Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione I

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_1
Sono state studiate le onde elettromagnetiche che si propagano
nei dielettrici spazialmente illimitati, senza contorni, fatta
eccezione per le interfacce dove si verificano le riflessioni
dovute a discontinuità.
Si vuole ora considerare il comportamento delle onde
nell’immediata vicinanza di contorni conduttori o dielettrici,
dove le configurazioni di questi contorni hanno l’effetto di
guidare le onde lungo la superficie dei contorni stessi.
M. Usai
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1
Per onda guidata si intende l’onda la cui direzione del flusso di
energia si sviluppa principalmente lungo la direzione del sistema
guidante ( anche se in ogni sistema reale, una parte del flusso di
energia é trasmesso dall’onda al metallo non perfettamente
conduttore o al dielettrico).
Questa azione guidante si realizza in tutti i sistemi mediante una
interazione molto stretta tra i campi dell’onda, le correnti e le cariche
sui conduttori, o per particolari condizioni di riflessione sul
contorno.
Da un punto di vista del campo l’energia si può immaginare
trasmessa dall’onda tramite campi elettromagnetici nella regione
dielettrica esistente tra i contorni; questi ultimi assumono dunque
una importanza primaria nel determinare le caratteristiche di una
onda particolare.
M. Usai
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2
Con l’analisi matematica si desidera trovare soluzioni
alle equazione delle onde, che soddisfino le condizioni al
contorno imposte dalle configurazioni dei conduttori o
dielettrici delle guide, prendendo in considerazione
quelle soluzioni che rappresentano un passaggio di
energia nella direzione della guida e che ad essa sono
legate tramite condizioni di flusso di corrente, induzione
di carica o speciali riflessioni sui contorni della giuda.
M. Usai
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3
Tipi d’onda fondamentali
Nello studio delle onde guidate di solito si classificano le soluzione
dell’equazione d’onda nei seguenti tipi:
• ONDE TEM: onde che non contengono campo elettrico e
magnetico nella direzione di propagazione. Esse si chiamano onde
trasversali elettromagnetiche perché le linee del campo elettrico e
del campo magnetico giacciono interamente su piani trasversali
alla direzione di propagazione. Esse sono comunemente usate
sulle linee di trasmissione e sono anche chiamate onde principali.
• ONDE TM: onde che contengono campo elettrico, ma non campo
magnetico nella direzione di propagazione.
Sono chiamate onde trasversali magnetiche.
• ONDE TE: onde che contengono campo magnetico ma non
campo elettrico nella direzione di propagazione
Sono chiamate onde trasversali elettriche.
M. Usai
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4
Per studiare la teoria e le applicazioni delle linee di trasmissione
occorre sviluppare un modello elettromagnetico che consenta di
analizzare le azioni elettromagnetiche che si verificano a distanza
causate:
• da cariche che variano nel tempo e/o
• correnti che variano nel tempo.
Queste azioni sono espresse in termini di campi magnetici e onde.
Si definisce sorgente elettromagnetica isotropa e omnidirezionale
quando irradia onde egualmente in tutte le direzioni.
M. Usai
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5
In realtà anche quando la sorgente irradia attraverso un’antenna
altamente direttiva, la sua energia si propaga su una grande area a
distanze elevate. Quando l’energia irradiata non è guidata, la
