analisi matematica 1 e algebra lineare - eserciziario boella

Marco Boella
t
ANALISI MATEMATICA 1
E ALGEBRA LINEARE
Eserciziario
Seconda edizione
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lucro o di profitto
Sommario
VI
Sommario
Capitolo 4 Funzioni - Proprietà generali
18'
4.1 Esercizi svolti e richiami di teoria
4.1.1 Definizioni preliminari
4.1.2 Le principali funzioni elementari
4.1.3 Alcune proprietà delle funzioni
4.1.4 Grafici di funzioni
103
103
4.2 Esercizi proposti
126
Capitolo 5 Limiti e continuità
5.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
Verifica di limiti con la definizione metrica
Funzioni continue
Algebra dei limiti, forme d'indecisione
Equivalenza asintotica, o-piccolo.
Infiniti e infinitesimi
5.2 Esercizi proposti
5.2.l Suggerimenti
109
120
123
12'
129
129
134
136
146
155
157
Capitolo 6 Successioni e serie
6.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
Successioni
Serie numeriche
Serie a termini positivi
Serie a termini di segno qualsiasi
6.2 Esercizi proposti
6.2.l Suggerimenti
Capitolo 7 Calcolo differenziale e applicazioni
7.1
1
Esercizi svolti e richiami di teoria
7.1.1 Applicazioni delle derivate
7.1.2 Studio del grafico di una funzione
7.2 Esercizi proposti
Capitolo 8 Calcolo integrale e applicazioni
8.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
8.1.1 Integrazioni per parti
8.1.2 Integrazione delle funzioni razionali
8.1.3 Integrazione per sostituzione
245
248
Sommario
8.1.4 Integrali impropri
8.1.5 Applicazioni
8.1.6 Funzioni integrali
13
13
)3
l9
VII
274
284
287
8.2 Esercizi proposti
295
9.1
Esercizi svolti e richiami, di teoria
299
9.1.1 Algebra delle matrici e dei vettori
9.1.2 Combinazione lineare di vettori.
Rango di una matrice. Determinante
9.1.3 Matrici inverse
9.1.4 Sistemi lineari. Impostazione e soluzione
9.1.5 Sistemi lineari. Interpretazione geometrica
e discussione
9.1.6 Spazi vettoriali e sottospazi, dimensione
9.1.7 Applicazioni lineari
9.1 .8 Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione
9.1.9 Ortogonalità
9.1.10 Matrici simmetriche e forme quadratiche.
Similitudine
299
~o
~3
:6
9
9
9
4
6
·6
5
i7
9
9
9.2 Esercizi proposti
;9
'O
'3
7
9.2.1 Suggerimenti
3
6
1
7
4
5
3
7
7
5
8
9
307
319
322
327
343
355
367
380
390
406
410
l
l
1
Simbologia
Nel corso del libro, sono stati utilizzati i simboli seguenti:
AUB
unione insiemistica di A e B:
tutti gli elementi che appartengono ad A o a B.
intersezione insiemistica di A e B:
tutti gli elementi che appartengono ad A e a B .
A e B coincidono (sono composti dagli stessi elementi).
A è un sottoinsieme proprio di B:
tutti gli elementi di A appartengono anche a B, ed esiste
almeno un elemento di B che non appartiene ad A.
A è un sottoinsieme di B , eventualmente coincidente con B.
differenza insiemistica:
gli elementi di A che non sono elementi di B.
a EA
l'elemento a appartiene all'insieme A.
a1A
l'elemento a non appartiene all'insieme A.
:-r
insieme dei numeri interi non negativi: N ={O, 1, 2 , ... }.
N.
insieme dei numeri interi positivi: N. = {1 , 2, 3, ... }.
insieme dei numeri interi relativi: Z = {O, ±1, ±2, ... }.
r
insieme dei numeri razionali: Q = {o/f; m E Z, n E N.}.
-X.~
tJ'
insieme dei numeri reali, insieme dei numeri complessi.
:x E E: P(x)} insieme dei numeri in E, che verificano la proprietà P.
[a. b]
intervallo, composto dai numeri reali x per cui a ::;: x :::: b.
fa, b)
intervallo, composto dai nume1i reali x per cui a :5 x < b.
1a,b)
intervallo, composto dai numeri reali x per cui a < x <b.
·up E
estremo superiore dell'insieme E.
inf E
estremo inferiore dell'insieme E.
max E
massimo dell'insieme E.
minE
minimo dell'insieme E.
Re.:
parte reale del numero complesso z.
lmz
parte immaginaria del numero complesso z.
modulo del numero complesso z.
.:I
argz
argomento del numero complesso z.
'.p, t, s
piano e rette, nello spazio a tre dimensioni.
r .l s
perpendicolarità tra piani e rette.
z
~
Xli
SimboJogia
u. v, w
limsup
liminf
ln x
logb X
venori nello pazio a tre dimenMoni,
elementi di generici spazi vettoriali.
prodotto scalare tra u e v, intesi come vettori dello spazio
a tre dimensioni.
prodotto vettore tra u e v, intesi come vettori deUo spazio
a tre dimensioni.
vettore le cui componenti sono tutte nulle.
spazi vettoriali generici.
prodotto calare in spazi vettoriali generici.
venore nullo dello spazio "r.
sotto pazio generato dai vettori v;.
basi generiche di spazi vettoriali.
base canonica di Rn.
elementi di e.
applicazione lineare tra spazi vettoriali.
irnmagi ne dell'applicazione lineare .r..
nucleo dcli' applicazione lineare .f..
spazio veuoriale delle matrici a m righe e n coloMe.
matrici.
rango della matrice A.
determinante della matrice A.
trasposta dell a matrice A.
spazio colonna della matrice A.
spazio riga della matrice A.
funzione dix identicamente uguale a a: Vx, f(x) =a.
funzione composta: go f(x) = g(f(x)).
funzione inversa: 1- 1(f(x)) = x.
massimo limite.
minimo limite.
logaritmo naturale dix.
logaritmo in base b dix.
H (x)
funzione di Heaviside: H (x) =
u.v
U /\ V
o
"r.1//
(u. v)
01'
pan{v;}
:B,'U,V
e
e1
.e.
im .r.
ker .r.
j/(m,n)
A.B
rkA
detA
AT
col A
rowA
f(:c) =a
go f(x)
1- 1(x)
sgnx
segno dix: sgn x =
{~
-1
{~
x>O
X
=0.
x<O
pane intera dix: massimo intero minore o uguale a x .
LxJ
mantx
mantissa dix: x - LxJ.
f(x)....., g(x)
equivalenza asintotica, tra infiniti o infinitesimi.
f(x) = o(g(x)) o-piccolo: lim ff;~ = O.
Nozioni preliminari Numeri reali
1.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
1.1 .1
Sommatorie - Binomio di Newton
Aii9iiillliiliiillìll!l!!!L.l.Ji.
11 simbolo di sommatoria
.San:ere, usando il simbolo di sommatoria, le somme seguenti:
1:'
++ 8 + . .. + 1024,
~
a3
~
-a4 + as -a6 + a1 - as + a9,
l -3 + 5 - 7 + ... + 17 - 19,
le potenze di 2 da 2 2 a 2 10 ;
(attenzione ai segni alternati);
i dispari da 1 a 19, a segni alternati.
Scrfrere per disteso le seguenti sommatorie :
5
©
L
k=l
1
2k-I;
8
®
15
I:c-1ta2n+1 ;
n=O
® L(an -an-1).
n =l
Soluzione
Il simbolo di sommatoria è uno strumento per scrivere in modo compatto le somme (soprattutto se composte da un alto numero di addendi), con la scrittura
n2
L
(espressione)
i=n1
mtendiamo l'operazione che consiste nel sommare l'espressione che compare a
destra in corrispondenza di tutti i valori di i, a cominciare da n 1 fino a n2:
n2
L
(espressione) = (espressione) i =n 1
+ ... + (espressione) i =n 2 •
i=n1
Per esempio:
4
I: 2i = c2i)i=l + c2i)i =2 + c2i)i=3 + c2i)i=4 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30;
i=l
7
L 5 = (5)n=4 + (5)n=5 + (5)n=6 + (5)n=7 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.
n=4
2
Capitolo 1
(ì) Gli addendi sono tutti potenze di due, ossia numeri della forma 2n, quando
n
assume i valori interi da 2 a 10, quindi
LO
s + 16 +
4+
z:::: 2n.
... + 1024 =
n=2
@ Una somma in cui alternativamente gli addendi debbano essere sommati o
sottratti (cioè della forma a-b +c - d .. .) può essere scritta come addizione,
in cui ciascun addendo ba la forma (-l)n · laddendol :
+ ... =
a -b +e -d
[(- 1)0 a] + [(-1) 1 b] + [(- t) 2 c] + [(-1) 3 d] + ... ;
poiché (- 1)11 è uguale a 1 se n è pari e a -1 se n è dispari, la sua presenza realizzerà alternativamente una somma o una sottrazione, nel nostro caso
dobbiamo premettere agli a11 con n pari il segno meno, agli a 11 con n dispari
il segno più, un modo può essere scrivere (-l)11 +1a 11 , e quindi
9
a3-a4
+ as -a6 +a1-ag +a9 =
Z::: <-tt+Ian.
11=3
@ Ogni numero pari può essere scritto come il doppio di un numero intero
ogni numero dispari come il doppio di k, più uno:
11
pari : n = 2k
n dispari : n = 2k
k,
+ 1;
i numeri dispari da l a 19 sono allora descritti dalla formula 2k + l quando k
'\-alori che \anno da O a 9: nella somma 1- 3 + 5- 7 + ... dobbiamo
~i numeri dispari 1.5.9, ... (cioè i numeri della forma 2k + 1 con k
pari) e .sottrarre i numeri 3.7, 11,... (cioè i numeri della forma 2k + 1 con k
dispari 1. usando ancora le potenze di -1:
a..'5U.Ille i
9
L (- l)k (2k + l).
I - 3 + 5 - 7 + ... - 19 =
k=O
© ®È sufficiente scrivere gli addendi:
5
I:: 2
1
k-1
k=l
l
= 20
1
1
I
1
+ v + 22 + 23 + 24
31
=
16;
8
Z:::: C-1) 11 a2n + 1 =ai - a3 + as - a1 + a9 - a11 + a13 -a1s + a17 .
n=O
® L'ultima somma viene spesso definita "telescopica" o "a cannocchiale":
15
L (an n=l
an-1) = (a1 -
ao) +
(a2 -
a1) +
(a3 - a2)
+ ... +
(a1s -
a14)
Nozioni preliminari - Numeri reali
3
oome è dovuto al fatto che tutti gli addendi si semplificano a coppie (come
un cannocchiale che si richiude su di sé) tranne il primo e l'ultimo:
{a1 - ao)
+ (a2 -
© 2!,
5!,
a1)
+ (a3 -
a2)
+ ... + (a 1s -
a14) = a1s - ao.
(116)·
113
32!
29!'
Soluzione
un numero intero n ;:::: O, si chiama fattoriale di n e si indica con n ! il prodotto
mni gli interi dal fino a n (con la convenzione O! = l); dati due numeri interi
e ;: . con n. ;:::: O e O ~ k ~ n, si chiama coefficiente binomiale di n su k e si
mdica con (~) la seguente espressione:
(kn) -
n!
k!(n - k)! ·
Con la definizione appena ricordata
2!
= 1. 2 = 2,
5!
= 1 . 2. 3. 4. 5 = 120;
se in un'espressione compaiono più fattoriali, prima di calcolarla effettivamente conviene semplificare il più possibile i calcoli da fare, solo in un
secondo momento i calcoli vanno davvero completati:
32
'
29!
= 32 . 31 . 30 . 29 ' = 32. 31 . 30 = 29760.
29!
:i Come appena ricordato, se in una formula appaiono più fattoriali, conviene semplificarla prima di procedere con i conti, questo è sovente necessario con i coefficienti binomiali; notiamo infatti che nell'espressione di (;;),
semplificando (n - k) ! a numeratore e denominatore, si ottiene
n) =
n!
= n · (n - 1) · ... -(n - k
(k
k!(n -k)!
k!
+ 1).
'
notiamo anche che, nell'ultima frazione, al numeratore e al denominatore
compaiono due prodotti, composti ciascuno esattamente da k fattori.
Vediamo allora cosa accade nel primo caso (ove in effetti i conti, anche con
tutti i fattoriali, sono ancora fattibili):
(5) 5!
2
-- - 2!3! -
5·4 · 3!
- 10·
2!3! '
4
Capitolo 1
nel secondo caso, si ottiene immediatamente
(k)
k
- k! -1·
- k!O! - '
nel terzo caso, non è assolutamente abbordabile effettuare il calcolo dei fattoriali (si tratta infatti di numeri enormi, per esempio 116! = 3.3931 · 10 190 ),
ma anche la semplificazione sopra scritta è inefficace; la strategia migliore
consiste nell'uso di una proprietà dei coefficienti binomiali:
e a questo punto possiamo applicare la formula "a fattoriali semplificati":
116) = (116) = 116. 115. 114 = 253 460.
( 113
3
31
ESERCIZIO 1.3
•
Binomio di Newton
Calcolare i coefficienti di rc 2 e di rc 3 nello sviluppo di
Soluzione
Usando il binomio di Newtona possiamo scrivere
ora nella somma a destra mettiamo in evidenza ogni fattore:
t (~) (~)
k
(-rc2)1-k =
k =O
t
(:)2krr- k(-1)7-krc14- 2k
k=O
e quindi, raccogliendo i termini in rc:
a Binomio di Newton: Va, be IR, Vn e N si dimostra che
Nozioni preliminari - Numeri reali
5
a:momìo contenente rr 2 si ottiene scegliendo k = 4, e corrisponde a
[(~)24 (-1) 7-·]
~-poiché
4
,,tH- =
-560lf
2
non esiste alcun valore (intero) di k per cui 14 - 3k = 3, possiamo
4mnare che rr 3 non compare, ovvero che il corrispondente coefficiente è zero.
~CIZJO 1 .4~.~ •
Uso "esteso" dei coeflidentl binomiali
m (:5)
e
s.luzione
ooefficienti binomiali di questo esercizio hanno forma (~), con a E JR.; ovvia.me in un caso come questo l'impiego del fattoriale nel numeratore non ha alcun
-caro. se però ci rifacciamo ali' espressione di (~) "a fattoriali semplificati",
mioamo che tale espressione ha senso anche se n è un numero reale qualsiasi
mentre il numero k deve in ogni caso essere intero). Al denominatore compare il
Jll)dono di k fattori, decrescenti cli un'unità in un'unità, a partire da k (ossia k!)
mcatre al numeratore compare il prodotto di k fattori, decrescenti cli un'unità in
unità. a partire da n, nel caso generale avremo quindi
k fattori
a) = a· (a - 1)- .... (a - k + l) ;
(k
k . (k - 1) . . ... 2. 1
k fattori
&:!mo allora
quest' ultima espressione:
(!)
=
~G- 11,G-2)
v's) = v's(.J5 - i)(.J5 -2)(.J5 - 3) = 80 - 36.JS = 20 - 9.JS.
(4
4!
4!
6
1.1.2
Insiemi numerici
mliÌlllilllillilllililll:~~...l· Insiemi su~rlormente e Inferiormente limitati
Slabilire se ciascuno dei seguenti insiemi è superiormente o inferiormente Limitato:
© N;
@
E= [-3,4);
@ Z.
6
Capitolo 1
Soluzione
Un insieme E e JR si dice superiormente limitato se esiste (almeno) un numero
reale M maggiore o uguale a ciascun elemento di E, un numero M di questo
genere si dice maggiorante; E si dice inferiormente limitato se esiste (almeno) un
numero reale m minore o uguale a ciascun elemento di E, m si dice minorante; si
dice limitato un insieme che è al contempo superiormente e inferiormente limitato.
<D I numeri - 21, -4.1 , - 0.3, O sono tutti minoranti di N, mentre non esiste alcun numero reale M più grande di ogni numero intero, quindi N è inferiormente limitato, ma non superiormente limitato.
@ I numeri -21, - 4.1, -371 sono tutti minoranti di E, i numeri 10, 12.l , 3124
sono tutti maggioranti di E che pertanto è un insieme limitato.
@ Poiché non esiste alcun numero più grande o più piccolo di ogni numero
intero relativo, Z non è né superiormente né inferiormente limitato.
ESERCIZIO 1.6
•
Estremo superiore ed estremo inferiore
----Massimo e minimo di E e R
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo (se esistono) degli insiemi seguenti :
{x
E2 = {x
<D E1 =
E
JR: x = - 2-
@
E
JR : x
@
n
1-,n N};
+1
E
= (-l)n-2-
-,n N};
1
n
+1
E3= {xEJR : x = (-l)n ( 1 -
E
n 2 ~ 1 ).nE N} ;
© E4={xEJR:.Jl+x>x};
@
Es =
{xE JR : .J1+x < x }·
Soluzione
Dato un insieme di numeri reali E e JR si chiama estremo superiore di E (e
si indica con sup E) il minimo dei suoi maggioranti. Se E non è superiormente
limitato l'estremo superiore di E non esiste (alternativamente, si pone sup E =
+oo). Se l'estremo superiore di E è esso stesso un elemento di E, allora viene
detto anche massimo di E (in simboli max E), se sup E <f E, allora il massimo di
E non esiste; analoghe definizioni valgono per l'estremo inferiore e per il minimo.
<D L'insieme E 1 è formato dai numeri
1 1 1
}
E= { 1 -1 -1
'2'5'10'17····'
o
1
Nozioni preliminari - Numeri reali
7
tr.ttta di frazioni con il numeratore sempre uguale a 1, mentre il denomina-
cresce al crescere di n, quindi x = 1 è il più grande elemento di E 1, per
= sup E 1 = 1; al crescere di n le frazioni diventeranno sempre
piccole, e quindi vicine a O, che potrebbe quindi essere l'estremo inferiore
E 1 : verifichiamo questo fatto: innanzitutto osserviamo, poiché nessun elemento di E 1 è negativo, che Oè un minorante, dobbiamo poi mostrare che Oè
r ù grande di tutti i minoranti di E 1 , procediamo per assurdo: supponiamo
:be esista un numero ji più grande di O e più piccolo di ogni elemento x di
E . o-sia un numero ji tale per cui
max E 1
I< ji ~ x, Vx = nZ
.;e n;;olviarno
1
+l
E
1
O < y ~ nZ + l, Vn
Ei
E
N
rispetto a n questa disequazione troviamo
I
n :O /
~-
1, Vn E 1\1;
e quesfuJtima disequazione afferma che ogni numero intero positivo è mi-
Jt -
1, ossia che N è superiormente limitato, siamo arrivati ali' asdo: possiamo allora affermare che inf E 1 = O, poiché poi O fj E 1, allora
E 1 non esiste.
di
questo caso, l'insieme E1 è formato da
o
1
_ elementi di E 2 si addensano attorno a Oda entrambe le direzioni, e quindi
,ecJe subito che l'insieme E 2 ha un massimo (x = 1) e un minimo (x =
- 2 . pertanto
e
e
sup E1 = max E1 = 1,
=
e
ii
l" n ieme E 3 è formato da numeri che, se n è pari , si addensano verso x = l
inistra, mentre se n è dispari si addensano verso x = -1 da destra:
).
1
-1
dimostra, come nel punto <D, che -1 e l sono gli estremi inferiore e
superiore di E 3 , mentre non sono elementi di E3, quindi
supE3=l,
inf E3 = - 1,
8
Capitolo 1
© Risolvendo la disequazione, otteniamo
e quindi
1 + ..j5
supE4 = - -2
inf E4
= -1,
min E4 = -1.
Risolvendo ancora la disequazione, otteniamo
@
1 + ..j5
infEs = - - -
tlsupEs ,
ESERCIZIO 1.7
•
2
ti max Es,
ti min Es.
Differenza t ra Z, Q e JR
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo (qualora
esistano) di ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di JR :
® E1 = {x
@ E1 = {x
@ E3 = {x
JR: x >O, x 2 :::: 20};
2
E Q : x > O, x :::: 20};
2
E Z : x > O, x :::: 20}.
E
Soluzione
Tutti e tre gli insiemi sono costituiti da numeri che verificano due richieste: sono
positivi e il loro quadrato non supera 20; la differenza fondamentale tra E i, E1 e
E 3 risiede nella diversa natura dei numeri da cui sono composti, infatti notiamo
innanzitutto che, poiché gli interi relativi sono un sottoinsieme dei numeri razionali, che a loro volta costituiscono un sottoinsieme dei numeri reali (in simboli:
Z e Q e JR), allora
Partiamo da E 1 : essendo formato da tutti i numeri reali x maggiori di O e
minori o uguali di .J20, possiamo immediatamente dire che E i = (O, .J20],
e quindi
(!)
sup E 1 =
b
.JW,
infE1 =0,
In alternativa, si dice che sup Es
= +oo.
max E1 =
.JW,
Nozioni preliminari - Numeri reali
~ E1 è composto da tutti i numeri razionali appartenenti all'intervallo (O,
E2 = {x
E
Q :x
(0,
E
9
.J20J:
50]};
osserviamo che .J20 fj Q, e che tuttavia esistono numeri razionali prossimi
quanto si vuole a .JW, che quindi rimane estremo superiore di E 2, anche se
non ne può più costituire il massimo:
sup E2 =
50,
inf E2 =O,
:I Radicalmente diversa è la natura di E 3: esso è infatti costituito da un numero
finito di elementi:
E3 = {x
E
Z: x
E
(0, 50]} = {l,2,3,4},
in un insieme finito di numeri, troveremo necessariamente il più piccolo e il
più grande, che quindi saranno il minimo e il massimo, i numeri trovati ne
saranno anche estremo inferiore e superiore rispettivamente, pertanto
supE3 = maxE3 = 4,
I
ra
Dimostrare, usando il principio di induzione, che Vn
rPla:=,ioni seguenti:
<D ~i 2 =n(n + 1)(2n
L,;
6
E
N, n ::::_ 1 valgono le due
+ 1).
'
i=l
no
e
i
no
io-
li:
>
)e
o],
Soluzione
La dimostrazione per induzione si usa per provare la validità di una formula (o
ù in generale: di una proprietà) che dev'essere vera per tutti i valori dell'intero n
che vi è contenuto, a partire da un determinato no (nei due casi del testo: no = 1).
Si procede in due passi, nel modo seguente:
pasw 1: si dimostra che la formula è valida se n = n 0 ;
2: si dimostra che, se la formula è valida per un generico intero ii ::::: no,
allora è valida anche per l'intero successivoc ii + 1.
~
Si può vedere la dimostrazione per induzione come ]'equivalente matematico di un effetto
se allineiamo i n piedi una dopo l'altra tante tessere del domino, e vogliamo farle cadere
t:llle in un'unica occasione, dobbiamo accertarci di due fatti: 1) che qualcuno dia una spinta alla
?ima (e questo è l'equivalente del passo l, e 2) che le tessere siano sufficientemente vicine l'una
"altra in modo che ciascuna, cadendo, spinga la successiva (l'equivalente del passo 2).
e
~ino,
10
Capitolo 1
© Verifichiamo che la formula è vera per n = 1:
l =
~i2
= 1(1+1)(2 + I).
~
6
i=l
(vero)
'
ora, supponendo vera la formula per un generico ii., dimostriamo che vale
anche la formula per ii + 1: ovvero, potendo affermare per ipotesi che
~ ·2
~l
-
ii(ii
+ 1)(2ii + 1)
6
-
'
i=l
dobbiamo arrivare a dimostrare che
~ i2 =
(ii+ l) [(ii + 1) + 1][2(ii + I)+ 1) .
6
,
~
i=l
partiamo allora da ciò che dobbiamo dimostrare, e mettiamo in evidenza la
parte ove compare la nostra ipotesi (nel nostro caso: la somma dei quadrati
di tutti gli interi da 1 a ii + 1 può essere vista come la somma dei quadrati di
tutti gli interi da 1 a ii., più il quadrato di ii + 1):
ii+ I
ii
i=l
i=l
I: i2 =I: i2 +(ii+ 1)2;
al posto della somma da 1 a ii scriviamo la sua espressione secondo l'ipotesi:
I: f>2
i2 =
i=l
+(ii+ l)2 = ii(ii +
1~(2ii +
1) +(ii+ l)2.
i=l
se nell'ultimo membro mettiamo tutto a denominatore comune, ricaviamo:
~
·2 -
~l
-
(ii+ 1)(2ii 2 +?ii+ 6)
6
'
i=l
e basta effettuare i prodotti per verificare che
(ii+ 1)(2ii 2 +?ii+ 6) = (ii+ l)[(ii + 1) + 1][2(ii + 1) + 1)
e quindi la tesi.
@ Iniziamo con il verificare la validità della formula per n =
1: otteniamo
2 1 :::: 2 · 1, che è in effetti vera. Dobbiamo ora dimostrare, per ii :::: 1, la
seguente implicazione:
211+ 1
::::
2(ii
+ 1);
11
Nozioni preliminari - Numeri reali
partiamo allora dal primo membro della tesi e maneggiamolo in modo da
poter usare l'ipotesi d'induzione (nel passaggio contrassegnato da*):
2;; + 1 = 2 . 2" ; 2 . 2ii.
-
'
o servato che 2 · 2ii = 2ii + 2ii :::: 2ii + 2 (poiché la nostra formula deve
'alere per n :::: 1, allora in ogni caso 2ii :::: 2) e quindi
2·2n:::: 2(n + 1),
2"+ 1
=>
::::
2·2ii:::: 2(ii + 1),
cioè quello che dovevamo dimostrare.
Dimostrare per induzione che il prodotto di tre interi positivi consecutivi è divisi-
per 6.
Soluzione
Affermare che un intero m è divisibile per 6 equivale ad affermare che m è un
a1ltiplo di 6, e cioè che esiste un altro intero h per cui m = 6h. Scritta in formule,
asserzione che dobbiamo dimostrare corrisponde a:
3h
E
N : n(n
+ l)(n + 2) =
6h,
Vn '.:::I;
=
+
=
è palesemente vera se n
1, infatti 1(1
1)(1 + 2)
6;
supponendola adesso valida per ii :::: 1, la dimostriamo per n + 1, cioè mostriamo
'alidità della seguente implicazione:
~t'affermazione
3h e N: ii(n + 1)(n + 2)
= 6h =>
3k e N: (n + l)(ii + 2)(n + 3)
= 6k.
Partiamo come al solito dal primo membro della tesi, separando la parentesi
- ..._ 3) isoliamo l'espressione che corrisponde all'ipotesi e (nel passaggio
contrassegnato da *) usiamo l'ipotesi di induzione:
11, t)(ii+2)(ii+3) = ii(n+l)(ii+2)+3(ii+l)(ii+2) ~ 6h+3(n + l)(ii+2);
poiché (n + l)(n + 2), prodotto di due numeri interi consecutivi, è un numero
parid. possiamo porre (n + I)(n + 2) = 2j, e quindi
lii + l)(ii + 2)(ii + 3) = 6h + 3(ii + l)(ii + 2) = 6h + 3(2j) = 6(h + j),
cioè la tesi.
d
Anche questa affermazione può essere dimostrata per induzione ...
12
1.2
Capitolo 1
Esercizi proposti
1O Scrivere per disteso e - ove possibile - calcolare le seguenti sommatorie:
8
I)-1)i;
i =O
@
i= l
[© 0.11111111,
11
@
1,
2)1 + (- l)i]ai.
i =O
@
2(ao+a2+a4+a6+as+a10)]
@
Scrivere le seguenti somme usando il simbolo di sommatoria:
© 1 - 3. 22 + 5. 2 4 - 7. 26 + 9. 28
@
@
10
10
© 2)0.l)i;
-
11 . 2 10 ;
ai+ az - a3 - a4 + as + a6 -a1 -as + a9 + a10;
xzy _ x4yz + x8y3 -xl6y4 + ... + xs1zy9.
[<D LI=o(-l)i(2i + 1)22i]
[® :L:=0 (- l)i(a2i+i
[@
1
+ azi+z)]
LI=i(-l)i+lxZ'yi]
Verificare le identità seguenti:
n
m
n
<D Lai - La J = L
i=k
@
J=k
n
n+m
Lai = L ai-m;
i=l
i=m+I
a1
(n > m);
l=m+I
@
n
n
L:azi + I:a2i+1
i=O
i=O
=
Zn+l
Lai.
i=O
13 Determinare il coefficiente numerico di a 2 b8 nello sviluppo di (3Ja - 2b) 12 .
[(3Ja - 2b) 12
14
Determinare il coefficiente di
H
x)
9
[C}x + ~) 9 =
Mostrare che, per ogni n
E
N,
... ]
e il termine noto nello sviluppo di
2+ (,JX 2
15
= ... + 641520a 2b8 +
... + 2s2"10 + 672 + ...
J
Nozioni preliminari - Numeri reali
Determinare n
E
N, m
E
Nea
E
13
JR tali che
®(;)=6;
[© n = 17,
@
m = 4, @ a = 1 ± 3.)2]
Determinare estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi, stabilire poi se
estremo inferiore è minimo e se l'estremo superiore è massimo:
J:
{x
E
JR : x = -. _n_ n
n + 1'
E
N}·'
~ {X E JR : X = sin n ' n E N} ;
{x
E
JR : X = n + (n
n+1 '
© {x
E
JR : x = sin 2 n, n
@
lr
E
E
N} ·'
N} .
[Q> inf = min = O, sup = 1, ìl max]
[@ inf= min = O,sup =max = 1]
[® inf= - 1, ìlmin,sup= 1, ìlmax]
[© inf = min =O, sup = 1, ìl max]
Dati gli insiemi
A=
{x
C =
{x E JR: x.:.2
E
JR : .Jx
+2 >
>
.JX=I},
x.:.s} '
B
= {x E JR : .J4=X > -2},
D
=
{x E JR : .JIOx -
x2
-:-
25 > -1};
~are estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi, stabilire poi se lestremo
Inferiore è minimo e se lestremo superiore è massimo:
l A UB;
! CUD.
@ AnB ;
@
BUC ;
© BnC;
® AnD;
® BUD;
[GJ sup = +oo, inf = - oo, ìl min, ìl max]
[® sup =max= 4 , inf = min = 1]
[® sup = 5, inf = - oo, ìl min, ìl max]
[© sup = max = 4 , inf = 2, ìl min]
(® sup = max = inf = min = 5]
[® sup =max = 5, inf = -oo, ìl min]
[® sup = max = 5, inf = 2, ìl min]
Determinare estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi, stabilire poi se
estremo inferiore è minimo e se l'estremo superiore è massimo.
©
@
{xe JR :x=af3,0<ct<2, - l</3<2};
{x E JR : x = af3, O <a < 2, - 1 < f3 < 2, a+ f3 ::: 3}.
[© sup = 4, inf = -2, ìl min, ìl max]
~ , inf = - 2, ìlmin]
[@ sup =max=
14
Capitolo 1
20 Dimostrare per induzione le seguenti uguaglianze
©
ti =
n
n(n + I);
ì=l
21
2
@
L 2i + 1 =
(n
+ I )2 ;
i=O
Dimostrare per induzione le seguenti disuguaglianze
11
1
I
© "L,, -i 2 <2
- -n'
·
-
11
@
I
3
"L,, < -.
n+i-4
i =I
i=l
22 Dimostrare per induzione che, per ogni intero n '.'.'.: I , il numero 6n - I è divisibile
per 5 .
23 Dimostrare per induzione che, per ogni intero n '.'.'.: I , il numero n
per 3.
3
+ 2n è divisibile
1.2.1 Suggerimenti
Per l'esercizio 13: Usare il binomio di Newton
(3,Jii-2b) 12 =
t;, (~)
(3.Jii)" (- 2b) 12- k
=
t;, [(~ )
2
3• (-2) 12-·
Jah
con k = 4.
Per l'esercizio 14: Scrivere il binomio di Newton
e porre k
= 5ek =
6.
Per l'esercizio 15: Scrivere, con il binomio di Newton, (1
+ l)n.
Per l'esercizio 16:
Q) Ricordare che
(Z)
= (n~k).
@ Corrisponde all'equazione xCx - J) = 6, con
2
@ Verificare che
x E N.
Per l'esercizio 18: Risolvendo le disequazioni, si ottiene:
A= [l,+oo) ,
e= (2,5) ,
B = (-oo, 4],
Per l'esercizio 21, ® : Dimostrare dapprima che
n
1
3
1
L n +i :::: 4- 4n·
i=l
D = {5}.
12- ·
Elementi di geometria
analitica
2.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
2.1.1
Rappresentazione e operazioni con i vettori
Dati u
= 2i+3j-k e w = 3i -
2j, darne una rappresentazione grafica.
Soluzione
.2-k
Consideriamo innanzitutto i vettori i, j e k, questi vettori hanno lunghezza unitaria
sono quindi versori) e dall'origine sono diretti in maniera concorde ai vari assi,
cioè:
i collega l'origine al punto (1 , O, O) ,
j collega l'origine al punto (O, 1, O),
k collega l'origine al punto (O, O, 1);
i j e k prendono allora il nome di versori degli assi. Sappiamo inoltre che la somma di due vettori segue la "regola del parallelogramma", e alla luce di ciò possiamo interpretare il generico vettore v = ai+bj+ck come un segmento orientato
che dall'origine raggiunge il punto P(a , b, e); inoltre è sempre possibile considerare un vettore del piano (e cioè un vettore della forma aj + f3 j) come un particolare vettore dello spazio con componente in k uguale a zero. La rappresentazione
grafica del generico vettore v è allora la seguente:
e
....
.... .... ....
............
P (a, b, e)
I
I
I
I
I
-- - ----"
b
//
/
/
16
Capitolo 2
Quindi, u e w avranno le seguenti rappresentazioni (e notiamo che w, poiché la
sua componente in k è nulla, può essere anche rappresentato come vettore del
piano, nella figura a destra):
z
y
y
X
X
Osserviamo poi che, qualora sia più comodo, scriveremo il vettore v = a i+bj+ck
nella forma
ESERCIZIO 2.2
•
Operazioni con i vettori
{ rodotto P.er un numero, somma e sottrazione
Dati v = 2i+4j- 3k e w = - i- 12j+24k, calcolare 3v, 2v + w e 4v - 3w.
Soluzione
Il prodotto di un vettore u per un numero À si effettua moltiplicando ciascuna
componente del vettore per il numero in questione:
.:>..e JR, u
= ai+bj+ck
:::::}
.:tu= .:tai+.:tbj+Àck ;
quindi 3v = 6i+ 12j-9k.
La somma (e la differenza) tra due vettori u 1 e u 2 si calcolano sommando (o sottraendo) le componenti corrispondenti: se u1 = a1i+bd +c1k e u2 =
a1i+bij+ c2k , risulta
u1 + u2
= (a1
+ a1)i+(b1 + b2)j+(c1 + c2)k,
u1 - u2 = (a1 - a2)i+(b1 - b2)j + (c1 - c2)k ;
pertanto
2v + w = [4i+8j- 6k] + [-i-12j+24k] = 3i-4j+l8k;
4v - 3w = [8i+16j- 12k] - [-3i-36j+72k] = lli+52j-84k.
ESERCIZIO 2.3
•
Modulo di un vettore
Calcolare il modulo div= - i+ 3j- 10k.
Elementi di geometria analitica
17
Soluzione
Il modulo di un vettore v = ai+bj+ck, equivalente alla distanza tra l'origine e il
punto P(a, b, e), è la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti:
nel nostro caso
lvi=
ma~~~!L::l•
VC-1) 2 + 32 + (-10) 2 = .JITO.
Vettore congiungente due unti. Distanza tra due f>Unti
~
Determinare il vettore PQ, ove P(l, 3, -2) e Q(2, 1, l); quanto vale la distanza
tra P e Q?
o
Soluzione
Le componenti di un vettore che unisce due punti sono date dalle differenze tra
le coordinate del punto finale (nel nostro caso Q) e quelle del punto iniziale (cioè
P):
PQ = [ ~ =;
1 - (- 2)
] = [ ~2
] = i-2j+3k;
3
1a distanza tra due punti P e Q è la lunghezza del segmento P Q che. li unisce, e
tale lunghezza è uguale al modulo del vettore che da uno qualsiasi dei due porta
all'altro:
8 = lunghezza(PQ) =
nel nostro caso 8 =
2.1.2
IP"QI =
IP"QI = IWI,
.fi4.
Prodotti, angoli, proiezioni, aree e volumi
Siano v1 = aii+bd+c1k e V2 = a2i+ bij+c2k due vettori, usando la defiidone di prodotto scalare e sapendo che esso gode della proprietà distributiva
rispetto alla somma, ricavare il valore di V1. V2 in termini delle loro componenti.
Soluzione
II prodotto scalare tra due qualsiasi vettori v1 e v2 è dato per definizione dal
prodotto dei rispettivi moduli per il coseno dell'angolo compreso 7J
v1. v2 = lv1l · lv2I · cos?J;
notiamo quindi che se due vettori non nulli v 1 e v2 sono perpendicolari, il loro
prodotto scalare si annullerà, e viceversa:
V1. V2
= 0
18
Capitolo 2
invece, il prodotto scalare di un vettore v per se stesso (visto che l'angolo
compreso ~ è nullo) è uguale al quadrato del modulo di v:
V • V= lvl2 .
Tornando all'esercizio, usando la proprietà distributiva, possiamo allora scrivere
che
V1 • v2
= (a1i+ bd+c1k). (a2i+bz.j + c2k)
= a1a2(i. i) + a1b2(i .j) + a1c2(i. k)
+b1a2(j. i) + b1b2(j .j) + b1c2(j. k)
+ c1a2(k . i) + C1b2(k .j) + C1C2(k. k);
ora, sappiamo che i, j e k sono tra di loro perpendicolari (cioè: il coseno
dell'angolo compreso è zero) e che lii = UI = lkl = 1, pertanto
i.j =i. k = j. i= j . k = k. i= k .j =o ,
i. i= j .j = k. k = 1,
e quindi
v . w = a 1a1 · 1 + a 1 b2 · O + a 1C2 · O
+ b1a2 · O+ b1b2 · 1 + b1c2 ·O
+c1a2. o+ C1b2. o+ C1C2 · 1
= a1a2 + b1b2 + c1c2 .
Prodotto scalare tra due vettori,
misura dell'angolo compreso_ __
Dati v
= 5i-3j+4k
e w
= 3j + k,
calcolare v . w; determinare il coseno
dell'angolo~ compreso trave w; l'angolo~ è acuto o ottuso?
Soluzione
Il prodotto scalare tra v e w si calcola (vedi esercizio precedente) sommando i
prodotti tra le componenti corrispondenti, nel nostro caso quindi
V. W
= 5 · 0 + (-3) · 3 + 4 · 1 = -5;
inoltre, dalla definizione di prodotto scalare,
v. w = lvi · lwl · cos ~ ,
segue che
cos~
quindi, poiché
=
v.w
;
lvi · lwl
lvi = .J50 e lwl = ../IO, troviamo
cos~
-5
1
~
= - - = - -v5;
.J500
10
infine, poiché cos ~ < O, ~ è ottuso.
Elementi di geometria analitica
ESERCIZIO 2.7
•
19
Proiezione ortogonale di un vettore
nella direzione di un altro
· u = 2i+4j-5k e v = -i+2j+3k, decomporre u in due vettori u1 e u2, il
1'fi"IO parallelo e il secondo perpendicolare a
----
v.
--- I
u
I
I
I
I
I
Soluzione
Dalla teoria, dati u e v, sappiamo che la formula per calcolare la proiezione
mogonale di u nella direzione di v è
u.v
(proiezione di u nella direzione di v) = - - v ,
v.v
-iamo usare allora questa formula per determinare u 1 :
U. V
-9 ( , .
)
9 . 18. 27
U1 = --V= - -1+2J+3k = - I- -J- - k .
V. V
14
14 14 14 '
ma volta ricavato u 1 , otteniamo u2 per differenza tra u e u i:
U2
miiiiiiìliilllililiillit.iilili&.--.J.
=U-
U1 =
19. 74. 43
14 14 14
-I+-J--k.
Formula del prodotto vettore
o v1 = a1i+bd+c1k e v2 = a1i+b2j+c2k due vettori, usando la definie di prodotto vettore e sapendo che esso gode della proprietà distributiva
rispetto alla somma, ricavare il valore di V1 /\ v2 in termini delle loro componenti.
Soluzione
Per definizione sappiamo che il prodotto vettore v 1 /\ v 2 è un vettore perpendiare ai due fattori, orientato secondo la "regola della mano destra"a, e avente
modulo uguale al prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso{}:
lvi /\ v2 I = lvi I · lv2 I · sin -& .
.; Cioè: se v1 è diretto come il pollice della mano destra e v2 come l'indice, allora v1 /\ v2 sarà
eno come il medio; in altre parole: se si pensano i tre vettori applicati nello stesso punto, v1 /\ v2
se:irà v1 alla sua destra e v2 alla sua sinistra.
..
20
Capitolo 2
Immediatamente si ricava, allora, che per ogni vettore v il prodotto v /\ v è uguale
a zero, e quindi, per i tre versori degli assi,
i Ai= j /\ j=k /\ k =O;
inoltre, seguendo la regola della mano destra, abbiamo che
i /\ j = k ,
j /\ k = i,
k /\ i = j '
j /\i = - k , k /\ j = - i, i/\ k = -j.
Usando quindi la proprietà distributiva, possiamo scrivere che
v1 /\ v2
= (a1i+bd+c1k) /\ (a2i+bzj+c2k)
= a1a2(i /\ i)+ a1b2(i A j) + a1c2(i /\ k)
+b1a2(j /\ i)+ b1b2(j A j) + b1c2(j /\ k)
+c1a2 (k /\i)+ C1b2(k /\j) + C1C2(k /\ k)
da cui
v1 /\ v2
= (a1i+bd+c1k) /\ (a2i+bzj+c2k)
= (a1a2) ·O+ (a1b2)k + (a1c2)(-j)
+(b1a2)(-k) + (b1b2) ·O+ (b1c2)(i)
+(c1a2)(j) + (c1b2)(-i) + (c1c2) ·O
= (b1c2 - c1b2)i+(c1a2 - a1c2)j +(a1b2 - b1a2)k.
ESERCIZIO 2.9
•
Prodotto vettore, area del
lelo~ma
Dati v = 2i-3j+5k e w = 4i+5j- 12k, calcolare v /\ w; calcolare l'area del
parallelogramma /P individuato da ve w.
Soluzione
Il prodotto vettore v1 /\ v2 tra i vettori v1 = ai i+b d +c1k e v2 = azi+bzj +c2k
si calcola (vedi esercizio precedente) mediante la formula
v1 /\ v2 = (b1c2 - c1b2)i+(c1a2 - ai c2)j+(a1b2 - b1a2)k,
nel nostro caso
5
~
V/\ W= [ !3] /\ [
] = [
5
-12
(-/?d~-i~~-=-1;) ] =
2·5-(-3)·4
[
!! ];
22
inoltre, osserviamo che, per definizione di prodotto vettore,
lv/\
wl
=
lvi · lwl · si n~ ,
e tale quantità corrisponde all'area del parallelogramma individuato da v e w,
pertanto
area( /P) = lv /\ wl = ../ 112 + 442 + 222 = 1151.
Elementi di geometria analitica
21
Calcolare u. v /\ w, ove u = 5i-2j +k, v = 3i+2j-4k e w = - i-2j+2k;
a/colare poi il volume del parallelepipedo QJ individuato dai tre vettori.
Soluzione
Se v1 = a1 i+bd+c1 k, v2 = a1i+bij+c2k e v3 = a3i+b3j +c3k , il prodotto
misto v1 • v2 /\ V3 (in cui si calcola necessariamente prima il prodotto vettore) è
dato da
e osserviamo che, se nessuno dei tre vettori è nullo, il prodotto misto è uguale a
zero se e solo se i tre vettori sono complanari; nel nostro caso, quindi,
U. V/\ W
= 5 · (-4)
+ (-2) · (-2) +] · (-
4) = -20 .
Inoltre, il modulo del prodotto misto corrisponde al volume del parallelepipedo
individuato da da u , ve w, e quindi
volume(QJ)
2.1.3
= lu. v /\ wl = 20.
Rette nel piano
Determinare l'equazione cartesiana e l'equazione parametrica della retta t,
passante per i punti Po(l, 2) e P1 (3, -5).
Soluzione
Sappiamo che, dati due punti (xo, Yo) e (x1, Y1) non allineati sulla stessa verticale,
·equazione della retta passante per entrambi si scrive nella forma
Y - Yo =
Y1 - Yo
X1
- Xo
(x - xo) ;
nel nostro caso allora, scegliendo (xo,Yo) =
ricaviamo
y -2 =
-5-2
(x - 1)
3- 1
(1,2) e (x1,Y1)
(3, -5),
7
11
y =--x+- .
2
2
Per scrivere l'equazione parametrica di una qualsiasi retta, è sufficiente disporre
delle coordinate di un punto Po(xo , yo) appartenente ad essa e del suo vettore
direzione v = ai+ bj: se Q(x, y) è il generico punto della retta, allora il vettore
Po dovrà essere proporzionale a v
Q
PoQ =
tv
~
[
X -
XO ]
Y - Yo
= t [ a ] .
b
'
22
Capitolo 2
esplicitando rispetto a x e a y si ottiene
e pertanto, in ogni caso, l'equazione parametrica si scrive
[~ ]
[
~~ ]
+
[ %
t
l
'-v--"
'--v--'
'-,,.-"
punto
generico
coord.
di Po
vettore
direzione
Questa equazione parametrica è equivalente anche a ciascuna delle due seguenti
equazioni (vettoriale e scalare rispettivamente):
xi+ y j = (xo
X =
+ at)i + (yo + bt)j,
{
XQ
y = Yo
+ at
+ bt.
Scegliamo allora come punto su t il punto Po e come vettore direzione il vettore
~
vt = PoP1 = 2i - 7j , ottenendo
t : [
~
]
=[
~ ] +t [
!7 ]'
o anche le due forme seguenti
t :
xi+ yj = (1
ESERCIZIO 2 .12
•
+ 2t)i + (2 -
J + 2t
y = 2-7t .
X=
7t)j,
Dall'e uazione cartesiana all'e uazione parametrica
Determinare un'equazione parametrica per ciascuna delle rette
cui equazioni cartesiane sono
<D
t1 :
@ t3 :
t1, t2, t3
y = 3x - 4;
@ t2 :
3x - 2y = 6,
3y = 4;
@ t4:
X =
e
t4,
le
- 2.
Soluzione
Per scrivere l'equazione parametrica di una retta, abbiamo bisogno di ricavare due
cose dalla sua equazione cartesiana: a) il vettore direzione e b) un punto della retta
stessa.
<D Se la retta è scritta nella forma usuale y = mx +q, per le coordinate di un suo
punto possiamo nell'equazione sostituire x =O, trovando y = q, e quindi la
Elementi di geometria analitica
retta passa per (O, q); un vettore direzione è per esempio v
la corrispondente equazione èb
X=
ossia
l'equazione parametrica di
t1
t1 : [ ;
= i + mj, e quindi
t
y = q
{
23
+ mt
'
sarà allora
]
=[
~4 ] + t [ ~ ] .
è data in forma generale ax +by = e: per ricavare un
punto della retta possiamo per esempio - a nostra scelta - porre zero una delle
due coordinate e risolvere rispetto all'altra, se poniamo y = O ricaviamo
x = ~'e quindi la retta passa per(~, O), mentre un vettore direzione è v =
-bi + aj, scritta allora in forma vettoriale l'equazione diventa
@ Passiamo a t1, che
l'equazione parametrica di t 2 sarà per esempio
@
© t3 e t4 sono più particolari: entrambe sono scritte in forma generale (ax +
by = e), però t3 è orizzontale (ovvero: parallela all'asse x) e r 4 verticale
(ovvero: parallela all'asse y), un vettore direzione di t 3 sarà allora i, il versore
dell'asse x, e un vettore direzione di t4 sarà j, il versore dell'asse y; per
quanto riguarda la scelta di un punto di t3 e di un punto di t 4 , siccome la
un qualsiasi punto della
caratteristica di tutti i punti di t3 è avere y =
forma (... , 1) andrà bene, per semplicità potremo allora scegliere (O, 1);
analogamente, per t4, potremmo scegliere (-2, O), e le equazioni diventano
1.
t4 : [
~]
= [
b ln effetti, si poteva giungere allo stesso risultato ponendo x
dall'equazione stessa della retta sottoforma di y = mt + q.
02 ] + t [ ~ ] .
t, ricavando quindi y
24
Capitolo 2
ESERCIZIO 2.13
Dall'equazione ~arametrica all'eq uazione cartesiana
•
Determinare le equazioni cartesiane delle rette s 1, s 2 e s 3 , le cui equazioni
parametriche sono :
CD s 1
~
@ S2 : [
]
= [
: [
~]
= [ ; ]
j ] +t [ ~ ]
~3 ]
+t [
~
@ S3 : [
]
;
= [
~5 ] + t [ ~ ] ·
Soluzio ne
In questo caso, dobbiamo passare dall'equazione parametrica all'equazione
cartesiana. Cominciamo con il caso generale, la retta ha equazione
x = x o + at
{ y = Yo + bt '
con a # O, b i= O, possiamo allora "eliminare t'', ricavandone il valore da
ciascuna equazione ed eguagl iando tra loro i due risultati ottenuti:
x-xo
t=--
a
y - yo
b
x - xo
y - Yo
---=--a
b
t = -- -
in quest'ultima espressione vi è già tutto ciò che occorre, basta un po' di algebra e
ci si riconduce - a scelta - a un'espressione del tipo ax +by
c o y mx + q.
=
=
CD Nel caso di .s 1, ricaviamo t:
x-2
-3
t=--
x-2
-3
y-5
t= -
4
-
y- 5
4
da cui, liberando dai denominatori, 4x-8 = - 3y+ 15 e quindi, in alternativa,
.51 :
4x
+ 3y =
23,
S1 :
y =
4
--X
3
23
+- .
3
@ @ Diverso è il caso di s 2 e
s 3 : in entrambe, una delle due componenti del
vettore direzione è zero. Per quanto riguarda .s2, il suo vettore direzione è un
multiplo del vettore i, e pertanto s 2 è orizzontale, la sua equazione sarà allora
della forma y = k, poiché dall'equazione leggiamo che s 2 passa per (4, 3),
questo significa che s 2 passerà per tutti i punti aventi ordinata 3, e quindi la
sua equazione sarà
S2: y = 3;
ragionando in maniera del tutto analoga per s 3 , verticale in quanto il suo vettore direzione è proporzionale a j, possiamo concludere che la sua equazione
cartesiana sarà
.53 : X = J .
Elementi di geometria analitica
..,,..t=:=::~~_.•
25
Retta per un J>Unto, arallela a una retta data
Scrivere le equazioni cartesiane e parametriche delle seguenti rette:
1 51, passante per P1(3, 10) e parallela a r 1 : y = 5x
l 52, passante per P2(4, -2) e parallela a
t:2 : [
~]
~ ] + t [ ~l
= [
+ l;
] ;
53, passante per P3(3 , -2) e parallela all'asse y.
Soluzione
1 Due rette date in forma cartesiana a 1 x
parallele se
~
=
+ b 1y
!!.!_ 'f=
= c 1 e a2x
+ b2y =
c2 sono
C1 '
a2
b2
C2
pertanto ogni retta parallela a t 1 avrà equazione y = 5x + k, per trovare 5 1
basterà determinare il corretto valore di k, imponendo il passaggio per P 1,
ossia imponendo y = IO ex = 3, si trova k = -5, quindi
l
Due rette scritte in forma parametrica sono parallele se i vettori direzione
sono proporzionali, e se non sono coincidenti, quindi per determinare l'equazione di 52 , visto che P2 fj t2, sarà sufficiente sostituire le coordinate di P2
a quelle del punto ( 1, 7) nell'equazione di r2:
3 L'asse y ha equazione cartesiana x = O, una retta parallela a questa deve
avere equazione del tipo x = k, imponendo il passaggio per P 3 abbiamo
•
Retta per un unto,
ndicolare a una retta data
rivere le equazioni cartesiane e parametriche delle seguenti rette:
i
s1,
passante per P 1 (-4,3) e perpendicolare a
t1 : [
~
]
=[
~6 ] + t [
; ] ;
26
Capitolo 2
@ s2,
@ .53,
passante per P2(7, 5) e perpendicolare a t1 : 3x + 4y
passante per P3(l 7, 19) e perpendicolare all'asse y.
=
12;
Soluzione
(!)
Due rette date in forma parametrica sono perpendicolari se e solo se lo sono i
relativi vettori direzione. Osserviamo che, dato il vettore v = ai+ bj , un vettore ad esso perpendicolare èc u = (-b)i + aj , pertanto un vettore direzione
di .s 1 , dovendo essere perpendicolare a 2i + 3j , vettore direzione di t1, potrà
per esempio essere
quindi imponendo il passaggio per P 1 l'equazione di .s 1 sarà
@ Riprendendo lo stesso ragionamento sui vettori perpendicolari, possiamo con
pochi conti conci udere che due rette date in forma cartesiana a 1 x + b 1 y = e 1
e a1x + b2y = c2 sono perpendicolari se a 1b2 + a1b 1 = O, pertanto le
rette perpendicolari a t1 avranno tutte la forma 4x - 3y = k. Imponendo il
passaggio per P2 troviamo k = 13, e allorad
y avrà equazione y = k, inoltre sarà
parallela all'asse x, il che significa che un vettore direzione sarà i. Imponendo
il passaggio per P3 le sue equazioni sono
@ Infine .s3 , se è perpendicolare all'asse
2.1.4
Distanze nel piano
ESERCIZIO 2.16
•
Distanza punto-P.unto
Determinare la distanza tra i punti A(-2, 5) e B(1, 1).
e Infatti, [ai + bj ] . [(-b)i + aj] = - ba+ ab= O, e quindi i due vettori sono perpendicolari.
d Con gli stessi conti che abbiamo seguito ora, ci si può rendere conto che il vettore [a, b] e la
retta ax + by = e sono perpendicolari.
Elementi di geometria analitica
27
Soluzione
La distanza tra due punti Po(xo, xo) e P1 (xi, Y1) è il modulo del vettore che li
--,--------+
--,--------+
unisce, cioè - a scelta - PoP1 o P1 Po, in entrambi i casi
distanza( Po , P1)
.j(xi -
= IPo Pi I =
xo) 2
+ (Y1 -
Yo) 2
;
~
nel nostro caso prendiamo allora il vettore AB = 3i - 4j, e
distanza(A , B)
miiilliiilli._..illillll~K......J:.
= IABI = .j(3) 2 + (-4) 2 = 5.
Distanza unto-retta
Determinare la distanza tra il punto P (11 , 3) e ciascuna delle tre rette
r
t1 :
y = 2x + 3;
J=
@ t2 : [ ;
i J+ i J;
[
@ t3: X=
t[
6.
Soluzione
Dato un punto Po(xo, Yo) e una retta .s : ax +by = c, la distanza tra Po e .s è
data dalla formula
.
distanza( Po, .s) =
:t
laxo+byo-c l
,Jaz
+ b2
.
Per applicare questa formula al primo caso, occorre innanzitutto riscrivere t 1
nella forma -2x + y = 3, usando la formula troviamo
distanza(?, t1)
= l(-2) · 11+1·3-31
=
2
2
J(-2) + 1
22
~.
v5
~ Allo stesso modo, per applicarla a t 2 , conviene trasformare la sua equazione
da parametrica a cartesiana, al solito eliminando t, otteniamo
x-2
4
y- 1
- - 3- ,
t2 :
3x - 4y = 2 ,
e pertanto
distanza(P, t2)
=
13. 11 + (-4) . 3 J32
+ (-4)2
21
19
=- .
5
~ Anche per il terzo caso potremmo ancora ovviamente usare la formula, però
basta osservare che la distanza tra una retta verticale x = k e un punto
Q(a , b) corrisponde al valore assoluto della differenza tra le ascisse: lk - al,
quindi
distanza(P, t3) = 111 - 61 = 5.
28
Capitolo 2
Q
----~
a
k
ESERCIZIO 2 .18
•
Distanza retta-retta
Determinare la distanza tra t: 2x - 3y = 6 es: 2x - 3y =O.
Soluzione
La distanza tra due rette nel piano è zero se sono incidenti, ed è diversa da zero
se sono parallele; le due rette dell'esercizio sono parallele, per calcolarne allora la
distanza è sufficiente calcolare la distanza di un punto qualsiasi di una delle due
dall'altra; visto che il termine noto di s è O, spassa per l'origine, calcoliamo allora
la distanza di t dall'origine:
o-
12 . o - 3 .
61
6
distanza( O, t) = ---;::::==~ = r.;:; .
2
2
,,/2 + 3
v 13
U
2.1.5
Piani nello spazio
ESERCIZIO 2.19
•
Plano passante per un punto, perpendicolare a un dato vettore
Scrivere l'equazione del piano s;p perpendicolare al vettore u = 7i+3j -2k e
passante per il punto A(l, 3, -2).
Soluzione
L'equazione del piano passante per il punto Po(xo , yo, zo) e perpendicolare al
vettore v = a i+bj +ck si ricava imponendo v. P0
a(x - xo)
+ b(y -
Yo)
P=
+ c(z -
O, ossia
zo) = O,
ove x, y e z sono le coordinate del generico punto P del piano; notiamo quindi
che, se il generico piano ha equazione ax + by + ez = d, un vettore ad esso perpendicolare è per esempio quello le cui componenti sono gli stessi coefficienti di
x, y e z: v = a i+bj+ck. Nel nostro caso, allora, possiamo ricavare l'equazione
di s;p in due modi (quasi identici).
~
Primo modo: imponiamo, con i dati a nostra disposizione u . AP = O:
[ ~ ] .[ ;z =j ]
-2
+2
= 7x
+ 3y -
2z - 20 = O.
Elementi di geometria analitica
29
Secondo modo: poiché conosciamo il vettore perpendicolare a s.:p, ossia u, l'equazione di s.:p avrà la forma 7 x + 3y - 2z = d; determiniamo allora d imponendo
che questa equazione venga soddisfatta dalle coordinate di A (sostituendole ai
generici x, y e z):
7 ·
+3 · y
X
t
-2 ·
t
1
::::}
20 = d;
t
3
-2
si ottiene allora l'equazione cercata s.:p: 7x
lente alla precedente.
ESERCI~ •
=d
Z
+ 3y -
2z = 20, ovviamente equiva-
Piano Rassante Rer un unto, Rarallelo a un piano dato
Scrivere l'equazione del piano s.:p parallelo al piano x - 2y
per il punto P(I , 2, - 5).
+ 3x
= 20, passante
Soluzione
I piani s.:J31: aix + biy+ciz =di es.:J32: a1x+b2y+c2z = d1 sono coincidenti
se le due equazioni in realtà sono la stessa equazione, cioè se tutti i coefficienti
sono tra loro proporzionali:
ai
bi
=
az
bz
di
dz '
C1
c2
sono invece paralleli se coefficienti di x, y e z sono proporzionali (che è come
dire che i due vettori perpendicolari sono proporzionali) e i termini noti no:
a1
= bi = ~
a1
bz
i=
c2
di .
dz
piano s.:p parallelo a x - 2y + 3z = 20 avrà perciò equazione x - 2y + 3z = d ,
allo scopo di ottenere il passaggio per il punto P(l , 2, -5) imponiamo che le
ax>rdinate di P soddisfino tale equazione:
X
-2 y
t
1
da cui d
= - 18, e pertanto s.:p : x
•
+3
t
2
- 2y
Z
= d,
t
- 5
+ 3z = -
18.
Piani aventi inclinazioni P-articolari
Dati i punti P (5, 7, 11) e Q(2, 1, 5), scrivere le equazioni dei seguenti piani:
i s.:p i: verticale, passante per P e per Q ;
% s.:J32: contenente l'asse z e passante per P;
~ s.:J}3: contenente l'asse x e passante per P;
J: s.:J}4: orizzontale e passante per P;
~ s.:J}5: passante per P e per Q e parallelo all'asse y .
30
Capitolo 2
Soluzione
<D Un piano verticale possiede per necessità un vettore perpendicolare orizzontale, ossia della forma ai+bj+O·k, pertanto il più generico piano verticale
avrà come equazione ax + by = d, imponendo che le coordinate di P e Q
soddisfino quest'equazione, ricaviamo il sistema
Sa+ 7b = d
{ 2a + b = d '
risolto da tutte le terne (a, b, d) proporzionali a (2, - 1, 3), e quindi
un'equazione di \i31 è
\i31 : 2x - y = 3;
notiamo che l'equazione di \i} 1 è equivalente all'equazione di una retta nel
piano xy, questo perché un piano verticale è in ogni caso formato da tutti i
punti la cui coordinata z è libera di variare, mentre x e y sono legati da una
relazione che (limitatamente al piano xy) definisce la retta t "supporto" del
piano.
z
@
Il piano \i}2 contiene l'asse z, pertanto è verticale, e quindi anch'esso sarà
della forma ax + by = d, occorre in più che d = O perché il piano
\i} 2, contenendo l'asse z, dovrà passare per l'origine. L'equazione di \i32
sarà ax + by = O, imponendo il passaggio per P si trova l'equazione
Sa+ 7b =O, soddisfatta da tutte le coppie (a,b) proporzionali a (7,-S),
e quindi un'equazione di \i32 è
\i32 : 7x -
Sy =O;
(possiamo allora ricavare una regola più generale: perché uno degli assi
coordinati sia contenuto in un piano, occorre e basta che d = O e che il
coefficiente corrispondente alla coordinata in questione si annullie).
e Cioè: se il piano ax +by+ cz = Ocontiene l'asse x allora a = O, se contiene l'asse y allora
b = O e, come abbiamo visto, se contiene l'asse z allora e = O; per esempio, il piano x + 3z = O
contiene l'asse y.
Elementi di geometria analitica
~
31
Il piano s,p3 contiene l'asse x, e quindi la sua equazione sarà del tipo by +
cz = O, imponendo il passaggio per P abbiamo 7b + llc = O, soddisfatta
da tutte le coppie ( b, e) proporzionali a ( 11, - 7), quindi
s,p3:
lly - 7z =O.
'!: Il piano s.+3 4 è orizzontale, e composto da tutti e soli i punti dello spazio che
hanno in comune con P la coordinata z, ossia i punti per cui z = 11; quest'uguaglianza costituisce da sola l'equazione del piano s.+3 4; alternativamente,
osservando che s,p 4 è orizzontale, sappiamo che il suo vettore perpendicolare dev'essere verticale, quindi della forma O·i+O·j+ck, l'equazione di s,p 4 è
allora c z = d; imponendo al solito il passaggio per P si ricava 11 c = d,
posto infine c = 1 si ricava d = 11, da cui
s,p4 : z =
~
11.
Il piano s+ìs è parallelo all'asse y e contiene il segmento QP, quindi il suo
vettore perpendicolare v dev'essere contemporaneamente perpendicolare all'asse y (e quindi perpendicolare a j, che dell'asse y è il versore) e per--+
pendicolare al vettore QP = 3i+ 6j+6k, ricordando allora le proprietà del
prodotto vettore:
V J_
V J_
j
QP
}
::::}
V
= j /\ QP = 6i -
3k;
ne segue che l'equazione di s+ìs avrà la forma 6x - 3z = d, per ricavare d
imponiamo (al solito) il passaggio per P (o per Q, a nostra scelta): 6 · 5 3 · 11 = d, ossia d = -3, possiamo allora scrivere l'equazione di s+ìs nella
forma 6x - 3z = -3, o (dividendo tutto per 3)
s+ìs : 2x miiiili!!?2:!::!:::~==......l•
z
= -1 .
Fasci di piani non paralleli
Determinare l'equazione del fascio di piani :F, contenente i due piani
s.+31 : X
+Y -
Z =
2
e
s.+32 : 2x - y
+ 3z =
8;
inoltre, determinare il piano s+ì* di :F che contiene il punto P*(l, 2, 3).
Soluzione
Dati due piani non paralleli (che pertanto si intersecheranno in una retta t, detta
supporto), l'insieme costituito da tutti i piani aventi in comune tè detto "fascio di
piani":
32
Capitolo 2
La generica equazione di un fascio :F generato da due piani
c1z =di e s+ì2 : azx + bzy + c2z = dz è
I.Pi : a1x + b1y +
J.. , µ,
E
R
Al variare di J.. e µ, quest'equazione descrive tutti e soli i piani appartenenti a :F, in
effetti ciascun piano corrisponde a infinite coppie (tra loro proporzionali) di valori
J.. , µ,; a volte, per comodità, si usa eliminare uno dei due parametri: ad esempio,
si ottiene
dividendo l' equazione di :F perµ (e rinominando y il rapporto
fr)
y ER
Ora a ciascun piano del fascio corrisponde uno e un solo valore di y, con un 'unica
eccezione: il piano s.p 1 , che si ottiene da :F ponendo µ, = O e }.. qualsiasi, non
compare più nell'equazione "semplificata" ; questa circostanza merita ovviamente
attenzione.
Nel nostro caso, l'equazione del fascio è (sottintendendo J.. , µ, E JR):
:F : J..(x
+y - z-
2)
+ µ(2x -
y
+ 3z -
8)
= O.
Per individuare il piano s+ì* di :F che contiene il punto P *, è sufficiente sostituire
le coordinate di quest'ultimo nell'equazione di :F:
J..(l
+2-
3 - 2)
+ µ,(2 . 1 -
2 + 3 . 3 - 8)
=o
~
µ
= 2J.. '
quindi il piano cercato si ottiene dall'equazione di :F con una coppia (J.. , µ,) tale
che µ = 2J.., ad esempio }.. = 1, µ = 2, e dunque
s.p* : (x + y - z cioè s.p*: 5x - y + 5z = 18.
ESERCIZIO 2.23
•
2)
+ 2(2x -
y
+ 3z -
8) = O,
Fasci di iani paralleli
Determinare l'equazione del fascio :F di piani paralleli al piano
s.p : 2x + 3y - z
= 3;
inoltre, determinare il piano qJ* di :F che contiene il punto P*(l , 1, 1).
Soluzione
L'insieme costituito da tutti i piani paralleli ad un piano ax
assegnato è ancora un fascio di piani,
+ by + c z
= d
Elementi di geometria analitica
33
la cui equazione (assai intuitiva) è
F: ax +by+ cz =
~el
À. E
À. ,
R
nostro caso, il fascio F ha equazione (sottintendendo nuovamente À.
F : 2x
+ 3y - z =
À. ,
è immediato verificare che il piano~* ha equazione~* : 2x
2.1.6
E~) :
+ 3y - z =
4.
Rette nello spazio
M~2!:~~~-'·
Retta ~assante ~er due ~unti
Determinare l'equazione parametrica della retta t, passante per i punti P(l , 2, 3)
e Q(2, l , - 5).
Soluzione
Per scrivere lequazione parametrica di una qualsiasi retta nello spazio, esattamente come accade nel piano, è sufficiente disporre delle coordinate di un punto
Po(xo, yo , zo) appartenente ad essa e del suo vettore direzione v = ai+bj+ck:
1·equazione parametrica, come nel caso bidimensionale, ove x, y, z sono le
coordinate del punto generico, si scrive allora
[n rn J
=
+
t
UJ
,._,._,
'--.,--'
~
punto
generico
coord.
di Po
vettore
direzione
che equivale anche a ciascuna delle due equazioni parametriche seguenti
vettoriale e scalare rispettivamente):
l
x i+yj+zk = (xo + at)i+ (Yo + bt)j+ (zo + ct)k,
~el
+ at
y = Yo + bt .
z = zo +et
X= XQ
nostro caso, quindi, possiamo scegliere come punto su t il punto P e come
\·ettore direzione il vettore vt =
PQ =
i-j-8k, ottenendo in alternativa
oppure
t:
l
x=l +t
y=2-t '
z = 3 - 8t
o anche
t :
xi+yj+zk = (I + t)i+ (2 - t)j+ (3 - 8t)k .
34
Capitolo 2
ESERCIZIO 2.25
er un
~unto, ~arallela
a una data direzi_
on
_e~-
Dato il cubo <!: avente i vertici in
(1, O, O)
(O, O, O)
(1 , 1, 0)
(O, 1, 1)
(O, 1, O)
(1 , 0, 1)
(O, O, 1)
(1, 1, 1)
scrivere l'equazione della retta t, passante per P(l, 4, - 9) e parallela alla
diagonale di <!:passante per (O, 1, O).
z
X
Soluzione
Sappiamo (vedi esercizi precedenti) che l'equazione della retta passante per Po
(xo, yo , zo) e parallela alla direzione individuata dal vettore v = ai+bj+ck è
data (ad esempio) da
nel nostro caso, poiché la diagonale citata congiunge Q1 (O, 1, O) e Q1(l , O, 1), un
--+
vettore direzione è vt: = Q 1 Q2 = i-j+k, e quindi l'equazione cercata è
ovvero xi + yj+zk = (1 + t)i+ (4- t)j+(- 9 + t)k.
ESERCIZIO 2.26
•
Rette aventi direzioni articolari
Scrivere le equazioni parametriche delle seguenti rette:
<D t, passante per P 1 (2 , 4, -1) e parallela all'asse y;
@ s: passante per P2(7, 3, 5), incidente e perpendicolare
all'asse x.
Elementi di geometria analitica
35
Soluzione
J> Se la retta
t è parallela all'asse y, un suo vettore direzione è il versore
dell'asse y, ossia j, quindi l'equazione parametrica sarà a scelta
t: xi+yj+zk = 2i+(4 + t)j-k .
~
La retta s è perpendicolare all'asse x, pertanto devono valere tre affermazioni:
• il suo vettore direzione v5 = ai+bj+ck sarà perpendicolare al versore i
dell'asse x, cioè v. i= O, ciò comporta a = O, e quindi v = Oi+bj+ck,
• s è incidente all'asse x, il che significa che deve passare per un punto
dell'asse x, avente cioè coordinate (x, O, O),
• poiché s è perpendicolare all'asse x, l'ascissa sarà costante per tutti i suoi
punti, e quindi dev'essere uguale all'ascissa del punto P2 , ciò significa
che.X= 7,
s deve quindi passare per i punti P 2 e (7, O, O), l'equazione parametrica sarà
allora s: xi+yj+zk = 7i+(3 + 3t)j+(5 + 5t)k, ossia
o
l
x=7
y = 3 + 3t
z = 5 + 5t
Stabilire se il punto P(-1, 9, -2) appartenga o meno alla retta t di equazione
t: xi+yj+zk = (2 + t)i+(3 -2t)j +(4 + t)k.
Soluzione
Perché un certo punto P(x, y, z) appartenga a una retta
s: xi+ yj+zk = (xo + at)i+(yo + bt)j+(zo + ct)k
occorre che esista un particolare valore del parametro t (chiamiamolo i) in corrispondenza del quale l'equazione parametrica di s fornisca proprio le coordinate di
P. devono quindi essere simultaneamente verificate le tre relazioni che forniscono l'ascissa x, l'ordinata y e la quota z dei punti di s, cioè deve esistere un unico
,·aJore i che verifichi le tre equazioni:
x=
lz
Y=
x0 +ai
Yo
+bi
= zo + ci
nel nostro caso il sistema diventa
l
- 1 =2 + t
9=3+t(- 2)
- 2 = 4+t
t = -3
t = -3
t = -6
poiché le tre equazioni non sono verificate simultaneamente, P non appartiene a t .
36
Capitolo 2
ESERCIZIO 2.28
•
Retta parallela a una retta data
Scrivere l'equazione parametrica della retta s, parallela a
' •[
~]=[
i]
+t [
~~ ]
e passante per il punto P(- 10, 3, 2).
Soluzione
Due rette sono parallele se i vettori direzione sono proporzionali, poiché il vettore
direzione di tè vt = 3i- 2j-Sk, possiamo usare Vr anche come vettore direzione
di .s, imponendo poi che spassi per P, l'equazione di s diventa
s•[
ESERCIZIO 2.29
•
~ J= [
TJ
+, [
~~ J.
E uazioni cartesiane o generali di una retta
----~~__.
Scrivere le equazioni generali delle seguenti rette:
Q) t1:
® r2 :
passante per il punto P1 (1, O, -4) e parallela al vettore v = 5i-6j+8k;
passante per il punto P2 (1, 2, 3), incidente all'asse z e parallela al piano
xy;
® t3: passante per il punto P3(4, 1, -5) e parallela all'asse y.
Soluzione
Una retta può essere individuata tramite un punto e la direzione (come nell'equazione parametrica) oppure come intersezione di due piani non paralleli, quest' intersezione è data, nella sua forma più generale, da una coppia di equazioni, che
prendono il nome di equazioni cartesiane della retta:
a1x
{ a2x
+ biy + c1z =di
+ b2y + c2z = d1
'
che, poi, possono essere raggruppate in un'unica riga, nel nostro caso per esempio:
a1x + biy + c1z - di = a2x + b2y + c2z - d2 =O.
Se poi le tre componenti del vettore direzione della retta v = ai+bj+ck sono
tutte diverse da zero, un modo immediato di scrivere le due equazioni (che sovente prendono il nome di equazioni generali) della retta che passa per il punto
Po(xo , yo, zo) è il seguenter
X -
xo
Y - Yo
Z - Zo
c
---= --a
b
r Nel caso qui sopra, potremmo dire che i due piani di cui la nostra retta è l'intersezione sono
per esempio
x-xo
y-yo
Y - YO
Z -zo
-a-=-b-, e - - = - -
b
e
Elementi di geometria analitica
37
Se invece le tre componenti del vettore direzione della retta non sono tutte diverse
zero, le due equazioni non saranno riconducibili a un'espressione come que"uJtima, ma sarà comunque possibile - come dicevamo prima - individuare la
msrra retta con le equazioni di due piani cui essa appartiene.
Partiamo da t 1 : le componenti del vettore direzione sono tutte diverse da zero,
basta usare le formule:
ti :
~
x- 1
-5-
z+4
y
= -6 = -8-.
Per r2 , bisogna osservare che, essendo parallela al piano xy, non è possibile scriverne le equazioni generali (il coefficiente e è uguale a zero), tuttavia
possiamo sempre esprimere t 2 come intersezione di due piani, ovviamente le
scelte sono infinite; osserviamo, per cominciare, che t 2 è orizzontale (parallela al piano xy), il valore di z dei suoi punti sarà costante (e quindi uguale
alla quota di P2, che è 3), e allora t1 è contenuta nel piano z = 3. Essendo
poi r2 incidente all'asse z dovrà passare per un suo punto, di ascissa x = O e
ordinata y =O; poiché la quota dev'essere 3, t2 passerà per il punto (O, O, 3);
l'altro piano sarà allora un qualsiasi piano passante per (O, O, 3) e per ( 1, 2, 3),
il più semplice è 2x = y; le equazioni cartesiane di t 2 saranno allora
z= 3
{ 2x = y
o, alternativamente, raggruppandole in una:
z -3=0
{ 2x -y =O
~
:::}
2x-y=z - 3=0.
Per quanto riguarda t 3 , essendo parallela a un asse (nel nostro caso l'asse y),
i suoi punti avranno ascissa e quota costante, ne segue che t 3 è contenuta sia
nel piano x = 4, sia nel piano z = -5, ecco quindi che le sue equazioni
cartesiane saranno
{
~ : ~5
,
o anche
x - 4 = z+5
= O.
rivere le equazioni cartesiane della retta
t: x i+yj+z k = (5 + 3t)i+(-6 + 2t)j+(7 - 4t)k.
Soluzione
Data una retta generica
38
Capitolo 2
in cui a, b e e sono diversi da zero, per passare alle equazioni cartesiane (in questo caso, anzi, alle equazioni generali) è sufficiente ricavare i tre valori di t dati
dall'equazione parametrica:
y - yo
X-Xo
t = - -- ,
a
b
t =
z -zo
t = --
'
c
e uguagliarli tra loro:
xo
y - Yo z - zo
-x --=
--= --a
b
e
Nel nostro caso allora le equazioni cartesiane di t saranno
x-5
3
z-7
-4 '
y+6
2
t·-- = --=--
.
o anche, liberando dai denominatori,
t :
4x - 20 = 6y
+ 36 =
21 - 3z .
&rivere le equazioni generali delle seguenti rette:
Soluzione
CD Nel vettore direzione Vr dir una componente (la seconda, nella variabile y) è
nulla, quindi non sarà possibile scrivere le equazioni generali come nel caso
precedente, risolvendo comunque rispetto a t la prima e la terza equazione
ricaviamo una relazione analoga a quella generale, cui bisognerà accostare
un relazione ad hoc per y:
x-1
2
z+3
r: - - = - - , y =2,
5
a questo punto possiamo liberare dai denominatori la prima equazione, ottenendo 5x - 5 = 2z + 6, e cioè 5x - 2z - 1 = O, ora possiamo accostare questa
equazione alla seconda, nella forma y - 2 =O, ottenendo infine l'equazione
r : 5x - 2z - 1
@
=
y- 2
= O.
Nel vettore direzione vs di .s una sola componente è diversa da zero, ciò significa che .s sarà composta da tutti quei punti aventi y e z uguali rispettivamente
a 4 e 1, mentre l'ascissa x sarà libera di variare, le equazioni generali saranno
allora le equazioni che vincolano y e z ai loro valori:
.5:
y
= 4, z = 1,
ovvero
.s:y-4=z - 1=0 .
Elementi di geometria analitica
39
Scrivere le equazioni parametriche delle seguenti rette:
@ t1 : X
@ t3:
+ 3y + 1 =
Z - y = 2;
=z - 3 =6.
3x - 2y
Soluzione
i
L'equazione della retta t1 è scritta in forma generale, si legge quindi subito
che la retta passa per il punto (3, - 4, O) ed è parallela al vettore 2i+ 3j+7k,
e quindi
i
Per quanto riguarda t 2 , la cosa più semplice è scindere le due equazioni,
prendere una delle variabili (per esempio y) e utilizzarla come parametro:
X+ 3y + 1 = 2
{ z - y=2
[y=t ]
~
l
X
+ 3t + 1 =
y =t
z-t=2
2
~
l
1- 3t
y=t
z = 2+t
X=
e quindi un'equazione parametrica di t 2 è
3 Lo stesso procedimento può essere seguito anche per
t 3 osservando che la
coordinata z, essendo fissata, non è utilizzabile come parametro:
3x - 2y = 6
{ z-3=6
[x=t]
~
l
X =
t
3t-2y = 6
t
X=
z=9
e quindi
in alternativa, moltiplicando per 2 il vettore direzione:
{
y = -3
z=9
3
+ 2t
40
Capitolo 2
ESERCIZIO 2.33
•
Punto in comune tra due rette
Determinare se le rette
abbiano o meno un punto in comune.
Soluzione
x,
Set e .s hanno un punto in comune P, allora le coordinate di P (chiamiamole
y e z) devono verificare le equazioni di entrambe le rette, e quindi devono esistere
due valorig t 1 e t 2 per cui rispettivamente
eliminando
x, y e zsi ottengono tre equazioni in t 1 e t2:
1 + !1 = 2 + 2t2
2- 3t1 = t2
3 + 2t1 = 1- t2
1
le prime due equazioni sono verificate se t 1 = ~ e t 2 = -~, ma questi valori
non soddisfano la terza equazione, e quindi le due rette non hanno alcun punto in
comune.
ESERCIZIO 2.34
•
Rette e fasci di ~iani
Determinare l'equazione del fascio di piani :F, avente come suppono la retta
Soluzione
Per individuare :F, è sufficiente riscrivere la retta in forma cartesiana, ossia come
intersezione di due piani, le cui equazioni serviranno a costruire l'equazione di :F.
Eliminando t dall 'equazione parametrica, si trova
z -1
x -2=3-y= -2- ,
g
Attenzione: è fondamentale attribuire nomi diversi ai parametri delle due rette.
Elementi di geometria analitica
41
ossia, raggruppando alternativamente primo e secondo oppure primo e terzo
membro:
x+y=5
{ 2y + z = 7 '
pertanto l'equazione di :F è
:F : À(x + y - 5) + µ(2y +
z-
7) = O.
Scrivere l'equazione del piano ~ contenente il punto P ( 6, 1, l) e la retta
t•
X+ 2z
= 2
· { x-y-z=3
Soluzione
Qoesto esercizio può essere svolto in due modi.
Primo modo: preso il vettore direzione vt della retta te un punto Q appartenente
essa, il piano ~ sarà perpendicolare ai vettori v t e ([P e passerà per P. Ponendo
= x - z- 3 =
-1 - 3t, dunque l'equazione parametrica di tè
2
: = t nelle equazioni cartesiane di t, si ricava x = 2 - 2t e y
pertanto (cambiando il segno di vt per comodità)
Dati vt e QP = 4i+2j+k, il vettore
entrambi, quindi
vq:i
= 2i+3j-k e Q(2, -1 , O) .
perpendicolare a~ è perpendicolare a
Vr
~
V-:p
e quindi l'equazione
di~
= Vt /\ QP = 5i-6j-8k,
è
~:
5x - 6y - 8z = 16.
Secondo modo: il piano ~ appartiene senz'altro al fascio :F avente t come
supporto:
:F : À(x + 2z - 2) + µ(x - y - z - 3) = O,
~sarà l'unico piano di :F a passare per il punto P, inserendo le coordinate di P
nell'equazione di :F ricaviamo l'uguaglianza
À(6 + 2. 1 - 2)
+ µ(6- 1 -
1 - 3)
=o
*
µ = -6À ,
ponendo allora nell'equazione di :F À = 1, µ = -6 ricaviamo l'equazione di~ :
~ : (x
+ 2z -
2) - 6(x - y - z - 3) = O,
ossia (cambiando il segno)~: 5x - 6y - 8z - 16 =O.
42
Capitolo 2
2.1.7
Distanze nello spazio
ESERCIZIO 2.36
•
Distanza unto-punto
Determinare la distanza 8 tra i punti A(4, -2, 12) e B(5, 5, 5).
Soluzione
Esattamente come nel caso bidimensionale, la distanza tra due punti Po(xo, Yo , zo)
--+
-,------,,-7
e P1 (x1 , Yl, z1) è il modulo del vettore che li unisce, cioè PoP1 o P1 Po:
distanza(Po, P1) = IM I = )Cxi - xo) 2
+ (y1 -
Yo) 2
+ (z1 -
zo) 2 ;
~
scegliamo il vettore A B = i+ 7j - 7k, e
o= 1Afi1=)12 +72 + (- 7) 2 = .J99 = 3.Jil .
ESERCIZIO 2.37
Determinare la distanza 8 tra il punto P (l, 2, 5) e il piano S.l}: 2x-3y +4z = 12.
Soluzione
La distanza tra il piano ax + by + cz + d = O e il punto P o(xo, yo, zo) si può
calcolare con la formuJah
.
distanza=
la · xo +
b · Yo +e · zo +d i
Ja2 + b2 + c2
;
nel nostro caso, l'unica cosa cui fare attemione (vedi la nota) è riscrivere l'equazione di S.l} nella forma ax + by+ cz + d = O, ossia S.l} : 2x - 3y + 4z - 12 = O,
a questo punto applichiamo la formula:
+;:::::(=-=3)=·=2 =+=4=·=5=---1_21
0 = _12_· _I ----;
,122 + c- 3) 2 + 42
ESERCIZIO 2.38
•
4
=
m·
Distanza piano-piano
Calcolare la distanza 8 tra i piani
~1 :
x
+y -
3z = 10
e
S.l}2 : 2x
+ 2y -
6z = 2.
h Attenzione: l'equazione di un piano si può scrivere in due modi molto simili, per esempio il
piano di questo esercizio si può alternativamente scrivere
2x - 3y
+ 4z = 12
o
2x - 3y
+ 4z -
12 = O,
la formula della distanza tra un punto e un piano è valida se il piano è scritto coerentemente con
l'equazione generica indicata, all'occorrenza sarà necessario portare a primo membro il termine
noto.
Elementi di geometria analitica
43
Soluzione
Sulla base delle osservazioni dell'Esercizio 2.20, poiché i coefficienti di x, y e z
sono proporzionali e i termini noti no, i piani s,p 1 e s,+} 2 sono paralleli ; per calcolarne la distanza è sufficiente calcolare la distanza di un punto qualsiasi di uno
dei due dall'altro. Prendiamo allora un punto P E ~h. per esempio P(l , O, O) , e
.:alcoliamo la distanza tra s,+} 1 e P , seguendo il metodo dell'esercizio precedente:
8 = distanza(P, s,+} 1) =
•
Calcolare la distanza
Il · 1 + I ·O - 3 ·O- 1OI
y'I 2 + 12 + (-3) 2
=
9
IT7'lI •
-vi 1
Distanza punto-retta
otra il punto P (I , 2, 6) e La retta
Soluzione
Dati il generico punto Q e la retta .s passante per il punto Po e parallela al vettore
la distanza tra Q e .s è data dalla formula
T s·
.
d1stanza(Q,.s) =
lvsI\ PoQI
lvsl
;
r.iel nostro caso Ia retta t passa per Po (2, -1, 4) ed è parallela al vettore v r =
i-5j+4k ; notiamo che Po/> = - i+3j +2k e che quindi
Vr I\
PoP = -2i-6j +8k,
lllora
ESERCIZIO 2.40
Calcolare La distanza
otra il piano s,p : 2x - y + z =
12 e La retta
Soluzione
La distanza tra un piano e una retta è diversa da zero solo se piano e retta in queSlione sono paralleli (nel nostro caso s,p et sono paralleH, perché Vr = i+3j + k ,
enore direzione di t , è perpendicolare a v'.P = 2i- j + k, vettore perpendicolare
2 ~). in questo caso, per calcolarne la distanza, basta calcolare la distanza dal
44
Capitolo 2
piano di uno qualsiasi dei punti di t; calcoliamo allora la distanza tra ~ e il punto
P(3, 4, 2), ovviamente appartenente alla retta (infatti compare nell'equazione):
8 =distanza(?,~)=
ESERCIZIO 2.41
•
12·3 - 1·4+1·2-121
-----;:::::==========:::::::::--=
.J22
+ (-
J)2 + 12
8
r;:.
6
-vo
.
Disqnza retta-retta. Rette sghembe
Calcolare la distanza 8 tra le rette:
Soluzione
Consideriamo due rette t1 e tz, la prima passante per P1 e con vettore direzione v1
e la seconda passante per P2 e con vettore direzione v2, allora la loro reciproca
posi.zione nello spazio è una delle seguenti quattro:
• coincidenti: le due rette sono in realtà la stessa retta;
• incidenti: le due rette hanno in comune un punto;
• parallele: le due rette hanno vettori direzione proporzionali (e nemmeno un
punto in comune);
• sghembe: le due rette non hanno nessun punto in comune, e i vettori direzione
non sono proporzionalii.
Se le rette sono coincidenti o incidenti, la loro distanza è - ovviamente - zero, se
sono parallele per calcolarne la distanza basta calcolare la distanza di un punto di
una delle due dall'altra, se sono sghembe la loro distanza è data dalla formula
Sappiamo (dall'Esercizio 2.33) che t e s non sono incidenti, non sono parallele
perché i due vettori direzione non sono proporzionali, quindi sono sghembe, applichiamo allora la formula appena scritta; nel nostro caso chiamiamo P(l , 2 , 3) il
punto su te Q (2, O, 1) il punto su .s, inoltre i vettori direzione sono rispettivamente
Vr = i-3j+2k e v5 = 2i+j-k; ne segue
PQ = i-2j-2k
e
Ve/\ V5
= i+Sj+ 7k ;
i Notiamo per inciso che nello spazio due rette sono dette perpendicolari se sono perpendicolari
i loro vettori direzione, indipendentemente dal fatto che siano incidenti o meno, il che significa che
due rette possono essere contemporaneamente sghembe e perpendicolari.
Elementi di geometria analitica
da cui
45
PQ .V-e/\ Vs = -23 e che lv-e/\ Vs l = .J1 2 + 52 + 7 2 = s.J3, e quindi
2.1 .8
C oniche e quadriche
Stabilire a quali curve notevoli corrispondono le seguenti equazioni:
+ 3y 2 -
J)
2x 2
~
3x y - 3x
4x
+ 12y + 8 =
+ 6y + 2 =
O;
O;
@
4x 2
© y2
-
8y 2 -16x - 48y - 40 =O;
+ X + 4y
= O.
Soluzione
Data una generica equazione di secondo grado in x e y
e possibile dimostrare che i punti le cui coordinate (x, y) del piano soddisfano
tale equazione (ove ve ne siano) formano una curva detta conica, perché si ottiene
intersecando un cono circolare con un piano. A seconda dell'inclinazione e della
posizione del piano si può ottenere:
• un'ellisse (un cerchio se il piano è perpendicolare all'asse del cono), se l'inclinazione del piano con l'asse del cono è maggiore di quella della retta
generatrice
46
Capitolo 2
• una parabola, se l'inclinazione del piano con l'asse del cono coincide con
l'inclinazione della retta generatrice
• un'iperbole, se l'inclinazione del piano con l'asse del cono è minore di quella
della retta generatrice
ln tutti e tre i casi, il piano non passa per il vertice del cono; in tale circostanza
si avrebbero delle coniche "degeneri", più precisarnentei: un punto nel caso corrispondente all' elUsse, una retta nel caso corrispondente alla parabola e una coppia
di rette incidenti, nel caso corrispondente all'iperbole.
; Tralasciamo la trattazione del caso in cui non compaia una delle due variabili: è evidente che
un'equazione nella sola x o nella sola y può portare (dal punto di vista della rappresentazione nel
piano xy) a rette del tipo x =ho y = k.
