1953-1954 - Docenti.unina

Anno accademico 1953-1954
Due fili conduttori paralleli 𝐴, 𝐵 e 𝐴’, 𝐵’ di lunghezza 𝐿, di sezione costante e
costituiti di un materiale omogeneo, formano una linea elettrica (bifilare) di
resistenza complessiva 2𝑅 ai cui capi 𝐴 e 𝐴’ sono connessi ordinatamente i poli di
un elettromotore di f.e.m. 𝐸 di resistenza interna trascurabile. In un certo istante,
per cause accidentali un punto 𝑥 del filo 𝐴𝐵 viene a trovarsi collegato
elettricamente attraverso una resistenza parassita 𝜌 col punto più vicino 𝑥’
dell’altro filo. Misurando allora (in assenza di utenti) la resistenza della linea 𝐴 e
𝐴’ si trova per essa un valore 𝑎, mentre invece si trova un valore 𝑏 qualora si
mettano a contatto diretto gli estremi 𝐵 e 𝐵’.
Si determini:
𝑎) la distanza 𝑥 del punto 𝐶 dall’estremo 𝐴;
𝑏) il valore della resistenza parassita;
𝑐) l’abbassamento della differenza di potenziale che, avvenuto l’incidente, si è
verificato, sempre in assenza di utenti, tra gli estremi 𝐵 e 𝐵’;
𝑑) la potenza che in tale evento si è dissipata nel circuito.
Si faccia poi il calcolo numerico per il caso particolare:
𝐿 = 50 𝑘𝑚 , 𝑅 = 590 Ω , 𝑎 = 805 Ω , 𝑏 = 780 Ω , 𝐸 = 100 𝑉 .
La traccia proposta, dal punto di vista didattico, rappresenta un ottimo esercizio
per allenarsi sui circuiti elettrici e prende spunto dal problema della distribuzione
dell’energia elettrica lungo gli elettrodotti. Per un ingegnere elettrico
l’elettrodotto è un’infrastruttura di rete destinata al trasporto di energia elettrica,
comprendendo in tale accezione sia le linee elettriche aeree, sia le linee interrate
in cavo ovvero i cavidotti. L’insieme di tutti gli elettrodotti costituisce la rete
elettrica primaria, sulla quale vengono amministrate la trasmissione dell’energia
elettrica, vale a dire il trasferimento di energia ad alta tensione su grandi distanze,
e la distribuzione dell'energia elettrica, cioè il trasferimento di energia a tensione
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media e bassa sul territorio fino agli utenti finali. La costituzione e le
caratteristiche degli elettrodotti sono fortemente variabili, principalmente in
funzione della tensione operativa e dal fatto che la trasmissione avvenga in
corrente continua oppure in corrente alternata. Nel caso in esame si suppone di
operare in corrente continua.
Una curiosità prima di entrare nel vivo dell’esercizio: nel 1953 partecipò alla
selezione per l’ingresso alla Normale anche il fisico italiano Carlo Rubbia, che,
assieme all'ingegnere olandese Simon van der Meer, riceverà il premio Nobel per
la Fisica nel 1984 per la scoperta, avvenuta un anno prima, delle particelle
responsabili dell'interazione debole, cioè i bosoni vettoriali 𝑊 + , 𝑊 − e 𝑍,
confermando anche la teoria dell'unificazione della forza elettromagnetica e della
interazione debole nella forza elettrodebole.
𝑎) La prima situazione proposta rappresenta un guasto che, per motivi
accidentali, si può presentare lungo le linee e si può schematizzare come mostrato
nella figura che segue. Vale la pena specificare che un guasto è un danno oppure
una rottura che compromette il regolare funzionamento di un sistema o di un
macchinario. Con la locuzione modo di guasto si intende il fenomeno esterno che
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rende visibile il disturbo. Con la locuzione meccanismo di guasto si intende invece
il processo chimico, fisico o di altra natura che è la causa del danno. Ad esempio
un modo di guasto può essere una frattura meccanica, mentre un meccanismo di
guasto può essere la corrosione metallica.
