallo stabilimento della corrente nel
circuito ohmico-induttivo.
3. Calcolo delle correnti di corto-circuito
Esso si basa sul seguente principio:
la corrente di guasto è uguale a
quella attribuibile ad un generatore
unico, la cui forza elettromotrice
uguaglia la tensione nominale della
rete nel punto di guasto, che
alimenti un circuito avente
un’impedenza unica equivalente
a tutte le impedenze della rete a
monte, comprese tra i generatori
ed il punto di guasto considerato.
Un calcolo di corto-circuito si riduce
dunque alla ricerca dei valori delle
impedenze ed alla loro composizione
in un’impedenza unica.
3.1. Guasto trifase
equilibrato
La corrente Icc espressa in valore
efficace simmetrico è:
Icc =
U
3 ⋅ Z cc
con Z cc =
essendo U la tensione nominale
concatenata della rete trifase ed
essendo Zcc l’impedenza di fase
risultante.
La potenza di corto-circuito Pcc in un
punto determinato della rete è definita
dalla formula:
Pcc = 3 ⋅U⋅Icc =
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
( ΣR)2 + ( ΣX )2
Il guasto trifase è generalmente
considerato come quello che provoca
le correnti più elevate; in alcuni casi
particolari (guasti fase-terra ai morsetti
di un alternatore o di un trasformatore
con collegamento stella-zig zag)
la corrente monofase può risultare più
alta di quella del guasto trifase in
funzione di una impedenza omopolare
molto ridotta.
U2
Z cc
5
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
3.2. Guasto bifase isolato
La corrente corrispondente a questo
tipo di guasto è inferiore a quella di
guasto trifase:
Icc2 =
U
Zd + Zi
essendo Zd e Zi le impedenze dirette
ed inverse definite con il metodo
delle componenti simmetriche.
Per le linee, i trasformatori
ed approssimativamente gli alternatori
in regime subtransitorio si ha:
Zd = Zi = Zcc
il guasto bifase è allora:
Icc2 =
U
2Zcc
e non raggiunge che
3
= 0,86
2
volte il valore del guasto trifase.
3.3. Guasti a terra (bifase
e monofase)
Questi guasti interessano anche
l’impedenza omopolare Zo;
salvo i casi particolari segnalati in 3.1.
le correnti corrispondenti sono inferiori
a quelle del guasto trifase.
3.4. Determinazione
delle impedenze di rete
3.4.1. Resistenze, reattanze, capacità
Un’impedenza è per definizione
composta da resistenza e reattanza
(reattiva o capacitiva).
In regime di corto-circuito, le resistenze
sono spesso trascurabili rispetto
alle reattanze induttive, si possono
allora sostituire le impedenze
alle reattanze commettendo errori
trascurabili.
Sebbene il calcolo esteso
alle resistenze non sia molto utile
per determinare l’impedenza globale
della rete (e quindi la corrente di cortocircuito), esso permette la valutazione
del rapporto R/X e quindi del valore
massimo della corrente di cresta.
Le capacità proprie delle linee, cavi,
etc. sono in parallelo e contribuiscono
poco alla corrente di guasto, con
l’eccezione dei guasti a terra non
franchi (in sistemi a neutro isolato).
3.4.2. Impedenze in funzione
della tensione
L’espressione della potenza di cortocircuito
Pcc =
U2
Zcc
implica per definizione che Pcc è
invariabile in un dato punto della rete
indipendentemente dalla tensione;
ne risulta che tutte le impedenze che
compongono Zcc devono essere
calcolate per un’unica tensione.
Così, l’impedenza di una linea di MT
deve essere moltiplicata per l’inverso
del quadrato del rapporto di
trasformazione per il calcolo della
corrente di guasto sul lato BT del
trasformatore:
U 
ZBT = ZMT  BT 
 UMT 
2
Tutte le impedenze devono essere
calcolate in rapporto alla tensione del
punto di guasto. Da ciò può derivare
una certa complicazione e può essere
fonte di errori nei calcoli di reti con 2 o
più livelli di tensione.
I due metodi successivamente proposti
permettono di evitare queste difficoltà.
Il loro calcolo è spesso necessario per
la scelta delle regolazioni dei relè e per
le verifiche riguardanti la protezione
delle persone; per il calcolo si può fare
riferimento alle indicazioni date dalle
norme (es.: CEI 64-8) o a programmi
di calcolo evoluti per l’ottenimento di
risultati meno approssimati.
Si ricorda che:
■ per le linee ed i cavi Zo = 3 Z i = 3 Z d
■ per i trasformatori stella-triangolo
Zo = Zi = Zd
■ per gli alternatori Zo è da 5 a 10%
in regime transitorio e tra 7 e 15%
in regime permanente, dunque ben
al di sotto della reattanza diretta
(vedere tabella al punto 4.2).
