TENSIONE SUPERFICIALE
La tensione superficiale è un fenomeno alla cui esistenza possiamo risalire
dall'osservazione di molti fatti sperimentali.
Ad esempio una goccia d'olio d'oliva, posta in una miscela di acqua e alcool di densità
eguale a quella dell'olio, assume una forma sferica. La goccia può essere deformata con
piccole sollecitazioni, ma appena abbandonata a se stessa riassume la forma sferica.
L'esperienza mostra inoltre che la superficie libera di un liquido, in prossimità dei bordi del
recipiente che lo contiene, assume una concavità verso l'alto o verso il basso, con un
angolo di raccordo che dipende dal liquido e dal materiale con cui è fatto il recipiente.
Numerosi altri esempi potrebbero essere ricordati, come il galleggiamento degli insetti
sulla superficie dell'acqua o le bolle di sapone.
Consideriamo il liquido contenuto nel recipiente di fig.1. Fra le molecole di un liquido
agiscono delle forze di coesione (attrattive), più deboli di quelle che impongono ai solidi
una forma propria, ma più forti di quelle che permettono ai gas di assumere la forma e il
volume del recipiente che li contiene. I liquidi infatti hanno un volume proprio, ma
assumono la forma del recipiente che li contiene; tuttavia, in alcuni casi la superficie libera
del liquido, a causa di tali forze di coesione, assume una forma propria.
In figura 1 su ogni molecola agiscono forze attrattive (di coesione) dovute a tutte le
molecole vicine, forze che decrescono rapidamente con l'aumentare della distanza. In
particolare ogni molecola viene attratta dalle molecole che si trovano entro la sfera di
azione molecolare (il cui raggio massimo
è di circa 100 nm).
Le due molecole in figura, la cui sfera di
a r ia
azione è completamente interna al
liquido, sono in equilibrio perché è nulla
→
la risultante di tutte le forze che si
a cq u a
R
esercitano su di loro. Nel caso della
molecola in superficie una parte della
sfera d'azione delle forze di coesione si
trova in aria. E' evidente che su tale
molecola si esercitano anche forze
→
attrattive dovute alle molecole dell'aria
R=0
→
sovrastante (forze di adesione), ma tali
R=0
sono forze più deboli di quelle di
Fig.1
coesione; infatti nel disegno sono state
tracciate forze di intensità minore e con
sfera di azione di raggio minore (n.b.: la proporzione fra le lunghezze dei vettori in acqua e
in aria è arbitraria). Perciò, su tutte le molecole che si trovano in prossimità della superficie
libera del liquido la risultante delle forze attrattive è diversa da zero come mostrato in
figura 1: le molecole all'interfaccia liquido-aria sono attirate verso l'interno del liquido e
per portare molecole in superficie è necessario compiere lavoro. Esiste in sostanza una
tensione superficiale che tende ad opporsi ad ogni aumento della superficie libera del
liquido, che quindi assume all' equilibrio
una forma caratterizzata dalla minima area e
dalla minima energia potenziale.
Un esperimento che mette in evidenza la
direzione e il verso delle forze dovute alla
tensione superficiale è descritto in fig.2:
a
b
Fig.2
1
sulla lamina liquida delimitata dal telaietto rigido viene posato un leggero filo chiuso ad
anello, e ripiegato in modo qualsiasi (a); con uno spillo si rompe la membrana racchiusa
dal filo, che subito assume forma circolare (b). Ora all'interno della circonferenza si trova
l'aria ed all'esterno la lamina liquida che evidentemente tiene teso il filo con forze dirette e
orientate come indicato in figura (tangenti alla lamina liquida, dirette perpendicolarmente
al contorno e orientate verso la lamina stessa).
Per definire operativamente la tensione superficiale possiamo ricorrere a un telaietto con
un lato scorrevole (fig.3) sul quale sia stata depositata una lamina liquida molto sottile.
A
A
l
l
F
B
B
b)
a)
F
∆x
Fig.3
Il lato AB di lunghezza l può scorrere liberamente sul telaietto rigido e la forza F applicata
è necessaria per equilibrare le forze di tensione superficiale e quindi per mantenere
invariata la superficie della lamina liquida (fig.3a). A parità di area del telaietto, variando
la lunghezza del lato scorrevole, si vede sperimentalmente che la forza necessaria per
mantenere l'equilibrio varia in maniera direttamente proporzionale ad l, mentre
mantenendo costante l e variando la superficie della lamina la forza F non cambia.
Aumentiamo ora di una quantità infinitamente piccola e per un intervallo di tempo
infinitamente breve l'intensità della forza F in modo da mettere in movimento il lato
mobile AB e manteniamolo poi in movimento con velocità costante riportando la forza al
valore F che equilibra le opposte forze di tensione superficiale; se AB si sposta di un tratto
∆x, la superficie della lamina aumenta di ∆s = 2l ∆x (il fattore 2 sta ad indicare che la
lamina liquida ha due facce e che la superficie di ciascuna aumenta di l ∆x) ed il
corrispondente lavoro è ∆L = F∆x.
E' evidente che aumentando ∆S aumenta ∆L: sperimentalmente si trova che le due
grandezze sono direttamente proporzionali; sarà quindi:
1)
τ = ∆L
∆S
I1 coefficiente di proporzionalità τ prende il nome di tensione superficiale.
Esso rappresenta il lavoro necessario per l’aumento unitario di superficie della lamina
(oppure l’energia potenziale dell’unità di superficie libera) e nel sistema S.I. si misura in
J/m2.
Ricordando che ∆L = F∆x e ∆S = 2l ∆x si può anche scrivere:
F∆x = τ.2l ∆x
da cui si ottiene:
2)
τ = F / 2l
2
Quindi la tensione superficiale si può anche definire come la forza agente per unità di
lunghezza del contorno della lamina e nel sistema S.I. si misura in N/m. Dall'esperimento
descritto in fig.2 si nota che tale forza è tangente alla superficie libera del liquido e
perpendicolare al contorno.
Tornando alla figura 1 è chiaro che la tensione superficiale di un liquido all'interfaccia di
due mezzi dipende dalla natura di entrambi i mezzi, infatti, considerando di nuovo la
molecola in superficie, la risultante delle forze che attira tale molecola verso l'interno del
liquido dipende sia dalle forze di coesione (che si esercitano fra le molecole del liquido) sia
dalle forze di adesione (che si esercitano fra le molecole del liquido e quelle del mezzo con
cui il liquido si trova a contatto, aria in questo caso).
La tensione superficiale di un liquido diminuisce all'aumentare della temperatura e può
cambiare notevolmente se nel liquido sono presenti anche solo piccole tracce di sostanze
disciolte. Per es. l'acqua saponata ha una tensione superficiale inferiore a quella dell'acqua
pura: per questa ragione si ottengono facilmente lamine e bolle di acqua saponata, mentre
con acqua pura esse si rompono subito per l'elevato valore di τ.
Le sostanze che in soluzione abbassano la tensione superficiale del solvente sono dette
"tensioattive". Sono di questo tipo i saponi, gli alcool, gli idrocarburi e le proteine.
Anche la diversa miscibilità di due liquidi, dipende dalla loro tensione superficiale. In due
liquidi completamente miscibili tra loro, l'energia superficiale delle superfici di contatto è
infatti uguale a zero, mentre è notevolmente elevata se i liquidi non sono miscibili, come
per esempio nei miscugli acqua/olio. In questo caso la miscibilità può essere favorita
facendo intervenire all'interno dei liquidi delle altre forze, per esempio di tipo centrifugo o
elastico, che si ottengono rispettivamente per centrifugazione o per irraggiamento con
ultrasuoni.
Questi metodi sono utilizzati nella preparazione delle emulsioni ed in molte tecniche
industriali per la detergenza di superfici, la formazione di schiume, la flottazione ecc.
Formula di Laplace
Molti fenomeni di cui è responsabile la tensione superficiale trovano la loro spiegazione
nel fatto che quando la superficie limite non è piana, la risultante delle forze dovute alla
tensione superficiale è normale a tale superficie ed è orientata verso il centro di curvatura.
Questo si può dimostrare facilmente se la superficie limite è sferica, sia nel caso di una
lamina liquida (goccia, bolla di sapone), che nel caso di una membrana elastica
(palloncino) .
3
Consideriamo un punto P di una
superficie limite di forma sferica in
equilibrio ed immaginiamo attorno ad
esso una calotta sferica S (fig.4). Sulla
circonferenza limite della calotta sono
evidentemente applicate le forze dovute
alla tensione superficiale, in direzione
tangente alla superficie sferica e
O
perpendicolare al contorno della calotta
sferica: ciascuna di queste forze ha una
componente diretta secondo il raggio OP
della sfera e una perpendicolare ad esso.
Le componenti perpendicolari ad OP
hanno risultante nulla perché sono a due
Fig. 4
a due eguali ed opposte; le altre hanno
invece una risultante diversa da zero, diretta verso il centro della sfera e come tale
perpendicolare in P alla calotta. In sostanza, per effetto della tensione superficiale, la
calotta è sollecitata verso il centro della sfera cui appartiene.
Quindi le forze di tensione superficiale hanno in ogni punto della superficie sferica una
componente diretta verso il centro della sfera e l' equilibrio per un dato raggio della lamina
sferica è assicurato da una sovrappressione ∆p esistente all'interno della sfera rispetto
all'esterno (le forze dovute alla sovrappressione sono dirette dall'interno verso l'esterno).
[L'esistenza della sovrappressione fra l'interno e l'esterno della sfera è chiaro se si pensa
che per gonfiare un palloncino o una bolla di sapone è necessario soffiare].
La legge di Laplace definisce la relazione che lega la tensione superficiale della lamina alla
sovrappressione all'interno della sfera ed al raggio della sfera.
Consideriamo una superficie limite di forma sferica (ad esempio una goccia di liquido) e
teniamo presente che all'equilibrio la risultante delle forze sull' interfaccia acqua/aria deve
essere nulla. Immaginiamo di tagliare la sfera mediante un piano equatoriale: otteniamo
l'emisfero in figura 5.
P S
4
Fsi// =F sicosα
i
Fsi = p ∆Si
αi
P
Fsi = p ∆Si
∆Si
αi
r
∆Soi
pint
p=p int-pest
∆li
Fli = τ ∆l i
Fig. 5
Sul bordo circolare di raggio r agiscono le forze di tensione superficiale esercitate dall'altro
emisfero: su ciascun tratto ∆l si esercita una forza Fli=τ∆li; la risultante di tali forze è:
3)
Fl = τ Σ∆li = τ2πr
A questa forza fa equilibrio una forza dovuta alla differenza tra la pressione interna e la
pressione esterna: p=pint-pest. Dividiamo la superficie emisferica in tante superfici
elementari ∆Si, abbastanza piccole da poter essere ritenute piane e fissiamo la nostra
attenzione su due di esse diametralmente opposte. Il modulo della forza che si esercita su
ciascuna delle superfici considerate è Fsi=p∆Si. E' chiaro che le forze sulle singole piccole
superfici hanno direzioni diverse; scomponiamo ciascuna forza nelle sue componenti
perpendicolare e parallela al raggio disegnato. Le componenti perpendicolari al raggio si
annullano, mentre le componenti paralleli si sommano.
Il modulo di ogni componente parallela è:
F si =Fsicosαi = p∆Si cosαi
e, notando che ∆Si cosαi è uguale a ∆Soi, cioè uguale alla proiezione di ∆Si sul piano
equatoriale, si ottiene la risultante:
4)
Fs=ΣFsi// =ΣFsicosαi =Σ p∆Si cosαi = pΣ∆Soi = pπr2
All'equilibrio R=0, cioè Fl=Fs:
τ•2πr=pπr2 da cui
5)
p = 2τ/r
che è la formula di Laplace. Essa dice che la pressione che per effetto della tensione
5
superficiale si esercita su una superficie limite curva (diretta lungo il raggio verso il centro
della stessa superficie) è inversamente proporzionale al raggio di curvatura di tale
superficie. Tale pressione è equilibrata da una sovrappressione p=pint-pest diretta in verso
opposto. Ovviamente p e τ sono inversamente proporzionali solo se la tensione superficiale
non varia al variare del raggio, circostanza che non è sempre vera (ad esempio τ non è
costante nel caso degli alveoli polmonari).
La (5) è valida per bolle liquide piene come ad esempio una goccia di acqua o di mercurio;
nel caso di una bolla di sapone che è vuota al suo interno, essa diventa p = 4τ/r perché
bisogna tener conto non solo della superficie esterna, ma anche della superficie interna.
Inoltre per una membrana elastica di forma elissoidale si ha:
6) p = τ/r1 + τ/r2
dove r1 ed r2 sono i raggi delle sezioni principali. Per le membrane di forma cilindrica,
quando uno dei raggi può essere ritenuto infinitamente grande (come nel caso dei vasi
sanguigni) si ha:
7)
τsa
τs l
τsa
p = τ/r
τl a
Forze di contatto
Quando un liquido è contenuto in
un recipiente, le sue molecole
τs l
α
sono attratte verso le pareti da una
forza detta di adesione. Allo stesso
tempo esse sono soggette anche
alle forze di coesione che le
tengono legate al liquido stesso.
Fig.7
Quando le forze di adesione
Fig.6
superano quelle di coesione, il
liquido bagna le pareti del recipiente e la superficie libera mostra una concavità rivolta
verso l'alto come si vede in fig. 6; è questo il caso dell'acqua a contatto con il vetro.