Elementi di geometria analitica
47
Per ciascuna curva, esiste una forma canonica, cui conisponde la più semplice
rappresentazione grafica della curva stessa:
Ellisse La forma canonica è
x2
a2
y2
b2 = 1
+
a e b sono le lunghezze dei semiassi; se a = b l'ellisse diventa un cerchio, di
raggio a
y
X
Poiché l'ellisse è anche la curva fotmata dai punti del piano le cui distanze da
due punti fissi Fi e F1, dettifuochi, hanno somma costante, F1 e F2 si trovano
sull'asse maggiore dell'ellisse. Con pochi conti si vede che se a > b, allora
i fuochi sono sull'asse orizzontale, nei punti di ascissa ±c = ±.Ja 2 - b2 ;
viceversa se b > a, i fuochi sono sull'asse verticale, nei punti di ordinata
±c = ±.Jb2 - a2. Infine è detta eccentricità dell'ellisse il rapporto e (sempre
minore di 1) tra la distanza focale (cioè la lunghezza del segmento F1 F2) e la
lunghezza dell'asse maggiore, se a > b
c
a
e=-=
.Ja2 - b2
=
a
n2
1-a2·
Infine, i casi degeneri: qualora l'equazione assuma la forma
oppure
x2
a2
y2
+ b2
= -1 ,
siamo in presenza di situazioni "limite": nel primo caso all'equazione corrisponde un solo punto (lorigine degli assi) nel secondo caso si parla talora di
ellisse immaginaria, poiché nessuna coppia di numeri reali x, y può soddisfare
un'equazione del genere.
Iperbole Posto alternativamente a = 1, a - 1 o ancora (caso degenere) a = O,
la forma canonica dell'equazione di un'iperbole è
x2
y2
a2 - b2 =a.
L'iperbole ha come assi di simmetria gli assi coordinati, se a = 1 interseca
l'asse delle ascisse nei due vertici (±a, O), se a = - 1 interseca l'asse delle
ordinate nei due vertici (O, ±b):
48
Capitolo 2
in ambo i casi, gli asintoti sono le due rette che si ottengono ponendo a = O:
x 2 y2
---=0
a2
y =
b2
b
±- x,
a
se a = b l'iperbole è detta iperbole equilatera, i cui asintoti sono le bisettrici
dei quadranti. Poiché l'iperbole è anche la curva formata dai punti del piano le
cui distanze da due punti fissi F 1 e F2, detti fuochi, hanno differenza costante,
F 1 e F1 si trovano sull'asse che viene intersecato dall'iperbole (detto pertanto
asse focale). Detto c = J a 2 + b 2 , con pochi conti si vede che se a = 1,
allora i fuochi sono sull'asse orizzontale, nei punti di ascissa ±e; viceversa:
se a = -1 i fuochi sono sull'asse verticale, nei punti di ordinata ±c. Infine
è detta eccentricità dell'iperbole il rapporto e (sempre maggiore cli 1) tra la
distanza focale (cioè la lunghezza 2c del segmento F1 F2) e la clistanza tra i
vertici, se a = I la distanza tra i vertici è 2a, e dunque
e=<:_= .Jaz + bz = J1 + b2;
a
a2
a
viceversa, se a = -1 la distanza tra i vertici è 2b, e dunque
Ja 2 +b 2
c
e=
b=
b
=
~
Y1 + [;2·
Infine, il caso degenere: qualora l'equazione assuma la forma
x2
y2
a2 -
b2 =O,
siamo in presenza di una situazione "limite": l'iperbole si è ridotta ad una
coppia di rette.
Vi è poi, meritevole di citazione, un caso particolare: presa un'iperbole equilatera
x2
-
a2
y2
--=±1
a2
ruotandola di metà angolo retto, si giunge a un'iperbole che ha per asintoti gli
assi coordinati, la cui equazione è
xy = k,
Elementi di geometria analitica
ove k =
k = -
0
;
49
a; > Ose l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quadrante, e invece
<O se l'iperbole si trova nel secondo e nel quarto quadrante:
k<O
X
Se k = Oritroviamo il caso degenere: la curva è composta dai due assi coordinati. Poiché l'iperbole è equilatera l'eccentricità e è in tutti i casi e = ../2,
moltre se k > Oi fuochi si trovano lungo la retta y = x nei punti ($ , $ )
e (-$, - $ ) , mentre se k < Oi fuochi sono lungo la retta y = -x, nei
punti ( -J=2f, --J=if) e (--J=if, -J=if).
Parabola La forma canonica dell'equazione di una parabola è
1): y = ax 2
oppure
2): x = by2 .
E arniniamo dapprima il caso i): la parabola ha l'asse delle ordinate come
asse di simmetria, il suo vertice nell'origine e la concavità rivolta verso l'alto
se a > O, verso il basso se a < O:
a>O
a< O
X
X
Sei caso 2) le cose si ribaltano io orizzontale: la parabola ha l'asse delle ascisse
oome asse di simmetria, il vertice è sempre nell'origine, infine la concavità è
rivolta verso destra se b > O, verso sinistra se b < O.
y
b>O
b<O y
X
X
50
Capitolo 2
Poiché la parabola è anche la curva formata dai punti del piano equidistanti
da un punto F (il fuoco) e da una retta t (la direttrice), nel caso y = ax 2 è
facile verificare che il fuoco si trova sull'asse y, nel punto F(O , 41a), mentre la
direttrice è la retta t : y = -
la .
Dall'elenco che abbiamo visto, si deduce che in generale per stabilire la natura
delJa curva in esame è innanzitutto necessario osservare la porzione di secondo
grado dell'equazione, ossia
ax 2 + bxy + cy 2 ,
ciò che può accadere è"
b
a
e
f O =0 #0
=0
f O =0
f O =0 =0
=0 = 0 #0
#0 f O #0
o #0 #O
#0 #0 o
ellisse (se a e e sono concordi)
iperbole (se a e e sono discordi)
iperbole
parabola
rotazione
I termini di primo grado (escluso in parte il caso della parabola) tengono conto invece delle traslazioni degli assi, ed è sufficiente trattarli "completando i quadrati".
<D Completando i quadrati, abbiamo
2x 2
+ 3y 2 -
4x
+ 12y + 8 =O
Portando a secondo membro il termine noto e dividendo tutto per 6, otteniamo
(x-1) 2
3
+
(y+2)2
2
=1.
Questa è l'equazione di un'elUsse, centrata nel punto ( 1, - 2) di semiassi rispettivamente v'3 e ,Ji., avente i fuochi nei punti (O, -2) e (2, -2), e di eccentricità
e=
]J.
@ Completando i quadrati, abbiamo
4x 2
-
8y 2
-
l6x - 48y - 40 = 4(x - 2) 2
-
B(y
+ 3) 2 + 16 =O,
k Dalla tabella, si vede che vi sono tre possibilità che non sono comparse nell'elenco precedente,
si tratta di coniche ottenute ruotando gli assi, nella tabella sono indicate, ma le tratteremo in dettaglio
nel nono capitolo.
Elementi di geometria analitica
a
51
(y + 3)2
- - - =-1.
4
2
~ ta è l'equazione di un'iperbole, centrata nel punto (2 , -3), il cui asse focale
la retta verticale x = 2, i fuochi sono sulla retta x = 2, a distanza c = .J'6
centro, ovvero nei punti (2, -3 + ../6) e (2, -3 - ../6) e l'eccentricità vale
= -/3; le coordinate dei vertici si ottengono ponendo x = 2 nell'equazione, e
ricava y = -3 ± .J2; infine gli asintoti dell'iperbole si ottengono uguagliando
il secondo membro:
(x - 2) 2
(x - 2)2
(y
4
+ 3)2 =o
2
Raccogliendo dapprima 3x si arriva a scrivere che
3xy - 3x
+ 6y + 2 =
3(x
+ 2)(y -
1)
+ 8 =O
cioè, dividendo per 3
(x
+ 2)(y -
1) = -
8
3,
d>e è l'equazione di un'iperbole equilatera (dunque e = .J2), centrata nel punto
-2, 1), avente come asintoti le rette x = -2 e y = 1, posizionata nei quadranti
nord-ovest e di sud-est rispetto a tali rette, e avente dunque come asse focale la
+ 2); i fuochi si trovano sulla retta t, a distanza {} da e'
·vero nei punti (-2 + {j, 1 - {j) e (-2 - {j, I + {j), e i vertici sono sempre
t. nei punti (-2 + [i,. 1 - /j) e (-2 - fj. 1 + /j).
retta t : y = 1 - (x
~
Completando il quadrato della y e mettendo x in evidenza, abbiamo che
y 2 +X+ 4y = 0
X=
{:}
4- (y
+ 2) 2 .
Si tratta dell'equazione di una parabola con asse di simmetria orizzontale (la retta
= -2), che rivolge la concavità verso sinistra; il vertice è nel punto (4, -2); il
fuoco è nel punto ( 1 -2) e la retta direttrice è la retta verticale x = 1
1,
aii•E!~e~.Ji·
J.
Quadriche
Srabilire a quali superfici notevoli corrispondono le seguenti equazioni:
<D 3x 2 -6x + y 2 + 4y + 3z2
- 6z - 2 =O;
@ 2x 2 - 4x - 3y 2 - 2z 2
8z - 6 =O;
@ x 2 - 2x - y 2 - 2y - 2z 2
4 = O;
@ x 2 - 2y 2 - 4y
4z 2
8z
10 = O;
2
2
@x
4x
y
3z - 6z
4 = O;
® x - 2y 2 - 4y z 2 4z 2 =
+
+
+
+ + +
+ +
+
+ + +
o.
Per ciascuna di esse, stabilire cosa si ottiene quando si interseca la superficie con
piano come x = xo, y = Yo e z = zo al variare di xo, Yo e zo.
ll1l
52
Capitolo 2
Soluzione
Data una generica equazione di secondo grado in x, y e z
aux 2 +a22Y 2 +a33z 2 +a12xy +a13xz +a23YZ +b1x +b2y +b3z +e= O,
i punti dello spazio le cui coordinate (x, y, z) soddisfano tale equazione, fatti salvi
i casi degeneri1, formano una superficie detta quadrica. Prenderemo in esame i casi (non degeneri) in cui compaiono tutte e tre le variabili, senza termini misti (che
provengono da rotazioni) e senza termini di primo grado (che tengono in conto
le traslazioni). Per ciascun caso vediamo la forma canonica dell'equazione corrispondente e le principali proprietà di simmetria della superficie. Prescindendo dai
coefficienti, le equazioni si dividono in tre categorie, a seconda dei segni:
Tre coefficienti di secondo grado,
tutti positivi
x2
+ y2 + z2 =
...
Ellissoidi e sfere
Tre coefficienti di secondo grado,
due positivi e uno negativo
x2
+ y2-z2 =
.. .
Coni e iperboloidi
Due coefficienti di secondo grado,
uno di primo grado
x2 + y2 - z = .. .
x2- y2-z = .. .
Paraboloidi
Ellissoide L'equazione è
x2
2
a
y2
z2
+ b2 + 2e
= l,
gli assi coordinati sono i tre assi dell'ellissoide; analogamente all'ellisse a, b
e e rappresentano le lunghezze dei semiassi. Se intersechiamo l'ellissoide con
un piano parallelo ai tre piani coordinati (x = x 0 , oppure y = y 0 o anche
z = zo), la curva risultante sarà in tutti i casi un'ellisse.
Naturalmente, se a = b = e 1' ellissoide diventa una sfera, di raggio a.
1 Casi
che non affronteremo.
Elementi di geometria analitica
53
Cono L'equazione è
x2
Y2
z2
2
a + b2 - 2e =O,
(notiamo che a secondo membro compare 0). L'asse z, corrispondente al fatto
che nell'equazione davanti al termine in z compare un segno meno, è l'asse
del cono. Se intersechiamo il cono con un piano orizzontale z = zo, troviamo
un punto, se zo = O; un'ellisse, se zo =I= O (o una circonferenza, se a = b).
Se intersechiamo il cono con un piano verticale x = xo, troviamo una coppia
di rette, se xo = O; un'iperbole, se xo =I= O. Un discorso analogo vale per
l'intersezione con un piano verticale del tipo y = Yo·
Iperboloide a una falda L'equazione è
x2
2
a
y2
+ b2
z2
-2
e = l,
(notiamo che a secondo membro compare 1, un numero positivo). L'asse
:: è l'asse dell'iperboloide. Se intersechiamo la superficie con un piano
54
Capitolo 2
orizzontale z = z: 0 , troviamo un'ellisse (o una circonferenza se a = b); se la
intersechiamo con un piano verticale x = x 0 , troviamo un'iperbole con asse
focale orizzontale. Un discorso analogo vale per l'intersezione con un piano
verticale del tipo y = YO ·
Iperboloide a due falde L'equazione è
xz
yz
-+ -
a2
b2
z2
- - = - 1,
c2
(notiamo che a secondo membro compare -1, un numero negativo). L'asse
z è l'asse dell'iperboloide. Se intersechiamo la superficie con un piano
orizzontale z = zo troviamo un'ellisse (o una circonferenza se a = b),
a patto che z~ > c 2 ; se la intersechiamo con un piano verticale x = xo,
troviamo un'iperbole con asse focale verticale. Un discorso analogo vale per
l'intersezione con un piano verticale del tipo y = YO·
Paraboloide ellittico L'equazione è
x2
a2
y2
+ b2
-z =O,
L'asse z è l'asse del paraboloide. Se intersechiamo la superficie con un piano
orizzontale z = z0 , troviamo un'ellisse (o una circonferenza se a = b), a
Elementi di geometria analitica
55
patto che zo > O; se la intersechiamo con un piano verticale x = xo, troviamo
una parabola con asse verticale. Un discorso analogo vale per l'intersezione
con un piano verticale del tipo y = YO·
Paraboloide iperbolico L'equazione è
x2
y2
a2 - b2 -z =O,
L'asse z è ]'asse del paraboloide. Se intersechiamo la superficie con un piano
orizzontale z = zo, troviamo un'iperbole, se zo =/= O; una coppia di rette, se
zo = O. Se la intersechiamo con un piano verticale x = xo, troviamo una
parabola con asse verticale. Un discorso analogo vale per l'intersezione con un
piano verticale del tipo y = Yo.
·
J)
Completando i quadrati, abbiamo
ossia
(x - 1) 2
4
+
(y
+ 2) 2
12
+
(z - 1)2
4
= l,
che è l'equazione di un ellissoide centrato nel punto (1, - 2, 1), ad assi paralleli
agli assi coordinati, i cui semiassi nelle direzioni dell'asse x, y e z sono lunghi
rispettivamente 2, 2.)3, 2.
56
Capitolo 2
Studiando le intersezioni di un ellissoide con un piano parallelo a un piano coordinato, si possono presentare tre casi: il piano non interseca l'ellissoide, il piano
è tangente all'ellissoide, il piano interseca effettivamente l'ellissoide e la curva
ottenuta è un'ellisse. Le intersezioni avverranno secondo il seguente schema:
per un piano del tipo x = xo
x 0 < -1 o x 0 > 3
Xo = 1±2
-1 < XQ < 3
nessuna intersezione
un punto: (1 ± 2, - 2, 1)
un'ellisse
per un piano y = Yo
Yo < -2 - 2.)3 o Yo < - 2 + 2.J3
un punto: (1, -2 ± 2.J3, 1)
una circonferenza
Yo = - 2 ± 2.J3
-1 < xo < 3
per un piano z =
zo
Zo
@
nessuna intersezione
< -1 o Zo > 3
Zo = 1 ± 2
-1<zo<3
nessuna intersezione
un punto: (1, - 2, 1 ± 2)
un'ellisse
Completando i quadrati, ricaviamo
2x 2 - 4x - 3y 2 - 2z 2
+ 8z -
6 = 2(x - 1) 2
-
3y 2
-
2(z - 2)2 =O.
Notiamo che i coefficienti di x 2 , y 2 , z 2 non hanno tutti lo stesso segno e che il
termine noto è O. Si tratta dunque dell'equazione di un cono, il cui vertice si trova
nel punto (1, O, 2) e il cui asse è parallelo all'asse riferito alla coordinata con il
segno diverso dalle altre, vale a dire l'asse x; in altre parole l'asse del cono è la
retta t : y = O, z = 2.
Elementi di geometria analitica
57
f 1. L'intersezione con il
piano x = 1 si riduce al solo vertice. Le intersezioni con i piani y = y 0 e z = zo
sono iperboli, eccezion fatta per i piani y = O e z = 2, la cui intersezione con il
cono è in entrambi i casi una coppia di rette.
Le intersezioni con i piani x = x 0 sono ellissi se x 0
3 Completando i quadrati, ricaviamo
x 2 - 2x - y 2 - 2y - 2z 2 + 4 = (x - 1) 2 - (y + 1) 2 - 2z 2 + 4 = O.
Portando il 4 a secondo membro, dividendo tutto per 4 e cambiando il segno a
l'equazione affinché vi sia un'unica coordinata con il segno meno, troviamo
DJtta
(x - 1)2
4
+
(y
+ 1)2
4
z2
+1=1.
Sa tratta di un iperboloide a una falda, centrato nel punto (1, -1, O), con asse
parallelo all'asse x (la coordinata avente segno diverso dalle altre), ossia la retta
t:y=-1,z=O.
Le intersezioni con i piani z = zo e y = Yo in tutti i casi producono delle iperboli,
le intersezioni con i piani x = xo producono ellissi.
ii. Completiamo i quadrati:
x 2 - 2y 2 - 4y + 4z 2 + 8z + 10 = x 2 - 2(y + 1) 2 + 4(z + 1) 2 + 8 = O.
Portando 8 a secondo membro e dividendo per 8, troviamo
x2
(y+1)2
4
+
(z+l)2
2
= -l,
8
che è l'equazione di un iperboloide a due falde, centrato nel punto (O, -1, -1) e
ente asse parallelo all'asse y, ovvero la retta r : x = O, z = - 1.
58
Capitolo 2
Le intersezioni con i piani z = zo e x = xo in tutti i casi producono delle
iperboli. Per studiare le intersezioni con i piani y = Yo è sufficiente porre Yo
nell'equazione, ottenendo
(z
x2
8+
+ 1)2
2
=
(yo
+ 1) 2 -4
4
Se il secondo membro è negativo (cioè per -3 < Yo < 1), non vi sono intersezioni. Se il secondo membro si annulla (per Yo = 1 o Yo = -3), l'intersezione è
costituita da un punto. Se il secondo membro è positivo (yo < - 3 oppure Yo > 1),
l'intersezione è costituita da un'ellisse, il cui asse orizzontale è maggiore dell'asse
verticale.
®Notiamo che non compare il termine in y 2 ; si tratta dunque di un paraboloide.
Completando i quadrati otteniamo
x2
+ 4x + y + 3z 2 -
6z
+4 =
(x
+ 2) 2 + y + 3(z -
1) 2
-
3 = O,
che possiamo riscrivere come
y- 3
= - (x + 2)2 -
3(z - 1)2.
È l'equazione di un paraboloide ellittico, avente vertice in (-2, 3, 1), contenuto
tutto nel semispazio {y ::: 3}, con asse parallelo all'asse y, vale a dire la retta
t: X = - 2, Z = 1.
Le intersezioni con i piani z = zo e x = xo in tutti i casi producono delle
parabole. Le intersezioni con i piani y = Yo producono ellissi se Yo < 3, un
singolo punto (il vertice del paraboloide) se Yo = 3; non vi è alcuna intersezione
se Yo > 3.
Come al punto precedente, noti.amo che non compaiono termini in x 2 ,
completiamo i quadrati:
@
x - 2y 2
-
4y
+ z 2 + 4z + 2 =
x - 2(y
+ 1) 2 + (z + 2) 2
= O
o equivalentemente
X
= 2(y
+ 1) 2 -
(z
+ 2) 2 .
È l'equazione di un paraboloide iperbolico, avente vertice in (O, -1, -2), con asse
parallelo all'asse x, vale a dire la retta t: y = -1 , z = -2.
Elementi di geometria analitica
59
Le intersezioni con i piani z = zo e y = Yo in tutti i casi producono delle
parabole. Le intersezioni con i piani x = xo producono iperboli se x 0
coppia di rette se x 0 =O.
#
O, una
Stabilire a quali superfici notevoli corrispondono Le seguenti equazioni:
(!) x2
+ y2 =
1;
® y2
-z =O;
@
x2
-
z2
+1=
O.
Soluzione
~naJogamente al precedente esercizio, anche le superfici di questo esercizio sono
quadriche; tuttavia l'assenza (nell'equazione) di una delle variabili indica che le
corrispondenti superfici sono costituite da fasci di rette paraJlele tra loro, e vengono chiamate, per estensione, "ci lindri".
i I punti che soddisfano l'equazione sono tutti (e soli) i punti aventi la quota z
ibera di variare, ma che si proiettano ortogonalmente nel piano xy sulla circonerenzam x 2 + y 2 = 1; si tratta di un cilindro, di raggio 1, il cui asse coincide con
·asse z.
m Attenzione: l'equazione della circonferenza e del cilindro sono identiche! È diverso il signicato che attribuiamo a ciascuna, perché è diverso il "terreno di gioco": in un caso il piano xy,
nell'altro tutto lo spazio a tre dimensioni.
60
Capitolo 2
Nel piano y z l'equazione y 2 - z = Oindividua una parabola, con il vertice nel1'origine e la concavità rivolta nel verso delle z crescenti; la superficie è costituita
da rette parallele all'asse x.
@
+ 1 = O individua un'iperbole, con asse
focale coincidente con l'asse z; poiché y è libero di variare, otteniamo un "cilindro
a sezione iperbolica".
@ Nel piano
2 .2
45
xz l'equazione x 2
-
z2
Esercizi proposti
= 12i-2j-4k e w = 2i+j+3k, calcolare 4v + lOw e 3v - 2w.
[4v + IOw = 68i+2j+14k; 3v- 2w = 32i-8j-18k]
Dati v = -2i+3j+8k e w = ai+Sj-ak, determinare a in modo che u = 3v - 2w
Dati v
46
sia contenuto nel piano yz, quanto vale u in tal caso?
[a= -3; u
47
Calcolare il modulo div
= -j + 2k]
= - i+j-k.
48 Dato il vettore v = 4i+aj-2k, determinare a affinché lvi = 6.
[~ =
±4]
Elementi di geometria analitica
Dati v
= a i- j +k e w = 2i-4j+k, determinare a affinché v . w =
61
23.
[a= 9]
Determinare l'angolo~ compreso tra v
= 3i+3j -6k e w = - i-2j + k.
[~
Calcolare v /\ w, ove v
= ~n]
= 2i-5j-k e w = - i+2j+l0k.
[v /\ w = -48i- l 9j-k]
y
w
Dati v = ai+j +4k e w
= 13i+5j-llk.
= 2i-3j + k, determinare (se possibile) a
in modo che
[a= 3]
Calcolare il volume V del parallelepipedo individuato dai vettori u = 2i-3j-k,
Y
= 2i-9j-4k e w = - i+3j+4k.
[V= 33]
Dati i tre vettori u = 2i+lj +ak, v
affinché siano complanari.
= 3i- 2j+ lk e w
= 7i + 9k , determinare a
[a= 4]
Determinare il vettore
AB congiungente i punti A(I, -2, 5) e B(2, 2, 5).
[A"B =i+ 4j]
Determfoare il vettore che dal punto C(I, 3, 6) torna all'origine degli assi O.
[ca = - i- 3j- 6k]
Determinare l'equazione parametrica della retta t, passante per i punti A(l, 4, -2) e
B 5.4,5).
[t: xi+yj+zk
Determinare l'equazione parametrica della retta
l. -2, O).
= (1+4t)i+4j +(- 2 + 7t)k]
t,
passante per l'origine e per
[t: xi+yj +zk =ti - 2tj]
Determinare l'equazione parametrica della retta t, passante per A(l, 5, 10) e paallela al segmento P Q, ove P (2, 1, 5) e Q(3, - I, 4).
[t: xi+yj +zk = (1 + t)i+(5 - 2t)j+(10 - t)k]
Determinare l'equazione parametrica della retta t, passante per A(- 1, - 2, -4) e
parallela ali' asse y.
[t: xi+yj+zk = -i+(t - 2)j -4k]
Determinare l'equazione del piano q:l perpendicolare al vettore v = i-2j+8k e
passante per il punto P (1, 1, l).
(q:l : X - 2y + 8z = 7]
62
Capitolo 2
62 Determinare l'equazione del piano
passante per il punto P(-1 , 1, 1).
~
perpendicolare al vettore v
[~
63 Determinare l'equazione del piano
2x - y - z = 10.
~.
: 3x - y
Determinare l'equazione del
piano~.
+ 4z
= O]
passante per l'origine e parallelo al piano
[~
64
= 3i-j+4k e
: 2x - y -
z = O]
passante per A(l , 2, 5) e parallelo al piano
xz.
[~:
65
Determinare la distanza 8 tra il piano 2x - 3y - 2z
y
= 2)
= 34 e l'origine.
66 Determinare Ci in modo che la distanza tra il punto P(l , -2, 1) e il piano 3x - 2y +
6z = a sia uguale a 4.
·
[Ci= - 15;et = 41]
67 Scrivere l'equazione del piano~ contenente l'asse y e passante per il punto A (2,3 ,6).
[~:
3x -z =O]
68 Scrivere l'equazionedel piano~ parallelo all'asse x e passante per i punti A(8, 2, O)
e B(l5, 3, 2).
[~: 2y - z = 4]
69
Scrivere l'equazione della retta t, parallela all'asse x e passante per P(3 , -3, O).
[t: xi+ yj+zk = (3 + t)i - 3j]
70 Scrivere l'equazione della retta t, passante per P(3 , -4, 5), incidente e perpendicolare all'asse z.
[t: xi+yj +zk = (3 + 3t)i-(4 + 4t)j + 5k]
71 Dati i punti P1 (1, - 1, 2), P2(1 , 2, 1) e P3(2, -4, O), calcolare il quarto vertice P4 ,
opposto a Pi , e l'area del parallelogramma :P avente gli altri tre vertici in P1, P2 e P3;
l'angolo {} che :P ha in P 1 è acuto, retto o ottuso?
[ P4 (2, - 1, - 1), area(:P)
= .J91, {}è ottusoJ
72 Dati i punti A(l, 2, -4) e B(5, -6, -2), scrivere l'equazione del piano assiale ~ del
segmento AB.
[~ : 2x - 4y
73
+ z = 11)
Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta t, passante per il punto
P ( 1, 2, 3) e perpendicolare al piano ~ : x - y - 2z = 5. Quanto vale la distanza 8 tra P
e~?
[t: xi+ yj +zk
= (1 + t)i+(2- t)j +(3 -2t)k]
[ t: 2x - 2 = 4- 2y = 3 - Z, 8 = 2../6]
Elementi di geometria analitica
63
Determinare l'equazione del piano q3 che passa per i punti P1 (I, O, 2), P2 (2, -1 ,-1)
P3fO. 2, 6). Determinare poi l'area del triangolo 'T avente P1, P2 e P3 come vertici.
[q3 : 2x - y
+z-
4 = O, area('.T) =
1]
Sia '.T il triangolo avente P 1 (-1, 3, O), P2 (1, 7, 3) e P3 (8 , 2, 5) come vertici. Deterare se '.Tè equilatero, isoscele, rettangolo . .. Determinare il punto Q, intersezione del
pano q3 contenente '.T con l'asse z.
['Tè rettangolo in P2 , Q(O, O, - ~:)]
Il Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta t intersezione tra il piano
- =O e il piano contenente i punti P1(2, 1, 3), P2(l,O, 5) e ?3(3, -1 , 4).
[t : xi+yj +zk = (6 - t)i + tj, t : x + y - 6 = z = O]
*1
Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta t, passante per il punto
I. O, 2), incidente alla retta s : x i+yj+z k = (2 + 3t)i+tj +(6 + 2t)k e parallela al
pano q3 : x + 2y - z - 5 = O.
[t: xi+yj +zk = (1 + 4t)i + tj + (2 + 6t)k, t: 3x - 3 = 12y = 2z - 4]
W Calcolare il volume del tetraedro'!' avente come vertici i punti P1 (2, 2, 2), P2(3,4,l),
;t5. 6, 3) e P4 (1 , 4, 7).
[volume('!') = 4]
'9 Dato il punto P(l , 2, -1) e il piano q3 : x - y - 2z + 11 = O, determinare le
equazioni parametriche e cartesiane della retta t che passa per l'origine e per il punto Q,
proiezione ortogonale di P su q'.3.
[t: xi+yj +zk = ti-4tj-3tk, t: 12x
= -3y = -4z]
. , Determinare la distanza 8 tra q'.31 : x +2y-3z +4 =O e q'.32 : x +2y-3z-24 =O.
[s = 2v1!4]
81 Verificare che il piano q3 : x + 2y + 3z - 4 =O e la retta t: y - x = x + z = I
-.ono paralleli, determinare quindi la distanza 8 tra q3 e t.
I ]
[8 = "J14
82 Determinare la distanza 8 tra t: y + 2z = x + z + 1 = 11 e P(l, 2, 3).
[s= ffi]
il3 Verificare che le rette t : xi+yj +zk = ti+(4t - 2)j +(2t - 3)k es : xi+yj +zk =
2t + 7)i+(3t + 5)j +(t + 6)k non sono incidenti, determinare quindi la distanza 8 tra t
es.
[s = v'38]
84 Determinare la distanza 8 tra la retta t : x + y = y - 2z = 1 e il punto P(8, -1, 2),
scrivere poi l'equazione parametrica della retta s, che passa per P ed è perpendicolare e
incidente a t.
[8 = 6,s: xi+yj+zk = (8 + 2t)i+(t - l )j+(2 + 2t)k]
64
Capitolo 2
85 Dati la retta t : x = 5 - 2y = z - 2 e il punto P(S, 9, 7), determinare la distanza o tra te P, scrivere poi l'equazione parametrica della retta .s, che passa per P ed è
perpendicolare e incidente a t.
[o= 6../2;s: xi+yj +zk = (t + 5)i+(4t + 9)j+(t + 7)k]
86 Verificare che le rette t :
determinarne la distanza o.
2.2.1
x =y =zes:x+z =y
-
z=
6 sono sghembe;
Suggerimenti
Per l'esercizio 46: Un vettore si trova nel piano yz se la prima componente è zero.
Per l'esercizio 54: Tre vettori sono complanari se il loro prodotto misto è zero.
Per l'esercizio 72: Il piano assiale di un segmento AB è il piano ad esso perpendicolare e passante per il punto medio M
B
Per l'esercizio 77: Trovare, tra tutte le rette che passano per P e per un generico
punto di .s, l'unica parallela a s,p.
Per l'esercizio 78: Il volume di un tetraedro individuato da tre vettori è un sesto del
volume del corrispondente parallelepipedo.
Numeri complessi
3.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
3.1.1
Rappresentazione dei numeri complessi
Rappresentare nel piano complesso i seguenti numeri:
Z
= 3 + 2i ,
W
= 2 - 3i,
V=
-1 +i,
U
= -2 - 2i.
Soluzione
Dato un numero complesso scritto in forma algebrica a + i/3 (ove a è la parte
reale e f3 la parte immaginaria)a, la sua immagine nel piano complesso è il punto
di ascissa a e ordinata {3, pertanto i quattro numeri dell'esercizio corrispondono
ai punti seguenti
2i - - - - -
v._ - i
I
-2
-1
I
I
I
I
u•- - - -
2
I
I
I
I
3
-2i
- 3i - - -
a Se
- •Z
_!w
z =a + i/3, allora in generale si usano i simboli:
a = Rez f3 = Irnz.
66
Capitolo 3
ESERCIZIO 3.2
•
Rappresentazione in forma trigonometri_ca_ _ _ _ _ ___,
Rappresentare nel piano complesso i seguenti numeri:
T(
. . T(]
z = 2 [cos + z sm ,
3
3
w = 1. 4 [ cos 5 rr
6
v = 1. 4 [ cos ( -
+ i sm. 5 rr ]
6
~ rr) + i sin ( - ~ rr)] ,
,
Soluzione
Dato un numero complesso scritto in forma trigonometrica, ossia i;:i[cos i} +i sin iJ]
(in cui Q è il modulo e i} l'argomento)b, la sua immagine nel piano complesso è
il punto distante Q dall'origine e per cui l'angolo tra il segmento che l'unisce
all'origine e il semiasse positivo delle ascisse vale i}:
z
pertanto i quattro numeri dell'esercizio corrispondono ai seguenti punti:
z
w
V
b Se
z = Q [cos 1J +i sin fJ], allora in generale si usano i simboli:
Q
= lzl.
1J
= argz.
Numeri complessi
•
67
LeBll!!'e tra forma al ebrica e forma tri onometrica
Stabilire il legame che intercorre tra la forma algebrica e quella trigonometrica
di un numero complesso.
Soluzione
Sapendo che lo stesso numero complesso z può essere espresso dalle due forme,
e che pertanto a + i~ = Q [cos 7J + i sin 7J], ricordando le usuali relazioni di
trigonometria (come si vede anche dal disegno)
{3- - - - - -
È evidente che
a= QCOS7J
~ = Q sin 7J;
o. in altri termini:
Rez = lz l cos(arg z)
Irnz = lzlsin(argz) .
Osservazione importante: L'argomento 7J di un numero complesso
È evidente che ogni numero complesso è dotato di un'unica parte reale, un'unica
parte immaginaria e un unico modulo; per ciò che riguarda l'argomento, invece,
,; sono infinite scelte possibili: se a 7J sostituisco 7J + 2rr (o 7J - 2rr, o in generale
.q + 2kn, con k E Z) il numero non cambiac. Vi sono due atteggiamenti possibili.
• Stabilire che gli argomenti dei numeri complessi devono variare all'interno di
un intervallo prestabilito (in genere, si sceglie [0,2rr) o (-rr,rr ]), e riaggiustare
gli argomenti che "sfuggano" a questo intervallo con un'opportuna somma o
sottrazioned. Chi adotta questa regola chiama in genere argomento principale
del numero complesso il valore di 7J che appartiene all'intervallo prestabilito.
• Usare con disinvoltura tutti i valori di 7J, semplificando ove possibile le notazioni.
In questo libro, useremo la seconda strada.
e Fa ovviamente eccezione a questa regola il numero z = O: ogni valore di iJ è un suo possibile
argomento.
d Per esempio, se iJ E [O, 2rr) allora -~rr, con l'aggiunta di 2rr, diventa 1rr.
68
Capitolo 3
ESERCIZIO 3.4
Siano w e z due numeri complessi. Stabilire il significato dell'uguaglianza
w
=z
in forma algebrica e in forma trigonometrica.
Soluzione
Poniamo
w=
Xw
z = Xz
+ iyw = Qw [cos ffw +i sin ff w]
+ iyz = Qz [cos ff z +i sin ff z],
1'equazione w = z corrisponde, in forma algebrica, al sistema
{
Xw = Xz
Yw = Yz '
mentre in forma trigonometrica corrisponde al sistema
= ez
ffw = ff z
Qw
{
+ 2krr
kez·
In altri tennini: due numeri complessi diversi da zero sono uguali se e solo se
in forma algebrica:
sono uguali le rispettive parti reali e immaginarie,
in forma trigonometrica: sono uguali i moduli e gli argomenti differiscono di
un multiplo di 2rr.
Per esempio, nel caso qui sotto riportato (poiché
3 [ cos 7 n
+i sin 7 rr ]
6
ESERCIZIO 3.5
•
6
31
rr
6
= ~rr + 4rr):
= 3 [ cos 31 rr +i sin 31 rr ]
6
6
Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica
Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri:
© z = 2 + 2i;
@
® w = 2u = -6i;
../i2i ;
@ t =
-3-4i.
Soluzione
Sappiamo già che
Ct
@ V =
= ecos {} /3 = e sin{},
da ciò ricaviamo immediatamente Q = ../a2 + 132.
-v'3 +i ;
Numeri complessi
69
Per quanto riguarda i}, la relazione corrispondente
tan iJ =
f!_
a
si presta a equivoci: innanzitutto è valida solo se a -::/:- O, inoltre se la esplicitiamo
rispetto a iJ, otteniamo l'uguaglianza
questa è vera solo se il numero complesso z ha parte reale positivae, cioè solamente se a > O, ossia se z si trova nel primo o nel quarto quadrante; in caso contrario
se z appartiene al secondo o al terzo quadrante) la funzione arcotangente fornisce
al posto di i} il valore iJ- n. Volendo riunire tutto in un'unica formula, si ottiene:
a>O
a=O
a< O
/3>0
iJ = arctan -f3
a
7r
i}= -
2
/3<0
Jr
i}= - -
2
z = 2 + 2i si trova nel primo quadrante, si vede subito (la parte
reale e la parte immaginaria sono uguali) che si trova sulla bisettrice, e quindi
l'argomento è%"· inoltre lzl = v'22 + 22 = 2,./2 e quindi
Q) Il numero
z = 2 + 2i = 2J2 [ cos : + i sin :
J.
~ Il numero w = 2-.Ji2i ha parte reale positiva e parte immaginaria negativa,
si trova perciò nel quarto quadrante, usando le formulef:
lw l =
J2
4,
+ (-.Ji2) 2 =
-.JU = - arctan .J33 = -3
Jr
arg w = arctan - ,
2
2
e quindi
e
Questo perché, per ogni x E JR,
n:
2
n:
2
- - < arctanx < -.
r Ricordiamo che arctan(-x)
=-
arctanx.
70
@
Capitolo 3
-./3 + i è nel secondo quadrante (all'arcotangente dovremo aggiungere
rr), con le formule otteniamo
v =
lvi = Jc-./3) 2 + 12 = 2,
1
arg v = n + arctan - - = n -
- ./3
arctan -
1
./3
7(
5
6
6
=n - - = -n
,
e quindi
-./3 + i
v =
= 2 [ cos
~n +i sin ~n]
.
© u = -6i è un numero immaginario puro (la parte reale è nulla), poiché si
trova sul semiasse negativo dei numeri immaginari il suo argomento sarà - f
(o ~rr), inoltre il modulo altro non è che la sua distanza dall'origine, e quindi
I - 6i I = 6, in conclusione avremo
u
= - 6i = 6 [ cos ( - ~) +i sin ( - ~) J .
® t = -3 - 4i è un numero che si trova nel terzo quadrante (anche in questo
caso, all'arcotangente aggiungeremo rr); osserviamo anche che nel calcolo
e non è la tangente
dell'argomento di t ci troviamo di fronte ad arctan
di alcun angolo noto, con una calcolatrice ricaviamo che y = arctan
1, 1
0.9273, quindi
ltl =
argt = rr
J(-3)2
+ (- 4)2 =
-4
+ arctan -
-3
= n
1
5e
4
+ arctan -
3
= n
+ y::::::: 4.0689 ,
e allora t = - 3 - 4i = 5 (cos (n + y) +i sin (rr + y)] (con y ::::::: 0.9273),
oppure
t = -3 - 4i ::::::: 5 [cos (4.0689) +i sin (4.0689)] .
ESERCIZIO 3.6
•
Dalla forma trigonometrica alla forma al ebrica
Scrivere informa algebrica i seguenti numeri:
z=
J2 [cos ~ + i sin ~ J,
w = 2. 3 [ cos
v=
~ [ cos ~ rr + i sin ~ rr] ,
u = 5 [cos rr
~ rr + i sin ~ rr
+ i sin rr] .
Soluzione
Il legame tra forma trigonometrica e forma algebrica, se svolto:
Q [cos ~
+ i sin ~]
= (Q cos ~)
+ i (Q sin ~) ,
l
Numeri complessi
71
fornisce già parte reale e parte immaginaria di un numero, a partire da modulo e
argomento, e quindi:
1C
: I= 2,arg z = 3
wl = 2.3, arg w =
vi=
ul
1
2
,argv =
z = [2 · cos ; J+ i [ 2 · sin ; J = 1 + ./3i ,
3
rr
2
5
6JC
= 5, arg u = rr
w
= [2 .3 · cos ~rr] +i [ 2.3 ·sin ~rr] = -2.3i,
v
= [~2 · cos ~rr]
+i [~ ·sin ~rr] = - v'3 +i~
6
2
6
4
4'
u = [5 · cosrr] +i [5 · sinrr] = -5
..._.~liilli~~_.·
com~lessi coniugati
Numeri
Dati i numeri complessi
z=
3 + 2i ,
w = 2 [ cos
1C
6
• JC]
+ i•sm
,
6
u = 2-3i ,
determinare i loro complessi coniugatig
z e w.
Soluzione
Il coniugato di un numero complesso è un altro numero complesso, avente uguale
parte reale e opposta parte immaginaria: se il numero è scritto in forma algebrica,
il coniugato dj a + i f3 è ovviamente a + i (-{3), se invece il numero è scritto
m forma trigonometrica, è facile vedere che il coniugato di Q [cos (} +i sin fJ) è
e [cos (- iT) + i sin (-fJ)]; pertanto
z= 3 -
2i ,
w=
2 [ cos ( -
~) + i sin ( - ~) J ,
u = 2 + 3i,
3.1 .2
Le quattro operazioni con i numeri complessi
mm~m!iEJ•
Somma e ~rodotto in forma a11....e_b_
r i_ca_ _ _ _ _ _ _ __,
Dati i numeri complessi
u = 3+2i,
w=2-5i,
v=3-2i;
calcolare le somme u + w, u + v, v + w, u - v e w - u e i prodotti uw, uv e vw.
g
Il coniugato del numero complesso z si indica con z.
72
Capitolo 3
Soluzione
Dati due numeri complessi z1 = a1 + ifh e z2 = a1 + ifh, la loro somma si
effettua sommando separatamente le parti reali e le parti immaginarie:
il loro prodotto si calcola come un normale prodotto tra binomi, ricordando però
che i 2 = -1:
z1z2
= (a1 + ifh)(a2 + if32) = a1a2 + ia1f32 + if31a2 + i 2f31f32
= (a1a2 - f31f32)
Quindi:
+ i(a1f32 + f31a2).
= (3 + 2i) + (2 - Si)
(3 + 2i) + (3 - 2i)
V + w = (3 - 2i) + (2 - Si)
U - V = (3 + 2i) - (3 - 2i)
w - u = (2 - Si) - (3 + 2i)
u
+w
U +V=
= S - 3i ,
= 6,
= S - 7i ,
= 4i ,
= -1 - 7i;
e, per quanto riguarda i prodotti:
uw = (3. 2-2. (-S)) + i(3. (- S) + 2. 2) = 16 - lli'
uv = (3. 3 -2. (-2)) + i(3. (- 2) + 2. 3) = 13'
vw = (3 ·2-(-2). (-S)) + i(3. (- S) + (-2) ·2) = -4 - 19i.
Osservazione importante: Numeri complessi coniugati
Nel precedente esercizio due numeri, nella fattispecie u e v, erano uno il coniugato dell'altro, questo ha avuto alcuni effetti sui risultati ottenuti, rivediamoli in
generale: sia z = a + i f3, allora
z
+ z = 2a = 2Rez
ESERCIZIO 3.9
•
z-
z = 2if3 = 2ilmz
zz =
a 2 + f3 2 = lz 12 .
Quoziente in forma algebrica
Calcolare e scrivere in forma algebrica i seguenti numeri:
z=
3 +i
2 - 3i'
i
V=--
4
+ 4i'
2
w=-- .
i- 3
Soluzione
Se abbiamo due numeri complessi scritti in forma algebrica e, calcolato il quoziente
vogliamo nuovamente riportarlo in forma algebrica, è necessario "eliminare
la i" dal denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato
del denominatore, cioè z2:
g.,
z1
z1 z2
z1 · z2
(ai
z2 = z2 . z2 =
=
IZiT2
+ if31)(a2 a~ + {3~
ifh)
Numeri complessi
e quindi, svolgendo il prodotto (a 1 + if3i)(a 2 - i/32):
~1
(a1a2 + /31/32) + i(f31a2 - a1/32)
a1a2 + /3i/3i
-=
2
2
=
2
2
~2
a2 + /32
a2 + /32
73
. f31a2 - a1f32
2
2
a2 + /32
+z
Vediamo i nostri casi:
3 +i
3 +i 2 + 3i
(3 + i)(2 + 3i)
3 + 1li
3
: = 2 - 3i = 2 - 3i . 2 + 3i = 22 + 32 = 13 = 13
i
i
4 - 4i
i(4-4i)
4+4i
1
1.
t• = 4 + 4i = 4 + 4i . 4 - 4i = 42 + 42 = 32 = 8 + 8l ;
2
2
-i - 3
2(- i - 3)
-6 - 2i
3 I
w = - - = -- .
=
=
=
-- -i .
2
2
i - 3 -i - 3
1 +3
10
5 5
i - 3
11 .
+ 13 i
;
Dati i seguenti numeri:
: =
.J2 [ cos ~ + i sin ~ J,
v=
~ [ cos ( - ~ rr) + i sin ( - ~ rr) J,
u = 3 [ cos rr
2
. rr]
+ z.sm
2 .
Calcolare
<!> zw;
@ zv;
@ zu;
@
© z
V
w
z
®
V
u
Soluzione
Dati due numeri complessi, il loro prodotto è un altro numero complesso, avente
modulo uguale al prodotto dei moduli e argomento uguale alla somma degli argomenti, in simboli, posto z 1 = e1 [cos 7J1 +i sin ?Ji] e z2 = e2 [cos 7J2 +i sin 7J2],
abbiamo:
z1z2 = (e1e2) [cos (iJ1 + iJ2) +i sin (iJ1 + iJ2)] .
Analogamente, il quoziente ha ~er modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti :
~ = (~) [cos (iJ1 -
Z2
h
'22
7J2) +i sin (7J1 - iJ2)] .
Queste regole possono anche essere condensate in simboli:
lz1 · z2I
= lzil · lz2I
arg(z1 · z2)
Zt
arg z2
= argz1 + arg z2,
= argz1 -
arg z2.
74
Capitolo 3
<D Per quanto riguarda zw:
lz l = ,J2
argz =
vri: }
lwl =
n
argw =
3
lzwl = ,J2,J18 =
7r
n
aro-(zw) = ò
3
5
6
4
17
-rr
= -n
15
+5
e quindi
rr
rr .
zw = 6 [ cos 17 +i sin 17 ]
15
15
@
Continuiamo con zv:
lzl = ,J2
lvi = -
n
argz = 3
argv
~+
1
lzvl
)
=
1
h -2
= -
1
,J2
rr3 --rr
6
rr2
arg(zv)=-+ ts~ =--
e quindi
~ [ cos ( - ~) + i sin ( - ~) J .
zv =
® Terminiamo i prodotti con zu:
lzl = ,J2
lzul
n
argz = -
arg(zu) = -
= 3,,/2
7r
3
3
7r
+ -2
=
5
-rr
6
e quindi
@
Passiamo ai quozienti, cominciando con ~:
lzl
=
,J2
lvi= -
7r
argz = -
3
~+
1
argv
)
,J2 = 2J2
1 ~ 1 = 1/2
arg ~ = ; - (-~rr) = ~rr
V
e quindi
; = 2,,/2 [ cos
(~rr) +i sin (~rr)] .
Numeri complessi
75
~ Continuiamo con ~:
lzl
h
=
n
3
argz = -
e quindi
lwl =~}
argw =
w
4
n
7
arg - = - n - - = -n
z 5
3
15
5n
z
w = 3 [ cos 7 n
15
~
7 rr ]
+ i sin 15
.
Infine'u.!L··
1
2
lvi = -
lu l =
5
6
argv = --n
3
argu =
)
~
1/2=~
1 ~1=
u
3
6
V
arg -
u
=-
5
1l'
-n - 6
2
4
3
= --n
e quindii
ESER~ •
Interpretazione geometrica delle o~erazioni
Sulla base delle operazioni scritte in forma algebrica o trigonometrica, dare
un'interpretazione geometrica di somma, sottrazione, prodotto e quoziente di due
numeri complessi.
Soluzione
La somma di due numeri complessi (figura a sinistra) si comporta in accordo
con la regola del parallelogramma: se u e v sono due numeri complessi, allora
u + v è (graficamente) la diagonale del parallelogramma individuato da u e v; la
differenza tra due numeri complessi u - v (figura a destra) è quel numero che,
combinato con v, produrrebbe u in accordo con la regola del parallelogramma:
u+ v
i
Per ciò che riguarda l' argomento, sostituiamo - ~Jr con il più ragionevole ~Jr.
76
Capitolo 3
Il prodotto di due numeri u e v è quel numero che ha per modulo il prodotto dei
moduli e per argomento la somma degli argomenti:
uv
V
u
Infine, il quoziente u / v è un numero avente per modulo il rapporto dei moduli e
per argomento la differenza degli argomenti.
u
o.,
u
V
ESERCIZIO 3 .12
/
Vy
eV
n uso In "parallelo" di forma algebrica
•
e forma trl
metrica
--~~~--"'..._~~~~~~~~~~~~~~~~
Dati z = ../3i - l e w = 1 +i, calcolare informa algebrica e trigonometrica
~, dedurre dal risultato ottenuto il valore di sin f2 e cos f2 .
Soluzione
Detto v = ~ , in forma algebrica ricaviamo
z
-1
+ ../3i
V=-=----=
w
1 +i
- 1 + ../3i 1 - i
·--=
l+i
l-i
../3-1
2
. ../3+1
+L
2
in forma trigonometrica
v- ~ - w -
2 [ cos ~ rr
+ i sin ~ rr]
3
v'2 [cos :
+ i sin : J
3
= .Ji[cos 152rr +i sin 152n]
uguagliando parti reali e immaginarie nelle forme algebrica e trigonometrica, si
trova
,./3 + 1 = .Ji sin 2. rr
2
12
Numeri complessi
77
quindi
.J3-1
2../2 '
5
cos - J r =
12
. 5
sm - rr =
12
.J3 + 1
2../2 '
· h'e s rr = :re - n: e cosa = sm
· cn: -a,
)
epo1c
12
2
12
2
Jr
.
5
cos - = sm - rr =
12
12
3.1.3
.
Jr
sm 12
5
.J3-1
= cos -12
rr =
2../2 .
Potenze e radici n-esime dei numeri complessi
Calcolare
@
(-./3 + i)l5;
Soluzione
Dato un numero complesso
zn
z=
Q
[cos {}+i sin{}], la sua potenza n-esimai è
= Qn [cos nfJ +i sin n{}] .
Nei nostri casi, convertiamo ciascun numero in forma trigonometrica e applichiamo la formula.
© 1 - i si trova nel quarto quadrante, lungo la bisettrice, per cui
1- i =
h [cos ( -
: )
+ i sin ( -
: )
J,
i Ovviamente, se z è scritto in forma trigonometrica, se invece z è scritto in forma algebrica,
a seconda dei casi può convenire trasformarlo in forma trigonometrica e calcolare poi la potenza
n-esima, oppure (se n è piccolo) lasciarlo in forma algebrica e calcolarne direttamente la potenza
n-esima, per esempio con il binomio di Newton (vedi il primo capitolo):
78
Capitolo 3
e quindi (visto che - ~ rr
7
+ 2.rr =
7
(1- i) = (J2) [cos
[
= 8v~
L. cos
@
Jr
4
%-)
(-~Jr)+ i sin (-~Jr)]
+z 4Jr]
. .
sm
= 8v~
2
(Th +z.2v'i) + .
-.J3 + i
si trova nel secondo quadrante, per cui arg(-.J3
5
. '
arctan = - Jr e c10e
,J3 6 '
= 8
8z .
+ i)
= rr -
1
-.J3 +i
= 2 [ cos
~Jr+ i sin ~Jr] ,
elevando tutto alla 1sa (e osservando che ~ rr · 15
!I..)·
2 .
(- v'3 + i)
15
= 2
15
[cos
(is. ~rr)
= 32768 [ cos
i Jr, e che 7i rr -
7
12n
=
(1s ·~rr) J
+i sin
~ +i sin~ J=
=
32768(0 + 1 ·i)= 32768i.
Il numero 2 [cos ~ - i sin ~], contrariamente alle apparenze, non è scritto in
forma trigonometrica, infatti nella forma trigonometrica compare necessariamente un segno + tra coseno e seno; possiamo allora trasformarlo in forma
trigonometrica seguendo la solita strada, o - più velocemente - osservando
chek
. Jr = sm
. (-sm
cos ; = cos ( - ; )
@
Jr)
3
3
e quindi
2 [ cos ; - i sin ;
J=
2 [ cos ( - ; )
a questo punto (considerato che - ~rr
8
8
+ i sin ( - ~) J
+ 2rr = ....:..~rr)
( 2 [ cos ; - i sin ; ]) = 2 [ cos
(-~Jr) +i sin (-~rr)]
= 256 [ cos (- ~") + i sin ( -
~ ")] = 256 (-~ - i ~)
= -128 - 128v'3i .
k
Dalla trigonometria sappiamo che cosa
= cos(-a) e sin a = -sin(-a).
Numeri complessi
'!) Osserviamo che
79
{!- + i {!- è già posto in sostanza in forma trigonometrica,
infatti
--12
+ i.-12
=
2
2
1[cos -
7t
4
. 7(]
+ t.sm
4
•
e poiché
7t
2007 · -
4
7t
7
7
= 2000 · -4 + -rr
= 250 · 2rr + -rr
= 251·2rr 4
4
7t
-
4'
allora
Calcolare
CD u
= Vi"=!;
@
w=
.J=1;
@ V
= -V-4 + 3i ;
© t = .V2 - 2i ;
e rappresentare i risultati nel piano complesso.
Soluzione
Dalla teoria, sappiamo che ogni numero complesso z è dotato di n radici n -esime,
e che l'insieme delle n radici n-esime è indicato con il simbolo1 ;:JZ. Dato un
numero complesso z = Q [cos 7J +i sin i}], le sue n radici n-esime wo .... , Wn-I
sono altrettanti numeri complessi, aventi come modulo la radice n-esima reale
del modulo di z (i moduli dei numeri complessi sono numeri reali non negativi,
quindi ciascuno di essi ha un'unica radice n-esima, naturalmente positiva):
i= O, ... ,n - 1;
e come argomenti i valori (arg Wi =ai)
i}+ i · 2rr
ai= - - - -
n
nel campo dei numeri reali, con .;a si intende l'unico numero positivo che
elevato al quadrato vale a, invece nel campo dei numeri complessi, con .;a si intendono entrambi
i numeri complessi che elevati al quadrato valgono a, per esempio: se stiamo considerando solo
i numeri reali, allora .J4 = 2, se invece ci stiamo muovendo nell'ambito dei numeri complessi,
allora .J4 = ±2.
1 Osservazione:
80
Capitolo 3
ossia
~
ao = -,
n
0!1
~ + 2rr
=---
n
0!2
~ + 2 · 2rr
= - - - - , ... ,
n
O!n- 1
=
~
+ (n -
1) · 2rr
n
Pertanto, le n radici n-esirne di z sono altrettanti vertici di un poligono regolare
di n lati, inscritto nella circonferenza avente raggio uguale al modulo di z.
© Cominciamo da u = ;/i - 1, innanzitutto
i - 1 = -1 +i =
quindi
li - 1I = .J2. e arg(i -
.J2 [ cos ~rr +i sin ~rr]
1) = ~rr, posto Ui =
;/i -
~,.
1r
O!O
,
1,
= L3 = -,
4
ricaviamo gli altri a;:
re
0!1
1 · 2rr
rr
11
= -4 + -3- = -12 rr
e infine
UQ
3r:--;
vi -
1
=
a2
6 ~[
'V L. COS
2 · 2rr
19
= -4 + -3- = -rr
·
12 '
4re + l..Slfl 4rr ]
=
@ Dato che -1
= 1 [cos rr
lwd =
Jl-1T =
+ i sin rr ], posto w = .J=T, abbiamo
1
rr
1r
ao =
2'
0! 1
=
1·2rr
2 + -2-
3
= 2rr;
Numeri complessi
e pertanto
w0
r-1 =
I
=1
[
cos
w 1 = 1[cos
81
7r + i sm. 7r] = i
2
2
3
.. 3
.
2rr +i sm 2rr J =-i
{] =1
W1
~
=-i
Osserviamo che -4 + 3i = 5 [cos y + i sin y] ove (-4 + 3i si trova nel
secondo quadrante)
y =
rr - arctan 43 : : : 2.4981,
e allora
4r;:[cos Y + ..sm 4YJ
v0 = v
:::>
4
i
V1
=
Vs [COS ( ~ + ~) +
V2
=
Vs [COS ( ~ +
.V-4 + 3i =
v3 =
i sin ( ~ +
~) J
Jr) + i sin ( ~ + Jr) J
Vs [cos ( ~ + ~Jr)
+ i sin (
~ + ~ rr) J
ossia
vo:::::: 1.4953 [cos 0.6245 +i sin 0.6245]:::::: l.2131+0.8743i
v 1 :::::: 1.4953 [cos 2.3629 + i sin 2 .3629]:::::: -0.8743+1.2131 i
.V-4+3i =
v2 :::::: 1.4953 [cos 3.5736 + i sin 3.5736] ::::::- l.213 l -0. 8743i
v 3 :::::: 1.4953 [cos 5.1084 +i sin 5.1084] ::::::0.8743- l.2131i
82
Capitolo 3
© Perfinire,t
ricaviamo
=
.V2-2i,poiché2-2i
l
ti· I =
Vz
y2v2 = ~
6
=
2../2(cos(-f)+isin(-f)]
ao --
Jr ·
6-f -- - 24,
e
... '
allora
to =
~[cos(-~) +i sin(-~)]
t1
7 +i sm
. -;r
7
= v4/;:;
L. [ cos -;r
t2
.. 15
= v L. cos -15
J r + i sm -;r
24
24
!3
=
24
24
4/;:;[
.V2-2i =
4 /;:; [
'VL.
23
COS-Jr
24
. 23
+ism-;r
24
[
39
. 39
ts = v4/;:;
L. cos -;r +i sm -;r
24
24
J
J
J
J
Numeri complessi
ESE~ •
83
Radici n-esime delrunità
.v'T.
Determinare, per n generico, w =
Soluzione
Poiché sappiamo che ogni numero complesso z han radici n-esime, che si dispongono come i vertici di un poligono regolare a n lati (inscritto nella circonferenza
di raggio .y/jZf), anche le n radici n-esime di z = 1 seguiranno questa regola,
inoltre, poiché per ogni n vale la formula In = 1, uno dei vertici del poligono
<chiamiamolo w 0 ) sarà sempre wo = I, gli altri (cioè i valori w1, ... , Wn-1)
avranno ciascuno argomento a j = j
esaminiamo allora i casi più "celebri":
le due radici quadrate di l sono
·;n ;
,Jl = { [cos O+ i sin O], [cos rr +i sin rr]} = {l, -1}
qui sotto rip9rtiamo gli argomenti relativi alle altre radici notevoli:
0:
o. ~Jr, ~:rr;
4/1
v 1: O,
6/1
vi: O,
1r
2
, rr,
2
Jr
3
rr ;
2
rr, rr
3 3
4
rr,
5
rr;
3 3
:rrrr3
5
37
4:rr, :rr, 4rr, 2rr 4rr;
12/1
Jr 1r j( 2
5
7
"'l : O, 6' 3' 2' 3rr, 6rr, rr, 6:rr,
8
-VT:
O, 4' 2'
radici che sono, nell'ordine
0 = {1.(-! +4i),(-~-fi)};
~ = {l, i, -1 , -i};
-{1 (12 + T'
.!3·) ' (-2 + T'
./3·) ' - 1' (-2 - :11·) (•2 - 2i
.!3·)}·.
VI= {i. (f + 4i) ,i, (-4 + :/j-i)
-.1(- h - :Il.i) - i (h - hi)}·
I~ = {1, ( 1 +~i) , ( ~ + 1 i) , i' (-1 +! i) ' ( -! + 1 i) '
- 1 (- ,/3_J_i) (-J__,/3i) -i (J__,/3i) (.!3_1i)}
6/1
"' I -
l
'
'
2
'2
2
2'
l
'
'
2
2
2
2
2 l
'
'
''2
2
'2
2.
Di seguito, sono riportati i punti corrispondenti alle radici sopra elencate.
84
Capitolo 3
ESERCIZIO 3.16
•
Relazione tra le radici n-esime di un numero z e C
e le radici n·esime dell'unità
Sapendo che una delle sei radici seste di
z è 1 + i, determinare tutte le altre.
Soluzione
Notiamo in via preliminare che un enunciato alternativo dell'esercizio è: "Calcolare z = {/(1 + i)6". Sappiamo che, dato un numero u = Qu [cos '!Ju +i sin '!Ju],
moltiplicarlo per un numero avente modulo unitario w = [cosa + i sin a] equivale a ruotarlo in senso antiorario attorno all'origine di un angolo a:
•
uw
u
inoltre sappiamo che le sei radici seste di un qualsiasi numero sono disposte lungo
una circonferenza, e formano i vertici di un esagono regolare; questo significa che
l'angolo al centro tra due radici "vicine" è -j, quindi, nota che sia una di esse,
chiamiamola zo, posso ricostruire le altre semplicemente moltiplicando zo per
i numeri complessi Wi che provocano rotazioni di -j, di ~n e così via; questi
numeri Wi altro non sono che le sei radici seste di 1:
../3.
+
-z
2
2 '
1
WQ
= 1,
W1
= -
W3
= -1 ,
W4
=-2-2z,
1
../3.
1
../3.
W2
= --
+-z
W5
= - - -z.
1
../3.
2
2
2
2
Numeri complessi
85
Allora, visto che per esempio (1 + i) è ua delle ~ (1 + i) 6 , poniamo zo = 1 + i
e quindi
zo = (1
+ i)wo
= 1 +i ,
1-.J3
l+.J3
i ,
+
2
2
z 1 =(1 + i)w1=
z2
-1-.J3
= (1 + i)w2 =
Z3 = (1
+ i)W3
Z4 = (1
+ i)W4 =
Zs
2
+
.J3-1
i,
2
= - 1- i ,
.J3 - 1
2
+
- I - .J3
i ,
2
1+.J3
1 - .J3
2
+ 2 i.
= (1 + i)ws =
Possiamo ricondurci a uno svolgimento di questo tipo, ogniqualvolta ci imbattiamo in una richiesta del tipo "Calcolare z = !ifVri" (con v assegnato).
Calcolare
CD w =
.J2 + 3i;
@v
=
.JS-i;
@u =
.J-3 +4i.
Soluzione
Abbiamo già visto che con il simbolo .JZ si intendono due numeri complessi w1
e w 2 , opposti (cioè w 2 = - w1), tali che
lwl
=
JiZf,
arg w1 =
arg w2 =
! argz,
rr + ! arg z .
86
Capitolo 3
Nell'Esercizio 3.14 (caso@) abbiamo visto che, se l'argomento del radicando non
è un angolo "celebre", occorre fare ricorso all'arcotangente. Tale difficoltà può
essere aggirata nel caso delle radici quadrate: se z = a +i b = Q [cos {} + i sin {}],
si può arrivare all'espressione algebrica dei due valori di
-li,=
w i = ,)e [cos % + i sin %J
{ w2 =
- w1
= ,)e [cos ( %+ rr) + i sin ( % + rr) J
ricorrendo alla trigonometriam, in accordo alla seguente tabella:
Rez
Imz
{}e
>0
<0
>0
>0
(~ , n)
>0
<0
<0
<0
(- rr, - ~)
© In questo caso z = 2 +
(O,~)
(- ~ . O)
cos ~
2
sin~
2
>0
>0
>0
<0
3i, dunque z si trova nel primo quadrante (O < {} <
~ ), e quindi le due radici quadrate si troveranno una nel primo e una nel terzo
quadrante. Sia w1 la radice appartenente al primo quadrante, avente dunque parte
reale e parte immaginaria entrambe positive. Raccogliendo lzl = Q = .JD,
abbiamo che
z=2+3i
=m(~+i Ju).
e dunque cos {} = ~. Applichiamo le formule di bisezione (entrambe con il
segno + , perché% è un angolo del primo quadrante):
.JI3 + 2
2.JD '
.~ - Ji-.k - Jffi - 2
Slil
2 -
2
-
2.JT3 '
dunque abbiamo un'espressione per w 1 :
w, = Je [cos ~ + i sin ~ J= y:;TI (
2 .;./13-2)
./f3r,;:;
+ +l
2-vi~
m Formule di bisezione:
iJ
cos 2
=
±Vl+
cos iJ
2
•
. iJ
sm2=±
J I - cos iJ
2;
ove i segni ± vanno scelti in base al quadrante ove si colloca ~.
r,;:;
2-v13
.
Numeri complessi
A questo punto possiamo anche semplificare
87
.VU:
~ . ~
W1=y~ + iy~ ,
e determinare w2 = -w1:
W2= -/~+ 2 - i/~- 2 ;
m definitiva
w
= .J2 + 3i = ±
( ;~+2 + v~ - 2)
i
2
2
.
(-f
% Ora z = 5 - i , dunque z si trova nel quarto quadrante
< {} < O); pertanto
una delle due radici (sia essa v i) si trova anch'essa nel quarto quadrante, mentre
la sua opposta v2 si trova nel secondo quadrante. Usiamo le formule di bisezione
per trovare v1 : ciò significa attribuire a cos un valore positivo e a sin %un valore
negativo. Mettiamo in evidenza il modulo di z:
4
k;
dunque cos {} =
ricordando la precedente osservazione sui segni, applichiamo le formule di bisezione:
.J26 + 5
2.J26 '
sin
~2 =
-t-
procedendo in maniera analoga a prima (e semplificando
da esso v2 :
m definitiva
~= ±
''/";)-l
5
}u
=
-/
.ji6 2.J26 '
2
-V2'6) otteniamo v 1 , e
(/hG+s J-Ji6-s)
2
-
l
2
Cf
.
~ Infine, z = -3 + 4i: z si trova nel secondo quadrante
< {} <Jr); pertanto
una delle due radici (u 1 ) appartiene al primo quadrante e l'altra al terzo quadrante.
88
Capitolo 3
Visto che u 1 si trova nel primo quadrante, nelle formule di bisezione useremo il
segno+ . RaccogUamo lzl = 5:
z= s
(-s3+ ls.4) ,
dunque cos-& = -~ . Ricordando la precedente osservazione sui segni, applichiamo le formule di bisezione:
COS~=
~ Vs'
!I
2
Y2
=
quindi
sin~=/l+~=
0.
2
2
Vs'
u, = ~( fs +ili)= l +2i,
e pertanto v'-3 + 4i = ± (1 + 2i).
Osservazione importante: ll simbolo di radice quadrata in ~ e in <C
Attenzione ai simboli! Con il simbolo di radice ,..(si intendono due cose diverse,
a seconda del contesto in cui viene usato, per quanto riguarda le radici "pari":
• in~' con .J4 si intende quell'unico numero positivo che elevato al quadrato dà
4, ~cioè .J4 = 2; con -V4 si intende quell'unico numero positivo che elevato
alla quarta potenza dà 4, e cioè -V4 = .J2;
• in <C, con .J4 si intende l'insieme di tutti i numeri complessi che elevati al quadrato danno 4, e cioè .J4 = {2, -2}, e questo insieme viene a volte abbreviato
con la scritta ±2; con -V4 si intende l'insieme di tutti i numeri complessi che
elevati alla quarta potenza danno 4, e cioè -V4 = { .J2, i .J2, -.J2, - i .J2}.
3.1.4
Equazioni algebriche e non algebriche
Disequazioni che coinvolgono numeri complessi
ESERCIZIO 3.18
•
E uazioni di secondo grado
Risolvere l'equazione
(1 - i)z 2 + 2z + i = o.
Soluzione
Si tratta di risolvere un'equazione di secondo grado. Data la generica equazione
az 2 + bz + c =O, le due soluzioni sono date dalla formula0
Z1,2
- b + v'b 2 - 4ac
= - - --a - - 2
n Notare che al numeratore è scritto -b + .Jb2 - 4ac, e non -b ± .Jb2 - 4ac, perché, essendo
ambientata in C, il simbolo .J già contiene i due valori.
Numeri complessi
89
nel nostro caso, allora, usiamo la formula ridotta0 :
Z1,2
- 1 + y11- (1- i)i
l _i
=
esaminiamo la radice al numeratore: vfl - (1 - i)i =
h
e poiché
3 ]=
3 + z..sm -n
4
--
2n
+i sin 2rr]
=
4
4
,/2 - ,/2 i
1 [cos - n
4
1 [cos
.
,
,/2
2
+ -./2.
z
2
2
2
si ottiene
y11 -
(1 - z.)z. = ± ( - ,/2
,/2 ·)
2 +2 z
;
ricaviamo quindi i due valori di z (moltiplicando numeratore e denominatore per
1 +i):
- 1 +(-~+~i)
Z1
z=
=
1- i
=
-1-(-~+~i)
-1-./2
2
-
./2 - 1
2
Z2 = - - - - - - - - =
1-i
1.
2l'
1.
- -2z ;
osserviamo che, in accordo con il Teorema fondamentale dell'AlgebraP, ogni
equazione di secondo grado ha sempre due radici.
ESERC l~!!>.d:.!%11 •
E uazionl riconducibili al secondo ~do
Risolvere l'equazione
z4
0
-
z2
1 - 3i =
-
Se l'equazione ha la forma az 2 + 2fh +e
Zl ,2
=
-{3
o.
= O, le soluzioni sono
+ ../{J2 a
ac
·
P Teorema fondamentale dell'Algebra: qualsiasi equazione algebrica di grado
pnca Z E C
anzn + an-1zn-l + ... + a1z 2 + a1z
Ila sempre n radici (contate con la dovuta molteplicità).
+ ao
= O
n nell' inco-
90
Capitolo 3
Soluzione
Poniamo
z2 = w, l'equazione diventa w2 - w WJ,2
=
=
= O, le cui radici sono
1+,./5+12i
2
Calcoliamo ,./5 + 12i: poiché 52 + 122
5 + 12i
1 - 3i
= 13 3 , raccogliamo 15 +
5
13 ( 13
l2i I = 13:
12)
+ i 13
;
una delle due radici di 5 + l 2i (chiamiamola r t) appartiene al primo quadrante;
dunque come nell'Esercizio 3.17 usiamo le formule di bisezione con il segno+.
Detto {} = arg(5 + 12i), abbiamo
quindi
,, =
m(fu +i/r)
=3+2;,
e dunque ,./5 + 12i = ± (3 + 2i); possiamo determinare le soluzioni dell'equazione cli secondo grado
•
Wt,2
1 ± (3
1+,./5+12i
= ----- =
2
+ 2i)
W1
W2
2
= 2 +i ,
= -1 - i .
Ritornando all'equazione in z, abbiamo
z 1,2 = .../2+[,
Z3,4
=
V-1 -
i.
Procediamo nuovamente come nell'Esercizio 3.17; 12 +il= ,J5 e 2 +i si trova
nel primo quadrante, dunque
Zt,2
= V~
.l T l =±-V 5
4/r( y{7s+2
2Ts +i y~)
2Ts
=
±
5+2 +i
(~
2
.195-2
2
.
Numeri complessi
Amlogamente,
I-
./2 e -1 -
1- i I =
91
i si trova nel terzo quadrante, e dunque
4r;::( y~
~
2Ti +i y---2.12)
z 3,4 = v'-1 - i= ±v2
= ± (
/../22-1 +i/../22+ l).
~SERCIZÌO
2.:+3iz = 8+7i;
® w2 + 1wl 2 = i(w-w-8i);
lz l.
z,
@
u 4 +4lul 2 =O.
Imz,
Rez,
principale strada per risolverla è esprimere l'incognita in forma algebrica (più
mamente, in forma trigonometrica) e, poiché non esiste un metodo generale, ve*re. magari separando parte reale e immaginaria (oppure modulo e argomento),
si ottengono relazioni risolubili.
Nel primo caso, ponendo z = x
2(x
+ iy, otteniamo:
+ iy) + 3i(x-iy)
= 8 +?i;
distinguiamo allora al primo e al secondo membro la parte reale dalla parte
immaginaria:
(2x+3y)+i(2y+3x)=8+7i
=>
2x
{ 3x
+ 3y =
+ 2y =
8
7
poiché l'unica soluzione del sistema è x = 1, y = 2, l'unica soluzione
dell'equazione è z = 1 + 2i.
i
Anche per la seconda equazione, ponendo w = x + iy, quindi w 2 = x 2
y 2 + 2ixy e lwl 2 = x 2 + y 2 , l'equazione diventa
x2
-
y 2 + 2ixy + x 2 + y 2 = i[x + iy - (x - iy) - 8i] ;
portiamo tutto a primo membro, separando parti reali e parti immaginarie:
(2x 2
+ 2y - 8) + 2ixy =O
=>
x 2 + y - 4 =O
{ 2xy =O
·
-
92
Capitolo 3
Dalla seconda equazione, alternativamente, ricaviamo x = O o y = O, se
poniamo x = O nella prima ricaviamo y = 4, se invece nella prima poniamo
y = O, ricaviamo x = ±2, in definitiva le treq soluzioni sono
W1
= 4i,
W2
= 2,
W3
= - 2.
@ Per la terza equazione, la presenza di una quarta potenza rende molto scomo-
do il ricorso alla forma algebrica, poniamo allora
u = e [cos tr + i sin r>],
otteniamo
e4 [cos 4rr +i sin 4rr] + 4e2 =o ~ e2 (e2 [cos 4tr +i sin 4rr] + 4) = o,
l'equazione è adesso scritta nella forma a· b =O, che è verificata se a =O o
b = O; la spezziamo nelle due equazioni
1)
e2 =o
2)
e2 [cos 4tr +i sin 4rr]
=
-4;
la 1 è verificata per e = O; la 2, osservato che -4 = 4 [cos re + i sin re],
diventa un'uguaglianza tra due numeri complessi in forma trigonometrica:
e2 [cos 4rr + i sin 4rr] = 4[cos re +i sin re]
~ { ~~ ':~ +2kre (k E Z) ;
da cui e = 2 e tr = 1~2k re, quest'ultima re] azione individua (per k
solo quattro valori diversi di tr, che scelti in [O,
sono:
2re)
re
3
i>2 = -re
i>1 = -
4 '
4'
rr3
E Z)
5
= - re
4 '
Le soluzioni dell'equazione di partenza sono tutti i numeri complessi soluzione o della 1 o della 2: per la 1 abbiamo e = O, mentre per la 2 abbiamo
e = 2 e tr = ~, tre, ~re, rr, e quindi complessivamente le soluzioni cercate
sono i cinque numeri
U1=0,
t
u2
= 2 [ cos : + i sin : J= h + i h ,
u3
= 2 [ cos
~re +i sin ~re] = - h
u4
= 2 [ cos
~re+ i sin ~re] = - h- i h,
u5
=
2 [ cos ire
+ i h,
+ i sin ire] = h - i h.
Numeri complessi
93
Un'equazione e una di~uazlone non al~riche particolari
ESERC IZI0 . 3.:.?.1 ~~~. •
Siano a ~ O e zo = a + i b un assegnato numero complesso. Determinare e
tli.segnare sul piano complesso gli insiemi
ro
= {z E C:
r1
lz - zo l =a} ,
= {z E C:
lz - zol
~a}.
Soluzione
Osserviamo innanzitutto che 1' equazione che compare nell'espressione che definisce r 0 , ha entrambi i membri non negativi ed è perciò equivalente a lz-zol 2 = a 2 ;
moltre, ponendo z = x + i y, l'equazione si trasforma nella seguente:
l(x-a)+i(y-b) l2 =a2
(x-a) 2 +(y - b)2 =a 2 .
:;::}
Se a > O, si tratta dell'equazione di un circonferenza centrata nel punto (a, b)
e di raggio a; in termini di numeri complessi, ro è la circonferenza formata dai
numeri z la cui distanza da zo vale a; in modo del tutto analogo, si stabilisce che
r l è il cerchio di cui r o è la circonferenza:
Se invece a = O, allora
ro
= f
1
=
{zo}.
ESERCi~fq ,3. 2?f:?"
uazlonl con i moduli - distanze
Individuare e disegnare in C gli insiemi
Q) f'1
= {z E e : lz +i I = lz -
21};
@ f2
= {z E C: lz +il~ lz -21}.
Soluzione
Q)
Per risolvere quest'equazione vi sono due strade, una puramente algebrica e
l'altra di carattere geometrico. Per quanto riguarda la strada algebrica, ponendo z = x + iy, l'equazione diventa lx+ i(y + 1)1 = l(x -2) + iyl, ossia
(elevando al quadrato non aggiungiamo soluzioni: entrambi i membri sono
positivi):
l(x+iy)+il 2 = l(x+iy)-21 2
:;::}
x 2 +(1 + y) 2 = (x-2) 2 + y 2
;
da qui, semplificando, si ottiene 4x + 2y = 3; pertanto sono soluzioni dell' equazione di partenza tutti i numeri complessi corrispondenti ai punti di tale
retta.
q Ciò non è in disaccordo con il Teorema fondamentale dell' Algebra, in quanto l'equazione di
partenza non è algebrica.
94
Capitolo 3
In alternativa, potevamo sfruttare un'osservazione di carattere geometrico:
alla luce dell'Esercizio 3.21 , l'equazione
lz - zol = lz - ztl .
descrive il luogo dei punti z del piano complesso aventi uguale distanza da
zo e da z1 ; pertanto le soluzioni della nostra equazione sono costituite dai
numeri complessj equidistanti da 2 e da -i, ossia nel piano cartesiano dai
punti della retta che costituisce l'asse del segmento (O, - 1)-(2, O); questa
e perpendicolare ad esso,
è la retta passante per il suo punto medio (1,
= -2(x - 1):
ovvero la retta di equazione y -
!),
!
z = x + iy per cui lz + i I = lz - 21sono i punti
= -2(x - 1) (e cioè i punti equidistantj
per i quali vale la relazione y da - i e da 2); poiché la disequazione, sempre interpretata geometricamente,
descrive i punti che distano da -i più di quanto distino da 2 (e cioè i punti
al di sopra della retta), avremo che l'insieme r 2 è costituito da tutti i punti a
"nord-est" della retta stessa:
@ Già sappiamo che i punti
ESERCIZIO 3.23
•
!
D~lonle
"one di Insiemi In C
Individuare e disegnare in C gli insiemi
©
ri
=
{zee : Iz + z1- z· I ::: 1} ;
®
r2 =
{zee : Iz +zl · I::: .J3}.
-
1
Numeri complessi
95
Soluzione
I
Poiché lz+~-i = lzl~'-il' la disequazione (posto z i=
= - 1 + i ) può
essere riscritta come lz I :::: lz + l - i I; questa individua i punti del piano
complesso più vicini a -1 +i che non a O, si tratta allora dei punti che stanno
al di sopra della retta y = x + ~, escluso il punto
i
z
z:
z
% La disequazione, (posto sempre z i= = - 1 +i), può essere riscritta come
lzl :::: .J3iz + 1 - i I, scrivendo z = x + iy ed elevando tutto al quadrato si
ottiene
2x 2
+ 2y 2 + 6x -
6y
+ 6 :::: O,
dividendo tutto per due e completando i quadratir ricaviamo
questa equazione individua i punti esterni alla circonferenza centrata in
.(l.
(dai quali non c'è necessità di escludere
( - ~ . ~) e di raggio r =
esplicitamente in quanto interno alla circonferenza):
z,
r
E cioè:
(x + -23) - -94 '
2
x2
+ 3x =
y 2 - 3Y
3)
2
= ( y - 2 - 49 .
96
Capitolo 3
3.1.5 Trasformazioni e rappresentazioni nel piano complesso
lano
ESERCIZIO 3. 24
Sia I' la regione del piano complesso definita da
I' = {z E C: lzl:;::: 2,0:;::: argz:;:::
descrivere e disegnare in e le regioni
<D r1
~},
r j definite dalle seguenti relazioni:
= {we e: w = z+(2- i),ze r};
@r2 = {we e : w = 3iz,ze r} :
@f3 =
{weC:w = z2,zer};
© f 4={weC:w=z 3,zer}:
® rs =
{w e e: w =i, z e r };
® r6=
{w e e : w =
.vz, z e r }.
Soluzione
L'insieme
r
è costituto dai numeri z = Qz [cos 11z +i sin 11z] per cui
O:;::: Qz:;::: 2,
O:;::: 11z:;:::
1r
2;
e pertanto è costituito dal quarto di cerchio di raggio 2 contenuto nel primo
quadrante:
2i
<D Ricordando che la somma di due numeri complessi si comporta secondo la
regola del parallelogramma, i punti dell' insieme r 1 sono ottenuti da quelli
dell'insieme r dopo la traslazione corrispondente a 2- i, il che significa che
le parti reali saranno comprese tra 2 e 4, e quelle immaginarie tra -1 e 1:
2i
w =
z + (2 -
i)
Numeri complessi
97
Dato un numero complesso z, il numero 3i z ba modulo triplicato rispetto a
quello di z. e argomento aumentato di ~;questo equivale a una rotazione di
un angolo retto in senso antiorario, cioè lw l = 3lzl e arg w = ~ + argz,
ossia
1(
-<argw
<rr
·,
O :S lwl :S 6,
2 e quindi
2i
w =3iz
-6
Elevare un numero al quadrato significa elevarne al quadrato il modulo e
raddoppiarne l'argomento, pertanto, se w = z 2
O :S lw l :S 4,
e quindi
4i
2i
2
Allo stesso modo, elevare un numero al cubo significa elevarne al cubo il
modulo e triplicarne l'argomento, pertanto, se w = z 3
O :S lwl :S 8,
3
O :S argw :S 2rr;
e quindi
8i
2i
3
w = z
------+
-8
98
Capitolo 3
® Se w =
i·
a11ora il modulo cli w è il reciproco del modulo di
l'argomento di w è l'argomento di z cambiato cli segno:
1
z,
mentre
rr
- - < argw < o·
2 - '
lwl ~ 2'
e quindi
w=l
z
-i
2
2
@ Se w =
Vz", allora vi sono tre determinazioni di w: wo, w 1 e w2, per le quali
Jr
O<argwo < 2
- 3'
lw;I
=
ViZf,
2
~
- rr < arg W 1 < .1.
3 - 3
+ 3- rr '
4
~
- rr < arg W2 < -2
3 - 3
+ -3 rr
2
2
2i
2
3 .2
Esercizi proposti
25 Riscrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri:
<D z =-.J3+i.J3;
® w=4i;
@
u=-3-if;
@
v =l +itanw.
z = .J6 [cos i.Tr + i sin ~ ;r] J
[~ w = 4 [cos ~ + i sin ~]]
[@ u = 6 [cos ~ ;r + i sin ~ n]]
[@ v = co!w [cosw +i sinwl]
[ <D
Numeri complessi
99
Riscrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri 5 :
1 .: = 2+3i;
@ w=-l -3i;
[CV
@
© v = i-2.
u=(tanl)-i;
z = .JT3 (coso: +
ì sin o:] (o: = arctan ~ :::: 0.9828)
J
[@w = .J10 (cos ,8 + ì sin ,8] (,8 = rc + arctan 3 :::: 4.3906)J
[@ u = ~ 1 [cos(f+ 1) +isin(f + l)]]
[© v
= ,,/5 [cos y +i sin y]
(y
=f
+ arctan 2 '.:::'. 2.6779)
J
Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri:
©
5 [cos TC + 1..
sm TC]
z=
4 ;
4
@
w = 0.5 [cos2 +i sin2] .
[cv z =
}i + i~]
[@ w '.:::'. -0.2081 + 0.4546i]
Dati
z=
a [ cos
~+
~nare a in modo che Rez
i sin ~
J
w = 3 [cos ,8 + i sin ,8] ,
e
= 5, determinare ,8 in modo che Imw =
- 2.
*3• f3 = 2krc - arcsin ~ J
[o: =
Dati i numeri
z
= 1 + 2i,
w = 1 - 3i,
v = 2i - I
e
u = -2i.
cakolare le somme e differenze z + w, w - 2z, 2z + v, v + u, i prodotti zw, zv, wu e i
·t.J·wvwv
li• z•
.,auen v'
z-·
[z + w = 2 - i, w - 2z = -1 - 7i , 2z + v =I+ 6i, v + u = -1]
[zw = 7-i,zv = -5,wu = -6-21]
v
[ W
tlt
Dati i numeri u
+ 51 1· • u = ,8 + 2i, e dati z
= -57
= 1 +i o: e v =
V
= - 1 - i·, z = 53 + 54 1·1
2i e w = 2 +i. Determinare
1 - 2I 1· • z
W
= 3-
V
in modo che Reuz =O, determinare ,8 in modo che Re;% = Im;%.
[a -• Può essere utile ricordare che
1
arctan -
X
7f
= -2 -
arctan x.
3 ,8 -- 32]
-2,
100
31
Capitolo 3
Dati i seguenti numeri:
. . 7']
6 + i sm 6 .
z = v /;:;[
_, cos 7r
w=
.J5 [cos
u = 4 [cos
calcolare
ZW,
WV,
ZU,
z
i
rr + i sin rr] ,
(-%) + i sin ( -%)J .
u
V
2z'
w
i
V
[z w -- JT5 (cos 2930 rr +i sin 2930 rr] ' wv = :li3 [cos 6073 rr +i sin 6073 rrJ]
[ zu = 4v13 [cos (- ~) + i sin (- ~) J, ~ = JI [cos (-j~ rr) + i sin (-j~ rr) J]
[ ;, = ~ [cos %+ i sin %J, %= 12 [cos (- ? rr) + i sin ( - ?;rr)] J
2
32
Dati
z
2
= 3 [cosa + i sin a] e w = 2 [cos .8 + i sin .BJ. determinare a e .8 in modo
che
+ 2i))
Re(z(l
Im
= O,
(1 +
w.J3i ) = O.
[a = ~ - arctan 2 + kn, .B = ~ + kn)
33 Scrivere in forma algebrica i numeri
<D
z=
(1 - v13i)l6;
[® z=2
34
@ W
= (1
+ i tan 2) I I ;
@
u=(2+3i) 8 .
16
(cos~rr+isin~rr] ,® w= (cos;) 11 [cos22+isin22J]
[@ u = 13 4 [cos8y +i sin8y] (y = arctan~-::: 0.9828)]
Calcolarez = .V4i-4ew = .V3 -2i .
Sf.V\3
2 ao = T6rr,a1
3
II
19
27 J
= T6:rr,a2
-_ T6:rr,a3
= T6rr
[IZ; I = '\/-'L.,
[ lw;I = 1.VO, aj = ~. (j =0,l, . . . , 4;y =-arctan1)]
35 Calcolare z = VC2 + 4i) 3 e v = \/(2 - i)s.
[ Zo
= 2 + 4i, Z1 = (1- 2.J3) + i(2- .J3), Z2 = (1+2.J3) + i(2 - .J3)]
[vo = 3 - 4i, V1 = 4 + 3i, v2 = -3 + 4i = -vo, v3 = - 4 - 3i =-vi]
36 Risolvere © z 2 + 2iz - 3 + 2.J3i = O e ® w 2
[(i) Z1 = .J3- 2i,
Z2
= - .J3,
®
-
Wt
2iw - 1 +Bi = O.
=2-
i , W2 = -2 + 3i J
Numeri complessi
= (2 + 3i) 3 .
[zo = (2 + 3i),z1 = _ 31+2 + 21- 3i, z2 = 31-2 Risolvere l'equazione (3 - 4i) 3 z 3 = 1.
101
Risolvere l'equazione z 3
z[z o -- ..1.25 +.i.i·
25 '
1 -
Risolvere l'equazione z 4
+ z2 -
6
[lz;I = ...fi.,
a1
25
25
'
z2 -- _ 4../3+3
25
J
4-3../Ji]
25
=o.
[ Z1
Risolvere l'equazione z6
4../3-3 - 3../3+4l·
21-3i
= ,./2_, Z2 = -,./2_, Z3 = .J3i, Z4 = -.J3i]
+ 4z 3 + 8 =O.
= ~. a2 = 1527r,a3 =
g;r,a4
= g;r,a5 = g;r,a6 = ~;r]
Disegnare nel piano complesso l'insieme
I'= {z
[f
E
C: (lz 2 1-
= {z e C : lzl =
3lzl + 2)(z 4 + 4) =O}.
l, lzl
= 2}U{l +i , l-i , - 1 +i, -
l -i}]
2
Descrivere e disegnare l'insieme I'
= {z
E
C: Re(z 2 ) ~ O}.
(f
= {z E C : - lxl S Y S lxl}]
Funzioni Proprietà generali
Esercizi svolti e richiami di teoria
Definizioni preliminari
Determinare campo di esistenza e immagine delle seguenti funzioni :
r.\f
2+-x;
X i(x ) = x-3
® f3 (x) =
Vx -
x2
.
Soluzione
Data una funzione f : JR ~ JR, si chiama campo di esistenza o insieme di definizione di f l'insieme T dei numeri reali x per i quali l'espressione di f ha
senso, chiameremo invece dominio di una funzione l'insieme D ç T in cui
all'occorrenza) limiteremo i valori di x, per esempio: il campo di esistenza di
f(x) = .JX+"T è T = [- 1, +oo), se però vogliamo definire la funzione .JX+"T
solo per i valori di x tra Oe 10, scriveremo
f(x) =
.JX+l,
x
E
D = (0, 10) ;
salvo esplicita indicazione contraria, D coinciderà con T.
Si chiama immagine di f il sottoinsieme I di JR costituito dai numeri che
sono immagine di un qualche valore x E D:
lt = {y E JR: y = f(x) , per qualche x ED},
ossia i valori y per i quali l'equazione y = f(x) ammette radici.
~
La presenza dix - 3 al denominatore implica T 1 = (- oo, 3) U (3, +oo), si
vede poi che l'equazione
2+x
y = x-3
ha soluzione solo se y -:/= 1, pertanto I li = (- oo, I) U (I , +oo).
104
Capitolo 4
@ La funzione logaritmo richiede che l'argomento sia strettamente positivo, nel
nostro caso quindi 1 - x 2 > O e pertanto T2 = ( -1, 1), inoltre poiché il
logaritmo di un numero minore o uguale a 1 è minore o uguale a O, I h =
(- oo,O].
