19 TEOREMA DELLE IMMAGINI

19 TEOREMA DELLE IMMAGINI
Finora abbiamo considerato l’irradiazione delle antenne in spazio libero. Tuttavia, molto
spesso, le antenne irradiano in presenza di altri oggetti, come ad esempio la superfice della terra.
Per i casi di antenne che irradiano in presenza di un piano infinito e perfettamente
conduttore, il campo prodotto può essere ottenuto a partire dal teorema delle immagini, che
viene trattato in tutti i testi di elettromagnetismo.
Noi ci occuperemo quı̀ solo del caso di un dipolo, elettrico o magnetico, appoggiato a
un piano conduttore elettrico perfetto, in cui i risultati dle teorema delle immagini sono molto
semplici da ricavare ed utilizzare.
L
IA
IA
2L
C.E.P.
Fig. 1: Dipolo
Fig. 2: Monopolo equivalente su C.E.P.
Consideriamo un dipolo elettrico (Fig. 1) lungo 2L, allineato con z e centrato in z = 0.
Se calcoliamo il campo di questo dipolo sul piano z = 0 vediamo che su tale piano Er è nullo
in quanto dipende da cos θ, ed Eφ è sempre nullo. Quindi E è ortogonale a z = 0. Se allora
inseriamo, in z = 0, un piano conduttore elettrico perfetto, le condizioni al contorno sono
rispettate, e quindi il campo di partenza è anche il campo dopo l’inserimento del conduttore.
Solo che ora l’antenna é costituita solo da uno dei due bracci del dipolo, e prende il nome di
monopolo (Fig. 2). Il campo di un monopolo lungo L, alimentato rispetto al piano conduttore
é quindi esattamente uguale al campo di un dipolo lungo 2L, ovviamente al di sopra del piano
conduttore, mentre al di sotto il campo é nullo. La potenza irradiata é pertanto esttamente la
metá, e ovviamente anche la impedenza di ingresso dimezza (cosı́ come la potenza dissipata).
Ne segue che le valutazioni sul campo massimo (e in particolare quelle che derivano
dalle (42)) sono utilizzabili, a patto di usare, come Pi , il doppio della potenza irradiata dal
monopolo.
In maniera simile, il campo prodotto un dipolo magnetico parallelo ad un piano indefinito di C.E.P. (ovviamente sopra al piano conduttore) si ottiene eliminando il C.E.P. e inserendo un dipolo immagine. In particolare, se il dipolo é appoggiato al C.E.P., la sua ampiezza
raddoppia (fig. 3).
Se invece il dipolo magnetico è ortogonale al piano conduttore, la sua immagine é opposta. Pertanto una tale dipolo magnetico, se appoggiato al C.E.P., non produce alcun campo
(Fig. 4).
38
M
M
CEP
M
Fig. 3: Dipolo magnetico parallelo a un C.E.P. (sinistra)
e configurazione eqivalente con immagine (destra)
M
M
CEP
-M
Fig. 4: Dipolo magnetico ortogonale a un C.E.P. (sinistra)
e configurazione eqivalente con immagine (destra)
20 SCHERMATURA DI SORGENTI VICINE
La valutazione della efficienza di schermaggio per uno schermo (sottile o largo) è stata
per ora limitata ad incidenza di onda piana, ovvero a campo dovuto a sorgenti lontane.
In molti casi però (specie a bassa frequenza) la sorgente è vicina allo schermo, e
l’approssimazione di onda piana incidente non è quindi accettabile.
Possiamo comunque trovare una espressione approssimata delle efficienze di schermaggio (in campo!) se consideriamo che l’efficienza di schermaggio per onda piana è stata ottenuta
usando le condizioni di continuità dei campi all’interfaccia, che coinvolgono solo le componenti
tangenti dei campi all’intefaccia, e non la loro variazione ortogonale. Pertanto, possiamo estendere (approssimativamente) le espressioni relative allo schermaggio per onda piana, e in particolare le (16,17,18), a patto di utlizzare come ZW un opportuno rapporto tra campo elettrico e
magnetico tangente allo schermo.
ε0
I ∆z
θ
εm σ
A
x
z
D
Fig. 1: Dipolo vicino ad uno schermo
39
Consideriamo allora un dipolo elettrico di ampiezza I∆z, posto a distanza D ≪ λ da una
interfaccia aria–buon conduttore (vedi Fig. 1). Una buona approssimazione della efficienza di
schermaggio si ottiene considerando come impedenza ZW il rapporto tra le componenti tangenti
allo schermo del campo elettrico e magnetico in A.
