Elettrostatica I

Elettrostatica I
• Forza di Coulomb
• Principio di Sovrapposizione Lineare
• Campo Elettrico
• Linee di campo
• Flusso, teorema di Gauss e sue applicazioni
• Conduttori
• Energia potenziale elettrostatica
Elettricità e Magnetismo
Fenomeni elettrici e magnetici sono stati osservati fin dall’antichità.
Un po’ di storia:
• In Cina, documenti suggeriscono che il magnetismo fu osservato già
nel 2000 AC
• In Grecia, fenomeni elettrici e magnetici (esperimenti con ambra e
magnetite) erano già noti nel 700 AC
Un po’ di storia più recente:
• 1785: Charles Coulomb formula la legge dell’inverso del quadrato per
le forze elettriche
• 1820: Hans Ørsted scopre che l’ago della bussola cambia direzione
quando è posto vicino ad un filo che porta corrente
• 1831: Michael Faraday e Joseph Henry mostrano che se un filo è in
moto vicino ad un magnete, una corrente elettrica è prodotta nel filo
• 1870: James Clerk Maxwell usa osservazioni e altri fatti sperimentali
come base per formulare le leggi dell’elettromagnetismo note come
equazioni di Maxwell
Unificazione di elettricità e magnetismo – sono le equazioni giuste, ma non sono
consistenti con il principio di relatività galileiana
• 1888: Heinrich Hertz verifica le predizioni delle leggi di Maxwell e
produce onde elettromagnetiche
• 1905: Albert Einstein propone la soluzione per l’inconsistenza fra
equazioni di Maxwell e relatività galileiana (teoria della relatività)
Legge di Coulomb
• Ci sono due tipi di cariche elettriche: positive e
negative
– Le cariche negative sono il tipo posseduto dagli elettroni
– Le cariche positive sono il tipo posseduto dai protoni
• Cariche dello stesso segno si respingono
Cariche di segno opposto si attraggono
• La forza è diretta lungo la congiungente fra le
due cariche û12
La forza è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza r:
q1 q2
~
F12 = k 2 û12
r
nel vuoto. Ovviamente vale la III legge di Newton, per cui F~21 = −F~12
Unità di misura della carica
Quanto vale la costante k che appare nell’espressione
q1 q2
F12 = k 2
r
della forza di Coulomb? dipende dall’unità di misura della carica.
Nel SI, la carica si misura in Coulomb, C (q è il simbolo standard usato
per indicare la carica). Nel SI k vale:
1
= 10−7c2unità SI ' 9 × 109N · m2/C2
k≡
4π0
dove c ' 3 × 108 m/s è la velocità della luce. La costante 0, introdotta
per convenienza, vale 0 = 8.85 × 10−12C2/N/m2 ed è detta costante
dielettrica del vuoto.
Due cariche di 1C a distanza di 1m si attirano quindi con una forza
F = 9 × 109 N!
Quantizzazione della carica
Molti esperimenti mostrano che la carica elettrica è quantizzata,
ovverosia esiste solo in pacchetti discreti: q = ±N e, dove N è un
intero, e è l’unità fondamentale di carica:
• e = 1.6 × 10−19 C. Per gli elettroni: q = −e; per i protoni: q = +e.
Dato il gran numero di cariche presenti nella materia, l’uguaglianza delle
cariche fondamentali positive e negative deve essere esatta, o altrimenti
tutti i corpi avrebbero una carica netta.
La carica netta di un sistema isolato è sempre
conservata. Per esempio, se si elettrizza un corpo
per sfregamento, non c’è né creazione né distruzione
di carica, ma solo trasferimento di carica (elettroni)
dal materiale che si carica positivamente (vetro) a
quello che si carica negativamente (seta).
Esempio: l’atomo di idrogeno
Il modello più semplice dell’atomo più semplice: un sistema formato
da un elettrone e un protone, tenuto insieme dalla forza di Coulomb.
Consideriamo orbite circolari, assumiamo il protone fisso (la sua massa
mp ' 1800me >> me ' 0.9 × 10−30 kg).