Quando invece le forze di adesione sono minori di quelle di coesione, ed è questo il caso
del mercurio a contatto con il vetro, il liquido non bagna le pareti del recipiente e la
concavità è rivolta verso il basso (fig.7). L'angolo α formato fra la parete del recipiente e la
tangente alla superficie del liquido nel punto di contatto con la parete prende il nome di
angolo di raccordo. Per un dato liquido e per un dato materiale del recipiente esso assume
un valore costante; nel caso di contatto acqua-vetro è α = 25°. Il fenomeno si spiega
ammettendo l'esistenza, lungo la linea di contatto dei tre mezzi, di tre tensioni superficiali:
aria-liquido τla, aria-solido τsa e liquido-solido τsl.
τl a
α
In condizioni di equilibrio, lungo la verticale deve essere:
8)
τsa = τsl + τla cos α come si ricava dalle fig. 6 e 7.
Se τls > τsa allora cosα deve essere negativo e quindi α > 90° (fig. 7), come nel caso del
6
mercurio. Se invece τls < τsa allora cosα è positivo e quindi α < 90°, come nel caso
dell'acqua (fig. 6).
Si spiega così perché quando cade del mercurio su una lastra di vetro si formano tante
piccole gocce, magari distorte per effetto della forza di gravità, ma con superfici di contatto
mercurio-vetro ridotte al minimo. Il contrario succede invece per l'acqua, le cui gocce su
una lastra di vetro si espandono il più possibile rendendo grande la superficie di contatto
acqua-vetro.
Capillarità
Quando le forze di adesione superano quelle di coesione, il liquido contenuto in un
tubicino sottile, aperto alle due estremità, sale ad una certa quota h rispetto al livello dello
stesso liquido contenuto in una bacinella nella quale il tubicino si trovi immerso (fig. 8a); il
contrario succede se le forze di adesione sono più piccole di quelle di coesione (fig. 8b).
Questi effetti prendono il nome di effetti di capillarità.
Il valore di h si può facilmente calcolare.
Consideriamo il caso in cui il liquido bagna la parete: in figura 8a, è mostrato molto
ingrandito un capillare tanto sottile da consentire al menisco di assumere la forma di una
calotta sferica di raggio r e con angolo di contatto α. Indicando con R il raggio del tubo
capillare e considerando l'inserto di fig.8 (ingrandimento dell'interfaccia liquido-aria nel
capillare di fig.8a) si vede che:
9)
cosα = R/r
A
α
r
B
α
R
h
α
C
D
h
Fig.8a
Fig.8b
Sappiamo che per la legge di Laplace la caduta di pressione fra i punti A (in aria) e B (nel
liquido), entrambi in prossimità dell'interfaccia, è 2τ/r, dove r è il raggio di curvatura della
superficie. Inoltre l'aumento di pressione fra i punti B e C è ρgh. E' evidente che la
pressione nei punti A, C e D è la stessa ed è uguale alla pressione atmosferica; perciò la
caduta di pressione tra i punti A e B deve uguagliare l'aumento di pressione fra i punti B e
C (poiché la differenza di pressione fra i punti A e C è zero):
10)
2τ/r = ρgh
ricavando r dalla (9) e risolvendo rispetto ad h si ottiene la legge di Jurin:
7
10)
h=
2 τ cos α
ρgR
Quando la forza di adesione è minore di quella di coesione (fig.8b) vale ancora la (10), ma
con un valore negativo di h perché α > 90° e cos α < O. L'altezza a cui si porta il liquido è
in definitiva inversamente proporzionale al raggio del tubo capillare.
In alternativa, si può considerare la condizione di equilibrio fra la forza verticale dovuta
alla tensione superficiale sul contorno del menisco e la forza peso della colonnina liquida:
τ cosα⋅ 2πr = ρπR2hg da cui:
h=
2 τ cos α
ρgR
Se il capillare è molto sottile e il liquido bagna perfettamente la parete il menisco é
emisferico, l'angolo di contatto è uguale a zero e la (10) diventa:
h=
2τ
ρgR
8
SOLUZIONI
Una soluzione è una miscela fisicamente omogenea costituita da due o più
sostanze, le cui relative quantità possono variare con continuità entro certi limiti. In genere
si considera uno dei componenti della soluzione come solvente e l'altro (o gli altri) come
soluto (o soluti). Bisogna osservare che questa distinzione non indica una effettiva
differenza funzionale fra i componenti.
Di solito viene chiamato "solvente" il componente a concentrazione maggiore e
"soluto" quello a concentrazione minore e si parla di soluzione del soluto nel solvente.
La distinzione fra soluto e solvente diventa significativa nel caso di due sostanze
che allo stato puro si trovano in stati fisici diversi. Si assegna allora il nome di solvente al
componente che conserva nella soluzione lo stato fisico proprio dello stato puro.
Sono comuni le soluzioni in cui un gas è miscelato ad un altro gas (ad esempio
l'aria), e le soluzioni di un solido in un liquido, di un liquido in un liquido, di un gas in un
liquido; ne sono esempio rispettivamente una soluzione di zucchero in acqua, di alcool in
acqua, di ossigeno e anidride carbonica in acqua.
Consideriamo ora una soluzione di due o più componenti definiamo concentrazione
c di un suo componente il rapporto fra la massa m di tale componente e il volume V del
solvente o della soluzione:
c = m/V .
l'unità di misura della concentrazione nel sistema internazionale é Kg/m3, ma molto
spesso si usa:
a)
la molalità, ovvero il numero di moli di soluto per kg di solvente;
b) la molarità, cioè il numero di moli di soluto per litro di soluzione;
c)
la frazione molare, cioè il rapporto fra il numero di moli di soluto ed il numero di
moli totali della soluzione.
DIFFUSIONE E LEGGE DI FICK
Nei liquidi e nei gas le particelle (atomi, molecole e ioni) sono libere di muoversi
in tutto il volume occupato dal fluido.
Questo moto avviene a zig-zag a causa
dei continui urti e la energia cinetica media
dipende dalla temperatura assoluta.
Se due liquidi miscibili, inizialmente
separati da un setto, sono messi a contatto si
c2
osserva la diffusione di un liquido nell'altro:
più o meno velocemente i due liquidi
∆x
finiscono per mescolarsi.
s
Il fenomeno può essere favorito dai
c1
c 1 > c 2 seguenti fattori:
1)
scosse meccaniche o vibrazioni;
2)
gradienti termici che determinano delle
Fig.1
correnti convettive;
9
3)
agitazione termica delle molecole.
Si parla di diffusione quando il fenomeno avviene esclusivamente a causa
dell'agitazione termica.
In una soluzione, ogni componente diffonde spontaneamente verso zone in cui si
trovi a concentrazione minore; il fenomeno evolve verso una situazione di equilibrio, in
cui la concentrazione è la stessa in ogni punto ed il flusso netto, attraverso una qualsiasi
superficie ideale in seno alla soluzione, è nullo.
Nel recipiente schematizzato in fig. 1 è contenuta una soluzione non in equilibrio.
Consideriamo uno strato ideale di sezione S e spessore ∆x; siano c1 e c2 le
concentrazioni della sostanza che diffonde ai due lati dello strato ∆x. Se c1 > c2, la massa
di soluto che passa per diffusione nel tempo ∆t, attraverso lo strato considerato, è:
∆m = D
c1 - c2
dove
∆c = c 2 - c 1 = (1)
∆x
∆m = -D ∆c S ∆t
∆x
S ∆t
c1 - c2
MS =
∆m
S∆t
=-D
∆c
(legge di Fick)
∆x
dove MS è il flusso di diffusione e D è il coefficiente di diffusione. Nel sistema
C.G.S. tale coefficiente rappresenta la quantità di sostanza espressa in grammi che
attraversa la superficie di 1 cm2 in un secondo, quando la concentrazione varia di un
grammo per cm3 in un cm. Il coefficiente di diffusione dipende dalla sostanza che
diffonde, dalla viscosità del solvente, dalla temperatura e, se la diffusione avviene
attraverso una membrana permeabile, dipende anche dal tipo di membrana.
Notiamo che l'agitazione termica non è orientata (tutte le direzioni hanno la stessa
probabilità) mentre la diffusione è orientata.
Cerchiamo quindi di esprimere la legge di Fick in forma vettoriale.
La concentrazione è una grandezza scalare, il gradiente di concentrazione è, per
definizione, un vettore che ha modulo ∆c/∆x, direzione quella in cui la variazione di
concentrazione per unità di lunghezza è massima, verso quello delle concentrazioni
crescenti, quindi ∆m/S∆t è il modulo del vettore flusso M S , definito come:
(2)
M S = - D grad c
Il flusso di diffusione è orientato verso le concentrazioni decrescenti quindi ha la
stessa direzione del gradiente di concentrazione e verso opposto.
La diffusione non concerne solo il soluto; anche il solvente diffonde a causa di un
gradiente di concentrazione. Alla diffusione del soluto corrisponde quella del solvente con
verso opposto: i due flussi di diffusione espressi in volumi per secondo sono uguali.
Diffusione attraverso una membrana
Se la diffusione avviene attraverso una membrana permeabile di spessore δ il
flusso, ricordando la (1), diventa:
10
MS = − D
∆c
= − p ∆c,
δ
p =
D
δ
dove con p abbiamo indicato la permeabilità della membrana per la sostanza considerata.
E' opportuno aggiungere che tutte le sostanze in soluzione attraversano le
membrane con una velocità molto più bassa di quella con cui diffondono nell'acqua. La
velocità di diffusione attraverso una membrana varia molto da un soluto ad un altro; per
certe grosse molecole ad esempio il coefficiente di diffusione può essere nullo attraverso
membrane i cui pori non siano abbastanza grandi: tali membrane risultano allora
impermeabili a quelle molecole e si comportano come membrane selettive.
Occorre tuttavia precisare che non si può ridurre il discorso della permeabilità
selettiva ad un paragone fra dimensioni delle molecole e dimensioni dei pori.
Vi sono problemi infatti di affinità chimiche fra membrane e molecole diffondenti.
Inoltre, data la struttura a dipolo permanente delle molecole d'acqua, c'è un fenomeno di
idratazione ionica e molecolare o solvatazione: per esempio lo ione Li dovrebbe essere
circondato da 15 molecole di acqua, Na da 8, K da 4 ecc.
Così è il diametro degli ioni solvatati che influisce sulla loro mobilità attraverso la
membrana.
Quando una membrana è selettiva, la diffusione si complica con fenomeni che non
esistono in diffusione libera e che sono gli effetti osmotici.
OSMOSI E PRESSIONE OSMOTICA
Consideriamo la situazione sperimentale schematizzata in figura 2: un recipiente B
contenente una soluzione acquosa è immerso in un recipiente A contenente acqua
distillata.
Il recipiente B ha il fondo costituito da una membrane semipermeabile, permeabile
cioè alle molecole d'acqua ma non a quelle del soluto, e termina superiormente in una
canna manometrica.
Inizialmente il livello della soluzione in B e quello del solvente puro nel recipiente
esterno A coincidono.
Sperimentalmente vediamo però che il sistema non è in equilibrio: infatti c'è un
flusso netto spontaneo di solvente attraverso la membrana dal recipiente A al recipiente B,
con conseguente diluizione della soluzione ed innalzamento del livello nella canna
manometrica (é evidente che dei due flussi di diffusione discussi nel paragrafo precedente,
il primo, quello del soluto, é bloccato dalla membrana semipermeabile, ma il secondo,
quello dell'acqua, avviene normalmente). Questo fenomeno è detto "osmosi" ed evolve in
tempi anche molto lunghi verso una condizione di equilibrio.
Infatti, il livello della soluzione nel recipiente B aumenta via via, creando una
pressione idrostatica addizionale che si oppone alla osmosi. Per un certo dislivello h, la
pressione idrostatica raggiunge un valore ρ gh, in corrispondenza del quale la osmosi si
interrompe: da questo istante il flusso netto attraverso la membrana diventa nullo.
Poichè il sistema è in equilibrio, è necessario che tale pressione idrostatica sia
bilanciata da un'altra pressione rivolta verso l'interno della soluzione, che indichiamo con
la lettera π e chiamiamo pressione osmotica.
In fig. 2 è schematizzata una situazione di equilibrio.
11
p Α + ρgh
h
pΑ+π
B
p A + ρgh = p A +
A
π
π = ρgh
Fig. 2
A livello del setto semipermeabile, di cui a lato è ingrandito un poro, agiscono dall'alto
verso il basso una pressione pari alla somma della pressione atmosferica e della
sovrapressione idrostatica ρgh e dal basso verso l'alto una pressione pari alla somma della
pressione atmosferica e della pressione osmotica (le due superfici libere sono entrambe a
pressione atmosferica).
E' chiaro che una volta raggiunto l'equilibrio il dislivello misura la pressione
osmotica di una soluzione più diluita di quella originale. Si può rendere questa diluizione
trascurabile utilizzando un tubo di diametro molto piccolo per l'ascensione del liquido.
In queste condizioni, si può dire che la pressione idrostatica dovuta al dislivello,
misura la pressione osmotica della soluzione primitiva
(4)
π = ρ gh
E' questo il principio su cui si basa il funzionamento degli osmometri.
