Appunti fisica 2 PoliTO

Appunti di 03AXPNZ - Fisica II 1
Studente: MACI Samuele
Docente: UMMARINO Giovanni
Politecnico di Torino
Prof. Associato Confermato
Anno Accademico 2011/2012
[email protected]
[email protected]
Ultima revisione: 10 gennaio 2012
1
Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente con l’applicativo TEXnicCenter
Indice
I
Elettromagnetismo
3
1 Campo Elettrostatico
1.1 Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunque . .
1.1.2 Carica che si muove in un campo elettrico . . . . . .
1.1.3 Campo Elettrico, estensione di un campo puntiforme
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2 Potenziale
2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse
2.2 Potenziale di un campo macroscopico . . . . . . .
2.3 Dipolo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo . . . . .
2.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettrico .
2.3.3 Momento di un dipolo . . . . . . . . . . .
2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costante
2.3.5 Applicazioni del concetto di dipolo . . . .
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3 Teorema di Gauss
3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiforme . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Campo elettrico generato da un filo carico . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinito . . . . . . . . . . .
3.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneo . . . . .
3.1.5 Campo elettrico di una sfera carica . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un punto
3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenziale . . . . . . . . . . . . . .
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4 Condensatori e Dielettrici
4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico . . . . . . .
4.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Collegamento tra condensatori . . . . . . . . . .
4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energia
4.4 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Dielettrici
5.1 Rigidità dielettrica . . . . . . . . . . . . .
5.2 Dipolini all’interno di un dielettrico . . . .
5.3 Condittori metallici . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Corrente elettrica . . . . . . . . . .
5.3.2 Legge di conservazione della carica
5.3.3 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Effetto Joule . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Resistenze in serie . . . . . . . . .
5.3.6 Resistenze in parallelo . . . . . . .
5.3.7 Carica di un condensatore . . . . .
5.3.8 Scarica di un condensatore . . . .
5.3.9 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . .
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6 Campo magnetico
6.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Seconda legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Momento di un dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Spettrometro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Selettore di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Prima legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Formulazione 1 − D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Formulazione 3 − D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Definizione dell’unità di misura dell’Ampere . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Applicazione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Flusso e Controflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Calcolo di coefficienti di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Comportamento di materiali in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Classificazione dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Ridefinizione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Induzione magnetica in presenza di un’interfaccia . . . . . . . . . . . .
6.8.4 Comportamento di χm nei diversi materiali . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Smagnetizzazione di un magnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Legame tra campo elettrico e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.1 Esperimenti di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Terza e Quarta equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12 Legge di Felici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13 Forza elettromotrice e correnti indotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.1 Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse . . . . . . . . . . . . .
6.13.2 Energia assorbita nel campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.3 Densita di energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.4 Pressione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.5 Trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14 Calcolo della corrente in circuiti RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14.1 Circuito RLC con generatore non costante . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15 Cenni di Relatività ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.1 Invarianza di Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.1 Intensità di un’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.2 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.3 Onde cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.4 Ona di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.5 Somma di onde distinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.1 Relazione tra l’onda del campo elettrico e l’onda del campo magnetico
6.17.2 Energia associata all’onda elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.3 Vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.4 Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo . . . . . . . . .
6.17.5 Legame tra velocità di gruppo e velocità di fase . . . . . . . . . . . . .
6.17.6 Spettro di onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.7 Onda elettromagnetica in un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
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Ottica
7 Riflessione e rifrazione della luce
7.1 Principio di Huygens-Fresnel . . . . .
7.2 Teorema di Kirchhoff . . . . . . . . . .
7.3 Leggi di Snell . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Intensità delle onde riflesse e rifratte .
7.4.1 Onda incidende perpendicolare
35
35
36
37
38
39
39
39
40
40
40
42
44
44
45
46
46
47
48
49
49
52
52
52
52
53
54
55
58
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59
60
61
62
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67
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69
69
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70
70
71
73
73
74
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81
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84
Elenco delle figure
6.1
Andamento di I0 (ω) in un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
64
Presentazione
L’esame è composto da una parte scritta (test al computer, con 30 domande a risposta multipla) in cui
il voto = rispesatte − risperrate
+ 3 e se il voto ≥ 18 si può passare all’esame orale. L’esame orale consiste
3
il un’orale breve (voto massimo di 24) o si può accedere all’orale lungo se il voto è di almeno 24.
1
2
Parte I
Elettromagnetismo
3
Capitolo 1
Campo Elettrostatico
Il campo elettrostatico è il risultato analiico effettuato da Coulomb.
In seguito a tutte le prove effettuate si è raggiunti al risultato che:
F~ =
1
1
q1 · q2
q1 · q2
· ~r =
· rb
·
·
4 · π · ε0
r3
4 · π · ε0
r2
dove rb indica il versore di r, vettore con modulo unitario e direzione di r.
2 q
C2
analisi dimensionale [ε0 ] = 2
=
r ·F
N · m2
C2
N · m2
Il Coulomb è una unità di misura derivata, in quanto le unita fondamentali sono:
ε0 = 8.85 · 10−12
• Intensità di corrente [A]
• Intensità luminosa [cd]
• Lunghezza [m]
• Massa [kg]
• Quantità di sostanza [mol]
• Temperatura termodinamica [K]
• Tempo [sec]
Poichè [A] = Cs si ha che [C] = [A] · [s].
Un oggetto si dice puntiforme si le sue dimensioni sono molto trascurabili rispetto all’ambiente in cui si
trovano, pertanto la legge di coulomb vale solo se le cariche sono molto distanti.
1.1
Campo Elettrico
Il campo elettrico indica la modificazione che si ha nello spazio in presenza di una carica, pertanto si
pone all’interno del campo una carica che non modifichi le caratteristiche del campo.
~
~ = lim F
E
q0 →0 q0
~
E(x,
y, z) = Ex (x, y, z) · bi + Ey (x, y, z) · b
j + Ez (x, y, z) · b
k
Supponiamo di avere q1 , q2 e q3 e se volessimo determinare la forza complessiva avenge su q1 si sfrutta il
principio di sovrapposizione delle forze1
F~1 = F~21 + F~31
E~tot =
3
X
i=1
rb
qi
·
4 · π · ε0 r
Se volessi calcolare il campo elettrico generato da un corpo esteso potrei scomporlo in infiniti corpi
infinitesimi (puntiformi).
Ogni zona conterrà una carica
dq = ρ(x, y, z) · d3 ~x
1 non
in tutti i campi della fisica questo principio è valido, ma in questo si
5
dove ρ(x, y, z) indica la densità di carica, dipende dalla posizione perchè non è deto che sia costante.
Quindi:
ZZZ
dx dy dz · ρ(x, y, z)
Q=
Se la densità fosse costante allora Q = ρ · V .
1.1.1
Campo elettrico generato da un corpo qualunque
La definizione compatta è la seguente:
~ r) =
E(~
1
·
4 · π · ε0
Z
dr~0 ·
ρ(r~0 )
· (~r − r~0 )
|~r − r~0 |3
Poichè |~r − r~0 | =
p
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 , allora:
Z
Z
Z
1
(x − x0 )
Ex (x, y, z) =
· dx0 · dy 0 · dz 0 · ρ(x0 , y 0 , z 0 ) ·
3
4 · π · ε0
[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ] 2
Z
Z
Z
1
(y − y 0 )
Ey (x, y, z) =
· dx0 · dy 0 · dz 0 · ρ(x0 , y 0 , z 0 ) ·
3
4 · π · ε0
[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ] 2
Z
Z
Z
1
(z − z 0 )
0
0
Ez (x, y, z) =
· dx · dy · dz 0 · ρ(x0 , y 0 , z 0 ) ·
3
4 · π · ε0
[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ] 2
1.1.2
Carica che si muove in un campo elettrico
Si sfrutta la seconda legge della dinamica
~
m · ~a = F~ = q · E
Scomponendo per componenti si ottiene un sistema differenziale del secondo ordine in tre equazioni.
Risolvendolo si può ottenere x(t), y(t) e z(t) (traiettoria della carica).
 2
q
d x


dt2 = m · Ex




d2 y
q
dt2 = m · Ey





 d2 z
q
dt2 = m · Ez
1.1.3
Campo Elettrico come estensione del campo elettrico puntiforme
Per effettuare tale passaggio dimostrativo è necessario introdurre una funzione matematica denominata
delta di dirac.
Delta di Dirac
É la formulazione della curva Guassiana in cui σ → 0
x2
1
δ(x) = lim √
· e− σ2 =
σ→0
2·π·σ
Proprietà del delta di Dirac
Z
b
x 6= 0
x=0
1
0
F (x0 ) a < x0 < b
0
x0 < a o x0 > b
a
b
0
+∞
δ(x − x0 ) dx =
Z
F (x)δ(x − x0 ) dx =
a
a < x0 < b
x0 < a o x0 > b
δ(x) = δ(−x)
δa · x =
1
· δ(x)
|a|
δ(~x) = δ(x) · δ(y) · δ(z)
6
Poichè la densità di carica in un corpo puntiforme è:
lim ρ = lim
V →0
V →0
Q
= +∞
V
quindi ha un corportamento simile al delta di Dirac, pertanto:
ρ(x0 , y 0 , z 0 ) = q · δ(x − x0 ) · δ(y − y 0 ) · δ(z − z 0 )
7
8
Capitolo 2
Potenziale
Si ha potenziale
in prsenza di forze conservative, forse che compiono un lavoro nullo su un percorso chiuso
Ra
(W = aγ F~ · d~s = 0).
Una carica q genera un campo elettrico:
1
q
~ =
R
· rb
·
4 · π · ε0 r 2
e si pone q0 in a e si osserva che essa subisce uno spostamento, traslandola in b.
Z b
Z b
~ · d~s
Wa,b =
F~ · d~s = q0 ·
E
a
DISEGNO
a
I risultati trovati valdono per tutti i tipi di campi elettrostatici, poichè vale il principio di sovrapposizione.
Z b
Z rb
rb · d~s
~ · d~s = q0 · q ·
E
Wa,b = q0 ·
=
4 · π · ε 0 ra r 2
a
=
q0 · q
·
4 · π · ε0
Z
rb
ra
ds · cos(ϑ)
q0 · q
=
·
2
r
4 · π · ε0
Z
rb
ra
1
dr
q0 · q
1
=
·
−
r2
4 · π · ε0
ra
rb
DISEGNO
W = q0 · [Va − Vb ] = Ua − Ub
q
Va =
4 · π · ε0 · ra
q
Vb =
4 · π · ε0 · rb
Il potenziale si misura in Volt, grandezza derivata [V ] = [J] · [C]−1 .
Il vantaggio di aggiungere il potenziale è che essendo una grandezza scalare, legata al campo elettrico, i
calcoli sono estremamente semplificati.
2.1
Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse
U (n) =
n X
n
X
i=1 j=1
2.2
qi · qj
4 · π · ε · ri,j · 2
i 6= j
Potenziale di un campo macroscopico
ρ(x0 , y 0 , z 0 )
dz 0 p
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
Una distribuzione di cariche qualunque mi genera in (x, y, z) un potenziale nel punto P . Quanto vale il
potenziale in P 0 , punto a distanza infinitesima da P ?
V (x, y, z) =
dV
1
·
4 · π · ε0
Z
dx0 ·
Z
dy 0 ·
Z
= −V (x + dx, y + dy, z + dz) + V (x, y, z) =
= −V (x, y, z) −
=−
∂V
∂V
∂V
· dx −
· dy −
· dz + V (x, y, z)
∂x
∂y
∂z
∂V
∂V
∂V
· dx −
· dy −
· dz
∂x
∂y
∂z
9
~ · d~s ⇒ dV = E
~ · d~s
dW = q0 · dV = q0 · E


Ex · dx = − ∂V
Ex = − ∂V


∂x · dx
∂x








~ = −∇V
~
Ey = − ∂V
Ey · dy = − ∂V
E
∂y · dy
∂y










Ez · dz = − ∂V
·
dz
Ez = − ∂V
∂z
∂z
Richiamo di Analisi II La circuitazione di un vettore in un intervallo chiuso, l, è:
I
Z
~
~ ×E
~ · ~n · dΣ
E · d~s =
∇
l
Σ
~
dove Σ è una superficie chiusa da l e ~n è il vettore normale a Σ. Si definisce rotore di E:
bi
∂
∂x
Ex
~ ×E
~ =
∇
b
j
∂
∂y
Ey
b
k
∂
∂z
Ez
Poichè la circuitazione è una scrittura equivalente di un integrale di curva, se si ha un campo conservativo
allora la circuitazione è nulla.
Dimostrazione 1
I
~ · d~s = 0
E
l
~ 6= 0, allora
Poichè ∀Σ, ~n · dΣ
~ ×E
~ =0
∇
Dimostrazione 2 Se il campo è conservativo:
~ ×E
~ =
∇
=
bi
b
j
b
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−
−b
j·
−
∂V
∂y
−
∂
∂V
∂
∂V
· −
−
· −
+
∂y
∂z
∂z
∂y
∂V
∂z
∂
∂V
∂
∂V
∂
∂V
∂
∂V
· −
−
· −
+b
k·
· −
−
· −
=
∂x
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
= bi ·
∂V
∂x
= bi ·
2
2
∂2V
∂2V
∂2V
∂2V
∂ V
∂ V
b
b
−
−
−
−j·
+k·
=0
∂y · ∂z
∂z · ∂y
∂x · ∂z
∂z · ∂x
∂x · ∂y ∂y · ∂x
∂2V
∂2V
−
= 0, se V è una funzione continua.
∂y · ∂z
∂z · ∂y
2.3
Dipolo Elettrico
Il dipolo elettrico è un concetto abbastanza semplice le cui applicazioni sono tantissime.
Definizione 1 Si definisce dipolo elettrico un oggetto costituito da due cariche, q, uguali e opposte
distanti a.
2.3.1
Potenziale geneato da un dipolo
É possibile calcolare il potenziale generato da un dipolo solo se il punto, P , si trova a una distanza molto
superiore di a.
disegno
q
q
1
1
q
−
=
·
−
V (P ) =
4 · π · ε0 · r1
4 · π · ε0 · r2
4 · π · ε0
r1
r2
10
Se P è molto lontano, allora ϑ ' ϑ0 e r2 − r1 = a · cos(ϑ).
p~ · ~r
r2 − r1
q
a · cos(ϑ)
q
=
·
'
·
V (P ) =
4 · π · ε0
r2 · r1
4 · π · ε0
r2
4 · π · ε0
dove p~ = q · ~a indica il momento del dipolo.
Differenziazione dei sistemi coordinati
Sistema di Riferimento Cartesiano Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate x, y e z.
∂f b
~ = ∂f · bi + ∂f · b
∇f
j+
·k
∂x
∂y
∂z
Sistema di Riferimento Polare o Sferico Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate:
• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0, +∞[)
• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π, +π[)
• ϕ che indica l’angolo formato con l’asse z (ϕ ∈ [0, 2 · π[)
1
∂f
~ = ∂f · rb + 1 · ∂f · ϑb +
·
∇f
∂r
r ∂ϑ
r · sin(ϑ) ∂ϕ
Sistema di coordinate Cilindriche Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate:
• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0, +∞[)
• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π, +π[)
• z che indica la distanza del punto dal piano xy (z ∈ [0, +∞[)
~ = ∂f · rb + 1 · ∂f · ϑb + ∂f · b
∇f
k
∂r
r ∂ϑ
∂z
In coordinate sferiche
~ = − ∂V · rb − 1 · ∂V · ϑb − ∂V · b
k
E
∂r
r ∂ϑ
∂z
Riprendendo il calcolo precedente:
V (P ) =
q
a · cos(ϑ)
·
4 · π · ε0
r2
Er =
p~ · ~r
2 · q · a · cos(ϑ)
=
4 · π · ε0 · r 3
4 · π · ε0 · r 4
Eϑ =
q · a sin(ϑ)
4 · π · ε0 · r3
Eϕ = 0
h
i
p
~ ϑ) =
· 2 · cos(ϑ) · rb + sin(ϑ) · ϑb
E(r,
3
4 · π · ε0 · r
2.3.2
p=q·a
Dipolo all’interno di un campo elettrico
Ho un dipolo immerso in un campo elettrostatico esterno al dipolo. DISEGNO
p1 = (x, y, z)
p2 = (x + ax , y + ay , z + az )
La sua energia elettrostatica vale:
Udipolo = −q · V (p1 ) + q · V (p2 ) = −q · V (x, y, z) + q · V (x + ax , y + ay , z + az )
Si pone a trascurabile (si può quindi fare lo sviluppo in serie), si considera il campo conservativo e,
pertanto, si ha:
∂V
∂V
∂V
Udipolo = −q · V (x, y, z) + q · V (x, y, z) + q ·
· ax +
· ay +
· az
∂x
∂y
∂z
= q · (−Ex · ax − Ey · ay − Ez · az ) = −(Ex · px + Ey · py + Ez · pz ) =
~
= −P~ · E
11
2.3.3
Momento di un dipolo
In un campo elettrostatico costante un dipolo può solo ruotare, non può traslare.
~
M
~ + r~2 × (q · E)
~ =
= r~1 × F~1 + r~2 × F~2 = r~1 × (−q · E)
~ = q · (r~2 − r~1 ) × E
~ = q · ~a × E
~ = p~ × E
~
= (r~2 − r~1 ) × (q · E)
2.3.4
Dipolo in un campo elettrico non costante
Se un dipolo è immerso in un campo elettrico non costante, nel quale quindi la risultante non è nulla
~ 6= 0, il dipolo oltre a ruotare può anche traslare.
R
F~tot = F~1 + F~2 = −q · E~1 + q · E~2
~
E~1 = E(x,
y, z)
~ + ax , y + ay , z + az )
E~2 = E(x
Sviluppando in serie E~2 si ha
E~2 = q ·
F~tot
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
· ax +
· ay +
· az
E(x,
y, z) +
∂x
∂y
∂z
!
=q·
!
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
~
· ax +
· ay +
· az − E(x, y, z) =
E(x, y, z) +
∂x
∂y
∂z
= Px ·
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~E
~
+ Py ·
+z ·
= P~ · ∇
∂x
∂y
∂z
In un campo conservativo
~ = −∇
~ −P~ · E
~
R~tot = −∇U
2.3.5
Applicazioni del concetto di dipolo
Voglio conoscere il potenziale della carica in G.
1
V (~r) =
·
4 · π · ε0
poichè
Z
1
dr~0 · ρ(r~0 )
=
·
0
~
4 · π · ε0
|~r − r |
Z
dr~0 · ρ(r~0 )
r· 1−
r~0
~
r
r~0
~
r
è una quantita molto piccola è possibile effettuare lo sviluppo in serie1
#
" Z
Z ~0
1
1
1
r
V (~r) ∼
·
· dr~0 · ρ(r~0 ) + ·
· dr~0 · ρ(r~0 )
4 · π · ε0
r
r
~r
Z
Z
q
1
1
1
P~ · ~r
0
0
0
0
0
~
~
~
~
~
=
·
· dr · ρ(r ) + 2 · r · dr · ρ(r ) =
+
4 · π · ε0
r
r
4 · π · ε0 · r 4 · π · ε0 · r3
P~
Z
=−
r~0 · ρ(r~0 ) · d3 r~0
Il copenziale di un corpo qualunque posto a grande distanza può essere visto come il potenziale di una
carica puntiforme a cui viene aggiunto il potenziale di un dipolo.
1
1
1−x
∼1+x
12
Capitolo 3
Teorema di Gauss
É un teorema di valenza generale, vale in campi in cui si ha un andamento del tipo r12 .
~ attraverso Σ è:
Se ho una superficie, Σ, e ne prendo una parte infinitesima, dΣ, il flusso di E
~ · ~n · dΣ
dΦ = E
~ = E(x,
~
con E
y, z) e ~n = ~n(x, y, z).
Il teorema di Gauss afferma che il flusso attraverso una superficie chiusa è:
n
Z
X
qi
~ =
~ · ~n · dΣ =
Φ E
E
ε
Σ
i=1 0
con qi interno alla superf icie
Nel caso di un corpo macroscopico
Z
Z
1
~
E · ~n · dΣ =
ρ(x, y, z) · dx · dy · dz
ε0 v
Σ
v = volume racchiuso da Σ
Dimostrazione 3 (Teorema di Gauss) Dimostrando il teorema per una carica puntiforme lo si può
dimostrare anche per n cariche e quindi anche per un corpo macroscopico.
Se q è una carica interna alla superficie IMAMGINE
~ · ~n · dΣ =
dΦ = E
q
u
br · ~n · dΣ
4 · π · ε0 · r 2
u
br · ~n · dΣ
= dΩ
r2
angolo solido
dr · r2 · sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dv = dr · dΣ
dΣ
= sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dΩ
2
Z
Z π r
Z 2·π
dΩ =
sin(ϑ) · dϑ ·
dϕ = 4 · π
0
Z
Φ=
Z
dΦ =
u
br · ~n · dΣ
q
q
·
·
=
4 · π · ε0
r2
4 · π · ε0
Z
dΩ =
0
q
ε0
Se q fosse una carica esterna alla superficie il flusso è nullo
Φ=0
in quanto attraversa, per entrare, la superficie in un punto con ~n in una direzione e la riattraversa la
superficie, per uscire, con ~n in direzione opposta perciò l’angolo solido che si forma è nullo.
3.1
Esempi di Applicazione del teorema di Gauss
Il teorema di Gauss è utile nel calcolare in modo semplice, in determinate condizioni, il campo elettrico.
13
3.1.1
Campo elettrico di una carica puntiforme
IMMAGINE Per definire il campo elettrico per una carica puntiforme, poichè la carica ha simmetria
sferica, si sceglie come superficie una sfera1 .
Z
~ = E
~ · ~n · dΣ = q
Φ E
ε0
Sulla superficie della sfera il campo è costante, quindi lo si può portare fuori dall’integrale
Z
Z
~
Φ E =E· u
br · ~n · dΣ = E · dΣ = E · Σ
u
br e ~n sono paralleli quindi u
br · ~n = 1
In una sfera la superficie esterna è Σ = 4 · π · r
2
E · Σ = 4 · π · r2 =
3.1.2
q
q
⇒E=
ε0
4 · π · ε0 · r 2
Campo elettrico generato da un filo carico
Poichè un filo carico ha simmetria cilindrica, si sceglie come superficie un cilindro coassiale con il filo.
IMMAGINE
Z
~ =
~ · ~n · dΣ = Q
Φ E
E
ε0
Σ
Z tot
Z
Z
~
~
~
~ · ~n · dΣ
Φ E =
E · ~n · dΣ =
E · ~n · dΣ =
E
Σlaterale
Σsuperiore
Σinf eriore
R
Σsuperiore
~ =E·
Φ E
3.1.3
Z
dΣlaterale = E · 2 · π · l · r =
~ · ~n · dΣ =
E
R
Σinf eriore
~ · ~n · dΣ = 0
E
Q
q
~ =
·u
br
⇒E
ε0
4 · π · ε0 · l
Campo elettrico generato da un piano infinito
Si ha un piano infinito uniformemente carico IMMAGINE si pone un cilindro che attraversa il piano, il
~
contributo sarà dato solo dalle superfici circolari del cilindo (la superficie laterale è perpendicolare a E,
quindi prodotto scalare nullo).
Z
Z
Q
σ · Σbase
~ · ~n · dΣ = 2 · E
E
dΣ =
Φ=2·
=
ε
ε0
0
Σbase_cilindro
Σbase_cilindro
2 · E · Σbase = σ ·
~ =
E
3.1.4
Σbase
ε0
σ
·u
br
2 · ε0
Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneo
Si prendono sempre superfici concentriche al guscio. IMMAGINE Se r < R, cioè la superficie è interna
al guscio
~ =0⇒E
~ =0
Φ(E)
Se r > R, cioè la superficie è esterna al guscio
Z
Z
Z
~ = Q = E
~ · ~n · dΣ = E · u
Φ(E)
br · ~n · dΣ = E · dΣ
ε0
Q
Q
Q
⇒ E · 4 · π · R2 =
⇒E=
E·Σ=
ε0
ε0
4 · π · ε0 · r2
Il risultato ottenuto è esattamente come se ci fosse un unica carica puntiforme posta al centro del guscio.
Z
Z
Q
Q
V (r) = − E · dr = −
dr =
4 · π · ε0 · r 2
4 · π · ε0 · r

Q


r≥R

 4 · π · ε0 · r
V (r) =


Q


r<R
4 · π · ε0 · R
1 la superficie si può scegliere a piacimento, in quanto il teorema suppone solo superfici chiuse. Quindi è utile scegliere le
superfici atte a semplificare i conti
14
3.1.5
Campo elettrico di una sfera carica
IMMAGINE Se P , punto della carica campione, è esterno alla sfera (cioè r ≥ R). Il flusso di una sfera
di raggio r, concentrica alla sfera carica, è
Z
Z
Q
~
E · ~n · dΣ = E · dΣ =
ε0
E·Σ=
E · 4 · π · r2 =
Q
ε0
Q
Q
~ =
·u
br
⇒E
ε0
4 · π · ε0 · r 2
Se P è interno alla sfera (cioè r ≤ R). Il flusso di una sfera di raggio r, concentrica alla sfera carica, è
Z
0
~ · ~n · dΣ = q
E
q 0 carica interna alla sfera di raggio r
ε0
E · 4 · π · r2 =
q0
q0
~ =
·u
br
⇒E
ε0
4 · π · ε0 · r 2
Poichè q 0 non è in funzione dei dati del problema bisogna ricondurla a tali valori. Si definisce ρ la densità
di carica la seguente quantità
Q
Q
ρ=
= 4
3
v
·
3 πR
Q=
4
4
· π · R3 · ρ ⇒ q 0 = Q(r) = · π · r3 · ρ
3
3
~ =
E
4
3
· π · r3 · ρ
ρ
·u
br =
· ~r
4 · π · ε0 · r 2
3 · ε0
L’andamento del campo è completamente diverso all’interno e all’esterno del campo

