Analisi del moto di una trottola Introduzione Nel seguente lavoro si è scelto di effettuare l’analisi del moto di una trottola in assenza di attrito. Per analizzare al meglio il moto è stata effettuata un’approssimazione, ovvero è stata considerata la trottola come un cono che poggia al suolo sul suo vertice, in tal modo è stato possibile utilizzare tutte le conseguenze geometriche dovute alla scelta di questa particolare figura geometrica. Lo studio del moto del corpo è stato effettuato in due differenti condizioni operative: 1) Condizione di stazionarietà: In tale situazione si è considerata la trottola come un corpo precedentemente posto in rotazione con una velocità angolare nota, si è supposto che tale corpo rigido fosse vincolato all’origine del sistema di riferimento fisso (il vertice del cono) e che quindi non fosse capace di spostarsi da tale posizione ed inoltre si è considerato l’angolo di inclinazione della trottola rispetto al suolo costante. 2) Condizione di moto perturbato: In questa seconda analisi si è supposto di prendere il corpo precedentemente studiato in condizione di stazionarietà e di applicargli un impulso lungo la direzione della forza peso, si è voluto analizzare dunque il moto del corpo supponendo, per assurdo, che la sua forza peso aumentasse per un istante per poi ritornare costante. Calcolo del tensore d’inerzia Come primo obbiettivo ci si prepone di calcolare il tensore d’inerzia della trottola, necessario per la seguente trattazione. Per calcolarlo si parte dall’inerzia di un disco di raggio R per il quale risulta: 1 πΌπππ ππ = ππ 2 2 Consideriamo un disco di altezza infinitesima dx collocato ad una distanza x dal vertice O, risulta: ππ = π π₯ β Del quale si calcola il volume: ππ = π ∗ ππ 2 ∗ ππ₯ 2 = π π 2 2 π₯ ππ₯ β2 E l’espressione della massa: ππ = π π 2 2 π₯ πππ₯ β2 Dunque, possiamo ricavare il momento d’inerzia del disco infinitesimo: ππΌ = 1 1 π 2 π 2 ∗ ππ ∗ ππ 2 = π 2 π₯ 2 π ∗ ππ₯ ∗ 2 π₯ 2 2 2 β β Integrando nell’altezza ricaviamo il momento d’inerzia del cono: β πΌππππ = ∫ 0 1 π 4 4 1 π 4 π₯ π ππ₯ = ππ 4 πβ 2 β 10 Noto che la densità del cono risulti essere: π= π 1 2 ππ β 3 = 3π ππ 2 β E sostituendo otteniamo l’inerzia del cono che risulta essere: πΌ= 3 ππ 2 10 Analizzando tale formula ci si rende conto che il momento d’inerzia per il cono, non dipende in alcun modo dall’altezza dello stesso bensì dalla massa e dal raggio. Dunque, possiamo procedere con il calcolo del tensore d’inerzia che risulta il medesimo per entrambi i sistemi di riferimento. La matrice del tensore risulta essere una matrice diagonale poiché l’asse di rotazione della trottola è passante per il centro di massa della stessa, possiamo determinare quindi: [matrice del tensore d’inerzia] Analisi del moto in condizione di stazionarietà Notazione impiegata Nel seguito della trattazione si è voluto considerare la trottola in esame come approssimabile ad un cono rovesciato, ottenuto come rivoluzione di un triangolo isoscele attorno alla sua altezza. La diretta conseguenza di questa scelta, è quella di avere un corpo con un centro di massa distante dall’origine del sistema di riferimento (punto di contatto con il terreno) pari a: 3 (π0 − π) = β 4 Per quanto concerne il sistema di riferimento, è stato scelto il sistema S (π¦1 , π¦2 , π¦3 ) come sistema solidale al corpo rigido in rotazione, ed il sistema di riferimento ∑ (π₯1 , π₯2 , π₯3 ) come sistema di riferimento fisso. Ambedue i sistemi scelti presentano l’origine nel punto di contatto tra il cono ed il terreno. La matrice di rotazione Nell’analisi del moto è necessario prima di tutto calcolare la matrice di rotazione del corpo, ovvero quella matrice che esprime la variazione degli angoli che compongono il movimento nello spazio del corpo. Per calcolare la prima matrice di rotazione, delle tre necessarie a comporre la matrice di