Il campo di un dipolo elettrico è dato dalle (22), che qui riportiamo per comodità
ζ I∆z
1
1
Er = j
e−jβr 2 cos θ
+
2λ r
jβr
(jβr)2
1
ζ I∆z
1
+
e−jβr sin θ
Eθ = j
1+
2λ r
jβr
(jβr)2
1
I∆z
1+
e−jβr sin θ
Hϕ = j
2λ r
jβr
e le componenti tangenti allo schermo del campo elettrico e magnetico in A sono rispettivamente
Eθ e Hϕ , qualunque sia θ.
Si trova quindi
1
1
+
Eθ
jβD (jβD)2
=ζ
(79)
ZW E =
1
Hϕ
1+
jβD
Lo stesso discorso puó essere fatto per un dipolo magnetico ottenendo, dalle (65),
1+
ZW M
1+
Eϕ
=ζ
=
Hθ
1
jβD
(80)
1
1
1+
+
jβD
(jβD)2
essendo sempre D la distanza tra il dipolo magnetico e lo schermo.
x
ε0
εm
ε0
σ
P
z
φ
Q
D
Fig. 2: Geometria dello schermo e del punto campo.
Q é la posizione del dipolo.
Le consentono quindi di calcolare l’efficienza di schermaggio per il punto–campo P (vedi
Fig. 2). Evidentemente, questa approssimazione deve tendere all’efficenza di schermaggio per
onda piana se il punto–campo P é a grande distanza. Ore, se D → ∞, le due impedenze tendono
entrambe a ζ. Questo é il valore corretto per ZW per incidenza di onda piana solo se il punto
campo é per x = 0, ovvero φ = 0. Ne segue che le (79,80) sono delle buone approssimazioni
solo se il punto campo si trova per φ = 0 o, almeno, per φ piccolo, tale da poter approssimare
cos φ ≃ 1. In tal caso, infatti
40
ζ
≃ζ
e
ZT M = ζ cos φ ≃ ζ
cos φ
Per valori di φ grandi, le (79,80) sono approssimazioni via via peggiori, e solo se il
punto P é anch’esso vicino allo schermo. Se (pur essendo il dipolo vicino allo schermo), il punto
P é in campo lontano del dipolo, allora l’eficienza di schermaggio va calcolata come efficienza
di schermaggio per onda piana, considerando una onda piana che viaggia da Q a P , con la
polarizzazione prodotta dal dipolo. Infatti, se consideriamo un dipolo in Q e uno uguale in
P , che alternativamente trasmettono (con la stessa corrente) e ricevono, allora le due tensioni
ricevuta sono uguali. Se é il dipolo in P a trasmettere, il campo allo schermo é una onda piana
con incidenza obliqua, e quindi si puó utilizzare l’efficeinza di schermaggio per onda piana. Ne
segue che la stessa efficiena di schermaggio vale anche se é il dipolo in Q a trasmettere.
Se βD ≪ 1 allora le espressioni delle impedenze (79,80) possono ulteriormente semplificarsi
ZT E =
ζ
ZW M ≃ jζβD
(81)
βD
La approssimazione (81) è utile anche per valutare qualitativamente lo schermaggio. In
particolare le (81) mostrano che il campo di un dipolo elettrico ha una impedenza molto più
grande di quello dello spazio libero, e capacitiva, mentre quella di un dipolo magnetico è molto
più piccola, e induttiva. Queste considerazioni giustificano il nome di sorgente ad alta impedenza
ed a bassa impedenza usato spesso per indicare sorgenti approssimabili con dipoli elettrici e con
dipoli magnetici rispettivamente.
Il basso valore di |ZM | rende le sorgenti a bassa impedenza molto difficili da schermare
utilizzando schermi di materiale conduttivo. Infatti la schermatura per schermi sottili dipende
solo dalla differenza di impedenza tra schermi e campo. Per una sorgente a bassa impedenza
questa differenza è relativamente piccola, e le efficienze di schermaggio corrispondenti sono quindi
limitate.
Sorgenti a bassa impedenza possono essere efficacemente schermate da schermi larghi,
come quelli realizzati con materiali ferromagnetici, in quanto la piccola riflessione è compensata
dalla attenuazione nello schermo.
L’approssimazione che conduce alle (79,80) porta ad avere SE = SM in putti i punti
dopo lo schermo (purché sostanzialmente alla stessa quota del punto A). Ne segue che il campo
dopo lo schermo puó anche essere calcolato direttamente dalle (22) o (65) (rispettivamente per
un dipolo elettrico o magnetico), a patto di ridurre l’ampiezza del dipolo (o della corrente) della
efficienza di schermaggio in campo.
ZW E ≃ −j
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