Van't Hoff studiò sperimentalmente il fenomeno della osmosi e stabilì per soluzioni
diluite e ideali, alcune leggi che così possiamo riassumere:
i
La pressione osmotica, ad una data temperatura, è proporzionale alla
concentrazione espressa come numero di moli di soluto per unità di volume della soluzione
c = n/V;
ii
La pressione osmotica è proporzionale alla temperatura assoluta T:
π = R T c = nRT
V
dove R è la costante dei gas perfetti.
iii
A uguale temperatura, soluzioni contenenti lo stesso numero di particelle, (atomi,
molecole, ioni) di soluto nello stesso volume di soluzione, hanno uguale pressione
osmotica.
La legge si può scrivere:
(5)
πV = n R T
equazione analoga a quella dei gas perfetti.
12
Questa analogia non deve far pensare ad una identità di fenomeni fisici: il soluto
infatti è allo stato liquido e non gassoso, inoltre la nozione di pressione osmotica ha senso
solo in caso di opposizione effettiva della soluzione al suo solvente attraverso una
membrana semipermeabile.
La pressione osmotica di una soluzione è comunque "numericamente" uguale alla
pressione che eserciterebbero le particelle del soluto, se occupassero, allo stato gassoso, il
volume a disposizione della soluzione.
E' da notare che se una sostanza in soluzione si dissocia in ioni, bisogna introdurre
il coefficiente di dissociazione elettrolitica, che è il numero di ioni in cui si dissocia in
media una molecola di soluto (σ = 1 se la sostanza non si dissocia)
πV = σ n R T
(6)
L'effetto osmotico è quindi raddoppiato per gli elettroliti forti in soluzione diluita
(es. NaCl, σ = 2).
La pressione osmotica si può misurare in atmosfere o in N/m2 o in dine/cm2.
L'unità di misura più usata è la osmolarità: una soluzione si dice osmolare quando
esercita la stessa pressione osmotica esercitata da una soluzione molare di una sostanza
non elettrolitica (σ = 1), a 0 °C.
Oltre alla osmolarità si usa spesso anche la osmolalità.
Per semplificare notiamo che: una soluzione che ha molarità uguale a 1, ha anche
osmolarità uguale a 1, se il soluto non è dissociato; una soluzione che ha molalità uguale a
1, ha anche osmolalità uguale a 1, se il soluto non è dissociato.
Se la costante di dissociazione è σ ≠ 1, la osmolarità è la osmolalità si ottengono
moltiplicando per σ il numero che esprime rispettivamente la molarità e la molalità della
soluzione.
Per chiarire meglio il concetto precisiamo che una osmole è data da 6,023 • 1023
particelle siano esse molecole, atomi o ioni. Ad una mole di soluto corrispondono σ osmoli
dello stesso soluto, se σ è la costante di dissociazione elettrolitica.
La osmolarità è quindi il numero di osmoli di soluto per litro di soluzione, la
osmolalità è il numero di osmoli di soluto per Kg di solvente.
Ricordando che la legge di Vant' Hoff è πV = n R T, calcoliamo ora quanto vale in
2
N/m e in atmosfere la pressione osmotica di una soluzione la cui osmolarità sia unitaria.
Se la soluzione è osmolare, n/V = 1 osmole/litro = 103 osmoli/m3, T = 273 °K, R =
8,31 Joule/mole °K
π0 =
nRT
= 10
23
•
8,31
•
273 = 2,269
10
6
N/ m
2
V
sapendo che 1 atm = 1,013 • 105 N/m2
π0 = 22,4 atmosfere.
Questo significa che una soluzione ideale di osmolarità 1 (contenente perciò 6,023
23
• 10 particelle disciolte per litro di soluzione) opposta al suo solvente attraverso una
membrana semipermeabile sviluppa secondo la legge di Vant'Hoff a 0 °C una pressione
13
osmotica di 22,4 atmosfere. Ricordiamo però che questa legge vale per soluzioni ideali e
che le soluzioni reali hanno un comportamento previsto dalla legge di Vant' Hoff solo se
sono molto diluite.
Come esempio applichiamo la legge di Vant' Hoff al plasma:
poichè le particelle per litro di soluzione sono ~ N/3, se il plasma fosse opposto all'acqua
attraverso una membrana semipermeabile svilupperebbe una pressione osmotica
(7)
π = 22,4/3 = 7,43 atmosfere.
Più comunemente si dice che il plasma è circa 0,3 osmolare. (Il dosaggio chimico dà N/3
particelle di soluto per litro di soluzione del plasma, il valore calcolato della pressione
osmotica (7) é tuttavia maggiore del valore misurato, che é =0.296 osmoli, valore usato per
determinare la concentrazione delle soluzioni isotoniche con il plasma. Questa differenza
non deve stupire, perché il plasma non é una soluzione ideale)
Aggiungiamo ancora che se in una soluzione sono contenuti diversi tipi di soluto
per cui la membrana è impermeabile si ha:
π = π1 + π2 + .....+ πi +.......... + πn = Σσi Ci R T
dove con πi si indica la pressione osmotica che l'iesimo componente eserciterebbe se si
trovasse da solo nel volume della soluzione. Evidentemente una soluzione contenente più
componenti può avere più pressioni osmotiche corrispondenti a membrane differenti. Per
parlare correttamente di pressione osmotica di una soluzione occorre che essa sia opposta
al suo solvente attraverso una membrana selettiva e bisogna specificare qual'è il tipo di
membrana e per quali soluti essa è impermeabile. La parete dei capillari ad esempio è
permeabile oltre che all'acqua, anche agli acidi, ai sali e alle basi (cristalloidi) ed
impermeabile ai colloidi (le proteine del plasma).
Se di una soluzione è indicata la pressione osmotica, senza altra precisazione, si
intende considerare il caso in cui la soluzione è opposta al suo solvente attraverso una
membrana rigorosamente semipermeabile, cioè permeabile solo al solvente.
Due soluzioni sono isoosmotiche quando opposte al proprio solvente puro
attraverso una membrana rigorosamente semipermeabile, hanno la stessa pressione
osmotica.
Quando due soluzioni acquose sono separate da una membrana selettiva ed è
soddisfatta la condizione di equilibrio, per cui il flusso netto di solvente attraverso la
membrana è nullo, si dice che le due soluzioni sono isotoniche. Se non c'è equilibrio, il
flusso di solvente va dalla soluzione ipotonica a quella ipertonica.
I concetti di isoosmoticità e di isotonicità non sempre coincidono, perchè le
membrane biologiche non sono perfettamente semipermeabili, e per la isoosmoticità si
tiene conto di tutte le particelle di soluto presenti, mentre per la isotonicità si tiene conto
solo di quelle che non diffondono attraverso la membrana che separa le due soluzioni.
E' interessante quello che succede nel caso di cellule. Infatti cellule immerse in
soluzioni ipotoniche si gonfiano (turgore) anche fino alla rottura (lisi), mentre cellule
immerse in soluzioni ipertoniche si afflosciano (raggrinzimento).
Soluzioni isoosmotiche ed isotoniche con il plasma (a t = 37°C) sono ad esempio:
1)
2)
soluzioni di NaCl, 0.160 moli/l
soluzioni di Glucosio, 0.296 moli/l
σ = 1.86 (soluzione fisiologica)
σ=1
14
Le stesse soluzioni con concentrazioni minori provocano turgore delle emazie ed
anche emolisi ipotonica.
Dobbiamo aggiungere che se la concentrazione salina del plasma varia molto
lentamente non si ha crisi emolitica, perchè la membrana degli eritrociti è permeabile non
solo all'acqua, ma anche ai piccoli ioni e molecole, che l'attraversano però molto più
lentamente dell'acqua.
Come esempio di soluzione isoosmolare alla precedente ma non isotonica con il
contenuto delle emazie consideriamo una soluzione di urea a 20 g/l.
Le emazie immerse in essa vanno incontro ad emolisi immediata, perchè la loro
membrana è permeabile all'urea. Tale soluzione è quindi equivalente all'acqua pura dal
punto di vista della tonicità.
Concludiamo osservando che la pressione osmotica del plasma é stata prima calcolata
supponendo che una membrana rigidamente semipermeabile lo separi dall'acqua; tuttavia
la membrana dei capillari, che separa il plasma dal liquido interstiziale, é una membrana
selettiva permeabile all'acqua e a piccoli ioni e molecole (che insieme all'acqua fanno
quindi parte del solvente) ed impermeabile alle proteine, che si trovano nel plasma e non
nel liquido interstiziale. Sarebbe quindi logico pensare che la differenza di pressione
osmotica fra il plasma e il liquido interstiziale dipenda solo dalla concentrazione delle
proteine (pressione oncotica). Essendo la concentrazione delle proteine nel plasma di circa
1 mM/litro, mediante la legge di Van't Hoff si trova per la pressione oncotica il valore
π =19 mmHg, mentre il valore sperimentale é più alto di circa il 50%. Come vedremo più
avanti (equilibrio di Donnan Gibbs) per la presenza di elettroliti e di proteine in forma
ionica e per l'esistenza di un potenziale transmembranario, in condizioni di equilibrio la
concentrazione degli ioni che diffondono attraverso la membrana non é la stessa nel
plasma e nel liquido interstiziale; quindi anche gli ioni diffusibili contribuiscono alla
pressione oncotica elevandone il valore a π = 25 - 30 mmHg.
LA FILTRAZIONE
Se consideriamo due soluzioni acquose separate da una membrana semipermeabile,
il passaggio di acqua da una soluzione all'altra può avvenire per osmosi e per filtrazione.
Occupiamoci ora di quest'ultima.
15
Α
Β
Β
Α
h
cA > c B
cA > c B
πA> πΒ
πA> πΒ
a)
b)
Fig.3
Consideriamo due soluzioni acquose di diversa concentrazione nei rami A e B di
figura 3a, separate da una membrana semipermeabile; per il fenomeno dell'osmosi ci sarà
un flusso di solvente proveniente dalla soluzione a concentrazione minore (cB) verso
quella a concentrazione maggiore (cA). La quantità di acqua che attraversa la membrana
nell'unità di tempo è
∆M/∆t = k (πA - πB) = k' (cA - cB)
dove le costanti k e k' dipendono dal tipo di soluzione, dal tipo di membrana e dalla
temperatura. Come è noto l'aumento di pressione idrostatica dovuto all'innalzamento del
livello in A bilancia, all'equilibrio, la pressione osmotica. Infatti quando comincia ad
instaurarsi il dislivello dovuto alla differenza di pressione osmotica, il gradiente di
pressione idrostatica tra i compartimenti ai due lati della membrana semipermeabile
determina un flusso di solvente attraverso la membrana in verso opposto a quello dovuto
alla differenza di pressione osmotica. Dunque il flusso netto sarà:
∆M/∆t = k (πA - πB) - k (pA - pB) = k (∆π - ∆p)
e all'equilibrio dinamico si ha ∆M/∆t = 0 da cui segue che
∆π-∆p=0 e quindi ∆π=∆p.
Se si applica una pressione in A (fig. 3b) mediante uno stantuffo, può accadere che
il gradiente di pressione annulli gli effetti del gradiente di concentrazione (prima del
raggiungimento del dislivello raggiunto in assenza di pressione esterna) portando il sistema
all'equilibrio (flusso netto nullo) oppure determini addirittura un flusso nel verso opposto
cioè una filtrazione dei componenti, per i quali la membrana è permeabile, dalla soluzione
16
A alla soluzione B contro il gradiente di concentrazione.
Se ∆p>>∆π, la quantità di acqua che filtra nell'unità di tempo attraverso la
membrana vale
∆M/∆t = k(pA - pB)
(in questo caso il flusso dovuto al gradiente di concentrazione è trascurabile rispetto a
quello dovuto al gradiente di pressione idraulica). Occorre precisare che la quantità ∆M
può riferirsi anche ad una quantità di "acqua e soluto", se nella soluzione è contenuto un
tipo di soluto per il quale la membrana è permeabile. Le membrane biologiche, ad
esempio, possono permettere il transito anche ad un certo numero di piccoli ioni o
molecole come sodio, potassio, cloro, urea, ecc.
ESTREMO
VENOSO
∆p < ∆π
flusso dovuto a gradiente
di pressione idrostatica
ESTREMO
ARTERIOSO
flusso dovuto a
gradiente
di pressione osmotica
∆p > ∆π
Fig.4
Come esempio consideriamo la circolazione sanguigna nei capillari: la differenza di
pressione osmotica fra plasma e liquido interstiziale é ∆π = 25 - 30 mmHg, valore che può
essere stimato usando la legge di Van't Hoff e l'equilibrio di Donnan-Gibbs (come
vedremo in seguito). Affinchè ci sia una situazione di equilibrio (flusso netto nullo
attraverso la membrana), occorre che esista una differenza di pressione idrostatica ai due
lati dell'endotelio che per filtrazione faccia passare in senso inverso attraverso la
membrana la stessa quantità di acqua che passa per osmosi (ovvero ∆π =∆p). La pressione
idrostatica nei capillari é maggiore di quella nei tessuti: Pcapillari > Ptessuti (~ 0); tuttavia
la ∆P varia da circa 40 a circa 20 mmHg passando dall'estremità arteriosa a quella venosa
dei capillari. Dunque all'estremità arteriosa si ha ∆P > ∆π (∆P = 40 mmHg e ∆π = 25 - 30
mmHg) perciò c'é un flusso netto di solvente verso i tessuti (ultrafiltrazione); all'estremità
venosa ∆P < ∆π, per cui c'é flusso netto di solvente verso l'interno dei capillari
(riassorbimento). Si instaura quindi una microcircolazione di solvente attorno ai capillari,
che trasferisce sostanze nutritive dal sangue ai tessuti e sostanze di scarto dai tessuti al
sangue, mantenendo nullo il flusso netto complessivo lungo tutto il capillare. Se
l'equilibrio descritto dovesse rompersi si avrebbero notevoli alterazioni come ad esempio
l'edema.