trasmissione di potenza e informazione dalla sorgente al
ricevitore è inefficiente, in particolare per la trasmissione alle
basse frequenze, per le quali le antenne direzionali dovrebbero
avere enormi dimensioni e quindi essere eccessivamente costose
e in alcuni casi irrealizzabili.
Per esempio:
• alle frequenze AM ( 535÷1705 kHz) delle trasmissioni
radiofoniche una singola antenna a metà lunghezza d’onda, che è
poco direttiva, dovrebbe avere una lunghezza superiore al
centinaio di metri,
• alla frequenza di potenza di 60 Hz, una lunghezza d’onda è 5
milioni di metri (Mm).
M. Usai
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6
Per una trasmissione di potenza e informazione efficiente da
punto a punto, la sorgente di energia deve essere diretta o
guidata.
Occorre quindi studiare le onde elettromagnetiche trasversali
(TEM) guidate attraverso linee di trasmissione.
Il modo TEM delle onde guidate è quello per il quale
E e H sono perpendicolari l’uno con l’altro ed entrambi sono
trasversali alla direzione di propagazione
lungo la linea guida.
ρ
E’ stata discussa, in precedenza, la propagazione delle onde piane
trasversali elettromagnetiche non guidate.
Ora si intende mostrare come diverse caratteristiche delle onde
TEM guidate nelle linee di trasmissione sono le stesse di quelle
dell’onda piana uniforme, che si propaga in un mezzo dielettrico
illimitato.
M. Usai
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7
I 3 tipi più comuni di strutture guidanti (guiding structures) che
trasportano onde TEM sono:
a) Linea di trasmissione piatta ( Parallel plate transmission line)
Questo tipo di linea di trasmissione consiste di 2 lastre o lamine
conduttrici parallele separate da una lastra di dielettrico di spessore
uniforme.
Alle frequenze delle microonde le linee di trasmissione piatte possono
essere fabbricate a basso costo su un substrato di dielettrico usando la
tecnologia dei circuiti integrati (printed circuit).
Esse sono spesso chiamate striplines
M. Usai
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8
b) Linee di trasmissione bifilare
Questa linea di trasmissione consiste di una coppia di fili conduttori
paralleli e viene utilizzato per:
•le linee telefoniche aeree di potenza nelle aree rurali e
•le linee negli appartamenti che collegano l’antenna dal tetto al
ricevitore della TV.
M. Usai
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9
c) Linea di trasmissione coassiale
Questa consiste di un conduttore interno e una guaina conduttrice
coassiale esterna separata da un mezzo dielettrico. Questa struttura
ha l’importante vantaggio di limitare completamente il campo
elettrico e magnetico all’interno della regione dielettrica. Nessun
campo viene generato da una linea di trasmissione coassiale e
interferenza esterna che può interagire con la linea, é piccola .
Esempi di applicazione sono i cavi telefonici e TV e i cavi di input per
strumenti di misura di precisione in alta frequenza.
M. Usai
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10
La soluzione delle onde TEM attraverso l’equazione di Maxwell con la
struttura a linea piatta porta direttamente a una coppia di equazioni
della linea di trasmissione.
Dalle equazione delle linee di trasmissione possono essere studiate e
derivate tutte le caratteristiche della propagazione d’onda lungo una linea
data.
L’equazioni generali della linea di trasmissione possono anche essere
derivate da un modello circuitale in termini di resistenza, induttanza,
conduttanza e capacità per unità di lunghezza della linea.
Il passaggio da un modello circuitale a un modello elettromagnetico si
