Capire la Fisica: Libro di testo di livello intermedio

Capire la Fisica
Livello intermedio
.
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Andrea de Capoa
28 novembre 2017
Introduzione all’opera
1.1
Scheda 1
una nuova versione viene pubblicata. Le schede poco chiare o didatticamente
meno valide vengono via via sostituite. Il tutto per creare un’opera dinamica
in continuo miglioramento dove le esperienze didattiche precedenti saranno
sempre la base per la scrittura delle schede future.
La nascita di questo progetto
Questo libro nasce come conseguenza di un mio disagio personale nell’utilizzare i
libri di testo presenti attualmente in commercio. Sebbene molti di essi siano validi,
una serie di fattori li rendono comunque difficili da utilizzare con quel livello di efficacia che vorrei in una mia classe. Vi elenco brevemente qui di seguito a quali fattori
mi riferisco ed in che modo questo libro si ripropone di risolvere tali problematiche
4. I libri di testo spesso non si concentrano nel modo opportuno sugli esercizi.
Lo studio di un concetto è solo il primo passo per l’apprendimento della fisica. La vera competenza sta nel sapere richiamare alla mente quel concetto nel
momento in cui esso è necessario. Lo studio di un concetto di teoria è un apprendimento passivo in cui semplicemente immagazzino delle informazioni.
Il passo successivo è saper richiamare tali infomazioni ed utilizzarle in modo
opportuno per raggiungere un obiettivo. La risoluzione di un esercizio deve
avere questo scopo. A quest’opera è associato un libro di esercizi svolti, la cui
spiegazione è di fatto una lezione di fisica in cui lo studente viene guidato nel
ragionamento che lo porta al risultato finale.
1. Nessuno di essi è esente da errori, sia semplici refusi, che errori di calcolo, che errori di concetto. Ammesso che nemmeno io sono esente da errori,
quest’opera è distribuita gratuitamente online; sono in grado di correggere un
errore in pochi minuti, ricompilare il libro e pubblicare la versione corretta in
pochissimo tempo. Se tutti gli utilizzatori del libro vorranno segnalare la presenza di un qualunque tipo di errore, essi contribuiranno a mantenere l’opera
sempre corretta sotto ogni punto di vista.
2. Nessuno di essi è in grado di adattarsi al livello degli alunni o della tipologia di scuola in cui viene utilizzato. Questo libro è una lunga collezione di
schede, ognuna delle quali tratta di un singolo specifico argomento. Parti diverse dello stesso argomento possono inoltre essere scritte su schede differenti.
Lo stesso argomento può infine essere ripetuto su schede differenti ma trattato ad un livello di complessità più o meno maggiore e con l’utilizzo strumenti
matematici più o meno avanzati. Un corso di studi di fisica, per questo libro,
corrisponde ad una determinata sequenza di schede ordinate secondo un’opportuna propedeuticità. A seconda del tipo di scuola, del livello della classe
o del livello del singolo alunno, si potranno scegliere le ooportune schede e
adattare di conseguenza il libro al livello richiesto dal docente o possibile per
lo studente.
1.2
La struttura a schede
Ogni scheda un argomento! La struttura del libro è tutta qui. Le schede sono ovviamente connesse tra loro; alcune sono approfondimenti di altre, alcune sono legate da
una relazione di propedeuticità. Un corso di fisica corrisponde ad una certa sequenza
di schede scelte dal docente in funzione del livello del corso di studi.
1.3
La struttura di una scheda
Ogni singola scheda vuole fornire tutto il supporto necessario allo studente per comprendere il concetto in questione. Oltre alla classica spiegazione scritta tipica di ogni
libro, le schede sono affiancate da un video, pubblicato su Youtube, contenente la
spiegazione degli stessi concetti. Sono inoltre possibili dei collegamenti a file di Geogebra, o di qualunque altro software didattico, così come collegamenti a materiale
didattico esterno a quest’opera. Infine in ogni scheda potrete trovare rifermenti ad
esercizi svolti, sull’argomento trattato nella scheda.
3. I libri di testo spesso cambiano edizione o diventano obsoleti. I nuovi libri
o le nuove edizioni spesso sono differenti senza essere migliori. Nessuno
dei libri attualmente di mia conoscenza sono libri in continua e perenne evoluzione e crescita. Se vengo a conoscenza di un nuovo e più efficace metodo di
spiegazione di un certo concetto, tale novità entra immediatamente nel libro ed
2
3
1.4
Scheda1. Introduzione all’opera
Lo stato dell’arte
In questo momento l’opera è ancora al suo esordio. Molte schede devono essere
scritte e le schede presenti devono essere migliorate e completate. se mi scriverete
all’email [email protected] potrete indicarmi quali schede ritenete sia più utile sviluppare, correggere, sostituire, ampliare, ecc. ecc. Vi sarò grato dell’aiuto che vorrete
fornire.
Mappa delle schede
Il Sistema Intenazionale
di Misura [5]
Libro I: Introduzione
alla fisica
Autore: Andrea de Capoa
Gli Scalari
[4] I0001
Scheda 2
I Versori
[10]
Sul baricentro:
I0006, D0010, I0020
Grandezze Fisiche
Derivate [6]
I Vettori
[9]
La Distribuzione
di Massa [22]
I0003, I0004,
I0005, I0017
I0002, I0007,
I0008, I0009,
I0011, I0018
Sistemi di
riferimento [12]
Le Leggi
Fisiche [7]
Il metodo
Scientifico [8]
Libro II: Cinematica
23 Lug 2017
4
5
Scheda2. Mappa delle schede
C0008, C0008a,
C0010, C0014,
C0034,
C0039, C0042,
C0043, C0046
Moto
armonico [20]
Moto
parabolico [17]
Libro III: Dinamica
Libro II: Cinematica
Moti Periodici
e orologi [18]
M.R.U. e
M.U.A. [14]
Grandezze
cinematiche [13]
Grandezze: C0013, C0013a
Velocità media: C0001,
C0007, C0030, C0031, C0033
Sistemi: C0019,
C0020, C0040, C0041
Grafici SpazioTempo [15]
C0029, C0029a,
C0029b
Grafici VelocitàTempo [16]
C0044a
Moto Circolare
Uniforme [19]
M.U.A.: C0003, C0009,
C0011, C0016, C0017,
C0023, C0025, C0026,
C0036, C0037, C0037a
M.R.U.: C0002, C0005,
C0006, C0012, C0018,
C0021, C0022, C0022a,
C0024, C0027, C0028,
C0032, C0035, C0038
M.U.A. e
M.R.U.: C0004
6
Scheda2. Mappa delle schede
D0043 [Con F = k∆l]
D0048, D0050 [Con
F = k∆l e attrito] D0049
Moto su di
un piano
inclinato [29]
D0042, D0044,
CD0005, CD0007
[Con moto
armonico] CD0006
[31]
D0035 [Con F = k∆l] D0025, D0045
Forza di Archimede: D0002, D0013,
D0014, D0019, D0020, D0021 Forza di
gravità: ID0001, D0040, D0041 [Con
2
F = m Vr ] C0018, D0031, CD0004
Legge di Gravitazione
Universale [30]
Forza di gravità e
di Archimede [25]
Forza Peso [28]
Reazioni
vincolari [33]
Forza elastica [26]
[Con Fg = mg] D0004, D0005,
D0008, D0033, D0036, D0037,
2
D0046 [Con F = m Vr ] D0022
D0001, D0038 [Con Fg =
mg] D0003, D0039, CD0001
2
[Con F = m Vr e Con
Fg = mg] D0047, CD0002
Forza di
attrito [27]
Libro III: Dinamica
Analisi di
singole forze
I tre principi della
dinamica [23]
D0024 Primo principio:
D0015 Secondo principio: [Con Fg = mg]
D0006, D0034, D0052
Libro XI:
Relatività ristretta
Libro IV: Leggi
di conservazione
Pressione [24]
Momento di
una forza [32]
Equilibrio rototraslazionale: D0007,
D0016, D0026, D0027, D0029, D0030
[Con F = mg] D0009, D0028, D0032
[Con F = mg e F = k∆l] D0012 [Con
2
F = m Vr e Con Fg = mg] CD0003
7
Scheda2. Mappa delle schede
L0001, L0009, L0011,
L0013, L0014, L0021,
L0031, L0032, DL0001,
DL0002, DL0003, DL0012
Macchine
Semplici [39]
[carrucole] D0023
Libro VIII: Fenomeni
ondulatori
Energia e
Lavoro [36]
Libro IV: Leggi
di conservazione
Forze Conservative ed
Energia Potenziale [37]
Quantità di
moto [34]
Conservazione
dell’energia totale [38]
TeoriaDegliUrti
[40]
Libro V:
Fluidodinamica
Libro VI:
Calorimetria
Momento
angolare [??]
LP0001, P0001
L0002, L0003, L0004, L0005, L0006,
L0007, L0008, L0010, L0012, L0015,
L0016, L0017, L0018, L0019, L0020,
L0022, L0023, L0024, L0025, L0026,
L0027, L0028, L0029, DL0004, DL0011
Il moto di un
pianeta [31]
Libro IX:
Elettromagnetismo
F0007
[30]
Libro V:
Fluidodinamica
La conservazione
della portata [43]
F0002, F0003
Il principio
di Pascal [42]
Il principio di
Bernoulli [44]
F0001, F0004,
F0005, F0008,
F0012 [Con il
MUA] CF0001
F0006, F0009,
F0010, F0011
8
Scheda2. Mappa delle schede
Libro VI:
Calorimetria
Q0020, Q0022
Q0002, Q0012, Q0013,
Q0016, Q0021, Q0021a,
Q0023, LQ0031, LQ0002
La temperatura
[47]
Riscaldamento
[48]
Q0005,
Q0011, Q0019
Q0004, Q0008,
Q0014, Q0024
Dilatazione
termica [49]
Q0001, Q0003, Q0006,
Q0009, Q0010, Q0017,
Q0018, Q0026, Q0029,
Q0030, Q0031, Q0032
Libro VII:
Termodinamica
Stati della
materia [46]
Conduzione
termica [51]
Q0025
Transizioni
di fase [50]
Q0007,
Q0027, Q0028
Esperimenti di
Calorimetria [101]
9
Scheda2. Mappa delle schede
T0011, T0012,
T0001, T0007, T0008, T0020, T0021,
T0022, T0026, T0026a, T0026b,
T0026c, T0027, T0028, DT0001,
DT0002 [Con Bernoulli] FT0001
[Con ∆Q = cs m∆T ] QT0001
T0005
T0006, T0010, T0013, T0014,
T0015, T0016, T0017, T0018,
T0019 [Con ∆Q = cs m∆T ]
QT0002, QT0003, QT0004, QT0005,
QT0006 [Con U = mgh] LT0001
Libro VII:
Termodinamica
Legge dei gas perfetti
e trasformazioni
termodinamiche [54]
Primo principio della
termodinamica [53]
Ciclo di
Carnot [56]
Distribuzione
di Maxwell [55]
Entropia [61]
T0002, T0003,
T0004, T0009, T0025
T0023
Ciclo Diesel [58]
Ciclo Otto [57]
Ciclo
rettangolare [60]
Ciclo di
Stirling [59]
10
Scheda2. Mappa delle schede
Libro VIII: Fenomeni
ondulatori
O0001,
O0012, O0027
Fibre ottiche [74]
Riflessione e
rifrazione [65]
Le lenti [72]
O0002, O0008,
O0009, O0016
O0003, O0011,
O0013, O0014,
O0015, O0018,
O0019, O0020,
O0029 [Con
Bernoulli] O0025
Diffrazione [67]
Dispersione [70]
Arcobaleno [73]
Onde e fenomeni
ondulatori [63]
Diffusione [69]
O0005,
O0010, O0017
Intensità di
un’onda [64]
Interferenza [66]
O0004, O0006,
O0007, O0026
Effetto
Doppler [71]
Risonanza [68]
O0030
Libro XII: Introduzione alla meccanica
quantistica
11
Scheda2. Mappa delle schede
E0003, E0003a,
E0005, E0009,
DE0002 [Con
∆Q = cs m∆t]
EQ0001
Modelli
Atomici 02 [94]
E0011
Forza di
Coulomb [76]
Modelli
Atomici 01 [80]
Elettrizzazione
[81]
E0018
E0001, E0008
Corrente di
spostamento [85]
Effetto Punta [82]
Campo
Magnetico [77]
Forza
Magnetica [78]
E0012
Magnetismo
nella Materia [79]
Induzione elettromagnetica
[84]
Libro IX:
Elettromagnetismo
Circuitazione di
un campo [83]
Libro X:
Elettrotecnica
E0002, E0004,
E0006,
E0010, E0013,
E0014, E0015,
E0016, E0017
Libro X:
Elettrotecnica
Corrente
elettrica [86]
Circuiti elettrici
Ohmici [88]
Leggi di Ohm [87]
Circuiti RC [89]
Circuiti RL [90]
R0001
Libro XI:
Relatività ristretta
Relatività
ristretta [91]
12
Scheda2. Mappa delle schede
H0001, H0002
Libro XII: Introduzione alla meccanica
quantistica
Introduzione
alla fisica
moderna [96]
Modello atomico
di Bohr [95]
O0023
Effetto
fotoelettrico [93]
O0022
Radiazione di
corpo nero [92]
Il CERN [97]
Libro XIII:
Laboratorio
I0010, I0012,
I0012a, I0013,
I0014, I0015, I0016,
I0019, Lab0001
Libro XIII:
Laboratorio
Errori di
misura [99]
Errori di misura
e distribuzione
gaussiana [100]
Realizzazione di
un’esperienza di
laboratorio [103]
Relazione di
laboratorio [104]
Parte I
Introduzione alla fisica
13
Mappe sulle grandezze fisiche
Scheda 3
Sistema
Internazionale
di misura
Massa
M [kg]
[kilogrammi]
Tempo
t [s]
[secondi]
Lunghezza
L [m]
[metri]
Intensita
di corrente
I [A]
[Ampere]
Temperatura
T [K]
[gradiKelvin]
Intensita
luminosa
[cd]
[Candela]
Quantità
di sostanza
[mol]
[mole]
Baricentro
~xB
Momento
di Inerzia
I
[kg · m2 ]
grandezze
derivate
densità
ρ = M
V
kg
[ 3]
m
Volume
V
[m3 ]
Superficie
S
[m2 ]
Sistemi di riferimento
11
Autore: Andrea de Capoa
26 Gen 2017
14
Gli scalari
4.1
Scheda 4
comuni prefissi è riportato in tabella 4.1. Se voglio dire 1000 metri dirò 1 kilometro e
cioè 1000 m = 1 km
Cos’è uno scalare
Chiamiamo uno scalare una quantità del tipo L =
10 metri. Questa scrittura significa che una qualche grandezza fisica, che chiamo L, vale 10 metri. Essa è costituita da una parte numerica 10 seguita dalla sua unità di misura metri. Ogni volta
che rappresentiamo una grandezza fisica scalare,
la dobbiamo scrivere sempre con accanto la sua
Fig. 4.1: Guarda il video youunità di misura. E’ sempre possibile esprimere la
tu.be/jAWfWqjF9VQ
stessa grandezza fisica con una differente unità di
misura purché la nuova unità di misura rappresenti una grandezza fisica omogenea
con quella precedente. Nell’esempio seguente tutte le grandezze indicate sono tra
loro omogenee e rappresentano lo stesso identico scalare.
Prefisso
tera
giga
mega
kilo
etto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
7 km = 7000 m = 700000 cm
Simbolo
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
Valore
1012
109
106
103
102
101
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
mille miliardi
un miliardo
un milione
mille
cento
dieci
un decimo
un centesimo
un millesimo
un milionesimo
un miliardesimo
un millesimo di miliardesimo
ma anche
Tabella 4.1: Alcuni multipli e sottomultipli per le unità di misura
7 km = 11, 2 M igliaterrestri = 7, 4041 · 10−16 anniluce
Ovviamente in tutti questi esempi la parte numerica cambia; visto che lo scalare
è sempre lo stesso, ovviamente cambia anche l’unità di misura.
4.2
4.3
Conversioni di unità di misura
Immaginiamo di convertire in metri la quantità
∆S = 10 km oppure in ore la quantità ∆t =
90 min. Il procedimento da seguire prevede i
seguenti passaggi, rappresentati poi di seguito:
Prefissi per le unità di misura
Visto che lo stesso scalare lo posso scrivere in molti modi diversi, quale è meglio utilizzare? di sicuro è meglio utilizzare il più comodo, per esempio quello con la parte
numerica più facile da maneggiare nelle operazioni. Nessuno rappresenterebbe la
propria altezza in kilometri o la distanza tra Sole e Terra in millimetri, perchè quello
scalare avrebbe la parte numerica troppo piccola o troppo grande per essere utilizzata con facilità. Per questo motivo sono stati introdotti opportuni prefissi (multipli
e sottomultipli) posizionati davanti all’unità di misura con lo scopo di poter scrivere
gli scalari in una forma adatta agli utilizzi che se ne intendiamo fare. L’elenco dei più
1. Riscrivere la parte numerica lasciandola
immutata.
2. Al posto delle unità di misura che compaiono riscrivere il loro equivalente nella nuova
unità di misura: al posto di km scrivo 1000
15
Fig. 4.2:
Guarda il video youtu.be/Ctirc_0CGeo
16
Scheda4. Gli scalari
metri (infatti in un kilometro ci sono 1000 metri)
12 km = 12 · 1000 m = 12000 m
h
(infatti per scrivere l’equivalente di un minuto devo
e al posto di min scrivo 60
prendere un’ora e dividerla per 60)
90 min = 90 ·
h
= 1.5 h
60
3. Eseguire le operazioni del caso sui numeri
rimasti
Nel caso che la conversione sia più complessa il procedimento in realtà non cambia. Osserviamo nel dettaglio quanto segue: la parte numerica viene copiata uguale,
la linea di frazione viene copiata uguale, al posto di km scrivo 1000 m che rappresenta la quantità equivalente espressa un metri, al posto di h (ore) scrivo la quantità
equivalente in secondi e cioè 3600 s.
1000 m
m
km
= 130
= 36.11
130
h
3600 s
s
Analogamente avremo:
130
4.4
ogni misura, é assolutamente molto importante che voi prima annotiate su carta la vostra ipotesi e solo successivamente la verifichiate con lo strumento di
misura.
• Prendete in considerazione un qualunque oggetto ed indovinate quale sia la
sua massa. Successivamente, usando una bilancia, misurate la sua reale massa
e confrontate i risultati ottenuti con quelli da voi ipotizzati. Annotate con cura
la vostra ipotesi e il risultato della misura, e provate a dare un giudizio delle
vostre capacità. Per ogni misura, é assolutamente molto importante che voi
prima annotiate su carta la vostra ipotesi e solo successivamente la verifichiate
con lo strumento di misura.
• Cercate i valori dei record mondiali di salto in alto e salto in lungo. Per il primo
fate un piccolo segno sul muro all’altezza corrispondente, mentre per gli altri
due segnate a terra due punti alla distanza corrispondente. Vi renderete subito
conto di quanto sia difficile battere tali record!
• Misurate la lunghezza media dei vostri passi.
• Provate a chiudere gli occhi per un periodo di un minuto. Riapriteli e controllate quanto tempo è effettivamente passato.
kg
kg
1000 g
g
= 130
= 130
= 0, 13 3
3
m
m·m·m
100 cm · 100 cm · 100 cm
cm
Capire gli scalari
Un modo per prendere confidenza con questi argomenti è quello di collegarli con il
mondo che ci circonda; provate a fare quanto indicato qui di seguito
• Prendete in considerazione un qualunque oggetto ed indovinate quali siano le
sue dimensioni (altezza, larghezza, profondità). Successivamente, usando un
righello, misurate le reali dimensioni di quell’oggetto e confrontate i risultati
ottenuti con quelli da voi ipotizzati. Annotate con cura la vostra ipotesi e il
risultato della misura, e provate a dare un giudizio delle vostre capacità. Per
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Il Sistema internazionale di misura
5.1
Misurare un intervallo di tempo consiste nello scegliere un fenomeno periodico
(che si ripete uguale dopo un certo intervallo di tempo) e contare quante volte tale
fenomeno periodico si ripete nell’intervallo di tempo che si vuole misurare.
Con poco costruisci tutto
Tutte le grandezze fisiche si dividono in grandezze
fondamentali e grandezze derivate. Le grandezze
fondamentali sono soltanto sette, e sono elencate
in tabella 5.1. Esse costituiscono il Sistema Internazionale di Misura. Tutte le altre grandezze possono
essere costruite con una combinazione opportuna di quelle fondamentali, come per esempio una
velocità che, essendo espressa in metri diviso secondi m
s sono una combinazione delle grandezze
fondamentali lunghezza e tempo.
Scheda 5
Gli orologi migliori a nostra disposizione sono gli orologi atomici. In un orologio
atomico al cesio, un cristallo di quarzo viene fatto oscillare in accordo con la radiazione elettromagnetca (anch’essa un fenomeno periodico) emessa dagli atomi di cesio
in particolarissime condizioni. Tale emissione è un fenomeno dalle proprietà molto
stabili e precise, riprese dall’oscillazione del cristallo di quarzo e poi utilizzate per la
misura del tempo e per la definizione della sua unità di misura: il secondo.
Fig. 5.1:
Guarda il video youtu.be/hQhH0ODWzN0
Grandezza fisica
unità di misura
simbolo
Intensità di corrente elettrica
Intensità luminosa
Lunghezza
Massa
Quantità di sostanza
Temperatura termodinamica
Intervallo di tempo
ampere
candela
metro
chilogrammo
mole
kelvin
secondo
A
cd
m
kg
mol
K
s
Il secondo è definito come la durata di 9192631770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, da (F=4, MF=0) a (F=3,
MF=0), dello stato fondamentale dell’atomo di cesio-133.
5.3
Lunghezza
Una lunghezza è la distanza tra due punti dello spazio. Il concetto di lunghezza è
necessario per poter definire le dimensioni di un oggetto, la sua posizione rispetto
ad un punto o rispetto ad altri oggetti. Esso è anche il punto di partenza per poter
definire superfici e volumi. L’unità di misura di una lunghezza è il metro che è
definito nel seguente modo:
Tabella 5.1: Il Sistema Internazionale di Misura
Un metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un
1
intervallo di tempo pari a 299792458
di secondo.
5.2
Intervallo di tempo: la durata
Questa definizione viene dal fatto di voler definire una lunghezza a partire dal
valore della velocità della luce. La velocità della luce è infatti c = 299792458 m
s ed
ha la particolare caratteristica di avere sempre lo stesso valore in ogni istante e per
qualunque osservatore. Avendo prima definito in modo indipendente cosa sia un
secondo, ecco che è adesso possibile definire il metro.
Tutti noi abbiamo un’idea intuitiva di cosa sia un intervallo tempo e sappiamo che
lo misuriamo con un cronometro; non banale è però dare una definizione precisa di
cosa sia un intervallo di tempo lungo ∆t = 1secondo dove il secondo è l’unità di
misura del tempo nel Sistema Internazionale.
17
18
Scheda5. Il Sistema internazionale di misura
5.4
Massa
La massa è la quantità di materia di cui è fatto un corpo e per misurarla usiamo una
bilancia. L’unità di misura della massa è il kilogrammo.
Il kilogrammo è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari
a 0, 039 m di una lega di platino-iridio.
Tale cilindro è depositato presso l’Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a
Sèvres, in Francia.
L’errore più comune che si fa quando si comincia a studiare fisica è quello di
confondere la massa di un oggetto con il suo peso. Massa e peso sono due concetti
completamente differenti; senza anticipare la definizione di peso, è comunque sufficiente pensare che se prendo una persona di massa m = 80 kg, la quantità di materia
di cui è fatto sarà sempre la stessa sia che si trovi sulla Terra, sia che si trovi sulla
Luna, sia che si trovi a bordo della Stazione Spaziale Internazionale; al contrario il
suo peso è maggiore sulla Terra rispetto che sulla Luna, mentre è nullo sulla Stazione
Spaziale. Se siamo immersi nell’acqua pesiamo di meno... ma di certo la quantità di
materia di cui siamo fatti è sempre la stessa.
5.5
La Temperatura
Tutti sappiamo che un oggetto può essere più o meno caldo. Il concetto di temperatura è infatti comunemente conosciuto essendo parte della nostra esperienza quotidiana. Dire che un oggetto è caldo oppure è freddo si riferisce soltanto alla nostra
sensazione nel caso in cui tocchiamo l’oggetto, e non si riferisce ad una misura esatta
della sua temperatura che si esegue con uno strumento chiamato termometro. Come
per tutte le grandezze fisiche avremo che esistono differenti unità di misura della
temperatura, di cui le principali sono i gradi Celsius, i gradi Fahrenheit, e i gradi
Kelvin.
5.5.1
Le differenti scale di temperatura
La scala Celsius è stata inventata ponendo la temperatura del ghiaccio fondente pari
a Tf us−H2 O = 0◦ C e la temperatura dell’acqua che bolle in condizioni standard pari
a Teboll−H2 O = 100◦ C . Analogamente la scala Fahrenheit è stata inventata ponendo la temperatura del ghiaccio fondente pari a Tf us−H2 O = 32◦ F e la temperatura
dell’acqua in ebollizione in condizioni standard pari a Teboll−H2 O = 212◦ F .
La più importante scala di temperature, quella da utilizzare in fisica, è però quella
dei gradi Kelvin. Essa è identica alla scala Celsius a meno del valore dello zero. La
temperatura del ghiaccio fondente è pari a
Tf usione−ghiaccio = 273, 15K . In questa scala, non esistono temperature negative.
5.6
L’angolo
Un libro di matematica definisce il radiante come l’angolo il cui arco sotteso in una
circonferenza misura quanto il raggio della
L=r
circonferenza.
l
α=
r
α = 1 rad
Tutti noi siamo abituati ad unsare i gradi sesagesimali per misurare un angolo, per
r
cui dividiamo l’angolo giro in 360 gradi, ogni
grado in 60 primi ed ogni primo in 60 seFig. 5.2: α = 1 radiante è l’angolo per cui
la lunghezza dell’arco è uguale al raggio.
condi. Sebbene questo possa avere un certo
vantaggio nella vita quotidiana, risulta invece complicato nello studio scientifico che preferisce invece un’unità di misura che
permetta di utilizzare il sistema decimale. L’unità di misura del radiante è di fatto
un numero puro, visto che è definito come il rapporto tra due lunghezze. Considerando adesso che la circonferenza ha lunghezza C = 2πr, risulta evidente che
l’angolo giro misura α = 360◦ = 2π .
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Grandezze fisiche derivate
Scheda 6
Utilizzando le grandezze fisiche fondamentali del Sistema Internazionale di Misura, è possibile costruirsi tutte le altre grandezze fisiche utilizzate per studiare i
fenomeni naturali. Tali grandezze le definiamo di conseguenza grandezze fisiche derivate. Non c’è limite al numero di grandezze fisiche derivate che possiamo costruirci; qui di seguito ne studiamo alcune. Altre grandeze verranno poi introdotte più
avanti.
6.1
6.3
La densità di un oggetto è il rapporto tra massa e
volume di quell’oggetto.
ρ=
m
V
Questa grandezza fisica non dipende da quanto
l’oggetto sia grande, ma soltanto dal materiale di
cui è fatto. La densità indica infatti quanto la maFig. 6.2: Guarda il video youteria dell’oggetto è compatta dentro di esso. Tantu.be/ifIDPfAZaBc
to più i singoli atomi hanno massa e tanto più sono vicini tra loro, tanto più quel
materiale è denso.
Superficie
Se pensate ad una qualunque figura geometrica, la sua superficie è quella parte di
piano delimitata dal bordo di tale figura geometrica. Se pensate ad un solido, la sua
superficie è quella parte dello spazio che fa da separazione tra l’oggetto ed il mondo
circostante. L’unità di misura di una superficie è il m2 , infatti una superficie si ottiene
elevando al quadrato una lunghezza.
6.2
Densità
Volume
Il volume di un oggetto è lo spazio occupato dal
materiale di cui è fatto. Un volume si misura in
m3 , infatti un volume si ottiene elevando al cubo
una lunghezza. Una unità di misura alternativa per
il volume è il litro, dove
1 litro = 1 dm3
Fig. 6.1: Guarda il video youParlando di volume è importante non confondertu.be/CwW05sUMJcA
lo con la capacità di un contenitore. Quest’ultima è il volume dello spazio vuoto
all’interno del contenitore.
Autore: Andrea de Capoa
19
17 Feb 2016
Le leggi fisiche
Scheda 7
un fattore α la base, l’altezza risulta moltiplicata di un fattore α1 , quindi la relazione
tra base ed altezza è una relazione di proporzionalità inversa.
Immaginiamo adesso un cilindro1 il cui volume lo si calcola moltiplicando l’area
di base per l’altezza
V = πr2 · h
Una legge fisica è una reazione matematica tra grandezze fisiche che descrive
un fenomeno fisico
7.1
Capire una legge fisica
E’ sufficiente riscriverla nella forma
Cerchiamo di capire cosa sia una legge fisica attraverso alcuni esempi presi dalla
geometria. Prendiamo ad esempio la formula del perimetro del quadrato di lato L
h=
V
πr2
per vedere che tra l’altezza del cilindro ed il lato vi è una relazione di proporzionalità
quadratica inversa.
P =4·L
Non leggete questa formula come la formula per calcolare il perimetro del quadrato bensì
come la relazione che intercorre tra P ed L per un quadrato. Se scrivessi la formula
come
P
L=
4
scriverei assolutamente la stessa formula, solo adattata ad una forma utile per calcolare il lato del quadrato. In questo caso la relazione è una relazione di proporzionalità
diretta in quanto moltiplicando una delle due grandezze di un fattore α anche l’altra
grandezza risulta moltiplicata dello stesso fattore α.
Prendiamo adesso la formula dell’area del quadrato
A = L2
Tra L ed A vi è una relazione di proporzionalità quadratica diretta in quanto moltiplicando di un fattore α il lato, l’area risulta moltiplicata di un fattore α2 .
Prendiamo adesso la formula dell’area del rettangolo che calcoliamo moltiplicando la base con l’altezza
A=b·h
1 Per visualizzare bene questo esempio potete pensare alle lattine di una qualunque bibita. Tutte hanno
un volume costante V = 33 cl ma alcune hanno la base più grande e di conseguenza l’altezza minore.
Se immaginiamo di mantenere costante l’altezza, allora si vede chiaramente che tra
l’area e la base vi è una proporzionalità diretta. Se immaginiamo di mantenere costante
la base, allora si vede chiaramente che tra l’area e l’altezza vi è una proporzionalità diretta. Se immaginiamo di mantenere costante l’area, allora quando moltiplicando di
Autore: Andrea de Capoa
20
17 Feb 2016
Il metodo scientifico
8.1
Scheda 8
Le parole di Feynmann
8.2
Il metodo scientifico
Adesso vorrei sintetizzare queste semplici parole nei concetti chiave che uno studente dovrebbe comprendere, scheatizzati in fig.8.2. Seguite le frecce dello schema per
comprendere il significato dei singoli passaggi.
La scoperta di una legge fisica avviene in tre passaggi:
Il video qui proposto è in lingua inglese, sottotitolato in italiano.
A lato ho trascritto i
sottotitoli
1. inventiamo una legge,
2. eseguiamo un esperimento,
”Ora vediamo come si fa a scoprire una nuova legge. In generale, il procedimento per scoprire una nuova
legge è questo: per prima cosa tiriamo ad indovinare...
Fig. 8.1: Guarda il video younon ridere, è proprio così che facciamo; poi calcoliamo
tu.be/5KcpqLk78YA
le conseguenze della nostra intuizione per vedere quali
circostanze si verificherebbero se la legge che abbiamo
immaginato fosse giusta; infine confrontiamo i risultati dei nostri calcoli con la natura, con
gli esperimenti, con l’esperienza, con i dati dell’osservazione, per vedere se funziona. Se non è
in accordo con gli esperimenti... è sbagliata. In questa piccola affermazione c’è la chiave della
scienza. Non importa quanto bella sia la tua intuizione, non importa quanto intelligente sia
la persona che l’ha formulata, o quale sia il suo nome: se non è in accordo con gli esperimenti... è sbagliata, è tutto qui. Ora, immaginate di aver avuto una buona intuizione e di aver
calcolato che tutte le conseguenze della vostra premessa sono in accordo con gli esperimenti,
la teoria è giusta? No, semplicemente non si è potuto dimostrare che sia sbagliata, perchè in
futuro, un numero maggiore di esperimenti potrebbe scoprire qualche discrepanza e la teoria
si rivelerebbe sbagliata. E’ per questo che le leggi di Newton per il moto dei pianeti sono
rimaste valide per così tanto tempo: ha ipotizzato la legge della gravitazione e con questa ha
calcolato i moti dei pianeti e li ha confrontati con gli esperimenti, e ci sono volute diverse
centinaia di anni prima che un minuscolo errore nel moto di mercurio fosse osservato. Durante tutto quel tempo nessuno era stato in grado di dimostrare che la teoria fosse sbagliata, e
poteva essere considerata temporaneamente giusta, ma non può mai essere dimostrata giusta
perchè le osservazioni di domani possono svelare che quello che credevamo giusto era in realtà
sbagliato. Per cui non abbiamo mai la certezza di essere nel giusto, possiamo essere sicuri
solo di esserci sbagliati. ”
3. utilizziamo la legge per provare a predire come avverà un certo fenomeno
fisico, e confrontiamo la nostra previsione con i risultati degli esperimenti.
Se le nostre previsioni sono in contrasto con gli esperimenti, allora la legge è sbagliata; in caso contrario non possiamo però dire che la legge sia giusta perché potrebbero
in futuro esserci nuovi esperimenti che dicono che la legge è sbagliata.
Inventiamo una legge
Facciamo un esperimento
La legge
Forse la legge
Si
è giusta
è in accordo
con esso ?
No
La legge
è sbagliata
Fig. 8.2: Uno schema del metodo scientifico. Come potete vedere non esiste la possibilità di affermaere che una
certa legge è giusta; inoltre è sempre necessaria una verifica sperimentale di qualunque legge.
Autore: Andrea de Capoa
21
17 Feb 2016
I vettori
9.1
Scheda 9
Cos’è un vettore
9.2
Operazioni con i vettori
I vettori sono degli oggetti matematici necessari per descrivere alcune grandezze fisiche per le
quali non è sufficiente uno scalare.
Definito cosa sia un vettore ed a che cosa serva, vediamo adesso quali operazioni
possiamo fare con essi.
Un vettore è rappresentato graficamente con
una freccia. Il punto dal quale facciamo partire
la freccia lo chiamiamo punto di applicazione del
vettore.
9.2.1
Somma di vettori
La somma di due vettori è un’operazione che prende due vettori e da come
risultato un terzo vettore
~c = ~a + ~b
Fig. 9.1: Guarda il video youLe caratteristiche che definiscono un vettore
tu.be/j4xqbBirZqY
sono tre: una riguarda il valore della grandezza
fisica, le altre due riguardano la sua orientazione nello spazio.
che si ottiene con il metodo del parallelogrammo o con il metodo punta-coda
Ecco uno schema per eseguire la regola del parallelogramma:
1. modulo: il valore della grandezza fisica e rappresentato dalla lunghezza della
freccia
Metto la penna sulla punta del primo vettore e traccio una retta
parallela al secondo vettore.
~a
2. direzione: la retta sulla quale si trova la freccia
~b
3. verso: indicato dalla punta della freccia; per ogni direzione sono possibili solo
due versi
Metto la penna sulla punta del secondo vettore e traccio una
retta parallela al primo vettore.
~ per esempio, non è sufficiente
Per descrivere la grandezza fisica spostamento ∆S,
dire di quanti metri mi sposto, ma devo anche indicare lungo quale linea mi sposto
e, fissata la linea, in quale dei due versi. Solo con queste tre informazioni posso
descrivere completamente uno spostamento.
Verso
~a
~b
Le due rette si intersecano in un punto. Il vettore somma è il
vettore che parte dal punto di applicazione ed arriva nel punto
di intersezione delle due rette.
~c
~a
~b
Direzione
Punto di
applicazione
Il modulo del vettore somma non dipende solo dai moduli dei due vettori di
partenza, ma dipende anche dall’angolo che c’è tra i due vettori. Se non conosciamo
l’angolo non possiamo fare alcun tipo di affermazione. E’ facile calcolare quanto
valga il modulo del vettore somma in tre casi particolari:
Modulo
22
23
Scheda9. I vettori
• se i due vettori sono paralleli e nello stesso verso: il modulo del vettore somma
sarà la somma dei moduli dei vettori di partenza c = a + b
• se i due vettori sono paralleli ma con versi opposti: il modulo del vettore
somma sarà la differenza dei moduli dei vettori di partenza c = a − b
• se i due vettori sono a 90◦ : il modulo del vettore somma lo trovo applicando
il teorema di pitagora ad uno dei due triangoli che si formano dalla regola del
√
parallelogrammo c = a2 + b2
9.2.3
Scomposizione di un vettore
Dato un vettore ~c e due direzioni r ed s, la scomposizione di un vettore sungo
le due direzioni date consiste nel trovare i due vettori ~a sopra r e ~b sopra s tali
che
~c = ~a + ~b
Dato un vettore e due assi che passino dal suo punto di applicazione, è sempre
possibile ricavare su quegli assi i due vettori, chiamati componenti del vettore, che
sommati insieme danno il vettore in questione.
1. Dato un vettore e due direzioni...
~c
9.2.2
Prodotto di uno scalare per un vettore
Il prodotto di uno scalare per un vettore è un’operazione che prende uno
scalare k ed un vettore ~a e da come risultato un vettore
w
~ = k~a
che ha stessa direzione di ~a, verso concorde o discorde a seconda che k sia
positivo o negativo e modulo pari al modulo di ~a moltiplicato per il valore di
k in valore assoluto.
Il prodotto di uno scalare per un vettore si
esegue graficamente disegnando un nuovo vettore che rispetto al primo ha la stessa direzione, lo stesso
~a
verso se lo scalare è positivo e verso opposto se lo scalare è negativo, modulo differente pari al valore dello
scalare per il modulo del primo vettore. Per cui da−2~a
to un vettore ~a, il vettore 2~a avrà lo stesso verso
e la stessa direzione ma sarà lungo il doppio; il
vettore −2~a avrà la stessa direzione, verso opposto e lunghezza doppia.
4. Metto adesso la penna sulla punta del
vettore ~c e traccio una retta parallela al secondo asse. Essa incontra il
secondo asse in un punto.
~c
2. Metto la penna sulla punta del vettore ~c e traccio una retta parallela al
primo asse. Essa incontra il secondo
asse in un punto.
~c
~a
5. Sono ora in grado di disegnare la seconda componente ~b: dal punto di applicazione del vettore fino al punto
trovato.
~c
2~a
3. Sono ora in grado di disegnare la prima componente ~a: dal punto di applicazione del vettore fino al punto
trovato.
~c
~a
~a
~b
24
Scheda9. I vettori
Guardate il seguente video e cercate di riconoscere le operazioni con i vettori che sono state eseguite. Provate poi ad inventare voi degli esercizi
da fare sulle operazioni tra vettori.
9.2.5
Il prodotto vettoriale è un’operazione che prende due vettori e come risultato
da un vettore
~c = ~a × ~b
Fig. 9.2:
9.2.4
Prodotto vettoriale di due vettori
Guarda il video youtu.be/4Z5zilM8ozw
Prodotto scalare di due vettori
Il prodotto scalare è un’operazione che prende due vettori ~a e ~b, e da come
risultato da uno scalare
C = ~a · ~b
dato dal prodotto del modulo del primo vettore per il modulo del secondo
vettore per il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori.
le cui caratteristiche saranno:
• Direzione perpendicolare ai due vettori dati;
• Modulo pari al prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell’angolo compreso:
| ~c |=| ~a | · | ~b | · sin α
• Verso indicato dalla regola della mano destra: posizionate a 90◦ pollice,
indice e medio della mano destra; orientate il pollice nel verso del primo
vettore, l’indice nel verso del secondo vettore, il medio indicherà il verso
del terzo vettore.
Il valore dello scalare risultato dell’operazione
si calcola moltiplicando i moduli dei due vettori
ed il coseno dell’angolo compreso tra essi. Se l’angolo tra i due vettori è minore di 90◦ il prodotto scalare è positivo; se l’angolo tra
i due vettori è maggiore di 90◦ il prodotto scalare è negativo; se i due vettori sono
perpendicolari il prodotto scalare vale zero.
C = ~a · ~b
C =| ~a | · | ~b | · cos γ
~c
~b
γ
~a
~b
γ
Fig. 9.3: Prodotto vettoriale di due vettori: dato un vettore ~a ed un vettore ~b ottengo ~c = ~a × ~b. Il vettore ~c è
~a
Risulta quindi evidente che il risultato dell’operazione dipende dall’angolo tra i
due vettori.
perpendicolare sia al vettore ~a, sia al vettore ~b.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
I versori
10.1
Scheda 10
Cos’è un versore
Un versore è un vettore di modulo pari a 1 (senza unità di misura).
10 y
Un vedrsore è utile per indicare una direzione ed
un verso ed il suo utilizzo spesso semplifica i conti.
Immaginiamo di avere un vettore F~ di cui indichiamo il modulo con la lettera f . utilizzando i versori
possiamo scrivere
F~ = 5~u
8
~u
F~ = f · ~u
6
dove il versore ~u è un vettore che ha la stessa direzione e verso del vettore F~ . Nella
figura è rappresentato a titolo di esempio un vettore di modulo |F~ | = f = 5 indicato
utilizzando il versore ~u.
4
3~j
10.2
F~ = 4~i + 3~j
Versori su di un piano cartesiano
2
Ogni vettore è facilmente rappresentabile su di un piano cartesiano utilizzando i
versori associati ai due assi cartesiani. L’asse delle x è identificato dal versore ~i.
L’asse delle j è identificato dal versore ~j. Ogni vettore sul piano cartesiano sarà una
combinazione lineare dei versori ~i e ~j.
~j
4~i
~i
−2
2
4
x
6
8
10
−2
Fig. 10.1: La somma di vettori su di un grafico cartesiano rappresentata utilizzando i versori dei due assi
cartesiani.
Autore: Andrea de Capoa
5 Nov 2016
25
26
Scheda10. I versori
10 y
~ =E
~ + F~ = 6~i + 8~j
G
8
6
~ = 2~i + 5~j
E
4
F~ = 4~i + 3~j
2
~j
~i
−2
x
2
4
6
8
10
−2
Fig. 10.2: La somma di vettori su di un grafico cartesiano rappresentata utilizzando i versori dei due assi
cartesiani.
Parte II
Cinematica
27
Mappe di cinematica
Scheda 11
3
Grandezze
cinematiche
I Moti
Sistemi di
riferimento
~
Posizine S
Vm =
Moto vario
∆Stot ~
∆ttot Vm =
Intervallo
di tempo
∆t
Moto armonico
~a = −k · ~x
Moto del
pendolo
21 Dic 2016
28
Legge di
composizione
delle velocità
Accelerazione
~
∆V
~a =
∆t
Accelerazione
angolare
∆~
ω
α
~ =
∆t
Moto
parabolico
Moto rettilineo uniforme
~ = cost
V
∆S = V · ∆t
Moti periodici
Autore: Andrea de Capoa
Velocità angolare
~ = ~r × ω
V
~
∆θ
ω =
∆t
~tot
∆S
∆ttot
Moto uniformemente
accelerato
~a = cost
∆S = 21 ·a·∆t2 +Vi ·∆t
∆V = a · ∆t
Periodo e
frequenza
1
ν =
T
Velocità
~
~ = ∆S
V
∆t
Spostamento
~
∆S
Moto elicoidale
Moto circolare uniforme
2
a = Vr ; V = ωr
ν = T1 ; ω = 2πν
Sistemi di riferimento
Scheda 12
Un sistema di riferimento serve per poter indicare quale sia la posizione di un
oggetto e descriverne il movimento.
12.1
12.2
Muoversi significa cambiare posizione; se per indicare una posizione serve un sistema di riferimento, allora questo è necessario anche per descrivere il movimento
di un oggetto. La scelta del sistema di riferimento può influire moltissimo sulla
descrizione del movimento.
Punto di riferimento e assi cartesiani
Se provate ad indicare la posizione di un qualunque oggetto intorno a voi vedrete
che per poter dire dove sta siete sempre costretti a fare riferimento ad un qualche altro
oggetto. Ciò rispetto al quale vi riferite si chiama punto di riferimento. Provate adesso
ad indicare dove si trova un certo punto rispetto a quello di riferimento. Noterete
che direte frasi come per esempio: si trova tre metri in avanti e due a destra. Per poter
descrivere la posizione di un secondo punto rispetto al primo, avete bisogno di alcune direzionei (avandi-indietro, destra-sinistra, alto-basso) sulle quali indicare delle
distanze. Queste direzioni si chiamano assi cartesiani. In figura 12.1 vengono mostrati dei punti in un sistema di assi cartesiani. Attenzione: il sistema di riferimento non
serve per far esistere i punti, ma solo per poter dire dove sono.
L’esempio del treno Se mi trovo su di un treno che viaggia, io vedo i miei bagagli
fermi di fronte a me; gli stessi bagagli, visti da una persona fuori dal treno, si stanno
muovendo insieme al treno. Quei bagagli sono fermi o si muovono? Dire che i
bagagli sono fermi, e dire che si muovono, sono due frasi entrambe vere in due sistemi
di riferimento differenti. Nel sistema di riferimento della persona sul treno i bagagli
sono fermi; contemporaneamente nel sistema di riferimento della persona fuori dal
treno i bagagli si muovono.
L’esempio del tavolo Se non siete ancora convinti provate a guardare il tavolo davanti a voi: è fermo? Sono sicuro che avete detto di si. Siete sicuri? Sono sicuro che
avete detto di si. Pensate adesso che il tavolo, insieme a tutti gli oggetti sul pianeta,
sta girando intorno al Sole! Quindi il tavolo si muove? Si. Nel sistema di riferimento della Terra il tavolo è fermo; contemporaneamente nel sistema di riferimento del
Sole, quel tavolo si muove.
0.5
z
0
−0.5
−1
Sistemi di riferimento e movimento
L’esempio della stazione Pensate a quando siete in stazione, su di un treno in attesa della partenza. Il treno e fermo e la stazione è ferma. Di solito il vostro cervello
vi fa ragionare mettendovi nel sistema di riferimento del treno. Nel momento della
partenza, per pochissimi istanti, avete la certezza di vedere la stazione muoversi. La
cosa dura poco, fino a quando il vostro cervello non vi riporta nel sistema di riferimento della stazione, nel quale la stazione è ferma ed il treno si sta muovendo (dalla
parte opposta di dove prima si muoveva la stazione). Dire che la stazione è ferma, e
dire che si muove, sono due frasi entrambe vere in due sistemi di riferimento differenti.
1
−0.5
0
x
0
0.5
1 −1
y
Fig. 12.1: Punti in tre dimensioni. Gli assi cartesiani ci permettono di indicare, tramite delle coordinate, la
posizione di ogni singolo punto.
29
30
Scheda12. Sistemi di riferimento
Attenzione a non cadere nell’errore di dire che in realtà è la stazione che è ferma. . . non è vero! In realtà la stazione è contemporaneamente ferma nel sistema di
riferimento del pianeta Terra, e in movimento nel sistema di riferimento del treno.
12.3
Videolezioni
Vi invito, per meglio comprendere il concetto di sistema di riferimento, a vedere i
seguenti due video:
Fig. 12.2: Guarda il video youtu.be/DejaKlkaVc0
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Grandezze cinematiche
Scheda 13
Per descrivere il movimento di un oggetto utilizziamo alcune grandezze fisiche
che nelle prossime sezioni andiamo a spiegare.
13.2
13.1
La descrizione di un qualunque movimento inizia in un certo istante e finisce in un
istante successivo. Il tutto dura un certo intervallo di tempo ∆t, misurato in secondi
e calcolabile come:
Posizione e Spostamento
Intervallo di tempo
Muoversi vuol dire cambiare posizione. Cosa sia la posizione di un oggetto lo abbiamo
visto quando abbiamo parlato di sistemi di riferimento.
∆t = tf − ti
dove ti è l’istante iniziale dell’intervallo e tf l’istante finale.
Uno spostamento è definito come una variazione di posizione, cioè la differenza
tra la posizione finale dell’oggetto e la posizione iniziale dell’oggetto.
13.3
~=S
~f − S
~i
∆S
La velocità di un oggetto è definita come il rapporto tra lo spostamento effettuato da
un oggetto e l’intervallo di tempo impiegato ad effettuare quello spostamento.
Lo spostamento è una grandezza vettoriale e la sua unità di misura è il metro.
13.1.1
Spostamento e distanza percorsa
~
~ = ∆S
V
∆t
La distanza percorsa è la lunghezza pel percorso, dal punto di partenza a
quello di arrivo.
Spostamento e distanza pecorsa sono due
concetti molto differenti. Il primo tiene solamente conto della distanza tra i due punti, di partenza e di arrivo, e non dipende dal
percorso seguito per muoversi; il secondo è
invece una caratteristica del percorso scelto.
Immaginiamo, come mostrato in figura 13.1,
~i fino
di muoverci da un punto di partenza S
~f lungo il percorso inad un punto di arrivo S
dicato dalla curva rossa. La lunghezza di tale
curva è la lunghezza del percorso, mentre la
~=S
~f −S
~i è il valore
lunghezza del vettore ∆S
dello spostamento.
Velocità
La velocità di un oggetto è una grandezza vettoriale; non basta dire quanto forte stai
andando, ma devi anche dire su quale direzione ti muovi e in quale verso.
13.3.1
Velocità media e istantanea
•
La definizione di velocità data in precedenza deve però essere approfondita. Così
come è stata scritta si basa su di un intervallo di tempo di lunghezza non specificata.
Se tale intervallo di tempo ha una lunghezza determinata, allora la definizione è
quella della velocità media nell’intervallo di tempo in questione. Questo significa che
non possiamo avere informazioni su quale sia stata la velocità negli istanti all’inteno
dell’intervallo ∆t, ma abbiamo solo informazioni su un valore medio tenuto durante
l’intervallo ∆t.
•
Fig. 13.1: Nel muoversi dal punto S~i al pun~f un corpo ha seguito il percorso tracciato
to S
~
in rosso. Il corpo compie uno spostamento ∆S.
La lunghezza del percorso L è in questo caso più
lunga del valore dello spostamento.
Se poi immaginiamo di rendere quell’intervallo di tempo sempre più piccolo,
tanto piccolo da non essere quasi nullo e poterlo definire un istante, allora parleremo
di velocità istantanea, e cioè di velocità in un certo istante.
31
32
13.4
Scheda13. Grandezze cinematiche
Accelerazione
L’accelerazione è una grandezza vettoriale con
modulo, direzione e verso, definita come una
variazione di velocità nel tempo.
~a =
~
∆V
∆t
La sua unità di misura è sm2 . Ogni volta che
Fig. 13.2:
Guarda il video
un’accelerazione agisce su di un oggetto ne conyoutu.be/pZ-jen14BI4
segue che cambia nel tempo la velocità di quell’oggetto. Attenzione anche alle parole: chiamiamo accelerazione una variazione del
vettore velocità, non un aumento del suo modulo. Se cambia anche una sola delle caratteristiche del vettore velocità (modulo, direzione o verso) allora c’è stata
un’accelerazione.
13.4.1
Capire l’accelerazione
Capire cosa sia un’accelerazione1 significa capire in che modo un oggetto cambia la
sua velocità quando su di esso viene applicata un’accelerazione. Cominciamo con
l’analizzare tre casi particolari nei quali l’angolo tra l’accelerazione e la velocità è
rispettivamente 0◦ , 90◦ e 180◦ .
Attenzione a non farvi trarre in inganno dalle figure... l’accelerazione non si somma mai alla velocità! Sono grandezze non omogenee. L’accelerazione genera un
~ = ~a · ∆t; la velocità finale la si trova facendo
vettore ∆V
Accelerazione parallela alla velocità. Quando l’angolo tra accelerazione e velocità è 0◦
significa che i due vettori hanno stessa direzione e verso. In questo caso il vettore velocità mantiene costante la direzione ed il verso,
ma aumenta il valore del modulo.
Accelerazione antiparallela alla velocità.
Quando l’angolo tra accelerazione e velocità
è 180◦ significa che i due vettori hanno stessa
direzione ma verso opposto. In questo caso il
vettore velocità mantiene costante la direzione ed il verso, ma diminuisce il valore del
modulo.
Accelerazione perpendicolare alla velocità.
Quando l’angolo tra accelerazione e velocità è 90◦ significa che i due vettori sono perpendicolari. In questo caso il vettore velocità
mantiene costante il modulo ma varia la sua
direzione.
~f = V
~ i + ∆V
~ =V
~i + ~a · ∆t
V
1 Per provare a visualizzare un’accelerazione potete per cominciare pensare all’accelerazione come
ad una spinta. Sebbene ciò non sia propriamente corretto, capirete studiando il primo principio della
dinamica come questo possa comunque fornire una conoscenza intuitiva corretta.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
~f
V
~i
V
~a
Prima
Dopo
~i
V
~f
V
Prima
Dopo
~a
~i
V
~f
V
Prima
~a
Dopo
Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato
14.1
Moto rettilineo uniforme
14.2
~ =
Il moto rettilineo uniforme è un moto con il vettore velocità costante: V
costante
Scheda 14
Moto uniformemente accelerato
Il moto uniformemente accelerato è il moto con accelerazione costante: ~a =
costante
Questo vuol dire che modulo, direzione e verso della velocità sono costanti e quindi non cambiano mai. Ne consegue che in questo moto
l’accelerazione è nulla:
Questo vuol dire che modulo, direzione e verso dell’accelerazione sono costanti e
quindi non cambiano mai. Essendoci un’accelerazione, allora la velocità dell’oggetto
che si muove cambia in continuazione. Le equazioni del moto sono:
∆S =
~a = 0
Se non cambia mai la direzione della velociFig. 14.1: Guarda il video youtà, allora l’oggetto deve muoversi sempre lungo la
tu.be/LMMTZTwZPKY
stessa retta e non può fare delle curve. Ogni curva implica un cambio della direzione,
quindi un cambio della velocità e quindi un’accelerazione non nulla.
Nel muoversi lungo una linea retta, l’oggetto non tornerà mai indietro perché è
costante il verso. Tornare indietro implica infatti un’inversione del vettore che di per
se è una variazione ed implica quindi un’accelerazione.
Un oggetto che si muova di moto rettilineo uniforme avrà sempre lo stesso valore
della velocità. Questo significa che l’oggetto percorrerà spazi uguali in tempi uguali.
Per calcolarci quanto spazio percorre possiamo utilizzare la formula:
1
· a · ∆t2 + Vi · ∆t
2
∆V = a · ∆t
In queste due equazioni voglio sottolineare il
significato di Vi : essa è la velocità iniziale dell’oggetto. Visto che ∆t è un intervallo di tempo, ovviamente ha un inizio ed una fine, quindi Vi è la
velocità che ha l’oggetto nell’istante in cui inizia
l’intervallo di tempo preso in considerazione.
14.2.1
∆S = V · ∆t
Fig. 14.2:
Guarda il video youtu.be/QducxjKp_UU
La caduta dei gravi
Ogni oggetto sul pianeta subisce l’accelerazione di
gravità che ha sempre lo stesso valore, è sempre
verticale e sempre verso il basso. Il vettore accelerazione di gravità è quindi un vettore costante.
Un oggetto che cade, in assenza di attrito con l’aria, subisce quindi un’accelerazione costante e si
muove quindi di moto uniformemente accelerato.
Fig. 14.3:
Guarda il video
Se guardate ora le equazioni del movimento noteyoutu.be/m7lm7u-JomY
rete che non contengono il valore della massa dell’oggetto che si muove... questo significa che il valore della massa non influisce sul
33
34
Scheda14. Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato
movimento dell’oggetto. Osservate questo video girato dagli astronauti dell’apollo
sulla Luna.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Grafici spazio-tempo
Scheda 15
trascorso. Questo valore sul grafico corrisponde alla pendenza della curva disegnata. Una curva ripida indica che l’oggetto ha fatto tanta strada in poco tempo e quindi
ha avuto una grande velocità. Una linea orizzontale rappresenta di conseguenza un
oggetto fermo con velocità V = 0
Un grafico spazio-tempo rappresenta il moto di un oggetto lungo un certo
percorso lineare.
15.1
Sugli assi cartesiani
15.4
In un grafico spazio-tempo l’asse delle ascisse indica il trascorrere del tempo e l’asse
delle ordinate indica la distanza percorsa dall’origine. Supponiamo che il moto di un
oggetto sia descritto indicando con x = 0 m il punto di partenza dell’oggetto, e con
t = 0 s l’istante di partenza di un oggetto1 . La posizione dell’oggetto nel tempo sarà
indicata da un punto di coordinate (t, x) che indicano istante per istante la distanza
dell’oggetto dall’origine del sistema di riferimento.
Grafici di esempio
Vediamo adesso alcuni grafici di esempio attraverso i quali meglio comprendere
quanto scritto fino ad ora.
8
S(km)
6
15.2
Lettura del movimento
Il movimento dell’oggetto al passare del tempo è quindi indicato dal movimento del
punto nel grafico. Tale punto si sposterà sempre verso destra a causa dello scorrere
del tempo, in alto se l’oggetto si muove in avanti lungo il suo percorso, in basso se
torna indietro lungo il suo percorso, e rimane ad altezza costante se l’oggetto è fermo
(mantiene infatti costante la sua distanza dall’origine).
4
2
t(h)
15.3
Lettura della velocità
1
La velocità dell’oggetto è definita dalla formula
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 15.1: Questo grafico rappresenta il moto di un corpo che percorre in avanti tre kilometri in tre ore, successivamente percorre in avanti un kilometro in due ore, poi rimane fermo per due ore ed infine torna al punto di partenza
nelle successive due ore. In tutto ha viaggiato nove ore ed ha percorso quattro kilometri in avanti e quattro indietro.
Dalle pendenze delle linee si nota che il corpo ha viaggiato alle velocità di V1 = 1 km
, V2 = 0, 5 km
, V3 = 0 km
h
h
h
e V4 = −2 km
nei
rispettivi
quattro
tratti
di
strada.
h
∆S
V =
∆t
Questo significa che per conoscere la velocità media dell’oggetto in un certo intervallo di tempo devo dividere tutto la distanza percorsa con l’intervallo di tempo
1 Ovviamente l’unità di misura
2
di distanza e tempo può essere qualunque e non necessariamente metri
Autore: Andrea de Capoa
e secondi
35
30 Gen 2017
36
Scheda15. Grafici spazio-tempo
8
S(km)
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 15.2: Questo grafico rappresenta il moto di un corpo che percorre in avanti quattro kilometri in due ore,
successivamente rimane fermo tre ore, poi torna indietro di due kilometri in due ore ed infine rimane fermo successive
due ore. In tutto ha viaggiato nove ore ed ha percorso quattro kilometri in avanti e due indietro. Dalle pendenze delle
linee si nota che il corpo ha viaggiato alle velocità di V1 = 2 km
, V2 = 0 km
, V3 = −1 km
e V4 = 0 km
nei
h
h
h
h
rispettivi quattro tratti di strada.
Grafici velocità-tempo
Scheda 16
Questo significa che per conoscere l’accelerazione media dell’oggetto in un certo
intervallo di tempo devo dividere la variazione di velocità con l’intervallo di tempo
trascorso. Questo valore sul grafico corrisponde alla pendenza della curva disegnata.
Una curva ripida indica che l’oggetto ha cambiato di molto la velocità in poco tempo
e quindi ha avuto una grande accelerazione. Una linea orizzontale rappresenta di
conseguenza un oggetto che viaggia con velocità costante V = cost
Ogni volta che il grafico presenta una line retta, significa che la variazione di
velocità è direttamente proporzionale al tempo trascorso, e questo implica un moto
uniformemente accelerato.
Un grafico velocità-tempo rappresenta l’andamento del moto di un oggetto
lungo un certo percorso lineare.
16.1
Sugli assi cartesiani
In un grafico velocità-tempo l’asse delle ascisse indica il trascorrere del tempo e l’asse
delle ordinate indica la velocità assunta in ogni istante. Supponiamo che il moto di
un oggetto sia descritto indicando con Vi = 0 m
s la velocità iniziale dell’oggetto, e con
t = 0 s l’istante in cui noi azioniamo il nostro cronometro1 . La velocità dell’oggetto
nel tempo sarà indicata da un punto di coordinate (t, V ) che indicano istante per
istante la velocità dell’oggetto.
16.2
16.4
Grafici di esempio
Vediamo adesso un grafico di esempio attraverso il quale meglio comprendere quanto scritto fino ad ora.
Lettura del movimento
L’andamento del moto dell’oggetto al passare del tempo è quindi indicato dal movimento del punto nel grafico. Tale punto si sposterà sempre verso destra a causa
dello scorrere del tempo, in alto se l’oggetto aumenta la sua velocità, in basso se diminuisce la sua velocità, e rimane ad altezza costante se l’oggetto mantiene costante
la sua velocità muovendosi di moto rettilineo uniforme.
Valori positivi rappresentano un movimento in avanti; valori negativi rappresentano un movimento indietro.
16.3
Lettura dell’accelerazione
L’accelerazione dell’oggetto è definita dalla formula
a=
∆V
∆t
1 Ovviamente
l’unità di misura di velocità e tempo può essere qualunque e non necessariamente metri
al secondo e secondi
Autore: Andrea de Capoa
37
30 Gen 2017
38
Scheda16. Grafici velocità-tempo
8
V ( km
h )
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−2
Fig. 16.1: Questo grafico rappresenta il moto di un corpo che subisce un’accelerazione costante in avanti per tre
ore; poi si muove in avanti a velocità costante per tre ore; successivamente accelera all’indietro per due ore arrivando
a fermarsi e quindi a muoversi all’indietro; per un’ora ha viaggiato di moto rettilineo uniforme all’indietro per poi
accelerare in avanti rallentando il suo movimento all’indietro fino a fermarsi. In tutto ha viaggiato nove ore. Dalle
pendenze delle linee si nota che il corpo ha viaggiato con accelerazioni il cui modulo è a1 = 1 km
, a2 = 0,
h2
km
a3 = 2 km
e
a
=
0
ed
a
=
1
nei
rispettivi
quattro
tratti
di
strada.
4
5
2
2
h
h
Moto parabolico
17.1
Scheda 17
6
Moto parabolico
5
Il moto parabolico è una combinazione del moto rettilineo uniforme e del moto
uniformemente accelerato su due assi perpendicolari tra loro.
4
3
Il moto parabolico è un moto nel piano. Questo significa che prese due direzioni perpendicolari tra loro, mentre l’oggetto si muove lungo uno
dei due assi, contemporaneamente si muove anche lungo l’altro asse. Immaginate di camminare a velocità costante e contemporaneamente lanciare un oggetto verticalmente in aria: tale oggetFig. 17.1:
Guarda il video
to, mentre si muove come voi in orizzontale di
youtu.be/xfLZ2Y0FM-k
moto rettilineo uniforme, contemporaneamente si
muove di moto uniformemente accelerato in verticale. Le equazioni saranno quindi:
2
1
∆Sx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 17.2: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore

1
2


∆Sy = 2 ay · ∆t + Viy · ∆t
velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile. In blu la componente orizzontale della velocità: visto che in
orizzontale il moto è rettilineo uniforme, allora il vettore è costante. In rosso la componente verticale della velocità:
visto che in verticale è moto uniformemente accelerato, allora il vettore velocità varia nel tempo.
∆Vy = ay · ∆t



∆Sy
∆Sx = Vx · ∆t
In queste equazioni, l’indice y indica il movimento dell’oggetto sull’asse verticale
e l’indice x indica il movimento sull’asse orizzontale.
A partire dalle equazioni del moto possiamo ricavare diverse informazioni aggiuntive: gittata, massima altezza, tempo di volo1 .
Tempo di volo
17.1.1
Moto di un proiettile
Dalla prima equazione, imponendo che lo spostamento su y sia nullo, otteniamo gli
intervalli di tempo corrispondenti ai punti in cui il proiettile si trova al livello del
Se trascuriamo le forze di attrito, un proietile che si muove subisce unicamente l’accelerazione di gravità che è costante con direzione verticale. In verticale il suo moto sarà quindi uniformemente accelerato in verticale e rettilineo uniforme in orizzontale.
In figura 17.2 viene rappresentata tale traiettoria.
1 Quanto scritto in questo paragrafo non è da studiare a memoria. Sforzatevi di capire invece in che
modo le informazioni riportate sono state ricavate, in modo da poter ricalcolarvi le stesse formule in
qualunque momento.
39
40
Scheda17. Moto parabolico
suolo
1
0 = ay · ∆t2 + Viy · ∆t
2
1
0 = ∆t ·
ay · ∆t + Viy
2
da cui otteniamo due soluzioni che corrispondono all’istante di partenza e all’istante
in cui il proiettile impatta al suolo.