@ Occorre che x - x 2 :::: O, il che corrisponde a chiedere O ~ x ~ 1 (e quindi
T3 = [O, 1]), inoltre osserviamo che la funzione x - x 2 è una parabola che
poichè allora.
rivolge la concavità verso il basso, e che ha il vertice in x =
2
sex E [O, I], O~ x - x ~ ;\.possiamo affermare che T13 = [O,
!,
ESERCIZIO 4.2
•
)21.
Funzione com osta
Date le funzioni
f(x) = x 2 -1,
g(x)
= log 2 (x -
1)
e
h(x)
= ,J"X,
determinare le seguenti funzioni composte, specificando per ciascuna il relativo
campo di esistenza:
(!) gof(x);
@
fog(x);
@ hog(x);
@ hogof(x).
Soluzione
Date due funzioni f e g, si chiama funzione composta di f e g, e si indica con
g o f la funzionea ottenuta calcolando il valore di g in corrispondenza del valore
ottenuto da f(x):
x~f(x~
x--j
gof
g(f(x))
~ gof(x)
Poiché g o f(x)
log 2 ((x 2 - 1) - 1) = log(x 2 - 2), bisogna imporre
che lxI > v'2, ossia Tgof = (- oo, -v'2) U ( v'2, +oo); in termini delle
singole funzioni notiamo che TJ = JR e I f = [-1, + oo), mentre Tg =
(1 , +oo) e lg = JR; affinché I f s;: Tg si deve restringere f al dominio
Df = (-oo,-v'2) U (v'2, +oo), in tal modo IJ = (1 , + oo) = Tg ego f
è definita.
@ Poiché f o g(x) = (log 2 (x-1)) 2 - 1, immediatamente si vede che Tjog =
(I, +oo); in questo caso, poiché Tg = (1 , + oo) e TJ = R non è necessaria
alcuna ulteriore limitazione.
@ Veniamo ah o g(x) = ..j~
log2 (-x---1-): Th = [O, +oo), mentre Ig = JR,
dovremo perciò restringere g ai soli valori di x per cui è positiva: x :::: 2, e
quindi Thog = [2, +oo).
(!)
a Attenzione! In generale, la funzione composta g(f(x)) si indica con go f(x), raramente si
può trovare anche la scrittura f o g(x).
Funzioni - Proprietà generali
i
105
Per quanto riguarda hogo f, sappiamo già (punto <D)che Tgof = (-oo,-../i)U
(../2, + oo), in questo caso però f gof = ~ e non è garantita l'esistenza
di h o g o f; occorre perciò restringere il dominio di g, questo comporta
restringere ulteriormente il dominio di f (percorriamo il cammino a ritroso, come quando si sceglie 1' orario di partenza del treno dovendo rispettare un orario di arrivo). Allora, affinchè Th = [O, +oo) ~ f g, occorre che
Dg = [2, +oo), affinché poi f J ~ Dg, occorre che JxJ :::: ,J3, pertanto
D f = Thogof = (-oo, - .J3) U [.J3, +oo).
Dara lafunzione f(x) il cui grafico è
y
disegnare qualitativamente i grafici delle funzioni seguenti :
i /(x) +l ;
@ f(x+2);
@
1
2f(x);
© f(-2x);
® f( Jxl);
® J/(x)J .
Soluzione
Esaminiamo dapprima gli effetti di tutte le trasformazioni sui grafici, e poi disegnamo tutti i grafici corrispondenti.
• f(x) + k - corrisponde a una traslazione in verticale di k unità del grafico di
f: verso l'alto se k > O, verso il basso se k <O.
• f(x + k) - corrisponde a una traslazione in orizzontale di k unità del grafico
di f: verso sinistra se k > O, verso destra se k < O.
• af(x)- corrisponde a una contrazione o dilatazione in verticale del grafico di
f, combinata se a < Ocon un completo ribaltamento del grafico di f rispetto
all' asse delle ascisse, secondo il seguente schema:
a> l
O<a < l
-1 <a< O
a <-l
dilatazione,
contrazione,
contrazione e
ribaltamento,
dilatazione e
ribaltamento;
nel caso in cui a = -1 sia ha unicamente il ribaltamento rispetto all'asse delle
ascisse, senza dilatazione o contrazione.
106
Capitolo 4
• f(ax)- corrisponde a una contrazione o dilatazione in orizzontale del grafico
di f, combinata se a < O con un completo ribaltamento del grafico di f
rispetto all'asse delle ordinate, secondo il seguente schema:
a>l
O<a<l
- l<a<O
a <-1
contrazione,
dilatazione,
dilatazione e
ribaltamento,
contrazione e
ribaltamento;
nel caso in cui a = - 1 sia ha unicamente il ribaltamento rispetto all'asse delle
ordinate, senza dilatazione o contrazione.
• /(lxl) - il grafico coincide con il grafico di fa destra dell'asse delle ordinate,
a sinistra dell'asse delle ordinate diventa simmetrico di quello di destra.
• l/(x) I - il grafico coincide con il grafico di f ove f(x) > O, mentre la parte
al di sotto dell' asse delle ascisse viene ribaltata al di sopra di esso.
Pertanto:
<D il grafico di f(x)
+ 1 è spostato verso l'alto di una unità:
y
y
X
X
@
il grafico di f (x
+ 2) è spostato verso sinistra di due unità:
y
X
@
il grafico di
! f (x) è compresso in verticale:
y
y
X
X
Funzioni - Proprietà generali
•
107
il grafico di f( - 2x) è compresso in orizzontale, e ribaltato:
y
X
~
il grafico di /(lx i) è quello di una funzione simmetrica rispetto all'asse x,
che per x > O coincide con f(x):
y
y
X
X
il grafico di If (x) I è il grafico di f ove essa è positiva, è ribaltato al di sopra
dell' asse delle ascisse dove è negativa:
y
y
•
Corris ondenza biunivoca e funzione l_n_
ve_rsa
_ _ _ _ _ _.._.
Szabilire se ciascuna delle seguenti funzioni è invertibile nel dominio a fianco
specificato, e nel caso calcolare l'espressione della funzione inversa, specijican~e dominio e immagine, disegnare infine un grafico di ciascuna funzione e di
::wscuna inversa :
© f(x) = x 2
+ 2x -
® g(x) = x 2
-
1
@ h(x) = -,
X
2,
3,
D f =(O, 3];
Dg = (-.J2, 2];
D h = (- oo, O) U (O, +oo) .
108
Capitolo 4
Soluzione
Perché una generica funzione 1 sia invertibileb, è necessario e sufficiente che a
ogni elemento y dell'immagine di 1 corrisponda uno e un solo elemento x del
dominio:
y = l(x)
graficamente, ciò significa che ogni retta orizzontale (del tipo y = k) deve incontrare il grafico di 1 in al più un puntoc. Osserviamo che una funzione strettamente
monotona - crescente o decrescente - sarà sicuramente invertibile.
Il grafico della funzione inversa di una generica funzione 1 si ottiene da
quello di 1 attraverso una riflessione rispetto alla bisettrice del primo e del terzo
quadrante.
Q)
Il grafico di y = 1(x) è una parabola, il cui vertice si trova in (-1, -4) e
che rivolge la concavità verso l'alto, pertanto 1 è monotona decrescente se
x < - 1 ed è monotona crescente sex > -1; poiché nel dominio DI = [O, 3]
la funzione 1 è monotona crescente, è allora invertibile.
Poiché poi O::: x ::: 3 implica - 3 :::;: l(x) ::: 12, abbiamo
DI= [O, 3]
D 1-1 = [-3, 12]
I I= [-3, 12]
I 1-1 = [O, 3]
e i grafici di 1e1- 1 sono (attenzione: non sono in scala):
y
12
Y = f(x)
y
-3
X
12
X
-3
l'espressione analitica di 1-1 si ricava da quella di 1:
y = x2
+ 2x -3
risolvendola rispetto a x (ricordando che x > - 1):
= O :::::} x = - 1 ± J 4 + y :::::} x = - 1 + .J4+Y
pertanto l- 1(y) = .fl+"Y - 1e l - 1 (x) = ,J4 + x -1.
x 2 + 2x - 3- y
b
Denotiamo con 1- 1 la funzione inversa della funzione f.
k E I f, non lo incontra se k fj I f.
e Lo incontra in un solo punto se
Funzioni - Proprietà generali
~
109
Il grafico della funzione y = g(x) è una parabola avente vertice in (O, -2), e
in Dg = [-.J2, 2] non è monotona:
y
X
y= g(x)
@
pertanto g non è invertibile.
La funzione h (x) = ~ non è monotona nel suo dominio, tuttavia verifica
la regola delle rette orizzontali, è pertanto invertibile; risolvendo rispetto a x
l'equazione y = h(x) = ~si ottiene x = ~'e pertanto i grafici di h e di h- 1
coincidono:
Osservazione importante: I grafici di I e di 1-1
Abbiamo appena osservato che il grafico di una funzione I e della sua inversa
1-1 sono uno simmetrico dell'altro rispetto alla retta y = x, questo è vero solo
se entrambe le funzioni usano x come variabile! Ossia: sono simmetrici i grafici
delle due funzioni
Y = l(x)
e
Le due scritture y = I (x) e x = 1- 1 (y) legano le stesse coppie di valori x e
y, pertanto i punti che le soddisfano sono i medesimi. Passando da x = 1- 1 (y)
a y = 1- 1(x) si scambiano x e y, ed è per questo che i grafici sono simmetrici
rispetto alla bisettrice.
4.1 .2
Le principali funzioni elementari
'fs ~'i~" •
ESERCl~IO
Funzioni del ti o xcr
Disegnare il grafico qualitativo di
(!)
l(x) = x1t';
@ g(x) = x2f3;
@
h(x) = xlf3;
© k(x) = x6f4.
--
- - - - - - - - - - - - --
110
- - - --
- - - - -- - - - - - - --
-------,
Capitolo 4
Soluzione
Partiamo dall'insieme di definizione della generica xa, poiché dipende da a:
a intero
x>O
a =
a irrazionale
razionale
sì
sì
sì
x=O
X< 0
~
sì, a patto che a > O
no se m dispari e n pari
sì negli altri casi
sì
Attenzione: con x !f!- si intende
.
~
per x negativo, mentre x 2 no.
no
;:;xrn, e non il contrario. Dunque x ~ ha significato
Il grafico di xa per x > O è contenuto nel primo quadrante per ogni valore
reale di a; se a > Oin corrispondenza dix =O il grafico passa per l'origine degli
assi. Infine il grafico di xa per x < O (ovviamente, qualora esista, cioè se a è un
intero k, o un numero razionale ~ purché non con m dispari e n pari) si ottiene per
riflessione da quello per x > O con la regola seguente: se k o m sono pari, allora
il grafico per x < O è simmetrico del grafico per x > O rispetto ali' asse delle
ordinate (la funzione è pari), se k o m sono dispari, allora il grafico per x < O è
simmetrico del grafico per x >O rispetto all'origine (la funzione è disparid).
Consideriamo allora il grafico di xa se x > O, per qualsiasi valore di a il
grafico passerà per il punto (1 , 1), inoltre:
• se a = 1, il grafico è semplicemente la bisettrice di primo e terzo quadrante;
• se a > 1 il grafico assomiglierà a quello della parabola y = x 2 , sempre più
piatto vicino a zero, e sempre più ripido per x > 1 al crescere di a (in figura,
1 < ct1 < ct2);
y
X
d
Per il significato di funzione pari e dispari, vedere più avanti Esercizio 4.11.
Funzioni- Proprietà generali
•
111
e O < et < 1 il grafico assomiglierà a quello di y = ,/X, sempre più ripido
vicino a zero, e sempre più piatto per x > 1 all'avvicinarsi di et a zero (in
figura, O < et3 < et4 < l);
y
X
• se et < O il grafico assomiglierà a quello dell'iperbole y = ~'più lontano
dall'asse delle ordinate e più vicino all'asse delle ascisse se et < - 1, viceversa
se -1 <et< O (in figura, et 1 < - 1 < et1 <O);
y
X
1
Infine, i grafici di xa e x a sono simmetrici rispetto alla bisettrice
y = x.
© Sia f(x) = x1C, poiché rr > 1 il grafico di f è "tipo parabola", compreso tra
quelli di x 3 e di x 4 , poiché inoltre rr è irrazionale f non esiste per x < O,
in figura i grafici in linea sottile sono quelli di x 3 e di x 4 , quello in linea più
marcata è x1C:
y
112
Capitolo 4
@ Sia g(x) =
zrx2 =
2
x 3, poiché il denominatore è dispari la funzione esiste
anche per x < O, poiché il numeratore è pari la funzione è simmetrica rispetto
ali' asse delle ordinate, poiché l'esponente è compreso tra O e 1 il grafico per
le x > O è "tipo radice":
y
X
1
h (x) = ifX = x 3 , poiché il denominatore è dispari la funzione esiste
anche per x < O, poiché il numeratore è dispari la funzione è simmetrica
rispetto ali' origine, poiché 1' esponente è compreso tra O e 1 il grafico per le
x > O è "tipo radice":
@ Sia
y
X
6
© Sia k(x) = x4 = ~;poiché numeratore e denominatore sono entrambi pari, la funzione esiste anche per x < O; poiché il numeratore è pari, la
funzione è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate; poiché l'esponente è
maggiore di 1, il grafico per le x > O è "tipo parabola":
X
Funzioni - Proprietà generali
113
~ FunDon_l__,.___en_zial
_.__
i __________~~~~~~~---'
egnare un grafico qualitativo di
© f(x) = 2x;
@ g(x) = 3-x;
@ h(x)
=ex.
Soluzione
Sia a E (O, +oo), la funzione ax si dice esponenziale; l'insieme di definizione
e~ e l'immagine è costituita da (O, +oo); poiché a 0 = l tutti gli esponenziali
passano per il punto (O, 1); inoltre:
• se a > 1, il grafico ha il semiasse negativo delle ascisse come asintoto orizzontale: se x < O al crescere di lx I il grafico si avvicina ali' asse delle ascisse
(più velocemente di qualsiasi potenza di 1 ~ 1 ); invece, sex > O al crescere dix
la funzione crescerà molto velocemente (più velocemente di qualsiasi potenza
dix);
• se a = 1, il grafico è la retta y = 1;
• se O < a < 1, accade l'opposto del caso a > 1: il grafico ha il semiasse
positivo delle ascisse come asintoto orizzontale, infatti se x > O al crescere
di x il grafico si avvicina all'asse delle ascisse (più velocemente di qualsiasi
potenza di ~);invece, sex < O al crescere di lxl la funzione crescerà molto
velocemente (più velocemente di qualsiasi potenza di lx I).
Infine, i grafici di ax e di (~)x sono simmetrici l'uno dell'altro rispetto all'asse
delle ordinate.
In figura, abbiamo i grafici di ax, bx, 1x, cx e dx, con O< a < b < 1 <e < d:
'.!>@@La funzione f(x) = 2x è un'esponenziale con base maggiore di 1, quindi
è crescente. Poiché 3-x = (~)x, la funzione g(x) = 3- x, essendo un'esponenziale con base minore di 1, è decrescente (in alternativa, avremmo potuto ottenere
il grafico di rx dal grafico di 3x attraverso una riflessione rispetto all'asse delle
ordinate). La funzione h(x) = ex, detta sovente semplicemente esponenziale, ha
come base il numero irrazionale e :::::: 2.718, in figura è disegnata con tratto più
marcato:
114
Capitolo 4
X
ESERCIZIO 4.7
Disegnare un grafico qualitativo dt-e
© f(x) = log2 x;
@ g(x)
= log0 . 3 x;
@ h(x) = ln x .
Soluzione
Poiché
la funzione y = Ioga x è l'inversa di y = ax, quindi il suo grafico è simmetrico
(rispetto a y = x) di y = ax, pertanto: è definita per O < a < I e per a > I;
la sua immagine è R tutte le funzioni Ioga x passano per (1, O); inoltre:
• se a > 1, il grafico ha il semiasse negativo delle ordinate come asintoto verticale, cioè: quando x si avvicina a O, la y corrispondente è negativa e IYI è
sempre più grande (ma cresce più lentamente di qualsiasi potenza di ~ ), invece, al crescere di x la funzione crescerà anch'essa (anche se più lentamente di
qualsiasi potenza dix);
• se O < a < 1 le parti si invertono: il grafico ha il semiasse positivo delle
ordinate come asintoto verticale, cioè: quando x si avvicina a O, la y corrispondente è positiva e sempre più grande (anche se cresce più lentamente di
qualsiasi potenza di ~ ), invece, al crescere di x la funzione, negativa, crescerà
in modulo anch'essa (anche se più lentamente di qualsiasi potenza dix).
Infine, i grafici di Ioga x e di log.i x sono simmetrici l'uno dell'altro rispetto
a
ali' asse delle ascisse.
Nella successiva figura sono riportati i grafici di Ioga x, logb x, logc x e
Iogd x, con O < a < b < 1 < e < d.
e ln tutto il libro, con In a intendiamo il logaritmo naturale di a, avente per base il numero e;
qualsiasi altro logaritmo verrà sempre indicato esplicitandone la base b: logb a.
Funzioni - Proprietà generali
115
y
J. ~@La funzione f(x ) = log 2 x è un logaritmo con base maggiore di 1, quindi
e crescente. La funzione g(x) = log0 _3 x, essendo un logaritmo con base minore
di l , è decrescente (poiché poi 0.3 < ~'vicino a x = Oè più schiacciato sull'asse
delle ordinate e al crescere di x si allontana più lentamente dall'asse delle ascisse).
La funzione h(x) = ln x, poiché 2 <e < 3, è un logaritmo anch'esso crescente,
m figura è disegnata con tratto più marcato:
y
log 2 x
ln X
log0 _3 x
--i6111!~====:=;;:......a.
Funzioni trigonometriche e loro Inverse
_ _ _ _ _ _ _ __.
.Voti che siano i grafici di sin x, cos x e tan x, disegnare i grafici delle loro funzioni
inverse arcsin x, arccos x e arctan x.
Soluzione
Conosciamo dalla trigonometria i grafici delle funzioni sin x (in grassetto) e cos x,
qui rappresentati nell'intervallo [- 2rr, 2rr]:
y
116
Capitolo 4
Poiché nessuna delle due funzioni è globalmente invertibile, occorre limitare ciascuna a un dominio ove è invertibile; per sin x si prende per convenzione l'intervallo [-'Ì, 'Ì], per cos x si prende l'intervallo [O, rr] :
y
y
y =sinx
y
=cosx
7T
2
X
7T
X
7T
-1
2
-1
Le due funzioni inverse così ottenute si chiamano rispettivamente arcsin x e
arccos x, il loro grafico è (rispettivamente)
y
y
7T
7T
2
y = arccos x
- I
}
X
7T
-2
y = arcsinx
-1
X
Per quanto riguarda tan x, le stesse ragioni di monotonia impongono di scegliere
un solo "ramo" della funzione, quello che passa per l'origine (in grassetto):
y
X
Il grafico della funzione inversa arctan x è allora
y
'!I
2
X
y = arctan x
Funzioni- Proprietà generali
117
Raccogliamo in una tabella domini e immagini delle funzioni inverse delle funzioni trigonometriche:
Funzione f
Dominio D f
Immagine 11
arcsin x
[-1, l]
[ - ~' ~]
arccos x
[-1, l ]
[O,n]
arctan x
JR
(- ~' ~)
•
Funzioni !
iche
Disegnare un grafico qualitativo di
<i> f(x) = Sh x;
® g(x) = Chx;
@ h(x) =Thx.
e ricavare l'espressione analitica delle loro inverse.
Soluzione
Le funzioni seno iperbolico, coseno iperbolico e tangente iperbolicaf sono definite come
ex - e-x
ex+ e-x
Shx
ex -e-x
Shx = - - - Chx= - - - Thx = - - = - - -Chx
ex+ e- x
2
2
L'insieme di definizione di tutte e tre è JR.
<D Sh x ha le seguenti caratteristiche:
• Sh O = O, Sh x > O se x > O, Sh x < O se x < O;
• poiché Shx = -Sh (-x), la funzione è simmetrica rispetto all'origine;
• al crescere di x, cresce anche Sh x, come un'esponenziale, quindi più
velocemente di ogni potenza di x.
® Ch x ha le seguenti caratteristiche:
• ChO = 1, Chx > 1 sex =f. O;
• poiché Ch x = Ch (-x), la funzione è simmetrica rispetto ali' asse delle
ordinate;
• al crescere di lx l, cresce anche Chx, come un'esponenziale, quindi più
velocemente di ogni potenza di x.
Poiché Ch x - Sh x = e- x, al crescere di x i due grafici tenderanno ad assomigliarsi sempre più, per la stessa ragione (unita in questo caso all'espressione analitica di Chx e Shx) per x <O al crescere di lxl i due grafici tendono
sempre più a essere l'uno il simmetrico dell'altro.
f
A volte indicate anche con sinh x , cosh x e tanh x.
118
Capitolo 4
Un grafico qualitativo di Sh x e Ch x è il seguente:
@ Per quanto riguarda Th x, osserviamo innanzitutto che, come Sh x, anche
Th x è simmetrica rispetto all'origine, dedurremo allora il suo grafico per
x > O, e sfrutteremo poi la simmetria per il grafico con x < O. Per studiare
il comportamento di Th x per x > O, vediamo subito che, raccogliendo ex a
numeratore e denominatore Tb x può essere riscritta come
Th x =
1 - e_-zx
= - --ex + e-x
1 + e-2x
ex - e-x
per cui, O ::::; Th x < 1, e anzi al crescere di x la retta y = 1 è un asintoto
orizzontale per Thx. Un grafico qualitativo di Thx è allora il seguente:
y
X
- - - - - - - - - -
-I
Per scrivere le formule delle funzioni inverse di Sh x e Tb x, osserviamo innanzitutto che, essendo monotone, sono invertibili su tutto JR, invece Ch x è
invertibile alternativamente per x :::: O o per x ::::; O; per quanto riguarda la
funzione inversa di Sh x, poniamo y = Sh x e risolviamo quest'equazione
rispetto a x :
y = Shx
y = ---2
se moltiplichiamo tutto per ex otteniamo l'equazione di secondo grado in ex
Funzioni - Proprietà generali
119
le cui soluzioni sono
ex=
y ± )y 2+l={ ex=y +Jy 2 +1. >O::::} x=log(y + Jy2+1)
ex = y - J y2 + 1 < O
non accettabile,
pertanto
y = Shx
= log(y
X
J
+
y2
+ 1).
Con conti analoghi, è possibile ricavare che, se x ::::. Oe y ::::. 1:
y = Chx
x = log(y
+ ) y2 -
1),
e, se - 1 ::: y ::: 1:
y = Thx
aii.lii!~:!::~2....J.
X=
Altre funzioni im
1
1+y
-Jog--.
1-y
2
rtanti
Descrivere le seguenti funzioni, disegnandone un grafico:
© H(x) ;
® sgn x;
®
LxJ;
© mant x .
Soluzione
© La funzione H(x), detta funzione di Heaviside, è la funzione che vale O se
x < Oe I se x ::::. O:
X::::. 0
H(x) = {
X< o
6
I
y
X
® La funzione sgn x (segno dix) vale:
sgn x =
j6
x>O
x=O
- 1 x<O
il suo grafico è:
8 D'ora in avanti, un punto in corrispondenza di un "salto" significa che in corrispondenza di
quell'ascissa la funzione assume il valore da esso contrassegnato
120
Capitolo 4
y
1--------
X
@ La funzione Lx J (parte intera di x) corrisponde al massimo intero minore o
uguale a x, per esempio:
Lrr J =
3,
L-n J =
-4 ;
il suo grafico è:
y
X
© La funzione mantx (mantissa dix) è definita come mant x = x - LxJ, per
esempio:
mant;r
= ;r - 3 = 0.14159 ... ,
mant (-;r) = -rr - (-4)
= 0.85841;
il suo grafico è:
y
X
4.1. 3 Alcune proprietà delle funzioni
ESERCIZIO 4.11
•
Funzioni P-arl funzioni dls~arl
Mostrare che ogni fanzione f : JR --+ JR può essere decomposta nella somma di
due fanzioni, una pari e l 'altra dispari.
Funzioni - Proprietà generali
121
Soluzione
Una funzione f(x) si dice pari se per ogni valore dix abbiamo f(x) = f( - x)
(cioè: il grafico di f è simmetrico rispetto all'asse y); si dice dispari se per ogni
valore dix abbiamo f(x) = - f(-x) (cioè: il grafico di f è simmetrico rispetto
all'origine). Detta f(x) la generica funzione, dobbiamo dimostrare che esiste una
coppia di funzioni f p (x) e fd (x) tali che
f(x) = fp(x)
+ fd(x),
{
fp pari
dispari ·
id
Ammettiamo che la coppia f P e fd esista. per ottenerne l'espressione, scriviamole
entrambe in corrispondenza dix e -x, poiché f(-x) = fp(-x) + fd(-x) =
fp(x) - fd(x):
f(x) = fp(x) + fd(x)
l
f(-x) = fp(x)- fd(x)
da cui, sommando e sottraendo membro a membro:
fp(x) = f(x) +2f(-x)'
fd(x) = f(x) -2!(-x);
per esempio, se f (x) = ex, troviamo che
ex+ e-x
fp(x) =
ESERCl~io '<i.12 ,·
2
•
= Chx,
Funzioni
ex - e-x
fd(x)=
2
=Sh x.
riodiche
Date le funzioni
f(x) = sin(ax+3), g(x) = sin(8x)+cos (
°
2
x ) , h(x) = cos(3x)-2sin(irx),
3
rispondere alle seguenti domande:
f sia periodica di
periodo T = IO?
@ Qual è il periodo della funzione g?
@ La funzione h è periodica? Se sl, qua.nto vale il suo periodo?
<!> quale valore positivo bisogna assegnare ad a perché
Soluzione
Una funzione f è periodica di periodo T (cioè T-periodica) se per ogni valore di
x ED f anche x +TE D f, inoltre deve accadere che f(x) = f(x + T).
<!> Imponiamo allora chef sia periodica di periodo 10:
sin(ax + 3)
= sin(a(x +
10) + 3);
122
Capitolo 4
Sapendo poi che le funzioni circolari (seno e coseno) sono 21t'-periodìche,
cioè V~ sin(~) = sin(~ + 21t'), chiediamo allora che i due argomenti scritti
sopra differiscano di 21t':
[a(x
+ 10) + 3] -
[ax
+ 3] = 21l'
~
10a
= 21'(,
pertanto a = ~.
® Se una funzione g è la somma di due funzioni periodiche, di periodi T1 e T2
rispettivamente, essa avrà come periodo il minimo comune multiplo dei due
periodi (qualora questo esista), poiché abbiamo appena visto che sin(f3x) è
periodica di periodo T =
concludiamo subito che:
T,
1'(
sin(8x) è periodica di periodo T1 =
4,
2
3
. dica di peno
. d o T2 = IO
1l' ;
cos ( 0 x ) e' peno
3
il nostro scopo è allora trovare il minimo comune multiplo tra T1 e T2 , cioè
determinare due interi h, k E N tali per cui
h 1l' = k 31l'
4
10 '
semplificando per 1l' l'ultima relazione e liberando dai denominatori arriviamo infine all'uguaglianza
Sh = 6k;
poiché abbiamo raggiunto come coefficienti di h e k due numeri interi primi
tra loro, concludiamo che h = 6 e k = 5, e che pertanto minimo comune
multiplo dei periodi è
@
La funzione h(x) non è periodica, se lo fosse, dovrebbero esistere due interi
h, k E N per i quali (detti T1 = %1l' e T2 = 2 i periodi di cos(3x) e sin(T(x)
rispettivamente)
ma poiché 1'( è irrazionale, non esiste alcuna coppia di interi che verifichi
questa relazione; pertanto, come dicevamo, h non è periodica.
Funzioni - Proprietà generali
4.1.4
123
Grafici di funzioni
Facendo uso delle trasformazioni elementari dei grafici elencate nell'Esercizio 4.3,
disegnare il grafico qualitativo di ciascuna delle seguenti funzioni
X f(x) = J lx -11-1; ® g(x) = l21x+l l-21;
@ h(x ) =
1-)11- lxll ·
Soluzione
© Partiamo dal grafico di Jx (potenza compresa tra Oe 1) e con una riflessione
trasformiamolo nel grafico di
/iXT:
y
y
y
=Jx
y =
X
Jlxi
X
poiché nell'espressione della funzione al posto di lxl compare
grafico non sarà "centrato" nell'origine, bensì in x = 1:
y
lx - li,
il
y =~
X
infine, il grafico va "abbassato" di un'unità, pertanto il punto (1, O) finirà in
(1, -1) e la funzione attraverserà l'asse delle ascisse in (O, O) e in (2, O):
y
y =~- 1
124
@
Capitolo 4
Cominciamo con il grafico di lx+ I I, moltiplicarlo per 2 significa raddoppiare
la pendenza delle rette:
y
-1
X
- 1
y = lx+ 11
X
y=2 1x+l l
abbassiamo il grafico di 1 unità: attraverserà lasse delle ascisse in (- ~,O) e
in (-!,O):
- 1
X
y =2 1x+l l
X
y =21 x+ll-l
prendere il valore assoluto della funzione significa ribaltare verso lalto la
parte di grafico posta al di sotto dell'asse delle ascisse:
X
y=2 1x+ll-l
X
y = l21x+ 11-1 1
= llx l- llechepertantoh(x) = -f(lxl);abbiamo
già (vedi punto(!)) ricavato il grafico di f(x): otteniamo immediatamente per
riflessione rispetto all'asse y del ramo per x >O il grafico di f(lxl):
@ Osserviamoche !I-lxll
Funzioni - Proprietà generali
y
125
y =~-1
per ottenere il grafico di h è ora sufficiente ribaltare rispetto all'asse x:
y
y=l-~
Disegnare il grafico delle seguenti funzioni
<D f(x)
= x(I-x)H(x(I-x));
@ g(x)
= LsinxJ;
@ h(x)
= mant(,J.X).
Soluzione
<D La funzione y = x (I - x) è una parabola, il cui vertice si trova in ( ! ,! ), e
che rivolge la concavità verso il basso, questa funzione viene moltiplicata per
H(x(I - x)) che vale
H(x(I - x)) = {
x(I - x) ~O
x(I -x) <O
b
:::::}O:::x:::I
:::::} x < O,x >I
pertanto
x (I - x)H(x(I - x))
~ { ~- x
x<O
2
o:::x:::l '
X> 1
il grafico è il seguente:
y
X
'
126
@
Capitolo 4
Osserviamo innanzitutto che, poiché sin x è periodica, anche g(x) lo sarà,
pertanto è sufficiente ricavarne il comportamento per O ~ x < 2rr , inoltre
~
lsinx j = (
-1
7r
sin x = 1
:::::::}
O ~
:::::::}
sin x < 1
sinx <O
:::::::}
X =
-
2
7r Jr
O<x<- <x<rr
'
2'2
Jr <X < 2rr
il grafico è allora:
y
- 'TT
27T
'TT
'TT
X
2'TT
2
@
2
h(x) è definita in [O, +oo), poiché inoltre h è crescente e Ih = [O, +oo),
allora l'immagine di ogni intervallo della forma [k 2 , (k+ 1) 2 ) sarà l'intervallo
[0, 1), in altre parole sex E [k2, (k + 1)2 ) , allora h(x) = (,/X - k) E [O, 1):
Y
y
= h(x)
X
4
4.2
Esercizi proposti
15 Scrivere l'espressione analitica delle funzioni inverse delle funzioni seguenti, nel
dominio indicato, specificandone il dominio:
©
@
@
= x2,
g(x) = x 4 - 2x2 2
h(x) = l -e-x ,
f(x)
D1=(-oo, -I );
4,
Dg= [- 1,0];
Dh
= [-2, 0].
(<D 1- 1 (x) = - ./X,
D 1-• = (1, +oo)]
[@ g- l(x) =-JI-.JX+S, Dg-1 =[-5,-4J]
[® h- 1 (x)
= - J- Jog(l -
x) , Dh- 1
= [0, 1 -
e-4
1]
Funzioni - Proprietà generali
16 Disegnare il grafico delle seguenti funzioni:
= sin(arccos(x));
© f(x)
@
Y
g(x)
y
=f
= arccos(sin(x)) .
(x)
- 1
}
X
y = g(x)
y
7T
- 'TT
'TT'Y
2
~'TT
2
37'
2
17 Disegnare un grafico qualitativo delle seguenti funzioni
© f(x) =
Y
y
=f
X
L.JXJ;
@
- 1
g(x) = - 2 .
x-
(x)
3
2
9
4
y
_J
-
I
I
I
II
2
I
I
Y = g(x)
-- -
X
X
X
127
128
Capitolo 4
18 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche o no, e nel caso specificarne il periodo T:
© f(x) = cos(x 2 );
© f(x) = cos ( x
f(x) = (cosx) 2
@
~ 1)
- rr sin(3x);
[©No;
~Sì,
;
@ f(x) = sin LxJ;
® f(x) = (2 + cosx)sinx.
T =rr; @ No; Ci> Sì, T =4rr; ®Sì, T =2rr]
19 Determinare il valore da attribuire ad a affinché la funzione f(x) = tan(sinax))
sia periodica di periodo 2.
20 Disegnare il grafico della funzione f I-periodica, tale che f(x) = x 2 se O::: x < I
nell'intervallo [-3, 5].
Y
-3
-2
Y
= f (x)
-1
2
4
5
X
21 Disegnare nell' intervallo [-3, 5] il grafico della funzione f 2-periodica, dispari tale
che f(x) = x 2 se O ::: x < 1 e /(1) =O.
Y
y
=f
(x)
Limiti e continuità
5.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
5.1.1
Verifica di limiti con la definizione metrica
ESERCIZIO 5. 1
Verificare con la definizione metrica i seguenti limiti
(j) lim
x-+2
1
= +<X:>"
(x - 2)2
'
@
.Jx +
x-+- 1
lim
10 = 3;
@
lim
x-+3
x- 4
(x - 3)2
= - oo.
Soluzione
Gli enunciati equivalenti a11e tre scritture
lim f(x) = +oo,
x-+xo
lim g(x) = L,
X-+XO
lim h(x) = - oo
x-+xo
sono rispettivamente
lx -xol <o~ f(x) >
8e tale che O< lx - xol <o~ lg(x) - LI
VK > 0, 3o =OK tale che O<
Vs> O, 38 =
e
VK > 0,38 =OK tale che O<
lx - xol
K,
< s,
< 8 ~ h(x) < -K .
Nei casi in esame, dovremo esplicitare il legame tra K e oo tra e e
o.
<D Imponendo f(x) > K, vogliamo ricavare il valore di 8 per cui se O < lx -
21
<
lx -
oallora la disequazione è verificata, e osserviamo che chiedere O <
21
< 8 corrisponde a chiedere che x appartenga a uno dei due intervalli
(2 - 8, 2) o (2, 2 + 8); sia allora K > O, avremo
1
(x -2)2 > K ,
2
1
(x -2) < K,
che risolta rispetto a x (ricordiamo che dev'essere diverso da 2), dà
oppure
130
Capitolo 5
queste relazioni possono quindi essere condensate in
O<
posto 8 =
lx - 21 <
lf.
J*,
abbiamo il legame cercato.
31 < s, l'obiettivo è ricavare anche in questo caso il
valore di 8 per cui se O < lx + 11 < 8 allora la disequazione è verificata;
l.Jx + 10 - 31 < s diventa
@ Chiediamo che
lg(x) -
1
3- s <
.Jx +
2
IO < 3 + s,
osserviamo che
• se 8 > 3 la i è sempre verificata, e in tal caso la 2 è verificata da tutti gli
x dell'intervallo [-IO, - 1 + 68 + s 2 ),
• se 8 < 3, la col'pia di disequazioni è verificata da tutti gli x dell'intervallo
( -1 - 6s + s , -1 + 68 + s 2 ).
Questi due intervalli diventano:
-9 < x + 1 < 68 + 82
e
- (6s -
2
8 )
< x +I < 6s + 82
,
nel primo caso (osservato che s > 3 implica 6s+s 2 > 27) possiamo scegliere
8 = 9, nel secondo caso (osservato che s < 3 implica 6s - s 2 > 0) scegliamo
come 8 il minimo dei due valori, ossia proprio 68 - 82 , riassumendo
s<3
s'.::3
·
> O, imponiamo che h(x) < - K , l'obiettivo è ricavare anche in
questo caso il valore di 8 per cui se O < lx - 3 I < 8 allora la disequazione è
@ Posto K
verificata; si ha
x- 4
(x - 3)2 < -K
K(x - 3) 2
+ (x -
4) <O,
poiché abbiamo posto K > O, questa disequazione è verificata se
6K - 1 - .Jl + 4K
6K - 1 + .Jl + 4K
- -- - - - - < X < - - - - -- 2K
2K
che può essere riscritta come
.JI + 4K + 1
.Jl + 4K - 1
- - - - - <X - 3 < - - - -2K
2K
basta scegHere aUora come 8 il minimo tra questi due estremi:
0
=
.
mm
l
.Jl + 4K + 1 .JI + 4K - l
2K
'
2K
l
= .JI + 4K - 1 .
2K
Limiti e continuità
131
Verificare con la definizione metrica i seguenti limiti
f'i\
w
2
x
x-+oo 2x
.
11m
2
-
+1
= +oo;
li
m
@
2x
x-+oo
X
+5
+2
= 2;
@
3
li
m
2
2- x
- - - = -oo.
x-+oo x
Soluzione
Gli enunciati equivalenti alle tre scritture
lim g(x) = L,
x-+oo
.
lim /(x) = +oo,
x-+oo
lim h(x) = - oo
x-+oo
sono rispettivamente
VK > 0,3.X = XK talechex >.X::::} /(x) > K,
Vs> 0,3.X
=
x
8
tale che x >.X ::::} lg(x) - LI < s,
e
V K >O, 3.X = XK tale che x >.X ::::} h(x) < -K.
Nei casi in esame, dovremo esplicitare il legame tra K e .X o tra s e .X.
<D Imponendo che /(x) > K dobbiamo trovare un intervallo (.X, +oo) ove
questa relazione è verificata; sia allora K > O, la disequazione
x 2 -2
--->K
2x
+1
è verificata se
K - JK 2
+ K + 2 <X<-~
oppure
2
X
> K
+ J K 2 + K + 2'
pertanto, ponendo .X = K + J K 2 + K + 2 abbiamo il legame richiesto.
@ In questo caso dobbiamo imporre lg(x) - 21 < s, e trovare, come al punto precedente, un intervallo (.X, +oo) ove la disequazione è verificata, innanzitutto
osserviamo che la disequazione
2x + 5 -21 < s
1 x+2
si trasforma nella coppia di disequazioni
2 - s<
2x
+s <2+s
x+2
entrambe verificate se
1
X< - 2 - s
ponendo allora .X = - 2 +
oppure
1
X> - 2+ s
i abbiamo il legame tra .X es.
132
Capitolo 5
h(x) < -K dobbiamo, al solito, trovare un intervallo (.X, +oo)
ove questa relazione è verificata; sia allora K > O, la disequazione
@ Imponendo
2-x 2
--<-K
X
è verificata se
K - ../K2 + 8
- - - -- - <X <0
2
pertanto, ponendo
ESERCIZIO 5.3
•
x=
K
X>
oppure
+ ../K2 + 8
2
K+~ abbiamo il legame tra x e K.
Limiti
X-+ -oo
Verificare con la definizione metrica i seguenti limiti:
lim e-x
x-+-oo
@
lim
x-+-oo 4
-x = +oo;
X
.
+ sm
x
lim
x-+- oo
../x2 +4 =
x
-1 ;
= -oo.
Soluzione
Gli enunciati equivalenti alle tre scritture
lim /(x) = + oo,
lim g(x) = L,
x-+-oo
x-+-oo
lim h(x) = -oo
x-+-oo
sono rispettivamente
x => f(x) > K,
talechex < x => lg(x)-LI <e,
V K > 0,3.X = XK tale che x <
Ve> 0,3.X = X6
e
V K > O, 3.X = XK tale che x <
x => h(x) < - K.
Nei tre casi, dovremo esplicitare il legame tra K e .X o tra e e .X.
© Assegnato K > O, è necessario trovare un valore .X per cui, se x < .X allora
e-x - x > K; osserviamo innanzitutto che, sex < O, allora e-x - x > e - x,
pertanto ogni valore di x per cui e-x > K verificherà a maggior ragione
anche e - x - x > K, poiché
e-x > K
=>
x < -ln K
allora poniamo .X = - In K e la disequazione e-x - x > K è sicuramente
verificata da tutti i valori x < i.
Limiti e continuità
@ Assegnato
133
e> O, dobbiamo trovare .X tale che, sex <.X, allora
Jx 2 +4
i
-1-e<
2
<-l+e;
X
I
I
osserviamo innanzitutto che Vx =!= O si ha .Jx!H > 1, e pertanto la disequazione 2 è sempre soddisfatta, mentre la disequazione i è soddisfatta se
x <
-J
!
28
82 ,
pertanto
x- -- -
~
2s + e2 ·
> O, è necessario trovare un valore .X per cui, se x < .X allora
+:inx
<
-K;
osserviamo innanzitutto che 4 +:inx < ~·pertanto ogni valore
4
di x per cui ~ < -K verificherà a maggior ragione anche la disequazione di
partenza, infatti~ < -K implica x < -5K, pertanto scegliendo .X= -5K,
possiamo garantire che ~ < - K per ogni x < .X.
@ Assegnato K
ese~c1zio
f
...:;
•
s.4·_:
'
Verificare con la definizione metrica i seguenti limiti
.
@
I
hm ex = +oo.
x-+O+
Soluzione
Sono detti limite sinistro e limite destro per x ~ xo, e sono indicati rispettivamente dalle scritte x --+ x 0 ex ~ xt, i limiti come quelli dell'Esercizio 5.2, in
cui però al posto di O < lx - xo I < 8 si sostituiscono le espressioni
X
~
xi)
~
o < Xo -
X
< 8'
X
--+ xt
~
o< X -
Xo
< 8.
Se, nel caso di un limite finito L, si ha lim f(x) = L + o lim f(x) = L -, allora
tali limiti sono detti rispettivamente limite per eccesso e limite per difetto, e nella
loro definizione metrica al posto della disequazione lf(x) - LI < s sostituiscono
le espressioni
(!)
lim f(x) = L +
~
O ::: f(x) - L < s,
limf(x)=L-
~
O:::L-f(x)<s.
La definizione metrica, scritta in questo caso, è
Ve> O, 38 = 88 tale che O< 3 - x < 8::::} O::: J7 - x - 2 < s;
134
Capitolo 5
partendo dall'ultima disequazione, cerchiamo il legame tra 8 es: sex < 3
allora ./7 - x -2 '.'.:'.: Oè sempre verificata, mentre risolvendo ./7 - x -2 < s
rispetto a x ricaviamo x > 3 - 4s - s2 , quindi
Ù
< 3-
X
< 4s + s 2 ,
e quindi 8 = 4s + s2 .
@ In questo caso, la definizione metrica diventa
o
V K > O, 38 = K tale che O < x <
o::::} ex.1. > K ;
dall'ultima relazione ricaviamo (ricordando che x > O)
1
->lnK
x
e pertanto
5.1.2
::::}
1
x<--,
lnK
o= dJ?.
Funzioni continue
ESERCIZIO 5.5
Calcolare
© lim.Jx+2;
@
x--+3
lim
X--+-1
2x 3
X -
+3,
5
©
lim ex.
x--+-4
Soluzione
Una funzione
f
è detta continua nel punto x 0 se
lim f(x) = f(xo);
x--+xo
sappiamo dalla teoria che
• polinomi,
• funzioni razionali (cioè: rapporti tra polinomi) con il denominatore diverso da
zero,
• funzioni irrazionali (ossia: radici di qualsiasi ordine),
• funzioni trigonometriche,
• fu nzioni logaritmiche ed esponenziali,
• la funzione "valore assoluto'',
sono tutte funzioni continue ove sono definite; pertanto, se il valore x 0 verso cui
si calcola il limite appartiene al campo di esistenza della funzione continua f,
questo limite assumerà semplicemente il valore che la funzione f assume in xo.
© @ @ © In tutti i casi si tratta di funzioni continue, quindi
.Jx + 2 = ,JS,
.
2x 3 + 3
lim
= 1
lim
x--+3
x--+ - 1
X
-5
6'
lim COS X = COS 7 ,
X--+7
X
1
.
1une=-.
x--+-4
e4
Limiti e continuità
135
Calcolare
:V lim lesinx -
~
61 ;
~x
.
hm
\81
X4-1
X47r
+ 2-lnx ·
e2X -
COS X
@ lim arctan
'
X40
(~)
X
.
Soluzione
Dalla teoria sappiamo che, se f e g sono funzioni continue, anche la funzione
composta g o f è continua (ovviamente, a patto che I I ç Dg), poiché le funzioni dell'esercizio sono composte da funzioni continue possiamo calcolare questi
limiti direttamente.
Q)
Ponendo x = -1:
lim lesinx -
x 4 -1
61 = lesin(-1) - 61= le-sin I
-
61
=
6- ~- .
esm 1
® Ponendo x = rr,
.
hm
x-.rr
~x
+2-
e2x
:ID Poiché
-
ln x
~2 + rr - ln rr
=-----cos x
e 2 rr + 1
.
1
hm 2 = +oo,
X40X
possiamo in questo caso esprimere il limite che cerchiamo come limite di una
funzione composta:
lim arctan
x-.o
(21) = [
x
t=_!__
x2
x--+ 0 ::::} t--+
]
+oo
=
lim arctan t
t-++oo
= -7r .
2
W!i!:i!:2~~!!!.....J. Zeri di funzioni
Data la funzione f(x) = e 2 sinx
x* E [O, I] tale che f(x*) =O.
+ ln(x + 1) -
2, mostrare che esiste un valore
Soluzione
La funzione f è composta da funzioni continue; qualora f(x) cambi di segno
nell'intervallo [O, 1], sarebbe possibile applicare il teorema degli zeri 3 : un calcolo
immediato ci dà f (O) = -1; possiamo valutare f in x = 1 anche senza ricorrere
a Teorema degli zeri: Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], se f(a)f(b) < O,
allora esiste e E [a, b] tale che /(e)= O.
136
Capitolo 5
alla calcolatrice: poiché 1 > % abbiamo che sin 1 > sin% = ~.dunque e 2 sin 1 >
e > 2.7; inoltre senz'altro ln 2 > O, pertanto
/(1) = ~ + ~ -2 > 0.7,
>2.7
>O
(usando la calcolatrice, /(1) ::::: 4.075); in definitiva, f(x) assume segno diverso
nei due estremi dell'intervallo [O, I], e quindi vi è (almeno) un valore x* E [O, 1]
tale che f(x*) = O.
Osserviamo che il teorema degli zeri si ferma a quest' affermazione: se una
funzione continua ha segno diverso nei due estremi di un intervallo, allora vi sarà
almeno un valore c ove f si annulla, ma tali valori potrebbero anche essere più
di uno. Nel nostro caso siamo in grado di garantire che il valore x* è unico,
osservando chef è monotona crescente su (O, I].
5.1.3 Algebra dei limiti, forme d'indecisione
del llmlti
ESERCIZIO 5.8
Ricordare le regole chiamate algebra dei limiti, e applicarle al calcolo dei limiti
seguenti:
11\
w
lim
X2
-
x-+oo 4
arctan ( n-x ) ; @ lim
x-3
4 + 2X
(
(x -
3) 2
)cosx·
'
@
)'im
5 + 8 COS X 2
x-+oo
x
Soluzione
Sono note sotto il nome generico di algebra dei limiti alcune regole (in realtà
equivalenti ad altrettanti teoremi) di uso sovente negli esercizi, che costituiscono una "generalizzazione" dei limiti di funzioni composte da funzioni continue.
Elenchiamo queste regole per esteso:
• Limite della somma e della differenza : se /(x) --+ L f e g (x) --+ Lg, allora
f(x)
+ g(x)--+
Li+ Lg ,
f(x)-g(x)--+ L1 - Lg;
fa eccezione il caso in cui si giunga all'espressione [oo - oo], in quanto forma
di indecisione.
• Limite del prodotto : se /(x) ~ LI e g(x) --+ Lg, allora
f(x) · g(x) --+ L f · Lg;
fa eccezione il caso in cui si giunga all'espressione [O· oo], in quanto forma di
indecisione.
• Limite del quoziente: se f(x)--+ L f e g(x)--+ Lg, con g(x) =fa O, allora
f(x)
g(x)
Lt
Lg '
--~- ·
fa eccezione il caso in cui si giunga a una delle due espressioni [:] o
entrambe/orme di indecisione.
rg1,
Limiti e continuità
137
• Limite della potenza: se f(x)---+ L f e g(x)---+ L 8 , con f(x) >O e L f >O,
allora
f(x)g(x) ---+ L !Lg ;
fa eccezione il caso in cui si giunga a una delle espressioni [oo0 ], [0°] o [l ± 00 ],
tutte forme di indecisione.
~elle regole suddette, abbiamo tacitamente trattato il simbolo oo come fosse un
numero, ribadiamo ora i calcoli che sono leciti :
• somma e differenza :
L + oo = +oo,
L - oo = -oo,
+oo + oo = +oo,
-oo - oo = -oo ;
• prodotto e quoziente: per qualsiasi valore (finito) di L
L
- = O,
00
seL
'#O
L · oo
= oo,
L
O = oo ,
(il segno del limite dipenderà dai segni dei fattori);
• elevamento a potenza infinita : se O < L < l
L +oo =O,
L-00 = +oo,
se L > 1
L +oo = +oo,
L-00 =O;
• infinito elevato a potenza : se L > O
(+oo)L = +oo,
(+oo)-L =O,
(+ oo)+oo = +oo,
(+oo)- 00 =O.
CD Per x ---+ +oo abbiamo che
x2
lim -
x-++oo 4
= +oo,
lim arctan ( rr - x) = - rr ;
2
x -++oo
pertanto (limite del prodotto):
2
lim
x-++oo
® Per x
x
4
. arctan(rr - x)
= (+oo) · (- rr)
= -oo.
2
---+ 3 vediamo che
lim
4+2x
- +oo
3) 2 '
x-+3 (x -
lim cosx = cos 3 '
x-+3
e (dato che cos 3 <O):
lim ( 4 + 2x ) cosx = ( +oo)cos3 =O.
(x - 3)2
x-+3
138
Capitolo 5
@ Poiché il limite del numeratore non esiste, questo limite non si riporta ad al-
cuna formula dell'algebra dei limiti, ma piuttosto può essere calcolato avvalendosi del teorema del confrontob : la funzione della quale stiamo calcolando
il limite è il prodotto della funzione limitata 5 + 8 cos x 2 per la funzione ~,
poiché -3 ::: 5 + 8 cos x 2 ::: 13, allora
5 + 8cosx 2
13
-3
- <
<X
X
X
il primo e il terzo membro della catena di disuguaglianze tendono a zero, per
il teorema del confronto allora
5 + 8 cos x
lim
x-++oo
•
ESERCIZIO 5. 9
2
=
0
.
X
Forme d'Indecisione I - Limiti notevoli
Calcolare i seguenti limiti :
© lim cJx 2 +5x-x);
x-++oo
© lim
1-,JX
x-+l x 2 -
"'1\
w
•
ltm
x-+O
1
@
x-++oo
.
® hm
;
x-+0
1 - cos(2x)
X2
.
@ lim
X-+7r
;
(x+a)x
.
lim
-X
· @
'
1( -
X
x-++oo x 3
+
+X 3x 2
2
.
+ 12 '
sinx 4
sin(2x 3)
·
4x3 '
sin(x - rr)
4x 3
.
llffi
® lim - -2 ·
x-+O 6x
'
. l4x-3 l-l l-3xl
@hm
.
x-+2 l2x - 31- lx - 31
;
Soluzione
I limiti presenti nel testo dell'esercizio sono tutte forme d'indecisione; vediamone
l'elenco completo:
b
somme e sottrazioni:
[oo - oo],
prodotti e divisioni:
[O· oo],
esponenti:
[0°], [l ±oo], [oo0 ].
[~] ,
[:J.
Teorema del confronto (o "dei due carabinieri"): Se f(x) ~ g(x) ~ h(x) e per x -+ xo i
f eh coincidono, allora anche il limite di g assume lo stesso valore:
limiti di
f(x) ~ g(x) ~ h(x)
lim f(x)
x-+xo
= x-+xo
lim h(x) = L
}
lim g(x)
x-+xo
= L.
Limiti e continuità
139
Per quanto riguarda il trattamento di queste tipologie, vi sono alcune strategie
standard:
• la forma d'indecisione [oo - oo] viene trattata caso per caso, oppure "raccogliendo oo" può assumere la forma [oo · O];
• la forma d'indecisione 100 si presenta in
lim
x-++oo
(1+-})x
X
=
lim
x-+-oo
(l+-l)x =e,
X
in generale, se possibile, ci si riconduce a questo;
• le fòrme d'indecisione [0°] e [+oo0 ] si riconducono con un cambio di variabile
alla forma d'indecisione [oo ·O]:
00 _- eO·logO -_ eO·(-oo) ,
• le tre forme [oo ·O], [g] e [:] sono sovente interscambiabili, per esempio:
1
00
00
00
O·oo=-·oo=-.
Accanto al limite notevole che abbiamo già ricordato, ve ne sono altri, della forma
[§J:
i) funzioni trigonometriche:
lim
l - cosx
X
x-+0
2
= 1,
lirn
.
- 1,
tanx _
X
x-+O
2
2) funzioni logaritmiche ed esponenziali:
eX - 1
lirn - - = 1,
x-+O
. ln(l
lim
x-+0
X
+ x)
X
=1·
'
3) funzioni iperboliche:
Shx
lim = 1,
x-+0
X
. Ch (x) - 1
lim
= 1,
2
x-+O
X
2
4) potenze:
lirn (1
x-+O
+ x y~ X
1 = a.
Thx
lirn - -
X-+0
X
=
1;
140
Capitolo 5
<D Cominciamo dal primo limite, è della forma [oo - oo], una tattica può essere moltiplicare e dividere per qualcosa che elimini la radice. Sfruttando il
prodotto notevole (a - b)(a + b) = a 2 - b2 , otteniamo allora
2
lim ( J x 2 + 5x - x) = lim ( J x2 + 5x - x) ,Jx + Sx + x
x-+oo
x-+oo
,,/x2 + 5x + x
2
2
2
.
(,,/x +5x) -x
5x
= hm
= lim
x-+oo ,,/x2 + 5x + x
x-+oo ,,/x2 + 5x + x
5x
5
= ,-1!'1100 x
(
R + I) = 2
tende a 2
In alternativa, si poteva raccogliere subito x:
1+ ~ - 1)
lim ( J x 2 + 5x - x) = lim x (,/
x-+oo
x-+oo
X
= ...
porre ~ = t e trasformare il limite nel limite notevole per t ---+ o+:
... =
.
lim 5
x-+oo
,/1+~-1 =
5
. 5
hm -( ,j1Tt - 1)
r-o+ t
X
.Jf+t - 1
1
5
= 5 lim
= 5·- = - .
r-o+
t
2
2
@
Osserviamo subito che x~a = 1 + ~, pertanto
. (X+ a)x lim
. (1 + -a)x = ...
lim
-x-+oo
X
x-+oo
X
per ricondurci alla forma del limite notevole di e, poniamo ~ = t, per cui
x = at e sex ---+ +oo anche t ---+ +oo:
... =
lim (1
r-+oo
+ ~)at =
t
lim
t-+oo
[(1 + ~)t]a
t
infine, poiché l'elevamento a potenza è un'operazione continua, possiamo
scrivere
Limiti e continuità
@
141
Il limite presentato in questo caso è un rapporto di polinomi, della forma
C~]; osserviamo subito che per x --+ ±oo il comportamento di un polinomio
è determinato dal monomio di ordine massimo (così come per x --+ O il comportamento di un polinomio è determinato dal monomio di ordine minimo),
in simboli
tende a 1
quindi, visto che il limite è fatto per x --+ +oo, raccogliamo x 3 :
4x 3
.
1!ID
x3
x-++oo
+
+ X
3x 2
-2
+ 12
lim
1 )
4x 3 ( 1+ - 1 - 4x2 2x3
x-++oo
X
3 (
l +3- -12)
-3
X
x
le x 3 si semplificano, le parentesi tendono a 1, quindi
4x3
lim
x-++oo
(1 + 4x2
_1_ -
x3
_1_)
2x3 =
(i+~_~)
x
x3
lim
x-++oo
4(1 + _1_
- _1_)
4x2 2x3 = 4 .
(l +~ __12)
x
x3
g],
© Questo limite è della forma [ ma non si può riportare a nessun limite notevole di quelli scritti sopra; notiamo che, grazie al solito prodotto notevole,
possiamo scrivere
x 2 - 1 = (x + l)(x - 1) = (x + 1)(.y'x + l)(,JX - 1),
e quindi semplificare .JX - 1 a numeratore e denominatore, stando attenti al
segno:
il limite cui siamo giunti non è più una forma di indecisione, sostituendo
x = 1 vale-,\- .
@
Siamo in uno dei casi immediatamente riconducibili a un limite notevole
(sostituendo 2x 3 con t):
142
Capitolo 5
x 4 con t, per riportarci al
@ Anche in questo caso, siamo portati a sostituire
limite notevole con la funzione seno, osservando che
sin x 4
x 2 sin x 4
6~'
6x 2
procediamo alla sostituzione (se x 4
= t, allora x 2 = ,J'i, inoltre x
--+ O ~
t--+ o+):
Jt
4
Jt] [
sin x
sin t
[
lim - - = lirn - - - =
lim x-+0 6x 2
t-+O+ 6
t
t-+O+ 6
sin
lim t
t]
t-+O+
= 0· l =O.
Osserviamo che in questo limite è stato cruciale il fatto che le potenze di x
nella funzione sin e al denominatore non fossero uguali.
<'V Per riportarci al limitc notevole, poniamo 2x = t (osservando che x
2
t --+ O, e che x 2 =
):
it
--+O~
.
l-cos(2x)
. 1-cost
.
1 - cost
lim
=hm
=lim2·
= 2.
2
2
X-+0
x
t-+0
1t
t-+0
t2
--
-
2 2
2
® Un'altra semplice sostituzione: se x --+ re e poniamo (x - re) = t, allora
t --+ O e (portando fuori il segno meno):
lim sin(x - re) = lim sin t = _ lim sin t = -1.
TC - X
t-+0 - t
t-+0 t
X-+n
[gJ, osserviamo però che possiamo liberarci dei valori assoluti perché, per 2 - e < x < 2 + e, ciascuna delle
funzioni contenute non cambia di segno in x = 2:
@ Anche in questo caso il limite è della forma
l4x-31=4x-3,
ll-3xl = 3x - 1,
l2x-31=2x-3,
lx-31=3 - x,
e, per x--+ 2
l4x - 31 - 11- 3xl
l2x - 31 - lx - 31
=
(4x - 3)-(3x-1)
(2x - 3) - (3-x)
x-2
3x-6
=--=
pertanto
1
. l4x-3 l - ll-3x l
hm
= -.
l2x - 31- lx - 31
3
x-+2
x-2
3(x-2)
1
=-3 ,
Limiti e continuità
ESE~ •
143
Fonne d'indecisione 11- Gerarchia degli infiniti
Tenendo a mente la gerarchia degli infinitf , calcolare i seguenti limiti:
<D
©
lim x ln x ; @
x-+O+
ex
@
lim -
x-+O+ X '
e
_ .!.
X
lim - -
x -+O+
X
'
elnx 2 +4
I
lim xe x ;
x-+O+
®
lim e-x Inx;
x-++oo
®
lim
x-++oo 3
+ 2x 4
.
Soluzione
<D Il limite si presenta nella forma d'indecisione [O· oo], per riportarci alla formulazione della nota, sostituiamo x = f •quindi x ---+ o+ {:} t ---+ +oo (e
ricordiamo che ln
f=
- ln t):
.
hm xlnx=
x-+O+
@
.
1 1
.
lnt
hm - ln - =- lim =0.
t-++oo t
t
t-++oo t
In questo limite non è presente alcuna forma d'indecisione: il numeratore
(essendo l'esponenziale una funzione continua) tende a 1, il denominatore
tende a o+' pertanto
ex
lim -
x-+O+ X
® Si tratta di una forma d'indecisione
sostituiamo x =
t:
e-t
lim - - =
x-+O+
X
= + oo.
[gJ; come abbiamo già fatto al punto <D,
lim te- t =
t-++oo
t
lim - =O.
t-++oo
et
© Ci troviamo nella forma d'indecisione [O · oo], sostituiamo anche in questo
caso x = t:
et
.!.
lim xe x =
~
lim - = +oo.
x-+O+
t-++oo t
Anche in questo caso ci troviamo nella forma d'indecisione [O· oo], non è
tuttavia necessario sostituire x perché il limite proposto è già all'infinito,
limitiamoci a osservare che
lnx
lim e-xlnx = lim - - =O,
x-++oo
x-++oo ex
e che l'ultimo limite vale zero perché dato dai due limiti della nota applicati
"in cascata".
e Gerarchia degli infiniti: Per ogni valore di a E JR e per ogni valore di
seguenti limiti :
xa
lim
-
x -++oo ef3x
=0,
.
hm
x-++ oo
(ln x)a
- ,,=0.
X"
f3 >
O, valgono i
144
Capitolo 5
® Il limite è nella forma
[~],prima di effettuare calcoli
=
eln(x2+4)
e che per x
2
eln[x (1+;\)J
~ +oo si ha e 1n(l+ xi) ~
elnx 2+4
lim
x-+oo 3
+ 2x 4
= x-+oo
lim
= x2. eln(l+;\),
1, quindi (limite del prodotto):
x2 . eln(I+;\)
3 + 2x 4
2
x
= [ lim
x-+oo 3 + 2x4
ESERCIZIO 5. 11
•
] · [
è bene notare che
=
1
lim e n(l+;\)] = O· l =O.
x-+oo
Umlti di funzioni definite a tratti
Calcolare i seguenti limiti :
©
lim mantx;
lirn mant x ;
@
x-o+
x--+o-
@
lim Lsin x J.
x-~
Soluzione
Le funzioni degli esempi del testo sono definite a tratti.
(j) @ Per valori di x prossimi a Osappiamo che
X
mantx =
{
x
+1
-1~X<0
O ~x<l
si verifica immediatamente, allora che
lim mant x
x-o+
= x-o
lim x = O ,
e
lim mant x = lirn x
x-o-
x-o
+1=
1;
osserviamo inoltre che, poiché il limite sinistro e il limite destro sono diversi,
allora
ti lim mant x .
x--+0
@ Per valori dix prossimi a
f, si ha (confronta Esercizio 4.14)
lsinxj = {
Jr
X= -
~
2 Jr Jr
O<x<- -<X<T(
-
2'2
-
pertanto
lim lsinxJ =O;
x--+~
notiamo che il fatto che Lsin
del limite.
fJ
= 1 non ha alcuna importanza nel calcolo
Limiti e continuità
ESERc1z10 s.12'· · •
145
Non esistenza del limite - Classe limite, liminf e limsup
Dimostrare che i limiti seguenti non esistono, individuare per ciascuno di essi
lim inf, lim sup e classe limite;
A'\
w
1.1m cos -1 ;
x-+o+
x
@
lim
x-++oo
X
+ X COS X ;
@
lim
x-++oo
L1 + sin x J.
Soluzione
Si dice che a è valore limite di una funzione f(x) per x ~ xo se esistono infiniti
valori dix, anch'essi tendenti a xo, tali per cui in corrispondenza di questi valori
f(x) ~a.
Si dice classe limite di una funzione l'insieme A dei valori limite, osserviamo
che +oo e - oo possono fare parte di A.
Si chiamano massimo limite e minimo limite di f(x) per x ~ xo, e si indicano con lim sup e lim inf, rispettivamente il massimo e il minimo di A (con la
convenzione che se +oo o -oo fanno parte di A, allora saranno il massimo o il
minimo limite).
<D Con un cambio di variabile,
1
lim cos - =
x
x-+o+
lim cos t ,
t-++oo
e questo limite non esiste, proviamolo con la definizione: osserviamo che
- 1 :=:: cos t :=:: 1, quindi, se il limite cercato esistesse - chiamiamolo L -,
dovrebbe essere L E [-1, 1]; la definizione metrica allora recita:
Vs> O, 3K = Ke:
t > K =>
IL -
costi < s;
un tale valore K non può esistere, infatti nell'intervallo [K, K + 2ir] la fu nzione cos t assume tutti i valori dell'intervallo [- 1, 1], e quindi non può soddisfare la relazione IL - cos t I < s per alcun valore di L. Seguendo lo stesso
schema di ragionamento, possiamo concludere che esistono infiniti valori di t
(tutti del tipo i+ 2kir) per i quali cos t =a, per ogni a E [-1 , 1], e pertanto
A = [-1, 1], mentre ovviamente
1
liminf cos - = - 1,
x-+o+
x
.
1
limsup cos - = 1.
x-+o+
X
® Osserviamo innanzitutto che f(x) = x + x cos x è una funzione continua, e
che da -1 :=:: cos x :=:: 1 segue (per x > 0) che
-X
:'S X
COS X
:'S X,
pertanto O :=:: f(x) :=:: 2x; in particolare: ponendo x = (2k + l)ir abbiamo
f(x ) =O, mentre ponendo x = 2kir abbiamo f(x) = 2x = 4kir, pertanto
146
Capitolo 5
per il teorema dei valori intermedid in ogni intervallo della forma [2br, (2k +
l)rr] la funzione f assume tutti i valori tra Oe 4krr, quindie
lim inf x + x sinx =O,
x-++oo
@
limsup x+xsinx = +oo,
A = [0,+oo].
x-++oo
Osserviamo che f(x) = Ll + sinxj è una funzione periodica e che la sua
immagine è I f = {O, l, 2}; vediamo che anche la classe limite A è composta
dagli stessi tre valori. Ponendo x = krr abbiamo f(x) = 1, dunque 1 E A;
ponendo x = ~rr + 2krr abbiamo f(x) =O, dunque O E A; infine ponendo
x = ~ + 2krr abbiamo f(x) = 2, dunque 2 e A. Pertanto A = {O, 1, 2} e
ovviamente
liminfll + sinxj =O,
x-++oo
limsupll +sinxj = 2.
x-++oo
5.1.4 Equivalenza asintotica, o-piccolo. Infiniti e infinitesimi
ESERCIZIO 5.13
•
Definizione di e uivalenza asintotica e di o-~iccolo
Facendo uso del concetto di limite, scrivere la definizione di f(x) ,....., g(x) e
f(x) = o(g(x)).
Soluzione
I simboli ",.....," (asintotico) e "o" (o p iccolo) vengono interposti tra due funzioni
f(x) e g(x) nel caso in cui entrambe (per x --+ x 0 o per x --+ ±oo) tendano a
zero o all'infinito.
Per quanto riguarda il simbolo di asintotico,
f(x),....., g(x)
f(x) = .
1
li
m g(x)
'
mentre, per quanto riguarda il simbolo di o-piccolo,
f(x) = o(g(x))
ESERCIZIO 5.14
•
. f(x)
hmg(x)=O .
Definizione di infinito e infinitesimo cam
_ i_o _n e_ _ _ _ __
Dare la definizione di infinito/infinitesimo campione per x --+ xo e per x --+ +oo.
d Teorema dei valori intermedi: Una funzione continua in un intervallo [a, b] assume tutti i
valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.
e La scrittura A = [O, +oo) intende che la classe limite A, oltre a comprendere tutti i numeri
reali positivi, comprende anche +oo.
Limiti e continuità
147
Soluzione
Viene detta infinito una funzione che (per x ~ xo oppure per x ~ oo) tende
all'infinito, viene detta infinitesimo una funzione che (per x ~ xo oppure per
r ~ oo) tende a zero.
Sex ~ xo, la più semplice funzione che tende a zero (l'infinitesimo campione) è (x - xo), mentre la più semplice funzione che tende all'infinito (l'infinito
campione) è x~xo.
Analogamente, sex ~ +oo, la più semplice funzione che tende all'infinito (l'infinito campione) è x, mentre la più semplice funzione che tende a zero
l'infinitesimo campione) è~·
Alla luce della definizione di equivalenza asintotica, reinterpretare i limiti notevoli
dell'Esercizio 5.9.
Soluzione
~folti limiti della forma [~] o [~], in forma cioè di rapporto tra infiniti o infinite~imi, possono essere riscritti con il simbolo,...., oppure con il simbolo o. Vediamo
gli esempi più frequenti , divisi per tipologie:
• polinomi, per x ~ +oo: poiché (raccogliendo anxn al numeratore, come
nell'Esercizio 5.9)
allora ogni polinomio è asintotico, per x ~ +oo, al suo monomio di grado
massimo:
• polinomi, per x
basso)
~
O: poiché (raccogliendo, se m > O, il termine di grado più
allora ogni polinomio è asintotico, per x
minimo:
• funzioni trigonometriche, per x
sin x
lim - - = 1,
x-+O
X
~O,
.
hm
x-+O
~
O, al suo monomio di grado
poiché
1 - cosx
x2
2
= 1,
tanx
Jim - - = 1;
x-+0
X
148
Capitolo 5
allora, usando il simbolo di asintotico
.
sm X
x-+0
,....,
2
x
2'
x-+0
(1 - cos X)
X,
,....,
tan X
x -+0
,....,
X ;
e usando il simbolo di o-piccolo
sinx = x
x2
+ o(x),
T + o(x 2 ),
(1- cosx) =
• funzioni logaritmiche ed esponenziali, per x
ex - 1
lim - - = l,
x-+0
~
+ o(x).
O, poiché
+ x)
lim ln(l
x-+O
X
tanx = x
= 1;
X
allora, usando il simbolo di asintotico
1 x~O x,
ex -
ln(l
+ x) x~O X ;
e usando il simbolo di o-piccolo
ex -
=x +
l
~
• funzioni iperboliche, per x
ln(l + x)
o(x),
=x +
O, poiché
lim Shx = 1,
lim Ch(x)-1 = l,
x-+0
x-+O
X
o(x).
x2
. Thx
hm - - =1;
x-+0
X
2
allora, usando il simbolo di asintotico
x-+0
-+O
Shx x,...., x,
(Ch(x)-1) ,....,
x2
2
,
x-+O
Thx ,...., x;
e usando il simbolo di o-piccolo
Shx = x
• potenze, per x
+ o(x),
~
x2
Ch(x) - 1=
2
+o(x 2 ),
Thx=x+o(x) .
O, poiché
lim
x-+0
(l+x)a-1
X
=a,
allora, usando i simboli di asintotico e o-piccolo
(1
+ x) a -
x-+O
1 ,...., ax,
(1 +x)a - 1 = ax +o(x).
149
Limiti e continuità
Tutte le stime asintotiche che abbiamo scritto possono essere rilette con qualsiasi
..oggetto" tenda a zero: se O ---+ O,
sin O """ O
02
1 - cosO""" 2
tan o,...,
Sh O,..., O
02
Ch O -1,..., 2
Th D ,..., O
e0
ln(l
-
1 "' O
+ O) ,..., O
o
+ D)a -
(1
1 ,..., a O
mii~llB:~S!!.!~:.l:· Uso ammesso dei simboli - e o nel calcolo dei limiti
Calcolare i seguenti limiti :
<D lim sin(2x) ;
X- 0 e- X -1
@
.
Sh (3x 2 ) ln(l - 2x)
x-o
x(I - cosx)
@ hm
·
'
'4'
~
(tan 3x)2 .
x-o Ch(2x) - 1'
lim
.
1im
x-~
COS X
2x - n:
.
Soluzione
Nel calcolo dei limiti di questo esercizio, usiamo le relazioni di asintotico come appena elencate più sopra, tenendo presente che la relazione di asintotico è
compatibile con prodotti e divisioni, cioè
/1
-
,...,
-h
<D Per x---+ O, sin2x """2x e anche e- x - 1,..., -x, quindi
lim sin(2x)
x-0 e- X - 1
@ Per x
= lim
X-0
2x
- X
= _2 .
---+O, tan 3x ,..., 3x, quindi (tan 3x)2 ,....., 9x 2, e Ch (2x) - 1 ,..., C2 ~) =
2
2x 2, pertanto
.
9
(tan3x)2
9x2
hm----=lim = x-o Ch (2x) - 1 x-o 2x2
2
@ Per x
2
---+ O, Sh (3x 2) ,..., 3x2 , ln(l - 2x) ,....., -2x e 1 - cos x "' x2 , allora
. Sh (3x 2) ln(l - 2x)
. 3x 2 · (-2x)
. - 6x 3
hm
= hm
=
hm
- - = - 12.
2
x-o
x(l - cosx)
x-o
(x )
x-o
2
x.
x;
150
Capitolo 5
© Osserviamo che per x ~ ~ il limite è della forma[§], e che cos x = sinGx), quindi possiamo riscrivere questo limite come
.
cos
hm 2x x-+~
x
rr
Ì - x)
.
sin (
= x-+~
lim 2 ( x _
rr)
2'
adesso notiamo che se x ~ ~, allora (x - ~) ~ O pertanto, grazie allo
sviluppo asintotico sin O ,..,., O (se O ~ O), possiamo scrivere
Sin (
1C
2
-
)
X
X-+~
,..,.,
1C
2
-
X ,
e quindi
1C
--x
2--=-,.... =
= lim -~
X-+~ 2(x - ~)
ESERCIZIO 5. 17
1
2
Uso "~ricoloso" o vietato dei simboli _
-_e_o_~-----'
•
Dati i seguenti limiti :
,.....
w
. sin(2x) +tanx
11m
·
x-+O ,VI + 4x - 1 '
@
ln(l + 3x) - 3 sin(x + x 2 )
.
@ lim
·
X
x-+0
t:i\
\31
'
lim Shx + ln(l + 2x
x-+O+
1 - COS X
•
hm
2
);
ln(J + 3x) - 3 sin(x + x 2 )
X2
x-+O
;
calcolarli (se possibile) facendo uso dei simboli di asintotico, oppure spiegare
perché non è possibile questo utilizzo.
Soluzione
La relazione di equivalenza asintotica è (lo abbiamo visto nello scorso esercizio)
compatibile con il prodotto, mentre non è in generale compatibile con somme e
differenze. Questo significa che, se da un lato usare gli sviluppi asintotici è di
grande aiuto nello snellire i calcoli, dall'altro per usare gli asintotici in presenza
di somme o differenze è necessaria la massima cautela, e non è detto che si
possa davvero completare il conto. Per ovviare, almeno in parte, ai rischi connessi
con questo tipo di operazioni, è raccomandabile l' uso del simbolo di o-piccolo al
posto del simbolo di asintotico.
<D Per x
~
O, gli sviluppi dei tre termini presenti sono:
sin 2x,..,., 2x,
tanx
rv
X,
3
.v'l
+ 4x -
1 rv
4
3 '
-X
Limiti e continuità
151
e, in termini di o-piccolo:
sin2x = 2x + o(x),
3
tanx = x+o(x),
-V'l
+ 4x-l
=
4
3x+o(x);
al numeratore è presente una somma tra asintotici dello stesso ordine, si può
effettuare questo tipo di operazione a patto che gli addendi non si elidano, a patto cioè che dopo avere eseguito la somma/differenza in questione
sia rimasto qualcosa di "significativo" rispetto all' o-piccolo indicato; poiché
2x + x = 3x, possiamo affermare che (per x ---+ 0), a seconda se usiamo il
simbolo di asintotico o di o-piccolo
sin(2x) +tanx ,.._, 3x ,
sin(2x) + tanx = 2x + x + o(x) = 3x + o(x),
e quindi
3x
9
= lim = - .
x-+O 4
4
-x
3
@ Per x ---+ O, gli sviluppi dei termini presenti sono, in termini di o-piccolo:
lim
x-+O
Shx = x+o(x),
sin(2x) + tanx
,VI
+ 4x -
1
ln(1+2x 2 ) = 2x 2 +o(x 2 ) ,
per esprimere la somma al numeratore, dobbiamo ricordare che x 2 è o(x), e
quindi
[Shx] + [ln(l + 2x 2 )] = [x + o(x)] + [2x 2 + o(x 2 )] = x + o(x);
e allora
.
Shx + ln(l + 2x 2 )
hm
=
x-+O+
1 - COS X
x
lim 2 = +oo.
x-+O+ X
2
@ Al numeratore è ancora presente una differenza, esaminiamo ciascun termine:
sin(x + x 2 ) = x + x 2 + o(x) = x + o(x)
ln(l + 3x) = 3x + o(x),
pertanto
[ln(l + 3x)] - 3[sinx] = [3x + o(x)] - 3[x + o(x)] = o(x)
tutto ciò che riusciamo a dire, con asintotici e o-piccoli, è che il numeratore
è un infinitesimo, e che è o(x), ciò è, in questo caso, sufficiente a risolvere il
limite proposto:
lim In(l + 3x) - 3 sinx
x-+O
X
=
lim o(x)
x-+O
X
= 0.
152
Capitolo 5
© Il numeratore è lo stesso del precedente limite, sappiamo che
ln(l
+ 3x)-3sinx =
o(x) ,
e pertanto il limite diventa
. In(l
hm
x-+O
+ 3x)- 3sinx
x2
. o(x)
= lim - 2
x-+O
x
'
e non siamo in grado di proseguire il conto.
Osservazione importante: Asintotici e differenze
L'uso del simbolo di asintotico, in un caso come questo, avrebbe sicuramente
portato a qualche errore: poiché ln(l + 3x) ,....., 3x e sin x ,....., x, avremmo scritto
ln(l
+ 3x)- 3sinx,....., 3x- 3x
=O ,
che è sbagliato!
ESERCIZIO 5.18
•
Ordine di infinito e di infinitesimo
Per ciascuna delle fanzioni seguenti, determinare l'ordine di infinito o infinitesimo, in corrispondenza del punto indicato, precisando la più semplice fanzione cui
esse sono asintotiche,
© sin
©
X
$ ,x
-+ O;
ex+ I
.JX+3'x -+O;
@ JI-x 2 X-+
1-·
'
'
@
Z;
+oo;
x2e1 +21nx
;r -
® tanx , x-+
In(xex)
,X-+
X2 + 1
®
(x
+ 1)
.jX+3, X -+ +oo ;
® Xx - ex X -+ 0+ . ® e - t ,x-+ o+.
'
'
Soluzione
Sia a > O. Si dice che f(x) è infinitesima di ordine a per x -+ xèJ" se esiste una
costante C per cui
f(x),....., C(x - xo)a;
si dice che f(x) è infinita di ordine a per x -+ xèJ" se esiste una costante C per
cui
e
j(x)rv-- (x - xo)a
Si dice che f(x) è infinitesima di ordine a per x -+
per cui
f(x),.....,
e
a;
X
+oo se esiste una costante C
Limiti e continuità
153
si dice che f(x) è infinita di ordine a per x ---+ +oo se esiste una costante C per
cuif
f(x),..., cxa.
<D Sex ---+ O, sin ifX ---+ O, pertanto la funzione è infinitesima; inoltre sin ifX ,...,
ifX, pertanto è infinitesima di ordine 1·
@
Per x ---+ 1- , -J1 - x2 ---+ O, pertanto la funzione è infinitesima; inoltre
possiamo scrivere
-J1 - x 2 =
Jo + x)(l -
x) =
.JI+X-Jl=X'
per x ---+ 1- , .JT+x---+ 2, mentre .Jl=X"---+ Oed è l'infinitesimo, pertanto
e la funzione è infinitesima di ordine
4.
@ Per x ---+ +oo, abbiamo
ln(xex) = ln(x)
+ ln(ex)
= x
+ lnx,..., x,
x2
+ 1,..., x 2
pertanto
ln(xex)
x
1
2
2
x + 1 '""x = ~
e la funzione è infinitesima del primo ordine.
© Per x ---+ O abbiamo
X---+ O,
pertanto
ex+ I
x,Jx
e
+ 3 ,..., x-J3'
e quindi la funzione è infinita del primo ordine.
f - si ha tan x ---+ +oo, quindi la funzione è infinita, inoltre, poiché
(se D ---+O) sin D "' D, abbiamo
® Per x ---+
sinx
sinx
1
tan X = - - = - - -- - "' -:n:-- ,
cos X sin (; - X)
2 - X
e quindi tan x è infinita del prim'ordine per x ---+
f -.
f Ovviamente, con un uso accorto dei segni e dei moduli, è possibile definire l'ordine di infinito
e infinitesimo per x ~ x0, per x ~ xo e per x ~ - oo.
154
Capitolo 5
® Osserviamo che el+ 2 lnx = e · x 2 , inoltre per x ---+ +oo si ha che (x +
l).JX+},..., x~, quindi
x2e1+2lnx
e x4
~
- - - -- - ,..., - - =e x2
(x
+ l).JX+}
x~
'
e pertanto la funzione è infinita di ordine~·
® Poiché xx = exlnx
xx= exlnx, si ha
poiché per x --+
x~+
l, la funzione è infinitesima per X--+
o+ anche x In x
o+. Posto
- x tende a zero allora
xx - ex ,..., x(ln x - 1) ,. . ., x In x;
per decidere l'ordine di infinitesimo, occorre determinare (se esiste) il valore di a per cui xx - ex ,..., x<X' in altre parole dobbiamo studiare il
comportamento di
e
lim
x-+O+
al variare di a, ma
=
lim
xlnx =
x-+O+
lirn
lnx _ { O
x-+o+ xa- l
xa
-
-oo
a<l
a~l
e non esiste un valore di a per il quale il limite esista finito, possiamo - un
po' impropriamente - concludere che xx - ex è un infinitesimo di ordine
"appena un poco maggiore" di uno.
® La funzione è infinitesima per X ---+
o+. Notiamo (grazie alla "gerarchia degli
infiniti") che per qualsiasi valore di a
_.1
lim :.._..:_ =
x-+O+ xa
lim ta e-t = O;
t-++oo
anche in questo caso non esiste l'ordine di infinitesimo, possiamo solo dire
che la funzione tende a zero "più velocemente di ogni potenza dix".
155
Limiti e continuità
5 .2
Esercizi proposti
Calcolare, e verificare con la definizione metrica, i seguenti limiti:
19
©
lim
x-++oo
lim 2x+l .
x-+1- X - 1 '
@
.J2XTI;
X
'I'
[ \!I
o X> X = i+.v'l+82
·@
2
'
'
8
lim~x+l.
@
x-+0
- 00 •
o< 1 -
[@1, O < lxl < o=
3
o= -2+K
-]
X<
e(3 - 3e + e 2 ) J
Calcolare i seguenti limiti
20
© lim x3 - 8.
x-+2 x 2 - 4'
@
X
lim
@
X COS - - - ;
x-+O
X2
1
+
,/X
·
J x + ,/X '
lim
x+t-oo
3
x2
-1
. (x ln(l+x)) - x ® lim [ln(tanx) - ln(enx _ 1)] .
© lim - - · ® hm
·
x-+O
x-+0
1 - COSX
'
x-+l lnx '
(©3;@0;@ 1;©2;®8;® - lnrr]
21 Calcolare i seguenti linùti
© lim
v1I+'X -
~1 + 5x
'
Shx
x-+0
@
rlffi x-e
.
1 - lnx '
x-+e
lim
@
x-++oo
3
l
© lim xxL1;
x-+l
®
(1
+ sin ~)x
X
xSh(x 2 )
lim sin (3x) . ® lim _ _..;.__.;____
x-+O
3 sin(x3)'
SÌn X
x-+0
-
tan X
2·© 'e·®9·® - 2]
-e·@e
[© _ 7.R\
6'\81
'
'
.ye,
'
2~
Data la funzione
X< 0
ex - 1 O :=: x :=: 2
x2
X> 2
COSX
f (x)
=
{
calcolare
©
lim f(x) ;
@
x-+O+
©
lim f(x);
x-+l-
®
lim f(x);
x-+o-
lim f(x);
lim f(x);
X-+l+
® lim f(x).
@
x-+2+
x-+2-
2
R\ I '·@e - 1·©e - 1· ®4• ® e
[©o·, \81
t
,
'
-
1]
23 Calcolare i seguenti limiti
©
®
lim LxJ;
@
lim Ll - xJ;
®
x-+2+
x-+2+
lim LxJ;
@
lim Ll -xJ;
®
x -+2x-+2-
lim LxJ;
©
lim Lrr -xJ;
®
x-+-2+
x-+2+
lim LxJ;
x-+-2-
Iim Lrr - xJ .
X-+2-
[©2;® 1;@ - 2;© -3;® -2;® -1;® 1;® l]
Capitolo 5
156
4
+ Jx-LxJ
Mostrarechelafunzionef(x) = LxJ
èmonotonaecontinuasututto
R
5 Determinare le classi limite delle seguenti funzioni, per x -+ + oo:
® x sin 2 x;
CD 2mantx;
x+l
© - -(1
x sinx;
@
X
+ I sin xl) .
[CD J\ = [O, 2]; ®A =[O, +oo]; ® J\ = [- oo, oo]; © J\ = [I, 2]]
26 Dimostrare che, per x -+ O,
f(x),..., xa
::::}
xP f(x) ,..., xa+P .
::::}
xP f(x)
7. Dimostrare che, per x -+ O,
= o(xa)
f(x)
8
= o(xa+P).
Disporre in ordine crescente di infinitesimo per x -+ +oo le funzioni seguenti:
f1(x)=
,/X
x 2 +x
sinx-1
/4 (x) =
,
fs(x) = n: - 2 arctan x ,
x+l
----z--ln ,
X
X
h(x)=x-x.
29 Disporre in ordine crescente di infinito per x -+ +oo le funzioni seguenti:
fi(x) = ln (Chx
h(x) =
~ Shx)'
fz(x)
Jx.JX+-1.JX=l,
= ,/X(2 + sinx) ,
f4(x) = x 3 sin 2_ .
X
30 Disporre in ordine crescente di infinitesimo per x -+O le funzioni seguenti:
li (x)
-
2
h(x) = yt1 + x 3 fs(x) = x23,
f?(x) = 2 arctanx ,
31
fz(x) = x 3 +xsin,/X,
f4(x) = (1 - cosx)lnx,
f6(x) = ln(l + x)(l + lnx),
= 1- e x ,
Zfl -
x4,
Disporre in ordine crescente di infinito per x -+
/ 1 (x)
=e
f 4 (x) =
~
,
fz(x)
1
Chx - cosx '
fs(x)
x
o+ le funzioni seguenti:
= ln(x 3 +x4 ) + x sin ,/X,
lnx
= .J 4 6 ,
X
-
X
h(x)
f6(x)
= 2x 1_ 1 •
= (ln(ex - 1))2.
Limiti e continuità
157
Disporre in ordine crescente di infinitesimo per x -+ 1+ le funzioni seguenti:
/1(x)
= (sin(rrx )) 3 ,
f2(x)
= 1-2x2 +x4 ,
f4(x)
=$
fs(x)
= .Jex -
- 1,
f3(x)
= .Vx -
l,
e.
[/3, fs , /4, .h. /i)
5.2.1
Suggerimenti
Per l'esercizio 21, ® : Osservare che sin x = tan x cos x.
Successioni e serie
6 .1
Esercizi svolt i e richiami di teoria
6.1.1
Successioni
Verificare i seguenti limiti, usando La definizione :
©
2n + 3
= 2;
n-++oo n + 4
.
lim
@
lim
2n 2 - 3
n-++oo n
+4
= + oo.
Soluzione
Sia an una successione, gli enunciati equivalenti alle scritture
lim an
n-++oo
=l
e
sono, rispettivamente,
Vs> O, 3ne tale che n :'.::ne::::} lan - l i < s,
e
VK
> O, 3n K tale che n :'.:: n K => an > K .
Verificare i due limiti significa trovare i legamj tra se ne nel primo caso e tra K e
n K nel secondo.
© L'espressione lan - li < s nel nostro caso diventa 2 che a sua volta si scinde nelle due disequazioni
(2 - s)(n
+ 4)
< (2n
+ 3)
e
E
<
::1 < 2
2
+E,
(2n + 3) < (2 + s)(n + 4);
la seconda è sempre verificata (visto che n è un intero non negativo), la prima
equivale a
5
n > - - 4;
sn + 4s-5 > O
ossia
s
160
Capitolo 6
quindi:
• se e < 1, perché il limite sia verificato, è sufficiente prendere ne cornea
• se invece e ::=:: 1, allora ~ - 4 :::;: 1 e allora è sufficiente scegliere n 8 = 1.
Volendo raggruppare le due alternative, per ogni valore di e > O, possiamo
assumere
@ an
> K diventa 2~:43 > K, e cioè
2n 2
-
Kn - 3 - 4K > O,
disequazione che è verificata (ricordando che n è positivo) se
K + ,JK 2 + 16K + 12
per cui
nK =
ESERCIZIO 6.2
•
l
K
+ ,JK2 + 16K + 12J + 1.
4
Parallelo tra successioni e funzioni
Calcolare il limite delle seguenti successioni :
CD an = n 3
@ Cn
+ 3n -
ln n ;
@ bn = Jn 2
+ 6n -
n;
= sin(mr) ;
Soluzione
Un primo tentativo, per determinare il limite per n --+ +oo di una successione,
può essere il seguente: data an = f(n), si studia il limite per x --+ + oo di f(x),
si hanno due possibilità:
lim f(x) esiste, allora coincide con il limite dian,
x-+oo
• lim f(x) non esiste, allora nulla si può dire riguardo limite dian.
x-+oo
•
a Con
Lx Jsi indica la "parte intera" di x, vedi l'Esercizio 4.10.
161
Successioni e serie
Da questo punto di vista, inoltre, valgono tutti i risultati già visti per i limiti di
funzioni, come a esempio l'algebra dei limiti e il teorema del confronto.