6
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
3.5 Metodi di calcolo delle
correnti di corto-circuito
trifase
A. METODO DELLE IMPEDENZE
RELATIVE
Proposto da H. Rich, questo metodo
si basa sulla seguente convenzione:
le impedenze in ohms sono divise
per il quadrato della tensione
concatenata alla quale funziona la
rete nel punto in cui esse sono
inserite; esse allora divengono delle
impedenze relative.
per le linee e i cavi, le resistenze,
reattanze relative sono:
■
RR =
Rohm
U2
XR =
Xohm
U2
■ per i trasformatori, l’impedenza si
esprime in funzione della tensione
di corto-circuito percentuale "e" e della
potenza nominale Sn:
Z=
U2 e
⋅
Sn 100
da cui
ZR =
1
e
⋅
Sn 100
■ per le macchine rotanti, la formula è
identica, salvo considerare per "e"
gli opportuni valori di impedenza
(reattanza) definiti al precedente punto
2.3.
B. METODO DELLE POTENZE DI
CORTO-CIRCUITO
Questo metodo, facile da
memorizzare, è di semplice ed
immediata utilizzazione.
La sua applicazione risulta
estremamente comoda qualora si
trascurino agli effetti del calcolo i
valori di resistenza dei circuiti
(vedere 3.4.1.).
L’utilizzazione di questo metodo,
rigorosamente valido teoricamente,
perde i suoi vantaggi pratici qualora
si vogliano considerare anche i valori
di resistenza (si deve operare con
grandezze vettoriali e numeri
complessi).
Per l’applicazione, vengono calcolate
le potenze di corto-circuito di ogni
elemento della rete, considerando
ciascun elemento come alimentato
da una sorgente di potenza infinita.
■ genericamente, la potenza di cortocircuito di un elemento si esprime
come:
Pcc =
■ per
i trasformatori e le macchine
rotanti, considerando le opportune
impedenze percentuali "e" si calcola:
Pcc =
Dopo aver calcolato tutte le impedenze
relative, la potenza di corto-circuito
si determina come:
Pcc =
U2
1
=
∑Z
∑ ZR
U2
Z
Sn
⋅100
e
Le potenze di corto-circuito si
compongono con le regole seguenti:
Elementi in parallelo
(per ΣΖ si intende la somma vettoriale
delle impedenze e per ΣZR quella delle
impedenze relative).
A
Il calcolo della corrente di corto-circuito
si deduce quindi da:
B
Icc =
Pcc
3 ⋅U
=
1
3 ⋅U ⋅ ∑ ZR
Pccp = PA + PB
Per eventuali altri elementi in parallelo
si aggiungono altri addendi alla somma.
Elementi in serie
A
Pccs =
B
PA ⋅PB
PA + PB
Questa formula si può applicare
ripetutamente a diversi elementi in
serie, oppure genericamente, per n
elementi in serie si può calcolare:
1
1
1
1
=
+
+.....+
PN
Pccs PA PB
Si noti l’analogia “rovesciata” con le
formule di calcolo delle impedenze
serie e parallelo.
Calcolata la Pcc globale della rete a
monte del punto di guasto, la corrente
di corto-circuito si calcola come:
Icc =
Pcc
3 ⋅U
Utilizzando le reattanze anziché le
impedenze per il calcolo delle varie
Pcc, il valore di Icc calcolato risulterà
sicuramente approssimato
per eccesso (valori calcolati superiori
a quelli riscontrabili effettivamente
in rete).
I valori delle correnti di cresta si
possono valutare approssimativamente
per i guasti in bassa tensione mediante
la formula:
Icr = k ⋅ 2 ⋅Ieff.
con i valori di k in accordo alla
seguente tabella ricavata dalla norma
CEI EN 60947.1.
Ieff
I ≤1500
1500 < I ≤ 3000
3000 < I ≤ 4500
4500 < I ≤ 6000
6000 < I ≤10000
10000 < I ≤ 20000
20000 < I ≤ 50000
50000 < I
k
1
1,01
1,04
1,09
1,21
1,42
1,49
1,56
Per guasti in media tensione, il valore
di k = 1,56 è generalmente accettabile.
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
7
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
3.6. Composizione
delle impedenze
1
Ridurre tutte le impedenze della rete a
monte del guasto ad una sola (come
previsto dal metodo A), corrisponde a
comporre separatamente le resistenze
e le reattanze secondo le regole
classiche:
in serie essi si sommano:
X = X1 + X2 + etc....
z31
1
z1
z12
z3
■
■
3
2
1
1
1
=
+
+ etc...