∆t = 0
i
∆tf = − 2Viy
Di conseguenza la gittata diventa
∆Sx−max = −
∆Sx−max = −
Massima altezza raggiunta
Il punto di massima altezza viene raggiunto a metà del tempo di volo
Viy
a
Tale intervallo di tempo corrisonde ad uno spostamento in verticale
∆Sy =
Viy2
1
Viy
ay · 2 − Viy ·
2
ay
ay
1 Viy2
∆Sy = − ·
2 ay
Gittata
La gittata, cioè la massima distanza raggiunta dal proiettile, la si calcola conoscendo
il moto rettilineo uniforme in orizzontale
∆Sx−max = Vix · ∆tf = −
2Vix Viy
ay
Le due componenti della velocità iniziale, tenendo conto che tale vettore è inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo α, sono

V = V · cos α
ix
i
Viy = Vi · sin α
Vi2 sin(2α)
ay
Tale gittata assume il valore massimo per un angolo α = 45◦
ay
∆tm = −
2Vi2 cos(α) sin(α)
ay
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Moti periodici e orologi
18.1
Scheda 18
del pendolo, gli orologi da polso a molla utilizzano il moto periodico delle oscillazioni di quella molla, gli orologi elettrici utilizzano le oscillazioni (quindi un moto
periodico) indotte dal passaggio della corrente elettrica in un cristallo di quarzo.
Moto periodico e misura del tempo
Un movimento si definisce periodico quando si ripete uguale dopo un certo
periodo di tempo T .
Un oggetto che si muove di moto circolare uniforme percorre sempre la stessa traiettoria circolare ritrovandosi dopo un intervallo di tempo fisso, nello stesso punto,
con la stessa velocità e con la stessa accelerazione. Lo stesso accade per esempio con
l’oscillazione di un pendolo o di un oggetto appeso ad una molla.
Definiamo frequenza (indicata con ν) il numero di periodi al secondo
ν=
1
T
La frequenza è quindi il numero di volte in cui il moto si ripete ogni secondo.
18.2
La misura del tempo
La misura di un intervallo di tempo consiste nel contare quante volte un certo
moto periodico si ripete in quell’intervallo di tempo.
Per sottolineare il concetto precedente consideriamo cosa siano il giorno, l’anno, le
lune: il giorno è la durata del moto periodico della Terra intorno al suo asse; l’anno è
la durata del moto periodico della Terra intorno al Sole; le lune (pensate agli indiani
americani nei film western) sono la durata del moto periodico della Luna intorno
alla Terra.
18.3
Orologi
Gli orologi (o più esattamante cronometri) sono strumenti che contano quante volte
un certo moto periodico si ripete: gli orologi a pendolo utilizzano il moto periodico
Autore: Andrea de Capoa
41
11 Giu 2017
Moto circolare uniforme
19.1
Scheda 19
La frequenza è il numero di cicli del moto periodico fatti dall’oggetto ogni secondo.
Definizione
Un oggetto si muove di moto circolare uniforme quando:
• il modulo della velocità è costante
19.2
La velocità angolare
Per indicare nel modo migliore quanto velocemente gira un oggetto devo fare riferimento alla velocità angolare. Se immaginate una ruota ruotare intorno al suo asse,
punti sulla ruota a distanze differenti dal centro si muovono con velocità differenti;
tanto più sono distante dal centro di rorazione, tanto più devo muovermi veloce se
voglio percorrere un giro nello stesso tempo di un punto posto vicino all’asse di rotazione. Tutti i punti della ruota, cioè, hanno la stessa velocità angolare; e per averla
devono viaggiare a velocità differenti. La velocità angolare ω è definita come una
variazione di angolo δα nel tempo
• il modulo dell’accelerazione è costante
• il vettore velocità è perpendicolare al vettore accelerazione
Ne consegue che un oggetto che si muove
di moto rettilineo uniforme segue una traiettoria
circolare con raggio r e accelerazione:
V2
r
Sappiamo che in un qualunque movimento il
vettore velocità è sempre perpendicolare alla traFig. 19.1: Guarda il video youtu.be/iettoria. In questo caso l’accelerazione è sempre
v25CUFTS1o
perpendicolare alla velocità e quindi è sempre rivolta verso il centro della traiettoria
circolare. L’accelerazione è quindi detta centripeta.
Una volta compiuto un giro intero della circonferenza, il movimento si
~
V
ripete uguale ed è quindi un moto periodico. il tempo per fare un giro intero della circonferenza è detto perio~a
do. Essendo il modulo della velocità
un valore costante, possiamo scrivere
che il tempo impiegato a fare un giro,
detto periodo, vale
a=
T =
Fig. 19.2: Vettori nel moto circolare uniforme
L’inverso del periodo è detta frequenza:
ν=
ω=
∆α
∆t
L’angolo percorso in un giro è appunto un angolo giro di 360◦ che misurato in radianti vale 2π Se consideriamo un intervallo di tempo pari ad un periodo, e teniamo
conto della definizione di frequenza avremo che
ω=
2π
= 2πν
T
Come la velocità lineare, anche la velocità angolare è un vettore. La direzione del
vettore velocità angolare è l’asse di rotazione, mentre il verso indica se la rotazione
avviene in senso orario o antiorario.
2πr
V
1
T
Autore: Andrea de Capoa
42
17 Feb 2016
Moto armonico
20.1
Scheda 20
Di conseguenza possiamo defi1
e la pulnire la frequenza ν =
T
sazione ω = 2πν. In particolare la pulsazione è proprio il parametro che incontriamo nella definizione dell’accelerazione del moto
armonico.
Ipotizzando di cominciare a misurare il tempo nell’istante in cui
l’oggetto si trova alla massima distanza dal punto di equilibrio, avremo che la legge orario del moto e
l’equazione per la velocità del corpo
sono:

∆S = A cos 2π ∆t T
V = − 2πA sin 2π ∆t .
Definizione
Il moto di un oggetto si dice armonico quando tra accelerazione e spostamento
vale la seguente relazione:
~
~a = −ω 2 ∆S
cioè quando abbiamo un’accelerazione di richiamo, direttamente proporzionale allo spostamento dell’oggetto e sempre rivolta dalla parte
opposta.
Il moto armonico è un moto periodico che possiamo descrivere come un’oscillazione intorno ad un punto di equilibrio. Quando l’oggetto si sposta da quel punto
di equilibrio l’accelerazione è tale da richiamarlo in modo da farlo tornare verso il
punto di equilibrio. Il valore del parametro ω dipende in generale dalla natura della
forza di richiamo e dalle caratteristiche dell’oggetto che oscilla.
Un esempio di moto armonico è
quello che si ottiene facendo oscillare un oggetto attaccato ad una molla. Se inizialmente la molla è a riposo, sull’ogetto non agisce alcuna
forza. Spostanzo l’oggetto di una
~ = A, la molla lo tirequantità |∆S|
rà dalla parte opposta a tale spostamento. Nel momento in cui lasciamo l’oggetto comincia il suo moto
armonico. Di quel movimento A saFig. 20.1: Un oscillatore armonico creato utilizzando una
rà l’ampiezza, cioè la massima distanmolla. Sono rappresentate la forza di richiamo e la velocità
za dell’oggetto dal punto di equilidel corpo in due istanti del moto: nel primo l’oggetto accelera verso il punto di equilibrio; nel secondo l’oggetto rallenta
brio. Essendo il moto armonico un
in quanto si sta allontanando dal punto di equilibrio.
moto periodico, possiamo definire il
periodo T del moto come la durata di un’oscillazione completa.
T
F~
T
~
V
F~
Fig. 20.2: L’oggetto attaccato alla molla sta oscillando di
moto armonico. In arancione è rappresentata la forza che
esercita la molla; in blu la velocità dell’oggetto.
~
V
Autore: Andrea de Capoa
43
17 Feb 2016
Parte III
Dinamica
44
45
46
Scheda21. Mappe di dinamica
Mappe di dinamica
Scheda 21
Legge di conservazione
del momento angolare
Forze apparenti e
sistemi di riferimento
non inerziali
Primo principio
~
~ = cost
Ftot = 0 ⇔ V
Momento angolare
~ = ~r × P~
L
Quantità di moto
~
P~ = m · V
Secondo principio
F~ = m · ~a
~
F~ = ∆∆tP
Legge di conservazione
della quantità di moto
Terzo principio
F~ab = −F~ba
Principi della
dinamica
Legge di gravitazione
universale
M ·m
F = G 2
r
forza di gravità
Momento di una forza
~ = ~r × F~
M
forze centripete
V2
F = m
r
Tipi di forze
F~
[N ewton]
forze
conservative
forza elastica
~
F~el = −k ∆l
forza di Archimede
F~Arc = ρf · Vf s · g
forze viscose
~
F~ = −αV
sulla superficie
di un pianeta
Fg = m · g
radente statico
Fa = µs Fschiaccia
radente dinamico
Fa = µd Fschiaccia
forza di attrito
volvente
Fa = µv Fschiaccia
viscoso
Fa = C1 · V + C2 · V 2
47
Scheda21. Mappe di dinamica
Risoluzione di un
problema di equilibrio
Disegno tutte le forze
Equilibrio traslazionale
Equilibrio rotazionale
Per ogni asse, orizzontale e
verticale, scrivo l’equazione
dell’equilibrio traslazionale: F~tot = 0
Metto il punto di rotazione
(su di una forza che non conosco)
Metto le formule e risolvo
Per ogni forza scrivo il relativo momento
indicando se orario o antiorario
Scrivo l’equazione dell’equilibrio
~ tot = 0
rotazionale M
Metto le formule e risolvo
Autore: Andrea de Capoa
26 Gen 2017
La distribuzione di massa
Scheda 22
Ogni oggetto è fatto di materia. Due elementi molto importanti per avere informazioni su come la massa dell’oggetto è disposta sono il baricentro ed il momento di
inerzia
metri
9 kg
10
8
6 kg
6
22.1
Il baricentro di un corpo
4
2
Di un corpo o di un sistema di corpi è utile definire un punto detto baricentro. Tale
punto ha proprietà particolari ed è quindi qui utile darne una definizione. Il baricentro di un sistema di corpi è un punto geometrico che definisce quale sia il centro
del sistema tenendo conto della distribuzione delle masse. Li doce c’è più massa si
avvicina la posizione del baricentro. Per poterne calcolare la posizione è necessario
prendere in considerazione un’opportuno sistema di riferimento. In tale sistema la
posizione del baricentro sarà la media, pesata sui valori delle masse, delle posizioni
delle masse stesse. Per cui
Xb =
Yb =
−10 −8 −6 −4 −2
Yb =
4
6
8
10
metri
−2
−4
−6
7 kg
−8
−10
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... + mn xn
m1 + m2 + m3 + ... + mn
Fig. 22.1: Nella figura sono rappresentate tre masse posizionate rispettivamente in posizione (10;10), (-10;7),
(4;-7) misurate in metri e aventi rispettivamente massa di 9 kg, 6 kg e 7 kg. In rosso è rappresentata la posizione del
baricentro del sistema. In nero è indicato il centro geometrico del sistema.
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + ... + mn yn
m1 + m2 + m3 + ... + mn
Nella figura 22.1 il baricentro è stato calcolato nel seguente modo:
Xb =
2
ripetiamo l’operazione per un secondo punto; il baricentro si trova sull’intersezione
delle due rette trovate.
9 kg · 10 m − 6 kg · 10 m + 7 kg · 4 m
= 2, 64 m
9 kg + 6 kg + 7 kg
9 kg · 10 m + 6 kg · 7 m − 7 kg · 7 m
= 3.77 m
9 kg + 6 kg + 7 kg
Se abbiamo invece un corpo rigido, il discorso si dovrebbe ripetere per ognuna delle molecole che costituiscono il corpo. La posizione del baricentro dipenderà
quindi dalla geometria del corpo stesso e non è detto che il baricentro sia un punto
che si trova all’interno dell’oggetto. Ovviamente, però, non è possibile procedere
in questo modo per trovare la posizione del baricentro. Sperimentalmente si può
agire nel seguente modo: prendiamo il corpo rigido e appendiamolo per un suo
qualunque punto, e tracciamo sul corpo una retta verticale che passa per tale punto;
48
49
22.2
Scheda22. La distribuzione di massa
Il momento di inerzia di un corpo
camente1 . In caso contrario per il calcolo del momento di inerzia ci si può servire di
due teoremi: il teorema degli assi paralleli ed il teorema degli assi perpendicolari.
Il momento di inerzia di un oggetto è una grandezza scalare definita rispetto ad
un particolare asse di rotazione. Preso un oggetto puntiforme di massa m ad una
distanza r dall’asse di rotazione, il momento di inerzia è definito dalla quantitá
I = m · r2
Qualora l’oggetto non sia puntiforme, ogni molecola che lo compone si troverà ad
una distanza differente dall’asse di rotazione, per cui il momento di inerzia dell’oggetto sarà la somma dei momenti di inerzia delle singole i − esime molecole
dell’oggetto contenente n molecole.
I=
n
X
mi · ri2
22.2.1
Momenti di inerzia di figure geometriche note
I mimenti di inerzia di figure geometriche solide che supponiamo avere tutte massa
m, oltre che dall’asse di rotazione scelto , dipenderanno dalla massa e dalle grandezze che descrivono la loro geometria.
i=1
Figura geometrica
A
Momento di inerzia
Il momento di inerzia della sfera è ovviamente sempre lo stesso per qualunque asse di rotazione che passi per il centro della
sfera.
Per una sfera piena avremo
r
O
I=
mi
2 2
mr
5
Per un guscio sferico (con tutta la massa
sulla superficie della sfera) avremo
ri
I=
2 2
mr
3
Fig. 22.2: Nella figura sono rappresentate due piccole porzioni di un oggetto che sta ruotando intorno ad un suo
asse, indicando con ri le loro distanze dall’asse e con mi le loro masse. Il momento di inerzia di tutto l’oggetto sarà
la somma dei momenti di inerzia di tutte le piccole porzioni del oggetto.
Se l’oggetto ha una forma geometrica regolare, e viene calcolato rispetto ad un
suo asse di simmetria, allora questo conto è semplice e può essere eseguito analiti-
1 All’indirizzo
web http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia trovate
i valori dei momenti di inerzia di alcune figure solide
50
Scheda22. La distribuzione di massa
Figura geometrica
Momento di inerzia
Figura geometrica
Momento di inerzia
Il momento di inerzia del cilindro cavo è
r
I=
Il momento di inerzia del cilindro pieno è
I=
h
rmin
rmax
1 2
mr
2
Da notare che non dipende dall’altezza del
cilindro, infatti se immaginiamo di tagliare il parallelepipedo con piani perpendicolari all’asse di rotazione, otteniamo sempre
sezioni della stessa forma geometrica.
h
1
2
2
m rmax
+ rmin
2
Notiamo come nel caso che il raggio minore tenda a diventare uguale al raggio
maggiore
rmin − > rmax
alora si ottiene il momento di inerzia di un
tubo cilindrico (con tutta la massa sulla superficie del cilindro e senza le superfici di
base). Avremo quindi che tutte le molecole
si trovano alla stessa distanza r dall’asse di
rotazione, quindi
I = mr2
Figura geometrica
h
b
a
Momento di inerzia
Per un parallelepipedo non serve analizzare diversi assi di simmetria, in quanto possiamo utilizzare la stessa formula semplicemente dando i nomi a, b, e h sempre rispettivamente ai valori dei lati di base e
dell’altezza.
Il momento di inerzia del parallelepipedo
pieno è
1
m a2 + b2
I=
12
Da notare che non dipende dall’altezza del
parallelepipedo; come per il cilindro se immaginiamo di tagliare il parallelepipedo
con piani perpendicolari all’asse di rotazione, otteniamo sempre sezioni della stessa
forma geometrica.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
I tre principi della dinamica
Introduciamo adesso per la prima volta il concetto di forza, quello che fino ad ora avevate in modo intuitivo quando parlavate di spinte. Il concetto
di forza è interamente definito dai tre principi della dinamica, proposti da Newton nel 1687. Nello
studiare quanto segue, non cercate semplicemente di ricordarli, o saperli ripetere, ma cercate piuttosto di comprendere il loro significato e capire in
che modo essi descrivono molti dei fenomeni che
accadono intorno a voi.
23.1
Scheda 23
23.1.1
Equilibrio traslazionale
Il primo principio della dinamica permette di enunciare il concetto di equilibrio traslazionale.
Un oggetto è in equilibrio traslazionale se la somma di tutte le forze che
agiscono su di esso è nulla
F~tot = 0
Fig. 23.1:
Guarda il video youtu.be/hevrh7nQMoE
23.2
Secondo principio
Che le accelerazioni siano la conseguenza di una forza ce lo dice il primo principio;
stabilito questo, chiediamoci: “se spingo un corpo, quanto varrà l’accelerazione che
ne consegue?” Il fattore di proporzionalità tra la forza totale e l’accelerazione subiti da un
corpo è la massa di quel corpo.
F~ = m~a
Primo principio
Un corpo rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se e solo se la somma di
tutte le forze che agiscono su di esso è nulla.
Il valore dell’accelerazione dipende dalla massa del corpo. A parità di forza subita,
oggetti con piccola massa subiranno una grande accelerazione, e oggetti con grande
massa subiranno una piccola accelerazione.
~ = cost ⇔ F~tot = 0
V
Se vedo un oggetto che si muove con velocità costante, allora posso affermare
che la forza complessiva su di esso è nulla; allo stesso modo se la forza complessiva
è nulla allora posso affermare che l’oggetto non sta cambiando la sua velocità. Le
forze non sono ciò che fa muovere gli oggetti... le forze sono ciò che fa cambiare la
velocità degli oggetti. É sbagliato affermare che un oggetto si sta muovendo perché
qualcuno lo spinge; anche se nessuno spinge l’oggetto, esso può sempre muoversi di moto rettilineo uniforme con velocità costante! Se invece vedo che l’oggetto
cambia la sua velocità, cioè sta subendo un’accelerazione, allora posso affermare che
qualcuno l’ha spinto!
23.3
Terzo principio
Se su di un corpo A agisce una forza dovuta alla
presenza di un corpo B, sul corpo B agirà una forza
uguale ed opposta dovuta alla presenza del corpo
A.
F~ab = −F~ba
Per vederlo con un semplice esperimento Prendete un chiodo di ferro ed una calamita: tutti sapFig. 23.2: Guarda il video youpiamo che se teniamo la calamita in mano essa attiratu.be/ox4q3XD91eo
il chiodo, ma è sicuramente
altrettanto vero che, se teniamo il chiodo fermo in mano, esso attira la calamita. Nell’esperienza quotidiana questo avviene molto spesso: quando nuotiamo spingiamo
Nel rileggere il primo principio notate inoltre che esso parla di velocità costante;
il caso di un oggetto che rimane fermo rientra in questa definizione, in quanto un
oggetto che rimane fermo ha una velocità che non cambia e vale sempre V = 0 m
s .
51
52
Scheda23. I tre principi della dinamica
indietro con le braccia per poter andare avanti; quanto saltiamo spingiamo in basso con le gambe per poter andare in alto; quando camminiamo spingiamo indietro
con le gambe per andare avanti; se diamo una spinta a qualcuno noi subiamo come
diretta conseguenza una spinta indietro.
Se lascio cadere una penna, essa cade perchè subisce la forza di gravità (verso
il basso) generata dal pianeta; il terzo principio ci insegna che anche la penna sta
facendo una forza sul pianeta, e che tale forza è uguale (ha lo stesso valore) e opposta
(diretta verso l’alto).
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Pressione
24.1
Scheda 24
Definizione
Immaginiamo di premere contro della neve fresca,
sempre con la stessa forza, ma in tre modi differenti: la prima volta con il palmo della mano aperto,
la seconda con il pugno chiuso e la terza volta con
la mano piatta ma immersa nella neve di punta.
L’esperienza vi dirà che, nonostante la forza fatta
sia sempre la stessa, la capacità di penetrare nella
Fig. 24.1: Guarda il video youneve non è la stessa. Ciò che cambia è che la forza
tu.be/I1oqX6uby7A
che fate viene distribuita su superfici differenti.
La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra la forza perpendicolare fatta su di una superficie ed il valore della superficie stessa.
P =
Fig. 24.2: Guarda il video youtu.be/JoDvQdChocA
F⊥
S
Quando facciamo una forza su di un oggetto che preveda di doverlo toccare, tale
forza si distribuisce su tutta la superficie di contatto; se tale superficie è grande, ogni
centimetro quadrato della superficie subisce una piccola forza e quindi la pressione
sull’oggetto è piccola.
24.2
Video di esempio
Fig. 24.3: Guarda il video youtu.be/uV8c7p9JDhw
É possibile dormire su di un letto di chiodi? I chiodi hanno una punta, chiamata in
modo tale in quanto la sua superficie è molto piccola. Se il chiodo viene premuto su
di un oggetto, od in modo equivalente un oggetto viene premuto contro un chiodo,
la pressione che consegue sarà necessariamente grande. Ma se un oggetto lo premiamo non su uno, ma su moltissimi chiodi, la superficie di contatto sarà grande e la
pressione di conseguenza piccola. la risposta alla domanda iniziale è si: è possibile
dormire su di un letto di chiodi se i chiodi sono tantissimi. Guardate i seguenti video, ma attenzione: non ci provate perchè se sbagliate a calcolare il numero minimo
di chiodi necessari potreste farvi molto male!
Autore: Andrea de Capoa
53
17 Feb 2016
Forza di gravità e forza di Archimede
25.1
dove F è la forza di Archimede1 , ρ indica la densitá del fluido, V il volume di fluido
spostato (tanto più immergo l’oggetto tanto più fluido sposto) e g è l’accelerazione
di gravità. Questo principio vale sia per tutti i fluidi, cioè sia per i liquidi che per i
gas. Ognuno di noi è immerso nell’aria, perciò riceve una spinta verso l’alto pari al
peso dell’aria spostata.
Forza di gravità
La forza di gravità è quella che ci attrae verso il
basso o, più precisamente, verso il centro della Terra. Ogni volta che un oggetto si trova sulla superficie di un pianeta subiamo una forza verso il
basso descritta dalla formula seguete, dove Fg è
la forza di gravità, m la massa dell’oggetto e g
l’accelerzione di gravità.
Scheda 25
25.2.1
Il problema del galleggiamento
Se studiamo lo schema di forze che agisce su di un oggetto immerso in un fluido
possiamo chiederci in quali casi l’oggetto galleggi. Le forze alle quali è sottoposto
sono la forza di gravità verso il basso e la forza di Archimede verso l’alto; a seconda
di quale sia la forza maggiore avremo che l’oggetto andrà a fondo o salirà in superficie per poi galleggiare. Se confrontiamo le formule delle due forze vediamo che,
scrivendo la forza di gravità come
Fig. 25.1:
Guarda il video youtu.be/vOKL3vcfxfg
Fg = mg
Per il pianeta Terra il valore dell’accelerazione di gravità è g = 9, 8 sm2 . Se voi
avete una massa di 60 kg allora in questo momento venite attratti verso il basso da
una forza
Fg = mg = ρogg Vogg g
dove con ρogg intendo indicare la densità media dell’oggetto, otteniamo
kg m
m
Fg = mg = 60 kg · 9, 8 2 = 58, 8 2 = 58, 8 N ewton
s
s
ρogg Vogg = ρf luido Vf luidospostato
Il valore dell’accelerazione di gravità è una costante per il pianeta Terra; se andiamo su di un altro pianeta esso cambia, perché dipende dalla massa del pianeta e
dalle sue dimensioni.
25.2
Se si prende in considerazione un oggetto completamente immerso in un liquido,
per cui Vogg = Vf luidospostato , allora il confronto tra le due forze si riduce a confrontare le densità dell’oggetto e del fluido. Gli oggetti la cui densità media sia superiore a
quella dell’acqua andranno a fondo, gli altri saliranno in superficie. Se le due densità
sono uguali allora l’oggetto rimarrà fermo nel punto in cui è stato messo.
Consideriamo tre palline di circa egual volume, una da ping-pong di massa m =
3g, una di legno di massa m = 26g, e una da golf di massa m = 46g, immerse nell’acqua. Come si può vedere nella figura 25.2 sia la pallina da ping-pong che quella
di legno galleggiano, ma visto che quella di legno ha più massa ed è più pesante,
deve subire una spinta di Archimede maggiore e quindi deve spostare più acqua
Forza di Archimede
Un oggetto immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato. Questo é l’enunciato della legge di Archimede che spiega come mai alcuni
oggetti, se immersi in un fluido, galleggiano. La formula per la forza di Archimede
é:
1 La formula indicata vale nel caso in cui possiamo confondere il concetto di peso con il concetto di
forza di gravità sulla superficie di un pianeta. Questa formula deriva da questa assunzione, ma in realtà
il principio parla di “peso”
FArchimede = ρf luido Vf luidospostato g
54
55
Scheda25. Forza di gravità e forza di Archimede
immergendosi di più rispetto a quanto non si immerga la pallina da ping-pong. La
pallina da golf invece, pur immergendosi completamente, son subisce una spinta
di archimede sufficiente per poter galleggiare. Ci aspettiamo inoltre che la pallina
da ping-pong sposti in volume Vf luidospostato = 3 cm3 e che quella di legno sposti
in volume Vf luidospostato = 26 cm3 . Tenendo conto delle incertezze sperimentali, le
immagini in figura 25.2 confermano tale previsione.
(a) Livello iniziale del- (b) La pallina da ping- (c) La pallina di legno (d) La pallina da golf
l’acqua
pong galleggia
galleggia
non galleggia
Fig. 25.2: Oggetti diversi galleggiano in modo differente o non galleggiano affatto. Il liquido nel quale le palline
sono immerse è acqua con l’aggiunta di un colorante rosso.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Forza elastica
26.1
Scheda 26
26.2.1
L’aggettivo elastico
Ogni materiale elastico, se troppo deformato, perde le sue proprietà elastiche e non
ritorna più della sua forma originaria. Chiamo Campo di elasticità quell’insieme di
deformazioni che non modificano le proprietà elastiche dell’oggetto.
Un oggetto viene detto elastico quando, se deformato, tende a tornare della sua forma iniziale. Se
prendiamo una molla e la tiriamo con la mano, ovviamente la deformiamo; la molla cercherà di riprendere la sua forma iniziale e per fare questo
eserciterà sulla mano una forza. Quella forza viene
detta forza elastica.
26.3
Modulo di Young
Anche un filo di metallo, se posto in trazione, si allunga. In realtà un qualunque
materiale compresso o posto in trazione si deforma leggermente in campo elastico.
Se prendiamo un oggetto di lunghezza L e sezione S ed applichiamo perpendicolarmente a tale sezione una forza F , allora la sua lunghezza cambierà di un fattore ∆L
∆L
e lo sforzo, in questo caso una compressione
Definendo la deformazione =
L
F
semplice, σ = , possiamo definire il Modulo di Young come
S
Fig. 26.1: Guarda il video youTutti i materiali, entro certi limiti magari anche
tu.be/02nommN6u6c
molto stretti, sono dotati di una certa elasticità. Alcuni, come per esempio le molle, possono essere deformati molto senza che perdano
le loro caratteristiche elastiche.
26.2
Campo di elasticità
Y =
Le molle e la legge di Hooke
cioè
σ
F ·L
A · δL
Il modulo di Young è una caratteristica del materiale di cui è fatto l’oggetto.
Consideriamo una molla ed immaginiamo di allungarla. La forza che la molla farà
dipenderà dal tipo di molla e dall’allungamento della stessa
Y =
Fel = K · ∆l
dove K è la costante elatica della molla e dipende soltanto dal tipo di molla e
dalle sue caratteristiche quali per esempio la sua lunghezza, lo spessore, il materiale,
la temperatura, ecc.; ∆l è invece l’allungamento della molla. Se scriviamo la stessa
formula in forma vettoriale avremo
~
F~el = −K · ∆l
Il meno sta ad indicare che il vettore Forza esercitata dalla molla è sempre opposto
al vettore allungamento. La molla spinge dalla parte opposta di dove viene allungata!
Autore: Andrea de Capoa
56
17 Feb 2016
Forza d’attrito
Scheda 27
l’altra. Il valore di tale forza dipende da come sono fatte le due superfici, ma anche
dalla forza con cui le due superfici sono schiacciate una contro l’altra.
Le forze di attrito sono forze che si oppongono sempre al movimento di un oggetto, sia che l’oggetto sia fermo, e quindi lo mantengono fermo, sia che l’oggetto
si muova, e quindi lo rallentano. Una forza di attrito quando un oggetto si muove
in un fluido la chiamiamo attrito viscoso); una forza di attrito quando due superfici
strisciano una contro l’altra la chiamiamo attrito radente; una forza di attrito quando
un oggetto rotola su di una superficie la chiamiamo attrito volvente.
27.1
Fad = µd Fschiaccia
dove Fad è la forza d’attrito radente dinamico, µd il coefficiente d’attrito dinamico e
Fschiaccia la forza che preme le due superfici a contatto una contro l’altra.
~v (velocità)
Forza d’attrito radente statico
F~a (attrito)
Parliamo di forza di attrito radente statico solo per oggetti fermi. Consideriamo un
oggetto fermo su di un tavolo e proviamo a spostarlo facendolo strisciare sul tavolo:
sicuramente devo applicare all’oggetto una certa forza; ma se la forza che applico
è troppo piccola l’oggetto sta fermo. Quando la forza che applico supera una certa
soglia, allora l’oggetto comincia a muoversi. La forza di attrito radente statica è la
forza che si oppone alla spinta subita dall’oggetto; ha un valore massimo oltre il
quale l’oggetto sicuramente si muove. Questo valore massimo dipende dal tipo di
superfici che strisciano una contro l’altra e da quanto è grande la forza che schiaccia
queste superfici una contro l’altra.
F~g (schiaccia)
Fig. 27.1: Un oggetto su di un piano si sta muovendo verso destra. Necessariamente si genera una forza di attrito
opposta alla direzione del moto, causata dallo strisciare dell’oggetto sul piano, proporzionale alla forza che schiaccia
l’oggetto contro il piano (in questo esempio la forza di gravità) e dal tipo di superfici che strisciano.
Il coefficiente di attrito dinamico è sempre minore del coefficiente di attrito statico
Fas = µs Fschiaccia
µd < µs
Il coefficiente µs è chiamato coefficiente di attrito statico ed è un numero senza untà di
misura, che dipende unicamente dai materiali di cui sono fatte le due superfici che
strisciano. La forza che schiaccia Fschiaccia è quella forza che preme le due superfici
una contro l’altra. la grandezza delle superfici che strisciano tra loro non è rilevante.
27.2
27.3
Forza d’attrito volvente
Parliamo di forza di attrito olvente ogni volta che un oggetto rotola su di un altro.
Anche questa volta, come per l’attrito radente dinamico, l’attrito dipende dal tipo
di superfici e dalla forza che le schiaccia una contro l’altra. Il coefficiente di attrito
dipende però anche dal raggio della ruota che sta rotolando.
Forza d’attrito radente dinamico
Parliamo di forza di attrito radente dinamico per oggetti in movimento. La forza
di attrito radente dinamico si ha sempre quando due superfici stanno strisciando
una contro l’altra; tale forza fa rallentare il movimento e quindi è sempre opposta
al vettore velocità. L’attrito radente è quindi una forza che si oppone sempre allo
spostamento dell’oggetto, ed è causato dallo strisciare di due superfici una contro
Fav = µv Fschiaccia
dove Fav è la forza d’attrito volvente, µv il coefficiente d’attrito volvente e la Fschiaccia
è la forza che preme le due superfici a contatto una contro l’altra. Il coefficiente di
57
58
Scheda27. Forza d’attrito
attrito volvente è sempre minore del coefficiente di attrito dinamico
µv < µd < µs
27.4
Forza d’attrito viscoso
Un oggetto che si muove immerso in un fluido subisce una forza d’attrito. Tale forza
dipende dalla velocità V dell’oggetto, e da due coefficienti che dipendono sia dal
tipo di fluido che dalla forma e dal materiale dell’oggetto, che dal modo con cui il
fluido scorre intorno all’oggetto, secondo la seguente formula
F = α1 V + α2 V 2
Una più dettagliata trattazione dell’attrito viscoso esula per il momento dagli
scopi di queste dispense. Facciamo solo alcune importanti considerazioni:
1. Sicuramente l’attrito aumenta all’aumentare della velocità dell’oggetto, per cui
i valori di α1 e α2 sono entrambi positivi.
2. L’attrito aumenta all’aumentare della densità del fluido (per questo motivo
muoversi nell’acqua è sicuramente più faticoso che muoversi nell’aria)
3. L’attrito aumenta all’aumentare delle dimensioni dell’oggetto (questo è il motivo per cui le auto sportive le fanno basse ed i paracadute li fanno grandi)
4. L’attrito aumenta se la forma dell’oggetto è tale da generare vortici dietro di
esso al suo passaggio (per questo motivo è molto importante la forma degli
oggetti)
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Forza peso
28.1
Scheda 28
La forza per sorreggere l’oggetto vale
Definizione
T = Fg − FArc
Il peso di un oggetto è pari e opposto alla forza che devo fare per sorreggerlo.
m
kg
m
− 1000 3 · 0, 000127 m3 · 9, 8 2 ∼ 8, 6 N
s2
m
s
Il valore della forza T è pari al peso P dell’oggetto, dove ora P = 8, 6 N , meno di
quanto pesava appoggiato sul tavolo.
T = mg − ρf Vf s g = 1 kg · 9, 8
Questa è una definizione molto semplice... vediamo di capirla illustrando nelle
sezioni seguenti una serie di esempi specifici. Ovviamente il peso di un oggetto,
essendo una forza, si misura in Newton.
28.2
28.4
Un oggetto in un sistema accelerato
28.4.1
Un oggetto che ruota
Un oggetto su di un tavolo
Immaginate di avere un oggetto di ferro di massa m = 1 kg
appoggiato su di un tavolo. Se trascuriamo l’effetto dell’aria, sull’oggetto agisce la forza di gravità F~g verso il basso. Per sorreggere l’oggetto il tavolo deve fare una forza T~
verso l’alto, pari alla forza di gravità.
Immaginate di far ruotare un oggetto di ferro di massa
m = 1 kg appeso ad una catena. La frequenza con cui
ruota vale ν = 2 Hz ed il raggio del cerchio che percorre vale r = 1 m. Esso subisce la forza di gravità verso il
basso e la forza centrifuga verso l’esterno del percorso circolare. Le due forze sono quindi perpendicolari tra loro
ed entrambe contribuiranno a creare il peso dell’oggetto.
La catena che sorregge l’oggetto, esprime una forza, corrispondente al peso dell’oggetto, pari alla somma delle due
T = Fg
m
T = mg = 1 kg · 9, 8 2 = 9, 8 N
s
In questo caso il peso P dell’oggetto vale P = 9, 8 N .
forze precedenti.
28.3
Un oggetto immerso nell’acqua
T =
Fg2
+
Fc2
q
=
2
2
(mg) + (2mπν)
m 2
2
+ (2 · 1 kg · 3, 14 · 2 Hz) ∼ 15, 9 N
s2
Il valore della forza T è pari al peso P dell’oggetto, dove ora P = 15, 9 N , più
di quanto pesava appoggiato sul tavolo. In questo caso è anche utile notare che il
peso dell’oggetto non è parallelo alla forza di gravità. Il peso agisce lungo la catena;
l’inclinazione della catena è poi determinata dai valori delle due forze di gravità e
centrifuga.
Immaginate di avere un oggetto di ferro di massa m = 1 kg
appoggiato sul fondo di una piscina piena d’acqua. In questo caso il fondo della piscina fa una forza T~ che sorregge l’oggetto. Le altre forze che agiscono sono la forza di
gravità F~g verso il basso e la forza di Archimede F~A verso
l’alto.
Il volume dell’oggetto di ferro vale
V =
r
q
T =
m
1 kg
=
= 0, 000127m3 = 127 cm3
kg
ρf
7874 m
3
28.4.2
59
1 kg · 9, 8
La caduta libera
60
Scheda28. Forza peso
Immaginiamo un oggetto in un ascensore che si sta muovendo con accelerazione ~a verso il basso. Una persona all’interno subisce la sola forza di gravità F~g verso il basso,
mente il pavimento dell’ascensore sorregge la persona ed
esprime quindi una forza T~ verso l’alto pari al peso della
persona.
Per il secondo principio della dinamica avremo che
Fg − P = ma
P = Fg − ma = mg − ma = m (g − a)
Se a = 0 ad indicare che l’ascensore si muove con velocità costante, allora la
persona ha un peso coincidente con la forza di gravità. Se a < 0 ad indicare che
l’ascensore accelera verso l’alto, allora la pesona ha un peso superiore alla forza di
gravità che subisce. Se a > 0 ad indicare che l’ascensore accelera verso il basso, allora
la pesona ha un peso inferiore alla forza di gravità che subisce.
Questo è esattamente quello che si prova in ascensore quando saliamo. All’inizio
l’ascensore parte verso l’alto e per un istante ci sentiamo più pesanti; successivamente durante il tragitto l’ascensore viaggia a velocità costante e noi percepiamo il nostro
consueto peso; infine l’acensore si ferma ed in quell’istante ci sentiamo più leggeri.
Nel caso che l’acensore sia in caduta libera, avremo che ~a = ~g per cui risulta che
il peso della persona sia rigorosamente nullo. Questo è anche il caso di un astronauta in orbita intorno alla Terra, infatti l’astronauta in orbita si trova nella stessa
situazione fisica della caduta libera.
Autore: Andrea de Capoa
3 Mag 2016
Moto su di un piano inclinato
29.1
Scheda 29
Una prima considerazione
~v
R
Quando studiate la fisica del moto di un oggetto lungo un piano inclinato, cercate di
ricordare che non c’è nulla da studiare! In questa scheda semplicemente applichiamo
concetti e principi già studiati nelle precedenti schede. IN questa scheda impariamo
ad applicare dei principi generali ad una situazione particolare, per cui dopo aver
studiato la scheda non saprete più cose di quante ne sapevate prima, ma sarete più
abili ad utuilizzare le conoscenze già aquisite.
F~gk
F~g⊥
29.2
θ
Il piano inclinato
Scomponendo la forza di gravità lungo le due linee principali del sistema ci si
rende conto che la forza di gravità, contemporaneamente, spinge l’oggetto lungo il
piano inclinato e lo schiaccia contro di esso. La reazione vincolare del piano inclinato
semplicemente si adegua alla forza che schiaccia l’oggetto contro il piano. Questo
significa che lungo la direzione perpendicolare al piano inclinato la forza totale è
nulla, mentre rimane diversa da zero la forza totale parallela al piano inclinato. La
componente della forza di gravità parallela al piano inclinato è
~v
R
Fgk = Fg · sin(θ)
F~g
θ
quella perpendicolare al piano inclinato, uguale alla reazione vincolare del piano,
vale
Rv = Fg⊥ = Fg · cos(θ)
Immaginiamo un piano inclinato senza attrito che formi un angolo α con l’orizzontale, ed un oggetto di massa m posto sul piano. In una situazione come questa
l’oggetto subisce soltanto due forze: la forza di gravità e la reazione vincolare del
piano inclinato.
La forza di gravità esiste per il fatto che l’oggetto ha massa. La reazione vincolare
esiste in quanto la forza di gravità schiaccia l’oggetto contro il piano inclinato. Per
poter capire bene cosa stia davvero succedendo è necessario studiare la situazione
lungo le sue due linee principali: quella del piano inclinato e quella perpendicolare
al piano inclinato.
29.3
Il moto sul piano inclinato
Abbiamo appena visto che sull’oggetto agisce una forza totale diretta lungo la direzione del piano inclinato, ed il cui valore dipende dalla forza di gravità e dall’inclinazione del piano, entrambi costanti. Quindi l’accelerazione che subisce il corpo è
costante ed il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato.
61
62
29.4
Scheda29. Moto su di un piano inclinato
Il piano inclinato in presenza di attrito
Qualora il corpo strisci sul piano inclinato, bisogna semplicemente aggiungere allo
schema delle forze la forza di attrito il cui valore è direttamente proporzionale alla
forza che schiaccia l’oggetto contro il piano inclinato.
Fa = µFg⊥ = µFg sin θ
~v
R
F~a
F~gk
F~g⊥
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
θ
Legge di gravitazione universale
30.1
Scheda 30
dove g è l’accelerazione di gravità di quel pianeta. Per un oggetto sulla superficie
del pianeta Terra, la legge di gravitazione universale ci dice:
La forza di gravità
Tra due oggetti di massa M1 ed M2 posti ad una distanza r si genera una forza
di gravità attrattiva data dalla formula
F =G
F =G
dove MT è la massa della Terra, ed RT è il raggio della Terra. confrontando le due
equazione otteniamo
MT
g=G 2
RT
M1 · M2
r2
dove G è detta costante di gravitazione universale. Essa è una delle costanti
fondamentali del nostro universo e vale
Se eseguite i conti otterrete il valore dell’accelerazione di gravità sulla Terra.
N m2
G = (6, 67684 ± 0, 00080) · 10−11
kg 2
30.2
Energia potenziale gravitazionale
Visto che la forza di gravità è conservativa, esiste una energia potenziale gravitazionale la cui formula è
M ·m
U = −G
r
Due oggetti, solo per il fatto che hanno massa, si attraggono a causa della forza di gravità. tale forza ha un raggio di azione infinito, il che significa che non importa quanto i due oggetti siano
distanti, essi si attrarranno per la forza di gravità!
La misura della costante di gravitazione universale è stata fatta utilizzando la bilancia di CavenFig. 30.1: Guarda il video youdish. Essa è realizzata con due masse ai lati di una
tu.be/uUGpF3h3RaM
sbarra appesa ad un filo. Mettendo altre masse vicine a quelle appese al filo si può vedere che il filo subisce una torsione. Tale torsione
evidenzia la presenza della forza di gravità.
30.1.1
MT · m
RT2
L’accelerazione di gravità di un pianeta
La forza di gravità che un oggetto di massa m subisce sulla superficie di un pianeta
(ad esempio la Terra) è data dalla formula
Autore: Andrea de Capoa
F = mg
63
17 Feb 2016
Il moto di un pianeta
31.1
Scheda 31
5
Le basi
Energia
Distanza
Innanzi tutto bisogna dire che un pianeta orbita
intorno al sole solo grazie alla forza di gravità. Il
sole attira il pianeta ed il pianeta attira il sole. Per
quanto possa sembrare strano orbitare e cadere sono
lo stesso concetto, come mostrato in modo efficace
dal video 31.1.
2
4
6
12
14
16
18
20
−10
Tenendo conto che sia l’energia totale del sistema che il suo momento angolare si
conservano, avremo che
Etot =
1
M ·m
mV 2 − G
= cost
2
r
L = m · V · r · sen(α) = cost
da cui
V =
Etot =
Energia e momento angolare
L
m · r · sen(α)
1
L2
M ·m
−G
2 m · r2 · sen2 (α)
r
La funzione rappresentata in figura 31.2 rappresenta l’andamento dell’energia
totale di un oggetto in orbita in funzione della distanza tra i due corpi e dell’angolo tra il vettore velocità ed il vettore posizione del corpo in orbita. Per un corpo in
orbita l’energia totale deve essere una costante; quindi, stabilita quale sia l’energia
totale del corpo, definendo l’angolo tra la velocità del corpo e la sua posizione possiamo determinare le due possibili posizioni del corpo nello spazio. Se per esempio
ci chiediamo a quale distanza minima e massima si possa trovare il corpo in orbita,
è sufficiente imporre α = 90◦ e tracciare sul grafico una retta orizzontale rappresentante l’energia totale del sistema. Dalle intersezioni si risale alle due distanze che
verranno effettivamente occupare dal corpo.
L’energia potenziale gravitazionale di un oggetto di massa m che orbita intorno ad
uno di massa M è
U = −G
10
−5
La comprensione profonda delle caratteristiche
del moto di un pianeta intorno al Sole passa necesFig. 31.1: Guarda il video yousariamente dalla comprensione delle leggi di contu.be/QTOCG4mKLQI
servazione dell’energia meccanica e di conservazione del momento angolare. Storicamente fu Keplero il primo che descrisse il moto di un pianeta attraverso la tre leggi da lui formulate. Tali leggi di fatto contengono al loro interno la legge di conservazione del
momento angolare e la formula per la forza di gravità che, per le sue caratteristiche, è una forza conservatica e quindi implica la legge di conservazione dell’energia
meccanica.
31.2
8
M ·m
r
nella quale, per convenzione, assumiamo che l’oggetto ha energia potenziale gravitazionale nulla quando si trova ad una distanza infinita dall’altro oggetto.
64
65
Scheda31. Il moto di un pianeta
5
Energia
Distanza
2
4
6
8
10
12
Alcune considerazioni Come potrete osservare, qualunque angolo si consideri tra
la velocità del corpo e il suo vettore posizione, se l’energia totale del sistema è negativa, allora avremo sempre una posizione di minima distanza ed una di massima distanza. Se invece l’energia totale del sistema è positiva, il corpo non orbiterà, ma dopo essere arrivato nella posizione di minima distanza, si allontanerà
indefinitamente.
−5
Etot =
1
L2
M ·m
−G
2
2
2 m · r · sen (α)
r
−10
Fig. 31.2: L’energia totale di un oggetto in orbita intorno ad un’altro, in funzione della loro distanza per un
particolare angolo tra il vettore velocità ed il vettore posizione del corpo in orbita.
5
Energia
Distanza
−1
1
2
3
4
5
−5
−10
Fig. 31.3: Le intersezioni della curva con la linea orizzonatle indicano le due possibili distanze del corpo.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Momento di una forza
32.1
Scheda 32
Definizione
32.2 Equilibrio rotazionale
Il primo principio della dinamica, applicato in una situazione nella quale, invece
di parlare di traslazione parliamo di rotazione, permette di enunciare il concetto di
equilibrio rorazionale.
Immaginiamo di applicare una forza su di un oggetto che sia tenuto fermo in un
punto e libero di ruotare intorno a quel punto. La forza che applichiamo tenderà
a far ruotare l’oggetto. La capacità di farlo ruotare dipenderà non solo da quanto
la forza è intensa, ma anche dalla distanza tra il punto di rotazione e la linea della
forza. La grandezza fisica che descrive questo è il momento di una forza.
Un oggetto è in equilibrio rotazionale se la somma di tutti i momenti che
agiscono su di esso è nulla
~ tot = 0
M
~ = ~r × F~
M
Il momento di una forza è quindi un vettore perpendicolare a ~r e a F~ ; può avere
verso orario o antiorario; il suo modulo vale
M =F ·b
dove b è chiamato braccio ed è la distanza del punto di rotazione dalla direzione della
forza.
~r
b
F~
Fig. 32.1: Momento di una forza.
Autore: Andrea de Capoa
66
17 Feb 2016
Reazioni vincolari
33.1
Scheda 33
Definizione
Una reazione vincolare è una forza che adatta il suo valore allo scopo di
mantenere un oggetto in equilibrio traslazionale
Immaginiamo di avere un bicchiere vuoto appoggiato su di un tavolo: la forza di
gravità lo tira verso il basso ma il bicchiere rimane fermo. La forza totale che agisce
sull’oggetto è nulla visto che l’oggetto rimane fermo, quindi il tavolo sta facendo una
forza verso l’alto pari alla forza di gravità subita dal bicchiere. Se adesso riempiamo
il bicchiere con dell’acqua, la forza di gravità che agisce su di esso aumenta, in quanto
è aumentata la massa del bicchiere. Il bicchiere rimane fermo, quindi la forza totale
sul bicchiere è ancora nulla. Questo si spiega ammettendo che la forza fatta dal
tavolo è aumentata in modo tale da far si che la forza totale rimanesse zero.
Detto in modo poco scientifico, i vincoli sono cose che tengono fermi gli oggetti...
quindi sono ciò che rende pari a zero la forza totale su tali oggetti.
Come in tutte le situazioni reali esistono dei limiti; in particolare con i vincoli
esiste un limite massimo alla forza fatta dal vincolo, oltre il quale tale vincolo si
rompe.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
67
Parte IV
Leggi di conservazione
68
Quantità di moto
34.1
Scheda 34
La quantità di moto
34.2
Una grandezza fisica particolarmente importante per descrivere una grande quantità
di fenomeni è la quantità di moto ~q. Essa è una grandezza vettoriale legata alla
massa ed alla velocità di un oggetto.
Conservazione della quantità di moto
Immaginiamo di studiare un sistema isolato nel quale ci siano molti oggetti tra i quali
agiscono delle forze. Tali forze sono tutte interne al sistema, per cui se un oggetto
esercita una forza su di un secondo oggetto, per il terzo principio della dinamica,
all’interno del mio sitema vedrà anche la forza uguale e contraria che il secondo
oggetto esercita sul primo. In formule scriverò
La quantità di moto di un oggetto è definita come il prodotto della massa
dell’oggetto per la sua velocità
F~1 = −F~2
~
~q = mV
Riscrivedo ora queste forze come variazioni di quantità di moto nel tempo otterremo
La quantità di moto di un oggetto è quindi una grandezza vettoriale che ha stessa
direzione e verso della velocità dell’oggetto. L’unità di misura della quantità di moto
è quindi kg·m
s
34.1.1
∆~q1
∆~q2
=−
∆t
∆t
∆~q2
∆~q1
+
=0
∆t
∆t
Forza e quantità di moto
Partendo dal secondo principio della dinamica possiamo scrivere:
da cui
~)
∆V
∆(mV
∆~q
F~ = m~a = m
=
=
∆t
∆t
∆t
Una forza corrisponde quindi ad una variazione di quantità di moto nel tempo.
Analogalmente possiamo affermare che
∆~q1 + ∆~q2
=0
∆t
∆~qtot
=0
∆t
∆~qtot = 0
F~ · ∆t = ∆~q
Questo significa che
l’effetto di una forza applicata per un certo intervallo di tempo causa una variazione di quantità di moto nel tempo. La grandezza
In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva.
I~ = F~ · ∆t
viene chiamata Impulso. Chiamo forza impulsiva una forza, generalmente molto
intensa, che agisce per un brevissimo arco di tempo. Un esempio di forza impulsiva
lo possiamo vedere negli sport che si praticano con una palla: ogni volta che colpiamo tale palla applichiamo una forza molto intensa per il brevissimo intervallo di
tempo pari alla durata del colpo.
Autore: Andrea de Capoa
69
17 Feb 2016
Mappe sull’energia
Scheda 35
41
Legge di conservazione
dell’energia totale
Etoti = Etotf
Energia cinetica
traslazionale
1
Ec = m · V 2
2
Tipi di energie
[Joule]
Energia cinetica
rotazionale
1
Ecr = I · ω 2
2
Modi di
scambiare energia
U = m·g·h
Energia potenziale
gravitazionale
Energia
potenziale elastica
1
V = k · ∆l2
2
Energia potenziale
elettrostatica
q1 · q2
U = −K
r
Lavoro
~
∆L = F~ · ∆S
Joule
Calore
∆Q
Joule
Potenza [W att]
∆E
P =
∆t
Autore: Andrea de Capoa
21 Dic 2016
70
m
F =
·g
F = M·
G
m
r2
U = −G
M ·m
r
Energia e Lavoro
36.1
Scheda 36
Definendo I come il momento d’inerzia dell’oggetto esteso, calcolabile in linea di
principio come la somma dei momenti di inerzia di ogni singola particella dell’oggetto, otteniamo l’energia cinetica rotazionale dell’oggetto
Energia cinetica
Un oggetto che si muove ha energia cinetica solo per il fatto che si sta muovendo.
~ vale
L’energia cinetica Ec di un oggetto di massa m che si muove con velocità V
1 2
Iω
2
Anche in questo caso il valore di I dipende non solo dalla forma e dalla massa
dell’oggetto, ma anche dal suo asse di rotazione.
Ecr =
1
Ec = m V 2
2
Come si vede dalla formula l’energia cinetica dipende dalla massa dell’oggetto
e dal quadrato della sua velocità. L’unità di misura di una qualunque energia è il
Joule
kg · m2
Joule =
s2
36.2
36.3
Se osserviamo un oggetto fermo, non è difficile affermare che la sua energia cinetica
è zero. Questo perchè il baricentro dell’oggetto ha velocità Vb = 0 e rispetto al baricentro la velocità di rotazione vale ω = 0. Le singole molecole di cui è fatto l’oggetto
però non sono ferme, ma si buovono con una velocità che dipende dalla temperatura dell’oggetto. La somma di tutte le energie cinetiche delle molecole, nel sistema di
riferimento dell’oggetto fermo, è detta Energia Interna dell’oggetto.
Energia cinetica rotazionale
Prendiamo in considerazione una particella di massa mi che si muove di moto circolare uniforme con velocità Vi , raggio ri e velocità angolare ω. Ovviamente la sua
energia cinetica potrà essere scritta, tenendo in considerazione le equazioni del moto
circolare uniforme, come
Ecr−i
36.4
1
1
= mi Vi2 = m ri2 ω 2
2
2
1
Ii ω 2
2
Nel caso della rotazione di un oggetto esteso, l’energia cinetica rotazionale dell’oggetto sarà la somma dell’energia cinetica rotazionale di ognuna delle sue molecole; visto però che tutte le molecole dell’oggetto hanno la stessa velocità angolare
potremo scrivere
Ecr−i =
X1
2
Ii ω 2 =
Il Lavoro di una forza
Immaginiamo di avere un oggetto che si sposta da un punto A ad un punto B sotto
l’azione di una forza.
Il lavoro fatto da una forza su di un oggetto che si sposta da un punto A ad un
punto B è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento dell’oggetto. Se applico una forza costante F~ su di un oggetto e questo si sposta effettuando
~ allora il lavoro effettuato sarà:
uno spostamento ∆S
La quantità Ii = mi ri2 è definita momento d’inerzia della particella rispetto all’asse
di rotazione. In questo modo possiamo scrivere l’energia cinetica della particella
dovuta alla rotazione della stessa come
Ecr =
Energia interna
~ = F · ∆S · cos(α)
L = F~ × ∆S
É importante notare che quando l’angolo tra i due vettori è di 90◦ (cioè i due
vettori sono perpendicolari) allora il coseno dell’angolo vale zero ed il lavoro fatto
dalla forza è nullo. Una forza perpendicolare allo spostamento non fa lavoro. Se
invece la forza avesse verso opposto allo spostamento (cioè l’angolo tra i due vettori
1 X
(
Ii )ω 2
2
71
72
Scheda36. Energia e Lavoro
F~
36.5
α
~
∆S
Fig. 36.1: In figura è schematicamente rappresentato un oggetto sottoposto ad una forza F~ , e che compie uno
~ La forza forma un angolo α con lo spostamento, ed il lavoro compiuto dalla forza è indicato nella
spostamento ∆S.
formula rappresentata.
La Potenza
Precedentemente abbiamo parlato del lavoro fatto da una forza. Se applico una forza
ad un oggetto mentre si sposta, allora compio su quell’oggetto un lavoro e quindi gli
fornisco (o tolgo) energia. Il concetto di potenza è legato alla rapidità con la quale
fornisco del lavoro ad un oggetto. La potenza è infatti definita come il rapporto tra il
lavoro fatto su di un oggetto e l’intervallo di tempo nel quale questa energia è stata
data.
fosse di 180◦ ) allora il coseno dell’angolo varrebbe −1 ed il lavoro della forza sarebbe
negativo. Il lavoro di una forza opposta allo spostamento è negativo. In altre parole,
soltanto la componente della forza che sia parallela allo spostamento può compiere
un lavoro.
36.4.1
P =
Il teorema dell’energia cinetica
Immaginiamo di applicare una forza costante F~ ad un oggetto di massa m, e sup~ nella stessa direzione e nello stesso
poniamo che esso si sposti di una quantità ∆S
verso della forza. Il Lavoro fatto dalla forza può essere calcolato come
∆V
∆S = m(Vf − Vi )Vmedia
∆t
Visto che stiamo considerando una forza costante, possiamo affermare che il
moto dell’oggetto è uniformemente accelerato; per questo motivo possiamo scrivere
L = F · ∆S = ma∆S = m
L = m(Vf − Vi )Vmedia = m(Vf − Vi )
=
(Vf + Vi )
=
2
1
1
mVf2 − mVi2 = Ecf − Eci
2
2
L = ∆Ec
In altre parole il lavoro fatto dalla forza ha incrementato l’energia cinetica dell’oggetto. Se la forza fosse stata opposta allo spostamento, il lavoro sarebbe stato
negativo e di conseguenza lo sarebbe stata la variazione di energia cinetica dell’oggetto.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
∆E
∆t
Forze conservative ed Energia Potenziale
37.1
37.1.1
Forze conservative
+
L00B→A
L’Energia potenziale gravitazionale
Quanto detto in questo paragrafo vale nel caso di oggetti che si trovino vicino alla
superficie del pianeta. Consideriamo un oggetto qualunque: esso ha una energia
potenziale gravitazionale dovuta alla sua posizione. L’energia potenziale gravitazionale U per un oggetto di massa m ad una altezza h dalla superficie della Terra
vale
Una forza è definita conservativa quando il lavoro che compie lungo un percorso
chiuso è pari a zero. Tipici esempi di forze conservative sono la forza di gravità e la
forza elastica; un tipico esempio di forza non conservativa è la forza d’attrito. Immaginiamo un oggetto che si muova sotto l’azione di una forza conservativa lungo un
percorso chiuso che lo porti da un punto A ad un punto B e successivamnte lo porti
indietro dal punto B al punto A seguendo una strada differente. Visto che il lavoro
lungo il percorso chiuso deve valere zero, avremo
L0A→B
Scheda 37
U = mgh
Come si vede dalla formula il valore dell’energia potenziale dipende dalla massa
dell’oggetto, dalla sua altezza dal suolo e dal valore dell’accelerazione di gravità che
per il pianeta Terra vale g = 9, 81 sm2 . Se un oggetto ha una massa di 5 Kg e si trova
ad una altezza di 10 metri dal suolo allora la sua energia potenziale gravitazionale
varrà 490 Joule (fate i conti e verificate la loro esattezza). Su di un diverso pianeta
cambia il valore di g.
=0
da cui
L0A→B = −L00B→A
L0A→B = L00A→B
Immaginiamo di portare un oggetto da un’alterzza hA ad un’alterrza hB differente e calcoliamo il lavoro della forza di gravità; questo conto ci permetterà di capire
come mai l’energia potenziale gravitazionale ha quella formula.
Questa equazione dice che qualunque percorso si scelga il lavoro della forza conservativa per andare da A a B deve essere sempre uguale, indipendentemente dal
percorso scelto.
LA→B = −mg∆h = mghA − mghB = −(UB − UA ) = −∆U
L’indipendenza dal percorso ci permette di definire una grandezza U detta energia potenziale che dipende solo dalla posizione dell’oggetto. in questo modo per le
forze conservative varrà
37.1.2
L’energia potenziale elastica
Una molla a riposo, che non venga ne compressa ne estesa, ha energia potenziale
elastica nulla. Se la stessa molla la si comprime o la si estende, essa acquista energia potenziale elastica proporzionale all’estensione o alla compressione rispetto alla
lunghezza a riposo della molla. L’energia potenziale elastica Uel immagazzinata da
una molla con costante elastica k e compressa (o estesa) di una lunghezza ∆l rispetto
alla posizione a riposo varrà
LA→B = UA − UB = −∆U
Tenendo anche presente il teorema dell’energia cinetica, possiamo quindi interpretare questo risultato dicendo che il lavoro di una forza conservativa trasforma
energia potenziale gravitazionale in energia cinetica. L’Energia potenziale è l’energia che un oggetto ha in potenza e che potrebbe essere trasformata in energia cinetica
da una forza che fa lavoro. Esistono moltissimi tipi differenti di energia potenziale,
una per ogni tipo di forza conservativa.
Vel =
73
1
k(∆l)2
2
74
Scheda37. Forze conservative ed Energia Potenziale
N
viene compressa di ∆l = 0, 2 metri,
Se una molla con costante elastica k = 30 m
l’energia potenziale elastica immagazzinata dalla molla vale Vel = 0, 6 Joule (fate i
conti e verificate la loro esattezza).
37.1.3
Altre forme di energia potenziale
A seconda dei vari casi che di volta in volta si analizzano, ogni oggetto può immagazzinare energia in molte forme; un oggetto ha energia in base alla temperatura a
cui si trova, in base ai legami chimici tra le varie molecole o atomi, in base ai legami
tra i costituenti degli atomi, ecc. Sarà compito di chi analizza un certo sistema capire quali tipi di energia devono essere considerati per una corretta descrizione del
fenomeno.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Legge di conservazione dell’energia totale
38.1
nuove ed opportune forme di energia. Nel caso di uno spostamento in presenza di
attrito, parte dell’energia cinetica dell’oggetto in moto viene convertita in calore e
quindi dovrà aggiungere nel bilancio energetico anche questa forma di energia.
Le parole di Feynmann
C’è un fatto, o se volete una legge, che governa i fenomeni naturali sinora noti. Non ci sono
eccezioni a questa legge: per quanto ne sappiamo è esatta. La legge si chiama conservazione
dell’energia, ed è veramente una idea molto astratta, perché è un principio matematico: dice
che c’è una grandezza numerica, che non cambia qualsiasi cosa accada. Non descrive un
meccanismo, o qualcosa di concreto: è solo un fatto un po’ strano: possiamo calcolare un
certo numero, e quando finiamo di osservare la natura che esegue i suoi giochi, e ricalcoliamo
il numero, troviamo che non è cambiato... [Richard Feynmann, Le Lezioni di Feynmann,
VolI]
38.2
Scheda 38
∆Etot = ∆U + ∆Ec + ∆Q = 0
38.3
Trasformazione dell’energia
Ogni volta che su di un oggetto agisce una forza e quell’oggetto si muove allora
quella forza ha compiuto un lavoro sull’oggetto. Se quel lavoro è positivo allora vuol dire che quella forza ha dato energia cinetica all’oggetto trasformando una
qualche energia potenziale; al contrario se il lavoro è negativo vuol dire che quella
forza ha sottratto energia cinetica all’oggetto convertendola in una qualche energia
potenziale.
Legge di conservazione dell’energia totale
La legge di conservazione dell’energia è uno dei concetti più importanti nell’analisi
di un fenomeno fisico. In un sistema isolato (che quindi non ha alcuno scambio con
l’esterno) la quantità totale di energia è costante. Questo significa che non importa
quali o quante trasformazioni subisca l’energia presente nel sistema, la sua quantità
complessiva è sempre costante. Se ci limitiamo a considerare l’energia meccanica
(per cui ci limitiamo alle forze conservative ed assumiamo che non ci siano forze
non conservative) la dimostrazione di questo principio è semplice, infatti per un
qualunque oggetto, nello spostarsi da un punto A ad un punto B avremo sempre
che
Un esempio Per capire bene in che modo l’energia si trasforma da una sua forma
all’altra analizziamo adesso una particolare situazione nella quale un peso si trova
sulla cima di un piano inclinato e poi scende lungo il piano inclinato per arrivare
contro una molla posta al fondo del percorso.
1. Un oggetto si trova fermo ad una certa altezza: ha energia potenziale gravitazionale; non ha energia cinetica. Nella molla al fondo del percorso non è
immagazzinata energia.
LA→B = −∆U = ∆Ec
da cui ricaviamo
hi
∆U + ∆Ec = 0
θ
∆Etot = 0
2. L’oggetto sta rotolando verso il basso: sta trasformando la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica. Nella molla al fondo del percorso non
è immagazzinata energia.
In un caso più generale, nel quale siano presenti ogni tipo di forza, il principio di
conservazione dell’energia continua a essere valido, semplicemente introducendo
75
76
Scheda38. Legge di conservazione dell’energia totale
hi
θ
hi
~i
V
~i
V
θ
3. Adesso l’oggetto si muove in orizzontale al fondo della discesa. Ha trasformato
tutta la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica. Non variando
più la sua altezza, non varia nemmeno la sua energia cinetica. Nella molla al
fondo del percorso non è immagazzinata energia.
7. L’oggetto, una volta fermo, ha convertito tutta la sua energia cinetica in energia
potenziale gravitazionale raggiungendo la massima altezza.
hi
θ
hi
~i
V
θ
4. L’oggetto è arrivato a comprimere la molla. Sta convertendo energia cinetica in energia potenziale elastica. l’oggetto quindi rallenta fino a fermarsi e
comprime la molla fino ad un valore massimo.
hi
θ
5. La molla, raggiunta la sua massima compressione, comincerà adesso a restituite all’oggetto energia cinetica perdendo energia potenziale elastica. La molla
riprenderà la lunghezza iniziale.
hi
θ
~i
V
6. L’oggetto ricomincia a salire lungo il piano inclinato. Perde energia cinetica per
trasformarla in energia potenziale gravitazionale.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Macchine semplici
Scheda 39
L = mg(hf − hi ) = mg∆h
Una macchina semplice è uno strumento che permette di fare del lavoro
esercitando una piccola forza.
Il lavoro che facciamo noi applicando una forza F~ dipende però dalla lunghezza
del piano inclinato, infatti
Ogni volta che spostiamo un oggetto esercitando direttamente su di
esso una forza, compiamo un certo
lavoro. Utilizzando una macchina
semplice, noi riusciamo ad ottenere per l’oggetto lo stesso spostamento e lo stesso lavoro, ma esercitando
una forza minore lungo un percorso
maggiore.
Le macchine semplici che tratteremo sono: il piano inclinato, la leva,
la carrucola e il torchio idraulico.
39.1
F · ∆S = mg∆h
⇒
F =
mg∆h
∆S
Per cui, tanto più lungo è il piano inclinato, tanto minore è la forza da impiegare
al fine di fare una certa quantità di lavoro.
∆S
∆h
F~
Il piano inclinato
Fig. 39.2: Il piano inclinato
Immaginate di dover spingere un
oggetto lungo un piano inclinato
per sollevarlo di una certa altezza.
Ammettendo che sul piano inclinato
l’attrito sia nullo, è evidente che sarà molto più facile sollevare l’oggetto spostandolo lungo il piano inclinato che non sollevare lo stesso ogFig. 39.1: Tavola sulle macchine semplici dalla
getto lungo un percorso verticale. Il
Cyclopaedia di Chambers del 1728.
lavoro necessario per spostare l’oggetto dipende soltanto dalla massa
dell’oggetto stesso e dal dislivello da
coprire. Infatti, per la legge di conservazione dell’energia totale, avremo che
39.2
La leva
Una leva è un’asta con un perno fisso intorno al quale l’asta ruota. Il perno non è nel
centro dell’asta; per questo motivo, in una condizione di equilibrio, la forza fatta ad
un estremo dell’asta non è uguale alla forza fatta sull’altro estremo dell’asta.
F b1 = Fg b2
⇒
F =
Fg b2
b1
Qualunque lavoro venga fatto su di un oggetto posizionato sul lato corto della
sbarra, sarà uguale al lavoro fatto dalla forza posizionata sul lato lungo. La forza fatta sul lato lungo è però sempre più piccola dell’altra, e di qui il concetto di macchina
semplice.
L + mghi = mghf
77
78
Scheda39. Macchine semplici
b2
b1
F~
F~g
T~
Fig. 39.3: La leva
T~
39.3
39.4
F~
La carrucola
Una carrucola è un oggetto costituito da una ruota con una scanalatura sui bordi
per permettere il passaggio di una corda. La ruota è libera di ruotare intorno al suo
perno centrale. Il punto chiave per comprenderne il funzionamento sta nel notare
che la forza esercitata dal filo è sempre doppia in quanto il filo è avvolto intorno alla
ruota. A bilanciare tale forza è la reazione del perno che, di conseguenza, sarà doppia
rispetto alla tensione del filo. Montando una carrucola o più carrucole avremo che la
forza necessaria a tenere in equilibrio un peso è minore della forza esercitata dal peso
stesso. In figura 39.4, facendo una forza T~ sulla corda, tale forza si propaga su tutta
la corda. Sulla carrucola mobile, la corda esercita due forze verso l’alto, bilanciate
dalla forza F~ verso il basso. La forza T~ risulta quindi la metà della forza F~ .
r
T~
∆s
T~
T~
T~
m
m
∆h
F~g
F~
F~g
Fig. 39.4: Un sistema a carrucola mobile.
Il torchio idraulico
Per questo paragrafo vedi 42.1.1.
Fig. 39.5: Guarda il video youtu.be/zM5riV9kQJ0
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Teoria degli urti
Scheda 40
La legge di conservazione della quantità di moto, applicata a questo caso, ci
permette di scrivere
m1 Vi1 + m2 Vi2 = (m1 + m2 )Vf
Tutti sappiamo che se due oggetti si dirigono uno contro l’altro, si urtano e poi
proseguono il loro moto con direzioni e velocità differenti.
Studiare un urto tra due corpi significa, conoscendo le masse e le velocità iniziali
dei corpi, prevedere quali saranno le velocità finali dei corpi.
dove m è la massa degli oggetti, V è la loro velocità prima dell’urto e Vf la velocità
dei due oggetti dopo che si sono attaccati. In questo modo sono in grado di calcolare
la velocità finale del blocco
m1 Vi1 + m2 Vi2
Vf =
m1 + m2
Per studiare un urto ci serviamo della legge di conservazione della quantità di
moto e della legge di conservzione dell’energia totale scritte nella sequeste forma:

P~ + P~ = P~ + P~
i1
i2
f1
f2
Eci + Eci = Ecf + Ecf + ∆Q
1
2
1
2
Calcolando poi l’energia cinetica del sistema prima e dopo l’urto porriamo avere una
stima del calore liberato durante l’urto
dove i vari termini delle equazioni indicano le quantità di moto iniziali e finali dei
due oggetti, le esergie cinetiche iniziali e finali dei due oggetti e la quantità di calore
liberata durante l’urto.
∆Q = Ecf − Eci =
Noi studieremo due situazioni estreme: la prima riguarda gli urti completamente
anelastici nei quali si ha la massima dispersione di calore; la seconda riguarda gli
urti completamente elastici nei quali non c’è dispersione di calore. In entrambi i casi
ci limitiamo a trattare problemi monodimensionali, nei quali supponiamo che gli
oggetti siano puntiformi e si muovano unicamente su di una linea1 .
40.1
40.2
1
1
1
m1 m2
(m1 + m2 )Vf2 − m1 Vi21 − m2 Vi22 = ... =
Vi Vi
2
2
2
m1 + m2 1 2
Gli urti elastici
In un urto elastico non si ha dispersione di calore
∆Q = 0
I due oggetti dopo l’urto non rimarranno attaccati. Per descrivere questo tipo di urti
dovremo impostare un sistema di due equazioni, la prima riguardante la conservazione della quantità di moto e la seconda riguardante la conservazione dell’energia.
Il modo più comodo di risolvere il problema rimane però quello di mettersi nel sistema di riferimento nel quale uno dei due oggetti (per esempio quello con indice 2)
sia fermo. Avremo quindi:
Gli urti completamente anelastici
In un urto completamente anelastico i due oggetti rimarranno attaccati ed
avranno la stessa velocità finale. In tali urti si ha la massima dispersione di
energia sotto forma di calore
∆Q 6= 0
(
I due oggetti che urtano tra loro dopo l’urto rimarranno attaccati e si muoveranno
quindi con la stessa velocità.
m1 Vi1 = m1 Vf1 + m2 Vf2
m1 Vi21 = m1 Vf21 + m2 Vf22
dove m indica la massa degli oggetti, V indica la velocità degli oggetti; con gli
indici i intendo i valori delle grandezze prima dell’urto e con gli indici f i valori
delle grandezze dopo l’urto. Risolvendo questo sistema per trovare i valori di V1f e
V2f otteniamo
1 Un urto su di un piano viene trattato esattamente in modo analogo, semplicemente imponendo la
legge di conservazione della quantità di moto separatamente per entrambi gli assi cartesiani del sistema
di riferimento sul piano.
79
80
Scheda40. Teoria degli urti
(
40.2.1
Vf1 =
Vf2 =
m1 −m2
m1 +m2 Vi1
2 m1
m1 +m2 Vi1
Casi particolari di urti elastici
I due oggetti hanno la stessa massa Nel caso di due oggetti con la stessa massa,
otteniamo
(
Vf1 = 0
Vf2 = Vi1
Questo significa che l’oggetto colpito parte con la stessa velocità che aveva l’altro, il
quale, dopo l’urto, si ferma.
L’oggetto fermo ha una massa molto maggiore di quello in moto Se l’oggetto
colpito, inizialmente fermo, ha una massa enormemente maggiore di quello che lo
colpisce, per cui possiamo del tutto trascurare la massa dell’altro oggetto, otteniamo
(
Vf1 = −Vi1
Vf2 = 0
Questo significa che l’oggetto colpito non si sposta, mentre l’altro torna indietro con
la stessa velocità che aveva inizialmente.
L’oggetto fermo ha una massa molto minore di quello in moto Se l’oggetto colpito
ha una massa molto minore, e quindi trascurabile, rispetto a quello che lo colpisce,
otteniamo
(
Vf1 = Vi1
Vf2 = 2 Vi1
Questo significa che l’oggetto colpito parte con una velocità doppia rispetto a quella
che aveva inizialmente l’altro oggetto. L’altro oggetto invece procede nel suo moto
senza cambiare la sua velocità.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Parte V
Fluidodinamica
81
Mappe di fluidodinamica
Scheda 41
Legge di conservazione
dell’energia
35
Principio di Bernoulli
+ ρgh + P = cost
1
2
2 ρV
Fluidi
incomprimibili
ρ = cost
Legge di conservazione
della portata
S · V = cost
Principio di Pascal
Autore: Andrea de Capoa
21 Dic 2016
82
fluidi fermi
Legge di Stevin
∆P = −ρg∆h
Il principio di Pascal
42.1
Scheda 42
Il principio di Pascal
Prendiamo un fluido in una situazione di quiete. Il principio di Pascal afferma che:
La pressione esercitata su di una parte della superficie di un fluido si trasmette
invariata su ogni porzione della superficie del fluido stesso.
Questo significa che se in un punto del fluido
esercitiamo una pressione, questa pressione si trasmetterà attraverso il fluido su tutte le pareti che
lo contengono. Ogni superficie del fluido, quindi,
eserciterà su tali pareti una forza ad essa perpendicolare causata dalla pressione che inizialmente
abbiamo esercitato. Possiamo vedere questo se imFig. 42.1: Guarda il video youtu.be/maginiamo di mettere un palloncino all’interno di
_l8_sD4NFA
un contenitore pieno di un liquido. Se aumentiamo la pressione del liquido premendo sulla sua superficie, vedremo il palloncino
rimpicciolirsi a causa dell’aumento di pressione.
42.1.1
F~grande
Il torchio idraulico
Fig. 42.2: La forza esercitata sul lato stretto dell’apparato genera una pressione che corrisponde ad una grande
forza sul lato largo dell’apparato. Questo poiché la pressione esercitata dall’esterno si trasmette identica in tutti i
punti del fluido.
Abbiamo detto che se in un punto di un fluido applico una pressione, essa si trasmette invariata in ogni punto del fluido. Se applico quindi una piccola forza su di una
piccola superficie del fluido, la pressione che si trasmette permetterà di avere una
grande forza su di una grande sezione della superficie del fluido. Questo permette
di costruire dispositivi in grado di esercitare grandi forze in certi punti del fluido
come conseguenza dell’applicazione di piccole forze in altri punti del fluido. Questo
principio viene illustrato in figura 42.2.
Autore: Andrea de Capoa
F~piccola
17 Feb 2016
83
La conservazione della portata
43.1
Scheda 43
Portata di un tubo
La portata di un tubo è la quantità di fluido (intesa come volume di fluido) che
3
attraversa quel tubo nell’unità di tempo. Essa si misura, a seconda dei casi, in ms .
43.2
l2 = v2 · ∆t
Portata per fluidi incomprimibili
Per fluidi incomprimibili intendiamo fluidi la cui
densità non cambia. Una certa quantità di fluido,
con un determinato volume, avrà sempre lo stesso
volume. Se in un certo intervallo di tempo entra in
un tubo una certa quantità di fluido, allora in un
diverso punto del tubo la stessa quantità di fluido
deve uscire. Questo concetto è rappresentato in
Fig. 43.1: Guarda il video youfigura 43.2.
tu.be/6bbXsASWK5M
Il volume della parte di liquido nella parte
stretta del tubo è quindi uguale al volume del liquido nella parte larga del tubo.
l1 = v1 · ∆t
S2
S1
Fig. 43.2: Il liquido che scorre nella parte stretta del tubo passa poi nella parte più larga cambiando velocità. I due
volumi di liquido devono essere uguali a causa dell’incomprimibilità del liquido.
V1 = V2
da cui
S1 · l1 = S2 · l2
dove S è la sezione del tubo e l il percorso fatto dal liquido in un tempo ∆t viaggiando alla velocità v. Avremo quindi
S1 · v1 · ∆t = S2 · v2 · ∆t
Autore: Andrea de Capoa
S1 v1 = S2 v2
Questa indicata è la legge di conservazione della portata Q = S · v valida per tutti
i fluidi incomprimibili che scorrono in un tubo. Questa legge può essere commentata
dicendo che, essendo il liquido incompressibile, in un tubo il liquido scorre tanto più
velocemente quanto più piccola è la sezione del tubo.
84
17 Feb 2016
Il principio di Bernoulli
44.1
Scheda 44
Dove P è la pressione del fluido, ρ la sua densità. La pressione in un certo volume di fluido può infatti essere vista come la quantità di energia interna per unità di
volume. Se controlliamo le unità di misura di ognuno di questi tre termini possiamo
constatare che si tratta di un’energia per unità di volume, cioè Joule
m3 . Allora l’equazione di Bernoulli può essere letta come la legge di conservazione dell’energia per
unità di volume, cioè afferma che un particolare volume di fluido mantiene costante
la sua energia, supponendo tale volume costante.
L’equazione di Bernoulli
Immaginiamo adesso di seguire il movimento di
un certo volume di fluido incomprimibile. Durante il suo movimento vale di sicuro la legge di
conservaziuone dell’energia. Applicando tale legge, trascurando ogni effetto dovuto alle forze di
attrito, otteniamo l’equazione seguente:
v~2
1
Fig. 44.1: Guarda il video youmv 2 + mgh + Uint = cost
tu.be/XrAbLKiuZ7c
2
dove v è la velocità del fluido, g l’accelerazione di gravità e h l’altezza a cui si
trova il fluido. In quest’equazione il primo termine rappresenta l’energia cinetica
del fluido, intesa come l’energia legata al movimento del baricentro. Questo termine
considera il fluido come se tutta la sua massa fosse concentrata nel baricentro, e non
tiene conto dell’energia cinetica legata al movimento delle singole molecole intorno
al baricentro.
Il secondo termine rappresenta l’energia potenziale gravitazionale del fluido. Il
terzo rappresenta invece l’energia interna del fluido, cioè l’energia cinetica legata al
movimento delle singole molecole intorno al baricentro del fluido. Dividere l’energia cinetica del fluido nella somma dell’energia cinetica del baricentro più l’energia
interna è necessario in quanto misurare la prima non è complicato, mentre per misurare la seconda dovrei conoscere con precisione massa e velocità di tutte le molecole
del fluido.
Dal momento che trattiamo fluidi incomprimibili, allora la massa di fluido considerata ha anche un volume costante; posso quindi dividere l’equazione per il volume
del fluido ottenendo:
S2
v~1
S1
h1
h2
Fig. 44.2: Il liquido che scorre nella parte stretta del tubo passa poi nella parte più larga cambiando velocità. I due
volumi di liquido devono essere uguali a causa dell’incomprimibilità del liquido.
44.1.1
La legge di Stevin
Se applichiamo l’equazione di Bernoulli in un caso
in cui il fluido sia fermo, cosa otteniamo?
1
2
2 mv
mgh Uint
+
+
= cost
V
V
V
ottenendo l’equazione di Bernoulli
Immaginiamo di trovarci immersi in un fluido
fermo e spostarci da un punto A ad un punto B
a differente profondità. L’equazione di bernoulli
diventa:
1 2
ρV + ρgh + P = cost
2
85
Fig. 44.3:
Guarda il video youtu.be/SGVEECG23Q4
86
Scheda44. Il principio di Bernoulli
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
PB + ρghB = PA + ρghA
nella quale sono stati annullati i termini legati alla velocità del fluido. Con semplici passaggi si ottiene
PB − PA = ρghA − ρghB
PB − PA = −(ρghB − ρghA )
∆PA→B = −ρg∆hA→B
che è appunto la legge di Stevin. Essa afferma che tanto più vado in profondità
in un fluido, tanto maggiore sarà la pressione che sento, in base anche alla densità
del fluido.
44.1.2
Il tubo di Venturi
Come varia la pressione in un condotto orizzontale di sezione variabile? Se applichiamo l’equazione di Bernoulli ad un condotto orizzontale ed otilizziamo poi la
legge della portata otteniamo quanto segue, dove indichiamo con S1 e S2 i valori
delle sezioni del condotto in due suoi punti distinti.
1
1
P1 + ρv12 = P2 + ρv22
2
2
In questa equazione i termini con l’altezza sono stati semplificati in quanto le due
altezze sono uguali essendo il tubo orizzontale..
1
1
S2
P1 + ρv12 = P2 + ρv12 12
2
2
S2
1
1
S2
P1 − P2 = − ρv12 + ρv12 12
2
2
S2
1
S2
∆P = − ρv12 1 − 12
2
S2
Da questa equazione si vede chiaramente che all’aumentare della velocità del
fluido si crea una differenza di pressione tra due punti del tubo con sezioni differenti.
Fig. 44.4: un tubo di Venturi nel quale sta scorrendo dell’acqua. E’ possibile notare come l’altezza delle due
colonnine d’acqua sia differente, a dimostrare che la pressione nei due punti del condotto Ú differente.
Parte VI
Calorimetria
87
Mappe di calorimetria
Scheda 45
Calore fornito
∆Q
Temperatura
T
Trasporto di calore
∆Q
S
= ρ·
· ∆T
∆t
l
∆T
∆T
Teq
=0
6= 0
Transizione di fase
∆Q = Qlat · m
Riscaldamento
∆Q = cs · m · ∆T
Equilibrio termico
cs1 m1 T1i + cs2 m2 T2i
=
cs1 m1 + cs2 m2
Dilatazione termica
lineare
∆l = λ · li · ∆T
Dilatazione termica
superficiale e volumica
∆S = 2λ · Si · ∆T
∆V = 3λ · Vi · ∆T
Autore: Andrea de Capoa
03 Dic 2016
88
Stati della materia
46.1
Scheda 46
utilizzato per spezzare i legami tra le molecole; la temperatura del materiale rimane
costante.
Stati della materia
La materia si trova in tre stati: Solido, Liquido, Gassoso. La differenza sta nel come le molecole o gli
atomi della sostanza in questione sono legati tra
loro.
Solidi I solidi hanno forma e volume propri; le
molecole sono molto legate tra loro e non sono
libere di muoversi attraverso il materiale
Fig. 46.1:
Guarda il video youtu.be/I9jqUUbeuog
Liquidi I liquidi hanno volume propro ma assumono la forma del contenitore; le molecole sono
legate tra loro, ma con legami sufficientemente deboli da permettere alle molecole di
muoversi attraverso il materiale.
gas I gas assumono sia il volume che la forma del contenitore che li contiene; le molecole non sono legate tra loro (a meno di debolissimi legami che in genere possono
essere trascurati) e sono libere di muoversi attraverso il materiale
46.2
Cambiamenti di stato
Ogni materiale, a temperature ben precise, può
passare da uno stato ad un altro. Il cambiamento di stato avviene perchè i legami tra le molecole
si spezzano o si formano. Per esempio alla temperatura T = 0◦ C il ghiazzio fonde. Nella fusione,
dando calore i legami tra le molecole del solido si
spezzano e il materiale diventa liquido; al contraFig. 46.2: Guarda il video yourio quando abbiamo acqua liquida alla temperatutu.be/rC3CloIZHtA
ra T = 0◦ C, togliendo calore i legami tra le molecole si formano ed il liquido diventa solido. Durante la transizione di fase il calore è
Autore: Andrea de Capoa
89
17 Feb 2016
La Temperatura
Scheda 47
ne consegue che l’ampiezza di un grado Kelvin sia uguale all’ampiezza di un grado
centigrado.
La temperatura di un oggetto indica l’energia cinetica media delle molecole di
cui è fatto quell’oggetto.
47.1.3
Ogni oggetto è infatti fatto di molecole, le quali si muovono all’interno dell’oggetto, fossanche per vibrare intorno ad punto di equilibrio. Visto che per l’energia
cinetica di una particella esiste un limite inferiore pari a zero, allora esiste un limite
inferione anche per la temperatura.
47.1
conversioni di temperature
Per come sono state determinate le due scale di temperatura bisogna stare attenti quando si eseguono le conversioni di unità di misura. Se devo convertire due
intervalli di temperatura, la conversione è
∆T = 1 K = 1 ◦ C
Le scale di temperatura
Se devo invece convertire il valore di una temperatura allora
Le due principali scale di temperatura che studiamo sono la scala dei gradi centigradi1 e la scala dei gradi Kelvin. Per creare una scala di temperature è necessario
determinare due punti fissi sulla scala.
47.1.1
t = 300 K = 26, 85 ◦ C
I gradi centigradi
Per determinare la scala dei gradi centigradi si è presa prima la temperatura di fusione del ghiaccio è si è stabilito in modo arbitrario che tale valore corrispondeva a
Tf us = 0◦ C; successivamente si è presa la temperatura di ebollizione dell’acqua è
si è stabilito in modo arbitrario che tale valore corrispondeva a Teb = 100◦ C. Con
queste due affermazioni è di fatto stata inventata questa scala di temperatura.
47.1.2
I gradi Kelvin
Stabilito che il concetto stesso di temperatura prevede l’esistenza di un limite inferiore al suo valore, allora risulta sicuramente più efficace l’utilizzo della scala di
temperatura dei gradi Kelvin. Essa infatti stabilisce che il valore minimo di temperatura sia Tmin = 0 K corrispondente al valore Tmin = −273, 15 ◦ C. inoltre stabilisce
che il valore della temperatura di fuzione del ghiaccio sia Tf us = 273, 15 K e che
il valore della temperatura di ebollizione dell’acqua sia Teb = 373, 15 K. essendoci
anche qui 100 gradi di differenza tra le due temperature di transizione dell’acqua,
1 La
Autore: Andrea de Capoa
scala dei gradi centigradi è altrimenti chiamata scala Celsius dal nome del fisico che la creò.
90
17 Feb 2016
Riscaldamento
Riscaldare un oggetto significa aumentarne la
temperatura; raffreddare un oggetto significa diminuirne la temperatura. Per ottenere questo dobbiamo dare o togliere del calore all’oggetto. Se diamo del calore all’oggetto, questo calore aumenta
l’energia interna dell’oggetto e quindi ne aumenta
la temperatura.
48.1
Scheda 48
Tf =
cs1 Ti1 + cs2 Ti2
cs1 + cs2
Qualora vengano messi a contatto molti oggetti con temperature differenti, allora
la formula sopra scritta diventa
Tf =
Fig. 48.1:
Guarda il video youtu.be/sjsoUnjBeEM
cs1 Ti1 + cs2 Ti2 + ... + csn Tin
cs1 + cs2 + ... + csn
dove n è un generico indice che indica il numero di oggetto messi a contatto.
Calore e temperatura
Dimostrazione Immaginiamo di avere due oggetti di massa m1 ed m2 , calore specifico cs1 e
cs2 , temperatura Ti1 e Ti2 . Mettendo i due oggetti a contatto essi si scambieranno calore. Il calore in ingresso nell’oggetto più freddo sarà uguale
ma con segno opposto rispetto al calore in uscita
dall’oggetto più caldo. Per cui avremo
Di quanto la temperatura aumenti quando forniamo del calore dipende dal tipo di materiale e dalla sua massa secondo la seguente
formula:
∆Q = cs m∆T
dove ∆Q indicha il calore fornito al corpo, ∆T la sua variazione di temperatura,
m la sua massa e cs il suo calore specifico. Il calore specifico è un parametro che
dipende solo dal tipo di materiale di cui è fatto l’oggetto. La grandezza C = cs m è
detta capacità termica di quel particolare corpo. Nel caso in cui stiamo dando calore
la grandezza ∆Q sarà positiva; viceversa sarà negativa. L’unità di misura del calore
è il Joule o la caloria = 4,186 Joule.
∆Q1 + ∆Q2 = 0
Fig. 48.2:
Guarda il video youtu.be/xr_ftQWMVOQ
cs1 m1 ∆T1 + cs2 m2 ∆T2 = 0
cs1 m1 (Tf − Ti1 ) + cs2 m2 (Tf − Ti2 ) = 0
cs1 m1 Tf − cs1 m1 Ti1 + cs2 m2 Tf − cs2 m2 Ti2 = 0
Tf · (cs1 m1 + cs2 m2 ) − cs1 m1 Ti1 − cs2 m2 Ti2 = 0
48.2
Tf =
Scambi di calore ed equilibrio termico
Cosa succede se metto a contatto due oggetti con temperatura differente? Ciò che
succede è che del calore passa dall’oggetto più caldo (che quindi si raffredda) all’oggetto più freddo (che quindi si riscalda); questo avviene fino a quando i due oggetti
raggiungono la stessa temperatura e sono quindi in equilibrio termico. Per calcolare
quale sia la temperatura di equilibrio che verrà raggiunta dai due corpi possiamo
utilizzare la seguente formula:
Autore: Andrea de Capoa
91
17 Feb 2016
cs1 m1 Ti1 + cs2 m2 Ti2
cs1 m1 + cs2 m2
Dilatazione termica
Scheda 49
Quando scaldiamo un oggetto solido o liquido, esso aumenta il suo volume. Le
molecole dell’oggetto, agitandosi, occupano infatti più spazio. Questo è un fenomeno molto piccolo, e quindi difficilmente visibile ad occhio nudo.
49.1
Dilatazione lineare
Fig. 49.3: Guarda il video youtu.be/pfdy2R3Ixu4
49.2
Dilatazione superficiale e volumetrica
A seconda della forma dell’oggetto può essere necessario parlare di dilatazione termica superficiale o volumetrica, essendo necessario calcolarci di quanto aumenta la
superficie od il voume di un oggetto. Le formule per farlo sono:
Fig. 49.1: Guarda il video youtu.be/rDvg8eaMdbY
∆S = 2λS0 ∆T
L’aumento del volume dell’oggetto è dovuto all’aumento di ognuna delle tre dimensioni dell’oggetto. Prendiamo per esempio una sbarra di lunghezza l; di quanto
aumenterà la lunghezza della sbarra quando viene scaldata? La formula che descrive
questo fenomeno è
∆l = λl0 ∆T
∆V = 3λV0 ∆T
Per meglio comprendere il fenomeno guardate l’immagine in figura 49.4
dove ∆l è l’allungamento della sbarra, l0 la lunghezza iniziale della sbarra, ∆t la
variazione di temperatura e λ il coefficiente di dilatazione termica lineare tipico del
materiale dell’oggetto. Il valore di tale coefficiente è dell’ordine di grandezza di
1
10−6 K
, cioè le dimensioni dell’oggetto scaldato aumentano di un milionesimo per
ogni grado di variazione di temperatura.
Nei seguenti video viene mostrato come misurare il coefficiente di dilatazione
lineare dei metalli
(a) La sfera, fredda, è sufficientemente piccola
da passare nel foro
(b) La sfera, calda, è troppo grande per poter
passare nel foro
Fig. 49.4: Una sfera di metallo, riscaldata, si dilata.
Fig. 49.2: Guarda il video youtu.be/9l41WAjrAa4
92
93
Autore: Andrea de Capoa
Scheda49. Dilatazione termica
17 Feb 2016
Transizioni di fase
Scheda 50
Se diamo o togliamo calore ad un corpo quando ci troviamo ad alcune precise temperature tipiche di ogni materiale, succede che quel corpo subisce una transizione di fase e cambi quindi stato. I
tre stati in cui si può trovare la materia sono lo stato solido, liquido e gassoso. Un qualunque passaggio
tra uno stato e l’altro si dice transizione di fase. Nella tabella 50.1 sono indicate le transizioni di fase
esistenti.
Stato iniziale → Stato finale
Solido → Liquido
Solido → Gassoso
Liquido → Gassoso
Gassoso → Liquido
Gassoso → Solido
Liquido → Solido
ne. Questo avviene perchè il calore fornito viene utilizzato per rompere (o formare) i
legami tra le molecole e quindi non può essere impiegato per variare la temperatura
del materiale. Da un punto di vista microscopico, infatti, le differenze tra i tre stati
dipendono dall’intensità dei legami molecolari tra le varie molecole della sostanza.
In un solido i legami sono molto forti, tali da vincolare le molecole in una ben precisa posizione le une rispetto alle altre; in un liquido i legami sono meno forti, e le
molecole sono libere di muoversi all’interno del liquido; in un gas i legami sono stati
spezzati e le molecole sono libere di allontanarsi indefinitamente le une dalle altre.
Fig. 50.1:
Guarda il video youtu.be/aH4vm84KJFk
Transizone di fase
Fusione
Sublimazione
Evaporazione
Condensazione
Brinamento
Solidificazione
Tabella 50.1: Tabella delle transizioni di fase esistenti
Ma quanta energia mi serve per far compiere una transizione di fase ad un certo
quantitativo di materia? Per ogni transizione di fase esiste un parametro tipico di
J
ogni materiale detto calore latente. La sua unità di misura è Kg
. Questa grandezza mi
dice quanta energia devo fornire ad ogni kilogrammo di materiale per fare avvenire
una certa transizione di fase. Per cui, per ogni materiale, avremo un calore latente
di fusione ed un calore latente di ebollizione. Il calore necessario alla transizione di
fase sarà quindi:
∆Qf usione = Qlatente−f usione · m
∆Qeboll. = Qlatente−eboll. · m
Mentre forniamo calore ad un materiale e questo sta subendo una transizione di
fase, la temperatura del materiale rimane sempre costante durante tutta la transizio-
Autore: Andrea de Capoa
94
17 Feb 2016
Conduzione termica
51.1
Scheda 51
esso. Se tocchiamo un oggetto freddo, la sensazione che stiamo provando significa:
il calore esce velocemente dal nostro corpo. Se tocchiamo un oggetto caldo la sensazione
che stiamo provando significa: il calore esce lentamente dal nostro corpo o addirittura vi
entra.
La velocità con cui il calore entra o esce dal nostro corpo dipende certo dalla
temperatura dell’oggetto toccato, da dipende anche dal materiale di cui è fatto. I
metalli sono ottimi conduttori di calore, mentre il legno è un ottimo isolante termico... ecco perchè i due oggetti che avete prima toccato vi sembra che abbiano la stessa
temperatura.
La teoria
Il calore si muove all’interno dei materiali. La velocità con la quale si muove dipende da fattori
quali il materiale, la forma e la temperatura. Immaginiamo di avere una sbarra di lunghezza l e
sezione S e che tra i due estremi della sbarra ci
sia una differenza di temperatura ∆T . Il calore si
muove dal lato più caldo verso il lato più freddo
della sbarra; la quantità di calore che nell’unità di
tempo passa da una parte all’altra della sbarra la
calcoliamo
Fig. 51.1:
Guarda il video youtu.be/SGaXGaU5qN8
51.3
Un semplice esperimento
∆Q
S
= ρ ∆T
∆t
l
dove ρ è la conducibilità termica tipica del materiale di cui è fatta la sbarra, e
è la potenza trasmessa attraverso la sbarra.
∆Q
∆t
Fig. 51.3: Guarda il video youtu.be/Jfqp6rZLc4Y
51.2
La sensazione di caldo e freddo
Guardatevi intorno e trovate un oggetto di metallo
ed uno di legno. Toccateli. Troverete che l’oggetto
di metallo è freddo e quello di legno è più caldo. Se
ora provate a misurare la loro temperatura troverete che i due oggetti hanno la stessa temperatura!
del resto è ovvio che abbiano la stessa temperatura
in quanto sono in equilibrio termico con l’aria che
Fig. 51.2: Guarda il video youli circonda e con gli oggetti con cui sono a contatto,
tu.be/vqDbMEdLiCs
e noi sappiamo che gli oggetti a contatto raggiungono la stessa temperatura. Ma allora perchè abbiamo la percezione di due temperature differenti? Il fatto è che il nostro corpo non è un termometro e non misura la
temperatura degli oggetti; il nostro corpo misura la velocità con cui il calore esce da
Autore: Andrea de Capoa
95
17 Feb 2016
Parte VII
Termodinamica
96
Mappe di termodinamica
Scheda 52
Energia interna
U
Calore fornito
δQ
Lavoro fatto
δL
Primo principio
della termodinamica
∆U = δQ − δL
Temperatura
T
Legge dei gas perfetti
P ·V = N ·K·T
Isoterma
∆T = 0
∆U = 0
Trasformazioni
termodinamiche
Volume
V
Pressione
P
Isocora
∆V = 0
δL = 0
Trasformazioni cicliche
δL
η =
δQass
Isobara
∆P = 0
δL = P · ∆V
Secondo principio
della termodinamica
η < 1
Adiabatica
δQ = 0
Terzo principio della
termodinamica
∆S ≥ 0
Autore: Andrea de Capoa
Entropia
δQ
∆S =
T
19 Dic 2016
97
U =
n
N KT
2
Primo principio della termodinamica
53.1
Videolezione
53.4
Scheda 53
Il lavoro fatto da un gas
Ogni gas preme sulle pareti del contenitore che lo contiene, cioè esercita su di esse
una forza. Se le pareti si spostano, allora tale gas di conseguenza fa un lavoro. Se il
gas aumenta il suo volume, ne consegue che il gas cede del lavoro al mondo esterno;
se il gas diminuisce il suo volume, il gas riceve del lavoro dall’esterno.
δL ←→ ∆V
Fig. 53.1: Guarda il video youtu.be/KzwaYi0CtNs
53.2
53.5
L’energia interna di un gas
Un gas può essere quindi pensato come un contenitore di energia interna. Un gas
può però anche cedere o ricevere energia, sia sotto forma di lavoro che sotto forma
di calore. Se il gas riceve energia, la sua energia interna aumenterà, mentre se il gas
cede energia la sua energia interna diminuirà.
Un gas è fatto di molecole che si muovono, e le molecole hanno massa. Questo vuol
dire che le molecole di ogni gas hanno energia cinetica. La somma delle energie cinetiche di tutte le molecole del gas la chiamiamo energia interna del gas e la indichiamo
con la lettera U
U=
n
X
1
i=1
2
Definiamo la grandezza δQ come il calore che entra nel gas. Se il calore uscisse
dal gas δQ avrebbe un valore negativo.
mi Vi2
Definiamo la grandezza δL come il lavoro che esce dal gas. Se il lavoro entrasse
nel gas δL avrebbe un valore negativo.
Visto che la temperatura è un indice dell’energia cinetica media delle molecole, l’energia interna del gas è di conseguenza direttamente legata alla temperatura del gas. per cui se cambia l’energia interna del gas, di conseguenza cambia la
temperatura del gas
Detto questo possiamo affermare il primo principio della termodinamica
∆U ←→ ∆T
53.3
Il primo principio
∆U = δQ − δL
che possiamo leggere come: La variazione dell’energia interna di un gas è ugale a
tutto il calore che entra meno tutto il lavoro che esce1 . Questa formula comunque altro
non è se non la legge di conservazione dell’energia applicata ad una trasformazione
termodinamica di un gas.
Principio zero
Un principio fondamentale della termodinamica è che il calore si muove sempre
dagli oggetti più caldi verso gli oggetti più freddi. Per questo motivo, se un gas è
più caldo del suo contenitore, gli cederà calore; se è più freddo riceverà calore da
esso.
1 δQ
e δL sono stati scritti con la delta minuscola per un motivo preciso che per il momento è fuori
dagli scopi di questa scheda
98
99
Autore: Andrea de Capoa
Scheda53. Primo principio della termodinamica
17 Feb 2016
Legge dei gas e trasformazioni termodinamiche
54.1
Esso altro non è se non un diagramma cartesiano con i valori di
pressione e volume sui due assi. Un
1.5
punto all’interno del grafico definisce in modo univoco un valore di
pressione e di volume, e quindi, per
1
il nostro gas, anche di temperatura. In figura 54.1 è rappresentato il
0.5
piano di Clapeyron; le linee puntinate all’interno del piano rappresenV
tano stati nei quali il gas ha sem0.5
1
1.5
2
pre la stessa temperatura. Tanto
Fig. 54.1: il piano di Clapeyron
più la linea in questione è lontana
dall’origine degli assi, tanto maggiore è la temperatura a cui corrisponde.
La legge dei gas perfetti
2
Consideriamo un gas, per esempio l’aria contenuta in una stanza chiusa. Quali grandezze fisiche dovrò utilizzare per definire lo stato fisico in cui si trova quel gas?
Cominciamo a considerare le seguenti quattro:
• il volume V
• la pressione P
• la temperatura T
• il numero di molecole N
L’insieme dei valori di queste quatto grandezze definisce lo stato fisico in cui si
trova quel gas. L’esperienza quotidiana ci dice che se facciamo variare una di queste
grandezze, automaticamente una o più di una delle altre cambia di conseguenza. La
legge fisica che lega insieme le quattro variabili dei gas sopra citate è la legge dei gas
perfetti
54.3
P
Trasformazioni termodinamiche
Si dice trasformazione termodinamica un qualunque
cambiamento dei valori delle variabili del gas. Tale cambiamento corrisponde nel piano di Clapeyron in uno spostamento del punto che rappresenta lo stato del gas. Ogni trasformazione termodinamica è sempre causata da uno scambio di energia tra il gas ed il mondo esterno. Noi studieremo quattro tipi di trasformazioni: isocore, isobare,
isoterme ed adiabatiche.
P ·V =N ·K ·T
Joule
è la costante di Boltzmann.
dove K = 1, 3806488(13) · 10−23 Kelvin
Questa si chiama legge dei gas perfetti in quanto vale per quei gas fatti di particelle puntiformi che non hanno alcuna interazione tra di loro. I gas reali non sono
certo così fatti, ma nella maggior parte dei casi ci si avvicinano tanto da poter essere
considerati perfetti.
54.2
Scheda 54
Lo stato di un gas
Una volta fissato il numero di molecole di cui è composto il gas che stiamo studiando,
il suo stato è identificato dalle restanti tre: volume, pressione e temperatura. Definiti
pressione e volume si può dedurre il valore della temperatura. Un ottimo modo
per rappresentare lo stato in cui si trova un il gas è quello di utilizzare il piano di
Clapeyron.
54.3.1
Fig. 54.2:
Guarda il video youtu.be/NQ3JWLhCb4g
Isocore
Una trasformazione isocora è una trasformazione a volume costante. Nel piano di
Clapeyron è rappresentata da una linea verticale. All’aumentare della pressione
aumenterà la temperatura in modo direttamente proporzionale.
100
101
Scheda54. Legge dei gas e trasformazioni termodinamiche
2
2
P
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
P
V
0.5
1
1.5
V
2
0.5
Fig. 54.3: trasformazione isocora
54.3.2
Isobare
Una trasformazione isobara è una trasformazione a pressione costante. Nel piano
di Clapeyron è rappresentata da una linea orizzontale. All’aumentare del volume
aumenterà la temperatura in modo direttamente proporzionale.
Isoterme
Una trasformazione isoterma è una trasformazione a temperatura costante. Nel
piano di Clapeyron è rappresentata da un ramo di iperbole equilatera riferita agli
asintoti. All’aumentare della pressione diminuirà il volume in modo inversamente
proporzionale.
54.3.4
Adiabatiche
Una trasformazione adiabatica è una trasformazione in cui non avvengono scambi
di calore. Nel piano di Clapeyron è rappresentata da una curva un po’ più ripi-
1.5
2
Fig. 54.4: trasformazione isobara
da dell’isoterma. All’aumentare della pressione diminuirà il volume. Nella realtà
una trasformazione adiabatica può essere realizzata facendo trasformare il gas tanto
velocemente da non dargli il tempo di scambiare calore con il mondo esterno.
54.3.5
54.3.3
1
Come ragionare con i gas perfetti
Per affrontare un qualunque problema sulle trasformazioni termodinamiche è possibile utilizzare la mappa concettuale in figura 54.7.
Gli elementi che servono per eseguire i ragionamenti sono pochi:
1. la legge dei gas perfetti
2. il primo principio della termodinamica
3. il concetto per cui la temperatura di un gas è direttamente legata all’energia
interna del gas
102
Scheda54. Legge dei gas e trasformazioni termodinamiche
2
2
P
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
P
V
0.5
1
1.5
V
2
0.5
Fig. 54.5: trasformazione isoterma
4. il concetto per cui il gas cede lavoro all’esterno se si espande e lo riceve dall’esterno se si comprime
Tutto ruota intorna a due gruppi di tre variabili:
1. pressione, volume e temperatura
1.5
2
Fig. 54.6: trasformazione adiabatica
3. se conoscete le variazioni di due variabili tra pressione, volume e temperatura, allora avrete informazioni sulla terza variabile utilizzando la legge dei gas
perfetti
4. se conoscete i movimenti di energia legati a due delle tre variabili energetiche
(energia interna, lavoro scambiato, calore scambiato), allora avrete informazioni sulla terza variabile utilizzando il primo principio della termodinamica
2. energia interna, lavoro scambiato e calore scambiato
In base alle informazioni che avete i ragionamenti da fare di volta in volta sono
pochi e semplici:
1. se avete informazioni sulla temperatura del gas automaticamente ricavate informazioni sulla sua energia interna e viceversa
2. se avete informazioni sul volume del gas automaticamente ricavate informazioni sullo scambio di lavoro, e viceversa
1
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
103
Scheda54. Legge dei gas e trasformazioni termodinamiche
Fig. 54.7: Una mappa concettuale per affrontare ogni problema sulle principali trasformazioni dei gas perfetti.
Distribuzione Maxwell Boltzmann
55.1
Il concetto
Abbiamo visto che la temperatura di un gas è legata all’energia cinetica media delle
molecole del gas e quindi alla loro velocità quadratica media. Se affermiamo che un
certo gas ha una certa temperatura, di fatto stiamo definendo un valore per l’energia
cinetica media delle molecole. Conoscere il valore medio dell’energia cinetica delle
molecole, non significa però conoscere il valore dell’energia cinetica di ogni singola
molecola. Se la media dell’energia cinetica ha un certo valore, l’energia cinetica di
ogni singola molecola può essere molto differente. Per cui, qualunque sia il valore
dell’energia cinetica media delle molecole, ci saranno comunque molecole con poca
energia e molecole con molta energia.
55.2
Scheda 55
1
0.8
La distribuzione delle velocità
Tbassa
0.6
Se prendiamo un gas, ogni molecola ha una certa energia cinetica e quindi una certa velocità. Alcune molecole, viaggeranno piano, altre molto veloci. Conoscere la
distribuzione delle velocità, significa conoscere, per ogni valore di velocità, quante molecole viaggiano a quella velocità. la distribuzione in questione si chiama
distribuzione di Maxwell-Boltzmann la cui equazione è
Tmedia
0.4
Talta
0.2
m 32
−mv 2
1 dn
= 4π
v 2 e 2kT
N dv
2πkT
In figura 55.1 è rappresentata tale distribuzione per tre diversi valori di temperatura. Come si può vedere, per ogni valore di temperatura le molecole del gas possono avere molti differenti valori di velocità e quindi di energia cinetica. Per ogni valore di temperatura del gas, l’unico valore sicuro è quello dell’energia cinetica media
delle molecole.
Autore: Andrea de Capoa
1 dn
N dv
v
2
4
6
Fig. 55.1: Distribuzione maxwellinana delle velocità.
17 Feb 2016
104
8
Il ciclo di Carnot
56.1
Scheda 56
2
Trasformazioni cicliche
P
1.8
Una trasformazione è detta ciclica se,
partendo da un ben definito stato di
pressione, volume e temperatura, arrivo dopo un certo tempo nello stesso stato di pressione, volume e temperatura.
Non importa quale sia il percorso seguito, ma conta solo che il punto di partenza e quello di arrivo coincidano. In figura 56.1 vediamo un esempio di un ciclo
termodinamico di Carnot. Immaginate
lo stato del gas che percorre tale ciclo in
senso orario.
2
1.6
P
a
1.4
1.5
1.2
1
1
d
0.8
0.5
0.5
1
1.5
b
0.6
V
0.4
2
c
Adesso, per capire l’utilità e le caFig. 56.1: Un esempio di un ciclo termodinamico
ratteristiche dei cicli termodinamici, cominciamo con l’analizzare un ben preciso ciclo termodinamico: il ciclo di
Carnot.
0.2
V
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 56.3: Il ciclo di Carnot: il gas subisce una espansione isoterma (a) ad alta temperatura Talta ; successivamente una espansione adiabatica (b) che lo porta alla temperatura inferiore Tbassa , poi una compressione isoterma
(c) alla temperatura Tbassa , ed infine una compressione adiabatica (d) che lo riporta alla temperatura Talta .
56.2
Il ciclo di Carnot
1. Durante la prima trasformazione, l’espansione isoterma (a), il gas ha energia
interna costante (∆Ua = 0). Ne consegue che il lavoro fatto dal gas è uguale al
calore assorbito δLa = δQass ad alta temperatura.
Il ciclo di Carnot è una particolare trasformazione
ciclica composta da due trasformazioni isoterme e
due trasformazioni adiabatiche come mostrato in
figura 56.3.
Per studiare tale ciclo è necessario analizzare i
flussi di energia tra il gas e l’esterno; prendiamo
come punto di partenza per l’analisi lo stato che
ha maggiore pressione, minore volume e maggiore
temperatura.
2. Durante la seconda trasformazione, l’espansione adiabatica (b), il gas non scambia calore con l’esterno (δQb = 0). Quindi il lavoro fatto verso l’esterno fa
diminuire l’energia interna del gas, raffreddandolo ∆Ub = −δLb .
Fig. 56.2:
Guarda il video youtu.be/xUsKuyw0_6A
3. Durante la terza trasformazione, la compressione isoterma (c), il gas non cambia la sua energia interna (∆Uc = 0). Ne consegue che il lavoro ricevuto du105
106
Scheda56. Il ciclo di Carnot
rante la compressione è uguale al calore ceduto a bassa temperatura δLc =
δQced .
4. Durante la quarta trasformazione, la compressione adiabatica (d), il gas non
scambia calore con l’esterno (δQd = 0). Ne consegue che il lavoro ricevuto durante la compressione farà aumentare l’energia interna e la temperatura:
∆Ud = −δLd .
56.3
Il rendimento di un ciclo
Durante tutto il ciclo del calore e
del lavoro vengono scambiati con il
Sorgente ad alta temperatura
mondo esterno, alla fine del ciclo l’energia interna del gas non è però
δQa
cambiata, perchè lo stato finale del
gas è uguale a quello iniziale. In
particolare del calore è stato assorδL
bito ad alta temperatura; una parte
di quel calore è stata poi ceduta al
δQc
mondo esterno a bassa temperatura.
Se andiamo poi a considerare tutto
il lavoro fatto e ricevuto nelle quatPozzo a bassa temperatura
tro trasformazioni, troveremo che la
parte di calore assorbito che non è
Fig. 56.4: In un ciclo di Carnot viene prelevato dall’estata poi ceduta a bassa temperatusterno del calore ad una alta temperatura, trasformato una
ra, è stata in realtà trasformata in
parte di esso in lavoro disperdendo come conseguenza del
lavoro fatto verso il mondo esterno.
calore ad una temperatura più bassa.
L’immagine 56.4 mostra quale
sia stato il flusso di energia durante un intero ciclo di Carnot. Questo è un concetto
generale valido per ogni ciclo termodinamico che venga percorso in senso orario:
sempre verrà assorbito del calore ad alta temperatura, sempre una parte di quel calore viente trasformato in lavoro e sempre la parte rimanente viene ceduta a bassa
temperatura. Un ciclo termodinamico serve infatti a trasformare del calore in lavoro.
Un ciclo termodinamico è tanto migliore quanto maggiore è la percentuale di
calore assorbito che viene trasformata in lavoro. Tale percentuale viene chiamata
rendimento ed è definita come:
η=
δLf atto
δQassorbito
La formula precedente è la definizione generale di rendimento, la quale, applicata ad
ogni specifico ciclo, assume poi forme diverse. In particolare per il ciclo di Carnot, il
calcolo del rendimento fornisce la seguente formula:
η =1−
56.4
Tbassa
Talta
Secondo principio della termodinamica
Il secondo principio della termodinamica è stato enunciato con due formulazioni
differenti che si è dimostrato in seguito essere del tutto equivalenti. Esse vanno sotto
il nome di principio di Kelvin e principio di Clausius.
Il principio di Kelvin afferma che è impossibile realizzare una trasformazione ciclica
che trasformi integralmente una certa quantità di calore in lavoro. Questo implica quindi
che il rendimento di un ciclo sia sempre minore di 1. Non importa quanto calore
assorbi, non riuscirai mai a trasformarlo tutto in lavoro.
Il principio di Clausius afferma che è impossibile che una macchina, agendo separatamente dall’ambiente esterno, trasferisca del calore da un corpo che si trova a temperatura
minore ad uno che si trova a temperatura maggiore. Questo significa che è impossibile
che una certa macchina sposti del calore da un luogo freddo in uno caldo senza utilizzare del lavoro per poterlo fare. il calore si sposta naturalmente da luoghi caldi
verso luogi freddi; per spostarlo nel verso contrario è necessario che la macchina
termica in questione utilizzi del lavoro dall’esterno.
56.4.1
La qualità dell’energia
Se analizziamo in dettaglio gli scambi di energia in un ciclo termodinamico, succede
sempre che del calore viene assorbito ad alta temperatura, ed una parte di esso viene
107
Scheda56. Il ciclo di Carnot
ceduto a bassa temperatura. La differenza è stata trasformata in lavoro. La nostra
capacità di estrarre del lavoro dal calore assorbito, cioè il rendimento del ciclo, è
tanto più alta quanto più alta è la temperatura a cui assorbo il calore e quanto più
bassa è la temperatura a cui lo cedo. Il calore assorbito ad alta temperatura possiamo
definirlo molto pregiato; estraendo da esso l’energia in assoluto più pregiata che esiste,
il lavoro, ciò che rimane e che scartiamo è calore ceduto a bassa temperatura che
possiamo definire poco pregiato.
Luogo ad alta temperatura
δQc
δL
δQa
Luogo a bassa temperatura
Fig. 56.5: In un ciclo frigorifero un po’ di lavoro viene utilizzato per poter spostare del calore da un luogo a
temperatura bassa in un luogo a temperatura alta.
56.5
Cicli frigoriferi
I cicli termodinamica di cui abbiamo parlato sono tutti percorsi in senso orario. Se
li eseguiamo in senso antiorario avremo che tutti i passaggi di energia avverranno
anche loro al contrario. Il gas riceverà quindi una piccola quantità di lavoro e lo
utilizzerà per spostare del calore da un luogo freddo verso un luogo caldo. In natura questo non avviemne mai spontaneamente, ecco perchè c’è bisogno di un certo
quantitativo di lavoro per riuscire a farlo.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Il ciclo Otto
57.1
Scheda 57
1. Durante la prima trasformazione, la compressione adiabatica (a), il gas riceve
lavoro dall’esterno aumentando la sua energia interna (∆Ua > 0; δLa < 0 ). Ne
consegue che il volume del gas diminuisce e la temperaura aumenta. Questa è
la fase in cui il pistone comprime la miscela di aria e benzina e la prepara per
la combustione.
Le trasformazioni del ciclo
Il ciclo Otto è una particolare trasformazione ciclica composta da due trasformazioni
adiabatiche e due trasformazioni isocore come mostrato in figura 57.1. Questo ciclo
è quello utilizzato per far funzionare i motori a quattro tempi delle automobili.
2
2. Durante la seconda trasformazione, il riscaldamento isocoro (b), il gas riceve calore (δQb > 0) e ne consegue un aumento di energia interna e quindi di
temperatura. Questa è la fase in cui la candela infiamma la benzina. La combustione produce il calore che scalda il gas tanto velocemente che il pistone non
ha avuto il tempo di spostarsi, mantenendo quindi il volume del gas costante.
P
1.8
1.6
1.4
3. Durante la terza trasformazione, l’espansione adiabatica (c), il gas diminuisce la sua energia interna (∆Uc < 0) con la conseguente produzione di lavoro
δLc > 0. Questa è la fase in cui il gas espandendosi spinge il pistone e fa
muovere l’automobile.
1.2
1
4. Durante la quarta trasformazione, il raffreddamento isocoro (d), il gas cede
calore all’esterno (δQd < 0) diminuendo la sua energia interna e la sua temperatura ∆Ud < 0. In questa fase si aprono le valvole e si eguaglia la pressione
della miscela combusta alla pressione atmosferica. Il gas verrà espulso dal cilindro attraverso i tubi di scarico e poi una nuova miscela di aria e benzina
verrà introdotta nel cilindro.
0.8
b
c
0.6
0.4
0.2
a
d
V
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 57.1: Il ciclo Otto: il gas subisce una compressione adiabatica (a), successivamente un riscaldamento isocoro
(b), poi una espansione adiabatica (c), infine un raffreddamento isocoro (d).
Per studiare tale ciclo è necessario analizzare i flussi di energia tra il gas e l’esterno; prendiamo come punto di partenza per l’analisi lo stato che ha maggiore volume
e minore pressione (il vertice n basso a destra). Questo è il momento nel quale nel
motore, all’interno del cilindro e a contatto con il pistone, si trova una miscela di aria
e benzina.
Autore: Andrea de Capoa
108
17 Feb 2016
Il ciclo diesel
58.1
Scheda 58
lavoro dall’esterno aumentando la sua energia interna (∆Ua > 0; δLa < 0 ). Ne
consegue che il volume del gas diminuisce e la temperaura aumenta.
Le trasformazioni del ciclo
Il ciclo diesel è una particolare trasformazione ciclica composta da due trasformazioni adiabatiche, una trasformazione isocora ed una isobara come mostrato in figura 58.1. Questo ciclo è quello utilizzato per far funzionare i motori diesel delle
automobili.
2
2. Durante la seconda trasformazione, l’espansione isobara (b), il gas riceve calore
(δQb > 0) e ne consegue sia un aumento di energia interna sia una produzione
di lavoro (∆Ub > 0; δLb > 0 ).
3. Durante la terza trasformazione, l’espansione adiabatica (c), il gas diminuisce la sua energia interna (∆Uc < 0) con la conseguente produzione di lavoro
δLc > 0.
P
1.8
4. Durante la quarta trasformazione, il raffreddamento isocoro (d), il gas cede
calore all’esterno (δQd < 0) diminuendo la sua energia interna e la sua temperatura ∆Ud < 0.
1.6
b
1.4
1.2
1
0.8
c
0.6
a
0.4
0.2
d
V
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 58.1: Il ciclo diesel: il gas subisce una compressione adiabatica (a), successivamente una espansione isobara
(b), poi una espansione adiabatica (c), infine un raffreddamento isocoro (d).
Per studiare tale ciclo è necessario analizzare i flussi di energia tra il gas e l’esterno; prendiamo come punto di partenza per l’analisi lo stato che ha maggiore volume
e minore pressione (il vertice n basso a destra).
Autore: Andrea de Capoa
1. Durante la prima trasformazione, la compressione adiabatica (a), il gas riceve
109
17 Feb 2016
Il ciclo di Stirling
59.1
Scheda 59
). Ne consegue che il volume del gas diminuisce mentre la temperaura rimane
costante.
Le trasformazioni del ciclo
Il ciclo di Stirling è una particolare trasformazione ciclica composta da due trasformazioni isoterme e due trasformazioni isocore come mostrato in figura 59.1.
2
2. Durante la seconda trasformazione, il riscaldamento isocoro (b), il gas riceve
calore (δQb > 0) e ne consegue un aumento di energia interna e quindi di
temperatura.
P
3. Durante la terza trasformazione, l’espansione isoterma (c), il gas riceve calore
dall’estermo (∆Qc > 0) con la conseguente produzione di lavoro δLc > 0.
1.8
1.6
4. Durante la quarta trasformazione, il raffreddamento isocoro (d), il gas cede
calore all’esterno (δQd < 0) diminuendo la sua energia interna e la sua temperatura ∆Ud < 0.
1.4
1.2
1
0.8
b
c
0.6
0.4
0.2
a
d
V
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 59.1: Il ciclo di Stirling: il gas subisce una compressione isoterma (a), successivamente un riscaldamento
isocoro (b), poi una espansione isoterma (c), infine un raffreddamento isocoro (d).
Per studiare tale ciclo è necessario analizzare i flussi di energia tra il gas e l’esterno; prendiamo come punto di partenza per l’analisi lo stato che ha maggiore volume
e minore pressione (il vertice in basso a destra).
1. Durante la prima trasformazione, la compressione isoterma (a), il gas riceve
lavoro dall’esterno cedendo una eguale quantità di calore (∆Ua = 0; δQa < 0
Autore: Andrea de Capoa
110
17 Feb 2016
Il ciclo rettangolare
60.1
Scheda 60
voro dall’esterno e diminuisce la sua energia interna (∆Ua < 0; δLa < 0 ). Ne
consegue che il volume del gas e la sua temperaura diminuiscono.
Le trasformazioni del ciclo
Il ciclo rettangolare è una particolare trasformazione ciclica composta da due trasformazioni isobare e due trasformazioni isocore come mostrato in figura 60.1.
2
2. Durante la seconda trasformazione, il riscaldamento isocoro (b), il gas riceve
calore (δQb > 0) e ne consegue un aumento di energia interna e quindi di
temperatura.
P
3. Durante la terza trasformazione, l’espansione isobara (c), il gas aumenta la sua
energia interna (∆Uc > 0) con la conseguente produzione di lavoro δLc > 0.
1.8
1.6
4. Durante la quarta trasformazione, il raffreddamento isocoro (d), il gas cede
calore all’esterno (δQd < 0) diminuendo la sua energia interna e la sua temperatura ∆Ud < 0.
1.4
1.2
c
1
0.8
b
0.6
d
0.4
0.2
a
V
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 60.1: Il ciclo rettangolare: il gas subisce una compressione isobara (a), successivamente un riscaldamento
isocoro (b), poi una espansione isobara (c), infine un raffreddamento isocoro (d).
Per studiare tale ciclo è necessario analizzare i flussi di energia tra il gas e l’esterno; prendiamo come punto di partenza per l’analisi lo stato che ha maggiore volume
e minore pressione (il vertice n basso a destra). Questo è il momento nel quale nel
motore, all’interno del cilindro e a contatto con il pistone, si trova una miscela di aria
e benzina.
Autore: Andrea de Capoa
1. Durante la prima trasformazione, la compressione isobara (a), il gas riceve la111
22 Mar 2017
Entropia
Scheda 61
è irreversibile, infatti non vedrete mai accadere che il gas di una stanza ritorni
sopntaneamente tutto nell’altra.
L’entropia è una variabile di stato di un gas, la cui comprensione non è banale ma
è fondamentale per capire l’evoluzione di un sistema fisico complesso.
61.1
Prendiamo il secondo esempio e vediamo cosa succede all’entropia del sistema1 .
L’oggetto caldo cede una certa quantità di calore all’oggetto freddo; quindi
Definizione di entropia
L’Entropia di un gas, che indichiamo con la lettera S è definita dall’equazione
∆S =
δQf = −δQc
δQ
T
dove δQc è il calore ceduto dall’oggetto caldo ed ha valore negativo, e δQf è il calore assorbito dall’oggetto freddo ed ha valore positivo. Sappiamo inoltre che la
temperatura dell’oggetto caldo è maggiore di quella dell’oggetto freddo
La variazione di entropia in un gas è quindi data dal rapporto tra il calore scambiato
dal gas e la temperatura a cui viene scambiato.
Tc > Tf
61.2
Irreversibilità di una trasformazione
Ne consegue che
δQf
δQc
>−
Tf
Tc
Alcuni fenomeni fisici accadono sponteneamente in natura, altri devono essere indotti tramite un lavoro fatto dall’uomo.
Vediamo tre semplici esempi:
δQf
δQc
+
>0
Tf
Tc
Utilizzando adesso la definizione di entropia
• Pensiamo ad un pendolo ideale in assenza di attrito: ci aspettiamo che se il
pendoolo scende e poi risale, compiendo mezza oscillazione, di sicuro poi effettuerà il percorso esattamente opposto per ritornare esattamente al punto
di partenza. Il fenomeno è sicuramente reversibile, in quanto può accadere
spontaneamente in entrambe le direzioni.
∆Sf + ∆Sc = ∆Stot > 0
L’entropia totale di un sistema fisico in cui avvengono trasformazioni
irreversibili aumenta sempre
• Immaginiamo un oggetto caldo messo a contatto con un oggetto freddo; quello
caldo cede calore a quello freddo fino a quando non raggiungono la stessa
temperatura. Questo fenomeno è irreversibile; noi non vedremo mai accadere
spontaneamente il contrario. Se vogliamo che di due oggetti a contatto con la
stessa temperatura uno scaldi l’altro, dobbiamo assere noi che, con del lavoro,
lo facciamo accadere.
1 Anche
se nell’esempio non parlo di gas, l’entropia è comunque un concetto che può essere applicato. Concedetemi in questa scheda di non essete troppo rigoroso ed approfondito per preservare quella
semplicità di ragionamento necessaria per farvi comprendere un principio generale molto complesso.
• Immaginate due stanze di casa vostra separate da una porta, ed immaginate
che in una stanza ci sia aria e nell’altra il vuoto. Se aprirete la porta il gas si
muoverà da una stanza all’altra riempiendo entrambe le stanze. Il fenomeno
Autore: Andrea de Capoa
112
17 Feb 2016
Parte VIII
Onde
113
Mappe sui fenomeni ondulatori
Scheda 62
Caratteristiche
di un’onda
Onde
Lunghezza d’onda
λ[metri]
Velocità
V [m
s ]
Onde
meccaniche / E.M.
Arcobaleno
Onde
longitudinali / trasversali
Effetto Doppler
V = λ·ν
Periodo
T [secondi]
Frequenza
ν = T1
1
Hz = secondi
Ampiezza
A[metri]
Intensità
∆E
I =
S · ∆t
Assorbimento
Onde stazionarie
Dispersione
V = V (λ)
Diffusione
Ottica
geometrica
Rifrazione
sin i
Vi
=
sin r
Vr
Interferenza
Battimenti
complanarità
fenomeni
ondulatori
Diffrazione
Riflessione
i = i0
legge dei punti
coniugati
1
1
1
=
+
f
p
q
Autore: Andrea de Capoa
fattore di
ingrandimento
f
G =
f −p
onde superficiali
Ia · ra = Ib · rb
Attenuazione
onde in un volume
Ia · ra2 = Ib · rb2
complanarità
26 Gen 2017
114
Onde e fenomeni ondulatori
Scheda 63
Le onde sono delle perturbazioni che si propagano nello spazio. Luce e suono ne
sono due esempi.
63.1
In un’onda trasversale l’oscillazione è perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda; in un’onda longitudinale l’oscillazione è parallela alla
direzione di propagazione dell’onda.
Definizione
Immaginiamo di lanciare un sasso in uno stagno: vedremo delle onde di forma circolare, che, propagandosi, diventano sempre più grandi. Osservando il fenomeno,
notiamo inoltre che, al passaggio dell’onda, le molecole dell’acqua non si muovono in avanti, ma soltanto in basso e in alto. Le molecole dell’acqua compiono cioè
un’oscillazione in torno ad un punto di equilibrio fisso.
In un’onda le uniche cose che si propagano in avanti sono l’energia e la quantità
di moto.
63.1.1
Fig. 63.1: Guarda il video youtu.be/Rbuhdo0AZDU
Onde meccaniche ed elettromagnetiche
Un’onda in uno stagno è un’onda meccanica, in quanto l’onda è un’oscillazione delle
molecole dell’acqua sulla quale l’onda stessa si propaga. Allo stesso modo il suono
è un’onda meccanica, in quanto ad oscillare sono le molecole dell’aria. Per questo
motivo, senza il materiale nel quale l’onda si propaga, l’onda stessa non esiste.
Fig. 63.2: Guarda il video youtu.be/CswoSQC_NX0
Un’onda è detta meccanica, quando è data dall’oscillazione delle molecole del
materiale nel quale si propaga.
63.1.3
Le variabili con cui descrivo le onde sono: la lunghezza d’onda, la frequenza, l’ampiezza, il periodo, la velocità, l’intensità.
Un diverso tipo di onde sono le onde elettromagnetiche, come per esempio la
luce. Ad oscillare è un campo elettromagnetico e non il materiale entro cui si propaga
l’onda, per cui le onde elettromagnetiche possono propagarsi nel vuoto.
• λ: la lunghezza d’onda è la distanza tra un picco ed il picco successivo.
• ν: la frequenza è il numero di oscillazioni al secondo. L’unità di misura è
l’Hertz: Hz = 1s
In un’onda elettromagnetica ad oscillare è un campo elettromagnetico.
63.1.2
Variabili dell’onda
• A: per un’onda meccanica l’ampiezza è la massima distanza delle molecole
dal punto di equilibrio della loro oscillazione. In un’onda elettromagnetica è il
massimo valore del campo elettrico o magnetico.
Onde trasversali e longitudinali
Prendiamo ad esempio un’onda meccanica; le molecole del materiale, all’arrivo dell’onda, oscillano intorno ad un punto di equilibrio. La linea sulla quale oscillano può
essere parallela o perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda.
• T : il periodo è la durata di una oscillazione completa.
115
116
Scheda63. Onde e fenomeni ondulatori
• V : la velocità dell’onda è il numero di metri percorsi ogni secondo.
• I: l’intensità dell’onda è la quantità di energia che ogni secondo incide su un
∆E
metro quadrato di superficie I = S·∆t
λ
~
V
A
Fig. 63.3: Variabili di un’onda.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Intensità di un’onda
Scheda 64
Parlando di onde in tre dimensioni, l’intensità I di un’onda è definita come l’energia ∆E che incide su di una certa superficie S in un certo intervallo di tempo
∆t
∆E
S · ∆t
La sorgente di un’onda nell’intervallo di tempo ∆t emette una certa quantità di
energia ∆E. In un’onda in tre dimensioni questa energia è distribuita sulla superficie
sferica dell’onda. Man mano che l’onda si propaga in avanti, la superficie sperica in
questione aumenta; la stessa energia ∆S si distribuisce su superfici sempre maggiori
e di conseguenza l’intensità dell’onda diminuisce man mano che l’onda di propaga.
Consideriamo la sorgente di un’onda sferica, e chiediamoci come cambia l’intensità dell’onda per due osservatori posti a distanza r1 ed r2 dalla sorgente.
Dal momento che una sfera ha una superficie S = 4πr2 e che l’energia ∆E
dell’onda è costante durante la propagazione, avremo che
I=
I1 · S1 · ∆t = I2 · S2 · ∆t
da cui
I1 · r12 = I2 · r22
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
117
Riflessione e Rifrazione
Scheda 65
Ogni volta che un’onda passa da un materiale ad un’altro accadono due fenomeni distinti: l’onda si divide in due onde, la prima ritorna indietro, mentre la seconda
prosegue nel nuovo materiale. L’onda che ritorna indietro è l’onda riflessa e parliamo del fenomeno della riflessione; l’onda che prosegue nel nuovo materiale è detta
onda rifratta e parliamo del fenomeno della rifrazione. I fenomeni di riflessione e rifrazione avvengono nel momento in cui l’onda incide sulla superficie di separazione
tra i due materiali. L’angolo con cui l’onda incide su tale superficie è detto angolo
di incidenza ed è l’angolo compreso tra il raggio dell’onda e la perpendicolare alla
superficie di separazione. Molto importante:
65.1
Riflessione
Facciamo riferimento alla figura 65.1: il raggio riflesso forma con la perpendicolare
alla superficie di separazione, un angolo i0 uguale all’angolo di incidenza i
i0 = i
65.2
Il raggio dell’onda, il raggio riflesso, il raggio rifratto e l’asse perpendicolare
alla superficie di separazione sono tutte rette sullo stesso piano
Rifrazione
Quando un’onda passa da un mezzo nel quale viaggia alla velocità Vi in un mezzo
nel quale la velocità è Vr avremo che conseguentemente cambia la lunghezza d’onda
rimanendo invariata la frequenza. Una diretta conseguenza è che, incidendo sulla superficie di separazione tra due materiali, cambia la direzione di propagazione
dell’onda; con riferimento alla figura 65.1 avremo che
sin(i)
Vi
=
sin(r)
Vr
i
i0
65.2.1
(65.1)
Riflessione totale
Prendiamo un’onda che si propaga da un materiale in cui viaggia lenta in un materiale in cui viaggia più veloce; in questo caso, dall’equazione 65.1 avremo che l’angolo
di rifrazione sarà maggiore dell’angolo di incidenza.
Vi aria
Vr acqua
Chiamiamo angolo limite l’angolo di incidenza corrispondente ad un angolo di
rifrazione pari a 90◦ .
r
Se un’onda incide con un angolo maggiore dell’angolo limite, il raggio rifratto non
può esistere e di conseguenza esiste solo il raggio riflesso; questa situazione viene
definita riflessione totale, in quanto tutta l’energia dell’onda viene riflessa.
Fig. 65.1: Riflessione e rigrazione di un’onda nel momento di incidenza sulla superficie di separazione tra due
65.3
materiali che a titolo di esempio abbiamo indicato come aria e acqua nei quali l’onda viaggia con velocità Vi e Vr .
118
Videolezioni
119
Scheda65. Riflessione e Rifrazione
Fig. 65.2: Guarda il video youtu.be/ccmbt-if9kY
Fig. 65.3: Guarda il video youtu.be/k7ohfaMmTKg
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Fig. 65.4: Guarda il video youtu.be/nqCQBA2r4DQ
Interferenza
66.1
Scheda 66
punti, detti nodi, che rimangono fermi e non oscillano, ed altri, detti ventri, la cui
oscillazione è massima.
Il fenomeno dell’interferenza
Quando in uno stesso punto ci sono contemporaneamente due o più onde differenti,
l’onda complessiva presente in quel punto indurrà oscillazioni pari alla somma algebrica delle oscillazioni indotte dalle singole onde. Questo significa, come mostrato
in figura 66.1 che se le onde inducono oscillazioni nello stesso verso, l’oscillazione risultante sarà molto ampia e parleremo di interferenza costruttiva; nel caso contrario,
oscillazioni opposte tendono a cancellarsi e parleremo di interferenza distruttiva.
Fig. 66.2: Guarda il video youtu.be/ic73oZoqr70
Interferenza
Ampiezza (m)
2
Fig. 66.3: Guarda il video youtu.be/3BN5-JSsu_4
0
66.2.1
Se una corda bloccata agli estremi sta vibrando, la vibrazione sarà un’onda stazionaria con due nodi coincidenti con gli estremi della corda. Questo vuol dire
che la lunghezza della corda deve necessariamente essere un multiplo intero della
semilunghezza d’onda.
λ
l=n
2
−2
−10
−5
0
metri
5
Onde stazionarie su corde bloccate agli estremi
10
Fig. 66.1: Due onde presenti nello stesso luogo; l’onda complessiva che effettivamente vediamo, disegnata in nero,
rappresenta la somma algebrica delle due onde.
66.3
66.2
Il fenomeno dei battimenti
Il fenomeno dei battimenti è dato dall’interferenza
di onde con stessa ampiezza ma frequenza leggermente differente. Il risultato è un’onda di frequenza pari alla media delle frequenze delle due onde
Onde stazionarie
Un’onda stazionaria è data dall’interferenza di due onde identiche che viaggiano in
direzione opposta. Su una corda si vede bene che le onde stazionarie hanno alcuni
120
Fig. 66.5:
Guarda il video you-
121
Scheda66. Interferenza
iniziali, e di ampiezza di valore che oscilla nel tempo. L’oscillazione del valore dell’ampiezza è legata alla differenza tra le frequenze delle due onde
iniziali. Il fenomeno dei battimenti, per un’onda
sonora, si manifesta con un suono di volume che
varia nel tempo, come mostrato nel video 66.5.
λ = 2l
λ=l
λ=
2l
3
λ=
l
2
λ=
2l
5
Fig. 66.4: Onde stazionarie su di una corda fissata ai due estremi.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
122
Scheda66. Interferenza
Interferenza
Ampiezza (m)
2
0
−2
−40
−20
0
metri
20
40
Fig. 66.6: Rappresentazione grafica del fenomeno dei battimenti.
Diffrazione
67.1
Scheda 67
Il fenomeno
Quando un’onda attraversa una fenditura di dimensioni paragonabili alla sua
lunghezza d’onda, il fronte d’onda diventa circolare.
Immaginate un’onda con il fronte d’onda lineare, per esempio le onde del mare;
immaginate adesso che tali onde passino attraverso lo spazio tra due file di scogli;
dopo tale passaggio vedrete che il fronte d’onda dell’onda assumerà forma circolare.
Fig. 67.1: Immagine di un fenomeno di diffrazione fotografato nella cittadina marittima di Termoli.
Fig. 67.2: Guarda il video youtu.be/BH0NfVUTWG4
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
123
Risonanza
68.1
Scheda 68
Il fenomeno
Quando un’onda incide contro un oggetto, tale oggetto comincia ad oscillare.
L’oscillazione avrà la stessa frequenza dell’onda incidente, ma ampiezza molto maggiore. Il fenomeno avviene solo se la frequenza dell’onda incidente è
uguale ad una delle frequenze di risonanza dell’oggetto.
Fig. 68.1: Guarda il video youtu.be/fuLpeRPCTfc
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
124
Diffusione
69.1
Scheda 69
Il fenomeno
Quando un’onda interagisce con un oggetto, se l’oggetto non è riflettente o
trasparente, allora tale onda viene assorbita e riemessa in tutte le direzioni.
Se immaginiamo per esempio un raggio di luce laser che incide su di un muro, sappiamo tutti che chiunque nella stanza è in grado di vedere il puntino luminoso del
laser sul muro. Questo vuol dire che la luce laser che incide contro il muro, viene
riemessa dal muso in tutte le direzioni, diventando quindi visibile a chiunque nella
stanza.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
125
Dispersione
70.1
Scheda 70
Il fenomeno
La dispersione è quel fenomeno derivante dalla dipendenza, dalla frequenza
dell’onda, della velocità dell’onda in un certo materiale.
Noi sappiamo che un raggio luminoso, quando cambia materiale nel quale si
propaga, automaticamente cambia velocità e quindi devia dalla sua traiettoria; se la
velocità del raggio luminoso dipendesse soltanto dal materiale, ogni colore devierebbe nello stesso modo; in realtà l’indice di rifrazione di un materiale ha una leggera
dipendenza dalla frequenza della luce che lo attraversa; per questo motivo il fenomeno della rifrazione avviene in modo differente a seconda del colore della luce. Un
fascio di luce bianca, formato cioè dalla combinazione di tutti i colori, nel passaggio
da un materiale all’altro verrà separato in tutte le sue componenti di colore, in quanto ogni colore devierà dalla sua traiettoria in modo differente. Questa dipendenza
del fenomeno della rifrazione dalla frequenza della luce incidente è detto dispersione.
Fig. 70.1: Gif animata che spiega la dispersione della luce
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
126
Effetto Doppler
71.1
Scheda 71
Il fenomeno
λo =
L’effetto Doppler è un fenomeno per il quale data una sorgente che emette un’onda di una determinata frequenza, un osservatore percepisce una
frequenza differente a seconda del moto della sorgente e dell’osservatore
relativamente al mezzo in cui l’onda si propaga.
da cui
Vo
νo = ν 1 +
V
71.2.1
Se l’osservatore è in moto
Consideriamo il caso di un osservatore in moto verso una sorgente ferma rispetto al mezzo di
propagazione dell’onda: avremo che i vari fronti d’onda verranno raggiunti dall’osservatore ad
intervalli di tempo inferiori rispetto al caso di un
osservatore fermo. L’osservatore percepirà quindi
un’onda di maggiore frequenza e quindi minore
lunghezza d’onda.
λ
λ
=
V + Vo
V 1+
Fig. 71.1:
Guarda il video youtu.be/4mUjM1qMaa8
Vo
V
Se la sorgente è in moto
Consideriamo il caso di un osservatore fermo ed
una sorgente in moto rispetto al mezzo di propagazione: avremo che i vari fronti d’onda sono creati in punti differenti istante per istante. Tali fronti
d’onda saranno più ravvicinati tra loro davanti alla sorgente, ottenendo così per l’osservatore la percezione di un’onda di minore lunghezza d’onda e
Fig. 71.2: Guarda il video youquindi maggiore frequenza. Tali fronti d’onda satu.be/Gz8JxhosvW8
ranno più lontani tra loro dietro alla sorgente, ottenendo così per l’osservatore la percezione di un’onda di maggiore lunghezza d’onda
e quindi minore frequenza.
Detto T il periodo dell’onda, cioè l’intervallo temporale tra l’emissione di due
creste successive dell’onda, allora la lunghezza d’onda percepita da un osservatore
che vede la sorgente venirgli incontro sarà
Detto T il periodo dell’onda, cioè l’intervallo
temporale tra l’emissione di due creste successive dell’onda, il periodo To sarà
To =
Lo stesso ragionamento lo si può ripetere per un osservatore che si stia allontanando dalla sorgente, ottenendo
Vo
νo = ν 1 −
V
In questa scheda chiameremo λ, ν, T e V le variabili riferite all’onda emessa dalla
sorgente; chiameremo λo , νo e T0 le variabili dell’onda percepita dall’osservatore.
Chiameremo poi Vs e Vo rispettivamente la velocità della sorgente e dell’osservatore
rispetto al mezzo di propagazione dell’onda.
71.2
λ
1 + VVo
moltiplicando per V otterremo quindi1
λo = λs − Vs · T = λs − Vs ·
1 Attenti al fatto che V = λν è un’equazione riferita alle onde in cui i termini sono grandezze fisiche
dell’onda in questione. In questa formula quindi il termine di velocità sarà sempre la velocità dell’onda,
indipendentemente da chi misura tali grandezze.
Vs
λo = λ · 1 −
V
127
λ
V
128
Scheda71. Effetto Doppler
Vs · T
St=0
Vs · (2T )
λo
St=T
St=0
St=T
λo
λo
St=2T
Quando la sorgente si muove ad una velocità maggiore di quella dell’onda che produce, si genera un
fenomeno molto particolare detto onda d’urto. Tutta l’energia dell’onda è localizzata su di una superficie conica che vede come vertice la sorgente.
L’ampiezza dell’angolo del cono dipende dal rapporto tra la velocità della sorgente e la velocità dell’onda. Nel video qui a fianco è possibile visualizFig. 71.4: Guarda il video youzare tale fenomeno. L’aereo ha generato un’onda
tu.be/SKlLgbvF1Bw
sonora di pressione tale da condensare il vapore
acqueo presente nell’aria. Lo stesso fenomeno è il motivo dello schiocco di una frusta. I video qui di seguito mostrano molto bene come si forma un’onda d’urto, data
dalla somma di tutte le onde emesse dalla sorgente in momenti differenti.
Fig. 71.3: Nel caso la sorgente si muova più lentamente dell’onda, la lunghezza d’onda percepita dall’osservatore
in quiete è la distanza rappresentata in blu. Essa sarà uguale alla lunghezza d’onda dell’onda emessa dalla sorgente
meno la distanza percorsa dalla sorgente in un periodo dell’onda. La circonferenza rappresenta la posizione del fronte
d’onda dopo un periodo dell’onda. Nella seconda immagine è rappresentata la situazione dopo due periodi quando
sono stati già emessi due fronti d’onda.
Fig. 71.5: Guarda il video youtu.be/35goU1SlAXE
e quindi
νo =
ν
1 − VVs
Fig. 71.6: Guarda il video youtu.be/uHJ4_dW3890
Lo stesso ragionamento lo si può ripetere per l’osservatore dietro la sorgente ottenendo
ν
νo =
1 + VVs
Onde d’urto
Autore: Andrea de Capoa
21 Nov 2017
129
Scheda71. Effetto Doppler
C α = 90◦
Vo · ∆t
sin β =
Vs · ∆t
A
V0
Vs
B
Fig. 71.7: Nel caso la sorgente si muova più velocemente di quanto non viaggi l’onda, avremo la formazione di
onde d’urto. Lo schema geometrico di questo fenomeno fisico è rappresentato in figura. In rosso lo spostamento
dell’onda in un certo intervallo di tempo ∆t. In blu lo spostamento della sorgente nello stesso intervallo di tempo.
L’angolo in B dipende quindi dal rapporto tra le velocità dell’onda e della sorgente.
Le lenti
Scheda 72
Analizzeremo in questa scheda come una lente
sferica si comporta con i raggi luminosi che l’attraversano e quindi come crea le conseguenti immagini. Una lente è un oggetto di vetro che, avendo
un indice di rifrazione maggiore di quello dell’aria, devia i raggi luminosi. In questa scheda ci liFig. 72.1: Guarda il video youmitiamo per semplicità a trattare delle lenti sferitu.be/7BQnCyutdWs
che, cioè di lenti formate da due superfici sferiche
simmetriche rispetto ad un asse centrale detto asse
ottico della lente. Tratteremo inoltre solo lenti sottili, cioè lenti il cui spessore è tanto
piccolo da poter essere considerato trascurabile. Distinguiamo tra due tipi di lenti:
le lenti convergenti e le lenti divergenti rappresentate nelle figure 72.2 e 72.3.
Fig. 72.2: Lenti convergenti.
Una lente si dice convergente quando devia il percorso di un raggio luminoso
parallelo all’asse ottico della lente indirizzandolo verso un punto detto fuoco
della lente
• Il secondo è il raggio che passa per il centro della lente e prosegue non deviato.
Nel punto in cui i due raggi si incontrano, li si forma l’immagine. Qualora i raggi
luminosi non si incontrassero, allora si incontrano dalla parte opposta i prolungamenti dei raggi luminosi; li dove si incontrano si forma l’immagine.
Una lente si dice divergente quando devia il percorso di un raggio luminoso
parallelo all’asse ottico della lente indirizzandolo come se provenisse da un
punto detto fuoco della lente
72.2
Mettendo un oggetto davanti ad una lente, i raggi luminosi che partono da esso,
attraversano la lente e generano un’immagine dell’oggetto. Chiamiamo p la distanza
dell’oggetto dalla lente, q la distanza dell’immagine dalla lente ed f la distanza focale
della lente.
Per costruire l’immagine di un oggetto generata da una lente dobbiamo seguire
il percorso di due raggi luminosi che partono dall’oggetto.
La distanza del fuoco della lente dal centro della lente è detta distanza focale.
72.1
Immagine generata da una lente divergente
Immagine generata da una lente convergente
Mettendo un oggetto davanti ad una lente, i raggi luminosi che partono da esso,
attraversano la lente e generano un’immagine dell’oggetto. Chiamiamo p la distanza
dell’oggetto dalla lente, q la distanza dell’immagine dalla lente ed f la distanza focale
della lente.
Per costruire l’immagine di un oggetto generata da una lente dobbiamo seguire
il percorso di due raggi luminosi che partono dall’oggetto:
• Il primo è il raggio parallelo all’asse ottico, il quale attraverserà la lente e verrà
deviato come se provenisse dal fuoco.
• Il secondo è il raggio che passa per il centro della lente e prosegue non deviato.
Nel punto in cui il raggio che passa per il centro ed il prolungamento dell’altro
raggio si incontrano, li si forma l’immagine.
• Il primo è il raggio parallelo all’asse ottico, il quale passerà per il fuoco.
130
131
Scheda72. Le lenti
F
F
f
p
q
Fig. 72.4: Costruzione dell’immagine di una lente convergente. Con F sono indicati i fuochi della lente, con f la
Fig. 72.3: Lenti divergenti.
72.2.1
La legge dei punti coniugati
distanza focale, con p la distanza dell’oggetto dalla lente, con q la distanza dell’immagine dalla lente. In questo caso
l’immagine risulta invertita e reale.
Se adesso osservate l’immagine 72.7 vedrete che i segmenti lungghi h e h0 sono due
cateti di due triangoli rettangoli simili, per cui posso scrivere
La posizione dell’oggetto, del fuoco e dell’immagine sono legate tra loro dalla legge
dei punti coniugati
1 1
1
= +
f
p q
dove f è la distanza focale, p è la distanza dell’oggetto dal centro della lente, e q è la
distanza dell’immagine dal centro della lente.
72.2.2
Il fattore di ingrandimento
G=−
Utilizzando poi la legge dei punti couniugati avremo
G=−
h0
h
q
f
h0
=− =
h
p
f −p
Il fattore di ingrandimento dipende quindi dalla distanza focale della lente e dalla distanza dell’oggetto dalla lente. SE il fattore di ingrandimento viene negativo,
significa che l’immagine viene capovolta.
Abbiamo visto che l’immagine generata da una lente può essere sia più grande che
più piccola. Se indichiamo con h la dimensione dell’oggetto e con h0 la dimensione
dell’immagine, il fattore di ingrandimento è definito come
G=−
h0
q
=−
h
p
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
132
Scheda72. Le lenti
q
F
F
f
h
p
F
Fig. 72.5: Costruzione dell’immagine di una lente convergente. Con F sono indicati i fuochi della lente, con f la
distanza focale, con p la distanza dell’oggetto dalla lente, con q la distanza dell’immagine dalla lente. L’immagine
risulta dritta e virtuale.
F
h’
f
p
q
Fig. 72.7: Calcolo dell’ingrandimento ottenuto con l’utilizzo di una lente. I due triangoli evidenziati in rosso
sono triangoli simili, in quanto hanno l’angolo al vertice uguale e sono entrambi rettangoli.
F
F
q
p
f
Fig. 72.6: Costruzione dell’immagine di una lente divergente. Con F sono indicati i fuochi della lente, con f la
distanza focale, con p la distanza dell’oggetto dalla lente, con q la distanza dell’immagine dalla lente. L’immagine
risulta dritta e virtuale.
L’arcobaleno
73.1
Scheda 73
Osservare un arcobaleno
73.2
Tutti voi avete sicuramente visto un arcobaleno, ma probabilmente pochi di voi lo
hanno guardato. Provate per esempio a leggere le seguenti domande riguardanti
gliarcobaleni, e dite a quante di queste sapete rispondere.
Il principio di base
L’arcobaleno si forma quando la luce del sole attraversa una goccia d’acqua. Come mostrato in fig.73.1, ogni singolo raggio luminoso entra nella goccia d’acqua in
accordo con le regole della riflessione e rifrazione della luce; esso si propaga all’interno della stessa, per poi uscirne con un angolo differente rispetto alla direzione di
provenienza.
1. Il rosso si trova all’interno o all’esterno?
2. Quanto vale il suo raggio (espresso in gradi)?
i
3. Quanto vale la sua lunghezza?
φ
r
4. Quanto vale la sua ampiezza (espressa in gradi)?
r
r
δ
5. E’ più luminosa la parte interna o esterza dell’arco?
6. In quali momenti della giornata lo possiamo osservare?
r
7. In quale direzione lo possiamo osservare (Nord - Sud - Ovest - Est)?
8. Quanti archi ci sono?
i
(a) Dove si trova il secondo?
(b) Il rosso del secondo arco si trova all’interno o all’esterno?
(c) Quanto vale il raggio del secondo arco?
Fig. 73.1: Percorso di un raggio luminoso attraverso una goccia d’acqua.
(d) Quanto vale l’ampiezza del secondo arco?
Indicati con i l’ingolo di incidenza della luce sulla superficie della goccia d’acqua, con r il relativo angolo di rifrazione, e con δ l’ampiezza della deviazione del
raggio luminoso rispetto alla sua direzione di provenienza, tale angolo può essere
facilmente calcolato e si ottiene
9. La luce dell’arcobaleno è polarizzata?
10. Qual è la direzione della polarizzazione?
11. La luce è molto o poco polarizzata?
δ = 180 + 2i − 4r
133
134
Scheda73. L’arcobaleno
Tenendo conto che l’indice di rifrazione dell’acqua è circa n = 1, 336, se andiamo a calcolare il valore dell’angolo δ in funzione dell’angolo di incidenza i della luce,
scopriamo che l’angolo δ ha un valore minimo di circa δmin ∼ 138◦ , e di conseguenza
l’angolo φ ha un valore massimo di circa φmax ∼ 42◦ . Teniamo anche in considerazione che il problema che stiamo analizzando ha simmetria cilindrica; esso è infatti
identico per qualunque rotazione attorno all’asse, parallelo alla direzione della luce
incidente, e che passa attraverso il centro della goccia d’acqua.
Angolo di incidenza
i
Angolo di rifrazione
r
Deviazione del raggio
δ
0◦
10◦
20◦
30◦
40◦
50◦
60◦
70◦
80◦
90◦
0◦
7, 5◦
14, 8◦
22, 0◦
28, 7◦
35, 0◦
40, 4◦
44, 7◦
47, 4◦
48, 4◦
180, 0◦
170, 0◦
160, 8◦
152, 0◦
145, 2◦
140, 0◦
138, 4◦
141, 2◦
150, 4◦
166, 4◦
Fig. 73.2: La luce che attraversa una goccia d’acqua ritorna indietro all’interno di un cono la cui ampiezza cambia
a seconda del valore dell’indice di rifrazione dell’acqua differente per ogni colore.
Tabella 73.1: Andamento del valore dell’angolo di deviazione della luce, in funzione dell’angolo di incidenza,
quando un raggio luminoso attraversa una goccia d’acqua. E’ stato assunto n = 1, 336 quale indice di rifrazione
dell’acqua.
Se immaginiamo adesso un fascio di luce che investe tutta la goccia d’acqua, avremo tanti raggi luminosi paralleli che incidono sulla goccia d’acqua con tutti gli angoli
di incidenza possibili. Ne segue che la luce che esce dalla goccia d’acqua dopo una riflessione all’interno della stessa, esce tornando indietro verso la fonte di luce, formando
un cono dell’ampiezza di circa 42◦ rispetto all’asse della luce incidente.
Andiamo adesso a considerare il fatto che l’indice di rifrazione dell’acqua è differente a seconda che si tratti di luce rossa o luce blu. Di conseguenza il valore φmax è
differente per i due colori ed il cono della luce di ritorno ha un’ampiezza differente.
In particolare avremo che
nrosso = 1, 331 → φmax ∼ 42, 4◦
nblu = 1, 343 → φmax ∼ 40, 7◦
All’interno del cono della luce blu ci saranno quindi tutti i colori e di conseguenza vedremo luce bianca; al contrario all’esterno del cono di luce rossa non ci sarà
luce. Intuite facilmente che l’arcobaleno lo si vede nella zona compresa tra i due coni. Bisogna comunque sotolineare che, se andiamo a calcolare l’intensità luminosa
della luce di ogni singolo colre, troviamo che la maggiore intensità luminosa si trova
135
Scheda73. L’arcobaleno
proprio sul bordo di tale cono. E’ questo il motivo per cui i colori ci appaiono così
nettamente separati.
Fig. 73.4: Un osservatore, se ha alle spalle il sole all’orizzonte, e di fronte a se un temporale, vede un arcobaleno.
In particolare se guarda ad angoli grandi non vede la luce proveniente dalle goccioline d’acqua, se guarda ad angoli
piccoli vede luce bianca, se guarda ad angoli intorno ai 42◦ vele i colori dell’arcobaleno.
Fig. 73.3: Il cono di luce emesso da una singola giccia d’acqua, se proiettato su di uno schermo, darebbe
un’immagine di questo tipo.
Immaginiamo ora (vedi fig.73.4) che il sole si trovi alle nostre spalle esattamente
al livello dell’orizzonte, e che di fronte a noi ci sia un temporale, o più in generale
una zona d’aria con miliardi di goccioline d’acqua in sospensione. I raggi luminosi,
incontrando le goccioline d’acqua formerebbero i coni di luce precedentemente descritti nella nostra direzione. Se osserviamo in una direzione a più di 42◦ rispetto
all’asse dei raggi luminosi non arriva luce colorata ai nostri occhi. Se osserviamo in
una direzione a meno di 42◦ rispetto all’asse dei raggi luminosi arriva ai nostri occhi
luce bianca. Per direzioni intorno ai 42◦ osserviamo luce colorata.
Immaginiamo adesso che il sole si sollevi sull’orizzonte; la nostra ombra ci fornisce la misura dell’inclinazione dei raggi luminosi. L’asse che passa dai nostri occhi
ed arriva alla punta della nostra ombra rappresenta proprio l’asse centrale dell’arcobaleno. I 42◦ di ampiezza dell’arcobaleno di devono sempre calcolare rispetto a
questo asse. Ne segue di conseguenza che quando il sole sorge, dalla parte opposta
l’arcobaleno scende. Una volta che il sole supera l’inclinazione di 42◦ allora l’arcobaleno necessariamente scompare. L’esatto opposto capita quindi al tramonto: mentre
il sole scende verso l’orizzonte, l’acobaleno sorge dalla parte opposta.
73.3
L’arco secondario
Se osservate bene l’arcobaleno, vedrete anche un secondo arco, più grande del primo, anche se di intensità inferiore. Per spiegare l’esistenza di questo secondo arco
è sufficiente considerare non il raggio luminoso che all’interno della goccia d’acqua
subisce una riflessione, ma quello che ne subisce due. Ricalcolando quindi gli angoli
φmax per il colore rosso e per il colore blu, avremo che
nrosso = 1, 331 → φmax ∼ 50, 4◦
nblu = 1, 343 → φmax ∼ 53, 5◦
136
Scheda73. L’arcobaleno
Visto che la riflessione avviene ad un angolo che differisce di soli 3◦ dall’angolo
di Brewster, la luce riflessa deve necessariamente essere fortemente polarizzata, e
quindi lo sarà la luce dell’arcobaleno che noi vediamo. Per essere più precisi la luce
dell’arcobaleno è polarizzata al 90% circa. Questo significa che se olete vedere un
arcobaleno non dovete indossare occhiali da sole polarizzati!
73.5
La risposta alle domande
Siamo adesso in grado di rispondere alle prime otto domande presentate all’inizio
del capitolo.
Fig. 73.5: Rispetto alla figura 73.4 adesso il sole si è sollevato sull’orizzonte. I raggi luminosi arrivano inclinati,
1. Il rosso si trova all’interno o all’esterno? Visto che per osservare la luce rossa devo
sollevare lo squardo di un angolo maggiore rispetto a quello che devo fare per
la luce blu... il rosso si trova all’esterno.
e l’asse che passa dai nostri occhi fino alla punta della nostra ombra è proprio l’asse centrale dell’arcobaleno.
2. Quanto vale il suo raggio (espresso in gradi)? Il suo raggio nella parte centrale è di
circa 41◦
Notate che adesso è il rosso a generare un cono di luce più stretto e quindi i
colori dell’arcobaleno risultano essere in sequenza invertita rispetto a quella dell’arco
primario.
3. Quanto vale la sua lunghezza? La sua lunghezza dipende dalla porzione di arco
che si trova sopra il livello del terreno. Esso è massimo all’inizio del sorgere
del sole ed alla fine del suo tramonto.
73.4
Polarizzazione dell’arcobaleno
La luce bianca che entra nella gocciolina d’acqua subisce una riflessione all’interno
di essa. Di tutta la luce che esce dalla gocciolina, quella che va poi a formare l’arcobaleno è quella che esce con un angolo φmax che abbiamo visto essere (vedi tab.73.1) di
circa 40◦ . L’angolo di Brewster per un raggio luminoso che passa dall’acqua all’aria
si calcola nel seguente modo:
tan(θbr ) =
1
naria
=
nacqua
1, 33
θbr = 37◦
4. Quanto vale la sua ampiezza (espressa in gradi)? L’ampiezza dipende dalla differenza degli angoli che formano il rosso ed il blu: circa 1, 7◦ . Bisogna però
precisare che il sole non è una sorgente luminosa puntiforme. IL fatto che il
sole abbia una dimensione nel cielo di circa 0, 5◦ fa si che l’arcobaleno risulti
un po’ più ampio esattamente di una quantità pari alla dimensione angolare
del sole nel cielo.
5. E’ più luminosa la parte interna o esterza dell’arco? La luce rifratta dalle goccioline d’acqua è tutta contenuta all’interno del cono delimitato dall’arcobaleno...
quindi la parte interna di esso è molto più luminosa.
6. In quali momenti della giornata lo possiamo osservare? L’arcobaleno può essere
osservato solo se il sole si trova a meno di 42◦ sopra l’orizzonte... quindi alla
mattina ed alla sera.
137
Scheda73. L’arcobaleno
7. In quale direzione lo possiamo osservare (Nord - Sud - Ovest - Est)? L’arcobaleno
può essere osservato solo se si guarda in direzione opposta a quella del sole...
verso est la sera e verso ovest la mattina
8. Quanti archi ci sono? Ci sono due archi: il primario ed il secondario.
(a) Dove si trova il secondo? Il secondo si trova all’esterno del primo.
(b) Il rosso del secondo arco si trova all’interno o all’esterno? I colori dell’arco
secondario sono invertiti rispetto a quelli dell’arco primario.
(c) Quanto vale il raggio del secondo arco? Il raggio medio dell’arco secondario
è circa 52◦
73.6.2
Diffrazione su gocce d’acqua
A volte capita di osservare un arcobaleno quando siamo su di un aereoplano e guardiamo l’ombra dell’aereoplano. Questo fenomeno è dovuto a goccioline d’acqua
estremamente fini ed al fenomeno della diffrazione della luce. In questo caso il fenomeno non è legato alla legge di Snell come nel caso comunemente conosciuto. La
spiegazione di questo fenomeno è però decisamente troppo complessa per gli scopi
di questo libro. Il raggio di tale arcobaleno dipende dalla dimensione delle goccioline
d’acqua; esso è tanto maggiore quanto più piccole sono tali goccioline.
(d) Quanto vale l’ampiezza del secondo arco? L’ampiezza dell’arco secondario è
di circa 3◦ a cui bisogna però aggiungere circa 0, 5◦ a causa delle dimensioni non puntiformi del sole.
9. La luce dell’arcobaleno è polarizzata? Si, la luce dell’arcobaleno è polarizzata.
10. Qual è la direzione della polarizzazione? La luce dell’arcobaleno è polarizzata su
di un piano tangente all’arcobaleno stesso.
11. La luce è molto o poco polarizzata? La luce dell’arcobaleno è fortemente polarizzata.
73.6
Altri arcobaleni
73.6.1
Rifrazione in cristalli di ghiaccio
Il fenomeno dell’arcobaleno è anche osservabile a causa della rifrazione della luce
nei piccoli cristalli di ghiaccio presenti nell’alta atmosfera. Visto l’indice di rifrazione
del ghiaccio, l’ampiezza di tale arcobaleno è di circa 22◦ . A differenza di quello generato dalle goccioline d’acqua, per vedere questo arcobaleno bisogna guardare nella
direzione della fonte luminosa. Non si vede facilmente perchè guardando nella direzione del sole l’intensità luminosa è tale da bruciarci la retina e renderci ciechi. Una
soluzione può essere quella di guardare nella direzione della luna, la cui luminosità
non è altrettanto rischiosa per la salute dei nostri occhi.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Fibre ottiche
Scheda 74
L’angolo γm definisce quindi il massimo valore che può assumere l’angolo di ingresso della luce nella fibra ottica, definendo di conseguenza l’ampiezza del cono
di accettazione della luce. L’angolo γm è detto angolo di accettazione e la grandezza
NA = sin γm è detta apertura numerica della fibra.
Una fibra ottica è un dispositivo in grado di trasmettere un segnale luminoso al
suo interno, lungo il suo asse. Rispetto ai segnali elettrici che viaggiano lungo un filo
di rame, le fibre ottiche permettono di trasmettere una più elevata quantità di dati
con una minore perdita di potenza. Una fibra ottica è costituita da un nucleo centrale
con indice di rifrazione n1 ed un mantello esterno con indice di rifrazione n2 < n1 .
Il tutto è poi avvolto in un rivestimento protettivo.
74.1
74.1.2
Modi di propagazione
Di tutti gli angoli di ingresso accettabili, in realtà solo alcuni valori discreti sono
effettivamente possibili. La condizione di propagazione implica infatti che la luce
non esca dalla fibra ottica e che quindi il campo elettrico agli estremi della fibra sia
identicamente nullo. Questo implica di conseguenza che la propagazione del segnale
avvenga solo se perpendicolarmente alla direzione di propagazione si formino onde
stazionare identificate da un numero intero. Indicando con M ∈ N il numero dei
modi di propagazione presenti nella fibra, si ricava che
Propagazione della luce all’interno della fibra
Il principio di funzionamento di base che permette alla fibra di contenere il raggio
luminoso al suo interno è quello della riflessione totale. Ogni volta che il raggio luminoso incide sulla superficie di separazione tra nucleo e mantello, subisce una riflessione totale e rimane quindi all’interno del nucleo. Qualora questo non avvenisse, il
raggio liuminoso si dissiperebbe all’interno del mantello.
π 2 d2 NA2
2λ2
Nel caso di una fibra ottica monomodale avremo M = 1; in caso contrario avremo
una fibra multimodale.
M=
74.1.1
Angolo di accettazione
L’angolo di incidenza della luce sul mantello, dipenderà dall’angolo di ingresso della
luce all’interno della fibra ottica. Sappiamo dalla teoria sulla riflessione totale che per
l’angolo limite vale la relazione
n2
sin α =
(74.1)
n1
Al tempo stesso , per il raggio di luce nel punto di ingresso all’interno della fibra
ottica vale la relazione
π
sin γm = n1 sin( − α)
2
nella quale si è posto l’indice di rifrazione dell’aria naria ∼ 1. Utilizzando la 74.1
otteniamo
π
sin γm = n1 sin( − α)
2
sin γm = n1 cos(α)
p
sin γm = n1 1 − sin2 α
s
q
n2
sin γm = n1 1 − 22 = n21 − n22
n1
74.1.3
Dispersione modale
A seconda del percorso fatto dalla luce all’interno della fibra ottica, la componente
della velocità lungo l’asse di propagazione è differente tra i vari raggi luminosi. Due
raggi luminosi che entrano contemporaneamente nella fibra ne possono uscire quindi sfasati di un certo intervallo di tempo. Il massimo sfasamento che si può avere
avviene quando confrontiamo il raggio luminoso che entra nella fibra con un angolo
γ = 0, la cui velocità lungo l’asse della fibra è massima, con il raggio luminoso la cui
velocità lungo l’asse della fibra è minima in quanto entra nella fibra con un angolo
γ = γm pari all’angolo di accettazione della fibra. Le velocità delle due onde lungo
l’asse della fibra saranno