2
e
F = meac = −meω 2r =⇒ k 2 = meω 2r
r
r
e
k
da cui ω =
r rme
Per l’atomo di H, r = 0.529 × 10−10 m e si trova F ' 8.2 × 10−8 N,
ω
mentre la frequenza di rotazione vale f =
' 6.6 × 1015 Hz, come
2π
la frequenza delle onde elettromagnetiche emesse o assorbite. Velocità:
v = ωr ' 2.2 × 106 m/s, circa 1/100 della velocità della luce.
Principio di sovrapposizione
• La legge di Coulomb è lineare nella carica.
• Per essa vale il principio di sovrapposizione lineare:
– La forza risultante agente su di una carica è uguale alla somma
vettoriale delle forze individuali dovute a tutte le altre cariche
Nel caso in cui non sia possible o conveniente
tenere traccia delle forze individuali (per esempio
quando si ha una distribuzione continua di cariche)
la forza risultante può essere scritta come somma
(o integrale) vettoriale delle forze esercitate da ogni
volumetto infinitesimo di carica
Campo Elettrico
La forza elettrica agente su di una carica 2 da parte di una carica 1 è
fattorizzabile come prodotto della carica del corpo 2 per una funzione
vettoriale che dipende solo dalle caratteristiche della carica 1.
Quest’ultima si dice campo e si indica di solito con la lettera E:
~1
F~12 = q2E
~ 1 è il campo elettrico generato dalla particella 1, che sappiamo valere
E
kq1
~
E1 = 2 û12
r12
In generale, un campo (vettoriale) associa ad ogni punto dello spazio
un vettore. Esempio già noto: campo gravitazionale terrestre, ~g (sulla
superficie della Terra). E’ un esempio di campo costante.
Linee di Campo
Per rappresentare graficamente un campo, e
per darne una descrizione qualitativa, si usano
le linee di campo:
• si tracciano linee tangenti in ogni punto
al campo, indicandone il verso con una
”freccetta”:
• le linee sono più fitte in regioni di campo
forte, meno fitte in regioni di campo debole.
In figura le linee di campo per il campo di una
carica. Notare che le linee di campo ”escono”
dalle cariche positive (o ”entrano” nelle cariche
negative).
Linee di Campo II
Linee di campo per un campo costante:
parallele e con spaziatura costante. Come è
diretto il campo?
Campo generato da due cariche
uguali. Vicino ad ogni carica, le
linee di forza somigliano a quelle
di una singola carica. Attorno al
punto C non ci sono linee: perché?
Linee di campo per due cariche
uguali ma di segno opposto (un
dipolo): notate come le linee
”escano” dalla carica positiva ed
”entrino” nella carica negativa.
Campo elettrico di un dipolo
Il campo elettrico di un dipolo (vedi figura) è un
caso semplice (ma non banale) ed importante.
~ è diretto lungo x e vale
Nel punto P, E
E = E1x + E2x = 2
kq
kq
a
p
cos
θ
=
2
r2
a2 + y 2 a2 + y 2
2qa
ovvero E = k 2
. Notare la dipendenza dal
(a + y 2)3/2
fattore D = 2qa, noto come momento di dipolo.
D
A grandi distanze, y >> a, si trova: E ' k 3 .
y
~ di modulo D e diretto dalla
Introduciamo un vettore D
~
D
~ 'k
.
carica negativa a quella positiva: E
3
y
Qual è il valore del campo elettrico se il punto P è lungo l’asse x?
Elettrone in campo costante
Supponiamo che un elettrone sia
”iniettato” in una zona di campo elettrico
costante. Qual è il suo moto?
~ è costante in modulo e direzione, quindi il moto è
La forza F~ = eE
~ uniforme in direzione perpendicolare
uniformemente accelerato lungo E,
~
a E:
eE
1 2
x(t) = vit,
y(t) = at ,
a=−
2
me
eE 2
La traiettoria è una parabola: y = −
x .
2
2mevi
e
, rapporto fra carica e massa dell’elettrone.