X X1 X2
nell’analisi di reti magliate,
è possibile sostituire impedenze
collegate a triangolo con altre collegate
a stella e viceversa mediante le
seguenti relazioni vettoriali:
2
z23
in parallelo, si sommano gli inversi:
■
z2
3
Z12 =
Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z3 + Z3 ⋅ Z1
Z3
Z1 =
Z12 ⋅ Z31
Z12 + Z23 + Z31
Z23 =
Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z3 + Z3 ⋅ Z1
Z1
Z2 =
Z23 ⋅ Z12
Z12 + Z23 + Z31
Z31 =
Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z3 + Z3 ⋅ Z1
Z2
Z3 =
Z31 ⋅ Z23
Z12 + Z23 + Z31
4. Valori delle impedenze degli elementi della rete
Lo svolgimento dei calcoli richiede
la conoscenza dei valori numerici delle
resistenze e delle reattanze di tutti gli
elementi della rete; qualora alcuni di
essi non fossero disponibili, si potranno
adottare quelli indicati nel seguito e
riassunti nell’allegato 1.
4.1. Rete a monte
Nella maggior parte dei calcoli, non
si risale mai al di sopra del punto di
consegna dell’energia, per il quale
il distributore indica unicamente
la potenza di corto-circuito (in MVA).
L’impedenza equivalente della rete a
monte è:
Z=
U2
Pcc
(Ohm, Volt, VA)
Il cosϕ può variare da circa 0,15 a 0,2;
pertanto si possono confondere i valori
di X e Z.
Le potenze delle reti di MT fino a 30 kV
vanno generalmente da 250 MVA a
500 MVA ed occasionalmente fino a
1000 MVA.
A 60 kV si hanno generalmente valori
da 800 a 1500 MVA con casi in cui si
raggiungono o si superano i 2500 MVA.
Come già detto, si può ritenere con
buona approssimazione che il fattore
di potenza sia prossimo allo zero.
8
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
4.2. Generatori sincroni
4.3. Trasformatori
4.5. Cavi
Tenuto conto delle 3 componenti
alternate definite al punto 2.3., si hanno
in pratica 3 correnti di corto-circuito.
Ci si interesserà praticamente all’una
o all’altra a seconda dell’obiettivo
del calcolo:
■ il potere di chiusura, la tenuta
dinamica, il potere di interruzione dei
fusibili e degli interruttori rapidi-limitatori
BT sono condizionati dal regime
subtransitorio (da 1 a 2/100 di
secondo).
Analogamente si considera il regime
subtransitorio per la valutazione
dell’energia specifica limitata per la
tenuta termica dei cavi protetti con
fusibili o interruttori rapidi - limitatori,
■ il regime transitorio (fino a circa
0,5 secondi) è da considerare per la
determinazione del potere di
interruzione degli interruttori classici e
per la tenuta termica dei cavi relativi,
■ valori di corrente relativi al regime
permanente non vengono normalmente
usati nella comune pratica.
L’impedenza si calcola in funzione della
tensione di corto-circuito percentuale
"e" come:
Le reattanze dei cavi dipendono
dall’isolante e dalla distanza tra i
conduttori; un valore preciso può
essere ottenuto dal costruttore.
Approssimando per difetto si può
considerare:
■ per i cavi trifasi
X = 0,08 ohm/km in BT
X = 0,10 - 0,15 ohm/km in MT
■ per i cavi unipolari
X = 0,10 - 0,20 ohm/km
a seconda della distanza tra i
conduttori.
Si ha la consuetudine di esprimere
le impedenze delle macchine mediante
il valore "e" in % in modo tale che il
rapporto tra la corrente di corto-circuito
Icc e la corrente nominale In è:
I trasformatori a 3 avvolgimenti devono
essere sostituiti per il calcolo da un
circuito stella, del quale le impedenze
Z1, Z2, Z3 di ciascun ramo si calcola
in funzione delle impedenze Z12, Z23,
Z31 misurate alimentando
successivamente ciascun
avvolgimento, con il secondo in cortocircuito ed i terzo aperto; tutti i valori
sono rapportati alla stessa tensione:
Icc 100
=
e
In
La reattanza X coincide praticamente
con l’impedenza Z, essendo il cosϕ
circa uguale a 0,15.
I valori delle reattanze sono diversi per
i turbo-alternatori a rotore liscio e per
gli alternatori a poli salienti (per basse
velocità di rotazione), i tipici valori di "e"
riportati dalla seguente tabella:
subtransitoria
transitoria
permanente
turbo
poli
salienti
10/20
15/25
150/230
15/25
25/35
70/120
A prima vista potrebbe sembrare
sorprendente che le reattanze
permanenti superino il 100%, dando
luogo a correnti di corto-circuito inferiori
a quelle nominali.
Ma la corrente di corto-circuito è
essenzialmente induttiva e fa appello
a tutta l’energia reattiva che può fornire
l’induttore medesimo sovraeccitato
opponendole nel contempo un flusso
contrario (reazione d'indotto),
mentre la corrente nominale (con cosϕ
da 0,8 a 1) veicola essenzialmente
la potenza attiva fornita dalla turbina.