Q


br r ≥ R

 4 · π · ε0 · r 2 · u




ρ
· ~r
3 · ε0
r≤R
Poichè il potenziale è una funzione continua, in quanto derivabile ho che
+∞
Z +∞
Z +∞
Q
q
=
V (+∞) − V (r) = −
E · dr ⇒ V (r) =
E · dr = −
4 · π · ε0 · r r
4 · π · ε0 · r
r
r
Q
4 · π · ε0 · R
2
Z R
Z R
ρ
R
r2
ρ
V (R) − V (r) = −
E · dr =
·
r · dr =
·
−
3 · ε0 r
3 · ε0
2
2
r
2
2
2
2
ρ
R
r
ρ
R
r
Q
V (r) =
·
−
+ V (R) =
·
−
+
3 · ε0
2
2
3 · ε0
2
2
4 · π · ε0 · R
2
ρ
R
r2
1
V (r) =
·
−
+
ε0
6
6
4·π
V (R) =
3.1.6
Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un punto
Si utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti, ipotizzando la cavità come una sfera carica ma con
carica opposta. Definiremo quindi R1 il raggio della sfera, R2 il raggio della cavitò, Q1 la carica della
sfera, Q2 la carica della cavità, r~1 la posizione di P rispetto al centro della sfera e r~2 la posizione di P
rispetto al centro della cavità. Se P è esterno alle sfere (r > r0 )
~
E
4
4
· π · R1 3 · ρ
· π · R2 3 · ρ
Q2
Q1
· r~1 +
· r~2 = 3
· r~1 − 3
· r~2 =
3
3
3
4 · π · ε0 · r1
4 · π · ε0 · r2
4 · π · ε0 · r1
4 · π · ε0 · r2 3
!
3
3
ρ
R1
R2
=
· r~1 −
· r~2
3 · ε0
r1
r2
=
15
Se P è interno alla cavità
~
E
=
4
4
3
3
Q1
Q2
3 · π · r1 · ρ
3 · π · r2 · ρ
·
r
~
+
·
r
~
=
·
r
~
−
· r~2 =
1
2
1
3
3
3
4 · π · ε0 · r1
4 · π · ε0 · r2
4 · π · ε0 · r1
4 · π · ε0 · r2 3
=
ρ
ρ
~
· [r~1 − r~2 ] =
·R
3 · ε0
3 · ε0
Se il buco è concentrico alla sfera, si ha che il campo all’interno della cavità è nullo (è un guscio sferico).
3.1.7
Teorema di Gauss in forma differenziale
Teorema di Gauss, di analisi matematica
Il teorema di Gauss consente di portare un integrale di volume di un campo vettoriale generico in un
integrale di superficie (se la superficie è la superficie che racchiude il volume).
ZZZ
ZZ
~
~
~ · ~n · dx · dy
∇ · E · dx · dy · dz =
E
v
Σ
T
∂
∂
∂Ex
∂Ey
∂Ez
~ ·E
~ = bi · ∂ + b
j·
+b
k·
· Ex · bi + Ey · b
j + Ez · b
k
=
+
+
∇
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Forma differenziale
In fisica il teorema di Gauss è
Z
Z
~ · ~n · dΣ = Q = 1 · ρ · dv
E
ε0
ε0
ZZZ
ZZZ
ZZZ 1
ρ
~
~
~
~
~ ·E
~ = ρ
∇ · E · dv =
∇·E−
·
ρ · dv ⇒
· dv = 0 ⇒ ∇
ε0
ε0
ε0
16
Capitolo 4
Condensatori e Dielettrici
4.1
Conduttori all’interno di un campo elettrico
Un conduttore è un materiale che può condurre cariche elettriche. Si tratteranno, nel prosieguo del corso,
solo i conduttori solidi (di tipo metallico).
Un metallo può essere rappresentato mediante il metodo a nuvola di elettroni.
Se si pone un metallo in un campo elettrostatico il campo resta statico (il sistema si pone immediatamente
in equilibrio, in un tempo stimato di 10−13 s).
L’unica posizione di equilibrio possibile si ha quando nel metallo si ha un campo elettrico nullo (deve
essere così altrimenti gli elettroni risentono di una forza e quindi si muovono, non è statico). Se il metallo
è carico (vi è un eccesso di elettroni), le cariche aggiuntive possono stare solo sulla superficie esterna, in
modo da avere campo nullo all’interno.
Se supponessimo di avere un metallo cavo IMMAGINE
~ =0
I(E)
Calcolando la circuitazione lungo l si ha
I
E · dr = 0
l
ma all’interno della cavità si ha un contributo, mentre all’interno del metallo non ci sono contributi;
~ = 0 allora
pertanto le cariche si dispongono solo sulla superficie esterna (gabbia di Faraday). Poiche E
all’interno del metallo ho sempre lo stesso potenziale.
Definiamo E~2 il campo elettrico fuori dal metallo, E~1 il campo elettrico all’interno del metallo.
E2n − E1n =
σ
ε0
ma E1n = 0, mentre
E2t = E1t = 0
All’esterno del metallo il campo è sempre normale al metallo (se si è vicini).
~ = σ · ~n
E
ε0
Poichè σ =
4.2
Q
Σ
legge di Coulomb
allora si ha che nelle punte il campo è molto più intenso che sulle superfici piane.
Condensatore
Introducendo un metallo in un campo elettrico le cariche si spostano in modo che il campo all’interno del
metallo sia nullo.
Etot = E + E 0 = 0 ⇒ E 0 = −E
17
Se ho n conduttori si avrà:
V1
= a11 · q1
+a12 · q2
+...
+a1n · qn
V2
= a21 · q1
+a22 · q2
+...
+a2n · qn
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Vn
= an1 · q1
+an2 · q2
+...
+ann · qn
aij sono i coefficienti di potenziale (si può dimostrare che aij = aji , aij > 0, aii > aij )
q1
= c11 · v1
+c12 · v2
+...
+c1n · vn
q2
= c21 · v1
+c22 · v2
+...
+c2n · vn
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
qn
= cn1 · v1
+cn2 · v2
+...
+cnn · vn
cij sono i coefficienti di capacità (si può dimostrare che cij = cji , cij < 0, cii > 0)
Se si mette un metallo in un campo elettrico occorre usare l’equazione di Laplace con le giuste condizioni
a contorno, in quanto per pendere Emet = 0 si crea uno pseudo-dipolo.
Esercizio 1 In una zona dello spazio è presenta un campo elettrico il cui potenziale vale
V (x, y) = a · x2 + b · y
a, b ∈ R
Calcolare:
• il modulo del campo elettrico nel punto di coordinate P = (x, y, z)
• la carica complessiva presente in un cubo di lato L con un vertice nell’origine, gli spigoli paralleli
agli assi e giacente nel primo ottante