effettua passando da una rete a parametri concentrati (resistori, induttori e
capacitori discreti) a una a parametri distribuiti (distribuzioni continue di
R, L, G e C lungo la linea).
M. Usai
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11
Lo studio delle proprietà a regime permanente armonico nel
tempo delle linee di trasmissione è fortemente facilitato dall’uso
delle carte grafiche che evitano di eseguire dei calcoli con
numeri complessi.
La carta grafica più conosciuta e usata è la carta di Smith che
consente di determinare:
• le caratteristiche dell’onda sulla linea di trasmissione e
• l’impedenza di adattamento (impedance matching).
M. Usai
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12
Onda elettromagnetiche trasversali lungo una linea piatta
Si consideri una onda TEM polarizzata y, che si propaga nella direzione
positiva dell’asse z:
y
x
d
z
w
Le equazioni d’onda dei campi armonici nel tempo in una regione dielettrica
priva di sorgenti, soddisfano le equazioni di Helmholtz e per il caso in
esame:
E = a y E y = a y E 0 e −γz
e
H = a x Hx = a x
E 0 −γz
e
η
dove γ e η sono la costante di propagazione e l’impedenza intrinseca
rispettivamente del mezzo dielettrico.
M. Usai
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13
Si trascurano gli effetti di bordo e si considerano i conduttori perfetti e il
dielettrico privo di perdite:
γ = jβ = jω µε
e
η=
µ
ε
Le condizioni al contorno che devono essere soddisfate nell’interfaccia
conduttore dielettrico:
• per y = 0 e y = d: E t = 0 e H n = 0
condizioni soddisfatte essendo E x = E z = 0 e H y = 0
•
per y = 0 (lastra inferiore) a n = a y
a y ⋅ D = ρsl
o
ρsl = εE y = εE0 e - jβz
a y × H = J sl
o
J sl = -a z H x = a z
M. Usai
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E0 - jβz
e
η
14
• per y=d ( lastra superiore) a n = −a y
− a y ⋅ D = ρ sl
− a y × H = J sl
o
o
ρ sl = −εE y = −εE 0 e − jβz
J sl
E 0 − jβz
= a z H x = −a z e
η
Le equazioni precedenti mostrano che le cariche superficiali e le
correnti superficiali sui piatti conduttori variano
sinusoidalmente in funzione di z così come Ey e Hx come
riportato in figura:
M. Usai
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15
I fasori dei campi soddisfano le due equazioni rotoriche di
Maxwell:
∇ × E = − jωµ H
∇ × H = − jωε E
essendo E = a y E y e H = a x H x
le equazioni precedenti diventano:
dE y
dz
= jωµH x
e
dH x
= jωεE x
dz
le derivate sono ordinarie in quanto i fasori Ey e Hx sono funzioni
della sola variabile z.
M. Usai
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16
Si può risalire alla differenza di potenziale o tensione che si stabilizza tra
le due lastre integrando la prima equazione per z =0÷d :
dE y
= jωµH x
⇒
d
dz
∫
d
E y dy = jωµ
∫
d
H x dy o
0
0
dz
dV ( z )
 d
−
= jωµ J su ( z )d = jω  µ  [J su ( z ) w] = jωLI ( z )
dz
 w
dove V ( z ) = −
∫
d
0
E y dy = − E y ( z )d
V(z) é la differenza di potenziale tra le due lastre e
I ( z ) = J su ( z )w é la corrente totale che fluisce nella direzione +z sulla
lastra superiore
d
L= µ
w
M. Usai
é l’induttanza per unità di lunghezza della linea di
trasmissione piatta
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17
Analogamente integrando la seconda equazione:
w
dH x
d w
= jωε E y
⇒
=
ωε
H
dx
j
E y dx o
x
∫
∫
0
dz
dz 0
dI ( z )
 w 
−
= − jωε E y ( z ) w = jω  ε   − E y ( z ) d  = jωCV ( z )
dz
 d
dove
C =ε
w
d
F
 m 
é la capacità per unità di lunghezza della linea piatta.
M. Usai
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18
Le equazioni
 dV ( z )
 d
− dz = jωµ J su ( z )d = jω  µ w  [J su ( z )w ] = jωLI ( z )