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
Z=
U2 e
⋅
Sn 100
Si può considerare la reattanza X
coincidente con l’impedenza Z, tuttavia
il rapporto R/X dei trasformatori è
abbastanza elevato per le piccole
potenze.
La tensione di corto-circuito cresce con
il livello della tensione primaria e con la
potenza nominale:
■ da 4 a 7% fino a 20 kV e 2000 kVA,
■ da 6 a 12% al di sopra.
Si raccomanda di ottenere dal
costruttore il valore esatto di "e" che
può variare entro un campo vasto,
soprattutto per i trasformatori speciali:
per esempio i trasformatori per gruppi
raddrizzatori hanno valori di "e" che
raggiungono a volte il 10÷ 12%.
Z1 =
La capacità dei cavi, da 10 a 20 volte
più alta di quella delle linee,
deve essere considerata per i guasti a
terra in sistemi con neutro isolato.
4.6. Condotti sbarre
La reattanza varia da 0,12
a 0,18 ohm/km a seconda della
distanza tra le fasi.
Il valore medio di 0,15 è accettabile.
La resistenza è generalmente
trascurabile salvo in BT al di sotto dei
200 mm2.
Z12 + Z13 − Z23
2
Z2 e Z3 si ottengono permutando
gli indici.
4.4. Linee aeree
La reattanza di una linea cresce
leggermente con la distanza
dei conduttori, quindi con la tensione
di utilizzazione:
■ linee MT o BT
X = 0,3 ohm/km
■ linee AT o MT
X = 0,4 ohm/km.
9
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
4.7. Motori e compensatori
sincroni
Il comportamento di queste macchine
in corto-circuito è assimilabile a quello
dei generatori; essi contribuiscono ad
alimentare il corto-circuito in funzione
della loro reattanza "e" in %:
subtransitoria
transitoria
permanente
motori
alta
velocità
motori
bassa
velocità
compensatori
15
25
80
35
50
100
25
40
160
4.8 Motori asincroni
Un motore asincrono separato
bruscamente dalla rete mantiene ai
suoi morsetti una tensione che si
smorza in qualche centesimo di
secondo.
Se c’è un corto-circuito ai morsetti,
il motore fornisce una corrente che si
annulla ancora più rapidamente con
una costante di tempo media di:
■ 1/100 s per motori a semplice gabbia
fino a 100 kW,
■ 2/100 s per doppia gabbia e più
di 100 kW
■ da 3 a 5/100 s per motori molto
grossi (1000 kW) a rotore avvolto.
Il motore asincrono funziona in caso
di corto-circuito come un generatore
al quale si attribuisce un’impedenza
(solamente subtransitoria) dal 20
al 25%.
La corrente di ritorno di queste
macchine su un guasto si calcola
tenendo conto della riduzione risultante
dalle impedenze spesso importanti
(cavi lunghi) tra il motore ed il punto di
guasto, così, la corrente di ritorno dei
motori BT verso un guasto localizzato
in MT è trascurabile (è anche limitata
dall’impedenza dei trasformatori),
salvo casi particolari di motori di grossa
potenza o di gruppi di motori.
È per questo che è pratica comune
considerare globalmente il contributo
alla corrente di guasto dell’insieme dei
motori asincroni BT di un impianto,
comparandoli ad una sorgente unica,
che fornisce sulle sbarre una corrente
uguale a 3 o 4 volte la somma delle
correnti nominali di tutti i motori
installati (valori bassi per cavi lunghi
ed alti per cavi corti).
4.9. Condensatori
Una batteria importante di condensatori
allacciata in prossimità del punto di
guasto si scarica aumentando così
la corrente di corto-circuito.
Questa scarica (oscillante smorzata)
è caratterizzata da una prima cresta
di valore elevato che si sovrappone
alla prima cresta della corrente di cortocircuito, sebbene la sua frequenza sia
molto superiore a quella della rete.
Se l’istante del guasto coincide con uno
zero di tensione, la corrente di scarica
della capacità è nulla, mentre la
corrente di corto-circuito è asimmetrica,
con una prima cresta di ampiezza
massima.
Inversamente, se l’istante iniziale
del guasto coincide con un massimo
della tensione, la batteria fornisce una
corrente che si sovrappone ad una
prima cresta della corrente di guasto
di basso valore, poiché tale corrente
risulta simmetrica.
È poco probabile che, anche per
delle batterie di grossa potenza, questa
sovrapposizione provochi una prima
cresta più elevata della cresta
asimmetrica.
Si può quindi ritenere che le batterie
di condensatori non influenzino
significativamente la corrente di cortocircuito.
Gli impianti industriali comprendono
in BT un grande numero di motori di
bassa potenza unitaria; all’atto del
corto-circuito, spesso si ignora il
numero di motori in servizio che vanno
ad alimentare il guasto.