CD Poiché
lim x 3
x-+oo
+ 3x -
lnx =
+oo ,
allora anche lim an = +oo, e notiamo, già che ci siamo, che anche per le
successioni vale la stessa gerarchia degli infiniti valida per le funzioni:
na
lim =0,
n-+oo ef3n
lim (lnn)a =O
n-+oo n/3
per ogni a reale, e ogni f3 > O.
@ Per calcolare lim Jn 2 + 6n - n, calcoliamo limx-+oo Jx2
2
+ 6x - x:
6
lim ./x2 +6x-x = lim (./x2+6x-x)Jx + x + x
x-+oo
x-+oo
J x2 + 6x + X
lim
x-+oo Jx2
6x
+ 6x
+x
= 3,
e quindi lim bn = 3.
Se a n sostituiamo x, otteniamo sin(rrx), e sappiamo che limx-+oo sin(nx)
non esiste, tuttavia - senza sostituire x -possiamo osservare che sin(rrn) = O
per ogni n, e perciò la successione Cn è una successione di zeri, e lim Cn = O.
© Non è possibile calcolare lim dn usando questo sistema: sostituendo la n con
x otterremmo
@
e l'espressione è priva di significato, perché non si può elevare un numero
è
negativo a un esponente reale, tuttavia è facile rendersi conto che
una successione che tende a zero, e pertanto lim dn = 1.
(- !t
ESERCIZIO 6 .3
•
Una successione celebre -1
Mostrare che la successione
è monotona.
Soluzione
Osserviamo in via preliminare che per ogni coppia k, n di interi naturali risulta
n- k
n+I-k
- - <---n
n+ I
(6.1)
162
Capitolo 6
infatti eliminando i denominatori si ottiene la relazione n 2 + n - kn - k < n 2 +
n - kn (evidentemente vera).
Dimostriamo ora che an +l > an. Utilizzando lo sviluppo del binomio, scrivendo i primi quattro addendi e lultimo di an, ricaviamo:
_ (
1 )n _
1
n(n - I) 1
n(n - l)(n - 2) . I
n! 1
an - 1+- 1 + n21.
31.
n
n +
n2 +
n 3+ ... +1-n
n. n
I (n - 1)
1 (n - l)(n - 2)
1 (n - 1)!
=1+1+ - 1
+3-I
+ . . . + -I n-1 .'
2
.
n
n. n
2. n
Notiamo che gli addendi al secondo membro sono n + 1.
Analogamente, possiamo scrivere gli n + 2 addendi di an+ 1 , e confrontare i
primi quattro e il penultimo con i primi quattro e l'ultimo dian , mentre l'ultimo
di an+ I è in più:
1
(n + l)n
1
an+I = 1+(n+1)-- +
(
) + ···
n +1
2!
n+12
(n + l)n(n - 1)
1
(n + l)n! n + 1
l
3!
(n + 1) 3 +
n!
(n + l)n + (n + 1)n+I
n
I n(n - 1)
1
n!
1
1
1 1
2
= + + 2! (n + 1) + 3! (n + 1) + . · .+ n! (n + l)n- l + (n + l)n+l ·
I primi due addendi sono uguali; per il terzo e il quarto, ricordando la maggiorazione (6.1 ), si ha rispettivamente
n- I
n
--<-n
n + 1'
e, analogamente,
(n - l)(n - 2)
n - 1n - 2
n
n- 1
n(n - 1)
- - - - - - - - - - < - - - - = - --...,nn
n
n
n + 1n + I
(n + 1)2 ·
Decomponendo allo stesso modo l'ultimo addendo dian e il penultimo di an+1
si vede che an+I > an , perché ottenuto sommando addendi maggiori .
ESERCIZIO 6.4
•
Una successione celebre_ -_ 2_ _~---------
Mostrare che la successione
è Limitata.
Soluzione
Consideriamo n fisso e riscriviamo:
I (n - I)
1 (n - l)(n - 2)
1 (n - 1)!
an = 1 + 1 + 21. n
+ -31.
2
+
...
+
I
n
n. n n - 1 .
Successioni e serie
163
Procediamo a fare una maggiorazione grossolana, ma molto semplice: osserviamo
che ciascun addendo si ottiene moltiplicando il reciproco di un fattoriale per una
frazione < 1. Risulta perciò:
1
an < 1 + I + I2.
I
1
1
+ I3. + I4. + ... + In.
(raccogliamo
;!
1( + 31+
=
dai fattoriali successivi)
1 )
1
3·4
+ · · · + 3 · 4 · ... · n
1 (
1
1
< 2 + 2! 1 + 3 + 3 . 3
+ ... + 3 . 3 . .... 3
=
2
+ 2!
1
1
)
<Z+Hl +~+(ff + +(ff)
= 2+
-1
(1
2
(l/3)n-l )
<2
1- 1/3
+ -3
4
= 2.75•
'
pertanto an < 2.75 per ogni n E N.
Sapendo che (confronta l'Esercizio 5.9)
e=
lim
x-+±oo
(i+ 2.)x ,
X
dimostrare che, date due successioni an e bn per cui
lim bn = +oo
lim an = a,
n-++oo
allora
lim
n-++oo
n-++oo
(i +an ) b,, = ea .
bn
Soluzione
Osserviamo innanzitutto che, poiché bn --+ +oo allora definitivamenteb abbiamo
bn =I O, e quindi l'espressione qui sopra ha senso. Esaminiamo allora due casi:
a #-O e a =O.
b Poiché il nostro interesse per le successioni è in generale concentrato sul limite, il più delle
volte non occorre che tutti i termini di una successione godano di una certa proprietà, basta che
tale proprietà sia soddisfatta a partire da un certo indice ii, tale condizione è riassunta nell'avverbio
"definitivamente".
164
Capitolo 6
• a :f. O, in questo caso gli an sono definitivamente diversi da zero, moltiplicando e dividendo l'esponente per an si ottiene
.
hm
n-++oo
(1 +
an
b
-b )
n
n
•
= n-++oo
hm
[
(1 +
La relazione
~
b
an
On
-b )
] an
n
•
= n-++oo
hm [e]an
an) ~ =e
lim
1 + -b
n-++oo (
n
discende dal fatto che, nel caso a
o Cn ~ -oo e quindi
lim
n-++oo
:f. Oposto Cn
(1 + ~
abn)
n
=
lim
n-++oo
= ~, abbiamo che Cn ~ +oo
(i + 2-)cn =e.
Cn
• a = O, possono esistere nella successione infiniti elementi an = O, per questi
( 1+
:: ) bn = ( 1 + b~ ) bn = 1 '
mentre per gli altri dividiamo e moltiplichiamo l' esponente per an come abbiamo fatto prima, e otteniamo
a
lim
1 + ....!!..
n-++oo (
bn
ESERCIZIO 6. 6
•
)bn
= e0 = 1 .
I simboli "asintotico" e "o ~lccolo"
In analogia a quanto fatto con le funzioni, stabilire il significato dei simboli di
asintotico e o piccolo per le successioni e reinterpretare poi gli sviluppi asintotici provenienti dai limiti notevoli alla luce delle successioni; date poi le quattro
successioni
bn =
l
n
+ cosn
,
Cn = Jn 2
+ 1-
n,
dn = e- 2 1n(n+l).
stabilire se tra ciascuna coppia è possibile inserire l'uno o l'altro simbolo.
Soluzione
Se per n ~ +oo due generiche successioni an e bn sono infinite (cioè tendono
entrambe all'infinito) e inoltre
.
hm
an
-b = 1,
n-++oo n
165
Successioni e serie
allora an è asintotica a bn, e si scrive an ,...., bn; se per n ~ +oo le due successioni
an e bn sono infinitesime (cioè tendono entrambe a zero) e
.
an
hm - = 1
n-+-+oo bn
'
allora an è asintotica a bn, e si scrive an ,...., bn, se invece
.
an
hm -b =O,
n-+-+oo n
allora an è o piccolo di bn, e si scrive an = o(bn); ricordiamo infine (come per le
funzioni) che le due seguenti scritture (ove an ~O e bn ~O) sono equivalenti:
Sia allora an una successione infinitesima, cioè an
sviluppi:
~
O, valgono i seguenti
(an)2
1 - cosan,..., - 2
Cha - 1 ,...., (an)
2
2
n
Cerchiamo allora di determinare, per ciascuna delle successioni assegnate, la più
semplice successione ad essa asintotica:
1
n
1
bn = - - -n + cosn
Cn = Jn 2
+ 1- n =
( Jn 2
+ 1-
2
n) ,Jn
,Jn 2
d = e - 2ln(n +l) =
n
(n
+ 1+n
+ 1+n
1
+ 1)2
=
1
,Jn 2 + 1 + n
,...., -
2n
1
,...,, n2 .
Quindi tra queste successioni c'è una sola relazione di asintotico: an ,...., dn e
inoltre
infine, poiché
lirn bn = 1
n-+-+oo Cn
2
e ~ '# 1, non è possibile scrivere che le due successioni siano asintotiche, né che
una sia "o piccolo" dell'altra.
166
Capitolo 6
•
ESERCIZIO 6. 7
Successioni non riconducibili a funzlo_n_I _ _ _ _ _ _ ___.
Calcolare i limiti delle seguenti successioni :
® b _ n! + (n + 1)! .
n - n!-(n+2)!'
@
dn --~·
nn'
n!
® fn = nn/2.
Soluzione
Contrariamente alle successioni degli esercizi precedenti, le successioni di questo
esercizio, a causa della presenza nelle loro espressioni analitiche di elementi come
(- 1
come il coefficiente binomiale o come il fattori alee' non possono essere
trattate come altrettante "tracce" di funzioni della variabile x; occorre allora l'uso
di altri accorgimenti.
r'
@ La successione è composta da un valore (nel nostro caso n) cui viene aggiunto
o tolto un altro valore in ogni caso più piccolo, per dimostrare il fatto che a
"comandare" è n, la successione si può riscrivere per esempio raccogliendo n:
(-l)n )
an = n ( 1 + ..fii,
@
,
la parentesi rotonda tende a 1, quindi a11 ,...,, n e lim an = +oo.
In questo caso conviene semplificare il più possibile i fattoriali:
bn = n ! + (n + 1) !
n! - (n + 2)!
= _ _n_!(_l_+_(_n_+_ l)_) _ = _ _n_+_2_
n!(l - (n + l)(n + 2))
- n2
-
_
3n - 1
e quindi lim bn = O.
@ Anche con i coefficienti binomiali, un buon approccio può essere semplificare
il più possibile:
2
n)
( 3
Cn
=
2n(2n - 1)(2n - 2)
6
8n 2 -12n + 4
(;) = -n....,..(n--__,1~"'""(n---2.,....)- = n 2 - 3n + 2
e quindi lim Cn = 8.
e Per il fanoriale, è possibile anche tener conto di uno sviluppo asintotico, noto come formula
di Stirling: per n grande
Successioni e serie
~
167
Osserviamo innanzitutto che per ogni valore di n il corrispondente dn è maggiore di O, dopodiché calcoliamo il rapporto tra due termini successivi:
(n + 1)!
nn
(n + l)n+l
(n + l)! nn
dn+l
=
=
=
n!
(n + l)n+l n!
(n + l)n
dn
nn
e determiniamone il limite:
dn+l
.
1lffi - n-++oo dn
---- =
=
=
n~oo
[(
l
1
+-;:;
. (<n+ lr)-1
lim
n-++oo
)n]-l =
nn
l
e
poiché questo limite è minore di l, la successione dn tende a Od.
® Usando la formula di Stirling, per n -+ +oo:
fn,....,
nne-n.J2im
nn/ 2
nn/2...fhin
=
en
-+ +oo.
.-..iWlìill~•lilit--1. Successioni monotòne
Mostrare che, se an è una successione monotona crescente e superiormente limitata (cioè supan =A), allora an-+ A.
Soluzione
Si dice monotòna una successione an per la quale tra due termini successivi è
sempre intercalabile uno dei segni <, ~ o in alternativa uno dei segni ~ .>, più
precisamente an è detta
•
•
•
•
strettamente crescente se an+ I > an per ogni valore di n,
crescente se an+I ~ an per ogni valore di n,
decrescente se an+ I ~ an per ogni valore di n,
strettamente decrescente se an+I < an per ogni valore di n;
il fatto che A = sup an significa che V8 > O esiste un qualche elemento della
successione, diciamo an, che dista da A meno di 8, cioè A - a;; < 8, poiché
poi an è crescente, la stessa disequazione vale anche per ogni n > n, e pertanto
liman =A.
d
Lo stesso risultato si poteva ottenere anche facendo uso della formula di Stirling:
dn "' nn e-n ,J2;1i
nn
= ,J2;1i -+O.
en
168
Capitolo 6
ESERCIZIO 6. 9
•
Successioni irregolan e sottosuccessioni.
Classe limite liminf e limsuP-
Mostrare che le successioni
@
bn = ~
4
- l~J
4
@ Cn
=
Jn - LJnJ
sono irregolari, determinarne lim inf, lim sup e classe limite.
Soluzione
È detta irregolare una successione che non ammette limitee (finito o infinito che
sia); si può dimostrare che, se da una successione è possibile estrarre due sottosuccessioni che convergono a valori diversi, allora la successione di partenza sarà
irregolare. L'insieme dei limiti delle sottosuccessioni di an (comprensivo degli
estremi inferiore e superiore) è detto classe limiti; i suddetti estremi inferiore
e superiore della classe limite sono detti rispettivamente lim inf e lim sup della
successione.
<D La successione an è formata alternativamente dai valori 1 (se n è pari) e - 1
(se n è dispari), suddividiamola in due sottosuccessioni: se indichiamo con
n = 2k gli indici pari e con n = 2k + 1 gli indici dispari, possiamo scrivere
a 2k = 1
Vk,
azk+l =
-1
Yk
e poiché una successione costante ha come limite la costante stessa, evidentemente a 2k --+ 1 e a 2 k+ 1 --+ - 1; quindi, detta A la classe limite, abbiamo
A= {- 1, l}, e
liminfan = -1,
n~+oo
limsupan = 1.
n~+oo
bn è la successione delle parti decimali della divisione del
numero intero n per 4, tali parti decimali possono essere
@ Osserviamo che
• O, se n è un multiplo di 4 (n = 4k),
• 0.25, se n è maggiore di un'unità rispetto a un multiplo di 4 (n = 4k + 1),
• 0.5, se n è maggiore di due unità rispetto a un multiplo di 4 (n = 4k + 2),
ovvero se n è pari, ma non divisibile per 4,
• 0.75, se n è maggiore di tre unità rispetto a un multiplo di 4 (n = 4k + 3);
come nel caso precedente, è possibile suddividere la successione bn in quattro
sottosuccessioni costanti: per ogni valore di k infatti
b4k+l = 0.25
b4k+2 = 0.5
b4k+l = 0.75;
e Una successione monotona non può mai essere irregolare, e una successione irregolare non
può mai essere monotona; se una successione è crescente (o strettamente crescente), i casi sono
due: o liman = A (il limite è finito), o liman = +oo.
f Osserviamo che se la successione tende al limite L, allora la sua classe limite è l'insieme {L}
formato dal solo numero L.
Successioni e serie
169
e quindi, con lo stesso ragionamento del punto precedente, possiamo concludere che
lim inf bn = O,
A ={O, 0.25, 0.5, 0.75},
n~+oo
lim sup bn
= 0.75.
n~+oo
® Osserviamo preliminarmente che O .:::: Cn < 1; vogliamo dimostrare che
A = [O, 1), cioè che per ogni numero et E [O, 1] e per ogni 8 > O vi sono
infiniti elementi di {Cn} per i quali et - 8 .::5 Cn .::5 et + 8, e pertanto vi è una
sottosuccessione convergente a et. Sappiamo che ogni intero n è compreso tra
due quadrati perfetti, cioè
Vn , 3m
E
N tale che m2
.::::
n < (m
+ 1) 2 ;
e quindi per tutti gli interi n contenuti tra m 2 incluso e (m
abbiamo
m.:::Jn<m+l
LJnJ = m.
+ 1) 2
escluso
Sappiamo anche cheg ( .JnTI - .JiìJ ~ O, ciò significa che V8 > Oesiste
K 8 per cui se n > K 8 allora ( .JnTI - .JiìJ < 8, i casi sono due:
• le ractici quadrate di entrambi i numeri hanno la stessa parte intera:
L.Jri+IJ
=
LJnJ;
in tal caso (proprio perché le parti intere sono uguali) vediamo che
• le radici quadrate di entrambi i numeri non hanno la stessa parte intera:
ciò può accadere solo se n + 1 è un quadrato perfetto: se come prima
scriviamo m 2 .:::: n < (m + 1) 2 , allora
n = (m
+ 1)2 -
1
e
n
+I= (m + 1)2
e in questo caso .JnTI = L.Jll+TJ = L.Jii'J
la ctistanza tra Cn e 1 è minore di 8, infatti
1-Cn
+ l; vediamo allora che
= (1 - (,/n- LJnJ)) = 1 + LJnJ-Jn = Jn+l-Jn <
8.
Prenctiamo allora un qualsiasi quadrato perfetto m 2 , che sia maggiore di K8 :
per quanto visto finora possiamo affermare che i termini della successione da
cm 2 a ccm+l)Lt sono disposti in ordine crescente nell'interv~o [O, 1) e la
g
Basta moltiplicare e dividere per .Jn+T + .,/ii, come nell'Esercizio 6.2,®.
170
Capitolo 6
distanza tra ciascuna coppia di elementi contigui è inferiore a s (così come la
distanza tra c(m+I)LI e 1):
<s
<s
<s
O = Cm2 +-----+ Cm2+ 1 +------+ Cm2+2 +-----+ ...
<s
<s
<s
· · · +-----+ C(m+I)2-2 +-----+ C(m+t)2-t +-----+ 1;
possiamo allora concludere che Va E [O, I] almeno uno di questi valori cade
nell'intervallo [a - s, a + s].
Poiché si può replicare questa costruzione per tutti i quadrati perfetti m 2 maggiori di Ke, ci sono infiniti valori Cn nell'intervallo [a - s, a + s], per l'arbitrarietà di a possiamo concludere che A = [O, l] è la classe limite cercatah, e
quindi
lim inf Cn = O,
limsupcn = 1 .
n-+oo
n-+oo
6.1.2 Serie numeriche
ESERCIZIO 6.10
•
Definizione di conve enza e serie teles_c o__i_
c h_e_ _ _ __
Sia an una qualsiasi successione di numeri reali, dire cosa significa che la serie L an converge. Applicare poi la definizione di convergenza di una serie per
verificare che
+oo
<D
L
1
n2 +n = 1;
+oo
@
L (bn+l -
bn) = b - bo ;
n =O
n= l
ove bn è una successione tale che bn --"'* b
E
JR.
i
+ a2 + ...
Soluzione
Data la serie
+oo
L an = ao + a
n=O
si chiamano somme parziali k-esime le quantità
k
Ak
=L
an
= ao + a 1 + a1 + ... + ak- l + ak
n=O
h
Con argomenti simili e un po' più di difficoltà è possibile provare che le successioni
sinn
e
cosn
ammettono entrambe come classe limite l'intervallo [- 1, I].
Successioni e serie
171
per definizione il comportamento della serie corrisponde a quello della successione {Ak}, vale cioè il seguente schema:
Àk diverge a
L an diverge a ± oo ,
L an è irregolare .
± oo
Ak è irregolare
w
li\
osservtamo
. Che n2+n
l
1
= n(n+I)
= nl +oo
1
L n2+n
=
n=l
1
n+l
.
e qum
d"
1
f(~ - n~l)
n=l
=
(i-~) + (~ -~)+(~-~)+(~ -~)+ ...
si vede allora che gli addendi, una volta tolte le parentesi, si semplificano a
coppie(! con!, S con Se cosl via); calcolando la somma parziale k -esima
Àk
1
=~
= (1 ~ n2 + n
n=l
1
~)
+
...
+
(I_
- )
2
k
k + 1
vediamo che
lim Àk = lim
k--+oo
k--+oo
(i - -k +
1
1
= 1-
_l_
k+ 1
) = 1,
e quindi la serie converge a 1.
@ La serie al punto precedente è un caso particolare delle serie "telescopiche" o
"serie a cannocchiale": sono serie in cui, calcolando le somme k-esime, tutti
i termini intermedi si semplificano a coppie (come quando un cannocchiale
si richiude su di sé); il caso più generico è quello che stiamo esaminando ora:
+oo
L (bn+l - bn) = (b1 - bo)+ (b2 - bi)+ (b3 - b2) + (b4 - b3) + ...
n=O
Se calcoliamo le somme parziali, otteniamo
k
Bk
= L(bn+1-bn) = (b1-bo)+(b2-b1)+ .. .+(bk+1 - bk) = bk+i-bo
n=O
e quindi (visto che bn -+ b):
lim Bk = lim (bk+1 -bo)= b -bo
k--+oo
e la serie converge ab - bo.
k--+oo
172
Capitolo 6
ESERCIZIO 6. 11
•
Una condizione necessaria
Mostrare che la seriei
L:cos(n)
n
non converge.
Soluzione
Il primo teorema sulle serie afferma:
L an
converge
n
questo enunciato è una condizione solo necessaria per la convergenza di una serie,
che però può essere riletta cosl:
L an non converge .
n
Nel nostro caso, è sufficiente osservare che (quando n-+ +oo) cosn ~ O, per
concludere che L cos n non converge (osserviamo che non sappiamo dire se la
serie diverga o se abbia un comportamento irregolare, sappiamo solo con certezza
che non converge).
Osservazione importante: Un equivoco frequente
La condizione che abbiamo appena usato è, ripetiamolo, una condizione solo
necessaria: è quindi un errore scrivere una frase del genere:
"poiché
ESERCIZIO 6.12
•
lim an =O, allora la
n-++oo
Alcune serie lm
L an converge".
rtanti
Ricordare per quali valori dei parametri a,
/3 e y le serie
1
<D
La·
n
n
convergono.
i Poiché, salvo poche eccezioni, l'unica tipologia di esercizi che affronteremo riguardo le serie
saranno quelli riguardanti il carattere ("dire se la serie ... converge, diverge o è indeterminata"),
osserviamo che, data la stessa successione an, le due serie
+oo
e
L
an
n=no
hanno lo stesso comportamento (cambia unicamente il valore della somma effettiva), quindi d'ora
in avanti potremmo semplificare la notazione, scrivendo sempre
Successioni e serie
173
Soluzione
<D La serie, detta serie armonica generalizzata, converge se a > 1, diverge a
+oo negli altri casi;
a > 1 per ogni valore di f3, e se a = 1 e
I, diverge a +oo negli altri casi;
@ la serie, detta serie geometrica di ragione y, converge se IYI < I, diverge se
y ~ 1 o y < - 1, è irregolare se y = - 1.
@ la serie converge in due casi: se
f3 >
6.1 .3 Serie a termini positivi
ESERCIZIO 6.13
•
R olarltà delle serie a tennlnl
Mostrare che la serie
L(sinn) 2
n
diverge a +oo.
Soluzione
Se an > O per ogni n, la serie L an è detta serie a termini positivi; per le serie
a termini positivi si può dimostrare che: poiché la successione {Ak} delle somme
parziali è monotona crescente (ogni addendo è positivo) allora lim Ak esiste, e
quindi:
oppure
lim Ak =A
lim Ak = +oo;
k~oo
k~oo
quindi una serie a termini positivi converge ad A o diverge a +oo. Nel nostro caso,
poiché la successione sin n non tende a O, allora per la condizione necessaria (vedi
Esercizio 6.11) la serie non converge, essendo però una serie a termini positivi
dovrà necessariamente divergere a +oo.
•
Criterio del confronto
Detenninare il carattere delle seguenti serie:
<D
'°'
L
n
3 + sin n .
3r:;
'\/ n~
'
'°'
@ L
n
S + cosn
.if,i5
.
Soluzione
Applichiamo il criterio del confronto (valido unicamente per le serie a termini
positivi) j, noi sappiamo che la serie il cui termine generale è del tipo n]13 diverge,
i Criterio del confronto: Date le serie a termini positivi Ln Gn e Ln bn. se per ogni intero /1
si ha che an ::=:: bn, allora scriveremo L: an < L bn e valgono le seguenti implicazioni:
Lan diverge
n
=?
Lbn diverge
n
L bn converge
n
=?
L an converge
n
e la serie degli an si chiama minorante, quella dei bn si chiama maggiorante.
174
Capitolo 6
n1
e che la serie il cui termine generale è del tipo 74 converge, allora sarà nostro scopo cercare una serie minorante e divergente per la prima serie e una serie
maggiorante e convergente per la seconda serie.
© Osserviamo che
3
+ sinn
Vn2
2
>
31')
-vn2
quindi
'°' 3 + sinn > '°'-2- _ 2 '°'-1L..t
L..t 3f2 L..t 3f2
n
v31')
n~
n v n~
n v n~
l'ultima serie diverge perché è una serie armonica generalizzata con a = ~ <
1, quindi la serie assegnata diverge.
® Osserviamo che
5 + cosn
6
lf,;5
<
4~
vns
quindi
'°' 5 + cosn < '°' -6- _ 6 '°' -1L..t
4~
L..t 4y L..t 4y
n
v nJ
n
v nJ
n
v nJ
l'ultima serie converge perché è una serie armonka generalizzata con a =
~ > 1, e quindi la serie assegnata converge.
ESERCIZIO 6.15
•
Criterio del confronto asintotico
Determinare il carattere delle seguenti serie :
n
©
Ln n
2
+ e- n
-lnn;
Soluzione
Usiamo il criterio del confronto asintotico (valido unicamente per le serie a termini
positivi)k.
© Per la prima serie
n + e-n
n
n 2 - lnn"'n 2
1
=;;
kè il termine generale di una serie divergente e pertanto la serie diverge.
k Criterio del confronto asintotico: Date le serie a tennini positivi Ln an e Ln bn, se si ha che
an "' b11 per n -+ +oo, allora scriveremo L an "' L bn e le due serie hanno lo stesso carattere: o
convergono entrambe o divergono entrambe.
Successioni e serie
~
Per la seconda serie
2n
2n _ (2)n
3
3n - n,...., 3n -
175
'
(~r è il termine generale di una serie geometrica di ragione ~ < 1, quindi
convergente, e pertanto la serie converge.
Stabilire il carattere delle seguenti serie (l'ultima al variare del parametro a > O):
I
<D
"~·
~ n n'
@
n
"(2n)!.
~ (n!)2'
@
"1 + cosn.
~
n
n
n2
'
Soluzione
La presenza di fattoriali nei termini generali sconsiglia di usare i criteri del confronto, useremo invece il criterio del rapporto (valido - al solito - unicamente per
le serie a termini positivi)1•
<D Applichiamo il criterio:
+ 1)!
(n + l)n+l =
(n
lim
n~+oo
_an_+_l =
an
lim
n~+oo
n!
nn
lim
n~+oo
(-n-.
)n = ~
+
n
1
< 1;
e
e quindi la serie converge.
@ Applichiamo il criterio:
(2n + 2)!
[(n + 1) !]2
(2n)!
lim
(2n
n~+oo
+ 2)(2n + 1)
(n + 1)2
(n!)2
e quindi la serie diverge;
1
Criteri6 del rapporto: Data la serie a termini positivi Ln an, calcolare il limite
lim
n~+oo
an+l ,
an
se il limite non esiste il criterio non si può applicare, se il limite esiste e vale L, allora:
L < 1
L
converge
L =icaso dubbio
L>I
L
diverge
L
diverge
=
4
>
1
.
'
176
Capitolo 6
@ Applicando il criterio, troviamo
1+cos(n+1)
lim an+ 1 = 1im --'(n_ +_....:..1)_2_
n--++oo an
n--++oo
1 + cos n
-
n2
lim 1 + cos(n + 1)
n--++oo
1 + cos n
(n + 1)2 '
n2
questo limite non esiste, e pertanto nulla si può concludere con il criterio del
rapporto; tuttavia, utilizzando il criterio del confronto, possiamo osservare
che
1 + cosn
2
- -n2- - <n2
e pertanto la serie converge, perché maggiorata da
L n2z .
© Applichiamo il criterio:
an+1
n2
lim an+1 = 11"m (n + 1)2 =a l"1m
=a
n--++oo an
n-+-+oo
an
n--++oo (n + 1) 2
n2
e pertanto se a < 1 la serie converge, se a > 1 la serie diverge, se a = 1 il
limite vale 1-, ossia il caso dubbio, possiamo allora valutare direttamente la
serie:
e la serie converge, quindi complessivamente la serie converge se a < 1,
diverge se a > 1.
ESERCIZIO 6. 17
•
Criterio della radice
Stabilire il carattere delle seguenti serie :
©
'°'(In
3n+
4)n ;
L2n-1
®
L(
n
n
2n + cosn )
3 3
~n + 2n 2 + 8
n 2 +2n
3n + arctan n
Soluzione
La presenza di potenze n-esime nei termini generali consiglia di servirsi del criterio della radice (valido - al solito - unicamente per le serie a termini positivir.
m Criterio della radice: Data la serie a termini positivi Ln an, calcolare il limite
lim
n~ +oo
!;/a;,
se il limite non esiste il criterio non si può applicare, se il limite esiste e vale L, allora:
L
L<l
converge
L=lcaso dubbio
L=I+
diverge
L
L
L>I
diverge
Successioni e serie
J)
177
Applichiamo il criterio:
.
.
3n + 4
3
lim !.fa; = lim ln
= ln - < 1 ·
n-+oo
n-+oo 2n - 1
2
'
~
e la serie converge.
Applichiamo il criterio:
lim !.fa; = li m (
n-+oo
n-+oo
+ cos n )
~n3 + 2n2 + 8
la base tende a 2 l'esponente tende a
diverge.
6.1.4
2n
n+2
3n+arctan n
! ,quindi lim ~ = -V2 > l e la serie
Serie a termini di segno qualsiasi
Studiare la convergenza delle seguenti serie :
(!) '""" __c_o_s_n__ .
Ln n 2 +3n +2'
®
L sinn .
n
n
Soluzione
Ciascuna delle due serie del testo non è interamente composta da addendi positivi,
non si possono quindi applicare i criteri precedentemente visti; inoltre, per le serie
a termini qualsiasi, esistono due diversi tipi di convergenza, la convergenza semplice e la convergenza assoluta: se la serie a termini qualsiasi E an converge, si
dice che converge semplicemente, se converge la serie dei valori assoluti E lan I
allora E an converge assolutamente. Osserviamo che
E an converge assolutamente
:
E an converge semplicemente
in generale il primo tentativo, di fronte a una serie a termini qualsiasi, è quello
di provare la convergenza assoluta, infatti, poiché E lan I è una serie a termini
positivi, si possono applicare i criteri validi per questo tipo di serie. Se la serie
a termini qualsiasi non è assolutamente convergente, può essere difficile provare
anche la convergenza semplice (fatto salvo un caso particolare, che esamineremo
nel prossimo esercizio).
(!)
Consideriamo la serie dei moduli:
'""" In 2 +cos3nn + 2 I- 7
'""" n2 I+cos3nn+I 2 '
7
178
Capitolo 6
poiché I cos n I < 1 la serie dei moduli è maggiorata dalla serie
che è una serie armonica convergente, si deduce che:
L lan I converge,
L an converge assolutamente,
:::} L an converge semplicemente.
:::}
:::}
@ Studiando la serie dei moduli
L
lsin nl
n
n
possiamo scrivere unicamente (poiché I sinnl < 1) che
ma questa affermazione non è di alcuna utilità: maggiorare una serie con una
serie divergente non dà alcuna informazione sul comportamento della serie
maggiorata, quindi con le nozioni in nostro possesso nulla si può concludere
circa il comportamento della serie".
ESERCIZIO 6.19
•
Serle a ~I alterni e Criterio di Leibniz
Stabilire se ciascuna delle serie seguenti :
@ '"""'cos(mr)
~
n
en - nS,
converge semplicemente o assolutamente.
Soluzione
Le due serie del testo sono entrambe della forma
n
In realtà, con altre tecniche di Analisi, è possibile provare che la serie converge e che
+oo .
L Sl:ll =
n= l
7r
~
1
•
Successioni e serie
179
·e an > Oper ogni n; sono cioè serie a segni alterni, per le quali vale il criterio
teorema) di Leibniz0 .
:!. In questo caso la successione an è della forma an = ~, che tende a zero
in modo monotono e quindi verifica le ipotesi del teorema di Leibniz; per
verificare se la serie converge assolutamente esaminiamo la serie dei moduli:
e sappiamo che questa serie diverge.
~ Osserviamo innanzitutto che l'espressione cos(nrr) assume il valore 1 se
n
è pari e - 1 se n è dispari, cioè cos(nrr) = (-1)n; se volessimo applicare il teorema di Leibniz dovremmo dimostrare che (definitivamente) la
successione
1
bn = - - en - n5
oltre che tendere a zero è anche positiva e monotona decrescente, in effetti
non ve n'è bisogno; osserviamo invece che la serie dei moduli può essere
trattata con il criterio del confronto asintotico: se n ::::: ii, allora en - n 5 è
definitivamente maggiore di zero e
l'ultima è una serie convergente, quindi la serie di partenza converge assolutamente, e a maggior ragione semplicemente.
Determinare quanti termini delle seguenti serie è necessario sommare affinché la
differenza tra la somma (parziale) ottenuta e la somma della serie sia inferiore a
E= 10-3 _.
+oo
<D
"c-1r+
~
n
n=l
1
1
4
+n
+oo
@ '°'sgn(sinn)
;
~
n= 1
o Teorema di Leibnjz: Data la serie a segni alterni Ln (-1
2n -
,J1i
3n+n
.
r an' se
e
allora la serie converge (semplicemente), inoltre l'errore che si commette arrestando le somme al
posto k-esimo è, in modulo, minore del primo termine trascurato.
180
Capitolo 6
Soluzione
Lo scopo di questo esercizio è illustrare alcune tecniche per stabilire a quale valore
N dell'indice n della serie numerica (ovviamente, convergente)
+oo
L
an
n=no
sia necessario arrestare la somma, al fine di conoscere il valore della somma della
serie con un errore inferiore ad E; in altre parole: intendiamo trovare un plausibile
valore N tale che
+oo
+oo
N
L
an -
n=no
L
ossia
an <E,
n=no
L
an <E,
n=N+l
ove E è un valore prefissato (nel nostro caso, E = 10- 3 ) .
<D Si tratta di una serie a segni alterni, e come si vede immediatamente essa converge assolutamente, e dunque semplicemente. Per una serie a segni alterni come
questa vale il già ricordato teorema di Leibniz: l'errore che si commette arrestando
le somme al posto N è minore (in valore assoluto) del primo termine trascurato,
in simboli
+oo
N
(-1r+ 1 an (-l)n+lan < aN+1;
L
L
n=no
n=no
è dunque sufficiente determinare il più piccolo valore n tale che
__1_ < 10- 3 = _1_
n4 + n
1000
n4
+n >
1000.
Osservato che ~ ~ 5.62, puntiamo la nostra attenzione sui termini con n
prossimo a 5; con pochi conti otteniamo che a s = 6 j 0 mentre a6 = 13102 , dunque
nella somma parziale ci arrestiamo a n = 5, tralasciando i termini da n = 6 in
poi:
+oo
5
I:<- 1)n+1 1 - I:<- 1r+1 i
< a6 = _1__
4
n=l
n + n n=l
n4 + n
1302
Possiamo allora approssimare la somma della serie con la somma parziale, sicuri
che l'errore da noi commesso non supera un millesimo:
5
+oo
1
1
3719
'"°'(-l)n+l 4
~ '"°'(- l)n+ l 4
= 8190 ~ 0.45409,
L,;
n +n
L,;
n +n
n=l
n=l
di più: poiché il primo termine trascurato è negativo, sappiamo che lerrore da noi
commesso è per eccesso, ovvero possiamo affermare che
o.45332 ~ o.45409 -
1
1320
+oo
~ I : <- 1r+ 1 n 4
n=I
1
+n
~ o.45409.
Successioni e serie
181
@ Contrariamente al punto precedente, la serie che ora prendiamo in esame
èa
termini positivi, e osserviamo che si tratta di una serie convergente. Per le serie a
termini positivi non esistono regole ad hoc come il criterio di Leibniz per le serie
a segni alterni: occorre, in generale, maggiorare la serie "resto"
+oo
L
an
n=N+l
con una serie della quale sia calcolabile la sommaP, e ricordiamo che le serie (a
termini positivi) di cui conosciamo la somma sono la serie geometrica e le serie
telescopiche. Nel nostro caso, visto che il termine generale non contiene potenze
che possano ricondurlo ad una serie geometrica, occorrerà maggiorarlo con una
espressione che "porti" ad una serie telescopica: osservato che n + sin n < 2n - 1
e che n 4 > n 4 - 2n 3 + n 2 possiamo scrivere che
2n - 1
1
n + sinn
an = - - - - < - - - -- = - - n4
n4 - 2n+n2
(n - 1)2 - n2'
dunque
f
f (~
an <
n=N+l
(n
1)2 -
n=N+I
~2) ·
Della serie che compare a secondo membro noi sappiamo calcolare la somma
(cfr. Esercizio 6.10):
+oo (
L
n=N+I
I
1
1
1
1
1
= (N - 1)2 N 2 + N 2 - (N + 1) 2 + ... = (N -1) 2 ;
1)
(n - 1)2 - n2
dunqueq
+oo
'""' n
L,;
.
+ sm
n
N
_ '""' n
n4
L,;
n=l
.
+ sm
n
n4
l
< _ _ __
- (N - I )2.
n=l
Imponendo che (N~t) 2 < io- 3 , ossia N > 1 + .JIOOO ~ 32.62, avremo che la
maggiorazione è quella cercata, il primo valore di N che soddisfa tale relazione è
N = 33, e pertanto
+oo
'""'n
L,;
n=l
.
+ smn
n4
33
_'""' n
L,;
n=l
.
+ sIDn
n4
< _1_
1024 '
-
P Vi è anche un'altra possibilità, che si basa sul concetto di integrale, che in queste pagine non
affrontiamo.
q Notare, in contrasto con il caso precedente, l'assenza del valore assoluto: approssimando una
serie a termini positivi con una delle sue somme parziali l'errore commesso è per forza di cose per
difetto.
182
Capitolo 6
e come al punto precedente possiamo approssimare la somma della serie con la
somma parziale, sicuri che l'errore commesso sarà inferiore a un millesimo:
+oo
L
.
n
+ ~mn
n=l
n
32
:::::::
.
L
n
n=l
+ ~mn
n
::::::: 2.09739,
ricordando quanto osservato nella nota più sopra
~ n + sinn
2.09739 ::: L
n4
:::
2.09739 +
n=l
1
::::::: 2.09837.
1024
@ La serie è a segni qualsiasi; non possiamo agire direttamente su di essa, ma
(una volta osservato ch'essa converge assolutamente) sulla serie dei moduli:
+oo 2n _ .fii,
3n +n ;
L
n=l
infatti, se la serie degli an è a segno qualsiasi, vale la seguente maggiorazione (il
modulo della somma è minore della somma dei moduli):
+oo
L
+oo
N
an-
n=no
L
an =
n=no
L
+oo
L
an <
n=N+l
Janl·
n=N+l
Procedendo come nel precedente punto @ , questa volta ci appoggiamo su una
serie geometrica:
dunque
+oo
2n _ .fii,
"- sgn(sinn)
<
L
3n + n
n=N+l
+oo
"L
n=N+l
2n _ .fii,
3n
+n
<
+oo
"L
n=N+l
( 2 )n
3
Osserviamo ora che
n~~l G)" =
G)N+l + G)N+2 + G)N+3 + .. .
Successioni e serie
183
Possiamo pertanto maggiorare il valore assoluto della differenza tra la somma
della serie e la somma parziale come segue:
2n - Jn
'"°' sgn(sinn) 2n -+Jnn - n=l
'"°' sgn(sinn)--+n
+oo
N
L,;
n=l
L,;
3n
+oo
=
'"°'
L,;
n=N+I
+oo
<
L
n=N+ l
3n
2n _ Jn
sgn(sinn)--3n
Jn
+n
2n _
3n
+n
+oo
<
L
n=N+l
( 2)n _
3 -
( 2)N+ l
3
3
Imponendo che
2)N+l
3(3
< 10-3
N > 1+
ln3000
ln 23
:::::::
20.75
si trova che
'+oo
"°' sgn(sinn) 2n _+Jnn - '"°' sgn(sinn) 2n _+Jnn
21
L,;
n=l
L,;
3n
3n
n=l
1
< - -.
1000
Poiché con un computer si calcola
'"°' sgn(sin
21
L,;
n=l
n)
Jn
3n + n
2n
_
::::::: 0.41912,
non possiamo stabilire se l'errore è per eccesso o per difetto, dunque
0.41812 ~
+oo
n_
Jn
L sgn(sinn) 23n + n
~ 0.42012.
n=l
6.2
Esercizi proposti
21 Determinare e verificare, con la definizione metrica di limite, i limiti delle seguenti
successioni
li\
w
a n -
1
.
Chn'
@
2
b = 3n
n
2n 2
+ n.
-
1'
@ Cn
=n2 -2ncosn.
~(l)
+ ' n>l+
l1+.J1+i2e+se2j]
[©an ~on>l+lln~j·@b
' s '
n
2
48
[@ Cn
l
~ +oo, n ::: 1 + 1 + .JI+/(j]
184
Capitolo 6
22 Calcolare il limite delle seguenti successioni:
e2n+I + en - cos n
n sin n2
© an =
(Ch )2
® bn = 2
.
n
(2:) .
© dn = -,---,-
@
(n2; n)'
(© an
--+
+ smn
n
en
@
;
n 2 sin(mr)
Cn =
.
n +smn
;
(2n)!
® In= (n!)2 .
nrr]n
= [ sin3
;
!; ® en --+O;® In --+ +ooJ
4e; ® bn --+O;@ Cn --+O;© dn --+
23 Calcolare il limite delle seguenti successioni:
=
© a
n
@
Cn
® en
(n3+ 3n+ 1- 5)2n
n3
= (1 -
sin ;
=
® b
n
r;
n3
© dn =
= n- /n 2 + ..r,;3;
(n3+ 3n+I- 5)n2
n- /n +.fii;
2
® In= n(n 2
-
./n4
10n + 1).
-
24 Disporre le seguenti successioni, infinitesime per n --+ +oo, in ordine crescente di
infinitesimo:
1
an = ln(l + n) sin~.
b,, = ln(n 2 + 1) '
n
en
=
ln(I
+ en)
n2 lnn '
[ an
J,n_-
e-Jn(ir+.,/ii)
'
lnn bn "' 2iiiii,
I
1 d n "' e
"' li!",
Cn "' ;;z,
[en
"'nl~n' In"'
fn,g,,
-n]
"'~.hn "'~]
[quindi: bn, ln.gn, en, an, c,,,hn, dn]
25
Disporre le seguenti successioni, infinite per n --+ +oo, in ordine crescente di
infinito:
lln
= Sh (ln(n2 + 1)),
en
=l-
1 '
cos ;;z
n2
[ an,..., T•
bn
= In(neen),
en -_
gn
=
n2e -ln(ln n)
,
dn -_ 2nr-;nl
Vn!,
In(Chn)
Inn 3
·
bn "'n,Cn,..., lnn'
,,2 d
(i e,,,..., 2 n 4 ' j,,,
n,..., Ve'
"'ll
3
.gn,...,
n
3Jnn
J
(quindi: d,,, gn, b,,, Cn,lln, In, en)
Successioni e serie
185
Determinare la classe limite deUe seguenti successioni irregolari:
<D {an} ={O, 1, 0, 1,2,0, 1,2,3,0, l ,2,3,4,0, 1,2,3, 4,5, ...};
@
bn
= Lcosnj;
@ Cn
= 2<- 1>"ntr;
©
dn
= mant(nrr).
[<DA = N;@A = {-1,0};® H, 2};© A = (O, 1]]
l!7
Stabilire se le seguenti serie convergono o meno:
3
3
n.
@
@ L ,.fii +sinn;
<D L2 +1n
2
L n+lnn;
n
-2
'
n
n +2
n
n
3
3
L n +ln n. ® L n + ln n
© L Jn+cosn.
®
2
lf07 .
lf,15 '
n n -n+1 '
n
n
[<D Sì;@ No;® No;© Sì;® No;® Sl]
18 Stabilire se le seguenti serie convergono o meno:
en
n +e-n
<D L3+ sinn. @ L 2n + 3n; @ I :
n ,.fii+ 2n '
n2 ;
n
n
ne- n
en
(n!)2
®
© I : n2 +i;
®
Lshn;
In: c2n)! ·
n
n
[<D Sì;@ Sì;@ No;© Sì;® No;® Sì)
29 Stabilire se le seguenti serie convergono o meno:
© L:c-1rshnn;
n
e
@ '°'(-l)n
~
n
n
.
n 2 +sinn'
@
I:c- 1r
n
1
3
.
n -n + 1
[© No; @ Semplicemente, non assolutamente]
[® Assolutamente, quindi anche semplicemente]
30 Sia an la successione così formata:
la serie
2::(-lr a~
Shn
n pari
Chn
n dispari
converge?
[Assolutamente, e quindi semplicemente)
31
Calcolare la somma delle serie seguenti:
@
~Jn+T-Jn.
~
n=4
~·
....;n;- n
@
+oo
I : Lcos 2 nj.
n =O
186
32
Capitolo 6
Stabilire per quali valori dei parametri a, b, e, d, x le serie indicate convergono:
©
I:CFn+i - ,;n)a ;
@
n
dn
©
I.::2;
n
n
I.::
n
( 2b
r
b- 1
;
@
cn
I.:: -;
n
n
xn
®
I.::~·
n
[© a > 2; ® - L < b < ~;@ - l ~ e < 1; © - 1 ~ d ~ 1; ® Vx J
6.2.1
Suggerimenti
Per l'esercizio 31:
® Scrivere la serie come serie telescopica.
@ mr è irrazionale per ogni intero n ::::: 1.
Per l'esercizio 32, ® : Serie geometrica ...
Calcolo differenziale
e applicazioni
7 .1
Esercizi svolti e richiami di teoria
Calcolare, usando la definizione, la derivata prima e seconda di
f
(x) = ln x.
Soluzione
Data la generica funzione f(x), la derivata di f nel punto x 0 (se esiste) è data dal
limite, al tendere a zero dell'incremento h, del rapporto incrementale
lim f(xo
+ h) h
h-+O
f(xo).
'
se questo limite non esiste finito, allora la funzione 'non è derivabile nel punto x 0 .
La funzione che, preso ogni x del campo di esistenza TI di f ove f è derivabile,
fa corrispondere ad x il valore della derivata di fin x si chiamafanzione derivata
(più brevemente derivata) difesi indica generalmente in uno dei seguenti modi3 :
J'(x),
Df(x),
d-:;x);
per quanto detto, ovviamente TI' ~ TI . Si chiama derivata seconda di
derivata della sua derivata, in simboli
J"(x) = (J'(x))',
f
D 2 f(x),
(è ovviamente possibile procedere, con la derivata terza, quarta e così via... ).
Veniamo all'esercizio: nel generico punto xo abbiamo
f' (xo) = lim
1( )
xo + h) - n xo = lim In xox+oh
In(
h
h-+0
h-+O
= lim In
h
h-+O
a In corrispondenza di ciascuno di essi, il valore della derivata nel punto
,
f (xo),
DJ(xo),
df
df(x)
~(xo) o ~
Ix=xo.
(1 + :o )
h
=
x 0 si indica con
la
188
Capitolo 7
ricordiamo che per O
~O
si ha ln(l +O),...., O, e quindi
. In ( l +
hm
h
... -
h-+0
:o) -- lim. -h
:o -- -l ,.
h-+O
Xo
passando dal punto xo al generico punto x, possiamo scrivere
d
1
-(lnx) = -.
dx
X
Osserviamo che T1 =(O, +oo), e così pure TI'; sebbene (in generale) la funzione ~ sia definita in JR \ {O}, nel momento in cui essa costituisce la derivata di In x,
perde significatob in x < O.
Calcoliamo ora la derivata seconda di ln(x) , ovvero la derivata (prima) di ~
(sex > O): nel generico punto x 0 , abbiamo
-h
- 1
1
xo = lim xo(xo + h) = lim
=-2'
h
h-+0
h-+O xo(xo + h)
Xo
1
xo +h
lim
h
h-+0
1
pertanto
f"(x) =
ESERCIZIO 7.2
•
[~J
1
-2·
X
DenVita iliitra e ilifivata Sinistra
Non esistenza della derivata
Calcolare (nel caso esistano) la derivata destra e la derivata sinistra nel punto
xo = Odi
® f(x) =
lxi;
@ g(x)
= mant x;
@ k(x)
=
xlx l.
Soluzione
Poiché il calcolo della derivata di una funzione in un punto xo comporta un limite
per h ~ O, l'esistenza della derivata è legata a quella del limite che la definisce.
Un limite può non esistere per due ragioni:
• esistono sia il limite destro sia il limite sinistro, ma sono diversi tra loro,
• almeno uno dei due limiti non esiste.
t
b In effetti poiché
è la derivata (per x < O) di ln(-x), è possibile unire le due derivate in
un'unica formula, e dire che
la derivata di In lxi.
tè
Calcolo differenziale e applicazioni
189
In tutti i casi la funzione non è derivabile nel punto x 0 . Se esistono sia il limite
destro sia il limite sinistro, parleremo in questo caso di derivata destra e derivata
sinistra:
' ( ) _ li
f + xo - h-+O+
m
f (xo
+ h) -
f (xo)
h
'( ) _ 1.
lffi
! _ Xo - h-+o-
'
f(xo
+ h)- f(xo).
h
,
se esiste uno solo dei due, allora esisterà solo la derivata corrispondente.
~ Partiamo dalla derivata destra, osservando che se
f' (O)=
+
lim IO + hl - 101 =
h
h-o+
h > O allora lhl = h
lim
~
= l,
h-o+ h
continuiamo con la derivata sinistra, osservando che se h <O allora lhl = - h
f'(O)= lim IO+hl - 101= lim ~=
+
h-+oh
h-o- h
pertanto le derivate destra e sinistra di
f~(O) = 1, /!_(O)= -1.
@ Osserviamo che, per valori di
f
- l;
in x = O esistono entrambe, e
x vicini a O (precisamente: per - 1 :::: x < 1)
abbiamo
0 <X< 1
x =O
X
mantx =
{
O
x+l
-l::::x<O
quindi la funzione g è continua da destra, ma non da sinistra, in x = O, pertanto
non ha senso parlare di derivata sinistra; per quanto riguarda la derivata destra:
.
mant (O + h) - mant (O) _
lim
h
-
, ( ) _
g+ O @
.
h- O_
hm -h- - 1.
h-o+
h-o+
La funzione k è continua su tutto R, possiamo anche scriverla così:
k(x) =
X
{
2
-X
2
X>
-
X<
0
O;
pertanto, le derivate destra e sinistra in zero valgono
I
k+ (O) =
.
hm
h-o+
k' (O) = lim
h-o+
hlhl -
h
o = lim
.
hlh l - O
h
h2
= O,
h-o+ h
=
-
-h2
= O
h-o+ h
'
lim -
e, poiché sono uguali, la funzione è derivabile in O.
190
Capitolo 7
Osservazione importante: Derivate delle funzioni elementari
Da ora in avanti, diamo per scontato di conoscere le derivate delle seguenti funzioni:
/:
K (costante)
xa
f':
o
a xa- 1
/:
tanx
/':
1
cos 2 x
ln lxi
l
ex
sinx
cosx
ex
cosx
-sinx
X
arctan x
1
1 + x2
arcsinx
1
.J1 -
x2
Sh x
Ch x
Thx
Chx
Shx
1
Ch 2 x
Si tratta di una lista da mandare a memoria, come è accaduto alla scuola elementare con le tabelline.
ESERCIZIO 7 .3
•
R~ole di derivazione
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni, specificando gli insiemi di definizione di ciascuna.
© f(x)=x 3 + cosx;
@f(x)=.JXlnx;
© f(x)=esin4x;
® f(x) = Sh
® f(x) =ex2 cosx sin(x3) ;
@ f(x)=xx.
((x4~ 1)2) ;
@ f(x)
= arcsin x;
cosx
® f(x)=arctan(x 2 -xlnxl:
Soluzione
Accanto alle derivate delle funzioni elementari, elencate prima, vi sono le regole
che permettono di calcolare derivate di funzioni costruite "a partire" da altre, pi
semplici:
• la derivata della somma/differenza è la somma/differenza delle derivate:
[f ±g]' =
!' ±g';
• la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate, ma la somma di due
prodotti: la derivata del primo fattore per il secondo, più la derivata del secondo
fattore per il primo:
[f g]' = !' g + f g';
• la derivata del quoziente è un nuovo quoziente, al denominatore figura il quadrato del denominatore, al numeratore la differenza tra il prodotto della derivata del numeratore per il denominatore ed il prodotto del numeratore per
derivata del denominatore:
f
[g
J, = f, g g2- f g';
Calcolo differenziale e applicazioni
191
• la derivata di una funzione composta g(f(x)) è data dal prodotto della derivata della funzione più esterna, valutata in corrispondenza della funzione più
interna, per la derivata della funzione più interna:
[g(f(x))]' = g'(f(x))f'(x).
Queste regole in genere si combinano tra loro, ad esempio: se la funzione da
derivare è il prodotto di tre diverse funzioni, allora
[/ g h]'
(!)
=f
I
(g h) + f (g h )1
=f
I
g h + f (g' h + g h')
=f
I
g h + f g' h + f g h' •
La funzione è una somma, la derivata è immediata:
f'(x) = 3x 2
-
sinx,
notiamo che Ti= Tf' = R
® La funzione è un prodotto; poiché
~I
[-vu] = -
1
2.JD
abbiamo
f
I
(x)
1
,
0
I
(JnD] =
,
1
1
= 2.yX
~ In x + ,jX - =
X
2 + lnX
JxX ,
2
e notiamo che Ti = Tf' =(O, +oo) .
@ La funzione appare sotto forma di quoziente; poiché
[arcsin O]' =
1
,J1 - 0
2
(cos O]' = - sin O,
,
abbiamo
1
.Jl=X2(cos x) - (arcsin x)(-sinx)
f I (X) = --'-0--.-'----2- - - -2- - - -( COS x)
e TJ = (-1 , l] , mentre Tf' = (-1 , 1).
© La funzione è composta da tre funzioni; poiché:
allora
f'(x)
= esin 4 x
[sin o]'
= coso,
[sin4x]'
= esin 4 x
entrambe le funzioni sono definite su tutto R
(40]'
= 4,
(cos4x) 4,
192
Capitolo 7
@ Le derivate che ci occorrono sono
2
[0
12 ]' -
(Sh O]' = Ch O,
- 03'
pertanto, (derivata di funzione composta):
r
(x4~1)2) [(x4~1)2
4
( Ch (x4 ~ 1)2) ( - (x4 ~ J)3) x
J'(x) = ( Ch
=
- - (~)3
Ch
I
x4 - 1
(x 4 -
-
3
1) 2 '
e TJ =TI'= JR\ {±1}.
® Partiamo dalle derivate delle funzioni elementari che compaiono nell' espressione di f:
1
,
1 +o2
I
[
arctan O] =
(In O]'
= ..!._,
o
allora la derivata dell'argomento dell'arcotangente è
[x 2
- X
In X]'
= 2x -
( 1 In X
+ X ~) = 2x -
I - In X'
e quindi
!
I
(x)=
-
1+
(
1
x2
1 + (x 2
- xlnx
1
-
X
)2
2
(x-xln x]
ln X ) 2
I
(2x - 1 - In x) ,
inoltre T1 =TI' = (O, +oo).
® Le derivate che ci occorrono sono
(e 0 ]'
= e0 ,
(cos 0]'
= - SÌn 0 ,
(sin 0]' = COS 0,
(On]' =n on- I ,
allora
J'(x)
= (ex2cosxy sin(x3) + ex2cosx[sin(x3)]' =
2
= (ex cos x[x 2 cos xJ') sin(x 3)
+ ex2cosx (cos(x 3) 3x 2 )
= (ex2cosx (2x cos x + x 2 (- sin x))) sin(x 3) + ex2cosx (cos(x 3) 3x 2)
2
= ex cosx [ (2x cos x - x 2 sin x) sin (x 3)
entrambe le funzioni sono definite su tutto R
+ 3x 2 cos(x 3)].
Calcolo differenziale e applicazioni
193
® La funzione xx, scritta così come appare, è inattaccabile, conviene sfruttare
le proprietà dei logaritmi e riscriverla come xx = ex In x, sappiamo che
[eo]' = eo,
1
;
0
[lnD]' =
allora
J'(x) = exlnx[x lnx]' = exlnx ( 1 lnx
+ x ~)
= xx(l
+ lnx),
e notiamo che T1 =TI' =(O, + oo).
miìiii:ltil!lil:ti~~~· Eccezioni alle re ole di derivazione
Calcolare la derivata prima di
O?
f
(x) =
Vi sin x; questa funzione è derivabile in
X =
Soluzione
Cominciamo con il notare che f è continua su tutto JR; per calcolarne la derivata
usiamo le regole di derivazione: la funzione f è il prodotto di due funzioni, per le
quali sappiamo che
3;;:::;
I
[vu] =
notiamo fin d'ora che
1
3vD
[sin D]' = cos O;
3 r;:::::;;;,
2
Vi è derivabile solo sex i= O, in tal caso avremo
J'(x) =
3~ sinx + $
3vx2
cosx.
In realtà le regole di derivazione sono gli enunciati di altrettanti teoremi ("Se le
funzioni f e g sono derivabili, allora anche il loro prodotto lo è, inoltre (fg)' =
f' g + f g' ."), in cui la condizione enunciata è solo sufficiente. Questo significa
che in base ai calcoU che abbiamo fatto non siamo in grado di decidere se la
funzione f è derivabile in x = O, semplicemente perché la formula della derivata
del prodotto non si applica in x = O; per decidere se la funzione è derivabile
anche in x = O ricorriamo alla definizione, dobbiamo calcolare il limite:
lim f(h)-f(O) = lim :lfksinh
h--+O
h
h--+0
h
sin~~h
lim h:ifh =O
h--+O
h
'
e pertanto f' (O) = O. Notiamoe che a questo risultato saremmo giunti anche
calcolando
1
lim f'(x) = lim 3 1'5"sinx + $cosx =O.
x--+O
x--+O 3 v x2
e Vale infatti il teorema: sia f(x) continua in I = (xo - 8, xo
più il punto xo. Se esiste
lim J'(x) = L
X-+Xo
allora esiste/' (xo) e
f' (xo) = L.
+ 8) e derivabile in I, salvo al
194
Capitolo 7
Derivate e funzioni definite a tratti
•
ESERCIZIO 7 . 5
Determinare il valore da attribuire a a e a
f3 affinché la funzione
x > 1
x ~ l
ex+ ax
f(x) = { x 2 +13
sia derivabile su tutto JR.
Soluzione
La funzione del testo è definita a tratti; osserviamo che, poiché essa è composta da
funzioni continue e derivabili, essa è con certezza continua e derivabile in ciascuno
dei due intervalli (-oo, 1) e ( 1, +oo); occorre e basta, allora. imporre che sia
continua e derivabile in x = l. In x = 1 la funzione è continua da destra, occorre
allora imporre
lim f(x)
x--+1 -
cioè f3
+I
= /(1),
+ f3 =e+ a ,
lim x 2
=>
x--+1-
= e+ a; per quanto riguarda la derivata, l'espressione di
J' (x)
= {ex
2x
+a
x > l ,
X< 1
inoltre, poiché /~(1) = limx--+ J+ f'(x) e f!....(1)
f~(l) =
= Limx--+1 -
f~(l)
lim ex +a= e +a,
+
perché f sia derivabile in x = 1, dev'essere /!...( I)
riunendo le condizioni trovate abbiamo il sistema
{
f'(x), abbiamo
= lim 2x = 2;
X-+ 1
/3+l =e+a
{ 2=e+a
f' èd
x--+ 1-
= f~(J), cioè 2 = e+ a;
a =2-e
f3
= 1
'
e pertanto f è derivabile su tutto JR se e solo se a = 2 - e e f3 = l; in tal caso
f(x) = {ex+ (2 - e)x
x2 + 1
ESERCIZIO 7 .6
•
2'.: l
X< 1.
X
Significato eometrico della derivata prima
Data f(x) = ln(2+ sin x), determinare la retta tangente alla funzione y = f(x)
nel punto (rr, f(rr)).
d
Notiamo che, anche se nella definizione "a tratti" di una funzione /(x) compaiono dei segni
:5 o;:;:, per quanto riguarda la corrispondente definizione "a tratti" di f'(x) questi segni devono
essere sostituiti da <e>.
Calcolo differenziale e applicazioni
195
Soluzione
Se la funzione f è derivabile nel punto xo, la retta tangente al grafico di y
nel punto (x 0 , f (xo)) ha equazione
y = f'(xo)(x - xo)
Nel nostro caso, la funzione
f
=
+ f(xo).
è continua e derivabile su tutto JR, e
=
f'(x)
abbiamo allora f(1C)
cercata è
= f (x)
ln2 e f 1 (1C)
1
2
cos.x ;
2 + smx
= -4, pertanto l'equazione della retta
y = --(x -1C)
+ ln2.
Descrivere (ove possibile) il comportamento del grafico delle funzioni elencate,
in corrispondenza dei punti ove non sono derivabili;
<D f(x) = 3x +lx - l i;
®f(x)= .Vl-x;
2
@
© f (x) =
f(x) = {,/(x - 1)2 ;
{
1
~ cos ~
Soluzione
Se la funzione f è derivabile in x = x 0 , allora esiste la retta tangente il grafico
di fin (x0 , f (xo)). Se f non è derivabile, significa che non esiste finito il limite
del rapporto incrementale; abbiamo già visto (Esercizio 7 .2) che, per poter parlare
di derivata, è perlomeno necessario che la funzione f sia continua in xo, d'ora in
avanti assumiamo questa ipotesi. In questo caso, se il limite non esiste finito, si
verifica una delle situazioni seguenti:
• il limite esiste ed è infinito:
. f(xo
11m
h ~o
+ h) h
f(xo)
= +oo
. f(xo
oppure 1im
h~o
+ h) h
f(xo)
= -oo;
in questa situazione, il grafico di f presenta un flesso a tangente verticale,
discendente nel primo caso, ascendente nel secondo;
y
J\
X
196
Capitolo 7
• il limite non esiste, perché i limiti sinistro e destro esistono, ma sono diversi
tra loro, abbiamo diverse situazioni possibili:
- entrambi i limiti sono finiti:
lim f (xo
+ h) -
f (xo) = a,
h
h-+o-
lim f(xo
+ h) -
in questo caso il grafico di
Y a<O
b>O
f
f(xo) = b
h
h-+O+
'
presenta un punto angoloso;
a>O
b<O
a>O
b>O
a<O
b<O
X
- entrambi i limiti sono infiniti, di segno opposto:
lim f(xo + h) - f(xo) = +oo,
h
oppure
h -+O-
lim f (xo
+ hh -
f (xo) = -oo,
h-+o-
lim f(xo
+ h) -
f(xo) = _
h
h-+O+
00
.
'
lim f(xo + h) - f(xo) = +oo;
h
h-+O+
in questo caso il grafico di f presenta una cuspide, con la punta verso l'alto
nel primo caso, verso il basso nel secondo;
y
AY
X
- uno dei due limiti è finito, l'altro è infinito, in questo caso il grafico di
presenta una semicuspide;
f
• almeno uno dei due limiti non esiste.
Analizziamo allora cosa accade alle funzioni dell'esercizio.
<D Abbiamo, riscrivendo lx - 1I a seconda che x sia maggiore, uguale o minore
di 1:
4x-1
f(x) =
X> 1
x=l
{
2x + 1 x<l
3
j 1 (X) =
{42
X>
1
X< 1
poiché /~(1) = 4 e /~(1) = 2, entrambi i limiti sono finiti, abbiamo un
punto angoloso.
Calcolo differenziale e applicazioni
197
® La derivata di f è
I
f
1
(x) = - 3.V(l-x)2'
non è definita in x = 1, ma poiché
lim J'(x)
x-+1-
= x-+t+
lim f'(x) = - oo,
possiamo concludere che in x = 1 la funzione presenta un flesso (ascendente)
a tangente verticale.
@ La derivata è
I
f(x) =
2
~·
3 x-1
non è definita in x = 1, poiché
lim
x-+l-
J' (x) =
-oo,
lim
x-+1 +
f 1(x)
= +oo,
possiamo concludere che in x = 1 la funzione presenta una cuspide, con la
punta verso il basso.
© Notiamo che f è continua in x = O, per tutti gli x =/= O la derivata è
1
1
X
X
J'(x) = 2x cos - +sin - ,
e poiché non esistono né il limite sinistro né il limite destro, non possiamo
dire niente di più sul comportamento del grafico.
ESERCIZIO 7. 8
•
Massimi e minimi relativi e assoluti
Per ciascuna delle funzioni elencate, determinare i punti di massimo e i punti di
minimo relativo;
© f(x) = xe - x 2 ;
@ f(x)
=
@ f(x) =
X
(x
+ 1)2
;
31'>
e - vx~;
© f(x) = x
+ ..Jl-x 2 .
specificando se si tratta anche di massimi o minimi assoluti.
Soluzione
Dalla teoria sappiamo che
f
f
monotona crescente {::}- f' : :_ O,
monotona decrescente {::}- f' ::S O.
Pertanto, se f è continua nel punto x 0 e f' cambia di segno tra x < x 0 ex > x 0 ,
allora in x 0 vi sarà un punto di massimo o minimo, a seconda del segno di f', se
198
Capitolo 7
inoltre f' è definita in xo allora per il Teorema di Fermate f'(xo) =O. Se f non
è continua in x 0 , conviene studiare caso per caso la situazione.
Q)
2
f
è definita e continua su tutto R , f' (x) = (l -2x 2 )e-x è anch'essa definita
e continua su tutto R Il segno della derivata prima è
1
1
- - <x<,Ji.
,J2.
!'> o
1
!'=o x=±,Ji.
1
1
x<-- x>,Ji.'
,J2.
!'<o
cui corrisponde il seguente schema:
1
./2
'\i
!'>o
possiamo allora concludere che
simo relativo in
'\i
f' <o
/'
!'<o
f
ha un minimo relativo in -
)z ed un mas-
"7i· Prima di chiederci se i massimi o minimi relativi sono
anche assoluti, osserviamo che f è dispari, pertanto il comportamento di f
in e in
sarà speculare rispetto all'origine. In (O, +oo) la funzione
)z
)z
f è positiva, mentre in (-oo, O) la funzione è negativa, pertanto il punto di
ascissa
è massimo assoluto, e il punto di ascissa è minimo assoluto.
)z
@
)z
f è definita e continua su tutto R, per quanto riguarda f':
2
f'(x) = - --e-Vx"i
3,VX
e Teorema di Fermat: Se la funzione
xo, allora f' (xo) =O.
f
f' > Ù X< 0
f' < 0 X> 0
{ ~f'(x)
ha massimo (o minimo) in x
X
= Ù
= xo e/' è definita in
Calcolo differenziale e applicazioni
199
cui corrisponde il seguente schema:
o
/
!'>o
'\t
!'<o
Poiché f è definita su tutto JR, concludiamo immediatamente che in x = O
la funzione presenta una cuspide con la punta verso l'alto, inoltre vi è 1' unico
massimo relativo (ed assoluto).
X•
@ La funzione
f
è definita per x
i= -1, inoltre
lim f(x) = -oo;
x--.-1
la derivata prima di
f
è
!' >o
!'=o
!'<o
1-x
f'(x) = (x + 1)3
-1 <X<1
x=1
x<-1,x>l'
X =-1
!
~f'(x)
cui corrisponde il seguente schema:
1
-1
/
!'>o
'\t
!'<o
'\t
!'<o
poiché f > Ose x < I e f < Ose x > 1, concludiamo che f ha un massimo
(relativo ed assoluto) in x = 1, mentre non ha minimi relativi (né assoluti).
y
-1
X
200
Capitolo 7
© La funzione f è definita e continua in [-1, 1], un intervallo chiuso e limitato, pertanto a f si può applicare il teorema di Weierstrassf. In un caso come questo è necessario studiare il comportamento di f anche agli estremi
deU'intervallo su cui è definita. Calcoliamo e studiamo f':
f'(x) = 1-
1
j' > 0 - 1 <X < -.,/2
j' = 0 X= )z
~2
l - x
j' < 0
)z <X~ l
~f'(x)
x = -1 , x = 1
cui corrisponde il seguente schema:
I
../2
- 1
\.i
/1
!'>o
!'<o
)z
Pertanto: in x =
si trova l'unico massimo relativo (e quindi assoluto),
nei due estremi dell'intervaUo x = 1 ex = -1 vi sono due minimi relativi,
poiché /(-1) = -1e/(1)=1, in x = - 1 si trova il minimo assoluto.
y
I
1
I
l
X
../2
Osservazione importante: Massimi e minimi
Non tutti i punti ove f' = O sono punti di massimo o minimo: infatti, presa
f(x) = x 3 , abbiamo f'(x) = 3x 2 e /'(O) =O ma poiché f'(x) >O per ogni
x -:/= O la funzione è crescente in tutto JR, in x = O si trova un flesso a tangente
orizzontale.
ESERCIZIO 7.9
•
Segno C:lella derivata seconCla
Concavità e convessità: ~unti di flesso
Per ciascuna delle fanzioni elencate, stabilire in quali intervalli sono concave o
convesse;
<D f(x) = xe-x
2
;
@ f(x)
= ~;
@ f(x)
= ~;
© f(x) = e-lxl .
f Teorema di Weierstrass: Una funzione f , definita e continua nell'intervallo chiuso e limitato
[a , b], ammette senz'altro massimo e minimo assoluto.
Calcolo differenziale e applicazioni
201
ne
teoria, sappiamo cheg, se la derivata seconda /" (x) esiste in tutto un interi . allora
f
f
è convessa in I {:} /" > O,
è concava in I {:} /" < O.
· ove f è continua e f" cambia segno sono detti punti di flesso.
2
Poiché f" (x) = 2xe- x (2x 2
-
3), studiandone il segno si trova
f" >O -jf < x < O,x >
!'=o X= O, ±ff
!'<o X < -ff,o< X <
l
[f
A
cui corrisponde il seguente schema:
-A
!"<o
f
l)
!">o
è quindi convessa in
e in
o
t.ft,o)
!"<o
e in
(/f, +oo);
!">o
è concava in
(O, /f); ha tre punti di flesso in x = O,± jf.
(- oo,
-A)
Abbiamo
11
f"(x) =
/
~
f'
9.ç/x
{
> 0
<0
~j"(x)
X> 0
X< 0
X
= 0
cui corrisponde il seguente schema:
o
!"<o
La funzione è quindi concava in (di flesso in x = O.
!">o
oo, O), convessa in (O, +oo) e ha un punto
g Un modo alternativo di descrivere concavità e convessità: f è convessa se "rivolge la concavità
verso l' alto", è concava se "rivolge la concavità verso il basso".
202
Capitolo 7
@ Si trova
f"(x) =
j;Jx-z
X
=rf 0
{
0
X=
ll
11
/
=}
> 0
X
< 0, X > 0
x=O
ti
'
immediatamente concludiamo che f è convessa su ciascuno dei due intervalli (-oo, O) e (O, +oo) . Se raduniamo in uno schema le derivate prima
seconda, troviamo
o
........,
!">o
~
J
!'<o !'
=0
........,
!"> o
/'
!'>o
e la funzione è convessa su tutto R
© Calcolando separatamente f"(x) per x >O ex <O, troviamo
f"(x) =
{:~X
x>O
tlf"
x=O
X<
/ " >
{ tJf"
Ù
o
X
< O, X >
X= Ù
o
'
possiamo concludere immediatamente che f è convessa su ciascuno dei due
intervalli (-oo, O) e (O, +oo) . Studiamo l'andamento della derivata prima
-e-X
J'(x) =
{
ex
tJf'
X> Ù
x <O
1
/
{
X =
Ù
f'
>
<
tJf'
Ù
Ù
X< 0
X> 0
X = Ù
e raduniamo in uno schema le derivate prima e seconda, troviamo
o
f" >o
~J,,
!">o
!'>o
tlf'
!'<o
........
/'
~
e la funzione non è convessa su tutto R
Osservazione importante: Flessi
Non tutti i punti ove /" = O sono punti di flesso: infatti, presa f(x) = x~
abbiamo f"(x) = 12x 2 e /"(O) = O ma poiché f"(x) > O per ogni x =I O
funzione è convessa in tutto R Analogamente non tutti i punti di flesso richiedono
che/"= O, confronta qui sopra, l'Esercizio 7.9, ®.
Calcolo differenziale e applicazioni
--iìiil~~~!2..J.
203
D erivata della funzione inversa
Sia f(x) = e 2 x + x 3; poniamo g(x) = f- 1(x), osservato che f(l) = 1 + e 2 ,
/colare g' (1 + e 2 ) e g" (1 + e 2 ). Disegna.re un grafico qualitativo della funzione
in un intorno del punto ( 1 + e 2 , 1).
Soluzione
Sappiamo che, se y = f(x) ex = g(y), cioè se la funzione g è l'inversa della
funzione f (in simboli g = 1-1 ), ed Yo = f (xo) allora
d
I
dYg(y) y=yo
d
1
dYg(y) = f'(g(y))'
-
nvalore della derivata prima è immediato, poiché f'(x)
2e 2 + 3, allora:
1
g'(I + e2) =
.
2e 2 + 3
I
f'(g(yo)).
= 2e 2X
+ 3x 2 e /'(1) =
Per quanto riguarda la derivata seconda, cominciamo con l'osservare che, se F (x)
è una generica funzione, allora dalla derivata del quoziente segue che
[F~x)l -
F'(x) .
(F(x)) 2 '
trattiamo f'(g(y)) come una qualsiasi funzione (composta), e otteniamo
i[f'(g(y))] -
d2
dy2g(y) =
(f'(g(y)))2
f"(g(y)) g'(y)
-
(f'(g(y)))2 .
Nel nostro caso otteniamo allora (osservato che f"(x) = 4e 2x
4e 2 + 6)
+ e2)) g'(l + e2)
(/'(g(l + e2)))2
+ 6x e /"(1)
=
(4e 2 + 6)(2e2 + 3)
- - -'------..,--'= -2.
(2e 2 + 3)2
f"(g(l
Concludendo, in corrispondenza del punto x = 1 + e 2 abbiamo
g( I
+ e2 )
= 1,
g'(l
+ e2 ) =
2
e2
1
+3
>O,
g"(I
+ e2 )
= -2 <O;
pertanto la funzione, in un intorno del punto (1 + e2 , 1), è crescente, e rivolge la
concavità verso il basso, un grafico qualitativo è allora
1 + e2
X
204
Capitolo 7
7.1 . 1 Applicazioni delle derivate
ESERCIZIO 7.11
Sijiio ilella ilerivata pnma
•
Funzioni crescenti e decrescenti: unti critici
Per ciascuna delle funzioni seguenti, elencare gli intervalli ove sono invertibili;
© f(x)
= x 4 - 34 x 3 -4x 2 ;
@
f(x)
= 3x 4 + 4x 3 .
Soluzione
Dalla teoria sappiamo che
f'
>O~
f
strettamente monotona crescente,
f'
<O~
f
strettamente monotona decrescente.
Abbiamo visto (Esercizio 5.4) che una funzione strettamente monotona è sicuramente invertibile, possiamo "raffinare" questo risultato, osservando che se f 1 > O
in (xo - O, Xo) u (xo, Xo + o) e f'(xo) = O, anche in questo caso la funzione f risulta strettamente monotona, e quindi invertibile. Ad esempio, prendiamo
f(x) = x 3 : la sua derivata prima (/'(x) = 3x2 ) è positiva per ogni x diverso da
zero, la funzione è strettamente monotona e pertanto invertibile in tutto JR.
Per determinare gli intervalli ove f è invertibile, è sufficiente studiare la derivata prima di f, e stabilire la natura dei punti ove f' = O, tali punti sono detti
punti critici.
© Abbiamo che f'(x) = 4x 3 -4x 2 - 8x, osserviamo chef e f' sono definite
su tutto JR., osserviamo anche che, raccogliendo 4x,
J' (x) = 4x (x
2
-
f'>O -l<x<0,x>2
x - 2) ~ f 1 = O x = O, -1, 2
{
f'<O x<-l,O<x <2
pertanto vale il seguente schema:
o
-1
f
I
~< o f =I Q f /> Qf I= o
I
I
I
2
~
I
/
!'<o !'=o!'> o
Possiamo allora concludere che f è invertibile (in quanto monotona) in ciascuno dei quattro intervalli (-oo, -1], (-1, O], (O, 2], (2, +oo).
@ La derivata vale
f' (x)
2
= 12{x 3
f'(x)=12x (x+ 1)
+ x 2 ), è definita su tutto JR. e
~
f'>O
f'=O
{
j' < 0
-1<x< 0,x>0
x=O,-I
X< -1
Calcolo differenziale e applicazioni
205
lo schema è il seguente
o
-1
~
/1
!'>o
!'<o
la funzione
f
/1
!'>o
risulta pertanto invertibile in ( -oo, - 1) e in (- 1, +oo).
•
Derivata e differenziale
Data la funzione f(x) = x 3 - 4 ln x, scrivere il differenziale primo df in x = 1
~in x = 2; valutare poi il comportamento asintotico di f(x) - /(2) per x -+ 2.
Soluzione
Data la funzione f, derivabile in xo, si chiama differenziale primo, o più semplicemente differenziale, di fin xo la quantità df = f'(x 0 ) dx. Inoltre, il differenziale di f in xo rappresenta, se diverso da zero, il coefficiente di (x - x 0 ) nello
sviluppo asintotico di f:
f(xo + dx)- f(xo) = df lx=xo +o( dx)= J'(xo) dx+ o( dx).
Poiché f'(x)
= 3x 2 -
~.abbiamo f'(I)
dj lx=l = - dx,
=-
1 e /'(2)
dfl x=2
= 10, pertanto:
= 10 ctx·'
inoltre
f(x)- /(2)"" lO(x - 2),
ESERélZIO -7 _-13
•
oppure
/(2 + dx) - /(2) = df lx=Z +o( dx).
Teorema di de l'H6~ital
Calcolare i seguenti limiti
<D
lim
X--7+00
@
xa
@
- ·
eX '
lim x ( rr - 2 arctan x) ;
x--7 + 00
lim
Shx - sinx
X--70
©
lim
X--7+00
X3
3x
+ sin x
X+
.
'
.
2
Soluzione
Di fronte a un limite che presenta la forma d'indecisone [g] o [~], è possibile
usare il teorema di de l'H6pitalh .
h
Teorema di de l'Hopital: Dato lim ff~~ nella forma d'indecisione
derivabili, con g(x) =/= O, ed esiste il limite lim
rg1 o C~J, se f
f f~j = L, allora lim ff~~ = L.
e g sono
206
(!)
Capitolo 7
Osserviamo che (detti f il numeratore e g il denominatore), g ---+ +oo,
mentre f ---+ Ose a < O, f = I se a = Oe f ---+ oo se a > O, nei primi due
casi non è necessario alcun calcolo, perché il limite si presenta nella forma
[~J ---+ O, se invece a > O, per la continuità dell'elevamento a potenza,
abbiamo
lirn - .
.
1un
-X -
a (
x--7+00 ex -
x )a
x--7+00 ex/a
'
il limite tra parentesi tonde è della forma C~J. applichiamo il teorema di de
l'Hopital:
@
pertanto anche il limite del testo è O.
Il limite è della forma [g]; applicando il teorema di de l'Hopital, ci imbattiamo ancora nella stessa forma di indecisione, nessuno ci vieta di riapplicare il
teorema più volte, in cascata:
Shx - sinx H
Chx - cosx H
Shx + sinx
= lim
= lim - - - -2
x--70
x3
x--70
3x
x--70
6x
H .
Ch X + cos X
I
- lim
-lim
-
6
X--70
- 3'
!·
@
pertanto il Umite proposto vale anch'esso
Il limite è della forma [oo ·O], può però essere riscritto in modo da presentarsi
in una delle due forme ammesse:
lim x(n - 2arctan x) =
X--7+00
lim
rr - 2 arctan x
1
X--7+00
X
usiamo ora il teorema di de l'Hopital:
lim
X--7+00
rr - 2 arctan x
}
1
-2-- -2
1 +x
= lim
1
= 2,
X--7+00
H
- x2
X
pertanto il limite proposto vale 2.
© Non è detto che fare ricorso al teorema di de l'Hopital sia la strategia migliore: è sufficiente raccogliere x a numeratore e denominatore per vedere che il
limite vale 3; applicando il teorema di de l'Hopital si trova invece:
3x + sinx H
x+2
lim
3 + cosx
X--7+00
}
e il limite cui siamo giunti non esiste. Ricordiamo che il teorema di de l'Hopital è una condizione solo sufficiente: se il limite del rapporto delle derivate
esiste, allora esso è uguale al limite di partenza, se il limite del rapporto delle
derivate non esiste, nulla si può dire riguardo al limite di partenza.
Calcolo differenziale e applicazioni
miimi!!:2::~.!!!!!~.l:·
207
Formula di Taylor e di MacLaurin
Scrivere la formula di Taylor arrestata al N ordine della funzione f(x) = ln x,
centrata in x = 1, con il resto secondo Peana e secondo Lagrange; utilizzare la
formula scritta per calcolare ln( ~~), quale precisione è possibile garantire?
Soluzione
Data la funzione f(x), la formula di Taylor centrata in xo, di ordine n è
f(x )
= f (xo) + f' (xo)(x -
xo) + !" (xo) (x - xo)
2!
2
+ ... + f (n) (x 0 ) (x -
xo)n
n!
+ Rn
ove il resto Rn può essere scritto "secondo Peano" o "secondo Lagrange'', rispettivamente
R = j(n + l)(~) (X
-
(n
n
xo )
n+l
+ 1)!
ove ~ è un punto opportuno tra xo e x .
Nel nostro caso f(x) = lnx e
f'(x) = ~.
f"(x) = -
j(4)(x) = -
:2,
j(5)(x) = ;~;
x64 '
pertanto
f(l) = O,
J'(l) = 1,
J"(l) = - 1,
/(4)(1) = - 6,
/(3)(1) = 2,
e la formula cercata è, con il resto secondo Peano:
(x
lnx=(x-1)-
;!
1)2
(x
+ 2
mentre, con il resto secondo Lagrange
lnx = (x - 1) -
(x-1) 2
2!
+2
;!
(~è
1) 3
(x
-6
~!
1) 4
4
+o((x-1) )
compreso tra 1 ex)
(x - 1) 4
(x - 1) 3
- 6
3!
4!
24(x - 1) 5
+-~5
5!
Se poniamo x = ~~ = 1.3, allora x - 1 = 0.3, semplificando numeratori e
denominatori troviamo (1 :::; ~ :::; 1.3)
ln(I .3) = (0.3) - (0.3)2 + (0.3)3 - (0.3)4 + (0.3)5.
2
3
4
5~5
L'errore che commettiamo arrestando la nostra somma al IV ordine è allora (ricordando che 1 :::; ~ :::; 1.3)
.(~·:t
5
< (0.:) = 0.000486;
208
Capitolo 7
possiamo pertanto affermare che, con un errore inferiore a 0.000486,
ln(l.3)
(0. 3)
2
= (0.3) -
2
+ (0.3)
3
3
-
(0. 3)
4
4
= 0.261975;
(osserviamo che il valore con sei cifre decimali è 0.262364, e l'errore commesso,
in valore assoluto, è minore di 0.00039).
Osservazione importante: Gli sviluppi di MacLaurin delle funzioni elementari
Accanto alle derivate delle funzioni elementari, è bene tenere a mente anche i loro
sviluppi di MacLaurin:
ex = 1 + x
• f(x) = Chx -
x4
xn
(i termini pari dello sviluppo di ex):
x2
Chx = 1 +
• f(x) = Shx -
2!
x4
x6
x2n
+ 4T + 6T + ... + (2 n)! + o(x2 n);
(i termini dispari dello sviluppo di ex):
x3
Shx = x
• f (x) =
x3
x2
+ 2! + 3T + 4T + ... + +;-! + o(xn);
xs
x?
x2n+I
+ 3T + 5T + 7! + ... + (2n + 1)! + o(xzn+I);
cos x - (come Ch x, ma a segni alterni):
x2
cosx = 1 - 2!
x3
=X -
• f(x) = l~x
-
-
3!
xs
x7
5!
7!
+ - - - + ... + (-l)n
1
1- x
ln(l
xZn
1r - (2n)!
+ o(x 2n).'
x2n+ I
(2n
+ 1)!
+ o(xzn+I).
'
(i primi termini della serie geometrica):
-- = 1+ x
• f(x) = ln(l
x6
(come Shx, ma a segni alterni):
• f(x) = sinx -
Sinx
x4
+ -4! - -6! + ... + (-
+ x) -
+ x) =
+ x 2 + x 3 + x 4 + ... + xn + o(xn) ;
(senza i fattoriali, a segni alterni):
xz
x -
T +
x3
3
_
x4
4
+ ... + (-
xn
l)n+ l-;-
+ o(xn);
Calcolo differenziale e applicazioni
209
• f(x) = arctan x - (senza i fattoriali, termini dispari a segni alterni):
x3 xs x 7
x2n+l
arctanx = x - - + - - - + ... + (-1r
+ o(x 2 n+ 1)·
3
5
7
(2n + 1)
'
Scrivere lo sviluppo di MacLaurin delle seguenti funzioni, arrestato all'ordine
indicato a fianco, con il resto secondo Peano:
<Il f(x) = ln(l - x 2 ), VII ordine;
@
f(x) =
2x
f(x) = - - , V ordine;
3- x
@
esinx, VI ordine;
scrivere lo sviluppo di Taylor delle seguenti funzioni, centrato nel punto x 0 indicato ed arrestato all'ordine indicato a fianco, con il resto secondo Peano:
© f(x)
= _x_, xo =
2-x
1, IV ordine;
@
f(x)
= cosx, xo =
7r
2
, VI ordine.
Soluzione
Per l'unicità della formula di Taylor, se noi otteniamo (sulla base di operazioni lecite) un polinomio che ha le caratteristiche del polinomio di Taylor della funzione
studiata, questo polinomio è il polinomio di Taylor cercato.
<Il Sappiamo che
02
03 04
on
ln(l +O)= 0 - 2 + 3-4 + ... + (-l)n+17 +o(Dn);
allora ln(l - x 2 ) = ln(l + O) con O = -x 2 , e pertanto, ricordando che
dobbiamo arrestarci al VII ordine, osserviamo che (-x 2 ) 4 = xB = o(x 1) e
allora
( x2)3
( x2)4
( x2)2
ln(l - x 2) = -x2 - + - + o((-x 2) 4)
2
4
3
= -x2 - :_ - :_
2
@
Osserviamo che
4
6
3
2x
+O· x 7 + o(x7 ) .
2x
1
3-x=31-(~)'
ricordando che
2 = 1 + O + 0 2 + 0 3 + ..., possiamo scrivere
1 0
e tralasciando l'ultimo termine, che non è richiesto:
f(x)
2
3
2
9
2
27
2
81
2
243
= -x + -x 2 + -x 3 + -x 4 + - x5 + o(x 5)
210
Capitolo 7
@ Sono noti gli sviluppi dell'esponenziale e del seno:
e
0
02
= 1+ O +
03
04
os
06
2T + 3T + 4! + 5! + 6! + o(0 6 ),
x3
xs
+ - +O· x 6 + o(x 6)
3!
5!
sinx = x - -
poniamo O = sin x, osservando che
::::} o(sin6 x) = o(x 6 ) ,
sinx;,,, x
e mettendo in evidenza con 1' o-piccolo che intendiamo arrestarci al VI ordine:
sinx
e
( 6)
( . ) (sinx) 2 (sinx) 3 (sinx) 4 (sinx) 5 (sinx) 6
1
= + smx +
2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 ! + 6 ! +o x .
Ora, sviluppiamo le potenze di sin x come normali polinomi, "inglobando"
in o(x 6) tutte le potenze maggiori di 6:
sin x
=x
x3
- -
3!
xs
+ -5! + o(x 6)·'
nel quadrato di sin x, contano il quadrato di x, il quadrato di x 3 , il doppio
prodotto di x con x 3 e il doppio prodotto di x con x 5, il resto finisce nell' opiccolo:
nel cubo di sin x, contano il cubo di x e il triplo prodotto del quadrato di x
con x 3 , il resto finisce nell'o-piccolo:
x3
xs
(sinx) 3 = ( x - - + - + o(x 5)
3!
5!
)3
x3
= x 3 - 3x 2 -
3!
+ o(x 6)·
'
nella quarta potenza di sin x, contano la quarta potenza di x e il quadruplo
prodotto del cubo dix con x 3 , il resto finisce nell'o-piccolo:
(sinx) 4
= (x
x3
xs
- - + - + o(x 5)
3!
5!
)2 =
x4
-
3 x3
4x - + o(x 6)·
3!
'
nella quinta e nella sesta potenza di sin x, contano unicamente la quinta e la
sesta potenza di x:
5
(sinx) = ( x -
x3
xs
3T + 5T
)
+ o(x 5)
2
5
6
= x + o(x ),
Calcolo differenziale e applicazioni
x3
6
x5
3T + 5T
(sinx) = ( x -
)
+ o(x 5)
211
2
= x 6 + o(x 6).
Riassumendo, abbiamo:
x3
x5
sinx = x - - + - + o(x 6 )
3!
5!