17
LAVORO DI CONCENTRAZIONE - POTENZIALE CHIMICO
Consideriamo il sistema in equilibrio in
figura 5, formato da due soluzioni con soluti
non elettroliti, aventi la stessa concentrazione
(c1 = c2) e separate da una membrana
semipermeabile. E' facile convincersi che per
Α
Β
far passare solvente dall'una all'altra soluzione e
quindi per concentrare una della due soluzioni e
c1
c2
diluire l'altra occorre compiere un lavoro contro
le forze di pressione osmotica (lavoro
osmotico).
Fig.5
Se, ad esempio, esercitiamo una pressione sulla
superficie libera della soluzione contenuta nello
scomparto A, otteniamo un flusso di solvente da A a B, quindi una riduzione di volume in
A con aumento della concentrazione c1 e diminuzione della concentrazione c2.
In analogia con la termodinamica consideriamo positivo il lavoro fatto dal sistema
verso l'esterno e pensiamo che concentrare una soluzione equivale a comprimere un gas.
Immaginiamo di provocare una variazione ∆Vi di volume talmente piccola da poter
ritenere costante la pressione osmotica. Il lavoro di concentrazione sarà Li = π∆Vi e sarà
negativo perché il volume va diminuendo. Riscrivendo l'equazione (6) per un soluto non
dissociato: πV = nRT, sommando il lavoro di tutte le microvariazioni di concentrazione e
passando al limite per ∆Vi→ 0 si ottiene:
L = lim
∆V i →0
Σi πi ∆Vi = ∆Vlim→0Σi
= nRT ⋅ln
i
V2
= nrT ⋅ln
V1
π1
π2
nRT
Σi
∆Vi = nRT ⋅lim
∆V →0
i
Vi
= nrT ⋅ln
c1
c2
∆Vi
=
Vi
= nRT ⋅ln c 1 - nRT ⋅lnc 2
Poiché il lavoro osmotico dipende solo dalle concentrazioni iniziale e finale,
tenendo presenti le analogie meccaniche ed elettriche, si definisce differenza di potenziale
chimico il lavoro necessario per trasportare una mole da un punto in cui la concentrazione
è c1 ad un punto in cui la concentrazione è c2 contro un gradiente di concentrazione:
definiamo perciò, a meno di una costante, il potenziale chimico µ :
µ = RT 1n C + µ0
dove µ0 è una costante che dipende dal tipo di soluto e di solvente
Si ottiene
L=µ1-µ2 = - ∆µ
In una situazione di equilibrio i potenziali chimici sono uguali (µ1 = µ2), essendo
18
C1 = C2 , quindi L = 0.
LEGGE DI NERNST
Consideriamo ora una membrana biologica ed analizziamone il funzionamento (figura 6).
Per definizione essa separa lo spazio in due domini distinti: liquido interstiziale e
liquido intracellulare.
.
liquido
intracellulare
liquido interstiziale
E
K+
Cl -
+
+
+
+
K+
Cl -
c 1 >c 2
Fig. 6
Sperimentalmente si misura tra questi due domini una differenza di potenziale [potenziale
di stato stabile della membrana, Vm = - 90 mV (interno negativo, esterno positivo), se si
tratta di una membrana muscolare]. Per capire come sia possibile la presenza di tale d.d.p.
in condizioni di equilibrio, prendiamo in considerazione una soluzione elettrolitica di
cloruro di potassio (KCl). Facciamo ora l'ipotesi che la membrana permetta il passaggio
dello ione K+ (che è più piccolo), ma non di quello Cl- e supponiamo che C1 > C2 (fig.6) ;
ne segue che il potassio tenderà a diffondere verso la parte con concentrazione minore e
questo flusso di cariche positive attraverso la parete creerà una asimmetrica distribuzione
di carica responsabile della d.d.p. in questione. Di più: questa stessa d.d.p. costituisce una
barriera di potenziale all'ulteriore diffusione del potassio e fa evolvere l'intera situazione
verso l'equilibrio, quando il flusso di ioni potassio dovuto al gradiente di potenziale
elettrico diviene uguale e opposto al flusso di ioni potassio dovuto al gradiente di
concentrazione. Il valore stesso della differenza di potenziale all'equilibrio è un indice di
quanto grande fosse la differenza di concentrazione all'inizio del processo.
Ora, per fare delle ulteriori considerazioni quantitative, occorre ricordare che il
lavoro osmotico ed il potenziale chimico sono stati calcolati per un soluto non dissociato.
Quando sono presenti degli ioni sottoposti all'azione di un campo elettrico è necessario
tener conto anche dell'energia potenziale elettrica: come si può vedere in figura 6, il
potenziale elettrico varia in modo opposto a quello chimico, in altre parole se µ1 > µ2 ,
perchè C1 > C2, allora V1 < V2, come risulta dal verso del vettore campo elettrico.
Nasce così il concetto di potenziale elettrochimico µel:
µel = µc + Vel
19
dove Vel è l'energia potenziale elettrica per grammoione e µc è il potenziale
elettrochimico:
Vel = V Qmole = ZeNV = VZF
essendo Z la valenza degli ioni, 'e' la carica elementare, N il numero di Avogadro, V il
potenziale elettrico e F = 96.300 C la costante di Faraday.
Dunque
µel = µc + VZF = µo + RT 1n c + VZF.
L = µel1 - µel2 = (RT 1n c1 + V1ZF) - (RT 1n c2 + V2ZF).
All'equilibrio i due potenziali devono essere uguali (L=0):
RT 1n c1 + V1ZF = RT 1n c2 + V2ZF
RT 1n c1 - RT 1n c2 = ZF (V2 - V1) e
RT 1n (c1/c2) = ZF (V2 - V1)
L'ultima relazione può essere messa nella forma
c
V2 - V1 = RT .1n 1
c2
ZF
che prende il nome di legge di Nernst.
Torniamo ora alla nostra membrana biologica e scriviamo (ponendo: 1 = est, 2 =
int)
Vint - Vest =
RT cest
1n
ZF cint
dove Vint - Vest = Vm è il potenziale di membrana (negativo nello stato stabile ):
Vm =
RT cest
1n
.
ZF cint
In condizioni di equilibrio il potenziale di stato stabile della membrana è negativo
all'interno, dove sono presenti ioni negativi che non diffondono attraverso la membrana, e
positivo all'esterno (E' chiaro che essendo Vm negativo gli ioni positivi avranno
concentrazione maggiore all'interno e gli ioni negativi all'esterno).
20
EQUILIBRIO DI DONNAN-GIBBS
→
E
A-
-
H + int
Cl -int
-
+
+
+
+
flusso dovuto a gradiente
di concentrazione
H + ext
Cl -ext
flusso dovuto a gradiente
di potenziale
Fig 8
Consideriamo due soluzioni contenenti HCl separate da una membrana selettiva; nelle
soluzioni sono dunque presenti ioni H+ (Z=1) ed ioni Cl- (Z=-1), supponiamo inoltre che
tali ioni possano diffondere attraverso la membrana e che nella soluzione indicata come
interna (in analogia con il liquido intracellulare) sia presente un grosso ione (ad esempio
uno ione proteico A-) per il quale la membrana è impermeabile. In queste condizioni è
presente fra i due lati della membrana una differenza di potenziale: per l'equilibrio degli
ioni H+ e Cl- avremo:
[H+]ext
Vm = RT 1n
F
[H+]int
-
e
[Cl ]ext
Vm = - RT 1n
F
[Cl-]int
e quindi:
- 1n
[Cl-]ext
[H+]ext
=
1n
[Cl-]int
[H+]int
[Cl-]int [H+]ext
=
[Cl-]ext [H+]int
, cioè
[Cl-]int⋅[H+]int = [Cl-]ext⋅[H+]ext
Le ultime due equazioni caratterizzano l'equilibrio di Donnan-Gibbs.
Quando la membrana é impermeabile anche ad un solo tipo di ione presente in una delle
soluzioni oppure presente in entrambe ma con diversa concentrazione (ad esempio allo
ione proteico), la presenza di cariche elettriche che non possono diffondere attraverso la
membrana determina una differenza di concentrazione degli ioni diffusibili ai due lati della
membrana e genera un potenziale transmembranario.
TRASPORTO ATTIVO: POMPA SODIO-POTASSIO
I liquidi interstiziali e intracellulari sono soluzioni elettrolitiche separate da un
isolante, la membrana, che ha una resistenza ohmica molto elevata. La tabella che
riportiamo fornisce le concentrazioni ioniche approssimative dello stato stabile per i
21
principali ioni presenti nei due liquidi. La linea tratteggiata indica la membrana cellulare
dei muscoli.
Vm = Vint - Vest = - 90 mV
membrana
-
+
liquido interstiziale
ioni conc. mM / litro +
+
+
Na+
145
+
+
4
+
Ka+
+
+
120
+
Cl+
+
0.11
+
A-
liquido intracellulare
ioni conc. mM / litro
Na+
12
Ka+
155
Cl-
4
A-
4.11
Vm = -90 mV
flusso dovuto a gradiente
di concentrazione
flusso dovuto a gradiente
di potenziale
Fig.9 (A- indica lo ione proteico)
In condizioni di equilibrio il flusso netto attraverso la parete della membrana per
ciascun tipo di ione deve essere nullo ed il potenziale di membrana costante.
Ora, tenendo presenti la tabella sopra esposta e la polarità del potenziale di
membrana, si può concludere che per gli ioni K+ e Cl- l'equilibrio è possibile, essendo i
due meccanismi di trasporto passivo (gradiente di concentrazione e di potenziale) in
competizione, mentre per lo ione Na+ questo non avviene. Ci deve quindi essere, perchè si
possa raggiungere una situazione di equilibrio, un meccanismo di trasporto attivo che,
competendo con i due passivi, possa mantenere le concentrazioni ioniche indicate nella
tabella (pompa sodio-potassio).
22
LA CIRCOLAZIONE DEL SANGUE
Descriviamo ora le proprietà del sistema
circolatorio considerando il circuito
idraulico ed il fluido che vi scorre, cioé il
Fig. 1
sangue.
VD
Il muscolo cardiaco fa circolare il sangue
VS
nelle arterie, nella rete capillare ed infine
nelle vene. Esso subisce delle contrazioni
POLMONI
CORPO
ritmiche che, unitamente alla elasticità dei
vasi sanguigni, contribuiscono alla
instaurazione di un fenomeno circolatorio.
Esisterà quindi una differenza di pressione
sui vari tratti della rete vascolare che ha lo scopo di garantire lo scorrimento del sangue;
tale differenza di pressione tende progressivamente a diminuire lungo il sistema
circolatorio. Nella figura si possono
distinguere i circuiti sistemico e
polmonare, che sono i principali, ed
→
V3
anche le varie connessioni e vie interne
Fig. 2
che completano il sistema. Il flusso
→
V3
sanguigno unidirezionale ha il compito di
→
nutrire i tessuti con sangue ricco delle
V2
→
sostanze indispensabili ai processi
V2
→
V3
metabolici cellulari e di asportare i →
V
1
→
residui delle reazioni, dai quali
V3
l'organismo si deve poi liberare.
V1 > V 2 > V 3
E' dunque evidente che la composizione
del sangue arterioso che va ad irrorare i
tessuti fin nelle parti più remote del
corpo non é la stessa del sangue venoso,
che dai tessuti stessi ritorna al cuore.
Quindi non si potrebbe neanche supporre la omogeneità del sangue.
CUORE DX
CUORE SX
OD
OS
23
Pressione (mm Hg)
Il volume medio di
Fig. 3
sangue di una persona
adulta é di circa 6 litri,
mentre la portata media Curva della
é di circa 5 litri/min. E' velocità
chiaro che ci possono
essere
significativi
scostamenti da questo
valore
medio:
ad
esempio un atleta che
esegue degli esercizi Andamento di
fisici
generalmente alcune sezioni del
subisce un aumento sistema vasale
Arterie Arteriole
Capillari
Venule Vene
della frequenza cardiaca
e della gittata nella fase di sistole, quindi un aumento della portata.
Consideriamo il sistema cardiovascolare come un sistema idrodinamico chiuso e
supponiamo per semplificare che i vasi sanguigni siano rigidi ed il sangue un liquido
omogeneo; per la portata cardiaca che é costante vale la relazione Q = vmS (vm è la
velocità media e S la sezione). Come é noto la sezione dei condotti sanguigni va
restringendosi dalle arterie ai capillari per poi riampliarsi dai capillari alle vene; però se
consideriamo la sezione complessiva dei vasi possiamo osservare che essa va aumentando
passando dalle arterie ai capillari e invece diminuendo ritornando dai capillari alle vene.
Ne risulta che, come si vede nelle figure 2 e 3, essendo costante la portata, la velocità di
scorrimento del sangue raggiunge i suoi valori più elevati nell'aorta e nella vena cava
e quelli più bassi nella rete capillare dove infatti devono avvenire importanti scambi di
O2, CO2 e sostanze nutritive.