4.10. Impedenze diverse
Sarebbe tedioso ed inutile calcolare
individualmente la corrente di ritorno di
ciascun motore tenendo conto della
sua impedenza di collegamento.
Altri elementi possono aggiungere
impedenze non trascurabili,
per esempio quelle dei trasformatori
di corrente a primario avvolto:
Se sono presenti nella rete induttanze
destinate specificatamente a limitare
la corrente di corto-circuito, se ne deve
debitamente tener conto nei calcoli.
4.11. Apparecchiature
Alcune apparecchiature: interruttori,
contattori a soffio magnetico, relé
diretti, hanno un’impedenza di cui
si può tener conto (se il costruttore
lo indica).
Non si deve invece tener conto di tutte
le apparecchiature ad intervento
istantaneo situate immediatamente
a monte del guasto, in particolare
degli interruttori BT rapidi-limitatori
e dei fusibili.
Infatti, la loro impedenza interna
è già inclusa nella definizione di
potere di interruzione; questo è
riferito alla corrente di corto-circuito
“presunta” che si svilupperebbe nel
circuito in assenza dell’apparecchio,
ma non alla corrente effettiva
limitata dalle impedenze interne che
esso introduce (resistenza,
induttanza, arco).
4.12. Arco di guasto
La corrente di corto-circuito è spesso
stabilita attraverso un arco avente una
resistenza di valore apprezzabile
anche se molto fluttuante.
La caduta di tensione su un arco di
guasto è compresa tra 100 e 300 V.
In media tensione, questa caduta è
trascurabile in rapporto alla tensione
di rete, e l’arco non ha influenza
riduttrice sulla corrente di corto-circuito.
In bassa tensione, per contro,
la corrente reale di guasto con arco Ia
è tanto più limitata in rapporto alla
corrente calcolata (guasto franco,
imbullonato) quanto più la tensione
è bassa.
Per tenerne conto, l’esperienza ha
mostrato che è sufficiente applicare
un coefficiente di riduzione alla
corrente di corto-circuito franco Icc.
La corrente di guasto con impedenza
d’arco Ia si deduce da Icc mediante
l’espressione:
Ia =
Icc
1,3 ÷ 2
per tensioni da 220 a 380 V.
X = da 0,01 a 1 mohm in funzione
del tipo e del rapporto.
10
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
5. Applicazioni
■ I principi espressi ed i valori numerici
delle impedenze sono riassunti
sull’allegato 1 “pro memoria”,
■ esempi di calcolo sono sviluppati
nell’allegato 2,
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
effettuato il calcolo della corrente
di corto-circuito, si utilizzeranno
principalmente i risultati per:
■ la determinazione della tenuta
termica dei cavi alle sovracorrenti
di breve durata, tenendo conto
degli abbattimenti effettuati dai
dispositivi limitatori (quando presenti),
■
la determinazione della tenuta
elettrodinamica,
■ la taratura delle protezioni.
■
11
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
Allegato 1
Pro memoria per il calcolo delle correnti di corto-circuito
U
Corto-circuito trifase
Icc =
Impedenze relative
Z
ZR = cc
U2
Rete a monte
Z =
Generatori sincroni
Z=
3 ⋅ Zcc
Pcc =
U2
Pcc
Z=
U2
Z cc
1
ZR
R
≅ 0,15
X
U2 e
⋅
Sn 100
R
≅ 0,15
X
e (%)
turbo
poli salienti
Trasformatori
Pcc = 3 ⋅U⋅Icc =
Z cc = R 2 + X 2
Pcc = Sn ⋅
subtransitoria
10/20
15/25
U2 e
⋅
Sn 100
transitoria
15/25
25/35
Pcc = Sn ⋅
100
e
permanente
150/230
70/120
100
e
per trasformatori di distribuzione 20 kV/380 V:
Linee aeree
kVA
e (%)
X2 (mohm)
R2 (mohm)
2000
6
4,6
0,9
BT/MT MT/AT -
X = 0,3 ohm/km
X = 0,4 ohm/km
R = ρ⋅
l
S
1250
5
6,2
1,5
1000
5
7,7
1,9
800
4,5
8,6
2,5
ρ = 18 ⋅10−3 ohm
mm2
m
(Cu)
ρ = 28 ⋅10−3 ohm
mm2
m
(Al)
ρ = 33 ⋅10−3 ohm
mm2
m
(Almelec)
Cavi
trifasi
unipolari
Condotti sbarre
X ~ 0,15 ohm/km
Motori e compensatori
e (%)
motori alta velocità
motori bassa velocità
compensatori
Motori asincroni
Z=
U2 20 ÷ 25
⋅
Pn
100
Archi di guasto
Ia =
Icc
1,3 ÷ 2
12
1600
6
5,9
1,1
630
4
9,9
2,6
400
4
15
4,6
315
4
19
6,4
200
4
30
11
100
4
58
28
X : 0,08 ohm/km in BT, da 0,10 a 0,15 in MT
X: da 0,1 a 0,2 ohm/km
subtransitoria
15
35
25
transitoria
25
50
40
permanente
80
100
160
solamente subtransitoria
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
Allegato 2
Esempi di calcolo
di corto-circuito
Si propongono qui due esempi di
calcolo eseguiti seguendo i due diversi
metodi illustrati.