(sinx) 3 = x 3 -
~x 5 +
2
o(x 6 )
(sinx) 5 = x 5 + o(x 6 )
(sinx) 2 = x 2 -
~x 4 +
3
2-x 6 + o(x 6 )
45
(sinx) 4 = x 4 -
~x 6 +
o(x 6 )
3
(sinx) 6 = x 6 + o(x 6 )
e pertanto
esinx = 1 +
5
I
x3 + _x ) + _1 ( x2 _ -x4
x __
+ -2 x6 ) +
(
3!
5!
2!
3
45
1 ( X 3- -1 X 5) + -1 ( X 4 - -2 X 6) + -1 (X 5) + -1 ( X 6)
+3!
2
4!
3
5!
6!
( 6)
+O X
riordinando le potenze troviamo
.
1
2
1
8
1
15
1
e510 x = 1 + x + - x 2 - -x 4 - - x 5 - - x 6 + o(x 6 ) .
240
Osserviamo che
f(x) = _ x _ =
X
= X - 1+ 1 =
X -1
+
1
2- x
1 - (x-1)
1-(x - l)
1-(x-1)
1 - (x-1)'
dagli sviluppi di MacLaurin, sappiamo che 1 ~ 0 = 1+ O+ 0
e pertanto
~
=
1- 0
0 (1+ o +02 + o
3
+ ... )=o+ 0 2 + o
3
2
+ 0
+ o
4
3
+ . . .,
+ ...;
sostituiamo allora x-1 a O, e arrestadoci al IV ordine otteniamo (le parentesi
quadre sono aggiunte unicamente per motivi di leggibiUtà):
j(x) = [
X - 1
1 - (x - 1)
J+ [ 1 -
1
(x - 1)
J
= [1 + (x - 1) + (x - 1) 2 + (x - 1) 3 + (x - 1) 4 +o( (x - 1) 4 )
J
+ [cx-1) + (x-1) 2 + (x - 1) 3 + (x-1) 4 + o((x-1) 4 )]
= 1 + 2(x - l) + 2(x-1) 2 + 2(x - 1) 3 + 2(x -1) 4 + o((x - 1) 4 ).
'
212
Capitolo 7
® Dalla trigonometria sappiamo che cosa = - sin (a - ~), pertanto f (x) =
- sin (x - ~) poiché il nostro scopo è scrivere un polinomio composto da
potenze di (x- ~),utilizziamo lo sviluppo di MacLaurin della funzione seno,
arrestato al VI ordine,
03
sin O = O - 3!
os
+ - + o(0 6 )
5!
e quindi, ponendo O = (x - f),
cosx=-sin ( x-
ESERCIZIO 7 .16
rc)
2
(
= x-
:re) (x - Z!'.)3
(x - ~)s
~(
:rc)6)
2
2
2 - 3 ! + 5! +o \x -2 .
Svilup i di MacLaurin e derivate
•
Dopo aver scritto lo sviluppo di MacLaurin all'ottavo ordine di f(x) = (1 2
2x 2 )e- x , determinare f (?)(O) e f (S) (O).
Soluzione
Scrivendo lo sviluppo di MacLaurin di e 0 con O = -x2 , troviamo
2
e- x =1-x2
+
= 1 - x2
(-x2)2
2!
x4
+
(-x2)3
3!
+
(-x2)4
4!
+o(x 8 )
x8
x6
+ -2 - -6 + -24 + o(x 8 )
e quindi
2
f(x) = (1 - 2x )e
-x 2
2
= (1 - 2x )
(
l- x
2
4
6
8
+ -X2 - -X6 + -X24 + o(x 8 )
)
'
ossia, riordinando le potenze e trascurando quelle con esponente maggiore di 8,
f(x) = 1 - 3x 2
5
2
+ - x4 -
7
-x 6
6
3
8
+ -x 8 + o(x 8).
Dal polinomio di MacLaurin è possibile "leggere" i valori delle derivate di
valutate in x = O, infatti il generico termine di grado n è formato da
f
j(n)(O)xn .
'
n!
osserviamo allora che:
• poiché nel polinomio di f (x) non compare x 7 , possiamo immediatamente
concludere che j<7)(0) = O;
Calcolo differenziale e applicazioni
213
• uguagliando il generico termine dell'ottavo grado di MacLaurin con il termine
del polinomio che abbiamo trovato, otteniamoi
/ ( 8)(0)
=
~8! =
8
3. 7!.
2
<D lim sinx - Shx .
e- 2 x - cos 2x
.
x-o x sinx - (sinx) 2 '
lim
@
x-o x In(l - 3x2) '
calcolare i seguenti Limiti, al variare dei parametri a, f3 e y :
@
lim 2,Jf+X + ln(l - x) -2.
x-o+
xa
© lim
xe- 2 x
x-o+
'
2
sin x + f3x 3
xY cos x2
-
Soluzione
Tutti i limiti di questo esercizio sono della forma [~], e per calcolarli è possibile
servirsi (magari con molta cautela) del teorema di de l'Hopital. Noi vogliamo
invece sfruttare gli sviluppi di MacLaurin, ove vi sia necessità.
Il denominatore non contiene somme, possiamo allora usare gli sviluppi asintotici e concludere che per x -+ O abbiamo x ln(l - 3x 2) ,....., - 3x 3 ; nel numeratore compare una sottrazione, e poiché sia sin x ,....., x sia Sh x ,....., x, l'uso
degli sviluppi asintotici non ci porta a nulla, possiamo però usare gli sviluppi
di MacLaurin (che sono un "arricchimento" degli sviluppi asintotici), poiché
Q)
x3
sinx = x - 3!
x3
+ o(x 3 )
Shx = x
e
+ 3! + o(x 3 ),
possiamo dire che
sinx-Shx
x3
= ( x - 3!
+ o(x 3 ) )
-
(
x
quindi
.
sinx - Shx
lim
x-o x ln(l - 3x 2 )
i
.
= x-o
hm
x3
x3
3
+ 3!
+ o(x 3 ) ) = -23!
+o(x )
-2~ + o(x 3 )
·
-3x3
1
= -9
Un lungo calcolo diretto porta a dire che
f( 8 )(x)
= - 16e-x2 (32x 10 -
720x 8
+ 5040x 6 -
12600x 4
+ 9450x 2 -
945).
214
@
Capitolo 7
Esaminiamo separatamente numeratore e denominatore, abbiamo
e 0 = 1 + O+
02
T
+ o(D2 )
=> e-2 x
02
04
cosD = 1- - + - 1 + o(D 4 )
2
4.
quindi, semplificando:
=>
2
= 1 - 2x 2 +
4x 2
cos2x = 1- -
2
4x
T
4
+ o(x 4 ),
16x 4
+ -
41.
+ o(x 4 ),
o(x 4 ) = ~x 4 + o(x4 );
3
3
per il denominatore, arrestandoci al IV ordine troviamo
e-2 x
2
-
cos 2x = 2x 4
x sinx = x (x -
-
~x 4 +
~; + o(x 3 )) =
x2
-
~x 4 + o(x 4 ),
e (vedi Esercizio 7.15,@)
(sin x) 2 = x 2
-
~x 4 + o(x 4 );
infine
x sinx - (sinx) 2 =
~x 4 +
o(x 4 );
4
+ o(x
quindi
e-2x2 -
lim
x-o
cos 2x
xsinx - (sinx) 2
-3 x
= lim
x-o
1
4
4
)
( 4)
= 8.
x 4 +o x
6
@ Consideriamo il numeratore, da (1+D)a=1 + aD + (~)0 2 + o(D 2 ) rica-
viamo:
2.J'f+X = 2 ( 1 + 1 x + (1/2) x 2 + o(x 2) ) = 2 + x - 1 x 2 + o(x 2 ),
2
2
4
mentre da ln(l +O)= O - !D2 + o(D 2 ) otteniamo
(-x) 2
ln(1 - x) = - x - - -
2
+ o(x 2 )
1
= - x - - x2
2
+ o(x2 );
allora, semplificando:
2.J'f+X +
ln(l - x) - 2 =
2 - ~x 2 + o(x 2 )
-~x
4
2
=
2 + o(x 2 ).
-~x
4
I1 nostro limite diventa quindi
.
hm
x-o+
2v1f+"X + ln(l - x) - 2
.
-~x 2 + o(x 2 )
=lim
,
xa
x-o+
xa
e il risultato dipende da a:
215
Calcolo differenziale e applicazioni
- se a < 2, l'infinitesimo al numeratore è di ordine maggiore, e il limite
vale O;
- se a = 2, i due infinitesimi hanno lo stesso ordine, il limite vale quindi il
rapporto dei coefficienti:
- se a > 2, l'infinitesimo al numeratore è di ordine minore, la frazione tende
all'infinito, e poiché al numeratore troviamo un coefficiente negativo il
limite è -oo.
-i;
@ Dal precedente punto@ di questo esercizio sappiamo che e- 2 x
2x 4
+
o(x 4 ),
2
= 1- 2x 2 +
pertanto, arrestandoci al V ordine, troviamo
x3
x5
+ - + o(x 5 )
3!
5!
sin x = x - -
e
2
xe- 2 x = x - 2x 3
+ 2x 5 + o(x 5 )·
'
sommando e raccogliendo i termini simili nel numeratore, troviamo
2 2
xe- x
sinx
-
+ f3x 3
=
({3 - 161)
x3
+
(1 -;,)
x5
+ o(x 5 ) ;
mentre, poiché cos x -+ I sex -+ O, il denominatore xY cos xZ "" x.Y, e il
limite è diventato
11) 3 239
x5
( f3 - -6 x + .
120
IJm
x-.o+
xY
+ o(x 5 )
Osserviamo che il numeratore è un infinitesimo del V ordine se f3 = 161 ,
mentre è un infinitesimo del III ordine se f3 i= 1 una volta stabilito il valore
di
il comportamento del limite dipende dall'ordine di infinito del denominatore, esattamente come nel punto precedente, e quindi abbiamo la seguente
tabella:
=O
11
< 5 lim
·m _ 239
f3=6~ y=5 ll - 120
y > 5 lim = +oo
J;
{3,
{y
y < 3
l
f3i=~l ~ y=3
y>3
7 .1.2
=o
lim
lim = f3 - 161
{3 >
{f3 <
161
11
6
lim = +oo
lim = -oo
Studio del grafico di una funzione
ESERCIZIO 7 .18
Asintoti obli~ui
•
Stabilire quali delle seguenti funzioni ammettono asintoto obliquo per x -+
e determinarli, nel caso esistano:
<D f(x) = x
+ J 4x 2 + x;
® f(x) = [1n(1
+ v'ex -x)J2;
@ f(x) =
©
2x:
: x3Jx;
f(x)=(x+1) J1+~ .
+oo,
216
Capitolo 7
Soluzione
Per verificare se la funzione
cosa si calcola
f
lim f(x) = {
x-+oo X
abbia un asintoto obliquo per x
!oo
l
O
m =!= O
--+
+oo, per prima
non c'è asintoto obliquo,
possibile asintoto obliquo;
nel caso che il limite valga m (ossia: se è possibile la presenza di un asintoto
obliquo), si calcola
il
± oo
lim (f(x) - mx)=
{ q
x-+00
}
non c'è asintoto obliquo,
y = mx
+ q è l'asintoto obliquo.
Osserviamo inoltre che, poiché
lim f(x)
x-+oo X
= m (=/=O)
,,..,, mx,
!(x ) x-+oo
allora stabilire il comportamento asintotico di f(x) per x
verificare la presenza di un asintoto obliquo. Inoltre, se lim 1
--+
<;)
+oo è utile per
= Osi dice che la
crescita di f è sublineare, mentre se lim f~x) = ±oo si dice che la crescita di f è
superlineare. Il grafico di una funzione sublineare rivolge la concavità verso l'asse
x, come ad esempio y = lnx o y = ,./X, il grafico di una funzione superlineare
rivolge la concavità verso l'asse y, come ad esempio y = ex o y = x 2 . Nella
figura, le funzioni in tratto più marcato sono sublineari, quelle in tratto più sottile
sono superineari (sempre per x --+ +oo).
© Poiché per x--+ +oo abbiamo che x + J4x 2 + x,,..,, 3x, è possibile che vi
sia un asintoto obliquo, calcoliamo allora lim(f(x) - 3x):
lim (x
x-+oo
+ J 4x 2 + x -
e pertanto la retta y = 3x +
lim ( J 4x 2 + x - 2x)
x-+oo
2
J4x +x+2x]
= moltiplicando per -;::::::::;~=-[
J 4x2 +x +2x
X
1
lim
=
x-+oo J4x2 + x + 2x
4'
3x) =
! è l'asintoto cercato.
Calcolo differenziale e applicazioni
@
Per x ---+ +oo abbiamo che f(x),....., 2x, è nuovamente possibile che vi sia un
asintoto obliquo, calcoliamo allora lim(/(x) - 2x):
. (2x +x.JX
2
hm
x-+oo
X
+3
- 2x
)
=
2x +x.JX - 2x(x +3)
+
x.j.X-6x
=+oo,
X+
2
.
lim
x-+oo
=.
hm
x-+oo
@
217
3
X
3
e quindi non c'è asintoto obliquo per x ---+ +oo.
Poiché
lim
x-+oo
[ ln(l
+ Jex -
2
x)J
-=--~~~~~-=-=+oo
X
(infatti [m(l + Jex - x) r,.....,
© Si vede immediatamente che
lim
x-+oo
2
x4 ),
non vi è asintoto obliquo.
(x+1)J1+~
= 1,
X
è quindi possibile la presenza di un asintoto obliquo, abbiamo poi
lim
x-+oo
[cx+1)J1+~-x] = x-+oo
lirn [x(J1+~-1)+J1 +~]
X
X
= (poiché [(1
=
e la retta y = x
lim
x-+oo
+ D)a -
X
l]
0
~ 0 aO J
[x· ~ + J1 + ~] = 4,
X
X
+ 4 è l'asintoto cercato.
robabile
ESERCIZIO 7. 19
Sulla base del comportamento asintotico della funzione in corrispondenza dei
punti ove è infinitesima o infinita, disegnare un grafico probabile per ciascuna
delle seguenti funzioni:
© f(x) =
~xs -x3
JX+1
.1
® f(x) =e x;
® f(x) = x In x.
218
Capitolo 7
Soluzione
<D Osserviamo prima cli tutto che f è pari: il su grafico sarà simmetrico rispetto
all'asse delle ordinate. Per quanto riguarda il dominio di f, la positività del
radicando (x 2 - x 4 :::: O) implica Tf = [- 1, 1], inoltre f è continua su
tutto Tf. Notiamo che f si annulla sex = O, ±I; grazie alla simmetria della
funzione pari, possiamo studiare il comportamento asintotico di f solo per
le x positive, ossia solo per x --+ 1- ex --+ o+, abbiamo
f(x) x~+ x,
J(x)
x-+1rv
r;--
2vl-x,
concludiamo allora che in 1 la funzione si annulla con tangente verticale,
mentre la funzione vicino all'origine si comporta come y = x .
y
1
X
Ricorrendo alla simmetria, possiamo allora dire che in x = ± 1 la funzione si
annulla con tangente verticale, mentre in x = O f presenta un punto angoloso, in analogia con lx I. Compatibilmente con queste informazioni, il grafico
di f sarà allora il seguente:
y
y = f(x)
1
- 1
@
X
-Anche in questo caso f è pari. Raccogliendo x 4 , si ha f(x) = x 2 .JI - x2 .
Come nel caso precedente, Tf = [- 1, 1), f è continua su tutto [-1, 1] e
sempre positiva, tranne in x = - 1, x = O e x = 1 ove si annulla. Il
comportamento asintotico in x = - 1, O, 1 è
f(x) x~-1
2.Jl+x,
J(x)
x-+l
rv
r;--
2vl-x,
come al punto <D , in x = ± 1 la funzione si annulla con tangente verticale,
mentre nell'origine il suo grafico ricalca quello cli y = x 2 :
y
1
X
Calcolo differenziale e applicazioni
Compatibilmente con queste informazioni il grafico di
Y
Y
=f
f
219
sarà aJlora
(x)
f è pari, notiamo che TI = R. Nuovamente, limiteremo i
nostri studi a x ~ O. La funzione è positiva se lx I > I, negativa se O <
lx I < 1 e si annulla in x = O, ± 1. Occorre alJora studiare il comportamer;ito
asintotico di f per X ---+o+, per X ---+ 1 e per X---+ +oo:
@ Osservato che
f(x) x~+ -lf;i.,
f(x) x~i .V2(x -1),
-V?,
= O la funzione arriva "dal basso", con tangente verticale, in x = 1 la
f(x) x--+-_foo
in x
funzione cambia segno, presentando un flesso a tangente verticale, per x ---+
+oo la funzione tende a +oo più rapidamente di y = x, e quindi con la
concavità rivolta verso l'alto, ossia
y
X
il grafico di f, compatibile con queste informazioni, è allora
y
y =
f
(x)
X
© La funzione non è né pari né dispari, occorre pertanto studiarne il comportamento su tutto T1 = (-1, +oo): f è continua su T1 e si annulla in x = O
ex = I, inoltre è negativa in (O, 1) e positiva in (-1, O) U (1 , +oo), infine
f tende a +oo se x ---+ -1 + e x ---+ +oo. Dallo studio asintotico di f in
x =O, ± 1 e per x---+ +oo, osservato che
~x5-x3
f(x)
= .JX+1 =
x~x-l~x+l
.JX+1
220
Capitolo 7
si ricava:
f(x) x-_::l +
3'2
f(x) x~O
Y L.
~X + 1'
x~l ~'
f(x)
f(x) x-,.:;-oo
-X,
if;?;
pertanto: f ha un asintoto verticale per x --+ - 1+, si comporta come y =
- x nell'intorno dell'origine, f cambia segno in x = 1, in corrispondenza
di un flesso a tangente verticale, infine f tende a +oo per x --+ +oo, più
rapidamente di y = x, e quindi con la concavità rivolta verso l'alto:
\
y
-1
X
il grafico di f, compatibile con queste informazioni, è allora
y =
Y
f
(x)
1
- 1
@
X
La funzione non presenta simmetrie, è definita in Tf = JR \ {O} e sempre
positiva. Occorre studiarne il comportamento per x --+ - oo, x --+ o-, x --+
o+, X --+ +oo, abbiamo
lim
x-+oo
f (x) =
I+ ,
lim f(x) = 1-,
x--oo
pertanto la retta y = 1 è un asintoto orizzonale per f(x); inoltre notiamo che
per x --+ +oo la funzione si avvicina a y = 1 da sopra, mentre per x --+ -oo
si avvicina da sotto. Vicino a x = O abbiamo
lim f(x) = +oo,
x-o+
lim f(x)
x-o-
=o+,
e quindi l'asse delle ordinate è un asintoto verticale per f quando x --+ o+,
mentre per x --+ o- la funzione si dirige verso l'origine: poiché per ogni
Calcolo differenziale e applicazioni
valore di a abbiamo
221
ex.l
=O,
xa
la funzione f (x) è un infinitesimo, per x ---+ o-, superiore ad ogni potenza di
x, e pertanto f si avvicina all'origine con tangente orizzontale; in definitiva
il grafico di f compatibile con queste informazioni è
lim -
X--*0-
Y
Y=
f
(x)
X
® La funzione è definita e continua in Tt = (O, +oo), è positiva sex > 1 e
negativa se O < x < 1, abbiamo
lim f(x) =O,
lim
X--*+OO
X--*O+
f(x) = +oo;
dato che f ---+ O quando x ---+ O, è necessario sapere se la funzione arriva
nell'origine con tangente verticale, orizzontale o obliqua, e poiché
f(x) =
lim
X--*O+
X
lim lnx = -oo,
X--*O+
la funzione è un infinitesimo di ordine minore di 1, e quindi si avvicina
all'origine con tangente verticale; allo stesso modo, poiché
la funzione all'infinito è un infinito di ordine maggiore di 1, e pertanto tende
a +oo con la concavità rivolta verso l'alto. Osserviamo poi che f(l) = O e
per x---+ 1
f(x)= xlnx=xln ( l+(x - 1))
x-1--*0
"'
(x - 1),
e pertanto, quando f attraversa l'asse delle ascisse, si comporta come la retta
y = x - 1; riuniamo tutte queste informazioni in un diagramma:
y
1
X
222
Capitolo 7
Il grafico di f, compatibile con queste informazioni, è allora
Y
Y = f(x)
1
X
ESERCIZIO 7 .20
•
Studio di una funzione
Studiare le seguenti funzioni :
x2 - x - 2
<D f(x) = x3e-x;
@
f(x) =
® f(x) = v'x 2 - 4x - x ;
@
f(x) =
X
2
+X -
2;
x3 1n lxl;
(per la funzione del punto @ , evitare lo studio della derivata seconda, disegnandone il grafico nell'ipotesi che i flessi siano il numero minimo compatibile con le
informazioni ricavate).
Soluzione
Con la locuzione "studiare una funzione", si intende abitualmente eseguire tutti i conti che possono essere necessari per disegnare con sufficiente precisione il
grafico di una funzione, tenendo presente che alcuni aspetti di tale studio sono
obbligatori, altri solamente consigliati, e che a volte è possibile ricavare la stessa
informazione in diversi modi, pertanto può essere conveniente scegliere la strada
più facile, oppure può essere conveniente usare questa diversità di modi per effettuare controlli incrociati sulle informazioni ricavate. Osserviamo anche che, in
generale, il grafico di uno studio di funzione è più una "caricatura" che non una
"fotografia" del reale grafico di f, fatta allo scopo di mettere in evidenza caratteristiche che, qualora - magari - il disegno fosse in scala, non potrebbero essere
colte. Gli ingredienti tipici di uno studio di funzione sono:
• individuare il campo di esistenza Tf della funzione f oggetto dello studio
(obbligatorio),
• verificare la presenza di eventuali simmetrie (funzione pari, dispari, periodica... ), che possono aiutare a snellire i conti (cosigliato, ove possibile),
• stabilire il segno della funzione (non sempre con carta e penna è possibile:
è opportuno solo se i conti non sono troppo onerosi), determinare, se esiste,
l'intersezione con l'asse delle ordinate (calcolando /(O)),
• studio del comportamento di f alla frontiera di Tf (calcolo dei limiti, obbligatorio),
• studio asintotico del comportamento di f ove è infinitesima o infinita (non
obbligatorio, può però servire a prevedere la presenza di massimi, minimi,
flessi. .. ),
• calcolo di/', confronto di Tf' con T1 (obbligatorio),
Calcolo differenziale e applicazioni
223
• studio dei punti di non derivabilità (obbligatorio, se sono presenti),
• studio del segno e degli zeri di f', individuazione di eventuali massimi, minimi, o flessi a tangente orizzontale (obbligatorio),
• calcolo di f", confronto di TI" con TJ e Tf' (non sempre obbligatorio),
• individuazione dei punti di Tf ove f" non è definita (obbligatorio, se sono
presenti),
• studio del segno e degli zeri di f", studio di concavità e convessità di f (non
sempre obbligatorio, a volte, nel caso che l'espressione di f" sia particolarmente ostica, è ammesso disegnare il grafico di f senza lo studio di f", nell'ipotesi che concavità e flessi siano il minimo compatibile con le informazioni
di cui siamo già in possesso).
<D Sia f(x) = x 3 e-x:
campo di esistenza: la funzione è definita e continua su tutto IR;
eventuali simmetrie: non presenti;
segno di/: poiché f è il prodotto di e-x, che è sempre positivo, per x 3 ,
possiamo dire che
j(x) > 0 X> 0
f(x) = 0 X= 0
{
f(x) < 0 X< 0
comportamento alla frontiera: occorre calcolare i limiti per x
lim
x~+oo
~
±oo:
f(x) =O,
pertanto: per x ~ +oo l'asse delle ascisse è asintoto orizzontale (poiché
f > O, la funzione si accosterà all'asintoto "dal di sopra'', sappiamo già
quindi che per valori grandi di x la funzione avrà la concavità rivolta verso
l'alto);
lim f(x) = -oo,
x~-oo
pertanto: per x ~ -oo la funzione tende a - oo, il fatto che f vada
all'infinito "come un'esponenziale" implica che non può esistere asintoto
obliquo, anzi f avrà la concavità rivolta verso il basso);
comportamento asintotico: del comportamento alla frontiera abbiamo già
detto, osserviamo ~oi che f si annulla in x = O, e che per x ~ O abbiamo che f(x) ,....., x , pertanto nell'origine dev'essere presente un flesso a
tangente orizzontale.
Raduniamo le informazioni fin qui ottenute in un grafico:
y
X
I
224
Capitolo 7
Prima del calcolo delle derivate, poiché la funzione è derivabile quante volte
si voglia su tutto ~. possiamo prevedere che
- in x = Oè presente un flesso a tangente orizzontale (un punto ove f' =O,
senza chef' cambi segno a sinistra e a destra dix =O);
- in (O, +oo) deve trovarsi un massimo (la funzione è crescente per x appena maggiore di zero, decrescente all'infinito, pertanto... );
- tra O e il massimo e tra il massimo e +oo devono trovarsi due punti di
flesso (la funzione ha la concavità verso l'alto sia per x appena maggiore
di zero sia all'infinito, però in corrispondenza del sopracitato massimo f
ha la concavità rivolta verso il basso, si impongono allora due cambi di
concavità).
Continuiamo alJora lo studio di f:
derivata prima: abbiamo f'(x) = (3 - x)x 2 e-x, definita su tutto~;
segno e zeri della derivata prima: poiché e-x > Obasta studiare (3-x )x 2 ,
ottenendo
f'(x) >O x <O, O< x < 3
{
f'(x)=O
f'(x) < 0
x=0,x=3
X> 3
,
come previsto, in x = Otroviamo il flesso a tangente orizzontale, abbiamo
poi individuato l'unico massimo relativo di fin x = 3;
derivata seconda: abbiamo f"(x) = (x 2 -6x+6)xe-x, definita su tutto~;
segno e zeri della derivata seconda: poiché e-x >O basta studiare il segno
di x(x 2 - 6x + 6), ottenendo
j"(x) > 0
f"(x)=O
{
f"(x) <O
+ .j3
x=0,x=3 ±.J3
,
x <O, 3 - .J3 < x < 3 + .J3
0 <X < 3 - .J3, X> 3
pertanto, abbiamo tre flessi in x =O ex = 3±.J3, f è convessa in (O, 3.J3) e in (3 + .J3, +oo), f è concava in (- oo, O) e in (3 - .J3, 3 + .J3).
Il grafico di
f
è allora
y
3- -../3 3 3+-../3
X
Calcolo differenziale e applicazioni
225
x 2 -x -2
:
x 2 +X -2
campo di esistenza: poiché x 2
Sia f(x) =
+ x - 2 =O implica x = 1, -2, la funzione
è definita e continua su TJ = (-oo, -2) U (-2, 1) U (1, +oo), in TJ è
anche indefinitamente derivabile;
eventuali simmetrie: non presenti;
segno di f: risolvendo la disequazione fratta ;~~~=; > Ootteniamo
{
f(x)>O
x<-2,-l<x<l,x>2
f(x)=O
f(x) < 0
x=-l,x = 2
- 2 <X< - 1, 1 <X< 2
,
inoltre f (O) = 1;
comportamento alla frontiera: occorre calcolare i limiti per x
---+
±oo, per
x---+ -2± e per x---+ 1±:
lim
=
f(x)
l,
X4±00
pertanto: per x ---+ ±oo la retta y = 1 è asintoto orizzontale;
f(x) = +oo,
lim
X4-2-
f(x) = -oo,
lim
X4-2+
pertanto la retta x = - 2 è asintoto verticale: a sinistra di -2 la funzione
tende a +oo, a destra di - 2 la funzione tende a - oo;
lim f(x) = +oo,
X41-
lim f(x) = - oo,
X4}+
pertanto la retta x = 1 è asintoto verticale: come sopra, a sinistra di 1 la
funzione tende a +oo, a destra di l la funzione tende a -oo;
comportamento asintotico: rimane da considerare il comportamento di f
nei punti ove è infinitesima, ossia per x ---+ - 1 e x ---+ 2, abbiamo
f(x)
e quindi
obliqua.
f
X4-}
"'
3
X42
2(x + 1),
f(x) "'
3
4cx - 2),
attraversa in entrambi i casi l'asse delle ascisse con tangente
Raduniamo le informazioni fin qui ottenute in un grafico:
y
J
J
1
- 1
-2
2
I
!
X
226
Capitolo 7
Prima del calcolo delle derivate, poiché la funzione è derivabile su Tf, ecco
cosa possiamo prevedere:
- nulla impone a priori la presenza di massimi o minimi;
- vi è con sicurezza almeno un flesso, poiché tra -2 e I vi è un cambio di
concavità.
Continuiamo allora lo studio di
derivata prima: abbiamo
f:
J'(x) = (2x - l)(x 2 + x -2) - (x 2 - x -2)(2x +I) =
2x 2 + 4
(x 2 + x -2)2
(x 2 + x -2) 2 '
che è definita e continua su Tf;
segno e zeri della derivata prima: si vede che f'(x) > O per ogni x, pertanto f è crescente in ciascun intervallo che forma Tf;
derivata seconda:
3
J"(x) = _ 4x + 24x + 8,
(x 2 +X - 2) 3
definita e continua su Ti;
segno e zeri della derivata seconda: l'esercizio non imponeva di risolvere
l'equazione di terzo grado al numeratore di f"(x), pertanto nell'ipotesi
che i flessi siano in numero minimo compatibile con le nostre assunzioni, dichiariamo la presenza di un flesso in .X E (- 2 , 1); la funzione avrà
la concavità rivolta verso l'alto in (-oo, -2) e in (.X, 1), avrà invece la
concavità rivolta verso il basso in (- 2, .X) e in (1, +oo)j.
Il grafico di
f
è allora
y
y
=f
(x)
-1
-2
@
Sia f(x) = .Jx 2
-
2
X
4x - x:
campo di esistenza: la funzione è definita e continua su Tf
[4 , +oo) ;
eventuali simmetrie: non presenti;
(-oo, O] U
j Con qualche conto, si trova che f"(x) =O solo sex = Vi - Z/4; in altremativa possiamo
osservare che il numeratore ha un solo zero, poiché strettamente crescente.
Calcolo differenziale e applicazioni
segno di f: risolvendo la disequazione irrazionale .Jx 2
niamo
j(x) > 0 X< 0
f(x) = 0 X= 0 ,
{
f(x) < 0 X> 4
-
227
4x - x > O, otte-
comportamento alla frontiera: occorre calcolare i limiti per x -+ ±oo, e
valutare f(O) e f(4):
lim j(x) =O,
x-+oo
pertanto: per x -+ +oo l'asse delle ascisse è asintoto orizzontale (poiché
f < O, la funzione si accosterà all'asintoto "dal di sotto", sappiamo già
quindi che per valori grandi di x la funzione avrà la concavità rivolta verso
il basso);
lim f(x) = +oo,
x--oo
pertanto: per x -+ -oo la funzione tende a +oo, poiché per x -+ - oo è
f(x),...., -2x, potrebbe essere presente un asintoto obliquo; infine f(O) =
o, f(4) = -4;
comportamento asintotico: per quanto riguarda la presenza di un asintoto
obliquo per x -+ -oo, osserviamo che
lim
x--oo
f(x) = -2
X
lim (f(x)
x--oo
'
+ 2x) =
2,
pertanto y = -2x + 2 è asintoto obliquo per x -+ -oo; inoltre j è
infinitesima per x -+ o- e f(x) ,...., 2,.;:::i, e quindi f arriva nell'origine
con tangente verticale.
Raduniamo le informazioni fin qui ottenute in un grafico:
\ y
''
4
X
Prima del calcolo delle derivate, osserviamo che, a causa della presenza della radice quadrata, la funzione è derivabile in Tf' = (-oo, O) U (4, +oo),
mentre in x = O e in x = 4 avremo punti a tangente verticale; è comunque
possibile affermare che:
- nulla impone a priori la presenza di punti a tangente orizzontale;
- a priori f potrebbe avere in tutto Tf concavità rivolta verso il basso.
228
Capitolo 7
Continuiamo allora lo studio di f:
derivata prima: abbiamo
f' (x) =
x- 2
./x2 - 4x
x - 2-
..Jx 2 -
4x
- 1 = ------;:=
==--2
./x - 4x
che è definita e continua su Tf';
segno e zeri della derivata prima: risolvendo la disequazione irrazionale
relativa al numeratore si vede che
f 1 (X)
>
X> 4
Ù
f'(x) =O
1
(X) < Ù
mai
{f
X< 0
inoltre
lim f'(x) = -oo,
lim
x-+o-
x-+4+
f' (x)
= +oo;
pertanto f è decrescente in (-oo, O], in x = O abbiamo un punto a tangente verticale, mentre f è crescente in (4, +oo), e in x = 4 abbiamo
ancora un punto a tangente verticale;
derivata seconda:
4
j ·ll( )
x = - (x2 - 4x )3 ,
J
definita e continua su TJ" = TI';
segno e zeri della derivata seconda: si vede immediatmente che f"(x) <
O per ogni x, quindi su tutto Tf la funzione rivolge la concavità verso il
basso.
Il grafico di f è allora
\Y
y
=f
(x)
~
4
X
© Sia f(x) = x 3 ln lxl:
campo di esistenza: la funzione è definita e continua su T1 = (-oo, O) U
(O, +oo), ivi è anche derivabile infinite volte;
eventuali simmetrie: la funzione è dispari, quindi
studieremo la sua restrizione
f
solo per x > O;
Calcolo differenziale e applicazioni
segno di
J:
229
il segno di x 3 ln x è il segno di 1n x :
f(x) > 0 X> 1
f(x) = 0 X= 1
{
f (X) < 0 0 < X < 1
comportamento alla frontiera: occorre calcolare i limiti per x -+ +oo, e
per x-+ O:
lim
x~+oo
f (x) =
+oo,
pertanto: per x -+ +oo la funzione tende a +oo, più rapidamente di x 3 e
quindi possiamo escludere la presenza di un asintoto obliquo;
lim
x~o+
f (x) = O,
pertanto: per x -+ O la funzione può essere prolungata con continuità
ponendo (O) = O;
J
comportamento asintotico: in x = 1 abbiamo f (x) ,....., (x - 1), mentre
per X -+ Q+ la funzione è infinitesima di ordine maggiore di 1, quindi j
arriva nell'origine con tangente orizzontale.
Raduniamo le informazioni fin qui ottenute in un grafico:
y
)
X
Prima del calcolo delle derivate, poiché
(O, +oo) possiamo affermare che:
J è continua e derivabile in Tl
=
- è necessaria la presenza di un minimo in (O, 1);
- tra x = O e il minimo deve comparire un flesso, poiché per valori di x
prossimi a Ola funzione ha la concavità rivolta verso il basso.
Continuiamo allora lo studio di
f:
derivata prima: abbiamo
f'(x) = x 2 (I
che è definita e continua su (O, +oo);
+ 3lnx),
230
Capitolo 7
segno e zeri della derivata prima: risolvendo la disequazione si vede che
f'(x) >O x > e- 113
f'(x) = O x = e- 1/ 3
{ f'(x) <O O< x < e- 1/ 3
,
quindi j è decrescente in (O, e- 113 ) , in x = e- 1/ 3 abbiamo il minimo,
mentre j è crescente in (e - 1/3, +oo);
derivata seconda: abbiamo
f"(x) = x(S
+ 6lnx) ,
definita e continua su (O, + oo);
segno e zeri della derivata seconda: si vede immediatamente che
f"(x) >O x > e- 5 16
f"(x) =O x = e- 516
{ f"(x) <O O< x < e- 516
J
,
pertanto: rivolge la concavità verso il basso in (O, e- 516 ) , in x = e- 516
si trova il punto di flesso, rivolge la concavità verso l'alto in (e - 516 , + oo).
Il grafico di
J
j è allora
y
Y
= f (x)
X
e quello di f, ottenuto per riflessione rispetto all'origine:
Y
y =
f
(x )
X
Calcolo differenziale e applicazioni
231
ESER~
Con un foglio di cartoncino di 80x50 cm vogliamo costruire una scatola (senza
perchio), tagliando dagli angoli quattro quadrati. Qual è la massima capacità
tlirlla scatola così ottenuta?
Tra tutti i trapezi isosceli inscritti in una semicirconferenza di raggio r, deterinare quello di area massima e quello di perimetro massimo.
Soluzione
In generale, nel trattare i problemi di questo genere, occorre innanzitutto individuare una grandezza da usare come variabile x, ed esprimere poi la quantità che
intende massimizzare (o minimizzare) come funzione dix, al variare dix in un
certo dominio D.
X Scegliamo come variabile x la lunghezza (in cm) dei tagli che faremo:
1----'············································......_---i
f50-2x
80-2x
,
1----;!............................................
,..____
X
X
X
X
Il volume V della scatola sarà allora
V= f(x) = x(50- 2x)(80 - 2x) = 4x(x 2
-
65x
+ 1000).
Il nostro scopo è trovare il massimo di f(x) quando x e [O, 25]. Poiché f è
continua su [O, 25] e derivabile su (O, 25), gli unici punti di massimo e minimo
possono essere gli estremi dell'intervallo stesso e gli (eventuali) punti in cui
f'(x) = O; osserviamo inoltre che /(O) = /(25) = O e che f(x) > O
se O < x < 25, quindi x = O e x = 25 sono i due minimi assoluti della
funzione, mentre il massimo assoluto di f dovrà necessariamente trovarsi in
(O, 25), e la sua derivata sarà nulla. Il calcolo di f' implica
f'(x) = 4(3x 2
-
130x
+ 1000) =O
~
X= 10
{ X - 100
-
3
Solo x = 10 cade nell'intervallo (O, 25), pertanto è il massimo cercato; a
conferma di questo fatto, si può osservare che
f'(x) > 0 0 <X < 10
{ f 1 (X) < 0 10 <X < 25 .
In corrispondenza dix = 10 abbiamo /( IO) = 18000, quindi il massimo
volume della scatola è Vmax = 18000 cm3 ; un grafico qualitativo di f è il
seguente:
232
Capitolo 7
Y
y =
f
(x)
10
@
25
X
Prendiamo come variabile {} l'angolo tra la base ed il raggio spiccato verso il
vertice superiore destro:
ovviamente {} E [O,~]; la base maggiore del trapezio è bM = 2r, la base minore è bm = 2r cos {}, l'altezza è h = r sin{} ed il lato obliquo è
l = r ,,/2 - 2 cos {}, pertanto l'area ed il perimetro del generico trapezio sono
rispettivamente
A
= (bm+bM)·h = f({}) = r 2 (1 +
.
·
cos {}) sm {},
2
{}
E
[
O, n]
2
e
P
= bm +bM+2l = g({}) = 2r(l+cos {}+,,/2- 2cos {}),
{}E
[O,~ ].
Cominciamo allora con il trovare i punti di massimo e minimo di f: f è
continua su [O,~] e derivabile in (O,~), inoltre f'({}) = r 2(cos {} +cos 2 {}sin2 {}),osserviamo che
cos {} + cos2 {} - sin2 {} = 2 cos2 {} + cos {} - 1,
pertanto (trattando quest'ultima formula come un polinomio di secondo grado
in cos {}) troviamo che
j' ({}) >O
O<{} < n
!'({})=o
{} = -
n
!
!'({}) <o
3
n 3 n
- < {} < 3
,
2
e possiamo concludere che l'area è massima se{} =
di f è
f, un grafico qualitativo
233
Calcolo differenziale e applicazioni
y=f(~)
y
7r
7r
3
2
~
f
e l'area massima è Amax = J(3-) = 3 r 2 .
Passiamo allo studio del perimetro, cioè di g('&) : calcolando la derivata troviamo
'(·o.)
g v
=-
. .o.
sm v
+
sin iJ
,J2- 2cos iJ
=
1 - ,J2 - 2cos iJ . .o.
sm v,
,J2 - 2cos iJ
quindi
o o < i} < Jr
Jr
3
g' (i}) = o i} = .
Jr
3
Jr
g' (i}) < o - < i} < 3
2
g' (i}) >
!
Concludiamo che anche il perimetro è massimo se iJ = ~, un grafico qualitativo di g è
y
y
= g(~)
1T
1T
3
il perimetro massimo è Pmax
7 .2
22
2
~
= g(~) = Sr.
Esercizi·proposti
Calcolare, ove è definita, la derivata delle seguenti funzioni:
3
® f(x) = xs
e
®f(x)=-·
2
x
® f(x)=
© f(x) =
+ l'
X
../x2 + 1
;
8
2
+ -x3 - -;
x2
../2 + x 2 ;
[X="f
®/(x) =y ~;
®f(x) = [
@f(x) =
1]
2
~
4
;
J1 + J1 + .JX.
234
Capitolo 7
[<D f'(x)
= I5x 4 + 24x2 [ @ f'(x)
4x; @ f'(x)
= -~ - ~ + ~]
=-
© f'(x)
[
[®f'(x)-
[
2ex .
(x2+t)2,
@ f'(x) = 4
_ x- ]
.J2+x2
3
2
x2+6x+I
-I ]
x+3
(x+3)2
J
1
®f'(x) -- (x+l).JxLl
]
1
·
.,j(x2+J)3'
@j'(x)
[x
=
=
I
8
JI +.,/1+./X.J I +./X./X
]
23 Calcolare, ove è definita, la derivata delle seguenti funzioni:
<D f(x)
= cos(3x) -
© f(x)
= Jrcosx2 ;
3 cos 3 x;
@ f(x)
/'?\
\il/
= Ch (nx2 );
@ f(x) = sin(tan(x));
f(x) __ ln 1 - si.nx ·, ®
6 f( X )
I+ smx
= 3 sin(3x) + 9(cos x)2 sin x;
[<D f'(x)
@ f'(x)
= tanx -
I .
-cosx
= 2nxSh (nx2 )]
[@f'(x) = ~~';:;P; © f'(x) = -2x sin(x )ncosx 1n n]
1
[® f'(x) = - co;x; ® f'(x) = c~:4":]
2
2
@
f'(x) = 1]
24 Calcolare, ove è definita, la derivata deUe seguenti funzioni:
<D f(x) = arccos(e-x\
@
f(x) = arctan x
+ arctan -I ;
X
@ f(x)
= sin(arcsin(x)).
[ © J'(x) =
2xe-x2
;
.J1-(rX2)2
@ f'(x ) =O;
25 Determinare i valori da attribuire ai parametri presenti affinché le funzioni qui
elencate siano continue e derivabili su tutto ~:
<D f(x) = {ex cos(2-:_)
ctX
+ {3e
X
0
X< 0'
X :::
@
f(x) = {(1 + ,vx)Chx
yx +o
(© a
= 2, f3 = 1;
@
x::: O.
x <o
impossibile]
26 Determinare il valore massimo ed il valore minimo assoluto assunto da ciascuna
delle seguenti funzioni nell'intervallo specificato.
<D f(x)
= x(x2 -
1),
x E [-3, 2];
@f(x)
= cosx +xsinx,
x
E
[O,n].
[<D max = 6 min = -24· @max=!!.2' min = -1]
'
t
Calcolo differenziale e applicazioni
235
rT Calcolare i seguenti limiti (può essere utile applicare il teorema di de l'Hopital,
oppure gli sviluppi di MacLaurin):
a\
w
lim
X
x--+O
2
cos X - sin X
·
x 2 sin 2x '
® lim
x--+O
xe 2 x -Shx
·
x2 ln(l + 3x)'
eShx _ex
@
lim
x--+O
.
+ 2)(arctanx)3
[© - i; ® ~~; @ 1i]
(x
28 Calcolare i seguenti limiti, al variare dei parametri a e {3:
CD lim xcos2x-x+2x 3
x--+o+
®
xa
< 5, lim = ~se a= 5, lim = +oo se a > 5]
[© lim =O se a
a <2
3
® f3 = 2 -==*
r
29
{a
= 2
a <
_ 1
lim =O
·
a>2
lim ex-Ch(2x)~sinx+f3x 2 .
x--+O+
xa sm 2x
1
l'.m = 6
,
hm = +oo
/3 -:/;
lim = O
2(3-3
. _
a - 1 1tm -
3
2 -==*
{
a> 1
1/3 >
f3
]
4
l
lim = +oo
;
< 2
lim = -oo
Studiare le seguenti funzioni:
© f(x) = x 2 ; /x - 1;
® g(x) = (1
+ x) ln2 (1 + x);
[ © max in x = O, min in x =
2
@ h(x) = e-lx - 1 I.
~,flessi in x =
I,
12
~!./2J
[®max inx = 1 ~;2,min inx =0, flessoinx =
[® max in x =
Y
± 1 (punti angolosi), min in x = O]
y
y = f(x)
X
X
Y
l~e]
y = h(x)
X
Calcolo integrale
e applicazioni
-- .
8.1
- .-
~
-
~
-
. . -;--
Esercizi svolti e richiami di teoria
ESERCi:Ì:iÒ, 8. f
.
•
Integrali indefiniti e definiti
Spiegare il significato dei simboli
f
sapendo poi che 2xe 2 siox(l
<D
f
2xe 2 siox(l
e
f(x) dx
1b
f(x) dx;
+ x cosx) è la derivata di x 2 e 2 sinx, calcolare
+ xcosx) dx
e
rr/ 4
@
Jo
2xe 2 siox(l
+ xcosx) dx.
Soluzione
Con il simbolo di integrale indefinito
f
f(x) dx
si indicano (Teorema fondamentale del Calcolo) tutte le primitive di /(x)a, se
F(x) è una qualsiasi primitiva di f(x), possiamo scrivere
I
f(x) dx = F(x)
+e
ove C è una costante arbitraria. Invece, il simbolo di integrale definito
1b
f(x) dx
a f(x) è una funzione continua in un intervallo, si dice primitiva di f(x) in quell'intervallo una
qualsiasi funzione F(x) tale che F'(x) = f(x) per ogni valore dix; una funzione continua ammette infinite primitive, che differiscono tutte per una costante (cioè se F1 e F2 sono due primitive
di / , allora F1 = F2 +C.
238
Capitolo 8
corrisponde al valore F(b) - F(a) (anche in questo caso, F(x) è una qualsiasi primitiva di f(x)); in generale, allora, per calcolare un integrale definito,
possiamob:
• determinare una primitiva della funzione integranda, considerando l'integrale
indefinito corrispondente,
• valutare la differenza della primitiva nei due estremi.
© Il testo del problema ha fornito già una primitiva della funzione integranda,
per cui
@
f
2xe2sinx(l +X cosx) dx= x2e2sinx +C.
Si tratta di valutare x 2 e 2 sinx quando x = ~ex =O, quindi
,~
Jo
2xe 2 sinx (1
= (~)
•
ESERCIZIO 8.2
lnte
+ x cos x) dx =
2
e2sin2f _o2e2sinO
[ x 2e 2 sinx ]
~
0
= 7;e.J2.
I immediati
Calcolare i seguenti integrali:
©
@
@
J(s +l7x 3 -7~-~+ -.vxs-)
J + + +)
3
dx·
'
X
(cosx
f (ex-
3sinx
2Sh x
+
COS
2
.Jl -
dx;
X
x2
3
1 +X 2
)
dx .
Soluzione
Abbiamo già osservato che per calcolare un integrale è necessario determinare
una primitiva della funzione integranda, anzi: la difficoltà dell'esercizio risiede
principalmente in questo. Ovviamente la situazione più semplice si verifica nel
caso in cui la funzione integranda sia proprio una delle derivate che compaiono
nella "tabella delle derivate'', reinterpretiamo allora questa tabellac, sapendo che
il nostro scopo si è ora invertito rispetto all'originario calcolo delle derivated
b Questa metodologia è utilizzabile ogniqualvolta sia agevole "riconoscere" una primitiva,
vedremo più avanti situazioni specifiche in cui conviene invece scegliere strategie alternative.
e Nella tabella, F è una primitiva di f.
d Attenzione, nel caso di f(x) = ~abbiamo indicato in un'unica scrittura due primitive: poiché
f dev'essere continua sull'intervallo di integrazione si verifica che In x è la primitiva di f sex > O,
mentre ln{- x) è la primitiva di f sex <O.
239
Calcolo integrale e applicazioni
/:
K (costante)
F:
Kx
1
xa, (a =J -1)
eX
cosx
sinx
ex
sin x
- cosx
X
1 xa+l
-a+l
/:
1
cos2 x
F:
tanx
ln !xl
1
1
+x 2
Jl - x 2
arctan x
arcsinx
1
Chx
Shx
Shx
Chx
1
Ch 2 x
Thx
Inoltre, l'integrazione è lineare, cioè (se a e f3 sono costanti e f e g due funzioni)
f (af(x) + fJg(x)) dx= a Jf(x) dx+ f3 f g(x) dx,
cosa che ci permette di "spezzettare" l'integrale di una somma in integrali più
semplici.
<D Tutti gli addendi che figurano nella funzione integranda sono potenze di x,
poiché (usando la tabella delle primitive)
primitiva di x 3
primitiva di 5 : 5x,
-VX'4 = x ~ e
e inoltre, osservato che
. ..
pnIDltlVa
d" s14
1 V X ..
4
~=
8-vxS
1 2
5 2.
= 9 X 3" = - X s '
9
5
x4
:
· · · d.i
pnmtttva
,
1
-
= 1n Ix I
X
x-i,
. ..
.
1
1
Vx5
~
1
8
3
Pflffiltlva d1 - - = -x8 = -x8
3
allora
3
3 -7~-~+ 5
+
17x
-)
/(
X
=
J
5 dx
+ 17
f
VxS°
3
x dx - 7
dx
JZfx4
dx - 8
f ~ dx + J~ dx
3
5 2
8 1
x4
= 5x + 174 - 79x3' - 8 ln lxi+ 33x 8 +e
= 5x +
17
4
x4 -
35 srn9
sr-;;
-vx -8ln lxl + 8-vx3 + C.
9
® Nuovamente, usando la tabella delle primitive,
primitiva di cos x
= sin x ,
primitiva di sin x = - cos x ,
1
primitiva di - - = tan x,
2
COS X
'
240
Capitolo 8
combiniamo tutti i risultati:
I( +
cosx
=
+~)dx
COS X
3sinx
J
cos x dx + 3
= sin X
3 COS X
-
J
+4
sin x dx
J~
COS X
dx
+ 4 tan X + C.
@ Anche in questo caso, la tabella delle primitive fornisce
primitiva di Sh x = Ch x ,
primitiva di ex = ex,
1
primitiva di
= arcsin x,
.J1 -
primitiva di
x2
1
I+x 2
= arctan x ,
e quindi
I(
ex - 2Shx
=
f
)
+~
I_ x2 1 + x 2
ex dx - 2
= ex - 2Ch X
ESERCIZIO 8.3
3
•
f
Sh x dx
+2
+ 2 arcsi n X -
dx
f .JI - x
1
3 arctan X
dx - 3
2
f
1
1 +x 2
dx
+ C.
lnte~i riconducibili a integ!!!i im_m_ed
_ ia_ti_ _ _ _ _ __
Calcolare i seguenti integrali:
©I
e-2xdx;
@
J
cos3x dx;
@
I
2X
X
+I
dx.
Soluzione
Vi sono casi molto frequenti in cui la funzione integranda non appare esattamente
com'è nella tabella delle primitive, e tuttavia con un poco di "occhio clinico" è
possibile determinarne la primitiva.
© Le funzione integranda è e- 2x, poiché si tratta di un esponenziale, con ogni
probabilità anche la primitiva sarà dello stesso genere; aggiustando le costanti, abbiamo
_ - 2e -2x
- d (e-2x) -
dx
e quindi
I
e-2x dx =
( -2x) =e -2x ,
- 1 -de
- 2 dx
-~ e -2x +C.
Calcolo integrale e applicazioni
~
241
Sappiamo che una primitiva di cos x è sin x, è ragionevole supporre che nella
primitiva di cos 3x dovrà figurare sin 3x: come prima aggiustiamo le costanti
1 d
d .
- (sm3x) = 3cos3x
dx
e allora
f
- - (sin 3x ) = cos 3x
3 dx
'
cos 3x dx =
l
sin(3x)
+C.
È un caso tipico, che conviene imparare a riconoscere: se la funzione integranda è una frazione in cui il numeratore è la derivata del denominatore, allora la primitiva cercata è il logaritmo del valore assoluto del denominatoree,
anche in questo caso occorre giocare con le costanti:
@
~[ln(x 2 + l)]
dx
=
2
x2
1 d
- -[ln(x 2
2 dx
x
+1
+ 1)] =
X
x2
+1
,
pertantof
I
•
X
2
X
+1
1
2
dx = - ln(x 2
+
1)
+C.
lntegrili definiti di funzioni pari o dispari
su intervalli della forma - a)
--~~~~~~~~~....,..~~~~~~~~~~--
Calcolare i seguenti integrali definiti (ove a > O):
i:
i: (
4
x sin(x
@
M
©
3
)
dx ;
+ e-lxi - xix!) dx.
Soluzione
Osserviamo che se fp(x) è una funzione pari e se fD(x) è una funzione dispari, i loro integrali su un intervallo simmetrico rispetto all'origine possono essere
semplificati: sia a > O, allora
l
a fp(x) dx
= 2 [°
lo
-a
e In generale, se in un dato intervallo
f
f
fp(x) dx ,
f
i:
fD(x) dx = 0 .
è sempre positiva o sempre negativa:
f'(x)
f(x) dx =In 1/(x)I +C.
Possiamo omettere il valore assoluto, poiché x 2
+ 1 è sempre positivo.
242
Capitolo 8
<D Notiamo che la funzione integranda è pari, quindi
l:
(3 + 10x
4
lfx2) dx = 2 fo
-
= 2 [ 3x + 2x 5 -
~ lfx5
J: =
2
(3
2(6
+ 10x 4 + 64 -
lfx2) dx
~ lf32) = 140 -
1
;
lf4.
@ La funzione integranda è dispari, quindi senza conto alcuno concludiamo che
l:
4
x sin(x
3
)
dx = O.
@ La funzione integranda non è né pari né dispari, però l'integrale può essere
suddiviso:
. /3 -5 -+-Shxd x = 1../3 5
- ../3 1 + x
1- ../3 1 + x
2
·
2
dx +
1../3
Shx
dx,
- ../3 1 + x 2
la funzione del primo dei due integrali è pari, mentre quella del secondo è
dispari, quindi
. /3 5- dx = 2 la../3 5 dx = lO[arctan x]../3 = 10
I +x
o 1+ x
3
1-../3 . /3 -Shx
1-../3 +-x- dx=O;
complessivamente
. /3 5 + Sh
1o]'( .
3
1-../3 1 + x
2
0
2
- TC;
2
1
X
2
dx =
© Considerazioni sulla parità o disparità delle funzioni possono risultare particolarmente significative qualora nella funzione integranda compaiano dei
moduli; di nuovo la funzione integranda nel suo complesso non è né pari né
ed e-lxl sono pari, mentre xlxl è dispari,
dispari, osserviamo però che
quindi
M
l:
(~-~)dx= 2 foa ( M
pari
+ e- lxi) dx
dispari
notiamo poi che sull'intervallo (O, a) x è positiva e quindi lxi = x, possiamo
allora togliere il modulo dal secondo integrale:
l: (
M
+ e-lxl -
= 2 [ -2 .Y/-;;3
x" 3
e
xlxl) dx= 2 foa
-x]a = -4
o
3
/:;3
.Y a"
(Jx + e-x) dx
- 2e
-a+ 2 .
Calcolo integrale e applicazioni
..i6iitibii~lilill-=-.~·
Calcolare
J lx -
243
Primitive di funzioni definite a tratti
21 dx, specificandone l'insieme di definizione.
Soluzione
Osserviamo, per prima cosa, che la funzione integranda f (x) = lx - 21è continua
in tutto~. pertanto la sua primitiva F(x) esiste, ed è continua, su tutto R Poiché
f(x) =
{
X- 2
0
X> 2
X= 2
2-x
x<2
impostiamo il calcolo della primitiva separatamente sui due intervalli x < 2 e
X> 2:
F(x) =
!
{J
2
(x - 2) dx
x > 2
(2 - x) dx
x < 2
X
F(x) =
==}
-
2x
2
+C
X
>2
2
X
{
2x- - +D x<2
2
occorre a questo punto imporre che F sia continua su tutto R, poiché
lim F(x)
x~2+
= C-2
= D +2,
lim F(x)
e
x~2-
i due limiti devono essere uguali, e allora D = C -4, F (x) avrà quindi la seguente
espressione:
x2
F(x)=
+e
- 2x
2
C-2
x>2
X=
2 ·
x2
2x - - +C-4 x <2
2
Osserviamo che, qualora avessimo scritto che
J
~ 2) + H
J
2
(x - 2) dx = (x
2
2
(2 - x) dx = - ( -;x )
e
+K,
l'espressione di F sarebbe stata (una volta garantita la continuità in x = 2
ponendo H = K)
(x - 2)2
+H
2
F(x) =
H
x>2
X=
(x -2) 2
+H
2
2 ,
x<2
che coincide con quella precedentemente trovata, se H = C - 2. Questa espressione può anche essere anche scritta in maniera più compatta come
F(x) _ (x
-
- 2)lx - 21+ H
2
.
244
Capitolo 8
ESERCIZIO 8.6
•
Integrale e valor medio
Calcolare il valor medio della funzione f(x) = i.:x2 nell'intervallo [O, .J3].
Soluzione
Dalla teoria, sappiamo che il valor meclio M della funzione f sull'intervallo [a, b]
è dato da
M = b
~a
1b
f(x) dx.
Nel nostro caso, allora, il valor meclio cercato è
l
r;:;
v3
ESERCIZIO 8. 7
1,,/3
O
•
l
1 +X
2
dx =
I
,,/3
rr
r;:; [ arctan x ] 0
=
r;:;
v3
3v 3
.
Inter retazlone geometrica dell'Integrale
, /3
1-./2. mantx dx.
Calcolare
Soluzione
La funzione mant x è continua a tratti, e pertanto è dotata di primitiva, primitiva che tuttavia non è di facile determinazione. Per calcolare il presente integrale possiamo fare ricorso alla sua interpretazione geometrica: se f(x) ::::. O per
x E [a, b], allora
f(x) dx rappresenta l'area del trapezoide contenuto tra l'asse delle ascisse e la funzione f in corrispondenza dell'intervallo [a , b]. Osserviamo allora che mantx ::::. O per ogni x, e pertanto l'integrale cercato corrisponde
all'area evidenziata in figura:
J:
y
Si tratta di due triangoli t 1 e ti con base e altezza unitarie, un triangolo t 3 in cui
la base e l'altezza valgono entrambe mant .J3 = .J3 - 1 e un trapezio ':rin cui la
base maggiore vale 1, la base minore vale mant (-.J2) = - .J2- (- 2) = 2- ,./2
e l'altezza -1 - (-.J2) = ,/2 - 1, in definitiva
, /3
1- ./2. mantx dx
1
= -2 +
= area(t 1) + area(h) + area(t3 ) +area('!')
1
- + (2 2
./3) +
4,/2- 5
2
l
= -2 + 2.J2 - .J3.
Calcolo integrale e applicazioni
245
Integrazione per parti
miilliijliliil....~~;;:;;J,· Fonnula dell'integrazione
~arti
Enunciare la formula dell'integrazione per parti e utilizzarla per calcolare i se~nti integrali:
CD
J
fo6 xe3x dx.
@
x cos x dx ;
r
Soluzione
Siano f(x) e g(x) due funzioni, e F(x) e G(x) due relative primitive, allora la
formula d'integrazione per parti nel caso di integrali indefiniti si scrive&
f
F(x)g(x) dx= F(x)G(x) -
f
f(x)G(x) dx,
mentre nel caso di integrali definiti diventa
b
1
F(x)g(x) dx = [ F(x)G(x)
a
tb-1b
a
f(x)G(x) dx;
l'utilità di questa formula consiste principalmente nella possibilità di sostituire un
integrale di un prodotto tra due funzioni con un altro integrale, ove figura un altro
prodotto, di più facile risoluzione.
CD La funzione integranda è il prodotto di due funzioni, così com'è appare "inattaccabile", ma se con un'integrazione per parti deriviamo la x, ci ritroveremo
con un integrale semplificato:
I
cos x dx =
x
~~
F
x
f
sin x -
~~
g
F
1
f
sin x dx ;
sin X
+ cos X + e.
~~
G
G
e poiché la primitiva di sin x è - cos x, avremo
I
X
cos X dx =
X
sin X
-
(- cos X)
+e
=
X
@ Al solito, partiamo dall'integrale indefinito:
f
g
x
e 3x
F
g
..__,..__,
dx =
In modo più compatto:
x
F
f
1 3x -e
..__, 3
Fg
f
'-v-'
G
= FG - f
fG.
1
f
xe3x
-1 e 3x dx = - - -I
..__, 3
3
'-v-'
G
3
f
e 3x
dx
'
246
Capitolo 8
e quindi
I
xe 3 x
1
xe 3x dx = - - - - e 3x
3
9
+e
'
valutiamo l'integrale
]6
{6
[xe 3x
1
17
Jo xe3x dx= -3- - 9e3x o = 9e18
1
+ 9.
ESERCIZIO 8.9
Calcolare
Soluzione
Uno dei più importanti usi dell'integrazione per parti è il calcolo di integrali di
funzioni del tipo xn f(x) (ove sia nota la primitiva di f, e a sua volta sia facilmente integrabile), replicando più volte l'integrazione per parti, è possibile "prosciugare" la potenza n-esima di x, e ritrovarsi con una funzione integranda più
semplice. Agiamo allora in questa direzione:
f
x3
Shx dx=
'-v-''-v-'
F
g
x3
Chx
'-v-''-v-'
F
G
-!
3x2 Chx dx =x 3 Chx-3jx 2 Chxdx;
'-v-''-v-'
f
G
replichiamo allora la procedura per l'ultimo integrale:
f
x 2 Chx
'-v-''-v-'
F
g
dx =
x 2 Shx
'-v-' '-v-'
F
G
-!
Shx dx = x 2 Shx -2/ xShx dx,
2x
'-v-' '-v-'
f
G
e di nuovo
I
X
Sh X dx =
'-v-' ' - v - '
F
g
X
Ch X
F
G
'-v-' '-v-'
.
-!
1
I
Ch X dx = xCh X
'-v-' ' - v - '
-
Sh X
G
allora, tornando indietro
I
x 2 Chx dx= x 2 Shx - 2{xchx - Shx
= x 2 Shx -2.XChx
+e}
+ 2Shx + C,
e infine
I
x 3Shx dx= x 3Chx - 3{x2 Shx -2xChx
+2Shx +e}
= x 3Chx - 3x 2 Shx + 6xChx - 6Shx + C.
+ e;
Calcolo integrale e applicazioni
247
Integrazione ~er ~arti in caso di primitive non not_e _ _ ___.
ESERCiZi'O"'S!iOI •
Calcolare (ove possibile) i seguenti integrali:
(i)
J
ln x dx;
Soluzione
:t La primitiva di ln x non fa parte dell'elenco di primitive immediate, al contrario è nota (e facilmente maneggiabile) la sua derivatah; il procedimento si
basa sull'idea che la funzione integranda (nel nostro caso ln x) sia in realtà il
prodotto 1 · In x :
I
ln x dx
=
f
ln x
1
F
g
'----" '----"
dx
= '----"
In x
x
'----"
F
-!
G
.!_
X
'-v-'
x
'-v-'
dx
G
f
= x lnx ~
f1
dx = x lnx -x +C.
In questo caso, a nulla giova l'applicazione dell'integrazione per parti, si può
2
anzi dimostrare che non esiste alcuna funzione nota di cui ex sia la derivata.
Calcolare
f
sin(3x )e 2 x dx .
Soluzione
In un caso come questo, non è possibile usare la tecnica di integrazione per parti per "prosciugare" una funzione come nell'Esercizio 8.8 (funzioni esponenziali
e trigonometriche non scompaiono, una volta derivate ... ), cionondimeno applichiamo la regola, scegliendo in base a gusto personale quale funzione derivare e
quale integrare:
I
sin(3x) e2 x dx = sin(3x) .!..e2 x
...._,_, ..___,
...._,_, 2
F
g
F
~
-!
3 cos(3x) .!..e 2 x dx,
2
f
'-v-"
7
quindi
f
sin(3x)e
2
x dx
=
~ sin(3x)e2 x - ~
f
2
cos(3x)e x dx;
h Lo stesso metodo può essere applicato per calcolare integrali che coinvolgono funzioni quali
arctan x, arcsin x ... delle quali è nota la derivata.
248
Capitolo 8
ripetiamo la procedura un'altra volta, in maniera coerente con la precedente, ossia
scegliendo nuovamente di integrare l'esponenziale e derivare la funzione trigonometricai:
f
e cioè
cos(3x) e 2 x
dx = cos(3x)
'-v-"'-v-'
F
g
f
'-v-"
F
cos(3x)e 2 x dx=
~e 2 x
- f - 3 sin(3x) ~e 2 x dx,
~ 2
'-v-'
f
'-v-'
G
G
2
~ cos(3x)e 2 x + ~
f
sin(3x)e 2 x dx;
risostituendo ora il risultato ottenuto nella formula precedente, troviamo
f
2
.
sin(3x)e2 x dx = 1 sm(3x)e
x - 3 (1 cos(3x)e 2 x
2
=
2 2
1
e 2 x (2sin(3x)- 3cos(3x))-
4
+3
2
9/
4
f.
sm(3x)e 2 x dx
)
sin(3x)e 2 x dx;
infine, portando a primo membro l'integrale che compare alla fine del secondo:
(1+
~)
f sin(3x)e
2
x dx=
~e 2x (2sin(3x) -
3 cos(3x))
+e,
da cui
f
8.1.2
sin(3x)e2 x dx=_!_ e 2 x (2sin(3x)-3cos(3x)) +C.
13
Integrazione delle funzioni razionali
ESERCIZIO 8. 12
•
Riduzione di funzioni razionali
Ridurre (ove possibile) le seguenti funzioni razionali a somme di funzioni razionali semplici :
©
x+I
x 2 +2x+l0'
@
@
x 2 + 4x - 9
x 3 - 4x 2 + 5x - 2'
®
®
i
x 4 + 3x 3 - 4x 2 - 9
X2
+X - 6
®
4x-3
@
x 2 +X - 6'
2x 5 + 1 lx 3
x 2 + 15x - 2
x2 + 4
-
x 4 + 2x 2
x 2 -1
Se optassimo per la scelta opposta, troveremmo un'identità.
3x 3 + 4x + 16
x 4 -16
Calcolo integrale e applicazioni
249
Soluzione
dice funzione razionale un rapporto tra due polinomi Pn(x) e Qm(x), rispettiwamente di grado n e m. È possibile scorgere un parallelo tra polinomi e numeri
aeri: innanzitutto consideriamo le frazioni proprie ~ e
nella prima il demominatore è primo, e quindi non è possibile alcuna riduzione, nella seconda il
denominatore è scomponibile (42 = 2 · 3 · 7) e quindi può essere riscritta come
somma/differenza tra frazioni proprie con denominatori primi:
:i,
allo stesso modo, se n < m (l'equivalente di una frazione propria) e il polinomio
al denominatore è scomponibile, è possibile riscrivere la funzione razionale come
somma di funzioni razionali più semplici (e con denominatore non ulteriormente
scomponibileÌ). Consideriamo adesso Je frazioni improprie 371 e 74~1 : effettuando
le corrispondenti divisionj troviamo
31 : 7 = 4 con il resto di 3,
781 : 42 = 18 con il resto di 25,
e quindi possiamo riscrivere le suddette frazioni come
31 - 4
3
7 - +1,
781 = 18 25.
42
+ 42'
abbiamo trasformato le frazioni improprie 371 e 74821 in numeri interi, cui vanno
e abbiamo già visto che ~ non è ulteriormente
aggiunte le frazioni proprie ~ e
riducibile, poiché il denominatore è primo, mentre è possibile riscrivere ~i come
somma di frazioni proprie in cui ciascun denominatore è primo(~~ = + ~ - ~).
Allo stesso modo, se in una frazione il grado n del polinomio al numeratore è
maggiore o uguale al grado m del polinomio al denominatore, è possibile riscrivere questa frazione come somma di un polinomio (il cui grado è la differenza
n - m dei gradi a numeratore e denominatore) e di una frazione residua, in cui il
numeratore ha grado necessariamente inferiore al denominatore:
:i,
!
Pn(x) = A(x)
Qm(x)
+
R(x)
Qm(x)
grado di A(x): n - m,
grado di R(x): minore di m.
Inoltre, se il polinomio Qm(x) al denominatore è scomponibile (cioè se, conoscendone le radici, possiamo scriverlo come prodotto di polinomi più semplici), è
possibile ricondurre Q~(~) a una somma di frazioni più semplici (come è capitato
con la frazione :~).
j Sappiamo che un qualsiasi polinomio a coefficienti reali Qm (x) può essere espresso tramite
prodotto di binomi di primo grado e trinomi di secondo grado aventi t,. < O.
250
Capitolo 8
<!> Il discriminante!:!.. = -36 del polinomio al denominatore è negativo, pertanto
non è possibile alcuna riduzione.
+ x - 6 = (x - 2)(x + 3), è possibile riscrivere la frazione come
somma di frazioni più semplici: i due denominatori sono di primo grado,
quindi il numeratore di ciascuno di essi sarà di grado zero, e cioè una costante:
@ Poiché x 2
4x -3
2
x +X - 6 =
A
2 +
X -
X
B
+ 3.
Effettuiamo allora la somma delle frazioni al secondo membro e, raccogliendo le x, uguagliamo i numeratori:
4x - 3
Ax + 3A + Bx - 2B
+x - 6 =
(x - 2)(x + 3)
(A
x2
+ B)x + (3A - 2B)
(x -2)(x + 3)
otteniamo il sistema
A +B=4
{ 3A-2B = -3
e allorak
A= 1, B
4x - 3
x2
+X
-
1
6 =
3
2
X -
@ Il polinomio al denominatore si scrive
= 3;
+X +3 .
x 4 - 16 = (x 2 + 4)(x + 2)(x - 2),
e quindi scomponiamo la frazione di partenza nella somma di tre frazioni,
aventi come denominatori i tre fattori di questo prodotto e come numeratori
i più generici polinomi di grado inferiore ad essi; in due casi si tratterà di
costanti nel terzo caso di un binomio di primo grado:
3x 3 + 4x + 16
x4- J6
Ax + B
x 2+4
- ----- = ---
C
D
++
- .
x+2 x - 2
Come prima, effettuando la somma delle frazioni al secondo membro e uguagliando i numeratori, si ottiene il sistema
A+C+D =3
B-2C +2D =O
{ 4A + 4C + 4D = 4
-48 - 8C + 8D = 16
k
A
= 1' B = -2 ' C
1
= - D
2'
3
= -2'·
Vi è un metodo più immediato per giungere allo stesso risultato: da
4x - 3
x2 + x - 6
A
B
= x - 2 + x +3 =
A(x + 3) + B(x - 2)
(x - 2)(x + 3)
eliminando i denominatori si ottiene l'uguaglianza 4x - 3 = A(x + 3) + B (x - 2), che dev'essere
valida per ogni x E JR, in particolare ponendo x = 2 e annullando il coefficiente di B si ottiene
SA, e dunque A = I, viceversa ponendo x = -3 e annullando il coefficiente di A si ottiene
5
- 15 = -58 , cioè B = 3.
=
Calcolo integrale e applicazioni
251
e quindi
3
x-2
2
2
4
2
x +4 + X +2 + X - 2 .
x - 16
~ Il polinomio al denominatore si scrive x 3 - 4x 2 + Sx - 2 = (x - 1) 2 (x 2), poiché uno dei fattori compare al secondo grado, nella scomposizione
andranno inserite due frazioni: una con il denominatore al primo grado e una
con il denominatore al secondo gradd:
3x 3
+ 4x + 16
x 2 + 4x -9
A
B
C
-x3+
+
- 4x2 + Sx - 2 - x - 2
x - I
(x - 1)2 '
sommando le frazioni e raccogliendo le x otteniamo
x 2 + 4x - 9
(A+ B)x 2 +(- 2A - 3B + C)x +(A+ 2B - 2C)
=
x 3 - 4x 2 + Sx - 2
x 3 - 4x 2 + Sx - 2
ed eguagliando i numeratori troviamo A
scomposizione cercata è
=
=
3, B
-2, C
=
4; allora la
x 2 + 4x - 9
3
2
4
-x3-+
2
- 4x + Sx - 2 - x - 2 x - l
(x - 1)2 ·
® In questo caso il grado del numeratore è maggiore del grado del denomina-
tore, occorre pertanto effettuare la divisione di 2x 5 + l lx 3 - x 2 + ISx - 2
per x 2 + 4, con pochi conti otteniamo 2x 3 + 3x - I con il resto di 3x + 2,
scriviamo allora
2x 5 + l lx 3 - x 2 + ISx - 2
3x + 2
3
x2 + 4
= 2x + 3x - l + x2 + 4 ,
e poiché poi x 2 + 4 non è scomponibile in JR non è possibile alcuna ulteriore
semplificazione.
@ Anche in questo caso il grado del numeratore è maggiore del grado al denominatore, dividendo x 4 + 3x 3 - 4x 2 - 9 per x 2 + x - 6 otteniamo allora
x 2 + 2x con il resto di 12x - 9, quindi
x 4 + 3x 3 - 4x 2 - 9
12x - 9
--- - -- - = x 2 + 2x + 2
,
2
x +x - 6
x +x - 6
osserviamo poi che il denominatore è scomponibile, e che 12x - 9 = 3(4x 3), ricordandoci allora il punto® possiamo scrivere
x4
+ 3x 3 - 4x 2 x +X - 6
9
3
9
--- - - - = x 2 + 2x + - - + - - .
2
X -
2
X
+3
1
È una regola generale: si può dimostrare che se uno dei fattori compare con una potenza p
maggiore cli 1, nella scomposizione vanno inserite tutte le sue potenze da 1 a p, ciascuna con la sola
costante al numeratore.
252
Capitolo 8
+ 2x2 per x 2 - 1 otteniamo x 2 + 3 con il resto di 3, quindi
3
x 4 + 2x 2
2
x2 - 1 = x + 3 + x2 - 1 ,
® Dividendo x 4
anche x 2
1 è scomponibile, con il solito metodo:
-
3
A
B
(A + B)x + (A - B)
--=- + - - = - - -x2
---1- - x2 - 1
x - 1 x +1
dacu1. A
. d.1
= 23 , B = - 23 ,equm
3
3
+ 2x2
2
2
2
- - - - = X +3+ - - - - - .
x4
x2 -1
•
©
f -5I +
3x - 2
@
dx·
'
13
x 2 - 4x
X+
1
--fi~
gu
_r_
an
_o
_...o
_l_
in_
o_
m
_i_
d_
i ~
P-r_
im
__
o_
o_s_
e_
co
_n_
d_
o~
g~
ra
_d_
o_____________
Calcolare i seguenti integrali :
11\
-1
Integrali di unzioni razionali il cui Clenominatore
ESERCIZIO 8.13
w
X
8
dx·
'
®
J
I
x -15
dx·
x 2 -2x -3
'
®
I
6x
4x 2
+ 12x + 9
dx·
'
3x-5
dx.
x 2 -2x + 4
Soluzione
Abbiamo visto nell'esercizio precedente che una qualsiasi funzione razionale
~:~1) può essere ricondotta alla somma di un polinomio (se n > m) più alcune frazioni con al denominatore polinomi di primo e secondo grado (questi ultimi
irriducibili), pertanto è sufficiente saper integrare queste ultime tipologie e alcuni casi particolari ad esse correlate; ricavando le derivate dei secondi membri e
bilanciando le costanti, otteniamo i seguenti integrali notevoli
J
i:
+ b dx=~a ln lax +bi+ e,
1
ax
j l +("~e+ b(x = ~arctan ( ax: b) +e,
2:
+b
+ bx + c
3:
J
2ax
J
(a x
+ b)n
ax 2
dx= ln lax2
+ bx + cl + C.
inoltre
4:
1
.J
5·
dx=
1
a(l - n) (ax
1
+ br- 1 + e,
2ax + b
dx = _1_
1
(ax2 + bx + c)n
1 - n (ax 2 + bx
+ c)n-l
+e
·
Calcolo integrale e applicazioni
253
Se al denominatore figura un polinomio di primo grado e al numeratore una
costante, è sufficiente ricondurre tale espressione alla tipologia 1:
J
-5- dx= 5
3x - 2
J
-1- dx= -5 lnl3x - 21 +C.
3x - 2
3
Se il trinomio di secondo grado al denominatore è scomponibile (come nel
nostro caso, abbiamo infatti x 2 - 2x - 3 = (x + l)(x - 3)), usando il metodo
visto nell'esercizio precedente al punto @, ci riportiamo a due casi analoghi
al punto <D più sopra. Con pochi conti troviamo
-15
A
B
---- =--+-x2 - 2x - 3
x +1 x - 3
X
A =4
4
3
x+l-x-3'
B =-3
e allora
f -x-2 -~-~-~-3 dx f
=
x__
( -x -:- 1 - -x
4/-1-
=
=
-~-3)
dx
dx - 3/ -
1
- dx
x+l
x- 3
4ln lx+ li - 3ln lx - 31 + C.
Il polinomio al denominatore è un quadrato perfetto: 4x 2 + 12x + 9 =
(2x + 3) 2 , anche in questo caso sfruttiamo il metodo già visto nell'esercizio
precedente:
6x
~~~~~2
4x + 12x + 9
=
A
2x + 3
+
B
(2x + 3)2
e quindi, ricordando gli integrali
1
A= 3
B = - 9
=
3
2x + 3
9
(2x + 3) 2 '
e 4,
f __
4x 2
6
1
1
_x_ _ dx =3!
dx - 9/
dx
+ 12x + 9
2x + 3
(2x + 3)2
3
9
1
= - ln l2x + 31 + + C.
2
22x + 3
Se al denominatore compare un polinomio di secondo grado irriducibile, al
numeratore comparirà una costante o tutt'al più un polinomio di primo grado,
esaminiamo dapprima il primo caso:
costante
polinomio irriducibile di II grado dx'
J
254
Capitolo 8
Notiamo che si può sempre riscrivere un polinomio di secondo grado irriducibile come somma di una costante positiva e di un quadrato perfetto00 , nel
nostro caso, completando il quadrato, troviamo
13
4x
~~~~-
x2
-
+8
=
13
13
-~~~~~~-
x 2 - 4x
+4 -
4
+8
per ricondurci all'integrale 2 raccogliamo allora 13 dal numeratore e 4 dal
denominatore:
13
13
2
x -4x + 8
4
quindi:
J
13
xZ _ 4x
13/
+ 8 dx= 4
1
(x _ 2) 2
-2
dx=
+ 1
13
4
x-2
.2.arctan - 2 -+ c.
® Rimane da considerare il caso in cui in corrispondenza di un denominatore
di secondo grado irriducibile compaia al numeratore un binomio di primo
grado:
binomio di I grado
dx
polinomio irriducibile di II grado
'
in questi casi è necessario ricondursi ali' integrale 3, giocando con le costanti, affinché al numeratore compaia la derivata del denominatore, con quanto
rimane (e si tratterà necessariamente di una semplice costante) applicheremo
il metodo del punto ©; nel nostro caso, poiché la derivata del denominatore è
2x - 2, dobbiamo trasformare il numeratore, raccogliendo il 3 davanti alla x e
moltiplicando per 2, aggiungendo/sottraendo poi quanto occorre dal termine
noto:
J
3x - 5
32 (2x - -10)
= -3(2x - 2 + 2 - -10) = -3(2x - 2) - 2
3
2
3
2
=-
e quindi
J
3x - 5
dx _
x2 - 2x + 4
=
J(~
2x - 2
_
2
2 x2 - 2x + 4 x2 - 2x
+4
) dx
~1 2 2x-2 dx-2/ 2 1
x - 2x + 4
x - 2x + 4
2
m Cioè, se b 2
ax
2
4ac < Oesistono a > O,
+ bx + e = ( ,JO.x +
fJ qualsiasi e y > Oper cui
2~)
2
+
(e -:: ) = (ax + {3)
2
+y.
dx
Calcolo integrale e applicazioni
255
il primo dei due integrali è adesso un integrale del tipo 3 e si risolve immediatamente (non è necessario mettere il modulo nel logaritmo, il trinomio è
sempre positivo):
J
2
X
2
2
dx = ln(x 2
x -2x+4
-
2x
+ 4) + e
per quanto riguarda il secondo integrale, occorre, come al punto ©, completare il quadrato e raccogliere il termine noto
1
2x + 4
x2 -
1
x2 -
2x
1
1
+ 1-
1+4
1
-1)
3 (X
-v'3
2
+1 '
e quindi
J
1
1/
1
1 r,;
x- 1
x 2 _ 2x+ 4 dx = 3
(x-l) 2
dx= J v3 arctan vf3 +C;
-+1
v'3
riuniamo allora i due risultati, ottenendo
3x - 5
3
x - I
2 - 2x + 4) - - 2 arctan dx
=
ln(x
- + C.
x 2 - 2x + 4
2
vf3
vf3
J
ESE~ •
Integrali di funzioni razionali
Calcolare gli integrali indefiniti delle funzioni dell'Esercizio 8.12.
Soluzione
<!)
Abbiamo già visto che la frazione non è riducibile, occorre pertanto agire
come nel punto@ dell'esercizio precedente, notiamo che basta moltiplicare
per2 il numeratore di
x+l
2
x + 2x + 10
per ottenere la derivata del denominatore, quindi
J
x+ l
x2 + 2x + 10 dx =
@
Poiché
troviamo
li
2
2x+2
1
x2 + 2x + 10 dx = 2ln(x2 + 2x + 10) + C.
4x - 3
1
_x_2_+_x___6 = -x---2
J_+
4
3
+ _x_+_3 '
3
1
1
x_-__ dx= / - - dx +3/ - - dx
x
X - 6
X - 2
X +3
= ln lx - 21+3 ln lx+ 31 +C.
2
256
@
Capitolo 8
Poiché
3x
1
+ 4x + 16
3
x-2
2
2
-x2 +- 4 +--+
X + 2
X - 2 '
x 4 -16
allora
I
3x
3
+ 4x + 16 dx
x 4 -16
I
=
3
x - 2 d
1
x 2 +4 x+2
I
1
d
3
x +2 x+2
I
1
d
x -2 x,
il secondo e il terzo integrale sono immediati, per il primo agiamo come al punto @ dell'esercizio precedente (osserviamo che la derivata del
denominatore è semplicemente 2x):
I
I
x - 2 dx = ~
2
x2 + 4
2x
x2
= l ln(x 2
2
=
dx - 2
+4
-2
+ 4) -
4
I
I
1
x2 + 4
dx
1
(i)
2
dx
+1
~ln(x 2 +4)- ~ 2 arctan (i) +e;
quindi, usando le proprietà dei logaritmi,
!
3
3x +4x+16 dx = -1 ln(x 2
4
X
-
16
2
1
+ 2 In lx +
=
arctan (x)
2
3
21 + 2 ln lx - 21+ C
+ 4) -
~ ln[lx 4 -
16l(x - 2) 2 ]
-
arctan
(i)+ C.
© Sappiamo che
3
2
x 2 + 4x - 9
-..,,..----,- - - - = - - - - x3 - 4x 2 + 5x - 2
x- 2 x- 1
4
+- -
(x - 1)2 '
e quindi (usando poi le proprietà dei logaritmi, come al punto precedente)
__
x_2_+_4_x_-_9_ = 3
x3-4x 2 + 5x-2
I
_I_ dx - 2
x-2
I
_I_ dx
x-1
+4
1
= 3 ln lx - 21 - 2 ln lx - 11 - 4- x- I
= ln lx - 213 - _4_
(x - 1)2
X -1
+ C.
I
1
dx
(x-1) 2
+e
Calcolo integrale e applicazioni
257
Abbiamo visto che
2x 5 + llx 3 - x 2 + 15x - 2
3x + 2
3
x2 + 4
= 2 x + 3x - 1 + x2 + 4 '
allora
f
2xs + llx3; x2 + l5x -2 dx=
X +4
f
(2x3+3x - 1) dx+f
3~ +
X
2 dx,
+4
il primo dei due integrali è l'integrale di un polinomio: per il secondo, visto
che il denominatore è di secondo grado (e la derivata vale 2x), procediamo
nel solito modo (uguale a sopra, punto @):
3x + 2 dx= ~1 2x dx+2f
1
dx
f x2 + 4
2
x2 + 4
x2 + 4
= -3 ln(x 2 + 4) + -2
2
4
=
f
I
2
(~) + 1
dx
~ ln(x 2 + 4) + arctan (~)+e,
e quindi
2x 5 + 1lx 3 - x 2 + 15x - 2
f
x +4
4
2
= -x + -3x - x + -3 ln(x 2 + 4) + arctan (x)
- + C.
2
2
2
2
Abbiamo trovato che
x 4 + 3x 3 - 4x2 - 9
3
9
- -- - - - = x 2 +2x+--+--,
2
x +X - 6
X - 2
X + 3
-----=---- - - dx
2
e quindi, visto che
3
9
_ _ + - - ) dx= 3ln lx -21+91n lx+ 31 +e '
(
f
x -2 x+3
integrando anche il polinomio troviamo
f
x 4 + 3x 3 - 4x 2 - 9
x3
2 +3lnlx - 2l+91nlx+3l+C.
dx=-+x
X2+ x - 6
3
Già sappiamo che
3
3
x4 + 2x2
2
2
2
2
3( 1
1 )
- - - =x + 3 + - - - - - =x + 3+- - - - - x2 - 1
x- 1 x+1
2 x - I
x+I '
258
Capitolo 8
e poiché
I (_I_ -_I-)
x-1
x + l
abbiamo
I
ESERCIZIO 8.15
x
4
+
X2
•
e = ln IxX -+ 1l I + c.
= ln lx - l I - ln lx + l I +
dx
2x dx= -x + 3x + 1n Ix---1I+C.
2
3
-1
3
x + l
Intervalli d'inte razione
Dopo aver verificato che
I
-84-x 2
dx=ln
(x+2)
- x-2
2
+e ,
stabilire se le seguenti uguaglianze sono vere :
<D
8
_ dx=
4- x 2
[4 _
}3
j- 14 -8-x
21n~;
5
1
@
-
2
dx= 2
f
}0
!
@
1
1
-
8
-
4 - x2
3
8
- - dx=
4-
x2
5
21n- :
3
dx= 4ln3·
'
in caso non lo siano, spiegarne il motivo.
Soluzione
Incominciamo con la verifica, poiché con la solita scomposizione in fattori
otteniamo
8
2
2
2
2
--=
--+--=----2
4- x
2+X
2- X
X +2
X - 2
allora
I
8
-2
4- x
dx
= 2 ln lx +
21 - 2 ln lx - 21+ C
(x
+ 2)2
= In (x-2) 2
+ C,
e quindi
i
b
8
x +2
--d
x
ln - x2
- [
( x -
4-
2)
2
b
] a
Osserviamo però che la funzione integranda non è definita sex = ±2, quindi
l'intervallo d' integrazione [a , b] non potrà in alcun caso contenere tali valori, in
altre parole, la formula che abbiamo appena scritto vale unicamente se 1'intervallo
[a, b] è contenuto in uno dei tre intervalli
(- oo, - 2),
(- 2, 2),
(2, +oo) .
Calcolo integrale e applicazioni
ii' Poiché (3, 4]
e
(2, +oo) l'integrale proposto ha senso, dopodiché
r4 8
(4 + 2)
}3 4 - x2 dx= ln 4 - 2
~
~
259
2
2
2
(3 + 2)
3
3
- ln 3 - 2
=In 52 = 2ln 5.
In questo caso l'intervallo [1, 3] non può essere usato: contiene x = 2, ove la
funzione non è definita, e quindi non è lecito calcolare questo integrale con i
soliti métodi 0 •
Poiché l'intervallo d'integrazione è ammissibile, l'integrale ha senso, inoltre
possiamo osservare che la funzione integranda è pari e quindi, come già abbiamo visto, il valore dell'integrale è il doppio del valore trovato unicamente
per x > O, nel nostro caso
8
o
!a
l
(1 +2) (0 +2)
2
- -2 dx = ln - 4- x
1- 2
2
-In - O- 2
= ln3 2 = 2ln3.
8.1.3 Integrazione per sostituzione
Enunciare la formula dell'integrazione per sostituzione e utilizzarla per calcolare
i seguenti integrali:
Q)
f
sin 3 x cos x dx ;
Soluzione
Se f è una funzione continua e g è una funzione derivabile con derivata continua,
allora
f
f(g(u))g'(u) du =
[
posto
]
g(u) = v
=
g'(u) du = dv
J
f(v) dv;
è bene porre attenzione su un aspetto della formula: nel momento in cui prendiamo
la funzione g(u) e la chiamiamo v, il legame tra u e v si ripercuote (sempre
attraverso la funzione g) anche tra due dv:
g(u)
=v
{}
g'(u) du
=
dv;
La formula di integrazione per sostituzione può essere applicata in entrambi i
sensi, a seconda di quale dei due membri sia più comodo da calcolare: in un caso, se la funzione integranda è formata da una funzione composta, moltiplicata
0
Poiché siamo in presenza di un asintoto verticale, si tratterebbe di un integrale generalizzato,
che però vedremo non convergere. In ogni caso la scrittura proposta è sbagliata.
260
Capitolo 8
per la derivata della funzione interna (come nel primo membro qui sopra), può
essere comodo isolare la funzione più interna e, come abbiamo osservato, il termine g'(u) du si trasforma in dv; in alternativa, se si prende la variabile ve la si
trasforma in g(u), il differenziale dv si trasforma in g'(u) du.
@ Come dicevamo, siamo proprio nel primo caso: la funzione sin 3 x
con g(x)
di sinx:
è /(g(x)),
= sin x e f(t) = t 3 , notiamo inoltre che cos x è proprio la derivata
f.
3
dx =
( Slll X) COS X
......_,_,...__._,
f(g(x))
sin dx
x =_ t dt
.