Se il sangue fosse un liquido ideale con = 0, non occorrerebbe fare del lavoro per
mantenere la circolazione ed il teorema di Bernoulli sarebbe sufficiente per calcolare punto
per punto i valori della pressione e della velocità. A causa della viscosità invece i vasi
sanguigni
offrono
una
resistenza
al
Fig.4
P
passaggio del
sangue che é
100
tanto maggiore
quanto
più
piccola é la
50
sezione
del
vaso stesso; il
cuore
deve
perciò compiere
0
un lavoro per
contrastare
l'attrito viscoso.
E' dunque, con
vene
arterie
arteriole
capill.
venule
alcune riserve,
la legge di
Hagen - Poiseuille a governare il fenomeno della circolazione sanguigna.
24
Occorre infatti una caduta di pressione proporzionale all'inverso della quarta potenza del
raggio del vaso per mantenere il moto di scorrimento alla velocità vm = Q/s:
p1-p2=
8ηlQ
π r4
Nella figura 4 si può vedere come la pressione sanguigna diminuisca nel passare dal
ventricolo sinistro all'atrio destro. Facciamo osservare che la pressione del sangue é da
ritenersi espressa in mm di Hg in eccesso alla pressione atmosferica, che i valori riportati
sono da ritenersi medi tra quelli della pressione nella fase di sistole e quelli di diastole per
via del comportamento elastico dei vasi, specialmente delle grosse arterie; e che, se il
soggetto non giace orizzontalmente, ci sono anche effetti non trascurabili dovuti alla
pressione idrostatica del sangue stesso.
Seguendo la evidente analogia con la legge di Ohm, possiamo definire la resistenza
idraulica come:
8 η l ha unità di misura N m-2/(m3 s-1 ed
)
π r4
è in notevole analogia formale con la legge:
R=ρ l
S
R = p1-p2
Q
R=V
i
dove
R=
E' chiaro quindi che anche i
R2
classici concetti di resistenza in
R
R1
serie e parallelo possono essere
estesi al caso di restringimenti
R = R1 + R2
R3
e diramazioni dei vasi.
E' chiaro altresì che tutta la rete
vascolare
può
essere
R2
considerata come un enorme
R1
circuito serie-parallelo di tutti i
vasi sanguigni (Fig. 5).
Fig. 5
Ricordando la figura 4, si può
1 + 1+ 1
1
R
R 1 R 2 R3
allora notare come la caduta di
pressione a livello dei capillari
sia piccola rispetto a quella in particolare osservata a livello delle arteriole e quindi come
la resistenza complessiva dei capillari, nonostante il piccolissimo raggio degli stessi, sia
inferiore a quella complessiva delle arteriole; questo perché il numero dei capillari in
parallelo é molto più grande di quello delle arteriole e ciò rende piccola la loro resistenza
complessiva. Ricordiamo infine che la regolazione vasomotoria si basa proprio sulla
possibilità di variare il numero totale di arteriole e di capillari aperti al flusso del sangue e
di conseguenza la resistenza complessiva del sistema vascolare.
VISCOSITA' ANOMALA DEL SANGUE
Il sangue é una sostanza eterogenea costituita dal plasma (che é a sua volta costituito per il
90% di H2O e di altre piccole parti di proteine e di altri costituenti organici ed inorganici)
che contiene dispersi globuli rossi (eritrociti), globuli bianchi (leucociti) e piastrine. I
globuli rossi hanno nei soggetti normali una densità media di distribuzione uguale a 5
milioni/mm3: essi possono giungere fino ai più piccoli capillari, di dimensioni anche
inferiori agli stessi globuli rossi, grazie alla loro deformabilità ed al potere fluidificante
25
della membrana che li avvolge. Il rapporto tra il volume totale degli eritrociti ed il volume
del sangue che li contiene prende il nome di ematocrito e si indica
Hct =
Veritrociti
e in condizioni normali vale circa a 0,4.
Vsangue che li contiene
Il numero dei leucociti, sempre in individui normali, varia mediamente fra 4000 ed 8000
per mm3; essi hanno compiti di difesa dell'organismo. Le piastrine, che hanno un valore
medio normale di 250.000 - 300.000 per mm3, intervengono soprattutto nei processi di
coagulazione. Evidentemente la fisiologia della circolazione é estremamente influenzata da
una composizione così complessa e variabile. Si considerino in particolare gli effetti sulla
viscosità del sangue. La figura 6 riporta la viscosità ematica in funzione dell'ematocrito.
La dipendenza é tale che quando si
η (centipoise)
Fig. 6
supera il valore medio normale
(punto P, la cui posizione può
sangue
variare in considerazione dell'età e
valore
della condizione fisio-patologica del
normale
5
soggetto), la viscosità aumenta; con
p
un valore di Hct > 70%, comincia
plasma a crescere così rapidamente che
2
addirittura il sangue non può essere
H2 O
1
più schematizzato neanche come un
fluido non-Newtoniano; gli eritrociti
% Hct x 100
10
50
sono ora così addensati che il cuore
deve compiere un super lavoro per mantenere stazionaria la circolazione. Dal punto di
vista fisico il sangue é divenuto un mezzo materiale quasi plastico.
Quando invece il fattore Hct scende al di sotto del valore normale (anemia), poichè la
pressione sanguigna rimane sostanzialmente la stessa, deve necessariamente aumentare la
portata cardiaca per compensare la diminuizione della viscosità, come si può stimare con la
legge di Hagen-Poiseuille.
Si osserva inoltre che la viscosità nel sangue dipende dalla sezione vascolare e dalla
velocità di scorrimento.
Nelle grosse e medie arterie abbiamo una sostanziale costanza della viscosità, mentre nelle
arteriole di diametro minore di 100 m, decresce al diminuire della sezione,
allontanando così il sangue dal comportamento Newtoniano. Il valore di diminuisce
anche all'aumentare del gradiente di velocità; questo fatto dipende principalmente dalla
forma degli eritrociti che tendono ad orientare il loro asse maggiore parallelamente alle
linee di flusso e ad addensarsi lungo l'asse centrale dei grossi vasi, provocando una
variazione radiale del valore di nello stesso vaso. Da ultimo osserviamo che, come tutti i
liquidi ricchi di acqua, il sangue ha una viscosità che cresce al diminuire della temperatura.
Il congelamento degli arti é appunto una conseguenza dell'aumento di in ambiente
freddo che fa diminuire il flusso circolatorio del termovettore ematico.
Concludiamo ricordando che non sempre il moto del sangue è laminare; infatti in alcuni
punti ci sono le condizioni per l'instaurarsi di un complesso moto turbolento e vorticoso.
Inoltre il sangue talvolta non può essere considerato neanche un fluido Newtoniano (un
fluido cioè che risponde alla legge di Poiseuille). Infatti l'acqua ed il plasma normale hanno
il coefficiente di viscosità praticamente indipendente dalla velocità di scorrimento, mentre
particolari soluzioni di macromolecole, le miscele organiche contenenti particelle in
sospensione, molti olii e grassi lubrificanti ed il sangue stesso hanno a temperatura
26
costante un coefficiente di viscosità che diminuisce all'aumentare della velocità: dunque si
comportano come liquidi non Newtoniani (quando il coefficiente di viscosità dipende dalla
velocità di scorrimento il liquido si dice tixotropico). Aggiungiamo infine che il sangue per
raggiungere vasi di sezione molto piccola si comporta come un corpo di Bingham: questo
vale a dire che gli aggregati corpuscolari in esso presenti sotto l'azione della pressione, che
deve comunque superare un certo valore di soglia po, si deformano per poter scorrere
attraverso sezioni di dimensioni più piccole di quelle che gli stessi aggregati posseggono in
condizioni normali.
Il lavoro del cuore
La pressione del sangue nell'aorta prodotta durante la contrazione (sistole) del ventricolo
sinistro é di circa 120 mmHg e scende a 80 mmHg durante il rilassamento del cuore
(diastole). Nel circuito polmonare, come abbiamo già detto, le pressioni sono minori, 27
mm Hg nella sistole e 10 mm Hg nella diastole, perchè il circuito polmonare é molto meno
esteso ed offre meno resistenza di quello sistemico.
27
Calcoliamo ora il lavoro
eseguito
dal
ventricolo
120
sinistro (per quello destro il
calcolo é analogo e bisogna
Pv
100
solo cambiare i valori delle
pressioni), riportando i valori
D
P2
C
sperimentali
in
un
80
diagramma
pressione
volume (fig.7, p é la
pressione ventricolare, V é il
volume del ventricolo).
All'inizio del ciclo, il sangue
arriva dai polmoni e si
immette (dall'atrio sinistro)
P1
nel ventricolo sinistro il
B
quale, riempiendosi, si dilata
P0
A
da un volume VA a un
80
160
V (ml)
volume VB senza un
aumento sensibile della pressione, che passa da un valore P0 a un valore P1 molto vicino a
P0 (circa 5 mm Hg). Quando il ventricolo é pieno di sangue, la valvola bicuspide si chiude
e le fibre muscolari si contraggono facendo aumentare la pressione del sangue da P1 a P2
(circa 85 mm Hg). Poichè il sangue é praticamente incompressibile il volume del
ventricolo durante questa fase resta inalterato. A questo punto si apre la comunicazione
con l'aorta e il sangue viene iniettato nell'arteria mentre il cuore continua a contrarsi e
quindi a far crescere la pressione che raggiunge il valore di 120 mm Hg. Durante la
contrazione il volume del ventricolo diminuisce e da VB si riporta a VA. Finita l'eiezione
del sangue e tornato il volume da VB a VA si inizia una rapida fase di rilassamento
(diastole). La comunicazione con l'aorta si chiude e le fibre muscolari si rilassano sicchè la
pressione all'interno del ventricolo scende al valore iniziale P0 e si chiude il ciclo.
L'area individuata dalla curva chiusa ABCDA rappresenta il lavoro fatto dal cuore perchè,
essendo in ascisse rappresentati i volumi e in ordinate le pressioni, il prodotto:
p( mmHg )
3
pressione • volume = F2 • l = F • l
l
ha le dimensioni fisiche di un lavoro (forza per spostamento).
Se assimiliamo l'area ABCD a un rettangolo di altezza media Pv (pressione ventricolare
media) e di base VB - VA (P0 e P1 possiamo considerarli uguali a zero) si ha:
L = Pv (VB - VA).
Il volume VB - VA si calcola in base alla portata Q del sangue e alla frequenza di
pulsazione del cuore n:
VB - VA = Q .
n
Ad esempio per un individuo normale in cui Q = 5 litri al minuto e n = 60 pulsazioni al
minuto si ha che il volume di sangue emesso ad ogni pulsazione é:
28
3
VB - VA = 5000 cm ~ 83 cm3
60
Sostituendo a VB - VA il rapporto Q/n, il lavoro del cuore diventa:
L = Pv Q .
n
Ciò che é possibile misurare (con uno sfigmomanometro) però non é la pressione
ventricolare Pv ma la pressione arteriosa Pa. In genere poi la pressione sistolica é di 120
mm Hg mentre quella diastolica é di 80 mm Hg per cui come pressione arteriosa media si
prende Pa = 100 mm Hg. Applichiamo allora il teorema di Bernoulli supponendo che il
sangue sia un liquido ideale e che il ventricolo sinistro e il primo tratto dell'aorta siano alla
stessa altezza, in modo da eliminare i termini ρgh.
Si ha:
Pv + 1 ρ v2v = Pa + 1 ρ v2a
2
2
Il sangue nel ventricolo può considerarsi fermo, quindi vv = 0, mentre nella aorta si muove
con una velocità media di 30 cm/sec. Allora:
Pv = Pa + 1 ρ v2a
2
e per il lavoro del cuore si ottiene:
L=
Ponendo:
Q ⋅ P + 1 ρ v2
a
n a 2
Q = 83 cm3, P = 100 mm Hg = 1,33 • 105 dine/cm2, ρ = 1 gcm-3, v = 30 cm/sec,
a
a
n
si ha che il lavoro del ventricolo sinistro Ls é:
Ls = 83 (133.000 + 450) erg = 1,17 • 107 erg = 1,17 joule
Si noti come il termine 1 ρv2 risulti piccolo (450 erg) rispetto al termine Pa (133.000 erg);
2
ciò sta ad indicare che il lavoro fatto dal cuore per aumentare la velocità é trascurabile
rispetto a quello necessario per innalzare la pressione. Per il cuore destro invece, dato che
la pressione arteriosa media nell'arteria polmonare é circa un quinto di quella media
nell'aorta (20 mm Hg), si avrà che anche il lavoro é ridotto a un quinto, cioé a circa 0,2
joule.
Complessivamente, quindi, ad ogni pulsazione il lavoro compiuto vale:
L = Ls + Ld = 1,1 +0,2 = 1,3 joule.
Poichè si ha una pulsazione al secondo, la potenza dissipata é di 1,3 watt.
29
ASPETTO ONDULATORIO
ELETTROMAGNETICA
1.
E
CORPUSCOLARE
DELLA
RADIAZIONE
CONSIDERAZIONI GENERALI
La fisica classica adotta per la radiazione elettromagnetica un modello ondulatorio,
secondo il quale in ogni punto dello spazio sede di un campo elettromagnetico vibrano un
vettore campo elettrico ed un vettore campo magnetico, tra loro ortogonali.
Questo modello è in grado di rendere conto di molti fatti sperimentali. La
propagazione rettilinea, la riflessione, l'interferenza, la diffrazione, sono infatti
perfettamente interpretate alla luce del modello ondulatorio.