rotazione complessiva del corpo, si è posto l’osservatore sull’asse π₯3 , la visione dalla sua prospettiva sarà dunque: In questo sistema di riferimento la trottola risulta all’interno del piano generato dagli assi x1 e x2, di conseguenza la matrice di rotazione dell’angolo φ, angolo che esprime la variazione di posizione dovuta alla precessione della trottola, risulta essere la seguente: [Inserire Matrice R1] Per calcolare la seconda delle tre matrici di rotazione, si pone l’attenzione dell’osservatore sull’asse y2 e si introduce un nuovo sistema di riferimento solidale con il movimento del corpo rigido che chiameremo Z[z1,z2,z3], in queste condizioni l’osservatore avrà una visione del corpo rigido come la seguente: E’ possibile dimostrare, mediante semplici considerazioni geometriche, che l’angolo θ presente tra l’asse y3 e l’asse z3 risulta essere congruente a quello presente tra y1 e z1, dunque possiamo determinare la seconda matrice di rotazione, la quale esprime la variazione di posizione dovuta alla nutazione, essa risulta: [Inserire matrice R2] Infine, è stata posta l’attenzione dell’osservatore sul sistema di riferimento solidale al cono, nell’ipotesi di valutare la matrice di rotazione associata all’angolo ψ, ovvero l’angolo generato dalla rotazione della trottola attorno al suo asse, per farlo viene introdotto un ulteriore sistema di riferimento W[w1,w2,w3]: È quindi stato possibile calcolare la matrice di rotazione associata a questa terza ed ultima visione la quale è risultata pari a: [Inserire matrice R3] Inserendo le tre matrici appena valutate nel software di calcolo MATLAB è stato possibile ricavare la matrice di rotazione globale associata alla trottola in esame, essa è stata calcolata come il prodotto delle tre matrici ed è risultata pari a: π = π 1 π 2 π 3 =[inserire matrice di rotazione complessiva] La velocità di rotazione Analizzando il moto del corpo in analisi ci si rende immediatamente conto che esso possiede tre componenti della velocità angolare, esse sono strettamente legate alle tre variazioni di posizione che compongono questo corpo nello spazio e che sono state precedentemente indagate nella matrice di rotazione. π= ππ ππ ππ π₯ + π¦ + π§ ππ‘ 3 ππ‘ 2 ππ‘ 3 Per questo studio è stato considerato l’angolo θ costante, almeno in questa prima analisi, e di conseguenza la sua derivata risulta nulla. Dunque, la velocità di rotazione della trottola risulta dipendente da due contributi, una prima velocità detta di precessione dovuta alla rotazione attorno all’asse π₯3 ed una seconda velocità detta, appunto, di rotazione dovuta al movimento attorno all’asse π§3 . π = ππ + ππ Nel proseguo del presente studio si è voluto ricavare una equazione che permettesse, nota la velocità di rotazione della trottola, di ricavare ad ogni istante il valore della velocità di precessione. Per farlo si utilizza la 2° equazione cardinale della dinamica la quale è espressa come: [2° equazione cardinale della dinamica] -> [ 2° equazione cardinale della dinamica senza primo termine] Come si può notare, il primo termine dell’equazione cardinale è stato eliminato, questo è dovuto al fatto che si è scelto di studiare il comportamento della trottola in condizione di stazionarietà, ovvero considerando che il suo vertice non si sposti dall’origine del sistema di riferimento fisso. Svolgendo i calcoli siamo in grado di ricavare la seguente formula: [Sviluppo calcoli e equazione della precessione] La quale permette di ottenere il valore della velocità di precessione, analizzando tale formula ci rendiamo conto che la velocità di precessione è inversamente proporzionale alla velocità di rotazione, dunque più velocemente la trottola ruoterà attorno all’asse passante per il proprio centro di massa, e più lentamente essa ruoterà attorno all’asse di precessione tendendo quindi a cadere verso il basso.