Notare la dipendenza da
me
Elettrone in campo costante II
Supponiamo ora la situazione in figura. Qual
è il moto dell’elettrone, e quanto vale la sua
energia cinetica finale?
Supponiamo x(t = 0) = xi = 0. Avremo:
1 2
x(t) = at ,
2
v(t) = at,
eE
a=
me
L’elettrone
arriva in x = xf al tempo t:
p
p
t = 2xf /a, con velocità vf = 2xf a.
L’energia cinetica finale è
1
1
2
Kf = mevf = me(2xf a) = eExf
2
2
Da notare che eExf è il lavoro fatto dalle forze elettriche sulla carica.
Campo elettrico per distribuzioni di carica
Per un sistema di molte cariche puntiformi, il campo elettrico si può
calcolare come somma di tutti i contributi delle varie cariche:
~ =
E
X
~i =
E
X kqi
i
i
ri2
r̂i
Se le cariche sono presenti in numero macroscopico, conviene introdurre la densità di
carica ρ(~r): carica per unità di volume, in funzione della posizione. La somma diventa
un integrale sul volume:
~ =k
E
Z
r̂dq
=k
2
r
Z
r̂
ρdxdydz
2
r
dove ~r è la distanza fra la carica dq e il punto in cui si calcola il campo.
Il calcolo del campo elettrico può diventare assai laborioso. Esiste però
un altro approccio, spesso più conveniente, basato sul concetto di flusso
del campo elettrico.
Flusso del campo elettrico
Il Flusso di un campo elettrico (o di
~ attraverso
qualunque campo) costante E
una superficie A è definito come
Φ = AE cos θ
dove θ l’angolo fra il campo elettrico e la normale alla superficie.
Se il campo elettrico e la normale
alla superficie sono allineati, il flusso è
semplicemente il prodotto della superficie
per il campo elettrico: Φ = AE.
E se la superficie non è un piano? e se il campo elettrico non è costante?
Flusso del campo elettrico II
Dividiamo la nostra superficie in tanti elementi di superficie ∆Ai
con direzione n̂i che possiamo considerare piani e sui quali possiamo
~ =E
~ i costante
considerare E
Flusso su ogni elemento di superficie:
~ i · ∆A
~ i = Ei∆Ai cos θi
Φi = E
~ i = n̂i∆Ai. Flusso complessivo:
dove ∆A
Φ=
X
i
Φi =
X
~ i · ∆A
~i
E
i
Nel limite di elementi di superficie infinitesimi,
la somma diventa un integrale sulla superficie:
Z
Φ=
~ · dA
~
E
Teorema di Gauss
Per il flusso su di una superficie chiusa
del campo elettrico, vale:
I
Q
~
~
Φ = E · dA = 4πkQ =
0
dove Q è la carica contenuta all’interno
della
superficie
I
indica integrazione su superficie chiusa
• La dimostrazione è semplice per una carica puntiforme; in generale,
la si può ottenere dal principio di sovrapposizione lineare
• Il teorema di Gauss è valida solo per forze ∝ 1/r2
• E’ equivalente ad una delle equazioni di Maxwell.
Teorema di Gauss II
Conseguenze del teorema di Gauss:
Il flusso prodotto dalla carica puntiforme
è lo stesso attraverso tutte le superfici
S1, S2, S3,.., che circondano la carica;
il flusso attraverso questa superficie è
invece nullo se la carica è all’esterno.
Applicazione: Filo uniformemente carico
Assumiamo un filo di lunghezza infinita. Il campo elettrico non può
dipendere dalla posizione lungo il filo; inoltre ha simmetria cilindrica,
per cui deve essere diretto radialmente rispetto al filo.
Scegliamo una superficie chiusa come in
figura: il flusso attraverso di essa è
Φ = 2πrlE
Solo la superficie laterale del cilindro dà
~ ⊥ E.
~
un contributo: per le altre due, dA
La carica contenuta è Q = λl (λ carica per unità di lunghezza), da cui
λl
λ
2kλ
2πrlE =
=⇒ E(r) =
=
0
2π0r
r
Notate la dipendenza come 1/r, distanza dal filo!