Tuttavia esistono altri fatti sperimentali che non riescono ad essere inquadrati in
questo modello. Sono quei fenomeni nei quali risulta, in un modo o nell'altro coinvolta la
materia. Così quelli per cui la radiazione si origina dai corpi (emissione) o viene da questi
assorbita (assorbimento) o comunque modificata (per es. la diffusione).
Ebbene questi fenomeni possono essere interpretati quando si adotti per la
radiazione un modello corpuscolare.
Secondo questo modello la radiazione elettromagnetica è costituita da "granuli" di
energia, detti quanti (o fotoni) che viaggiano con la velocità della luce.
Ad ogni fotone corrisponde l' energia ε = hν, la massa equivalente m = hν/c2, la
quantità di moto q = ε/c = hν/c = h/λ e lo spin s = 1.
Va subito ricordato che, se è vero che il modello ondulatorio non riesce a
descrivere tutte le proprietà della radiazione elettromagnetica, è altrettanto vero che
neppure il modello corpuscolare è in grado di spiegare i fenomeni di interferenza e di
diffrazione che sono caratteristici della propagazione per onde.
Insomma la radiazione elettromagnetica si presenta ora con un aspetto ondulatorio
ora con un aspetto corpuscolare, a seconda del fenomeno nel quale è coinvolta.
Questi due aspetti, corpuscolare e ondulatorio, che appaiono come due
manifestazioni inconciliabili e contraddittorie di un'unica realtà fisica trovano una
spiegazione ed una descrizione completa e soddisfacente nella meccanica quantistica. Qui,
di seguito, vengono illustrati alcuni fatti sperimentali di particolare rilievo che mettono in
evidenza la duplice natura della radiazione elettromagnetica.
ASPETTO ONDULATORIO: DIFFRAZIONE DEI RAGGI X
Nello stato solido gli atomi, interagendo intensamente fra loro, costituiscono una
struttura compatta e ordinata nella quale essi risultano disposti in modo geometricamente
regolare in modo da formare uno schema tridimensionale che si ripete nello spazio.
Questa struttura ordinata si chiama reticolo cristallino.
Esistono diversi tipi di reticoli cristallini. Uno dei più semplici è il reticolo
monometrico cubico in cui gli atomi sono disposti nei vertici di un cubo che si ripete per
traslazione lungo le direzioni dei tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice (fig. 4).
Consideriamo ora un fascetto di raggi X paralleli e monocromatici provenienti
dalla sorgente S che colpiscono in O un cristallo C formando un angolo θ con i piani
reticolati.
Un opportuno dispositivo rilevatore R messo sulla direzione OP raccoglie i raggi X
diffratti dai piani reticolari dei cristalli.
30
L'esperienza mette in evidenza che l'intensità di questi raggi è apprezzabile
solamente quando fra la distanza reticolare d, la lunghezza d'onda λ dei raggi X e l'angolo
θ passa la relazione
1)
2d sen θ = n λ
essendo n un numero intero positivo. Questa relazione è nota come legge di Bragg. Per
interpretarla è indispensabile adottare per la radiazione elettromagnetica il modello
ondulatorio.
P
F
S
O
θ
θ 2θ
M
C
R
Fig.1
Infatti, considerando i raggi X come un fascio di onde elettromagnetiche piane e
monocromatiche che investono il cristallo in una data direzione, si deve ammettere che gli
elettroni di ogni atomo colpito, sotto l'azione della componente elettrica del campo,
entrano in vibrazione ed emettono, a loro volta, onde elettromagnetiche.
Queste onde si diffonderanno in tutte le direzioni interferendo fra loro e risultando
rinforzate solamente in quelle direzioni in cui saranno in concordanza di fase. E' facile
convincersi come le onde che giungono in P da due atomi qualsiasi A e B dello stesso
piano reticolare (vedi fig. 2a) sono sempre in concordanza di fase, e quindi si rinforzano,
indipendentemente dal valore dell'angolo θ.
Siano ora A e B due atomi disposti su due piani reticolari successivi (figura 2b) e
sulla normale comune (distanza tra A e B è pari a d). E' evidente che le onde diffratte
dall'atomo A per giungere al rivelatore posto in P, devono percorrere il cammino SAP,
mentre quelle provenienti dall'atomo B devono percorrere il tratto SBP. La differenza di
cammino è espressa da LB + BM. Essendo ALB e AMB due triangoli rettangoli con gli
angoli in A uguali a θ in entrambi i casi, si ha:
LB = AB sen θ = d = BM
perciò risulta
LB + BM = 2d sen θ
31
Le onde provenienti da A e da B giungeranno in P in concordanza di fase e, quindi
rinforzate, se la differenza dei cammini percorsi è uguale ad un multiplo intero di λ. Cioè
la condizione perchè il rilevatore indichi una intensità apprezzabile di raggi X diffratti è
che risulti
2d sen θ = n λ
E questa è appunto la relazione di Bragg.
Dunque il modello ondulatorio riesce perfettamente a spiegare la diffrazione dei
raggi X.
S
P
n
S
P
θ
o
o
o
o
o
o
o
o
A
B
o
o
o
θ A
o
o
L d
Diffrazione da atomi dello stesso
piano reticolare
o
θ
o
θ
o
o
o
o
M
o
B
a)
o
b)
o
o
o
Diffrazione da atomi di
piani reticolari contigui
Fig.2
ASPETTO CORPUSCOLARE: EFFETTO FOTOELETTRICO
Quando una radiazione elettromagnetica colpisce una superficie metallica è
possibile ottenere una emissione elettronica. Gli elettroni espulsi sono detti "fotoelettroni".
Nel caso di metalli alcalini è sufficiente una radiazione compresa nella regione
visibile dello spettro a produrre l'effetto; nella maggior parte dei metalli, invece, è
necessario ricorrere alla radiazione ultravioletta o X.
Più precisamente, per ogni metallo esiste una frequenza di soglia νo al di sotto
della quale non si ha emissione di elettroni.
Esperienze molto accurate hanno messo in evidenza:
a)
l'energia cinetica massima con la quale sono emessi i fotoelettroni non dipende dalla
intensità, ma è proporzionale alla frequenza ν della radiazione;
b) il numero dei fotoelettroni emessi nell'unità di tempo dall'unità di superficie del
metallo è proporzionale all'intensità della radiazione incidente.
La figura 3 illustra la dipendenza della energia cinetica massima Tmax dei
32
fotoelettroni dalla frequenza della radiazione incidente .
Questa dipendenza, dedotta empiricamente, viene espressa dalla relazione:
2)
Tmax = m(ν - νo)
dove m = tg α è il coefficiente angolare della retta.
Questa relazione non trova alcuna giustificazione nella teoria classica
dell'elettromagnetismo che adotta per la radiazione un modello ondulatorio. Infatti secondo
la teoria classica le onde elettromagnetiche, penetrando negli strati superficiali del metallo,
sottopongono gli elettroni che vi sono contenuti all'azione del campo elettrico rapidamente
alternato, trasferendo ad essi energia fino a consentire loro di essere espulsi dal metallo. E'
evidente che, secondo queste idee, l'energia trasferita agli elettroni è tanto più grande
quanto maggiore è l'ampiezza del campo elettrico e quindi quanto è maggiore l'intensità
della radiazione.
Secondo queste idee, dunque, non
esisterebbe una frequenza di soglia e
Tmax
l'energia cinetica con la quale sono emessi
gli elettroni dipenderebbe dall'intensità
della radiazione contrariamente ai dati
sperimentali
che
la
vogliono
proporzionale alla frequenza. Questa
difficoltà può essere superata se,
νo
α
seguendo Einstein (1905), s'immagina che
O
una radiazione monocromatica di
α
ν
m νo
A
frequenza ν è costituita da un insieme di
corpuscoli
(quanti
di
energia
Β
elettromagnetica) detti fotoni che si
muovono con la velocità della luce. A ciascun fotone spetta l'energia
ε = hν
essendo h la costante di Planck (h = 6.6·10-34 Js).
Ogni fotone, interagendo con un elettrone di conduzione cede a questo tutta la
propria energia. Solo se questa risulta maggiore dell'energia di legame E1 può avere luogo
l'effetto fotoelettrico.
Questa condizione corrisponde dunque a hν ≥ E1 e quindi ν ≥ E1/h. Il valore del
rapporto E/h corrisponde proprio alla soglia fotoelettrica νo trovata sperimentalmente.
Quando ν > νo l'energia cinetica massima con la quale può essere liberato
l'elettrone è data dalla differenza fra l'energia ricevuta hν e l'energia E1 = hνo spesa per
uscire dal metallo, cioè
3)
Tmax = hν - E1 = h (ν - νo)
Il valore di h concorda entro i limiti degli errori con quello trovato
sperimentalmente per il coefficiente m della (2).
33
Inoltre, essendo evidentemente l'intensità della radiazione uguale al numero di
fotoni che colpiscono in ogni secondo la unità di superficie del metallo, al crescere
dell'intensità, aumenta proporzionalmente il numero degli elettroni emessi, appunto come
mette in evidenza l'esperienza. Si vede così che il modello corpuscolare riesce
perfettamente a spiegare l'effetto fotoelettrico.
COMPORTAMENTO ONDULATORIO DELLE PARTICELLE
LE ONDE DI DE BROGLIE
Per quanto riguarda la radiazione elettromagnetica, abbiamo visto che esistono dei
fenomeni, come l'interferenza e la diffrazione, che possono essere interpretati solamente
alla luce di un modello ondulatorio, mentre ne esistono altri, come l'effetto fotoelettrico e
l'effetto Compton che richiedono l'adozione di un modello corpuscolare. La radiazione
elettromagnetica presenta così un duplice aspetto: può essere considerata sia come un
fascio di fotoni, sia come un insieme di onde.
Nel 1924 De Broglie, partendo dall'osservazione che la formulazione matematica
delle leggi che regolano il moto di un fascio di particelle è assai simile a quella delle leggi
che governano la propagazione di un fascio di onde, fece l'ipotesi che anche per le
particelle potesse presentarsi un analogo duplice aspetto, corpuscolare e ondulatorio. Così
ad ogni particella (elettrone, protone, neutrone, ecc.) egli attribuì una lunghezza d'onda
data dal rapporto tra la costante di Planck e la quantità di moto:
4)
λ = h/mv
Questa notevole intuizione fu poi puntualmente confermata da numerose
esperienze; la prima delle quali fu la famosa esperienza di Davisson e Germer che permise
nel 1927 di evidenziare fenomeni di diffrazione con gli elettroni come già si faceva con la
radiazione elettromagnetica. Così le particelle dotate di massa come gli elettroni, i protoni,
i neutroni, ecc., potevano non solo provocare collisioni e muoversi come palle da bigliardo
(come avviene nell'effetto Compton, qui non trattato) ma erano anche accompagnate da
un'onda, caratterizzata dalla lunghezza d'onda λ= h/mv e detta, appunto, "onda di De
Broglie".
Va subito sottolineato che le onde di De Broglie non sono da confondere con le
onde elettromagnetiche della teoria di Maxwell, ma costituiscono un fenomeno del tutto
nuovo.
Il loro significato fisico va ricercato nell'ambito della "meccanica quantistica" che è
un corpo di dottrina organico e logicamente coerente in grado di interpretare la
fenomenologia microscopica.
RADIOGRAFIA (Assorbimento dei raggi X)
Supponiamo che una radiazione monocromatica X incida su una lastra di materiale
omogeneo il cui spessore vale x (fig. 4a).
34
I0
Ii
I
x
a)
b)
Ii + ∆Ii
∆x i
Fig.4
Se l'intensità incidente della radiazione vale I0 dalla lastra emerge un fascio che ha
un'intensità attenuata I. Immaginiamo di suddividere la lastra in tante fettine molto sottili
ciascuna di spessore ∆x. Consideriamo in figura 4b la fettina iesima. Se l'intensità
incidente della radiazione X vale Ii, essa subirà un'attenuazione ∆Ii (<0). Sperimentalmente
si vede che per una lastra molto sottile l'attenuazione vale:
∆Ii
= - µ ∆xi
Ii
∆Ii = - µ Ii ∆xi
cioè ∆Ii è proporzionale allo spessore ∆xi, all'intensità iniziale Ii e ad un coefficiente µ che
dipende dalla frequenza della radiazione incidente e dal materiale.
Sommiamo ora le attenuazioni relative ∆Ii/Ii su tutte le fettine successive, fino a prendere
in considerazione lo spessore x della lastra:
Σi
∆Ii
= - µΣ i∆xi
Ii
Passando al limite si ottiene (∆I e ∆x tendono al limite contemporaneamente):
n ∆I
n
lim ∑ I i = −µ lim ∑ ∆x i
∆I →0 1 i
∆x →0 1
i
ln
i
Ix
I
= -µx e quindi x = e-µx e infine I x = I 0 e-µx
I0
I0
che ci dà la legge esponenziale di assorbimento della radiazione X nei materiali e che ha la
seguente rappresentazione grafica:
35
I
I0
x
Fig.5
Occorre qui ricordare che il coefficiente di assorbimento µ dipende dalla lunghezza
d'onda della radiazione incidente e dal tipo di materiale usato. Nella radiografia X ad uso
medico i vari organi hanno coefficienti di assorbimento differenti, per cui, essendo
differente la "trasparenza" ai raggi X, ne risulterà un contrasto che può mettere in evidenza
le varie parti. Quando il contrasto naturale è debole si può agire in modo da aumentarlo
facendo ingerire o iniettando particolari sostanze "opache".