− dI ( z ) = − jωε E ( z )w = jω  ε w  [− E ( z )d ] = jωCV ( z )
y
y
 dz
d


costituiscono la copia delle equazioni delle linee di trasmissione
armoniche nel tempo. Esse possono essere combinate per ottenere
equazioni differenziali in V(z) e I(z):
d 2V ( z )
2
−
=
ω
LC V ( z )
2
dz
d 2 I (z )
2
−
=
ω
LC I ( z )
2
dz
M. Usai
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19
Le soluzioni delle equazioni per le onde viaggianti nella direzione
+z:
V ( z ) = V e − jβ z e
I ( z ) = I e − jβ z
0
0
con la fase costante: β = ω LC = ω µε
 rad 
 m 
La relazione tra V0 e I0 si ottiene dividendo le due precedenti
relazioni:
Z0 =
V0 V ( z )
L
=
=
I 0 I (z )
C
[Ω ]
⇒
Z0 =
d µ d
= η
w ε w
[Ω ]
Z0 é l’impedenza in punto a distanza z, che corrisponde a quella di
una linea infinitamente lunga (per la quale non si ha alcuna
riflessione), essa é l’impedenza caratteristica.
M. Usai
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20
d µ d
Z0 =
= η
w ε w
[Ω ]
L’impedenza caratteristica Z0 é (d/w) volte l’impedenza intrinseca
del mezzo dielettrico η.
La velocità di propagazione lungo la linea é:
up =
ω
ω
=
=
β ω LC
1
1
=
LC
µε
m
 s 
che é uguale alla velocità di fase di onda piana TEM nel mezzo
dielettrico.
M. Usai
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21
Linee di trasmissione piatte con perdite.
Nel funzionamento reale le perdite sono dovute a due cause:
• il mezzo dielettrico potrebbe avere perdite non trascurabili
• le lastre potrebbero non essere conduttori perfetti.
Per caratterizzare questi due effetti, si definiscono due nuovi
parametri :
• G conduttanza per unità di lunghezza tra i due piatti e
• R resistenza per unità di lunghezza dei due piatti conduttori.
M. Usai
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22
La conduttanza tra due conduttori separati da un mezzo
dielettrico omogeneo avente permettività ε e una conduttività σ
può essere determinata facilmente dal prodotto:
C ε
σ
w
RC = =
⇒
G= C
essendo C = ε
G σ
ε
d
⇓
G=σ
w S 
d  m 
Se i due conduttori piatti paralleli hanno una conduttività grande
ma finita σc , si avrà una dissipazione di potenza nelle lastre
conduttrici. Poiché il campo elettrico è legato alla densità di
corrente dalla relazione :
J
E = ρJ =
se σ → ∞ E → 0
σ
M. Usai
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23
Per cui una condutttività finita, comporta un campo elettrico
assiale non trascurabile a z E z
nella superficie delle lastre, tale che il vettore medio di Poynting:
1
Re (a z E z × a x H *x )
2
abbia una componente y ( normale alle superfici conduttrici), pari
alla potenza media per unità di area pσ dissipata in ciascuna
delle lastre conduttrici.
Per calcolare la potenza dissipata, si consideri la lastra superiore
dove la densità di corrente superficiale é Jsu= Hx. In generale si
definisce impedenza superficiale del conduttore imperfetto:
Et comp.te tangenziale del campo elettrico
Et
[Ω ] ⇒
Zs =
Js densità di corrente superficiale
Js
Pav = a y pσ =
M. Usai
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24
Per la lastra superiore si ha:
Et E z
Ez
Z =
=
=
= ηc ⇒ E z = Z H x
s J
s
s J su H x
dove ηc é l’impedenza intrinseca della lastra conduttrice.
Nella ipotesi che σc sia la la conduttività della lastra conduttrice e
che la frequenza sia sufficientemente alta, in modo che la corrente
fluisca in uno strato superficiale molto sottile e possa essere
rappresentata dalla densità di corrente superficiale Jsu.
L’impedenza intrinseca di un buon conduttore per il quale
σ/ωε >>1 è:
π f µc
Z s = Rs + jX s = (1 + j )
dove il pedice c si riferisce al conduttore.
M. Usai
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σc
25
Sostituendo la prima espressione della Zs nella espressione
del vettore medio del Poynting :
1
Pav = a y pσ = Re (a z E z × a x H *x )
2
E z = Z H x ⇒ E z = Z Jsu
s
s
essendo Jsu=Hx
si ottiene:
(
)
1
1
2
2
pσ = Re J su Z s = J su Rs
2
2
M. Usai
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W 
2
 m 
26
(
)
1
1
2
2
pσ = Re J su Z s = J su Rs
2
2
W 
2
 m 
La potenza ohmica Pσ dissipata per unità di lunghezza della
linea piatta larga w è w pσ, può essere espressa in funzione
della corrente superficiale totale I=(1*w)Jsu= wJsu come:
1 2  Rs 
Pσ =wpσ = I 