I risultati sono diversi per le diverse
approssimazioni (lecite in qualche
caso) introdotte nei calcoli.
L’utilizzazione di un metodo o di un
altro potrà essere decisa tenendo conto
della precisione dei dati disponibili
al momento del calcolo e della
precisione desiderata per i risultati,
oltre che dalla maggiore o minore
semplicità dei calcoli.
Due trasformatori da 1000 kVA
alimentano in parallelo le sbarre di BT
a cui sono collegati i carichi, tra cui il
motore M, allacciato mediante un cavo
lungo 200 metri.
Si suppone che 20 motori da 50 kW,
allacciati con cavi identici, siano tutti in
servizio al momento del guasto.
X (ohm)
V
rete
500 MVA
20 kVA
linea aerea 2 km,
s = 50 mm2, Cu
A
R (ohm)
(20 ⋅10 )
2
3
= 0,8
500 ⋅10
6
0,4 ⋅ 2 = 0,8
(20 ⋅10 )
Pcc (MVA)
×0,15 = 0,12
500
18 2 ⋅103
⋅
= 0,72
50
103
20 ⋅103
U2
=
X
0,8
×0,15 = 9
S⋅
(
)
2
⋅10−6 = 500
2
3
alt. 1 MVA - Zsubt 15%
20 KV
A fianco dello schema sono riportati
tutti i valori di X e di R degli elementi
della rete ed i valori delle potenze
di corto-circuito calcolate per ciascun
elemento.
I valori di resistenza e reattanza
indicati sono calcolati per le linee, le
sbarre ed i cavi; per le reti, i generatori
ed i trasformatori, esse sono dedotte
dalle reattanze percentuali (assimilate
alle impedenze ) assumendo un valore
teorico.
Le potenze di corto-circuito sono
calcolate trascurando la componente
resistiva delle impedenze
(con l’eccezione del cavo di
alimentazione del motore M).
L’impianto allo studio è rappresentato
dallo schema seguente.
La rete a 20 kV alimenta mediante una
linea aerea lunga 2 km le sbarre di una
cabina di trasformazione MT/BT; un
alternatore della potenza di 1 MVA
alimenta in parallelo queste sbarre.
1⋅106
⋅
15
= 60
100
100
100
= 1⋅
= 6,667
15
e
20 kV ▲
380 V ▼
1000 kVA e = 5%
(1 MVA)
5
3,61
1 ( 380 )
⋅
⋅
=
2 1⋅106 100 103
2
×0,2 =
0,722
103
2⋅S⋅
100
100
= 2 ⋅1⋅
= 40
e
5
B
380 V
10 m
sbarre
1,5
0,15
10 m
⋅10 = 3
3
10
10
2
S = 1200 mm
cavo
200 m
S = 100 mm2
0,1⋅ 0,2 =
20
103
10
0,15
18
⋅
=
103 1200 103
U2 3802
=
⋅103 ⋅10−6 = 96,267
X
1,5
18 200 36
⋅
=
103 100 103
U2 3802
=
⋅103 ⋅10−6 = 7,22
X
20
3802
U2
=
⋅103 ⋅10−6 = 3,506
Z
41,183
C
M
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
50 kW
e = 25%
( 380 )2
25
722
⋅
=
50 ⋅103 100 103
×0,2 =
144
103
13
Calcolo pratico
delle correnti di corto-circuito
ESEMPIO “A”
La corrente in B sarà:
Vengono calcolate le correnti di cortocircuito:
■ nel punto A sulle sbarre di MT
(considerate di impedenza
trascurabile),
■ nel punto B sulle sbarre di BT a 10
metri dai trasformatori,
■ nel punto C ai morsetti del motore M.
IB =
Quindi si analizzano le correnti di
ritorno dei motori nei punti B, C ed A.
1. Guasto in A (sbarre di MT)
L’impedenza rete + linea è in parallelo
con l’impedenza dell’alternatore;
ma quest’ultima, molto più grande, può
essere quindi trascurata:
X A = 0,8 + 0,8 = 1,6 ohm
= 37.774 A
Considerando il rapporto R/X = 0,207
si ricava una corrente di cresta
di 83 kA.
Se si vuole tenere conto dell’arco
di guasto (4.12.), IB si deve dividere
per un coefficiente tra 1,3 e 2,
determinando dunque correnti tra
29.000 e 19.000 Ampere.