c n2
cn2

Vx,min = V0 sin α =
·
= 2
n1 n1
n1
c

Vx,max = V0 =
n1
138
139
Scheda74. Fibre ottiche
Conoscendo la lunghezza L della fibra, possiamo calcolare gli intervalli di tempo
necessari a percorrerla

L
Ln1

Tmin =
=

Vx,max
c
2
L
Ln

1

=
Tmax =
Vx,min
n2 c
Infine possiamo ricavare il ritardo dell’onda più lenta rispetto a quella con velocità massima
∆T = Tmax − Tmin =
La presenza di impurità di qualunque tipo, purchè di dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda del segnale luminoso, crea fenomeni di diffusione. A partire
dall’impurità la luce viene diffusa in tutte le direzioni, la maggior parte delle quali
non è compatibile con il corretto propagarsi del segnale. Alcuni raggi si perdono nel
mantello; altri tornano indietro a formare un eco. La potenza dissipata per questo
fenomeno è inversamente proporzionale alla quarta potenza della lunghezza d’onda
Ln21
Ln1
Ln1
−
=
(n1 − n2 )
n2 c
c
n2 c
Si può osservare che tale ritardo dipende dalla differenza tra gli indici di rifrazione
del nucleo e del mantello. Ecco perchè nella realizzazione di una fibra ottica vengono
scelti materiali i cui indici di rifrazione siano molto simili tra loro.
74.1.4
Attenuazione per diffusione
P =
k
λ4
Attenuazione per le curvature della fibra
Curvando la fibra ottica, alcuni raggi luminosi non incidono più sul mantello con un
angolo superiore all’angolo limite, e quindi si perdono nel mantello.
Dispersione cromatica
Perdite dovute all’interconnessione di fibre
Sappiamo che l’indice di rifrazione di un materiale dipende dalla lunghezza d’onda
della luce che lo attraversa secondo la legge empirica
n=A+
B
λ2
con A e B parametri. Se la luce utilizzata nella fibra è monocromatica, questo fenomeno non è rilevante; se invece il segnale è policromatico, formato da un insieme di
lunghezze d’onda all’interno di un intervallo ∆λ, avremo che il ritardo temporale tra
il raggio più veloce ed il più lento sarà proporzionale all’intervallo ∆λ. Tale ritardo
è detto ritardo di gruppo.
74.1.5
Fenomeni di attenuazione
Il segnale luminoso, durante il suo propagarsi lungo la fibra, può perdere potenza a
causa di vari fenomeni. Se la perdita di potenza è troppo alta, il segnale non arriva
al fondo della fibra.
Quando il segnale luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n0 ad uno
con indice di rifrazione n1 parte della luce viene riflessa. La riflettanza, definita come
il rapporto tra intensità luminosa riflessa e incidente, vale
I1
=
r=
I0
n1 − n0
n1 + n0
2
74.2
Fibre monomodali e multimodali
74.2.1
Fibre monomodali
Una fibra monomodale è tanto stretta che solo il primo modo di propagazione è
possibile, quello parallelo all’asse della fibra. Esse presentano una bassissima attenuazione del segnaleed una lunga durata nel tempo.
140
74.2.2
Scheda74. Fibre ottiche
Fibre multimodali
In una fibra multimodale, differenti raggi luminosi seguono differenti percorsi che
sono caratterizzati da differenti lunghezze. Avendo l’accorgimento di costruire la fibra con indice di rifrazione del nucleo decrescente dall’asse centrale verso l’esterno,
avremo che i raggi luminosi che percorrono più strada sono anche quelli che si muovono più velocemente, diminuendo in modo sensibile il fenomeno della dispersione
modale.
Autore: Andrea de Capoa
9 Giu 2016
Parte IX
Elettromagnetismo
141
142
Scheda74. Fibre ottiche
Magnetismo: concetti di base
Una carica Q che si
muove dentro un
campo magnetico
subisce una forza
~ ×B
~
F~ = QV
Una carica elettrica q
che si muove emette
un campo magnetico
Circuitazione del
campo magnetico
I
~ = µ0 i+??
~ · dl
B
~
~ = µ0 q V × ~ur
B
4π
r2
Flusso del campo
magnetico
I
~ =0
~ · dS
B
Γ
Ω
e
s
iu
Moto di una
carica in un
campo magnetico
Forza subita
da un filo
Campo magnetico
generato un filo:
~ ×B
~
F~ = i∆l
~
~ = µ0 i ∆l × ~ur
B
4π
r2
Momento torcente
su di una spira
Forza tra due fili
percorsi da corrente
~
m
~ = iS
Magnetizzazione della materia: magneti
artificiali, ciclo di
isteresi, ferro-paradia-magnetismo
F =
µ0 i1 i2
L
2π d
Magneti naturali
R
~
dB
Campo magnetico di un filo
rettilineo infinito
B=
µ0 i
2π R
Campo magnetico al
centro di una spira
B=
µ0 I
2 R
Campo magnetico
di un solenoide
B = µ0 ni
ee
lin
p
m
ca
i
d
h
oc
Mappe sull’elettromagnetismo
Carica elettrica
Scheda 75
Campo Elettrico
~ = K Q · ~ur
E
r2
Legge di conservazione
della carica elettrica
Campo Magnetico
~
~ = µ Q V × ~ur
B
4π
r2
75
Onde elettromagnetiche
circuitazione del
campo elettrico
I
~
~ · d~l = − dΦ(B)S
E
dt
Γ
Forza elettrostatica
~
F~ = q · E
Forza magnetica
~ ×B
~
F~ = q · V
Equazioni
di Maxwell
circuitazione del
campo magnetico
I
~
~ · d~l = µi − µ dΦ(E)S
B
dt
Γ
flusso
I del campo elettrico
~ · dS
~ = qint
E
S
75
143
flusso Idel campo magnetico
~ · dS
~ = 0
B
S
144
Scheda75. Mappe sull’elettromagnetismo
Corrente elettrica
∆Q
i =
∆t
Seconda
legge di Ohm
L
R = ρ·
S
Prima legge di Ohm
∆V = R · i
Circuiti elettrici Ohmici
Resistenze in parallelo
1
1
1
=
+
Req
R1
R2
Somma di resistenze
Primo principio di Kirchoff
nodi
n
X
iα = 0
Resistenze in serie
Req = R1 + R2
75
α=1
Condensatori
piani
S
C = d
Condensatori
Q
C =
V
Condensatori
in parallelo
Ceq = C1 + C2
Somma di
condensatori
Condensatori in serie
1
1
1
=
+
Ceq
C1
C2
Autore: Andrea de Capoa
26 Gen 2017
Circuiti RC
Secondo principio di Kirchoff
maglie
n
X
∆Vα = 0
α=1
75
Forza di Coulomb
76.1
Scheda 76
La carica elettrica
Una delle caratteristiche fondamentali della materia è la carica elettrica. Essa può
essere positiva o negativa, ma soprattutto vale la legge di conservazione della carica
elettrica.
Q+
In un sistema isolato la carica elettrica complessiva è costante
Q−
L’unità di misura della carica elettrica è il Coulomb.
76.2
La forza di Coulomb
Fig. 76.1: Campo elettrico di una singola carica positiva (a sinistra) o negativa (a destra).
Tra due cariche elettriche Q1 e Q2 , poste ad una certa distanza r, si genera una forza,
attrattiva tra cariche di segno opposto e repulsiva tra cariche di segno uguale. Tale
forza è detta anche Forza di Coulomb.
F =K
la costante K = 9 · 109
76.3
N m2
C2
76.4
Q1 · Q2
r2
Linee di campo
Le linee di campo, utili per raffigurare un campo, sono linee sempre tangenti al
vettore campo.
è detta costante di Coulomb.
Il campo elettrico
Come tutte le interazioni a distanza, anche la forza di Coulomb avviene tramite
l’emissione di un campo.
~ in ogni punto dello spazio.
Una carica elettrica Q emette un campo elettrico E
Fig. 76.2: Linee di campo per due cariche uguali e di stesso segno e per due cariche opposte e di stesso segno.
~ = K Q ~ur
E
r2
dove r è la distanza del punto in questione dalla carica. Il campo elettrico è
una grandezza vettoriale, il cui verso è sempre dalla parte opposta della carica per
cariche positive, e dalla stessa parte rispetto alle cariche negative.
Vale il principio di sovrapposizione, per cui se ci sono più cariche, il campo
elettrico in un punto è la somma vettoriale dei campi elettrici delle singole cariche.
76.4.1
Linee di campo di un dipolo elettrico
Un dipolo elettrico è un sistema costituito da due cariche elettriche di segno opposto
poste ad una certa distanza. Nel seguente video sono mostrate le linee di campo di
un dipolo elettrico
145
146
Scheda76. Forza di Coulomb
Fig. 76.3: Guarda il video youtu.be/bG9XSY8i_q8
76.5
La forza Elettrostatica
La forza di Coulomb si genera tra due cariche elettrice; la formula, così com’è scritta,
non spiega però il reale meccanismo con il quale tale forza si genera. Abbiamo detto
che ogni carica elettrica emette un campo elettrico; la forza nasce dall’interazione
delle cariche elettriche con il campo elettrico generato da altre cariche. Per cui, dato
~ ed una carica q, la forza che la carica q subisce vale:
un campo elettrico E
~
F~ = q · E
La forza non nasce dall’interazione diretta tra le due cariche, ma tra l’inderazione
diretta tra una carica ed il campo generato da quell’altra.
F~
~
E
q−
~
E
q+
F~
Fig. 76.4: Forza subita da una carica elettrica a causa del campo elettrico in cui è immersa.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Campo magnetico
77.1
Scheda 77
Il campo magnetico
77.2
Una carica che si muove emette un campo magnetico in ogni punto dello spazio
intorno alla carica.
Campi magnetici e correnti elettriche
Una corrente elettrica è un movimento di cariche elettriche. Ogni volta che attacchiamo una batteria ad un filo generiamo una corrente elettrica e quindi un campo
magnetico. Nei video 77.1 e 77.2 si vede bene come un filo percorso da corrente
generi un campo magnetico in quanto fa muovere l’ago di una bussola.
~
~ = µ0 q V × ~ur
B
4π
r2
~ è il campo magnetico che la particella di carica q che viaggia alla velocità
dove B
~ crea nel punto indicato dal versore ~ur ed alla distanza r dalla carica. Il campo B
~è
V
un vettore risultato di un prodotto vettoriale che coinvolge la velocità della carica...
quindi il campo magnetico prodotto da una carica in moto è sempre perpendicolare
alla velocità della carica.
Fig. 77.1: Guarda il video youtu.be/T2k3OMTYHBc
Questo è il concetto di base sulla causa che genera un campo magnetico. Importante notare come l’andamento del campo in funzione della distanza dalla carica che
lo genera sia ∝ r12 esattamente come avveniva per il campo elettrico.
Visto che una corrente elettrica è in generale definita come la quantità di carica
che attraversa una certa superficie in un certo intervallo di tempo i = ∆q
∆t , se immaginiamo di avere un pezzetto di filo di lunghezza ∆l, questa stessa legge può essere
espressa come il campo magnetico generato da una corrente elettrica che percorre un
piccolissimo tratto di lunghezza ∆l
Fig. 77.2: Guarda il video youtu.be/IW9HUXIjbyE
Ammettendo che tutte le cariche siano uguali e che viaggino con la stessa velocità, il campo magnetico di tutte le cariche, complessivamente indicate con ∆q, che
contribuiscono a generare la corrente è
77.3
~ ∆t × ~ur
V
∆q
µ
~ = 0
B
4π ∆t
r2
Campo magnetico di un filo percorso da corrente
Un filo percorso da corrente contiene ovviamente delle cariche elettriche che si muovono, e quindi emette un campo magnetico. Tale campo magnetico deve essere in
ogni punto perpendicolare al filo, e le linee di campo saranno sempre dei cerchi concentrici con il filo. Il verso del campo magnetico dovrà essere in accordo con la regola
della mano destra.
da cui
~
~ = µ0 i ∆l × ~ur
B
4π
r2
147
148
Scheda77. Campo magnetico
L’angolo ϕ = π2 − α . Definiamo dϕ l’angolo sotto il quale viene visto il segmento
dl dal punto P . Avremo che
dl · sin α
= dϕ
r
2
sin α = cos ϕ
z 1
r=
R
cosϕ
Il contributo al campo magnetico dovuto al singolo segmento dl sarà quindi
0
1
−1
0
0
1
x
dB =
−1
y
Integrando
µ0 i
B=
4πR
Fig. 77.3: Linee di campo magnetico di un filo. A seconda che la corrente elettrica scorra nel filo verso l’alto od il
basso, le linee di campo saranno orientate in senso orario o antiorario.
77.3.1
µ0 i
cos ϕdϕ
4πR
Z
π
2
cos φdϕ =
−π
2
π
µ0 i
|sin ϕ|−2 π
2
4πR
da cui
B=
La legge di Biot-Savart
µ0 i
2π R
... a partire dalla corrente
... a partire dal teorema di Ampére
Calcoliamoci il valore del campo magnetico emesso da un filo, percorso da una corrente i, rettilineo e di lunghezza infinita, in un punto P a distanza R dal filo. Per farlo
considereremo il filo come una infinita successione di segmenti di filo di lunghezza
infinitesima d~l. Per i conti seguenti faremo riferimento alla figura 77.4.
Il campo magnetico di ognuno di tali segmenti è
~ =
dB
µ0 d~l × ~ur
i
4π
r2
Chiamando α l’angolo tra il segmanto di filo d~l ed il vettore ~r, il valore del campo
magnetico sarà
dB =
µ0 i d~l sin α
4π r2
Osserviamo innanzi tutto che per motivi di simmetria il campo deve essere necessariamente solo dipendente da R. Se ci calcoliamo la circuitazione del campo magnetico lungo un percorso intorno al filo, circolare di raggio R e che chiameremo γcr ,
otteniamo (in assenza di campi elettrici il cui flusso varia nel tempo)
I
~ · d~l = µ0 i
B
γcr
da cui, essendo B costante in quanto sempre calcolato a distanza R dal filo, otteniamo
B · 2πR = µ0 i
ed infine
B=
µ0 i
2πR
149
77.3.2
Scheda77. Campo magnetico
Campo magnetico nel centro di una spira circolare
... a partire dalla corrente
Calcoliamoci il valore del campo magnetico emesso da un filo, percorso da una corrente i, circolare di raggio R nel suo centro. Per farlo considereremo il filo come una
infinita successione di segmenti di filo di lunghezza infinitesima d~l.
Il contributo del singolo segmento è
~ =
dB
µ0 d~l × ~ur
i
4π
r2
Considerato che r = R = cost è costante, che ~ur ⊥ d~l, e che dϕ =
centro della circonferenza sotteso dal segmento dl, avremo che
µ0 i
B=
4πR
Z
dl
R
i
è l’angolo al
2π
dϕ
0
P
µ0 i
B=
2R
R
φ
dφ
r
dl
Fig. 77.4: Schema di ragionamento per ricavare la legge di Biot-Savart.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Forza magnetica
78.1
Scheda 78
La forza magnetica
~ dentro
Una carica Q che si muove con velocità V
~ subisce una forza
un campo magnetico B
~ ×B
~
F~ = QV
Dalla formula risulta evidente che la forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità della carica, e di conseguenza è sempre una forza di tipo
Fig. 78.1: Guarda il video youcentripeto e non fa mai lavoro. Nel video 78.1 si
tu.be/7YHwMWcxeX8
vede bene come avvicinando una calamita ad un flusso di elettroni in movimento,
essi subiscono una forza.
78.1.1
~
V
Moto in un campo magnetico uniforme
F~m
Come si muove una carica elettrica che entra in un campo magnetico uniforme?
Visto che la forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità della particella,
allora il movimento deve essere un moto circolare uniforme
Fig. 78.2: Moto di una carica elettrica a causa del campo magnetico in cui è immersa.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
150
Magnetismo nella materia
79.1
Calamite
79.1.1
Calamite naturali
Scheda 79
Una calamita naturale è un oggetto che genera naturalmente un campo magnetico.
Un campo magnetico è generato dal movimento di una carica; in un magnete le cariche che si muovono sono gli elettroni che girano intorno agli atomi. Ogni elettrone,
girando intorno al suo atomo, genera un piccolo campo magnetco. In un oggetto ci
sono miliardi di atomi; se gli elettroni girano tutti orientati nello stesso modo, allora
i campi magnetici che generano tendono a sommarsi tra loro, generando un forte
campo magnetico, quello che la calamita mostra. Se gli elettroni ruotano in modo disordinato, allora il campo magnetico complessivo sarà molto piccolo o nullo, e non
avremo nessuna calamita.
79.1.2
Calamite artificiali
Per creare una calamita partendo da un comune pezzo di ferro è necessario orientare il movimento degli elettroni all’interno dell’oggetto in modo che tutti i piccoli
campi magnetici che essi producono si sommino tra loro. L’unico modo è quello di
immergere l’oggetto in un campo magnetico esterno; ogni singolo elettrone, muovendosi, subisce quindi una forza magnetica. tale forza fa ruotare i singoli elettroni
in modo che si orientino tutti nello stesso modo, ottenendo così una calamita. Anche togliendo il campo magnetico esterno, l’orientamento degli elettroni rimane e
l’oggetto mantiene le sue proprietà magnetiche.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
151
Modelli atomici
Scheda 80
Tutta la materia che ci cinrconda è formata da 118 tipi diversi di atomi. Per molto
tempo si è pensato che questi fossero gli elementi fondamentali costituenti la materia... adesso sappiamo che hanno invece una struttura interna. In questa scheda
analizziamo nel dettagli tale struttura.
80.1
Forza elettromagnetica
Tra le particelle con carica elettrica agisce la forza elettromagnetica: cariche di segno
uguale si respingono e cariche di segno opposto si attraggono. Il raggio di azione di
tale forza è infinito. L’intensità di tale forza dipende dal valore delle cariche elettriche
e dal quadrato della loro distanza
I costituenti dell’atomo
F =K
Q1 · Q2
r2
dove K è la costante di Boltzmann, Q1 e Q2 le cariche delle due particelle, r è la
distanza tra le due particelle.
Forza forte
La forza forte agisce tra protoni e neutroni (ma anche tra protoni e protoni, e tra
neutroni e neutroni) ed è sempre attrattiva. É estremamente più intensa della forza
elettromagnetica, ed ha un raggio di azione estremamente limitato.
Fig. 80.1: Guarda il video youtu.be/ICYhoVfB29c
80.1.1
Particelle
Forza debole
Tale forza agisce su protoni e neutroni nel nucleo causando la radioattività di alcuni
elementi.
Ogni atomo è costituito da tre tipi di particelle: protoni, neutroni ed elettroni. I protoni
hanno carica elettrica positiva Qp = +1, 6 · 10−19 C e massa Mp = 1, 673 · 10−27 kg, i
neutroni hanno carica elettrica nulla e massa Mp = 1, 675·10−27 kg, infine gli elettroni
hanno carica elettrica negativa Qe = −1, 6 · 10−19 C e massa Me = 9, 1 · 10−31 kg. Più
che imparare a memoria questi numeri è utile rendersi conto di quanto segue.
Forza gravitazionale
La carica dell’elettrone è uguale alla carica del protone ma di segno opposto. La
massa del protone è simile alla massa del neutrone ed è 1836 volte maggiore della
massa dell’elettrone.
La forza di gravità agisce tra due masse, e quindi anche tra le particelle dell’atomo.
Le masse delle particelle sono però talmente piccole che tale forza è del tutto trascurabile; tenerne conto per comprendere le caratteristiche di un atomo sarebbe un
errore.
80.1.2
80.1.3
Forze tra le particelle
Un principio fondamentale
Ogni particella del nostro universo ha una doppia natura onda-corpuscolo. Viene
chiamato dualismo onda-corpuscolo è ci dice che, nel nostro caso gli elettroni, hanno
Tra le particelle che costituiscono l’atomo agiscono tutte le quattro forze fondamentali presenti in natura:
152
153
Scheda80. Modelli atomici
sia il comportamento tipico di una particella, sia il comportamento tipico di un’onda. Vuol dire che tutti i fenomeni fisici che riguardano le particelle (come per esempio gli urti) e tutti quelli che riguardano le onde (come per esempio l’interferenza)
riguardano tutte le particelle dell’atomo. Questo avrà una conseguenza diretta sulla
struttura elettronica degli atomi.
80.2
Struttura dell’atomo
Tanto più sono distanti dal nucleo tanto più la loro energia è grande. Assumiamo
che la loro traiettoria sia circolare; visto che l’elettrone ha un comportamento ondulatorio, tale onda deve richiudersi perfettamente su se stessa, quindi la circonferenza
dell’orbita deve essere un multiplo intero della lunghezza d’onda. Questo significa
che solo le orbite della giusta lunghezza sono ammissibili. Di qui il concetto di livello energetico, per cui tutti gli elettroni sono disposti su ben precisi livelli energetici.
Nel passare da un livello all’altro ogni elettrone cede o riceve energia.
Ogni livello energetico possiede un ben determinato numero di orbitali (ce ne sono di quattro tipi: s, p, d, f) ed ogni orbitale può contenere al massimo due elettroni.
80.3
Fig. 80.2: Guarda il video youtu.be/r3SocKj-SXg
80.2.1
Il nucleo
Protoni e neutroni sono raggruppati insieme a formare il nucleo dell’atomo. La sua
dimensione è dell’ordine di grandezza di 10−14 metri e contiene quasi tutta la massa
dell’atomo. I protoni si respingono tra loro, ma la forza forte, molto più intensa,
agendo tra tutte le particelle del nucleo, le tiene insieme. La forza forte, avendo un
raggio di azione ristretto, non riesce però a tenere insieme le particelle del nucleo
se ci sono troppi protoni a respingersi (la forza di repulsione tra essi, sebbene più
debole, agisce tra tutti i protoni del nucleo). I neutroni hanno in questo caso un
ruolo importante; pur non avendo niente a che fare con la forza elettromagnetica,
tenendo distanziati i protoni indeboliscono la forza di repulsione tra essi.
80.2.2
Struttura elettronica
Le leggi della fisica che descrivono il movimento degli elettroni intorno al nucleo
sono di gran lunga troppo complicate per essere descritte in questa scheda; ci limiteremo a coglerne solo gli aspetti essenziali. Gli elettroni ruotano intorno al nucleo.
la tavola periodica degli elementi
La tavola periodica raggruppa gli elementi chimici a seconda delle loro proprietà
chimiche. Tali proprietà sono però conseguenza della struttura elettronica dell’atomo, quindi la tavola periodica di fatto riflette quanto scritto nel paragrafo 80.2.2. In
particolare, le proprietà chimiche dipendono da quanti elettroni ci sono sull’ultimo
livello energetico (quello più esterno), quindi la tavola periodica di fatto mostra la
configurazione degli elettroni nell’ultima orbita. Nel dettaglio:
• Ogni riga rappresenta elementi i cui elettroni estermi occupano un diverso
livello energetico; idrogeno ed elio hanno gli elettroni esterni sul primo livello energetico, il carbonio ha il primo livello completo e gli altri elettroni
riempiono il secondo, l’oro ha gli elettroni esterni nel sesto livello avendo già
completamente riempito i primi cinque livelli energetici.
• Tutti gli elementi chimici nella stessa colonna hanno nell’ultimo livello lo stesso
numero di elettroni e quindi comportamenti chimici simili
• L’ordine di riempimento degli orbitali è sempre lo stesso: prima l’s, poi l’f
quando c’è, poi il d quando c’è, poi il p.
Oltre a leggere quanto scritto, guarda anche questo video:
154
Scheda80. Modelli atomici
Fig. 80.3: Guarda il video youtu.be/ZARY-1zECnk
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Elettrizzazione
Scheda 81
trarrà sempre il lato più vicino dell’oggetto inizialmente neutro, e respingerà sempre,
ma più debolmente, l’altro lato.
Guardate questo video per approfondire l’argomento.
Elettrizzare un oggetto significa fare in modo che la sua carica elettrica complessiva non sia nulla. Gli oggetti in natura sono neutri, in quanto fatti di atomi che
contengono elettroni e protoni in numero uguale. Se però diamo o togliamo ad un
oggetto degli elettroni, esso non sarà più neutro ma avrà carica elettrica. Esistono tre
modi per farlo: per strofinio, per contatto e per induzione.
81.1
Elettrizzazione per strofinio
Fig. 81.1: Guarda il video youtu.be/nFtV2tyxsx0
Prendiamo due oggetti isolanti neutri e strofiniamoli tra loro. L’energia dovuta allo
strofinio permette ad alcuni elettroni di saltare da un oggetto all’altro. Dopo questo
passaggio, uno degli oggetti avrà carica positiva in quanto ha perso elettroni; l’altro
oggetto avrà carica negativa in quanto ha ricevuto elettroni. La carica elettrica nei
due oggetti sarà uguale in valore, ma di segno opposto.
81.2
81.3.1
Deviazione di un getto d’acqua
Se avviciniamo una bacchetta elettricamente carica (ad esempio carica positivamente) ad un getto l’acqua vedremo che il getto viene deviato dal suo percorso.
Elettrizzazione per contatto
Prendiamo due oggetti di materiale conduttore, uno carico ed uno neutro. Quando i
due oggetti sono messi a contatto gli elettroni liberi dentro di essi sono liberi di spostarsi da un oggetto all’altro. Se l’oggetto inizialmente carico era negativo, allora gli
elettroni in eccesso si muovono verso l’oggetto neutro, rendendolo anch’esso carico
negativamente. Se l’oggetto inizialmente carico era positivo, allora gli elettroni liberi
nell’oggetto neutro, si muoveranno verso l’oggetto positivo rendendolo un po’ meno positivo, e rendendo l’oggetto neutro anch’esso positivo. Dopo l’elettrizzazione i
due oggetti avranno la carica elettrica dello stesso segno.
81.3
Fig. 81.2: Guarda il video youtu.be/g9GU3XpiepM
Elettrizzazione per induzione
Quando avvicino un oggetto carico ad un oggetto neutro, induco nell’oggetto neutro
uno spostamento degli elettroni. Gli elettroni, spostandosi nel materiale, generano in
esso una distribuzione di carica non omogenea. l’oggetto, seppur complessivamente
neutro, avrà un lato positivo ed un lato negativo. L’oggetto inizialmente carico at-
Autore: Andrea de Capoa
155
17 Feb 2016
Effetto Punta
Scheda 82
In questa scheda descriviamo l’effetto punta, cioè un fenomeno di elettrizzazione
per cui la densità di carica sulla superficie di un conduttore aumenta al diminuire
del raggio di curvatura di tale superficie. Visto che il campo elettrico sulla superficie
di un conduttore è direttamente proporzionale alla densità di carica, al diminuire del
raggio di curvatura della superficie aumenta anche il campo elettrico in prossimità
della superficie.
E1 r1 = E2 r2
Anche il campo elettrico in prossimità della superficie del conduttore è inversamente proporzionale al raggio di curvatura della superficie. Il fenomeno si chiama
effetto punta ed è grazie a questo fenomeno che funzionano i parafulmini! Infatti in
prossimità della punta del parafulmine il campo elettrico è molto intenso e la carica
statica presente in atmosfera si scarica sul parafulmine con grande facilità.
Costruiamoci un modello Immaginiamo di avere due sfere conduttrici cariche di
raggio r1 ed r2 unite da un filo conduttore.
r1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
r2
+ +
+ +
+
+
+
+
Nella condizione di equilibrio elettrostatico avremo che i potenziali delle due
sfere saranno uguali
V1 = V2
Sapppamo che il potenziale di una ditribuzione di cariche su di una superficie di
Q
una sfera è V = 4πr
, quindi
Q1
Q2
=
4πr1
4πr2
Introduciamo la densità superficiale di carica σ =
Q
S
=
Q
4πr 2
ed avremo
σ1 r1
σ2 r2
=
Da questi conti vediamo come le densità di carica sulle due sfere siano inversamente proporzionali ai raggi delle due sfere. Consideriamo adesso il campo elettrico
in prossimità delle due sfere. Sappiamo che esso dipende dalla densità superficiale
di carica, per cui E = σ e quindi
Autore: Andrea de Capoa
156
28 Set 2017
Sulla Circuitazione di un campo vettoriale
83.1
Scheda 83
L’energia potenziale
Definizione di circuitazione
L’integrale
Un campo vettoriale F~ si definisce conservativo quando la circuitazione del
campo lungo un qualunque percorso chiuso Γ è nulla
I
~ =0
F~ · dl
Z
Il teorema dell’energia cinetica
L’integrale
Z
~ +
F~ · dl
Z
B
~ −
F~ · dl
Aγ1
Z
~ =0
F~ · dl
Z
γ2
Z
B
~ =0
F~ · dl
Aγ2
B
~ =
F~ · dl
Aγ1
Z
•
γ1
~
F~ · dl
A
~
F~ · dl
Z
B
=
A
~
dV
~ =
m
· dl
dt
Z
B
A
~ · dV
~ = 1 mV 2
mV
2
B
=
A
(83.2)
dove Ec è detta Energia cinetica del corpo. Pertanto il lavoro della forza sul corpo,
mentre questo si muove dal punto A al punto B, corrisponde ad una variazione
dell’energia cinetica del corpo stesso.
In questi passaggi è stato utilizzato il secondo principio della dinamica F~ = m~a
~ sia effettivamente lo spostamento infinitesimo fatto dal corpo di
ed assunto che dl
massa m sotto l’azione della forza F~ , per cui
Quindi il risultato dell’integrale da A verso B è sempre lo stesso indipendentemente dal percorso seguito. Tale risultato deve quindi dipendere soltanto dal punto
di partenza e di arrivo. Il lemma di Poincaré ci dice che deve quindi esistere una
funzione U (~x) definita in ogni punto dello spazio per cui
B
~ = U (A) − U (B) = −∆U
F~ · dl
A
83.1.1
B
1
1
= mVB2 − mVA2 = Ec (B) − Ec (A) = ∆Ec
2
2
B
Aγ2
Z
~
F~ · dl
è di fatto il lavoro della forza lungo un percorso dal punto A al punto B. Avremo
quindi
A
Bγ2
Aγ1
B
A
Γ
Z
(83.1)
ha le dimensioni di un’energia e la funzione U è detta Energia potenziale.
Questa semplice definizione ha un’importante conseguenza. Immaginiamo un
generico percorso chiuso Γ che da un punto A porti in un punto B lungo un certo
tragitto γ1 e poi nuovamente in A lungo un differente tragitto γ2 . Se il campo F~ è
conservativo, allora possiamo scrivere
I
~ =0
F~ · dl
B
~ = U (A) − U (B) = −∆U
F~ · dl
A
Γ
Z
B
~ =V
~ · dt
dl
Un caso particolare: il campo di forze
Abbiamo quindi limitato i nostri conti matematici ai soli percorsi che la particella effettivamente può percorrere sotto l’azione della forza F~ in base anche alle
condizioni iniziali di posizione e velocità.
Se il campo di cui stiamo parlando fosse un campo di forze, allora avremo una serie
di interessanti conseguenze.
157
158
Scheda83. Sulla Circuitazione di un campo vettoriale
La legge di conservazione dell’energia
che di fatto è la seconda legge di Kirchoff.
Unendo insieme le equazioni 83.1 e 83.2 avremo la legge di conservazione dell’energia per un corpo immerso in un campo di forze F~ conservativo.
La seconda legge di Kirchoff è solo un caso particolare della legge di Faraday
U (A) − U (B) = Ec (B) − Ec (A)
La legge di Kirchoff viene violata ogni volta che ci sono flussi di campi magnetici
variabili nel tempo, calcolati attraverso una generica superficie di cui la maglia del
circuito ne è il contorno.
U (A) + Ec (A) = U (B) + Ec (B)
Etot (A) = Etot (B)
Questo ci fa capire che una forza conservativa di fatto trasforma energia potenziale
in energia cinetica, in modo tale che l’energia totale rimanga costante.
83.1.2
Un caso particolare: il campo elettrico
Una delle quattro equazioni di Maxwell è
~
~ = − dΦ(B)Ω
~ · dl
E
dt
Γ
I
~ Ω è il
dove Ω è una generica superficie aperta di cui Γ ne è il contorno, e Φ(B)
flusso del campo magnetico sulla superficie Ω. Questo ci dice che il campo elettrico
NON è conservativo e non esiste alcuna funzione di cui esso ne è il gradiente. Dal
momento che la forza elettrica differisce dal campo elettrico solo per una costante
~ ne segue che non esiste alcuna energia potenziale associata al campo di
F~ = q E
forze di un campo elettrico. Il campo elettrico diventa conservativo solo se il termine
legato al flusso del campo magnetico è nullo
~ Ω
dΦ(B)
=0
dt
Un circuito elettrico RLC
Prendiamo in considerazione un circuito RLC con una resistenza, un condensatore
ed un’induttanza ed applichiamo la legge di Faraday. Assumiamo che il filo sia
un conduttore ideale con resistenza nulla. La differenza di potenziale ai capi di un
generatore è ∆V0 , ai capi di una resistenza è ∆VR = R · i, ai capi di un condensatore
è ∆VC = Q
C . Il campo elettrico all’interno dell’induttanza è ∆VL = 0. Il risultato
della circuitazione del campo elettrico lungo il percorso chiuso identificato dal filo
di
conduttore in accordo con la legge di Faraday deve essere −L dt
.
i
+
−
Ri
+
−∆V0 + Ri +
di
Q
+ 0 = −L
C
dt
Γ
0
Q
C
−
−
+
L’ultimo termine non è la differenza di potenziale ai capi dell’induttanza, ma è
il risultato della circuitazione del campo elettrico, che in presenza di flussi di campi
magnetici variabili nel tempo, non è nulla.
Un circuito elettrico e la seconda legge di Kirchoff
Per un circuito puramente Ohmico, non abbiamo campi magnetici e quindi, calcolando la circuitazione del campo elettrico lungo il circuito, abbiamo
Z
~ =0
~ · dl
E
∆V0
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Induzione Elettromagnetica
Scheda 84
da rappresentare una terna sinistrorsa, e che i vettori sono tra loro perpendicolari,
possiamo scrivere
∆V = −vBl
Per spiegare il fenomeno dell’induzione elettromagnetica bisogna fare riferimento all’equazione di Maxwell
~
~ = − dΦ(B)Ω
~ · dl
E
dt
Γ
Il campo elettrico non è conservativo, per cui la circuitazione del campo non è
nulla. Prendiamo ad esempio un certo percorso Γ e prendiamo una qualunque superficie Ω che abbia Γ come contorno. Se attraverso Ω abbiamo un flusso del campo
magnetico che cambia nel tempo, allora lungo Γ avremo un campo elettrico indotto
e quindi una forza elettromotrice indotta.
Pur senza la presenza di alcun generatore, è presente una differenza di potenziale. Se su tale percorso sono presenti cariche elettriche, avremo come conseguenza
una corrente elettrica. Il segno meno indica che il verso della forza elettromotrice
indotta è tale da generare correnti che a loro volta generano campi magnetici il cui
flusso si deve opporre alla variazione del flusso del campo magnetico iniziale.
I
84.1
∆V = −
(v · ∆t)Bl
∆t
∆V = −
∆V = −
D.d.p indotta dal movimento di un conduttore
Immaginiamo una sbarra conduttrice che si muove con velocità v all’interno di un
campo magnetico costante. Gli elettroni di conduzione presenti nella sbarra subiranno una forza magnetica. Man mano che gli elettroni si accumulano ad una delle
estremità della sbarra e che cariche positive si accumulano all’altra estremità della
sbarra, avremo che gli elettroni risentono anche di un campo elettrico che su di essi
esercita una forza opposta a quella del campo magnetico. Gli elettroni rimarranno
in equilibrio quando
~ = e~v × B
~ = F~m
F~e = eE
Moltiplicando scalarmente per il vettore ~l indicante la lunghezza della sbarra, avremo
~ · ~l = ~v × B
~ · ~l
E
Consideriamo adesso il prodotto triplo a destra dell’uguale. Esso rappresenta il volume con segno individuato dai tre vettori. Dal momento che l’ordine dei vettori è tale
Autore: Andrea de Capoa
159
17 Feb 2016
B∆S
∆t
∆ΦS (B)
∆t
Corrente di spostamento
Scheda 85
condensatore piano di capacità1
Immaginiamo di avere un percorso chiuso Gamma nello spazio che concatena
un filo percorso da una corrente elettrica i. Chiamiamo Ω una qualunque superficie
che abbia Γ come contorno. Supponiamo che in tale regione di spazio dia presente
un campo elettrico. La circuitazione del campo magnetico lungo il percorso Γ sarà
I
C = 0
Il campo elettrico nel condensatore è infatti
~
~ = µ0 i − µ0 0 dΦ(E)Ω
~ · dl
B
dt
E=
Q
Q
=
C ·l
0 S
Il flusso del campo elettrico sulla superficie Ω0 è
Questa equazione ci dice che se abbiamo un flusso di campo elettrico che varia
nel tempo, esso ha di fatto le caratteristiche di una corrrente elettrica.
85.1
S
l
Φ(E)Ω0 =
Q
0
derivando adesso rispetto al tempo e ricordando che i = dQ , abbiamo
dt
Natura della corrente di spostamento
dΦ(E)Ω0
i
=
dt
0
Immaginiamo due fili conduttori collegato alle due piastre di un condensatore. Se
della corrente elettrica si muove su uno dei due fili, avremo un accunulo di cariche elettriche su di una piastra del condensatore e di conseguenza un accumulo di
cariche elettriche opposte sull’altra piastra del condensatore. Tra le due piastre del
condensatore avremo quindi un campo elettrico. Prendiamo adesso un percorso Γ
circolare intorno al filo e consideriamo la superficie Ω piana da esso racchiusa. La
circuitazione del campo magnetico lungo Γ sarà
I
~ = µ0 i
~ · dl
B
da cui
i − 0
dΦ(E)Ω0
=0
dt
che indicheremo come
i = is
dove
dΦ(E)Ω0
dt
In ingresso nel condensatore abbiamo una corrente elettrica; in uscita da esso
dobbiamo avere una corrente uguale. Dal momento che non possiamo avere un
passaggio materiale di cariche elettriche, la corrernte elettrica tra le due piastre è
rappresentata dalla corrente di spostamento dovuta alla variazione nel tempo del
flusso del campo elettrico tra le armature del condensatore.
is = 0
in quanto non c’è nessun campo elettrico intorno al filo. Considerando invece la
superficie Ω0 che ha sempre come contorno Γ ma che attraversa il condensatore, allora per la circuitazione del campo magnetico avremo che nessuna corrente elettrica
viene concatenata. Se l’equazione di Ampére-Maxwell non contenesse un termine
legato al campo elettrico avremmo l’assurdo si avere due risultati diversi per la circuitazione lungo la stessa linea. Per la superficie Ω0 la circuitazione lungo Γ deve
dare
I
~
~ = µ0 0 dΦ(E)Ω
~ · dl
B
dt
1 vedi
Al variare della corrente elettrica nel filo, varia infatti la carica sul condensatore e varia di conseguenza il campo elettrico nel condensatore. Immaginiamo un
89.2
Autore: Andrea de Capoa
160
17 Feb 2016
Parte X
Elettrotecnica
161
Corrente elettrica
Scheda 86
Una corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa una certa
superficie in un certo intervallo di tempo
i=
86.1
∆Q
∆t
Corrente in un conduttore
Applicando una differenza di potenziale agli estremi di un conduttore, vedremo
scorrere in esso una corrente elettrica. Nel conduttore gli elettroni della banda di
conduzione, che sono liberi di muoversi all’interno del conduttore passando da un’atomo ad un altro, si muoveranno a formare una corrente elettrica. Immaginiamo un
conduttore cilindrico, come un filo. La quantità di carica che nell’unità di tempo attraversa la sezione del filo è quella contenuta nel volume di un cilindro si area di base
S ed altezza ∆l = vm · ∆t dove v è la velocità media degli elettroni nel conduttore.
∆q = n · e · S · vm · ∆t
dove e è la carica dell’elettrone ed n è la densità di elettroni di conduzione all’interno del conduttore. Dividendo per ∆t avremo
i = n · e · S · vm
vm =
i
n·e·S
Per un conduttore di rame n = 8, 4 · 102 8 m13 attraversato da una corrente i = 1 A
e della sezione S = 1 mm2 la velocità media degli elettroni è
vm = 7, 4 · 10−5
Autore: Andrea de Capoa
m
s
17 Feb 2016
162
Leggi di Ohm
87.1
Scheda 87
R1
Prima legge di Ohm
a
Prendiamo una qualunque resistenza di valore R che colleghi tra loro due punti a e
b; la differenza di potenziale ∆Vba = Vb − Va tra quei due punti equivale al prodotto
della resistenza per l’intensità di corrente che la attraversa
a
+
∆V
Resistenze in parallelo
Due resistenze si dicono in parallelo quando ai loro estremi c’è la stessa differenza
di potenziale.
b
R1
87.2
b
resistenza complessiva risulta essere R12 = R1 + R2
87.2.2
i
−
R2
Fig. 87.2: Le resistenze R1 ed R2 sono in serie. La corrente che passa da R1 passa poi tutta anche da R2 . La
∆V = R · i
R
i
Resistenze in serie e in parallelo
a
i1
i
b
R2
i2
Fig. 87.3: Le resistenze R1 ed R2 sono in parallelo. Le resistenze R1 ed R2 hanno ai loro estremi la stessa
differenza di potenziale ∆V . La resistenza complessiva risulta essere calcolabile con la formula
La corrente i che entra nel circuito si divide nelle due correnti i1 e i2
Fig. 87.1: Guarda il video youtu.be/6D7Uduf_Vv4
87.2.1
1
R12
=
1
R1
+
1
.
R2
La resistenza complessiva si ottiene con la seguente formula
1
1
1
=
+
Rtot
R1
R2
Resistenze in serie
Due resistenze si dicono in serie quando sono attraversate dalla stessa intensità di
corrente; tutta la corrente che attraversa la prima resistenza attraversa poi la seconda
resistenza
87.2.3
La resistenza complessiva si ottiene sommando le resistenze tra loro
Resistenze ne in serie ne in parallelo
Attenzione a non credere che se due resistenze non sono in serie allora sono in parallelo o viceversa... non è vero. Nel circuito in figura 87.4 le resistenze R1 ed R2 non
sono ne in serie ne in parallelo.
Rtot = R1 + R2
163
164
Scheda87. Leggi di Ohm
potenziale ad un altro, ed in particolare da un’energia potenziale minore verso una
maggiore; chiamando ∆V la differenza di potenziale agli estremi del generatore e
∆q la quantità di carica elettrica che lo attraversa, il generatore fornisce un’energia
R2
R1
∆E = ∆q · ∆V
R3
a
b
Dividendo entrambi i termini per il tempo ∆t avremo
Fig. 87.4: Nel circuito in figura le resistenze R1 ed R2 non sono ne in serie ne in parallelo. La resistenza R2
P =
è infatti in parallelo con l’insieme delle resistenze R1 ed R3 che tra loro sono in serie e che chiameremo R13 =
R1 + R3
∆E
∆q
=
∆V
∆t
∆t
P = ∆V · i
87.4.2
Fig. 87.5: Guarda il video youtu.be/j67PEauo2Sk
87.3
Potenza dissipata
Se tra gli estremi di una resistenza abbiamo uan differenza di potenziale ∆V , abbiamo visto che la potenza a disposizione della resistenza è P = ∆V · i; ma utilizzando
la legge di Ohm possiamo scrivere
P = ∆V i = Ri · i
Seconda legge di Ohm
Un filo di materiale conduttore ha una sua resistenza. Essa dipende dal materiale,
dalla sezione del filo e dalla sua lunghezza
R=ρ
l
S
dove ρ è la conducibilità elettrica del materiale, l la lunghezza del filo ed S la sua
sezione.
87.4
Potenza ed effetto Joule
87.4.1
Potenza generata
In un circuito elettrico l’energia fornita alle cariche elettriche dal generatore viene
successivamente dissipata dalle stesse sotto forma di calore quando attraversano delle resistenze. Ogni singola carica che attraversa il generatore passa da un valore di
P = Ri2
Il meccanismo con cui tale energia viene dissipata è il seguente. Gli elettroni
di conduzione, muovendosi, urtamo gli ioni del reticolo cristallino del conduttore,
e nell’urto gli trasferiscono dell’energia. Tale energia fa vibrare tali ioni, e questo
corrisponde ad un aumento di temperatura.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
Circuiti elettrici Ohmici
Scheda 88
La stessa cosa la possiamo fare nell’altro ramo del circuito
Un circuito elettrico ohmico è formato da uno o più generatori, ognuno dei quali introduce tra due punti del circuito una differenza di potenziale ed una serie di
resistenze, tutti collegati tra loro da dei conduttori. La corrente elettrica si muoverà all’interno di tutto il circuito nel verso che porta dai valori di potenziale più alti
verso i valori di potenziale più bassi. La legge di Ohm parla però solo di differenze di potenziale tra due punti. Per poter conoscere i valori dei potenziali in ogni
singolo punto del circuito è necessario fissare un sistema di riferimento, un punto a
potenziale VT = 0 V olt che chiameremo terra.
88.1
i2 =
Conoscendo adesso la corrente i2 possiamo calcolarci la differenza di potenziale ∆V2
agli estremi della resistenza R2
∆V2 = R2 · i2
Analogalmente possiamo calcolarci la differenza di potenziale ∆V3 agli estremi della
resistenza R3 . Noterete che ∆V = ∆V2 + ∆V3
Per conoscere il valore del potenziale nei punti a, b e T , procediamo come segue.
Il potenziale nel punto di terra vale zero per definizione VT = 0 V olt. Seguendo il
ramo del generatore, vediamo che la batteria aumenta il potenziale in modo da farci
scrivere
Va = VT + ∆V
Circuiti con un generatore
Vediamo adesso come analizzare un circuito elettrico che contenga soltanto un generatore ed una serie di resistenze. Prendiamo ad esempio il circuiro in figura 88.1 e
chiediamoci quanto valgono le correnti i, i1 e i2 . Per prima cosa ci calcoliamo la resistenza totale del circuito. La resistenza R1 è in parallelo con l’insieme delle resistenze
R2 ed R3 che tra loro sono in serie e che chiameremo
Seguendo adesso il secondo ramo possiamo scrivere
R23 = R2 + R3
Vb = Va + ∆V2
In questo modo abiamo calcolato tutte le variabili del circuito. Ovviamente questo è solo un esempio... provate a ripetere gli stessi procedimenti su circuiti analoghi
La resistenza totale Rtot la troveremo quindi con la formula
1
1
1
=
+
Rtot
R1
R23
Con la resistenza totale trovo la corrente in uscita dalla batteria
i=
∆V
R23
∆V
Rtot
88.2
Circuiti con molti generatori e leggi di Kirchoff
88.2.1
Struttura del circuito
Se nello stesso circuito ci sono due o più generatori, per analizzarlo abbiamo bisogno
dei due principi di Kirchoff. Prendiamo per esempio il circuito in figura 88.2 ed
osserviamone la struttura. Esso è composto da tre rami tra di loro uniti in due nodi
denominati a e b. In ogni ramo è segnato il verso della corrente che vi circola. Questa
struttura mi permette di suddividere il circuito in elementi chiamati nodi e maglie. I
nodi sono i punti a e b, cioè i punti in cui tre o più rami si uniscono. Le maglie sono
percorsi chiusi all’interno del circuito che coinvolgono due o più rami; nel circuito in
La corrente i si divide in i1 ed i2 e potremo quindi scrivere che
i = i1 + i2
La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R1 è la stessa della batteria,
quindi possiamo scrivere
∆V
i1 =
R1
165
166
Scheda88. Circuiti elettrici Ohmici
Va
b
+
∆V2
R2
R1
R3
− i2
R1
∆V
i
∆V3
i1
R2
Vb
+
R3
−
VT
Fig. 88.1: La resistenza R1 è in parallelo con l’insieme delle resistenze R2 ed R3 che tra loro sono in serie.
figura 88.2 possiamo individuare tre maglie: quella fatta dai rami 1 e 2, quella fatta
dai rami 2 e 3, quella fatta dai rami 1 e 3.
88.2.2
Equazioni di maglie e nodi
Per ogni nodo e per ogni maglia è possibile scrivere la corrispondente equazione.
L’equazione dei nodi si ricava affermando che la somma delle correnti in ingresso è
uguale alla somma delle correnti in uscita.
Consideriamo il circuito di esempio in figura 88.2 Per il nodo a avremo
∆V1
∆V3
i2
i1
i3
a
Fig. 88.2: Per analizzare questo circuito sono necessari i principi di Kirchoff.
zero. Per la maglia formata dai rami 1 e 2 possiamo scrivere
∆V1 − R1 i1 − R2 i2 = 0
Per la maglia formata dai rami 2 e 3 possiamo scrivere
∆R2 i2 − R3 i3 − ∆V3 = 0
Per la maglia formata dai rami 1 e 3 possiamo scrivere
∆V1 − R1 i1 − R3 i3 − ∆V3 = 0
i2 = i1 + i3
e per il nodo b avremo
i1 + i3 = i2
Noterete che in questo caso le due equazioni coincidono.
L’equazione delle maglie si ricava affermando che la differenza di potenziale tra
un punto e lo stesso punto raggiunto dopo aver percorso una maglia, deve essere
Per ottenere queste equazioni si parte da un punto a caso della maglia (per esempio il punto a) e si percorre la maglia scrivendo tutte le variazioni di potenziale
incontrate fino a ritornatre nel punto di partenza.
Nuovamente non tutte queste equazioni sono tra di loro indipendenti, in quanto
la terza si ottiene dalla somma delle prime due. Ad ogni modo l’analisi completa
del circuito si otterrà considerando tutte le equazioni tra di loro indipendenti, che in
167
Scheda88. Circuiti elettrici Ohmici
questo caso saranno tre:
(
88.3
i2 = i1 + i3
∆V1 − R1 i1 − R2 i2 = 0
∆R2 i2 − R3 i3 − ∆V3 = 0
Videolezioni
Consiglio anche la visione di questi video
Fig. 88.3: Guarda il video youtu.be/g73iv9oA5i0
Autore: Andrea de Capoa
Fig. 88.4: Guarda il video youtu.be/oixDUHYWmpA
Fig. 88.5: Guarda il video youtu.be/Sx0OzrPgpko
17 Feb 2016
Circuiti RC
89.1
Scheda 89
R
Condensatori
Un condensatore è un dispositivo costituito da due piastre conduttrici separate da
uno strato di isolante. Accumulando carica elettrica Q+ su una delle due piastre, si
accumula carica elettrica di segno opposto Q− sull’altra. Tra le due piastre si genera
quindi un campo elettrico. La differenza di potenziale tra le due piastre dipenderà dalla geometria del condensatore attraverso un parametro C detto capacità del
condensatore, e dalla quantità di carica accumulata
∆V =
∆V
C
i(t)
Q
C
Fig. 89.1: Un circuito RC con in serie un generatore di tensione continua, una resistenza ed un condensatore.
89.2
Condensatore piano
Nelcaso che le due piastre del condensatore siano piane, separate da un dielettrico
con costante dielettrica relativa r , di superficie S e distanti tra loro d, avremo che
C = 0 r
89.3
−R
S
d
i
di
=−
dt
RC
di
dt
=−
i
RC
Carica e scarica di un condensatore
Immaginiamo di avere un circuito formato da un generatore di tensione continua
∆V , una resistenza R ed un condensatore C inizialmente scarico, tutti e tre in serie. Quando chiudiamo il circuito il condensatore comincia a caricarsi. Indichiamo
con Q(t) la carica presente sul condensatore all’istante t. Indichiamo con i(t), o per
brevità i la corrente che circola nel circuito all’istante t.
Calcolando la circuitazione del campo elettrico, non essendoci campi magnetici
nella nostra ipotesi, avremo che:
∆V − R · i −
di
i
−
=0
dt C
Z
i(t)
i(0)
1
di
=−
i
RC
t
Z
dt
0
Il condendatore è inizialmente scarico per cui nel solo istante iniziale esso non
influisce sul valore della corrente che dall’equazione del circuito risulra essere
i(0) =
∆V
R
Risolvendo l’integrale avremo quindi
Q
=0
C
Derivando rispetto al tempo avremo
ln i(t) − ln i(0) = −
168
t
RC
169
Scheda89. Circuiti RC
ln
t
i(t)
=−
i(0)
RC
1
%
0.9
0.8
t
i(t) = i(0)e− RC
0.7
ed infine
0.6
0.5
∆V − t
e RC
(89.1)
R
La quantità τ = RC è detta costante di tempo del circuito e da una stima dei tempi di
carica e di scarica del condensatore. Osservando l’equazione 89.1 si vede che nell’istante iniziale comincia a circolare della corrente elettrica come se il condensatore
non ci fosse. Man mano che il condensatore si carica, esso mette nel circuito una differenza di potenziale opposta a quella del generatore, che come conseguenza dinminuisce la corrente che circola nel circuito. Nel circuito smetterà di circolare corrente
quando il condensatore sarà completamente carico ed avrà quindi immagazzinato
tutta l’energia possibile.
La carica accumulata nel condensatore si troverà
i(t) =
0.4
0.3
0.2
0.1
t(τ )
0.5
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Fig. 89.2: Un circuito RC con in serie una resistenza ed un condensatore: in rosso la corrente che passa nel
circuito durante la carica del condensatore; in blu la quantità di carica presente nel condensatore. L’asse dei tempi è
indicato in unità della costante di tempo del circuito, τ . L’asse verticale è indicato in percentuale del valore massimo
della randezza indicata.
89.4
∆V − t
dQ
=
e RC
dt
R
1
Energia immagazzinata in un condensatore
Calcoliamoci la circuitazione del campo elettrico per il circuito in figura 89.1. Avremo
∆V − t
dQ =
e RC dt
R
∆V − Ri −
ed integrando
Z
Q(t)
Q(0)
Z
∆V − t
dQ = t
e RC dt
R
0
per cui
t
Q(t) = Q(0) − V Ce− RC
Per le condizioni al contorno abbiamo che il condensatore nell’istante iniziale è carico
con Q(0) = V C e quindi
t
Q(t) = V C 1 − e− RC
In modo del tutto analogo si trova la curva di scarica del condensatore.
Q
=0
C
La potenza emessa e dissipata dai vari elementi del circuito sarà
∆V i − Ri2 −
Q
i=0
C
La potenza formita dal generatore viene quindi in parte dissipata dalla resistenza
ed in parte accumulata nel condensatore. La potenza accumulata nel condensatore è
quindi
dU
Q dQ
=
Pc =
dt
C dt
Istante dopo istante nel condensatore si accumula quindi un’energia
dU = Pc dt =
1
QdQ
C
170
Scheda89. Circuiti RC
quindi l’energia presente nel condensatore sarà
U=
1 2
Q
2C
che possiamo anche scrivere come
∆V
U=
89.5
1
C∆V 2
2
i(t)
Energia del campo elettrico
L’energia accumulata nel condensatore può anche essere scritta in funzione del campo elettrico presente
1
U = CE 2 l2
2
1 S
1
1
U = 0 E 2 l2 = 0 E 2 · S · l = 0 E 2 · Vol
2 l
2
2
La densità di energia del campo elettrico è quindi
1
dU
= 0 E 2
dt
2
L’energia racchiusa nel condensatote è quindi racchiusa nel la regione di spazio
in cui è presente il campo elettrico da esso generato.
89.6
C
Fig. 89.3: Un circuito con un generatore di tensione alternata ed un condensatore.
Deriviamo rispetto al tempo e poi dividiamo per R otteniamo
1
V0 ω
cos (ωt) −
i=0
R
RC
Per cui
i = V0 Cω cos (ωt)
π
i = V0 Cω sin ωt +
2
Questo significa che tensione e corrente risultano sfasati; in particolare la corrente è in anticipo rispetto alla tensione di una fase φ = π2 . Chiamando reattanza la
1
quanrità Xc = ωC
avremo
Condensatori in corrente alternata
i=
Consideriamo adesso un circuito con un condensatore alimentato da un generatore
di tensione alternata di frequenza ω, per cui
∆V (t) = V0 sin ωt
. Ipotizziamo che la resistenza del circuito sia nulla.
L’equazione del circuito è sempre
∆V (t) −
Q
=0
C
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
π
V0
sin ωt +
Xc
2
171
Scheda89. Circuiti RC
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t(τ )
50
100
150
200
250
300
350
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Fig. 89.4: Un circuito capacitivo in corrente alternata. Andamento di tensione e corrente; in blu la tensione
applicata, in rosso la corrente che circola.
Circuiti RL
90.1
Scheda 90
Tale campo genera un flusso
Autoinduzione
Φ(B) = µ0
Immaginiamo di dare tensione ad un generico circuito elettrico e di vedere in esso
circolare della corrente. Questa corrente elettrica genera un campo magnetico che a
sua volta genera un flusso attraverso la superficie che ha il circuito stesso come contorno. Dal momento che assumiamo che la forma del circuito elettrico sia costante,
allora il flusso del campo magnetico sarà proporzionale alla corrente elettrica che lo
attraversa. Per cui
N2
Si
l
e quindi abbiamo una differenza di potenziale indotta
∆V = −µ0
N 2 di
S
l dt
Confrontando questa equazione con la definizione di induttanza abbiamo
Φ = Li
Lsol = µ0
dove il parametro L è detto autoinduttanza del circuito. L è un parametro definito
positivo, quindi all’aumentare della corrente avremo un flusso che aumenta nel tempo. Dal momento che il segno del flusso dipende dall’orientamento della superficie
attraversata dal campo, allora il vettore superficie deve essere destrorso rispetto al
verso della corrente.
90.3
N2
S
l
Carica e scarica di un’induttanza
Immaginiamo di avere un circuito formato da un generatore di tensione continua
∆V , una resistenza R ed un’induttanza L tutti e tre in serie. Inizialmente l’interruttore è aperto e non circola corrente. Quando chiudiamo il circuito l’induttanza
genera una differenza di potenziale indotta che si oppone al generatore. Indichiamo
con i(t), o per brevità i la corrente che circola nel circuito all’istante t.
Il valore dell’induttanza di un circuito elettrico dipende quindi dalla geometria
del circuito stesso.
Se la corrente nel circuito varia nel tempo, allora nel circuito ci sarà una differenza
di potenziale indotta
dΦ(B)
di
∆Vi = −
= −L
dt
dt
R
la quale sarà ovviamente orientata in verso opposto alla tensione che ha generato la
corrente nel circuito.
90.2
Il solenoide
∆V
Induttanza di un solenoide Per considerare casi reali, il modo più semplice di avere un grande valore di induttanza nel circuito è quello di introdurre nel circuito una
bobina od un solenoide. Sappiamo infatti che quando in un solenoide (lunghezza l e
numero di spire N ) scorre una corrente i, allora in esso abbiamo un campo magnetico
B = µ0
L
i(t)
N
i
l
Fig. 90.1: Un circuito RL con in serie un generatore di tensione continua, una resistenza ed un’induttanza.
172
173
Scheda90. Circuiti RL
Carcolando la circuitazione del campo elettrico avremo che la somma di tutte le
differenze di potenziale compresa anche la f.e.m. autoindotta deve essere nulla:
∆V − R · i + ∆Vai = 0
∆V − R · i − L
L
di
=0
dt
di
= ∆V − R · i
dt
L di
= dt
R VR − ·i
%
0.9
0.8
0.7
Integrando avremo
0.6
Z
i(t)
i(0)
L
R
di
=
V
R −i
Z
t
dt
0
Le condizioni al contorno ci dicono che all’istante iniziale la corrente che circola
nel circuito è nulla i(0) = 0, quindi
V
V
L
ln
− i(t) − ln
=t
−
R
R
R
da cui
1
V
R
− ·i(t)
V
R
0.5
0.4
0.3
0.2
−R
Lt
=e
0.1
R
R
1 − i(t) = e− L t
V
R
V · 1 − e− L t
R
La corrente bel circuito parte da un valore nullo per poi crescere fino al valore
massimo possibile i = VR che si ha quando l’induttanza ha immagazzinato tutta
L
l’energia possibile. La quantità τ =
è chiamata costante di tempo del circuito.
R
Visto che la corrente cresce esponenzialmente, bastano poche unità di τ per poter
considerare l’induttanza completamente carica.
In modo del tutto analogo si trova la curva di scarica dell’induttanza.
t(τ )
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
i(t) =
Fig. 90.2: Un circuito RL con in serie una resistenza, un’induttanza ed un generatore di tensione continua:
in rosso la corrente che passa nel circuito durante la carica del condensatore. L’asse dei tempi è indicato in unità
della costante di tempo del circuito, τ . L’asse verticale è indicato in percentuale del valore massimo della grandezza
indicata.
174
Scheda90. Circuiti RL
90.4
Energia immagazzinata nell’induttanza
Consideriamo sempre il circuito in figura 90.1. L’equazione del circuito è
∆V − R · i − L
di
=0
dt
che moltiplicando per la corrente diventa
∆V i − R · i2 − Li
Induttanze in corrente alternata
Consideriamo adesso un circuito con un’induttanza alimentata da un generatore di
tensione alternata di frequenza ω, per cui
∆V (t) = V0 sin ωt
. Ipotizziamo che la resistenza del circuito sia nulla.
di
=0
dt
Il primo termine è la potenza erogata dal generatore. Il secondo termine indica
la potenza dissipata dalla resistenza per effetto Joule. L’ultimo termine indica la
potenza assorbita dall’induttanza ed è il termine che adesso ci interessa. l’energia
immagazzinata nell’induttanza in un infinitesimo intervallo di tempo dt sarà
dU = Li
90.5
di
· dt
dt
∆V
L
i(t)
e quindi l’energia immagazzinata nell’induttanza è
Fig. 90.3: Un circuito con un generatore di tensione alternata ed un’induttanza.
1
U = Li2
2
L’equazione del circuito è sempre
Energia immagazzinata in un solenoide Immaginiamo di avere l’induttanza del
circuito tutta causata dalla presenza di un solenoide.
U=
∆V (t) − L
1 N2 2
1 2 N 2l 2
1 2
µ0
Si =
µ
Si =
B Vol
2
l
2µ0 0 l2
2µ0
Troviamo quindi che l’energia immagazzinata nel solenoide si trova nel volume
in cui è presente il campo magnetico. Questo significa cche la densità di energia del
campo magnetico è
dU
1 2
=
B
dVol
2µ0
di
=0
dt
V0 sin ωt = L
di
dt
V0
sin(ωt)dt = di
L
Soluzione dell’equazione sarà
i(t) =
V0
π
sin ωt −
ωL
2
175
Scheda90. Circuiti RL
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t(τ )
50
100
150
200
250
300
350
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Fig. 90.4: Un circuito capacitivo in corrente alternata. Andamento di tensione e corrente; in blu la tensione
applicata, in rosso la corrente che circola.
Questo significa che tensione e corrente risultano sfasati; in particolare la corrente è in aritardo rispetto alla tensione di una fase φ = π2 . Chiamando reattanza la
1
quanrità Xc = ωC
avremo
i=
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
V0
π
sin ωt −
XL
2
Parte XI
Relatività ristretta
176
177
Scheda90. Circuiti RL
Dilatazione dei tempi
∆t0 = γ∆t
Principio di costanza della
velocità della luce: c = cost
Trasformate
di Lorentz:

v 
t0 = γ t − 2 x


c


x0 = γ (x − vt)


y0 = y



 0
z =z
Contrazione delle distanze
∆x0 =
1
∆x
γ
Composizione delle velocità
u0 =
u−v
1 − uv
c2
(nel caso unidimensionale)
Invarianza di s2 e
simultaneità degli eventi
Teoria della
relatività
s2 = ∆x2 − c2 ∆t2
Principio di relatività: le
leggi fisiche sono invarianti
a seguito di un cambio tra
sistemi di riferimento inerziali
Definizione di
massa inerziale:
m= r
m0
1−
v2
c2
La massa come manifestazione
di energia confinata
m=
E
c2
Relazione tre energia, massa a
riposo ed impulso di una particella
E 2 = m20 c4 + p2 c2
Relatività ristretta
91.1
Scheda 91
Vediamo adesso cosa misura l’osservatore sull’astronave. Egli vede l’impulso
luminoso partire dalla sua nave, e percorrere il tragitto di andata e ritorno verso la
seconda nave. Egli afferma che la durata dell’evento è
Postulati di partenza
La teoria della relatività ristretta si basa su due principi fondamentali:
1. il principio di relatività ristretta: Le leggi fisiche hanno la stessa formulazione in
tutti i sistemi di riferimento inerziali
∆t =
2d
c
(91.1)
2. il principio di costanza della velocità della luce: la luce ha sempre la stessa velocità
in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Nei paragrafi successivi vedremo quali siano le dirette conseguenze dell’applicazione di questi due principi. Indicheremo con c la velocità della luce, con v la velocità
relativa dei due sistemi di riferimento in questione, β la quantità
β=
v
c
e γ la quantità
γ=r
1
1−
91.2
v2
c2
Dilatazione dei tempi
Immaginiamo due astronavi nello spazio che si muovono con velocità v rispetto ad
un asteroide vicino1 . le due astronavi si muovono parallelamente e in linea retta
mantenendo, stando una sopra all’altra, una distanza d tra loro. Sulla prima astronave uno strumento emette un impulso luminoso verso la seconda astronave; sulla
seconda astronave uno specchio riflette l’impulso luminoso e lo rimanda verso la
prima astronave. Due osservatori misurano la durata del fenomeno; uno si trova
dentro l’astronave che emette il segnale; l’altro si trova sull’asteroide. Entrambi gli
osservatori misurano la durata del fenomeno.
La durata del fenomeno che asi vuole misurare è definita come l’intervallo di tempo trascorso tra due eventi: la partenza dalla prima astronave dell’impulso luminoso
e il ritorno alla stessa astronave di tale impulso luminoso.
1 Visitate
Fig. 91.1: Nel sistema di riferimento dell’astronave la luce percorre due volte la distanza tra le due astronavi.
il sito http://tube.geogebra.org/student/m1196931
178
179
Scheda91. Relatività ristretta
v 2 02
∆t
c2
v2
∆t02 1 − 2 = ∆t2
c
L’osservatore sull’astronave può inoltre calcolare quanto dura lo stesso fenomeno per l’osservatore sull’asteroide, in moto rispetto alle due astronavi. Per il secondo
osservatore l’impulso luminoso, mentre si muove tra le due astronavi, contemporaneamente si muove in avanti insieme alle due astronavi. Il percorso fatto dalla luce
è adesso sicuramente più lungo, ma sappiamo anche la luce lo percorre sempre alla
stessa velocità c.
∆t02 = ∆t2 +
∆t02 = 1
v2
1− 2
c
∆t0 = r
∆t2
1
v2
1− 2
c
∆t
∆t0 = γ∆t
(91.3)
L’intervallo di tempo ∆t è definito tempo proprio in quanto è stato misurato nel
sistema di riferimento in cui i due eventi misurati avvengono nel punto in cui si
trova l’osservatore. il secondo osservatore, che si trova sull’asteroide e che vede le
astronavi in movimento, misura un intervallo di tempo più lungo di un fattore γ che
sappiamo essere sempre maggiore di 1. Questo fenomeno è comunemente chiamato
dilatazione dei tempi.
91.3
Fig. 91.2: Nel sistema di riferimento dell’asteroide la luce percorre un percorso molto più lungo che nel precedente
caso.
La durata del fenomeno risulterà quindi:
r
2
0
∆t =
1
d2 + v 2 ∆t02
4
c
Eseguendo alcuni passaggi
r
0
∆t =
4d2
v2
+ 2 ∆t02
2
c
c
(91.2)
Contrazione delle distanze
Consideriamo adesso il caso in cui si voglia misurare la distanza tra due punti A e
B. Consideriamo un osservatore O0 che vede i due punti dello spazio fermi rispetto
a lui, ed un secondo osservatore O che O0 vede muoversi a velocità v dal punto A
al punto B. Quando l’osservatore O0 raggiunge il punto A, aziona il suo cronomretro; quando raggiunge il punto B ferma il suo cronometro. La misura della distanza
tra A e B verrà eseguita attraverso una misura del tempo trascorso tra due eventi:
il raggiungimento del punto A ed il raggiungimento del punto B da parte chell’osservatore O0 . Per questa persona l’intervallo di tempo misurato tra i due eventi è il
tempo proprio, cioè è l’intervallo di tempo che passa tra due eventi che vengono visti
accadere nello stesso luogo. La distanza da lui misurata sarà
∆S = v · ∆t
180
Scheda91. Relatività ristretta
Allo stesso modo, un secondo osservatore fermo rispetto ai due punti A e B misurerà
una distanza
∆S 0 = v · ∆t0
ed utilizzando le trasformate di Lorentz
∆S 0 = v · γ∆t = γ∆S
Per cui
∆S 0 = γ∆S
il che significa che la distanza tra i due punti misurata dalla persona ferma rispetto
a tali punti è maggiore, di un fattore γ, della stessa distanza misurata dalla persona
in movimento rispetto ai due punti. Questo fenomeno è comunemente chiamato
contrazione delle distanze.
Fig. 91.3: La distanza tra due punti viene misutara misurando quanto tempo impiega una persona a muoversi
dal punto A el punto B conoscendo la sua velocità.
91.4
Da Galileo a Lorentz
Il modo classico di passare da un sistema di riferimento ad un’altro è quello di utilizzare le trasformate di Galileo mostrate dalle equazioni 91.4 per un sistema in moto
rispetto ad un’altro con velocità v lungo l’asse x


t0 = t




x0 = x − vt
(91.4)


y0 = y



 0
z =z
Queste di fatto rappresentano una traslazione dell’origine degli assi lungo l’asse
del movimento. In ogni istante l’osservatore in moto vedrà gli eventi accadere in
punti diversi dello spazio, ma verrà sempre preservato l’istante in cui essi accadono
e la distanza spaziale tra loro. Queste trasformazioni violano il principio di costanza
della velocità della luce, quindi non sono corrette.
Appare infatti chiaro che la misura di intervalli di tempo e di lunghezze è in realtà
profondamente influenzata dal movimento. Questo è direttamente causato dal fatto
che la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento. Il modo corretto
per passare da un sistema di riferimento ad un altro è quindi quello di utilizzare le
trasformate di Lorentz che rispettano il primo principio su cui si basa la teoria della
relatività. Tali trasformate erano già state scritte prima del lavoro di Einstain, ma fu
lui che ne comprese il profondo significato.
Le trasformate di Lorentz, indicate dalle equazioni 91.5, per passare da un sistema di riferimento inerziale ad un altro che si muove con velocità v lungo l’asse x,
sono:

v t 0 = γ t − 2 x


c


x0 = γ (x − vt)
(91.5)


y0 = y



 0
z =z
Come potete vedere i valori dei tempi e delle posizioni in un sistema di riferimento dipendono sia dai tempi che dalle posizioni nell’altro sistema di riferimento. Dati
due eventi, osservatori differenti misureranno sia intervalli di tempo che distanze
spaziali differenti.
91.4.1
Invarianza della distanza spaziotemporale
Dati due eventi A(xa ; ta ) e B(xb ; tb ) che per un certo osservatore accadono in due
generici punti dello spazio ed in due generici istanti nel tempo, la quantità
s2 = ∆x2 − c2 ∆t2
risulta invariante sotto l’azione delle trasformate di Lorentz. Infatti se consideriamo
un secondo osservatore che vede gli stessi due eventi in punti differenti ed in istanti
181
Scheda91. Relatività ristretta
differenti A(x0a ; t0a ) e B(x0b ; t0b ) avremo che
2
2
2
s0 = ∆x0 − c2 ∆t0 =
2
2
= (x0a − x0b ) − c2 (t0a − t0b ) =
2
2
= [γ (xa − vta ) − γ (xb − vtb )] − c2 γ ta − cv2 xa − γ tb − cv2 xb
=
2
2
= γ 2 [(xa − xb ) − v (ta − tb )] − γ 2 c2 (ta − tb ) − cv2 (xa − xb ) =
2
2
= γ 2 [∆x − v∆t] − γ 2 c2 ∆t − cv2 ∆x h=
i
2
= γ 2 ∆x2 − 2v∆x∆t + v 2 ∆t2 − γ 2 c2 ∆t2 − 2 cv2 ∆x∆t + vc4 ∆x2 =
h
i
2
= γ 2 ∆x2 − 2v∆x∆t + v 2 ∆t2 − γ 2 c2 ∆t2 − 2v∆x∆t + vc2 ∆x2 =
h
i
2
= γ 2 ∆x2 + v 2 ∆t2 − c2 ∆t2 − vc2 ∆x2 =
i
h
2
2
= γ 2 1 − vc2 ∆x2 − c2 1 − vc2 ∆t2 =
2
= γ 2 1 − vc2 ∆x2 − c2 ∆t2 =
= ∆x2 − c2 ∆t2 =
= s2
La distanza spaziotemporale è invariante per tutti gli osservatori. Possiamo adesso distinguere tre casi:
• Se tale distanza è positiva, essa è definita di tipo spazio; nemmeno ciò che
viaggia alla velocità della luce può passare dall’evento A all’evento B perchè la loro distanza nello spazio è maggiore del percorso che può fare la luce
nell’intervallo di tempo tra i due eventi.
• Se la distanza è nulla, allora è definita di tipo luce; solo ciò che viaggia alla
velocità della luce può collegare i due eventi.
• Se la distanza è negativa allora è definita di tipo tempo; anche oggetti dotati di
massa (e che quindi viaggiano a velocità inferiori a quelle della luce) possono
collegare i due eventi.
Nel primo caso i due eventi non sono causalmente connessi; questo significa che
nessuno dei due eventi potrà mai essere la causa di quell’altro. Osservatori diversi
potranno vedere i due eventi accadere in un ordine temporale differente, senza che
venga violato il principio di causa ed effetto. Nel secondo e terzo caso i due eventi
sono causalmente connessi e le trasformazioni di Lorentz preservereranno l’ordine
temporale degli eventi in modo da non violare il principio di causa ed effetto.
Questo discorso ci fa comprendere che la velocità della luce è in realtà qualcosa di molto più profondo legato alla struttura dello spazio-tempo; essa è infatti la
velocità della causalità, cioè la massima velocità a cui le infomazioni posso viaggiare attraverso lo spazio per connettere differenti eventi in un rapporto di relazione
causa-effetto. Possiamo quindi descrivere la nostra realtà come un insieme di eventi
ognuno dei quali accade in un certo punto dello spazio ed in un certo istante nel
tempo, che, sebbene differenti per i vari osservatori, rimangono comunque tali da
preservare le loro relazioni causali.
91.5
Legge di composizione delle velocità
Dalle trasformate di Lorentz possiamo ricavarci la legge di composizione delle velocità. Consideriamo due osservatori, il primo O in quiete ed il secondo O0 in moto
rispetto al primo con velocità v. Immaginiamo un oggetto che si muove rispetto ad
O con una velocità u. Ci chiediamo a quale velocità u0 si muove l’oggetto rispetto ad
O0 . Limitiamoci per semplicità al caso unidimensionale.
Partendo dalle trasformate di Lorentz e differenziando avremo:

dt0 = γ dt − v dx
c2
dx0 = γ (dx − vdt)
La velocità u0 si otterrà dividendo la seconda equazione con la prima
u0 =
dx0
(dx − vdt)
=
v dt0
dt − 2 dx
c
Dividendo sopra e sotto per dt
(u − v)
u0 = vu 1− 2
c
182
Scheda91. Relatività ristretta
Con questa equazione è possibile calcolarsi la velocità con cui l’oggetto viene
visto muoversi dall’osservatore O0 .2
91.6
91.6.1
Quantità di moto relativistica e principi della dinamica
Ridefinendo la massa, dobbiamo ridefinire di conseguenza anche la quantità di moto
ed i principi della dinamica
Massa relativistica
(91.6)
p~ = m~v = m0 γ~v
Il primo postulato della relatività impone che tutte le leggi fisiche abbiano la stessa formulazione per tutti gli osservatori inerziali. Se consideriamo per esempio la
seconda legge della dinamica F~ = m · ~a, significa che un diverso osservatore inerziale, misurando una diversa forza, una diversa massa e una diversa accelerazione,
deve comunque poter scrivere F~ 0 = m0 · a~0 , senza essere costretto a cambiare la
formulazione della legge fisica.
La legge in esempio, però, invariante solo per le trasformazioni di Galileo, che
di fatto non coinvolgono ne la massa dei corpi ne la loro accelerazione, ma non per
le trasformazioni di Lorentz. Per risolvere questo problema, e rendere tale formula
invariante sotto le trasformate di Lorentz, la soluzione è quella di ridefinire la massa
dei corpi nel seguente modo
m= r
m0
v2
1− 2
c
Per quanto riguarda i tre principi della dinamica, il secondo verrà riscritto in
termini di variazione dell’impulso nel tempo, mentre il terzo viene sostituito con la
legge di conservazione dell’impulso.

~ = cost

F~ = 0 ⇔ V



d~
p
(91.7)
F~ =

dt


∆~
p=0
91.6.2
Energia cinetica relativistica
Per il teorema dell’energia cinetica avremo che il lavoro per portare un corpo dal
punto A al punto B è:
= γm0
B
Z
~=
F~ · dS
L=
A
La quantità m0 è la massa invariante del corpo, quella misurata nel sistema di
riferimento in cui è in quiete.
il che dimostra che il fotone viene visto viaggiare alla stessa velocità anche da parte di O0 .
d~
p ~
· dS =
dt
B
Z
B
d~
p·
A
B
A
Z
B
L = m0
v 2 dγ + m0
Z
A
γ~v d~v
1
v 2 = c2 1 − 2
γ
v dv = c2
B
A
Adesso, utilizzando la formula che definisce γ:
da cui
~
dS
dt
d(γ~v ) · ~v
A
avremo che
Z
d(γm0~v ) · ~v = m0
L=
a titolo di esempio che O0 e l’oggetto in questione si muovano, visti da O, uno contro
l’altro con velocità v = 0, 1c e u = −0.1c. Otterremo che
Significa che O0 vede l’oggetto venirgli addosso ad una velocità che è un po’ meno della somma
Galileiana delle due velocità.
Se poi supponiamo che l’oggetto sia un fotone che si dirige verso O0 e che quindi viaggi a velocità
u = −c, avremo che
(−c − v)
= −c
u0 = 1 + vc
c2
B
A
Z
2 Immaginiamo
(−0, 1c − 0, 1c)
= −0, 19802c
u0 = 2
1 + 0,01c
c2
Z
1
dγ
γ3
183
Scheda91. Relatività ristretta
L = m0 c2
Z
B
A
1
1− 2
γ
dγ + m0 c2
Z
B
A
Se in una certa regione di spazio è localizzata dell’energia, allora noi percepiamo la
presenza di tale energia come massa. In generale questo è vero non solo nel caso
dell’energia cinetica, ma per qualunque forma di energia.
1
dγ
γ2
L = m0 c2 (γB − γA )
91.6.4
Relazione tra energia ed impulso
Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro di una forza esterna corrisponde alla
variazione di energia cinetica del corpo, per cui
Con semplici passaggi, dividendo tra loro l’equazione 91.6 e 91.8, e riutilizzando la
definizione di γ si ottiene la relazione
L = m0 γB c2 − m0 γA c2 = ∆Ec
E 2 = p2 c2 + m20 c4
Consideriamo il caso di un oggetto inizialmente fermo; avremo che vA = 0 allora
γA = 1.
Innfatti
(91.9)

p2 = m2 γ 2 v 2
0
E 2 = m2 γ 2 c4
0
2
Ec = m0 c2 (γ − 1)
Questa è l’espressione per l’energia cinetica di un corpo; quando il corpo è fermo
la sua energia cinetica è nulla esattamente come nel caso classico, ma l’espressione
di questa grandezza differisce dal caso classico.
91.6.3
Energia totale relativistica
Abbiamo visto dai conti precedenti che l’energia cinetica di una particella risulta
essere pari alla differenza tra due termini, il primo identificabile con l’energia totale
della particella in movimento, il secondo identificabile con l’energia della particella
a riposo.
L’energia totale associata ad una certa particella con massa a riposo m0 sarà
quindi
E = mc2
(91.8)
Questa equazione ci dice che la massa di una particella e la sua energia sono due
quantità equivalenti.
La massa è il modo in cui si manifesta l’energia localizzata in una certa regione
di spazio.
da cui, moltiplicando la prima per c , si ottiene