Applicazione: piano infinito uniformemente carico
Per simmetria, il campo elettrico non dipende dalla posizione sul piano,
è ortogonale al piano, ha verso opposto da lati opposti.
Consideriamo la superficie come in
figura. Il teorema di Gauss dà
Q
Φ = 2AE =
0
ovvero ponendo Q = Aσ, dove σ è
la carica per unità di superficie:
σ
E=
20
indipendente dalla distanza dal piano!
Applicazione: condensatore piano
Due piani paralleli uniformemente carichi di carica opposta a distanza x
formano un condensatore.
Con il risultato precedente è immediato trovare
che il campo elettrico nello spazio fra i due piani
vale
σ
E=
0
dove σ è la densità di carica superficiale per il
singolo piano; mentre nello spazio al di fuori dei
piani vale E = 0. Questo risultato è valido, in
modo approssimato, anche per piani finiti, purché
x sia piccolo rispetto alle dimensioni dei piani,
nella zona lontana dai bordi.
Applicazione: sfera di densità di carica uniforme
Per una sfera (di raggio a) uniformemente carica (con densità
di carica ρ = Q/(4πa3/3)) il campo elettrico è radiale ovunque.
a) Superficie esterna alla sfera:
Q
4πr E(r) =
0
2
b) Superficie interna alla sfera:
3
q(r)
1
ρr
4πr2E(r) =
=
0
0 a3
Q
kQ
Dal caso a) si ottiene: E(r) =
= 2 , come se la carica fosse
2
4π0r
r
concentrata nel centro (risultato già trovato da Newton per la gravità).
Applicazione: sfera di densità di carica uniforme II
Dal caso b) si ottiene
ρr
kρr kQr
E(r) =
= 3 = 3
3
4π0a
a
a
cioè solo la carica presente all’interno
di una sfera di raggio r dà contributo
al campo elettrico.
Il campo elettrico è quindi nullo, aumenta linearmente con il raggio fino
alla superficie, poi inizia a decadere come 1/r2.
Questi risultati hanno un corrispettivo per la forza gravitazionale, che
obbedisce alla legge 1/r2 come la forza elettrostatica e per la quale vale
il teorema di Gauss.
Conduttori
In un conduttore esistono cariche (elettroni) mobili. Di conseguenza:
• il campo elettrico all’interno di un conduttore
è nullo ovunque: le cariche si distribuiscono
sulla superficie in modo da annullare il campo
• la carica totale all’interno di un conduttore è
nulla, in conseguenza del teorema di Gauss
• il campo elettrico appena fuori del
conduttore è ortogonale alla superficie e vale
E = σ/0, dove σ è la densità di carica di
superficie del conduttore (si dimostra con il
teorema di Gauss, vedi figura)
Energia potenziale di due cariche
Si può dimostrare che la forza di Coulomb
è conservativa e quindi esiste una energia
potenziale elettrostatica. Consideriamo per
semplicità una carica q1 nel campo generato
da un’altra carica q2 fissa nell’origine.
L’energia potenziale si ricava dal lavoro fatto
dalla forza elettrica fra rA e rB :
Z
B
U (rB ) − U (rA) = −
F~ · d~s
A
ed ha la seguente espressione:
kq1q2
U (r) =
r
Il risultato è analogo al caso della forza di gravità; l’energia potenziale gravitazionale
U (r) = −GM m/r si riduce alla forma nota U = mgh sulla superficie della terra
Energia potenziale elettrostatica II
Nel caso in cui abbiamo molte cariche, l’energia potenziale U è data da
X X kqiqj
U (~r1, ~r2, ...) =
|~ri − ~rj |
i>j j
ovvero dalla somma dell’energia potenziale di tutte le coppie di cariche.