Ex = −2 · a · x





~ = −∇V
~ ⇒
Ey = −b
E





Ez = 0
~
E(x,
y, z) = −2 · a · x · bi − b · b
j
p
~
E(x,
y, z) = 4 · a2 · x2 + b2
Occorrebbe calcolare il flusso su ogni faccia del cubo, ma si ottiene un calcolo estremamente lungo, pertanto
~ ·E
~ = ρ.
si prova a calcolare la divergenza di E, ∇
ε0
~ ·E
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez = −2 · a + 0 + 0 = ρ ⇒ ρ = −2 · a · ε0
∇
∂x
∂y
∂z
ε0
Z
Q = ρ · dv = −2 · a · ε0 · L3
v
Esercizio 2 Data una sfera di raggio a entro cui esiste una densità di carica
ρ(r) =
k
r2
con r pari alla distanza dal centro.
Calcolare il campo elettrico e il potenziale in un generico punto P .
Si utilizzano le coordinate sferiche per semplificare i conti (nel caso specifico è molto utile).
dv = r2 · dr · sin(ϑ) · dϑ · dϕ
18
• r≥a
Z
Z
dv · ρ =
Q=
0
v
a
k
· r2 · dr ·
r2
Z
π
Z
2·π
dϕ = k · a · [−(−1 − 1)] · 2 · π = 4 · π · k · a
sin(ϑ) · dϑ ·
0
0
~ = Q = 4·π·k·a
Φ E
ε0
ε0
k·a
4·π·k·a
~ = 4·π·k·a ·u
br =
·u
br
E·Σ=
⇒E
ε0
ε0 · 4 · π · r 2
ε0 · r2
0
0
q0
~ = q ⇒E·Σ= q ⇒E =
Φ E
ε0
ε0
4 · π · r 2 · ε0
Z
Z
k·a
k·a
V (r) = − E · dr = −
dr =
2
ε0 · r
ε0 · r
• r≤a
0
Z
q =
0
r
k
· r2 · dr ·
r2
Z
π
2·π
Z
sin(ϑ) · dϑ ·
0
dϕ = k · r · [−(−1 − 1)] · 2 · π = 4 · π · k · r
0
k
~ = 4·π·k·r ·u
E
br =
·u
br
4 · π · r2 · ε0
ε0 · r
Z
Z
k
k
V (r) = − E · dr + V0 = −
dr = − · log(r) + V0
ε0 · r
ε0
poichè il potenziale è continuo allora
−
k
k·a
k
⇒ V0 =
· log(a) + V0 =
· (1 + log(a))
ε0
ε0 · a
ε0
Si ha un condensatore ogni volta che si hanno due superfici con cariche opposte, sono in tale condizione
poichè la carica complessiva è sempre nulla.
Definizione 2 (Capacità) Si definisce capacità il rapporto tra la carica e il potenziale, vq , tale rapporto
è dipendente solo dalla forme geometrica del conduttore. Non dipende dalla densità in quanto le densità
saranno presenti sia in q che in v e si semplificano.
q
C=
v
La capacità si misura in farad, [F ]; 1 farad indica una capacità estremamente grande.
4.2.1
Collegamento tra condensatori
Due condensatori possono essere collegati in serie o in parallelo.
Definizione 3 (Condensatore in serie) Due condensatori si dicono collegati in serie se sono attraversati dalla stessa corrente, pertanto sono attraversati dalla stessa carica. IMMAGINE
q
q
1
1
1
v c − va = vc − vb + vb − va =
+
=q·
+
=q·
C1
C2
C1
C2
Ceq
−1
1
1
Ceq =
+
C1
C2
Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie
!−1
n
X
1
Ceq =
Ci
i=1
Definizione 4 (Condensatore in parallelo) Due condensatori si dicono collegati in parallelo se ai
loro capi è presente la stessa differenza di potenziale. IMMAGINE
Ceq = C1 + C2
Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie
Ceq =
n
X
i=1
19
Ci
Calcolo della capacità di un condensatore sferico
Un condensatore sferico è composto da due sfere concentriche di raggio r1 e r2 , tra le due sfere vi è
induzione completa. IMMAGINE
−(V2 − V1 ) =
q
q(r1 − r2 )
q(r2 − r1 )
q
−
=−
=
4 · π · ε0 · r1
4 · π · ε0 · r2
4 · π · ε0 · r1 · r2
4 · π · ε0 · r1 · r2
V1 − V2
1
r2 − r1
=
=
q
C
4 · π · ε0 · r1 · r2
r1 · r2
C = 4 · π · ε0 ·
r1 − r2
Se h = r2 − r1 e h r1 , r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media geometrica tra r1 e r2 ).
4 · π · ε0 · R 2
ε0 · Σ
=
h
h
si ha quindi che l’area è proporzionale all’area dell’armatura e inversamente proporzionale alla distanza.
C'
Calcolo della capacità di un condensatore cilindrico
Un condensatore cilindrico è composto da due cilindri coassiali di raggio r1 e r2 , tra i due cilindri vi è
induzione completa. IMMAGINE
Z r2
Z r2
λ · dr
λ
r2
~
~
V1 − V2 =
E · dl =
=
· log
2
·
π
·
ε
·
r
2
·
π
·
ε
r1
0
0
r1
r1
log rr21
V1 − V2
=
q =d·λ
q
2 · π · ε0 · d
Se h = r2 − r1 e h r1 , r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media geometrica tra r1 e r2 ).
C'
poichè
h
R
2 · π · ε0 · d
2 · π · ε0 · d
=
h
r2 −r1
log 1 + R
log 1 + r1
→ 0 allora
h
h
∼
log 1 +
R
R
2 · π · ε0 · d · R
2 · π · ε0 · d
Σ
∼
C=
= · ε0
h
h
h
log 1 + R
Si osserva che il valore di C è dipendende solo dalla superficie.
Calcolo della capacità di un condensatore piano
Un condensatore piano è composto da due piani infiniti paralleli tra loro.
Z
~ · d~l
V1 − V2 = E
Ma abbiamo dimostrato che E è costante tra i piani e vale E =
σ
ε0 ,
mentre è nullo all’esteno dei piano.
σ·h
σ·Σ·h
q
=
=
·h
ε
ε0 · Σ
ε0 · Σ
q
ε0 · Σ
C=
=
V1 − V2
h
V1 − V2 =
Esempio 1 Si calcola la circuitazione di E lungu un percorso chiuso quadrato di lato l. In un campo
generato da due piani paralleli è sempre costante e parallelo alle armature.
I
~ · d~l = σ · l + 0 + 0 + 0 = σ
E
ε0
ε0
Il secondo e il quarto ternine sono entrambi nulli perche paralleli ai piani, mentre il terzo termine è nullo
perchè esterno al campo.
Si ha una contraddizione in quanto la circuitazione non è nulla, anche se si trova in un campo elettrostatico. La contraddizione è spiegabile dal fatto che uscendo dai piani il campo non è nullo, come considerato,
inoltre vicino ai bordi E 6= εσ0 . Le condizioni poste si hanno se i piani sono piani infiniti.
20
4.3
Lavoro di carica di un condensatore e densità di energia
Si hanno due lastre pooste come le armature di un condensatore piano. Tali lastre sono inizialmente
scariche, se si collega un generatore di tensione alle piastre tale generatore sposte le cariche dalle piastre
imponendo una differenza di potenziale di V (il condensatore si carica).
Per spostare una carica bisogna compiere un lavoro
dW = dq 0 · V 0
ma poiche
q
V
= C allora V 0 =
q0
C
quindi
q0
⇒W =
dW = dq ·
C
0
poichè in un condensatore piano C =
W =
e0 ·Σ
d
q
Z
0
q0
q2
C ·V2
· dq 0 =
=
C
2·C
2
e q = σ · Σ allora si ha che
q2
q2 · d
σ 2 · Σ2
ε0 σ 2
ε0
=
=
·d=
· 2 · (Σ · d) =
· E2 · V
2·C
2 · ε0 · Σ
2 · ε0 · Σ
2 ε0
2
W =U
Si definisce densità di energia il rapporto
W
ε0
=
· E2
V
2
Dimostrazione 4 Si fa un ragionamento diverso, il cui risultato può comunque essere esteso, l’energia
interna al sistema è
U=
1
·
2
N
X
i, j = 1
i 6= j
N
qi · qj
1 X
= ·
q i · vi
4 · π · ε0 · rij
2 i=1
vi =
N
X
j=1
j 6= i
qj
4 · π · ε0 · rij
In un campo carioco macroscopico si ha che
Z
Z
1
1
U = · dq · V = · dV · ρ · V
2
2 v
bisogna sempre integrare in coordinate spaziali, dq = ρ · dV
Sfruttando la divergenza di E (teorema di Gauss in forma differenziale) si ha
~ ·E
~
~ ·E
~ = ρ ⇒ ρ = ε0 · ∇
∇
ε0
Z
Z
Z
1
1
ε0
~
~
~ ·E
~ · V · dV =
· dV · ρ · V = · dV · ε0 · ∇ · E · V =
· ∇
2 v
2 v
2
v
Z
Z
Z
h
i
ε0
~ · E
~ ·V −∇
~ · V ·E
~ = ε0
~ · E
~ · V + ε0 · E 2 · dV =
=
· dV · ∇
dV · ∇
2
2
2
Z
Z
ε0
~ · ~n + ε0
=
dΣ · V · E
E 2 · dV
2 Σ
2 v
Il risultato ottenuto è più generale in quanto se prendo tutto il volume il campo sulla superficie è nullo,
mentre se non èrendo tutto il volume il campo non è nullo.
4.4
Pressione elettrostatica
Si otterrà che il campo elettrico esercita una pressione, in quanto se c’è carica nelle armature le piastre si
attraggono e si si attraggono c’è una forza e quindi anche una pressione. All’interno di una campo elettricfo
non è intuivito pensare alla presenza di una pressione, ma questo vale anche per onde elettromagnetiche
come il raggio di una luce (essendo gli effetti troppo bassi si è portati a pensare che non ci sia).
U=
q2
q2
=
·h
2·C
2 · ε0 · Σ
21
dU =
q2
· dh
2 · ε0 · Σ
dh < 0 in quanto la lastra muovendosi compie un lavoro.
dU =
σ 2 · Σ2
ε0 σ 2
· dh =
·
· Σ · dh
2 · ε0 · Σ
2 ε0 2
ε0 σ 2
dU
=− · 2 ·Σ
dh
2 ε0
ε0
F = − · E2 · Σ
2
F
ε0
P =
= − · E2
Σ
2
−
Si osserva che |P | = |densità di energia|
Poichè si hanno solo forze conservative allora F = −∇U
22
Capitolo 5
Dielettrici
I dielettrici sono i materiali isolanti. Gli atomi negli isolanti (a differenza dei conduttori) si tengono stretti
attorino a loro la nuvola di elettroni (non essendo molto liberi di muoversi non si ha conduzione), ma se
pongoun atomo isolante in un campo elettrico gli elettroni vengono spostati su un lato, quindi si genera
un dipolo.
Definizione 5 (dielettrico polare) Si definisce polare un dielettrico che in un campo nullo è un dipolo
Definizione 6 (dielettrico a-polare) Si definisce a-polare un dielettrico che in un campo nullo non è
un dipolo.
Se in un condensatore piano si pone un metallo, lastra (di lato s), si ha
V0 = Eh
Vm = E · (h − s) = E · h ·
h−s
h−s
= v0 ·
h
h
Se invece si pone una lastra di dielettrico (di lato s) si ha
Vk =
E·k
V0
=
k
k
Si ha sempre che Vm < Vk , ponendo un metallo all’interno di un condensatore si ha un potenziale sempre
inferiore al potenziale che si ottiene mettendo un dielettrico all’interno del condensatore.
Poichè nel dielettrico le cariche non possono muoversi come è possibile spiegare la riduzione del potenziale?
Succede che ogni atomo diventa un dipolo, ottenendo così equilibrio interno e resta la carica solo sul bordo
(le cariche interne si elidono a due a due). L’effetto è più piccolo perchè non contribuiscono tutte le cariche
ma solo quelle esterne.
Dimostrazione 5 Sperimentalmente si ha che k ≥ 1.
k=
V0
Vk
V0
Vk
=
h
k·h
E0
k
σ0
σ0
σ0
1
σ0
k−1
E0 − Ek =
−
=
· 1−
=
·
ε0
ε0 · k
ε0
k
ε0
k
k−1
σ0
σ0
k−1
σ0
·
=
−
·
Ek = E0 −
ε0
k
ε0
ε0
k
k−1
σp = σ0 ·
k
Ek =
Ek =
σ0
σp
−
ε0
ε0
23
Nella nuova modellizzazione si ha che
V0 →
V0
k
E0 →
E0
k
ε0 → ε = k · ε0
Ck =
q
Vk
=k·
q
V0
= k · C0
Si osserva che la capacità dello stesso condensatore in presenza di un dielettrico aumenta di un fattore k.
k è dipendente dalla temperatura (le tabelle sono spesso scritte alla temperatura di 20◦ C), i k indicati
sono unici per materiali isolanti isotropi, mentre sono due valori (kk e k⊥ ai piani).
5.1
Rigidità dielettrica
Definizione 7 (Rigidità dielettrica) Si definisce rigidità dielettrica
il valore massimo di campo eletV
.
trico che un dielettrico può sopportare è dell’ordine di 106 ÷ 107 m
Se il campo elettrico, nel quale è immerso il dielettrico, è maggiore della rigidità dielettrica dell’area si
ha che il campo distrugge la struttura atomica del dielettrico, si ha la formazione del plasma.
Esempio 2 (Fulmine) Un esempio tangibile di tale fenomeno è un fulmine. Il fulmine si ha in presenza
di una grandissima differenza di potenziale tra nuvole e terreno, pertanto si forma un campo elettrico molto
elevato che distrugge la struttura atomica dell’aria, la velocità delle particelle dissociate è estremamente
elevata quindi aumenta moltissimo anche la temperatura (temperatura ∝ velocità).
5.2
Dipolini all’interno di un dielettrico
Cosa succede ai dipolini elementari che fi formano ponendo un dielettrico all’interno di un campo elettrico?
Definizione 8 (Momento medio di dipolo elementare) Si definisce momento medio di dipolo elementare la media del momento di un numero finito di dipoli, è valido solo se ilo numero di dipoli elementari
ha l’ordine di almeno un milione di lementi.
hpi
Definizione 9 (Vettore di polarizzazione o momento di dipolo di un volumetto infinitesimo)
∆N
P~ =
· hpi = n · hpi
∆τ
con N pari al numero di atomi presenti nel volume, τ il volume indicato e n il numero di atomi presenti
per unità di volume.
Sperimentalmente si ha
~ = ε0 · χ(t) · E
~
P~ = ε0 · (k − 1) · E
~ in generale si ha
In quasi tutti i materiali P~ ∝ E,
~ ·E
~
P~ = ε0 · χ t, E
~ si può sviluppare in serie, quindi
ma χ t, E
∂χ(t, E → 0)
~
~
P ' ε0 · χ(t, 0) +
· E + ... · E
∂E
In generale ∂χ(t,E→0)
· E è molto piccolo (molti ordini di grandezza inferiori) pertanto lo si ignora, ma
∂E
nei materiali ferro elettrici tale valore non è trascurabile. IMMAGINE
P =
dp
⇒ dp = P · dτ = P · dΣ · dh
dτ
dp = dq · dh = σp · dΣ · dh
24
Si ricava che il vettore di polarizzazione per unità di volume, P~ , è P = σp .
Se i campi non hanno una struttura estremamente regolare come quella dell’immagine precedente si ha
che
σp = P~ · ~n
IMMAGINE
Z
Z
σp · dΣ =
p~ · ~n · dΣ = 0
Σ
La somma delle cariche deve essere nulla, poichè da un lato si ha +q e dall’altro lato c’è −q pertanto si
equivalgono.
Se il materiale è onogeneo la supposizione che i dipoli interni si annullano è veta, mentre se il materiale
non è omogeneo vi saranno dei termini correttivi.
Analisi con materiale non omogeneo
IMMAGINE dτ è un volumetto infinitesimo Se il materiale non è omogeneo dqp − dqp0 6= 0, pertanto si
avrà una carica netta
dqp − dqp0 = −[P 0 − P ] · dΣ
P 0 = σp0 · dΣ
P = σp · dΣ
dΣ = dx · dy · dz
P 0 ≡ P (x + dx + y + z)
P ≡ P (x, y, z)
P 0 − P = P (x, y, z) +
∂P
∂P
· dx − P (x, y, z) =
dx
∂x
∂x
La carica netta che rimane è
dq = dqp − dqp0 = −
∂P
∂P
∂P
· dx · dΣ = −
· dx · dy · dz = −
· dτ
∂x
∂x
∂x
Lo stesso procedimento andrà effettuato anche lungo y e lungo z. Si avrà quindi che
∂P
∂P
∂P
~ · P~
dq = −
+
+
· dτ = −∇
∂x
∂y
∂z
~ · P~ = −ρp
∇
Esempio 3 (applicativo) IMMAGINE Se si vol determinare il potenziale presente nel punto F , bisogna
considerare, oltre al potenziale generato dal campo del corpo C, anche gli effettu delle cariche presenti
sull’isolante I.
Z
Z
Z
1
σc · dΣc
1
σp · dΣ
1
dτ · ρp
V (F ) =
·
+
·
+
·
4 · π · ε0 ΣC
r0
4 · π · ε0 Σ
r
4 · π · ε0 τ
r
{z
}
|
{z
}
|
{z
} |
corpo C
isolante I
se il materiale non è omogeneo
non si usa εisolante
~ · P~
ρp = ∇
σp = P~ · ~n
perche F è fuori dall’isolante
~ 6= 0, allora nell’isolante avrò delle
Se ho un campo generato da q esterno all’isolante e nell’isolante E
cariche di polarizzazione (qp ). In tale situazione comunque vale il teorema di Gauss
Z
~ = E
~ · ~n · dΣ = q + qp
Φ E
ε0
~ ·E
~ =ρ−∇
~ · P~
~ ·E
~ = ρ − ρp ⇒ ε 0 · ∇
∇
ε0
~ · ε0 · E
~ + P~ = ρ
∇
25
Definizione 10 (Induzione elettrica) Si definisce induzione elettrica la seguente quantità
~ = ε0 · E
~ + P~
D
Si ha quindi che
(
~ ·D
~
∇
= ρ
~ =q
Φ D
É possibile quindi definire l’elettrostatica con due equazioni
(
~ ·E
~ = ρtotali
∇
ε0
~ ×E
~ =0
∇
≡
~ ·D
~ = ρlibere
∇
~ ×E
~ =0
∇
~ ·E
~ devo avere traccia di tutte le cariche interne, mentre considerando la ∇
~ ·D
~ devo
Se si considera la ∇
considerare solo le cariche libere, quelle cariche non appartenenti all’isolante. É chiaro quindi che è più
~ · D,
~ non si usa il ∇
~ ×D
~ in quanto in genere non è nullo.
semplice considerare ∇
Dimostrazione 6 (Conservazione della componente normale di un campo elettrico) In un campo elettrico si è dimostrato che sull’interfaccia si ha la conservazione dela componente tangenziale, ma
cosa succede se si considera l’induzione elettrica?
~ costante, ma i risultati trovati sono del tutto generali.
IMMAGINE Per seemplicità di calcolo si pone D
~ =D
~1 · n~1 · Σ1 + D
~2 · n~2 · Σ2 = 0
Φ D
n~1 = −n~2
~ = D1n · Σ1 − D2n · Σ2 = 0 ⇒ D1n · Σ1 = D2n · Σ2
Φ D
Poichè Σ1 = Σ2 si ha che
D1n = D2n
~ si conserva, in presenza di un’interfaccia.
Si ha quindi che la componente normale di D
Osservazione
~
~ = ε0 · E
~ + P~ = ε0 · E
~ + ε0 · χ · E
~ = ε0 · E
~ + ε0 · (k − 1) · E
~ = ε0 · k · E
~ = εr · E
~ ⇒E
~ = D
D
εr
~
~
D
k−1
ε0 · (k − 1) · D
~
~
~
~
P = ε0 · (k − 1) · E = ε0 · (k − 1) · E = ε0 · (k − 1) ·
=
=
·D
εr
ε0 · k
k
Se il materiale è omogeneo non si hanno cariche libere, quindi
~ · P~ = k − 1 · ∇
~ ·D
~ =0
∇
k
mentre se il materiale non è omogeneo
~ · P~ = k − 1 · ∇
~ ·D
~ +D
~ ·∇
~
∇
k
k−1
k
6= 0
~ ∇
~
Il primo termine è nullo, in quanto non vi sono cariche libere; mentre il secondo termine vale D·
−ρpolarizzazione .
Nel caso di materiali non isotropi
P1
= ε0 · (χ11 · E1 + χ12 · E2 + χ13 · E3 )
P2
= ε0 · (χ21 · E1 + χ22 · E2 + χ23 · E3 )
P3
= ε0 · (χ31 · E1 + χ32 · E2 + χ33 · E3 )
χij = −χji
Quindi χ è una mtrice quadrata di lato 3, tale matrice è caratterizzata da 6 elementi distinti.
26
k−1
k
=
Esercizio 3 In un condensatore puiano l’area totale delle armature è S = 200cm2 e la distanza tra di
esse è d = 0.2cm.
Se la distanza tra le armature viene dimezzata, calcolare di quanto varia l’energia del condensatore nei
seguenti casi:
1. il condensatore rimane sempre collegato a una batteria di forza elettromotrice V = 300V
2. il condensatore, originariamente collegato alla batteria, viene disconnesso prima di avvicinare le
armature.
C i = ε0 ·
Cf = ε0 ·
S
d
2
S
d
= 2 · ε0 ·
S
= 2 · Ci
d
Soluzione caso:
1.
Wi =
Wf =
1
· Ci · V 2
2
1
1
· Cf · V 2 = · 2 · Ci · V 2 = Ci · V 2
2
2
∆W = Wf − Wi = Ci · V 2 −
∆W =
1
1
· Ci · V 2 = · Ci · V 2
2
2
1 ε0 · S · V 2
8.85 · 10−12 · (300)2 · 2 · 10−2
9.95 · 9
·
=
=
· 10−7 J ' 39.83 · 10−7 J
2
2·d
2 · 2 · 10−3
2
2. il sistema viene isolato, quindi si ha la conservazione della carica
Wi =
Q2
2·C
Q02
Q2
=
2·C
4·C
Q2
1
Q2
∆W = Wf − Wi =
·
−1 =−
2·C
2
4·C
Wf =
Q=C ·V
∆W = Wf − Wi = −
C ·V2
ε0 · S · V 2
C2 · V 2
=−
=−
' −2 · 10−6 J
4·C
4
4·d
Si osserva che nel primo caso si ha un lavoro positivo, effettuato dalla batteria, mentre nel secondo caso
si ha un lavoro negativo in quanto per avvicinare le armature bisogna compiere un lavoro.
Esercizio 4 Le armature di un condensatore piano sono costutuite da piastre quadrate di lato l e distanti
d.
Il condensatore viene caricato alla tensione V , successivamente le armature vengono isolate in modo che
la carica su ogni piastra rimanga costante.
Si introduce, poi, fra le armature e parallelemente ad esse una lamina metallica piana molto estesa e
spessa h.
Calcolare:
1. il lavoro che si deve effettuare per introdurre tale lamina
2. la nuova tensione V 0 tra le armature
IMMAGINE
Se interpone una lamina metallica, all’interno della lamina si ha campo nullo, quindi è come se avessi
due condensatori collegati in serie.
27
Wi =
1
1
l2
· C i · V 2 = · ε0 · · V 2
2
2
d
Dopo aver posto la lamina
C 1 = ε0 ·
l2
d−h−x
C2 = ε0 ·
l2
x
x
d−h
ε0 · l 2
1
1
1
d−h−x
+
=
⇒ Cf =
=
+
=
2
2
2
Cf
C1
C2
ε0 · l
ε0 · l
ε0 · l
d−h
1
· Cf · V 2
2
d
Q2
Q2
Q2
Q2
1
1
Q2
d−h
−
=−
·h
∆W = Wf − Wi =
−
=
·
−
=
·
2
2
2 · Cf
2 · Ci
2
Cf
Ci
2
ε0 · l
ε0 · l
2 · ε0 · l2
Wf =
Poichè Q = Ci · V =
ε0 · l 2
· V , allora
d
∆W = −
ε0 · l 2 · V 2
ε0 2 · l 4 · V 2
·h=−
·h
2
2
2 · d · ε0 · l
2 · d2
Si ha che ∆W < 0 in quanto tutti i valori sono positivi ed è presente il segno meno.
ε0 · l2
d
d
ε0 · l 2
=
·
= Ci ·
d−h
d
d−h
d−h
Q
Q d−h
h
Q
V0 =
=
=
V
·
1
−
=
·
d
Cf
Ci
d
d
Ci · d−h
Cf =
Si osserva subito che V 0 < V .
Esercizio 5 Calcolare il valore della capacità se la variazione dell’energia elettrostatica di un condensatore piano, con le armature di area S poste alla distanza d e caricato con una carica Q, quando si
inserisce tra le armature un foglio di materiale dielettrico di spessore sp < d, avente le stesse dimensioni
delle armature e con costante dielettrica εr . IMMAGINE
Se interpone una lamina di dielettrico, all’interno della lamina si ha campo non nullo, quindi è come se
avessi tre condensatori collegati in serie, in quanto è come se all’interno del dielettrico ci fosse un altro
condensatore.
1
1
1
1
1
1
1
1
d − sp − x sp
x
=
+
+
= ε0 ·S + εr ·S + ε0 ·S = ·
+
+
Cf
C1
C2
C3
S
ε
ε
ε
0
r
0
d−s −x
s
x
p
p
er = k · ε0
h
i
1
sp
1
1
1
· d − sp − x +
+x =
· d − sp · 1 −
=
Cf
ε0 · S
k
ε0 · S
k
Ci =
ε0 · S
d
Wi =
1 Q2
·
2 Ci
1 Q2
·
2 Cf
1 Q2
1 Q2
Q2
1
1
= Wf − Wi = ·
− ·
=
·
−
=
2 Cf
2 Ci
2
Cf
Ci
Wf =
∆W
"
#
d − sp · 1 − k1
Q2
d
Q2
1
=
·
−
=
· d − sp · 1 −
−d =
2
ε0 · S
ε0 · S
2 · ε0 · S
k
=
Q2
k−1
sp · (1 − k) · Q2
· −sp ·
=
<0
2 · ε0 · S
k
2 · ε0 · S · k
28
poichè k > 1
Esercizio 6 Tra le armature di un condensatore piano di larghezza m e lunghezza l, distanti d viene
introdotto per t < d un materiale dielettrico di permiabilità εr .
Calcolare la forza con cui il materiale viene risucchiato all’interno del condensatore all’atto in cui si
stabilisce tra le armature una differenza di potenziale V . IMMAGINE
In tale configurazione, si ha una parte (t) delle armature nel quale è presente il dielettrico, mentre
dall’altra parte (l − t) non vi è il dielettrico, poiche in entrame le parti si ha la stessa V allora è come
se vi fossero due condensatori in parallelo.
εr = k · ε0
ε0 · m · l
d
εr · m · t ε0 · m · (l − t)
Cf (t) = C1 + C1 =
+
=
d
d
Ci =
=
k · ε0 · m · t ε0 · m · (l − t)
ε0 · m
+
=
· [(k − 1) · t + l]
d
d
d
1
ε0 · m · V 2
· Cf (t) · V 2 =
· [(k − 1) · t + 1]
2
2·d
L’energia prodotta dal generatore è W (t) più l’energia necessaria per tirare “dentro” il dielettrico.
Wf (t) =
dWg = V · dq = V · V · dC = V 2 · dC
Wg è l’energia prodotta complessivamente dal generatore.
dWe =
V2
· dC
2
We è l’energia elettrostatica immagazinata.
dWg = dW + dWe ⇒ dW = dWg − dWe =
dq = F · dt ⇒ F =
5.3
V2
V 2 dC
· dC =
·
· dt
2
2
dt
V 2 dCf
V 2 m · (k − 1)
dW
=
·
=
·
· ε0
dt
2
dt
2
d
Condittori metallici
Se ho un metallo in un campo non conservativo si ha la formazione di ua corrente (l’alettrone lasciato
libero dall’atomo si muove con una velocità di un ordine di grandezza inferiore alla velocità della luce, si
muove con v ' 106 m
s ). Questo non è contraddittorio con cià che è stato detto precedentemente in quanto
avere velocità media nulla non imploca chte tutte le velocità siano nulle.
~vitot = ~vi + ~vderiva
~vderiva velocità casuata dal campo esterno
N
N
1 X
1 X
~vitot =
~vi + ~vderiva ⇒ ~vtot = 0 + ~vderiva
·
·
N i=1
N i=1
vderiva ∼ 10−4
m
s
v ∼ 106
m
s
Può sembrare strano ma per le considerazioni che faremo la grandezza fondamentale è vderiva 1 .
5.3.1
Corrente elettrica
Definizione 11 (Corrente elettrica) Si definisce corrente elettrica la variazione temporale della carica.
dq
i=
qt
[i] =
[C]
= [A]
[s]
[A] è una unità di misura fondamentale.
1 Nel
proseguo della trattazione vd = vderiva
29
Quanto vale la variazione della carica in un filo (cilindro) di oro? IMMAGINE Si prende un tratto
infinitesimo e si considera la sezione dΣ.
Si considera n densità di elettroni, portatori, per unità di volume, mentre si considera e la carica di un
portatore (presa in valore assoluto).
∆q = n · e · ∆τ
poichè ∆τ = vd · ∆T · dΣ · cos(ϑ)
∆q = n · e · vd · ∆T · dΣ · cos(ϑ)
∆q
= n · e · vd · dΣ · cos(ϑ)
∆T
Z
Z
i=
n · e · vd · dΣ · cos(ϑ) =
J~ · ~n · dΣ
Σ
Σ
Definizione 12 (Densità di corrente elettrica) Si definisce densità di corrente elettrica la seguente
quantità
J~ = n · e · ~vd
Si misura in
[A]
[m]2 .
Se ho un metallo come portatori non si hanno solo gli elettroni ma possono essere presenti anche dei
portatori positivi (generati da lacune), si ha che
J~ = n+ · e · ~vd+ − n− · e · ~vd− = e · n+ · ~vd+ − n− · ~vd−
Poichè le cariche si muovono con verso opposto allora vbd+ = vbd− .
J~ = e · vbd− · n+ · vd+ − n− · vd−
Pertanto misurando la densità di corrente, non si può sapere se tale valore è dovuto a portatori positivi
o portatoni negativi.
5.3.2
Legge di conservazione della carica
In sistemi isolati si ha la conservazione di molte caratteristiche del sistema.
Supponiamo di avere un corpo di volume τ e di superficie Σ da cui esce una carica (se la carica esce si
usa il segno negativo). IMMAGINE
dQ
i=−
dT
Z
−dQ = i · dT =
J~ · ~n · dΣ · dT
Σ
Z
dQ
−
=
J~ · ~n · dΣ
dT
Σ
R
Z
Z
∂ dτ · ρ
∂ρ
−
= − dτ ·
=
J~ · ~n · dΣ
∂T
∂T
Σ
Z
Z
Z
∂ρ
~
~ · J~ · dτ
− dτ ·
=
J · ~n · dΣ = ∇
∂T
Σ
τ
L’ultima sostituzione la si può fare mediante il teorema di Gauss di analisi.
Z
Z
Z ∂ρ
~ · J~ · dτ +
~ · J~ + ∂ρ · dτ = 0
· dτ = 0 ⇒
∇
∇
∂T
τ
τ
τ ∂T
L’integrale è nullo se la funzione integranda è nulla
~ · J~ + ∂ρ = 0
∇
∂T
~ · J~ = 0, quindi J~ è un vettore solenoidale e quindi J~ può essere scritto
Nel caso di un campo statico ∇
come rotore di un altro vettore. Il flusso di J~ è nullo poichè
Z
~
~
∇ · J = 0 ⇒ J~ · ~n · dΣ = 0
30
Definizione 13 (Vettore solenoidale) É un vettore con divergenza nulla e tale vettore può essere
scritto come rotore di un altro vettore.
~ · J~ = 0 ⇒ J~ = ∇
~ ×V
~
∇
Definizione 14 (Vettore irrotazionale) É un vettore con rotore nullo e tale vettore può essere scritto
come l’opposto di una derivata.
~ ×E
~ = −∇V
~
∇
5.3.3
Legge di Ohm
∆V = i · R
Dimostrazione 7 (Legge di Ohm) Supponiamo di avere un filo di rame con J~ costante, poichè nella
trattazione si lavorerà in una sistuazione unidimenzionale, semplice, si evita l’uso dei vettori.
ρ(t) · J = Σ
h · ρ(t) · J · E = E · h · Σ
poichè ∆V = E · h allora
h · ρ(t) · i = ∆V · Σ
h
=i·R
∆V = i · ρ(t) ·
Σ
[V ]
[∆V ]
=
= [Ω]
[i]
[A]
i calcoli precedenti sono stati effettuati su un filo omogeneo di sezione costante, in generale
Z
dh
·ρ
R=
Σ
[R] =
Si osserva sperimentalmente che la resistività, ρ, è in funzione della temperatura. IMMAGINE
Definizione 15 (Superconduttore) Si definisce superconduttore quel conduttore che in determinati
intervalli di temperatura hanno resistività nulla, un esempio di superconduttore è il piombo al di sotto
della temperatura critica di 2.22K.
Vi sono superconduttori con una temperatura critica molto elevata, intorno agli 138K ma non sono usati
perche contengono elementi tossici, essi sono composti da:
• HgSrBaCaO
• TlSrCaBaCuO
I conduttori (fatta eccezione dei superconduttori) hanno sempre una resistività residua ρ0 .
5.3.4
Effetto Joule
Definizione 16 (Effetto Joule) L’effetto Joule in un resistore è
Z t
W =
i2 · R · dt
0
Dimostrazione 8 (Effetto Joule) Si suppone di avere una carica dq e la si fa muovere con una
differenza di potenziale V , quindi
dW = V · dq = V · i · dt
dW
= V · i = i2 · R
P =
dt
Z t
W =
i2 · R · dt
0
in genere R la si può portare fuori perchè la si condidera costante.
In un resistore si ha che la potenza P sarà
P = i2 · R
Pertanto si ha che all’aumentare della resistenza si ha una potenza maggiore, ma potenza maggiore
significa dissipare più calore, ma poichè all’aumentare della temperatura aumenta il valore di resistività
(e quindi anche la resistenza) il conduttore sarà costretto a fondere.
In tutti gli esercizi si supporrà che ρ sia in regione lineare (con T ' TAM B ).
31
5.3.5
Resistenze in serie
Si definiscono in serie i resistori attraversati dalla stessa corrente, quindi per la conservazione della carica
∆V = i · R1 + i · R2
∆V = i · R = i · (R1 + R2 ) ⇒ R = R1 + R2
5.3.6
Resistenze in parallelo
Si definiscono in parallelo i resistori a cui è applicata la stessa differenza di potenziale
i1 · R1 + i2 · R2 = ∆V
ii =
∆V
Ri
∆V
∆V
∆V
+
= i1 + i2 = i =
R1
R2
R
−1
1
1
1
1
1
+
=
⇒R=
+
R1
R2
R
R1
R2
In un circuito
I
~e · dl = ε
dove ε è la batteria e poichè la circuitazione non è nulla allora significa che il campo non è conservativo.
All’interno dei calcoli delle potenze per avere il valore corretto occorrre tener presente che i generatori
hanno una resistenza interna e i fili sono sempre delle resistenze, di solito li si considera nulli perchè è di
ordine di grandezza inferiore alla resistenza del circuito, ma ciò non è sempre vero.
Calcolo del moto di un dipolo all’interno di un campo elettrico costente Se ho un dipolo in
~ costante, se sposto il dipolo dalla sua posizione di equilibrio (lo sposto di un angolo
un campo elettrico E
infinitesimo), il dipolo subirà di un momento.
~ =I ·α
~
M
~ = −P~ × E
∂2ϑ
= −P · E · sin(ϑ)
∂t2
∂2ϑ P · E
+
· sin(ϑ) = 0
∂t2
I
I·
ma se ϑ → 0 allora
∂2ϑ P · E
+
·ϑ=0
∂t2
I
q
si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω = PI·E
r
ϑ(t) = A · sin
!
P ·E
·t+ϕ
I
A e ϕ dipendono dalle condizioni iniziali, il periodo di oscillazione è
r
2·π
I
T =
=2·π·
ω
P ·E
5.3.7
Carica di un condensatore
Sia un circuito RC, composto da resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore scarico.
IMMAGINE Al tempo t = 0 si chiude il circuito, il condensatore si carica e passerà corrente fino a che la
tensione ai capi di C è esattamente ε
ε = VC + VR =
dq
q
ε
q
+i·R⇒
+
=
C
dt
R·C
R
pertanto è necessaria la condizione a contorno q(0) = 0
dq
ε·C −q
q−ε·C
=
=−
dt
R·C
R·C
32
si osserva che è una equazione differenziale a variabile separabili si ha
dt
dq
=−
q−ε·C
R·C
integrando tra t = 0 e t = t∗ allora
q(t∗ )
Z
dq
=−
q−ε·C
0
Z
t∗
0
dt
R·C
t∗
q(t ) − ε · C
=−
−ε · C
R·C
∗
ln
t∗
q(t∗ ) − ε · C = −ε · C · e− R·C
t∗
q(t∗ ) = ε · C · 1 − e− R·C
IMMAGINE
t
dq
d ε − t
=
· ε · C − ε · C · e− R·C =
· e R·C
dt
dt
R
IMMAGINE [R · C] = [sec] è necessario in quanto l’argomento dell’esponenziale deve essere un numero
puro, altrimenti se l’argomento fosse una quantità dimensionata allora sviluppando la funzione in serie si
sommerebbero quantità diverse, la cui somma non è lecita.
i=
5.3.8
Scarica di un condensatore
Sia un circuito RC, composto da resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore carico
(q(0) = q0 ). IMMAGINE Al tempo t > 0 si ha che
Vc + VR = 0
non c’è più il generatore
dq
q
+
·R=0
C
dt
q
dq
=−
dt
R·C
É un integrale a variabili separabili pertanto integrando tra t = 0 e t = t∗ si ha
Z q(t∗ )
Z t∗
dq
dt
=−
q
R
·C
q0
0
ln
q(t∗ )
t∗
=−
q0
R·C
t∗
q(t∗ ) = q0 · e− R·C
IMMAGINE
i(t) =
t
dq
q0
=−
· e− R·C
dt
R·C
IMMAGINE
5.3.9
Leggi di Kirchhoff
Si distinguono due leggi distinte
• la somma di tutte le correnti entranti al nodo2 è nulla (conservazione della carica)
N
X
ik = 0
k=1
si considerano positive le correnti entranti al nodo.
• la somma di tutte le tensioni su una maglia è nulla, bisogna considerare anche le cadute di tensione
sui resistori
N
N0
X
X
Rk · ik =
εk
n=1
k=1
si considerano positive le tensioni con verso uguale alla percorrenza scelta.
2 il
ramo è il congiungimento di almeno tre ramo
33
34
Capitolo 6
Campo magnetico
Il campo magnetico è un campo vettoriale che in qualche modo altera lo spazio-tempo.
Il campo elettrico e il campo magnetico sono distinguibili dal fatto che ci muoviamo a bassissima velocità
(rispetto alla velocità della luce), ad alta velocità (comparabile alla velocità della luce) non si ha più la
distinzione tra i due campo, pertanto in tali situazioni si tratta solo di un campo elettro-magnetico.
Per lo studio del campo magnetico la forma che più semplifica il problema è una bacchetta molto lunga
(nel caso del campo elettrico l’oggetto più semplificativo è la sfera).
In seguito a molte osservazioni, Coulomb, si è osservato che si comportavano in molto simile ai dipoli.
Coulomb ricavò una formula che si è dimostrata dare una visione distorta della realtà. I passi avanti più
importanti sono stati effettuati dopo la scoperta della pila di Volta, si osservò che una bussola passando
vicino a un filo, nel quale si ha il passaggio di corrente elettrica, aveva l’ago “impazzito”.
Il campo magnetico si ottiene per mezzo di cariche in modo, nel caso di conduttori anche se non collegati
a batterie possono realizzare un campo magnetico grazie alla presenza di correnti a livello atomico.
Coulomb osservo che la forza attrattiva/repulsiva di due macchette magnetiche è sempre uguale, cioè due
bacchette si attraggono e si respingono con la stessa forza, poichè la forza è uguale allora significa che la
carica della bacchetta è complessivamente nulla, pertanto ha flusso nullo.
Z
~ · ~n · dΣ = 0 ⇒ ∇
~ ·B
~ =0
B
Σ
~ ·B
~ = 0 allora B = ∇
~ × A.
~
Poichè ∇
~0 = A
~ + ∇F
~
A
con F una funzione scalare qualsiasi
~0 = ∇
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~+∇
~ × ∇F
~
~
B
=B
In fisica vi sono delle grandezze non misurabili ma sono solo grandezze matametiche.
6.1
Forza di Lorentz
Questa forza aggiunta alle quattro equazioni di Maxwell sono sufficienti per spiegare compiutamente i
campi elettrici e l’ottica.
Definizione 17 (Forza di Lorentz) Si definisce forza di Lorenz la forza
~ + ~v × B
~
F~L = q · E
La forza può essere scomposta in due forze, forza elettrica e forza magnetica
F~L = F~E + F~M
~
F~E = q · E
~
F~M = q · ~v × B
~ Il lavoro compito dalla
Si può osservare, analizzando l’espressione di F~M , che FM = 0 se v = 0 o se ~v kB.
forza di Lorentz è
~ · d~s = q · d~s × B
~ · d~s
dWM = FM · ds = q · ~v × B
dt
35
~ ⊥ d~s allora d~s × B
~ · d~s = 0 quindi
poichè d~s × B
dWM = 0
Il lavoro, della forza magnetica, è sempre nullo poichè perpendicolare allo spostamento.
Supponiamo che una particella si muove in una regione di spazio con ~v perpendicolare al campo magnetico
~
F~ = q · ~v × B
F = |F~ | = q · v · B
Calcolo del moto di una carica con velocità perpendicolare a un campo magnetico
~ costante
Supponendo B
v2
r
si suppone lo spostamento di tipo circolare, perchè sempre perpendicolare al campo
F =m·a=m·
F =m·
v2
m·v
=q·v·B ⇒r =
r
q·B
~ =m·ω
q · ~v × B
~ × ~v
~
q·B
~ = −~v × (m · ω
~ = −m · ω
~v × (q · B)
~) ⇒ q · B
~ ⇒ω
~ =−
m
|~
ω| =
T =
q·B
m
2·π
2·π·m
=
ω
q·B
La particella si muoverà nel campo magnetico con moto circolare uniforme di periodo T e raggio di
curvatura r.
Calcolo del moto di una carica con velocità qualsiasi a un campo magnetico
~ = q · ~v⊥ × B
~ + ~vk × B
~
F~L = q · ~v⊥ + ~vk × B
~ = 0, poichè parallela a B.
~
~vk × B
~
F~L = q · ~v⊥ × B
v⊥ = v · sin(ϑ)
FL = q · v · sin(ϑ) · B
m · v · sin(ϑ)
q·B
r=
T =
2·π
2·π·m
=
ω
q·B
La carica avrà un moto a elica e il passo dell’elica è
vk · T =
v · cos(ϑ) · 2 · π · m
q·B
Questo ci fa capire che il campo magnetico terrestre in qualche modo ci “protegge”. Le particelle che
arrivano verso la Terra si scontrano con il campo magnetico e le particelle iniziano a ruotare in una zona
di spazio estremamente limitata.
6.2
Seconda legge di Laplace
Laplace ha formulato due leggi che mettono in relazione il campo magnetico con la corrente che circola
in un circuito.
Partendo dalla forza magnetica di Lorentz, per ogni elettrone si ha
~
F~ = −e · ~vD × B
36
In un filo scorreranno elettroni (scorre una corrente elettrica), pertanto si cerca la forza che subiscono gli
elettroni, se si prende un pezzo infinitesimo di filo (ds) si ha IMMAGINE
~
dF = dN · −e · ~vD × B
N è il numero di portatori per unità di volume, quindi dN = n · dτ = n · ds · Σ
~ · Σ · ds = ds · J~ · Σ × B
~ = J · Σ · d~s × B
~
dF = −n · e · ~vD × B
~
d~skB
~
dF = i · d~s × B
In generale la seconda legge di Laplace in forma finita è
I
~
F~ = i · d~s × B
Dall’analisi dimensionale si ha che
[F ] = [i] · [ds] · [sin(ϑ)] · [B] ⇒ [B] =
6.3
[N ]
[F ]
=
= [T ]
[i] · [ds] · [sin(ϑ)]
[A] · [m]
[T ] = tesla
Momento di un dipolo magnetico
Prendiamo una spira rettangolare e la mettiamo in un campo magnetico costante, la spira è percorsa da
corrente, quindi sarà sottoposta a delle forze.
Se il campo magnetico è costante la forza totale è nulla quindi la spira1 non trasla ma può ruotare. F1
e F3 l’ungo l’asse non hanno braccio, mentre F2 e F4 sono uguali ma di verso opposto (F2 è uscente,
mentre F4 è entrante al piano).
Z
~ = i · a · B · sin(ϑ)
F = i · d~s × B
a
~ = i · Σ · ~n × B
~
M = F · b = i · a · b · B · sin(ϑ) = i · Σ · B · sin(ϑ) ⇒ M
Definizione 18 (Momento magnetico) Si definisce momento magnetico la quantità
m
~ = i · Σ · ~n
~ =m
~
M
~ ×B
Tutte le formule per il dipolo magnetico e campo magnetico sono uguali a quelle ricavate per il bipolo e
campo elettrico sostituendo P ed E con n ed B.
Se B è costante, si può ricavare il parallelismo con un campo elettrostatico, ma la stessa legge vale per B
non uniforme infatti dividendo le spire in pezzi infinitesimi, sopravvivono solo le correnti sui bordi esterni
di ogni infinitesimo di spira e le altre si annullano, quindi la formula resta la stessa.
Spostendo un ago in un campo magnetico
M = −I ·
d2 ϑ
dt2
~ =m
~ ⇒ |M
~ | = m · B · sin(ϑ)
M
~ ×B
−I ·
d2 ϑ
d2 ϑ m · B
= m · B · sin(ϑ) ⇒ 2 +
· sin(ϑ) = 0
2
dt
dt
I
con ϑ sufficientemente piccolo (ϑ < ϑmax = 7◦ )
d2 ϑ m · B
+
·ϑ=0
dt2
I
1 la
spira è un elemento di forma indeformabile e fissata su un asse
37
m·B
, l’ago quindi oscilla intorno alla posizione
Si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω 2 =
I
dϑ
di equilibrio, aggiungendo all’equazione m ·
si tiene conto anche degli attrici (che ne influenzano la
dt
velocità).
Avendo un circuito immerso in un campo magnetico, spostandolo si ha una variazione del flusso che è
causato da una variazione dell’energia interna (si è compiuto lavoro sulle spire). La formula è valida
solo se la corrente è costante. Ogni volta che si varia la posizione di un circuito, il flusso genera delle
correnti indotte quindi non è più costante, questa corrente quindi bisogna modificarla esternamente per
riequilibrare il sistema.
Poichè
~ ⇒ UP = −m
~
UP = −P~ · E
~ ·B
In termini infinitesimi si ha
~ = −i · dΣ · ~n · B
~ = −i · dΦ = −dW ⇒ dW = i · dΦ
dUP = −dm
~ ·B
Spostando il circuito si ha
W = i · ∆Φ = i · (Φf in − Φin )
Supponendo di essere in 1 − D allora
dW = F · dx = i · dΦ = i ·
dΦ
· dx
dx
⇒
F =i·
dΦ
dx
⇒
M =i·
dΦ
dϑ
Riportandoci in 3 − D allora
~
F~ = i · ∇Φ
Se la spira al posto di traslare ruota si ha
dW = M · dϑ = i · dΦ = i ·
6.4
dΦ
·ϑ
dϑ
Effetto Hall
Tale effetto è molto utile per calcolare la densità dei portatori o l’intensite del campo magnetico (note
alcune condizioni iniziali). É un effetto della forza di Lorentz (l’effetto è visibile in materiali semplici).
Per semplicità di calcolo si considera il filo come un nastro, non più un cilindo. Posto il nastro in un
campo magnetico tra le due facce del nastro si instaura una differenza di potenziale. IMMAGINE
~ y
Bkb
~vD kb
x
~ ⇒ FL = ~vD × B
~ = EH
F~L = e · ~vD × B
e
~ H kb
In base alle ipotesi fissate allora si ha che E
z.
Al campo sarà associata una forza elettromotrice
Z
εH = EH · dz = vd · B · b
Si raggiunge l’equilibrio quando
~H + E
~a = 0
E
ε H = vD · B · b =
j
i
1
i·B
·B·b=
·
·B·b=
n·e
a·b n·e
n·e·a
Con misure dirette di εH note i, B, e ed a allora si ricava la densità dei potratori nel metallo (n).
εH = α · B
α è una caratteristica dello strumento elettrico
εH
Se si pone il nastro in un campo magnetico con intensità nota, B, si può ricavare α =
(εH è misurata);
B
εH mentre si può calcolare l’intensità di un campo magnetico se è noto α B =
.
α
38
6.4.1
Spettrometro di massa
Il funzionamento di uno spettrometo di massa è basato sulla forza di Lorentz.
Mediante uno spettrometro di massa si riesce a stabilire il rapporto tra la massa e la carica di un elemento
(in tali condizioni si può anche stabilire l’isotropo dell’elemento).
Differenti isotopi dello stesso elemento hanno il medesimo comportamento ma ai fini della fisica nucleare
hanno un comportamento completamente diverso.
Lo spettrometro di massa è uso strumento molto semplice: IMMAGINE una carica che entra nel campo
magnetico sottostante, per le condizioni indicate, inizia a ruotare e colpisce la lastra fotografica, calcolando
il punto in cui si ha la collisione con la lastra fotografica si può stabilire il raggio di curvatura, poichè
l’energia cinetica è
1
· m · v2 = q · V
2
B·r
la carica nel campo magnetico ha v = q ·
, sostituendo si ha
m
1
B 2 · r2
=q·V
· m · q2 ·
2
m2
1
B 2 · r2
m
B 2 · r2
·q·
=V ⇒
=
2
m
q
2·V
Se ho due isotropi diversi ho due raggi diversi

