PROBLEMI AFFASCINANTI DI FISICA Gravitazione universale 1) Dimostra che l’ energia totale di un corpo rigido di massa ๐, in rivoluzione attorno ad un pianeta di massa ๐ด su un’ orbita ellittica (di semiasse maggiore ๐) vale: ๐ฌ = − ๐ฎ๐ด๐/๐๐ 2) Nell’ universo di Star Trek, il capitano Kirk spegne i motori della navicella, la quale entra improvvisamente in un campo di forza centrale, generato da un oggetto misterioso. La navicella compie una traiettoria ad arco di circonferenza di raggio ๐, per poi schiantarsi contro l’ oggetto misterioso. Dire come varia la forza in funzione della distanza dal corpo attrattore e quanto tempo (comparando la forza a ๐ญ = − ๐ฒ๐ด๐/๐๐) la navicella impiega prima della collisione con l’ oggetto, supponendo che compia un arco pari a mezza circonferenza (๐ = ๐๐). 3) Un oggetto è lanciato da un’ altezza ๐น con la velocità di fuga ๐ฝ๐ . Quanto tempo impiega a raggiungere un’ altezza ๐? 4) Una costruzione altissima posta all’ equatore è formata da moduli attaccati l’ un l’ altro (di massa 1 ๐พ๐ e altezza 1 ๐ ciascuno). Dimostra che esiste un’ altezza per cui, all’ aumentare del numero di blocchi, il peso sopportato dalle fondamenta comincia a diminuire. Trova il valore di questa altezza. Determina infine l’ altezza per cui il peso sopportato dalle fondamenta si azzera. 5) Si osserva un sistema binario di stelle. Di una di esse conosciamo la massa (6 ๐๐ ), il periodo di rivoluzione (1.7 ๐) e la velocità orbitale (270'000 ๐พ๐/๐ ). Quanto vale la massa dell’ altra stella in masse solari? Si considerino circolari le orbite. 6) Tre stelle di ugual massa ๐ด/๐ (๐ด è la massa totale del sistema) ruotano sulla stessa orbita circolare di raggio ๐น e sono ai vertici di un triangolo equilatero. Determina la loro velocità angolare ๐ attorno al centro di massa. Tenendo invariati la massa totale del sistema e il raggio dell’ orbita, compara ๐ a quella a 2 corpi e a quella a 4 corpi. Cosa succede alla velocità angolare quando ๐ tende all’ infinito? 7) Un corpo di massa ๐ (e densità ๐น) e raggio ๐น orbita attorno ad un pianeta di massa ๐ด (e densità ๐). Se il corpo si avvicina troppo al pianeta, inizia a sfaldarsi a causa delle forze di marea. Calcola la minima distanza tra il centro del pianeta e il corpo affinché il corpo non incominci a sfaldarsi (questa distanza è detta “limite di Roche”). 8) Un satellite di massa ๐ orbita attorno ad un pianeta. Una forza di attrito ๐ญ = − ๐จ๐ agisce sul corpo. Determina la distanza del satellite dal centro del pianeta, in funzione del tempo. Considera ๐น° la distanza iniziale. Ripeti il calcolo supponendo ๐ญ = − ๐๐^๐. (Qual‘ è l’ effetto dell’ attrito sul moto dei satelliti? La velocità del satellite aumenta o diminuisce? Cosa succede al momento angolare? Considera orbite circolari) 9) Un pianeta di massa ๐ ruota attorno ad una stella di massa ๐ด, mantenendosi sempre a distanza ๐ . La regione di spazio in cui domina l’ attrazione del pianeta è detta “sfera di Hill”. Per essere in un orbita stabile attorno al pianeta, un satellite deve sempre giacere all’ interno della sfera di Hill. Assumendo orbite circolari, calcola il raggio della sfera di Hill in relazione alla distanza ๐ e alle masse ๐ด e ๐. 10) Un satellite di massa ๐ è in orbita circolare attorno ad un pianeta di massa ๐ด. improvvisamente la massa del pianeta diminuisce dell’ 1%. Quanto vale l’ eccentricità ๐ della nuova orbita? Cosa succederebbe se la massa venisse dimezzata? E se scomparisse del tutto? 11) In un universo parallelo, ci sono solamente due particelle di dimensioni trascurabili, una di massa ๐ด e l’ altra di massa ๐, con ๐ << ๐ด. All’ istante iniziale, esse sono ferme a distanza ๐ l’ una dall’ altra. A causa dell’ attrazione gravitazionale, la massa ๐ viene attratta verso la massa ๐ด. Calcola il tempo impiegato dalla massa ๐ per collidere con la massa ๐ด, trascurando effetti relativistici e considerando la massa ๐ด sempre ferma.