Quando si esegue la prima misura gli estremi 𝐵 e 𝐵′ non sono a contatto e la
corrente, come suggerisce lo schema di seguito riportato, fluisce nel tratto 𝐴𝐶 del
primo conduttore e 𝐶 ′ 𝐴′ del secondo conduttore, entrambi di lunghezza 𝑥, nonché
attraverso il resistore 𝜌.
Ricordando che le resistenze sono proporzionali alla distanza, il valore di
resistenza misurato dal generatore sarà pari a
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𝑥
𝑥
𝑎 = 2𝑅 + 𝜌 = 2𝑅𝜉 + 𝜌 , essendo 𝜉 = .
𝐿
𝐿
Durante la seconda misura in cui 𝐵. e 𝐵′ sono in contatto elettrico ed il resistore 𝜌
viene a trovarsi in parallelo con il resistore costituito dai conduttori 𝐶𝐵𝐵′𝐶′ di
lunghezza 2(𝐿 − 𝑥). La resistenza complessiva vista dai capi del generatore di
tensione include anche una parte del precedente contributo, essendo pari a
𝑏 = 2𝑅𝜉 + 𝜌 ∥ [2𝑅(1 − 𝜉)] = 2𝑅𝜉 +
2𝑅(1 − 𝜉)𝜌
.
2𝑅(1 − 𝜉) + 𝜌
Si osserva che, mettendo in parallelo due resistori
𝑅∥ = 𝑅1 ∥ 𝑅2 =
𝑅1 𝑅2
,
𝑅1 + 𝑅2
si ottiene un valore di resistenza mai maggiore delle due resistenze componenti il
parallelo, sicché
𝑅∥ ≤ 𝑅1 , 𝑅∥ ≤ 𝑅2 .
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Applicata al caso in esame, questa proprietà consente di scrivere che
𝑏 = 2𝑅𝜉 + 𝜌 ∥ [2𝑅(1 − 𝜉)] ≤ 𝑏 = 2𝑅𝜉 + 𝜌 = 𝑎 → 𝑎 ≥ 𝑏 .
Escludendo il caso limite 𝑎 = 𝑏, che si verifica quando 𝑅 → ∞, si può concludere
che vale la disuguaglianza
𝑎>𝑏,
peraltro rispettata dai dati assegnati.
Mettendo a sistema le due relazioni scritte, dopo aver operato il minimo comun
denominatore nella seconda, si ottiene
{
2𝑅𝜉 + 𝜌 = 𝑎 ,
(2𝑅𝜉 − 𝑏)[2𝑅(1 − 𝜉) + 𝜌] + 2𝑅(1 − 𝜉)𝜌 = 0 .
Si tratta di un sistema di due equazioni, una di primo grado ed un’altra di secondo
grado, nelle due incognite, la distanza adimensionale 𝜉 e la resistenza 𝜌.
Esplicitando entrambe le equazioni rispetto alla resistenza 𝜌, risulta
𝜌 = 𝑎 − 2𝑅𝜉 ,
{
4𝑅2 𝜉 2 − 2𝑅(𝑏 + 2𝑅)𝜉 + 2𝑏𝑅
𝜌=
.
2𝑅 − 𝑏
Si nota chiaramente che si tratta di una intersezione tra una retta ed una parabola,
per cui, eliminando la resistenza 𝜌 dalle due precedenti equazioni, non è difficile
ottenere un’equazione di seconda grado nell’incognita 𝜉
4𝑅2 𝜉 2 − 4𝑏𝑅𝜉 − 2𝑅(𝑎 − 𝑏) + 𝑎𝑏 = 0 ,
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le cui due soluzioni sono
𝜉=
𝑥 𝑏 ± √(2𝑅 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
=
.
𝐿
2𝑅
Sapendo già che 𝑎 > 𝑏, per l’esistenza del radicando si può affermare che
2𝑅 > 𝑏 .