[
COS X
J=
J
t3
dt
= -41t 4 + C,
g'(x)
notiamo ora che, per concludere il calcolo, è necessario una volta effettuato
l'integrale ritornare alla variabile x, risostituendo la t nel risultato ottenuto0 :
1 4 e [t = sinx] 1 . 4
e
4t
+
=
4 sm x + .
® In questo caso, sostituire e 2 x con t può semplificare i conti: tuttavia se scriviamo semplicemente e 2 x = t manca poi il termine 2e 2 x con cui scrivere la
trasformazione 2e 2 x dx = dt; esplicitiamo allora il legame tra x et rispetto
ax :
e2x
= t
1
-lnt
2
X =
1
dx=-dt
2t
e quindi
f _1+ 1
dx = [
e2x
dx =
e2x
~t
2
] =
t dt
/ -1-~ dt.
1 + t 2t
'
si tratta ora dell'integrale di una funzione razionale e, una volta calcolato,
sarà necessario ritornare alla variabile x:
f
1 dt = -1
-1- 1 + t 2t
2
=
1
f (1-t - -t +1-1)
I
t
I
2 ln t + 1 +e
dt = -1 (In ltl - ln lt
2
=
in definitiva
f
0
poco.
1
1
--dx= -ln
2
1+ e x
2
1
+li)+ e
e2x
2 1n e2X + l + C,
e2 x
e 2x
+ 1 +C.
È possibile evitare la sostituzione di ritorno nel caso di integrali definiti, come vedre!no tra
Calcolo integrale e applicazioni
r sostituzione di inte~li definiti
Integrazione
i
261
3
e Jl + lnx
- - --dx.
I
X
Soluzione
Nel caso di un integrale definito da calcolare per sostituzione, vi sono due possibilità: la prima consiste nel calcolare l'integrale indefinito corrispondente e poi
pocedere alla sostituzione (come in tutti i casi già visti), oppure procedere alla
sostituzione anche degli estremi dell'intervallo d'integrazione, con il vantaggio di
non dover effettuare la sostituzione di ritorno. Calcoliamo allora l'integrale del
testo in entrambi i modi, prima con l'integrale indefinito:
I
.JI + 1nx dx= [ ' 1lnx
= t ] =
-dx=dt
X
I
3+ C;
2 + t)2
.Jf+t dt = -(1
3
X
ritorniamo a x:
I
Jl + lnx
2
~
- - - d x = - (1 +lnx)2 +e,
3
X
e quindi
r3 Jl
11
+ Inx
dx=
[~(1 + lnx)~]e3 =
3
X
I
14
3
In alternativa, all'atto della sostituzione, sostituiamo con la stessa regola anche gli
estrerniP:
Inx = t
r
3
JI +lnx
11
dx=
1
- dx = dt
X
X
In 1 =O
In e 3 = 3
[2
=lo[3 .Jf+t dt = 3c1 + t)23]3
0
P In accordo
14
3
con la formula
r
la
b
f(g(u))g'(u) du
=[
g(u) =V
g'(u) du = dv
g(a) =a, g(b) =
]
f3
=
1ft
a
f(v) dv.
262
Capitolo 8
~ Sostltu~_on
~l_varl
~e~~~~~~~~~~~~~~....l
ESERCIZIO 8.18
Calcolare i seguenti integrali :
<D
©
f
f
xex2 dx;
J
J
®
Jrtanx
- -2d x ·
cos x
•
@
sinx
dx·
(2+cosx) 4
'
@
f
. -dx·
1
-1sm
x2
X
•
4x - arccos x
dx.
JI-x 2
Soluzione
Sovente gli integrali per sostituzione hanno la forma
f
f(g(u))g'(u) du.
ossia contengono "in bella vista" la funzione gela sua derivata g', non esiste una
regola generale che permetta di accorgersi di questo fatto, solo un poco di pratica
può aiutare ...
<D Davanti ali' esponenziale troviamo - quasi - la derivata dell'esponente:
f
2
2
xex dx
=
x = It
[
X
dx=
l
]
dt
= -1
2
J
e' dt
1 2 + C.
= -e' + C = -ex
2
2
® A parte il segno, - s.in x è la derivata di 2 + cos x :
f
sin x
[ 2 + cos x = t ]
(2 + cosx)4 dx= sinx dx= - dt
= @ La derivata di ~
f ..!._
x2
1
I
1
-dt=-+C=
+C.
t4
3t3
6 + 3cos 3 x
f
è - ;2 :
sin _!_ dx
=[
1
~=t
]
x2 dx = - dt
x
=-
f
sin t dt
= cos t + e =
cos ~ +
e.
Calcolo integrale e applicazioni
263
Ricordiamoq che+
è la derivata di tan x,
COS X
I
rrtanx
tanx = t
]
I
-- dx= dt
2
[
- -2d x cos x
-
COS X
I
=
rr' dt =
rrtanx
Jrt
+ C = - - + C.
ln rr
ln rr
A volte occorre suddividere e combinare:
I
4x - arccos x
--;::::==-- dx =
-JI - x 2
I
4x
dx -v11-x 2
I
arccos x dx
-JI-x 2
;
ora, da un lato notiamo che con il numeratore creiamo la derivata del
radicando:
I
2
4x
dx _ [ 1 - x = t ]
,Ji _ x2
-2x dx= dt
1
= - 2 / - dt = -4../i +e= -4-v11-x 2 +e;
0
dall'altro il fattore ./
I
1
1-x2
arccos x
[
--;:==dx=
,J I - x2
= -
è- quasi - la derivata del numeratore:
arccos x = t
]
1
,J1 - x2 dx = - dt
f
t dt =
-~t 2 +e= -~(arccosx) 2 +e.
e quindi, combinando i risultati e prestando attenzione ai segni:
I
ESERCIZIO 8.19
4x - arccosx
~
1
----;:::::==--dx= - 4v 1 - x 2 + -(arccosx) 2 +C.
,J1 - x2
2
•
lnte
I di funzioni tri onometrlche, I
Calcolare i seguenti integrali:
Q)
@
J
f
cos 4 x sin5 x dx;
®
cos2 x dx;
©
J
J
cosxsin5 x dx;
cos2 xsin4 x dx.
264
Capitolo 8
Soluzione
Tutti gli integrali dell'esercizio hanno la forma
f
cosn x sinm x dx ,
la strategia di soluzione varia in due casi:
1) almeno una delle due potenze n e m è dispari (integrali <De@);
2) ne m sono entrambi pari (integrali® e©).
Nel caso 1) si effettua una sostituzione: se una sola delle potenze è dispari, la sostituzione consiste nel chiamare u la funzione con la potenza pari, mentre quella con
la potenza dispari viene "spezzata" in due: la singola potenza dispari combinata
con dx darà du , mentre la restante potenza pari dev'essere riscritta in funzione
dell'altra (ricordando che sin2 x + cos 2 x = 1).
<D Il coseno ha potenza pari, il seno ha potenza dispari, bisognerà porre cos x =
u e sin x dx = - du , per cui
sin5 x dx = (sin 4 x)(sin x dx) = (sin 4 x)(- du) ,
è ora necessario esprimere sin4 x in funzione di u, ossia di cos x:
sin4 x = (sin 2 x) 2
= (1 -
cos 2 x) 2 = I - 2cos2 x
+ cos4 x,
per cui
J
cos 4 x sin5 x dx=
J
cos 4 x(l - 2cos 2 x
= [ smx
. cosd xX == -u du
us
u1
u9
7
9
+ cos4 x) sin x
J= -
I
dx
(u 4 - 2u 6
+ u 8 ) du
=--+2---+c
5
5
= _ cos x
5
+ 2 cos7 x _
7
9
cos x
9
+C.
@ In questo caso, entrambe le potenze sono dispari, perciò potremmo indifferentemente scegliere l'una o l'altra delle due funzioni come u, ovviamente
q
Oltre a notare che se a > O
Calcolo integrale e applicazioni
265
conviene scegliere quella con la potenza più elevata, in maniera da facilitare
i conti:
f
5
cos x sin x dx =
Sin X = U
-
[
cosx dx= du
]
=
f
u 5 du
1 6 + e = -6
1 sin6 X + C .
= -6u
Se invece (caso numero 2) entrambe le potenze sono pari, occorrono le
formule trigonometricher
COS
@
2
X=
1 + cos2x
l - cos2x
sin 2 x = - -- 2
2
Facendo immediatamente uso di queste formule:
J
2
cos x dx=
~
J
(1+cos2x) dx =
~ (x + ~sin 2x) +C.
© In generale, in un caso come questo, conviene riportarsi a una funzione integranda con solo seni o coseni (nel nostro caso seni, visto che la potenza è
maggiore) e poi usare ricorsivamente le formule:
f
cos 2 x sin 4 x dx=
f
(1 - sin2 x) sin 4 x dx=
j
(sin 4 x - sin 6 x) dx
ora
.
sm 4 x
= (sin2 x)2 = ( 1 -
cos 2x)
2
2
= 41 c1 - 2cos 2x + cos2 2x)
1 - 4 cos 2x + cos 4x)
= -1 ( l - 2 cos 2x + l + cos 4x) = -(3
4
2
8
pertanto
J
4
sin x
dx=~
=
J
(3-4cos2x + cos4x) dx
~ ( 3x -
2 sin 2x +
~ sin 4x) + e ;
r In alternativa, si può arrivare al risultato utilizzando in maniera ricorsiva - come già abbiamo
visto in un caso - l'integrazione per parti.
266
Capitolo 8
analogamente per sin 6 x si ottiene:
sin6 x = (sin 2 x) 3 = (1-cos2x )
2
3
1
= -(1 - 3 cos 2x + 3 cos 2 2x - cos3 2x)
8
=
81 ( 1 -
=
1
1
(5 - 6cos 2x + 3 cos 4x) - Bcos 3 2x
16
3 cos 2x + 3
1 + cos4x
)
3
- cos 2x
2
il primo addendo si integra direttamente, come nel caso precedente, per quanto riguarda il secondo si usa il metodo del caso numero 1 (c'è una potenza
dispari . .. ):
~
J
3
cos 2x dx=
~
f
2
(cos 2x) cos 2x
dx=~
J
=
~ { / cos2x dx-
=
~(~sin 2x - ~ sio 3 2x) +
J
(I - sin2 2x) cos 2x dx
2
sin 2xcos2x
dx}
C;
in definitiva
J
2
4
cos x sin x dx= ;
ESERCIZIO 8.20
•
+~sin 4x 6
I
48
3
sin 2x +C.
Integrali di funzio ni trigono m etriche, Il
Funzioni razionali di sin e cos
Calcolare i seguenti integrali:
©
1
1
dx ·
sinx + cosx
'
@
J
sin2x
dx .
5 - 2 sin x + sin2 x
Soluzione
Se la funzione integranda è una funzione razionale di sin e cos, eccettuati casi
immediati, si opera per sostituzione, usando le formule parametriche di trigonometria, che forniscono seno e coseno di un angolo a a partire dalla tangente di ~,
nel nostro caso:
X
t=tan2'
.
2t
,
smx= - 1 + t2
cosx =
1 - t2
--2,
1+t
2
dx= - -2 dt.
1+t
Calcolo integrale e applicazioni
267
Con questa sostituzione, si trasforma una funzione razionale di seni e coseni in
una funzione razionale di polinomi, integrabile con i soliti metodi.
::V Proviamo immediatamente:
I
1
dx
sin x + cos x
=
J
I
2t
1 + t2
=-
~I
+
C-/_ .J2 -
1
= - - (In lt -
.J2
=
2
dt
1 - t2 1 + t2
1 + t2 .
1-
.J21-
1
t - 1+
J
2
dt
1 + 2t - t 2
.J2)
dt
ln lt - 1 + .J21)
1
=--In
+e
+c.
.J2
@ Non è necessario usare questa sostituzione: usando le formule di duplicazione
(sin 2x = 2 sin x cos x ), l'integrale si trasforma in una funzione razionale di
sin x, in cui cos x appare "accanto a dx", basta quindi porre sin x = t :
I
sin 2x
- - - - -- 2- dx =
5 - 2 sin x + sin x
I
2 sin x cos x
dx
5 - 2 sin x + sin2 x
sinx = t
]
- [ cosx dx= dt
=
I
2t
dt
5 - 2t + t 2
= ln(t 2
-
2t
+ 5)
=
I
2t - 2
dt
5 - 2t + t 2
t - 1
+ arctan - 2-
I
1
dt
5 - 2t + t 2
+e
= 1n((sin x) 2 -2sinx + 5) + arctan
•
+2
sinx - 1
+C.
2
Integrali di funzioni trigonometriche, lii
Funzioni razionali di slnZ, cosz, tan ...
Calcolare gli integrali:
a\
w
I
2tan3 X dx·
1 + sin2 x
'
@j l+tan
xdx.
cos x
3
2
268
Capitolo 8
Soluzione
Se la funzione integranda è una funzione razionale di
sin 2 x, cos2 x, sin x cos x, tan x,
una sostituzione vantaggiosa (a parte casi immediati) consiste nel porre tan x =
in dettaglio
1
dt,
t = tanx, dx= - 1 + t2
mentre sin2 x e cos2 x si trasformano nel modo seguente:
'
2
COS X=
1
1
2
1 + tan x - 1 + t 2 '
. 2
Sln X=
t,
tan2 x
t2
=
1 + tan 2 x
1 + t2 ·
A questo punto, ci si è ricondotti ad una funzione razionale, integrabile con i
metodi standard.
Q) L'integrale diventa
f
2tan 3 X
1 + sin2 x dx
f
f(
=
2t
3
t2
l + - -2
- 1- 2 dt =
1+ t
f
2t
3
1+ t
2
t
)
dt = -t - -1 In(l
2
1+2t
2
4
tan2 X
1
= - - - -ln(l + 2tan2 x) +C.
2
4
t-
=
dt
1 + 2t 2
+ 2r 2 ) + e
@ Non è necessario procedere alla sostituzione del punto precedente: ana-
logamente all'Esercizio 8.18, @,ponendo tanx = t, abbiamo+
dx = dt e
COS X
dunque
f
1 tan 3 x
- -- d x
COS 2 X
+
ESERCIZIO 8.22
J+
(1
=
•
lnte
t 3 ) dt = t
4
4
tan x
+ -t + C = tanx + - +C.
4
4
licon~
Calcolare (a > O) i seguenti integrali :
Q)
@
J
J
x.Jl - x 2 dx;
@
.J1 -x 2 dx;
@
x)3 + x 2 dx;
@
f
)4+x2 dx;
@
J
J
J
x.Jx 2
-
12 dx;
.Jx2 - a2 dx .
Calcolo integrale e applicazioni
269
Soluzione
'egli integrali del testo vi è una differenza sostanziale tra quelli della prima e
della seconda riga: ciò che conta è la presenza o meno, accanto alla radice, di una
potenza dispari di x.
l)
®
@ In tutti e tre i casi, con la x fuori dalla radice possiamo costruire il
differenziale del radicando:
I x~dx =
=
I
xJ3
+ x2 dx=
1
2
t ]
[ xa: =-1dt
x
J,,/i
-~
3 +x
[ x
-
dt =
-~d + e
= t
]
2
dx =~ dt
1 !3
= -1 / r
-v ;
t dt = -t
2
I
3
+e
=
-~(1-x 2)i +e;
1
= -(3
3
+ x 2 ) .l2 + e;
2
x - 12 = t ]
x,,/x2 - 12 dx= [ x
dx=~ dt
= ~I ,,/i dt = ~ti +e = ~(x 2 - 12)i +C.
2
3
3
© In questo caso, è necessario ricorrere alle identità trigonometriche (nella
fattispecie: 1 - sin 2 a = cos 2 a), e porre x = sin t (e quindi t = arcsin x) 5 :
/
,,/1-x2dx=[
f
x=sint
dx= cost dt
= J1 _
=
J
2
2
sin t cos t dt = /cos t dt =
~(t+sintcost)+C
=
~ ( t + ~ sin 2t) + e
~(arcsinx+x,,/1 - x 2)+c.
+ Sh 2 t
= Ch 2 t, bisogna che sotto la radice compaia
un termine di quel genere, raccogliendo il 4, poniamo poi ~ = Sh t (che
® Ricordando che 1
s Osserviamo che, ponendo all'atto della sostituzione ~ = cost, c1 1mpegnamo a
mantenere questa scelta nel momento in cui ritorneremo dalla primitiva in talla primitiva in x.
270
Capitolo 8
comporta poi t =In(~+ J(x/2) 2 + l)Y:
fV
2
4+ x dx
~ 2 f /1 + G)
= 4
I
2
d/= 2Cht dt
J1+Sh 2tCht dt = 4
(r+ ~Sh2r) + e=
=2
-X = Sht
dx = [
= 2 ( 1n
2(t
]
I
Ch 2 t dt
+ ShtCht) +e
(~ + J(x/2)2 +i) + ~J1 + (x/2)2)
+C.
® Anche in questo caso ricorriamo alle funzioni iperboliche, e questa volta
usiamo la relazione Ch 2 t - 1 = Sh 2 t, analogamente a prima raccogliamo a 2 e poniamo poi ~ = Ch t (il che, se x è positivo, vuol dire che
t =In(~+ J(x/a)2 - 1)):
I
,Jx2 - a2 dx
J/(::)
J
=a
2
= a
2
2
ESERCIZIO 8.23
•
_
a
= a2
=a
2
1 dx
=[
~
= Ch t
]
dx= aSh t dt
Jch2t - lSht dt = a 2
I
Sh 2 t dt
Ch (2t) - 1 d
t
2
(l2
In
J
sh (2t) - t
)+ e
= a
2
2
( 2ShtCht - t )
2
+e
I binomi
Calcolare gli integrali:
©
I
~1+~
,J"X
dx ;
1
Ricordiamo che per le funzioni iperboliche valgono formule analoghe a quelle delle funzioni
trigonometriche:
Ch 2 a
= Ch (2a) + 1
2
'
Sh 2 a=
Ch (2a) - 1
2
.
Calcolo integrale e applicazioni
271
Soluzione
Siano a, {3, y E Q, l'integrale
si chiama integrale binomio. Si riesce ad integrare in termini finiti nei tre casi
seguentiu:
se y > O l'integrale è immediato, se y < O è sufficiente porre
x = tm, ove m è il minimo comune multiplo tra i denominatori di a e di f3;
•
bf3
·
di y;
2) a
- +l
- E '71
! l . J - s1 pone a+
x = t m , ove me'ildenommatore
13
1
3) a ;
+ y E Z - si pone ax-13 + b = tm, ove m è il denominatore di y.
i) y E Z -
1) Con i simboli appena adottati,
a+ l
f3
a = -~. f3 = ~. y = ~.dunque
=
_.!
2
+1
1
=
poniamo allora 1 + ifi = t 3 , da cui x = (t 3
1) 3 t 2 dt, l'integrale diventa quindi
I
f3
E
Z,
-
1) 4 , e dunque dx
12(t 3
-
~h+ifi
,j'X
dx
@In questo caso,
a+l
2
4
a=-~. f3 = ~. y = -~.dunque
a+ 1
-~ + 1 1
- - +y=
J.
-3=-lE Z,
13
4
u In effetti, non è strettamente necessario che a e f3 siano razionali, è sufficiente che valgano le
condizioni qui riportate. Ad esempio, si può seguire la stessa falsariga per calcolare
272
Capitolo 8
poniamo quindi x - 3 / 4
+1=
t 3 , da cui x = (t 3
dx = - 4t 2 (t 3
-
-
1)-i e
1)-~ dt,
l'integrale diventa
ESERCIZIO 8.24
•
Integrali abeliani
Calcolare gli integrali:
<D
J
x2 + x + 1 dx·
x-Jx 2 -x+l
'
Soluzione
Gli integrali appartengono alla famigUa degU integrali abeliani: integrali del tipo
J
R(x ,Jax2+bx+c) dx,
over R è una funzione razionale; vi sono tre casi:
i) a> O- si pone ,Jax 2 + bx +e = ~x + t;
2) e> O- si ~one -Jax2 + bx +e = ,./C + tx;
3) a < O e b - 4ac > O - dette x 1 e x2 le radici del radicando (cioè le
soluzioni di ax 2 + bx +e = O), si pone ax 2 + bx +e = (x - x 1) 2 t 2 , ovvero
a(x - x1)(x - x2) = (x - x1) 2t 2 .
<D L'integrale in esame ricade nel caso i; poniamo dunque
Jx 2 -
X+ 1 =X + t
(cioè t =
Jx 2 -
elevando ambo i membri al quadrato otteniamo x 2 - x
dunque ricaviamo la x :
l - t2
x=-2t + l '
x
+ 1-
+1=
t2 + t + 1
dx = -2 (2t + 1)2 dt,
x),
x 2 + 2xt
+ t2, e
Calcolo integrale e applicazioni
.Jx 2 -
X
f
1- t2
t2 + t + 1
+ t = -- + t =
,
2t + 1
2t + 1
X
(1-t+
2
2
2
- -) + -l-t
- +1
x 2 + x +I
x-./x 2 - x
+ 1=
1
2t + 1
2
2
1- t t + t + 1
2t + 1 2t + 1
2t
+1
273
t4
2t 3 + 3t 2 + 6t + 1
(1 - t 2 )(t 2 + t + 1)
-
2t 3 + 3t 2 + 6t + 1
t2 + t + I
2
dt
(1 - t2)(t 2 + t + 1) ( ) (2t + J)2
t 4 - 2t 3 + 3t 2 + 6t + 1
= -2
dt =
(1 - t 2)(2t + 1)2
x 2 +x+1
x-./x 2 - x+l
-
--;:::::::= ==dx
f
t4
-
*
f
con un po' di conti, si vede che
-2
t4
-
2t 3 + 3t 2 + 6t + 1
1
1
1
3
5
1
= - - - - - - - - -- + - - - -2
2
2
(1 - t )(2t + 1)
2 1 + t 1 - t 2t + 1 2 (2! + 1) '
dunque
*
=
f
(l
2-
1
1
3
5
I
)
1 + t - l - t - 2t + 1 + 2 (2! + 1)2 dt
11-tl
t
=-+In
- - - -3 lnl2t+l l -5- -1 - +c
2
1+ t
2
4 2t + 1
=
-./x 2 -
X+
1-
X
2
+~
3
--1nl2./x 2 - x
2
@
+l
1-
-./x 2 -
X +
1 +X
+
l + -./x 2 -x+l - x
5
1
-2x +l i - 4 2-./x2 - x + 1 - 2x
+1
+C
Anche in questo caso, l'integrale ricade nel caso 1; poniamo dunque
,./x 2 + x = x + t, elevando ambo i membri al quadrato otteniamo x 2 + x =
x 2 + 2xt + t 2, e dunque ricaviamo la x:
t2
X = --
1 - 2t
,
dx= 2(
t - t2
1 - 2!
t2
t - t2
x+t = - - +t = - - ;
1 - 2t
1 - 2t
) 2 dt,
possiamo allora trasformare l'integrale:
f .J
x2 + x dx =
f(
2
2
t- t )
t- t
1 - 2t 2 (1 - 2t)2 dt = 2
f
(t - t
2 2
)
(1 - 2t)3 dt =
*
274
Capitolo 8
con un po' di conti, si vede che
2
(t-t 2 ) 2
(1-2t)3
1
t
+ x = x + t si ottiene t = ,Jx 2 + x -
dunque (ricordando che da ,Jx 2
*
=
f (-~ + ~ +
t2
1
t
8
= (2x -1),Jx2
1
+x
- 2x2 - 2x
8.1. 4
+e
-2x -
l i+
8
1
32(2,Jx2
1)2
+ ~ ln 12Jx2 + x
8
+
x)
~ 1)3) dt
1
4(2t - 1) - 8(2t
+ -8 + -8 ln l2t - I I + 32(2t -
= --
1
8(2! - 1)3'
1
=--4 + -8 +4(2t-1)
---
+x
- 2x - 1)2
+e
Integrali impropri
ESERCIZIO 8.25
•
Integrali su intervalli illimitati
Stabilire per quali valori del parametro reale a il seguente integrale converge,
f
+oo 1
- dx,
xa
1
per tali valori calcolarlo.
Soluzione
L'integrale su un dominio di integrazione illimitato è definito come limite di
integrali su intervalli limitati:
+00
1a
f(x) dx=
Cominciamo allora con il calcolare
f
1
R- 1
a=l
xa
dx =
lim
R~+oo
1R f(x) dx .
a
Jt )x dx al variare di a, se a = 1
f R1
1
R
- dx = [lnxJi = In R;
x
se a =/= 1
rR _I_ dx= rR
}1
xa
}1
X - a dx=
[-l-x1-a]R
1- a
1
= R1-a - 1
l- a '
Calcolo integrale e applicazioni
275
quindi, se a = I
+oo 1
l
- dx
X
1
= R~+oo
lim ln R = +oo,
csea ;/:-1
+00 1
1
1
sea < 1
Rl-a - 1
-dx=
xci
lim
R~+oo
- { +oo
-
1-a
1
sea > 1
a-1
In definitiva:
+00 1
1
-dx
xci
i
/
converge se a > 1,
\.i
diverge se a
~
I.
resenza di discontinuità
[1
1
lo x/3 dx,
per tali valori calcolarlo.
Soluzione
Negli esempi che sceglieremo, ci limiteremo per semplicità al caso di un asintoto
verticale, la definizione non cambia per funzioni comunque discontinue in uno dei
due estremi dell'intervallo.
In questo caso, la funzione integranda presenta un asintoto verticale in corrispondenza dell'estremo sinistro. Se la funzione f(x) presenta in x = b un asintoto
verticale, l'integrale di f(x) su [a , b] è definito come
b
1
f(x) dx= lim
a
1b-E
e~o
a
f(x) dx ,
analogamente, se la funzione g(x) presenta in x = a un asintoto verticale,
l'integrale di g(x) su [a, b] è definito come
1b
g(x) dx= lim
e~o
a
1b
Nel nostro caso
!a
l
-
1
O X 13
se fi = 1
dx
=
lim
E~O
g(x) dx.
a+e
11 - 1
e
X 13
dx ,
1 1 /3=1 11 1
1 ff dx = e - dx= [lnx]~ = - lne;
E
X
X
276
se f3
Capitolo 8
#
1
1
1
s
~dx=
X
[~x 1 -PJ
{R x-P dx=
11
f3
1
1
1 - s1-p
=
1-
s
f3 '
quindi, se f3 = 1
l
i
1
- dx = lim (- In s) = +oo,
O X
s-+O
ese/3-:f;l
[1 _1 dx =
lo xfl
lim _1_-_s_1_-_P
s-+O 1 - f3
={
+7
1-
In definitivav:
1
- dx
0 xfl
i
l
se f3 > I
se f3 < 1
f3
/
converge se f3 < l,
~
diverge se f3
~
1.
ESERCIZIO 8.27
Calcolare i seguenti integrali :
<D
+00
1
3
1
- -2d x ·
X In X
'
r+oo
@ lo
e-x dx;
@
lo
eZ
lnx dx.
Soluzione
Per ciascuno degli integrali, usiamo la definizione.
<D L'integrale è improprio perché il dominio è illimitato, cominciamo con il
calcolare la primitiva:
/
_1_ dx= [ llnx = t ] =I_.!._ dt
x In2 x
~dx = dt
t2
e quindi
1
+oo -1- dx = lim
3
x In2 x
R-+oo
1
R
3
= -~+e= __1_ +e
t
1
J ]R
-dx = lim [ - x In 2 x
R-+oo
In x 3
lnx
1
In 3
v Ovviamente, questo risultato può essere generalizzato al caso di un asintoto verticale in x
(sia b >a):
/
converge se f3 < 1,
b __
I__,,. dx
'\i diverge se f3 ::: I.
a (x -a)fi
1
= .=
Calcolo integrale e applicazioni
277
li L'integrale è improprio perché il dominio è illimitato, calcoliamolo
direttamente:
/.
+oo e-x dx =
I
lim
R-+oo
!.R e- x dx =
I
lim
R-+oo
[- e-x]
R=e.
1
@ L'integrale è improprio perché in
x =O la funzione integranda ha un asintoto
verticale, la primitiva è (integrando per parti)
I
ln X dx =
In X
X
-
X
+ e,
quindi
e2
lor
e2
e-o hr
lnx dx= lim
2
lnx dx= lim [x lnx -x]e = e 2.
e-o
e
Stabilire se i seguenti integrali convergono o meno:
(!)
/.+oo
I
@
lo+oo
1
eX -
0
loo
3
®
2x - 1
dx·
(J + x)3
'
.JX
dx ·
'
-sinx
-dx·
x2ex
,
1+
00
@
2
x + sinx
dx(x - 1)(1 + -VX)
'
©
lo4 ln(l +,./X) dx·
®
1o21 -e-W-2 dx.
o
o
x(x
+ 3)
'
Sh (2- x)
Soluzione
Per stabilire se un integrale improprio converge o no, vi sono due criteri, analoghi
a quelli per le serie, iniziamo con il criterio del confronto asintoticow.
w Criterio del confronto asintotico (!): Se le funzioni f(x) e g(x) sono definite, positive e
continue nell'intervallo (a, +oo), e per x - +oo si ha che f(x) "' g(x), allora i due integrali
fa+oo f(x) dx e fa+oo g(x) dx hanno lo stesso carattere: o convergono entrambi o divergono entrambi.
Criterio del confronto asintotico (2): Se le funzioni f(x) e g(x), definite, positive e continue
nell'intervallo (a, b], hanno entrambe un asintoto verticale in x = a e per x --* a+ si ba che
f(x) - g(x), allora i due integrali
f(x) dx e
g(x) dx hanno lo stesso carattere: o convergono entrambi o divergono entrambi.
Scriveremo f f - J g.
Ji
Ji
278
Capitolo 8
<D L'integrale è improprio poiché il dominio è illimitato (in realtà, la funzione integranda ha un asintoto verticale in x = -1, ma tale valore è esterno all'intervallo di integrazione, perciò la cosa non ha alcuna importanza),
esaminiamo quindi il comportamento all'infinito di /(x):
1
2x -
(1
x-++oo 2x
+ x)3
x3
2
x2 '
poiché all'infinito 22 è integrabile (la potenza è maggiore di l), allora
X
l'integrale dell'esercizio converge.
@ Anche in questo caso l'integrale è improprio unicamente perché l'intervallo
è illimitato
1
x + sinx
=
(x - 1)(1 + .Vi)
e pertanto l'integrale dato diverge, in quanto la potenza di x è minore di 1.
@ Per ogni x si verifica facilmente che ex - Jx > O, pertanto non ci sono
asintoti verticali al finito, l'integrale è improprio per la presenza dell'estremo
+oo, il comportamento asintotico all'infinito è
l
ex -
x-++oo
Jx
,. .,.,
-1 =e - x .
ex
'
poiché (esercizio precedente) per x che tende a +oo la funzione e- x è
integrabile, anche l'integrale assegnato converge.
© L'integrale è improprio per la presenza di un asintoto in x = O, usando le
stime asintotiche
ln(l
+ ,JX) x~O Jx,
x(x
+ 3) x-+0
,. .,., 3x
ln(l + ,JX) x-+O Jx
1
x(x + 3) "' 3x = 3.y'x'
e poiché la potenza dix è minore di 1, l'integrale converge.
® L'integrale è improprio per la presenza di un asintoto in x = O, usiamo le
stime asintotiche
x-+O
sinx ,...,
X,
::::;.
x 2 ex x-+O
,...,., x 2
sinx
x2ex
x-+0 X
x2
=
l
X
e pertanto l'integrale non converge (la potenza dix è uguale a 1).
x = 2, analizziamo il comportamento asintotico
della funzione:
_ ~ x-+2 3r--;;
,...,., v X - 2L-,
1- e
1
1 - e -~ x-+2 v3r--;;2
x - L=?
=
?
Sh(2
x)
2-x
x-+2
(x - 2)J
Sh (2 - X) ,..., 2 - X
@ L'integrale è improprio in
e quindi (la potenza ~ è minore di 1) la funzione è integrabile, quindi
l'integrale converge.
Calcolo integrale e applicazioni
279
Slabilire se i seguenti integrali convergono :
~~
1+ 2 + cosx
+00 6 + sinx
00
2
X
3
+1
dx;
1
@
7'(
./X
X -
+oo
dx;
1
@
loO
sin x
-dx.
X
Soluzione
Sempre in analogia con quanto accadeva per le serie, vi è a disposizione anche il
criterio del confrontox .
:V Il nostro scopo è mostrare che l'integrale converge (ne siamo persuasi, per
la presenza del termine in x 3 al denominatore della funzione integranda),
dobbiamo allora trovare la funzione maggiorante g, integrabile nello stesso
intervallo, poiché 2 + cos x ~ 3 e x 3 + I :::: x 3 allora
2 + cosx
x3
poiché inoltre
+00 33
1
2
+1
dx=3
X
3
<x3'
-·
-
1+00 31 dx,
X
2
e sappiamo che quest'ultimo integrale converge, allora converge anche
l'integrale di partenza.
x Criterio d el confronto (1): Se nell' intervallo (a, +oo) la funzione f(x) è minore o uguale a
g(x), ed entrambe sono continue e positive (cioè Vx E (a, +oo) si ha O ~ f(x) ~ g(x)) allora
valgono le seguenti implicazioni:
•
la+oo f(x) dx diverge
la+oo g(x) dx diverge,
la+oo g(x) dx converge
1/
00
f(x) dx converge.
Crite rio d el confronto (2): Se le funzioni f (x) e g(x), definite e continue in(a, b ], hanno entrambe
un asintoto verticale in x = a e nell'intervallo (a, b] la funzione f(x) è minore o uguale a g(x),
ed entrambe sono continue positive (cioè Vx e (a,b] si ha O~ f(x) ~ g(x)) allora valgono le
seguenti implicazioni:
li f(x) dx diverge
li g(x) dx converge
In tutti i casi, la relazione tra f e g verrà espressa con
li g(x) dx diverge,
li f(x) dx converge.
lf
~
l g.
280
Capitolo 8
® Visto che il numeratore si comporta sostanzialmente come una costante, e
al denominatore la funzione si comporta come ,JX, proviamo a dimostrare
che l'integrale non converge trovando una funzione minorante, con la stessa
tattica di prima
6 + sinx
5
- --- >-
,JX-1 - ,JX'
e quest'ultima è una funzione il cui integrale non converge:
quindi diverge anche l'integrale di partenza.
è definitamente positiva, pertanto non possiamo
usare il criterio del confronto. In generale, come con le serie di segno qualsiasi, se una funzione non ha segno costante, è possibile verificare la convergenza assoluta dell'integrale improprio, verificando se converge J lf(x)I dx, e
come con le serie la convergenza assoluta implica la convergenza semplice.
Nel caso in esame poiché
@ La funzione integranda non
l s~x l ~ ~
t
e l'integrale di non converge a +oo, avendo maggiorato il modulo di f con
una funzione che non converge nulla possiamo dire riguardo la convergenza
assolutaY. Osserviamo che, poiché s~ x ---+ 1 per x ---+ O, in x = Ola funzione
può essere prolungata con continuità e pertanto nel primo estremo l'integrale
è ben definito. Scriviamo allora
lo
+oo -sinx
!on: -sinx dx+ 1+oo sinx
dx=
dx;
O
O
X
X
n:
X
per mostrare che l'integrale di partenza converge, è sufficiente mostrare che
converge l'integrale su [rr, +oo); lo calcoliamo per parti (integrando sinx e
derivando ~ ):
fr
poiché I }2 cos x I ~
l' ultimo integrale converge assolutamente, quindi semplicemente, e pertanto converge (semplicemente) anche l'integrale di
partenza.
Y
In realtà, è possibile dimostrare che il nostro integrale non converge assolutamente.
Calcolo integrale e applicazioni
281
Determinare se i seguenti integrali convergono oppure no :
<D
@
arctan x
+oo
1+oo
o
l-oo
x 2 (2
+ ./X)
@
dx ·
'
l+oo
-oo
x2
1
+ 2x + 10
dx.
'
X
l
+X
2
dx.
Soluzione
Se un integrale presenta in più di un punto un comportamento "improprio'', è necessario studiarne separatamente il comportamento in corrispondenza di ciascuno
di tali puntiz.
(!)
L'integrale è improprio, sia per la presenza di un dominio illimitato, sia per
la presenza di un asintoto verticale in x = O, spezziamo l'integrale in due (in
un qualsiasi punto di ascissa a):
+ -arctan
x
1a
- - - dx =
1
o
00
x 2 (2 + ./X)
x
1+oo
arctan
dx+
2
o x (2 + ./X)
a
x
arctan
dx,
2
x (2 + ./X)
verifichiamo che ciascuno dei due converga. Esaminiamo l'integrale su
(a, +oo), per x--+ +oo
7r
arctanx
2
x2(1 + ./X) ,. . ., xs/2 ,
per il criterio del confronto asintotico (~ > 1) l'integrale su (a, +oo)
converge; passiamo all'integrale su (O, a), per x --+O
arctan x,....., x
}
x 2 (1 + ./X) ,. . ., 2x 2
:::}
arctan x
x
1
x 2 (2 +./X) ,. . ., 2x 2 = 2x '
poiché la funzione è infinita di ordine 1, l'integrale non converge.
Riassumendo
non converge )
:::} loro+oo
non converge.
converge
z Per esempio, in caso di un integrale su (-oo, +oo), bisogna verificare singolarmente sia
l'integrale a + oo, sia quello a -oo, se entrambi convergono, allora convergerà l'integrale di
partenza.
282
Capitolo 8
@ Notiamo che il denominatore della funzione integranda non si annulla mai,
pertanto la funzione non presenta alcun asintoto verticale e l'integrale è improprio poiché il dominio di integrazione è tutto ~; lo spezziamo come nel
caso precedente:
l
+oo
- oo
la
1
dx=
1.
dx+ 1+00 .
1
dx,
x 2 +2x + 10
-oo x 2 + 2x+10
a
x 2 + 2x+l0
e poiché per x -+ ±oo
1
x2
1
+ 2x + 10 ,...., x 2
che è integrabile, entrambi gli integrali convergono, quindi converge anche
l'integrale di partenza.
@ Operiamo esattamente come nel punto @ :
l
la
+oo __
x_2 dx=
x 2dx+1+00
x 2 dx ,
1+ X
- oo 1 + X
a
1+ X.
- oo
nuovamente notiamo che per x -+ ± oo
1
X
x2
1+
X
che non è integrabile, e quindi nessuno dei due integrali converge, a maggior
ragione non convergerà l'integrale di partenzaaa.
ESERCIZIO 8.31
Determinare per quali valori dei parametri a,
convergono :
<D r +oo
}3
aa
R
1
1
dx;
x(x - 3)a
x
dx=O,
e y i seguenti integrali
+oo 1 - e - x2
@
Il seguente ragionamento: poiché
--R 1 +x 2
f3
e pertanto
!oo
t
x~(x
.:x
2
+ 2)
1
dx;
@
sinx
!oo xY.JI - x2 ·
è dispari, allora per ogni valore R
+00
1
- oo
x
1R
x
- - dx =
lirn
- - dx=O
1+ x2
R-++oo - R I + x2
'
è errato, perché secondo la nostra definizione i due integrali a + oo e a -OÒ devono convergere
separatamente.
Calcolo integrale e applicazioni
283
1- Osservato che la funzione integranda non ha alcuna irregolarità in (3, + oo),
esaminiamone il comportamento agli estremi dell'intervallo:
1
x(x - 3)a
1
1
3(x - 3)a
x(x - 3)a
X43
pertanto, spezzando al solito l'integrale (a > 3):
a
1
1
+00
1 (
l
3
a
xx-3a
(
)
3) a
X X -
dx ,....,
1a ·
dx ,....,
1+00 - 1+
1
(
) dx che converge se et < 1 ,
3x-3a
3
a
xa
1
dx che converge se a+ 1 >O
=> et > O,
e quindi l'integrale del testo converge se O < a < 1.
® Anche in questo caso, la funzione è definita (e continua) in (O, +oo) per
cui è sufficiente analizzare il suo comportamento agli estremi dell'intervallo
d'integrazione:
2
1 - e-x X40 X 2
1
xf3 (x + 2) ,...., 2xf3 = 2xf3-2
-x2
1- e
1
x--*+oo
xf3+1 '
xf3(x + 2)
pertanto, spezzando l'integrale con a > O:
a1 ~ e
- x2
loa -
1
.
- 2 < 1 => f3 < 3,
13
looxx+2
o2x 13
+00 1 - e-xz dx,...., 1+00 /J+l
1
dx che converge se f3 + 1 >O => f3 > O,
1a x 13 (x + 2} a
) dx,....,
_ 2 dx che converge se f3
X
@
e quindi l'integrale converge se O < f3 < 3.
Anche in questo caso, è sufficiente studiare il comportamento della funzione
agli estremi di (O, 1) (osserviamo che .J1 - x 2 = .Jf+X · .Ji""'=X):
sinx
xY.JI -
x2
X--*O x
1
,...., xY = xr- I
sinx
X--*I
sin 1
pertanto (O < a < 1)
a---;:::==
sinx
loa ----=I
1
dx ,....,
dx che converge se y -
loo
1
1
xY .J1 - x2
sinx
---;:::= = dx ,....,
a xY.JI-x2
o xY
1
1
a
sin 1
r;; ~
v2vl - x
dx che converge,
e quindi l'integrale del testo converge se y < 2.
1< 1
=> y <
2,
284
Capitolo 8
8.1.5 Applicazio ni
ESERCIZIO 8.32
•
Aree di figure piane
Calcolare l'area delle seguenti regioni piane limitate:
<D la regione compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di
f
(x) = ln x ,
< x < e3.
quando ..l.
e2 '
@ la regione compresa tra il grafico di f(x) = x 2 e il grafico di g(x) =
@
.JX;
la regione compresa tra il grafico di f(x) = cos x e il grafico di g(x) =
sinx, quando O_:::: x _:::: n.
Soluzione
Data una generica funzione f, l'area della regione di piano compresa tra l'asse
delle ascisse e il grafico di f in un intervallo [a , b] è data da
lb l/(x)I
dx ;
per prima cosa è quindi necessario, per calcolare l'area richiesta, analizzare il
segno della funzione integranda, onde poter se necessario suddividere l'intervallo
d'integrazione [a , b] nei sottointervalli ove f > Oe f <O.
Date due generiche funzioni f e g, l'area della regione di piano compresa tra
i rispettivi grafici in corrispondenza dell'intervallo [a , b] è
ib
g(x)I dx;
lf(x) -
anche in questo caso, è necessario analizzare il segno di f(x) - g(x).
<D Poiché sappiamo che In x è positivo se x > 1 e negativo se x < 1, abbiamo
che
area =
f
3
e
1
IIn x I dx
ez
[ 1]
= -;
1
..L
=
!I
1]e
+ [;
ln x) dx
+
= e2 + e3 -
2.
1
I
1
3
(-
ez
e
ln x dx
3
e2
@
La regione in questione corrisponde all'intervallo O :::: x < 1, in questo
intervallo ../X : :;: x 2 quindi
1
area =
1
o
lx2 - .JXI dx=
11(.JX o
x2 )
dx=
[2
1 ]o 13
-H - -x
3
3
3 1
= - .
Calcolo integrale e applicazioni
~ Determinando il segno di cos x
285
- sin x per O _:::: x _:::: rr, troviamo che
cos x - sin x > O
{ COS X
- Sin X
<0
pertanto
area =
lo
n
1
Icos x
- sin x I dx
1r
Jr
4
=
(cosx - sinx) dx+
Jzr.
(sinx - cosx) dx
4
Jr
= [sinx + cosx]l + [-cosx -sinx] ~ = 2.J2.
4
mi!!'!P.P."5i::tt~EJ;:~. Solidi di rivoluzione
Determinare il volume e la superficie laterale del solido ottenuto facendo ruotare
attorno all'asse delle ascisse il grafico della funzione y = x 3 con O_:::: x _:::: 1.
Soluzione
Sia f(x) una funzione positiva nell'intervallo (a, b), se immaginiamo di fare ruotare il grafico di f(x) attorno all'asse delle ascisse, questo individuerà un solido
di rotazione:
y
Y = f(x)
a
b
X
si può dimostrare che il volume V del solido ottenuto e l' area S L della sua
superficie laterale sono rispettivamente date da
rb
2
V= rr la (f(x)) dx ,
Nel nostro caso, f(x) = x 3 , applicando le formule appena ricordate si trova
V= rr
1
1
o
2
(x 3 ) dx= rr
11
71:
x 6 dx = - ;
o
7
286
Capitolo 8
inoltre
SL
= 2rc
= [
fo
1
x
x3
ESERCIZIO 8.34
J1+(3x 2 ) 2
~ ~
:
14 =i
=
3
dt
]
=
~
o4 =o
~ [ ~ ( 1+ 9t) ~]: =
•
dx=2rc
fo
1
,./l+9t dt
{I
lo
( v1oOO -
;
x 3 JI+9x 4 dx
1) .
Lun hezza di linee cartesiane
Determinare la lunghezza dell'arco di parabola y = x 2, quando O~ x ~ 1.
Soluzione
Sia f (x) una funzione continua nell'intervallo (a , b ), si dimostra che la lunghezza
I della linea y = f(x) è data da
l =
ib
J1
+ (/'(x)) 2 dx.
Nel nostro caso f(x) = x 2 , dunque
I=
fo
1
J1
+ (2x)2 dx= fo
1
J1 + 4_x2 dx;
calcoliamo il corrispondente integrale indefinito, tenendo presente l'Esercizio
8.22,@:
f
J1+4x 2 dx
- [
-
2x = Sh t ]
dx=!Chtdt
- -1
-2
=
~(t + ShtCht) + C
=
~ (1n (2x +
f
Ch 2 t d t
J1+4x 2) + 2xV1 + 4x 2) + C,
e dunque
]I = 2.JS + ln(2 + .J5) ~ 1.479.
1[
l = - In (2x + .J1 + 4x 2 ) + 2x.J1+4x 2
4
ESERCIZIO 8.35
•
o
4
Masse e baricentri
tfn
Una sbarretta, lunga 9cm, ha densità lineare f(x) = (10 + ,/X)
(ove x
rappresenta la distanza dal primo estremo). Calcolare la massa della sbarretta e
la distanza del baricentro dal primo estremo.
Calcolo integrale e applicazioni
287
Soluzione
Sia f(x) una funzione continua e positiva nell'intervallo (a , b), se attribuiamo
ad f(x) il significato di densità di massa (dunque avente come unità di misura
~nj.tà.di massa ) di una sbarretta - unidimensionale - corrispondente all'interurutà d1 lunghezza
\·allo (a , b), allora la massa M della sbarretta e l'ascissa xs del suo baricentro
sono date rispettivamente da
M =
ib
XB = - 1
f(x) dx,
M
ib
xf(x) dx.
a
Nel caso del nostro esercizio, indichiamo con x la ctistanza (in cm) dal primo
estremo del generico punto della sbarretta, e dunque
quindi la sbarretta pesa 108 g; inoltre
xs
= -1
i
9
9
x(lO + ,JX) dx= - 1 [ 5x 2
108 o
108
+ -2 R
]
.5
o
= -93 = 4.65,
20
dunque la distanza del baricentro dal primo estremo della sbarretta è 4.65 cm.
8.1. 6
Funzioni integrali
ESERCIZIO 8. 36
•
Insiemi di definizione, segno
Date le funzioni
e'
x
CD F(x) =
1
4
@F(x)=
1+
2
® F(x) =
1 + y't(lO - t)
x
et
f
I
1
~dt;
t2
-
t
dt·
'
@
©F(x)=
lix
l
f
@
F(x) =
1
cos2 t In t dt;
et
x
- 1
x cost
- - dt;
t +1
F(x) =
x
1+
~dt;
t2
-
t
cost
lftTI dt;
t +1
stabilire quale sia l'insieme di definizione D F di ciascuna di esse. Per le.funzioni
dei punti CD-© specificare in quale sottoinsieme di D F F è positiva e in quale è
negativa.
288
Capitolo 8
Soluzione
Data una funzione f (t), continua in un intervallo (a, b), il teorema fondamentale
del Calcolobb garantisce che la suafunzione integrale F(x) sia (continua e) derivabile in tutti i valori x dell'intervallo (a, b).La condizione data da tale teorema
può essere però talvolta "superata'', e l'insieme di definizione di F(x) può essere
più esteso del corrispondente insieme di f: se la funzione integranda presenta in
x = un asintoto verticale, e in un intorno dix l'integrale (improprio) converge,
allora la funzione integrale potrà essere definita anche in x = x; se inoltre f è
definita da ambo le parti dix allora F(x) può "scavalcare" l'asintoto verticale.
© L'insieme di definizione della funzione integranda è D f = [O, 10], dove f è
continua; dunque l'insieme di definizione di F è D F = [O, 10]. Osserviamo poi
che la f(t) >O in tutto D f, quindi
x
X
> 4
lx f
~
(t) dt > O,
mentre (poiché cambiare l'ordine degli estremi di un integrale equivale a cambiare
di segno il risultato)
X
< 4
~
lx f
=-
(t) dt
i
4
f
(t) dt < 0;
In definitiva il segno di F(x) si comporta come segue:
0 :'::
X
<4
F(x) <O
X
= 4
F(x) =O
4<
X :'::
10
F(x) >O
@ L'insieme di definizione della funzione integranda è D f = (O, +oo), dove
è continua; dunque F è definita (e derivabile) in tutto D f; osserviamo che
lim F(x)
x-+O+
= f 0 cos2 tln t dt = -
11
f
[1cos2 t1n t dt,
lo
l'ultimo integrale, che è improprio nel primo estremo, converge poiché
x-+0
cos t ln t ,..., In t
e per t -+ O la funzione logaritmo è integrabile (Esercizio 8.24, @), quindi esiste
finito
lim F(x) = lo,
x-+O+
bb
Teorema fondamentale del Calcolo: data
F(x)
=
la funzione F(x) è derivabile in (a, b) e F'(x)
f (t) continua in (a , b) e dato xo E
lx
f(t) dt:
xo
= f(x) per ogni x
E
(a, b).
(a , b), sia
Calcolo integrale e applicazioni
289
e dunque D F = [O, +oo) . Per quanto riguarda il segno di F, abbiamo che f(t) >
per t > 1 e f (t) < O per O < t < 1, dunque se x > 1 avremo ovviamente
che F(x) > O, mentre se O < x < 1 la corrispondente F(x) è un integrale di
una funzione negativa (e quindi avente valore negativo), ma con i due estremi in
ordine scambiato. Riportando dunque i due estremi nel corretto ordine crescente
e cambiando nuovamente valore all'integrale, si ottiene un risultato positivo; in
definitiva F(x) >O anche per O < x < 1.
~ L'insieme di definizione della funzione integranda è D f = (- oo, O]U[1 , +oo),
ivi f è continua. Tuttavia, non è possibile calcolare l'integrale di f su un intervallo che contenga (O, 1), ove f non è definita. Poiché dunque il "campo base"
da cui calcoliamo i valori di F è x 0 = 2, F è definita solo per quei valori di x
per i quali l'integrale tra 2 e x ha senso, dunque per x ~ 1, in definitiva quindi
D F = [1 , +oo). Poiché analogamente al punto © la funzione integranda è positiva per ogni valore di t, possiamo concludere che F(2) =O, F(x) >O sex > 2
e F(x) <O per 1 ::::: x < 2.
~ La funzione integranda è la stessa del punto precedente. Valgono dunque le
stesse considerazioni fatte pocanzi. L'unica differenza è nel "campo base": poiché
xo = -1, in questo caso ad avere significato sono gli integrali tra - 1 e x con
x ::::: O, dunque D F = (-oo, O]. Ancora una volta, sfruttando gli stessi argomenti
del punto precedente, possiamo concludere che F(-1) =O, F(x) >O se -1 <
x ::::: 2 e F (x) < Oper x < - 1.
@ L'insieme di definizione della funzione integranda è D f = (-oo, -1) U
(-1, + oo), ivi f è continua. Osserviamo che la funzione integranda non è integrabile in senso improprio in un intorno di .X = - 1, poiché il numeratore è
finito e il denominatore è un infinitesimo del primo ordine; ripetendo dunque lo
stesso ragionamento del precedente punto @, poiché x 0 = 1 l'integrale che definisce F dev'essere fatto su un intervallo interamente alla destra di .X, e dunque
Dp = (- 1, +oo).
@Come al punto precedente, l'insieme di definizione della funzione integranda è
D f = (-oo , - 1) U (-1 , +oo), ivi f è continua. Al contrario di prima, tuttavia,
f (t) è integrabile (in senso improprio) nell'intorno di .X = -1; dunque è possibile
attribuire un valore anche agli integrali calcolati su un intervallo che comprende
.X, a titolo di esempio
{-2
F(-2)
=
=
cost
d
fl
cost
d
11 Vt+1" t = - l-2 Z/t + 1 t
1
- { r- ~ dt + f 1 ~ dt}
l-2 t + 1
l-1 t + I
ed entrambi i due integrali che compaiono all'ultimo membro sono convergenti.
In definitiva, grazie all'integrabilità in senso improprio di f(t) nell'intorno di
x = -1 possiamo dire che F(x) è definita su tutto D F = JR.
290
Capitolo 8
ESERCIZIO 8.37
•
Simmetrie
Date le funzioni
l
<D F(x) =
x
i
F(x) =
x sint 4
- 2-
t
1
x-sin t
2
.Vt 2 +2
2
@
te'
+1
dt;
@
F(x) =
lao
t2
-
4
+1
dt;
dt;
stabilire se il grafico di ciascuna di esse abbia simmetrie particolari.
Soluzione
Sappiamo che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari, e che la
derivata di una funzione dispari è una funzione pari. È possibile dimostrare che la
funzione integrale di una funzione dispari è (sempre) una funzione pari, mentre
non è detto che la funzione integrale di una funzione prui sia una funzione dispari:
se f (t) è pari, allora
F(x) =
fox f(t) dt
è una funzione dispari, mentre per ogni xo =/= O la funzione
F(x) = {x f(t) dt
lxo
non è né pari né dispari, o meglio il grafico di F(x) è quello di una funzione
dispari, traslata in verticale:
F(x) = { x f(t) dt =
lxo
{o f(t) dt +
{x f(t) dt
lxo
lo
'-..,-'
~
valore costante
funzione dispari
Q) La funzione integranda è dispari, dunque
.
F(x) è pari.
è pari; F(x) è definita partendo da xo = O, dunque è
una funzione dispari.
@ La funzione integranda (la stessa del punto precedente) è pari; in questo caso
xo =/= O, dunque F(x) non ha simmetrie evidenti (ma si tratta pur sempre di una
funzione dispari traslata).
@ La funzione integranda
•
ESERCIZIO 8.38
Comportamento all'infinito
Determinare il comportamento per x --+
<D F (X) =
@ F(x) =
x
lao
t2
+1
. 4 dt;
2 + smt
{ x 2t2 + ln(t + 1) dt;
lo
t2
+e-'
+oo delle funzioni seguenti
x
IA'I
~
F
(
X
)
-t
~dt;
o t +2
2t + ln(t + 1)
t
la
lax
=
@F(x)=
0
t
+e-
dt.
Calcolo integrale e applicazioni
291
Soluzione
Sappiamo che (Esercizio 7.18) le informazioni relative al comportamento per
~ +oo di una funzione f(x) si hanno dallo studio del limite
x
lim f(x)
x -+oo x '
e. qualora questo esista finito (diciamo uguale a m),
lim (f(x) - mx).
x-+oo
Esaminiamo i casi proposti dal testo, sfruttando il teorema di de l'Hòpital per sbarazzarci delle difficoltà dovute alla definizione di F(x) tramite integrale: ricordiamo infatti che - grazie al teorema fondamentale del Calcolo - F' (x) = f (x ), ove
f è la fu nzione integranda.
J: Poiché (per definizione di integrale improprio)
la+oo
x t2 + 1
lim F(x) = lim
dt =
x-+oo
x-+oo o 2 + sin t 4
lo
o
t2
+1
2 + sin t 4
dt
2
e l'ultimo integrale diverge a +oo (per il criterio del confronto: z+t smt
"!'" 1 4 >
studiamo l'eventuale presenza di asintoti:
r
lim F(x) =
x-+oo X
lim
lo
t2 +i
2 +sin t 4 dt C!!)
x~+oo
x2 + 1
4
ll·m -2 -+-sinx
-=+oo.
x-+oo
X
2
3 ),
t
l
Poiché il limite trovato è +oo, possiamo concludere che la funzione F(x) tende
a +oo con la concavità rivolta verso l'alto.
~ Come al punto precedente, studiamo il comportamento di F:
lim F(x) = lim
x-+oo
x~+oo
f x e-t
lo .Jt+2
dt = f
lo
+oo
e-t
.Jt+2
dt.
L'ultimo integrale converge, dunque F ha un asintoto orizzontale: F (x)
ove
+oo
-t
l =
e
dt
loo
x~oo l,
.Jt+2 .
Possiamo (ma è facoltativo) provare a "quantificare" l: osserviamo - e si tratta di
una maggiorazione alquanto grossolana - che per t > O abbiamo 1 < .Jt+2 <
e', dunque
292
Capitolo 8
Integrando tra O e
+oo otteniamo
~
= r+oo e- 2 t dt < l < r +oo e-t dt = 1.
lo
2
@ F(x)
lo
è infinita per x --+
.
( )
F x
x-+oo
lim
+oo, infatti:
.
ix 2t 2 + ln(t + 1)
= x-+oo
lim
t 2 + e- t
0
dt
2
2t + ln(t + 1)
= i+oo
dt
o
t2 + e- t
e l'ultimo integrale diverge. Verifichiamo l'eventuale presenza di un asintoto
obliquo:
[ x2t 2 +ln(t+l) d
lim F(x) = lim lo
t2 + e-t
t
x-+oo X
x-+oo
X
2x2 +ln(x+l)
<!!)
lim
_ _x_2_+_e-_ x_ _
x-+oo
1
= 2.
Il candidato coefficiente angolare dell'asintoto è m = 2, passiamo al termine
notocc :
Jim [F(x)-2x ] =
x-+oo
=
=
=
.
[i x 2t2 + ln(t + 1) dt - 2ix 1 dt ]
hm
x-+oo o
t 2 + e-t
o
2
+ ln(t + 1) -2]
+ e-t
.
ix ln(t + 1) - 2e-t
lim
dt
x-+oo o
t 2 + e-t
+oo ln(t + 1) - 2e- t
ili.
o
t2 + e- t
i
ix [2t
.
hm
x-+oo o
t2
dt
L'ultimo integrale converge per il criterio del con{ronto asintoticodd, dunque la
funzione F ammette asintoto obliquo a +oo.
© La situazione è analoga a quella del punto precedente:
lim
x-+oo
cc
dd
F(x) =
lim
+oo,
È comodo osservare che
x-+oo
F(x) = 2.
X
x= fox I dt.
È infatti possibile mostrare che
f+oo
12
I
xa lnJl x dx
converge Vf3 se a > l, e converge Vf3 > I se a
=
I, mentre diverge in tutti gli altri casi.
Calcolo integrale e applicazioni
293
Se ora proviamo a detenninare q (il termine noto dell' asintoto obliquo), con conti
identici a quelli appena svolti otteniamo
lim [F(x) - 2x]
x-++oo
=
2
lim [ {x t + ln(t; l) dt - 2 {x 1 dt]
x-++oo l o
t +elo
=
.
lax ln(t + 1) - 2e-1
lim
dt
x-++oo o
t + e- t
=
+oo ln(t
lao
+ 1) - 2e-1
t + e-t
~.
Quest'ultimo integrale diverge; in definitiva F non ammette asintoto obliquo per
X~
+oo.
Date le funzioni
Q) F(x)
=
i
x
l
r x2+1
e'
- dt;
t
@ F(x) =
12
2
sin t dt;
scrivere per ciascuna di esse il polinomio di Taylor di grado 2 centrato in x 0 = 1,
disegnare inoltre un grafico qualitativo di F nell'intorno di xo = 1.
Soluzione
Sappiamo che il polinomio di Taylor di grado 2 centrato in xo di una generica
funzione f(x) è
T2(x) = g(xo)
+ g'(xo)(x -
xo)
1
+ 2g"(xo)(x -
xo) 2 ;
F e delle sue derivate prima e
seconda in x 0 = 1.
i Osserviamo immediatamente che F(l) = O, inoltre (detta, al solito, f la
funzione integranda)
m entrambi i casi, occorre determfoare il valore di
ex
ex(x - 1)
F'(x)=f(x) =-, F"(x)=f'(x)=
2
X
X
=?
F'(l) =e, F"(l) =O.
In definitiva il polinomio cercato è
T2(x) =O+ e(x - 1) +
1
2
O(x - 1) 2 = e(x - 1).
Per disegnare un grafico qualitativo nell'intorno di un punto, avremmo bisogno
di informazioni circa la concavità/convessità di F. La derivata seconda indica la
possibile presenza di un flesso; ricorriamo dunque alla derivata terza:
Fm(x)
=
f"(x) = ex(x2 - 2x
x3
+ 2)
=?
F'"(l) =e .
294
Capitolo 8
La funzione F ha pertanto in x = 1 un flesso ascendente, ed il suo grafico qualitativo nell'intorno del punto è
y = F(x)
y = e(x -1)
X
@ La funzione F del testo non è propriamente una funzione intefale, bensì una
funzione composta con una funzione integraleee. Detto fi(x) = x + 1, osserviamo che fi(l) = 2 e dunque F(l) = O (poiché i limiti dell'integrale coincidono);
inoltre
F'(x)
= f(fi(x))fi'(x) = 2x sin[(x2 +
1) 2 )
F'(l)
:::}
= 2sin 4.
Derivando la F' così ottenuta
F"(x)
=
!
(2x sin[(x 2 + 1) 21)
= 2sin[(x2 +x) 2 )+8x 2 (x2 + 1) cos[(x 2 + 1) 2 ].
Dunque F" (1) = 2 sin 4 + 16 cos 4, in definitiva
T2 (x) = (2sin4)(x -1) +
~(2sin 4 + 16cos 4)(x -
1)
2
.
Infine, poiché sin 4 < O e cos 4 < O, e quindi F' (1) < O, F" (1) < O, il grafico di
F(x) in un intorno dix = 1 è
= (2sin 4)(x - 1)
X
ee È sufficiente adattare il teorema fondamentale del Calcolo, per ottenere (a patto che tutte le
funzioni coinvolte siano sufficientemente regolari):
F(x)
=
1
~ (x)
a(x)
f(t) dt,
::::}
F' (x)
= f(fJ(x))fJ' (x) -
f(a(x))a'(x).
Calcolo integrale e applicazioni
8.2
295
Esercizi proposti
40 Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
©
J
(3x 5
-
4x 4
+x2 -
3x - 6) dx;
f
@
[ Ci) lx6
2
5 + lx 3
- !x
5
3
f
@
2
tan
X
(cos 1x - sin 3x
dx.
+e-X
X - X
+ C;
@ ln (ex
+ 1) + C]
Calcolare i seguenti integrali definiti:
Ci)
@
@
42
1
l
2 - 6X + C· @l sin2X + lcos3x- !e-Jx + C]
lx
2
,
2
3
3
-
[@l~C;):=l + C; © tan
41
f
@
dx;
+ e-3 x) dx;
r
1-rr
3
( xlx 3 1- COS 3
X+
X
2
frr /
1-rr/2
( xlx 3 1- cos 3 x
1_: (
x 3 cos(x 2 )
4
+
sin(x 3)
-
X 2
+ 1x + l
dx;
)
3
x
x 4 + 1x2
+l
dx;
)
+ .vfxT + Jn(x + 2))
dx.
Calcolare i seguenti integrali definiti:
1
<D
fo L.JXJ dx;
@
fo
9
mant(.fi) dx;
@
fo
2
"
L2sinxJ dx .
[© 9; @ 5;
43
@ -
Calcolare le aree delle regioni piane sotto elencate:
© regione piana limitata compresa tra l'asse delle ascisse e la funzione y = x 2
quando x E [O, 3];
® regione piana limitata compresa tra le funzioni y = x 2 - 2x e y = 3x - x 2 ;
2
@ regione piana limitata compresa tra le funzioni y = 2x + 3 e y = x .
[©
44
rr]
-
1x,
.!!_. @ 125. @ 32]
3'
24 ,
3
Calcolare i seguenti integrali indefiniti (H(x) è la funzione di Heaviside) :
©
f
xH(x) dx;
@
f
e- lxi dx.
(© 4x2 H(x) + C;
@sgn (x)(l - e-lxi)+ C]
296
45
Capitolo 8
Calcolare i seguenti integrali (n
N, a e f3 sono dei parametri reali):
lotr xcos(nx) dx;
©
[©
46
E
J
eax cos(f3x) dx.
@
(-1~~-I;
aC~2 (a cos(f3x) + f3 sin(f3x)) + C J
@
Calcolare i seguenti integrali:
©
11 x 2 + X4x + 8 dx-'
4
@
1
J
1
@
6x
X 2 +X
3
0
-2
dx·
'
dx·
© 14 2X +2
'
3 4x - 8x - 5
4x + 1
dx·
1/2 4x 2 - 8x + 5
'
dx· ®
® 13 3 X 2+3
2 x - x + x- 1 '
11
x+3
o x3 + x2 + x + 1 dx .
arctan ~3 _ !!.4 + l2 In Q.
"" 2 Jn 54. @ Str- 4In 2]
["'
w
8' ~
25'
8
[ ©.!.In 21 · ® In 2 - arctan 3 + arctan 2· @ tr+ln2]
8
47
'
'
2
Calcolare i seguenti integrali:
©
@
lo
f
1
ln(4x 2 + l) dx;
@
1 (xe -x - sin
ZIX) dx;
- I
1
arctan(2x - 1) dx;
©
1/2
®
f
11ln(x + 1)2 dx·
o (x + 2)
®
'
[©
11VIn(2x + I) dx ·
o
2x + 1
'
12
lo
(x + .Vl + ex)ex dx.
ln5+arctan2 -2;@ -2e- 1;
@"-i 102 )
[@~V(ln3) 4 ; ®~ln2-1n3;@e-2+Htf(l+e)S-.vn} ]
48 Calcolare i seguenti integrali:
©
f"/4
lo
(cos3 x - sin 3 x) sinx dx;
@
trf
2
1
o
2sinx - 3cosx
dx.
2+sinx
. ® 9-4.J3x + 31n ~]
[© 14-3tr
32 '
9
3
49 Calcolare i seguenti integrali:
©
t
3-cosx
dx ·
1f (1+2cosx) sin2 x '
f
@
-!f sinx cos3 x
1
o
- - -2-dx.
1 +sin x
1
- (9-7.J3+141n 2(.J3-1)
i+.J3 ) ·' @In12 _ !J
[© -3.J3
4
297
Calcolo integrale e applicazioni
50
Calcolare i seguenti integrali:
1
3
(i)
1 xR-=1"
51
®
dx·
~ (1 + .ifX}4 dx.
{116
11
'
2
X
l:lx7
1
Calcolare i seguenti integrali:
1
-2
(i)
1
-3
(x
+
I).J4x 2
@
dx;
+ 2x
1
1
X
-;-:;-;::::::;:=
= = dx.
1
2
.ç/x +x+l
52
Stabilire per quali valori dei parametri contenuti i seguenti integrali impropri
convergono:
10
CD
1
o
x sinx
(x 2
+ x)«
@
dx ·
'
[
+ l)a
(x + 3)3 + ePx
(x
+00
1
o
CD cx< 3·@
'
+00
dx;
@
1
(x
0
/3 >O=> Vcx
{f3~0=>cx<2'·
@
xe«x
+ 6)P
dx.
a> O=> 'li/3
et.=0=>/3>2
{
a< O=> Vf3
]
53
Stabilire per quali valori dei parametri contenuti i seguenti integrali impropri
convergono:
+oo
CD
f
1
1
@
elfx
(x
+ l)(x -
l)Y
+00 xY[In(ex - 1)]
o
x2(1
+ x4)
dx·
'
@
+oo e-r./X sinx
1
1
xY
O
+00
dx·
,
©
2
dx·
'
xe«x
(x 2
+x -
6)P
dx
·
[CD O < y < 1; @O < y < 2; ® 1 < y < 4; ©a < O, f3 < l ]
54 Calcolare il volume V e la superficie laterale SL dei solidi di rotazione ottenuti
facendo ruotare attorno all'asse delle ascisse le seguenti funzioni, negli intervalli indicati:
CD f(x)
= Ch x,
O < x < I;
@
f(x) = sinx, O< x <Jr.
CD V= ~(I +ShlChl),SL = rr(l +ShlChl);
[ @V = n 2 , SL = 2rr(.J2 + ln(l + ../2))
2
J
298
Capitolo 8
55 Calcolare la lunghezza L delle curve cartesiane individuate dalle seguenti funzioni,
negli intervalli indicati:
© f(x)
= H, O < x
< 1,
® f(x)
= Chx,
[<D t =
56
O< x < 1.
1
27 (13.JT3-8);®L
=Shl ]
Una sbarretta è lunga 1 m, e ha densità lineare
X +
f (x) = x2
}
+I
[kg]
m
,
(ove x rappresenta la distanza dal primo estremo). Calcolare la massa M della sbarretta e
la distanza d del baricentro dal primo estremo.
[M =
n+d" 4
'.:::'.
l.l320kg, d =
57 Studiare, al variare di a E JR, la funzione
F(x)
= fx ea' lnt dt.
4
-;;~in1 ~ 4
'.:::'.
49.58cm]
Algebra lineare
9.1
Esercizi svolti e richiami di teoria
9.1.1
Algebra delle matrici e dei vettori
ESERCIZIO 9.1
•
Le matrici e le loro dimensioni
Vettori riga e vettori colonna
Scrivere la matrice A i cui elementi sono de.finiti dalla relazione aii = lOi + 2j,
con i E {l,2,3} e j E {1,2,3,4}, scrivere la matrice Bformata da una sola
colonna, il cui generico elemento bk è - Ik, con k E {l, 2, 3, 4, 5}.
Soluzione
Se una matrice M han righe e m colonne, indicheremo questo fatto con la scrittura
M E vlt(n, m); le matrici del testo sono rispettivamente A E .4t(3, 4) e B E
vlt(5, 1), e
·
A=
12 14 16 18 ]
22 24 26 28
[ 32 34 36 38
una matrice ME vlt(n, 1), come ad esempio B, viene detta anche vettore colonna,
una matrice ME vlt(l, m) viene detta anche vettore riga.
ESERCIZIO 9. 2
•
Matrice tras osta
Scrivere le matrici trasposte delle matrici A e B dell'esercizio precedente.
Soluzione
Data una matrice M E vlt(n, m), la sua matrice trasposta MT E vlt(m, n) si
ottiene scambiando righe e colonne. La trasposta di un vettore riga è un vettore
colonna, la trasposta di un vettore colonna è un vettore riga. Nel caso in esame,
abbiamo rispettivamente
12
14
A 16
[ 18
T _
22
24
26
28
32]
34
36
38
1 - 1 1 - 1].
rI
300
Capitolo 9
Osservazione: da adesso in avanti, le matrici verranno indicate con le lettere
maiuscole, in grassetto; quando faremo esplicitamente riferimento a vettori (cioè
a matrici con una sola riga o una sola colonna), si tratterà sempre di vettori colonna, in altre parole: il simbolo v indicherà sempre un vettore colonna, mentre vT
indicherà un vettore riga.
ESERCIZIO 9.3
•
Proootto i:li una matrice per un numero
Somma e differenza di matrici
Date le matrici
e
calcolare 3A, A
+ 2B e 3A -
4B.
Soluzione
Il prodotto di una matrice per un numero À si ottiene moltiplicando per ).. tutti gli
elementi della matrice:
aim ]
[ Àa11
azm
an2 ·· ·
Àa21
...
..
.
anm
Àan1
Àa12
Àa22
Àa1m ]
Àa2m
'
Àan2
Àanm
e allora
3A =
12 3 ]
21 - 3 .
[ 9 30
Somma (e differenza) di due matrici aventi lo stesso numero di righe e di colonne
si effettuano sommando (sottraendo) gli elementi corrispondenti, ad esempio:
nel nostro caso
A
+ 28 = [
i ~6 ]
3A-4B = 3[ ;
3
+2[
~~
is ]
=[
~ ~ ];
~110 ]-4[ -1I~ -5i ] = [ ~~9
=~
13 50
]·
Algebra lineare
ESERélZIO 9.4
•
301
Prodotto fra matrici
Date le seguenti matrici
M=[i
~i]
calcolare MN e NM.
Soluzione
TI prodotto tra due matrici si può effettuare solo se il numero di colonne del primo
fattore corrisponde al numero di righe del secondo fattore (si chiamano conformabili due matrici che soddisfano questa proprietà), inoltre il numero di righe del
risultato corrisponde al numero di righe del primo fattore, mentre il numero di
colonne del risultato corrisponde al nwnero di colonne del secondo fattore, ossia:
se A E .4(n, k) e BE .4(k, m), allora AB E .4(n, m):
A
B
(n, k) uguali! (k, m)
AB
(n, m)
~I~~~~~-'~1~~~~----_-_-_-....=1~
1
L'elemento c ij della matrice AB si calcola prendendo la riga i -esima della matrice
A e la colonna j -esima della matrice B, moltiplicando gli elementi corrispondenti
e sommando i risultati:
[
ai! a;2
·· a;k
ove
J[· · :~: · · ]~ [· ·
Cij = ai1 blj
+
ai2b2j
+ ... +
C;j ·
J
aikbkj.
La matrice MN avrà tante righe quante sono le righe di M (cioè 2) e tante colonne
quante sono le colonne di N (cioè 2), e avremo
MN _ [ 2 · 1+1·O + 3. · 4 2 · (-1) + 1 ·I+ 3. (-10) ]
1·1+2·0+ 1 ·4 l ·(-1)+2·1+1·(- 10)
-
- [ 14 -31 ]·
5 -9 '
invece, la matrice NM ha tante righe quante sono le righe di N (cioè 3) e tante
colonne quante sono le colonne di M (cioè 3):
1·2+(-1)·1
1·1+(-1)·2 1·3+(-1)·1]
0·2+1·1
0·1 + 1·2
0·3+1·1
[ 4 . 2 + (-10) . 1
4·1+(- 10)·2 4·3+(- 10)·1
1 -1 2 ]
=
1
2
1 .
[ - 2 - 16 2
NM=
Osserviamo che il prodotto tra matrici non è commutativo, cioè .in generale
MNtfNM.
302
Capitolo 9
ESERCIZIO 9.5
•
Prodotto fra vett
_ o r_l_e_m
_ a_t_rl_c_i - - - - - - - - -- -
Data la matrice A e i vettori v e w sotto indicati,
calcolare v T A e Aw.
Soluzione
Il prodotto tra una matrice A ed un vettore u (ricordiamo che per noi un vettore è innanzitutto un vettore colonna) deve sottostare alle regole del prodotto tra
matrici; pertanto, se A E .4t(n, m):
• per calcolare il prodotto Au è necessario che u abbia m componenti, ossia
U E .,;/t(m, 1):
A
u
Au
(n, 1)
(n,m)
(m, 1)
• per calcolare il prodotto uT A è necessario che u abbia n componenti, u
.,;/t(n, 1) e dunque u T E .,;/t(l, n ) :
UT
(l, n)
A
(n,m)
E
=
vT è un vettore riga, avente due colonne (tante quante le righe di A), quindi vT e
A sono conformabili e
w è un vettore colonna, formato da tre righe, e la matrice A ha tre colonne, A e w
sono conformabili e
Aw
ESERCIZIO 9.6
Siano A
E
•
=[
b ~ ~I
] [
~1 ]
=[
=~
].
Prodotto fra matrici e tras~osizione
.,;/t(n, k) e B
E
J/t(k, m), dimostrare che
(AB) T = BTAT.
Soluzione
Le matrici A e B sono conformabili per ipotesi. Sia aij l'elemento che si trova
sulla riga i -esima e sulla colonna j -esima del primo membro dell'uguaglianza
(cioè di (AB) T), e sia fiiF l'elemento che si trova sulla riga i -esima e sulla colonna
Algebra lineare
303
j-esima del secondo membro dell'uguaglianza (cioè di BT AT), mostriamo che i
due valori coincidono.
In seguito alla trasposizione, <Xij è l'elemento che si trova sulla j -esima riga
e sulla i -esima colonna di AB, dunque
k
<Xij =
La jhbhi =a jlbli +a j1b2i + ... + ajkbki;
h=l
f3 ij è l'elemento che si trova sulla i -esima riga e j -esima colonna di BT A T,
dunque il prodotto dell'i -esima riga di BT (e cioè la i -esima colonna di B, che è
diventata riga) con la j -esima colonna di AT (e cioè la j -esima riga di A, che è
diventata colonna), in formule
·
Osserviamo che <Xij = f3ij, e dunque la proprietà è dimostrata.
ESERCIZIO 9. 7
•
Matrici triangolari e diagonali
Mostrare che se A e B sono triangolari superiori (inferiori), allora lo sono anche
la somma A + B e il prodotto AB, mostrare che se A e B sono diagonali, allora
lo sono anche la somma A + B e il prodotto AB.
Soluzione
Si dice triangolare superiore una matrice quadrata T s i cui elementi sotto la diagonale sono tutti nulli, si dice triangolare inferiore una matrice quadrata T1 i cui
elementi sopra la diagonale sono tutti nulli:
Ts =
[~o
·.:
o ... o
il
si dice diagonale una matrice D in cui tutti gli elementi sia sopra sia sotto la
diagonale sono nulli:
·
D=
[~ ~ ~]
O
Il fatto che la somma di matrici triangolari superiori dia ancora una matrice triangolare superiore, che la somma di matrici triangolari i_nferiori dia ancora una matrice triangolare inferiore, e che la somma di matrici diagonali dia ancora una
304
Capitolo 9
matrice diagonale è immediato; scriviamolo nel caso di due matrici triangolari
superiori: se A e B sono triangolari superiori, allora
j > i
se C = A
::::}
+ B, abbiamo
Cij = aij
+ bij
j>i
= 0+0
per quanto riguarda il prodotto, se M = AB, allora preso j > i dobbiamo dimostrare che mij = O, infatti
mij =
n
i
n
k=l
i
k= l
n
k=i+I
L aikbkj = L aik · bkj + L
= Laik ·O+ L
k=l
O·bkj
aik · bkj
=O;
k=i+l
infatti nei termini della prima sommatoria bkj = O perché k va da O a i, che è
minore di j per ipotesi; nei tennini della seconda sommatoria aik = O perché k
va da i + 1 a n, e pertanto è maggiore di i. Analoghi conti si possono fare con
le matrici triangolari inferiori. Per le matrici diagonali, è sufficiente osservare che
una matrice diagonale è contemporaneamente triangolare superiore e triangolare
inferiore.
ESERCIZIO 9 . 8
Matrici _
a~sc_a_la~-----------------'
•
Dire se ciascuna delle matrici
]
<D
rn
o
3 4]
3
1 ;
o
1 -1
[~ ooo oo o fr
2
l
@
2
3 1
@
1
©
rn
[~
o o
o 1
o o
]
2
2
2 1 2
o 3 l
o o o
o o o
!l
il
è una matrice a scala.
Soluzione
Diciamo che una riga di una matrice è una riga nulla se tutti i suoi elementi sono
nulli, se una riga non è nulla, chiamiamo pivot il primo elemento (da sinistra a
destra) diverso da zero.
Una matrice è a scala se verifica le seguenti due caratteristiche:
• se vi è una o più righe nulle, queste sono le ultime righe della matrice (in altre
parole: dopo una riga nulla non vi può essere una riga che non sia nulla);
• il pivot di ciascuna riga dev'essere a destra dei pivot delle righe precedenti.
Algebra lineare
305
In ciascuna matrice segniamo in grassetto i pivot e lasciamo indicati gli zeri che li
precedono; sostituiamo invece un asterisco ai numeri che non giocano alcun ruolo.
<D La matrice è
[o~ ~1 ;* =]* '
il pivot della terza riga non è alla destra del pivot della seconda riga, dunque
la matrice non è a scala.
@ La matrice è
[o~ o~ o~ :2 ***]'
@
ciascun pivot è a destra dei precedenti, dunque la matrice è a scala.
La matrice è
o o2 3* *
* **]
o
o
o
o
o '
[
o o o 1 *
ciascun pivot è a destra dei precedenti, tuttavia la terza riga è una riga nulla,
e dopo di essa vi è un'altra riga, che non è nulla: la matrice non è a scala.
© La matrice è
[H~ ~ ~] ,
o o o o o
ciascun pivot è a destra dei precedenti, e le righe nulle sono in fondo: la
matrice è a scala.
ESERCIZIO 9.9
•
Riduzione a scala. Metodo di eliminazione di Gauss
Ridurre a scala le seguenti matrici:
00
A=[~
I
3
2
5
2 - 1
4 I
4 2
7 -1
n
®B = [
~l
4 -2
I -1
2 o
9
2
5
4
13 ]
8 .
o o o o
Soluzione
Il metodo di eliminazione di Gauss (in breve MEG) permette di ridurre a scala
qualsiasi matrice; esso consiste nella ripetuta applicazione di tre "mosse"a:
a Le vere e proprie "mosse" sono le prime due, la terza è un trucco per (a volte) semplificare i
conti.
306
Capitolo 9
• sommare a una riga il multiplo di un'altra riga;
• scambiare tra loro due righe;
• moltiplicare una riga per una costante.
In sostanza, si usa il pivot di ciascuna riga per annullare gli elementi della matrice
al di sotto di esso, giungendo cosi in ogni caso ad una matrice a scala.
<D Usiamo il pivot della prima riga per annullare gli elementi al di sotto di esso:
sommiamo alla seconda riga il doppio della prima, cambiata di segno; idem
per la terza; alla quarta riga sommiamo il triplo della prima cambiata di segno:
1 l 2 3]
[
-1
2 3 4 1
2 2 4 2
3 5 7 -1
7
8
4
[1 l 2
r2 - 2r1 O 1 O
r 3 - 2r1 O O O
r4 - 3r1 O 2 1
~
-1
3
4
2
!].
-5
Ora usiamo il pivot della seconda riga per annullare gli elementi al di sotto di
esso: alla quarta riga sottraiamo il doppio della seconda riga:
1 1 2 -1
o 1 o 3
[o
o
o o
4
2 1
2
[1
-1
31 ]
o 11 o2 3
2 ~
o o o 4
-5
r4 - 2r2 O O 1 -4 -7
!];
per poter continuare, è ora necessario procedere ad uno scambio di righe,
poiché il pivot della quarta riga si trova a sinistra del pivot della terza riga:
scambiamo le righe:
1 1 2 -31
O 1 O
31 ]
2
[o o o 4
O O 1 -4 - 7
[1O 11 O
2 -1
31 ]
3
~ t o o 1 -4 -7 ,
r4 O O O 4
2
r3
e la matrice è ridotta a scala.
@ Procediamo come nel caso precedente. Il pivot della prima riga
è 5, dunque
per sistemare la seconda riga è necessario sottrarle ~ della prima riga:
5 4 -2 9 14]
3 1 -1 2 3
r2
-1
2
o
5
8
~
[
20000
-
~r 1
[ 5
O
-1
2
4
-~
2
-2
i - 9157
o
o o
-
5
o
14
2 ]
J
8
o
.
Si nota subito che i calcoli si fanno onerosi. Una strada alternativa, e più
comoda, consiste innanzitutto nello scambiare la prima e la quarta riga:
5
3
4 -2
1 -1
[ -1 2
2 o
o
o
o
-1
o o]
3
8 .
-2 9 14
o
2
5
Algebra lineare
307
A questo punto, è immediato eliminare gli elementi sotto il nuovo pivot della
prima riga:
[
o o o
1 - 1 2
2 o 5
~l
4
- 2
9
3
o]
8
14
[2
o
o o
r2 - ~r1 O 1 -1 2
-----+ r3 + !r1 O 2
o 5
5
o
4 -2 9
r4 - 2r1
!].
14
proseguiamo, basandoci sul pivot della seconda riga:
[2o o o o o]
1 -1 2 3.
2 o 5 8
4 - 2 9 14
o
o
o o o
[2
.
o 1 -1
-----+
r3 - 2r2 O o 2
r4 - 4r2 O o 2
2
1
1
~]
e concludiamo usando il pivot della terza riga:
[2o o o o o]
o
o
1 -1
o 2
o 2
2 3
1 2
1 2
[2oo oo
o o
1 - 1 2
2 1
-----+
r4 - r3 O
o o o
Il
Osserviamo che la forma di una matrice ridotta a scala non è unica: procedendo con scambi si arriva a diverse espressioni; tuttavia vi è una caratteristica
invariante tra le diverse riduzioni a scala di una matrice: il numero di pivot e
la loro posizione.
9.1.2
Combinazione lineare di vettori. Rango di una matrice.
Determinante
Dati i vettori (vettori colonna)
V=
[il
U=
[tl
W=
[il
determinare, ove possibile, il valore da attribuire al parametro reale h affinché i
vettori v, u e w siano linearmente dipendenti.
Soluzione
Dati k vettori v1 , .. ·.• vb si chiama combinazione lineare ogni somma del tipo
308
Capitolo 9
I vettori sono detti linearmente dipendenti se esiste una k-pla À 1 , À.2, ... , Àk di
valori non tutti nulli dei coefficienti Ài per cui
À1V1 + À2V2 + ... + ÀkVk = 0.
Se invece l'uguaglianza
À1V1 +ÀzVz+ ... +Àk Vk
= 0
implica necessariamente À 1 = À.2 = ... = Àk = O, i vettori sono detti linearmente indipendenti. Scriviamo allora la più generica combinazione lineare dei
vettori dell'esercizio:
perciò i tre vettori saranno linearmente dipendenti se potremo trovare una tema di
valori a, f3 e y (non tutti uguali a O) tali per cui
[
a+,B
2a + +y]
4y
3a + ,8 + 5y
f3 + hy
=
[o]o
2a
O
{ 3a
o
a+f3+y = O
+ 4y =o
+ f3 + 5y =
,8 + hy =o
O·
Poniamo y = 1; dalla seconda equazione ricaviamo a = -2y = - 2, che inserito
nella prima dà f3 = y = 1; e notiamo che la tema a = - 2, ,8 = l, y = 1 verifica anche la terza equazione; i tre vettori saranno allora linearmente dipendeno
se anche l'ultima equazione sarà verificata, cosa che avviene se h = -l. Riassumendo: se h i= - 1 i tre vettori sono linearmente indipendenti; se invece h = -1
tre vettori sono linearmente dipendenti, e la combinazione lineare av + f3u + yw
con a = -2, f3 = 1, y = 1 dà zero: - 2v + u + w =O; ciò significa che ciascuno
dei tre può essere espresso in funzione degli altri due, ad esempio w = 2v - u.
Osservazione importante: vettori linearmente dipendenti
© Se i vettori hanno n componenti e sono più di n, saranno con certezza linearmente dipendenti; ad esempio, i vettori
V4
=
O.I ]
10 ,
[ -100
sono senz'altro dipendenti, poiché sono quattro ed hanno solo tre componenti, e 4 > 3.
@
Vettori proporzionali sono ovviamente dipendenti. Se i vettori sono solo due..
essi sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali, mentre se .
vettori sono tre o più possono (come nell'esercizio qui sopra) essere dipendenti anche senza essere proporzionali: occorre e basta che uno di essi si:.
esprimibile come combinazione lineare degli altri.
Algebra lineare
•
ESERCIZIO 9. 11
309
Rango di una matrice
Calcolare il rango delle matrici A e B dell'Esercizio 9.9.
Soluzione
Data una qualsiasi matrice M, si può dimostrare che le seguenti tre quantità sono
uguali tra loro:
• il numero nr di righe (intese come vettori riga) linearmente indipendenti;
• il numero ne di colonne (intese come vettori colonna) linearmente indipendenti;
• il numero n P di pivot della matrice M, una volte ridotta a scala.
Si chiama rango di M, in simboli rk M tale valore comune, in simboli
rkM = n 7 =ne= np.
Per determinare il rango di una matrice, è possibile procedere con la riduzione a
scala, e contare i pivot, abbiamo visto nell'Esercizio 9.9 che
A=
dunque rk A
[' I 2-I 3] [Io oI o
2 3 4 1 7
2 2 4 2 8
3 5 7 - 1 4
MEG
-----+
0 1
o o
2 - 1
3
1 - 4
o 4
= 4; per quanto riguarda la matrice B,
B=[~I
e dunque rkB
4 -2 9
1 -1 2
2 o 5
14]
3
8
o o o o
MEG
-----+
[2o oo
~+
o o
0 1 - 1 2
2 1
o o o o
Il
= 3.
ESERCIZIO 9.12
•
lndi~ndenza lineare un riesame
Servendosi dell'algoritmo di Gauss, stabilire nuovamente per quali valori del
parametro reale h i vettori dell'Esercizio 9.10 sono linearmente dipendenti o
indipendenti.
Soluzione
Poiché il rango di una matrice è (anche) il numero di righe linearmente indipendenti, costruiamo la matrice A avente come righe i tre vettori (trasposti) dell'Esercizio 9.10:
310
Capitolo 9
e riduciamo A a scala, prima la prima colonna:
o
6]-+ r,-ri[6
1
2 3
4 5 h
[l
o
1
I ]
2 2 -1
r3 - r 1 O 4 4 h-1
e successivamente la seconda colonna:
rn
O I
2 2
4 4
o 1
I ]
[I
-1
--+
o 2 2 -1I ]
h- 1
r 3 - 2r 2 O o o h+l
Osserviamo ora la matrice ridotta a scala: il rango di A, e cioè il numero di pivot,
dipende da h: se h # - 1, il rango di A è tre, e dunque u , ve w sono linearmente
indipendenti; se invece h = -1, il rango di A è due, quindi i tre vettori sono
linearmente dipendenti .