p2 c2 = m2 γ 2 v 2 c2
0
E 2 = m2 γ 2 c4
0
e quindi, sottraendo la prima dalla seconda, abbiamo
E 2 − p2 c2 = m20 γ 2 c2 c2 − v 2
2
c2 − v 2
2
2 2
2c
E − p c = m0
2
1 − vc2
2
c2 − v 2
2
2 2
2c
E − p c = m0 1 2
2
c2 (c − v )
E 2 − p2 c2 = m20 c4
Da cui abbiamo l’equazione 91.9.
Questa equazione mette in relazione, per ogni particella, la sua energia ed il suo
impulso. E’ di particolare interesse applicare tale equazione alla luce che ha massa a
riposo nulla. Questa equazione ci dice che la luce ha comunque impulso in quanto
ha energia. Dal momento che la luce ha impulso, fenomeni come la riflessione della
luce implicano una variazione dell’impulso nel tempo e quindi una forza. La luce
che si riflette su di uno specchio o che viene assorbita da un corpo nero, esercita su
di esso una forza.
184
Autore: Andrea de Capoa
Scheda91. Relatività ristretta
17 Feb 2016
Parte XII
Meccanica quantistica
185
Radiazione di corpo nero
Scheda 92
Cosa vuol dire nero?
92.1
Noi vediamo un oggetto solo quando la luce lo illumina e la luce da esso diffusa
arriva ai nostri occhi. Se un oggetto assorbe tutte le frequanze luminose tranne il
rosso, allora diciamo che quell’oggetto è di colore rosso, in quanto la luce che arriva
ai nostri occhi è rossa. Se un oggetto diffonde tutte le frequanze luminose, allora noi
diciamo che quell’oggetto è bianco.
Un oggetto è nero quando assorbe tutta la radiazione luminosa incidente su
di essoa .
a L’esempio
che ho fatto parla di luce visibile solo per utilizzare concetti comunemente noti
nella vita quotidiana, ma il concetto deve essere in realtà inteso come esteso all’intero spettro
elettromagnetico.
92.2
Emissione di corpo nero
92.2.1
Spettro della radiazione
Consideriamo un corpo nero ad una determinata temperatura costante. Se esso assorbe radiazione luminosa, deve necessariamente riemettere la stessa quantità di
energia per poter mantenere la temperatura costante. L’emissione di energia avviene
tramite emissione di radiazione elettromagnetica secondo uno spettro di lunghezze
d’onda di equazione ben determinato.
R(λ, T ) =
92.2.2
Fig. 92.1: L’andamento delle curve di Planck per il corpo nero. In ascissa la lunghezza d’onda, in ordinata
l’intensità della radiazione.
con σ detta costante di Stefan-Boltzmann
1
2hc2
hc
λ5 e λKT
−1
σ=
Legge di Stefan-Boltzmann
92.2.3
2K 4 π 5
15c2 h3
Legge di Wien
La potenza totale emessa dal corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della
temperatura. Tanto più il corpo è caldo, tanta più energia emette, ogni secondo, sotto
forma di radiazione elettromagnetica.
Se adesso guardiamo per quale valore di lunghezza d’onda avviene la massima
emissione di energia avremo che
P = σT 4
T λmax = b
186
187
Scheda92. Radiazione di corpo nero
con b detta costante dello spostamento di Wien
b = 2.8977685(51) · 10−3 mK
92.3
La spiegazione del fenomeno
La teoria classica dell’elettromagnetismo non è in grado di dare una spiegazione alla
radiazione di corpo nero. Come si vede in figura 92.1, la curva corrrispondente alla previsione classica è completamente differente dalla spiegazione, in accordo con
i dati sperimentali, data da Plank. Per ottenere il corretto spettro della radiazione,
Max Plank ipotizzò che la radiazione elettromagnetica potesse essere emessa ed assorbita dal corpo nero, unicamente in quanti di energia il cui valore era dipendente
dalla frequenza della radiazione
E = hν
dove E è l’energia del singolo quanto di radiazione, ν è la sua frequenza e h è la
costante di Plank
h = 6, 62606957(29) · 10−34 J · s
Autore: Andrea de Capoa
17 Mag 2016
Effetto fotoelettrico
93.1
Scheda 93
Il fenomeno
93.2
Considerazioni sul fenomeno
La spiegazione di questo fenomeno è possibile solo attraverso l’ipotesi dell’esistenza del fotone, la particella associata alla radiazione elettromegnetica di energia dipendente dalla frequenza. Nell’ipotesi classica di un’onda elettromagnetica non
quantizzata, tale fenomeno non sarebbe spiegabile.
Mandando un’onda elettromagnetica contro un materiale (tipicamente un metallo),
è possibile estrarre da esso un elettrone. L’energia dell’elettrone emesso dipenderà
dal tipo di materiale e dalla frequenza della radiazione elettromagnetica incidente.
La luce è fatta di particelle chiamate fotoni; l’energia del singolo fotone è
Eγ = hν
come ipotizzato da Max Plank nella spiegazione dello spettro di radiazione del corpo
nero. Detta ψ l’energia di legame dell’elettrone all’interno del materiale, l’energia
cinetica dell’elettrone emesso sarà
Ecin = hν − ψ
Questa formula ci dice che l’energia dell’elettrone emesso non dipende dall’intensità
dell’onda elettromagnetica incidente; se la frequenza dell’onda incidente non è tale
per cui il singolo fotone sia in grado di estrarre l’elettrone, allora tale elettrone non
può essere estratto, indipendentemente dalla quantità totale di energia incidente.
Ogni elettrone può assorbile un singolo fotone; se quel singolo fotone ha sufficiente energia, allora l’elettrone viene estratto, altrimenti no. Aumentando l’intensità
dell’onda elettromagnetica, si aumenta ilnumero di fotoni incidenti sul metallo, non
l’energia del singolo fotone che è invece determinata dalla sola frequenza dell’onda.
Fig. 93.1: L’energia cinetica dell’elettrone emesso da una lamina di zinco in funzione della frequenza dlla luce
incidente. Per frequenze al di sotto di un certa frequenza di soglia, l’elettrone non viene emesso.
Se adesso scriviamo l’energia di legame dell’elettrone nella forma
ψ = hν0
definiamo la frequenza di soglia ν0 olytre la quale una radiazione luminosa è in
grado di estrarre un elettrone da un determinato materiale. L’energia cinetica dell’elettrone emesso risulta quindi
Ecin = h (ν − ν0 )
Autore: Andrea de Capoa
188
26 Mag 2016
Modelli Atomici
94.1
Scheda 94
verificò che tali raggi erano costituiti sempre dalle stesse particelle, identificate con
l’elettrone, indipendentemente dal metallo da cui venivano estratte. Thomson ne
dedusse che tali particelle dovevano essere quindi costituenti di base degli atomi di
qualunque sostanza.
Modello atomico di Democrito
La prima ipotesi dell’esistenza degli atomi fu formulata
da Democrito nell’antica Grecia semplicemente immaginando un oggetto indivisibile. La stessa parola a-tomo significa non-divisibile. Tale modello era più che altro un’ipotesi e non la conseguenza di una ricerca scientifica, in
quanto a quei tempi non esistevano le capacità tecniche
per fare una tale ricerca. Dovranno passare molti secoli
Fig. 94.1: Un atomo nel
prima che le conoscenze tecnologiche possano essere tamodello di Democrito
li da indagare sulla struttura della materia a dimensioni
dell’ordine di grandezza del nanometro.
94.2
Modello atomico di Thomson
94.2.1
Struttura
94.3
L’esperimento di Rutherford ha permesso di capire
che la quasi totalità della massa dell’atomo è contenuta in un volume estremamente piccolo al centro
del volume occupato dall’atomo. Il modello atomico proposto da Rutherford descrive l’atomo in analogia ad un piccolo sistema planetario nel quale gli
elettroni negativi ruotano intorno ad un nucleo centrale positivo. Le dimensioni del diametro di tale
nucleo sono state stimate essere minori di circa un
fattore 104 .
Il modello atomico di Thomson descrive l’atomo come una sfera carica positivamente con all’interno un
certo numero di elettroni carichi negativamente. Questo tipo di modello è stato definito modello a panettone in analogia con un panettone nel quale l’uvetta
all’interno rappresenta gli elettroni nell’atomo. Tutta la massa dell’atomo è uniformemente distribuiFig. 94.2: Un atomo nel modello
ta sul volume occupato; questo ha come conseguendi Thomson
za che la densità dell’atomo sia relativamente bassa.
Esperimenti successivi dimostreranno che questa previsione del modello è falsa.
94.2.2
Modello atomico di Rutherford
94.3.1
Fig. 94.3: Un atomo nel modello di
Rutherford
Esperimento di Rutherford
La scoperta dell’esistenza di un nucleo all’interno dell’atomo che contiene quasi tutta la massa dell’atomo stesso ed ha un diametro diecimila volte minore di quello
dell’atomo, è stata ottenuta con l’esperimento di Rutherford.
Ruterford mandò delle particelle α contro una sottile lamina d’oro. Tali particelle , formate da due protoni e due neutroni, hanno un diametro diecimila volte più
piccolo di quello di un atomo ed una massa pari a quella dell’atomo di elio. Cosa ci
si aspettava di vedere? Credendo che l’atomo fosse una sfera tutta piena di materia,
la sua densità risultava molto bassa; visto che le particelle alpha sono molto piccole
e molto dense lo avrebbero attraversato in linea retta senza essere deviate (un po’
come sparare un proiettile di fucile contro un cuscino di piume). Quello che però
accadde è che alcune particelle venivano deviate, mentre altre addirittura tornavano
indietro. L’unica spiegazione possibile è che la massa dell’atomo non sia uniforme-
Formulazione del modello
Thomson fornulò il suo modello studiando i raggi catodici, flussi di particelle cariche
estratte da metalli sottoposti all’azione di forti differenze di potenziale. Thomson
189
190
Scheda94. Modelli Atomici
mente distribuita al suo interno, ma concentrata in un nucleo molto piccolo al suo
interno.
Vi consiglio di guardare i seguenti video per capire meglio ed approfondire l’argomento.
Fig. 94.4: Guarda il video youtu.be/5pZj0u_XMbc
Fig. 94.5: Guarda il video youtu.be/s4rTK3MkmE8
Fig. 94.6: Guarda il video youtu.be/jaqujJOFsRA
94.3.2
Problematiche aperte
In un tale modello atomico rimangono però aperte due problematiche: la prima riguardo alla stabilità degli atomi stessi, la seconda relativa agli spettri di assorbimento
ed emissione degli atomi. Vediamole adesso nel dettaglio tali problematiche. Esse
verranno poi superate con il modello atomico di Bohr.
• Un elettrone che orbita intorno ad un nucleo sta ovviamente subendo un’accelerazione centripeta. Ne consegue che deve emettere energia sotto forma di
radiazione elettromagnetica detta radiazione di sincrotrone. La conseguente perdita di energia porterebbe l’elettrone su orbite con raggi sempre minori, fino a
collassare sul nucleo. Il fatto stesso che la materia come la conosciamo è stabile,
implica che gli atomi di cui è costituita siano stabili.
• Un elettrone che cambia il livello orbitale su cui orbita, emette energia sotto
forma di onde elettromagnetiche. Nel modello di Rutherford ogni possibile orbita ed ogni possibile livellpo energetico sono ammessi, e di conseguenza gli
elettroni sono in grado di assorbire ed emettere radiazione di ogni possibile frequenza. Gli spettri di emissione ed assorbimento degli atomi, invece, mostrano
chiaramente che la luce è assorbita ed emessa con spettri a righe, ad indicare
che solo ed unicamente fotoni di fissata energia possono essere assorbiti od
emessi.
191
94.4
Scheda94. Modelli Atomici
Modello atomico di Bohr
Il modello atomico di Bohr introduce nel modello
dell’atomo il concetto di dualismo onda-corpuscolo,
in particolare introducendo la quantizzazione del
momento angolare dell’elettrone su di orbite circolari centrate nel nucleo. Questo dava spiegazione
sia della stabilità degli atomi, sia degli spettri di
emissione ed assorbimento degli stessi, superando i
problemi ancora irrisolti dal modello di Rutherford.
Per una trattazione più approfondita vedi la
scheda 95
Autore: Andrea de Capoa
17 Giu 2017
Fig. 94.7: Un atomo nel modello di
Bohr
Modello atomico di Bohr
95.1
Scheda 95
2. L’elettrone dovremme essere in grado di assorbire ed emettere radiazione elettromagnetica di qualunque frequenza. Dal momento che il raggio dell’orbita dell’elettrone nel modello di Rutherford può assumere qualunque valore
in modo continuo, allora esso può avere qualunque valore di energia e quindi, nel passare da un’orbita ad un’altra può assorbire ed emettere radiazione
elettromegnetica di qualunque energia.
Mappa della scheda
Utilizza questa mappa per studiare questa scheda. I contenuti spiegati nelle varie
sezioni sono qui organizzati allo scopo di rendere più agevole lo studio.
Quantizzazione del
momento angolare
Orbite circolari
Entrambe queste previsioni risultano false. E’ ovvio che le orbite degli elettroni non
collassano sui nuclei, perchè altrimenti la materia come la conosciamo non esisterebbe. E’ ovvio dall’analisi degli spettri di emissione ed assorbimento degli atomi
che gli elettroni all’interno degli atomi possono scambiare energia soltanto in modo
discreto.
Modello atomico di Bohr
Calcolo del
raggio dell’orbita
95.3
Il modello atomico di Bohr
1. ipotizza che gli elettroni occupino orbite circolari intorno al nucleo
Calcolo dell’energia
dell’orbita
Spiegazione degli
spettri atomici
95.2
L’idea di base
2. introduce il dualismo onda-corpuscolo associando ad un elettrone di
impulso p~ una lunghezza d’onda λ = hp
Spiegazione della
stabilità degli atomi
Dal momento che l’elettrone ha un comportamento ondulatorio, allora per evitare che l’elettrone faccia interferenza distruttiva con se stesso è necessario che, lungo l’orbita, l’onda dell’elettrone si richiuda perfettamente su se stessa. Nella figura
95.1 è mostrato graficamente il significato di tale relazione. Matematicmente questo
comporta che
Problematiche sul modello di Rutherford
Il modello atomico di Rutherford, sebbene sia stato un passo in avanti significativo
rispetto al modello di Thomson, presenta due problemi non trascurabili.
2πr = nλ
1. L’elettrone dovrebbe collassare sul nucleo. L’elettrone che ruota intorno al
nucleo è una carica accelerata e come tale emette radiazione di sincrotrone.
Perdendo energia, la sua orbita deve avvicinarsi sempre più al nucleo fino a
collassare su di esso.
con
n∈N
(95.1)
Sostituendo la lunghezza d’onda associata all’elettrone in questa relazione otteniamo
h
h
2πr = n
cioè 2πr = n
p
mV
192
193
Scheda95. Modello atomico di Bohr
gi. Cominciamo con l’affermare che, essendo l’orbita circolare, la forza centripeta
necessaria è data dalla forza di Coulomb tra l’elettrone ed il nucleo
e−
n=5
m
V2
Ze2
=K 2
rn
rn
da cui
n 2 ~2
KZe2
=
mrn3
rn2
P+
e−
n=6
n2 ~2
n 2 ~2
=
KZme2
KZme2
Il raggio dell’orbita è quindi quantizzato secondo il numero quantico n ∈ N
Analogalmente anche l’energia dell’elettrone risulta quantizzata. L’energia dell’elettrone è data dalla somma della sua energia cinetica e dell’energia potenziale
elettrostatica. Per cui
1
Ze2
En = mV 2 − K
2
rn
rn =
En =
Ze2
n 2 ~2
−K
2
2mrn
rn
Sostituendo il valore del raggio dell’orbita avremo
Fig. 95.1: In nero due orbite ammesse nel modello di Bohr nei casi con n = 5 ed n = 6; in rosso un’orbita
intermedia non ammessa.
da cui
V =
En =
En =
nh
n~
=
2πmr
mr
o analogalmente
nh
= n~
2π
Quest’ultima relazione mostra in modo esplicito, per orbite circolari, come l’equazione 95.1 implichi la quantizzazione del momento angolare dell’elettrone.
Avendo assunto che le orbite degli elettroni siano circolari, e considerando un
elettrone che ruota intorno ad un nucleo con numero atomico Z, il raggio dell’orbita dell’elettrone, corrispondente all’intero n, sarà ottenibile con i seguenti passag-
n2 ~2 4π 2 K 2 Z 2 m2 e4
Ze2 KZme2
−
K
8mπ 2 n4 ~4
n 2 ~2
K 2 Z 2 me4
Z 2 e4 K 2 m
−
2n2 ~2
n2 ~2
En = −
mV r =
Autore: Andrea de Capoa
17 Mag 2016
K 2 Z 2 me4 1
· 2
2~2
n
Introduzione alla fisica moderna
Scheda 96
Un percorso che dalla Grecia di duemila anni fa ci porta alla scoperta della struttura di base di cui è fatta tutta la materia del nostro universo.
Un secondo passo importante fu fatto da Democrito, il
quale ipotizzò che tutta la materia fosse fatta da elementi costituenti indivisibili, che chiamò atomi. Più che una
ricerca scientifica, quella di democrito fu un’ipotesi che a
quei tempi non c’era modo di verificare sperimentalmente.
Quest’idea rimase comunque valida per molti secoli; gli alchimisti prima ed i chimici successivamente, studiarono le
Fig. 96.2: Democrito
caratteristiche dei vari elementi chimici e dei loro composti, identificando in essi gli
atomi di democrito.
96.1
Poche semplici domande
• Come mai il vapore aqueo, l’acqua del mare ed il ghiaccio hanno proprietà
tanto differenti? in fondo sono tutti e tre fatti di sola acqua!
• Come mai i diamanti di un anello e la grafite della mina di una matita hanno proprietà tanto differenti se sono fatte tutte e due dello stesso elemento, il
carbonio?
• Cos’è il fuoco?
• Perchè nel mondo vediamo che esistono centinaia di migliaia di sostanze differenti?
• Perchè attraverso l’aria posso muovermi ma non posso attraversare un muro?
Tutte queste sono domande la cui risposta può essere data solo se studiamo com’è
fatta la materia nei suoi costituenti di base. Studiando le particelle elementari di cui
è fatta tutta la materia, e studiando il modo con cui esse interagiscono, possiamo
capire il comportamento della materia intorno a noi.
96.2
Empedocle e Democrito
Il primo tentativo di spiegare in modo semplice la moltitudine di sistanze presenti in natura fu fatto da Empedocle
ai tempi della Grecia antica. Egli identificò nei quattro elementi acqua, acqua, terra e fuoco gli elementi costituenti
Fig. 96.1: Empedocle
di ogni cosa. Non era un’idea tanto assurda, visto che ha
identificato proprio quattro degli stati in cui si può trovare la materia: liquido, gas,
solido e plasma.
Fig. 96.3: I quattro elementi
194
195
96.3
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
gallio e ed il germanio; ma permise anche di prevederne
le proprietà chimiche prima ancora della loro scoperta.
Newton
Fu Isaac Newton che per primo formalizzò i principi della dinamica e con la formulazione della legge di
gravitazione universale
F =G
M ·m
r2
diede una descrizione per quel tempo molto accurata della forza di gravità. La forza di gravità che fa cadere gli
oggetti sulla Terra non era, in linea di principio la stessa
Fig. 96.4: Newton
forza che fa muovere i pianeti intorno al Sole. Newton
per primo dimostrò invece il contrario ed unificò la descrizione della forza di gravità sulla Terra con la descrizione della forza di attrazione
tra corpi celesti, riportando entrambe alla stessa natura: la forza gravitazionale.
La tavola periodica rappresentava gli elementi chimici rappresentando in colonna gli elementi con proprietà chimiche analoghe; percorrendo le colonne dall’alto
verso il basso si ottenevano elementi sempre più massivi e sempre più instabili. Contando inoltre gli elementi sulla proma riga essi sono 2 = 2 · 1; sulla seconda e sulla
terza sono 8 = 2 · (1 + 3); sulla quarta e sulla quinta sono 18 = 2 · (1 + 3 + 5); sulla
sesta e sulla settima sono 32 = 2 · (1 + 3 + 5 + 7).
Il fatto che gli elementi fossero organizzabili in una struttura ordinata che rispecchiava analogie nelle caratteristiche chimiche e fisiche e ricorrenze matimatiche ben
definite, fece supporre che doveva esserci una qualche struttura interna che desse
ragione di tali analogie.
Ulteriori progressi nella descrizione della forza grafitazionale saranno poi fatti
con Albert Einstain e la sua teroia della relatività generale.
96.4
Mendeleev
Lo studio della chimica e delle differenti reazioni chimiche che potevano avvenire tra
differenti composti, ha permesso di sviluppare l’idea di Democrito, ed identificare
poco più di 100 differenti elementi chimici.
Attraverso la loro combinazione potevano essere
spiegate le caratteristiche di tutte le sostanze chimiche
conosciute.
Fu Mendeleev che nel 1869 propose di rappresentare tutti gli elementi chimici in uno schema ordinato che
adesso chiamiamo tavola periodica degli elementi. La rappresentazione di tutti gli elementi conosciuti in tale schema non solo permise di prevedere la scoperta di tre elementi chimici al tempo sconosciuti, quali lo scandio, il
Fig. 96.6: Tavola periodica
Fig. 96.5: Mendeleev
196
96.5
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
Rutherford
L’esperimento di Ruterford per la prima volta dimostrò l’esistenza di una struttura interna agli atomi. Utilizzando
particelle α, le cui dimensioni sono diecimila volte minori di quelle degli atomi, potè indagare la struttura interna
degli atomi. Nonostante il nome dato da Democrito, l’atomo non era più indivisibile, ma aveva una struttura interna.
Con le informazioni di Rutherford e le informazioni sui decadimenti radioattivi, fu breve il passo per arrivare a comFig. 96.7: Rutherford
prendere che la totalità degli elementi chimici è spiegabile
utilizzando unicamente tre paticelle: protoni, neutroni ed elettroni. A questo punto
tutta la materia era descritta da queste tre particelle e da due forze: la forza di gravità
e l’elettromagnetismo.
96.6
Nuove particelle
La capacità di costruire le prime camere a nebbia permise la possibilità di osservare
i raggi cosmici e questo fu il primo passo che portò alla scoperta del positrone, del
muone e di molte altre particelle. Queste particelle lasciavano una traccia all’interno
del rivelatore; dall’analisi di quella traccia era possibile risalire ai valori di carica
elettrica e di massa, e quindi all’identificazione della particella.
Fig. 96.8: La scoperta del positrone, la prima particella di antimateria osservata.
Non solo sempre nuove particelle venicano scoperte, ma si osservavano anche i
loro decadimenti. Le particelle ad un certo punto della loro vita, decadono lasciando
il posto ad altre particelle.
La scoperta di nuove particelle, dei loro decadimenti, dell’antimateria, e di tutta una serie di fenomeni legati alle particelle, ha portato i ficisi ad approfondire la
ricerca tramite la costruzione degli acceleratori di particelle. prima dell’era degli acceleratori, la fonte primaria di particelle erano i raggi cosmici. All’aumentare delle
energie richieste, i raggi cosmici sono sempre più rari, ed era quindi necessario poter
produrre le particelle in modo controllato nei laboratori. Lo scopo degli acceleratori era quello di produrre nuove particelle, creandone la massa a partire dall’energia
cinetica data alle particelle iniziali, secondo l’equazione E = mc2 . La conseguenza
dell’utilizzo degli acceleratori è stata la scoperta di letteralmente centinaia di nuove
particelle, anch’esse soggette a regole ed analogie esattamente come succedeva per
gli elementi chimici.
Risultava quindi evidente che un nuovo livello di semplificazione doveva essere
raggiunto.
197
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
menti mostrarono come la luce si comportasse, a seconda dei vari casi, a volte come
un’onda ed a volte come una particella. Questa fu una delle scoperte che portarono
alla formulazione della meccanica quantistica, nella quale le particelle erano descritte
da funzioni di probabilità di misurare, se osservate, determinate caratteristiche.
Allo stesso modo, come la luce, che è ovviamente un fenomeno ondulatorio, mostra comprtamenti di particella, analogalmente le particelle mostrano comportamenti di onda. Fu il fisico Louis de Broglie che associò ad ogni particella una lunghezza
d’onda legata all’impulso della particella ed alla costante di Plank
λ=
96.8
Fig. 96.9: La scoperta della particella
96.7
Ω−
Il dualismo onda-corpuscolo
Fig. 96.10: La radiazione di corpo nero
Nei primi anni del novecendo lo studio della radiazione di corpo nero da
parte di Heisemberg, lo studio dell’effetto Compton da parte del fisico
A. H. Compton, e lo studio dell’effetto fotoelettrico da parte di Albert
Einstain, furono la base della meccanica quantistica, la quale descriveva i fenomeni naturali in un modo
completamente differente da quanto
precedentemente fatto fino ad allora
con la meccanica Newtoniana.
In particolare questi tre esperi-
h
p
l’ipotesi dei quark
Nel 1964 Murray Gell-Mann e George Zweig ipotizzarono che tutte le particelle potessero essere descritte come combinazioni di tre
sole particelle fondamentali che chiamarono quark. All’aumentare delle energie degli acceleratori, si disponeva quindi di particelle
di lunghezza d’onda sempre minore e quindi in grado di indagare
Fig. 96.12: Un
la struttura interna dei protoni, analogalmente a quanto fece Ruprotone
therford con gli atomi. Gli esperimenti evidenziarono all’interno
del protone una struttura composta da tre particelle. Le tre particelle sono estremamente legate tra loro, tanto che per separale l’energia necessaria sarebbe tale da
creare nuova materia prima ancora che le particelle si separino.
96.9
Le forze come scambio di particelle
La scoperta della natura corpuscolare della luce ed il collegamento della luce con
l’elettromagnetismo apre le porte alla formulazione di una descrizione dell’elettromagnetismo come una interazione che avviene a causa dello scambio di un fotone
tra due cariche elettriche. L’idea che un’interazione sia di fatto lo scambio di una
particella, si ripropone anche per le altre interazione fondametali. La forza elettromagnetica è descritta dallo scambio di un fotone; l’interazione debole, causa dei de-
198
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
la cui individuazione, nel 2012, ha permesso di avere la prima verifica sperimentale
della teoria di Higgs.
1
st
standard matter
12 fermions
(+12 anti-fermions)
increasing mass →
±1
1
91.2 GeV
W± Z
1/2
1
1
5 bosons
(+1 opposite charge W )
Fig. 96.15: Il modello Standard con il bosone di Higgs.
gravitational force (mass)
80.4 GeV
0
weak nuclear force (weak isospin)
γ
photon
1/2
ντ
τ neutrino
1
−1
< 18.2 MeV
1/2
H
Higgs
electromagnetic force (charge)
tau
r
1.777 GeV
lo
g
gluon
1/2
strong nuclear force (color)
co
µ neutrino
bottom
τ
1/2
νµ
1/2
−1/3
/B
−1
< 190 keV
νe
spin
G
R/
muon
4.7 GeV
1/2
outside
standard model
125.1 GeV
charge
colors
mass
b
1/2
µ
1/2
/B
105.7 MeV
−1
G
s
strange
R/
−1/3
1/2
2/3
top
/B
Peter
95 MeV
G
R/
Per descrivere anche la massa delle particelle, Peter Higgs
nel 1964 avanzò l’ipotesi dell’esistenza di un campo scalare
che pervade tutto l’universo e con il quale le particelle interagiscono. La differente
massa delle varie particelle sarebbe la conseguenza di come queste interagiscono con
il campo di Higgs. Come per tutti i campi, al campo di Higgs corrisponde un bosone
Higgs
/B
Fig. 96.14:
G
Tutta la materia e tre delle quattro interazioni fondamentali
sono spiegate da sedici particelle. Quello che ancora non veniva spiegato era la massa delle singole particelle. Il modello
standard descrive infatti tutte le particelle come puntiformi
senza coinvolgere la loro massa.
−1/3
/B
6 leptons
(+6 anti-leptons)
Il modello standard e il bosone di Higgs
1/2
< 2 eV
e neutrino
96.10
charm
e
electron
173.2 GeV
Goldstone
bosons
generation
force carriers
t
1/2
d
511 keV
cadimenti, è mediata dai bosoni W ± e Z0 ; l’interazione forte è mediata da particelle
chiamate gluoni. Queste particelle, insieme a quelle costituenti della materia, entrano
in un’unica teoria delle particelle chiamata Modello standard.
c
G
R/
4.8 MeV
2/3
R/
up
down
Fig. 96.13: un’interazione tra particelle consiste in uno scambio di un bosone
/B
G
6 quarks
(+6 anti-quarks)
u
3
rd
unstable matter
1.28 GeV
2/3
R/
2.3 MeV
2nd
graviton
199
96.11
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
96.12
Sviluppi futuri
Se adesso guardiamo la struttura dello schema del modello standard, troviamo delle analogie con quanto già succedeva nella
tavola periodica.
Le GUT
Nel modello standard manca la descrizione quantistica dell’interazione gravitazionale. Il motivo è che rispetto alle tre precedenti, l’interazione gravitazionale è estremamente debole e mal si concilia con le precedenti. Inoltre, l’attuale descrizione
della forza di gravità, data dalla teoria della relatività generale di Einstain, non prevede alcun tipo di quantizzazione. Probabilmente la descrizione quantistica della
forza di gravità avviene ad energie ancora troppo grandi per i nostri acceleratori e
non possiamo ancora esplorare tale fenomeno.
Muovendosi dall’alto verso il basso nello schema del modello standard otteniamo
particelle dalle differenti caratteristiche; metre muovendosi in orizzontale sullo schema
le particelle hanno caratteristiche simili (come per esempio la carica elettrica o il numero
barionico). Muovendoci in orizzontale, inoltre, il modello standard prevede particelle
sempre più massive e sempre più instabili.
Fig. 96.16: Struttura della materia, dai com-
Nella tavola periodica questo avveniva in
modo simile, per cui muovendosi in orizzontale sullo schema si avevano colonne di elementi chimici con propriètà chimiche analoghe, mentre muovendosi sullo schema dall’alto verso il basso si ottenevano elementi sempre più massivi e sempre più
instabili.
posti, agli atomi, alle particelle, ai quark, alle
stringhe.
Per questo motivo molti fisici avanzano l’ipotesi che esista un nuovo livello di
semplificazione che descriva tutte le particelle del modello standard utilizzando un
numero minore di elementi. Di qui l’ipotesi dell’esistenza di particelle fondamentali
dette prioni o teorie delle stringhe che descrivono ogni particella come divers stati di
oscilazione di oggetti chiamati stringhe. Tutte queste sono belle idee, ma non esiste
ancora alcuna indicazione sperimentale della loro veridicità.
Fig. 96.17: Il modello GUT di grande unificazione
96.13
L’oscillazione dei neutrini
Di tutte le particelle del modello standard i neutrini giocano un ruolo particolarmente importante. Sono particelle che interagiscono molto poco con la materia, basti
pensare che la stragrande maggioranza di loro attraversa in mostro pianeta senza
minimamente interagire con esso. Non conosciamo il valore della loro massa, in
200
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
quanto questa è tanto piccola da essere paragonabile agli errori di misura dei nostri
strumenti. Sappiamo però che essi hanno una massa in quanto si è visto che essi
cambiano sapore quando viaggiano per lunghe distanze.
96.14
Nascita ed evoluzione dell’universo
In un fascio composto interamente da neutrini del muone νµ dopo un certo periodo di tempo è possibile trovare neutrini ντ della particella τ . Per vedere questo i ricercatori del CERN hanno prodotto fasci di
Fig. 96.18: Il decadimento del pione
muoni utilizzando il decadimento di
pioni. Il fascio di neutrini è stato prodotto in modo tale da essere diretto esattamente
verso i laboratori INFN del Gran-Sasso dove è stato possibile rilevarli. Al Gran-Sasso
hanno osservato diverso neutrini ντ all’interno del fascio di neutrini νµ provenienti
dal CERN.
Fig. 96.20: Storia dell’universo: da wikipedia: Una rappresentazione grafica dell’espansione dell’universo,
in cui due dimensioni spaziali non sono rappresentate. Le sezioni circolari della figura rappresentano le
configurazioni spaziali in ogni istante del tempo cosmologico. La variazione di curvatura rappresenta
l’accelerazione dell’espansione, iniziata a metà dell’espansione e tuttora in corso. L’epoca inflazionaria è
contraddistinta dalla rapidissima espansione della dimensione spaziale sulla sinistra. La rappresentazione della radiazione cosmica di fondo come una superficie, e non come un cerchio, è un aspetto grafico
privo di significato fisico. Analogamente in questo diagramma le stelle dovrebbero essere rappresentate
come linee e non come punti.
Fig. 96.19: Il percorso dei neutrini dal CERN al Gran Sasso
Lo studio delle particelle elementari ci ha permesso di comprendere i meccanismi di funzionamento delle stelle, dalla loro fomazione ed evoluzione fino alla loro
morte; gli stessi principi ci hanno permesso di avere un modello dell’evoluzione dell’universo dai primi istanti di vita fino ai giorni nostri. L’osservazione delle galassie
lontane ha infatti permesso di determinare che tutte le galassie si stanno all’ntanando
201
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
da noi con una velocità proporzionale alla loro distanza da noi. Questo fatto è stato
interpretato come un’espansione dell’universo stesso, piuttosto che un movimento
delle galassie all’interno dell’universo. Questa espansione, ripercorsa indietro nel
tempo, ci porta ad una contrazione dell’universo fino alle dimensioni di un punto
singolare. nel fare questo percorso al contrario nel tempo, le conoscenze ottenute
in laboratorio ci hanno permesso di comprendere ciò che accadde in passato fino al
tempo t = 10−32 s. Ciò che accadde prima è ancora fuori dalla nostra portata.
a perdersi nello spazio. In modo analogo per il nostro universo, la presenza di massa determina la presenza di energia potenziale gravitazionale e quindi la tendenza
a rallentare l’espandsione; la presenza di energia cinetica determina invece la tendenza ad aumentare il ritmo dell’espansione. Per determinare il futuro del nostro
universo è determinante sapere quanta massa e quanta energia ci siano dentro di
esso.
96.15
La materia oscura
Lo studio della rotazione delle stelle intorno alle galassie è concettualmente piuttosto semplice. Il movimento delle stelle intorno al nucleo della galassia è un moto
circolare la cui forza centripeta è data dall’attrazione gravitazionale tra le stelle della
galassia stessa.
Fig. 96.21: Mappa della radiazione cosmica di fondo.
Ciò che accadrà invece nel futuro è molto più incerto. L’universo potrebbe espandersi all’infinito raffreddandosi sempre di più; potrebbe invece espandersi asintoticamente stabilizzandosi verso un determinato valore del suo volume, o riprendere a
contrarsi verso una sorta di BigBang al contrario. Un fatto cruciale per determinare
quale sarà l’evoluzione del nostro universo, è determinare quanta massa e quanta
energia siano presenti. In un’analogia con il lancio di un satellite intorno alla Terra, se l’energia potenziale gravitazionale del satellite predomina sull’energia cinetica
dello stesso, allora il satellite è destinato a ricadere sulla superficie. Se l’energia cinetica è superiore all’energia potenziale gravitazionale, allora il satellite è destinato
Fig. 96.22: velocità di rotazione delle stelle intorno alla galassia M33.
202
Osservando quindi la luce proveniente dalle stelle è quindi possibile conoscere
la loro posizione e la loro velocità, ed è quindi possibile predire il loro movimento
intorno al centro della galassia. I dati sperimentali però sono in netta contraddizione
con le previsioni teoriche. Dai dati risulta evidente che c’è molta più massa presente
nella galassia di quanta siamo effettivamente di grado di vedere. Si stima che la materia visibile nel nostro universo è poi solo il 5% del totale. Il restante viene chiamato
materia oscura. Determinare la natura della materia oscura, oltre che farci progredire
nella conoscenza del nostro universo , può darci informazioni sull’evoluzione futura
dello stesso, nonchè aprire nuove finestre sulle leggi di fisica fondamentali.
Scheda96. Introduzione alla fisica moderna
Il CERN
Scheda 97
Una breve descrizione dell’acceleratore più grande del mondo
97.1
Un concetto basilare
Una delle formule più famose della storia della fisica è
E = mc2
che stabilisce un semplice principio: l’equivalenza tra massa ed energia.
97.2
Perchè accelerare le particelle?
Fig. 97.1: Schema di accelerazione lineare
Molte delle particelle che studiamo nel modello standard hanno masse molto grandi. Per poterle creare e di conseguenza studiere, dovremo partire da energie molto
grandi. Per questo motivo prendiamo delle particelle e gli forniamo energia cinetica.
97.3
97.4
Come avvengono le collisioni?
Per avere un numero di collisini sufficiente a generare un numero significativo di
eventi, è necessario far collidere un numero molto alto di particelle.
Come accelero una particella?
In un esperimento a bersaglio fisso le particelle sono raggruppate in fascio che
va ad incidere contro un bersaglio fisso. Molta dell’energia è racchiusa nel centro
di massa e non può essere utilizzata nell’esperimento. In un esperimento di tipo
collider, due fasci vengono fatti scontrare uno contro l’altro; l’energia del centro di
massa è nulla e tutta l’energia può essere utilizzata per creare nuova materia.
L’accelerazione di una particella avviene in quanto essa viene immersa in un campo
elettrico.
Negli acceleratori lineari è sufficiente questo, ma per raggiungere energie sempre
più alte avrei bisogno di acceleratori sempre più lunghi. Il passaggio agli acceleratori
circolari permette di accelerare le particelle ad ogni loro giro; è sufficiente vincolarli
a muoversi su di un percorso circolare immergendoli in un campo magnetico.
97.5
L’accelerazione di un fascio di particelle è però complicata dal fatto che le particelle non hanno tutte la stessa identica velocità, e mentre le accelerano non rimengono necessariamente insieme. Ecco perchè all’interno del fascio particelle diverse
devono essere accelerate in modo differente per poter rimanere impacchettate nel
fascio.
Cosa misuro quando rilevo una particella?
Rivelare una particella che vive pochi miliardesi mi secondo e poi decade, significa
rivelare i prodotti del suo decadimento. Dall’analisi dei prodotti possiamo capire le
caratteristiche della particella iniziale.
203
204
Scheda97. Il CERN
97.6
L’analisi dei dati
L’analisi dei dati consiste principalmente nel verificare l’esistenza di un picco nel
numero di eventi che presentano un determinato schema nel numero e nel tipo di
particelle del decadimento.
Fig. 97.2: Schema del rivelatore CMS
97.5.1
Prima fase: tracking
La prima fase della rivelazione delle particelle consiste nel sapere con precisione la
loro carica elettrica e il loro impulso. Il modo di ottenere queste informazioni è quello
di osservare il percorso che queste particelle fanno immerse in un campo magnetico.
97.5.2
Seconda fase: I calorimetri
Diversi stadi di calorimetri misurano infine l’energia totale delle particelle. Alcuni
calorimetri sono specifici per i protoni; altri per gli adroni carichi o neutri; altri per
gli elettroni; altri per i fotoni. A seconda di quale rivelatore registra l’energia della
particella ho quindi anche informazione su quale sia la particella.
Fig. 97.3: Analisi del numero di eventi che presentano un decadimento in µ+ µ−
Fig. 97.4: Decadimento di un tauone
205
Scheda97. Il CERN
Fig. 97.5: Traccia di un decadimento che ha generato due muoni
206
Scheda97. Il CERN
Fig. 97.6: La creazione del bosone di Higgs, a seconda del tipo di decadimento analizzato.
Parte XIII
Laboratorio
207
Mappe sull’attività di laboratorio
Tipologie
di errori
statistici
sistematici
Propagazione
degli errori
Errori di
misura
Propagazione
gaussiana
P ∂y 2 2
2
σy = i ∂x
σxi
i
assoluti
relativi
Ea
Er = M
is
Tecniche di misura
Misure cumulate
T = Tnn
Ea = Ea−n
n
Autore: Andrea de Capoa
Scheda 98
6 Apr 2017
208
Misure ripetute
T = Tmedio
min
Ea = Tmax −T
2
Somma di
grandezze
Ea+ = Ea1 + Ea2
Prodotto di
grandezze
Er· = Er1 + Er2
Errori di misura
Scheda 99
Vedi anche il video:
23, 2 mm < d < 23, 3 mm
d = 23, 25 mm ± 0, 05 mm
Cos’è cambiato? Utilizzando uno strumento molto migliore, è stato possibile eseguire la misura con un livello di incertezza assoluta molto minore. Se con il righello
potevo solo guardare i millimetri e non potevo dire nulla al di sotto del millimetro,
con il calibro posso fare affermazioni anche al livello del ventesimo di millimetro.
La misura precedente non è sbagliata, semplicemente è più incerta: le due misure,
infatti, sebbene diano valori differenti, sono in realtà in perfetto accordo.
Fig. 99.1: Guarda il video youtu.be/x15bIfYlhys
99.1
Il valore della misura e l’errore assoluto
Prendiamo un righello e misuriamo il
diametro di una moneta da 1 euro. Come potete vedere in figura 99.2, si può
solo affermare che il diametro d vale un
numero compreso tra 23 mm e 24 mm,
visto che il bordo della moneta è posto tra le due stanghette corrispondenti
a tali misure.
99.1.1
Cifre significative
In tutte le misure precedenti sono state scritte un numero di cifre dopo la virgola
in base al valore dell’errore assoluto sulla misura. Se l’errore assoluto riguardava la
prima cifra dopo la virgola, allora la misura è stata scritta con una sola cifra dopo la
virgola. Se l’errore assoluto riguardasse la terza cifra dopo la virgola, allora la misura
deve essere scritta con tre cifre dopo la virgola anche se queste cifre sono degli zeri.
Per cui sono corrette le seguenti misure:
23 mm < d < 24 mm
Utilizzando un semplice righello noi
non possiamo dire nulla di più preciso.
Il risultato finale della nostra misura sarà
(99.2)
L = 8, 34 m ± 0, 02 m
L = 8, 345 m ± 0, 002 m
Fig. 99.2: Misura del diametro di una moneta
L = 8, 3450 m ± 0, 0002 m
utilizzando un righello.
d = 23, 5 mm ± 0, 5 mm
In questo modo soltanto l’ultima cifra dopo la virgola è incerta, mentre tutte le
altre sono esatte. Scrivendo ogni misura in questo modo possiamo introdurre il concetto di cifre significative. Il numero di cifre significative in una misura è pari al
numero di cifre del numero con esclusione degli zeri che si trovano davanti alla prima cifra non nulla. Le seguenti misure hanno rispettivamente tre, quattro e cinque
cifre significative. Ovviamente se cambiassimo unità di misura non cambierebbe il
numero di cifre significative della misura.
(99.1)
La grandezza 23, 5 mm è il valore della misura; la grandezza 0, 5 mm è detta errore
assoluto sulla misura. Entrambe hanno la loro unità di misura.
Se adesso ripetiamo la stessa misura utilizzando uno strumendo migliore, come
per esempio un calibro ventesimale, il valore della misura del diametro della stessa
moneta risulta essere
209
210
Scheda99. Errori di misura
M = 8, 34 kg ± 0, 02 kg
M = 8, 340 kg ± 0, 002 kg
M = 0, 083450 kg ± 0, 000002 kg
99.1.2
Errori di misura
Se prima abbiamo visto che ad ogni misura va associata un’incertezza a seconda
di come è fatto lo strumento di misura, introduciamo adesso altri due fattori che
influiscono in modo molto significativo sul risultato della misura. Essi sono detti
errore statistico ed errore sistematico.
Errore sistematico
L’errore sistematico è un errore dovuto alla qualità degli stumenti utilizzati o al metodo di misura seguito. Generalmente questo tipo di errore è sempre per eccesso o
per difetto. Immaginate di pesarvi su di una bilancia che inizialmente non ha la lancetta che punta bene sullo zero, ma, senza che voi siate saliti, segna un kilogrammo;
risulta evidente che chiunque salga su quella bilancia misura la sua massa ottenendo
un valore di un kilogrammo più grande del valore corretto. Analogalmente se utilizzate un righello senza preoccuparvi di far coincidere lo zero con l’inizio del segmento
da misurare, otterrete nuovamente un valore non corretto. Se misurate un intervallo
di tempo con un cronometro che ritarda, otterrete un valore inferiore rispetto al valore corretto. Per loro natura tali errori sono in linea di principio riconoscibili ed è
possibile correggerli; in tal caso non creano problemi alla misura. Spesso però non
è facile individuare la presenza di un errore sistematico, richiando quindi di non
cancellarlo ed ottenere misure non corrette. Errori sistematici possono essere anche
dovuti al metodo di misura utilizzato. Immaginiamo di misurare la profondità di un
pozzo misurando in quanto tempo un sasso, lasciato cadere nel pozzo, raggiunge il
fondo dello stesso. Per farlo faremo partire il cronometro quando lasciamo cadere
il sasso, e fermiamo il cronometro quando sentiamo il rumore del sasso che tocca il
fondo. L’intervallo di tempo che intendevamo misurare è quello che impiega il sasso
a cadere; quello che effettivamente abbiamo misurato è però un po’ più lungo, in
quanto il suono dell’impatto del sasso impiega un certo tempo ad arrivare al nostro
orecchio.
Errore accidentale
In un processo di misura, anche ammettendo di aver corretto tutti gli errori sistematici, esistono tutta una serie di fattori che non sono sotto il nostro diretto controllo.
Se immaginiamo di misurare la durata del rosso ad un semaforo con un cronometro,
scopriremo che, ripetendo la misura molte volte, non otteniamo sempre lo stesso valore, ma otteniamo invece misure che oscillano tra un minimo ed un massimo che
distano tra loro qualche decimo di secondo. Perchè? Scegliendo un cronometro con
una sensibilità di un centesimo di secondo, ed ammettendo che il circuito elettronico
che regola la temporizzazione del semaforo abbia anch’esso incertezze dell’ordine
del centesimo di secondo, la fonte di un tale errore deve essere cercata nel metodo di
misura. Quando facciamo partire il cronometro e quando lo fermiamo noi introduciamo un errore dovuto alla prontezza dei nostri riflessi; nell’azionare il cronometro,
a volte lo facciamo troppo presto, a volte troppo tardi, quindi ogni volta otteniamo
valori differenti, sbagliati per eccesso o per difetto, anche misurando sempre la stessa
cosa. Per questo motivo il tipo di errore che facciamo lo chiamiamo errore accidentale.
Per sua natura l’errore statistico è meno problematico dell’errore sistematico, sebbene esso non possa essere cancellato o corretto, è però più facilmente riconoscibile e
può essere facilmente ridotto, anche se non può mai essere cancellato.
99.1.3
Misure ripetute
Stabilito che ripetendo tante volte la stessa misura ci si aspetta di ottenere sempre
risultati leggermente differenti, in accordo con quanto indicato dall’errore assoluto,
cosa possiamo affermare riguardo al risultato della misura dopo un certo numero di
prove effettuate? Per rispodendere a questa domanda cominciamo col considerare
che è ragionevole pensare che gli errori accidentali capitino con eguale probabilità
sia per difetto che per eccesso. Ci si aspetta quindi che due o più errori accidentali,
sommati tra loro, tenderanno statisticamente a cancellarsi.
La questione si risolve quindi affermando che il valore della misura corrisponde
al valor medio delle misure effettuate. Per cui, su un numero n di misure xi avremo
211
Scheda99. Errori di misura
x1 + x2 + x3 + ... + xn
Xm =
n
In questo modo gli errori accidentali tenderanno a cancellarsi tra loro permettendomi di trovare il valore cercato.
Dobbiamo adesso stimare quale sia l’errore assoluto da assegnare alla misura così
ricavata. Una prima stima la si può ottenere valutando la differenza tra la maggiore
e la minore delle misure effettuate per cui
xmax − xmin
Ea =
2
99.1.4
Precisione ed errore relativo
Definiamo la precisione della misura utilizzando l’errore relativo della misura, definito come il rapporto tra l’errore assoluto ed il valore della misura.
Ea
M isura
che nel caso delle misure 99.1 e 99.2 diventa
Er =
Er1 =
Er2
0, 5 mm
' 0, 0213 = 2, 13%
23, 5 mm
0, 05 mm
=
' 0, 00215 = 0, 215%
23, 25 mm
da cui risulta evidente che la seconda misura è molto più precisa. Notate che
l’errore relativo non ha una unità di misura, quindi è possibile confrontare la precisione di misure fatte su grandezze fisiche non omogenee. Per esempio se scriviamole
seguenti due misure
M = 1, 3 kg ± 0, 1 kg
d = 23, 5 mm ± 0, 5 mm
calcolandone gli errori relativi avremo
ErM =
0, 1 kg
' 0, 077 = 7, 7%
1, 3 kg
0, 5 mm
' 0, 0213 = 2, 13%
23, 5 mm
da cui si vede facilmente che la misura più precisa è quella del diametro della moneta. Non importa se le due misure siano una di massa e l’altra di lunghezza: i due
errori relativi sono omogenei e possono essere confrontati.
Erd =
99.1.5
Valutazione dell’errore su misure indirette
Immaginiamo di avere un oggetto di forma rettangolare e di misurare con un righello la base e l’altezza di quel rettangolo. Immaginiamo che le due misure siano le
seguenti:
h = 150 cm ± 3 cm; Er = 2%
b = 200 cm ± 6 cm; Er = 3%
Il semiperimetro del rettangolo si calcola sommando le due misure e sommando
gli errori assoluti sulle misure.
p = 350 cm ± 9 cm
L’errore assoluto sulla somma o sulla differenza di misure è pari alla somma
degli errori assoluti sulla misura.
Il perimetro del rettangolo si calcola moltiplicando per 2 il valore del semiperimetro
2p = 700 cm ± 18 cm
L’errore assoluto sul prodotto di un numero per una misura è pari al prodotto
di tale numero per l’errore assoluto sulla misura.
L’area del rettangolo si calcola moltiplicando le due misure e sommando gli errori
relativi sulle misure. Ovviamente è necessario calcolare prima l’errore relativo e poi
quello assoluto.
A = 30000 cm2 ± 1500 cm2 ; Er = 5%
L’errore relativo sul prodotto o sulla divisione di misure è pari alla somma
degli errori relativi sulle misure.
212
Autore: Andrea de Capoa
Scheda99. Errori di misura
17 Feb 2016
Distribuzione Gaussiana
Scheda 100
Cosa succede se facciamo tante misure ripetute della stessa grandezza fisica? Sicuramente non otterremo mai lo stesso valore; possiamo comunque chiederci se i
valori che otteniamo saranno molto vicini al valore corretto della misura, oppure possiamo chiederci quanto sia probabile ottenere un valore distante dal valore corretto
pur avendo eseguito bene l’esperimento. Per rispondere a queste domande dobbiamo innanzi tutto mettere su di un grafico i risultati di uno stesso esperimento
eseguito un numero molto alto di volte. In questa scheda mostriamo i risultati di un
esperimento nel quale abbiamo misurato il valore del periodo di oscillazione di un
pendolo un numero molto alto di volte.
100.1
T
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
La distribuzione Gaussiana
n◦
0
0
0
0
0
0
2
18
35
87
T
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
n◦
144
244
357
468
498
556
534
420
350
219
T
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
n◦
151
65
39
8
3
0
0
0
0
0
Tabella 100.1: Dati sperimentali raccolti in classi dell’ampiezza di 0, 1 s. Per ogni valore riportato dal cronometro, nella seconda colonna della tabella viene riportato il numero di volte che tale valore è stato visto comparire
sul cronometro. In totale sono state fatte 4213 misure. La media delle misure viene Tmed = 4, 5 s; la varianza delle
misure vale σT = 0, 3 s
Immaginiamo di eseguire un numero molto alto di volte la misura del tempo di oscillazione di un pendolo. Come sappiamo non otteremo sempre lo stesso valore; nella
tabella 100.1 sono riportati i valori ottenuti misurando il periodo di oscillazione dello
stesso pendolo per 4213 volte. Come potete osservare la maggior parte delle volte il
valore ottenuto si avvicina molto alla media, e solo poche volte si ottengono valori
molto diversi dal valore media. Possiamo dire che tanto più un valore è distante dal
valore atteso, tanto meno è probabile che tale valore venga ottenuto in una misura.
Se mostriamo i dati su di un grafico, dove sulle ascisse mettiamo il valore misurato
e sulle ordinate il numero di volte che tale valore è stato ottenuto, vediamo che il
disegno che otteniamo ha una forma a campana che ha una funzione matematica ben
precisa ed è chiamata gaussiana. La curva gaussiana è definita da due parametri: il
valore medio e la varianza. Il valore medio altro non è se non la media di tutti i dati
sperimentali ottenuti; la varianza è un parametro legato a quanto la curva si allarga e
quindi a quanto i dati risultano lontani dal valore medio. Per la gaussiana di questo
esperimento avremo che
100.2
Il risultato della singola misura
Chiediamoci: se noi eseguissimo un’altra misura, quale valore ci attendiamo che
venga? Sicuramente potrebbe venire un qualunque valore, ma sarà più probabile
che venga un valore vicino al valore medio, e sarà meno probabile che venga un
valore distante dal valore medio.
Data la curva gaussiana che è stata ottenuta a seguito dei dati dell’esperimento, avremo che il valore della misura ed il corrispondente errore assoluto dovranno
essere scritti nel seguente modo:
T = 4, 5 s ± 0, 3 s
Tmed = 4, 5 s
che considerando le caratteristiche della curva gaussiana significa: ho il 68, 3% di
probabilità che la prossima misura venga compresa tra un minimo di 4, 2 s ed un massimo di
4, 8 s
σT = 0, 3 s
213
214
Scheda100. Distribuzione Gaussiana
Se non sono soddisfatto della mia affermazione e voglio dire qualcosa di più
sicuro anche se meno preciso allora posso raddoppiare l’errore assoluto e dire
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
T = 4, 5 s ± 0, 6 s
che considerando le caratteristiche della curva gaussiana significa: ho il 95, 5% di
probabilità che la prossima misura venga compresa tra un minimo di 3, 9 s ed un massimo di
5, 1 s
Se non sono soddisfatto della mia affermazione e voglio dire qualcosa di ancora
più sicuro anche se molto meno preciso allora posso triplicare l’errore assoluto e dire
T = 4, 5 s ± 0, 9 s
che considerando le caratteristiche della curva gaussiana significa: ho il 99, 7% di
probabilità che la prossima misura venga compresa tra un minimo di 3, 6 s ed un massimo di
5, 4 s Anche in quest’ultimo caso ci sarà comunque la possibilità per quanto piccola,
che la prossima misura venga al di fuori dell’intervallo atteso.
100.3
Il risultato delle misure ripetute
Il discorso fatto fin’ora riguarda il risultato ottenuto ripentendo una singola misura.
Le considerazioni fatte e le previsioni scritte riguardno quindi cosa succederebbe se
ripetessimo la singola misura. Se però vogliamo rispondere alla domanda: "quanto
vale il periodo di oscillazione di quel pendolo?" allora ci stiamo riferendo al valore della
media di quelle misure. Il nostro set di dati contiene 4213 misure; è intuitivo immaginare che un secondo set di 4213 dati, sebbene i dati possano essere molto differenti,
produrrà comunque un valor medio estremamente vicino a quello precedente.
Se il risultato di una singola misura di T ha incertezza σT allora il risultato del
calcolo della media T di N misure ha incertezza σT = √σTN
0,3 s
Nel nostro esempio σT = √4213=0,0046
cioè circa 65 volte minore.
s
Il vantaggio nel ripetere tante volte una misura consiste quindi nel diminuire
l’incertezza sulla media di tutte le singole misure.
600 n
500
400
300
200
100
T
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Fig. 100.1: Rappresentazione dei dati sperimentali: essi si distribuiscono con la forma di una gaussiana.
Esperimenti di calorimetria
101.1
101.1.1
Scheda 101
Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare
Er−∆l =
1 ◦C
= 0, 042 = 4, 2%
24 ◦ C
5 ◦C
= 0, 067 = 6, 7%
Er−Tf =
75 ◦ C
Calcoliamo adesso la variazione di temperatura della sbarra
Er−Ti =
Apparato sperimentale
Per questa misura disponiamo di:
• Una sbarra cava di alluminio
∆T = Tf − Ti = 51◦ C
• Un bollitore per produrre vapore acqueo
Ea−∆T = 1◦ C + 5◦ C = 6◦ C
6◦ C
= 0, 118 = 11, 8%
51◦ C
Possiamo adesso calcolare il coefficiente di dilatazione lineare
• Un termometro
Er−∆T =
• Un comparatore (precisione 0, 01 mm; portata 10 mm
λ=
• Un tubo in gomma
Con il bollitore produciamo vapore acqueo e, utilizzando il tubo in gomma, lo
facciamo passare all’interno della sbarra cava. Il vapore scalderà la sbarra che, come
conseguenza, si allungherà. Con il termometro misuriamo prima la temperatura iniziale della sbarra (coincidente con la temperatura dell’ambiente), e successivamente
la temperatura dell’acqua calda in uscita dalla sbarra; con il comparatore misuriamo
l’allungamento della sbarra. Assumiamo che la temperatura della sbarra riscaldata
sia uguale alla temperatura dell’acqua che esce dalla sbarra.
101.1.2
0, 01 mm
= 0, 015 = 1, 5%
0, 67 mm
∆l
1
= 26, 3 · 10−6
li ∆T
K
Er−λ = 0, 2% + 1, 5% + 11, 8% = 13, 5%
1
K
I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi.
Ea−λ = λ · Er−λ = 3, 6 · 10−6
101.1.3
Conclusioni
Abbiamo misurato il coefficiente di dilatazione lineare dell’alluminio ottenendo un
valore compatibile con quello riportato nelle tabelle ufficiali.
Dati sperimentali e loro elaborazione
In tabella 101.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio.
Scritti in blu sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai dati
sperimentali.
Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. Cominciamo con il calcolare gli
errori relativi di tutte le misure.
Er−li =
1 mm
= 0, 002 = 0, 2%
500 mm
Autore: Andrea de Capoa
215
17 Feb 2016
216
Scheda101. Esperimenti di calorimetria
n◦
1
li
[mm]
500 ± 1
Er−li
[mm]
0, 2%
Ti
[ C]
24 ± 1
◦
Er−Ti
[◦ C]
4, 2%
Tf
[ C]
75 ± 5
◦
Er−Tf
[◦ C]
6, 7%
∆l
[mm]
0, 67 ± 0, 01
Er−δl
[mm]
1, 5%
∆T
[◦ C]
51 ± 6
Er−δT
[◦ C]
11, 8%
λ
1
[K
]
−6
26, 3 · 10
± 3, 6 · 10−6
Er−lambda
1
[K
]
13, 5%
Tabella 101.1: Dati sperimentali: li è la lunghezza iniziale della sbarra; Ti è la temperatura iniziale della sbarra; Tf è la temperatura finale della sbarra; ∆l è l’allungamento della sbarra. Con questi dati abbiamo calcolato la variazione
di temperatura della sbarra ∆T ed il coefficiente di dilatazione lineare λ.
Esperimenti di meccanica
102.1
Verifica del secondo principio della dinamica
102.1.1
Apparato sperimentale
Scheda 102
Questo dato andrà confrontato con il valore misurato utilizzando la rotaia senza
attrito.
La rotaia misura i due istanti di tempo ta e tb nei quali il carrello attraversa la loro
posizione. Per cui, per passare dalla posizione del primo sensore alla posizione del
secondo sensore il carrello impiega un periodo di tempo
Per questa misura disponiamo di:
• Una rotaia senza attrito
∆t = tb − ta
• Un carrello che scorra sulla rotaia tirato da un pesino in caduta. Chiameremo
M la massa del carrello e m la massa del pesino
Possiamo inoltre misurare la velocità del carrello negli istanti nei quali raggiunge la
posizione dei sensori
l
Va =
∆ta
• Due sensori a fotocellula ed un multitimer (misuratore di tempi ed intervalli di
tempo sulla base dei segnali dei sensori
Vb =
Il pesino, cadendo, tira il carrello. Il carrello con una linguetta di metallo lunga
l = 4 cm = 0, 04 m aziona il sensore; il multitimer registra l’istante nel quale il sensore viene azionato e l’intervallo di tempo che impiega la linguetta del carrello ad
azionare il sensore. Il carrello ha quindi fatto uno spostamento lungo l nel tempo ∆t
misurato dallo strumento.
102.1.2
Con questi dati siamo in grado di misurare l’accelerazione effettivamente avuta dal
carrello
∆V
amisurata =
∆t
I due valori di accelerazione ottenuti dovranno essere in accordo, altrimenti la
legge è falsa.
Scopo e svolgimento
Lo scopo dell’esperienza è verificare la correttezza del secondo principio della dinamica:
Ftot = mtot · a
102.1.3
Dati sperimentali e loro elaborazione
In tabella 102.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio.
Scritti in tabella 102.2 sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai
dati sperimentali. Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. La massa totale
del sistema vale
Mtot = M + m = 392 g ± 1 g; Er = 0, 3%
Per fare questo prima di tutto calcoliamo l’accelerazione che dovrebbe avere il
carrello considerando la precedente legge. Dal momento che usiamo una rotaia sulla
quale il carrello può viaggiare con un attrito trascurabile, non terremo conto delle
forze di attrito. L’unica forza che agisce lungo la linea del moto del carrello è la forza
di gravità sul pesino Fg = mg. il sistema in movimento è però costituito dal pesino
e dal carrello, entrambi che si muovono con la stessa accelerazione, per cui
Adesso possiamo calcolarci l’accelerazione attesa del sistema
aattesa =
Fg = (M + m) · a
aattesa =
l
∆tb
m
m
m
g = 0, 625 2 ± 0, 002 2 ; Er = 0, 3%
M +m
s
s
Adesso ci possiamo calcolare l’accelerazione effettivamente misurata dallo strumento. Cominciamo con l’intervallo di tempo impiegato dal carrello per andare da
m
·g
M +m
217
218
Scheda102. Esperimenti di meccanica
un sensore all’altro
∆t = tb − ta = 0, 606 s ± 0, 002; Er = 0, 3%
Le velocità a cui andava il carrello nei punti in cui sono stati posizionati i sensori
sono
l
= 0, 526 s ± 0, 007 s; Er = 1, 3%
Va =
∆ta
Vb =
l
= 0, 909 s ± 0, 021 s; Er = 2, 3%
∆tb
Quindi la variazione di velocità è stata
∆V = Vb − Va = 0, 383
m
m
± 0, 028 ; Er = 7, 2%
s
s
Siamo adesso in grado di calcolare l’accelerazione misurata dallo strumento.
amisurata =
∆V
∆t
m
m
± 0, 048 2 ; Er = 7, 5%
s2
s
I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi.
amisurata = 0, 632
102.1.4
Conclusioni
Come si può vedere dalla tabella 102.2 l’accelerazione attesa del sistema è in perfetto
accordo con l’accelerazione misurata dallo strumento, quindi non abbiamo elementi
per affermare che il secondo principio della dinamica sia falso.
219
Scheda102. Esperimenti di meccanica
n◦
m
[g]
25
25
1
3
M
[g]
367 ± 1
367 ± 1
g
[ sm2 ]
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
l
[m]
0, 04
0, 04
ta
[m]
0, 838 ± 0, 001
0, 847 ± 0, 001
tb
[s]
1, 444 ± 0, 001
1, 454 ± 0, 001
∆ta
[s]
0, 076 ± 0, 001
0, 076 ± 0, 001
∆tb
[s]
0, 044 ± 0, 001
0, 044 ± 0, 001
Tabella 102.1: Dati sperimentali: m è la massa del pesino; M è la massa del carrello; g è l’accelerazione di gravità; l è la lunghezza della linguetta di metallo che oscura la fotocellula del sensore;ta e tb sono i due istanti nei quali il
carrello passa dai due sensori; ∆ta e ∆tb sono gli intervalli di tempo impiegati dai carrelli per percorrere una distanza l quando arrivano ai due sensori. Dove l’errore non è segnato è perchè il valore ha un’incertezza sperimentale del tutto
trascurabile, in quanto misure di grandezze di oggetti creati in laboratori specializzati con strumentazioni di precisione ordini di grandezza superiori alle nostre.
n◦
1
2
m
aattesa = m+M
g
m
[ s2 ]
0.625 ± 0.002
0.625 ± 0.002
∆t
[s]
0, 606 ± 0, 002
0, 607 ± 0, 002
Va
[m
s ]
0, 526 ± 0, 007
0, 526 ± 0, 007
Vb
[m
s ]
0, 909 ± 0, 021
0, 909 ± 0, 021
∆V
[m
s ]
0, 383 ± 0, 028
0, 383 ± 0, 028
amisurata
[ sm2 ]
0, 632 ± 0.048
0, 631 ± 0.048
Tabella 102.2: Prima elaborazione: misura dell’accelerazione del sistema delle due masse ottenuta dallo strumento. ∆t è l’intervallo di tempo impiegato dal carrello a spostarsi dal primo sensore al secondo; Va e Vb sono le due velocità
del carrello in prossimità dei due sensori; δV è la variazione di velocità avuta dal carrello da un sensore all’altro; a è l’accelerazione del sistema.
220
102.2
102.2.1
Scheda102. Esperimenti di meccanica
Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo
Apparato sperimentale
Per questa esperienza disponiamo di:
1. un metro per misurare delle lunghezze (portata: 3 metri; sensibilità: 1 mm)
2. un cronometro per misurare il periodo del pendolo (sensibilità: 0, 01 s)
3. del filo per costruire pendoli di differenti lunghezze
4. un pesino da appendere al filo per realizzare un pendolo.
102.2.3
s
T =a·
Scopo
il moto del pendolo è un moto periodico. Vogliamo in questa esperienza determinare
la legge per calcolare il periodo di un pendolo di lunghezza nota.
102.2.2
alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del pendolo e l’acc elerazione di
gravità.
Svolgimento
Per prima cosa cerchiamo di determinare quali sono le grandezze fisiche determinanti per calcolare il periodo di un pendolo. In linea di principio potremmo considerare la massa del pesino, la lunghezza del pendolo, l’accelerazione di gravità,
l’angolo di partenza. Con due semplici esperimenti possiamo escudere la massa del
pesino e l’angolo di partenza. Per escludere l’importanza della massa è infatti sufficiente prendere un determinato pendolo di lunghezza fissa e misurare i periodi di
oscillazione di masse differenti attaccate allo stesso filo. Come si può notare il periodo del pendolo non cambia qualunque sia la massa applicata al filo. Allo stesso
modo possiamo procedere per escludere l’angolo di partenza, perlomeno per piccoli
valori dell’angolo. Rimangono quindi la lunghezza del pendolo e l’accelerazione di
gravità. l’unico modo di costruire una formula in modo tale che le unità di misura siano consistenti è quello di scrivere che il periodo del pendolo è proporzionale
l
g
Non ci rimane adesso che fare un esperimento per misurare il valore di a. Facendo la formula inversa per ricavare a avremo
r
g
a=T·
l
Basterà eseguire molte misure contemporanee di T e l ed avremo di conseguenza
molte misure del valore di a desiderato. Nella tabella 102.3 sono mostrati i dati
sperimentali ed una loro prima elaborazione.
n◦
1
2
3
4
l
[m]
0.897 ± 0.001
1.080 ± 0.001
1.766 ± 0.001
2.190 ± 0.001
T
[s]
2, 04 ± 0, 20
2, 00 ± 0, 20
2, 61 ± 0, 20
2, 92 ± 0, 20
g
[ sm2 ]
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
a=T·
pg
l
6, 35
6, 03
6, 14
6, 17
Tabella 102.3: Misura del periodo e della lunghezza di un pendolo al fine di determinare la formula per calcolare
il periodo del pendolo in funzione della sua lunghezza.
Il risultato per il valore di a risulta quindi essere
a = 6.17 ± 0.16
Calcoli teorici che esulano dal programma di studio delle scuole superiori, che il
valore corretto per piccole oscillazioni di un pendolo è
ateorico = 2 π = 6, 28
perfettamente in linea con i risultati del nostro esperimento.
221
Autore: Andrea de Capoa
Scheda102. Esperimenti di meccanica
17 Feb 2016
Realizzazione di un’esperienza di laboratorio
Verificare una teoria
Scopo dell’esperienza
103.1
Scheda 103
Considerazioni preliminari
Un’esperimento di qualunque genere, per avere valore, deve essere ripetibile. Deve
cioè poter essere eseguito nello stesso identico modo da altre persone in modo che
esse possano confermare la validità del metodo e delle conclusioni.
Descrivere un fenomeno
Eseguire una misura
103.2
Formule e concetti relativi
alla singola misura
Scopo dell’esperienza
La corretta e precisa definizione dello scopo dell’esperienza è il punto centrale dell’esperienza stessa. Ogni singola azione svolta durante l’esperimento deve essere
finalizzata alla realizzazione dello scopo. Quelle che saranno le conclusioni dell’esperienza dovranno essere perfettamente attinenti a quanto dichiarato nello scopo.
Tipicamente gli scopi di un’esperienza possono essere tre:
Contesto teorico
Previsione teorica dei risultati
• misura di una certa grandezza fisica
Descrizione dei materiali
• verifica di una determinata previsione teorica
Descrizione
degli strumenti
• descrizione di un fenomeno
Se misuriamo una grandezza fisica semplicemente otterremo il suon valore con
la relativa incertezza; se verifichiamo una legge, confronteremo che una certa previsione teorica sia in accordo con il risultato di una misura; infine se descriviamo un
fenomeno fisico allora indichiamo l’andamento del valore di una grandezza fisica al
variare di un’altra.
Descrizione della
procedura sperimentale
Analisi dei dati
103.3
Valutazione degli
errori sistematici
Fisica dell’esperienza
Prima di procedere con le misure, è necessario inquadrare il contesto teorico all’interno del quale tale misura si svolge. Si parlerà quindi dei concetti e delle formule
che hanno a che fare con la misura che si vuole effettuare. Qualora lo scopo dell’esperienza sia la verifica sperimentale di una certa legge, allora sarà necessario svolgere
tutti i calcoli necessari per predirre il risultato della misura prima che questa venga
effettuata.
Conclusioni
222
223
103.4
Scheda103. Realizzazione di un’esperienza di laboratorio
Descrizione del materiale utilizzato
Ogni singolo oggetto, sia un materiale o uno strumento di misura, deve essere indicato e descritto all’interno dell’esperienza nel seguente modo:
l’errore di misura tramite opportuna propagazione degli errori1 . Nel caso di misure
ripetute, non sarà necessario ripetere tutti i conti per ogni singola misura, ma è possibile effettuare i conti una sola volta per un set di misure e poi utilizzare un foglio
di calcolo elettronico.
1. di ogni materiale deve essere indicata la quantità, indicando il metodo di misura e le relative incertezze sperimentali
103.7
2. di ogni stumento di misura utilizzato, indicare portata e precisione dello strumento.
Le conclusioni dell’esperienza altro non sono che la certificazione che il risultato
finale dell’analisi dei dati conferma lo scopo dell’esperienza dichiarato inizialmente.
103.5
Conclusioni
Realizzazione dell’esperienza
Ogni singola azione svolta deve essere documentata; chi legge la relazione dell’esperienza deve poter eseguire gli stessi vostri gesti per verificarne la correttezza. Ogni
misura effettuata deve essere accompagnata dall’incertezza sperimentale (consiglio
di indicare sia errore assoluto che relativo). Qualora ci siano misure ripetute, esse
dovranno essere indicate all’interno di un’opportuna tabella.
In particolare dovrà essere posta attenzione a spiegare il motivo di tutti quegli
accorgimenti studiati per ottenere misure con un’incertezza sperimentale statistica minima, e quali sono stati studiati per minimizzare od evitare eventuali errori
sistematici.
Effettuate le misure necessarie per la realizzazione dell’esperienza, dovranno essere valutate tutte le possibili fonti di errori sistematici e verificato, anche solo con
una stima di ordini di grandezza, che la loro portata sia trascurabile rispetto agli
errori di misura ottenuti sulle grandezze misurate.
103.6
Analisi dei dati
Con l’analisi dei dati si intende l’esecuzione di tutti quei conti necessari per arrivare, partendo dalle misure effettuate, all’ottenimento dello scopo dell’esperienza. Di
ogni grandezza fisica calcolata a partire dalle misure effettuate, è importante stimare
1 A seconda del livello di conoscenze matematiche di chi svolge l’esperienza la gestione degli errori
potrà essere fatta con tecniche matematiche più o meno evolute.
Autore: Andrea de Capoa
12 Maggio 2016
Relazione di laboratorio
Scheda 104
In questa scheda vi spiego come realizzare una relazione di laboratorio. Qualunque relazione facciate, è opportuno seguire questo schema, che potrete adattare alla
specifica esperienza fatta, ma che non potrete stravolgere nelle sue linee essenziali.
La relazione è realizzata da una certa sequenza di punti fissi che dovranno essere sviluppati nel giusto ordine. Tali punti sono costituiti dalle sezioni indicate di seguito e
spiegate una ad una.
104.1
104.5
I dati sperimentali raccolti dovranno sempre essere elencati all’interno di una tabella.
Ogni colonna della tabella deve indicare una grandezza fisica che avete misurato.
ogni volta che ripetete una stessa misura dovete indicarlòa in una nuova riga della
tabella.
104.6
Scopo dell’esperienza
104.7
La fisica dell’esperienza
Conclusioni
Eseguita l’analisi dei dati sperimentali, siete pronti per indicare le conclusioni, che
dovranno ovviamente essere perfettamente attinenti a quanto avete scritto nello scopo dell’esperienza.
In questa sezione bisogna enunciare, in modo sintetico, quali concetti teorici verranno utilizzati per lo svolgimento dell’esperienza. Se ci sono dei conti teorici da
svolgere, questo è il punto giusto per indicarli.
104.3
Analisi dei adti sperimentali
Con i dati sperimentali si fanno dei conti per verificare lo scopo dell’esperienza. I
conti vanno chiaramente indicati e, per i conti ripetuti più volte, i risultati vanno
indicati in una tabella.
Per prima cosa bisogna identificare lo scopo che ci siamo prefissati di raggiungere. Questo è molto importante, in quanto ogni singola azione fatta dovrà essere
finalizzata al raggiungimento dello scopo dell’esperienza
104.2
Dati sperimentali
Materiale utilizzato
In questa sezione bisogna elencare la totalità del materiale utilizzato, facendo particolare attenzione ad evidenziare quali strumenti di misura sono stati usati, indicando, per ognuno di esso, portata e sensibilità dello strumento.
104.4
Procedimento
In questa sezione dovete descrivere con precisione la sequenza delle azioni svolte,
permettendo così a chiunque di poterla ripetere.
Autore: Andrea de Capoa
224
17 Feb 2016
Parte XIV
Esercizi svolti
225
Esercizi di Base
105.1
Scheda 105
Quanto è grande la cavità che ci deve essere all’interno del cubo di piombo?
[I0020] [2 4 ] Un oggetto è fatto da due cubi di lato L = 80 mm di legni
g
g
differenti, rispettivamente di densità ρ1 = 0, 7 cm
3 e ρ2 = 0, 5 cm3 . I due cubi sono
attaccati per una delle facce. Indica su di un opportuno sistema di riferimento dove
si trova il baricentro dell’oggetto.
Operazioni con gli scalari
[I0001] [1 22 ] Esegui le somme indicate qui di seguito, scegliendo a tuo piacimento l’unità di misura del risultato tra le due già presenti.
• 4 hm + 300 m =
• 2 m3 + 40 dm3 =
• 3 hm + 5 cm =
• 45 l + 50 dl =
• 3 m + 18 mm =
• 45 l + 50 cl =
2
2
• 9 km + 10 hm =
• 8 dl + 2 cl =
• 9 m2 + 200 cm2 =
• 7 kg + 400 g =
• 9 m2 + 5 dm2 =
• 3 kg + 3 hg =
• 12 km3 + 78 hm3 =
• 3 g + 55 mg =
• 8 m3 + 15 cm3 =
• 3 h + 5 min =
• 3 min + 2 sec =
105.2
• 3 h + 5 sec =
Eseguire una misura
[I0010] [1 1 ] Misurate con un righello lo spessore di una moneta da 1 euro
[I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di
un cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il
volume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume? [I0012a] [2 5 ] Hai misurato
con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo, ottenendo a = 20 mm ± 1 mm,
b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto valgono
gli errori assoluto e relativo sul volume?
[I0013] [1 3 ] Hai misurato con un
cronometro la durata dell’oscillazione di un pendolo ottenendo i seguenti risultati:
T0 = 12, 4 s, T1 = 12, 3 s, T2 = 12, 3 s, T3 = 12, 6 s, T4 = 12, 6 s, T5 = 12, 2 s, T6 =
12, 4 s. Quanto vale il periodo di oscillazione di quel pendolo? Quanto vale l’errore
assoluto sulla misura? Quanto vale l’errore relativo sulla misura?
[I0014] [2
6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo ottenendo
b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto gli errori
di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.
[I0015] [2 7 ] Un
cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3 di acqua. Dopo averci
immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg, il cilindro segna un volume
Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto.
[I0016] [1 2 ] Se stai misurando il periodo T di un pendolo utilizzando un cronometro (portata P = 10 h; precisione E = 0, 01 s) azionato dalla tua mano, quanto
vale l’errore di misura che fai sulla singola misurazione? Come puoi fare, facendo
solo una misura, a migliorare la precisione della misura fino a Ea = 0, 02 s
[I0019] [1 2 ] Un libro di 500 pagine, misurato con un righello, è spesso
h = 3, 5 cm ± 0, 1 cm. Quanto è spessa ogni singola pagina? Calcola l’errore assoluto e relativo sulla misura della singola pagina.
[I0001] [2 5 ] Ti tro-
m
• 36 km
h + 30 s =
kg
g
• 25 m
3 + 12 cm3 =
g·cm
• 2 kg·m
s2 + 5 s2 =
• 8 kg·m
+ 5 g·km
=
s
h
[I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2 O = 50 cm3 di
kg
acqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρH2 O = 1 dm
3 e
g
l’olio ha una densità ρo = 0, 8 cm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere?
Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere?
[I0004] [1 2 ] Un oggetto di
cui non conosciamo il materiale, occupa un volume V = 8, 75 dm3 ed ha la stessa
massa di un blocco di ferro che occupa un volume VF e = 3 dm3 . Calcola la massa
kg
e la densità del materiale. La densità del ferro è ρF e = 7, 874 dm
[I0005] [1
3.
3
2 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm di acqua. Dopo averci
kg
immerso un oggetto di rame di densità ρogg = 8, 92 dm
3 , il cilindro segna un volume
3
Vf = 375 cm . Calcola volume e massa dell’oggetto. [I0006] [1 2 ] Tre libri sono
posizionati uno sull’altro. I libri hanno rispettivamente massa m1 = 1 hg, m2 = 2 hg,
m3 = 3 hg ed hanno tutti lo stesso spessore d = 3 cm. A che altezza si trova il
baricentro del sistema?
[I0017] [1 3 ] Due cubi di lato l = 10 cm, uno di argento (di densità ρAg =
kg
kg
10, 5 dm
3 ) e l’altro di piombo (di densità ρP b = 11, 3 dm3 ), hanno la stessa massa.
226
227
Scheda105. Esercizi di Base
vi su Marte. Hai misurato con un righello la lunghezza di un pendolo ottenendo
L = 98, 5 cm ± 0.5 cm. Hai poi misurato cinque volte il periodo di oscillazione del
pendolo ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità
di Marte?
T1
105.3
3,23 s
3,22 s
3,22 s
3,23 s
3,24 s
Operazioni con i vettori
[I0002] [1 2 ] Dati due vettori ~a e ~b rispettivamente di moduli a = 12 e b = 16,
disegnateli in modo tale che la loro somma sia un vettore ~c il cui modulo valga c = 28.
Ripetete l’esercizio in modo tale che c = 4; c ∼ 10; c = 20; c ∼ 24. [I0007] [1 2 ]
Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b:
~b
~b
~b
~a
~a
~c = ~a + ~b
[I0008] [1
~a
~c = 2~a − ~b
~c = 3~a − 2~b
2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di seguito
~b
~b
~b
~a
[I0009] [1
~a
1 ] Scomponi i seguenti vettori lungo le direzioni indicate
~a
[I0011] [1 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma
dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti perpendicolari tra loro. [I0018] [1 2 ] Una barca attraversa un fiume muovendosi in
diagonale con velocità V = 10 m
s . La barca si muove quindi contemporaneamente
lungo la direzione del fiume con velocità Vx = 8 m
s e lungo la direzione tra le due
sponde. Con quale velocità si sta avvicinando alla sponda opposta? Disegna tale
vettore.
Esercizi di Cinematica
106.1
Scheda 106
(b) Un oggetto viene fatto cadere dal tetto di una casa partendo da fermo. Se
arriva a terra dopo un tempo ∆t = 3 s, quanto è alta la casa?
[h = 44, 1 m]
Grandezze cinematiche
[C0013] [1 1 ] Se mi muovo in avanti di ∆S1 = 600 m, e poi a destra di ∆S2 =
800 m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto
di partenza? Disegna i due spostamenti e lo spostamento totale.
[C0013a] [1 1 ] Se mi muovo verso nord di ∆S1 = 600 m, e poi verso est
di ∆S2 = 300 m, ed infine verso sud di ∆S3 = 200 m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i tre
spostamenti e lo spostamento totale.
106.2