2  w 
Questa equazione è l’espressione della potenza dissipata
quando una corrente sinusoidale di ampiezza I fluisce
attraverso una resistenza Rs/w.
M. Usai
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27
Perciò la resistenza serie effettiva per unità di lunghezza di entrambe
le lastre della linea di trasmissione piatta di larghezza w è:
 Rs  2 π f µ c
R = 2  =
σc
w w
Ω 
 m 
Riassumendo i parametri distribuiti (R, L, G e C per unità di
lunghezza) di una linea di trasmissione piatta di larghezza w e
distanza di separazione tra i piatti d:
2 πfµc
R =
w σc
G = σ
M. Usai
w
d
Ω
 m 
d
L =µ
w
H 
 m 
S
 m 
C =ε
w
d
F 
 m 
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28
Linee Microstrip
Lo sviluppo dei dispositivi e dei sistemi delle microonde allo stato
solido ha portato ad una diffusione delle linee di trasmissione a lastre
parallele chiamate line microstrip o più semplicemente striplines.
Una stripline consiste generalmente di un substrato di dielettrico
messo sopra una lastra conduttrice collegata a terra con una striscia
sottile e stretta di metallo sopra il substrato come mostrato in figura:
Striscia metallica
Striscia metallica
Substrato
dielettrico
Substrato dielettrico
Lastra conduttrice collegata a terra
M. Usai
Stripline
Lastra conduttrice collegata a terra
Triplate line
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29
Grazie allo sviluppo delle tecniche per i circuiti integrati, le striplines
possono essere fabbricate e integrate facilmente con i componenti di un
altro circuito.
Si farà l’ipotesi che siano trascurabili gli effetti di bordo: questa
approssimazione è accettabile se la larghezza della strip di metallo è molto
più grande dello spessore del substrato.
Quando il substrato ha una costante dielettrica elevata, una
approssimazione di propagazione TEM è ragionevolmente soddisfatta.
Una soluzione analiticamente esatta delle striplines del tipo riportato in
figura che soddisfi tutte le condizioni al contorno rappresenta un problema
difficile.
Non tutti i campi sono confinati nel substrato dielettrico; alcuni campi si
disperderanno dalla lamina superiore verso la regione esterna, causando
così interferenza nei circuiti prossimi alla linea.
M. Usai
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30
Sono quindi necessarie modificazioni delle formule semi-empiriche
per i parametri distribuiti e per l’impedenza caratteristica, per fare
dei calcoli più accurati. Tutte queste grandezze tendono ad essere
dipendenti dalla frequenza e le striplines sono dispersive.
Un metodo per ridurre i campi dispersi delle striplines è di avere un
piano conduttore a terra su entrambi i lati del conduttore dielettrico e
di mettere la striscia metallica sottile all’interno come riportato in
figura.
Questa configurazione è nota come triplate-line.
Le triplate lines sono:
• più difficili e costose da fabbricare, ma
• l’impedenza caratteristica di una triplate-line è metà di quella
corrispondente a un strip line.
M. Usai
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31
Equazioni generali delle linee di trasmissione
Si vogliono ora determinare le equazioni che rappresentano
analiticamente il comportamento fisico delle linee di
trasmissione comprese le linee piatte, a due fili e le linee coassiali.
Le linee di trasmissione differiscono dalle reti elettriche ordinarie
per una caratteristica fondamentale:
• le dimensioni fisiche delle reti elettriche ordinarie sono molto più
piccole rispetto alla lunghezza d’onda di funzionamento,
• le linee di trasmissione hanno generalmente una dimensione pari a
una aliquota considerevole della lunghezza d’onda e possono
essere anche più lunghe della lunghezze d’onda.
M. Usai
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32
Rete elettrica ordinaria
Gli elementi circuitali in una rete elettrica ordinaria possono essere
considerati discreti e possono essere descritti a parametri
concentrati, assumendo:
•che le correnti fluiscano negli elementi del circuito concentrati,
•che non varino spazialmente su tali elementi e
•che non esistano onde stazionarie (*) (standing wave or stationary
wave).
Linea di trasmissione
Una linea di trasmissione invece, è una rete a parametri distribuiti e
deve essere descritta con un circuito a parametri distribuiti lungo
tutta la lunghezza della linea. Fatta eccezione per alcune condizioni
particolari, sono presenti le onde stazionarie.
(*) l’onda stazionaria é un’onda formata dalla sovrapposizione di due onde che si propagano in direzione opposta.
M. Usai
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33
Si consideri un elemento differenziale di una linea di trasmissione
alla quale sono associati i parametri R, L, C e G per unità di
lunghezza: i(z,t)
i(z+∆z,t)
+
v(z,t)
-
N
R ∆z
+
L ∆z
G ∆z
C ∆z
v(z+∆z,t)
-
∆z
Applicando le leggi di Kirchhoff alla maglia sinistra e al nodo N si
ottiene:
∂i ( z , t )