ESERCIZIO 9.13
Dete rminante di una mat rl_c e_ 2_x_2_ _~-------'
•
Calcolare il determinante della matrice
[
~2
16].
Soluzione
Il determinanteb di una matrice avente due righe e due colonne è dato dalla formula
det
quindi
det[~2
ESERCIZIO 9. 14
•
[~ ~ J=ad -
6] =
1
be;
1X10-4·(-2)
= 18.
Minori com ple memtari, comple menti alg'e_
b _n·c_i_ _ _ __ _
Data La matrice A:
A=
3
4
O
-1
[ -2 -3
calcolarne il minore complementare ed il complemento algebrico dello O posto
sulla seconda riga.
b Se A è un generica matrice quadrata, il determinante di A è in genere indicato in uno dei
simboli seguenti:
a11
detA,
IAI.
det
;
[
an1
Algebra lineare
311
Soluzione
Data una qualsiasi matrice A, è detto minore il determinante di una sottomatrice
quadrata di A. Si chiama poi minore complementare di un elemento aij della
matrice quadrata A (e lo indicheremo con Mij) il determinante della matrice che si
ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna }-esima della matrice A; mentre si
chiama complemento algebrico di un elemento aij il numero Àij = (- 1)i+ j Mij.
Nel nostro caso dobbiamo focalizzarci su a 2 1 , il primo elemento della seconda
riga: per calcolarne il minore complementare dobbiamo "cancellare" la seconda
riga e la prima colonna:
e quindi
3 / 0J = 43
M2 1 = det [ ~
e
A21
= (-1) 2 + 1 M21 = -43.
ESERCIZIO 9.15
Calcolare
o
-2
3
o
2
3
1
-4
Soluzione
Per una matrice generica a n righe e n colonne, il determinante si può calcolare
usando il Teorema di Laplacec. Osserviamo che questa metodologia è tanto più
vantaggiosa se nella matrice esistono righe o colonne con degli zeri. In effetti,
è più comodo rileggere il teorema di Laplace in questo modo: una volta scelta la
riga (o la colonna) di A da usare, ciascuno degli elementi di quella riga (o colonna)
porta con sé un segno+ o-, che nelle matrici 3 x 3 e 4 x 4 è dato dallo schema
che segue,
[~
+
~l
+ + =
+ ~]
[=
- +
+
(mentre nelle matrici più grandi si ottiene sempre seguendo la formazione "a scacchiera", con un+ in corrispondenza dell'elemento in alto a sinistra).
e Teorema di Laplace: il determinante di una matrice è dato dalla somma degli elementi di una
riga o una colonna qualsiasi, ciascuno moltiplicato per il proprio complemento algebrico.
312
Capitolo 9
Presi allora gli elementi della riga o della colonna prescelta, li si moltiplica ciascuno per il proprio minore complementare, e i prodotti ottenuti si sommano o si
sottraggono secondo la scacchiera sopra riportata.
<!)
Nel caso della nostra matrice (chiamiamola: A), possiamo ad esempio scegliere la prima riga (il che significa che 1 e 3 - moltiplicati per i loro minori
complementari - verranno sommati, mentre 2 verrà sottratto) ed ottenere
detA=l·det[~ ~] - 2-det[; ~J +3·det[; ~]
= 1 · (45 - 48) - 2 · (36 - 42) + 3 · (32 - 35) =O.
@ In
questo caso (chiamiamo B la matrice), conviene senz'altro usare la seconda colonna, ove compaiono due zeri (osservando che, in accordo con la
scacchiera, -2 è un elemento con il segno+, mentre 3 è un elemento con il
segno - ), quindi:
ora, per calcolare i due determinanti delle matrici M 1 e M 2, riapplichiamo
Laplace, magari rispetto alla prima riga:
[I
[1 1]
12] +(- 1)·
_
detM 1 = l·det [ _14 12] -2·
4
1
6 1
6
= 1. (1 + 48) - 2. (1 - 72) + (- 1). (-4- 6) = 201;
detM2=l·det [ l 4
i] -2 · [~ i]+(-1)·[~
l4]
= 1. (3 + 8) - 2 . (2- 12) + (-1). (- 8 - 18) = 57;
da cui
detB = +(- 2) · ~ - 3 · ,-2}_, = -573.
detl\'11
ESERCIZIO 9. 16
Calcolare
•
detl\'12
Determinante di una matrice 3 x 3 metodo di Sarrus)
Algebra lineare
313
Soluzione
Data una matrice 3 x 3
au
a21
[
a3 1
A=
a12
a22
a32
a13]
a23 ,
a33
è possibile calcolare detA anche nel modo seguente: si riportano, accanto alla
terza colonna, le prime due,
au
a12
a11
a13
a12
a13 :I a11
a12
i a21
a22
I
a21
a23
a22
-----+
a21
a22
a23
I
a31
a33
a32
a31
a32
a33 :I a31
a32
con lo schema così ottenuto si costruiscono tre diagonali discendenti e tre diagonali ascendenti:
il determinante di A è allora dato dalla somma dei prodotti delle diagonali discendenti, meno la somma dei prodotti delle diagonali ascendenti:
detA =
a11a22a33
+ a 12a23a31 + a13a21a32+
+ a32a23a11 + a33a21a12)
-(a31a22a13
quindi, nel nostro caso,
infine
detA
= 1·1·2 + 2 ·O · 3 +
3 · (-2) · (- 1)+
- (3 . l . 3 + (-1) . o. 1 + 2 . (-2) . 2) =
= 2
+6-
(9 - 8) = 7.
314
Capitolo 9
ESERCIZIO 9. 17
•
Determinante e metodo di eliminazio_n_e_d_i G
_ au_s_s - - - - - '
Calcolare il determinante delle matrici seguenti:
© A=
[j
4
-3
1 o
1 4
I 9
o
o o 3
o o o
~l
11
@B=
[]~3
2
-1
4
-2
9
-2
1
-1
-3
6
3
8
-2 -2 - 5 - 3
4
il
Soluzione
Dalla teoria sappiamo che il determinante gode di alcune importanti proprietà:
• il determinante di una matrice triangolare (e quindi anche di una matrice diagonale) è il prodotto degli elementi che si trovano sulla diagonale;
• se ad una riga aggiungo il multiplo di un'altra riga, il determinante non varia;
• se scambio due righe, il determjnante cambia di segno.
Pertanto, se la matrice di cui dobbiamo calcolare il determinante è triangolare,
il calcolo è immediato; se invece la matrice è una matrice generica, è sufficiente
applicare il MEG (tenendo conto, nel caso lo si faccia, di quanti scambi di righe si
effettuino), per arrivare ad una matrice triangolare avente lo stesso determinante
della matrice di partenza (al Jìmite, cambiato di segno, nel caso di un numero
dispari di scambi di righe).
© La matrice A è triangolare, dunque il suo determinante è il prodotto degli
elementi della diagonale:
det A
= 2 · (-3) · 1 · 3 · 4 = - 72.
® La matrice B è una matrice generica; riduciamola a scala, iniziando dalla
prima colonna:
3 o]
1
2 -1
2
4 -2 9 1
-3 -2 1 -3 7
6 -1 8 3
[ 2
- 2 -2 -5 -3 6
~
r 2 - 2r 1
r 3 + 3r1
r 4 - 2r 1
rs + 2r1
[1O 24 -1-2 36 o]7 .
O O
O
3 1
O 2 1 2 3
O 2 -7 3 6
Notiamo che la seconda riga è inadatta a procedere con il MEG; la scambiamo
con la quarta (e dunque il determinante della matrice ottenuta con il MEG sarà
l'opposto del determinante di B):
b~ o
- 1
o
[o
o
~ ~]
4 -2 67
2 3
2 -7 3 6
2
1
rz
~ t
r4
[b ~
04
~:
n].
O O o 3 1
o 2 -7 3 6
Algebra lineare
315
Continuiamo con la riduzione della seconda colonna:
~~
!2o ~ ~o]
1 2
1 3
31
[ 00
O 2 -7 3 6
----+ r3 - 2r2
~~
[1
2
=
-01:1
00
rs - r2 O O
e della terza:
[H
- 1
1
- 1
-4
-4
1
o
o
o
-8
ed infine della quarta:
1 2 -1
1
-4
o1 22
o o
o 2
o o
~2 ~il
31 3
1fl
- 1 3
o]
1 2 3
-4 2 1 .
[o o o 3 1
rs + r4 O O O O 2
[o
o o
o o o
Siamo dunque pervenuti ad una matrice triangolare, il cui determinante, cambiato di segno, corrisponde al determinante di B, in definitiva
o1 22 -11
detB= - det O O -4
[o o o
o o o
ESERCIZIO 9.18
o]
3
2 3
2 1 = - (1·2·(-4)·3·2)=48.
3 1
o 2
Le~me tra rango e determinante di una matrice
•
Determinare il rango di ciascuna delle seguenti matrici:
<D A=
1
-2]
[
O
7
3 -6
;
1 1 2]
[4 4 8
@B= 2 2 4 ;
Soluzione
Si può dimostrare che il determinante di una matrice M è diverso da zero se e solo
se le righe (e le colonne) di M sono linearmente indipendenti. Tale circostanza
lega indissolubilmente i concetti di determinante e di rango: se una matrice N
(anche non quadrata: con un numero arbitrario di righe e colonne) ha rango r,
allora in N vi sono r righe (e colonne) linearmente indinendenti, ma non r + 1,
dunque si può scegliere una sottomatrice quadrata r x r di N con determinante
diverso da zero (perché le sue righe/colonne sono indipendenti), mentre non è
possibile in alcun modo scegliere una sottomatrice quadrata (r + 1) x (r + 1) con
tale caratteristica; schematizzando la situazione:
316
Capitolo 9
rkN = r
• esiste una sottomatrice r x r di N con determinante non nullo;
• ogni sottomatrice (r + 1) x (r + 1) di N ha determinante nullo.
Intendiamo calcolare il rango delle matrici di questo esercizio senza usare il MEG,
ma sfruttando le caratteristiche dei determinanti.
<D Partiamo allora dalla matrice A; poiché le righe hanno 2 elementi, il rango
di A non potrà essere maggiore di 2, inoltre A non è una matrice formata da
soli zeri, il che significa che il rango sarà almeno 1, quindi 1 :=:: rk A :=:: 2;
se il rango fosse 1, le tre righe sarebbero proporzionali (che equivale a dire
che le due colonne sarabbero proporzionali), cosa che non si verifica, quindi
rk A = 2. In alternativa avremmo potuto arrivare a questo risultato anche
partendo dalla sottomatrice quadrata formata dalle prime due righe di A:
[ol -2]
7
'
il determinante vale 7, e perciò le prime due righe sono linearmente indipendenti; quindi il rango di A non è minore di 2, non potendo neppure essere
maggiore di 2 (perché A ha solo due colonne) necessariamente rkA = 2.
@
Consideriamo la matrice B : poiché le tre righe (e le tre colonne) sono tutte tra
loro proporzionali, il rango di B è 1 (e in effetti, nessuna sottomatrice 2 x 2
di B ha determinante diverso da zero).
@
Infine, la matrice C: vediamo subito che la sottomatrice formata dalle prime
due righe e colonne
ha determinante diverso da zero, e quindi il rango di C è almeno 2; inoltre
C ha tre righe, quindi il rango non può essere maggiore di tre, in formule
2 :=:: rk C :=:: 3; osserviamo che per stabilire se il rango di C sia 2 o 3, abbiamo
a disposizione diverse strategie:
• esaminare le combinazioni lineari delle tre righe e vedere se (in accordo
con la definizione) sono linearmente dipendenti; se lo sono, il rango di C
è 2, altrimenti è 3;
• posto che le prime due colonne sono indipendenti, esaminare separatamente la terza e la quarta, per vedere se ciascuna di loro è combinazione
delle prime due; se lo sono entrambe, il rango è 2, se almeno una delle due
non lo è, allora il rango sarà 3;
• esaminare i determinanti delle sottomatrici 3 x 3 contenute in C (si tratta di
quattro matrici, ognuna ottenuta cancellando una delle quattro colonne):
se tutti e quattro i determinanti valgono zero, il rango di C è 2, se anche
un solo determinante è diverso da O allora il rango è 3.
Poiché le prime due strade si rifanno al metodo di eJiminazione, che in questo esercizio non intendiamo usare, optiamo per l'ultima: esaminando le quattro
Algebra lineare
317
sottomatrici di ordine 3 (e; è la colonna i -esima), troviamo
det
i] =0
2
[c lc2lc3] = det ['23 -2
-6
1
det(cilcilc.J = det [~
del [ lc3 IC, l = det rn
C1
-1
2
-2
-6
rJ =o
3
rJ =o
1
-l
det[c2jc,lc.] = de{~2
-6
n
3
l
-1
=O
e poiché i determinanti si annullano tutti, rk C = 2 (vedremo ne] prossimo esercizio un teorema che ci permette di risparmiare aJcuni conti).
ESERCIZIO 9. 19
•
Rango e minori orlati - Teorema di Kronecker
Determinare il rango delle seguenti matrici, al variare dei parametri a e {3:
l o 2 1]
©A= 2 1 1 - 1 ;
[ 3 2 o Ci
2
2 3
- 1 1
@B=
[
~
o
3 6
4 3
Soluzione
<D La matrice A non è quadrata, cominciamo allora con il considerare la sottomatrice M formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne:
Il determinante è 1, diverso da zero, e quindi rkA :;:: 2, per stabilire se il rango
di A sia 2 o 3, dovremmo, come nell'esercizio precedente, calcolare i quattro
determinanti delle sottomatrici 3 x 3 contenute in A, utilizzando il teorema
di Kronecker<1; prendiamo aJlora il minore M che abbiamo già considerato:
da adesso M sarà il nostro "minore pilota"; grazie aJ teorema di Kronecker
possiamo limitarci a considerare solo le due sottomatrici 3 x 3 contenenti M ,
d Teorema di Kronecker: se la matrice A possiede una sottomatrice quadrata Mdi ordine r con
detM ::/= O, allora il rango di A è r se e solo se si annullano i determinanti di tutte le sottomatrici
quadrate di ordine r + I contenenti M.
318
Capitolo 9
ossia le due matrici ottenute orlando M con le righe e colonne disponibili: con i simboli dell'esercizio precedente, si tratta delle matrici [c 1Jc2 Jc3] e
[c1 Jc2Jc4], poiché
e
Vediamo che
• se a =/: - 3 vi è un determinante diverso da O e pertanto rk A = 3 (e per
quest'affermazione non occorreva scomodare Kronecker... );
• se invece a = - 3 entrambi questi determinanti si annullano, e grazie al
teorema di Kronecker possiamo affermare (senza calcolare anche gli altri
due determinanti) che rkA = 2.
@
Passiamo alla matrice B; poiché si tratta di una matrice quadrata, cominciamo
a calcolarne il determinante (ricordiamoci che, se il determinante di una matrice quadrata è diverso da zero, allora il rango di quella matrice è massimo),
notiamo però che
detB =O
Y{J;
ciò significa che non esiste alcun valore di fJ per cui rk B = 4; usiamo allora il
teorema di Kronecker e cominciamo, come nel caso della matrice A, isolando
il minore pilota M (2 x 2) il cui determinante sia diverso da zero; ovviamente
ci conviene scegliere una sotto matrice che non contenga fJ, in modo da non
appesantire inutilmente i conti: la matrice in alto a sinistra
2
3-1]
2
- 1 1 O
[ 5 3 6
o 4 3
I
3fJ
fJ 2
il cui determinante vale 4, va benissimo per i nostri scopi. Dobbiamo adesso
orlare M con le righe e le colonne di B, e cioè dobbiamo esaminare tutte le
matrici 3 x 3 contenute in B che a loro volta contengano M, si tratta di quattro
matrici:
• la matrice M3,3 costruita con la terza riga e la terza colonna:
3o -1]
1
6 3{J
3
fJ2
M3,3 =
[
2 2 3]
- 1 l O ,
5 3 6
Algebra lineare
319
• la matrice M3,4 costruita con la terza riga e la quarta colonna:
2 23-1]
- 1 1 o 1
5 3 6 3/3
o 4 3 /3 2
[
M3,4 =
[2 2-1]
3/3
-1
5
1
3
1
,
• la matrice M4,3 costruita con la quarta riga e la terza colonna:
2 23o -1]
- 1 1
[o
5
1
M4,3 =
3 6 3/3
4 3 /3 2
2 2 3]
[o 4 3
-1
1 O ,
.
• la matrice M 4,4 costruita con la quarta riga e la quarta colonna:
2 2o3-1]
2-1]
132
-1 1
1
5 3 6 3/3
o 4 3 {3 2
[
1
4
1
.
Calcoliamo i determinanti delle quattro matrici:
2
detM3,3 = O, detM3,4 = 12 + 12/3, detM4 ,3 =O, detM4,4 = 4/3 -4.
I quattro determinanti si annullano tutti solo se f3 = -1, in tal caso rk B
in tutti gli altri casi detM 3 ,4 i O, e quindi la matrice B ha rango 3.
9.1.3
= 2;
Matrici inverse
ESERCIZIO 9.20
•
Matrice inversa di una matrice 2 x 2 _ _ _ _ _ _ ___.
Calcolare la matrice inversa A -
l
di
Soluzione
Il calcolo dell'inversa di una matrice M è possibile solo se M è nonsingolare
(ossia se il suo determinante è diverso da zero).
Nel caso di una generica matrice 2 x 2
M
la condizione det M
i
=[ae
b]
d '
O corrisponde a chiedere che ad - be
1 [d -bJ.
a '
M-1 _ _
- det M - e
i
O, e in tal caso
320
Capitolo 9
quindi, notando che det A = I Oe che pertanto A è invertibile,
A-1 /o[;
=
ESERCIZIO 9.21
Calcolare A -
l
•
~4].
Matrice inversa di una matrice n x n
e n- 1, ove
@B =
[
1
-1
2
-1
-1
1
o
I
~11 -~2]1 .
o
1
Soluzione
Per calcolare l'inversa di una matrice C (ovviamente, nel caso in cui sia invertibile... ), è possibile procedere in diversi modi : il primo consiste nello scrivere
C11
c-1
= _1_
detC
C21
[
:
Cn1
(ove Cij è il complemento algebrico dell'elemento Cij .) Per calcolare la matrice
inversa di C occorre allora raccogliere in una matrice tutti i minori complementari Mij degli elementi della matrice di partenza, trasformarli nei complementi
algebrici seguendo il diagrammma "a scacchiera": Cij = (- l)i+j Mij, scrivere
la trasposta della matrice così ottenuta e dividere tutto per il determinante di e,
applichiamolo ad entrambe le matrici di questo esercizio.
CD Partiamo allora con la matrice A : il determinante è detA
costituita dai minori complementari è
=
2, la matrice
.
[ ~~: ~~: ~. .~~] = [-i2 -!11 !2]
-4
M31
M32
M33
Per passare alla matrice dei complementi algebrici basta cambiare di segno gli
elementi centrali dei quattro lati (che nella scacchiera hanno il segno meno):
~].
A12 = -M12
A22 = M12
A32 = -M32
-4
Ora ne scriviamo la trasposta
[1~~ ~~~ ~~~]
A13
A23
À33
=
[=; ~l
8
2
i]
-4
Algebra lineare
321
e dividiamo tutto per il determinante di A (che vale 2):
=
@ Passiamo alJa matrice B, il cui determinante vale det B
- 4: la matrice
costituita dai minori complementari è
[
~l
l
-;3]
2
-5 -6
- 1
- 1 .
2
2
3
o
-2 - 2
Passiamo alla matrice dei complementi algebrici (quelli che nella scacchiera
hanno il segno meno):
[B11
B21
B31
B41
B12
B22
832
842
B13
B23
833
B43
-
-1
2
844
Il
- 1 2
-5 6
-3 2
-2 o
B14] [ 1I
B24
834
Ne scriviamo la trasposta
[B11
812
813
814
821
822
823
824
B31
B32
B33
834
-
844
-1
1
841] [-1l
842
843
i2]
-5 -3
6 2
3
1
2
3
e dividiamo tutto per il determinante di B (cioè -4):
I
1
detB
[811
B12
813
814
821
822
B23
B24
B31
B32
833
834
841]
842
843
844
-4
I
4
I
- 4
5
4
I
l
4
3
4
= -2I -23 -2l
3
3
l
-2
1
2
o
1
-4 - 4 - 4 -2
Un secondo modo per calcolare l'inversa di una matrice consiste nell'accostarle la matrice identità (formando quindi una matrice a n righe e 2n colonne), e ridurre alla matrice identità la sottomatrice di sinistra attraverso operazioni sulle righe (combinazioni lineari e prodotti di righe per numeri), nella sottomatrice a destra comparirà allora l'inversa cercata. Seguiamo questa
procedura per calcolare nuovamente l'inversa di A, accostiamole l'identità:
1
o o]
2
1 1
-4 -1 o 1 o
2 2
1 o o 1
o
[
per far comparire l'identità nelle prime tre colonne; consideriamole una alla
volta, dalla prima alla terza. Nella prima colonna deve comparire solo 1' 1 al
322
Capitolo 9
primo posto; sotto di esso c'è già uno zero; facciamo allora comparire uno
zero anche nel primo elemento della terza riga sostituendo, alla terza riga, la
stessa terza riga meno due volte la prima riga:
o o]
1 2 1 1
o
[ -4 -1 o 1 o
2
2
o o]
[1 2 1 1
o -4 - 1 o 1 o .
-----+
1 O O 1
r3
2r 1 O -2 -1 -2 O 1
-
Consideriamo ora la seconda colonna: facciamo scomparire il 2 e il - 2 che
sono sopra e sotto il -4, sommando alla prima riga metà della seconda e
sottraendo alla terza riga metà della seconda:
1
2
1
1
o o]
o -4 -1 o 1 o
[
-----+
O -2 -1 -2 O 1
ri + !r2 [ 1 o ! 1
o -4 -1 o
r3 - !r2
O
O
-!
-2
1l
-!
o]
o ,
1
per far comparire degli 1 sulla diagonale, dividiamo la seconda riga per - 4 e
moltiplichiamo la terza riga per - 2:
1 o ! 1 ! o]
[1 o ! 1 !
o]
O -4 -1 O
1 O -----+ _ lr2 O 1 ! O _! O .
4
4
4
[ O O - 1 -2 - 1 1
-2r3 O O 1 4 1 -2
2
2
A questo punto dobbiamo unicamente fare scomparire i due termini diversi
da zero nella terza colonna, sopra I' 1 della diagonale; per fare ciò, sottraiamo
alla prima riga metà della terza e alla seconda riga un quarto della terza:
1o!1 ! o]
O
[ oO o1 1 O4 -\1 -2
l
ri-!r3 [l o 0-1 o l]
! ·
3 O 1 O - 1 -!
o o 1 4 1 -2
lr
, -----+ r2
Notiamo che a destra della linea verticale compare la matrice inversa di A,
analogamente a quanto ottenuto più sopra.
9.1.4
Sistemi lineari. Impostazione e soluzione
ESERCIZIO 9.22
•
Scrittura di un sistema lineare
in forma matriciale e viceversa
Esprimere i seguenti sistemi lineari come prodotti di matrici:
@
2x-y-z =2
3x-y +2z =O
x + z=O
!
Esprimere i seguenti prodotti di matrici come sistemi lineari:
Algebra lineare
323
Soluzione
Dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite, è sempre possibile trascriverlo in forma matriciale, mettendone in evidenza le componenti, ossia:
• le incognite in un vettore x, vettore (colonna) delle incognite;
• i coefficienti delle incognite in una matrice A, matrice dei coefficienti;
• i "termini noti" in un vettore b, vettore (colonna) dei termini noti.
Con tali posizioni il sistema diventa Ax = b, dove ovviamente avremo
A
E
.4(m, n),
x
E
e b
.4(n, 1)
E
.,#/(m, 1).
I nostri sistemi si scriveranno allora
CD
[~ =~J [~~] = [~];
@
2 -1
3 - ]
[1 o
Per quanto riguarda la conversione da forma matriciale a sistema, basta effettuare
il prodotto tra matrici, ottenendo, nei nostri casi:
®{
3X1
2x1
ESERCIZIO 9.23
+ JrX3 = 130
+ lOOx2 - 4x3 =
•
©
-12 '
l
ax +by= a
cx+ dy = f3
ex+ fy = y
Sistemi lineari di m equazioni in n incognite
Soluzione con il metodo di eliminazione
Risolvere, ove possibile, i seguenti sistemi lineari:
x+y+z+t=4
2x + 3y - z + 2t = 2
2x + 4y + z - t = 6
2x + 3y + 4z - t = 4
@
{
X - y + 3z = -8
3x - y + Sz = -10
- x + 4y = 2
X+ 2y - 3z = 13
X1 + 2x2 + X3 - 2x4 - X5 + X6 = 6
3x1 + 7x2 + Sx3 - 6x4 - 2xs + 7x6 = 20
2x1 + 4x2 + 2x3 - 4x4 + xs + 5x6 = 18
3x1 + 8x2 + 7x3 - Sx4 - xs + 12x6 = 20
Soluzione
È possibile usare il MEG per risolvere un sistema lineare Ax = b: con la matrice
dei coefficienti A e con il vettore dei termini noti b si costruisce la cosiddetta
"matrice completa" [Alb] e tramite il MEG la si riduce a scala. In accordo con il
teorema di Rouché-Capellie quello che può accadere è:
e Teorema di Rouché-Capelli: data la matrice A e vi( (m , n) e dato il vettore colonna b e
.4t(m , 1), l'esistenza ed il numero di soluzioni del sistema lineare di m equazioni in n incognite
=
Ax b dipende da rkA e da rk [Alb]:
• se rkA < rk [Alb], il sistema non ha soluzione;
• se rk A = rk [Alb) = n, il sistema ha una e una sola soluzione;
• se rk A = rk [AJb] = k < n, il sistema ha infinite soluzioni, dipendenti da n - k parametri.
324
Capitolo 9
• l'ultimo pivot di [Alb] si trova nell'ultima colonna: allora rk A < rk [Alb] e il
sistema non ha soluzione;
• nessun pivot di [Alb] si trova nell'ultima colonna, e inoltre non vi sono colonne
di A senza pivot: allora rk A = rk [Alb] = n e il sistema ha una e una sola
soluzione; per trovarla si procede con la "sostituzione all'indietro";
• nessun pivot di [Alb] si trova nell'ultima colonna, e vi è almeno una colonna di
A senza pivot: allora rk A = rk [Alb] = k < n e il sistema ha infinite soluzioni
dipendenti da n - k parametri; per trovarle si considerano "parametri" le variabili cui non corrisponde alcun pivot, e si risolve il sistema con la "sostituzione
all'indietro", rispetto alle variabili individuate dai pivot.
<D Riduciamo a scala la matrice completa, prima la prima colonna:
l
2
[2
2
1 1
3 -1
4 1
3 4
I
1
-3
o
-1 - 3
2 -3
4 ]
-6
-2 '
-4
quindi la seconda:
1 4]
1 1 1
1 -3
2 - 1
1 2
o
[o
o
o
-6
- 3 10
'
-3 2
e completiamo con la terza colonna:
ol
4 ]
-6
-3 10 '
o -8
l'ultimo pivot si trova nell'ultima colonna, il sistema non ha soluzione.
® Riduciamo anche in questo caso a scala la matrice completa, partendo dalla
prima colonna:
3o -8]
5 -10
2
3-8]
---*
-3 13
-4 14
3 - 6
-6 21
e ora la seconda colonna:
3-8]
- 4 14
3 -6
-6 21
---*
~4 ~~7].
o o
Algebra lineare
325
Non c'è bisogno di procedere oltre: la matrice è ridotta a scala. Non vi sono
pivot sull' ultima colonna, ed in ciascuna delle tre colonne precedenti compare un pivot: il sistema ha una sola soluzione. Per ricavarla procediamo a
ritroso dall'ultima equazione, da 9z = -27 si ricava z = -3, l'equazione
immediatamente precedente è 2y - 4z = 14, ossia y = 7 + 2z, e dunque
y = 1, infine da x - y + 3z = -8 si ottiene x = y - 3z - 8, cioè x = 2. In
definitiva, l'unica soluzione del sistema è la terna (x, y, z) = (2, 1, -3).
Riduciamo ancora una volta a scala la matrice completa:
1 6]
1 2 1 -2 - 1
3 7 5 -6 -2
7 20
5 18
12 20
[ 2 4 2 -4 1
3 8 7 -5 -1
[l 21 -2 -1 16] .
3r1 O 1 2
r3 - 2r1 O O O
r4 - 3r1 O 2 4
r1 -
~
O
O
1
1
3
2
4 2
3 6
9 2
'
per quanto riguarda la seconda colonna, è sufficiente agire sulla quarta riga:
[~ ! ~ g 1 nJ ~
2
O 2 4
[~
1
1
9 2
2
ng 1 HJ;
r 4 - 2r2 O O O
2
1
1
O
1 -2
per completare la riduzione a scala, è necessario scambiare le ultime due
righe:
21
[~ ng 1 HJ--7 i [~ n~
O O O
1
O
2
r4
1 -2
O O O
O
T~ J2] .
3
3 6
I pivot di [A lb) si trovano su prima, seconda, quarta e quinta colonna, dunque
x 1, x2, x 4 e xs sono le variabili rispetto alle quali va risolto il sistema; al
contrario, poiché a x3 e a X6 non è associato alcun pivot, esse vanno trattate
come parametri, poniamo dunque x3 = a e X6 = f3 e portiamole a secondo
membro, la matrice completa associata al sistema è dunque
6o io
[o o
2
1
o1 1o
o
3
2
6_-2~
=~/3] .
-2- /3
6-
3/3
Procedendo con la sostituzione all'indietro, troviamo (tenendo a mente che
le variabili sono x1, x2, X4 e xs) xs = 2 - {3, X4 = -2 - {3, x2 + X4 =
2-2a-4{3, da cui x2 = 4-2a-3{3, e infìnex1 +2x2-2x4-X5 = 6-a-{3,
da cui x 1 = -4+3a+2/3. In definitiva, le soluzioni del sistema sono i vettori
della forma
-4
3
2
X1
- 2
4
- 4
X2
o
1
o
X3
a, f3 E R
-2 +a o +/3 - 1
X4
X5 '
2
o
-1
o
1
o
X6
326
Capitolo 9
ESERCIZIO 9.24
Sistemi lineari di n equazioni in n incognite
Soluzione con la re ola di Cramer
•
~~~~~~~---'
Calcolare la soluzione dei seguenti sistemi lineari:
<D
{X+
3x - 4y
= 12
.
2y = 19 '
@
Soluzione
l
2x +y-z= O
x + Y + 2z = 8
x-y-z = -3
Entrambi i sistemi del testo hanno il numero di equazioni uguale al numero di
incognite, e pertanto la matrice dei coefficienti è quadrata. Il teorema di Cramer
afferma che, dato il sistema Ax = b:
a11
a11
[
a'.2
....
:
:
..
.
..
.
..
ani
an2
· ..
:::] [
.
.
a nn
xi
detA1
= detA '
_
x2
~;
] = [
Xn
se la matrice A è nonsingolare (cioè: detA
sola soluzione (i 1 , i2, ... , in) data da
_
~;
#
] '
bn
O), allora il sistema ha una e una
_
detA2
= detA'
Xn
det An
= detA '
ove ciascuna matrice Ai è ottenuta dalla matrice A sostituendo alla i -esima colonna il vettore b dei termini noti, ad esempio
A1=
a12
[b'
•in
b2
bn
a1n
an2
l
[•11
a~i
A1 =
ann
ani
bi
b2
•1n
bn
ann
a2n
l
<D Il sistema si riscrive in forma matriciale
[i -4][
2
X ]
y
_
-
[
12 ] .
19 ,
la matrice dei coefficienti A ha determinante detA = 10 #O, quindi
det
X=
D~ -;4J
100
= = 10
10
'
detA
@ Il sistema si riscrive in forma matriciale
2
1
[l
1
I
-1
-
y =
[3 12] =45- = -9
det 1 19
detA
10
2
Algebra lineare
la matrice dei coefficienti A ha determinante det A = 7
det
.X
rn
Jl
!:J
-
z.
9.1.5
14
= ___d_e_t_A___ = 7 = 2 ' y
327
i= O, quindi
o -1]
2
[
-
det 1 7 2
1 o -1
-detA
-
-7
7 -- - 1'
!'.]
[f
det
JI
21
= - - -detA
- 7 -- 3 .
Sistemi lineari. Interpretazione geometrica
e discussione
', ,,.
..-;
'
ESERCIZIO 9.25
.
•
Discussione ed interpretazione geometrica di un sistema
lineare di due uazioni in due incognite - - - -
Interpretare dal punto di vista geometrico i seguenti sistemi lineari di due equazioni:
(ì) {
X+ 2y = 4
3x-2y = 4
® { 2x-y = 2
.
-6x + 3y =O '
®{6x2x -3y
- y = 2
= 6 ·
Soluzione
Possiamo vedere la risoluzione di un sistema lineare di due equazioni in due
incognite
a1x
{ a1x
+ b1y = c 1
+ b2y = c2
come la ricerca di punti comuni a 2 rette aventi equazioni
e
t1 : a1x
+ b2y =
c2,
nel piano cartesiano. La matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema
saranno rispettivamente
e
Confrontiamo allora il rango di A, con il rango di (Alb]. Considerato che ciascuno
dei due può essere 1 o 2, e che in ogni caso sarà rkA :;: rk (Alb], possiamo avere
solo tre casi:
i) rkA = 2, rk [Alb] = 2, i ranghi sono uguali tra loro e uguali al numero di
incognite: il sistema ha un' unica soluzione (x , y);
328
Capitolo 9
2) rkA = 1, rk [A lb] = 1, i ranghi sono uguali tra loro e inferiori di un'unità
rispetto al numero di incognite: il sistema ha infinite soluzioni, ctipendenti da
un parametro;
3) rkA = 1, rk [Alb] = 2, i ranglÙ non sono uguali tra loro: il sistema non ha
soluzione.
Nel caso 1) il rango di A è 2 e pertanto il determinante di A non è zero, il che
significa che le due righe di A non sono proporzionali, e poiché (a 1 , b 1 ) non è
proporzionale a (a 2 , b2 ) le due rette devono essere incidenti, e l'unica soluzione
(x, y) corrisponde alle coordinate del punto in comune; nel caso 2) le due rette
sono in realtà la stessa retta (le due equazioni sono identiche o proporzionali tra
loro), e le soluzioni corrispondono a tutti i punti di tale retta; nel caso 3) le due rette
sono parallele (hanno infatti lo stesso coefficiente angolare poiché i coefficienti di
x e y sono uguali o proporzionali, però rk [A lb] = 2, e pertanto tra i termini noti
non c'è la stessa proporzione) .
1)
tz
Veniamo ai tre sistemi proposti.
<D La matrice dei coefficienti è
il cui determinante è det A = -8 =!= O, quindi il rango di A è 2, così come
il rango di [A lb]; vi è un'unica soluzione (nel nostro caso x = 2, y = 1), ci
troviamo nel caso 1: le due rette sono incidenti e con pochi conti si verifica
che essi si incontrano nel punto (2, 1).
@ La matrice dei coefficienti e quella completa sono
[2 -1]
A= -6
3
e
Il determinante di A è zero, infatti la seconda riga è il triplo della prima
cambiata di segno, e pertanto rk A = 1; se invece prendiamo la sottomatrice
di [Alb] formata dalle ultime due colonne
[-1o2]'
3
il suo determinante non si annulla, e quincti rk ([Alb]) = 2 (poiché [A lb]
contiene al suo interno un minore di ordine due il cui determinante non si
annulla), siamo nel caso 3 e le rette sono parallele.
Algebra lineare
@ La matrice dei coefficienti e quella completa sono
A
=
[~
:j]
e
[Alb)
=
[~ =~I~]
329
.
Si vede subito che in entrambe la seconda riga è il triplo della prima, pertanto
rk A = rk [Alb) = 1 e il sistema ha infinite soluzioni, ossia tutti i punti della
retta 2x - y = 2.
Discussione ed interpre tazio ne geometrica di un siste ma
lineare di tre e uazioni In due lnco nite
Interpretare, al variare dei parametri a,
equazioni:
X -
<D
{
2y
=1
f3
e y, i seguenti sistemi lineari di tre
X - 2y = 1
2x - 4y = f3
3x + y = 10
2x - 4y = 2a 2
-x + 2y =a
3x - y = 1
= 7
4x -3y = y
X+ 3y
Soluzione
Risolvere un sistema lineare di tre equazioni in due incognite corrisponde a cercare i punti comuni a tre rette
nel piano cartesiano. Esaminiamo le varie configurazioni, classificandole in base
ai e bi, e cioè dagli
elementi della matrice A del sistema), vi sono tre possibilità:
ai rispettivi coefficienti angolari (che sono dati dai valori
• le tre rette hanno tutte lo stesso coefficiente angolare;
• due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, la terza ha coefficiente angolare
diverso;
• tutte e tre le rette hanno diverso coefficiente angolare.
A seconda dei termini noti, le posizioni reciproche varieranno secondo lo schema
seguente:
1) le tre rette sono coincidenti, cioè in realtà un'unica retta;
2) due rette sono coincidenti, e la terza è ad esse parallela;
3) le tre rette sono tutte e tre parallele;
1)
2)
4) le due rette con lo stesso coefficiente angolare sono in realtà coincidenti, la
terza incrocia entrambe nell'unico punto comune;
330
Capitolo 9
5) le due rette con lo stesso coefficiente angolare sono parallele, la terza incrocia
ciascuna di esse in un punto diverso;
6) le tre rette, tutte con diverso coefficiente angolare, si incrociano in un punto
comune;
7) le tre rette, tutte con diverso coefficiente angolare, si incrocjano a coppie in tre
punti distinti.
Nel caso 1) il rango di A e il rango di [Alb] sono entrambi uguali a 1: abbiamo
infirute soluzioru (tutti i punti dell'unica retta in gioco). Nei casi 2) e 3) il rango
di A è 1 e il rango di [Alb] è 2, quindi non vi sono soluzioru. Nel caso 4) il rango
di A e il rango di [A lb] sono entrambi uguali a 2: abbiamo un'unica soluzione,
data dalle coordinate del punto comune. Nel caso 5) il rango di A è 2 e il rango
di [Alb] è 3: non abbiamo soluzioru. Nel caso 6) il rango di A e il rango di [AJb]
sono entrambi uguali a 2: abbiamo un'unica soluzione, data dalle coordinate del
punto comune. Nel caso 7) il rango di A è 2 e il rango di [Alb] è 3: non abbiamo
soluzioni.
Radunando tutto in uno schema:
rk [A Jb]
=1
1)
rkA = 1
rkA = 2
rk [AJb]
=2
rk [AJb]
2), 3)
4), 6)
=3
5), 7)
la reale distinzione dei vari casi, nelle situazioni in cui vi siano più possibilità, si
può fare direttamente e caso per caso.
CD Le matrici sono
A= [
~
-1
=;]
2
e
[A Jb] =
[1 -2 -1 ]
2
- 1
-4 2a2
2
a
.
Algebra lineare
331
Notiamo che A è fatta da tre righe proporzionali, e quincli rkA = 1 (questo significa che det([Alb]) = O per ogni valore cli a). Osserviamo allora la
matrice completa:
• perché tutta la seconda riga sia proporzionale alla prima occorre che 2a 2 =
2, ossia a= ±1;
• perché tutta la terza riga sia propozionale alla prima occorre che a = -1;
• perché le ultime due righe siano proporzionali tra loro occorre che 2a 2 =
-2a, e cioè a =O o a = - 1.
Stiliamo allora la seguente casistica:
• se a = - 1, le tre equazioni sono proporzionali, quindi descrivono la stessa
retta, ed il sistema ha infinite soluzioni (caso 1);
• se a = 1, le prime due equazioni descrivono la stessa retta, e la terza una
retta con lo stesso coefficiente angolare, ma cliverso termine noto, quindi
vi sono due rette coincidenti ed una parallela, il sistema non ha soluzione
(caso 2);
• se a = O, le ultime due equazioni descrivono la stessa retta, e la prima una
retta con lo stesso coefficiente angolare, ma diverso termine noto, quincli
vi sono due rette coincidenti ed una parallela, il sistema non ha soluzione
(caso 2);
• se a -::/= ± 1 e a -::/= O, non c'è alcuna coppia di equazioni proporzionali, e
si tratta cli tre rette parallele (caso 3).
@ Le matrici A e [Alb] sono
A=
[l -2]
~ ~4
e
[Alb] =
[
I -2 l ]
2 -4 f3
3
.
1 10
La matrice A ha rango 2, infatti le due ultime righe non sono proporzionali.
Per ciò che riguarda la matrice completa, la prima e la terza riga, non essendo in alcun modo proporzionali, corrispondono a due rette incidenti (nel
punto x = 3, y = 1), al variare di f3 anche la seconda riga potrà o meno
corrispondere ad una retta passante per lo stesso punto:
• se f3 -::/= 2 le prime due righe corrispondono a due rette parallele ed il
sistema non ha soluzione (caso 5);
• se f3 = 2 allora la prima e la seconda riga sono proporzionali ed il sistema
ha una sola soluzione (cioè, appunto, il punto (3, 1), e siamo nel caso 4).
Osserviamo che una discussione riguardante l'esistenza di soluzioni del sistema si poteva fare semplicemente calcolando il determinante di [Alb] (che
è quadrata): poiché det([A lb]) = 14- 7 (3, allora vi sono come sopra due casi:
• f3
•
-::/= 2: il determinante della matrice completa non è zero, pertanto il
rango di [Alb] è 3, senz'altro superiore al rango di A, quincli non ci sono
soluzioni;
f3 = 2: il determinante di [Alb] è zero, quindi il rango della matrice completa non è 3, poiché A è una sottomatrice di [Alb] ed ha rango 2, anche il
rango di [Alb] è 2, e quindi il sistema ha una e una sola soluzione.
332
@
Capitolo 9
Le matrici A e [Alb] sono
A=
[i 3
1
]
4 -3
e
[Alb] =
[3-1 1]
1 3 7
4 -3 y
.
Osserviamo immediatamente che rk A = 2, e che fra le tre righe di A non
c'è alcun tipo di proporzionalità, quindi le tre rette hanno coefficienti angolari diversi e saremo nel caso 6 o nel caso 7 a seconda che vi siano o
meno soluzioni. Esaminiamo allora il determinante della matrice completa:
det([A lb]) = 20 + lOy, quindi come nel caso precedente abbiamo due casi:
• y :/= -2: il determinante della matrice completa non è zero, pertanto il
rango di [Alb] è 3, senz'altro superiore al rango di A, quindi non ci sono
soluzioni (caso 7: le rette si intersecano a due a due, ma non hanno alcun
punto comune);
• y = -2: il determinante di [A lb] è zero, quindi il rango della matrice
completa non è 3; poiché A è una sottomatrice di [Alb] ed ha rango 2,
anche il rango di [Alb] è 2, e quindi il sistema ha una e una sola soluzione
(le tre rette si incontrano tutte in un punto, caso 6).
ESERCIZIO 9.27
•
Discussio ne e interpretazione geometrica di un sistema
lineare di due ~uazioni in tre inco,_,,,~
._l_
te
_ _ _ _ __
Interpretare dal punto di vista geometrico, al variare del parametro a, il sistema:
x - 3y - a 2 z = 2
{ 2x - 6y - 8z = a
+2
Soluzione
Possiamo vedere la risoluzione di un sistema lineare di due equazioni in tre incognite
a1x
{ a2X
+ b1y + c1z =di
+ b2y + C2Z = d2
come la ricerca di punti comuni a due piani, di equazioni
l.P1 : alx + b1y + c1z =di
l.P2: a1x + b2y + c2z
= d1 .
Partiamo da considerazioni geometriche, vi sono tre possibilità:
i) !,p 1 e !,p2 sono incidenti (e quindi hanno in comune una retta t);
2) !,p 1 e !,p2 coincidono (e quindi tutti i loro punti sono in comune);
3) l.P1 e l.P2 sono paralleli (e quindi non hanno punti comuni).
1)
Algebra lineare
333
Nel caso 1) le soluzioni saranno le coordinate dei punti della retta t, comune a s;+J 1
e s;+J2 ; nel caso 2) le soluzioni, saranno le coordinate dell'unico piano s+J1 = s+J2;
nel caso 3) non vi sono soluzioni.
Dal punto di vista del generico sistema lineare
a 1x
{ a1x
+ b1y + c1z
+ b2y + c2z
=di
= d1
basta osservare la matrice dei coefficienti e la matrice completa
e
• se s+J1 e s+J2 sono incidenti (caso numero 1), allora i coefficienti dix, y e z non
sono tutti proporzionali e quindi rkA = 2. Poiché il rango di [A lb] non può
essere maggiore di 2, essendo anch'essa composta da solo due righe, né può
diminuire (ricordiamoci che orlando una matrice con un altra riga o colonna il
rango non può in alcun caso diminuire), anche rk ([A lb]) = 2;
• se i due piani sono paralleli o coincidenti, i coefficienti di x, y e z sono proporzionali, e quindi rk A = 1; a decidere se sono realmente coincidenti o solo
paralleli provvedono i termini noti d1 e dz:
- se anche tra d1 e dz vale la stessa proporzione, le due righe di [A lb] sono
interamente proporzionali, e quindi anche rk ([Alb]) = 1, allora s;+J 1 e s+J2 coincidono (caso numero 2);
- se non sussiste lo stesso rapporto, rk ([Alb]) = 2, e allora
paralleli (caso numero 3).
s+l1
e
s+l2
sono
In accordo con il teorema di Rouché-Capelli, vi sono soluzioni solo se rk A =
rk [Alb] : se entrambi i ranghi sono uguali a 2, avremo 003 - 2 = 00 1 soluzioni,
ossia tutti i punti della retta t (caso numero l); se entrambi sono uguali a 1, avremo
3
2
00 - 1 = 00 soluzioni, cioè tutti i punti di s;+J 1 = s+J2 (caso numero 2).
Radunando tutto in uno schema:
rkA = 1
rkA = 2
rk [A lb] = 1
rk[A jb] = 2
2)
3)
1)
Veniamo al nostro sistema, le matrici sono rispettivamente
2
1 -3 -a ]
A= [ 2 - 6 - 8 '
2
I
1 - 3 -a
2 ]
[A lb] = [ 2 - 6 - 8 a + 2 .
Si vede subito che le due righe di A sono proporzionali se e solo se a 2 = 4, e
cioè a = ±2 (ovviamente, potremmo anche dire che le colonne di A sono tutte e
334
Capitolo 9
tre proporzionali se a 2 = 4: le prime due lo saranno in ogni caso, la terza solo se
a 2 = 4); esaminiamo allora la matrice completa in ciascuno di questi due casi:
I a= 2 I
I et =
1 -3 -4 24]
[ 2 -6 -8
1 -3 -4 02]
[ 2 -6 -8
-2
I
se a = 2 allora anche le righe di [Alb] sono interamente proporzionali (o anche
le quattro colonne di [Alb) sono tutte proporzionali), mentre se et = -2 l' ultima
colonna non è proporzionale alle prime tre; riassumendo:
i= ±2: il rango di A e quello di [Al b) valgono entrambi 2;
i due piani sono incidenti, caso 1);
infinite soluzioni dipendenti da un parametro, ovvero tutti i punti della retta t);
• a = 2: il rango di A e quello di [Al b] valgono entrambi 1;
i due piani coincidono, caso 2);
infinite soluzioni dipendenti da due parametri, ovverosia tutti i punti del piano
x-3y-4z = 2:
• a
-2: il rango di A è 1 e il rango di [Al b] è 2;
i due piani sono paralleli, caso 3);
nessuna soluzione.
• et =
Per trovare le coordinate dei punti di t, soluzione nel caso a
il MEG:
1 -3
[ 2 -6
-a21
- 8 a +2
2
]
i= 2, procediamo con
2
I
[l - 3
-a
2 ]
-----+ r2 - 2r1 O O 2a 2 - 8 a - 2 ·
Si ricava che y è una variabile libera (un parametro), inoltre
z-
a -2
1
- - - 2a 2 - 8 - 2a + 4'
a2
x
= 2 + 3y + a 2 z = 2 + 3y + 2a +4 ,
in definitiva, t ha equazione
t:
y =
[X]
z
[2 + ~]
o
+t [ 3
1 ].
1
2(a+2)
o
Algebra lineare
ESERCIZIO 9.28
•
335
Discussione e interpretazione geometrica <li un sistema
lineare di tre e uazioni in tre incognite
Discutere e risolvere al variare dei parametri a, {3, y e
di tre equazioni:
X+ 2y - z = 2
2x + a 2 y - 2z = 4
-x-2y +z =a
oi seguenti sistemi lineari
2x - y - 4z = 4
@
f3 2 x-2y - 8z=6+f3
{ 2x - y + 2f3z = 6 - f3
x+y+2z=3
2x-y+z=y
x + 4y + Sz = 6
dandone un'interpretazione geometrica.
Soluzione
Risolvere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite
l
a1x
a1x
a3x
+ b1y + c1z
+ b2y + c2z
+ b3y + c3z
= di
= d1
= d3
equivale a cercare i punti comuni a tre piani, di equazioni (i = 1, 2, 3)
~i :aix+biy+ciZ =di.
Per esaminare le posizioni reciproche di tre piani nello spazio, partiamo dal considerare le rispettive inclinazioni (date dai coefficienti ai, bi e ci); vi sono tre
possibilità:
• i tre piani hanno tutti la stessa inclinazione;
• due di loro hanno la stessa inclinazione, il terzo ha un'altra inclinazione;
• tutti e tre hanno inclinazioni diverse.
A seconda poi dei termini noti di, queste tre possibilità si suddividono in otto casi
complessivi:
1) tre piani con la stessa inclinazione, coincidenti;
2) tre piani con la stessa inclinazione, due coincidenti ed uno parallelo;
3) tre piani con la stessa inclinazione, tutti paralleli tra loro;
336
Capitolo 9
4) due pianj con la stessa inclinazione e coincidenti, il terzo incidente;
5) due piani con la stessa inclinazione e paralleli, il terzo incidente ad entrambi;
6) tre piani con tre iliverse inclinazioni, con una retta in comune;
7) tre piani con tre diverse inclinazioni, con nessun punto comune;
8) tre piani con tre diverse inclinazioru, con un punto comune.
6)
Osserviamo poi che nei casi 2), 3), 5) e 7) non vi sono punti comuni ai pialli,
e quindi non c'è alcuna soluzione; nel caso 8) c'è un uruco punto comune P, e
quindi le coordinate di P rappreseteranno l'unica soluzione; nei casi 4) e 6) i punti
comuni sono infiniti, disposti lungo una retta te nel caso 1) i punti in comune sono
infiniti, tutti i punti dell'unico piano in esame.
Dal punto ili vista del teorema di Rouché-Capelli, se non vi sono soluzioni,
cioè nei casi casi 2), 3), 5) e 7), è perché il rango ili A è inferiore al rango di [Alb];
nei casi 2) e 3) il rango di A è 1 mentre quello di [Alb] è 2; nei casi 5) e 7) il rango
di A è 2 mentre quello ili [Alb] è 3; se vi sono soluzioni i ranghi delle due matrici
coincidono: nel caso 1) valgono entrambi 1; nei casi 4) e 6) valgono entrambi 2;
nel caso 8) valgono entrambi 3; riuniamo tutto in uno schema:
rk [Alb]
rkA = 1
rkA = 2
rkA = 3
1)
=1
rk [Ajb] = 2
rk [A lb] = 3
2), 3)
4), 6)
5), 7)
8)
Come nel caso di tre equazioni in due incognite, conviene effettuare le eventuali
ulteriori suddivisioni caso per caso.
Prima di affrontare i sistemi dell'esercizio, notiamo che, visto che A è quadrata, la prima cosa che conviene calcolare è det A: se è ruverso da zero, il rango
di A è massimo (cioè 3, come il numero di incognite), il rango di [Alb] non può
essere superiore ed il sistema avrà una ed una sola soluzione.
Algebra lineare
337
© Per quanto riguarda il primo sistema, le matrici dei coefficienti e completa
sono
A= [
~
-1
;2
-2
=~]
1
e
[il
[Alb] =
2 -1 2]
cx 2
-2
-2 4
1 (X
.
Il determinante di A vale zero per ogni valore di cx, poiché la prima e la terza
riga sono uguali tra loro a parte il segno, quindi il rango di A non sarà mai
3; per verificare se il rango di A sia 1 o 2, calcoliamo il determinante della
sottomatrice 2 x 2 formata dalle prime due righe e daJle prime due colonne in
alto a sinistra di A:
r; ;2J
det
= cx
2
-
4.
Consideriamo dapprima il caso cx 2 - 4 #- O: se cx #- ±2 questo determinante non si annulla, nella matrice A è contenuta una sottomatrice di rango
2, e quindi A ha rango 2, vediamo allora di stabilire il rango della matrice
completa. Abbiamo individuato una sottomatrice 2 x 2 con un determinante
non nullo (la prima in alto a sinistra); per stabilire se il rango di [A lb] sia 2
o 3 occorre e basta (in base al teorema di Kronecker) che noi orliamo questa
sottomatrice o con la terza o con la quarta colonna di (A lb]: se la orliamo con
la terza colonna ritroviamo la matrice dei coefficienti e già sappiamo che il
determinante è zero, se invece la orliamo con la quarta colonna otteniamo
[
1 2 2]
2 cx 2
-1 -2
4
(X
'
il cui determinante vale cx 3 + 2cx 2 - 4cx - 8. Visto che abbiamo posto
cx #- ±2 questo determinante è necessariamente diverso da zero e il rango
di (Alb] vale 3 mentre il rango di A vale 2, e pertanto non vi sono soluzioni.
Dal punto di vista geometrico guardando (Alb] si vede che nella prima e terza equazione i coefficienti sono proporzionali, ma non lo sono i termini noti,
quindi il piano corrispondente alla prima riga ed il piano corrispondente alla
terza riga sono paralleli; inoltre, poiché i coefficienti della seconda equazione
non sono proporzionali a quelli delle altre due righe (infatti rkA = 2), il piano corrispondente a questa equazione non sarà parallelo agli altri. Rimangono
da esaminare i casi cx = 2 ed cx = - 2. A questo scopo conviene sostituire
direttamente nella matrice completa i valori di cx ed esaminarla caso per caso:
I a= 2 I
~ =~ ~]
-2 1 2
I a =-2 I
1
2
[ -1
2 -1 2 ]
4 -2 4 .
-2 1 -2
In entrambi i casi le tre righe della matrice dei coefficenti sono proporzionali,
e quindi rk A = 1; per ciò che riguarda [Alb], nel caso a = 2 le due prime righe sono proporzionali, e quindi le due equazioni identificano lo stesso piano,
338
Capitolo 9
mentre la terza ha un diverso termine noto (e quindi ad essa corrisponde un
piano parallelo a quello delle prime due); nel caso a = - 2 le tre righe sono
interamente proporzionali, e quindi tutte e tre identificano lo stesso piano;
riassumendo i casi discussi, complessivamente la situazione è la seguente:
• a i= ±2: due piani paralleli, uno incidente ad entrambi - caso 5);
• a = 2: due piani coincidenti, uno parallelo - caso 2);
• a = -2: tre piani coincidenti - caso 1).
@ Per il secondo sistema, le matrici dei coefficienti e completa sono
A=
[2 -1 -4]
13 2
2
-2
-8
-1
213
e
[A lb] =
2
13 2
[ 2
- 1 -4
4 ]
- 2 -8 6+13 .
-1 213 6 - /3
Calcoliamo subito il determinante della matrice dei coefficienti:
detA = 2{3 3
per cui se /3
i=
+ 413 2 - 813 -
16 = 2(13 - 2)((3
+ 2) 2
±2 il determinante di A è diverso da zero ed il sistema ha una
ed una sola soluzione, che possiamo determinare, ad esempio, con il metodo
di Cramer:
1
x=-13 + 2 '
Per discutere i casi
due casi:
/3
- -213 + 5
Y13+2'
2-13
z = 2(13 + 2).
= ± 2 scriviamo esplicitamente la matrice completa nei
2
-1
-4
4]
[
2 -) -44]
[
4 -2 - 8 8
2 -1 4 4
4 -2 - 8 4
2 -1 -4 8
Se /3 = -2, la matrice dei coefficienti ha tre righe proporzionali, mentre i
termini noti non lo sono, quindi rkA = 1 e rk [Alb] = 2 e non vi sono soluzioni; se /3 = 2, la matrice dei coefficienti ha le prime due righe proporzionali
e la terza no, quindi il rango di A è 2, lo stesso dicasi della matrice (Alb], e
pertanto rkA = rk (A lb] = 2, abbiamo infinite soluzioni, dipendenti da un
parametro; considerato che le prime due equazioni sono equivalenti, per determinare tali soluzioni usiamo la prima e la terza equazione (usando x come
parametro):
4x - 2y - 8z = 8
{ 2x - y + 4z = 4 '
~
-y-4z=4-2x
{ -y + 4z = 4- 2x '
da cui ricaviamo y = 2x - 4 e z = O, pertanto le soluzioni saranno tutti i
punti del tipo (x, 2x - 4, O). Dal punto di vista geometrico, la situazione è
Algebra lineare
339
• f3 #-
±2: tre piani in posizione generica, con un punto P in comune caso 8);
• f3 = 2: due piani coincidenti, uno incidente, con una retta t in comune caso 4);
• f3 = -2: tre piani paralleli - caso 3).
Le coordinate di P (per f3 i- ±2) e l'equazione di t (per f3 = 2) sono
rispettivamente
p( f3 +1 2' - 2/3+5
2-{3)
f3 + 2' 2(/3 + 2)
@
La matrice dei coefficienti e la matrice completa del terzo sistema sono
A=
1 1 2]
[
2 -1
1 4
I
5
e
[~ ~l
[Alb] =
1
4
i5 ~].
6
Poiché det A = O, la matrice dei coefficienti ha rango 2 (infatti non vi sono
righe proporzionali). Per determinare il rango dì [Alb] usiamo il teorema di
Kronecker, scegliendo come "minore pilota" quello formato dalle prime due
righe e colonne in alto a sinistra in A, il cui determinante è diverso da zero;
possiamo orlare questo minore in due modi possibili: o con la terza o con la
quarta colonna; orlandolo con la terza riotteniamo A, di cui già sappiamo che
il determinante è zero; orlandolo con la quarta colonna otteniamo la matrice
1 1 3]
[2 -1 y '
1
4
6
il cui determinante vale 9 - 3y. La matrice completa avrà allora rango 3 se
y i- 3, e in questo caso non vi saranno soluzioni, rango 2 se y = 3, in questo
caso vi saranno infinite soluzioni, dipendenti da un parametro. Coerentemente con la nostra scelta del minore pilota (che corrispondeva ai coefficienti
di x e y nelle prime due equazioni), interpretiamo z come parametro e le
riscriviamo nella forma
x+y =3-2z
{ 2x-y=3 - z '
da cui x = 2- z e y = 1 - z, e pertanto le soluzioni del sistema saranno tutti
i punti del tipo (2 - z, l - z, z). Dal punto di vista geometrico, la situazione
è
• y #- 3: tre piani messi "a prisma" - caso 7);
• y = 3: tre piani con una retta t in comune- caso 6);
e l'equazione di tè
t. [
~]=[
!]
+t
[
~: ] .
340
Capitolo 9
ESERCIZIO 9 .29
•
Sistemi lineari omogenei
Discutere, risolvere ed interpretare geometricamente (ove possibile) i seguenti
sistemi, al variare dei parametri a, f3 e y:
©
@
l
X+ 2y
= Ù
3x - y =O
2x-4y =O
2x + 3z = O
-2y +z = o
x
{ +y+z=O
f3x + y -2z =O
l
@
X+ y-3z = Ù
2x - y+z = 0 ;
x -2y + az =O
+ 2y + 2z - t = Ù
y-2z + 3t =o
y 2 x + 3y + 2t = O
2x + (2 + y) y + 6z - 5t = O
X
Soluzione
I sistemi di questo esercizio hanno tutti in comune una cosa: si tratta di sistemi
omogenei, cioè sistemi in cui il vettore b dei termini noti è nullor, ossia della
forma Ax = O. Osserviamo che orlando la matrice A con il vettore O il rango non
potrà mai aumentare, e quindi tutti i sistemi omogenei avranno sempre almeno una
soluzione: poiché poi il prodotto di A per un vettore di zeri dà O, questa soluzione
sempre presente è la soluzione nulla.
CD Partiamo allora dal primo sistema: è un sistema di tre equazioni in due incognite, la matrice dei coefficienti è
A=[~2
!1];
-4
il rango di A è due (le righe non sono proporzionali), per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha una e una sola soluzione, poiché x = O, y = O è
necessariamente soluzione; concludiamo senza alcun calcolo ulteriore che è
anche l'unica soluzione possibile. Geometricamente si tratta di tre rette che,
nel piano, si incontrano nell'origine.
È un sistema di tre equazioni in tre incognite, la matrice dei coefficienti è
@
A= [1 1 -3]
2 -1
1 -2
1
Ct
e det A = 12 - 3a . Si distinguono allora due casi:
# 4: il determinante di A è diverso da zero e la soluzione del sistema è
unica, e quindi necessariamente x = O, y = O, z = O; si tratta di tre piani
che si incontrano nell'origine;
·
• a
f
D'ora in avanti indicheremo con il simbolo O (zero serino in grassetto) un vettore di zeri.
Algebra lineare
341
• a = 4: il rango di A è 2 (non si tratta in alcun caso di tre righe proporzionali), ed in base al teorema di Rouché-Capelli possiamo dire che il sistema
ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro, determinabili usando due
delle tre equazioni (e usando una delle tre variabili, ad esempio z, come
parametro).
Per determinare le soluzioni dal caso a = 4, notiamo che il minore 2 x 2 in
alto a sinistra ha determinante diverso da zero, possiamo allora scegliere x e
y nelle prime due equazioni come incognite, ottenendo
X+ y = 3z .
{ 2x - y = - z
Da questo sistema ricaviamo x = ~z. y = ~z. quindi le soluzioni sono tutte
le teme del tipo (~z . ~z. z) o anche (2z, 7z, 3z); dal punto di vista geometrico si tratta di tre piani passanti per l'origine che hanno in comune, oltre
all'origine stessa, una retta (ovviamente passante per l'origine).
@ Il terzo sistema ha come matrice dei coefficienti
2
A=
o
[
1
f3
:]
o
-2
1
;
-2
1
A non è quadrata; per determinarne il rango ricorriamo al teorema di Kronecker; possiamo pa1tire (come già altre volte) dalla sotto matrice formata dalle
prime due righe e due colonne di A: il determinante è diverso da zero, e
possiamo orlarla o con la terza o con la quarta riga:
r1
r1
r3
[2O -2O 3]1 ,
1
l
1
r1
r1
r4
[2O -2O 3]
1 ;
f3
1
-2
il determinante della matrice a sinistra è O, quello della matrice a destra è
6 + 6{3, quindi:
• f3 # -1: il rango di A è 3 e il sistema ha una e una sola soluzione (necessariamente x = y = z = O, perché il sistema è omogeneo), sono le
equazioni di quattro piani che si intersecano nell'origine;
• f3 = -1: il rango di A è due e vi sono infinite soluzioni dipendenti da
un parametro, soluzioni ricavabili attraverso due delle quattro equazioni
(coerentemente con la scelta del minore pilota usiamo le prime due, con z
come parametro):
2x + 3z =O
{ -2y +z =O
troviamo x = -~z, y = ~z, e quindi le soluzioni sono tutte le teme del
tipo (-~z. ~z. z) o anche (-3z, z, 2z). Dal punto di vista geometrico il
sistema descrive quattro piani che hanno in comune una retta.
342
@
Capitolo 9
Abbiamo nuovamente un sistema la cui matrice dei coefficienti
A-
-
[
1
2
O
1
3
2+y
y2
2
2o -1]
-2
6
3
2
-5
è quadrata; se det A i= O allora la soluzione è unica (e pertanto x = y = z =
t =O), con qualche conto troviamo che detA = 4(y - 1) 2 (y + 1), e quindi
se y i= ± 1 il rango di A è 4 e l'unica soluzione è quella nulla; come al solito
studiamo separatamente i casi y = 1 e y = - 1:
Ir = 1 I
Ir = - 1 I
o
-;1]
2 .
6
-5
1 2 2
1 -2
o
[1 3
2 3
Sappiamo che per entrambe queste matrici il rango non è 4 (visto che corrispondono ai casi in cui il determinante si annulla); osserviamo anche che
hanno le prime tre righe uguali (cambia solo la quarta), e che in entrambe la terza riga è la somma delle prime due. Questo significa che il rango
delle sottomatrici formate dalle prime tre righe è in entrambi i casi 2, e pertanto possiamo trascurare una delle prime tre righe; tralasciamo la prima e
consideriamo allora le sottomatrici formate dalle ultime tre righe:
Ir = - 1 I
o
[~
i
i
-2
~
3
!5
J
J
o1
i -2 3
3 o 2 .
[2 3 6 -5
Per determinarne il rango possiamo partire in entrambi i casi dalla sottomatrice in alto a sinistra e orlarla prima con la terza e poi con la quarta colonna;
nel caso y = -1 avremo a che fare con le due matrici
o1
i
[2 31
-2]
o
e
6
O
I 3]
1 3 2 .
[2 1 -5
Il determinante della prima è 4, quello della seconda è -6. In entrambi i casi
il loro rango è 3 e quindi è 3 anche il rango di A. Nel caso y = 1 avremo
o
[21
1-2]o
3
3
6
e
o
[21
1
3
J
3 2 .
3 - 5
Algebra lineare
343
Poiché il determinante di entrambe queste matrici è zero possiamo concludere che in questo caso il rango di A è 2. Per determinare le infinite soluzioni
(dipendenti da un parametro) del caso y = - 1 possiamo usare tre delle quattro equazioni (non le prime tre, che sono linearmente dipendenti), ad esempio
le ultime tre, usando t come parametro:
l
y - 2z = -3t
= -2t
2x + y + 6z = St
X+ 3y
Risolvendo il sistema si ottiene x = -2t, y = O, z = ~t, e pertanto le soluzioni del sistema di partenza nel caso y = -1 sono costituite da tutte le
quaterne del tipo (-2t, O, ~t, t). Per determinare le infinite soluzioni dipendenti da due parametri del caso y = 1 bastano due equazioni, ad esempio la
seconda e la terza, usando y e t come parametri:
{
2z = y + 3t .
X= -3y-2t
Questo sistema è già risolto rispetto alle sue incognite: le soluzioni sono tutte
le quaterne (-3y - 2t, y, Y~ 3 ', t), al variare di y et in R
9.1.6
Spazi vettoriali e sottospazi, dimensione
ESERCIZIO 9.30
•
Gli insie mi
R_n--------~--------
Mostrare che per ogni valore di n l'insieme
è uno spazio vettoriale su JR rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno
scalareg
g In effetti, il campo JR dei numeri reali può essere sostituito da un altro generico campo IK,
come ad esempio C, in tal caso alcune delle proprietà che vedremo nel seguito vanno leggermente
modificate.
344
Capitolo 9
Soluz ione
Un insieme "f/ è detto spazio vettoriale su JR se sui suoi elementi sono definite due
operazioni, dette "somma" e "prodotto per uno scalare":
• la "somma" associa a due elementi u e v di "f/ un altro elemento di "f/, indicato
con u + v ;
• il "prodotto per uno scalare" associa ad un numero À E JR ed a un elemento
v E "f/ un altro elemento di "f/, indicato con À v.
La somma e il prodotto per uno scalare verificano le seguenti proprietà:
• la somma è commutativa e associativa, cioè per tutti gli elementi u , v, w di "f/
si ha
U+V = V+ U,
(u + v) + w = u + (v + w);
• esiste l'elemento neutro della somma: cioè esiste un elemento
cui, se v è un qualsiasi elemento di "f/,
V
0y
di "f/ per
+ (}y = (}y + V = v;
• ogni elemento v di "f/ ha il suo opposto, ossia un elemento che sommato a v dà
Oy (tale elemento si indica con -v);
• vale la relazione 1 v = v;
• vale la proprietà associativa tra il prodotto di scalari ed il prodotto scalare-pervettore, cioè per ogni v in "f/ e per ogni coppia di numeri reali À e µ:
(Àµ)v = À(µv);
• il prodotto per uno scalare gode della proprietà distributiva sia rispetto alla
somma di scalari, sia rispetto alla somma di vettori, cioè se À e µ sono numeri
reali e u e v sono elementi di "f/, allora
(À
+ µ)v = Àv + µv,
À(u
+ v)
= Àu
+ Àv.
Notiamo che per le n-ple di numeri reali (cioè per gli elementi di "f/) tutte queste
proprietà sono conseguenza immediata delle equivalenti proprietà per le somme e
i prodotti tra numeri reali, pertanto ogni JRn è uno spazio vettoriale.
ESERCIZIO 9.31
•
Caratterizzazione di spazi vettoriali ge_n_e_ri_cl_ _ _ _ ____.
Stabilire quali dei seguenti insiemi sono spazi vettoriali su JR
<D "f/ = {matrici 3 x 3 triangolari superiori},
"f/ = {polinomi di grado n in x} ,
@
@
"f/ = {polinomi di grado minore o uguale a n in x},
e identificarli con un opportuno spazio JRk .
Algebra lineare
345
Soluzione
Per verificare se un insieme sia o meno uno spazio vettoriale, occorre stabilire se
goda o meno delle proprietà elencate nell'esercizio precedente.
<D La somma di due matrici ed il prodotto scalare-matrice godono di tutte le
proprietà sopra elencate, poiché tali operazioni sono definite sulla base della
somma e del prodotto tra numeri reali; inoltre, poiché la somma di due matrici triangolari siperiori è ancora triangolare superiore, ed inoltre moltiplicando una matrice triangolare superiore per uno scalare si ottiene ancora una
matrice triangolare superiore, allora possiamo concludere che "f/ è uno spazio vettoriale. Se decidiamo di elencare gli elementi non-zero di una matrice
triangolare superiore in un opportuno vettore:
a
b
e
d
e
f
ci accorgiamo della corrispondenza tra "f/ ed JR 6 . Infine, 1' elemento O;r è la
matrice nulla, corrispondente al vettore nullo.
@ Anche per la somma tra polinomi valgono le proprietà sopra elencate, in
quanto la somma di polinomi o il prodotto di un polinomio per uno scalare si
effettuano tramite le analoghe operazioni sui coefficienti dei singoli monomi,
coefficienti che - essendo numeri reali - godono ovviamente di tali proprietà.
Notiamo però che l'insieme "f/ dei polinomi di grado n non è uno spazio vettoriale, perché non è chiuso rispetto alla somma, infatti se consideriamo i due
polinomi seguenti:
xn
la loro somma 2x2
+x -
1,
- xn+2x 2 +4,
+ x + 3 non è più un polinomio di grado n.
@ Le considerazioni appena svolte nel punto @ ci portano immediatamente a
dire che "f/ è uno spazio vettoriale, inoltre possiamo stabilire la seguente
corrispondenza tra polinomi di grado minore o uguale a ne vettori di JRn+l:
e quindi possiamo all'occorrenza identificare "f/ con !Rn + 1 . Infine l'elemento
O;r è il polinomio oxn + oxn- l + ... + Ox + O, corrispondente del vettore
nullo.
346
Capitolo 9
ESERCIZIO 9.32
•
Spazi vettoriali e insiemi di funzioni
Stabilire quali dei seguenti insiemi di funzioni sono spazi vettoriali su R:
<D "f/ = 1&"[0 , I] ={funzioni continue nell'intervallo [O, 1]} ;
= {funzioni periodiche in JR} ;
@ "f/ = {funzioni periodiche di periodo assegnato T in R} .
@ "f/
Soluzione
Abbiamo visto nell' Esercizio 9.30 quali caratteristiche debba possedere un insieme per essere uno spazio vettoriale. Per ciascuno degli esempi proposti, controlliamo che siano soddisfatte.
<D Poiché la somma (commutativa) di due funzioni continue su un intervallo I
dà come risultato una funzione continua su I, e poiché il multiplo di una
funzione continua è una funzione continua, l'insieme 1&"[0, I] è uno spazio
vettoriale; l'elemento 01" è la funzione identicamente nulla su [O, 1].
@
Sappiamo già (Esercizio 4.12) che la somma di due funzioni periodiche di
periodo diverso può non essere periodica, dunque può accadere che
UE "f/, v E "f/
U
+V fj "f/,
e dunque "f/ non è uno spazio vettoriale.
@ La somma di due funzioni aventi lo stesso periodo T
è ancora una funzione avente periodo T, il prodotto di una funzione periodica per uno scalare
è ancora una funzione avente medesimo periodo, dunque "f/ è uno spazio
vettoriale; l'elemento 01" è la funzione identicamente nulla su tutto R
ESERCIZIO 9.33
•
Generatori e basi, dimensione
Dati i vettori
mostrare che sono generatori dello spazio vettoriale R 3 , e da questi ricavare una
base per R 3 .
Soluzione
Dato uno spazio vettoriale "//, un insieme di suoi elementi Vi è detto insieme di
generatori se tutti gli elementi di "f/ possono essere espressi tramite combinazione
lineare dei Vi; se inoltre i vettori Vi sono indipendenti, allora costituiscono una
base, la dimensione di "f/ è il numero di elementi che compongono le sue basi.
Sappiamo inoltre che la dimensione di un qualsiasi Rk è k.
Algebra lineare
347
Veniamo all'esercizio: perché questi vettori generino tutto ~ 3 • occorre verificare che tra essi ve ne siano tre linearmente indipendenti; ossia che il rango della
matrice
sia tre. Procediamo con il M EG:
I pivot della matrice ridotta a scala sono tre e si trovano su prima, seconda e
quarta colonna, sappiamo quindi che v 1 , v2 e v 4 sono linearmente indipendenti, e
pertanto generano ~ 3 ; come base di ~ 3 potremmo prendere questi stessi vettori,
o anche (nessuno lo vieta) la più comoda base canonica C = {e 1 , e2 , e3 } , oveh
ESERCIZIO 9.34
•
Sottoinsiemi e sottos~azi vettoriali
Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di ~ 3 sono anche sottospazi:
n +
ff
+
@/3 =![ ~] = =
® 1, =
2x
y =
4x
2y
+
@/2=![~]2=+
©I, =
l[~ J
xyz
~
+
Soluzione
Per verificare che un sottoinsieme I di uno spazio vettoriale "f/ sia un sottospazio,
occorre e basta verificare che l'insieme I sia chiuso rispetto' alla somma ed al
prodotto per uno scalare, ossia verificare che per ogni coppia u, v di elementi di I
e per ogni numero reale À. accada che
U +V
E/,
À.V E I .
h Dato lo spazio !Rk, si chiama base canonica la base formata dai k vettori e 1 , . . . , ek, ove
ciascun ei ha tutte le componenti nulle tranne la i-esima, ad esempio in JR 4 la base canonica è
formata da
348
Capitolo 9
Notiamo inoltre che il vettore nullo Op- deve necessariamente appartenere ad
ogni sottospazio, pertanto un insieme che non contiene Op- sicuramente non è
un sottospazio.
(i) Osserviamo che tutti e soli gli elementi di I 1 hanno la forma
[+J.
(a
E
JR) .
Controlliamo la chiusura di / 1 rispetto alla somma:
[
a
-2a
] + [ -2{3
fJ ] = [
ZI
Z2
a +- fJ2{3
-2a
Zl
+ Z2
]
a+~=--y [
Y
-2y
Zl
] ,
+ Z2
pertanto, la somma di due elementi di 1 1 ha come seconda componente il
doppio della prima cambiata di segno e quindi è ancora un elemento di / 1, e
quindi I 1 è chiuso rispetto alla somma; vediamo il prodotto per uno scalare:
e quindi Ii è un sottospazio di JR 3 .
@
12 è formato da tutte le teme il cui terzo elemento vale 4, poiché il vettore
nullo non è tra queste, sicuramente 12 non è un sottospazio di JR3 .
@
Poiché z = 4x e y = 2x, /3 è formato da tutti e soli i vettori della forma
(a E JR)
procedendo come al punto (i) si verifica che I 3 è un sottospazio di JR3 .
© / 4 è formato da tutte le teme afJ y il cui prodotto è positivo, non è chiuso
rispetto al prodotto: se moltiplichiamo un elemento di I 4 per - 1
otteniamo un nuovo elemento, in cui il prodotto delle componenti
(-a)(- fJ)(- y) = -afJy è minore di zero, e quindi non appartiene più a / 4 .
Algebra lineare
ESERCIZIO 9.35
•
349
Sottos azi enerati, s~an
Dati i vettori di JR4
determinare il sottospazio generato da v1, Vz, V3 e V4 (che in simboli è espresso
da span{v1, v2 , V3, v4}), specificandone la dimensione e una base.
Soluzione
Dati k vettori v1, ... , vk di JRn, con span{v 1, ... , vk} si intende l'insieme di tutte
le possibili combinazioni lineari dei vettori v 1, ... , Vk:
Si tratta di un sottospazio di JRn avente dimensione minore o uguale a k, poiché la
sua dimensione è uguale al numero di vettori v 1, ... , vk linearmente indipendenti.
Per stabilire quanti e quali vettori siano linearmente indipendenti, applichiamo il
MEG alla matrice
M = [v1 l•2 l•3IV4] =
[il
2 - 1
5 - 3
-5 4
- 2 - 3 1
~l
inanzitutto la prima colonna:
[I
- 1
25 - 3
2
-1 -5 4
- 2 - 3 1
~3] ~
[~
r3 + r1 O
3
2
- 1
l
- 3 3
r4 + 2r1 O 1 - 1
r2 -2r1
~l
Ocupiamoci ora della seconda colonna, nella terza non compaiono pivot, e quindi
passiamo all'ultima colonna:
1
[
o
o]
[1
31 - 21 1
o 31
O - 3 3 O ---+ r3 + 3r2 O O
O 1 -1 7
r 4 - rz O O
21
[1o
o]
1
O 3
O 6
---+
o]
3l 21 1
O O O 3 ·
r 4 - 2r3 O O O O
Le posizioni dei pivot (prima, seconda e quarta colonna) indicano che i vettori
V1, V2 e V4 sono linearmente indipendenti, e dunque costituiscono una base per
span {v 1, v2, v3, v4}, che quindi è un sottospazio di JR4 di dimensione 3.
350
Capitolo 9
ESERCIZIO 9.36
Gli s~azl row e col
•
Data la matrice
[~I
A =
l
2 -1 3 1
5 -2 8 3
o
1
3
7
2 -1 7
4 -3
3
3
n
5 10
determinare una base per row A e col A.
Soluzione
Data una matrice M E ..4t(m, n), si chiama spazio riga di M , e si indica con
row M, il sottospazio vettoriale di Rn generato dalle m righe di M:
row M = span{r1, r2, ... , rm};
si chiama spazio colonna di M, e si indica con col M , il sottospazio vettoriale di
Rm generato dalle n colonne di M:
Ovviamente, per definizione di rango abbiamo che
dimcolM = dimrowM = rkM.
Per stabilire quali righe formano una base per row M e quali colonne formano una
base per col M, è sufficiente ridurre a scala la matrice:
• le righe corrispondenti ai pivot formano una base per row M: è possibile scegliere sia le righe originali della matrice M sia le righe della sua riduzione a
scala;
• le colonne corrispondenti ai pivot formano una base per col M: è necessario
scegliere le colonne della matrice M originale.
Riduciamo dunque a scala la matrice A, la prima colonna:
[{]
2 - 1 3 1
5 -2 8 3
o
1 3 3
4 -3 7 3
2 -1 7 5
~] rz -2rt
~
7
3
10
2 - 1 3
1
o 2
r3 + r1 O 2
o 6
r 4 - 3r 1 O -2 o - 2
rs - r1 O o o
4
1
1
4
o
4
!}
10
poi la seconda colonna:
[~
2
1
2
-2
-1
o
o
o
o o
~] ~ r, -2r2[~ oo
3 1
2 1
6 4
-2 o 3
4 4 10
2 -1
1 o
r4
o
o
o o o
+ 2r 2 O
~}
3 1
2 1
2 2
2 2
4 4 10
Algebra lineare
351
nella terza colonna non vi sono pivot, passiamo alla quarta:
l
2 - 1 3
1
2
1
o 1 o
o o o
[o o o
o o o
~ ]---+
2 2
2 2
4 4 10
1 2 -1
o 1 o
o o o
r4 - r3 [ O O
rs - 2r3 O O
O
O
nella quinta colonna non vi sono pivot, concludiamo con la sesta:
o1 21
00
o
o
[
o o
-1 3 i
o]
o 2 1 2
o 223---+
o o o 4
o o o 4
l
2 -1
3 1
o 1 o 2 1
o o o 2 2
[o o o o o
rs - r4 O O
O
O O
I pivot si trovano sulle prime quattro righe, che dunque formano una base per
row A; possiamo scegliere sia le righe della matrice ridotta a scala, sia le righe
della matrice originale, nel primo caso
:BrowA
1
2
-1
3
1
=
o
o
1
o
o
o
o
o
o
o
' 2 ' 2 ' o
1
2
o
2
3
4
nel secondo caso, alternativamente,
2rowA
=
1
2
-1
3
1
o
2
-1
3
5
-2
8
3
2
1
3
3
7
-3
7
3
3
o
4
I pivot si trovano in corrispondenza della prima, seconda, quarta e sesta colonna,
dunque una base per col A è formata dalle corrispondenti colonne della matrice
originale A:
ESERCIZIO 9.37
•
Nucleo di una matrice
Determinare una base per il nucleo della matrice A dell'esercizio precedente.
352
Capitolo 9
Soluzione
Data una matrice M E .4(m, n), si chiama nucleo di M, e si indica con ker M,
il sottospazio vettoriale di !Rn formato dai vettori che moltiplicati per M danno il
vettore nulloi:
ker M = {v E !Rn : Mv = O}.
Poiché dobbiamo determinare le soluzioni di Av
della matrice A ridotta a scala:
=
O, serviamoci direttamente
Xl
o]
1 2 -1
o 1 o 23 1i 2
o o o 2 2 3
x2
X3
X4
X5
X6
o o o o 4
o o o o o o
[o
=0.
Le posizioni dei pivot indicano che x 3 e x 5 vanno trattati come parametri. L'ultima
equazione non porta nulla, la penultima dà x 6 = O; tenuto conto di questo, la terza
equazione dà X4 = xs, la seconda dà x2 = -2x4 - xs = -3xs, infine la prima
dà x1 = -2x2 + x3 - 3x4 - x 5 = x3 + 2x5 . In definitiva le soluzioni di Av =O
sono i vettori
1
2
xi
X2
X3
X4
X5
X6
= ti
o
1
o + t2
o
o
-3
o
1
1
o
il nucleo di A ha quindi dimensione 2, ed una base è
1
2kerA
=
2
o
1
o
o
-3
o
1
1
o
o
ESERCIZIO 9.38
•
Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta
Dati i sottospazi di JR 3
Vi
V2
V3 =
i
![ ]
=l[ ~ ] x - z =o! , = ~
![~ ];
X=
y =
+ 2z
+
Y
+
=
In altre parole, ker M è l'insieme delle soluzioni v del sistema omogeneo Mv = O.
Algebra lineare
353
determinare e descrivere (fornendone una base) i seguenti sottospazi:
<!:l Vin Vi,
®Vin V3,
©Vi+ V2,
@Vi+ V3 ,
specificando in quali casi la somma è una somma diretta.
Soluzione
Se "f/ è uno spazio vettoriale e U e V sono due sottospazi. Si chiamano intersezione e somma di U e V i seguenti sottospazi: U n V è il sottospazio formato dai
vettori che appartengono ad entrambi:
u n V= {v E "f/: V E u e V E V},
U + V è il sottospazio formato da tutte le possibili somme tra un qualsiasi elemento di U e un qualsiasi elemento di V:
U
+V
= { w E "f/ : 3u E U e 3v E V tali che w = u + v}.
Se poi Un V = {O._y }, allora la somma U +V prende il nome di somma diretta
e si indica con U $ V; ciò significa che per ogni elemento w di U $ V esiste
un'unica coppia u, v di cui esso è la somma. In tutti i casi, tra le dimensioni degli
spazi considerati vale la relazione (formula di Grassmann)
dim(U
+ V)
= dim U
+ dim V -
dim(U n V).
Notiamo che Vi e V2 hanno dimensione 2, mentre Vi ha dimensione 1; per ciascuno di essi forniamo una base:
• Vi è
formato da tutti i vettori aventi prima e terza componente uguali e la
seconda componente libera di variare:
I
• V2 è format0 da tutti i vettori con la seconda componente uguale al doppio
della terza, cambiata di segno, mentre la prima è libera di variare:
• V3 è formato da tutti i vettori con le tre componenti uguali:
354
<!)
Capitolo 9
Poiché l'intersezione di due sottospazi è costituita dai vettori che appartengono ad entrambi, bisogna che questi vettori verifichino tutte le richieste di
entrambi. Cominciamo con Vi n V2:
e quindi
Vi n Vi: notiamo che la condizione x = y = z di Vi è già
contenuta nella richiesta x - z = Odi Vi, e quindi V3 è un sottospazio di Vi,
e allora
@ Passiamo a
@
Infine Vin Vi: la condizione y + 2z = Odi V3 è incompatibile con la richiesta
x = y = z di Vi (l'unica soluzione sarebbe x = y = z = 0), e quindi
© Avendo già determinato le intersezioni tra i vari sottospazi, possiamo usare
la formula che lega le dimensioni per ricavare informazioni sulla somma.
Partiamo da Vi + V2:
dim(Vi
+ V2) = dim Vi + dim Vi -
dim(Vi
n V2) = 2 + 2 - 1 = 3;
poiché Vi + V2 ha dimensione 3, coincidei con lo stesso ffi. 3 e possiamo scegliere come base la base canonica C = {e1, e1, e3}.
® Nel caso di Vi
dim(Vi
+ Vi
+ Vi) = dim Vi + dim Vi -
dim(Vi n Vi) = 2 + 1 - 1
poiché Vi + V3 ha la stessa dimensione del suo sottospazio
V3 = Vi, pertanto
2v,+v, = 2v, =
= 2;
Vi , allora Vi +
![ 7] •[ ~ Jl·
i Se lo spazio vettoriale "f/ ha dimensione n ed un suo sottospazio V ha anch'esso dimensione
n, necessariamente "f/ = V.
Algebra lineare
® Infine V2 + V3: poiché V2 n V3 = {0a3 }, allora dim(V2
V2 + V3 è in realtà una somma diretta: V2 E9 V3, inoltre:
dim(V2
+ V3)
= dim V2
+ dim V3 -
dim(V2
n V3)
355
= O, quindi
n V3) = 2 + 1 -
O = 3;
pertanto, visto che V2 E9 V3 ha dimensione 3, concludiamo che Vi E9 V3 = R 3 .
9.1. 7
Applicazioni lineari
ESERCIZIO 9.39
•
Applicazioni lineari
Date le seguenti funzioni tra spazi Rn, stabilire quali sono applicazioni lineari e
quali no.
®1([ ~ ])
~x;;: ] ;
= [
® r([ ~ ])=[ x:~~J
Soluzione
Una funzione J: da Rn in Rm è detta applicazione lineare se soddisfa le seguenti
condizioni:
i: J:(v + u) = J:(v) + J:(u),
Vv, u E Rn ;
2:
J:(.h) = ÀJ:(v),
Vv
E
Rn, VÀ
E
R
Verifichiamo allora quali delle funzioni del testo soddisfano le due condizioni.
© f è lineare, infatti, chiamando v e u due vettori generici, verifichiamo che le
due condizioni siano soddisfatte, condizione numero
f(v + u) = f ([
~: ] + [ ~~ ]) = f ([ ~:
condizione numero
f (Àv)
= f ([
i:
rn ])
2:
~x
À~
])
=[
3(Àx) - 2(Ày) ]
Àx + n(..lz)
= À [ 3x - 2y ] = H(v).
x +nz
=[
À(3x - 2y) ]
À(x + nz)
356
Capitolo 9
@ La funzione "valore assoluto" non è lineare, quindi se in una funzione f com-
pare un valore assoluto, si può essere certi che f non è lineare. Poiché vogliamo dimostrare che f non è lineare, è sufficiente trovare una coppia di vettori
che non soddisfa la i (o una coppia scalare-vettore che non soddisfa la 2);
consideriamo
V= [
Poiché v
+u =
!]
OJR3 , anche f(v
f(v) +f(u) = [
+ u)
!: ]
= OJR3, mentre
~ ] +[
= [
~] i
o.,,
e quindi f non è lineare.
@ Una conseguenza immediata della condizione 2 è la seguente: se f è lineare,
allora l'immagine del vettore nullo è il vettore nullo (in simboli f(O) = O);
nel nostro caso, poiché la terza componente del vettore risultato contiene un
"termine noto", f non potrà essere lineare, verifichiamolo:
r(o.,) = r ([
~ ]) = [ ~2 Ji°"'
© Anche in questo caso, la presenza nell'espressione analitica di f del prodotto xz (e il prodotto non è lineare) impedisce che f sia lineare, possiamo
verificarlo, prendendo la condizione 2 e mostrando che, per esempio, f(2v) =f=
2 f(v) :
f(2v) = f
ESERCIZIO 9.40
2x ])
( [
•
;~
=
[ 4xz
4x
+2y8y
0
]
=f=
[ 2xz
4x
+2y8y
0
]
= 2f(v).
~~licazioni lineari tra spazi vettoriali generici
Verificare che tutte le funzioni sottoelencate sono applicazioni lineari, specificando per ciascuna di esse lo spazio vettoriale 1f/ d'arrivo.
"f/ = <if 00 (1R) lo spazio vettoriale delle funzioni definite su tutto JR e ivi
derivabili infinite volte; oC(v(x)) = v'(x).