(c) Un oggetto viene fatto cadere dentro un pozzo partendo da fermo. Se
arriva al fondo del pozzo dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto è profondo il
pozzo?
[h = 78, 4 m]
3. Moto circolare uniforme
(a) Un oggetto ruota con una frequenza ν = 4 Hz lungo un percorso circolare
di raggio r = 2 m. Quale accelerazione centripeta subisce?
[ac = 1263, 3 sm2 ]
Esercizi banali
[C0015ban] [0
9 ] Esercizi banali di Cinematica:
(b) Un oggetto si muove di moto circolare uniforme con velocità V = 50 m
s
lungo un percorso circolare di raggio r = 2 m. Con quale velocità angolare
ω si sta muovendo? Quanto tempo impiega a fare un giro?
[ω = 25 rad
s ; ∆t = 0, 25 s]
1. Moto rettilineo uniforme
(a) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muove
con velocità costante V = 80 m
s ?
[∆S = 5600 m]
(c) Un pilota di Formula1 subisce in curva accelerazioni laterali di circa 4g.
Se sta facendo curve ad una velocità V = 150 Km
h , quanto vale il raggio
della curva?
[r = 44, 3 m]
(b) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muove
con velocità costante V = 80 Km
h ?
[∆S = 1555, 6 m]
(c) Quanto tempo impiega un pallone da calcio ad arrivare in porta se calciato
ad una velocità V = 25 m
s da una distanza ∆S = 30 m? Ipotizziamo che il
pallone viaggi sempre alla stessa velocità lungo il suo tragitto.
[∆t = 1, 2 s]
106.3
Sistemi di riferimento
[C0019] [1 1 ] Un ascensore con dentro una persona comincia la sua corsa in
salita partendo con accelerazione a = 2 sm2 . Quanto vale l’accelerazione complessiva
subita dalla persona?
[atot = 11, 8 sm2 ]
[C0020] [1 1 ] Se in macchina eseguo una frenata con accelerazione a = 6 sm2 ,
quanto vale e verso dove e diretta l’accelerazione totale che subisco?
[at = 11, 5 sm2 ; in diagonale verso il basso.]
2. Moto uniformemente accelerato
(a) Quanto spazio percorre in un tempo di ∆t = 5 s un oggetto che si muove
con un’accelerazione costante a = 2 sm2 e che parte con una velocità iniziale
Vi = 5 m
s nella stassa direzione e nello stesso verso dell’accelerazione?
[∆S = 50 m]
228
229
Scheda106. Esercizi di Cinematica
[C0040] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si
muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso l’alto, quale accelerazione complessiva
percepisce la persona?
[C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si
muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva
percepisce la persona?
106.4
Moto rettilineo uniforme
[C0001] [1 3 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 km
h per un
tempo ∆t1 = 2 h; successivamente si ferma per un tempo ∆t = 1 h, ed infine riparte
viaggiando alla velocità costante V2 = 90 km
h per un tempo ∆t2 = 4 h. A quale
velocità media ha viaggiato l’automobile?
[C0002] [2 1 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 km
h e
deve superare un camion che viaggia alla velocità costante V2 = 90 km
.
Sapendo
che
h
il camion è lungo l2 = 11 m e che la macchina è lunga l1 = 4 m, quanto tempo dura
il sorpasso?
[C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000 m
viaggiando a velocità costante V = 5 m
s Se ha già corso per un tempo ∆t = 8 min
quanto gli manca al traguardo?
[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere
avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si
muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone
alla velocità V2 = 5 m
.
La
distanza
tra
l’attaccante
ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la
s
distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
[C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100 m in un
tempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s
e successivamente un tragitto ∆Sc = 50 m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocità
media ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa ? A quale velocità media ha viaggiato nel
secondo tratto ∆Sc ? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?
[C0012] [1 2 ] Due automobili stanno percorrendo a velocità costante due
strade che si incrociano. La prima automobile dista dall’incrocio ∆S1 = 600 m e
sta viaggiando ad una velocità V1 = 30 m
s . La seconda automobile dista dall’incrocio
∆S2 = 800 m. A quale velocità deve viaggiare la seconda macchina affinchè si scontri
con la prima?
[C0018] [1 5 ] Un’auto da corsa alla fine di una gara dista dal traguardo
∆S1t = 600 m e viaggia a velocità costante V1 = 80 m
s ; una seconda auto dista dal
traguardo ∆S2t = 500 m e viaggia a velocità costante V2 = 50 m
s . Chi vince la gara?
Dopo quanto tempo l’auto più veloce sorpassa quella più lenta? Quando l’auto che
vince taglia il traguardo, a che distanza dal traguardo si trova l’auto che perde?
[∆t1 = 7, 5 s;∆t2 = 10 s;Vince la prima auto; ∆tsorp = 3, 33 s; d = 125 m]
[C0021] [1 3 ] Una moto si muove con velocità costante V1 = 72 km
h inseguendo un’auto che si muove con velocità costante V2 = 54 km
.
Sappiamo
che
in un certo
h
istante iniziale l’auto ha ∆t = 10 min di vantaggio sulla moto. Quanti metri di distanza ci sono tra l’auto e la moto all’istante iniziale? Dopo quanto tempo la moto
raggiunge l’auto?
[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante
m
V1 = 5 m
s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più
veloce raggiunge il più lento?
[C0022a] [1 1 ] Due lepri, distanti tra loro ∆S = 12 m, corrono una verso
m
l’altra con velocità costanti V1 = 5 m
s e V2 = 3 s . Dopo quanto tempo si scontrano?
[C0024] [1 4 ] Giorgio percorre ∆S1 = 7 hm e successivamente si muove
m
per un tempo ∆t1 = 3 min viaggiando alla velocità V1 = 4 . Marco percorre una
s
distanza ∆S2 = 0, 6 M iglia e successivamente si muove per un tempo ∆t2 = 0, 1 h
m
viaggiando alla velocità V2 = 2 . Chi ha percorso più strada?
s
[C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4 m
s . Sapendo
che al traguardo manca ∆S2 = 3800 m, e che la gara è iniziata da ∆t = 5 min, quanti
metri è lunga tutta la gara?
[C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l = 100 m
e h = 70 m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quello opposto.
Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diagonale del
campo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m
s e che Luigi corre più lento
230
Scheda106. Esercizi di Cinematica
alla velocità VL = 5 m
s , chi arriva prima?
[C0030] [1 3 ] Una bicicletta viaggia per un tempo ∆t1 = 2 h alla velocità
km
V1 = 20 km
h e successivamente per un tempo ∆t2 = 3 h alla velocità V2 = 30 h .
Quale velocità media ha tenuto?
[C0031] [1 4 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km ad una velocità media Vm1 = 10 m
s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo
∆t2 = 40 min. In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? Quale velocità media
ha tenuto in discesa? Quale sull’intero percorso?
m
[∆ts = 1000 s; Vmd = 12, 5 m
s ; Vmd = 11, 76 s .]
[C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe che
viaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km
h , se distano tra loro
∆S = 2 km?
[C0033] [1 3 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 21 km ad una velocità media Vm1 = 7 m
s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km ad una velocità
media Vm2 = 15 m
.
In
quanto tempo ha percorso il tratto in salita? In quanto tempo
s
ha percorso il tratto in discesa? Quale velocità media ha tenuto sull’intero percorso?
[∆t1 = 3000 s; ∆t2 = 2000 s; Vm = 10, 2 m
s .]
[C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000 m alla velocità
V =4m
s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000 m, da quanto tempo la gara
è iniziata?
[C0038] [2 3 ] Un treno sta percorrendo a velocità costante V = 160 km
h la linea
ferroviaria Torino-Milano. All’istante ti = 900 s il treno si trova a Si = 40 km dal
punto di partenza. Scrivi la legge oraria del moto. Dove si troverà il treno all’istante
t1 = 1800 s ? Dove si troverà quando sarà trascorso in tempo ∆t = 1, 5 h dopo
l’istante t1 ?
106.5
Moto uniformemente accelerato
[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada
∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 . Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo
∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla
macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?
[C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparato verso
l’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m
s . Sapendo che arriverà a terra dopo un tempo
∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto?
[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km
h e comincia a rallentare fino
km
alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita
dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?
[C0016] [2 4 ] Due oggetti vengono lanciati uno verso il basso e l’altro verso
l’alto, entrambi con una velocità iniziale Vi = 5 m
s . Se entrambi arrivano a terra dopo
un tempo ∆t = 4 s, quanto si trovavano in alto?
[ha = 98, 4 m; hb = 58, 4 m]
[C0017] [2 3 ] Un pallone viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale
Vi = 10 m
s . Dopo quanto tempo non si è spostato?
[∆t = 2, 04 s]
[C0025] [2 4 ] Un oggetto viene lanciato verso l’alto da un’altezza hi = 30 m
con una velocità iniziale Vi = 5 m
s . Dopo quanto tempo arriva a terra?
[∆t = 3 s]
[C0026] [2 2 ] Un oggetto viene lasciato cadere, partendo da fermo, in un
pozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo ∆t = 2 s. Quanto è profondo il pozzo?
[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km
h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma?
Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?
[∆t = 20 s; ∆S = 100 m.]
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
[∆Sx = 12, 78 m]
[C0037] [2 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =
10
Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della
velocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità
finale?
m
s .
231
Scheda106. Esercizi di Cinematica
[C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =
10
Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della
velocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità
finale?
m
s .
106.6
Moto parabolico
[C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità iniziale Vix = 800 m
s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400 m. A quanti
centimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di massima altezza?
[C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =
m
500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale
il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quanto
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di impatto al suolo?
[C0043] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile con una velocità iniziale Vix = 100 m
s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile dopo
un tempo ∆t = 15 s?
[C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità iniziale Vix = 800 m
s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160 m. Di quanti centimetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effetto
dell’attrito con l’aria)
[C0046] [2 4 ] Un proiettile viene lanciato dal tetto di un palazzo, con una
velocità iniziale Vi = 15 m
s inclinata verso l’alto rispetto all’orizzontale di un angolo
◦
α = 30 , verso un palazzo di uguale altezza distante ∆Sx = 40 m. Quanti metri sotto
al tetto viene colpito il secondo palazzo?
[C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità
Vix = 800 m
s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quanto
si trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)
106.7
[C0010] [2 4 ] Un tennista durante il servizio colpisce orizzontalmente la pallina all’altezza hi = 2 m imprimendole una velocità iniziale Vix = 30 m
s . Sapendo
che la rete nel punto più alto è alta hr = 1, 07 m e che tale rete si trova alla distanza
∆Sx = 11, 89 m dalla riga di fondo, calcola a quanti centimetri da terra la pallina
passa sopra la rete.
Lettura di grafici del moto
[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo.
Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in
cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
[C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una posta~ix = 200 m . Dopo un tempo
zione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale V
s
∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in linea orizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?
[∆Sx = 800 m; ∆Sy = 19, 6 m]
8 S(km)
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
1
[C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =
m
500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto
6
4
2
t(h)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
232
Scheda106. Esercizi di Cinematica
8 S(km)
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
8 S(km)
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0044a] [2 5 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità
costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
8 V ( km
h )
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Esercizi di Dinamica
107.1
[D0024] [1
Scheda 107
(d) Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva di raggio r =
20 m ad una velocità V = 50 m
s . Quale forza centrifuga spinge l’auto verso
l’esterno della curva?
[Fc = 10000 N ]
Teoria ed esercizi banali
7 ] Domande di teoria di dinamica
1. Principi della dinamica
(e) Una moto da corsa di massa m = 100 kg viaggia alla velocità V = 70 Km
h
lungo una curva di raggio r = 50 m. Quanto vale la forza centripeta che
subisce la moto?
[Fc = 756, 17 N ]
(a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con la stessa velocità ~v , quale
forza agisce su di lui?
(b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v , quale ne è stata la causa?
2. Calcolo di Momenti di una forza
(c) Se spingo un oggetto con una forza F~ , quale forza subisco?
(a) Una forza F = 500 N viene applicata ad una distanza r = 2 m da un punto
fisso e formante un angolo α = 90◦ con la retta che unisce il punto fisso
ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella
forza?
[M = 1000 N m]
(d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta subendo una forza oppure
no?
(e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, posso dire che è sicuramente
fermo?
(b) Una forza F = 100 N viene applicata ad una distanza r = 3 m da un punto
fisso e formante un angolo α = 30◦ con la retta che unisce il punto fisso
ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella
forza?
[M = 150 N m]
(f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisce una forza totale
nulla?
(g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla, posso dire che è fermo?
[D0017ban] [1
18 ] Esercizi banali di Dinamica:
(c) Una forza F = 50 N viene applicata ad una distanza r = 3 m da un punto
fisso e formante un angolo α = 180◦ con la retta che unisce il punto fisso
ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella
forza?
[M = 0 N m]
1. Calcolo di forze
(a) Quanto vale la forza di gravità che agisce su di una macchina di massa
m = 800 kg?
[Fg = 7840 N ]
(d) Ad un pendolo con asta, senza massa, di lunghezza l = 30 cm è appeso un
oggetto di massa m = 10 kg. Il pendolo è inclinato di un angolo α = 45◦
rispetto alla verticale. Quanto vale il momento della forza di gravità che
agisce sull’oggetto?
[M = 20, 8 N m]
(b) Quanto vale la forza di Archimede che agisce su di un oggetto di densità
g
3
ρ = 0, 7 cm
3 e di volume V = 5 cm completamente immerso nell’acqua?
[FArch = 0, 049 N ]
(c) Se una molla esercita una forza F = 100 N e la vedo accorciarsi di ∆l =
2 cm, quanto vale la costante elastica di quella molla?
N
[k = 50 cm
]
(e) Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro. La sbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul lato
233
234
Scheda107. Esercizi di Dinamica
destro della sbarra una forza F1 = 300 N verso il basso ad una distanza
b1 = 10 cm dal perno. Applicate ora una seconda forza F2 = 60 N verso il
basso sul lato sinistro della sbarra ad una distanza b2 = 30 cm dal perno.
Applicate ora una terza forza F3 = 10 N verso il basso sul lato destro della sbarra ad una distanza b3 = 40 cm dal perno. Indica quanto valgono e
in quale verso fanno ruotare: il momento della forza F1 , il momento della forza F2 , il momento della forza F3 , il momento totale applicato sulla
sbarra.
[M1−o = 30 N m; M2−a = 18 N m; M3−o = 4 N m; Mtot−o = 16 N m.]
(f) Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferiore, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad
un’altezza h1 = 2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momento
della prima forza? Quanto vale il momento della seconda forza? Quanto
vale il momento totale applicato alla sbarra?
[M1−o = 20 N m; M2−a = 21 N m; Mtot−a = 1 N m]
107.2
Baricentro
[D0010] [1 2 ] Tre cubi omogenei di lato l = 10 cm e di massa m1 = 9 kg, m2 =
5 kg, m3 = 2 kg, sono posti nell’ordine uno sopra all’altro. A quale altezza si trova il
baricentro del sistema?
107.3
Forze
[D0001] [2 6 ] Un blocco di massa m = 20 kg fermo su un piano orizzontale con
coefficiente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Esso comincia
a muoversi sotto l’azione di una forza F con un’accelerazione totale atot = 5 sm2 .
Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale e l’oggetto?
1. Calcola la forza di gravità che agisce sull’oggetto.
2. Calcola la massima forza di attrito statico che può agire sull’oggetto.
3. Quanto vale la forza che fa cominciare a muovere l’oggetto?
4. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muove?
5. Quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto
6. Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e l’oggetto?
[D0002] [1 4 ] Quale percentuale del volume di una statuetta di legno di
g
densità ρ = 0, 7 cm
3 rimane immersa nell’acqua quando galleggia?
[D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito su un
piano orizzontale tirato da un filo di massa trascurabile che, passando attraverso
una carrucola, è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale peso
viene tirato verso il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il
sistema?
[D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua immerso per i 23 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su di
kg
lui? [ρacqua = 1 dm
3]
[D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto di
kg
3
ferro (ρF e = 7, 874 dm
3 ) di volume V = 5 dm ?
[Fg = 386, 22 N ]
[D0020] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 100 kg e volume V = 5 dm3 si trova
kg
sul fondo di una piscina piena di acqua (ρacqua = 1 dm
3 ). Quanto vale la densità dell’oggetto? Quanto valgono la forza di gravità e la forza di Archimede che agiscono
sull’oggetto? Se sollevo l’oggetto con una forza F2 = 2000 N , con quale forza totale
l’oggetto si muove?
kg
[ρogg = 20 dm
3 ; Fg = 980 N ; FArc = 49 N ; Ftot = 1069 N ;]
[D0021] [1 6 ] Una statua d’oro (m = 19, 3 kg ; V = 1 dm3 ) viene lanciata in
kg
mare (ρH2 O −mare = 1, 02 dm
3 ). Calcola la densità dell’oro. Calcola la forza di gravità,
di Archimede e totale che agiscono sulla statua. Se attacco alla statua un pallone di
massa mp = 1, 7 kg e volume Vp = 40 dm3 , quanto vale la forza totale sulla statua?
kg
[ρAu = 19, 3 dm
3 ; Fg = 189, 1 N ; FA = 10 N ; P = 179, 1 N ; F = 204, 1 N ↑]
235
[D0022] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 500 g si muove di moto circolare
uniforme di raggio r = 20 cm ad una velocità V = 4 m
s attaccato ad una molla di
N
costante elastica k = 10 cm . Quanto vale la forza centrifuga che tira la molla? Di
conseguenza, di quanto si è allungata la molla?
[Fc = 40 N ; ∆l = 4 cm]
[D0038] [1 1 ] Un oggetto del peso di Fp = 40 N si sposta su di un piano
orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 02, sotto l’azione di una forza
F = 20 N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?
[D0039] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si sposta su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 2, sotto l’azione di una forza
F = 20 N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?
[D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte vale M = 6, 39 · 1023 kg ed il
suo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte.
Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio e
con il doppio della massa?
[D0044] [3 4 ] In quale punto, sulla linea tra la Terra e la Luna, deve essere
messo un satellite affinchè subisca a causa dei due corpi celesti una forza di gravità
complessiva nulla?
[D0051] [3 4 ] Una navicella spaziale di forma cilindrica con altezza h = 10 m
e massa m2 = 500 kg è in orbita intorno alla Terra. La base inferiore si trova ad
una distanza d = 408 km dal centro della Terra (di raggio RT = 6371 km e massa
MT = 5, 97219 · 102 4 kg). Quanto pesa un oggetto di massa m1 = 1 kg su tale base?
[ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda.
Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma a
V. Sulla corda c’è una tensione T = 1700 N ; La componente orizzontale di tale forza
vale Tx = 1500 N . Quanto vale la massa dell’oggetto?
[CD0001] [2 7 ] Per un tempo ∆t = 4 s, un oggetto di massa m = 20 kg viene
spinto partendo da fermo da una forza F = 100 N strisciando su di un piano con
coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 1 . Successivamente F~ si annulla.
1. Quanto valgono la forza di gravità e di attrito che agiscono sull’oggetto?
2. Quanto valgono la forza totale che spinge l’oggetto e la sua accelerazione?
Scheda107. Esercizi di Dinamica
3. Quanto spazio avrà percorso e a quale velocità sta viaggiando alla fine dell’intervallo di tempo?
4. Con quale accelerazione si muove quando F~ si annulla, e dopo quanto tempo
si ferma?
[CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo una curva
di raggio r = 48 m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’asfalto
asciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire di strada?
In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; a quale
velocità deve scendere l’autista per rimanere in strada?
[CD0003] [2 4 ] Un ciclista con la sua bicicletta ha una massa complessiva m =
60 kg e nel rettilineo (nel quale la bicicletta è in posizione verticale) il suo baricento
si trova ad un’altezza h = 100 cm da terra. Il ciclista affronta poi una curva ad una
◦
velocità V = 10 m
s inclinato di un angolo di α = 30 rispetto alla verticale. Quanto
vale il momento della forza di gravità che tende a far cadere la bicicletta? Quanto
vale il momento della forza centrifuga che mantiene in equilibrio il ciclista? Quanto
vale il raggio della curva che sta facendo?
[ Mf g = 294 N m; Mf c = −294 N m; r = 17, 7 m]
[CD0004] [1 2 ] Un ragazzo fa roteare un mazzo di chiavi con una frequenza
ν = 4 Hz; il raggio del cerchio percorso dalle chiavi è lungo r = 0, 2 m, a quale
velocità angolare ruotano le chiavi? Se le chiavi hanno una massa m = 0, 1 kg, quanto
vale la forza che mette in tensione il cordino?
[ω = 25, 13 rad
s ; F = 12, 6 N ]
[CD0005] [2 2 ] Caronte, satellite di Plutone, ruota intorno ad esso con un’orbita circolare di raggio r = 19571 km in un tempo T = 6, 3872 giorni. Quanto vale la
massa di Plutone?
[CD0006] [2 2 ] Immaginate di scavare un tunnel che attraversi tutto il pianeta
Terra passando per il suo centro. Ipotizziamo che la Terra sia una sfera perfetta ed
omogenea. Se lasciamo cadere un oggetto nel tunnel, di che tipo di moto si muoverà?
[CD0007] [2 2 ] Un satellite artificiale viaggia su di un’orbita circolare ad
un’altezza h = 500 km dalla superficie terrestre. Determinare la velocità ed il periodo
del’orbita.
236
107.4
Scheda107. Esercizi di Dinamica
Equilibrio
[D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocità costante, sotto l’azione di una forza F = 100 N . Se il coefficiente di attrito tra il piano e
l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?
[D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di
N
e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una
costante elastica k = 10 cm
calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto è fermo, di
quanto si è allungata la molla?
[D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di
N
costante elastica k = 10 cm
. Di quanto si allunga la molla?
[D0007] [2 4 ] Una sbarra orizzontale è libera di ruotare intorno ad un perno
centrale. Essa è sottoposta all’azione di tre forze: una forza F1 = 30 N verso il basso
posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno sul suo lato sinistro, una forza F2 = 10 N
verso il basso posta ad una distanza b2 = 30 cm dal perno sul suo lato destro, ed una
forza F3 = 40 N verso il basso posta ad una distanza b3 sul suo lato destro. Calcola
quanto valgono la distanza b3 e la reazione vincolare Rv del perno affinché la sbarra
possa rimanere ferma.
[D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contenente V = 15 dm3 di acqua
kg
di mare (ρ = 1, 03 dm
3 ) è appeso al soffitto con una molla di costante elastica k =
N
100 m . Di quanto si allunga la molla?
[D0009] [2 4 ] Due persone stanno sollevando una trave di forma irregolare,
di massa m = 50 kg e lunga l = 2 m tenendola per i suoi estremi. Il baricentro della
trave si trova a d = 70 cm da uno degli estremi della trave stessa. Quanto valgono le
forze fatte dalle due persone?
[D0012] [2 5 ] Una sbarra di ferro lunga l = 2 m il cui baricentro si trova a
d = 50 cm da uno degli estremi, viene appoggiata su due molle poste agli estremi
della sbarra, le quali si schiacceranno della stessa quantità ∆l = 6 cm. Sapendo che
N
la prima molla ha costante elastica k1 = 1000 cm
, quanto vale la costante elastica
dell’altra molla e quanto vale la massa della sbarra?
kg
[D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρF e = 7874 m
3 , e di lato l = 20 cm
kg
si trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2 O = 1000 m
3 . Qual è la
minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina?
[D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocità
costante V = 35 km
h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500 N ,
quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane il
perchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta?
[D0016] [2 4 ] Una sbarra orizzontale di massa trascurabile è inchiodata nel
suo centro. Due forze di intensità F1 = F2 = 20 N vengono applicate alla sbarra
verso il basso rispettivamente alla distanza b1 = 20 cm a sinistra e b2 = 30 cm a
destra del centro. Dove devo applicare una forza F3 = 2 N veso il basso in modo
da ottenere equilibrio rotazionale? Quanto vale e verso dove è diretta la reazione
vincolare del chiodo?
[D0018] [2 1 ] A quale velocità minima deve andare una motocicletta per fare
il giro della morte su di una pista circolare di raggio r = 10 m?
[V = 9, 9 m
s ]
[D0023] [1 2 ] Una carrucola sta sorreggendo un oggetto di massa m = 6 kg.
L’oggetto è attaccato all’asse centrale della carrucola ed entrambi i capi della corda
intorno alla carrucla vengono tirati verso l’alto. Quanto vale la tensione sul filo che
tiene la carrucola?
[T = 29, 4 N ]
[D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elastica k =
N
5 cm
al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo che il suo
volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga la molla?
[D0026] [2 6 ] Una sbarra orizzontale è realizzata unendo quattro cubi di lato
l = 10 cm e di masse rispettivamente m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,m3 = 3 kg,m4 = 4 kg.
La sbarra è sorretta da due fili attaccati nel centro del primo e del quarto oggetto.
Calcola il baricentro della sbarra e le forze F1 ed F2 che devono fare i due fili affinchè
la sbarra stia ferma.
[D0027] [1 2 ] Una sbarra orizzontale è tenuta ferma da un chiodo nel suo
centro. Sula lato sinistro, ad una distanza b1 = 18 cm viene applicata una forza
F1 = 30 N verso il basso. Sul lato destro, ad una distanza b2 = 12 cm viene applicata
una forza F2 verso il basso. Quanto vale la forza F2 per tenere ferma la sbarra?
[D0028] [2
4 ] Una trave di legno di massa m = 2 kg e di lunghezza l = 1 m
237
Scheda107. Esercizi di Dinamica
è sorretta ai bordi da due persone. Sulla trave si trova un ogetto di massa m2 = 1 kg
ad una distanza b1 = 20 cm dal bordo sinistro della trave. Quanto valgono le forze
che fanno le due persone?
[F1 = 11, 76 N ; F2 = 17, 64 N ]
kg
3
ρF e = 7874 m
3 e volume VF e = 2 dm o ad allungare una molla di costante elastica
N
dalla lunghezza li = 10 cm alla lunghezza lf = 15 cm?
k = 30 cm
[D0029] [2 4 ] Una trave orizzontale di massa m = 10 kg e lunga l = 200 cm è
libera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave
viene tirata verso il basso da una forza F1 = 100 N posta ad una distanza b1 = 30 cm
dal perno. Una forza F2 viene poi applicata al fondo della trave per equilibrarla e
non farla ruotare. La reazione vincolare del perno fisso tiene la trave in equilibrio
traslazionale. Quanto valgono e verso dove sono diretti i momenti della forza F1
e della forza di gravità? Quanto deve valere e in quale verso deve essere diretto il
momento della forza F2 ? Calcola la forza F2 ed il valore della reazione vincolare.
[M1−or = 3000 N cm; Mg−or = 9800 N cm; M2−an = 12800 N cm; F2 = 64 N verso
l’alto; Rv = 132 N verso l’alto.]
[D0035] [1 4 ] Se vuoi mantenere un sasso sott’acqua senza che tocchi il fondo, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto e
motiva la tua risposta. Immagina adesso di fare la stessa cosa con un pallone di plastica, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto e
motiva la tua risposta.
[D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2 m è libera di ruotare attorno
ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata verso il
basso da una forza F1 = 100 N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno e da una
forza F2 = 200 N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Una forza F3
viene poi applicata al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare. Calcola
la forza F3 .
[D0031] [1 4 ] In una giostra dei seggiolini tenuti da una catena si muovono
di moto circolare uniforme in orizzontale con frequenza ν = 0, 25 Hz descrivendo
un cerchio di raggio r = 3 m. Una persona seduta nel seggiolino ha una massa
m = 70 kg. Quanta forza deve fare la catena per sorreggere quel seggiolino?
[D0032] [2 4 ] Immaginate di tenere in mano un sasso di massa m = 1 kg
mentre tenete l’avambraccio fermo in posizione orizzontale. Il sasso si trova ad una
distanza b1 = 30 cm dal gomito. Il muscolo bicipite, che esprime una forza verso
l’alto, è attaccato all’avambraccio ad una distanza b2 = 5 cm dal gomito. Quanto
vale la forza di gravità sul sasso? Quanto vale la forza che deve fare il muscolo per
sorreggere il sasso? Quale forza agisce sul gomito?
[ Fg = 9, 8 N ; F2 = 58, 8 N ; Rv = 49 N . ]
[D0033] [1
2
] Faccio più fatica a sorreggere un oggetto di ferro di densità
[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg
ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?
N
[D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 m
viene appeso un
oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?
[∆l = 0, 784 m]
[D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.
Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costante
N
?
elastica k = 100 cm
[∆l = 1, 96 cm]
[D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale da
una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?
[D0041] [3 3 ] Un pendolo di massa m = 700 g e di lunghezza L = 2 m viene
tirato in orizzontale da una forza F = 8 N . Quanto vale la tensione del filo che
sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso?
[D0043] [1 4 ] Una sfera rotola su di un piano inclinato, senza strisciare e con
velocità costante. Sapendo che la reazione vincolare del piano vale Rv = 17 N e che
le forze di attrito valgono Fa = 9, 8 N , calcolate la massa della sfera ed il coefficiente
di attrito del piano.
[D0045] [1 2 ] Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattro
N
ammortizzatori di costante elastica k = 100 cm
. Di quanto vengono compressi tali
ammortizzatori a causa del peso dell’automobile?
[∆l = 19, 6 cm]
[D0046] [2 3 ] A due molle identiche, montate in serie, di massa m = 0, 2 kg
N
e costante elastica K = 2 cm
è appeso un oggetto di massa M = 1 kg. Di quanto si
allungano complessivamente le due molle?
238
Scheda107. Esercizi di Dinamica
[D0047] [1 3 ] Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva
di raggio r = 20 m su asfalto bagnato e con le gomme lisce. Tra l’asfalto e le ruote
il coefficiente di attrito è µ = 0, 2. Quanto vale la forza di gravità che agisce sulla
macchina? Quanto vale l’attrito dell’auto sull’asfalto? A quale velocità massima può
andare la macchina per non uscire di strada?
[Fg = 7840 N ; Fa = 1568 N ; Vmax = 6, 261 m
s ]
[D0048] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova fermo su di un piano
inclinato senza attrito, inclinato di θ = 30◦ rispetto all’orizzontale, bloccato tramite
N
un cavo inestensibile ad una molla di costante elastica k = 5 cm
. Di quanto si allunga
la molla?
[D0049] [3 5 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova fermo su di un piano
inclinato. Il piano ha un coefficiente di attrito statico µs = 0, 1 ed è inclinato di
θ = 30◦ rispetto all’orizzontale. L’oggetto è bloccato tramite un cavo inestensibile ad
N
una molla di costante elastica k = 5 cm
. Di quanto si allunga la molla?
[D0050] [2 2 ] Un oggetto di massa m =
2 kg si trova su di un carrello posizionato fermo su
di un piano inclinato inclinato di θ = 30◦ rispetto all’orizzontale. Il sistema inizialmente è fermo.
L’oggetto è appoggiato ad una molla di costanN
te elastica k = 5 cm
, parallela al piano inclinato.
θ
Di quanto si allunga la molla quando si lascia il
carrello libeo di muoversi?
107.5
Secondo principio della dinamica
[D0052] [2 2 ] Un ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 sm2 .
Una persona di massa m = 70 kg si trova al suo interno in piedi sopra una bilancia.
Qunto peso segna la bilancia?
Esercizi sulle leggi di conservazione
108.1
Scheda 108
Energia
[L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità Vi = 10 m
s .
Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100 N per una distanza ∆S = 24 m
nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento.
1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo?
2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza?
[L0007] [1 7 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucile
in diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparo
riceve una spinta F = 100 N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza della
canna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocità
Vf = 20 m
s . trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria.
3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto?
[L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezza
hi = 8 m, con quale velocità arriverà a terra?
[L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmente
fermo da un’altezza hi = 8 m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m
s ; quanta
energia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria?
[L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su di un
piano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m
s . Gradualmente rallenta a causa
m
delle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 s . Quanta energia è stata dispersa
sotto forma di calore?
[L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato
con attrito, con una velocità iniziale Vi = 10 m
s . Gradualmente rallenta fino a fermarsi. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza
hf = 3 m e che il calore generato dalle forze di attrito è stato Q = 2 J, quanto vale la
massa dell’oggetto?
[L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo una
discesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m
s . All’inizio si trovava all’altezza
hi = 10 m per poi scendere fino all’altezza hf = 2 m.
1. Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo?
2. Trascura la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno del fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla
canna del fucile?
3. Quanta energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza?
4. Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima
altezza?
5. A quale altezza è arrivato il proiettile?
[L0008] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’energia potenziale gravitazionale Ui = 100 J e sta cadendo con una velocità Vi = 10 m
s . Cadendo a
terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0 m, l’oggetto ha colpito e compresso una molla,
N
inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 cm
. Quando la molla raggiunge la
sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo.
1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco.
2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito?
1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto?
3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta energia si è persa a causa delle forze d’attrito?
2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente?
239
240
3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra?
4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente?
5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento?
6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento di
massima compressione?
7. Di quanto si è compressa la molla?
[L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto di massa
m = 500 kg da un’altezza hi = 2 m fino ad un’altezza hf = 32 m. Quanto tempo ci
impiega?
[L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Con
quale velocità l’atleta entra in acqua?
[Vf = 14 m
s ]
[L0011] [1 2 ] In quanto tempo un motore di potenza P = 30 W può sollevare
un oggetto di massa m = 4 kg di un’altezza ∆h = 5 m?
[∆t = 6, 53 s]
[L0012] [1 2 ] Quale altezza raggiunge un oggetto lanciato da terra verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale V0 = 25 m
s ?
[hf = 31, 9 m]
[L0013] [1 3 ] Un’automobile di massa m = 1000 kg rallenta in uno spazio
m
∆S = 50 m dalla velocità Vi = 20 m
s fino alla velocità Vf = 10 s . Quanto valgono
le energie cinetiche iniziale e finale dell’automobile? Quanto lavoro hanno fatto le
forze d’attrito? Quanto valgono le forze d’attrito?
[L0014] [1 4 ] Esercizi banali:
1. Quanto lavoro viene fatto su di un oggetto che si é spostato di ∆S = 50 m
rallentato da una forza d’attrito F = 100 N ?
[L = −5000 J]
2. Quanto lavoro compie la forza centripeta che fa muovere un oggetto di moto
circolare uniforme?
[L = 0 J]
Scheda108. Esercizi sulle leggi di conservazione
3. Quanto consuma una lampadina di potenza P = 150 W tenuta accesa per un
tempo ∆t = 2 h?
[∆E = 300 J]
4. Per quanto tempo deve funzionare un motore di potenza P = 2000 W per poter
fornire un’energia ∆E = 500 J?
[∆t = 0, 25 s]
[L0015] [1 5 ] Un pallone di massa m = 0, 4 kg si trova ad una altezza hi = 1 m
da terra e viene calciato verticalmente verso l’alto alla velocità Vi = 15 m
s .
1. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallone all’inizio?
2. Qanto vale l’energia totale che ha quel pallone?
3. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallone nel punto di massima altezza?
4. A quale altezza arriva il pallone?
5. Se il pallone avesse avuto una massa doppia a quale altezza sarebbe arrivato?
.
[Eci = 45 J; Ui = 3, 9 J; Etot = 48, 9 J; Ecf = 0 J; Uf = 48, 9 J; hf = 12, 5 m; Alla
stessa altezza.]
[L0016] [1 2 ] Un proiettile viene sparato in aria con la velocità iniziale Vi =
100 m
s . Trascurando l’effetto dell’aria, a quale altezza arriverebbe il proiettile?
[hf = 510 m]
[L0017] [1 2 ] Un pendolo formato da un filo di lunghezza l = 1 m ed una
massa legata al fondo, viene inclinato in modo da sollevare la massa di ∆h = 10 cm,
e viene tenuto inizialmente fermo. Con quale velocità il pendolo viaggerà quando la
massa avrà raggiunto la sua minima altezza?
[L0018] [1 2 ] Di quanto viene compressa una molla di costante elastica k =
N
100 m
se a comprimerla è un oggetto di massa m = 49 kg lanciato orizzontalmente
alla velocità Vi = 10 m
s ?
[∆l = 7 cm]
241
[L0019] [1 3 ] Su di una catapulta viene posizionata una pietra di massa m =
N
30 kg, comprimendo di ∆l = 50 cm una molla di costante elastica k = 6000 m
.
1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nella molla?
2. Con quanta energia cinetica la pietra viene lanciata?
3. A quale velocità viaggia la pietra nel momento in cui viene lanciata?
.
[V = 750 J; Eci = 750 J; Vi = 7, 07 m
s .]
[L0020] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’energia potenziale gravitazionale Ui = 100 J e sta cadendo con una velocità Vi = 10 m
s . Cadendo a
terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0 m, l’oggetto ha colpito e compresso una molla,
N
inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 cm
. Quando la molla raggiunge la
sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo.
1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto?
2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente?
3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra?
4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente?
5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento?
6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento di
massima compressione?
7. Di quanto si è compressa la molla?
.
[hi = 2, 04 m; Eci = 250 J; Uf = 0 J; Vi = 0 J; Eci = 0 J; Vel−f = 350 J; ∆l =
3, 5 cm.]
[L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg che
si muove con velocità Vi = 10 m
s per fargli raddoppiare la velocità?
Scheda108. Esercizi sulle leggi di conservazione
[L0022] [1 4 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucile in
diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparo riceve una spinta F = 100 N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza della
canna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocità
Vf = 20 m
s . Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo? Trascura
la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno del
fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla canna del fucile? Quanta
energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza? Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima altezza, se trascuriamo
l’attrito con l’aria? A quale altezza è arrivato il proiettile?
[L = 60 J; Eci = 60 J; Ecf = 3 J; Uf = 57 J; hf = 388 m]
[L0023] [1 3 ] Un corpo di massa m = 2 kg, sulla cima di una collina, viaggia con velocità iniziale Vi = 10 m
s ed ha un’energia potenziale gravitazionale Ui =
1000 J. Frenato dalle forze d’attrito, arriva in fondo alla collina ad altezza hf = 0 m
con una velocità finale Vf = 20 m
s . Di quante volte è aumentata l’energia cinetica
(raddoppiata, triplicata, quadruplicata)? Quanta energia si è trasformata in calore?
[L0024] [3 5 ] Ad una molla, di lunghezza a riposo L0 = 20 cm e costante
N
, viene appeso un oggetto di massa m = 100 g. Dalla posizione di
elastica k = 10 m
equilibrio raggiunta, l’oggetto viene sollevato di ∆x = +5 cm. Lasciato libero, fino a
quale altezza minima si abbassa?
[L0025] [1 4 ] Un oggetto cade da una certa altezza. Trascuriamo l’effetto
dell’aria. Rispondi alle seguenti domande:
• Come variano l’energia potenziale gravitazionale e l’energia cinetica dell’oggetto? Come varia l’energia totale dell’oggetto?
Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.
• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche del
fenomeno in questione? Vale ancora la legge di conservazione dell’energia
totale?
[L0026] [1 4 ] Un elastico inizialmente fermo, di massa m = 40 g e costante
N
elastica k = 5 cm
, si trova all’altezza hi = 2 m e viene lanciato verso l’alto. L’energia
necessaria è data dall’elastico stesso essendo stato allungato di ∆l = 10 cm.
242
Scheda108. Esercizi sulle leggi di conservazione
1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nell’elastico?
108.2
2. Quanta energia cinetica avrà l’elastico nel punto di massima altezza?
[P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 =
11 m
s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia
nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m
s . Nell’urto di due oggetti rimangono
attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco?
3. Calcola l’energia potenziale gravitazionale e l’altezza che avrà l’elastico nel
punto di massima altezza?
.
[V = 2, 5 J; Ecf = 0 J; U = 3, 284 J; hf = 8, 38 m.]
[L0027] [1 2 ] Un atleta di salto con l’asta durante la sua corsa viaggia ad
una velocità Vi = 9 m
s , quanto salterebbe in alto se riuscisse a convertire tutta la sua
energia cinetica in energia potenziale gravitazionale?
[hf = 4, 13 m]
[L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un
piano orizzontale con la velocità V = 5 m
s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una
molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla?
N
[k = 2500 m
]
[L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da una certa
altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m. Assumendo
che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N , da quale
altezza è caduto l’oggetto?
[L0031] [1 2 ] Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da una
gru ad un’altezza hi = 10 m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondità hf = −5 m sotto il livello del terreno. Di quanto è variata l’energia potenziale
gravitazionale dell’oggetto a causa del suo spostamento?
[L0032] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood senta attrito sono appesi due
corpi di massa m1 = 2 kg e m2 = 3 kg. Il corpo più leggero è inizialmente fermo
appoggiato a terra, mentre quello più pesante si trova a h = 2 m da terra. Con quale
velocità il più pesante toccherà terra?
[DL0052] [4 3 ] Un oggetto è posto sulla cima di una superficie semisferica.
Esso comincia a scivolare senza attrito lungo tale superficie. In quale punto esso si
stacca dalla suprficie?
108.3
Quantità di moto
Complessivi
[CDL0001] [1 3 ] Un’auto viaggia a velocità costante per un tratto di strada ∆S =
600 m, spinta da una forza costante F = 500 N per un tempo ∆t = 20 s. Come
potresti spiegare perché l’auto viaggia a velocità costante? Quanto vale la potenza
espressa dal motore in quell’intervallo di tempo?
[CDL0002] [2 2 ] Un’auto di massa m = 800 kg, partendo da ferma, viene
spinta da una forza costante F = 500 kN per un tempo ∆t = 3 s. Quanto vale la
potenza espressa dal motore?
[DL0001] [2 3 ] Un corpo striscia con velocità iniziale Vi = 20 m
s su di un
piano con coefficiente di attrito µd = 0.5. Quale velocità avrà dopo aver percorso
∆S = 30 m.
[DL0002] [2 5 ] Disegna lo schema di un sistema di sollevamento a carrucola
mobile per sollevare un peso di massa m = 10 kg. Indica il valore della forza F~ che
devi esercitare sull’estremità del cavo e lo spostamento ∆S dell’estremità del cavo,
sapendo che la massa si solleva di ∆h = 20 cm.
[DL0003] [3 5 ] Un pendolo di massa m = 900 g e lunghezza L = 1 m viene
tirato in orizzontale da una forza F = 10 N . Quanto vale la tensione del filo che
sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso? Quanta energia viene fornita al peso
per sollevarlo?
[DL0011] [2 3 ] Un pendolo semplice è realizzato con una corda di lunghezza
l = 2 m con all’estremità una massa m = 2 kg. Tale pendolo sta oscillando attaccato
ad un chiodo all’altezza hc = 3 m. Il massimo valore dell’altezza raggiunta dal pendolo è hi = 1, 4 m. Sapendo che la corda può sopportare al massimo una tensione
Tmax = 30 N , il pendolo si romperà?
243
[DL0012] [1 4 ] Un’auto di massa m = 500 kg rallenta dalla velocità Vi =
km
252 km
h fino alla velocità Vf = 108 h in uno spazio ∆S = 100 m. Quanta energia
cinetica ha l’auto prima e dopo la frenata? Quanto lavoro ha fatto la forza d’attrito
delle ruote con l’asfalto? Calcola la forza e l’accelerazione d’attrito.
[Eci = 1225 kJ; Ecf = 225 kJ; L = −1000 kJ; Fa = 10 N ; a = 0, 02 sm2 ]
[LP0001] [3 4 ] Un oggetto di massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità
V1 = 11 m
s lungo un piano inclinato senza attrito. Inizialmente l’oggetto si trova
all’altezza hi = 5 m da terra. Alla fine del piano inclinato si sposta in orizzontale
fino a quando urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg inizialmente fermo.
Nell’ urto di due oggetti rimangono attaccati. Con quale velocità viaggeranno dopo
l’urto?
Scheda108. Esercizi sulle leggi di conservazione
Esercizi di Fluidodinamica
109.1
Scheda 109
foro, di dimensione trascurabile rispetto alla superficie della base del contenitore.
Con quale velocità l’acqua esce dal foro?
[Vf = 2, 21 m
s ]
Legge di conservazione della portata
[F0002] [1 2 ] In un tubo di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua con veloci2
tà V1 = 3 m
s . Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm .
Quanto vale la portata del tubo? Quanto vale la velocità con cui l’acqua scorre nella
strozzatura?
[F0003] [1 2 ] Il letto di un canale di irrigazione è profondo h1 = 2 m e largo
l1 = 10 m, e l’acqua al suo interno scorre con una velocità V1 = 0, 2 m
s ; se in un certo
tratto la profondità e la larghezza del canale si dimezzano, a quale velocità scorrerà
l’acqua in questo secondo tratto? Quanto vale la portata del canale?
109.2
[CF0001] [3 5 ] Un contenitore cilindrico è riempito di liquido fino ad un’altezza H = 50 cm. Ah un’altezza h = 25 cm è praticato un foro piccolo rispetto alla
sezione del cilindro. A quale distanza dal cilindro cade il liquido?
109.3
Legge di Stevin
kg
[F0006] [3 2 ] Un tubo a forma di U contiene acqua ( ρH2 O = 1000 m
3 ) nella
kg
sezione di sinistra e olio ( ρolio = 800 m3 ) nella sezione di destra. I liquidi sono
fermi. Sapendo che la colonna di olio ha un’altezza ∆h = 20 cm, di quanti centimetri
la colonnina di olio si trova più in alto della colonnina di acqua?
Principio di Bernoulli
[F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua
ad una velocità V1 = 8 m
s con una pressione P1 = 150000 P a. Ad un certo punto la
sezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2 . Quanto valgono la velocità e la
pressione dell’acqua nella parte larga del tubo?
[F0004] [2 2 ] Un vaso cilindrico di sezione S1 = 10 cm2 contiene dell’acqua
fino ad un certo livello. Nel vaso viene applicato un foro di sezione S2 = 1 mm2
ad un’altezza ∆h = 40 cm inferiore al livello dell’acqua. Con quale velocità V2 esce
l’acqua dal foro?
[F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acqua
alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m
s . All’altra estremità
del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo?
Quale sezione ha il tubo in uscita?
kg
[F0008] [2 3 ] Un tubo orizzontale in cui scorre acqua ( ρH2 O = 1000 m
3 ), ha
2
una sezione iniziale S1 = 100 cm . Successivamente il tubo si stringe diventando di
sezione S2 = 60 cm2 . La pressione nel tratto iniziale del tubo vale P1 = 400000 P a,
mentre nella sezione più stretta vale P2 = 300000 P a. Quanto valgono le due velocità
dell’acqua nei due tratti del tubo?
[F0012] [1 2 ] Un contenitore cilindrico viene riempito d’acqua fino all’altezza
hi = 30 cm dal fondo. All’altezza hf = 5 cm dal fondo viene praticato un piccolo
[F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lago
alla profondità h1 = −20 m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica vale
Patm = 100000 P a. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare per
raddoppiare la pressione a cui si trova?
[F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo del mercurio, dell’acqua e
dell’olio. La colonnina di mercurio è alta LHg = 5 cm; la colonnina di acqua è alta
LH2 O = 20 cm e la colonnina di olio è alta Lolio = 15 cm. La pressione atmosferica
vale Patm = 100000 P a. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido.
kg
kg
le densità dei liquidi utilizzati valgono: ρolio = 800 m
3 ; ρH O = 1000 m3 ; ρHg =
2
kg
13579 m
3.
[F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendo una
pressione P = 280000 P a, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie?
[h = −17, 33 m]
109.4
Principio di Pascal
[F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispettivamente S1 =
50 cm2 ed S2 = 5 cm2 . Sapendo che sulla sezione maggiore viene appoggiato un
244
245
peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezione per mantenere
l’equilibrio?
Scheda109. Esercizi di Fluidodinamica
Esercizi di Calorimetria
110.1
[Q0020] [1
Scheda 110
(c) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di
ferro fino alla temperatura Tf = 350 K sapendo che ha una massa m =
10 kg e che si trova ad una temperatura Ti = 300 K?
[∆Q = 2200 J]
Domande di teoria
4 ]
1. Cos’è il calore? Cos’è la temperatura di un oggetto?
2. Capacità termica
2. Come varia la temperatura di un corpo durante una transizione di fase?
(a) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i =
300 K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg
alla temperatura iniziale T2i = 320 K. Qual’è la capacità termica dei due
oggetti?
J
J
[CF e = 880 K
;CCu = 1140 K
.]
3. Cosa succede alle molecole di una sostanza durante una transizione di fase?
4. Cosa può succedere ad una sostanza solida se le forniamo calore?
[Q0022] [1
4 ]
1. Cosa succede se mettiamo due corpi, con temperatura differente, a contatto tra
loro? Perchè?
3. Temperatura di equilibrio
2. Le molecole di un oggetto possono rimanere ferme?
(a) Quale temperatura raggiungono un oggetto di argento di mAg = 0, 1 kg
alla temperatura iniziale Ti,Ag = 350 K ed un oggetto d’oro di mAu =
0, 2 kg alla temperatura iniziale Ti,Au = 400 K messi a contatto?
[Teq = 376, 2 K]
3. Se fornisco energia ad un corpo e lo vedo fondere, come è stata utilizzata
quell’energia?
4. Esiste un limite inferiore alla temperatura che può avere un oggetto? Quale?
110.2
[Q0015] [1
(b) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i =
300 K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg
alla temperatura iniziale T2i = 320 K. Quale temperatura di equilibrio
raggiungeranno i due oggetti?
[Teq = 311, 3 K.]
Esercizi banali
17 ] Esercizi banali di:
1. Riscaldamento
4. Transizioni di fase
(a) Che massa ha un oggetto di rame se dandogli un calore ∆Q = 1000 J la
sua temperatura aumenta di ∆T = 20 K?
[m = 131, 6 g]
(a) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 20 kg di ghiaccio
alla temperatura di fusione?
[∆Q = 6700 kJ]
(b) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di
ferro di ∆T = 50 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova ad
una temperatura Ti = 300 K?
[∆Q = 2200 J]
(b) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 10 kg di rame alla
temperatura di fusione?
[∆Q = 2058 kJ]
246
247
Scheda110. Esercizi di Calorimetria
(c) Quanta energia serve per far bollire una massa m = 5 kg di acqua alla
temperatura di ebollizione?
[∆Q = 11360 kJ]
110.3
Riscaldamento
(b) Di quanto si accorcia una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm
se diminuiamo la sua temperatura di ∆T = 10 K?
[∆l = −1, 4 · 10−5 m]
[Q0001] [2 3 ] Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto
di ferro di ∆T = 50 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova ad una
temperatura Ti = 300 K? Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800 K sarebbe
servita più energia? [rispondi indicando anche il perchè] [Q0002] [1 2 ] Quale
potenza ha un fornelletto che sta scaldando una massa m = 5 kg di acqua da un
tempo ∆t = 60 s facendone aumentare la temperatura di ∆T = 50 K, sapendo che
quell’acqua si trovava inizialmente alla temperatura Ti = 20◦ C? [Q0013] [1 1 ]
Un oggetto di materiale sconosciuto e di massa m1 = 5 kg alla temperatura iniziale
Ti1 = 350 K viene messo a contatto con un oggetto dello stesso materiale e di massa
m2 = 30 kg alla temperatura iniziale Ti2 = 300 K. Quale temperatura di equilibrio
raggiungeranno i due oggetti?
[Teq = 307, 14 K]
(c) Di quanto si allunga una sbarra di rame di lunghezza iniziale li = 30 cm
se aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 30 K?
[∆l = 1, 53 · 10−4 m]
[Q0016] [2 2 ] Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una massa
m = 5 kg di acqua facendone aumentare la temperatura di ∆T = 45 K. Quanto
tempo ci impiega?
(d) Quanta energia devo dare ad una massa m = 50 kg di oro che si trovano
alla temperatura T = 3129 K per farle compiere la transizione di fase?
[∆Q = 84850 kJ]
5. Dilatazione termica
(a) Di quanto si allunga una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm
se aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 20 K?
[∆l = 2, 8 · 10−5 m]
(d) Di quanto devo scaldare una sbarra di rame di lunghezza iniziale li =
20 m per allungarla di ∆l = 1, 7 mm?
[∆T = 0, 5 K]
(e) Di quanto può aumentare la temperatura di una sbarra di ferro di lunghezza iniziale li = 10 m se non voglio che la sua lunghezza aumenti di
più di 1 millimetro?
[∆T = 8, 33 K]
6. Trasmissione del calore
(a) Una finestra rettangolare di vetro spesso l = 3 mm è larga b = 0, 5 m e alta
h = 1, 2 m. Se dentro casa c’è una temperatura Tin = 26◦ C e fuori una
temperatura Tout = 12◦ C, quanta energia passa attraverso quella finestra
W
.
ogni ora? La conducibilità termica del vetro è ρ = 1 K·m
[∆Q = 30240 kJ]
[Q0021] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg ed
m2 = 15 kg, e con temperature T1 = 300 ◦ C e T2 = 500 ◦ C, vengono messi a contatto.
Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno? Perchè?
[Q0021a] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg ed
m2 = 15 kg, e di temperatura T1 = 500 ◦ C e T2 = 300 ◦ C, sono messi a contatto.
Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno?
[Q0023] [1 2 ] Un oggetto di ferro alla temperatura iniziale Ti1 = 350 K viene
messo a contatto con un oggetto di rame alla temperatura iniziale Ti2 = 300 K. Quale
temperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti, sapendo che hanno la stessa
massa?
[LQ0001] [2 3 ] Un corpo ferro di massa m = 20 kg si trova in una
piccola piscina, fermo ed immerso nell’acqua, all’altezza dal fondo hi = 50 cm. Nella
piscina ci sono m2 = 50 kg di acqua. La piscina è termicamente isolata dal mondo
esterno. Ad un certo punto l’oggetto comincia a cadere verso il fondo della piscina
fino a fermarsi sul fondo. Di quanto si scalda l’acqua della piscina?
[LQ0002] [2
2 ] Un corpo di ferro ha massa m = 20 kg e temperatura iniziale
248
Scheda110. Esercizi di Calorimetria
Ti = 400 K. Esso striscia, fino a fermarsi, su di un piano orizzontale, con una velocità
iniziale Vi = 4 m
s . Ammettendo che tutto il calore prodotto sia utilizzato per scaldare
il corpo, di quanto aumenta la sua temperatura?
110.4
Transizioni di fase
[Q0007] [1 1 ] Un blocco di ferro solido di massa m = 50 kg si trova alla temperatura di fusione. Quanto calore devo fornire se voglio fondere una percentuale
p = 10% del blocco di ferro?
[Q0027] [1 2 ] Le temperature di fusione e di ebollizione del ferro sono:
Teb−F e = 3023 K; Tf us−F e = 1808 K. Indicate se le seguenti sostanze sono solide,
liquide o gassose.
• 10 kg di ferro a T = 1600 K;
20 kg di ferro a T = 1890 ◦ C
• 20 kg di ferro a T = 1600 ◦ C;
10 kg di ferro a T = 3023 K
[Q0028] [1
3 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Perché l’alchool etilico bolle alla temperatura di circa Teb−1 = 80◦ C mentre
l’acqua bolle alla temperatura di Teb−2 = 100◦ C
2. Se prendo una certa massa di ferro alla temperatura T = 1600 K, è solida,
liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.
3. Se prendo dell’acqua alla temperatura T = 327 K, essa è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.
110.5
Dilatazione termica
[Q0004] [1 2 ] Due sbarre di eguale lunghezza li = 3 m, una di ferro e l’altra
di alluminio, vengono scaldate di ∆T = 50 K. Ammettendo che nessuna delle due
raggiunga il punto di fusione, di quanto una risulterà più lunga dell’altra?
[Q0008] [3 2 ] Di quanto devo scaldare una sbarra di alluminio di lunghezza iniziale lAl−i = 2000 mm ed una sbarra di ferro di lunghezza iniziale lF e−i =
2001 mm affinchè raggiungano la stessa lunghezza?
[∆T = 38, 5 K] [Q0024] [2 3 ] Un termometro a mercurio è costituito da una
piccola ampolla che contiene mercurio. Da tale ampolla esce un tubicino di sezione
S = 0, 2 mm2 . La quantità totale di mercurio nel termometro è m = 30 g. Inizialmente il termometro si trova a Ti = 20 ◦ C. Il coefficiente di dilatazione termica
1
volumetrico del mercurio è δ = 0, 18 · 10−3 K
. Di quanti millimetri sale il livello del
mercurio nel tubicino se in una giornata calda siamo a Tf = 35 ◦ C
110.6
Conducibilità termica
[Q0025] [1 2 ] Una stufa elettrica mantiene in una stanza una temperatura Tint =
24 ◦ C, mentre all’esterno la temperatura è Text = 4 ◦ C. Il calore si disperde attraverso
W
una finestra di vetro (ρvetro = 1 m·K
) rettangolare (b = 1, 5 m e h = 1, 8 m) spessa
e
l = 3 mm. Il costo dell’energia è C = 0, 18 kW
h ; quanto costa riscaldare la stanza per
un tempo ∆t = 3 h?
110.7
Complessivo
[Q0003] [2 2 ] Quanta energia serve per innalzare la temperatura di m = 10 kg
di acqua dal valore iniziale Ti = 80 ◦ C fino al valore finale Tf = 130 ◦ C? [Q0005]
[2 3 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 3 m alla temperatura
Ti = 1600 K viene immersa in una vasca riempita con una massa mH2 O = 100 kg
d’acqua alla temperatura TH2 O = 300 K. Di quanto si accorcia la sbarra?
[Q0006] [3 4 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 2kg, alla temperatura
iniziale Ti = 600 K vengono forniti ∆Qtot = 2000 kJ di calore. Quanti kilogrammi
di ferro riesco a fare fondere?
[Q0009] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di
ferro dalla temperatura Ti = 2000 ◦ C alla temperatura Tf = 4000 ◦ C?
[∆Q = 35710 kJ] [Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa
m = 5 kg di acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C?
249
[∆Q = 13662300 J] [Q0011] [2 2 ] Quanta energia serve per far allungare di
∆l = 0, 1 mm una sbarra di alluminio di lunghezza li = 200 cm e massa m = 0, 5 kg?
[∆Q = 900 J] [Q0012] [1 2 ] In quanto tempo un forno della potenza P = 500 W
può far aumentare di ∆T = 20 K la temperatura di una massa m = 20 kg di acqua?
[∆t = 3348, 8 s] [Q0014] [2 1 ] Posso scaldare una sbarra di ferro della lunghezza
li = 50 cm e che si trova alla temperatura Ti = 350 K per farla allungare fino alla
lunghezza lf = 50, 1 cm?
[Q0017] [3 2 ] Ad una sbarra di ferro di massa m = 50 kg alla temperatura Ti = 1500 K forniamo ∆Q = 12000 kJ di energia. Quanti kilogrammi di ferro
riusciamo a far fondere?
[Q0018] [3 2 ] Un pezzo di ferro di massa m = 5 kg alla temperatura Ti =
1600 K viene immerso in un volume V = 2 litri di acqua liquida alla temperatura di
ebollizione. Quanta massa di acqua diventerà vapore?
[m = 1, 19 kg]
[Q0019] [2 2 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 2 m alla
temperatura Ti = 1600 K viene immersa in una vasca riempita con mH2 O = 100 kg
d’acqua alla temperatura TH2 O = 300 K. Di quanto si accorcia la sbarra?
[∆l = 0, 031 m]
[Q0026] [2 3 ] Fornendo ∆Q = 3000 kJ an un oggetto di piombo alla temperatura iniziale Ti = 280 K, riesco a portarlo alla temperatura di fusione e fonderlo
interamente. Quanta massa di piombo liquido mi trovo alla temperatura di fusione?
[Q0028] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Perché l’alchool etilico bolle alla temperatura di circa Teb−1 = 80◦ C mentre
l’acqua bolle alla temperatura di Teb−2 = 100◦ C
2. Se prendo una certa massa di ferro alla temperatura T = 1600 K, è solida,
liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.
3. Se prendo dell’acqua alla temperatura T = 327 K, essa è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.
[Q0029] [2 3 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 5 kg, ed alla temperatura
T = 300 K, fornisco una quantità di calore ∆Q = 4400 J. Di quanto aumenta il
Scheda110. Esercizi di Calorimetria
suo volume? [Q0030] [3 4 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti una massa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0◦ C ed una massa
mv = 600 g di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100◦ C. Calcola la temperatura di equilibrio del sistema e quanto vapore rimane.
[Q0031] [3 4 ] Una
sbarra di ferro di massa m = 3 kg alla temperatura Ti−f erro = 800 K viene fatta raffreddare per immersione in una vasca d’acqua alla temperatura Ti−acqua = 300 K.
Quale quantità minima di acqua devo usare per raffreddare il ferro senza che l’acqua
cominci a bollire?
[T0024] [3 3 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti una massa
mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0◦ C ed una massa mv = 600 g di
vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100◦ C. Calcola la temperatura di equilibrio
del sistema e quanto vapore rimane.
Esercizi di Termodinamica
111.1
Scheda 111
9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: X) il gas fa lavoro; Y) il riceve lavoro; Z) il gas diminuisce la sue energia
interna; W) la press.
I Gas
[T0001] [2 2 ] Se un certo quantitativo di gas che si trova alla temperatura T1 =
380 K compie una trasformazione isobara passando da un volume V1 = 10 cm3 ad
un volume V2 = 20 cm3 , quale temperatura ha raggiunto? [T0002] [1 14 ]
10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane invariato; W) il volume può aumentare
e diminuire per ritornare al valore iniziale.
1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
isobara? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) la
produce.
11. Un ciclo di carnot è composto da: X) due isoterme e due isocore; Y) due isocore
e due adiabatiche; Z) due isoterme e due adiabatiche; W) quattro isoterme.
12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: X) il gas si muove di
moto circolare uniforme; Y) il gas non scambia calore con l’esterno; Z) gli stati
iniziale e finale della trasformazione coincidono; W) Gli stati iniziale e finale
della trasformazione cambiano ciclicamente.
2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane
invariato; W) il volume puó aumentare quanto diminuire.
3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? X) si; Y) no; Z)
forse; W) a volte.
13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fatto
fratto calore assorbito; Y) lavoro fatto più calore assorbito; Z) lavoro fatto meno
calore assorbito; W) solo lavoro fatto.
4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si; Y) no; Z) forse;
W) a volte.
14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume non varia;
W) il volume sia aumenta che diminuire.
5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
adiabatica? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) la
produce.
[T0003] [1
12 ]
1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: X) minore o uguale a
1; Y) maggiore o uguale a 1; Z) uguale a 1; W) nessuna delle precedenti.
6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: X) solo il volume;
Y) solo la temperatura; Z) solo la pressione; W) Sia il volume che temperatura
che pressione.
2. La legge dei gas perfetti: X) non contiene il volume del gas; Y) non contiene la
temperatura del gas; Z) non contiene l’energia interna del gas; W) non contiene
la pressione del gas.
7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane
invariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire.
3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume; Y)
la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna.
8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il voume rimane
invariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire.
4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la temperatura; Y) il volume; Z) la pressione; W) l’energia interna.
250
251
Scheda111. Esercizi di Termodinamica
5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: X) il volume; Y)
la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna.
6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: X) è sempre maggiore di 1; Y) dipende
solo dalla temperatura finale del gas; Z) dipende dalle temperature a cui viene
scambiato il calore; W) dipende solo dalla temperatura iniziale del gas.
7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno?
8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energia
durante ogni trasformazione.
9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nel
gas o esce?
7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassa
temperatura è: X) più pregiato; Y) meno pregiato; Z) egualmente pregiato; W)
dipende dai casi.
10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica?
e durante un’espansione adiabatica?
8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y) farlo
espandere; Z) aumentarne la pressione; W) aumentarne l’energia interna.
11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
adiabatica?
9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y)
fargli compiere una trasformazione isocora; Z) farlo espandere; W) fargli compiere una espansione isobara.
12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
isoterma?
10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: X) viene compresso; Y) si espande;
Z) si scalda; W) nessuna delle precedenti.
11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si; Y) no; Z)
forse; W) a volte.
[T0004] [1
18 ]
1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas?
2. In quali modi posso fornire energia ad un gas?
3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma?
Perchè?
4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compressione?
5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica?
6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno?
13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prende
quell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura?
14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro?
15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia per
compiere lavoro?
16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna il
diagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperatura
ad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica quel
diagramma per descrivere un ciclo frigorifero.
17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scambiato a bassa temperatura? Perchè?
18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione ciclica in un diagramma Pressione-Volume?
252
[T0005] [1 2 ] Un gas compie un ciclo termodinamico formato da due isobare e due isocore. Il ciclo comincia con un’espansione isobara che parte dallo stato
A(3 m3 ; 8 atm); successivamente abbiamo un raffreddamento isocoro; la compressione isobara inizia invece dallo stato B(5 m3 ; 3 atm); infine un riscaldamento isocoro.
Quanto lavoro ha fatto il ciclo?
[T0006] [1 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta temperatura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con un
certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:
1. Sapendo che δQass = 5000 J e che δQced = 3500 J, quanto valgono δL ed η?
Scheda111. Esercizi di Termodinamica
[T0010] [1 2 ] Un ciclo di Carnot assorbe δQass = 1000 J alla temperatura
T1 = 1000 K e cede calore alla temperatura T2 = 400 K. Quanto lavoro viene prodotto?
[δL = 600 J]
[T0011] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazione
di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna, il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle due
di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie di
informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.
2. Sapendo che δQass = 5000 J e che δL = 2000 J, quanto valgono δQced ed η?
1. Riscaldamento isobaro
3. Sapendo che δL = 5000 J e che η = 0, 4, quanto valgono δQass e δQced ?
[T0007] [2 2 ] Durante una trasformazione isocora, un gas alla pressione
iniziale Pi = 25000 P a passa da una temperatura Ti = 380 K ad una temperatura
Tf = 450 K; quale pressione Pf ha raggiunto?
[Pf = 29605 P a] [T0008] [2 2 ] Durante una trasformazione isoterma, un gas
alla pressione iniziale Pi = 25000 P a passa da un volume Vi = 10 cm3 ad un volume
Vf = 20 cm3 ; quale pressione Pf ha raggiunto?
[Pf = 12500 P a]
[T0009ban] [1 5 ] Esercizi banali:
1. Quanto lavoro fa un gas a pressione P = 5000 P a in una espansione isobara
passando da un volume Vi = 50 m3 ad un volume Vf = 66 m3 ?
[L = 80 kJ]
2. Una macchina termica funziona seguendo un ciclo di Carnot tra una temperatura T1 = 500◦ K ed una inferiore T2 = 300◦ K. Quanto vale il rendimento della
macchina?
[η = 20%]
3. Un gas, espandendosi, produce un lavoro δL = 500 J assorbendo contemporaneamenre una quantitá di calore δQ = 300 J. Di quanto é variata la sua energia
interna?
[∆U = −200 J]
2. Riscaldamento isocoro
3. Riscaldamento adiabatico
[T0012] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazione
di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna, il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle due
di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie di
informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.
1. Espansione isobara
2. Espansione isoterma
3. Espansione adiabatica
[T0013] [1
4 ]
1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con il mondo esterno?
2. Cos’è una trasformazione ciclica?
3. Cosa succede, dal punto di vista energetico, durante una trasformazione ciclica?
253
Scheda111. Esercizi di Termodinamica
4. Perchè la società umana ha bisogno delle trasformazioni cicliche?
5. Cosa posso dire sul valore del rendimento di una trasformazione ciclica?
[T0014] [1
4 ] Domande di teoria
1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con l’esterno?
[T0017] [1
3 ] Domande di teoria
1. Del gas compresso esce molto velocemente da una bomboletta e si espande. Che
tipo di trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?
2. Del gas viene compresso molto lentamente dentro una bomboletta. Che tipo di
trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?
2. A cosa serve una trasformazione ciclica?
3. Perchè la società umana ne ha bisogno?
4. Elenca le strategie utili a risolvere i problemi energetici dell’umanità.
5. Quali variabili descrivono lo stato fisico di un gas? Quale formula le lega tra
loro?
[T0015] [1
[T0018] [2 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta temperatura,
cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con un certo
rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:
3 ] Domande di teoria
1. Se scaldo una pentola chiusa con un coperchio, che tipo di trasformazione sta
facendo il gas all’interno? Perchè?
2. Un subacqueo si immerge in apnea scendendo di ∆h = −30 m. Che tipo di
trasformazione fa l’aria nei suoi polmoni? Percè?
3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad alta
temperatura, e produce lavoro con un rendimento η = 20 %. Quanto lavoro ha
prodotto? Quanto calore cede a bassa temperatura?
[T0016] [1
3. Un ciclo termodinamico cede una quantità di calore ∆Qced = 500 J a bassa
temperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento del
ciclo? Quanto calore viene assorbito ad alta temperatura?
3 ] Domande di teoria
1. Una nebulosa nello spazio si comprime a causa della forza di gravità. Che tipo
di trasformazione termodinamica fa? Perché?
2. Un frigorifero raffredda l’aria al suo interno. Che tipo di trasformazione termodinamica subisce tale aria? Perché?
3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad alta
temperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento del
ciclo? Quanto calore viene ceduto a bassa temperatura?
1. Sapendo che δQass = 5000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δL e δQced ?
2. Sapendo che δL = 4000 J e che δQced = 6000 J, quanto valgono δQass ed η?
3. Sapendo che δQced = 8000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δQass e δL?
[T0019] [2 2 ] Quant’è la minima quantità di lavoro che bisogna utilizzare, con
un ciclo di Carnot, per sottrarre δQ = 180 J da un gas alla temperatura Tb = −3◦ C
e spostarlo in un ambiente alla temperatura Ta = 27◦ C.
[T0020] [2 4 ] Una
g
massa m = 560 g di azoto gassoso (P M = 28 mole ) si trova alla temperatura iniziale
Ti = 270 K. Essa è contenuta in un cilindro metallico di sezione S = 1000 cm2 e di
altezza h = 1 m. A quale pressione si trova il gas? Se la temperatura aumenta di
∆T = 30 ◦ C, a quale pressione arriva il gas? [T0021] [3 3 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in due volumi uguali nei quali sono contenuti due gas,
rispettivamente alla pressione PiA = 1, 5 · 105 P a e PiB = 3, 3 · 105 P a. Assumendo
che il contenitore sia mantenuto a temperatura costante e che i due gas siano in equilibrio termico con il contenitore, quale pressione si avrà all’interno del contenitore
dopo la rimozione della paratia di separazione? [T0022] [3 4 ] Un contenitore
è separato da una sottile paratia in due volumi uguali nei quali sono contenuti due
gas, rispettivamente ossigeno O2 alla pressione PiA = 1, 4 · 105 P a e idrogeno H2
254
Scheda111. Esercizi di Termodinamica
alla pressione PiB = 2, 8 · 105 P a. Assumendo che il contenitore sia mantenuto alla
temperatura costante T = 200 ◦ C e che i due gas siano in quilibrio termico con il contenitore, quale pressione si avrà all’interno del contenitore dopo la rimosione della
paratia di separazione? Quale pressione si avrà poi dopo che un dispositivo elettrico