B2
m1



=
· r1 2

 q
2·V
⇒


B2
m2


=
· r2 2

q
2·V
6.4.2
m1
=
m2
r1
r2
2
Selettore di velocità
Il selettore di velocità è una modificazione introdotta in quanto utilizzando lo spettrometro di massa si ha
un legame di tipo quadratico (dipendono da r2 ) e un piccolo errore in r genera una grande imprecisione
nel rapporto m
q . Il selettore di velocità ha la seguente schematizzazione: IMMAGINE Le uniche particelle
che riescono a passare attraverso a sono quelle che subiscono una forza di Lorentz nulla, cioè E + v · B = 0
v=−
poichè r =
m·v
q · B0
r=−
Si osserva ora che il rapporto
6.4.3
m
q
E
B
m
E
m
B · B0
·
⇒
= −r ·
q B · B0
q
E
ha un legame lineare con r.
Ciclotrone
É un accelleratore di particelle ed è necessario nello studio del nucleo (poichè le forze nucleare sono
estremamente forti occorre far scontrare le particeelle a velocità prossime a quelle della luce, in tal modo
si genera un’energia così ampia da rompere i legami nucleari).
Per accellerare un fascio di particelle occorre imporle in una differenza di potenziale, ma per avere grandi
accellerazioni occorre avere grandi differenze di potenziale (non si può avere valori alti a piacere in quanto
vi è il vincolo imposto dalla rigidità dielettrica). Per ovviare a tale problema si realizza uno strumento in
grado di modificare la polarità di un “condensatore” in modo da far andare avanti e indietro le cariche,
accellerandole di volta in volta.
Il ciclotrone è realizzato da due semidischi di raggio R affacciati dal loro diametro.
Si impone tra i dischi una differenza di potenziale V (t) e facendo passare attraverso l’interfase tra i due
dischi si ha una accellerazione, si ha una modifica dell’energia cinetica
1
· m · v1 2 = q · V 0
2
Se sui semidischi è posto un campo magnetico perpendicolare ai dischi, pertanto per effetto della forza di
Lorentz si ha la modifica del verso della velocità (non si modifica il modulo), a questo punto la particella
39
si ritrova all’interfase e attraversandola subisce nuovamente un’accellerazione (occorre che la polarità sia
stata invertita)
1
1
· m · v2 2 = · m · v1 2 + q · V0
2
2
Il tempo di percorrenza della carica sul disco è:
t1 =
π · m · v1
π·m
1 2 · π · r1
·
=
=
2
v1
q · B · v1
q·B
Si osserva che il tempo in cui la carica ruota è indipendente dalla velocità, pertanto si pone V (t) come una
funzione che cambia periodicamente la periodicità, si pone una tensione alternata V (T ) = VM AX ·sin(ω ·t)
Si osserva che a ogni attraverso il raggio di curvatura nel campo magnetico aumenta fino a quando non
esce dal ciclotrone, si può dimostrare che
vM AX =
q·B
·R
m
occorre quindi scegliere ω appropriato per poter rendere possibile il corretto funzionamento:
T =
π
q·B
2·π
=2·t⇒ω = =
ω
t
m
Per ottenere valori di velocità confrontabili con la velocità della luce la trattazione non è sufficiente in
quanto occorre anche considerare gli effetti relativistici.
6.5
Prima legge di Laplace
Un circuito attarversato da corrente genera un campo magnetico, per la prima legge di Laplace si hanno
due formulazioni che tengono conto della trascurabilità di alcuni elementi, si ha la formulazione unidimensionale se si calcola il campo magnetico generato in un punto molto lontano dal filo conduttore.
In generale, in forma infinitesima è
~ = km · i · d~s × ~r
dB
r3
non si può avere una forma finita in quanto è dipendente dalla forma del circuito.
6.5.1
Formulazione 1 − D
i · ds · sin(ϑ)
i · ds · sin(ϑ) · r
= km ·
r3
r2
dB · r2
[T ] · [m]
[N ]
dB · r2
[T ] · [m]2
[km ] =
=
=
=
=
i · ds · sin(ϑ)
i · ds
[A] · [m]
[A]
[A]2
µ0
km =
4·π
dB = km ·
Definizione 19 (Permiabilità magnetica) Si definisce permiabilità magnetica la quantità µ0
I
d~s × ~r
~ = µ0 · i ·
B
4·π
r3
I
Z d~s × ~r
µ0
u
br ~
br
~ ·B
~ =∇
~ · µ0 · i ·
~ ×u
∇
=
·
i
·
·
∇
×
d~
s
−
∇
·
d~
s
4·π
r3
4·π
r2
r2
u
br
1
~
~
~
~
Ma ∇ × d~s = 0, in quanto tutti gli incrementi sono indipendenti, mentre ∇ × 2 = ∇ × ∇ · −
=0
r
r
~ ·B
~ =0
∇
6.5.2
Formulazione 3 − D
Si usa tale formulazione nel caso in cui le componenti del circuito non sono trascurabili
Z
Z
Z
~j × u
br
µ0
br
~ = µ0 · ~j · ~n · dΣ · d~s × u
B
=
·
dτ ·
2
4·π Σ
r
4·π τ
r2
Le quantità dΣ è la sezione del filo, ds è la lunghezza del filo mentre dτ è il volume del filo, inoltre l’ultima
uguaglianza è valida in quanto d~sk~j.
40
~ se il circuito non è posto nell’origine
Calcolo di B
IMMAGINE
µ0
~
B(x,
y, z) =
·
4·π
Z
Z
0
dx ·
Z
0
dy ·
~j r~0 × ~r − r~0
Z
~ r) = µ0
B(~
4·π
dτ ·
3
~r − r~0
h
i
~j(x0 , y 0 , z 0 ) × (x − x0 ) · ~i + (y − y 0 ) · ~j + (z − z 0 ) · ~k
τ
dz 0 ·
3
[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ] 2
Un campo magnetico lo si può avere anche con il movimento di una sola carica (non è necessaria una
corrente elettrica).
~ =
dB
µ0 n · e~vD × ~r
µ0 e · ~vD × u
µ0 ~j × ~r
br
· dτ =
· n · dτ
· 3 · dτ =
·
·
4·π
r
4·π
r3
4·π
r2
ma n è il numero di particelle e dτ è il volume infinitesimo, quindi n · dτ è il numero di cariche per unità
di volume n · dτ = dN
br
~ = µ0 · e · ~vD × u
· dN
dB
4·π
r2
~ =B
~ |e · dN
dB
br
~ |e = µ0 · e · ~vD × u
B
4·π
r2
~ si può avere anche con una sola carica (dN = 1), l’importante è che vi sia movimento.
Si osserva che B
br · e
u
br · e
~ |e = µ0 · ~vD × u
~ |e
B
= µ0 · ε0 · ~vD ×
= ε0 · µ0 · ~vD × E
2
4·π
r
4 · π · ε0 · r 2
posto per definizione
1
= ε0 · µ0 si ha
c2
~ |e = ~vD × E
~ |e
B
c2
Calcolo del campo generato da un filo lungo il suo asse Si considera un filo di lunghezza 2 · a
IMMAGINE
Z
ds · sin(ϑ)
~ = µ0 · i · ds · sin(ϑ) ⇒ B = µ0 ·
dB = dB
2
4·π
r
4·π
r2
Per poter risolvere l’integrale è necessario definire ds e r in funzione di ϑ. IMMAGINE
2
sin(ϑ)
1
sin(ϑ)
1
r · sin(π − ϑ) = r · sin(ϑ) = R ⇒ =
⇒ 2 =
r
R
r
R
s · tan(π − ϑ) = R
tan(π − ϑ) = − tan(ϑ)
s=−
R
= −R · cot(ϑ)
tan(ϑ)
0
[cot(ϑ)] = −
ds =
1
sin (ϑ)
2
R · dϑ
sin2 (ϑ)
ds · sin(ϑ)
R · dϑ
sin2 (ϑ)
dϑ · sin(ϑ)
=
·
sin(ϑ)
·
=
2
2
r2
R
R
sin (ϑ)
Z
Z
Z
µ0
ds · sin(ϑ)
µ0
dϑ · sin(ϑ)
µ0
B=
·
=
·
=
sin(ϑ) · dϑ
4·π
r2
4·π
R
4·π·R
l’integrale ha come estremi di integrazione ϑ1 e ϑ2 , ma poichè ϑ1 e ϑ2 sono simmetrici allora si integra
tra ϑ1 e π2 e si raddoppia il valore letto
µ0
B=
·
2·π·R
Z
π
2
sin(ϑ) · dϑ =
ϑ1
π
µ0
µ0
· [− cos(ϑ)]ϑ21 =
· cos(ϑ1 )
2·π·R
2·π·R
41
ma
a
a
=√
2
r
a + R2
µ0
a
·√
B=
2·π·R
a2 + R2
µ0
a
~ =
B
·√
·u
bΦ
2
2·π·R
a + R2
r · cos(ϑ1 ) = a ⇒ cos(ϑ1 ) =
u
bΦ è un versore perpendicolare a d~s e a ~r
Teorema 1 (Legge di Biot-Savart) Quest’ultima formulazione nota come la legge di Il campo generato da un filo rettilineo di lunghezza infinita vale, in base alla relazione precedente (posto a →
+∞)
µ0
a
µ0
a
µ0
~ = lim
B
·√
·u
bΦ = lim
· √ ·u
bΦ =
·u
bΦ
a→+∞ 4 · π · R
a→+∞ 4 · π · R
4·π·R
a2 + R2
a2
Il teorema di Biot-Savart è utile quando è possibile approssimare il filo a lunghezza infinita, tale teorema
è una buona approssimazone del campo generato da un filo in un punto a distanta praticamente nulla
dal filo.
6.5.3
Definizione dell’unità di misura dell’Ampere
Si hanno due fili rettilinei posti a una distanza d (d = 1m).
Il filo uno genera B1 sul filo due, quindi agisce una forza
dF~12 = i2 · d~s2 ×
i1 · i2
µ0 · i1
·u
b1 =
· d~s2 × u
b1
2·π·d
2·π·d
i1 · i2
· d~s1 × u
b2
2·π·d
Si osserva che le due forze sono uguali e opposte (soddisfano il principio di azione e reazione), supponiamo
i1 , i2 e d costanti
i1 · i2 · µ0
F12
=
F12l =
l
2·π·d
i1 · i2 · µ0
F21
F21l =
=
l
2·π·d
Se i1 = i2 allora
i2 · µ0
Fl =
2·π·d
dF~21 =
Definizione 20 (Ampere) Se hanno due fili rettilinei infiniti, paralleli e distanti d = 1m, 1 ampere è
la corrente che scorre tra nei due fili per ottenere la forza per metro di F = 2 · 10−7 N
Esempio 4 (Calcolo della corrente in una spira attraverso misure di massa) d R
IMMAGINE Il sistema è in equilibrio quando
µ0 · i2
·2·π·R
2·π·d
s
m
·
g
·
d
m·g·d
i2 =
⇒i=
µ0 · R
µ0 · R
m·g =
Tale strumento non è molto adoperato in quanto non vi è un rapporto lineare tra la corrente e la massa.
Esempio 5 (Calcolo del campo magnetico di una spira circolare) Ci si pone nella situazione più
semplice, cioè sull’asse della spira circolare. IMMAGINE
~ =
dB
µ0 d~s × u
br
µ0 · i
~ = µ0 · i · ds
·
=
·u
b1 · ds ⇒ |dB|
2
2
4·π
r
4·π·r
4 · π · r2
Se si considerano insieme i punti k e k 0 (punti opposti rispetto al diametro) si ha che le componenti lungo
x si sommano, mentre le componenti lungo y si annullano.
Z
Z
µ0 · i
µ0 · i
Bx = dB · cos(ϑ) =
· cos(ϑ) · ds =
· cos(ϑ) · 2 · π · R
4 · π · r2
4 · π · r2
42
p
r = x2 + R 2
R
R
cos(ϑ) =
=√
2
r
x + R2
Bx =
µ0 · i · R2
µ0 · i
R
√
·
2
·
π
·
R
=
·
3
4 · π · (x2 + R2 )
x2 + R2
2 · (x2 + R2 ) 2
Nel caso in cui x R (x → +∞)
Bx =
µ0 · i · R2
µ0 · 2 · π · R2 · i
µ0 · 2 · m
=
=
3
2·x
4 · π · x3
4 · π · x3
Sostituzioni per relazione delle formule del campo elettrico con il campo magnetico
~
E
P~
µ0
→
→
→
~
B
m
~
1
ε0
~ = µ0 · m · (2 · cos(ϑ) · u
B
br + sin(ϑ) · u
bϑ )
4 · π · r3
µ
0
~1 =
U = −m
~2·B
· (m
~1·m
~ 2 − 3 · (m
~1·u
br ) · (m
~2·u
br ))
4 · π · r3
µ
0
~ =
· (3 · (m
~ ·u
br ) · u
br − m)
~
B
4 · π · r3
~ ~
F~ = −∇~· U = −∇ · (m
~1·B
2)
~2
∂
m
~
·
B
1
~|=
|M
∂ϑ
Esempio 6 (Calcolo del campo magnetico in un solenopide infinito) Un solenoide è un elemento che idealmente ha campo magnetico costante all’interno e nullo all’esterno, nel caso reale non è esattamente così ma se ri rapporto tra la lunghezza del solenoide a il suo raggio è molto piccolo allora il
solenoide infinito fornisce un’ottima apprissimazione.
IMMAGINE L’immagine sopra rappresenta una sezione del solenoide (un solenoide ha la forma tipica
della molla) IMMAGINE
dB =
µ0 · R2
µ0 · R2
·
dN
·
i
=
· n · dx · i
2 · r3
2 · r3
n è il numero di spire per unità di lunghezza
r · sin(Φ) = R
x − x0 = −R · cot(Φ)
dx =
dB =
R · dΦ
sin2 (ϑ)
µ0 · R2 · n · i sin2 (Φ) R · dΦ
µ0 · n · i
·
=
· sin(Φ) · dΦ
·
2
r3
2
sin2 (Φ)
µ0 · n · i
B=
·
2
Z
Φ2
sin(Φ) · dΦ =
Φ1

µ0 · n · i 
B=
· q
2
µ0 · n · i
· [cos(Φ1 ) − cos(Φ2 )]
2
d
2
d
2
+x
+q
2
+ x + 4 · R2
d
2
Se la spira avesse lunghezza infinita (d → +∞)
B=
µ0 · n · i
· 2 = µ0 · n · i
2
43

−x

2
2
+x +4·R
d
2
6.6
Teorema di Ampere
Il teorema di Ampere è la terza equazione di Maxwell, pertanto la si prende come un postulato, ma si
darà un’argomentazione attraverso la prima legge di Laplace (in realtà il teorema di Ampere è più estesa).
IMMAGINE Si ha un filo infinito percorso da una corrente i, si ha che a distanza r dal filo
~ = µ0 · i · u
bΦ
B
2·π·r
ds = r · dΦ ⇒
ds
= dΦ
r
~ · d~s = µ0 · i · u
B
bΦ · d~s
2·π·r
Z
I
I
I
µ0 · i 2·π
µ0 · i ds
µ0 · i
dΦ = µ0 · i
B · ds =
·
=
· dΦ =
2·π r
2·π
2·π 0
Teorema 2 La circuitazione di un campo magnetico lungo una linea chiusa è la somma algebrica delle
correnti contatenate. (si considera la somma delle sole correnti contenute dalla linea chiusa).
I
X
B · ds = µ0 ·
ik
k
ii > 0 se ha verso consorde con il prodotto esterno tra la linea di circuitazione e il filo.
Se la circuitazione non contiene nessuna corrente, allora la corrente è nulla.
Z
I
~
B · d~s = µ0 · i = µ0 · ~j · ~n · dΣ
Se si estende Σ in modo tale che Σ0 comunque non contenga nessun filo al suo interno allora si ha che
Z
Z
~ ×B
~ · ~n · dΣ0 = µ0 ·
~j · ~n · dΣ0
∇
Σ0
Z
Σ0
~ ×B
~ − µ0 · ~j · ~n · Σ0 = 0 ⇒ ∇
~ ×B
~ = µ0 · ~j
∇
3a equazione di Maxwell
Σ0
6.6.1
Applicazione del teorema di Ampere
Solenoide rettilineo infinito
I
~ · d~l = µ0 ·
B
X
ik
k
IMMAGINE
I
~ · d~l =
B
Z
B
~ · d~l +
B
A
Si ha che
Z
D
~ · d~l +
B
Z
B
C
~ · d~l +
B
D
Z
A
~ · d~l =
B
C
Z
A
C
 Z B

~ · d~l = 0
~

B
AB ⊥ B



A





 Z D
~ · d~l = 0
~
B
CD ⊥ B


C




Z D




~ · d~l = 0 BD è esterno al solenoide

B
B
I
~ · d~l =
B
Z
A
~ · d~l = B · (xC − xA ) = B · l = µ0 · n · l · i
B
C
con n che è la densida di spire per unità di lunghezza.
B = µ0 · n · i
44
~ · d~l
B
Toriode
I
~ · d~l = µ0 ·
B
X
ik
k
IMMAGINE Poichè B è costante allora
I
I
µ0 · N · i
B · dl = B · l = B · 2 · π · R = µ0 · N · i ⇒ B =
2·π·R
B è solo all’interno del toroide, in una circonferenza interna o esterna al toroide si ha campo magnetico
nullo.
Cono
I
~ · d~l = µ0 ·
B
X
ik
k
IMMAGINE Posto:
• r < R si ha
I
~ · d~l = µ0 · i
B
Z
Z
~j · ~n · dΣ = j · dΣ = j · Σ = j · π · R2 ⇒ j = i
π · R2
Z
Z
r 2
i
2
i0 = ~j · ~n · dΣ0 = j · dΣ0 = j · π · r2 ⇒ i0 =
·
π
·
r
=
i
·
π · R2
R
2
µ0 · i · r
µ0 · r
B · 2 · π · r = µ · i0 ⇒ B =
=
·i
2 · π · r · R2
2 · π · R2
i=
• r > R si ha
I
~ · d~l = B · 2 · π · r = µ0 · i ⇒ B =
B
µ0
·i
2·π·r
Campo su un’interfaccia
Si calcola il flusso del campo magnetico nelle condizioni in cui dΣa , dΣb = o(dΣ) IMMAGINE
Z
Z
Z
Z
Z
~ · ~n · dΣ + B
~ · ~n · dΣa + B
~ · ~n · dΣb = B
~ 1 · ~n1 · dΣ1 + B
~ 2 · ~n2 · dΣ2 = 0
B
poichè dΣ1 = dΣ2 e n1 = −n2 allora
Z
Z
Z
~ 2 · ~n2 · dΣ2 = (B1n − B2n ) · dΣ = 0 ⇒ B1n = B2n
~ 1 · ~n1 · dΣ1 + B
B
6.7
Flusso e Controflusso
Dati due circuiti IMMAGINE ci si interessa a studiare il flusso di B1 su Σ2 e di B2 su Σ1
Z
~ 1 · ~n2 · dΣ2
~ 1) = B
Φ12 (B
Z
~ 2) = B
~ 2 · ~n1 · dΣ1
Φ21 (B
!
!
Z Z
Z Z
~1 × ~r
~1 × ~r
µ
d
S
µ
d
S
0
0
~ 1) =
Φ12 (B
· i1 ·
·u
br · dΣ2 =
·
·u
br · dΣ2 · i1 = M12 · i1
r3
4·π
r3
Σ2 S1 4 · π
Σ2 S1
!
!
Z Z
Z Z
~2 × ~r
~2 × ~r
µ
d
S
µ
d
S
0
0
~ 2) =
Φ21 (B
· i2 ·
·u
br · dΣ1 =
·
·u
br · dΣ1 · i2 = M21 · i2
r3
4·π
r3
Σ1 S2 4 · π
Σ1 S2
Se si considerano i due circuiti in modo isolato si ha
"Z
Z
µ0
~
~
·
Φ11 (B1 ) = B1 · ~n1 · dΣ1 =
4·π
"Z
Z
µ0
~
~
·
Φ22 (B2 ) = B2 · ~n2 · dΣ2 =
4·π
~1 × ~r
dS
·u
b1 · dΣ1
r3
!#
~2 × ~r
dS
·u
b2 · dΣ2
r3
!#
· i1 = M11 · i1
· i2 = M22 · i2
I coefficienti Mij sono detti coefficienti della matrice di induzione, in particolare M11 = L1 e M22 = L2
(induttanza del circuito).
45
6.7.1
Calcolo di coefficienti di induzione
Toroide rettangolare
IMMAGINE
Z
R+b
=N·
Φ(B)
R
µ0 · i · N · a
µ0 · i · N 2 · a
· dr =
·
2·π·r
2·π
µ0 · i · N 2 · a
=
· log
2·π
R+b
R
Z
R+b
R
dr
r
µ0 · N 2 · a
=L·i⇒L=
· log
2·π
R+b
R
Solenoidi coassiali rellilinei infiniti
IMMAGINE
Φ12 (B1 ) = µ0 · n1 · i1 · Σ2 · n2 · l = (µ0 · n1 · n2 · Σ2 · l) · i1 = M12 · i1
Φ21 (B2 ) = µ0 · n2 · i2 · Σ1 · n1 · l = (µ0 · n1 · n2 · Σ1 · l) · i2 = M21 · i2
~ è un vettore sinusoidale allora B
~ =∇
~ ×A
~
Poichè B
0
0
~
~
~
~
A non si misura e si ha che A = A + ∇s, con s una funzione scalare
~0 = ∇
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~+∇
~ × ∇s
~
~ ×A
~=B
~
B
=∇
~ ×B
~ =∇
~ × ∇
~ ×A
~ = µ0 · ~j
∇
Sfruttando una proprietà di Analisi si ha che
~ ·A
~=∇
~ ·A
~ + ∇2 s = µ0 · ~j
∇
scegliendo s cha abbia laplaciano nullo ∇2 s = 0 allora si ha
Z
Φ12
=
~ ·A
~ = µ0 · ~j
∇
Z
ji · dτ
µ0
·
dτ = Σ · ds
Ai =
4·π i M
I ~
µ0
dS1
~
Ai =
·i·
4·π
r
Z Z
I
~
~
~
~
~
B1 · ~n2 · dΣ2 =
∇ × A · ~n2 · dΣ2 =
A1 · dS2 =
Σ2
Σ2
S2
Z Z
~ 1 · dS
~2
dS
µ0
· i1 = M12 · i1
4 · π S2 S1
r
Z
Z Z
~ 2 · ~n1 · dΣ1 =
~ ×A
~ · ~n1 · dΣ1 =
=
B
∇
µ0
· i1 ·
4·π
I
µ0
· i2 ·
4·π
I
S1
~ 1 · dS
~2
dS
=
r
=
Φ21
Σ1
µ0
=
4·π
Σ1
Z
S1
Z
S2
S1
~ 2 · dS
~1 =
A
I
S2
~ 2 · dS
~1
dS
=
r
~ 1 · dS
~2
dS
· i2 = M21 · i2
r
Si osserva che
M12 = M21
6.8
Comportamento di materiali in un campo magnetico
Nella trattazione si esamineranno solo la cui suscettività magnetica è uno scalare, cioè nel caso di materiali isotropi.
Si suppone di avere un solenoide finito, in cui scorre una corrente i, alla cui sommità è posto un dinamometro a cui è collegato in circuito in cui scorre una corrente i0 .
dB dB
Il circuito risente F = ±m ·
,
6= 0 poichè si ha un solenoide finito, si ottiene che m = i0 · Σ0 .
dz dz
Si suppone ancora che al posto del circuito vi è un campione de un materiale collegato al dinamometro.
46
6.8.1
Classificazione dei materiali
I materiali possono essere classificati in:
• Diamagnetici, se posti nel solenoide vengono debolmente respinti
• Paramagnetici, se posti nel solenoide vengono debolmente attratti
• Ferromagnetici, se posti nel solenoide vengono fortemente attratti
Si possono ipotizzare quindi che i materiali
• Diamagnetici, siano assimilabili con un circuito con i0 discorde a i
• Paramagnetici, siano assimilabili con un circuito con i0 concorde a i
• Ferromagnetici, siano assimilabili con un circuito con i0 concorde a i, ma con i0 molto grande
All’interno del solenoide vi è inizialmente un campo pari a B0 , dopo l’introduzione del materiale in campo
subisce una modifica e vale Bk