v ( z , t ) − R∆z i ( z , t ) − L∆z ∂t − v ( z + ∆ z , t ) = 0

i ( z , t ) − G∆z v ( z + ∆z , t ) − C∆z ∂v ( z + ∆z , t ) − i ( z + ∆ z , t ) = 0

∂t
M. Usai
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34
Dividendo per ∆z e considerando ∆z →0, si ottengono le
Equazioni generali per le linee di trasmissione
∂i ( z , t )
 ∂v ( z , t )
− ∂z = R i ( z , t ) − L ∂t

 − ∂i ( z , t ) = G v ( z , t ) − C∆ ∂v ( z , t )

∂z
∂t
Per una dipendenza temporale armonica utilizzando i fasori e un
riferimento cosinusoidale si ha :
v ( z , t ) = Re[V ( z )e jω t ]
i ( z , t ) = Re[I ( z )e jω t ]
dove V(z) e I(z) sono funzioni della coordinata spaziale z e possono
essere complesse.
M. Usai
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35
Per cui le equazioni diventano
le equazioni delle linee di trasmissione armoniche nel tempo:
dV ( z )
= ( R + jω L )I ( z )
dz
dI ( z )
−
= (G + jω C )V ( z )
dz
−
Nella ipotesi di perdite nulle R = 0 e G = 0:
dV ( z )
= jω LI ( z )
dz
dI ( z )
−
= jω CV ( z )
dz
−
M. Usai
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36
Caratteristiche dell’onda nelle linee di trasmissione infinite
Dalle equazioni delle linee di trasmissione armoniche nel tempo si
possono ottenere le seguenti equazioni differenziali ordinarie di
secondo grado in V(z) e I(z) rispettivamente:
dV 2 ( z )
2
=
γ
V (z )
2
dz
dI 2 ( z )
2
=
γ
I (z )
2
dz
dove γ = α + j β = ( R + jω L )( G + jωC ) m -1  è la costante di
propagazione con:
• parte reale α costante di attenuazione della linea in[Np/m] e
• parte immaginaria β costante di fase della linea in [rad/m].
Queste grandezze non sono delle costanti reali perché in generale
dipendono da ω in modo complesso.
M. Usai
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37
Le soluzioni delle equazioni armoniche sono:
V ( z ) = V + ( z ) + V − ( z ) = V0+ e − γ z + V0− e γ z
I ( z ) = I + ( z ) + I − ( z ) = I 0+ e − γ z + I 0− e γ z
• gli apici + e – indicano onde che viaggiano nelle direzioni +z e
-z rispettivamente e
• le ampiezza delle onde (V0+, I0+) e (V0-, I0-) sono legate dalle
equazioni precedenti.
Si può facilmente verificare che :
M. Usai
V0+
V0− R + jω L
=− − =
+
γ
I0
I0
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
38
Per una linea di lunghezza infinita il termine contenente il fattore
eγz si annulla , non ci saranno onde riflesse e viaggeranno solo
onde nella direzione z + per cui si ha:
V ( z ) = V + ( z ) = V0+ e − γ z
I ( z ) = I + ( z ) = I 0+ e − γ z
Il rapporto della tensione per la corrente per ciascun valore di z
per una linea infinitamente lunga ( per la quale si può ritenere che
l’onda riflessa è nulla) è indipendente da z ed è chiamata
impedenza caratteristica della linea:
R + jω L
γ
R + jω L
=
=
Z0 =
γ
G + jω C
G + jω C
[Ω ]
Z0 e γ sono proprietà caratteristiche della linea, sia che questa sia
di lunghezza infinita che finita.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
39
Le espressioni della impedenza caratteristica e della costante di
propagazione sono complesse, ma possono essere ottenuti i
loro valori dalle seguenti formule valide per i seguenti tre casi
limite:
1) Linea senza perdite R=0 e G=0
a) costante di propagazione
⇒
(é una funzione lineare di ω)
γ = α + jβ = jω LC
b) velocità di fase
(costante)
⇒
1
ω
up = =
β
LC
c) impedenza caratteristica
(costante)
⇒
L
Z 0 = R0 + jX 0 =
C
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
40
2)
Linea con basse perdite R<<ωL e G<< ωC
( condizione soddisfatta alle frequenze molto alte)
1
2
a) costante di propagazione
ω
b) velocità di fase u p = β ≅
c) impedenza caratteristica
(≅ costante)
M. Usai
R  
G 