fa scoccare una scintilla attraverso la miscela di idrogeno e ossigeno? [T0023] [4
4 ] Un gas monoatomico (γ = 53 ) fa una trasformazione dallo stato
{TA = 300 K; PA = 100000 P a; VA = 3 m3 }
allo stato
{TB = 400 K; PB = 200000 P a; VB = 2 m3 }
Calcolate la variazione di entropia.
domande:
[T0025] [1
4
] Rispondi alle seguenti
1. In quale direzione si muove naturalmente il calore? In che modo possiamo
invertire tale direzione?
2. Indica quali relazioni valgono, tra le variabili energetiche dei gas, durante le
trasformazioni: espansione adiabatica, riscaldamento isocoro e compressione
isoterma. Scrivile ed enunciane il significato.
3. Perchè un gas ideale esercita sempre una certa pressione sulle pareti del contenitore che lo racchiude?
4. Lo pneumatico di un’automobile, una volta gonfiato fino ad un certo livello,
non aumenta più il suo volume. Perchè immettendo altra aria al suo interno
aumenta la pressione?
[T0026] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme e due
isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono in
uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna del
gas aumenta o diminuisce.
[T0026a] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico
formato da due isoterme e due adiabatiche. Indica per ogni trasformazione se gli
scambi di calore e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni
trasformazione se l’energia interna del gas aumenta o diminuisce.
[T0026b] [2
5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabatiche, una isobara ed
un’isocora. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono
in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna
del gas aumenta o diminuisce. [T0026c] [2 6 ] Disegna un ciclo termodinamico
formato da due adiabatiche e due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli
scambi di calore e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni
trasformazione se l’energia interna del gas aumenta o diminuisce.
[T0027] [2
2 ] Alla partenza di un viaggio, quando la temperatura è Ti = 15◦ , le ruote di
un’auto sono gonfiate alla pressione Pi = 2 atm. Dopo molti kilometri le ruote si
sono scaldate fino alla temperatura Tf = 45◦ . Quale pressione hanno raggiunto?
[T0028] [2 3 ] Un frigorifero ha una porta di superficie S = 1, 5 m2 . Inizialmente
spento e aperto, l’aria al suo interno ha una temperatura Ti = 22◦ . Una volta in
funzione l’aria al suo interno raggiunge la temperatura Tf = 4◦ . Con quale forza la
porta viene schiacciata conto il frigorigero e tenuta chiusa? [DT0001] [1 5 ] Un
contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pistone mobile di massa m = 1 kg
e di superficie S = 1 dm3 . All’inizio il contenitore è alto hi = 3 dm. Nel contenitore
è presente un gas perfetto alla temperatuta T = 27◦ C. Quante molecole ci sono nel
gas? Se sul pistone appoggiamo un peso di massa M = 19 kg, mantenendo costante
la temperatura del gas, quanto risulterà alto il contenitore alla fine? [DT0002] [1
2 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pistone mobile di massa
m = 10 kg e di superficie S = 2 dm2 . Il contenitore è alto h = 4 dm. Nel contenitore
è presente un gas perfetto alla temperatuta T = 27◦ C. Quante molecole ci sono
nel gas?
[FT0001] [2 3 ] Un subacqueo con capacità polmonare Vi = 5 dm3
sta per andare a hf = −30 m di profondità sul livello del mare. Quanti litri d’aria
si troverà nei polmoni a quella profondità?
[LT0001] [2 5 ] Una macchina
termica funziona con un ciclo di Carnot tra le temperature Tb = 20◦ C e Ta = 600◦ C.
Tale macchina brucia una massa m = 100 g di benzina dal potere calorifico C =
J
43, 6 · 106 kg
, per sollevare un peso M = 10 kg. Di quanto si riesce a sollevare tale
peso? [QT0001] [2 4 ] In un contenitore di ferro chiuso, di massa mF e = 1 kg,
ci sono maria = 3 kg di aria. La temperatura iniziale del ferro è Ti−F e = 10 ◦ C, e
quella dell’aria è Ti−aria = 30 ◦ C. Il calore specifico dell’aria a volume costante è
P
J
cs−aria = 0, 72 kgK
. Calcola il rapporto tra le pressioni finale ed iniziale x = Pfi al
255
raggiungimento dell’equilibrio termico. [QT0002] [3 5 ] Una centrale elettrica di
potenza P = 500 M W funziona con un ciclo termodinamico di rendimento η = 0, 35.
Per raffreddarla viene utilizzato un piccolo fiume dal quale si preleva una portata
d’acqua C = 5 · 104 kg
[QT0003] [2 3 ]
s . Di quanto si scalda quell’acqua?
Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utilizzata come frigorifero per
raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C
alla temperatura finale Tf = 4 ◦ C. Quanto lavoro impiega?
[QT0004] [2 3 ]
Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utilizzata come frigorifero per
raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla
temperatura finale Tf = −18 ◦ C. Quanto lavoro impiega?
[QT0005] [3 5 ]
Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenza P = 100 W viene utilizzata
come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura
iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = 4 ◦ C. Quanto tempo ci impiega?
[QT0006] [3 4 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenza P =
100 W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua
dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = −18 ◦ C. Quanto
tempo ci impiega?
Scheda111. Esercizi di Termodinamica
Esercizi sui fenomeni ondulatori
112.1
[O0011] [1
Scheda 112
2. Che differenza c’è tra riflessione e diffusione?
Teoria
3. In quale istante avviene la riflessione di un’onda?
4 ]
4. Nel fenomeno della riflessione, perchè non cambia la velocità dell’onda?
1. Cos’è un’onda?
[O0028] [1
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
2. Indica la differenza tra onde trasversali ed onde longitudinali
3. Indica la differenza tra onde meccaniche ed onde elettromagnetiche
1. Quali fenomeni fisici vengono utilizzati dalle lenti e dagli specchi per il loro
funzionamento?
4. Disegna un’onda ed indicane tutte le variabili che la descrivono
2. Come si forma un’onda stazionaria?
[O0019] [1
3. Per quale motivo se una persona si sta allontanando da noi, sentiamo la sua
voce di un volume minore?
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
1. Quali differenze ed analogie ci sono tra la luce visibile, i gaggi X con cui fai una
lastra e le onde radio per le telecomunicazioni?
4. In che modo cambia il suono di una sirena se tale sirena si sta avvicinando od
allontanando da noi? Per quale motivo?
2. Perchè d’estate preferisco indossare vestiti bianchi e non neri?
3. Come mai d’estate in generale le temperature sono alte, mentre d’inverso in
generale le temperature sono basse?
112.2
4. Qual’è la principale differenza tra la luce diffusa da un muro e la luce riflessa
da uno specchio?
[O0020] [1
[O0025] [4 5 ] In un tubo a forma di "U" aperto da entrambi i lati è presente
dell’acqua. Inizialmente la differenza di livello dell’acqua nei due bracci del tubo è
∆hi = 10 cm. Il tubo è pieno di acqua per una lunghezza L = 1 m. Inizialmente
l’acqua è ferma. Calcolate la frequenza con cui il livello dell’acqua comincerà ad
oscillare all’interno del tubo.
3 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Indica quale grandezza fisica dell’onda determina: il colore della luce visibile;
la luminosità della luce visibile; il volume di un suono; la tonalità del suono?
112.3
2. Con un puntatore laser indico un punto su di un muro. Tutti nella stanza vedono quel punto. Sto parlando di un fenomeno di riflessione o di diffusione?
Perchè?
Riflessione e rifrazione
[O0003] [1 1 ] L’eco di un forte urlo viene percepito dalla persona che ha urlato
dopo un intervallo di tempo ∆t = 0, 2 s. Sapendo che il suono in aria viaggia alla
velocità Vs = 344 m
s , quanto è distante la parete sulla quale il suono si è riflesso?
[O0012] [1 1 ] Un raggio di luce passa dall’aria all’acqua con un angolo di
incidenza i = 45◦ . L’indice di rifrazione dell’aria è naria = 1, 0003, mentre quello
dell’acqua è nH2 O = 1, 33. Con quale angolo di rifrazione il raggio entra nell’acqua?
3. Descrivi un fenomeno fisico in cui sia presente l’effetto Doppler.
[O0027] [1
Oscillazioni
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
1. Come determini la direzione del raggio riflesso in una riflessione?
256
257
Scheda112. Esercizi sui fenomeni ondulatori
[O0029] [1 1 ] Una nave manda un impulso sonar verso il basso per misurare
la profondità del fondale. L’impulso torna alla nave dopo un tempo ∆t = 1, 2 s.
Sapendo che il suono in acqua viaggia alla velocità Vs = 1400 m
s , quanto è profondo
il fondale?
[O0015] [1 2 ] Un raggio di luce verde (ν = 6 · 1014 Hz) attraversa perpendicolarmente una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 4. Sapendo che la
lastra di vetro è spessa d = 3 mm, quante oscillazioni compie il raggio luminoso
nell’attraversare tale lastra?
112.4
[O0018] [1 2 ] Sapendo che gli indici di rifrazione di aria e acqua sono rispettivamente na = 1, 00029 e nH2 O = 1, 33 calcola lo spessore di aria che un raggio di luce
deve attraversare per impiegare lo stesso tempo che impiegherebbe ad attraversare
uno spessore ∆LH2 O = 20 cm.
Interferenza e risonanza
[O0005] [1 2 ] Quanto vale la terza frequenza di risonanza su di una corda, fissata
ai due estremi, lunga l = 6 m, sulla quale le onde viaggiano alla velocità V = 50 m
s ?
Disegna l’onda sulla corda.
[O0010] [1 2 ] Calcola la velocità di un’onda su una corda fissata ai due estremi e lunga l = 12 m, sapendo che la quinta frequenza di risonanza è ν5 = 9 Hz?
Disegna l’onda sulla corda.
[O0017] [2 2 ] Un’asticella lunga l = 150 cm, oscilla con un’estremo fisso l’altro libero. La velocità di un’onda nell’asticella è V = 24 m
s . Calcola la terza frequenza
di risonanza dell’asticella.
112.5
Propagazione
[O0004] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da una persona ad una distanza r1 = 20 m con un’intensità I1 = 120 mJ2 s . con quale intensità
verrà invece percepito da una persona alla distanza r2 = 30 m?
[O0006] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da Andrea
ad una distanza rA = 20 m con un’intensità IA = 120 mJ2 s . Marco si trova alla distanza d = 5 m da Andrea, sulla line tra Andrea e l’altoparlante. Con quale intensità il
suono verrà percepito da Marco?
[O0007] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da Andrea
ad una distanza rA = 20 m con un’intensità IA = 120 mJ2 s . Dietro ad Andrea il suono
prosegue ed incontra un muro alla distanza d = 40 m dalla sorgente, riflettendosi
su di esso e raggiungendo nuovamente Andrea. Con quale intensità Andrea sente il
suono riflesso?
[O0026] [1 1 ] Una lampadina ad incandescenza di potenza P = 100 W emette
luce in maniera isotropa. Se viene posta al centro di una stanza cubica di lato L =
7 m. Quanta energia arriverà in un tempo ∆t = 10 min sul soffitto della stanza?
112.6
Ottica geometrica
[O0001] [1 1 ] Calcola l’angolo limite per riflessione totale per un raggio luminoso che passa dall’acqua all’aria. Gli indici di rifrazione di acqua e aria sono
rispettivamente nH2 O = 1.33 e naria ∼ 1
[O0002] [1 3 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lente
sferica convergente, sia nel caso che l’oggetto si trovi tra la lente ed il fuoco, sia nel
caso che si trovi oltre il fuoco.
[O0008] [1 2 ] Un oggetto è posto ad una distanza da una lente sferica convergente tale per cui l’immagine generata risulta di dimensioni doppie rispetto all’oggetto. Sapendo che la distanza focale della lente vale f = 30 cm, a quale distanza
dalla lente si trova l’oggetto?
[O0009] [1 2 ] Un oggetto è posto di fronte ad una lente convergente ad una
distanza p = 20 cm. La distanza focale della lente è f = 15 cm. A quale distanza
dalla lente si forma l’immagine? Quanto vale il fattore di ingrandimento?
[O0016] [1 1 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lente
sferica divergente. Indica se l’immagine è dritta e se è reale.
258
Scheda112. Esercizi sui fenomeni ondulatori
112.7
[O0021] [1
Ottica applicata
6 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di luce monocromatica. L’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J. Il lavoro di
estrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Dal metallo non escono elettroni
(b) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica nulla
(c) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J
(d) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 6, 4 · 10−19 J
2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che si
propaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’attenuazione del segnale?
(a) La presenza di impurità all’interno della fibra
(b) La presenza di curve nel percorso della fibra
(c) La presenza di interconnessioni tra fibre
(d) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello della
fibra
3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41
verso un materiale con indice di rifrazione n2 . Affinchè possa esserci riflessione
totale quali delle seguenti affermazioni è vera?
(a) n2 sia minore di n1
(b) n2 sia maggiore di n1
(c) n2 sia uguale a n1
(d) n2 può assumere qualunque valore.
4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica quale
delle seguenti affermazioni è FALSA:
(a) Il fenomeno della fluorescenza non ha la stessa durata del fenomeno della
fosforescenza
(b) Entrambi i fenomeni iniziano con il salto energetico di un elettrone da un
livello energetico inferiore ad uno superiore.
(c) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolge
anche le cariche elettriche del nucleo dell’atomo.
(d) In entrambi i fenomeni la radiazione luminosa emessa ha energia inferiore
della radiazione eccitante iniziale
[O0024] [2 10 ] Una fibra ottica immersa in aria ha le seguenti caratteristiche:
diametro del nucleo dc = 50 µm, indice di rifrazione del nucleo n1 = 1, 527, diametro
del mantello dm = 125 µm, indice di rifrazione del mantello n2 = 1, 517. Nella fibra
si propagano segnali luminosi di lunghezza d’onda λ = 1300 nm. Determinare il
numero dei modi di propagazione ed il cono di accettazione. Indicare in modo sintetico perchè la presenza di più modi di propagazione determina una attenuazione
del segnale e come dovrebbe essere modificata la fibra per renderla monomodale.
112.8
Effetto fotoelettrico
[O0022] [2 4 ] Da una lastra di zinco irradiata con luce ultravioletta, vengono estratti degli elettroni. Il lavoro di estrazione degli elettroni dallo zinco è L =
6, 84 · 10−19 J. Calcolare il valore della frequenza di soglia della radiazione incidente. Calcolare inoltre la velocità degli elettroni estratti da una radiazione incidente di
lunghezza d’onda λ = 271 nm
112.9
Atomo di Bohr
[O0023] [1 5 ] Dopo aver brevemente illustrato le caratteristiche del modello atomico di Bohr, calcolare la frequenza della radiazione emessa da un atomo
corrispondente alla terza riga della serie di Balmer.
Esercizi di Elettromagnetismo
113.1
Scheda 113
q+
Elettromagnetismo
[E0001] [2 3 ] Due sfere con carica elettrica C = 10 µC sono poste alla distanza
d = 30 cm. Calcolare la forza con la quale le sfere si respingono quando sono in
quiete e quando si muovono parallelamente con velocità costante V = 90000 km
s .
−9
[E0003] [1 2 ] Due protoni si trovano alla distanza d = 2 · 10 m; tra loro si trova
un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10 m. Quanto vale la forza complessiva
che agisce sull’elettrone?
q+
q−
q+
q+
[E0003a] [1 2 ] Un protone ed un nucleo di elio si trovano alla distanza d =
2 · 10−9 m; tra loro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10 m dal
protone. Quanto vale la forza complessiva che agisce sull’elettrone?
Fig. 113.1: Figura esercizio E0008
[1 2 ] Un elettrone si muove con un’energia E = 3000 eV perpendicolarmente al
campo magnetico terrestre B = 50 µT . Quanto vale la forza magnetica che subisce?
[E0018] [2 3 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttori A, B, C e D percorsi da
una corrente i = 10 A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolari
ad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il piano
in quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5 m, come mostrato in
figura. Le correnti di A e B escono dalla superficie, quelle dei fili C e D entrano nella
superficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto centrale
del quadrato.
[E0005] [2 3 ] Quattro cariche elettriche si trovano ai vertici di un quadrato di
lato l = 2 m. tre di queste valgono Q+ = +8 µC ed una Q− = −8 µC. Quanto vale
il campo elettrico nel centro del quadrato? Quanto vale la forza che agirebbe su di
una carica q = 2 µC posta nel centro del quadrato? [E0007] [1 2 ] Disegna sul
~ uniforme verso destra ed uno magnetico uniforme
tuo foglio un campo elettrico E
~ verticale entrante nel foglio. Disegna adesso un elettrone che si muove parallelo
B
al vostro foglio e verso l’alto. A quale velocità deve andare affichè si muova con
velocità costante?
[E0008] [1 2 ] Quattro cariche elettriche identiche, tutte
positive del valure q = 4 µC si muovono sul tuo foglio, come mostrato in figura,
lungo un percorso circolare di raggio r = 10 cm e con velocità V = 10 m
s . Quanto vale
e dove è diretto il campo magnetico che generano nel centro della spira? Quanto vale
la forza magnetica che subisce una carica negativa che entra perpendicolarmente al
tuo foglio?
[E0009] [1 4 ] Due cariche elettriche Q1 = 4µC e Q2 = −4µC si trovano su
di una linea orizzontale alla disanza d = 2 m. Sulla stessa linea, ad altri due metri
dalla carica negativa, una carica di prova q3 = −2µC. Quanto vale il campo elettrico
totale sulla carica q3 ? Quanto vale la forza che subisce la carica q3 .
[E0011] [1 1 ] Tre sfere conduttrici identiche hanno carica elettrica rispettivamente Q1 = 12 µC e Q2 = Q3 = 0. La prima sfera sarà messa a contatto con la
seconda e poi da essa separata. La seconda spera sarà infine messa a contatto con
la terza e poi separata. Quale sarà la carica elettrica della terza sfera?
[E0012]
A
B
D
C
[E0019] [3 5 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttori A, B, C e D percorsi
da una corrente i = 10 A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolari
ad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il piano
259
260
Scheda113. Esercizi di Elettromagnetismo
in quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5 m, come mostrato in
figura. Le correnti di A e B escono dalla superficie, quelle dei fili C e D entrano nella
superficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto medio
del segmento CD.
A
B
Q
Fig. 113.2: Figura esercizio DE0010
[DE0022] [3 4 ] Due sfere di massa m = 15 g, elettrizate con la stessa carica
Q, sono appese con due fili entrambi lunghi l = 20 cm. nella condizione di equilibrio
tali fili formano un angolo θ = 60◦ . Quanto vale la carica elettrica sulle due sfere?
113.2
D
M
C
[E0020] [3 3 ] Un lungo filo orizzontale trasporta una corrente i = 60 A. Un
kg
secondo filo costituito di rame (densità ρ = 8930 m
3 ), avente il diametro d = 3, 00 mm
e percorso da una corrente, è mantenuto sospeso in equilibrio sotto il primo filo. Se i
due fili si trovano a una distanza di h = 5, 0 cm, determina il verso di circolazione e
l’intensità della corrente che percorre il secondo filo affinchè esso rimanga in sospensione sotto il primo filo. [E0021] [3 3 ] Un solenoide indefinito è costituito di 800
spire per metro di lunghezza e ha un diametro d = 20, 0 cm. All’interno del solenoide
un protone si muove di moto spiraliforme con velocità di modulo V = 2, 00 · 105 m
s
e direzione inclinata di un angolo α = 30◦ rispetto all’asse del solenoide. Calcola la
minima intensità di corrente che deve circolare nel solenoide se si vuole che il protone lo percorra senza mai urtare le sue pareti.
[CE0001] [2 2 ] Quanto vale
il raggio della traiettoria circolare di un elettrone che entra perpendicolarmente in
[CE0002] [2 2
un campo magnetico B = 10−6 T alla velocità V = 90000 m
s ?
] Quanto vale la velocità con cui si muove un elettrone all’interno di un atomo di
idrogeno?
[DE0010] [1 1 ] Due cariche elettriche uguali, con eguale carica elettrica e
massa, di carica Q = 4µC si trovano alla disanza d = 2 m. Quale massa devono avere affinchè l’attrazione gravitazionale tra loro equilibri la repulsione elettrostatica?
2
2
[K = 9 · 109 NCm2 ; G = 6, 67 · 10−11 Nkgm2 ]
Q
Elettrotecnica
[E0002] [2 7 ] Un circuito elettrico è formato da due resistenze R2 = 6 Ω ed
R3 = 12 Ω in parallelo, messe in serie con altre due resistenze R1 = 6 Ω ed R4 = 2 Ω.
il circuito è alimentato da un generatore ∆V = 24 V olt. Calcola le differenze di
potenziale agli estremi di ogni resistenza e la corrente elettrica che le attraversa
R1
i1
R2
∆V
i2
i4
R3
i3
R4
Fig. 113.3: Figura esercizio E0002
[E0004] [2 5 ] Un circuito elettrico, alimentato da un generatore ∆V = 24 V olt,
è formato dalle resistenze R1 = 6 Ω in serie con il parallelo tra R2 = 8 Ω ed R3 = 4 Ω.
Calcola la corrente elettrica che attraversa ogni resistenza ed i potenziali nei punti
A, B e T [E0006] [2 15 ] Dato il circuito elettrico in figura, determinarne il funzionamento per ogni configurazione degli interruttori. Le resistenze hanno valore
R0 = 36 Ω, R1 = 12 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 18 Ω; ∆V = 240 V . [A seconda di come so-
261
Scheda113. Esercizi di Elettromagnetismo
−
∆V3
R3
−
i2
+
VB
∆V2
t0
+
t2
VA
R2
+
t1
i1
VT
R1
R0
VA
∆V2
i0
R2
∆V
− i2
i
R1
∆V
i1
Fig. 113.4: Figura esercizio E0004
∆V3
i
no messi gli interruttori dovere calcolare le correnti elettriche in tutti i rami, ed i valori del
potenziale nei punti A e B.]
[E0010] [1 2 ] Un impianto elettrico è alimentato da una tensione ∆V = 220 V .
Per rispettare il contratto di fornitura, l’alimentazione viene staccata quando nel circuito entra una corrente maggiore di Imax = 15 A. Se nella casa sono accesi una
lavatrice di potenza Plav = 1, 5 kW , due stufe elettriche di potenza Ps = 700 W
ed un televisore di potenza Pt = 200 W , quante lampadine da Pl = 30 W possono
ancora accendere?
[E0013] [1 4 ] Una lampadina di resistenza R1 = 48 Ω è montata in serie con
una seconda resistenza R2 . Il circuito è alimentato con una batteria ∆V = 12 V olt.
Quanto deve valere R2 affinchè la potenza dissipata dalla lampadina sia P1 = 2 W ?
[E0014] [1 4 ] Una lampadina da 24 V ; 6 W è collegata ad una batteria con dei
cavi elettrici di rame di resistività ρ = 0, 17 · 10−7 Ωm e di sezione S = 0, 1 mm2 . Il
circuito è alimentato con una batteria ∆V = 24 V olt. Quanto deve essere lungo il
filo affinche la potenza dissipata dalla lampadina sia P = 5 W ?
[E0015] [1 3
] Due lampadine identiche R = 120 Ω sono alimentate da un generatore di tensione
∆V = 12 V . Calcola la corrente che le attraversa nel caso siano montate in serie
e nel caso siano montate in parallelo. In quale caso le lampadine risulteranno più
luminose?
[E0016] [1 3 ] Nel ramo di circuito in figura, viene montata una
lampadina di resistenza R = 6 Ω; le tensioni sui due morsetti sono VA = 28 V e
e
VB = 4 V . Il costo dell’energia è C = 0, 18
. Quanto spendo per tenere la
kW h
VB
+
R3
−
VT
Fig. 113.5: Esercizio: E0006
lampadina accesa un tempo ∆t = 4 h ? Quanta carica elettrica ha attraversato la
resistenza in questo intervallo di tempo?
R
i
VA
VB
Fig. 113.6: Figura esercizio E0016
[E0017] [2 6 ] Nel circuito in figura R0 = 4 kΩ, R1 = 3 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 =
2 kΩ, ∆V = 12 V , VT = 0 V . Calcola la resistenza totale Rtot , la corrente i in uscita
dal generatore, il valore di tensione VA nel punto A. Verificato che VA = 4 V , calcola
poi le correnti i1 e i2 nei due rami senza il generatore, e il valore di tensione VB nel
punto B.
[EQ0001] [2 2 ] Un riscaldatore elettrico è fatto da resistenza R = 10 Ω alimentata da una differenza di potenziale costante ∆V = 24 V olt. Se immersa in una
262
Scheda113. Esercizi di Elettromagnetismo
R0
R2
VA
R1
∆V
i
i2
VB
R3
i1
VT
massa m = 2 kg di acqua, in quanto tempo la scalda di ∆T = 20 K? [Comincia con il
calcolare quanta energia deve essere data all’acqua e a disegnare il circuito del riscaldatore.]
Esercizi di Relativita
114.1
Scheda 114
4 Introducendo la massa relativistica di un corpo si arriva a formulare una
delle più famose leggi fisiche mai enunciate. Enunciala e spiegane il significato.
Domande di Teoria
1. [R0001] [2
15 ]
4 Introducendo la massa relativistica di un corpo si arriva a formulare una
relazione tra energia e impulso di una particella. Enuncia e ricava tale
legge.
(a) Quali sono i due principi su cui si fonda la teoria della relatività ristretta
e in che modo essi determinano tale teoria?
(b) Sappiamo che con le trasformate di Lorentz la luce ha sempre la stessa
velocità in tutti i sistemi di riferimento. Mostra a partire dalle trasformate
di Lorentz tale affermazione.
2 Posso utilizzate la teoria della relatività per passare dal mio sistema di
riferimento ad uno in accelerazione ridpetto al mio? Giustifica la risposta
2 Cosa si intende per intervallo di tempo proprio tra due eventi?
(c) Oltre alla velocità della luce, quale grandezza fisica è invariante sotto
l’azione delle trasformate di Lorentz?
1 Perchè un atomo di idrogeno ha meno massa di un protone ed un elettrone separati?
(d) Ridefinendo la massa, si è arrivati a comprenderne la vera natura. Qual è
tale natura e come si è arrivati a comprenderla?
1 Perchè un protone ha più massa della somma della massa dei singoli
quark?
(e) Cosa si intende per dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze?
2. [R0002] [2
1 In quale sistema di riferimento la massa di una particella assume valore
minimo?
49 ]
2 Nel sistema di riferimento della stazione, un treno in movimento lungo
L = 83 m viene colpito simultaneamente da due fulmini ai suoi due estremi. Quanto vale la distanza spazio-temporale s tra i due eventi nel sistema
di riferimento dei passeggeri del treno? Giustifica la risposta.
4 Su quali principi fondamentali si fonda la teoria della relatività ristretta?
In che modo essi determinano la teoria?
4 L’esperimento del treno colpito da due fulmini: in cosa consiste e quale
fenomeno vuole spiegare?
2 Un muone, vive mediamente a riposo un tempo di circa τ = 2, 2 µs Quanta strada percorre quel muone, nel sistema di riferimento del laboratorio,
sapendo che viaggia alla velocità v = 0, 99 c?
4 Dimostra l’invarianza della distanza spazio-temporale tra due eventi sotto l’azione delle trasformate di Lorentz
4 Le trasformate di Lorentz non preservano necessariamente la sequenza
temporale degli eventi. Approfondisci questo concetto in relazione alla
distanza spazio-temporale tra quei due eventi.
2 Quanto vale l’energia cinetica di un muone (m0 = 105, 66 Mc2ev che viaggia
alla velocità v = 0, 9c?
4 Spiega, ricavandone l’equazione, il fenomeno della dilatazione dei tempi.
4 Spiega, ricavandone l’equazione, il fenomeno della contrazione delle distanze.
114.2
4 Dopo aver ricavato la legge di composizione delle velocità, dimostra che
le trasformate di Lorentz mantengono invariata la velocità della luce.
263
Risposte
Esercizi di Meccanica quantistica
115.1
[H0001] [2
Scheda 115
12. Nell’esperimento delle due fessure si vede che gli elettroni che attraversano la
coppia di fessure formano sullo schermo di rivelazione una figura di interferenza. Esattamente quali sono le due cose che hanno interferito tra loro?
Domande base di Teoria
19 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Cos’è un corpo nero?
13. In quale modo la meccanica quantistica descrive un sistema fisico?
2. Nomina alcuni fenomeni fisici che hanno condotto alla quantizzazione delle
onde elettromagnetiche
14. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno
schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Cosa posso affermare sullo stato fisico della particella, riguardo alla fessura che ha attraversato?
3. Quale idea innovativa è stata introdotta da Max Plank per spiegare lo spettro
di radiazione di corpo nero?
4. Cosa accomuna la descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico?
15. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno
schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Se misuro la posizione della particella per sapere da quale fessura effettivamente passa, cosa
succede allo stato fisico della particella?
5. Nell’effetto fotoelettrico troviamo l’equazione E = hν − φ. Indica il significato
di ognuno dei quattro termini presenti.
16. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L. Il fatto che
la particella abbia attraversato la fessura è una misura della sua posizione?
6. Ipotizziamo di far incidere un’onda elettromagnetica di determinata intensità
e frequenza, sulla superficie di un metallo, e di non vedere alcun elettrone in
uscita dal metallo. Cosa devo fare, e perchè, al fine di riuscire ad estrarre un
elettrone dal metallo?
17. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L, ed immaginate di stringere tale fessura. cosa succede alla componente dell’impulso lungo
tale fessura?
18. In meccanica quantistica si parla di sovrapposizione di stati. E’ corretto affermare che se uno stato fisico è rappresentato dalla sovrapposizione dello stato A e
dello stato B, con funzione d’onda φ = φA + φB allora significa che noi non
sappiamo in quale stato si trova il sistema, e solo dopo aver fatto una misura possiamo sapere in quale dei due stati si trovava effettivamente il sistema
prima della misura?
7. Descrivi sinteticamente quali problematiche presenta il modello atomico di
Rutherford.
8. Quale idea di base permette di spiegare gli spettri a righe di emissione e assorbimento degli atomi?
9. Come si giustifica il fatto che, ipotizzando orbite circolari, il raggio dell’orbita
di un elettrone intorno al nucleo è proporzionale a n2 con n ∈ N?
19. Cosa afferma il principio di indeterminazione di Heisemberg?
10. Quale semplice equazione mostra un legame tra il comportamento corpuscolare ed ondulatorio di una particella?
11. Perchè nell’esperimento delle due fessure misurare da quale fessura passa l’elettrone fa sparire la figura di interferenza sullo schermo?
264
265
115.2
Scheda115. Esercizi di Meccanica quantistica
Risposte
Problema di: Meccanica quantistica - H0001
Testo [H0001] [2
19 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Cos’è un corpo nero?
2. Nomina alcuni fenomeni fisici che hanno condotto alla quantizzazione delle
onde elettromagnetiche
3. Quale idea innovativa è stata introdotta da Max Plank per spiegare lo spettro
di radiazione di corpo nero?
4. Cosa accomuna la descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico?
5. Nell’effetto fotoelettrico troviamo l’equazione E = hν − φ. Indica il significato
di ognuno dei quattro termini presenti.
6. Ipotizziamo di far incidere un’onda elettromagnetica di determinata intensità
e frequenza, sulla superficie di un metallo, e di non vedere alcun elettrone in
uscita dal metallo. Cosa devo fare, e perchè, al fine di riuscire ad estrarre un
elettrone dal metallo?
7. Descrivi sinteticamente quali problematiche presenta il modello atomico di
Rutherford.
8. Quale idea di base permette di spiegare gli spettri a righe di emissione e assorbimento degli atomi?
9. Come si giustifica il fatto che, ipotizzando orbite circolari, il raggio dell’orbita
di un elettrone intorno al nucleo è proporzionale a n2 con n ∈ N?
10. Quale semplice equazione mostra un legame tra il comportamento corpuscolare ed ondulatorio di una particella?
11. Perchè nell’esperimento delle due fessure misurare da quale fessura passa l’elettrone fa sparire la figura di interferenza sullo schermo?
12. Nell’esperimento delle due fessure si vede che gli elettroni che attraversano la
coppia di fessure formano sullo schermo di rivelazione una figura di interferenza. Esattamente quali sono le due cose che hanno interferito tra loro?
13. In quale modo la meccanica quantistica descrive un sistema fisico?
14. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno
schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Cosa posso affermare sullo stato fisico della particella, riguardo alla fessura che ha attraversato?
15. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno
schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Se misuro la posizione della particella per sapere da quale fessura effettivamente passa, cosa
succede allo stato fisico della particella?
16. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L. Il fatto che
la particella abbia attraversato la fessura è una misura della sua posizione?
17. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L, ed immaginate di stringere tale fessura. cosa succede alla componente dell’impulso lungo
tale fessura?
18. In meccanica quantistica si parla di sovrapposizione di stati. E’ corretto affermare che se uno stato fisico è rappresentato dalla sovrapposizione dello stato A e
dello stato B, con funzione d’onda φ = φA + φB allora significa che noi non
sappiamo in quale stato si trova il sistema, e solo dopo aver fatto una misura possiamo sapere in quale dei due stati si trovava effettivamente il sistema
prima della misura?
19. Cosa afferma il principio di indeterminazione di Heisemberg?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere correttamente è aver studiato.
266
Scheda115. Esercizi di Meccanica quantistica
mente questo non accade in quanto la materia, per come la conosciamo,
esiste.
Svolgimento
1. Definisco corpo nero un qualunque sistema fisico in grado di assorbire ogni
radiazione elettromagnetica incidente.
(b) Potendo, nel modello di Rutherford, assumere valori di energia in modo
continuo, l’elettrone può assorbire ed emettere radiazione elettromagnetica di qualunque energia. L’analisi degli spettri di emissione ed assorbimento mostrano invece che la radiazione viene assorbita ed emessa in valori discreti. Ogni elemento assorbe ed emette fotoni solo in determinate
frequenze.
2. Lo spettro di emissione del corpo nero, l’effetto fotoelettrico e l’effetto Compton
3. L’idea di Plank consiste nell’ipotizzare che la radiazione elettromagnetica scambi energia solo in quantità discrete in funzione della frequenza della radiazione.
L’energia dei singoli pacchetti energetici è data da E = hν
4. La descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico sono
accomunate dal descrivere l’energia del fotone come E = hν
5. Nell’equazione
E = hν − φ
E rappresenta l’energia cinetica dell’elettrone emesso, h è la costante di plank,
ν è la frequenza della radiazione incidente, φ è l’energia di estrazione dell’elettrone dal metallo.
6. Se non vedo elettroni estratti dalla superficie del metallo significa che l’energia
dei singoli fotoni legati alla radiazione elettromagnetica non è sufficientemente
elevata. Aumentare l’intensità dell’onda non risolve il problema in quanto significherebbe aumentare il numero di fotoni. Ciò che bisogna fare è aumentare
la frequenza della radiazione in modo che aumenti l’energia del singolo fotone
E = hν
7. Nel modello atomico di Rutherford gli elettroni ruotano intorno ad un nucleo
centrale e non ci sono vincoli sull’energia, e di conseguenza sul raggio dell’orbita, che tale elettrone può avere. Le problematiche di tale modello sono
principalmente due:
(a) L’elettrone intorno al nucleo si muove di moto accelerato e quindi deve
emettere radiazione di sincrotrone; l’elettrone perderebbe in tal caso energia e diminuirebbe il raggio dell’orbita fino a collassare sul nucleo. Ovvia-
8. Gli spettri di emissione ed assorbimento a righe sono giustificati dal fatto che
gli elettroni in un atomo si trovano su livelli energetici discreti e ben determinati. Gli elettroni emettono/assorbono energia passando da un’orbita ad un’altra
e quindi da un’energia ben determinata ad un’altra. L’energia della radiazione emessa/assorbita è pari alla differenza di energia tra le orbite dell’elettrone
prima e dopo l’assorbimento/emissione della radiazione.
9. Il raggio dell’orbita è quantizzato in quanto l’elettrone può trovarsi solo su
orbite la cui circonferenza sia pari ad un numero intero di volte la lunghezza
d’onda1
2πrn = nλ
con n ∈ N
10. Ad ogni particella è associabile una lunghezza d’onda λ, detta lunghezza d’onda di De Broglie, dipendente dall’impulso p della particella
λ=
h
p
11. Nell’esperimento delle due fessure, la figura di interferenza si forma grazie alla
presenza contemporanea di due stati fisici, ognuno dei quali rappresentante
l’eletrone che passa in una determinata fessura, che interferiscono tra loro. Nel
misurare in quale fessura passa l’elettrone, noi lo facciamo transire in uno stato
fisico in cui è presente solo uno dei due stati, quindi non è più possibile alcun
fenomeno di interferenza.
1 Qui
la domanda va completata indicando tutti i passaggi matematici utilizzati.
267
Scheda115. Esercizi di Meccanica quantistica
12. Nell’esperimento delle due fessure gli elettroni coinvolti si trovano in uno stato
fisico di sovrapposizione dello stato di elettrone che attraversa la prima fessura
e dello stato di elettrone che attraversa la seconda fessura. I due stati sono
contemporaneamente presenti e possono interferire tra loro.
13. In meccanica quantistica un sistema fisico è descritto da una funzione d’onda. Eseguendo una misura su tale stato fisico, con la funzione d’onda possiamo ricavare la probabilità di ottenere per tale misura un determinato risultato. L’evoluzione nel tempo di tale stato fisico è descritta dall’equazione di
Schrodinger applicata alla funzione d’onda di tale stato fisico.
14. Non avendo eseguito alcuna misura di posizione, la particella si trova in uno
stato fisico dato dalla sovrapposizione di quattro differenti stati fisici, ognuno
che descrive la particella che passa da una determinata fessura. Indichiamo
con a, b, c, d le quattro fessure. Assumendo che la probabilità di passare da
ogni fessura sia equivalente, la funzione d’onda della particella sarà
1
1
1
1
ψ = ψa + ψb + ψc + ψd
2
2
2
2
15. Prima della misura lo stato fisico della particella è la sovrapposizione di quattro
stati, ognuno che descrive la particella passante per una determinata fessura
17. Far passare una particella attraverso una fessura equivale a misurarne la posizione con una certa incertezza proporzionale alla larghezza della fessura.
Stringendo la fessura, diminuisce l’incertezza sulla misura della posizione, e
di conseguenza, per il principio di indeterminazione di Heisemberg, aumenta
l’incertezza sulla misura contemporanea della componente dell’impulso lungo
il piano della fessura.
18. No, quanto affermato nella domanda non è corretto. Per come è posta la domanda, infatti, sembra che la particella si trovi sempre o nello stato A o nello
stato B, e sembra che il concetto di sovrapposizione sia legato alla nostra ignoranza sull’effettivo stato della particella. In realtà se uno stato fisico è descritto
dalla sovrapposizione di due stati, entrambi gli stati sono effettivamente contemporaneamente presenti; è solo a seguito di una nostra misura che lo stato
transisce verso uno solo dei due stati che prima si sovrapponevano.
19. Il principio di indeterminazione di Heisemberg afferma che esistono coppie di
grandezze fisiche tali per cui non è possibile misurarle contemporaneamente
con arbitraria precisione. Se per esempio consideriamo la posizione e l’impulso
di una particella, il prodotto delle loro incertezze di misura sarà sempre
∆x∆p ≥
1
1
1
1
ψ = ψa + ψb + ψc + ψd
2
2
2
2
Misurare la posizione della particella fa transire lo stato fisico in uno degli stati
che descrivono la particella che passa da una determinata fessura. Ipotizzando
che il risultato della misura sia che la particella è passata dalla fessura a, la
funzione d’onda della particella sarà ora
ψ = ψa
16. Se affermo che in un certo istante una particella ha attraversato una determinata fessura, di fatto sto dicendo che sapevo dove si trovava, quindi di fatto ho effettuato una misura della sua posizione. Visto che la fessura ha una lunghezza
L, allora la misura presenta un’incertezza sulla posizione pari a
∆x =
L
2
Autore: Andrea de Capoa
27 Mag 2016
h
4π
Esercizi non risolti
Scheda 116
La soluzione e spiegazione dei seguenti esercizi verrà scritta al più presto.
[C0045] [2 4 ] Un’automobile esce da un parcheggio partendo da ferma con
una accelerazione costante. Contemporaneamente un camion le si sta avvicinando,
e si trova d = 30 m dietro di lei viaggiando alla velocità Vc = 20 m
s . Con quale
accelerazione deve muoversi l’auto per non essere tamponata dal camion?
[DP0001] [2 4 ] Un pattinatore di massa M = 80 kg è in piedi sul ghiaccio e
lancia orizzontalmente una pietra di massa m = 2 kg con velocità iniziale Vi = 10 m
s .
Di quanto si sposterà se il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini ed il ghiaccio è
µd = 0.02 ?
[LP0001] Un oggetto di massa m1 = 2 kg, che si muove con una velocità V1 = 4 m
s ,
urta orizzontalmente con un secondo oggetto di massa m2 = 5 kg fermo appeso ad
un cavo. Nel caso di urto anelastico, di quanto si solleva il sistema dopo l’urto?
[LP0002] Un oggetto di massa m1 = 2 kg, che si muove con una velocità V1 = 4 m
s ,
urta orizzontalmente con un secondo oggetto di massa m2 = 5 kg fermo appeso ad
un cavo. Nel caso di urto elastico, di quanto si solleva il sistema dopo l’urto?
[O0030] [2 2 ] Nell’immagine è raffigurato un aereoplano che
supera la barriera del suono. Si vede chiaramente il cono di vapore acqueo condensato corrispondente alla superficie dell’onda d’uro. Calcola la velocità dell’aereo sapendo
che il cono dell’onda d’urto ha un
angolo al vertice α = 120◦ .
268
Parte XV
Matematica per la fisica
269
Matematica per la fisica
117.1
Scheda 117
Moltiplicando per la stessa quantità sia a destra che a sinistra di un’equazione,
l’equazione rimane vera.
Introduzione
La matematica è la lingua con la quale si parla di fisica, ed è quindi molto importante. In questa scheda mi limito ad approfondire solo alcuni semplici aspetti utili per
affrontare lo studio della fisica di base, senza pretendere di essere rigorosissimi nelle
affermazioni..
117.2
117.3
Esempi di formule inverse
Secondo principio della dinamica
F =m·a
Equazioni di primo grado
Voglio trovare m, quindi divido per a
Ogni formula di fisica è di fatto un’equazione. Nella maggior parte dei casi saranno equazioni di primo grado, che si risolvono semplicementre trovando quella che
spesso chiamiamo formula inversa. Per trovare la formula inversa di una data formula bisogna isolare la variabile che si vuole trovare e per farlo soltanto due tipi di
azioni possono essere svolte: sottrarre o sommare, oppure moltiplicare o dividere.
Consiglio di capire e provare a ripetere gli esempi riportati nella sezione 117.3
117.2.1
F
m·a
=
a
a
F
=m
a
Oppure, se voglio trovare a divido per m
m·a
F
=
m
m
Sottrarre o sommare
F
=a
m
Se
a=b
Legge di conservazione dell’energia
allora anche
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
a+c=b+c
Sommando la stessa quantità sia a destra che a sinistra di un’equazione, l’equazione rimane vera.
117.2.2
Voglio trovare hi , per cui prima sottraggo da ambo i membri
1
1
1
1
mVi2 + mghi − mVi2 = mVf2 + mghf − mVi2
2
2
2
2
Moltiplicare o dividere
mghi =
Se
a=b
1
1
mVf2 + mghf − mVi2
2
2
ed ora divido ambo i membri
allora anche
mghi
=
mg
a·c=b·c
270
1
2
2 mVf
+ mghf − 21 mVi2
mg
271
Scheda117. Matematica per la fisica
e semplificamdo ottengo
hi =
1 2
2 Vf
+ ghf − 12 Vi2
g
Se invece voglio trovare Vi allora
1
1
mVi2 + mghi −mghi = mVf2 + mghf −mghi
2
2
raggi-vettore definiti dall’angolo che formano con la verticale. Il raggio-vettore verticale verso l’alto rappresenta un angolo di zero gradi. Gli angoli si contano crescenti
in senso orario1 .
Come vedete in figura, la lunghezza dei segmanti colorati indica il valore di
seno, coseno, tangente e cotangente dell’angolo α: sen(α), cos(α), tg(α), ctg(α).
Conseguenza della definizione è che
1
1
mVi2 = mVf2 + mghf − mghi
2
2
e successivamente divido ambo i membri
1
2
2 mVi
1
2m
Vi2
=
=
−1 < cos(α) < 1
+ mghf − mghi
1
2m
1
2
2 mVf
s
Vi =
1
2
2 mVf
−1 < sen(α) < 1
+ mghf − mghi
sen2 (α) + cos2 (α) = 1
La tangente dell’angolo è definita come
1
2m
1
2
2 mVf
tg(α) =
sen(α)
cos(α)
+ mghf − mghi
1
2m
La cotangente dell’angolo è definita come
ctg(α) =
Legge di conservazione della portata
cos(α)
sen(α)
Si Vi = Sf Vf
Per trovare Vi divido ambo i membri
Si Vi
Sf Vf
=
Si
Si
Vi =
Sf Vf
Si
117.4
Funzioni trigonometriche
117.5
La circonferenza trigonometrica
Le funzioni trigonometriche sono definite a partire dalla circonferenza trigonometrica. La circonferenza trigonometrica ha raggio r = 1. Su di essa indichiamo dei
1 La circonferenza così definita viene utilizzata in topografia...
cambiarne il significato, quella usata negli altri campi scientifici.
Autore: Andrea de Capoa
17 Feb 2016
leggermente diversa, ma senza
272
Scheda117. Matematica per la fisica
tg(α)
ctg(α)
sin(α)
cos(α)
α
Fig. 117.1: la circonferenza trigonometrica con indicate le funzioni trigonometriche.
273
Scheda117. Matematica per la fisica
Indice
1
2
I
Introduzione all’opera
1.1 La nascita di questo progetto
1.2 La struttura a schede . . . .
1.3 La struttura di una scheda .
1.4 Lo stato dell’arte . . . . . . .
.
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Mappa delle schede
2
2
2
2
3
Introduzione alla fisica
7
21
I vettori
22
9.1
22
9.2.2
Prodotto di uno scalare per un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
9.2.3
Scomposizione di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
9.2.4
Prodotto scalare di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
9.2.5
Prodotto vettoriale di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
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Il Sistema internazionale di misura
5.1 Con poco costruisci tutto . . . . . . . . .
5.2 Intervallo di tempo: la durata . . . . . .
5.3 Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 La Temperatura . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Le differenti scale di temperatura
5.6 L’angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
17
17
17
18
18
18
18
Grandezze fisiche derivate
6.1 Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
19
19
Le leggi fisiche
7.1 Capire una legge fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
9.2
Cos’è un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
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Il metodo scientifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
15
15
15
15
16
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21
8.2
22
Gli scalari
4.1 Cos’è uno scalare . . . . . . .
4.2 Prefissi per le unità di misura .
4.3 Conversioni di unità di misura
4.4 Capire gli scalari . . . . . . . .
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Le parole di Feynmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somma di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
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21
8.1
Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
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Il metodo scientifico
9.2.1
Mappe sulle grandezze fisiche
6
9
4
3
5
8
10 I versori
II
25
10.1 Cos’è un versore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
10.2 Versori su di un piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Cinematica
27
11 Mappe di cinematica
28
12 Sistemi di riferimento
29
12.1 Punto di riferimento e assi cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
12.2 Sistemi di riferimento e movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
12.3 Videolezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
13 Grandezze cinematiche
31
13.1 Posizione e Spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.1.1 Spostamento e distanza percorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.2 Intervallo di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.3 Velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.3.1 Velocità media e istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
13.4 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
274
Scheda117. Matematica per la fisica
13.4.1 Capire l’accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato
32
III
33
21 Mappe di dinamica
45
22 La distribuzione di massa
48
14.1 Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
14.2 Moto uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
14.2.1 La caduta dei gravi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
15 Grafici spazio-tempo
35
15.1 Sugli assi cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
15.2 Lettura del movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
15.3 Lettura della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
15.4 Grafici di esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
16 Grafici velocità-tempo
37
Dinamica
22.1 Il baricentro di un corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
48
22.2 Il momento di inerzia di un corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
22.2.1 Momenti di inerzia di figure geometriche note . . . . . . . . . . . . . .
49
23 I tre principi della dinamica
51
23.1 Primo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
23.1.1 Equilibrio traslazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
23.2 Secondo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
23.3 Terzo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
16.1 Sugli assi cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
16.2 Lettura del movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
24.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
16.3 Lettura dell’accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
24.2 Video di esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
16.4 Grafici di esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
24 Pressione
25 Forza di gravità e forza di Archimede
17 Moto parabolico
53
54
39
25.1 Forza di gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
17.1 Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
25.2 Forza di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
17.1.1 Moto di un proiettile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
25.2.1 Il problema del galleggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
18 Moti periodici e orologi
41
26 Forza elastica
56
18.1 Moto periodico e misura del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
26.1 L’aggettivo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
18.2 La misura del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
26.2 Le molle e la legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
18.3 Orologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
26.2.1 Campo di elasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
26.3 Modulo di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
19 Moto circolare uniforme
42
19.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
19.2 La velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
20 Moto armonico
20.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 Forza d’attrito
27.1 Forza d’attrito radente statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
27.2 Forza d’attrito radente dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
43
27.3 Forza d’attrito volvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
43
27.4 Forza d’attrito viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
275
Scheda117. Matematica per la fisica
28 Forza peso
59
35 Mappe sull’energia
70
36 Energia e Lavoro
71
28.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
28.2 Un oggetto su di un tavolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
28.3 Un oggetto immerso nell’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
36.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
28.4 Un oggetto in un sistema accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
36.2 Energia cinetica rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
28.4.1 Un oggetto che ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
36.3 Energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
59
36.4 Il Lavoro di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
36.4.1 Il teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
61
36.5 La Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
28.4.2 La caduta libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 Moto su di un piano inclinato
29.1 Una prima considerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
29.2 Il piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
29.3 Il moto sul piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
37.1 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
29.4 Il piano inclinato in presenza di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
37.1.1 L’Energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
37.1.2 L’energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
37.1.3 Altre forme di energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
30 Legge di gravitazione universale
63
30.1 La forza di gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
30.1.1 L’accelerazione di gravità di un pianeta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
30.2 Energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
31 Il moto di un pianeta
64
31.2 Energia e momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
32.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.2 Equilibrio rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 Reazioni vincolari
33.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 Legge di conservazione dell’energia totale
64
31.1 Le basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Momento di una forza
37 Forze conservative ed Energia Potenziale
Leggi di conservazione
34 Quantità di moto
75
38.1 Le parole di Feynmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
38.2 Legge di conservazione dell’energia totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
38.3 Trasformazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
39 Macchine semplici
77
39.1 Il piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
66
39.2 La leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
66
39.3 La carrucola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
39.4 Il torchio idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
66
67
67
40 Teoria degli urti
40.1 Gli urti completamente anelastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV
73
68
79
79
40.2 Gli urti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
40.2.1 Casi particolari di urti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
69
34.1 La quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
34.1.1 Forza e quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
34.2 Conservazione della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
V
Fluidodinamica
41 Mappe di fluidodinamica
81
82
276
Scheda117. Matematica per la fisica
42 Il principio di Pascal
83
51 Conduzione termica
95
42.1 Il principio di Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
51.1 La teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.1.1 Il torchio idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
51.2 La sensazione di caldo e freddo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
51.3 Un semplice esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
43 La conservazione della portata
84
43.1 Portata di un tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
43.2 Portata per fluidi incomprimibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
44 Il principio di Bernoulli
95
85
VII
Termodinamica
96
52 Mappe di termodinamica
97
53 Primo principio della termodinamica
98
44.1 L’equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
44.1.1 La legge di Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
53.1 Videolezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.1.2 Il tubo di Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
53.2 L’energia interna di un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
53.3 Principio zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
53.4 Il lavoro fatto da un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
53.5 Il primo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
VI
Calorimetria
45 Mappe di calorimetria
87
88
54 Legge dei gas e trasformazioni termodinamiche
98
100
89
54.1 La legge dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
46.1 Stati della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
54.2 Lo stato di un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
46.2 Cambiamenti di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
54.3 Trasformazioni termodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
46 Stati della materia
54.3.1 Isocore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
47 La Temperatura
90
54.3.2 Isobare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
47.1 Le scale di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
54.3.3 Isoterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
47.1.1 I gradi centigradi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
54.3.4 Adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
47.1.2 I gradi Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
54.3.5 Come ragionare con i gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
47.1.3 conversioni di temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
55 Distribuzione Maxwell Boltzmann
104
91
55.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
48.1 Calore e temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
55.2 La distribuzione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
48.2 Scambi di calore ed equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
48 Riscaldamento
56 Il ciclo di Carnot
105
92
56.1 Trasformazioni cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
49.1 Dilatazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
56.2 Il ciclo di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
49.2 Dilatazione superficiale e volumetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
56.3 Il rendimento di un ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
49 Dilatazione termica
56.4 Secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
50 Transizioni di fase
94
56.4.1 La qualità dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
277
Scheda117. Matematica per la fisica
56.5 Cicli frigoriferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
57 Il ciclo Otto
108
57.1 Le trasformazioni del ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
58 Il ciclo diesel
110
59.1 Le trasformazioni del ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
60 Il ciclo rettangolare
111
60.1 Le trasformazioni del ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
61 Entropia
112
61.1 Definizione di entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
61.2 Irreversibilità di una trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
VIII
Onde
62 Mappe sui fenomeni ondulatori
63 Onde e fenomeni ondulatori
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120
120
120
120
120
109
58.1 Le trasformazioni del ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
59 Il ciclo di Stirling
66 Interferenza
66.1 Il fenomeno dell’interferenza . . . . . . . . . . . . . . .
66.2 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66.2.1 Onde stazionarie su corde bloccate agli estremi
66.3 Il fenomeno dei battimenti . . . . . . . . . . . . . . . .
113
67 Diffrazione
123
67.1 Il fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
68 Risonanza
124
68.1 Il fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
69 Diffusione
125
69.1 Il fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
70 Dispersione
126
70.1 Il fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
71 Effetto Doppler
71.1 Il fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2 Se l’osservatore è in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2.1 Se la sorgente è in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
127
127
127
72 Le lenti
72.1 Immagine generata da una lente convergente
72.2 Immagine generata da una lente divergente .
72.2.1 La legge dei punti coniugati . . . . . .
72.2.2 Il fattore di ingrandimento . . . . . . .
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131
131
73 L’arcobaleno
73.1 Osservare un arcobaleno . . . . . . . .
73.2 Il principio di base . . . . . . . . . . . .
73.3 L’arco secondario . . . . . . . . . . . .
73.4 Polarizzazione dell’arcobaleno . . . . .
73.5 La risposta alle domande . . . . . . . .
73.6 Altri arcobaleni . . . . . . . . . . . . . .
73.6.1 Rifrazione in cristalli di ghiaccio
73.6.2 Diffrazione su gocce d’acqua . .
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136
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137
137
137
114
115
63.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
63.1.1 Onde meccaniche ed elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
63.1.2 Onde trasversali e longitudinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
63.1.3 Variabili dell’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
64 Intensità di un’onda
117
65 Riflessione e Rifrazione
118
65.1 Riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
65.2 Rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
65.2.1 Riflessione totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
65.3 Videolezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
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Scheda117. Matematica per la fisica
74 Fibre ottiche
138
79 Magnetismo nella materia
151
74.1 Propagazione della luce all’interno della fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
79.1 Calamite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
74.1.1 Angolo di accettazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
79.1.1 Calamite naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
74.1.2 Modi di propagazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
79.1.2 Calamite artificiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
74.1.3 Dispersione modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
74.1.4 Dispersione cromatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
80 Modelli atomici
152
74.1.5 Fenomeni di attenuazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
80.1 I costituenti dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
74.2 Fibre monomodali e multimodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
80.1.1 Particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
74.2.1 Fibre monomodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
80.1.2 Forze tra le particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
74.2.2 Fibre multimodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
80.1.3 Un principio fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
80.2 Struttura dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
IX
Elettromagnetismo
141
80.2.1 Il nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
80.2.2 Struttura elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
75 Mappe sull’elettromagnetismo
143
76 Forza di Coulomb
145
80.3 la tavola periodica degli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
81 Elettrizzazione
155
76.1 La carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
81.1 Elettrizzazione per strofinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
76.2 La forza di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
81.2 Elettrizzazione per contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
76.3 Il campo elettrico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
81.3 Elettrizzazione per induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
76.4 Linee di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
81.3.1 Deviazione di un getto d’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
76.4.1 Linee di campo di un dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
76.5 La forza Elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
77 Campo magnetico
147
82 Effetto Punta
156
83 Sulla Circuitazione di un campo vettoriale
157
77.1 Il campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
83.1 Definizione di circuitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
77.2 Campi magnetici e correnti elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
83.1.1 Un caso particolare: il campo di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
77.3 Campo magnetico di un filo percorso da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 147
83.1.2 Un caso particolare: il campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
77.3.1 La legge di Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
77.3.2 Campo magnetico nel centro di una spira circolare . . . . . . . . . . . 149
84 Induzione Elettromagnetica
159
84.1 D.d.p indotta dal movimento di un conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
78 Forza magnetica
150
78.1 La forza magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
78.1.1 Moto in un campo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
85 Corrente di spostamento
160
85.1 Natura della corrente di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
279
X
Scheda117. Matematica per la fisica
Elettrotecnica
161
86 Corrente elettrica
162
86.1 Corrente in un conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
87 Leggi di Ohm
87.1 Prima legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . .
87.2 Resistenze in serie e in parallelo . . . . . . .
87.2.1 Resistenze in serie . . . . . . . . . . .
87.2.2 Resistenze in parallelo . . . . . . . .
87.2.3 Resistenze ne in serie ne in parallelo
87.3 Seconda legge di Ohm . . . . . . . . . . . .
87.4 Potenza ed effetto Joule . . . . . . . . . . . .
87.4.1 Potenza generata . . . . . . . . . . .
87.4.2 Potenza dissipata . . . . . . . . . . .
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164
164
164
88 Circuiti elettrici Ohmici
88.1 Circuiti con un generatore . . . . . . . . . . . .
88.2 Circuiti con molti generatori e leggi di Kirchoff
88.2.1 Struttura del circuito . . . . . . . . . . .
88.2.2 Equazioni di maglie e nodi . . . . . . . .
88.3 Videolezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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89 Circuiti RC
89.1 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89.2 Condensatore piano . . . . . . . . . . . . . .
89.3 Carica e scarica di un condensatore . . . . .
89.4 Energia immagazzinata in un condensatore
89.5 Energia del campo elettrico . . . . . . . . . .
89.6 Condensatori in corrente alternata . . . . . .
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172
172
172
172
174
174
90 Circuiti RL
90.1 Autoinduzione . . . . . . . . . . . . . .
90.2 Il solenoide . . . . . . . . . . . . . . . .
90.3 Carica e scarica di un’induttanza . . . .
90.4 Energia immagazzinata nell’induttanza
90.5 Induttanze in corrente alternata . . . .
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XI
Relatività ristretta
176
91 Relatività ristretta
91.1 Postulati di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.2 Dilatazione dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.3 Contrazione delle distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.4 Da Galileo a Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.4.1 Invarianza della distanza spaziotemporale . . . . . . .
91.5 Legge di composizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . .
91.6 Massa relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.6.1 Quantità di moto relativistica e principi della dinamica
91.6.2 Energia cinetica relativistica . . . . . . . . . . . . . . .
91.6.3 Energia totale relativistica . . . . . . . . . . . . . . . .
91.6.4 Relazione tra energia ed impulso . . . . . . . . . . . .
XII
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Meccanica quantistica
92 Radiazione di corpo nero
92.1 Cosa vuol dire nero? . . . . . . . .
92.2 Emissione di corpo nero . . . . . .
92.2.1 Spettro della radiazione . .
92.2.2 Legge di Stefan-Boltzmann
92.2.3 Legge di Wien . . . . . . .
92.3 La spiegazione del fenomeno . . .
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93 Effetto fotoelettrico
188
93.1 Il fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
93.2 Considerazioni sul fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
94 Modelli Atomici
94.1 Modello atomico di Democrito . .
94.2 Modello atomico di Thomson . .
94.2.1 Struttura . . . . . . . . . .
94.2.2 Formulazione del modello
94.3 Modello atomico di Rutherford .
94.3.1 Esperimento di Rutherford
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280
Scheda117. Matematica per la fisica
94.3.2 Problematiche aperte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
XIII
Laboratorio
207
94.4 Modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
95 Modello atomico di Bohr
98 Mappe sull’attività di laboratorio
208
99 Errori di misura
209
192
95.1 Mappa della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
95.2 Problematiche sul modello di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
99.1 Il valore della misura e l’errore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
95.3 L’idea di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
99.1.1 Cifre significative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
99.1.2 Errori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
96 Introduzione alla fisica moderna
194
96.1 Poche semplici domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
96.2 Empedocle e Democrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
96.3 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
96.4 Mendeleev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
96.5 Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
96.6 Nuove particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
96.7 Il dualismo onda-corpuscolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
96.8 l’ipotesi dei quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
96.9 Le forze come scambio di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
96.10Il modello standard e il bosone di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
96.11Sviluppi futuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
96.12Le GUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
96.13L’oscillazione dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
96.14Nascita ed evoluzione dell’universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
96.15La materia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
97 Il CERN
203
97.1 Un concetto basilare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
97.2 Perchè accelerare le particelle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
99.1.3 Misure ripetute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
99.1.4 Precisione ed errore relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
99.1.5 Valutazione dell’errore su misure indirette . . . . . . . . . . . . . . . . 211
100Distribuzione Gaussiana
213
100.1La distribuzione Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
100.2Il risultato della singola misura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
100.3Il risultato delle misure ripetute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
101Esperimenti di calorimetria
215
101.1Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare . . . . . . . . . . . . . . 215
101.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
101.1.2 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
101.1.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
102Esperimenti di meccanica
217
102.1Verifica del secondo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
102.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
102.1.2 Scopo e svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
97.3 Come accelero una particella? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
102.1.3 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
97.4 Come avvengono le collisioni? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
102.1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
97.5 Cosa misuro quando rilevo una particella? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
102.2Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo . . . . . . . . 220
97.5.1 Prima fase: tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
102.2.1 Scopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
97.5.2 Seconda fase: I calorimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
102.2.2 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
97.6 L’analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
102.2.3 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
281
Scheda117. Matematica per la fisica
103Realizzazione di un’esperienza di laboratorio
222
103.1Considerazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
103.2Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
103.3Fisica dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
103.4Descrizione del materiale utilizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
103.5Realizzazione dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
103.6Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
103.7Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
104Relazione di laboratorio
224
107Esercizi di Dinamica
107.1Teoria ed esercizi banali . . . . . .
107.2Baricentro . . . . . . . . . . . . . .
107.3Forze . . . . . . . . . . . . . . . .
107.4Equilibrio . . . . . . . . . . . . . .
107.5Secondo principio della dinamica
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108Esercizi sulle leggi di conservazione
239
108.1Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
108.2Quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
108.3Complessivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
104.1Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
104.2La fisica dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
104.3Materiale utilizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
104.4Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
104.5Dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
109Esercizi di Fluidodinamica
109.1Legge di conservazione della portata
109.2Principio di Bernoulli . . . . . . . . .
109.3Legge di Stevin . . . . . . . . . . . . .
109.4Principio di Pascal . . . . . . . . . . .
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110Esercizi di Calorimetria
110.1Domande di teoria . .
110.2Esercizi banali . . . .
110.3Riscaldamento . . . .
110.4Transizioni di fase . .
110.5Dilatazione termica .
110.6Conducibilità termica
110.7Complessivo . . . . .
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104.6Analisi dei adti sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
104.7Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
XIV
Esercizi svolti
105Esercizi di Base
225
226
105.1Operazioni con gli scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
105.2Eseguire una misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
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105.3Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
106Esercizi di Cinematica
228
106.1Grandezze cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
106.2Esercizi banali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
106.3Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
106.4Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
106.5Moto uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
106.6Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
106.7Lettura di grafici del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
111Esercizi di Termodinamica
250
111.1I Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
112Esercizi sui fenomeni ondulatori
112.1Teoria . . . . . . . . . . . . .
112.2Oscillazioni . . . . . . . . . .
112.3Riflessione e rifrazione . . .
112.4Interferenza e risonanza . . .
112.5Propagazione . . . . . . . . .
112.6Ottica geometrica . . . . . .
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Scheda117. Matematica per la fisica
112.7Ottica applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
112.8Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
112.9Atomo di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
113Esercizi di Elettromagnetismo
113.1Elettromagnetismo
259
115.2Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
116Esercizi non risolti
XV
268
Matematica per la fisica
269
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113.2Elettrotecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
114Esercizi di Relativita
263
114.1Domande di Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
114.2Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
115Esercizi di Meccanica quantistica
115.1Domande base di Teoria
264
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117Matematica per la fisica
117.1Introduzione . . . . . . . . . . .
117.2Equazioni di primo grado . . . .
117.2.1 Sottrarre o sommare . . .
117.2.2 Moltiplicare o dividere .
117.3Esempi di formule inverse . . .
117.4Funzioni trigonometriche . . . .
117.5La circonferenza trigonometrica
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