materiali diamagnetici
 km < 1
Bk
km > 1
materiali paramagnetici
km =
⇒

B0
km 1 materiali ferromagnetici
Definizione 21 (Suscettività magnetica) Si definisce suscettività magnetica χm la quantità
χm = km − 1
Valori standard per la suscettività magnetica sono:
• circa −10−5 per materiali diamagnetici
• circa 10−5 per materiali paramagnetici
• circa 103 ÷ 105 per materiali ferromagnetici
χm è un valore scalare nel caso di materiali diamagnetici, mentre è dipendente dalla temperatura per
materiali paramagnetici e infine è dipendente anche dal campo magnetico se il materiale è ferromagnetico.
Bk = km · B0 = km · µ0 · n · i = µ · n · i
mu = µ0 · km , analogia con i dielettrici
Nei ferromagneti essendo µ funzione del campo allora occorre prestare più attenzione.
Bk − B0 = km · µ0 · n · i − µ0 · n · i = (km − 1) · µ0 · n · i = χm · µ0 · n · i
É come se vi fosse un soilenoide che genera un campo pari a B = χm · µ0 · n · i.
Un suoerconduttore è un diamagnete perfetto, ha campo interno nullo quindi χm = −1
Relazioni tra E e B
E
B
P
M
D = ε0 · E + P
H=
contributo dovuto alla materia
B
−M
µ0
É possibile associare ad ogni elettrone di valenza di un atomo un momento magnetico che compone il
contributo diamagnetico del materiale.
Si ha, inoltre, un contributo dovuto dovuto alla somma degli spin, se la somma degli spin è nullo allora
si ha un diamagnete altrimenti si ha un paramagnete o ferromagnete.
47
Vettore di magnetizzazione
∆Nτ > 106
∆τ < 10−18
~ = ∆Nτ · hmi
~
M
∆τ
Se si assume il volumetto ad una spira
~
~ = dm
M
dτ
dm = M · dτ = M · dΣ · dz
⇒ dim = M · dz ⇒ im = M ·
dm = dim · dΣ
M=
Jsn è la densità lineare e si misura in
Z
h
dz = M · h
0
im
= Jsn
h
[A]
[m]
Analogia
~ ×u
J~sn = M
bn ' σp = P~ · u
bn
~ 0 −M
~ 00
Se il materiale non fosse omogeneo le correnti interne non si elidono, quindi sviluppando in serie M
si ha che
~ ×M
~
J~m = ∇
~ · P~ ; J~m è la densità delle correnti interne
analogia con ρp = −∇
6.8.2
Ridefinizione del teorema di Ampere
~ partendo dal teorema di Ampere
Si introduce M
I
~ · d~s = µ0 · i = µ0 · (i0 + im )
B
1
·
µ0
I
~ · d~s = i0 +
B
I
~ · d~s0
M
~ è definito solo dovevi è la materia, quindi restringendo il percorso della circuitazione si ha che
M
!
I
~
B
~ · d~s0 = i0
−M
µ0
~
~
~ = B −M
H
µ0
I
~ · d~s = i0
H
~
~ = B −M
~ ⇒B
~ = µ0 · H
~ +M
~
H
µ0
[H] = [M ] = [B] = [T esla]
Per materiali diamagnetici e paramagnetici vale che
~ = χm · H
~
M
per materiali ferromagnetici vale che
~ = χm H
~ ·H
~
M
In generale
~ = µ0 · H
~ +M
~ = µ0 · H
~ + χm · H
~ = µ0 · (1 + χm ) · H
~ = µ0 · km · H
~ =µ·H
~
B
Nel vuoto km = 1, quindi µ = µ0
48
6.8.3
Induzione magnetica in presenza di un’interfaccia
Si pone in un’interfaccia un percorso chiuso di forma rettangolare, di base dl e altezza (che interseca i
due campi) dl0 = o(dl). IMMAGINE
I
~ · d~l = 0
H
non si hanno correnti concatenate
H1t = H2t
non si ha la componente normale, in quanto di dimensioni trascurabili
6.8.4
Comportamento di χm nei diversi materiali
Materiali diamagnetici
χm = costante
Materiali paramagnetici
χm (t) =
c·ρ
t
Materiali ferromagnetici
 c·ρ

t > tc

t − tc
χm (t) =


da caso a caso
1a legge di Curie
comportamento simile a un paramagnete
t < tc
Se il ferromagnete è posto ad alte temperatura, al di sopra della sua temperatura critica (tc ), si ha la
perdita irreversibile della proprietà magnetica.
Un ferromagnete ha una struttura divisa in regiori di grandezza non trascurabile, tali regioni sono divise
dalle pareti di Block.
Dalle formule sopra esposte si ha che nei diamagneti e nei paramagneti χm ha un andamento lineare,
mentre nei ferromagneti si ha un ciclo detto di isteresi (caratteristico di ogni materiale). IMMAGINE
Lord Raylegh dimostro che se i campi sono piccoli si ha un ciclo di isteresi universali, non si ha mai la
saturazione.
M = α · (H ± HM ) ± β · (H ± HM )2 ∓ MM
Si osserva che M = M (H) e α, β sono costati che dipendono dal materiale. IMMAGINE
Esercizio 7 Uno ione di carica q viene accellerato mediante una d.d.p. V e penetra successivamente
~ e un campo magnetico B
~
con velocita ~v0 in una regione dello spazio dove esistono un campo elettrico E
entrambi uniformi: il campo magnetico è diretto come vecv0 e il campo elettrico è perpendicolare a ~v0 .
Determinare la traiettoria dello ione.
All’uscita del condensatore lo ione ha energia cinetica
r
1
2·q·V
2
· m · v0 = q · V ⇒ v0 =
2
m
IMMAGINE Dai dati del problema e dalle supposizioni fatte nel grafico si ha che
~ 0 = B0 · u
• B
bz
~ 0 = E0 · u
• E
bx
• ~v0 = v0 · u
bz
m · ~a = F~L + F~g + F~att
Non si considerano gli effetti gravitazionali e di attrito in quanto li si suppongono trascurabili.
~
~
q
·
E
+
~
v
×
B
F~L
=
~a =
m
m
Occorre osservare che ~v 6= ~v0
~ =
~v × B
bi
vx
0
b
j
vy
0
b
k
vz
B0
= (vy · B0 ) · bi − (vx · B0 ) · b
j+0·b
k
49
 2
q
q
q
q
dy
d x



=
· E0 +
· vy · B 0 =
· E0 +
· B0 ·

2

dt
m
m
m
m
dt




 2
q
d y
dx
= − · B0 ·
2

dt
m
dt






2


 d z =0
dt2
Si suppone, per ottenere le condizioni iniziali, che al tempo t = 0 la carica si trova nell’origine quindi

x(0) = 0
y(0) = 0
z(0) = 0



dx



dt
Integrando rispetto al tempo
dx
dx
−
dt
dt
Sostituendo
dx
dt
=
t=0
d2 x
dt2
=0
dy
dt
t=0
=0
t=0
dz
dt t=0
= v0
e sfruttando le condizioni iniziali si ha che
q
q
dx
q
q
· E0 · t +
· B0 · (y(t) − y(0)) ⇒
=
· E0 · t +
· B0 · y
m
m
dt
m
m
appena calcolato nell’equazione
d2 y
dt2
si ha
q
d2 y
q
q
= − · B0 ·
· E0 · t +
· B0 · y
2
dt
m
m
m
q2
q2
d2 y
+ 2 · B02 · y = − 2 · E0 · B0 · t
2
dt
m
m
Si tratta di risolvere un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, y(t) = yo (t) + yp (t)
d2 yo
q2
q · B0
2
·
t
+
Φ
+
·
B
·
y
=
0
⇒
y
(t)
=
A
·
sin
o
o
0
dt2
m2
m
⇒
A e Φ sono dipendenti dalle condizioni iniziali
La soluzione particolare, yp , si ricava per tentativi
yp = c · t
q2
q2
d2 yp
2
+
·
B
·
y
=
−
· E0 · B0 · t ⇒
p
0
dt2
m2
m2
q 2 · B0 2
E0 · B0
E0
· c · t = −q 2 ·
·t⇒c=−
m2
m2
B0
q · B0
E0
·t+Φ −
·t
y(t) = yo (t) + yp (t) = A · sin
m
B0
⇒
Cercando ad applicare le condizioni a contorno occorre conoscere anche dy
dt
dy
q · B0
q · B0
E0
=
· A · cos
·t+Φ −
dt
m
m
B0

q · B0
E0


y(0)
=
0
=
A
·
sin
·
t
+
Φ
−
· t = A · sin(Φ) ⇒ Φ = 0



m
B0


dy



dt
q · B0
E0
m · E0
· A · cos(0) −
⇒A=
m
B0
q · B0 2
m · E0
q · B0
E0
y(t) =
·t −
·t
2 · sin
m
B0
q · B0
=0=
t=0
Per il calcolo di x(t)si utilizza la relazione
d2 y
dt2
q
= −m
· B0 ·
dx
dy ,
in quanto risulta più semplice
dx
m
d2 y
=−
· 2
dt
q · B0 dt
2
d2 y
m · E0
q · B0
q · B0
=−
·
· sin
·t
dt2
m
m
q · B0 2
50
2
dx
q · B0
q · B0
m m · E 0 q · B0
m2 · E0 · q 2 · B0 2
E0
q · B0
·
·sin
·sin
=
·
·
t
=
·
t
=
·sin
·
t
dy
q · B0 q · B0 2
m
m
m
B0
m
q 2 · B0 3 · m2
Z
x(t) =
0
t
E0
· sin
B0
q · B0
q · B0
m · E0
· cos
· t · dt + x(0) = −
·t
m
m
q · B0 2
z(t) = v0 · t
Lo ione ha quindi traiettoria

q · B0
m · E0


·
cos
·
t
x(t)
=
−



m
q · B0 2




q · B0
m · E0
E0
·
sin
y(t)
=
·
t
−
·t

2


m
B0
q · B0






z(t) = v0 · t
Si osserva che anche in condizioni particolarmente semplificative, come nell’esercizio proposto, si hanno
notevoli complicazioni calcolative.
Esercizio 8 Un cilindro indefinito di raggio R è percorso da una corrente di intensità i. Trovare la
leggge con cui la densità di corrente dipende da r (r distanza dall’asse del filo) in modo che B sia
costante all’interno del cilindo. IMMAGINE Si prende una circonferenza di raggio r centrata sull’asse,
per il teorema di Ampere si ha
I
~ · d~l = µ0 · i0
B
Poichè si vuole B costante all’interno del cilindro si ha
I
Z r
Z
~j · ~n · dΣ0 = µ0 ·
B · dl = B · 2 · π · r = µ0 · i0 = µ0 ·
0
r
j(r0 ) · 2 · π · r0 · dr0
0
r
Z
j(r0 ) · r0 · dr0
B · 2 · π · r = 2 · π · µ0 ·
0
Z
r
B · r = µ0 ·
j(r0 ) · r0 · dr0
0
Derivando rispetto a r si ha
B = µ0 · j(r) · r ⇒ j(r) =
R
Z
Z
j(r) · dΣ =
i=
0
0
R
B
µ0 · r
B
B
µ0 · i
· 2 · π · r · dr =
·2·π·R⇒B =
µ0 · r
µ0
2·π·R
Esercizio 9 Nel circuito in fugura gli archi BC e AD sono un quarto di circonferenze concentriche il
cui centro è nel punto O e di raggi rispettivamente r1 e r2 . Supponendo che tale circuito sia percorso
da corrente stazionaria i0 , calcolare l’intensità del campo magnetico nell’origine. IMMAGINE Si risolve
l’esercizio applicando esplicitamente la 1a legge di Laplace
I
µ
· i0 ·
B=
r·π
Z
B
A
d~s × u
br
=
r2
Z
D
C
d~s × u
br
µ0
· i0 ·
=
r2
4·π
d~s × u
br
=0
r2
"Z
B
A
d~s × u
br
+
r2
Z
C
B
d~s × u
br
+
r2
Z
D
C
d~s × u
br
+
r2
Z
A
D
d~s × u
br
r2
#
poichè d~skb
ur
Negli integrali restanti d~s ⊥ u
br
"
Z C
Z A #
µ0
1
1
µ0
1 π · r1
1 π · r2
µ0
1
1
B=
· i0 ·
·
ds − 2 ·
ds =
· i0 ·
·
− 2·
=
· i0 ·
−
4·π
r1 2 B
r2
4·π
r1 2
2
r2
2
8
r1
r2
D
51
6.9
Smagnetizzazione di un magnete
Per smagnetizzare un magnete si possono procedere tre strade distine:
• scaldando il magnete, ma modifica strutturalmente il materiale
• fornendo al magnete grandi sollecitazione meccaniche, ma anche in questo caso si ha una sostanziale
modifica della struttura del materiale
• si effettuano infiniti cicli di isteresi di piccola ampiezza (non fino alla saturazione), in questo modo
la struttura del magnete non subisce “strappi” e si può avere un momento magnetico nullo (magnete
smagnetizzato).
Nel caso di un materiale non omogeneo si ha
~ ×M
~ =∇
~ × χm · H
~ =∇
~ · χm × H
~ + χm · ∇
~ ×H
~
∇
Nel caso in cui si ha:
~ ×M
~ = χm · ∇
~ ×H
~ = χm · Jmacroscopica
un materiale omogeneo ∇
~ ×M
~ 6= Jmacroscopica
un materiale non omogeneo ∇
6.10
Legame tra campo elettrico e campo magnetico
~ ×B
~ e
In base alle definizioni poste nel corso del capitolo vi avrà una modificazione delle definizioni di ∇
~
~
∇ × E rendendole estese anche nel caso di campi non statici.
~ ×B
~ e∇
~ ×E
~ verranno accoppiate.
Si osserverà che le definizioni di ∇
Tali legami si sono potuti avere grazie:
• agli esperimenti effettuati da Faraday
• alla formalizzazione degli esperimenti da parte di Maxwell
• alle applicazioni proposte da Tesla
6.10.1
Esperimenti di Faraday
Faraday effettuò una serie di esperimenti tra cui i più significativi sono semplicemente due.
1. Si muove una calamite verso un circuito, composto unicamente da un resistore e un galvanometro,
si osserva che nel circuito si ha un passaggio di corrente.
2. Si muove un circuito, composto da un generatore di tensione e un resistore, verso un circuito,
composto da un resistore e un galvanometro; oppure aprendo e chiudendo un interruttore sul primo
circuito; in entrambi i casi il galvanometro segna passaggio di corrente.
6.11
Terza e Quarta equazione di Maxwell
Tutti gli esperimenti effettuati da Faraday sono legati dalla modificazione del flusso magnetico, pertanto
si ha
Teorema 3 (Legge di Faraday - Lens)
εindotta = −
∂
R
Σ
~ · ~n · dΣ
B
∂t
In un circuito con n resistore di valore R e una differenza di potenziale genera una corrente
iindotta
1 ∂
=− ·
R
52
R
Σ
~ · ~n · dΣ
B
∂t
É bene notare che la presenza del segno − è interpretabile nel seguente modo: si genera un nuovo campo
magnetico che “tende” a rallentare la variazione del flusso magnetico.
R
I
~
∂
~ indotta · d~l = − Σ B · ~n · dΣ
εindotta = E
∂t
~ indotto , non è conservativo.
Poichè la εindotta =
6 0 allora il campo elettrico indotto, E
Per il teorema di Gauss (analisi)
I
Z ~
~
~ ×E
~ · ~n · dΣ
Eindotto · dl =
∇
Σ è una superficie racchiusa da l
Σ
~ · ~n · dΣ
~
B
~ ×E
~ = − ∂B
⇒∇
terza equazione di Maxwell completa
∂t
∂t
Σ
~ è un vettore solenoidale allora B
~ =∇
~ ×A
~ da cui
Poichè B
"
#
~
~
~ ×A
~
∂
A
∂
∇
~ × E
~+
~ + ∂ A = −∇V
~
~ ×E
~ =−
⇒∇
= 0 =⇒ E
∇
∂t
∂t
∂t
Z ~ ×E
~ · ~n · dΣ = − ∂
∇
R
Σ
~
~ = −∇V
~ − ∂A
E
∂t
~ è indipendente dal tempo quindi
Nel caso statico A
~
∂A
∂t
~ = −∇V
~ . Occorre ricordare che
=0⇒E
~ ·B
~ =0
~ =∇
~ ×A
~
∇
B
~ ×B
~ =0
~ × ∇
∇
~ × ∇
~ ×B
~ = µ0 · ∇
~ · J~ = 0.
Nel caso statico ∇
In generale
~ · J~ = ∂ρ
∇
∂t
~ ×B
~
~ × ∇
pertanto occorre aggiungere una nuova condizione per rendere nullo ∇
"
#
"
#
"
#
~
~ ·E
~
∂ ρε00
∂E
∂∇
∂ρ0
~
~
~
~
~
~
~
= µ0 · ∇ · J + ε0 ·
= µ0 · −
+ ε0 ·
=0
∇ × ∇ × B = µ0 · ∇ · J + ε0 ·
∂t
∂t
∂t
∂t
~ ·E
~ = ρ0
La serie di uguaglianze è valida in quanto ∇
ε0
Si è quindi anche ricavata la quarta equazione di Maxwell
~
~
~ ×B
~ = µ0 · J~ + µ0 · ε0 · ∂ E = µ0 · J~ + 1 · ∂ E
∇
2
∂t
c
∂t
6.12
Legge di Felici
La legge di Felici fornisce un legame tra la carica indotta in un circuito e il flusso magnetico.
iindotta = −
poichè i =
~
1 ∂Φ(B)
·
R
∂t
∂q
∂t
~
∂qindotta
1 ∂Φ(B)
=− ·
∂t
R
∂t
integrando rispetto al tempo tra il tempo 0 e il tempo t
Z t
Z t
~
∂qindotta
1
∂Φ(B)
=− ·
∂τ
R 0
∂τ
0
iindotta =
~ − Φi (B)
~
Φf (B)
qindotta (0) = 0
R
~ − Φi (B)
~
~
Φf (B)
∆Φ(B)
qindotta (t) = −
=−
R
R
qindotta (t) − qindotta (0) = −
53
Esempio 7 Si pone un circuito in un campo magnetico e lo si sposta in una regione di spazio con campo
magnetico nullo.
Per la legge di Felici si ha che
qindotta =
~
Biniziale · Σ
R · qindotta
Φf (B)
=
⇒B=
R
R
Σ
Pertanto si può avere una misura del campo magnetico, conoscendo la resistenza del circuito, la carica
indotta e l’area del circuito.
6.13
Forza elettromotrice e correnti indotte
Si ha un circuito come in figura il cui lato M N è mobile, tale circuito è immerso in un campo magnetico
costante perpendicolare al circuito. IMMAGINE Gli elettroni nel tratto mobile risentono della forza di
Lorentz
~
F~L = q · ~v × B
~
nel caso specifico poichè ~v ⊥ B
FL = q · v · B
Si può ipotizzare la presenza di un campo legato alla forza di Lorentz
~
~
~ L = FL = ~v × B
E
q
Z
N
~ · d~s
~v × B
εM N = −
M
Nel caso specifico εM N = −v · B · b
~ =
Φ(B)
Z
~ · ~n · dΣ = B ·
B
Z
dΣ = B · Σ = B · b · x
~
∂Φ(B)
∂x
=B·b·
=B·b·v
∂t
∂t
Si osserva che
~
∂Φ(B)
legge di Faraday-Lens
∂t
I
Z N
~ · d~s = −
~ · d~s
= − ~v × B
~v × B
εM N = −
εM N
M
iL =
v·b·B
εi
=−
R
R
Poichè il circuito è attraversato da correnteper la seconda legge di Laplace allora il circuito risente di una
forza.
~
dF~ = i · d~s × B
~ allora
poichè d~s × B
Z
N
FM N =
~ =i·B·
i · d~s × B
M
Z
N
ds =
M
B·b·b
B 2 · b2
·B·b=
·v
R
R
La forza è diretta nel senso opposto della velocità, è una forza di attrito che tende a rallentare la variazione
del flusso magnetico.
La potenza dissipata è
B 2 · b2 2
P = F~ · ~v =
·v
R
In un circuito in genere la potenza dissipata vale P = i2 · R da cui
P = i2 · R =
B·b·v
R
54
2
·R=
B 2 · b2 · v 2
R
6.13.1
Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse
La spira ruota con velocità angolare costante ω.
IMMAGINE
I
~ · d~s
ε = ~v × B
Si può dimostrare che nel calcolo, nella situazione specifica, resano nel calcolo solo le parti verticali della
spira.
Z A
Z D
~
~ · d~s = 2 · v · B · sin(ϑ) = 2 · v · B · b · sin(ω · t)
ε=
~v × B · d~s +
~v × B
D
C
i=
ε
2 · v · B · b · sin(ω · t)
=
R
R
poichè la spira ruota con velocità v = ω · a
i=
2·a·b·B·ω
· sin(ω · t) = i0 · sin(ω · t)
R
i0 =
2·B·a·b·ω
R
Definizione 22 (Potenza media) Poichè la corrente varia nel tempo anche la potenza varia nel tempo,
pertanto si definisce la potenza media
1
P = ·
T
poichè il periodo è costante e vale T =
P
=
1
2·π
ω
Z
·
2·π
ω
Z
T
i2 (t) · R · dt
0
2·π
ω
i0 2 · sin2 (ω · t) · R · dt =
0
R · i0 2 · ω
·
2·π
Z
2·π
ω
sin2 (ω · t) · dt =
0
2·π
t
sin(ω · t) · cos(ω · t) ω
R · i0 2
R · i0 2 · ω
R · i0 2 · ω π
·
−
· =
=
=
2·π
2
2·ω
2·π
ω
2
0
Definizione 23 (Corrente efficace) Si definisce quindi una corrente efficace, una corrente costante
che dia come risultato la stessa potenza media
P = R · Ief f 2 ⇒ Ief f 2 =
I0
i0 2
⇒ Ief f = √
2
2
Definizione 24 (Tensione efficace) Si definisce una tensione efficace, una tensione costante che dia
come risultato la stessa potenza media
V0
Vef f = √
2
Esempio 8 (Circuito con barra mobile in presenza di un generatore) Si ha il seguente circuito
IMMAGINE la velocità con cui la barra mobile è costante e che il campo magnetico è perpendicolare al
circuito.
Si considera il comportamento del circuito considerando sia l’attrito radente che l’attrito opposto dall’aria.
ε0 + εi = i · R ⇒ i =
ε0 + εi
ε0 − B · b · v
=
R
R
Poichè il problema è unidimensionale allora si possono tralasciare i simboli di vettore.
F =m·a=m·
dv
= i · B · b − F0 − k · v
dt
i · B è data dalla seconda legge di Laplace
F0 è la forza di attrito radente
k · v è la forza di attrito opposta dall’aria
55
m·
dv
ε0 − B · b · v
dv
B · b · (ε0 − B · b · v) − (R · F0 + R · k · v)
=
· B · b − F0 − k · v ⇒
=
dt
R
dt
R·m
dv
v · (B 2 · b2 + k · R) − ε0 · B · b + F0 · R
dv
dt
=−
⇒
=−
2
2
dt
R·m
v · (B · b + k · R) − ε0 · B · b + F0 · R
m·R
B 2 · b2 + k · R
dv
=−
· dt
ε 0 · B · b − F0 · R
m·R
v−
B 2 · b2 + k · R
integrando tra il tempo 0 e il tempo t si ha
Z
v(t)
0