γ = α + jβ = jω LC  1 +
 1+

ω
ω
j
C
j
L

 

C
L
1
≅ R
+G
 + jω LC
2
L
C
1
LC
1
2
(≅ costante)
1
2
L
R  
G 

 1+
1+
C
jω L  
jω C 
L
L 1 R G
L
≅
≅
+j
−


C
C 2ω  L C 
C
Z 0 = R0 + jX 0 =
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
1
2
41
3) Linea senza distorsione R/L =G/C
( condizione soddisfatta alle frequenze molto alte)
a) costante di propagazione
γ = α + jβ = ( R + jωL )
RC
C

+ jω C  =
( R + jω L )
L
 L

b) velocità di fase
up =
1
ω
=
β
LC
c) impedenza caratteristica
(≅ costante)
M. Usai
(≅ costante)
Z 0 = R0 + jX 0 =
R + jω L
L
=
( RC / L ) + jωC C
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
42
Poiché generalmente un segnale è costituito da più segnali distribuiti in
una banda di frequenze, è importante che essi si propaghino lungo la
linea di trasmissione alla stessa velocità per evitare distorsione.
Questa condizione è:
• soddisfatta per le linee senza perdite ed
• é approssimata per le linee con perdite molto basse.
Per le linee con perdite l’ampiezza delle onde viene attenuata e la
distorsione si verificherà quando componenti a frequenza diversa
sono attenuate differentemente, anche nel caso in cui viaggino alla
stessa velocità.
Per il caso più generale delle linee con perdite:
• la costante di fase non è una funzione lineare di ω e
• up dipende dalla frequenza, per cui le componenti di frequenza
diversa si propagano con velocità diversa con l’inevitabile distorsione
del segnale.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
43
Parametri delle linee di trasmissione
parametro
R
L
G
C
M. Usai
linea bifilare
Rs
πa
µ
cosh - 1 ( D/2a )
π
πσ
cosh - 1 ( D/2a )
πε
cosh - 1 ( D/2a )
linea coassiale
Rs  1 1 
 + 
2π  a b 
µ b
ln
2π a
2πσ
ln(b / a )
2πε
ln(b / a )
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
Ω 
 m 
H 
 m 
S
 m 
F 
 m 
44
Relazione tra la costante di attenuazione e la potenza
La costante di attenuazione α di un’onda viaggiante su una linea
di trasmissione è la parte reale della costante di propagazione γ:
α = Re (γ ) = Re (α + jβ ) = Re ( ( R + jωL )(G + jC ))
Essa può anche essere ottenuta dalla espressione della potenza,
infatti per una linea di lunghezza infinita:
V0 − γ z
−γ z
−γ z
V ( z ) = V ( z ) = V0 e
I (z ) = I (z ) = I 0 e =
e
Z0
La potenza media nel tempo propagata lungo la linea per ciascun
valore di z sarà:
2
1
V
P ( z ) = Re[V ( z )I * ( z )] = 0 2 R0 e − 2α z
2
2 Z0
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
45
La legge della conservazione della energia richiede che la velocità
della diminuzione della P(z) con la distanza lungo la linea sia
uguale alla perdita di potenza media nel tempo PL per unità di
lunghezza:
∂P ( z )
−
= PL ( z ) = 2α P ( z )
∂z
Dalla quale si ottiene l’espressione della costante di attenuazione
α in funzione delle potenze P(z) e PL :
PL ( z )
α=
2 P (z )
M. Usai
 Np 
 m 
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e
46