~ dato,
Se consideriamo invece una carica q in un campo elettrico E
possiamo definire l’energia potenziale U tramite l’espressione
Z
B
U (~rB ) − U (~rA) = −
~ · d~s
qE
A
(possiamo prendere U (~r) = 0 per un qualche valore di ~r, come nell’espressione
dell’energia potenziale di due cariche in cui si è assunto U (∞) = 0; oppure limitarci a
considerare differenze di energia potenziale che sono le sole significative)
Esercizio (1)
Assumiamo q1 = 15 × 10−6C, q2 = 6 × 10−6C,
a distanza d = 2 m: per quale valore di x la
forza risultante è nulla?
(notare che non serve specificare q3: perchè?)
Esercizio (1), soluzione
Scriviamo le due forze (assumendo q1 e q2 positivi, q3 negativo):
F13
kq1q3
=−
,
(d − x)2
F23
kq2q3
=
x2
e imponiamo che siano uguali in modulo ed opposti in segno:
F13 = −F23
kq1q3
kq2q3
2
2
⇒
=
⇒
q
x
=
q
(d
−
x)
1
2
(d − x)2
x2
Si ottiene un’equazione di secondo grado: 9x2 + x · (24m) − 24m2 = 0, da cui
x = 0.775 m (la soluzione negativa x2 = −3.44 m è spuria: dà F13 = F23)
Esercizio (2)
Due cariche puntiformi di carica Q sono mantenute fisse a distanza
2d. Una terza carica puntiforme q viene posta sulla perpendicolare alla
congiungente le due cariche passante per il punto di mezzo. Indicando
con x la distanza della carica q dalla congiungente delle due cariche,
determinare:
1. direzione e modulo della forza elettrostatica che agisce sulla carica q,
in funzione di x;
2. il valore di x in corrispondenza del quale tale forza è massima.
Esercizio (2), soluzione
1. La forza agente sulla carica q è data dalla somma vettoriale delle forze esercitate
dalle due cariche Q. Dalla simmetria del sistema si vede subito che solo la
componente (x) ortogonale all’asse delle due cariche è non nulla. Sommiamo le
componenti x delle due forze (che per simmetria sono uguali):
F (x) = F1x + F2x = 2
qQ
1
cos θ,
2
2
4π0 d + x
cos θ = √
x
.
2
2
d +x
2. Notare come per x = 0, F = 0; per x → ∞, f → 0. Cerchiamo il valore di x per
cui dF (x)/dx = 0. La derivata dà il seguente risultato:
dF (x)
qQ d2 − 2x2
=2
dx
4π0 (d2 + x2)5/2
√
√
ovvero dF (x)/dx = 0 per x = d/ 2, ovvero per un angolo θ con cos θ = 1/ 3.
Il massimo valore di |F (x)| è dunque
|F |max = 2
|qQ| 1 2
√ .
2
4π0 d 3 3
Esercizio (3)
Un elettrone parte da fermo da un punto
A che dista d = 1 cm da due protoni, che
distano d fra di loro.
1. Qual è l’energia potenziale del sistema delle tre cariche al momento
iniziale?
2. Quando arriva nel punto medio B fra i due protoni, qual è la sua
velocità?
(si trascuri il moto dei protoni)
Esercizio (3), soluzione
L’energia potenziale di un sistema di tre cariche in interazione è la somma delle energie
potenziali di ogni coppia di cariche, ovvero:
q1 q2
q1 q3
q3 q2
e2
e2
e2
e2
UA = k
+k
+k
= −k − k + k = −k
d12
d13
d32
d
d
d
d
(d12 = d13 = d23 = d; q1 = −e, q2 = q3 = +e) ovvero UA = 2.3 × 10−26 J.
Possiamo applicare la conservazione dell’energia: KA +UA = KB +UB , dove KA = 0,
KB = mev 2/2, energia cinetica dell’elettrone in B. L’energia potenziale in B è
e2
e2
e2
e2
UB = −k
−k
+ k = −3k
(d/2)
(d/2)
d
d
(notare che UB < UA) da cui
2
e
1
mev 2 = UA − UB = 2k = 4.6 × 10−26J
2
d
p
ovvero v = 4ke2/(dme) = 318 m/s.