ε 0 · B · b − F0 · R 
Z t
v(t)
−
2
2
dv
B ·b +k·R

B 2 · b2 + k · R  = − B · b + k · R ·t
=−
·
dτ ⇒ log 

ε0 · B · b − F0 · R
ε 0 · B · b − F0 · R
m·R
m·R
0
v−
−
B 2 · b2 + k · R
B 2 · b2 + k · R
2
2
ε 0 · B · b − F0 · R
2 +k·R
2 2 +k·R ε0 · B · b − F0 · R B 2 · b2 + k · R = e− B2 ·bm·R
·t
·t
− B ·b
m·R
⇒ v(t) =
·
1
−
e
ε 0 · B · b − F0 · R
B 2 · b2 + k · R
−
B 2 · b2 + k · R
v(t) −
poichè si ha un esponenziale negativo dopo poco tempo l’esponensiale è praticamente nullo, quindi si avrà
una tensione costante
ε 0 · B · b − F0 · R
v = v(+∞) =
B 2 · b2 + k · R
Esempio 9 (Funzionamento dei vecchi interruttori, motivo della scossa all’apertura dello stesso)
IMMAGINE
Φ(B) = L · i
Si inizia supponendo che il circuito al tempo t = 0 viene chiuso, pertanto per la legge di Faraday-Lens
εL = −
di
dL
dΦ
= −L ·
−i·
dt
dt
dt
Il secondo termine è nullo solo se il circuito è indeformabile (in questo caso si suppone il circuito indeformabile).
Poichè si ha una variazione di flusso si ha una tensione indotta
ε0 + εi = R · i ⇒ ε0 − L ·
di
di
=R·i⇒L·
+ R · i = ε0
dt
dt
Per risolvere l’equazione differenziale sopra è necessaria una condizione iniziale i(0) = 0.
R
di
ε0
R
ε0 − R · i
R · i − ε0
di
dt
di
=
− ·i=
=−
⇒
=− ⇒
· dt
ε0 = −
dt
L
L
L
L
R · i − ε0
L
i− R
L
integrando dal tempo 0 al tempo t si ha
Z
0
i(t)
Z
i(t) − εR0
R
R
di
R t
R
ε0
ε0
ε0 dτ ⇒ log
= − ·t ⇒ i(t)− = − ·e− L ·t ⇒ i(t) = · 1 − e− L ·t
ε0 = − ·
ε0
i− R
L 0
−R
L
R
R
R
iind
εi
L di
L ε0
=
=− ·
=− ·
·
R
R dt
R R
R
L
R
e− L ·t = −
ε0 − R ·t
·e L
R
Osservando i risultati ottenuti si osserva che la i indotta diminuisce nel tempo. Si considera ora la
situazione opposta, cioè la situazione nel quale l’interruttore viene aperto al tempo t = 0
i(0− ) =
ε0
R
aprendo l’interruttore si ha una variazione di flusso e una nuova resistenza R0 (R0 R).
ε0 + εl = R0 · i ⇒ ε0 − L ·
di
di
= R0 · i ⇒ L ·
+ R 0 · i = ε0
dt
dt
di
R 0 · i − ε0
di
R0
=−
⇒
· dt
ε0 = −
dt
L
i − R0
L
56
integrando si ha
Z
i(t)
ε0
R
ε0
0
i(t) − R
0
−R
L
ε0
ε0 = e
R − R0
Z t
ε0 i(t) − R
R0
di
R0
0
=
−
·
dτ
⇒
log
=−
·t
ε0
ε0
ε0
i − R0
L
L
0
R − R0
0
0
ε0 ε0
ε0
R
ε0 − R 0
·t
−R
L
L
⇒ i(t) = 0 +
= 0 · 1+
− 0 ·e
−1 ·e
R
R
R
R
R
t→0
i(t) ≈
ε0 R0 − R0 ·t
ε0 − R0 ·t
·
·e L =
·e L
0
R R
R
La tensione indotta vale
εi (t) = −L ·
R0
ε0
R0
di
ε0 · R0 − R0 ·t
= −L ·
· −
· e− L ·t =
·e L
dt
R
L
R
R0
· ε0
R
poichè R0 R allora εi (0+ ) è molto grande, poichè molto porbabilmente supera la rigidità dielettrica
dell’area e quindi si genera un fulmine, cioè la scintilla che si ha alla chiusura dell’interruttore.
t → 0+
εi =
Esercizio 10 Una spira circolare di raggio a = 5cm costituita da un filo conduttore di sezione S = 1mm2
Ω
e resistività ρ = 1.7 · 10−8 m
viene portaa da una regione in cui esiste un campo B = 0.5T , diretto secondo
◦
un angolo α = 60 rispetto alla normale al piano della spira, in una regione in cui il campo è nullo. Quale
è la carica totale che percorre la spira in conseguenza di tale spostamento?
Si ha una variazione del flusso magnetico, quindi si ha una corrente indotta e anche delle cariche si
muovono.
1 ∂Φ(B)
·
R
∂t
Z Φ(t=+∞)
∂Φ(B)
1
Φt=0 (B)
B · cos(α) · Σ
· dt = − ·
dΦ(B) =
=
∂t
R Φ(t=0)
R
R
ii = −
Z
+∞
ii · dt = −
qi =
0
1
·
R
Z
Φ(t=+∞)
Φ(t=0)
Φt=0 (B)
B · π · a2
2·π·a
=
R=ρ·
R
2·R
S
2
−2
Φt=0 (B)
B·S·a
B·π·a
0.5 · 5 · 10 · 10−6
2.5
=
=
=
=
C ≈ 0.368C
2·π·a
R
4·ρ
4 · 1.7 · 10−8
6.8
ρ· S ·2
Esercizio 11 Un lungo filo rettilineo è percorso da una corrente di intensità variabile con legge
i(t) = i0 · sin(ω · t)
Nel piano del filo è posto un pacchetti di N spire quadrate di lato a con un lato del quadrato parallelo al
filo. La distanza dal filo rettilineo al lato più vicino delle spire quadrate è b.
Determinare
1. il flusso dell’induzione magnetica attraverso il filo
2. la forza elettromotrice ai capi del pacchetto di spire
3. l’ampiezza della forza elettromotrice nel caso particolare che i0 = 1A, N = 1000, ω = 2 · π · 50Hz
e a = b = 10cm.
µ0
B=
· i0 · sin(ω · t)
sulla spira B non è costante
2 · pi · r
Z
Z a+b
Z a+b
µ0 · i0 · sin(ω · t)
µ0 · i0 · sin(ω · t) · a
dr
~
~ · ~n · dΣ =
Φ1 (B)
= B
· a · dr =
·
=
2·π·r
2·π
r
b
b
µ0 · i0 · sin(ω · t) · a
b+a
=
· log
2·π
a
~ = N · Φ(B)
~ = µ0 · i0 · N · sin(ω · t) · a · log b + a
ΦN (B)
2·π
a
poichè il flusso è dipendente dal tempo allora avrò una corrente/teonsione indotta
~
∂ΦN (B)
µ0 · i0 · N · ω · a
b+a
εi = −
=
· log
· cos(ω · t) = ε0 · cos(ω · t)
∂t
2·π
a
57
Esercizio 12
Una spira circolare di raggio a = 1cm viene fatta ruotare in un campo magnetico uniforme
A
H = 106 m
attorno a un suo diametro normale alle linee del campo magnetico (la resistenza della spira
è R = 10Ω).
Quale lavoro si deve compiere per mantenere in moto la spira con velocità angolare costante ω = 314 rad
sec ?
(Si trascurino l’autoinduzione e gli eventuali attriti).
ii = −
Z
1 ∂Φ(H)
1 ∂Φ(B)
·
=− ·
R
∂t
R
∂t
~ · ~n · dΣ = B · Σ · cos(ω · t) = µ0 · H · π · a2 · cos(ω · t)
B
~
µ0 · H · π · a2 · ω · sin(ω · t)
∂Φ(B)
= −µ0 · ω · H · π · a2 · sin(ω · t) ⇒ ii =
= i0 · sin(ω · t)
∂t
R
i0 =
µ0 · ω · H · π · a2
R
P = i2 (t) · R = i0 2 · R · sin2 (ω · t)
P =
1
·
T
Z
t
i0 2 · R
µ2 · H 2 · π 2 · a4 · ω 2
dQ
= 0
=
2
2·R
dt
p(τ ) · dτ =
0
Esercizio 13 Una spira rettangolare avente lati a, e b e resistenza R giace nel piano xy (di figura) e
~ è dato dall’espressione
può ruotare attrorno al vertice A. Se il campo B
~ =3·c·x·b
B
k
Si calcoli la variazione di flusso quando la spira ruota di 90◦ e passa dalla posizione 1 alla posizione 2;
la carica che percorre la spira durante lo stesso spostamento. IMMAGINE
qind = −
Z
Φ1
~ · ~n · dΣ1 =
B
=
dΣ1 = b · dx
d
Z
3 · c · x · b · dx = 3 · c · b ·
=
d−a
Z
Φ2
3 · c · x · a · dx = 3 · c · a ·
d
6.13.2
d
=
d−a
3
3
· c · b · d2 − d2 + 2 · a · d − a2 = 3 · a · b · c · d − · a2 · b · c
2
2
dΣ2 = a · dx
d+b
Z
=
Q=
x2
2
~ · ~n · dΣ2 =
B
=
Φ2 − Φ1
R
3·a·b·c·d−
Φ1 − Φ2
=
R
3
2
x2
2
d+b
=
d
3
3
· c · a d2 + 2 · b · d + b2 − d2 = 3 · a · b · c · d + · a · b2 · c
2
2
2
·a ·b·c−3·a·b·c·d−
R
3
2
· a · b2 · c
3 a·b·c
=− ·
· (a + b)
2
R
Energia assorbita nel campo magnetico
Analizzando il problema in una condizione molto semplificata IMMAGINE
ε + εi = R · i ⇒ ε − L ·
ε·i−i·L·
di
=R·i
dt
di
= R · i2
dt
Si ricava l’energia associata al circuito
Z
W =
Z
P · dt ⇒
Z
ε=
Z
R · i · dt + L ·
i·
i2
di
· dt = ∆Q + L ·
dt
2
~ è legato alla corrente del circuito, in particolare Φ(B)
~ = L · i.
Il campo magnetico B
58
6.13.3
Densita di energia magnetica
In un solenoide infinito posto L = µ0 · n2 · σ · d
UM =
1
1
1
1
· L · i2 = · µ0 · n2 · Σ · d · i2 =
· µ0 2 · n2 · i2 · Σ · d =
· B2 · Σ · d
2
2
2 · µ0
2 · µ0
UM
B2
=
Σ·d
2 · µ0
WM =
~ se ho un materiale
In un problema dato A,
µ0 → µ = km · µ0
~ =∇
~ ×A
~
B
Z
2
1
B
· dτ
2 τ 2·µ
Se il materiale è ferromagnetico B = B(x) e µ = µ(B(x))
WM =
~ = µ0 · H
~ si ha che H
~ =
poichè nel vuoto B
~
B
µ0
UM
B
=
τ
2 · µ0
e quindi
~ ·B
~
UM
H
=
τ
2
I
~ · dB
~
= H
WM =
UM
Tale valore rappresente l’area racchiusa dal ciclo di isteresi del materiale
6.13.4
Pressione magnetica
Nelle applicazioni la pressione magnetica è molto importante, in quanto sono estremamente limitati i casi
in cui è possibile trascurara la pressione magnetica.
Un circuito collegato a un generatore di corrente costante e tale circuito ha la possibilità di deformarsi
quindi
i2
dUM =
· dL
2
dW = εi · i · dt
dL
εi = −i ·
dt
2 dL
· dt = −i2 · dL
dW = −i ·
dt
i2
i2
dUtot = dW + dUM = −i2 · dL + · dL = − · dL = −dUM
2
2
~ , da cui
In generale F~ = −∇U
~ M
F~ = ∇U
2
~ M = L · i2 = B · π · r2 · d
U
2
2 · µ0
se il solenoide è infinito allora è idealmente unidimensionale
2
B
2
d 2·µ
·
π
·
r
·
d
dUM
B2
B2
F
B2
0
F =
=
=
·2·π·r·d=
· Σlat ⇒ PM =
=
dt
dt
2 · µ0
2 · µ0
Σlat
2 · µ0
Esempio 10 Si ha un solenoide, all’interno si pone per un tratto un cilindro, di egual sezione del solenoide, di materiale.
IMMAGINE si usa l’approssimazione di solenoide infinito R
d 1
L = µ · n2 Σ · x + µ0 · n2 · Σ · (d − x)
UM =
F =
1
· L · i2
2
1
∂UM
1
1
1
= · µ · n2 · Σ − µ0 · n2 · Σ ·i2 = (km ·µ0 ·n2 ·Σ−µ0 ·n2 ·Σ)·i2 = ·µ0 ·n2 ·Σ·(km −1)·i2 = ·µ0 ·n2 ·Σ·χm ·i2
∂x
2
2
2
2
59
6.13.5
Trasformatore
Dalla legge di Joule si ha che P = i2 · R IMMAGINE attraverso l’uso delle leggi di Kirchhoff si ha


 ε(t) − L1 · dI1 − M · dI2 = I1 · R1


dt
dt


dI
dI

 −L2 · 2 − M · 1 = I2 · R2
dt
dt
Supponiamo che ε(t) sia alternata, quindi si ipotizza una soluzione simile alla seguente
ε(t) = ε0 · ei·ω·t
I1 (t) = I01 · ei·(ω·t+ϕ1 )
I2 (t) = I02 · ei·(ω·t+ϕ2 )

(R2 + i · ω · L2 ) · ε(t)



I1 =


 ε(t) − L1 · ω · i · I1 (t) − M · ω · i · I2 (t) = I1 · R1

(R1 + i · ω · L1 ) · (R2 + i · ω · L2 ) + ω 2 · M 2
⇒



i · ωM · ε(t)
−L2 · i · ω · I2 (t) − M · i · ω · I1 (t) = I2 · R2


 I2 =
(R1 + i · ω · L1 ) · (R2 + i · ω · L2 ) + ω 2 · M 2
I1
R2 + i · ωL2
=−
I2
i·ω·M
nei sistemi applicativi si ha che R2 ω · L2 pertanto
I1
i · ω · R2 − ω 2 · L2
L2
i · ω · M · R2 − ω 2 · M · L2
=
'−
'
2
2
2
I2
ω ·M
ω ·M
M
L2 = µ ·
N2 2
·Σ·d
d2
⇒
L2
N2
=
M
N1
N1 · N2
·Σ·d
d2
N1
I2 ' −
· I1
N2
N2
i 2 · R2
N2
'−
⇒ v2 = −i2 · R2 '
· ε(t)
ε(t)
N1
N1
Si osserva quindi che manipolando il numero di spire del trasformatore si può modificare la corrente/tensione di utilizzo (i2 /v2 ) in un modo semplice.
M =µ·
Dimostrazione 9 (La matrice di autoinduzione è simmetrica) Supponiamo che IMMAGINE Si
possono effettuare due casi diversi
Caso 1 Si chiude prima il circuito uno
U1 =
1
1
· L1 · i1 2 + · L2 · i2 2 +
2
2
M21 ·
di2
dt
Z
M21 ·
di2
· i1 · dt
dt
è la tensione generata dal circuito due sul circuito uno
1
1
· L1 · i1 2 + · L2 · i2 2 + M21 · i1 · i2
2
2
Caso 2 Si chiude prima il circuito due
Z
1
1
di1
2
2
U2 = · L2 · i2 + · L1 · i1 + M12 ·
· i2 · dt
2
2
dt
U1 =
1
1
· L2 · i2 2 + · L1 · i1 2 + M12 · i2 · i1
2
2
Poichè lo stato finale è indupendente da quale circuito si chiude per primo allora
U2 =
U1 = U2 ⇒ M12 = M21
Nel caso di N circuiti
UM =
N
1 X
·
Mkj · ik · ij
2
k,j=1
60
6.14
Calcolo della corrente in circuiti RLC
Nel caso di circuito posto con un filo di materiale semiconduttivo (tenuto a temperatura in cui R = 0Ω
è equivalente al seguente circuito IMMAGINE pertanto, supponendo che il circuito sia indeformabile, si
ha
di
q
= −L ·
VC = VL ⇒
C
dt
derivando rispetto al tempo si ha
d2 i
i
d2 i
i
= −L · 2 ⇒ 2 +
=0
C
dt
dt
L·C
si osserva che il risultato è l’equazione del moto armonico e quindi
1
i(t) = A · sin
·t+ϕ
L·C
Se il resistore non ha valore nullo in circuito da analizzare sarà il seguente IMMAGINE supponendo che
al tempo t = 0 l’interruttore venga chiuso si ha
VL = VC + VR
Z
i · dt
di
q
di
=
+ i · R ⇒ −L ·
=
+i·R
dt
C
dt
C
si osserva che l’ultima equazione è una equazione integro-differenziale, pertanto derivando rispetto al
tempo si ha
i
di
d2 i
di
1
d2 i
+
·R⇒L· 2 +R·
+ ·i=0
−L · 2 =
dt
C
dt
dt
dt C
per risolvere l’equazione sopra, equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti,
occorre imporre due condizioni a contorno (condizioni iniziali)

i(0) = 0



−L ·
di



dt
=−
t=0
q0
L·C
Si osserva che l’espressione è analoga all’equazione del moto di una molla sottoposta al solo attrito viscoso.
m·
d2 x
dx
+k·x=0
+λ·
2
dt
dt
Se nel circuito fose presente un generatore di tensione costante ε0 non si ha la modificazione dell’equazione
differenziale ma solo di una sua condizione a contorno i(0) = εR0 .
Dall’equazione differenziale si osserva subito che i(t) ∝ eβ·t con β ∈ R
eβ·t
1
R
1
= 0 ⇒ L · β2 + R · β +
= 0 ⇒ β2 + · β +
=0
C
C
L
L·C
q !
r
R 2
4
±
− L·C
R
4
L
=−
· 1± 1− 2
2
2·L
R ·C
L · β 2 · eβ·t + R · β · eβ·t +
β=
Posto ∆ =
∆>0
R 2
L
−
4
L·C
−R
L
si ha
√
√
∆
∆
R
i(t) = e− 2·L · A · e 2 ·t + B · e− 2 ·t
∆=0
R
i(t) = e− 2·L ·t · (A + B · t)
√
p ∆ < 0 Si hanno radici complesse
∆ = i · |∆|
i(t) = e
R
2·L ·t
√
· A·e
i·
61
|∆|
·t
2
√
+B·e
−i·
|∆|
·t
2
poichè è necessario che A + B = 0 ⇒ B = −A
√
√
|∆|
|∆|
R
i(t) = A · e 2·L ·t · ei· 2 ·t − e−i· 2 ·t
inoltre poichè
ei·x − ei·x
= sin(x) si ha
2·i
i(t) = 2 · i · A · e
R
2·L ·t
!
|∆|
·t
2
p
· sin
Rappresentando le tre soluzioni di i(t) si osserva che dopo un lasso di tempo molto breve la risposta
transitoria si elimina, dando quindi corrente sarà praticamente nulla.
6.14.1
Circuito RLC con generatore non costante
Si ha il seguente circuito IMMAGINE
ε(t) + VL = VC + VR
di
di
q
d2 i
i
dε(t)
=
+i·R⇒L· 2 +R·
+
=
dt
C
dt
dt C
dt
É una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, quindi ha soluzione
ε(t) − L ·
i(t) = io (t) + ip (t)
La soluzione dell’omogenea associata, io (t), è stata già calcolata in precedenza
r
r
!

2
2
4
4
( RL ) − L·C
( RL ) − L·C

R

R 2
−
·t
−
·t
 e 2·L · A · e
2
2
−
+B·e

L




R
R 2
e− 2·L ·t · (A + B · t) r
−
io (t) =
L



4
R 2

−
( L ) L·C

R
 2 · i · A · e 2·L
R 2
·t

· sin 
· t
−

2
L

4
L·C
>0
4
L·C
=0
4
L·C
<0
Per ricavare la soluzione particolare occorre conoscere bene la formulazione di ε(t).
Si sceglie
ε(t) = ε0 · cos (ω · t + ϕ)
anche se la scelta può sembrare arbitraria si può subito intendere che si ottiene un risultato estremamente
generale; attraverso l’analisi di Fourier una qualsiasi funzione periodica può essere espressa mediante la
somma di infinite sinusoidi e cosinusoidi (sinusoidi sfasate di 90◦ ).
dε(t)
= −ε0 · ω sin(ω · t + ϕ)
dt
L·
d2 i
di
i
+R·
+
= −ε0 · ω sin(ω · t + ϕ)
2
dt
dt C
Si suppone che
iP (t) = I0 · cos(ω · t)
occorre ricavare I0 in modo che l’equazione differenziale precedente sia valida
−L · I0 · ω 2 · cos(ω · t) − I0 · R · ω · sin(ω · t) +
I0
· cos(ω · t) = −ε0 · ω · sin(ω · t + ϕ)
C
Sfruttando la relazione trigonometrica
sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± sin(β) · cos(α)
si ha
I0
· cos(ω · t) = −ε0 · ω · sin(ω · t) · cos(ϕ) − ε0 · ω · sin(ϕ) · cos(ω · t)
C
I0
2
cos(ω · t) · −I0 · L · ω +
+ ε0 · ω · sin(ϕ) + sin(ω · t) · (−I0 · ω · R + ε0 · ω · cos(ϕ)) = 0
C
−L · I0 · ω 2 · cos(ω · t) − I0 · R · ω · sin(ω · t) +
62
poichè le funzioni sin(x) e cos(x) sono funzioni perpendicolari allora perchè la somma sia nulla allora è
necessario che entrambi gli elementi tra le parentesi siano nulli, quindi

I

 −I0 · L · ω 2 + 0 + ε0 · ω · sin(ϕ) = 0
C


−I0 · ω · R + ε0 · ω · cos(ϕ) = 0
Dato che R, L, C e ω sono dati dal problema è necessario ricavare I0 e ϕ.

ω · ε0 · sin(ϕ)
−ω · ε0 · sin(ϕ)


=
I0 =

1
1
2

−
L
·
ω
L
· ω 2 − L·C

C
=


ω 2 · ε0 · sin(ϕ) · R


 ω · ε0 · cos(ϕ) =
1
L · ω 2 − L·C

ω · ε0 · sin(ϕ)
−ω · ε0 · sin(ϕ)


=
I0 =

1
1

2

L · ω 2 − L·C
C −L·ω



L·ω−

 tan(ϕ) =
R
1
C·ω
mediante la seguente relazione trigonometrica si ha
sin(α) = r
1+
1
sin(ϕ) = r
1+
R
1
L·ω− C·ω
1
1
tan(α)
2
1
L · ω − C·ω
q
=
2
2
1
R2 + L · ω − C·ω

ε0

I0 = q




R2 + L · ω −




 tan(ϕ) = L · ω −
R
2
1
C·ω
1
C·ω
da cui
i(t) = q
i(t) è massimo se L · ω −
2
1
C·ω
ε0 · cos(ω · t)
R2 + L · ω −
2
1
C·ω
=0
1
1
1
L·ω−
= 0 ⇒ L · ω2 −
= 0 ⇒ ω2 =
⇒ ωR =
C ·ω
C
L·C
r
1
L·C
Definizione 25 (Frequenza di risonanza) Si definisce frequenza di risonanza di un circuito RLC la
quantità
1
ωR = √
L·C
Si può osservare che il valore massimo per I0 è
max I0 =
ε0
R
e tracciando il grafico di I0 in funzione della frequenza ω si avrà una campana asimmetrica con valore
massimo in ωR , tracciando una retta parallela all’asse x
1 ε0
y=√ ·
2 R
valore efficace di i(t)
si interseca la campana in due punti aventi frequenza ω1 e ω2 .
63
I0(ω)
y = ε0 / R
y = ε0 / (sqrt(2) * R)
ωR
ω1
ω2
Figura 6.1: Andamento di I0 (ω) in un circuito RLC
Modificando adeguatamente i parametri R, L e C si può realizzare un amplificatore.
Ogni amplificatore ha un suo fattore di merito. Per calcolare in modo analitico i punti di intersezione
della retta
ε0
y=√
2·R
con la curva rappresentata da I0 (ω) si esegue semplicemente

ε0

y=√



2·R

ε0


y=q



R2 + L · ω −
ε0
ε
√ 0 =q
2·R
R2 + L · ω −
2
⇒L·ω−
• L·ω−
1
2 ⇒ 2 · R = R + L · ω − C · ω
2
1
C·ω
2
1
C·ω
2
⇒R = L·ω−
2
1
= ±R
C ·ω
1
=R
C ·ω
L · C · ω2 − 1 = R · C · ω ⇒ ω2 −
ω=
R
L
±
q
R 2
L
R
1
·ω−
=0
L
L·C
+
4
L·C
2
poichè è significativa la sola frequenza positiva si ha
s 2
R
1
R
4
ω2 =
+ ·
+
2·L 2
L
L·C
• L·ω−
1
= −R
C ·ω
L · C · ω 2 − 1 = −R · C · ω ⇒ ω 2 +
ω=−
R
L
±
q
R 2
L
+
R
1
·ω−
=0
L
L·C
4
L·C
2
si prende nuovamente la sola soluzione positiva e si ha
s 2
R
1
R
4
ω1 = −
+ ·
+
2·L 2
L
L·C
64
1
C ·ω
2
⇒
La distanza tra tali punti è
R
1
ω2 − ω1 =
+ ·
2·L 2
s
R
L
2


s 2
4
4
R
1
R
= R
+
+
− −
+ ·
L·C
2·L 2
L
L·C
L
Ogni amplificatore ha un fattore di merito e nel caso di amplificatore con circuito RLC tale valore vale
Q=
ω0
ω0 · L
=
ω2 − ω1
R
La potenza, istantanea, dissipata in questa tipologia di circuiti è
= ε(t) · i(t) = ε0 · cos(ω · +ϕ) · I0 · cos(ω · t) =
P (t)
= ε0 · I0 · cos2 (ω · t) · cos(ϕ) − sin(ω · t) · cos(ω · t) · sin(ϕ) =
sin(2 · ω · t)
2
= ε0 · I0 · cos (ω · t) · cos(ϕ) −
· sin(ϕ)
2
L’uguaglianza precedente è valida sfruttando la relazione sin(2 · α) = 2 · sin(α) · cos(α). Poichè si trattano
segnali sinusoidali è più interessante conoscere la potenza media
PM
PM
= ε0 · I0 ·
ω
·
2·π
Z
2·π
ω
1
= ·
T
Z
T
P (t) · dt
0
cos2 (ω · t) · cos(ϕ) −
0
ω
= ε0 · I0 · cos(ϕ) ·
·
2·π
Z
2·π
ω
0
T =
2·π
ω
sin(2 · ω · t)
· sin(ϕ) · dt =
2
ω
ε0 · I0 · sin(ϕ)
·
·
cos (ω · t) · dt −
2
2·π
2
Z
2·π
ω
sin(2 · ω · t) · dt =
0
2·π
2·π
sin(ω · t) · cos(ω · t)
t ω
ε0 · I0 · sin(ϕ)
ω
cos(2 · ω · t) ω
ω
·
+
−
·
· −
=
= ε0 · I0 · cos(ϕ) ·
2·π
2·ω
2 0
2
2·π
2·ω
0
i ε · I · sin(ϕ)
ω h
π
ω
1
1
0
0
= ε0 · I0 · cos(ϕ) ·
· 0+ −0−0 −
·
· −
− −
2·π
ω
2
2·π
2·ω
2·ω
ε0 · I0 · cos(ϕ)
2
Definendo i valori di tensione efficace e corrente efficace (definizione dovuta a Galileo Ferraris)
=
ε0
εef f = √
2
I0
ief f = √
2
si ha che
PM = εef f · oef f · cos(ϕ)
6.15
6.15.1
Cenni di Relatività ristretta
Invarianza di Gauge
Partendo dalle equazioni di Maxwell
~ ·E
~ = q
∇
ε0
~ ·B
~ =0⇒B
~ =∇
~ ×A
~
∇
~
~
~ ×E
~ = − ∂B ⇒ E
~ = −∇V
~ = ∂A
∇
∂t
∂t
~
~ ×B
~ = µ0 · ~j + ε0 · µ0 · ∂ E
∇
∂t
65
É possibile scrivere le quattro equazioni precedenti solo in funzione di A e V .
~0 = A
~ + ∇s
~ con s una funzione scalare qualsiasi.
Se si pone A
~0 = ∇
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~+∇
~ × ∇s
~ =∇
~ ×A
~
B
~
~
~ 0 = −∇V
~ −∇
~ ∂A − ∂ ∇s 6= E
E
∂t
∂t
Se si pone
V0 =V −
∂s
∂t
si ha
~
~
~ − ∂A = E
~ 0 = −∇V
~ 0 − ∂A − ∂ ∇s = −∇V
~ +∇
~ ∂s − ∂A − ∂ ∇s (1)
~
= −∇V
E
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
L’uguaglianza (1) è valida in quanto la derivata temporale e il gradiente (derivata spaziale) sono indipen~
denti. Perciò con la trasformazione di Gauge vi sono infinite A e V che restituiscono gli stessi campi E
~
e B.