36
PRINCIPI FISICI DELLA TOMOGRAFIA A RISONANZA MAGNETICA
NUCLEARE
1.
INTRODUZIONE
Verranno qui di seguito riportati i principi fisici su cui si basa la moderna tecnica di
tomografia a risonanza magnetica nucleare, che permette di ottenere delle immagini
riguardanti la struttura interna del corpo umano o di altri organismi viventi in maniera
poco invasiva. In particolare possono essere ottenute immagini di sezioni orientate a
piacimento.
La caratteristica principale di questa esposizione sarà l'estrema semplificazione e
schematizzazione di una tecnica complessa e sofisticata, la cui comprensione non é affatto
banale neanche per i laureati in discipline tecnico-scientifiche. Lo scopo é quello di fornire
agli studenti la conoscenza del concatenamento logico dei vari fenomeni fisici su cui si
basa tale straordinaria tecnica.
Infatti, tenendo conto che il tempo disponibile per esporre tale tecnica in un corso di
FISICA é estremamente ridotto e che una trattazione piu' completa e piu' tecnica verrà data
nel corso di RADIOLOGIA, si é cercato di minimizzarne la lunghezza espositiva,
privilegiando gli aspetti fisici essenziali della "filosofia" di funzionamento della macchina.
Nella prossima sezione verrano richiamati nella prima parte i concetti di fisica classica già
studiati che sono necessari in questo contesto, e presentati nella seconda parte i concetti di
fisica piu' avanzata che sono pure necessari per l'esposizione succinta della tecnica che
avrà luogo in seguito.
2.
RICHIAMI DI FISICA
2.1
Concetti convenzionali.
Con la denominazione concetti convenzionali si definiscono quei concetti fisici che sono
già stati svolti nel corso di FISICA e che sono riportati in particolare nel volume
"Introduzione alla Fisica Biomedica" di S. MELONE and F. RUSTICHELLI (Ed. Ragni,
Ancona).
2.1.1 Dipolo magnetico.
Una spira percorsa da corrente costituisce un dipolo magnetico, il cui momento magnetico
m é definito da
(1)
m = isn
dove i é l'intensità
r di corrente che circola nella spira, s é la superficie del cerchio associato
alla spira ed n é un vettore unitario perpendicolare al piano della spira e rivolto verso
l'osservatore che vede circolare la corrente nel senso antiorario (fig.1).
2.1.2 Campo magnetico generato da una spira percorsa da corrente.
37
B
m
Una spira percorsa da corrente genera un campo magnetico B che nel
centro della spira é un vettore parallelo al momento magnetico m
(fig.1), dato da:
i (2)
FIG. 1
B=
µ0 i
n
2r
essendo µ0 la permeabilità magnetica nel vuoto e r il raggio della spira.
N.B. Tale campo magnetico non é da confondere con il momento
magnetico. E' da notare, tra l'altro, che il momento magnetico é direttamente proporzionale
al quadrato del raggio della spira, mentre il campo magnetico é inversamente
proporzionale al raggio.
2.1.3 Spira percorsa da corrente in un campo magnetico esterno.
Una spira percorsa da corrente (dipolo magnetico) immersa in un campo magnetico esterno
B0 si orienta in modo che il suo momento magnetico m sia parallelo a B0. L'energia
potenziale associata alla spira immersa in B0 é
(3)
U = - m x B0 = - m
•
B0 • cosα
dove α é l'angolo compreso tra m e B0.
Tale energia potenziale é minima quando m é parallelo a B0 (fig.2). Infatti in questo caso
si ha dall'eq. 3:
(4)
α= 0 → cosα = 1 → U min = - m • B0
L'energia potenziale é invece massima quando m e B0 sono antiparalleli (fig.2). Infatti in
questo caso si ha:
(4bis) α = π → cosα = -1 → U max = m • B0
In questa configurazione basta una piccola perturbazione per determinare una rotazione del
dipolo magnetico che si dispone parallelamente al campo magnetico B0.
38
↓
B
↓
U = mB
m
↓
∆ U = 2mB
m
↓
U = - mB
B
↓
FIG. 2
↓
hanno quindi due livelli energetici (fig.2): il
L Si
primo corrisponde ad una situazione di equilibrio
µ
stabile con m e B0 paralleli tra di loro ed energia
potenziale minima Umin= - m•B0; il secondo
corrisponde ad una situazione di equilibrio instabile
con m e B0 antiparalleli ed energia potenziale
massima Umax = m • B0.
La differenza di energia tra i due livelli é:
(5)
∆U = m • B0 - (-m • B0) = 2 m • B0.
2.1.4 Forza elettromotrice indotta; La legge di
Faraday.
Quando un filo metallico chiuso é concatenato con
un flusso variabile del campo magnetico, nel filo
nasce una corrente indotta. Questa é prodotta dal
campo elettrico indotto la cui circuitazione lungo il
filo misura la forza elettromotrice. Il valore di tale
forza elettromotrice é dato dalla legge di Faraday:
FIG. 3
(6)
f.e.m. = -
∆ΦS (B)
∆t
dove ∆ΦS (B) é la variazione nell'intervallo di tempo ∆t del flusso del campo magnetico
B attraverso la superficie S delimitata dal filo chiuso.
2.2
Concetti non convenzionali
39
2.2.1 Momento angolare e momento magnetico dell'atomo di idrogeno.
Il nucleo atomico dell'idrogeno possiede un momento angolare L poiché ruota su se stesso
(fig.3).
Poiché tale nucleo é carico positivamente e le cariche che si muovono su percorsi circolari
sono equivalenti a spire percorse da corrente, sarà associato ad esso un momento
magnetico che da ora in poi indicheremo con il simbolo µ invece che con m (fig.3).
2.2.2 Energia dei fotoni.
Un'onda elettromagnetica di frequenza ν é costituita da entità elementari chiamate fotoni,
aventi ciascuno un energia ε data da:
(7)
ε = hν
dove h é una costante universale, chiamata costante di Planck, il cui valore é
h = 6,6256 x 10-34 J.s.
3.
LA TOMOGRAFIA A RISONANZA MAGNETICA NUCLEARE
La tomografia a risonanza magnetica nucleare (detta anche NMR da "Nuclear Magnetic
Resonance") fornisce delle immagini di sezioni del corpo umano, che sono basate sulla
diversa concentrazione di acqua, o più esattamente di atomi di idrogeno nei diversi tessuti.
40
↓
Bo
FIG.5
↓
FIG.4
.
Se consideriamo un elemento di volume del corpo umano, in assenza di un campo
magnetico esterno, i momenti magnetici dei nuclei di idrogeno in esso contenuti sono
orientati nello spazio in modo del tutto casuale (fig.4).
↓
B0
↓
g
ω0
↓
↓
↓
ω
0
L
L
FIG.6
In
presenza di un campo magnetico esterno B0 secondo la fisica classica tutti i nuclei
dovrebbero orientarsi parallelamente a tale campo B0 (fig.5) in accordo con quanto visto
nella sez. 2.1.3 e secondo la configurazione di equilibrio stabile indicata in basso nella fig.
2.
41
↓
In realtà avviene qualcosa di diverso. Innanzitutto
nella configurazione di minima energia potenziale il
momento magnetico del nucleo di idrogeno non è
esattamente parallelo al campo magnetico B0, ma
poichè il nucleo ruota su se stesso, esso compie un
B0
moto di precessione attorno a B0 (cioè il vettore L
descrive un cono, o meglio la sua punta descrive un
cerchio girando attorno a B0 come mostrato in
fig.6) analogamente a quanto fa una trottola attorno
al campo gravitazionale (fig.6).
Una situazione simile si ha per la configurazione
antiparallela che è sostituita in realtà da quella
mostrata nella parte inferiore della fig.7.
L'angolo θ tra il momento magnetico µ del nucleo
di idrogeno ed il campo magnetico B0 non può
variare a piacere, ma, secondo la meccanica
quantistica, può assumere solo due valori
corrispondenti o alla configurazione "parallela",
caratterizzata da un angolo θ1 acuto (pari a 60°),
oppure
alla
configurazione
"antiparallela"
caratterizzata da un angolo θ2 ottuso (pari a 120°).
FIG.7
→
µ =B
1
µ
2
B0
θ
θ
µ =
B
1
La componente di µ lungo B0 è µB = 1/2 µ
nella configurazione parallela e µB = -1/2 µ
nella
configurazione antiparallela (fig.8).
→
µ Di conseguenza i due livelli energetici
corrispondenti alle due configurazioni
corrispondono alle energie potenziali U= 1
1
µB0 e U=
µB (fig.9), così che la
2
2 0
differenza di energia potenziale è data da
µ
1
1
µB0 - ( µB0) = µB0.
2
2
FIG.8
Ci si aspetterebbe che, in presenza di un
campo magnetico esterno B0, tutti i nuclei
di idrogeno si dispongano nella configurazione "parallela" indicata in fig.10.
Ciò in realtà avviene solamente alla temperatura zero assoluto. Infatti, a causa
dell'agitazione termica, ad una temperatura ordinaria, diversi nuclei acquistano energia
sufficiente per saltare nella posizione "antiparallela", così che in pratica se immergiamo un
corpo umano in un campo magnetico uniforme una maggioranza di nuclei N1 si disporrà
nella configurazione "parallela" ed una minoranza N2 nella configurazione "antiparallela"
(fig.11).
2
(8)
42
∆U =
Il valore del rapporto N2/N1 dipende dalla temperatura assoluta T del corpo umano ed è
previsto dalla meccanica statistica essere
(9)
N2
N1
= e
-
µ BO
KT
↓
dove K è la costante di Boltzman data da
K = R/N
dove R è la costante universale dei gas perfetti ed N è il numero di Avogadro.
B0
1 µ
B0
2
↓
µ
↓
U=
B0
1 µ
U= B0
2
↓
µ
B
FIG.9
Per un valore di B0 pari a 1 Tesla, ossia a 104 Gauss, si ha che a temperatura ambiente
(10)
N2/N1 = 0,9999993,
ossia le due popolazioni sono quasi uguali. La leggera differenza esistente è tuttavia
sufficiente a far sì che la tecnica di tomografia a NMR funzioni egregiamente.
43
↓
↓
B0
B0
FIG.11
FIG.10
Tale disposizione spaziale é del tutto fittizia: infatti in ogni elemento di volume, ad
esempio in ogni millimetro cubo del corpo umano, esistono mescolati intimamente sia
nuclei disposti "parallelamente" che nuclei disposti "antiparallelamente", come indicato in
fig.11. La fig.12 serve solo a ricordare che i nuclei disposti "antiparallelamente"
possiedono una energia potenziale superiore di µB0 rispetto ai nuclei disposti
"parallelamente".
ASSORBIMENTO
DI ENERGIA
EMISSIONE
DI ENERGIA
N2
↓
∆U= µB0
B0
N1
FIG.12
44
Al fine di rendere più chiari gli argomenti che seguiranno si é costruita la fig.12, in cui
sono disegnati in basso, in corrispondenza del livello di energia minima, gli N1 nuclei di
idrogeno disposti "parallelamente" al campo magnetico B0, ed in alto, in corrispondenza
del livello di energia massima, gli N2 nuclei di idrogeno disposti "antiparallelamente".
Di conseguenza se vogliamo invertire la direzione di un nucleo, passando dalla
configurazione parallela a quella antiparallela (fig.12), dobbiamo fornirgli un'energia pari a
µB0, ad esempio investendolo con un fotone di energia ε che soddisfi l'equazione:
(11)
ε = µB0
Nell'equazione (11) si suppone che tutta l'energia del fotone sia assorbita dal nucleo di
idrogeno, fenomeno questo che é previsto dalla meccanica quantistica. Tale fenomeno é
analogo a quello mostrato in fig.13.
Se abbiamo una biglia A in quiete sul fondo di una buca ad una profondità h e vogliamo
portarla in superficie dobbiamo fornirgli un'energia pari alla differenza di energia
potenziale tra i due livelli:
(12)
∆U = mgh.
U=0
B
↓
h
vB
∆U = mgh
A
U = - mgh
FIG.13
Ciò può essere realizzato facendo urtare la biglia A da una biglia B di uguale massa, che
possieda inizialmente una energia cinetica
(13)
2
1/2 m vB = mgh.
Se l'urto é centrale, dopo l'urto la biglia B rimane in quiete al posto della biglia A, che
assorbe pertanto tutta l'energia cinetica posseduta dalla biglia B.
Secondo la meccanica classica se la biglia B possiede un'energia cinetica iniziale superiore
al valore fornito dall'eq. (13), la biglia A riesce ugualmente a portarsi in superficie ed anzi
vi arriva mantenendo un'energia cinetica diversa da zero. In altre parole la condizione (13)
può essere sostituita da:
(14)
2
1/2 m vB ≥ mgh.
45
Nel caso invece dell'assorbimento di un fotone da parte di un nucleo di idrogeno, affinché
possa aver luogo il salto dal livello energetico più basso a quello più elevato occorre,
secondo la meccanica quantistica, che l'energia del fotone sia esattamente uguale alla
differenza di potenziale ∆U tra i due livelli, cioé a µB0. In altri termini l'eq. 11 vale solo
con il segno di eguaglianza e non di maggiore o uguale.