3. guasto in C
(morsetti del motore M)
L’impedenza del cavo si somma a ZB
Xc = XB + 20 ⋅10−3 = 25,688 ⋅10−3 ohm
Rc = RB + 36 ⋅10−3 = 37,175 ⋅10−3 ohm
RA = 0,12 + 0,72 = 0,84 ohm
ZA =
380
3 ⋅ 5,808 ⋅10−3
Zc = 45,187 ⋅10−3 ohm
X A2 + RA2 = 1,807 ohm
La corrente in C sarà allora:
La corrente in A:
IA =
20 ⋅10
3
3 ⋅1,807
Ic =
= 6.390 A
Il rapporto R/X= 0,525 dà (riferendosi
alla curva di figura 5) un coefficiente
k = 1,21, quindi la corrente di cresta
asimmetrica diventa:
Icr = 1,21⋅ 2 ⋅ 6.390 = 10.935 A = 10,935 kA
2. guasto in B (sbarre di BT)
Le X e le R calcolate a 20 kV devono
essere moltiplicate per il quadrato
dell'inverso del rapporto di
trasformazione (3.4.2) per essere
sommate alle X e R calcolate a 380V.
Questo rapporto vale:
2
 380 
−3

 = 0,361⋅10
 20000 
380
3 ⋅ 45,187 ⋅10
3
= 4.855 A
Si può rilevare quanto sia importante la
limitazione introdotta dal cavo.
guasto in B
La corrente fornita da un motore si
calcola considerando l’impedenza di
motore + cavo
■
XM = ( 722 + 20 ) ⋅10−3 = 742 ⋅10−3 ohm
ZM = 763,521⋅10−3 ohm
Calcolo di ZB:
da cui IM = 287,54 A.
XB = ( X A ⋅ 0,361+ 3,61+ 1,5 ) ⋅10
= 5,688 ⋅10
−3
ohm
Si noti l’importanza ridotta della
reattanza della MT a monte dei
trasformatori rispetto a quella dei due
trasformatori in parallelo;
al contrario, la reattanza dei 10 metri
di sbarre BT non è affatto trascurabile.
quindi 3 x 95 x 20 = 5.700 A
Si noti che questa cifra è molto vicina
a quella calcolata per IMB (5.751 A).
guasto in C
L’impedenza da considerare è 1 ⋅ ZM
aumentata di quella di un cavo: 19
■
 742

XMC = 
+ 20 ⋅10−3 = 59,053 ⋅10−3 ohm
 19

 180

+ 36 ⋅10−3 = 45,474 ⋅10−3 ohm
RMC = 
 19

ZMC = 74,533 ⋅10−3 ohm
da cui si ricava IMC = 2.944 A
Questo valore relativamente basso
porta la corrente totale in C a:
2.944 + 4.855 = 7.799 A
Il valore calcolato può essere usato per
la verifica della tenuta agli sforzi
elettrodinamici dei morsetti del motore
(generalmente non critica).
guasto in A
Piuttosto che calcolare le impedenze
equivalenti, si può stimare la corrente
di ritorno dei motori in A,
semplicemente moltiplicando il valore
trovato in B per i rapporto di
trasformazione BT/MT (la stima così
effettuata risulta approssimata per
eccesso poiché in tal modo si trascura
la riduzione di corrente prodotta dalla
impedenza delle sbarre).
■
4. correnti di ritorno dei motori BT
E’ prassi diffusa considerare i motori
come dei generatori indipendenti, che
alimentano il guasto con una “corrente
di ritorno” che si sovrappone alla
corrente di guasto della rete.
RM = (144 + 36 ) ⋅10−3 = 180 ⋅10−3 ohm
−3
Invece di effettuare questo calcolo,
si potrebbe stimare (4.8.) la corrente
fornita dai motori a 3 volte la loro
corrente nominale (95 A):
5.751⋅
380
= 190 A
20000
Questa cifra comparata ai 6390 A
calcolati al punto 1 può considerarsi
trascurabile.
Per i 20 motori IMB = 5.751 A;
dal rapporto R/X = 0,243 si ricava
una corrente di cresta di 11.800 A.
La corrente di corto-circuito
(subtransitoria) sulle sbarre BT (punto
B) passa da 37.774 a 43.525 A
ed il corrispondente valore di cresta
da 83 a 94,8 kA.
RB = (RA ⋅ 0,361+ 0,722 + 0,15 ) ⋅10−3 = 1,175 ⋅10−3 ohm
da cui
ZB = 5,808 ⋅10−3 ohm
14
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
ESEMPIO “B”
Analogamente a quanto fatto per
l’ESEMPIO “A” , ma utilizzando ora il
metodo delle potenze di corto-circuito,
vengono calcolate le correnti di cortocircuito nei punti A, B e C della stessa
rete.
Quindi si valuta il contributo dato dai
motori al corto-circuito sulle sbarre BT
(punto B).