∂s

 V0 =V −
∂t
trasformazione

 ~0
~ + ∇s
~
A =A
~ ·A
~ = − 1 · ∂V
∇
Gauge di Lorentz
c2 ∂t
!
~
~
~ ~
∂A
ρ
~
~
~ · ∂ A = −∇2 V − ∂ ∇ · A = ρ
∇ −∇V −
=
⇒ −∇2 V − ∇
∂t
ε0
∂t
∂t
ε0
L’ultima relazione è il teorema di Gauss espresso in funzione di V e A.
∂ − c12 · ∂V
ρ
2
∂V
−∇ V −
=
∂t
ε0
∇2 V −
ρ
1 ∂2V
·
=−
c2 ∂t2
ε0
L’ultima relazione è il teorema di Gauss espresso solo in funzione di V .
In molti testi si utilizza la seguente notazione
1 ∂2V
ρ
·
⇒ V = −
2
2
c
∂t
ε0
~ − ∂ A~
∂ −∇V
∂t
~ ×∇
~ ×A
~ = µ0 · ~j + ε0 · µ0 ·
∇
∂t
~ ×∇
~ ×A
~=∇
~ ∇
~ ·A
~ − ∇2 A
Per la proprietà di analisi si ha che ∇
V = ∇2 V −
2~
~
~ ∇
~ ·A
~ − ∇2 A = µ0 · ~j − ε0 · µ0 · ∂ ∇V − ε0 · µ0 · ∂ A
∇
∂t
∂t2
~
~
1 ∂V
∂ ∇V
∂2A
~
∇ − 2·
− ∇2 A = µ0 · ~j − ε0 · µ0 ·
− ε0 · µ0 · 2
c
∂t
∂t
∂t
poichè per definizione si ha che
1
= ε0 · i 0
c2
allora
~
~ − 1 · ∂V = −ε0 · µ0 · ∂ ∇V
∇
2
c
∂t
∂t
~
1 ∂2A
~ = −µ0 · ~j
·
= −µ0 · ~j ⇒ A
c2 ∂t2
Si hanno quindi le seguenti “nuove” relazioni
~−
∇2 A
V = −
66
ρ
ε0
~ = −µ0 · ~j
A
~ =∇
~ ×A
~
B
~
~ = −∇V
~ − ∂A
E
∂t
1
~ ·A
~ = − · ∂V
∇
c2 ∂t
Tali relazioni sono equivalenti alle equazioni di Maxwell, ma consentono di avere una visione molto più
ampia, in quanto poichè si vive in un mondo in 4 dimensioni (3 spaziali e 1 temporale)2 .
xi = (x1 , x2 , x3 ) ≡ (x, y, z)
∈C
xµ = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ≡ (x, y, z, i · c · t)
q
q
p
2
d = |xµ | = |xµ | · |xµ | = x2 + y 2 + z 2 − c2 · t2 ∈ C
d ∈ C in quanto l’argomento della radice potrebbe anche essere negativo.
~ · x~i = ∂x1 , ∂x2 , ∂x3
∇
∂x ∂x ∂x
~ · x~µ = ∂x1 , ∂x2 , ∂x3 , 1 · ∂x4
∇
∂x ∂x ∂x i · c ∂t
Si definiscono due nuovi vettori quadridimensionali
V
Aµ ≡ Ax , Ay , Az , i ·
c
Jµ ≡ (Jx , Jy , Jz , i · c · ρ)
Si possono verificare banalmente le seguenti relazioni
~ · x~µ · ∇
~ · x~µ = xµ
∇
Aµ = −µ0 · Jµ
A4 = −µ0 · J4 ⇒ i ·
2
V = −c · µ0 · ρ = −
V
c
= −i · c · ρ · µ0
µ0
ρ
·ρ=−
ε0 · µ0
ε0
Aµ fornusce tutte le informazioni fornite dalle equazioni di Maxwell.
~ · J~µ
∇
~ · A~µ = 0 ⇒ ∇
~ ·A
~+
∇
6.16
rappresenta la legge di conservazione della carica
∂i · Vc
1
~ ·A
~ + 1 · ∂v = 0
·
=∇
i·C
∂t
c2 ∂t
Gauge di Lorentz
Fenomeni ondulatori
Le onde sono l’aspressione di perturbazione del sistema, non si ha spostamento di materia ma solo
trasporto di energia e/o quantità di moto.
In generale si ha che
1 ∂ 2 Ψ(x, y, z, t)
∂ 2 Ψ(x, y, z, t) ∂ 2 Ψ(x, y, z, t) ∂ 2 Ψ(x, y, z, t)
+
+
=
·
∂x2
∂y 2
∂z 2
v2
∂t2
∇2 Ψ =
1 ∂ 2 Ψ(x, y, z, t)
·
v2
∂t2
con v è la velocità di propagazione dell’onda.
Per semplicià di calcolo si tratteranno equazioni di onde che si muovono solo lungo un asse (si sceglie
2 NOTAZIONE : si metterà un pedice latino nel caso di vettori tridimensionali; mentre si metterà un pedice greco nel
caso di vettori quadridimensionali
67
l’asse x); si può modificare il sistema di riferimento in modo da posizionarsi in questa situazione. Si ha
che
1 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂ 2 Ψ(x, t)
=
·
∂x2
v2
∂t2
equazione alle derivate parziali in cui le condizioni a contorno forniscono la forma della soluzione.
Ψ(x, t) = a1 · H(x − v · t) + a2 · G(x + v · t) ⇒ Ψ(x, t) = F (x ± v · t)
a1 , a2 ∈ R
Dimostrazione 10 Definendo u = x ± v · t si ha
∂Ψ
∂ 2 Ψ ∂u
∂Ψ ∂u
∂Ψ
∂2Ψ
∂2Ψ
=
·
=
·
=
=⇒
=
∂x
∂u ∂x
∂u
∂x2
∂u2 ∂x
∂u2
∂2Ψ
∂2Ψ 2
∂Ψ
∂Ψ ∂u
∂Ψ
∂2Ψ
=
· (±v)2 =
·v
=
·
=
· (±v) =⇒
2
2
∂t
∂u ∂t
∂u
∂t
∂u
∂u2
∂ 2 Ψ(x, t)
1 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂2Ψ
1 ∂2Ψ 2
=
·
⇒
=
·
·v
∂x2
v2
∂t2
∂u2
v 2 ∂u2
Si impone Ψ sempre di tipo seno o coseno in quanto ogni funzione è la somma di insinite sinusoidi e
cosinusoidi (Serie di Fourier ), ma è necessario che si trattino elementi lineari (fisica classica).
Ψ(x, y, z) = Ψ0 · sin ~k · ~x − ~k · ~v · t
Poichè si suppone che l’onda si propaghi solo lungo l’asse x si ha che
Ψ(x, t) = Ψ0 · sin [k · (x − v · t)]
[k] = [m]−1 , ω = k · v
Ψ(x, y) = Ψ0 · sin (k · x − ω · t)
Definizione 26 (Lunghezza d’onda) Si definisce lunghezza d’onda la distanza, spaziale, minima tra
due “picchi”.
2·π
k · (x2 − x1 ) = k · λ = 2 · π ⇒ λ =
k
Definizione 27 (Periodo) Si definisce periodo la distanza, temporale, minima tra due “picchi”.
k · (t2 − t1 ) = 2 · π ⇒ ω · T = 2 · π ⇒ T =
2·π
ω
Si può osservare facilmente la seguente relazione
ω =k·v ⇒
2·π
2·π
=
· v =⇒ λ = T · v
T
λ
L’equazione d’onda può essere riscritta nel seguente modo:
x
t
Ψ(x, t) = Ψ0 · sin 2 · π ·
−
λ T
Nel caso più generale si dovrebbe aggiungere all’argomento della funzione seno/coseno una fase iniziale
x
t
Ψ(x, t) = Ψ0 · sin 2 · π ·
−
+ ϕ0
λ T
Vi sono essenzialmente due tipologie di onde:
onde longitudinali descritte da un vettore che è funzione di x e ha come unica componente la x
onde trasversali descritte da componenti dell’onda solo in direzione perpendicolari al moto dell’onda
Esempio 11 (Polarizzazione di un’onda)
Ψy = Ψy 0 · sin(k · x − ω · t + ϕy )
Ψz = Ψz 0 · sin(k · x − ω · t + ϕz )
Se ϕz − ϕy = 0 l’onda è polarizzata linearmente
Se ϕz − ϕy = π2 + k · π k ∈ N l’onda è polarizzata in modo ellittico; se Ψy 0 = Ψz 0 si dice che l’onda è
polarizzata in modo circolare.
68
6.16.1
Intensità di un’onda
Pm =
energia
W ·Σ·l
=
=w·Σ·v
tempo
t
Si definisce intensità di un’onda la quantità
I=
6.16.2


 w·v
Pm
=

Σ
 F · l = Pressione · v
t·Σ
Onde sferiche
Importanti poichè si ha la propagazione dell’onda a partire da un punto, si potrà notare che l’onda sarà
solo funzione del raggio (quindi della distanza).
∂Ψ
∇2 Ψ =
1 ∂ r2 · ∂r
·
r2
∂r
Ψ = Ψ(r, ϑ, ϕ, t)
∂ sin ∂Ψ
1 ∂2Ψ
1
1
∂2Ψ
∂ϑ
= 2· 2
·
·
+ 2
+ 2
2
r · sin(ϑ)
∂ϑ
r · sin(ϕ) ∂ϕ
v
∂t
poichè Ψ è indipendente dall’angolo si ha
1 ∂ r2 · ∂Ψ
1 ∂ 2 (r · Ψ)
1 ∂2Ψ
∂ 2 (r · Ψ)
1 ∂ 2 (r · Ψ)
1 ∂2Ψ
∂r
·
= 2· 2 ⇒
= 2·
= 2· 2 ⇒ ·
2
2
2
r
∂r
v
∂t
r
∂r
v
∂t
∂r
v
∂t2
Si osserva che è una equazione di onde, infatti F = r · Ψ soddisfa l’equazione delle onde
Φ(r, t) =
F (k · r − v · t)
r
F0
· sin(k · r − v · t)
r
Si può osservare che l’ampiezza dell’onda descesce con la distanza.
Ψ(r, t) =
6.16.3
Onde cilindriche
Se si hanno tante sorgenti poste su un asse, si vedrà che l’onda risultante sarà solo dipendente dalla
distanza dall’asse.
1 ∂ r · ∂Ψ
1 ∂2Ψ ∂2Ψ
1 ∂2Ψ
2
∂r
∇ Ψ= ·
+ 2·
+
=
·
r
∂r
r
∂ϑ2
∂z 2
v 2 ∂t2
poichè l’onda è solo dipendente da x si ha
1 ∂ r · ∂Ψ
1 ∂2Ψ
1
∂Ψ
∂2Ψ
1 ∂Ψ ∂ 2 Ψ
1 ∂eΨ
∂r
·
= 2· 2 ⇒ ·
+r·
= ·
+
= 2· 2
2
2
r
∂r
v
∂t
r
∂r
∂r
r ∂r
∂r
v
∂t
L’equazione sofra, equazione di Bessel, non è una equazione delle onde nella forma in qui è stata definita,
ma si può dimostrare che
Ψ0
Ψ(r, t) = √ · sin(k · r − ω · t)
r
Per spiegare il fattore
√1
r
si può eseguire questo semplice passaggio logico.
PM = I · Σ
I ∝ w ∝ Ψ2 −→ PM ∝ Ψ2 · Σ = Ψ2 · 2 · π · r · l = costante
r
costante
costante
1
2
Ψ =
⇒Ψ=
= costante0 f · √
2·π·r·l
2·π·r·l
r
Definizione 28 (Onda piana) Si definisce onda piana un’onda che giace su un piano di lunghezza
infinita.
Teorema 4 (Principio di indeterminazione di Heisenberg) Dato un microsistema quantico, non
è possibile conoscere esattamente la posizione e la velocità di un elemento, perchè tale misurazione ne
altererebbe lo stato.
69
6.16.4
Ona di lunghezza finita
IMMAGINE
∆x = N · λ
∆t = N · T
con N non definito (al più varia di 1 dal valor vero).
k=
2·π
2·π
=
·N
λ
∆x
∆k =
ω=
2·π
· ∆N
∆x
∆ω =

 ∆x · ∆k ≥ 2 · π

2·π
2·π
=
·N
T
∆T
2·π
· ∆N
∆T
p=~·k
∆ω · ∆t ≥ 2 · π
permiabilità
E =~·ω
energia
~ è la costante di Plank.
In sintesi avendo un’onda finita si ha necessariamente un’indeterminazione.
6.16.5
Somma di onde distinte
Se Ψ è la somma di due onde distinte si ha
Ψ(x, t) = A · sin(k1 · x − ω1 · t) + A · sin(k2 · x − ω2 · t)
utilizzando la seguente proprietà trigonometrica si ha sin(α)+sin(β) = 2·sin α+β
·sin α−β
Definendo
2
2
∆k =
k2 − k1
2
∆ω =
ω2 − ω1
2
km =
k1 + k2
2
ωm =
ω1 + ω2
2
∆k
∆ω
Ψ(x, t) = 2 · cos
·x−
· t · sin(km · x − ωm · t)
2
2
∆k
∆ω
A0 = 2 · cos
·x−
·t
Ψ(x, t) = A0 · sin(km · x − ωm · t)
2
2
IMMAGINE
vf ase =
ωm
km
vgruppo =
∆ω
∆k
vf ase è la velocità della sinusoide interna (quella con frequenza maggiore, mentre vgruppo è la velocità
dell’inviluppo A0 .
In generale vgruppo < c; nel caco in cui risulti maggiore di c l’onda si disperde e quindi non può più essere
considerato un segnale.
Generalizzando
dω
vgruppo =
dk
se si prende k · v = ω(k) e si deriva rispetto a k si ha
v+k·
dv
dω
=
dk
dk
di conseguenza
vgruppo = vf ase + k ·
6.17
dv
dk
Onde elettromagnetiche
Per lo studio delle onde elettromagnetiche è necessario riscrivere le equazioni di Maxwell
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
70
~
~ ×B
~ = µ0 · J~ + ε0 · µ0 · ∂ E
∇
∂t
6.17.1
Relazione tra l’onda del campo elettrico e l’onda del campo magnetico
~ =0eB
~ =0
Supponendo di essere in uno spazio vuoto (senza cariche e circuiti) ρ = 0 e J~ = 0, perciò E
~
~
è una soluzione banale ma si può dimostrare che vi è una soluzione di E e B dipendente dal tempo (non
~ una distribuzione statica di cariche e quindi
possono essere costanti perchè in tal caso si suppone per E
non si può avere un’onda).
Si è certi di avere un’onda basandosi sulla
relatività ristretta.
A = µ0 · J~ = 0
Φ = − ερ0 = 0
Supponendo per semplicità che l’onda si propaghi solo sull’asse x e che tutte le proprietà dipendano da
x e t (i risultati avranno validità generale).
∂Ex
∂Ey
∂Ez
ρ
+
+
=
=0
∂x
∂y
∂z
ε0
~ è indipendente da y e z si ha che
poichè E
∂Ex
= 0 ⇒ Ex = costante = 0
∂x
~ ≡ (0, Ey (x, t), Ez (x, t))
E
∂Bx
∂By
∂Bz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
~ è indipendente da y e z si ha che
poichè B
∂Bx
= 0 ⇒ Bx = costante = 0
∂x
~ ≡ (0, By (x, t), Bz (x, t))
B
bi
~ ×E
~ = det
∇
b
j
b
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
0
Ey
Ez
= bi ·
∂Ez
∂Ey
−
∂y
∂z
−b
j·
∂Ez
∂x
+b
k·
∂Ey
∂x
=−
∂By b ∂Bz b
·j−
·k
∂t
∂t
uguagliando le singole componenti si ha che

∂Ez
∂By



 ∂x = ∂t


∂Bz
∂Ey


=−
∂x
∂t
~ B
~ = det
∇×
bi
b
j
b
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
0
By
Bz
∂Bz
∂By
∂Bz
∂By
∂Ey b
∂Ez b
b
b
b
= i·
−
−j ·
+ k·
= ε0 ·µ0 ·
· j +ε0 ·µ0 ·
·k
∂y
∂z
∂x
∂x
∂t
∂t
uguagliando le singole componenti si ha che


 ∂Bz = −ε0 · µ0 · ∂Ey

 ∂x
∂t


∂By
∂Ez


= ε0 · µ0 ·
∂x
∂t
~ eB
~
si hanno quindi quattro relazioni tra le componenti di E
 ∂E
∂By
z

=



∂x
∂t






∂Ey
∂Bz



 ∂x = − ∂t


∂Bz
∂Ey


= −ε0 · µ0 ·


∂x
∂t







 ∂By = ε · µ · ∂Ez
0
0
∂x
∂t
71
Derivando rispetto a t l’equazione
∂Ez
∂x
=
∂By
∂t
∂ 2 Ez
∂ 2 By
=
∂x · ∂t
∂t2
da cui
1
= ε0 · µ0
c2
e rispetto a x l’equazione
∂Ez
∂x
=
∂By
∂t
∂ 2 By
∂ 2 Ez
=
∂x2
∂x · ∂t
si ha
∂Ey
∂x
∂Ez
∂t
si ha
equazione delle onde per Ez
∂Bz
∂x
= −ε0 · µ0 ·
∂Ey
∂t
si ha
∂Ey
∂t
si ha
∂ 2 Bz
∂ 2 Ey
= −ε0 · µ0 ·
2
∂x
∂x · ∂t
equazione delle onde per Bz
z
= − ∂B
∂t e rispetto a t l’equazione
∂ 2 Ey
∂ 2 Bz
=
−
∂x2
∂x · ∂t
= ε0 · µ0 ·
∂ 2 By
∂ 2 Ez
= ε0 · µ0 ·
∂x · ∂t
∂t2
∂ 2 Bz
∂ 2 Bz
∂ 2 Bz
1 ∂ 2 Bz
= c2 ·
⇒
− 2·
=0
2
2
2
∂t
∂x
∂x
c
∂t2
∂Ey
∂x
∂By
∂x
z
= − ∂B
∂t e rispetto a x l’equazione
∂ 2 Ey
∂ 2 Bz
=− 2
∂x · ∂t
∂t
Derivando rispetto a x l’equazione
equazione delle onde per By
e rispetto a t l’equazione
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
1 ∂ 2 Ez
=
ε
·
µ
·
⇒
−
·
=0
0
0
∂x2
∂t2
∂x2
c2 ∂t2
Derivando rispetto a t l’equazione
da cui
∂Ez
∂t
Derivando rispetto a x l’equazione
da cui
= ε0 · µ0 ·
∂ 2 By
∂ 2 Ez
=
ε
·
µ
·
0
0
∂x2
∂x · ∂t
2
∂ 2 By
∂ 2 By
1 ∂ 2 By
2 ∂ By
=
c
·
⇒
−
·
=0
∂t2
∂x2
∂x2
c2 ∂t2
da cui
∂By
∂x
−
∂Bz
∂x
= −ε0 · µ0 ·
∂ 2 Bz
∂ 2 Ey
= ε0 · µ0 ·
∂x · ∂t
∂t2
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
1 ∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
=
ε
·
µ
·
⇒
−
·
=0
0
0
∂x2
∂t2
∂x2
c2 ∂t2
equazione delle onde per Ey
~ e B
~ sono onde che si propagano con
Dai passaggi precedenti si evince che tutte le componenti di E
velocità c. (Nel caso in cui non si è nel vuoto la velocità passa da c a v)
~ = E(x
~ − c · t)
~ = B(x
~ − c · t)
E
B
∂By
z
Sostituendo nella prima equazione ∂E
, i valori delle componenti ricavate si ha
∂x = ∂t
∂Ex (x − c · t)
∂By (x − c · t)
=
∂x
∂t
integrando rispetto al tempo si ha
Z
Z
∂By (x − c · t)
∂Ex (x − c · t)
· dt =
· dt
By =
∂t
∂x
1
du
ponendo u = x − c · t −c · dt = du ⇒ dt = − · du ⇒
= 1 si ha
c
dx
Z
Z
∂Ex (x − c · t)
1
∂Ex (x − c · t)
Ez
By =
· dt = − ·
· du = −
∂x
c
∂x
c
∂E
z
Sostituendo nella seconda equazione ∂xy = − ∂B
, i valori delle componenti ricavate si ha
∂t
∂Ey (x − c · t)
∂Bz (x − c · t)
=−
∂x
∂t
integrando rispetto al tempo si ha
Z
Z
∂Bz (x − c · t)
∂Ey (x − c · t)
Ey
Bz =
· dt = −
· dt =
∂t
∂x
c
72
In definitiva si ha che
~ = (0, Ey (x, t), Ez (x, t))
E
~ =
B
Ez (x, t) Ey (x, t)
0, −
,
c
c
~ eB
~ sono perpendicolari tra loro
Si dimostra che E
Ey
Ez
Ey
Ez
~
~
+ Ez ·
= −Ey ·
+ Ez ·
=0
E · B = 0 · 0 + Ey · −
c
c
c
c
Se l’onda si muove in uno spazio isotropo si definisce
n=
c= √
1
ε0 · µ0
c
≥1
v
v=√
1
1
=p
ε·µ
ε0 · kε · µ0 · kµ
p
p
ε0 · kε · µ0 · kµ
= kε · kµ
√
ε0 · µ0
√
in generale si trattano materiali con kµ ≈ 1 pertanto n ≈ kε
n=
6.17.2
Energia associata all’onda elettromagnetica
1
1
· ε0 · E 2 +
· B2
2
2 · µ0
q
~
|E| = E = Ey 2 + Ez 2
s
2
2
~ = B = Ez + Ey = E
|B|
c2
c2
c
W =
W =
1
1
1
1
ε0 · µ0
1
E2
· ε0 · E 2 +
· B 2 = · ε0 · E 2 +
· 2 = · ε0 · E 2 +
· E 2 = ε0 · E
2
2 · µ0
2
2 · µ0 c
2
2 · µ0
~ e B.
~
In un’onda elettromagnetica si hanno due contributi, in egual misura, dipendenti da E
6.17.3
Vettore di Poynting
Un’onda elettromagnetica è sempre racchiusa in un volume finito τ
Z
Z
1
1
B2
U = · ε · E 2 · dτ + ·
· dτ
2
2
µ
poichè E · ε = D e H =
∂U
=
∂t
Z
B
µ
si ha
~
~ · ∂ E · dτ +
ε·E
∂t
Z
~
1 ~ ∂B
·B·
· dτ =
µ
∂t
Z
~
~ · ∂ D · dτ +
E
∂t
~ ×H
~ = J~ +
poichè si ha (per la terza e quarta equazione di Maxwell) ∇
∂U
∂t
Z
=
=
~
~ · ∂ D · dτ +
E
∂t
Z
~
~ · ∂ B · dτ =
H
∂t
Z
~
∂D
∂t
Z
~
~ · ∂ B · dτ
H
∂t
~ ×E
~ = − ∂ B~
e∇
∂t
Z
h
i
h
i
~
~
~
~
~ · −∇
~ ×E
~ · dτ =
E · ∇ × H − J · dτ + H
Z h
Z h
i
i
~ ·∇
~ ×H
~ −H
~ ·∇
~ ×E
~ −E
~ · J~ · dτ = −
~ · E
~ ×H
~ +E
~ · J~ · dτ =
E
∇
=−
Z Z
Z
~
~
~
~
E × H · ~n · dΣ − E · J · dτ = −
Σ
Σ
~
~×B
E
µ
!
Z
· ~n · dΣ −
Definizione 29 (Vettore di Poynting) Si definisce vettore di Poynting
~ ×B
~
E
I~ =
µ
73
~ · J~ · dτ
E
Z
Z
∂U
~
~ · J~ · dτ
−
=
I · ~n · dΣ + E
∂t
Σ
R
~ · J~ · dτ = 0
Si può dimostrare semplicemente che E
Dimostrazione 11 La carica presente in un’unità di volume è
q · dN = n · dτ · q
n è il numero di elettroni per unità di volume, dτ è il volume considerato e dN è il numero di elettroni
presenti nel volume considerato.
~ + ~v × B
~
dF~ = dN · q · E
forza di Lorenz che le cariche del volumetto dτ risentodo per effetto dell’onda elettromagnetica
~ · ~v + dN · q · ~v · ~v × B
~ = dN · q · E
~ · ~v
dP = dF~ · ~v = dN · q · E
~ · J~ · dτ è l’effetto Joule dell’onda; pertanto nel vuoto tale integrale è nullo.
Si ha quindi che E
Se l’onda si propaga nek vuoto si ha che Pressione =
6.17.4
I~
c
Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo
Dall’esperienza diretta si può osservare che su un metallo le onde elettromagnetiche vengono riflesse, basti
pensare a uno specchio sulle quali è certo che le onde elettromagnetiche con frequenza nella regione del
visibile vengono riflesse.
Tali affermazioni possono essere
di Maxwell.
dimostrate utilizzando le leggi ~ = ε · E,
~ J~ = σ · E,
~ B
~ =µ·H
~
Si effettua l’analisi nel vuoto D
~
~
~ ×E
~ = − ∂B
~ ×H
~ = J~libere + ∂ D
∇
∇
∂t
∂t
h
i
h
i
h
~ ×B
~
~ × µ·H
~
~ +ε·
∂ ∇
∂ ∇
∂ σ·E
~ ×∇
~ ×E
~ =−
~ ∇
~ ·E
~ − ∇2 E
~ = −µ ·
∇
=−
⇒∇
∂t
∂t
∂t
~
~
poichè si considera la riflessione in un metallo ∇ · E = 0 si ha
~ ·D
~ = ρlibere = 0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
∂E
∂t
i
~
~
∂2E
∂E
−µ·ε·
2
∂t
∂t
h
i
~ ×D
~
~ ∇
~ ·B
~
∂ ∇
∇
~
~
~
∇2 B
∂B
∂2B
~ ×∇
~ ×H
~ =σ· ∇
~ ×E
~ +
∇
⇒
−
= −σ ·
−ε·
2
∂t
µ
µ
∂t
∂t
~ = −µ · σ ·
−∇2 E
~ ·B
~ = 0 si ha
poichè ∇
~
~
∂B
∂2B
−µ·ε·
2
∂t
∂t
~
~
Si osserva che entrambe le relazioni ottenute per E e B sono nella stessa forma e late forma è nota come
equazione del telegrafo; pertanto è sufficiente risolvere solo una delle due per avere una soluzione per
entrambe.
Supponendo che l’onda si propaghi solo lungo l’asse x si ha
~ = −µ · σ ·
−∇2 B
∂ 2 E(x, t)
∂ 2 E(x, t)
∂E(x, t)
−
µ
·
ε
·
−
µ
·
σ
·
=0
∂x2
∂t
∂t2
supponendo E(x, t) = Φ(x) · ei·ω·t si ha
∂ 2 Φ(x) i·ω·t
·e
− i · ω · µ · σ · Φ(x) · ei·ω·t + ω 2 · µ · ε · Φ(x) · ei·ω·t = 0
∂x2
dividendo per ei·ω·t (poichè sempre non nullo) si ha
∂ 2 Φ(x)
− i · ω · µ · σ · Φ(x) + ω 2 · µ · ε · Φ(x) = 0
∂x2
74
Se ω · µ · σ ε · µ · ω 2 si ha che σ ε · ω; tali relazioni valgono per tutti i metalli in presenza di radiazioni
luminose, pertanto ci si riduce a studiare
∂ 2 Φ(x)
− i · ω · µ · σ · Φ(x) = 0
∂x2
equazione di un oscillazione/moto armonico
pertanto si pone Φ(x) = A · ei·β·x
∂ 2 Φ(x)
− i · ω · µ · σ · Φ(x) = 0 =⇒ −A · β 2 · ei·β·x − i · ω · µ · σ · A · ei·β·x = 0
∂x2
poichè ei·ω·x 6= 0 allora
−A·β 2 −i·ω·µ·σ·A = 0 ⇒ β 2 +i·ω·µ·σ = 0 ⇒ β =
da cui
E(x, t) = A · ei·
√
2
√
√
2
2 ·(1+i)· ω·µ·σ·x
p
−i · ω · µ · σ =
√
√
−i· ω · µ · σ =
√
· ei·ω·x = A · ei·ω·t · ei·
√
√
2
2 √
2 · ω·µ·σ·x
√
√
2
·(1+i)· ω · µ · σ
2
√
· e−
2 √
2 · ω·µ·σ·x
√
A · ei·ω·t · ei· 2 · ω·µ·σ·x è l’onda standard, mentre e− 2 · ω·µ·σ·x è un fattore che indica di quando l’onda
√
penetra nel metallo, minore è tale valore tanto più la radiazione verrà riflessa. Poichè nei metalli 22 ·
√
ωvisibile · µ · σ è un valore molto elevato e si ha un esponenziale negativo allora si potrà calcolare che
l’onda penetri nel metallo per una distanza pari a 10−6 ÷ 10−8 m.
6.17.5
Legame tra velocità di gruppo e velocità di fase
Riepilogando quanto espresso precedente si ha
n=
c
v
∂ 2 E(x, t)
1 ∂ 2 E(x, t)
−
·
=0
∂x2
v2
∂t2
v=√
p
1
1
c
=p
=p
⇒ c = kε · kµ
ε·µ
ε0 · kε · µ0 · kµ
kε · kµ
In generale si trattano materiali diamagnetici (kµ ≈ 1) pertanto c ≈
~
E
~
B
~
E
= v se il materiale è isotropo
r
Z=
µ
=
ε
r
1
· ε · v · E0 2
2
densità di energia W =
kε
1
⇒
= µ·v = µ· √
=
ε·µ
~
~
H
µ·H
µ0 · kµ
1
= se kµ ≈ 1 = √ ·
ε0 · kε
kε
I=
~
E
√
r
µ
= Z[Ω] impedenza del materiale
ε
r
µ0
Z0
=
Z0 = 377Ω impedenza nel vuoto, costante
ε0
n
r
1
ε
1
ε
1 n
n
= ·√
· E0 2 = ·
· E0 2 = ·
· E0 2 =
· Eef f 2
2
ε·µ
2
µ
2 Z0
Z0
1
B2
1
E2
1
1
· ε0 · E 2 +
= · ε0 · E 2 +
= · ε0 · E 2 + · ε0 · E 2 = ε0 · E 2
2
2 · µ0
2
2 · µ0 · c2
2
2
Ora si ha che
vg =
dω
dk
vF =
vg = v F + k ·