@ Sia "f/ = <if[O, l] lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo
chiuso [O, 1];
CD Sia
oC(v(x))
@
=
fo
1
v(x) dx.
Sia "f/ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due;
v(O) ]
oC(v(x)) = [ v(l) .
Algebra lineare
357
Soluzione
<D Sappiamo dalla teoria che l'operazione di derivazione è lineare, infatti
d
d
- d( f(x)+g(x) ) = - d f(x)+-g(x),
- d(Àf(x) ) =À-f(x);
dx
dx
dx
dx
dx
in questo caso 11' = Y .
@ Come l'operazione di derivazione, anche l'integrazione
fo
fo
@
1
(!Cx)+ g(x)) dx=
1
().f(x)) dx= À
fo
fo
1
f(x) dx+
fo
è lineare, infatti
1
g(x) dx,
1
f(x) dx;
in questo caso 11' = R
Siano v1 (x) = a1x 2 + bix + c1 e v2(x)
di Y, ovviamente
= azx 2 + b2x + c2 due elementi
[v1 + v2](x) = (a1 + az)x 2 + (b1 + b2)x + (c1 + Cz),
[Àvi)(x) = À(a1x 2 + bix +ci) = Àa1x2 + Àb1x + Àc1;
inoltre
oC(v2(x)) = [ az +
dunque per quanto riguarda la condizione numero
%~ + c2 J,
i
ci + Cz
oC ([v1 + v2](x) ) = [ (a 1 + a 2) +(bi + b2) + (ci + c2)
_
-
[
C1
a I + b1 + ci
J+ [
= oC(v1 (x)) + oC(v2(x)),
e per quanto riguarda la numero 2:
e dunque oC è lineare, e in questo caso 11' = JR 2.
Cz
az + b2 + c2
J
J
358
Capitolo 9
ESERCIZIO 9.41
•
Matrice rap resentativa - 1
Scrivere la matrice corrispondente a ciascuna delle applicazioni lineari sotto
elencate (nell'ipotesi che si utilizzi in ogni caso la base canonica):
<J)
cf ( [
~~ J) = [ ; -~}Z
_;}0~ J;
+zy
@ cf ([ x ])
5t
Y
=[
~ ~+ ~ J;
2x
3y
cf (v) = {proiezi?ne. ortogonale del vettore v}
lungo il piano q3 : x + y + z = O
Soluzione
Presi due spazi vettoriali 1" e 11' con dim 1" = n e dim 1f/ = m, le cui basi sono
rispettivamente :Br = {v1, ... , vn} e 2 1/I = {w1, ... , Wm}, ogni applicazione
lineare cf : 1" -+ 11', è univocamente rappresentabile da una matrice A;; a m
righe e n colonne, la cui j -esima colonna è formata dai coefficienti da attribuire
all'immagine del j-esimo elemento della base di "f' in termini della base di "fl/,
ad esempio
<J) Se le basi assegnate sono - come nel nostro caso - le basi canoniche, allora
la matrice associata a cf è formata dai coefficienti di x, y, z, t (cioè delle
componenti del vettore v) nelle componenti del vettore risultato w:
cf
([
Y
X
;
])
x + 2y - 3z
= [ x - Sz + 1Ot
y + z - St
]
{} A;;
[
Y
X
;
J[
=
x + 2y - 3z + Ot
x + Oy - Sz + 1Ot ]
Ox + y + z - St
e quindi
A;;
=
[~o ~1 =~1 -5
l~] .
@ Ripetiamo la procedura, questa volta la matrice A;; avrà tre righe e due
colonne:
A;; [ x ] = [ ;
Y
2x
~+ ~3y ]
l[ -1]
A;;= ;
~
.
@ In questo caso, occorre prima di tutto determinare l'espressione analitica di
cf: ogni vettore v di JR 3 può essere decomposto nella somma di due vettori
Algebra lineare
359
in cui vu E ~e rappresenta proprio la proiezione cercata, e quindi ..C(v) =
vu , mentre v..L è perpendicolare a ~; poiché ~ è il piano x + y + z = O,
e quindi è perpendicolare al vettore u = i+ j + k , v..1 è la proiezione ortogonale di v nella direzione di u; con la formula della proiezione ortogonale
(Esercizio 2.7) troviamo
VJ_ =V -
V. U U =
u.u
[
~
] -
X+
z
y
3
+Z
~
[
] =
1
~ ;~ =~ =~ ] ;
[
2z - x - y
3
pertanto
2x-y-z
3
2y-x-z
3
2z -x-y
3
~ ([ ~ ]) =
ESERCIZIO 9.42
•
2
1
1
-- -3
3
3
1 2
- - - · - -1
3 3
3
1
1 2
- 3
3
3
-
{:}
A.1:
=
Matrice r~ resentativa - 2
Sia "// lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due, e sia
..C : "//-+ JR.2 l'applicazione lineare che ad ogni polinomio v(x) associa il vettore
di !R.2
v(l)
..C(v(x)) = [ v(2)
J;
scrivere la matrice rappresentativa di ..C, assegnando a"// la base
e a JR. 2 la base canonica.
Soluzione
Se "f/ è uno spazio vettoriale di dimensione k, e v un suo elemento, fissata una
base $ = { u 1, u2, ... , uk} in "//, l'elemento v sarà espresso, in termini di !B, da
360
Capitolo 9
una k-pla di numeri reali, le sue "coordinate" in termini di :B, che indicheremo
con [v].2:1:
Esprimiamo il generico polinomio di secondo grado in termini della base :B:
[v(x)]s = [ax
2
+ bx + c]s
= [
~
L,
poiché inoltre
.C(v(x)) = .C(ax2 + bx +e)=
[
a+b+c ]
4a + 2 b +e
,
la matrice A.e rappresentativa di .C in termini delle basi :B di "f/ e C di JR è la
matrice a due righe e tre colonne tale che A,e[v(x)]$ = [.C(v(x))]c, ossia
A.e [
! .,
e ]
e dunque
a+b+c
= [ 4a
+ 2b + e
].
[l l]
J
A.e= 1 2 4 .
Determinare nucleo ed immagine, e relative dimensioni, delle applicazioni lineari
degli Esercizi 9.41 e 9.42.
Soluzione
Sia .C : "f/ -+ 1// un'applicazione lineare, si chiama nucleo di .C (in simboli
ker .C) il sottoinsieme di "f/ formato da tutti i vettori la cui immagine è zero:
ker .C
= {v E "f/: .C(v) = OJIP'},
ker .C è un sottospazio vettoriale di "f/; si chiama immagine di .C (in simboli
im .C) il sottoinsieme di 1// formato da tutti i vettori che sono immagine di qualche
elemento di "f/:
im .C = {w E"///: 3v E "f/, .C(v) = w},
Algebra lineare
361
im J!, è un sottospazio vettoriale di"///. Valgono le seguenti relazionik:
i): dimimi!, = rkA.c ,
2): dim 'f' = dim ker J!,
+ dim imi!,;
inoltre se {v 1 , ... , vn} è una base di "Y, allora {J!,(v 1), ... , J!,(vn)} è un insieme
di generatori per im J!,.
Il nucleo di un'applicazione lineare è l'insieme delle soluzioni del sistema
A.cv= O, per cui esaminiamo il sistema
(!)
1 2 -3
1 o -5
[
o 1 1
riducendo A.e a scala si trova
[oOl o21 -3o1 -5oO] [ ;y
X ]
=O,
dunque rkA.c = 2 e pertanto dimker J!, = 4 - 2 = 2; esprimiamo allora x
e y in funzione delle variabili Iibere z e t, sostituendo all'indietro abbiamo
Poiché dim ker J!, = 2, troviamo la base
Il sottospazio vettoriale im J!, è generato dalle colonne di A .e:
Dalla formula i ricaviamo che dim im i!,=2; poiché i pivot si trovano su prima
e seconda colonna di A.e ridotta a scala, una base per im J!, è formata dalle
corrispondenti colonne di A.e:
k
La relazione 2 è nota con il nome di Teorema di nullità più rango.
362
Capitolo 9
@ Data la matrice di rappresentazione
11
A~= [i
si vede (anche senza riduzione a scala) che rk A.e = 2, quindi dim ker J:. = O
e dim im J:. = 2, il nucleo di J:. è quindi composto dal solo vettore nullo OJR2,
mentre l'immagine è il sottospazio generato dalle colonne di A,e, che essendo
indipendenti ne formano anche una base:
ker J:. = { [
~ ]},
@ In questo caso, possiamo rispondere alla domanda per via geometrica: poiché
l'applicazione J:. corrisponde alla proiezione ortogonale sul
y + z = O, ossia nella direzione di
U= [
piano~
:x
+
!l
l'immagine di tutti i vettori proporzionali a u sarà O, e quindi ker J:. =
{au, a E JR}, mentre l'immagine di J:. sarà~; sappiamo che dim ~ = 2,
quindi una base di ~ può essere costituita da due vettori proporzionali a due
colonne di A.e (diciamo le prime due):
© Guardando la matrice rappresentativa
A.e=
D ~ !] '
notiamo che le due righe non sono proporzionali, dunque rkA,e = 2 e pertanto dim im J:. = 2, poiché im J:. è un sottospazio di dimensione 2 di JR 2 ,
im J:. coincide con JR2 , e come base possiamo scegliere la base canonica C.
Per determinare ker J:. (del quale il teorema di nullità più rango garantisce
che dim ker J:. = 1), riduciamo A.e a scala, si ottiene il sistema omogeneo
[6 : ~J[ ~
da cui y = -3z ex= - y - z = 2z :
L
= O,
Algebra lineare
363
e quindi una base per ker .C è
In effetti, il nucleo di .C è formato da tutti i polinomi di secondo grado che
si annullano in x = 1 e in x = 2, ossia dai multipli di (x - l) (x - 2)
x 2 - 3x + 2, e osserviamo che
[x
ESERCIZIO 9 .44
•
2
3x
-
+ 2]s =
[
+],
Applicazioni lniettive, suriettive e _b_
iie_ttiv
_'_e_ _ _ _ _ __
Per ciascuna delle applicazioni lineari sotto elencate, stabilire se si tratta di
applicazioni iniettive, suriettive e biiettive;
l
~ ~ ~ !~~ l
(V
oC ([
~ ]) = [ X~ 2: ,-
@
oC ([
~
]) = [
2
@
oC ([
© oC ([
X l
~ ]) = [ :X~t
~
]) = [
f~2} l
Soluzione
Un'applicazfone .C : "f/--+ 1// si dice iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte:
si dice suriettiva se ogni elemento di 1// è immagine di qualche elemento di "f/:
Vw e 1//, 3v e "f/ t.c. .C(v) = w;
si dice biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Se .C è un'applicazione lineare, allora valgono le seguenti condizioni:
.C iniettiva
{::}
ker .C
.C suriettiva
= {01'}
{::}
{::}
dim(im .C)
= dim "f/;
dim(im .C) = dim 1//.
<D In questo caso, con i simboli qui sopra usati, "f/ = IR.3 e 1// = IR 2 ; poiché
dim 1// > dim "f/, l'applicazione .C non potrà in alcun caso essere iniettiva;
se osserviamo la matrice associata
A.e=
[6 i 11].
si vede che rk A.e = 2, pertanto dim(im .C)
suriettiva.
= 2 = dim 1//, e quindi .C è
364
@
Capitolo 9
Questa volta "Y
= JR.3 e 1f/ = JR.3 , la matrice associata a J:, è
= 2; abbiamo quindi
dunque rk A.1:
dim(im J:,) = 2 < dim 1f/
J:, non è suriettiva;
=}
dim(ker .i!,) = dim "Y - dim(im .i!,) = 3 - 2 = 1
@
Anche in questo caso "Y
= JR. 3
e 1f/
A.1: =
= JR. 3 ,
J:, non è iniettiva.
=}
la matrice associata a J:, è
-1]
1 1
2 -1
[3 1
3
2
'
detA..c = 5, quindi rkA.1: = 3, e allora
dim(im .i!,) = 3 = dim 1f/
J:, è suriettiva,
=}
dim(ker .i!,) = dim "Y - dim(im J:,) = 3 - 3 = O
=}
J:, è iniettiva,
quindi J:, è biiettiva.
© Abbiamo "Y = JR. 3 e 1f/ = IR. 4 , dim "Y < dim 1f/ quindi J:, non potrà in alcun
caso essere suriettiva, la matrice associata a J:, è
_
A..e-
1 1]
[
0 o
1. -2
2 1 o
o l 1
MEG
~
[1o0 o1
11 ]
-3 '
o
o o o
pertanto rk A.1: = 3, quindi dim(im .i!,) = 3 e
dim(ker .i!,)
ESERCIZIO 9 .45
•
= dim "Y -
dim(im .l!,)
=O
=}
J:, è iniettiva.
Matrice di cambiamento di base
In JR. 3 consideriamo la base canonica C = {e1, e1 , e3} e la base
dato il generico vettore W, scrivere la matrice C~ che trasforma le componenti
di w in termini di C nelle componenti in termini di U , cioè la matrice tale per cui
[w]u = C~ [w]c.
Algebra lineare
365
Soluzione
Come abbiamo già fatto negli Esercizi 9.42 e 9.43, data una base 'U = {u 1 , u2 , u3},
se w = a1u1 + azu2 + a3u3, cioè se ai,a2,a3 sono le coordinate di w rispetto
alla base 'U, scriveremo
[w]u
=[
~~ ]
a3
'U
prendiamo ora due basi diverse: 'U = {u1, u2, u3 } e V = {v 1, v2, v3}; le coordinate di w rispetto a V possono essere ottenute dalle coordinate rispetto a 'U
tramite un prodotto matriciale:
[w]v = C~[w]u,
ove la matrice C~ rappresenta le coordinate dei vettori di 'U in termini di V, cioè
U1 = a1 V1
Uz = /31 V1
U3 = Y1V1
+ a2V2 + a3V3
+ f32v2 + {33V3
+ Y2V2 + y3v3
infine, notiamo che la trasformazione inversa è l'inversa della matrice:
V
Cu =
(
'U)-1\.
Cv
Nel nostro caso, poiché una delle due basi è la base canonica, sappiamo scrivere
immediatamente le espressioni dei vettori u 1, u2, u3 in termini degli ei:
u 1 = ei
+ ez,
u2 = e 1 + 2e3,
u3 = 2e 1e 3,
e quindi possiamo scrivere e~' e poi ottenere e~ invertendola:
1 1o o2]
[o 2 1
e~= 1
ESERCIZIO 9.46
•
:::} e~ = (e~)
Cambiamento di base e
In JR 3 consideriamo la base
e prendiamo l'applicazione lineare J:, tale che:
1[
-1
=
3
-;io
~licazioni lineari
3
~2
!io] .
366
Capitolo 9
<D Scrivere la matrice A.J;,'U rappresentativa di
J:, in corrispondenza della
base U.
@
Data la base
(per la quale V1 = u1 + u2 - U3, v2 = 2u1 - U3, V3 = 4u1 + u2 - 2u3),
scrivere la matrice A,J;,V rappresentativa di J:, in corrispondenza di V.
@ Scrivere l'espressione di J:, in termini della base canonica.
Soluzione
<D La matrice A.J;,'U, rappresentativa di J:, in corrispondenza della base U, sarà
data dai coefficienti delle trasformazioni dei vettori ui:
J!,(u1)
= u1 + 2u2 + Ou3,
J!,(u3) = 2u1
ovvero
L
J!,(u2)
= Ou1 + u2 -
U3,
+ Ou2 + 4u3,
(U L) =uL (U L) =[Jl L
L(UL)=UL
L
pertanto la matrice rappresentativa cercata è
@
Se l'applicazione lineare J:, ha come matrice rappresentativa A,J;, 'U rispetto
alla base U, allora la stessa J:, è rappresentata, rispetto alla base V, dalla matrice A.J;,V = C~A,J;,'UC~. Poiché sappiamo l'espressione degli elementi
di V in termini di U, possiamo scrivere la matrice di cambio di base C~:
l
V1 = U1 + U2 - U3
V2 = 2u1 - U3
v 3 = 4u 1 + u2 - 2u3
=}
e~ = [ -1~ -1~ -2i J,
e con qualche conto si trova la matrice inversa
Algebra lineare
367
quindi, effettuando il prodotto tra matrici:
A..c;v
[=i
C~A..c,uci =
=
1
~21 =~]
[~o -~1 4~]
2
[i
~
- 1 -1
i]
-2 '
e pertanto
@
A noi occorre la matrice A.,c
sappiamo che
A.,c,c; poiché dall'esercizio precedente
e
Inoltre al punto
quindi
e
Cu
[o i
1 -1
3 2
= -
~] .
-2 -1
<D abbiamo calcolato A.,c,u; risulta A.,c,c
= C~A.,c,uC~ e
A~.c = D26 ~]1 [~o -~1 4~] [~~
~
3
=
[~ -i
-3
7
5
3
3
-~]
- 3
-~
1[21 -12 -12]
.
-2 '
= -
3
3
4
7
- 1
5
pertanto, in termini della base canonica,
x
;; ([
9.1.8
~
7x - 4y - 4z
4x - y - 2z
]) = [ 7x
+
~
- 2z
-2
l
.
Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione
ESERCIZIO 9.47
•
Definizione di autovalore e autovettore di una matrice
Data la seguente coppia di matrice e vettore:
A=
a
a- 2
1 ]
2-a 4 - a ,
[
a+2
a
1
1
w=[JJ
determinare (se esiste) il valore da attribuire ad a affinché il vettore w sia un
autovettore della matrice A.
368
Capitolo 9
Soluzione
Data una matrice quadrata M, si dicono autovettori di M tutti i vettori v che
risolvono (con un opportuno valore di À) l'equazione
Mv= Àv;
in questo caso À è detto autovalore relativo all'autovettore v (ovvero: v è l'autovettore relativo all'autovalore À).
Perché w sia un autovettore di A, basta imporre che sia verificata l'equazione
Aw = Àw:
a1
a-2
1 ] [ O
2-a 4-a
1 ] =À [ O
1 ] ,
[ a+ 2
a
1
- 1
-1
che riscritta in forma di sistema lineare (in cui le incognite sono a e À) diventa
successivamente
l
a-2-1=0
2-a-4+a = À
a-1 = -À
l
a=3
-2= À
a-1 = -À '
da cui a = 3, À = -2; quindi w è un autovettore di A solo se a = - 3, ed in tal
caso l'autovalore corrispondente è À = -2 (l'esercizio non lo richiedeva, ma è
un'informazione che abbiamo ottenuto "gratis").
ESERCIZIO 9.48
•
Calcolo di autovalori e autovettori
Autovalori reali e distinti
Calcolare gli autovalori e gli autovettori delle seguenti matrici
Soluzione
Data una matrice M (ovviamente quadrata) n x n, per calcolarne autovalori ed
autovettori conviene partire dal calcolo degli autovalori, che sono le radici del
polinomio caratteristico det(ÀI - M):
det(H - M) = O;
si tratta ovviamente di un polinomio di grado n, che pertanto ha sempre n radici
(reali o complesse, contate con la dovuta molteplicità). Dopodiché, per ogni autovalore trovato Àb i relativi autovettori Vk si determinano risolvendo il sistema
lineare
Algebra lineare
369
<D Cominciamo dalla matrice A: il polinomio caratteristico è
det(ÀI - A) = det [ À_- 4 À-1
_ ] = À2 - 7À
2
3
+ 10,
le cui radici sono À1 = 2 e À1 = 5; l'autovettore v 1 relativo a Ài è soluzione
del sistema
[21 - A]v1 = O
-2 -1] [ X
[ -2 - 1
y
::::}
]
=O.
Le due equazioni sono necessariamente proporzionali (in questo caso, addirittura identiche)1, basta pertanto ricavare dalla prima che 2x + y = O, ossia
y = -2x, e concludere che tutti vettori della forma [
-~x
] sono autovet-
tori per A, relativi ali' autovalore À1 = 2; scegliendo (per semplicità) x = 1
ricaviamo
Cerchiamo adesso v2 ; esso sarà soluzione del sistema
Dalle due equazioni si ricava immediatamente x = y, e quindi (ponendo di
nuovo per semplicità x = 1)
® Veniamo alla matrice B: il polinomio caratteristico è
-4
À-2
det(ÀI - B) = det
ossia À(À 2
autovalori
-
9À
[
+ 8), che
À1
1
o
À
+1
-2
-6 ]
-1
À-8
= À3 - 9À 2
+ 8À
ha come radici O, 1 e 8, quindi abbiamo i tre
=O,
À2
= 1,
À3
= 8.
1 Dato che). è un autovalore, il determinante della matrice dei coefficienti U - A è O, e allora,
in base al teorema dì Rouché-Capelli, il sistema omogeneo (ÀI - A)v = O avrà necessariamente
infinite soluzioni, se la matrice è una matrice 2 x 2, allora le due equazioni del sistema sono proporzionali, se la matrice è una generica matrice n x 11 , le soluzioni sì possono ricavare da n - L
equazioni, scelte - con giudizio - tra le n del sistema.
370
Capitolo 9
Per ciascun autovalore, calcoliamo il corrispondente autovettore: l'autovettore v 1 è soluzione del sistema
che può essere riscritto come
l
X+ 2y + 3z = 0
x+y-z = O
y
+ 4z
=O
Dall'ultima equazione ricaviamo y = - 4z, e sostituendo nella seconda ricaviamo x = z - y = Sz, pertanto le soluzioni del sistema sono costituite da
tutti i vettori le cui componenti sono proporzionali a [Sz, - 4z, z]T, ponendo
al solito per semplicità z = 1 troviamo
Passiamo a ricavare l'autovettore relativo a À.z = 1: v2 è soluzione del
sistema
che può essere riscritto come
l
X+ 4y + 6z = 0
X+ 2y-z = 0
2y
+ 7z =o
Di nuovo, partendo dall'ultima equazione ricaviamo y = -~z, e sostituendo
nella seconda ricaviamo x = z - 2y = 8z; pertanto le soluzioni del sistema sono costituite da tutti i vettori le cui componenti sono proporzionali a
[8z, - ~ z, zJT; ponendo ad esempio z = 2 troviamo
Infine, considerando À. 3 = 8, v 3 è soluzione del sistema
Algebra lineare
371
che può essere riscritto come
l
3x - 2y - 3z = O
X+ 9y -z = 0
y=O
La terza equazione fornisce y = O, posto y
proporzionali, e si riducono entrambe a x =
z = 1) troviamo
ESERCIZIO 9.49
•
= O le prime due equazioni sono
z, pertanto (ponendo ad esempio
Calcolo Cii autovalori e autovettori. Autovalori reali,
molte~licità algebrica e molte licità eometrica
Calcolare gli autovalori e gli autovettori delle matrici
<DA =
@C=
[4 -1]
1
2
@B =
;
[~1
-3
(}o
=~] ;
-1
-4 12
-12]
6 - 10 12 .
[ 6 - 12 14
Soluzione
Osserviamo che, se l'autovalore i è radice semplice del polinomio caratteristico
come nei due casi dell 'eser~izio precedente, allora a i corrisponderà sempre un
solo autovettore; se invece À è radice del polinomio caratteristico di molteplicità
m, allora a i possono corrispondere da 1 a m autovettori linearmente indipendenti;
m si chiama molteplicità algebrica di X, mentre si chiama molteplicità geometrica il numero dei suoi autovettori linearmente indipendenti. Un autovalore le cui
molteplicità algebrica e geometrica sono uguali è detto regolarem .
CD Calcoliamo gli autovalori e gli autovettori di A: il polinomio caratteristico è
det(U - A) = det [À _=-1
4
À
~ 2]
= ;t 2 - 6À
+9=
(À - 3) 2 ,
quindi i due autovalori di A sono
À1 = 3,
m Ovviamente, tutti gli autovalori delle matrici dell'esercizio precedente erano regolari, in quanto ciascuno di essi aveva molteplicità algebrica 1 (erano radici semplici del polinomio caratteristico)
e molteplicità geometrica 1 (a ciascuno corrispondeva un solo autovettore).
372
Capitolo 9
ciò equivale a dire che À. 1 = 3 è l'unico autovalore di A, con molteplicità
algebrica 2, calcoliamo il corrispondente autovettore (o i corrispondenti autovettori): tutti gli autovettori v 1 relativi a À. 1 dovranno essere soluzioni del
sistema
=?[=~~][~]=o;
(31-A]vi=O
entrambe le equazioni del sistema implicano x = y, ciò significa che gli
autovettori relativi a À. 1 = 3 sono tutti e soli i vettori con le due componenti
uguali, scegliendo ad esempio x = 1 troviamo
Vt
= [
!l
Questo risultato significa che À. 1, avendo molteplicità algebrica 2 e molteplicità geometrica 1, non è un autovalore regolare".
@
Passiamo alla matrice B, il cui polinomio caratteristico è
det(H-B)=det
À.-1
1
[
3
2
À.
o
3 ]
3
=À. 3 -12À.+16;
À.+l
poiché À. 3 - 12À. + 16 = (À. - 2)2(). + 4) , i tre autovalori di B sono
À.1
e
= -4
L'autovalore -4 ha molteplicità algebrica 1, il che significa che anche la
molteplicità geometrica sarà 1, e quindi a À. 1 corrisponderà senz'altro un
unico autovettore v 1 , che troviamo nel solito modo:
ossia, scritto in forma di sistema
-Sx + 2y + 3z = O
X -4y + 3z = 0
1 3x-3z
=O
0 Osserviamo che se una matrice M 2 x 2 ha un autovalore .À regolare e con molteplicità 2, allora
M deve necessariamente essere diagonale:
M
= [;
~l
Algebra lineare
373
Dalla terza equazione ricaviamo z = x, sostituendo z con x nella prima
otteniamo y = x, pertanto ogni soluzione del sistema sarà proporzionale alla
terna (x, x , x), e scegliendo direttamente x = 1, troviamo
Passiamo a ..l.. 2 = 2; si tratta di un autovalore con molteplicità algebrica 2,
ciò significa che, in via teorica, prima di effettuare qualsiasi calcolo, potrebbe esserci un solo autovalore collegato all'autovalore 2, oppure potrebbero
essercene due. Il sistema da risolvere è
la cui matrice dei coefficienti ha rango 2, infatti non può avere rango 3 (perché
è singolare e inoltre le prime due righe sono uguali), mentre le ultime due
righe non sono evidentemente proporzionali, e quindi rk (21 - B) = 2. Il
teorema di Rouché-Capelli assicura allora che il sistema
l
X+ 2y + 3z
X+ 2y + 3z
= 0
= 0
x+z =O
ha infinite soluzioni, dipendenti da un parametro, ottenibili dalle ultime due
equazioni: dall'ultima si ricava z = -x, in ciascuna delle precedenti sostituendo z ricaviamo x + 2y + 3(- x) = O, ossia y = x, e pertanto gli
autovalori di ..l.. 2 = 2 sono dati unicamente da (scegliendo x = 1)
•2
~
[
JJ
Ciò equivale a dire che l'autovalore 2, avendo molteplicità algebrica 2 e molteplicità geometrica 1, non è regolare.
@
Consideriamo ora la matrice C: il polinomio caratteristico è
det(..l..1- C) = det
). + 4
[
-6
-6
).
-12
12 ]
+ 10 -12
12
). - 14
=).
3
-
12..l..
+ 16,
che è uguale a quello di B; anche per la matrice C gli autovalori sono
e
374
Capitolo 9
L'autovalore -4 ha molteplicità algebrica 1, il che significa che anche la
molteplicità geometrica sarà 1, e quindi a À 1 corrisponderà senz'altro un
unico autovettore v 1 , dato da
:::}
[]
[~6 -~ ~t2] ~
2
[(-4)1- C)v1 =O
-6
12
-18
=O.
z
Riscriviamo l'equazione in forma di sistema, dividendo tutte le righe per 6:
l
+ 2z =O
+ y - 2z =O
+ 2y -3z =O
-2y
-x
-x
.
Dalla prima equazione ricaviamo y = z, sostituendo y con z nella seconda otteniamo - x = z, e pertanto ogni soluzione sarà del ti po ( - z, z, z);
scegliendo direttamente z = 1, troviamo
Per quanto riguarda À2 = 2 (autovalore con molteplicità geometrica uguale
a 2), scriviamo il corrispondente sistema
[21 - C)v2
=O
:::}
[!6
-6
l~12 -~t2]
[ ~ ] = O.
12
z
2
In questo sistema tutte e tre le righe sono proporzionali (il rango di 21 - C è
l) e sono equivalenti all'equazione x - 2y + 2z = O; è allora possibile determinare due autovettori linearmente indipendenti, innanzitutto esprimendo
una delle variabili in funzione delle altre due (ad esempio x = 2y -2z) e poi
attribuendo alternativamente 1 e O alle due variabili scelte:
X=
X=
2y-2z
2y - 2z
y=l,z=O
---+
•2,1
=
y=O,z=l
---+
V>,2
= [
[! l
72
l
quindi À2 è regolare (le molteplicità algebrica e geometrica coincidono).
Calcolare autovalori ed autovettori delle matrici
Algebra lineare
375
Soluzione
<D Calcoliamo il polinomio caratteristico di A:
det(ÀI - A) = det [ À-1
1
- 2 ] = À 2 - 4À.
3
À _
+ 4,
i cui zeri sono À 1,2 = 2 ± i. Poiché gli autovalori non sono reali, anche gli
autovettori non lo saranno; calcoliamo v1 , relativo a ).. 1 = 2 + i, esso sarà
soluzione di:
Anche in questo caso le due equazioni
(1 + i)a - 2/3 = O
{ a+(-l+i)/3=0
sono proporzionali (moltiplicando la seconda per 1 + i si ottiene la prima),
dalla seconda ricaviamo allora a= (1- i)/3. Agendo nello stesso modo con
À.2 = 2- i e V2:
[(2 - i)I - A] [
ft ] = [ ~ ]
=?
l- i
[ 1
-2 ·]
- 1- l
[.a]
/3
= [ O]
o
(in questo caso moltiplicando la seconda equazione per 1 - ·i si ottiene la
prima) otteniamo a = (1 + i)/3, quindi
À.1
= 2 +i ,
V1
= [ l
~i
] ;
À.2 =
2- i,
V2
= [ I+
l i ] .
Osserviamo anche che, come ).. 2 è il complesso coniugato di À i, così v2 è
il complesso coniugato di v 1 . Osserviamo che una matrice ad elementi reali
può avere autovalori complessi, tuttavia sì tratterà con certezza di autovalori
complessi coniugati poiché il polinomio caratteristico ha coefficienti reali; a
tali autovalori complessi coniugati si accompagneranno necessariamente autovettori complessi coniugati.
@
La matrice B ha elementi complessi, non preoccupiamocene e svolgiamo i
conti abituali. Il polinomio caratteristico di B è
le cui radici sono
Àt = 2:
À1
= 2 e ).. 2 = -i . Cerchiamo v 1 , autovettore relativo a
376
Capitolo 9
Si vede immediatamente che a =
f3 e dunque un autovettore relativo a A1 è
Determiniamo v2 , relativo a À 2 = -i:
da cui ia = - 2{3, un autovettore relativo a À2 è ad esempio
ESERCIZIO 9.51
Le matrici degli esercizi precedenti
<DA =[i
©F
=
@H
=
jl
-2
[~I o -3
-3 o -1
-3]
[~1
~l
;
®B =
[~I
®G=
[-4~
®K=
[~
4
!l-12]
-1
2
12
-10 12
-12 14
@E=
[i
-ll
2 ,
2~il
sono diagonalizzabili? In caso affermativo scrivere la matrice di passaggio P e
trasformare ciascuna di esse in matrice diagonale.
Soluzione
Una matrice M si dice diagonalizzabile se esistono una matrice D diagonale ed
una matrice P non singolare, detta matrice di passaggio, tali per cui p-l MP =D.
Dalla teoria sappiamo che sulla diagonale della matrice D vi sono gli autovalori
di M; inoltre, sempre la teoria può garantire che, se una matrice ha tutti gli autovalori distinti, allora sono senz'altro regolari ed i corrispondenti autovettori sono
senz'altro linearmente indipendenti e pertanto possono costituire una matrice di
passaggio; se invece una matrice possiede autovalori con molteplicità algebrica
maggiore di uno, sarà diagonalizzabile solo se tali autovalori sono regolari, e in
tal caso P è nuovamente formata dagli autovettori corrispondenti. Occorre inoltre
fare una distinzione: abbiamo visto nell'esercizio precedente che matrici ad elementi reali possono avere sia autovalori reali sia autovalori complessi e che matrici ad elementi complessi avranno sicuramente almeno un autovalore complesso.
Non ha senso chiedersi se una matrice sia diagonalizzabile se non si specifica il
"terreno di gioco" in cui ci si muove: se la matrice M ha elementi complessi, la
Algebra lineare
377
sua diagonalizzazione (qualora sia permessa daJla regolarità degli autovalori) avverrà senz' altro in C, se invece la matrice M ha solo elementi reali, qualora abbia
autovalori complessi (coniugati), potrebbe - sempre in virtù della regolarità degli
autovalori - essere diagonalizzabile in C, ma non sarà mai diagonalizzabile in R
In generale, senza ulteriori specificazioni, quando scriveremo "diagonalizzabile"
intenderemo "diagonalizzabile in R".
Q)
La matrice A è diagonalizzabile, poiché ha due autovalori regolari. Scegliamo
come matrice diagonale la matrice
pertanto la corrispondente matrice di passaggio P avrà come prima colonna
l'autovettore v1 (relativo a À1 = 2) e come seconda colonna v2 (relativo a
À2=5):
P
= [v1lv2] = [~2 ~l
Con qualche conto troviamo che
e quindi 0
~ [~ ~lJ
[i jJ[~2
n
~ ~"-,,-'
p-1
A
P
=
[~ ~J.
~
D
è diagonalizzabile, perché gli autovalori sono distinti e
quindi regolari, se scegliamo come matrice diagonale la matrice
@ Anche la matrice B
cui corrisponde la matrice di passaggio
0
Se invece avessimo scelto P
= [v2 lvt], la matrice diagonale corrispondente sarebbe stata
[~ ~].
378
Capitolo 9
con un po' di fatica se ne calcola l'inversa:
218 [-7
~1
p- 1 =
- 14
4
{:}
6
e a questo punto basta un prodotto:
-14
4
I [-7
4
28 -1
6
!4] [!1o !] [+ fl
-l
16
-7
2
2
4
29
p -1
o
o]
o
rn o .
1
=
8
"-.,,..-'
p
B
D
@ La matrice E possiede un solo autovalore con molteplicità algebrica 2 e mol-
teplicità geometrica 1, quindi non è diagonalizzabile (né in JR né in C).
@ Lo stesso dicasi per la matrice F : possiede due autovalori, uno con molte-
plicità algebrica e geometrica 1, l'altro (À 2 ) con molteplicità algebrica 2 e
molteplicità geometrica 1, e quindi non regolare.
® La matrice G possiede due autovalori:
À 1 = -4 con molteplicità algebrica
e geometrica 1, À 2 = 2 con molteplicità algebrica e geometrica 2, e quindi
regolari entrambi; ad essi corrispondono gli autovettori
Vt
= [
Tl
V2,1
=
ul
con i quali costruire la matrice di passaggio
alla quale corrisponde l'inversa
- 1
p- 1 =
i
[
-1
-2]
-2
3
2
2
,.
e, dato l'ordine con cui gli autovettori sono stati accostati nella matrice P,
con qualche conto si vede che
=
p- 1
G
p
-4
[
o o]
o 2 o .
o o 2
~
D
Algebra lineare
@
379
La matrice H non è diagonalizzabile in R perché pur essendo reale i suoi
autovalori sono complessi. Tuttavia, H è diagonalizzabile in C, avendo due
autovalori distinti, e pertanto regolari: scegliamo come matrice diagonale la
matrice
o]
D -[2+i
- o
2-i '
pertanto la corrispondente matrice di passaggio P avrà come prima colonna
l'autovettore v 1 e come seconda colonna v 2 :
1 +i]
I
.
Con qualche conto troviamo che
i]
-_iJ = ~2 [i.
p - 1 = _1_ [ 1 - 1
-2i - 1 1 - t
11 +i '
-t
c quindi
1[ i
2
;J [l~i
~~~] [~1
-i_,,_ _ _ ' - v - - " _ __,,_ __,
__
p
H
p-1
- [26i
D
® La matrice K è diagonalizzabile in C, perché ha due autovalori regolari (ovviamente, essendo K una matrice ad elementi complessi, non ha senso domandarsi se sia diagonalizzabile in JR). Scegliamo come matrice diagonale la
matrice
pertanto la corrispondente matrice di passaggio P avrà come prima colonna
l'autovettore v 1 e come seconda colonna v2 :
2.J.
-l
Con qualche conto troviamo che
[-i -12] -52[--ll -2] - ~ [l + 4- 2i] .
0
p-1 = _ I _
-2-i -1
= i
1
- 5
2i
2-i
i- 2 '
e quindi
~ [ 2~~i i~~ J [~ 2 ~ i J D !i J =
1
---------p- 1
~
~
K
P
[
o]
2+i
o
2 -i .
D
380
J
Capitolo 9
9.1.9 Ortogonalità
Dati i vettori (vettori colonna, cioè matrici n x 1)
calcolare i prodotti scalari
(v, w} ,
e le norme
(v, u},
(w, v},
llvll, llwll; calcolare infine il coseno dell'angolo a
tra v e w.
Soluzione
In uno spazio vettoriale "f/, si chiama prodotto scalare un'operazione
(·, ·} : "f/
X
"f/
~JR
che associa ad una coppia di elementi di "f/ un numero reale. Se "f/ = !Rn, in
analogia con quanto fatto con i prodotti scalari tra vettori del piano e dello spazio,
si parla di prodotto scalare tra due vettori colonna C1 e c2 (aventi ovviamente
lo stesso numero di elementi) quando si effettua il consueto prodotto matriciale
righe-per-colonne nella forma
(c1, c2} =
cTc2.
Il risultato è una matrice 1x1 (cioè uno scalare) data dalla somma dei prodotti degli elementi di posti corrispondenti. Ad esempio se u e v sono due vettori colonna
a 4 componenti, il loro prodotto scalare è:
Allora, nel nostro caso:
(v, w )
= (1
(w, v)
=
-I
3 -5)
[2 o 1 2]
m
= -5,
[~1]-- -5,
3
-5
(in accordo con il fatto che il prodotto scalare è commutativo).
Algebra lineare
Infine
(1
-1
3 - 5]
(v, u) =
[l]
~
381
=O.
Sempre in accordo con i prodotti scalari della geometria, si chiama norma di un
vettore v (e la indichiamo con llvll) la radice quadrata del prodotto scalare div per
se stesso:
llv ll
2
(1
- 1 3 -5] [ 1 ]
!
-1
= {v, v} =
= 36,
5
e quindi llvll = ./36 = 6 ed analogamente llwll = 3. Sempre in analogia con
la geometria possiamo quindi parlare di angolo compreso tra due vettori dicendo
che, se et è l'angolo compreso trave w, allora
{v, w}
-5
cos et = llv ll . ll w ll = 6. 3;
infine, se il prodotto scalare tra due vettori non nulli è uguale a zero, diremo che i
due vettori sono ortogonali, come v e u in questo esercizio.
ESERCIZIO 9.53
•
Prodotto scalare in s~azi vettoriali enerici
Date le seguenti coppie "f/, {·, ·}, stabilire se l'operazione {-, ·} è un prodotto scalare su "f/.
<D "f/ = {polinomi di grado minore o uguale a 2},
{v(x), w(x)} = v(O)w(O)
@
"f/ = {polinomi di grado minore o uguale a 3},
{v(x), w(x)} = v(O)w(O)
@
+ v(l)w(l) + v(2)w(2).
+ v(l)w(l) + v(2)w(2).
"f/ = 'if[O, !]{funzioni continue sull'intervallo [O, 1]},
{v(x), w (x)} =
fo
1
v(x)w(x) dx.
Soluzione
Affinché l'operazione {·, ·} sia un prodotto scalare, deve verificare quattro proprietà:
• commutatività:
{v, w) = {w, v},
per ogni v, w e "f/;
382
Capitolo 9
• distributività rispetto alla somma di vettori:
(v, u
+ w)
= (v, u)
+ (v, w) ,
per ogni v, u , w E "f/;
• omogeneità rispetto al prodotto per uno scalare:
(Àv, w} = À. (v , w} ,
per ogni À E R v, w
E
"f/;
• positività e annullamento:
per ogni v E "f/
e
(v, v)=O seesolosev =Op-.
(v, v) :::::. O,
Verifichiamo che nei casi del testo tali proprietà siano soddisfatte.
CD Dati due polinomi di grado minore o uguale a due
v(x)
= ax 2 + bx + e,
w
= px 2 + qx + r,
il loro prodotto (v(x), w(x)} vale
(v(x) , w(x)) = cr + (a+b+c)(p+q+r) + (4a + 2b+c)(4p + 2q+r),
osserviamo che le proprietà commutativa e distributiva seguono immediatamente dalle analoghe proprietà numeriche; vale anche la proprietà di omogeneità, infatti
(>..v(x), w(x))
= Àcr+(À(a+b+c)](p+q+r)+[À(4a+2b+c)](4p+2q+r)
= À[cr + (a+b+c)(p+q +r) + (4a + 2b+c)(4p+2q +r) J
= À (v(x), w(x)) .
Infì ne, osserviamo che è valida anche la proprietà di positività, infatti
(v(x), v(x)} = c 2 +(a+ b + c) 2 + (4a + 2b + c) 2
ed il secondo membro è senz'altro positivo poiché è una somma di quadrati;
occorre verificare infine che (v(x), v(x)} = O se e solo se v(x) = Op-, in
effetti porre (v(x), v(x)} =O significa porre
=O
(a+ b + c) 2 =O
(4a + 2b + c) 2 =O
c2
{
l
e= O
a+b + c=O
.
4a + 2b + e= O
La prima equazione impone e = O; sostituendo e
zioni si ottiene il sottosistema
a+b=O
{ 4a + 2b =O
= O nelle altre due equa-
a= O,b =O;
Algebra lineare
383
e dunque vale anche la proprietà di annullamentoP; pertanto (·, ·} è un prodotto scalare su "f/.
Le proprietà commutativa, distributiva e di omogeneità sono analoghe al caso
precedente, dunque siamo già sicuri della loro validità. Analogo discorso vale
per la positività di (·, ·} ,mentre non vale la proprietà di annullamento: nella
nota abbiamo appena visto che imporre (v(x) , v(x)} = O significa imporre
che il polinomio v(x) si annulli in x = O, 1, 2: un polinomio di secondo grado
che si annulla in tre distinti valori di x è necessariamente il polinomio nullo,
mentre ciò non vale se v(x) è un polinomio di terzo grado: basta ad esempio
scegliere
v(x) = x(x - l)(x - 2) = x 3 - 3x 2 + 2x
@
affinché (v(x), v(x)} =O senza che v(x) = 0-.y . In definitiva(·,·} non è un
prodotto scalare nello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale
a tre.
La commutatività del prodotto (·, ·} è di immediata verifica: se v(x) e w(x)
sono due funzioni continue sull'intervallo [O, 1], allora
@
(v(x), w(x)} =
fo
1
v(x)w(x) dx=
fo
1
w(x)v(x) dx= (w(x), v(x)}.
Distributività e omogeneità seguono direttamente dalle proprietà di linearità
dell'integrale; grazie alla proprietà di monotonia dell'integrale è possibile garantire anche la proprietà di positività e di annullamento di (·,·},che dunque
è un prodotto scalare su ~[O , 1).
un sottospazio di IR4 , determinare una base ortogonale per V.
P
Si sarebbe potuto anche ragionare così: (v(x) , v(x)) =O equivale a chiedere
(v(0)) 2
+ (v(1))2 + (v(2))2 =O
v(O) = v(l) = v(2) =O,
dunque v(x) è un polinomio di secondo grado che si annulla in corrispondenza di tre diversi valori
dix, e quindi è il polinomio nullo.
384
Capitolo 9
Soluzione
Per determinare una base ortogonale (cioè una base formata da vettori tra loro ortogonaliq) a partire da un certo gruppo di vettori, possiamo usare il procedimento
di Gram-Schmidt: se i vettori generici sono v 1 , ... , vk e la base che cerchiamo è
:B = {u1, ... , uh}, allora
• il primo vettore della base è uno dei vettori del gruppo, scegliamo allora per
comodità il primo:
U1 = V1;
• il secondo vettore della base è la differenza tra il secondo vettore del gruppo e
la sua proiezione ortogonaler lungo u 1 :
U2
=
(v2, u i}
V2 -
(
U1 , U1
} UJ ;
• il terzo vettore della base è la differenza tra il terzo vettore del gruppo e la sua
proiezione lungo il sottospazio generato da u 1 e u 2:
U3
=
V3 -
(v3, u1}
(v3, u 2)
U1 U2;
(u1 , u i}
(u2, u 2)
• e così via fino a vk.
(Se in uno di questi passaggi il risultato a secondo membro si annulla, significa
che il vettore Vi in questione è combinazione lineare dei precedenti e quindi, non
fornendo alcun contributo, va eliminato.)
Procediamo nel nostro caso: u 1 = v 1 e considerando che (v2, ui) = 12 e
(ui, ui) = 6:
Uz -_
V2 -
f ] - -6
b ] = [ 3~ ]
(v2
, ui}) U 1 -_ [ 1
(
12 [ -1
5
2
U J , Ut
·
1
Passo successivo: considerando che (v3 , ui) = 6, (u 1 , u1 ) = 6, (v3, u2) = 12 e
{u2 , u2) = 12:
U3 = V3
u[
;:::::~ U1-;:::::~ 02 ]-~ 11 ]-:~ [i]
=
=
ul
q Mentre è detta ortonormale un base ortogonale i cui elementi abbiano lutti lunghezza unitaria,
cioè una base formata da versori.
r In conformità a quanto avveniva in geometria analitica (Esercizio 2.7), la proiezione div nella
direzione individuata da u è data da
(proiezione div nella direzione di
u) = ~:: :~ u.
Algebra lineare
385
Quindi V3 , essendo combinazione lineare di v 1 e v2, va scartato; procediamo con
V4 ((v4 , oi) = 18, (v4 , 02} = 12):
03 = V4 -
= [
(v3 , oi}
(u1 , U1)
01 -
(v4 , 02}
(02 , 02)
02
i3 ]- 168 [ ~l ]- :~
u] l
= [
i4
in definitiva,
ESERCIZIO 9.55
•
Orto onalizzazione in s azi vettoriali generici
Sia "I' = %"[0, 1] lo spazio vettoriale delle funzioni continue su [O, 1], sia V =
span{l,x,x 2 } il sottospazio di "I' dei polinomi di grado minore o uguale a 2,
posto in "I' il prodotto scalare
(v(x) , w(x)) =
fo
1
v(x)w(x) dx ,
determinare una base ortogonale per V.
Soluzione
Il procedimento di Gram-Schmidt non perde di validità se ambientato in spazi
vettoriali generici, applichiamolo dunque al nostro caso. S.iano
V1(x)=l,
i tre generatori di V, procediamo come nell'esercizio precedente:
01(x) = v1(x) = 1,
per il secondo elemento della base, osserviamo che
l
(v2(x) , 01 (x)) =
!ao
1
x dx = - ,
2
e dunque
!
(v2(x), 01 (x))
1
u2(x) = v2(x)- ( ( )
( ))01(x) = x - -1 = x - - ;
01 X ,01 X
1
2
386
Capitolo 9
infine, il terzo elemento, osserviamo che
1
dx= 12'
1
dx= - ,
12
e dunque
U3 (X ) = V3 (X )
-
(v3(x), u1(x)) ( )
U1 X
(u1 (x), u1 (x))
~ 1= X 2 - -1
/2 (
112 X
(v3(x), u2(x)) ( )
U2 X
(u2(x), u2(x))
-
1)
l = X2 -
-
X
1
+ 6.
Pertanto, una base ortogonale per V è
1}
1
{
2v= u 1 (x)=l,u2(x)=x-2 , u3(x)=x 2 -x+6;
non si tratta di una base ortonormale, poiché
llu1(x)ll 2 = (u1(x),u1(x)) =
llu2(x) ll 2 = (u2(x), u2(x)) =
1iu3(x) ll 2 = (u3(x), u3(x)) =
e non tutti i vettori
ESERCIZIO 9.56
Ui
•
fo
1
1dx=1,
11(
1
o
1 (
o
x - -1)2 dx = -1 ,
x2
2
-
x
1)
+-
6
12
2
1
dx= - ,
180
hanno norma unitaria.
Proiezione su un sottospazio vettoria_le_ _ _ _ _ __
Sia "f/ = 'G'[O, l] lo spazio vettoriale delle funzioni continue su [O, 1], sia V =
span {1, x, x 2 } il sottospazio di "f/ dei polinomi di grado minore o uguale a 2,
dato l'elemento w(x) = ex E "f/ calcolarne la proiezione ortogonale wv(x)
su V. Spiegare in che senso wv(x) è il polinomio di secondo grado che meglio
approssima w(x) in V .
Algebra lineare
387
Soluzione
Sappiamo dalla teoria che, se V è un sottospazio di "fl e /Bv = {b 1 , b 2 , ... , bk}
è una base ortonormale per V, la proiezione su V di un generico elemento
W E "fl è5
k
=I: (w, bi) bi.
wv
i=I
Abbiamo visto nell'esercizio precedente che una base ortogonale per V è
/Bv
= {u 1(x) = 1, u2(x) = x - 21,u3(x) =
x2 - x
1}
+6 .
Per renderla una base ortonormale è sufficiente dividere ciascun elemento per la
propria norma, se diversa da 1:
bi (x)
=
u1 (x)
=1
perché llu1 (x) Il
=1
1
x-
u2(x)
b1(x) =
2
r,;
llu2 (x)ll = {T = v3(2x -
1),
Vu
1
6 = .J5(6x 2 -6x
---..;:;..
X
2
- X+ -
[fo
+ 1).
A questo punto, disponiamo di una base ortonormale per V:
Applichiamo dunque la formula:
wv(x) = (w(x), bi (x)) bi (x)
+ (w(x), b1(x)) b1(x) + (w(x), b3(x)) b3(x).
s Tale formula, leggermente modificata, vale anche nel caso di una base ortogonale: se i vettori
u; costituiscono una base ortogonale, allora
'°'
k
wv
= L., -(w,- u;}
u;.
i=l
(u, u;}
388 ' Capitolo 9
Osserviamo che
fo
(w(x), b2(x)} = fo
1
(w(x), b1(x)} =
(w(x), b 3 (x)} =
fo
ex 1 dx= e - 1,
1
ex v'°3(2x - 1) dx= v'°3(3 - e),
1
ex .J5(6x2
-
6x
+ 1) dx=
.J5(7e - 19),
e dunque il polinomio cercato è
wv(x) = (e-1) l +v'°3(3-e) v'°3(2x-1)+.J5(7e-19).J5(6x 2 -6x+ 1)
= 30(7e-19)x 2 -12(18e -49)x +3(13e - 35).
wv (x) è il polinomio di secondo grado che meglio approssima w(x) = ex nel
senso che ne costituisce la proiezione ortogonale nel sottospazio dei polinomi
di secondo grado; è comunque bene ricordare che tale risultato dipende da due
circostanze:
• il nostro "terreno di gioco" è l'intervallo (O, I], poiché "Y riguarda tale intervallo;
• il concetto di distanza e il concetto di ortogonalità dipendono dalla scelta del1' operazione che costituisce il prodotto scalare: con un diverso prodotto scalare
i risultati sarebbero stati diversi.
ESERCIZIO 9.57
Siano U e V due matrici ortogonali, dimostrare che UV è ortogonale.
Soluzione
Una matrice quadrata M è detta ortogonale se MMT = I, cioè se MT = M- 1 ;
inoltre si può dimostrare che M è ortogonale se e solo se gode delle seguenti
proprietà:
• le righe (intese come vettori riga) sono tra di loro ortogonali;
• le colonne (intese come vettori colonna) sono tra di loro ortogonali;
• la somma dei quadrati di ogni riga e di ogni colonna è l (cioè ogni vettore riga
ed ogni vettore colonna di M hanno norma 1).
Dimostriamo allora che se U e V sono ortogonali anche il loro prodotto lo è:
L'uguaglianza 1 segue dal fatto che la trasposta del prodotto è il prodotto delle trasposte in ordine inverso, l'uguaglianza 2 dall'associatività del prodotto tra matrici,
la 3 e la 4 dal fatto che rispettivamente V e U sono ortogonali per ipotesi.
Algebra lineare
389
ESERCIZIO 9.58
Elencare tutte le tipologie di matrici ortogonali 2 x 2; determinare inoltre, ove
possibile, autovalori e autovettori di tali matrici.
Soluzione
Sia U una matrice ortogonale 2x2, in base a quanto detto sopra la prima colonna di
U è un versore, in altre parole u f 1 + u~ 1 = 1, dalla trigonometria sappiamo che se
a 2 + {3 2 = 1 allora a e f3 sono necessariamente il coseno e il seno di un opportuno
angolo {}, e dunque la prima colonna di una qualsiasi matrice ortogonale U è
formata da coseno e seno di un angolo opportuno:
la seconda colonna dev'essere anch'essa un versore a due componenti, inoltre
dev'essere perpendicolare alla prima colonna, abbiamo solo due possibilità:
l)
U
=
[cos {}
sin {}
- sin {}]
cos {} '
2)
U=
[C?S
{}
sm {}
sin {}
- cos {}
J.
Queste matrici, al variare di {}, rappresentano tutte e sole le matrici ortogonali
2 X 2.
Determiniamo gli autovalori e gli autovettori di queste matrici; i polinomi
caratteristici sono:
1) det(ÀI - U) = det
À - cos {}
. .o.
[ -sm
u
À - cos {}
2) det(U - U) = det [
. .o.
- sm u
J= À - sin {} J= À
À + cos {}
À -sin{}
cos {}
2
2À cos {}
2 _
.1.
+ 1,
Nel caso 1) la matrice U non è diagonalizzabile in JR, poiché i suoi autovalori sono À = ±i; nel caso 2) la matrice U ammette come autovalori À = ±1,
determiniamo i corrispondenti autovettori:
À1
= 1:
À2=-l:
(I- U)v = O
(- 1-U)v = O
Osserviamo che v1 ..l v2.
ESERCIZIO 9.59
Sia J; l'applicazione lineare che associa a ciascun punto P del piano cartesiano
un nuovo punto Q (in simboli: J;(P) = Q ), tale che la matrice rappresentativa
di J; rispetto alla base canonica del piano sia una matrice U 2 x 2 ortogonale.
Descrivere l'effetto di J; sui punti del piano.
390
Capitolo 9
Soluzione
Se P(xp, yp) e Q(xQ, YQ) sono i punti legati dall'applicazione,/;, abbiamo che
J2(P) = Q
Nell'esercizio precedente, abbiamo visto che vi sono solo due tipologie di matrici ortogonali 2 x 2, esaminiamo l'effetto di ciascuna di esse sul vettore delle
coordinate del punto P :
• nel caso 1) abbiamo
x Q = x p cos ~ - y p sin ~
{ y Q = x p sin ~ + y p cos ~ '
ossia il punto Q è ottenuto dal punto P ruotando attorno all'origine in senso
antiorario di un angolo ~;
• nel caso 2)
x Q = x p cos ~ + y p sin ~
{ y Q = x p sin ~ - y p cos ~ ·
Con un po' di fatica, è possibile vedere che Q è il punto simmetrico di P
rispetto ad una retta y = mx, e che m = tan ~.
9.1.1 O Matrici simmetriche e forme quadratiche.
Similitudine
ESERCIZIO 9.60
•
Diagonalizzazione di matrici reali e simmetriche
Diagonalizzare le seguenti matrici
4 2 1]
[
<DA= 2 O O ;
1 o o
usando matrici di passaggio ortogonali.
Soluzione
Le due matrici del testo sono simmetriche e a coefficienti reali, ciò significa che
sono sempre diagonalizzabili (gli autovalori sono sempre regolari), ed in più la
matrice di passaggio può essere scelta in modo da essere ortogonale.
<D Partiamo da A: il polinomio caratteristico è
det(,U-A) = det
[À~2
-1
4
2
).
o
-1]
~
= À
3
- 4À
2
- 5À'
Algebra lineare
391
i cui zeri sono
À1
e
=O,
À3 = 5,
quindi gli autovalori hanno tutti molteplicità algebrica uguale a 1. Calcoliamo
gli autovettori, per À 1 = O abbiamo
Le soluzioni di questo sistema sono costituite da tutti i vettori per cui x = O
e z = -2y. Questa volta scegliamo yin modo che la norma dell'autovettore
sia 1:
V1
= [
~ ],
- 2y
llv1 ll =vfslyl=l
~
=
V1
[
1/ O
../5
- 2/ ../5
]
.
Passiamo a À2 = -1 , abbiamo:
[(-1)1 - A]v2 =O
=?
=io o.J[ ; ]
[=~
-1
1
z
-1
usando la seconda e la terza equazione troviamo y
=O;
= -2x e z = -x, quindi
Consideriamo infine À3 = 5, abbiamo:
usando prima la terza e poi la seconda equazione troviamo x
quindi
llv31i=v'30lzl=l
~
V3
=
[
= 5z e y =
5
/ ./30
2/ ./30 ] .
1/./30
Una matrice di passaggio è allora
1I -16 5I ./30]
-2/ ,/6 2/ ./30 '
-1/,/6 1/./30
2z,
392
Capitolo 9
che è ortogonale, e pertanto la sua inversa coincide con la trasposta:
-2/,/5]
-1/
,,/6 ;
1/v'30
basta effettuare i prodotti per verificare che
o o
pT AP =
0 - 1
[o
o
~].
-5
@ Per quanto riguarda la matrice B, il polinomio caratteristico è:
=~] =(À+1) 2 (À-2),
1
À
det(H-B)=det [ !1
-1
-1
À
i cui zeri sono
À1=2,
Entrambi gli autovalori sono regolari (lo garantisce la teoria), quindi l'autovalore doppio -1 avrà necessariamente molteplicità geometrica uguale a 2.
Calcoliamo gli autovettori: per À1 = 2 abbiamo
[21 - A]v1 = O
::::}
[!1
-1
-;l
- 1
=i] [ ~z ]
= O.
2
Le soluzioni di questo sistema sono costituite da tutti i vettori con tre componenti uguali tra loro; scegliamole allora, al solito, in modo che la norma
dell'autovettore sia 1:
llv1ll=v'3lxl=l
--+
V1
=
[
l/./3 ] .
1/./3
1/./3
Ora occupiamoci di À2 = - 1:
[(-l)I-A]v2 =O
::::}
[=i =i =~] [ ~ ]
- 1 -1 - 1
z
=O.
Tutte e tre le equazioni del sistema (anche se cambiate di segno) sono equivalenti a x + y + z = O. Da quest'unica relazione, scrivendo una delle variabili
in funzione delle altre due come nell'Esercizio 9.49 @, possiamo ricavare i
due autovettori distinti: da z = -x - y ricaviamo allora
z = -x-y
x=1,y=O
--+
Algebra lineare
z = -x-y
393
x=O,y=I
~
In questo esercizio il nostro scopo era, oltre a trovare tre vettori che fossero linearmente indipendenti (e v 1. v2, 1 e v 2 , 2 lo sono), sceglierli ortogonali. Osserviamo
però che v2,1 e v2,2 non sono ortogonali tra loro (anche se la teoria ci assicura
che con qualsiasi scelta di x e y sono entrambi ortogonali a v 1 ). Scelto allora
v2,1 come abbiamo fatto noi, dobbiamo scegliere v 2 ,2 in modo che soddisfi le due
condizioni: essere ortogonale a v2,1 (cioè (v2,2 , v2 , d = O) ed essere un vettore
relativo a ).2 = 1 (un vettore, quindi, le cui componenti soddisfino la relazione
z = -x - y). Se le tre componenti di v 2 , 2 sono a , f3 e y , esse devono soddisfare
le seguenti relazioni:
v2,2 autovett. rel.
{ V2,2 • V2 , 1 = 0
Y =-a - f3
{ a-y=O
a À2 = -1
da cui ad esempio1 a = 1, f3 = -2 , y = 1. Infine, normalizziamo ciascuno dei
vettori come negli esercizi precedenti:
V1
=
1/ ./3]
./3 ,
[ 1/
1/./3
V2, 1
= [
~{~
1/,,/6
] ·
Una matrice di passaggio, ad esempio, sarà
1/h
o
-1/ h
1/,,/6]
-2/ ,,/6 ;
1/ ,,/6
che è ortogonale, e quindi:
p-1
= pT =
[~jJi
1/./3
o
1/,,/6 -2/,,/6
-1/./3]
1/ v'2 .
1/,,/6
Se effettuassimo i prodotti, verificheremmo che
1 In alternativa, avremmo potuto ragionare così: v2 ,2 dev'essere perpendicolare sia a v1 sia a
v2, 1 , e quindi per le proprietà del prodotto vettore v2 ,2 è necessariamente proporzionale a v1 /\ v2,1.
394
Capitolo 9
Dimostrare che se la matrice B è simile alla matrice A, allora A è simile a B.
Soluzione
Una matrice B si dice simile ad una matrice A se esiste una matrice P per cui
B = p-l AP (ovviamente P è invertibile).
Se B è simile ad A, allora esiste P per cui B = p- 1AP; moltiplicando questa
uguaglianza a sinistra per P e a destra per p- l troviamo PBP- 1 = A, e cioè
che A è simile a B (e la matrice di passaggio è p- 1). Pertanto d'ora in avanti
parleremo, senza ulteriori precisazioni, di "matrici simili", intendendo che l'una
può essere trasformata nell'altra attraverso un'opportuna matrice di passaggio.
Stabilire quali matrici tra le seguenti sono simili,
A= [~I
C= [~2
-3
-2
o
o
-2
o
-2 -2
-3]
[-4
B= ~
-3 '
-1
-2]
12
-10
-12
-12]
12
14
,
o
o
o
D= rn ~l
-2 '
o
Nel caso di matrici simili, scrivere la matrice di passaggio.
Soluzione
Sappiamo che due matrici simili hanno sempre lo stesso determinante e gli stessi
autovalori, pertanto due matrici con autovalori differenti non saranno mai simili.
Se due matrici hanno gli stessi autovalori determinare la matrice di passaggio non
è in generale facile. Un caso più accessibile riguarda le sole matrici diagonalizzabili: se due matrici A e B con gli stessi autovalori sono entrambe diagonalizzabili,
allora sono simili; se una delle due è diagonalizzabile e l'altra non lo è, allora non
saranno in alcun caso simili; se due matrici non sono diagonalizzabili, non vi è
alcuna regola generale che permetta di stabilire se siano simili o meno.
Abbiamo già visto (Esercizio 9.51, ©e®) che la matrice A non è diagonalizzabile, mentre la matrice B lo è, pertanto A e B non sono simili. Calcolando
il polinomio caratteristico della matrice C, notiamo che anche gli autovalori di C
sono (come quelli di A e B) À I = -4, À2 = À3 = 2; poiché inoltre è (reale e)
simmetrica, sappiamo che è diagonalizzabile; avendo poi gli stessi autovalori di
B sarà simile ad essa. Infine consideriamo D: poiché det D = O, ed è diverso dal
determinante di A, B e C, D non sarà simile ad alcuna di esse.
Sappiamo (sempre dall'Esercizio 9.51) che la matrice P, che diagonalizza B è
e
-1
P=
[
~
Algebra lineare
395
e cioè r- 1BP è diagonale (notare l'ordine con cui compaiono gli autovalori):
-1 2 -2]
1 -1 2
[ 1 -2 3
[-4
6
6
12 -12]
-10 12
-12 14
[-1
1
1
2 - 2]
1 o =
o 1
[-4o o oo] .
2
o o
2
Con conti analoghi a quelli dell'Esercizio 9.60, poiché C è simmetrica, si può
vedere che la matrice ortogonale U che diagonalizza C disponendo gli autovalori
nello stesso ordine è
I/ .J3
1/ ,/2
1/ .J6]
u = [ 1/../3
o -2/.J6 '
1/../3 - 1/,/2 IJ.J6
pertanto (ricordando che u è ortogonale e dunque
Moltiplichiamo ora l' uguaglianza uT CU
UT, otteniamo
u- 1 =
UT)
= p - 1BP a sinistra per U e a destra per
e quindi la matrice di passaggio da B a C è
PU T =
I [2../3 - 2 - ,/2 4 - ,/2 - 2 - ,/2 - 2../3]
,/2 - ,J3
.
,/2 + ,J3
,/2
6
1+,/2
,/2-2
1 + ,/2
.J6
Stabilire quali espressioni tra le seguenti costituiscono delle forme quadratiche,
per quelle che lo sono, determinare la matrice associata.
2xy + 4xz - z2 ;
@q(x,y,z) =
-xy + y 3 + 4yz + 8z 2 ;
® q(x, y) = x 2 - 8xy + 20y 2 ;
© q(x, y, z. t) = x 2 + 2yt + 2yz + 2zt;
® q(x, y, z. t) = x 2 + 2(y - l)z + z2 + xt.
<D q(x, y, z) = 2x2
-
x2
Soluzione
Si chiama forma quadratica un polinomio omogeneo di secondo grado (cioè
un polinomio formato solo da monomi di secondo grado). I polinomi dei punti
<D, @ e © sono forme quadratiche, i polinomi di @ e ® non lo sono: il primo non
lo è per la presenza di y 3 , che non è di secondo grado, l'altro non lo è a causa del
396
Capitolo 9
termine 2(y- l)z, che svolto dà 2yz - 2z, ed il monomio 2z non è (ovviamente)
di secondo grado.
In due sole variabili è immediato (basta eseguire i prodotti) convincersi che
2
2
q(x,y) =ax +2bxy +cy = [x
y]
[~ ~] [ ~
J.
Detto x il vettore delle incognite e detta Q la matrice simmetrica che sulla diagonale riporta i coefficienti dei quadrati che compongono la forma q e fuori dalla
diagonale il coefficiente del doppio prodotto, dimezzato, abbiamo che
X=[~
l
Q=
[~ ~l
In generale, data la forma quadratica in k variabili
n
q(x)=q(x1,x2, ... , xk)=Lauxf+
L
2aiJXiXJ,
l~i<j~n
i=l
possiamo scrivere q(x) = xT Qx ove Q è la matrice tale che
La matrice Q è detta matrice associata alla forma quadratica q(x), per costruzione
Q è simmetrica.
<D La matrice associata è
Q=
[
2 -1
- 1 o
2
o
~].
-1
@ La matrice associata è
© La matrice associata è
1
Q=
ESERCIZIO 9.64
•
o
o o]
o o 1
o 1 o
[
o
1 1
1
1 .
o
Segno delle forme uadratiche - 1. Casi immediati
Stabilire il segno delle seguenti forme quadratiche:
<D q(x, y, z) = x 2 + 3y 2 + 4z 2 ;
@q(x, y,z) = x 2 - y 2 + 4xz;
® q(x, y) = x 2 - 2xy + y 2 .
Algebra lineare
397
Soluzione
Una forma quadratica q(x) si dice
• definita positiva se q(x) > Oper ogni x i= O;
• semidefinita positiva se q(x) '.'.:'.: O per ogni x, ed esistono vettori x i= O in
corrispondenza dei quali q(x) =O;
• definita negativa se q(x) <O per ogni xi= O;
• semidefinita negativa se q(x) ~ O per ogni x, ed esistono vettori x i= O in
corrispondenza dei quali q(x) = O;
• indefinita se esistono due vettori X1 e X2 in corrispondenza dei quali q(x 1) > O
e q(x2) <O.
Spesso non è immediato stabilire il segno di una forma quadratica; vi sono però
dei casi in cui è molto facile distinguere tra le varie possibilità; in questo esercizio
ci occupiamo di questi casi immediati, lasciando al prossimo lo studio del caso
generale.
<D Poiché q è una somma di quadrati, si annulla se tutti i termini sono nulli
(q(O) = O, come accade in tutti i casi), altrimenti è senz'altro positiva; per'
tanto, q è definita positiva.
@ La differenza tra i segni di
x 2 e di y 2 suggerisce che il segno di q non sia
costante; è sufficiente confrontare
q(I,0,0)=1
e
q(O, 1, O) = -1
per verificarlo; dunque q è indefinita.
@ Riconoscendo un quadrato perfetto, notiamo che
q(x , y) = x 2 -2xy
+ y2
= (x -y) 2 ,
dunque q è non negativa, infatti q(x , y) '.'.:'.: O, e vi sono valori dix e y (non
contemporaneamente nulli) per i quali q = O, ad esempio x = y = 1; se ne
deduce che q è semidefinita positiva.
ESERCIZIO 9.65
•
Segno delle forme uadratiche - 2. Caso generale
Stabilire il segno delle seguenti forme quadratiche:
+ 4xy - 2xz + 4y 2 + 2yz + 2z 2 ;
® q(x , y , z) = -3x 2 + 2xy - 8xz - 2y 2 + 2yz - 6z 2 ;
® q(x , y , z) = x 2 - 2xz + y 2 + z 2 ;
© q(x , y, z) = 3x 2 + 2xy + 2xz - 2y2 - 2yz - 4z 2 ;
@ q(x, y, z) = x 2 - 2xz - 3y 2 + z 2 ;
2
2
2
@ q(x, y, z) = x + 4xy + 2xz + 3y - 2yz + 4z ;
2
® q(x, y, z, t) = x + 2xy + 2yt + 2yz + 2zt.
<D q(x, y , z) = 8x 2
398
Capitolo 9
Soluzione
Dalla teoria sappiamo che il segno della forma quadratica è legato al segno degli
autovalori Ài della matrice associata Q:
tutti i Ài > O: q è definita positiva;
tutti i Ài '.'.:'.: Oe vi è almeno un autovalore nullo: q è semidefinita positiva;
tutti i Ài < O: q è definita negativa;
tutti i Ài ::; Oe vi è almeno un autovalore nullo: q è semidefinita negativa;
vi sono almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo: q è indefinita.
•
•
•
•
•
Abbiamo visto in precedenza che determinare gli autovalori di una matrice può
non essere immediato: se la matrice è 3 x 3 si tratta di risolvere un'equazione di
terzo grado, e le cose peggiorano se la matrice ha addirittura dimensioni maggiori;
tuttavia, non è necessario conoscere esattamente gli autovalori: è sufficiente determinarne il segno. Per stabilire il segno degli autovalori di una matrice M occorre
conoscere il determinante di M e i determinanti delle cosiddette "matrici di nordovest", ossia le sottomatrici quadrate composte dalle prime righe e prime colonne
diM:
Mi=
[m11],
(osserviamo che se M è una matrice k x k, allora ovviamente Mk = M). Si
dimostra che: se gli autovalori di M sono tutti positivi, allora det Mh > Oper ogni
h = 1, ... , k, se invece gli autovalori sono tutti negativi, det Mh è positivo se h
è pari e negativo se h è dispari; dunque, riassumendo, se Q è la matrice associata
a q:
q definita positiva
{:}
det Qh > O,
q definita negativa
{:}
detQ2 h >O
{ detQ2h+1 <O '
Vh = 1, ... , k,
in tutti gli altri casi q è indefinita o semidefinitau . Osserviamo che, affinché q sia
definita (positiva o negativa), in ogni caso i minori di nord-ovest di ordine pari
devono essere positivi.
(!)
La matrice associata a q è
Q = [
~
-1
u Ricordiamo che det Q è il prodotto degli autovalori, e quindi se det Q =I= O allora q non può
essere semidefinita; mentre se det Q = Onon è detto cheq sia semidefinita: Q accanto all'autovalore
nullo potrebbe avere due autovalori di segno diverso, ed essere dunque indefinita.
Algebra lineare
399
det Q = 40, inoltre i suoi minori di nord-ovest sono
detQ2 = det
detQ1 = det [8] = 8,
;J
[~
= 28,
detQ3 = detQ = 40,
essendo tutti e tre positivi, concludiamo che q è definita positiva.
@ La matrice associata a q
è
-3
Q=
1
[- 4
~2 ~4]'
1
-6
detQ = -3, inoltre i suoi minori di nord-ovest sono
detQ1 =det [-3] =-3, dctQ2 =det [ ~
3
~2] =5,
detQ3 =detQ =-3,
i minori "dispari" (det Q 1 e det Q 3 sono negativi), il minore "pari" det Qz è
positivo, concludiamo che q è definita negativa.
@ La matrice associata a
qè
Q=
o -1]
1
[ o'
o
1
o
- 1
1
det Q = O, dunque q potrebbe essere semidefinita o indefinita, in questo caso
anziché studiare i minori di nord-ovest calcoliamo direttamente il polinomio
caratteristico:
det(ÀI - Q)
= (,l.. -
l)[À 2
-
2À]
= ,l..(,l.. -
l)(,l.. - 2),
gli autovalori sono O, 1 e 2: q è semidefinita positiva.
© La matrice associata a q è
Q=
[i. ~2-1 -4
~1] '
det Q = 25, inoltre i suoi minori di nord-ovest sono
detQ1 = 3,
detQ2
=
-7,
detQ3 = detQ = 25,
poiché det Q 2 < O, q sicuramente non è definita (né positiva, né negativa); il
fatto che det Q i= O implica che q non può essere sernidefinita; dunque q è
indefinita.
400
Capitolo 9
® La matrice associata a q è
Q= [
6 ~3o
-1
</]'
1
det Q = O, dunque q potrebbe essere semidefinita o indefinita; se calcoliamo
direttamente il polinomio caratteristico:
det(H - Q) = (À + 3)[À2 - 2À] = À(À + 3)(À - 2),
gli autovalori sono O, -3 e 2: q è indefinitav .
® La matrice associata a q è
det Q = -12, inoltre i suoi minori di nord-ovest sono
detQ1
=
l,
detQ2
=
-1,
detQ3
= detQ =
-12.
Anche in questo caso, poiché det Q2 < O, q sicuramente non è definita (né
positiva, né negativa); il fatto che det Q i= O implica che q non può essere
semidefinita; dunque q è indefinita.
® La matrice associata a q è
o o]
1 1
1 o 1 1
Q= o 1 o 1 '
[
o 1 1 o
det Q = 3, iniziamo dai minori di nord-ovest:
detQ1 = 1,
detQ2 = - 1.
Non serve andare oltre: det Q 2 < Oe dunque q non è definita; il determinante
di Q non si annulla, e dunque q non è semdefinita, pertanto q è indefinita.
ESERCIZIO 9. 66
•
Segno delle forme guadratiche - 3. Due variabili
Stabilire il segno delle seguenti forme quadratiche in due variabili:
+ 4xy + y 2 ;
+ 4xy + y 2 ;
2
x + 4xy + y 2 .
<D q(x, y) = 8x 2
@q(x,y) =
@q(x, y) =
4x 2
v Ad un risultato analogo saremmo arrivati studiando anche i minori di nord-ovest: detQ 1
edetQ2 = - 3, dunque...
=1
Algebra lineare
401
Soluzione
Se la forma q è in due sole variabili, lo studio di essa è molto più spedito: ricordando che il determinante di una matrice è il prodotto degli autovalori e che la
tracciaw è la somma degli autovalori, vale il seguente schema:
segno di q
definita positiva
definita negativa
semidefinita positiva
semidefinita negativa
indefinita
autovalori
À.1 > O, À.2 > O
À. 1 <O, À.2 <O
>.. 1 > O, >.. 2 = O
>.. 1 < O, À.2 = O
>.. 1 > O, À.2 < O
det Q
>O
>O
=O
= O
<O
Q
>O
tr
<O
>O
< O
Riassumendo, occorre guardare innanzitutto det Q:
• se è positivo, q è definita (e per stabilire se è definita positiva o definita negativa
si guarda tr Q);
• se è nullo, q è semidefinita (e per stabilire se è semidefinita positiva o semidefìnita negativa si guarda tr Q);
• se è negativo, q è indefinita (indipendentemente da tr Q).
© La matrice associata a q è
Q=
[~
il
det Q = 4, tr Q = 9, dunque q è definita positiva.
@
La matrice associata a q è
Q
=[i
il
det Q = O, tr Q = 5, dunque q è semidefinita positiva.
® La matrice associata a q è
Q
=[i
il
detQ = - 3, dunque q è indefinita.
ESERCIZIO 9. 67
•
Riduzione a forma canonica
Ridurre a forma canonica le seguenti forme quadratiche:
© q(x, y) = 3x 2
+
- 2xy
3y 2 ;
2
@ q(x, y) = 7x - 12xy - 2y 2 ;
® q(x, y , z) = 3x 2 2yz;
2
®q(x,y , z) = x
+
+ 2xy + 2yz + z 2 .
w Data una matrice M, la traccia di M, in simboli tr M, è la somma degli elementi che si trovano
sulla diagonale.
402
Capitolo 9
Soluzione
Una forma quadrati.ca si dice essere "in forma canonica" se compaiono solo i
quadrati., e non i doppi prodotti.. Ogni forma quadratica può essere ricondotta a
forma canonica tramite un cambio di variabili: se Q è la matrice rappresentativa,
essendo simmetrica può essere diagonalizzata usando una matrice di passaggio U
ortogonale: uTQU = D; in altre parole possiamo scomporre Q:
Q = UDUT.
Se ora chiamiamo x il vettore delle variabili, osserviamo che
xTQx
xTUDUTx
=
=
(UTx)TD(UTx),
in altre parole, la stessa forma quadrati.ca, usando come vettore delle variabili il
vettore X = (UT x), è scritta in forma canonica, perché tutti i doppi prodotti si
sono annullati. Per trasformare q in forma canonica occorre dunque determinare
la matrice di passaggio ortogonale U che diagonaUzza Q, e riscrivere q in termini
delle nuove variabili UT X.
CD La matrice associata è
Q=
[!1 -1]
3
'
i cui autovalori e autovettori sono
À1
= 4,
VI
= [
l
~a
V
-[/3].
f3 '
2 -
normalizzando i vettori giungiamo alla consueta formula di diagonalizzazione:
-IJ
}z
3 [__
}z]-- [4
0 O]
2 -_D '
I
_1
,J2
,J2
pertanto, grazie alle formule sopra ricordate, possiamo scrivere
1
-;
WJ=[x
=
=
y
[-1
1
~][6 ~H-1 ~n;J
([-1 ~n;ifl6 ~H-~ ~n;i
[~r [6 ~i [~J.
In definitiva, ponendo X =
xh e Y = x,j.f otteniamo che
3x 2 -2xy
+ 3y 2
= 4X 2
+ 2Y 2 .
Algebra lineare
® La matrice associata è
Q = [ _?6
403
=~l
i cui autovalori e autovettori sono
La matrice di passaggio e la matrice diagonale sono rispettivamente
U -- [
i
:SJ
1
2
- ../5
../5
'
procedendo in modo analogo a prima, il nuovo vettore delle variabili è
e dunque
7x 2
@
12xy - 2y2 = 1ox 2 - Sy2 .
-
La matrice associata è
i cui autovalori e autovettori sono
À1
= 3,
•1
= [
~
l
À2
=I,
V2
= [
~
l
À3
=-I ,
V3
= [
La matrice di passaggio e la matrice diagonale sono rispettivamente
V=
[
o
f
o 1
O
,./2
o]
~
- -,j2
,
o o]
3
D= O 1 O ,
[
o o -1
il nuovo vettore delle variabili è
e pertanto
3x 2
+ 2yz
= 3X 2
+ Y2 -
2 2.
!y l
404
Capitolo 9
© La matrice associata è
i cui autovalori e autovettori sono
= 2,
Àt
Vt
=[~
ÀJ
l
= -J ,
Àz
V3
= I,
= [
Vz
=
-:y l
up l
La matrice di passaggio e la matrice diagonale sono rispettivamente
l
2 o o
D= O 1 O ,
[ o o -1
il nuovo vettore delle variabili è
1
J3
o
_l]
J3
1
- ../2.2
_L
X
y
=
[ Z ]
J3
[ ~]
x- z
../2.
x - 2y+z
./6
./6
e pertanto
x
ESERCIZIO 9.68
•
2
+ 2xy + 2yz + z 2
= 2X
2
+ Y2 -
Z2.
Riconoscimento di coniche e uadriche
Riconoscere la natura delle coniche definite dalle seguenti equazioni:
<D 3x 2
+
- 2xy
3y 2 = 8;
2
@ 7x - 12xy - 2y 2 = 10.
Riconoscere la natura delle quadriche definite dalle seguenti equazioni:
+ 2yz = 8;
+ 2xy + 2yz + z 2
@ 3x 2
© x2
= - 4;
(nota: i primi membri sono le forme quadratiche esaminate nell'Esercizio 9.67).
Soluzione
Negli Esercizi 2.42 e 2.43 abbiamo visto le equazioni di coniche e quadriche. Una
generica forma quadratica in due o tre variabili può essere ricondotta (mediante il
cambio di variabili dell'esercizio precedente) alla forma canonica di una conica,
se le variabili sono due, o di una quadrica, se le variabili sono tre.
Algebra lineare
405
© Sappiamo che, posto
x-y
X=-./2
possiamo trasformare 3x 2
-
2xy
3x 2 - 2xy
e
+ 3y 2 =
8:
+ 3y 2
= 4X 2
x2
y2
+ 2Y 2
= 8.
L'equazione
-+ -
=1
2
4
è l'equazione di un'ellisse, i cui semiassi sono lunghi rispettivamente ./2
quello lungo l'asse X e 2 quello lungo l'asse Y. Poiché l'equazione del! ' asse
X è Y = O, e porre Y = O significa porre x + y = O, l'asse X del riferimento ruotato è la bisettrice di secondo e quarto quadrante, orientata verso
sud-est, mentre l'asse Y è la bisettrice di primo e terzo quadrante, orientata
verso nord-est. In definitiva, l'ellisse ha come assi le bisettrici del piano cartesiano, e passa per i punti (l, -1), (-1, 1), (./2, ./2) e (-./2, -./2).
® Ponendo
X= _2_x_-_Y
./5
e
Y=
x+2y
./5,
l'equazione diventa
7x 2
-
12xy - 2y 2
ossia
x2 -
= 10X 2 -
5y 2
= 10,
y2
-
2 = 1,
che è l'equazione di un'iperbole, che ha come asse focale l'asse X, cioè la
retta Y = O, ovvero la retta x + 2y = O, orientata verso sud-est, mentre
l'altro asse di simmetria è l'asse Y, cioè la retta X = O, cioè la retta 2x y = O, orientata verso nord-est. Gli asintoti dell' iperbole sono le due rette
Y = ±./2X, ossia le due rette (x + 2y) = ±./2(2x - y ), vale a dire le rette
2./2 - 1
y =
+ .j2 X
2
e
2./2 + I
y = ./2- X .
2
@ Ponendo
X =X,
e
z=
y-z
./2 ,
l'equazione diventa
3x 2
+ 2yz = 3X 2 + Y 2 -
Z2
= 8,
che è l'equazione di un iperboloide a una falda, a sezione ellittica (i coefficienti di X e di Y sono diversi tra loro); l'asse dell'iperboloide è l'asse Z,
individuato dal vettore v = j - k.
406
Capitolo 9
© Ponendo
x-z
X=x+y+z
,J3
Y = -
'
-
e
,,/2.
2
= x-2y +z
.j6
'
l'equazione diventa
x2
+ 2xy + 2yz + z 2 = 2X 2 + Y 2 -
22
= -4 ,
che è l'equazione di un iperboloide a due falde, a sezione ellittica (i coefficienti di X e di Y sono diversi tra loro); l'asse dell'iperboloide è l'asse Z ,
individuato dal vettore v = i - 2j + k.
9 .2
Esercizi proposti
69 Determinare per quali valori di a i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:
[a"# -1]
70
Calcolare il determinante delle seguenti matrici:
A =
X2
[ 2x
X
x3
J
'
B=
[
2 3]
~
- I
-2
1
1 '
1
[det A
71
e=
[i
-1
= x5 -
2x 2 , del B
=-
10, detC
Calcolare le inverse delle seguenti matrici:
A=
[i
I
=~ ~] ,
-1 1
B=
[i
5
~l ~] ,
- 1 1
2 2 -1 2]
e= [
o ·
o
1 O 2
1 2 -1
2
-2
[c-1= ~ [!s
-2
-2
2
-4
-2
~3
- 1
- l
= 28]
Algebra lineare
72
407
Discutere, al variare dei parametri reali a e {3, la risolubilità dei seguenti sistemi:
© { -4x + (1 + a 2 )y = 8
2x-y=a-3
'
@
x + 2{Jy = l
3x + /3 2 y = 4 ,
{ X -3y = 2
e darne un'interpretazione geometrica.
• a
[
• f3 = 1, f3 = 3
• fJ # I, f3 # 3
73
#
±I
=l
• a =- 1
© •a
=? 3! sol. - caso 1
]
=? 3oo 1 sol. - caso 2
=? ,li sol. - caso 3
=? 3! sol. - caso 6
]
-t
caso 5, se f3 = O, 6,
caso 7, se f3 # O, 6, -2
=?,li sol. _
Discutere, al variare dei parametri reali a e {3, la risolubilità dei seguenti sistemi:
©
1 { ax + y + 2z = a + l
2x + (a - l)y + (2a - 2)z
2
2x - /3 y + 6z = 2
+ 2y + 3z = {3 '
@ {
=3
'
-X
e darne un'interpretazione geometrica.
• a# 2,-1
<D •a=2
[ •a = -1
@
[
74
1
=? 3oo sol. - caso 1
]
=? 3oo2
sol. - caso 2
=?,li sol. - caso 3
• f3 # ±2
• f3 = ±2
=? 3oo 1 sol. - caso
=? ,li sol. - caso 3
1 ]
Discutere, al variare dei parametri reali a e {3, la risolubilità dei seguenti sistemi:
©
2x +(a - 2)y + 3z = 4
3x +2y-z =a
x +(a+ 4)z = 5
2x -y + 3z = 1
4x - 2y + 6z = 2/32
(f3 - I )x + y - 3z =
!
f3
e darne un'interpretazione geometrica.
• a# 3,-4
© •a = 3
[ •a = -4
•/3 #±1
[
75
@
f3 = l
• f3 = •
1
=? 3 ! sol. - caso 8
]
=? ,li sol. - caso 5
]
=? 3oo 1 sol. - caso 6
=? ,li sol. - caso 7
=? 3oo 1 sol. - caso 4
=? 3oo2 sol. - caso 1
Determinare autovalori e autovettori delle seguenti matrici:
l
©A= [ 2l -2
1
®C=
[ 3
4
-2
o
1
3
-1
~l
-l]
-2 ;
2
4
-2]
-4 ;
8
@ B = [:
1 2
©D=
[~
2
4
2
il
408
Capitolo 9
ul
Ciascuna di loro è diagonalizzabile?
[ Q) À I
= 4, V1 =
Àz
[@
Àt
[ © À1
= 6, V1 = [
~
l
= -2, V2 = [
=
0, V1
Ài
~i
l
ÀJ
= 0, V3 = [ ;: ] ]
= [ :; ] , À2 = À3 = 6, V2 = [
= ÀJ = 0, Vi,1 = [
il
l
Vz,2
=[
~ ]]
~I
]]
[A, C e D lo sono; B no.]
76
Stabilire per quali valori del parametro reale a la matrice A è diagonalizzabile:
A=
o]
3 a
1 2 .
2
[
2
1 2
Se a > O e a =f. ~,A è diagonalizzabile in JR;
se a <O, A è diagonalizzabile in C, ma non in JR;
[
77
se a
= Oo a =
]
~,A non è diagonalizzabile né in JR né in C.
Stabilire per quali valori di a le seguenti matrici sono simili:
A =
i
3
[2
o]
i
1 3 ,
2
o
-4
B= [ ~
[a= - 2]
78 Dopo aver verificato che "11, insieme deUe matrici 3 x 3, è uno spazio vettoriale,
stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di "f! sono anche sottospazi:
• Vi: matrici triangolari superiori;
• V2: matrici triangolari (inferiori o superiori);
• Vi: matrici il cui determinante vale l;
• V4 : matrici il cui determinante vale O;
• Vs : matrici invertibili;
• v6: matrici simmetriche.
Per ciascuno dei sottospazi, calcolare la dimensione ed esibire una base.
[Sono sottospazi vettoriali solo
Vi e V6 ; dim Vi
= dim V6 = 6]
Algebra lineare
79
Dati i sottospazi di IR 4
determinare U n V e U
+ V al variare di a
• a=2
[ •a ~2
80
409
Mostrare che l'applicazione f : IR.4
E
JR.
=?VCU =? UnV=V, U+V=U
=?
--?
u n V = Oit4 =? u + V = u $
V
J
IR 3 definita da
è lineare; determinare le basi per il nucleo e per l'immagine.
81
Data l'applicazione lineare ,f : JR 3
--?
IR.3 per cui
scrivere la matrice A.e associata a ,f, determinandone poi le basi per iJ nucleo e per
l'immagine.
82 Data l'applicazione lineare ,f : JR 3
,f
--?
IR.3 per cui
xy ]) = [ 2x
+ y + 3z ]
X + 2y + Z
([ z
x-y+2z
e la base
scrivere la matrice rappresentativa A.e, u di ,f nella base 'U.
,
410
Capitolo 9
9 .2.1 Suggerimenti
Per l'esercizio 54: Stabilire per quali valori di a la matrice A possiede autovalori
multipli, e analizzarne la regolarità.
Per l'esercizio 56: V2 : La somma di una matrice triangolare inferiore ed una triangolare superiore non è in generale triangolare; la matrice nulla non appartiene né
a V3 né a Vs; per V4, considerare la seguente somma:
o] [o o o] [1 o o]
10 + 0 0 0 = 0 1 O.
[0O10o
0
001
001
Marco Boella
ANALISI MATEMATICA 1
E ALGEBRA LINEARE
Eserciziario
Seconda edizione