Non viene invece calcolato il contributo
dei motori nei punti A e C poiché, come
si è già visto, l’importanza dei risultati è
generalmente trascurabile in casi
analoghi.
Non vengono considerate anche le
correnti di cresta, per la cui valutazione
si rimanda alla trattazione del paragrafo
3.5.B.
1. guasto in A (sbarre di MT)
La potenza di corto-circuito della serie
rete + linea è:
PA =
500 ⋅ 500
= 250 MVA
500 + 500
Con considerazione analoghe a quelle
dell’Esempio “A” 1, possiamo
affermare che, essendo la potenza di
corto-circuito dell’alternatore molto più
bassa di quella della serie ora
considerata, la sua influenza si può
trascurare.
La corrente in A si calcola pertanto
come:
IA =
PA
3V
=
250 ⋅106
3 ⋅ 20000
2. guasto in B (sbarre di BT)
La potenza di corto-circuito
immediatamente a valle dei
trasformatori è:
PCCT =
PA ⋅PT
250 ⋅ 40
=
= 34,483 MVA
PA + PT 250 + 40
Ora, considerando la Pcc delle sbarre,
si può direttamente calcolare PB come:
PB =
34,483 ⋅ 96,267
= 25,389 MVA
34,483 + 96,267
PC(X) =
IC(X) =
■
25,389 ⋅106
3 ⋅ 380
= 38.575 A
3. guasto in C
(morsetti del motore M)
Determinato il livello di corto-circuito
sulle sbarre BT, si potrà calcolare
il livello di guasto in C in due modi,
cioè facendo riferimento alla sola
reattanza del cavo oppure alla sua
impedenza.
Il primo modo dà risultati cautelativi
(approssimati per eccesso) ed è
generalmente accettabile nel caso
di cavi di grossa sezione;
viceversa il secondo è consigliabile
per cavi di sezione inferiore.
25,389 ⋅ 7,22
= 5,621MVA
25,389 + 7,22
5,621⋅106
3 ⋅ 380
= 8.540 A
facendo riferimento all'impedenza:
PC(Z) =
da cui:
IB =
Il calcolo delle potenze di corto-circuito
e delle correnti nei due modi previsti
risulta differente:
■ facendo riferimento alla sola
reattanza del cavo:
IC(Z) =
25,389 ⋅ 3,506
= 3,081MVA
25,389 + 3,506
3,081⋅106
3 ⋅ 380
= 4.682 A
Si noti come IC (Z) risulti di valore poco
diverso da quello calcolato con
l’Esempio “A”.
4. correnti di ritorno dei motori BT
Se ne può semplicemente tener conto
valutando la potenza di corto-circuito
fornita dall’insieme dei motori in
parallelo sul punto di guasto con gli
stessi coefficienti definiti per le correnti
al paragrafo 4.8..
Si può calcolare quindi:
PM =
ΣPn
( η ⋅ cos ϕn )
⋅3 =
20 ⋅ 50
⋅ 3 ⋅10−3 = 3,75 MVA
0,8
Avremo allora in totale sul punto B:
PMB = PB + PM = 25,389 + 3,75 = 29,139 MVA
IMB =
= 7.217 A
29,139 ⋅106
3 ⋅ 380
= 44.272 A
La differenza sensibile con il dato
corrispondente dell’Esempio “A” deriva
dall’aver ora trascurato le resistenze
del sistema.
Si noti che la rete MT in esame è
piuttosto anomala per la presenza di
una linea con un elevato valore del
rapporto R/X.
Considerazioni sull’uso del metodo delle potenze
di corto-circuito
Dall’esempio dato, si nota che l’utilizzo
di questo metodo nella forma proposta,
al vantaggio della semplicità e rapidità
del calcolo, contrappone risultati meno
precisi rispetto a metodi di calcolo
tradizionali a causa delle
approssimazioni introdotte.
MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n 1
Tuttavia, l’effetto di queste
approssimazioni non è tale da
annullare la validità del metodo,
specie se esso viene utilizzato per
il calcolo di reti prevalentemente
induttive e per calcoli preliminari,
con approssimazione ed
indeterminatezza dei dati disponibili
comparabile e anche maggiore di
quelle introdotte dal metodo di calcolo.
Inoltre, trascurando nel calcolo la
presenza delle resistenze, si ottengono
valori di corrente più elevati.
Si garantisce così un margine di
sicurezza maggiore per le scelte da
farsi in funzione dei calcoli eseguiti.
15
Schneider Electric S.p.A.
20041 AGRATE (MI) Italia
Tel. 039 6558111
Fax 039 6056900
www.schneiderelectric.it
In ragione dell’evoluzione delle Norme e dei materiali, le
caratteristiche riportate nei testi e nelle illustrazioni del presente
documento si potranno ritenere impegnative solo dopo
conferma da parte di Schneider Electric.
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