Se indichiamo con ν0 la frequenza dell'onda elettromagnetica che é capace di fare invertire
la direzione dei momenti magnetici di alcuni nuclei di idrogeno, l'equazione 11, tenendo
conto dell'eq.7, diventa:
(15)
hν0 = µ B0
(16)
ν0 =
da cui si ottiene
mB0
h
L'eq. 16 ci fornisce il valore ν0 della frequenza della radiazione elettromagnetica che
investe il corpo umano, per la quale si ha il capovolgimento della direzione dei momenti
magnetici dei nuclei di idrogeno. Se immaginiamo di variare con continuità, partendo dal
valore zero, la frequenza ν di tale radiazione, quando si raggiunge il valore ν0 si avrà un
forte assorbimento di fotoni, che si ridurrà notevolmente per valori più grandi della
frequenza.
Se riportiamo in grafico il numero di fotoni assorbiti per unità di tempo in funzione della
frequenza ν della radiazione, otterremo un picco alla frequenza ν0, come riportato
nell'esempio di fig.14.
Tale fenomeno di assorbimento di una radiazione avente una frequenza ben determinata si
chiama risonanza e ν0 prende il nome di frequenza di risonanza.
Si può ora capire la terminologia risonanza magnetica nucleare: si hanno nuclei di
idrogeno che risuonano in un campo magnetico esterno con i loro momenti magnetici.
E' da notare come in fig.14 la risonanza dei nuclei di idrogeno avvenga per ν0 = 42,6 MHz,
per un campo magnetico esterno B0 = 10 KGauss, cioé di 1 Tesla. In effetti é importante
precisare il valore del campo magnetico esterno B0 perché, come appare dall'eq.16, il
valore di ν0 é proporzionale a B0: tale fatto fondamentale può essere sfruttato, come si
vedrà in seguito, per ottenere la tomografia, cioé un'immagine che ci fornisce la
distribuzione spaziale della densità di nuclei di idrogeno. In genere le frequenze delle
radiazioni assorbite in risonanza nei tomografi reali corrispondono a delle radiofrequenze e
pertanto sono poco invasive, contrariamente ai raggi-X, utilizzati sia nelle radiografie che
nella Tomografia Assiale Computerizzata (TAC), i quali producono ionizzazione e quindi
danno biologico nei tessuti attraversati.
Immaginiamo ora che un certo numero di nuclei di idrogeno siano passati dal livello
energetico 1 al livello 2, cioé da una configurazione "parallela" ad una "antiparallela".
Interrompiamo poi il flusso di radiazione elettromagnetica di frequenza ν0 che investe il
corpo umano, mantenendo invariato il campo magnetico esterno.
Ora i nuclei passati alla configurazione antiparallela si trovano in equilibrio instabile, per
quanto detto nella sezione 2.1.3, e quindi progressivamente ritornano nello stato di
equilibrio stabile (configurazione "parallela"), saltando dal livello 2 al livello 1.
46
S
GENERATORE
RF
N
VARIATORE
DI
FREQUENZA
REGISTRA TORE
RICEVITORE
RF
FIG.14: a) SCHEMA A BLOCCHI DI UNO SPETTROMETRO
A RISONANZA MAGNETICA NUCLEARE
Se poniamo nei pressi del campione una semplice bobina elettrica provvista di voltmetro
(fig.15), quando un nucleo di idrogeno inverte la direzione del momento magnetico
passando dalla configurazione "antiparallela" (2) a quella "parallela" (1), si ha che il
campo magnetico B creato dal nucleo ruotante, espresso in generale dall'eq.2, e
rappresentato nella fig.1, inverte anche lui la direzione.
1H
Ia
B o = 10 KG
Ii
19F
νο
42;6
40
ν (MHz)
FIG 14 b) Registrazione "ideale "di un esperimento RMN su di
un campione contenente nuclei di fluoro e idrogeno.
In ordinata é riportato il rapporto tra fotoni assorbiti e fotoni
incidenti I a/Ii , ed in ascisse la frequenza ν.
47
Pertanto il flusso di B concatenato con la bobina varia nel tempo durante il
capovolgimento e per la legge di Faraday, espressa dall'eq.6, determina una forza
elettromotrice indotta V nella bobina che può essere misurata mediante il voltmetro.
↓
2
B
↓
1
f.e.m. = 1
∆Φs(B)
∆t
2
V
FIG.15
Ogni nucleo che decade dal livello 2 al livello 1 produce una certa differenza di potenziale
indotta nella bobina. Più nuclei che decadono contemporaneamente determinano una
differenza di potenziale multipla di quella prodotta da un solo nucleo. La differenza di
potenziale V0 al tempo zero ai capi della bobina é proporzionale quindi al numero di
nuclei di idrogeno che si diseccitano per unità di tempo al tempo zero, che é rappresentato
da -
∆N2
∆t
(il segno meno é necessario perchè ∆N2 é negativo, dato che N2 diminuisce
0
nel tempo). Si può scrivere quindi:
(17)
V0 ∝ -
∆ N2
∆t
0
Si osserva sperimentalmente che una volta che si interrompe il flusso di onde
elettromagnetiche di frequenza ν0 sul corpo umano, la forza elettromotrice V decade in
maniera esponenziale in funzione del tempo secondo l'equazione:
(18)
-t
τ
V(t) = V0 • e
dove τ é il tempo di rilassamento che dipende dal nucleo che decade1. L'eq.18,
(rappresentata nella fig.16), sta a significare, se si considera l'eq.17 (che è valida per un
1(In
verità nei tomografi reali la situazione è molto più complicata: in particolare invece di avere un solo
tempo di rilassamento se ne hanno due.)
48
tempo qualsiasi e non solo all'istante iniziale), che il numero di nuclei che si diseccitano
per unità di tempo diminuisce in maniera esponenziale in funzione del tempo.
SEGNALE
V (t)
Vo
FIG.16
TEMPO ( t )
Ora possiamo facilmente immaginare che se ripetiamo l'esperimento raddoppiando il
numero di nuclei N1 e N2, raddoppierà anche il numero di nuclei che si diseccitano per
unità di tempo e quindi la differenza di potenziale V, per cui possiamo scrivere:
(19)
-
∆N2
∝ N2
∆t 0
così per le eq. 17 e 19 si ha:
(20)
V0 ∝ N2 .
D'altro canto è evidente che N2 è proporzionale al numero totale di atomi di idrogeno n,
per cui la (20) diventa
(20 bis)
V0 ∝ n
Dall'eq. 20 si può vedere che, in condizioni di risonanza magnetica nucleare, misurando la
forza elettromotrice ai capi della bobina al tempo zero, cioé subito dopo aver cessato
l'irraggiamento del campione con le onde elettromagnetiche di frequenza ν0, possiamo
avere informazioni (sia pure a livello relativo) sul numero di nuclei di idrogeno contenuti
nel campione. Ad esempio se abbiamo due scatolini di alluminio A e B di 1mm3 ciascuno,
di cui il primo sia riempito di acqua e contenga nA nuclei di idrogeno, mentre il secondo
sia riempito solo parzialmente e contenga nB nuclei di idrogeno, se inseriamo i due
scatolini in tempi successivi nella macchina avremo:
(21)
V0A nA
=
V0B nB
49
Se ad esempio il secondo scatolino é riempito a metà, avremo
V0A
=2.
V0B
In altri termini la macchina é capace di compiere una "pesata", relativa tra due campioni,
del numero di nuclei di idrogeno.
Si tratta ora di vedere come sia possibile ottenere delle immagini del corpo umano. Se noi
potessimo scomporre il corpo del paziente che vogliamo esaminare in tanti cubetti di
1mm3 ciascuno, allora utilizzando l'eq. 21 potremmo ottenere la densità dei nuclei di
idrogeno di un cubetto B qualsiasi riferita a quella di un cubetto A preso come riferimento.
Poiché la concentrazione di acqua, e quindi di nuclei di idrogeno, varia da tessuto a
tessuto, la distribuzione n(x,y,z) di densità dei nuclei di idrogeno così ottenuta (definita ad
esempio come numero di nuclei di idrogeno per mm3 nel punto P(x, y, z)) potrebbe fornire
facilmente immagini dei vari organi.
Ad esempio se moltiplichiamo tutte le densità relative ottenute n (x, y, z) per un fattore tale
che il valore massimo di n sia uguale a cento, potremmo assegnare un colore bianco ai
cubetti il cui valore di n sia compreso tra 0 e 10, un colore nero ai cubetto il cui valore di n
sia compreso tra 90 e 100 e dei colori grigi variabili dal chiaro allo scuro per gli insiemi di
cubetti il cui valore di n risulti appartenere alle bande intermedie (10-20); (20-30) e così
via.
A questo punto se vogliamo ottenere l'immagine di una sezione qualsiasi del corpo del
paziente, ad esempio del cranio, basta che riportiamo su di un foglio i colori dei cubetti che
appartengono a quel piano. E' ovvio che possiamo ottenere immagini di sezioni orientate
arbitrariamente. Questa tecnica, che funzionerebbe perfettamente, presuppone però di
sminuzzare in tanti cubetti il corpo del paziente, che probabilmente non sarebbe molto
contento.
Al fine di ovviare a tale inconveniente i fisici hanno escogitato un "trucco" di natura fisica
che consente di ottenere lo stesso risultato, in modo non distruttivo. Immaginiamo di
scomporre (ma questa volta idealmente) il corpo del paziente in tanti cubetti da 1 mm3: se
riuscissimo a "marcare" ogni cubetto in maniera fisica avremmo lo stesso risultato di cui
sopra. Questa marcatura è possibile grazie all'eq. 16, da cui appare che la frequenza di
risonanza dei nuclei di idrogeno dipende dal campo magnetico. Se riusciamo a far sì che
un cubetto qualsiasi, situato nel punto P(x, y, z), si trovi in un campo magnetico diverso
dagli altri esso assorbirà radiazione elettromagnetica ad una frequenza νP diversa dagli
altri. Per cui riuscendo a separare (e questo è possibile agevolmente con metodi fisicimatematici classici), ai capi della bobina di cui sopra, il segnale V0(νP) corrispondente a
quella data frequenza, potremmo ottenere, grazie all'eq. 21, il numero di nuclei di idrogeno
nP, contenuti in quel cubetto rispetto ad un cubetto di riferimento. Così sarà possibile
ottenere n (x, y, z) e quindi le immagini.
Cerchiamo ora di precisare meglio questi concetti. Per ottenere un campo magnetico
diverso in ogni cubetto si introducono dei gradienti di campo magnetico, cioè campi
magnetici variabili nello spazio. La fig. 17 mostra un gradiente lineare di campo
magnetico in una dimensione, da cui appare che B dipende da x, ossia
50
(22)
B = B(x).
Dalla (22) e dall'eq. 16 otteniamo
(23)
ν = ν(x).
Dalla (23) si ha che un cubetto generico che si trovi ad una distanza x dall'origine
assorbirà radiazione elettromagnetica di frequenza ben determinata ν(x), che produrrà ai
capi della bobina un segnale V0 [ν(x)], che dipende da x ed é proporzionale al numero dei
nuclei di idrogeno n(x) contenuti nel cubetto.
B(x)
Ad esempio due cubetti situati in x1 e
x2 sono immersi in campi diversi B1 e
B2 (fig.16) ed assorbiranno radiazioni
di frequenze ν1 e ν2 (vedi eq.16), che
daranno luogo a segnali diversi V01 e
V02 ai capi della bobina, così che
B1
B2
(24)
x1
x2
x
FIG. 17
(25)
n1 V01
=
.
n2 V02
Se si applicano tre gradienti di campo
magnetico
nelle
tre
direzioni
perpendicolari x,y,z, ogni cubetto si
trova in un campo magnetico diverso,
così che l'eq.22 é sostituita da
B = B(x,y,z)
e l'eq. 23 da
(26)
ν = ν (x,y,z).
L'eq. 26 significa che ogni cubetto che si trovi nella posizione x,y,z, assorbirà radiazione
elettromagnetica di frequenza ben determinata ν (x,y,z), che produrrà ai capi della bobina
un segnale V0 [ν (x,y,z)], che dipende da x,y,z ed é proporzionale alla densità di nuclei di
idrogeno n(x,y,z).
Dalla densità n(x,y,z) si può ottenere le immagini secondo quanto esposto in precedenza.
La fig. 18 mostra uno schema del tomografo NMR. Le bobine del magnete principale sono
indicate con A, mentre B, C e D sono le bobine che producono i gradienti di campo
magnetico rispettivamente lungo x, y e z. La bobina che trasmette gli impulsi di
radiofrequenza ed eventualmente riceve il segnale nucleare è indicata con E.
51
52
APPENDICE
ESEMPIO DI IMMAGINE DI UN SISTEMA BIDIMENSIONALE
Due campioni di acqua si trovano nel piano x,y (fig. 19).
Con un gradiente di campo magnetico lungo l'asse x si ottiene la distribuzione di densità
di nuclei di idrogeno n(x) lungo la sola dimensione x, che contiene i due picchi riportati in
fig. 20, che selezionano le due bande riportate in figura.
y
n(x)
x
FIG.19
FIG.20
x
La posizione dei due campioni resta imprecisata: essi possono trovarsi in qualunque punto
entro le due strisce.
Creiamo un gradiente anche lungo l'asse y (fig. 21).
La posizione dei due cilindri non é ancora univocamente determinata: ognuna delle quattro
regioni scure é ugualmente probabile. Se introduciamo un terzo gradiente (fig. 22) la
posizione dei cilindri resta univocamente determinata dalle due regioni più scure.
x
x
y
y
FIG. 21
53
FIG. 22