Anche per questi parametri si è escluso il caso limite 𝑏 = 2𝑅, dato che esso implica
che il guasto si verifichi proprio in corrispondenza della sezione terminale 𝐵𝐵′ del
circuito. Inoltre, la retta in blu e la parabola in rosso sono mostrate nella figure
che segue, riportando in ascisse la variabile 𝜉.
Non è immediato comprendere quale delle due precedenti soluzioni abbia un
senso fisico e quindi eliminarne una: nemmeno la sostituzione dei dati assegnati
dipana la matassa, dato che
7
𝜉+ =
44
34
≅ 0.746 , 𝜉− =
≅ 0.576 .
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Solo lo studio dell’altra soluzione del sistema 𝜌 può fornire altri indizi, per
scoprire la vera soluzione. Una risposta completa verrà data al punto successivo,
ma, osservando il grafico, si può già con chiarezza considerare che una delle due
resistenze 𝜌 è negativa.
𝑏) Il valore della resistenza parassita 𝜌 si ottiene dalla relazione
𝜌 = 𝑎 − 2𝑅
𝑥
= 𝑎 − 𝑏 ∓ √(2𝑅 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) .
𝐿
Quale soluzione abbia un significato fisico è presto detto: sono accettabili quelle
soluzioni per cui il valore di 𝜌 sia positivo. Allora, sostituendo i valori numerici, si
ottengono le due soluzioni
𝜌 = (25 ∓ 100) Ω .
Si intuisce che una sola è la soluzione fisicamente corretta, essendo l’altra
negativa, per cui la coppia soluzione fisica del sistema vale
𝜉=
34
34
48
, 𝜌 = 125 Ω → 𝑥 =
∙ 50 𝑘𝑚 = (28 + ) 𝑘𝑚 ≅ 28.81 𝑘𝑚 .
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𝑐) La differenza di potenziale 𝑉𝐵𝐵′ coincide con quella ai capi della resistenza 𝑉𝐶𝐶′
in condizioni di guasto e quindi, in assenza di utenti, vale la relazione
𝑉𝐶𝐶′ = 𝜌𝐼 = 𝜌
𝐸 𝐸
2500
= [𝑎 − 𝑏 + √(2𝑅 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)] =
𝑉 ≅ 15.5 𝑉 .
𝑎 𝑎
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dove 𝐼 = 𝐸/𝑎 rappresenta la corrente che fluisce nel tratto 𝐴𝐶𝐶′𝐴′.
𝑑) La potenza 𝑃 assorbita dal circuito durante l’evento di guasto è uguale a quella
erogata dal generatore e vale
𝑃 = 𝐸𝐼 =
𝐸 2 2000
=
𝑊 ≅ 12.4 𝑊 .
𝑎
161
Prima di concludere questo esercizio, vale la pena fare qualche altra osservazione
sui dati assegnati. Ricordando l’espressione trovata della resistenza
𝜌 = 𝑎 − 𝑏 ∓ √(2𝑅 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) ,
si piò verificare il caso in cui
𝑎 − 𝑏 > √(2𝑅 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
→ 𝑎 > 2𝑅 .
In questa situazione si riscontra che le due soluzioni per la resistenza sono
entrambe positive, come si evince dal grafico riportato nella figura che segue ed
ottenuto mantenendo inalterato il valore di tutti i parametri, tranne quello del
parametro 𝑎 = 1500 Ω > 2𝑅. Sembra di essere finiti in un caso di indecidibilità,
ma non è così: se si osserva con attenzione il grafico, si conclude che la seconda
soluzione positiva deve comunque essere scartata, dato che essa si trova al di
fuori della linea, essendo l’ascissa di soluzione
𝑥 39 + 12√5
=
>1.
𝐿
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In ogni caso, dunque, si può scegliere la soluzione fisicamente consistente e dare
una risposta univoca al problema.
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Il regime stazionario, comunque, proprio per la sua idealità che impone in ogni
istante di tempo tensioni e correnti costanti, può dar luogo a situazioni di
indecidibilità.
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