dvF
dvF dω
dvF



 dk = dω · dk = dω

1


 dvF = c · d n = − c
dω
dω
n2
· vg
·
dn
dω
⇒ vg =
c
n
dvF
dk
c dn
⇒ vg = vF +k ·vg · − 2 ·
n dω
= vF −vF ·vg ·
k dn
ω
dn
·
= vF − ·vg ·
n dω
n
dω
vF
vF · n
c
=
=
= vg
ω dn
dn
dn
1+ ·
n+ω·
n+ω·
n dω
dω
dω
dn
nell’ultima relazione dω
potrebbe anche essere negativo, pertanto si potrebbe anche avere vg > c ma in
tal caso l’onda si disperde pertanto non lo si considera più un segnale.
75
6.17.6
Spettro di onde elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche possono essere classificate in diverse classi, in base alla lunghezza dell’onda
elettromagnetica
onde Herziane sono onde televisive/radiofoniche, hanno lunghezza d’onda λ ∈ [3 · 10−1 , 106 ]m
micro onde λ ∈ [10−3 , 3 · 10−1 ]m
onde infrarosse onde dovute alla temperatura dell’oggetto λ ∈ [7.8 · 10−7 , 10−3 ]m
onde visibili onde elettromagnetiche visibili dall’occhio umano λ ∈ [3.8 · 10−7 , 7.8 · 10−7 ]m
onde ultraviolette raggi UV λ ∈ [6 · 10−10 , 3.8 · 10−7 ]m
raggi X con λ ∈ [6 · 10−12 , 6 · 10−10 ]m
raggi γ con λ < 10 · 10−10 m
l’occhio umano è in grado di percepire solo una piccolissima dello spettro elettromagnetico (meno di un ordine di
grandezza)
Le onde elettromagnetiche sono dannose per l’organismo umano se hanno lunghezza d’onda comparabile
con la scala atomico, infatti una lunga esposizione ai raggi ultravioletti può provocare cancro all’epidermide, mentre i raggi γ procurano gravissime mutazioni alla struttura del DN A.
Attraverso approfonditi studi sugli spettri elettromagnetici sono state formulate due leggi, generali, che
sftuttano le caratteristiche di tale spettro
Teorema 5 (Legge di Wien) É possibile stabilire la temperatura massima di un corpo se è nota la
lunghezza d’onda, λmax , per la quale l’emissione elettromagnetica è massima
λmax · T = b =⇒ T =
con T[Kelvin] , λmax[m] e b = 2.8977685 · 10
−3
b
λmax
[m·K]
r
5
Fmax = k · T =⇒ T =
5
Fmax
k
att
con T[Kelvin] , Fmax[Hz] e k = 1.287 · 10−6 mW3 ·K
5
Teorema 6 (Legge di Stefan-Boltzmann) Tale legge affera che l’energia emessa da tutto lo spettro
è pari a
v
u Z +∞
u
u
4
Z +∞
F (λ) · dλ
t 0
F (λ) · dλ = k · T 4 =⇒ T =
k
0
con T[Kelvin] , λ[m] e k = 5.67 · 10−8 [
6.17.7
W att
m2 ·K 4
]
Onda elettromagnetica in un dielettrico
L’analisi parte dalle equazioni di Maxwell espresse in presenza di un dielettrico
~ ·E
~ = ρp
∇
ε0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
σp = P~ · m
~
~
~ ×B
~ = µ0 · J~p + ε0 · µ0 · ∂ E
∇
∂t
~ · P~
ρ p = −∇
~
si ha ρ0 e J~p in funzione di P~ e P~ è in funzione di E
in un dielettrico vi sono solo cariche di polarizzazione e correnti di polarizzazione (queste ultime non sono
vere correnti ma sono movimenti di cariche dovuti alle cariche di polarizzazione); nell’analisi le modifiche
del campo elettrico/magnetico dovute al dielettrico sono intrinseche nei valori numerici di ρp e J~p (non
si usano quindi ε e µ ma si continuano ad usare ε0 e µ0 ).
P~ = N · p~ se ho N atomi e ogni atomo ha p~ come momento magnetico
Z
Z
X
~
~
~
P =
qi · di = d · dq = d~ · ρ · dV
i
76
d~ è uno sposamento
Per semplicità di analisi si considera un volume sufficientemente piccolo tale da contenere un’unico atomo,
pertanto nel caso specifico P~ = p~
Z
∂ P~
= ~v · ρ · dV
∂t
Z
N
∂ P~
J~p = n · q · ~v =
· q · ~v = N · ρ · ~v ⇒ J~p = ρ · ~v =⇒
= J~p · dV
dτ
∂t
Poichè
N
V
· p~ = P~ si ha
∂ p~
1 ∂~
p
∂ P~
·
= V =
= J~p
V ∂t
∂t
∂t
~
~
~ ×B
~ = µ0 · ∂ P + ε0 · µ0 · ∂ E
sostituendo si ha ∇
∂t
∂t
~ ×E
~ si ha che
Applicando il rotore alla definizione del ∇
h
~ ×B
~
∂ ∇
∂ µ0 ·
~ ×∇
~ ×E
~ =−
~ ∇
~ ·E
~ − ∇2 E
~ =−
∇
⇒∇
∂t
~ ·E
~ =
poichè ∇
~ P
~
∇·
ε0
~
∂P
∂t
+ ε0 · µ0 ·
~
∂E
∂t
i
∂t
si ha
"
#
~
~
1
∂2E
1 ∂2E
1
1 ∂ 2 P~
∂ 2 P~
2~
2~
2~
2~
⇒∇ E− 2 ·
=− · ∇ P − 2 · 2
− · ∇ P − ∇ E = −µ0 · 2 − ε0 · µ0 ·
ε0
∂t
∂t2
c
∂t2
ε0
c
∂t
~ e P~ sono delle onde.
Si osserva che E
~
~ si propaga lungo x e ha componenti solo lungo z
Si può definire E(x,
t) = E0 · e−i·(ω·t−k·x) · b
k, cioè E
~
~
~ P~ )
Nella maggior parte dei materiali si ha che P ∝ E (se i materiali sono isotropi si ha che Ek
~ · P~ =
∇
∂Px
∂Py
∂Pz
∂Pz
+
+
=
= −ρp
∂x
∂y
∂z
∂z
|
{z
}
perche P~ è solo lungo x
~ eE
~ dipende solo da x si ha che
poichè P~ ∝ E
~−
∇2 E
poichè
ω
k
∂Pz
∂z
= 0, pertanto si ha che
2
2
2
~
∂ 2 P~
ω2
1 ∂2E
~ + ω ·E
~ =− ω
~− ω E
~ =
·
= µ0 · 2 ⇒ −k 2 · E
· P~ ⇒ E
· P~
2
2
2
2
2
2
2
c
∂t
∂t
c
ε0 · c
k ·c
k · c2 · ε 0
= v si ha che
ω2
k2 ·c2
=
v2
c2
=
1
n2
~ − 1 ·E
~ =E
~ · 1 − 1 = 1 · P~
E
n2
n2
n2 · ε0
~ si ipotizza di avere un atomo con gli elettroni che ruotano attorno al
Per trovare il legame tra P~ e E
nucleo (si immagina di considerare gli elettroni legati al centro attraverso delle molle); si ha
me ·
∂z
∂2z
= −k · z − γ ·
−e·E
2
∂t
∂t
me massa dell’elettrone, −k · z forza elastica, −γ ·
∂z
∂t
forza tra gli elettroni
Si pone z(t) = Z0 · ei·ω·t (poichè E = E0 · ei·ω·t ), sostituendo si ha
me ·
∂z
∂2z
+γ·
+ k · z = −e · E ⇒ −me · ω 2 · Z0 − i · γ · ω · Z0 + k · Z0 = −e · E0
∂t2
∂t
i·ω·γ
k
e · E0
e · E0
1
2
Z0 · −ω −
+
=−
⇒ Z0 = −
·
2
me
me
me
me
ω0 − ω 2 − i·ω·γ
m
e
ω0 2 =
77
k
me
1
N · e2 · E0 · ei·ω·t
1
P = N ·p = e·z(t)·N = − · −
·
ε0
me
ω0 2 − ω 2 −
!
=
i·ω·γ
me
N · e2 · E0 · ei·ω·t
1
P~ =
·
2
ε0 · me
ω0 − ω 2 −
N · e2 · E0 · ei·ω·t
1
·
ε0 · m e
ω0 2 − ω 2 −
i·ω·γ
me
i·ω·γ
me
~ si ha che
poichè P~ = N · α · E
~ è il campo all’interno del dielettrico
E
α(ω) =
N · e2
1
·
ε0 · me ω0 2 − ω 2 −
i·ω·γ
me
α si dice costante di polarizibilità e dipende dalla frequenza.
In generale
X
e2
Fk
α(ω) =
·
ε0 · me
ω0k 2 − ω 2 −
k
!
i·γk ·ω
me
Nel caso analizzato si una un solo atomo; in tale situazione il campo elettrico è dato dala somma del campo
elettrico esterno con il campo elettrico generato dalle cariche di polarizzazione. Si considera IMMAGINE
~ =
dE
1
σp · dΣ
·u
br
·
4 · π · ε0
R2
σp · dΣ = dq
u
br kb
n
Si può dedurre che σp = P~ · ~n da cui
1
P~ · ~n · dΣ
·
·u
br
4 · π · ε0
R2
Z
Z
Z
1
P · cos2 (β)
~ = dE
~ ·b
~ · cos(β) =
E
k = dE
· R2 · dΩ
·
4 · π · ε0
R2
~ =
dE
poichè il volume è estremamente piccolo si considera P costante
Z
Z
1
P · cos2 (β)
P
2
~
E =
·
· R · dΩ =
· cos2 (β) · dϕ · sin(ϑ) · dϑ =
|
{z
}
4 · π · ε0
R2
4 · π · ε0
dΩ
P
=
·
4 · π · ε0
Z
2·π
Z
dϕ ·
0
0
π
P
·2·π·
cos (π − ϑ) · sin(ϑ) · dϑ =
4 · π · ε0
2
~ tot = E
~+
E
2
P
=
3
3 · ε0
P~
3 · ε0
pertanto poichè
~ tot = N · α ·
P~ = N · α · E
~+
E
P~
3 · ε0
!
⇒ P~ · 1 −
1
3 · ε0
~
~ ⇒ P~ = N · α · E
=N ·α·E
1
1 − 3·ε
0
1
1
1
N ·α
~
~
E· 1− 2 =
· P~ =
·
1 ·E ⇒
n
ε0 · n2
ε0 · n2 1 − 3·ε
0
⇒
n2 − 1
1
N ·α
=
·
1 · ε0
2
2
n
ε0 · n 1 − 3·ε
0
LA MOLTIPLICAZIONE PER ε0 NON É MOLTO CHIARA
n2 =
N ·α
1 +1
1 − 3·ε
0
Si ha anche che
N ·α=3·
n2 − 1
⇒ poichè n2 ≈ kε
n2 + 2
N ·α=3·
78
kε − 1
kε + 2
equazione di Clausius-Mossotti
Parte II
Ottica
79
Capitolo 7
Riflessione e rifrazione della luce
In questa branca si trattano onde elettromagnetiche con una lunghezza d’onda tale che sia nella regione
del visibile. Verranno analizzati fenomeni “strani” come capire perchè la luce si propaga in modo rettilineo
(evidenzia la natura corpuscolare) e come la luce si propaga come un’onda sferica (evidenzia la natura
ondulatoria); a volte si riesce anche ad avere luce anche dove si immagina che non vi debba essere luce.
7.1
Principio di Huygens-Fresnel
Se in un punto vi è un’intensità di onde luminose allora nel punto è, come se fosse, presente una sorgente
di onde sferiche. L’onda secondaria sarà così fatta
1 + cos(ϑ)
π
· A · cos ω · t + k · t −
2
2
pertanto l’onda secondaria avrà tutte le caratteristiche dell’onda principale fatta eccezione dell’ampiezza
che varia al variare dell’angolo
Con tale principio è possibile spiegare il fatto che un onda piana che attraversa una fenditura possa
propagarsi, oltre alla fenditura, come un’onda piana (se la fendutura ha un’ampiezza maggiore della
lunghezza d’onda) o come un’onda sperica (se la fendutura ha un ampiezza minore della lunghezza
d’onda).
7.2
Teorema di Kirchhoff
Si suppone di avere un punto P qualsiasi, si suppone inoltre che attorno a P vi è un volume τ nel quale
sono presenti tutte le eventuali sorgenti (cariche e correnti), si va a considerare il vettore ~n in ogni punto.
IMMAGINE
~
~r1 indentifica il punto P ; ~r2 identifica un punto qualsiasi in τ in cui ci possono essere ρ e J.
Si ricava la soluzione in Ψ (tale variabile può essere sostituita, per i calcoli, indifferentemente con A o V ,
della relatività ristretta),
ρ
S ≡ −µ0 · J~i ,
ε0
Ψ ≡ A, V
Ψ(x, y, z, t)
1
=
·
4·π
1
+
·
4·π
ZZZ
ZZ
τ
S r1 , t −
r12
r12
c
r12 =
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
· dτ +
"
Ψ r2 , t −
1 ∂r12
dΣ1 ·
·
·
r12 ∂u
r12
Σ
r12
c
∂Ψ r2 , t −
+
∂r12
r12
c
1 ∂Ψ r2 , t −
+ ·
c
c · ∂t
r12
c
#
Si può osservare semplicemente che tale formulazione è molto più generale, ma il suo utilizzo è sufficientemente complicato, pertanto si preferisce usare una sua approssimazione, in quanto le differenze si
pongono solo se in presenza di distanze molto grandi (dell’ordine delle distanze astronomiche).
81
7.3
Leggi di Snell
Se un’onda luminosa che si propaga attraversa un materiale e poi ne attraversa un altro materiale, tale
onda verrà modificata.
In generale un’onda, attraverso l’analisi di Fourier, può essere intesa come somma di sinusoidi, pertanto
A(~r, t) =
A0
· cos(~k · ~r − ω · t + ϕ0 )
r
Nella trattazione si considera la fase iniziale nulla (ϕ0 = 0); nel caso trattato non si ha variazione della
frequenza ω, si avrà solo una modificazione dell’ampiezza Ar0 e del numero d’onda ~k. IMMAGINE
~k1 = ω
~v1
~k2 = ω
~v2
λ1 =
v1
ν
λ2 =
v2
ν
ν=
2·π
ω
L’onda incidente si muove solo sul piano zy (la situazione dell’esempio è comunque molto generale in
quanto si può cambiare a piacere il sistema di riferimento), ci si aspetta che l’onda venga riflessa ma
anche che l’onda attraversi il secondo materiale. IMMAGINE Si analizzeranno le relazioni tra
ϑi , ϑr , ϑt
E0i , E0r , E0t
ϑi , E0i note in partenza
E(~r, t) = E0 · cos(k · r − ω · t)
~r = x · bi + y · b
j
~ki = ky · b
j + kz · b
k
~kr = kr x · bi + kr y · b
j + kr z · b
k
~kt = ktx · bi + kty · b
j + ktz · b
k
Ei (~r, t) = E0i · cos(~ki · ~r − ω · t)
Er (~r, t) = E0r · cos(~kr · ~r − ω · t)
Et (~r, t) = E0t · cos(~kt · ~r − ω · t)
ma le onde devono essere funzioni continue, quindi sulla superficie si ha che
~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kr · ~r ⇒ kiy · b
j = kr x · bi + kr y · b
j = ktx · bi + kty · b
j
pertanto si ha che
kr x = ktx = 0
kiy = kr y = kty
IMMAGINE Dall’immagine si ha immediatamente che
kiy = ki · sin(ϑi ) =
ω
· sin(ϑi )
v1
kr y = kr · sin(ϑr ) =
ω
ω
ω
· sin(ϑr ) ⇒
· sin(ϑi ) =
· sin(ϑr ) ≡ ϑi = ϑr
v1
v1
v1
Teorema 7 (I Legge di Snell) L’onda riflessa ha lo stesso angolo, rispetto alla direzione normale al
punto di incidenza, dell’onda incidente.
ϑ i = ϑr
kiy = kty = kt · sin(ϑt ) =
ω
ω
sin(ϑi )
sin(ϑt )
c
c
· sin(ϑt ) =
· sin(ϑi ) ⇒
=
⇒
· sin(ϑi ) =
· sin(ϑt )
v2
v1
v1
v2
v1
v2
Teorema 8 (II Legge di Snell) L’angolo dell’onda trasmessa è legata all’angolo dell’onda incidente
dalla relazione
n1
sin(ϑt )
n1 · sin(ϑi ) = n2 · sin(ϑt ) ≡
=
n2
sin(ϑi )
Se n2 > n1 si ha che sin(ϑt ) = nn21 · sin(ϑi ) ⇒ ϑi > ϑt , mentre se n2 < n1 si ha che sin(ϑt ) = nn12 · sin(ϑi ) ⇒
ϑt > ϑi
Poichè max sin(ϑt ) = 1 e sin(ϑt ) = nn21 · sin(ϑi ), supponendo nn21 > 1 si ha che al massimo che
ε>0
1 ≤ (1 + ε) · sin(ϑi )
pertanto èsiste un angolo limite ϑL oltre il quale non si ha un’onda trasmessa in quanto non si verifica la
disequazione sopra.
82
7.4
Intensità delle onde riflesse e rifratte (trasmesse)
Poichè
Ei (~r, t) = E0i · cos(~r · ~k − ω · t)
per conoscere tutte le caratteristiche dell’onda è necessario conoscere E0i , ~k, ~r e ω, inoltre poichè l’onda
varia anche al cambiamento di mezzo di propagazione si ha anche una relazione con l’indice di rifrazione
n.
Si può dedurre facilmente ch e ~k varia al ariare di n (dalle leggi di Snell) in quanto k = ωv e v = nc . Dato
che le onde sono comunque onde elettromagnetiche allora in presenza di un’interfaccia (zona in cui si ha
l’attraversamento dell’onda all’interfaccia tra i due materiali) si ha la conservazione della componente
~ eH
~ e della componente normale (perpendicolare) di D
~ e B.
~ IMMAGINE
parallela all’interfaccia di E
ϑi = ϑ r
(I Legge di Snell)
~ i (E
~ i ⊥ ~ki nel piano Π : zy e E
~ i ⊥ ~ki nel piano
Si considerano per semplicità due situazioni limite per E
~
~
σ : σ ⊥ Π, ki ⊂ σ), in realtà Ei non si trova ne su Π ne su σ ma tale vettore può essere scomposto in due
componenti appartenenti a Π e σ.
~ ⊂Π
E
~k
E0i · cos(ϑi ) + E0r · cos(ϑr ) = E0t · cos(ϑt )
conservazione di E
~⊥
ε0 · kε1 · E0i · sin(ϑi ) + ε0 · kε1 · E0r · sin(ϑr ) = ε0 · kε2 · E0t · sin(ϑt ) conservazione di D
D0i = ε0 · kε1 · E0i ; D0r = ε0 · kε1 · E0r ; D0t = ε0 · kε2 · E0t
Nel sistema sopra si hanno come incognite E0r e E0t (gli angoli sono “noti” attraverso le leggi di
Snell). Supponendo che
E0r = rΠ · E0i
E0t = tΠ · E0i
E0i · cos(ϑi ) + E0r · cos(ϑr ) = E0t · cos(ϑt )
⇒
ε0 · kε1 · E0i · sin(ϑi ) + ε0 · kε1 · E0r · sin(ϑr ) = ε0 · kε2 · E0t · sin(ϑt )
(
⇒
(
⇒
E0i · cos(ϑi ) + rΠ · E0i · cos(ϑi ) = tΠ · E0i · cos(ϑt )
· tΠ · E0i · sin(ϑt ) =
E0i · sin(ϑi ) + rΠ · E0i · sin(ϑi ) = kkε2
ε1
cos(ϑi ) + rΠ · cos(ϑi ) = tΠ · cos(ϑt )
2
sin(ϑi ) + rΠ · sin(ϑi ) = nn12 2 · tΠ · sin(ϑt )
n2 2
n1 2
· tΠ · E0i · sin(ϑt )
n1
sin(ϑt ) =
·sin(ϑi ); cos(ϑt ) =
n2
s
1−
n1 2
· sin2 (ϑi )
n2 2
Si hanno come incognite rΠ e tΠ . Risolvendo si ha

sin(ϑi ) · cos(ϑi ) − sin(ϑt ) · cos(ϑt )
tan(ϑi − ϑt )
n2 · cos(ϑi ) − n1 · cos(ϑt )


rΠ =
=
=



sin(ϑi ) · cos(ϑi ) + sin(ϑt ) · cos(ϑt )
tan(ϑi + ϑt )
n2 · cos(ϑi ) + n1 · cos(ϑt )




 tΠ =
2 · sin(ϑt ) · cos(ϑi )
2 · sin(ϑt ) · cos(ϑi )
2 · n1 · cos(ϑi )
=
=
n2 · cos(ϑi ) + n1 · cos(ϑt )
sin(ϑi ) · cos(ϑi ) sin(ϑt ) · cos(ϑt )
sin(ϑi + ϑt ) · cos(ϑi − ϑt )
Le varie formulazioni sono equivalenti pertanto la scelta di una di esse dipende dal tipo di calcoli
da eseguire (le differenze di rappresentazione riguardano solo delle modifiche analitiche effettuate).
Attraversando il mezzo ci si aspetta che l’onda perda parte della sua energia
Ii =
n1
· E0i 2
2 · z0
potenza
superfice
W i = I i · Σi
dove Σi rappresenta la superfice incidente IMMAGINE
Σi = Σ0 · cos(ϑi )
Σr = Σ0 · cos(ϑr ) = Σi
83
Σt = Σ0 · cos(ϑt )
Definizione 30 (Coefficienti di riflessione, trasmissione (Π)) Si definisono fattori di riflessione e trasmissione le seguenti quantità
RΠ =
TΠ =
WtΠ
=
WiΠ
n2
2·z0
n1
2·z0
Wr Π
=
WiΠ
n1
2·z0
n1
2·z0
· E0r 2 · Σ0 · cos(ϑr )
· E0i 2 · Σ0 · cos(ϑi )
· E0t 2 · Σ0 · cos(ϑt )
2
· E0i · Σ0 · cos(ϑi )
=
=
E0r 2
= rΠ 2
E0i 2
n2 E0t 2 cos(ϑt )
n2 cos(ϑt )
·
·
=
·
· tΠ 2
n1 E0i 2 cos(ϑi )
n1 cos(ϑi )
RΠ è l’energia dell’onda incidente che è presa dall’onda risflessa (per unitàà di tempo), mentre TΠ
è l’energia dell’onda incidente che è presa dall’onda trasmessa (rifranta) (per unitàà di tempo).
Poichè si ha la conservazione dell’energia si può dimostrare che RΠ + TΠ = 1
~ ⊂ σ , per evitare complicazioni grafiche si considera inizialmente il vettore B, per poi ricondursi a E.
~
E
IMMAGINE
Π
Π
−H0 Π
i · cos(ϑi ) + H0 r · cos(ϑr ) = −H0 t · cos(ϑt )
⇒
Π
Π
Π
B0 i · sin(ϑi ) + B0 r · sin(ϑr ) = B0 t · sin(ϑt )

B0 Π
B0 Π
B0 Π

r

 − i · cos(ϑi ) +
· cos(ϑr ) = − t · cos(ϑt )
µ1
µ1
µ2
⇒
⇒



Π
Π
B0 Π
i · sin(ϑi ) + B0 r · sin(ϑr ) = B0 t · sin(ϑt )

E0 σi
E0 σr
E0 σt


−
·
cos(ϑ
)
+
·
cos(ϑ
)
=
−
· cos(ϑt )
i
r

 µ1 · v1
µ1 · v1
µ2 · v2
⇒

σ
σ
σ


 E0 i · sin(ϑi ) + E0 r · sin(ϑr ) = E0 t · sin(ϑt )
v1
v1
v2
Poichè si trattano solitamente materiali ferromagnetici µ1 ≈ µ2 , pertanto

E0 σi
E0 σr
E0 σt


−
·
cos(ϑ
)
+
·
cos(ϑ
)
=
−
· cos(ϑt )
i
r


v1
v1
v2

σ
σ
σ


 E0 i · sin(ϑi ) + E0 r · sin(ϑr ) = E0 t · sin(ϑt )
v1
v1
v2
Risolvendo si ha

n1 · cos(ϑi ) − n2 · cos(ϑt )
sin(ϑi − ϑt )


r =
=−


 σ
n1 · cos(ϑi ) + n2 · cos(ϑt )
sin(ϑi + ϑt )




 tσ =
2 · n1 · cos(ϑi )
2 · sin(ϑt ) · cos(ϑi )
=
n1 · cos(ϑi ) + n2 · sin(ϑt )
sin(ϑi + ϑt )
Definizione 31 (Coefficienti di riflessione, trasmissione (σ)) Si definisono fattori di riflessione e trasmissione, su σ, le seguenti quantità
Rσ = rσ 2
Tσ =
n2 cos(ϑt )
·
· tσ 2
n1 cos(ϑi )
Si ha una completa trasmissione dell’onda solo se ϑi + ϑt = π2 , in quanto rΠ = 0, questa condizione è
nota come condizione di Brewster, grazie a tale condizione è possibile ricavare il rapporto nn12 .
7.4.1
Onda incidende perpendicolare
Un caso particolare dell’analisi precedente si ha quando l’onda incidente incide la superficie in modo
~ k , pertanto non avendo
perpendicolare, in questa condizione vi è solo la condizione di conservazione di E
più una seconda equazione si impone la conservazione dell’energia. E1 = E2


 E0i + E0r = E0t


n1
n1
n2
· E0i 2 · Σ0 =
· E0r 2 · Σ0 +
· E0t 2 · Σ0
2 · z0
2 · z0
2 · z0
84
da cui
E0i + E0r = E0t
n1 · E0i 2 = n1 · E0r 2 + n2 · E0t 2

n1 − n2


r=


n1 + n2


2 · n1

 t=
n1 + n2

2

 R=r
n

 T = 1 · t2
n2
85