Elettromagnetismo 1 - Lezione n. 02
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Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 2 – 6.10.2016 Elettrostatica – Il campo elettrico Anno Accademico 2016/2017 La Forza Elettrostatica è Conservativa • Un'importantissima proprietà della Forza Elettrostatica (Forza di Coulomb) è che si tratta di una forza conservativa • Dipende dalla natura centrale della forza • Le cariche possono (in generale sono) mantenute nelle posizioni assegnate da forze non elettriche • Possiamo comunque immaginare di spostare una carica da una posizione all'altra con un movimento estremamente lento, bilanciando istante per istante la forza elettrica che agisce sulla carica in esame • Consideriamo il lavoro fatto per spostare una carica q2 che interagisce con una carica q1 posta nell'origine • Calcoliamo il lavoro seguendo una traiettoria arbitraria da rA a rB • Suddividiamo la traiettoria in segmenti con gusci sferici centrati a r = 0 y y q2 q1 rA q2 r B q2 q1 x z Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa rA q2 rB x z 26 La Forza Elettrostatica è Conservativa • Consideriamo lo spostamento ds compreso fra i due gusci concentrici posti a r e r + dr • La carica q2 è in equilibrio sotto l'effetto delle forze elettrica e meccanica Fm = − Fel • La forza elettrica Fel in quel punto è • Il lavoro è • Il prodotto scalare è la proiezione di ds lungo la direzione radiale • Vale per un ds qualsiasi purché fra i due gusci y Fel Fm α dr q2 ds r q1 x • Il lavoro per spostare una carica da rA a rB è pertanto Dipende solo dalle posizioni iniziale e finale Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa Non sono più vettori 27 La Forza Elettrostatica è Conservativa • Una traiettoria arbitraria può intersecare y i gusci più di una volta • Ad esempio la traiettoria in figura • Ci sono tre spostamenti all'interno dei gusci dr fra r e r + dr: ds1, ds2, ds3 ds1 • Tutti e tre gli spostamenti hanno una proiezione radiale che ha la stessa lunghezza (in modulo): dr ds2 • Tuttavia due sono nel senso positivo e uno q2 nel senso negativo • Il campo elettrico ha sempre lo stesso modulo ds3 q x 1 (il modulo di r è costante sul guscio) • Il contributo al lavoro dello spostamento ds2 cancella uno degli altri due • Rimane un solo contributo • È facile convincersi che rimangono solo i contributi che sommati danno ancora una volta • Il lavoro non dipende dalla particolare traiettoria ma solo dal punto di partenza e quello di arrivo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 28 La Forza Elettrostatica è Conservativa • C'è un modo più formale per rendersi conto che il lavoro dipende solo dalle distanze radiali dall'origine dei punti di partenza e di arrivo della traiettoria • La traiettoria può essere espressa in forma parametrica† • Il vettore tangente è • Consideriamo il lavoro (ricordiamo che Fm = − Fel ) • †Schey H. - Div, Grad, Curl And All That; An Informal Text on Vector Calculus 3rd ed - Norton, 1997. p. 66 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 29 Energia di un sistema di cariche • Ci limitiamo a sistemi elettrostatici in cui le cariche sono ferme • Come abbiamo visto la forza elettrostatica è conservativa • In generale le cariche mantenute nelle posizioni date da forze non elettriche • Possiamo comunque immaginare di spostare una carica da una posizione all'altra con un movimento estremamente lento, bilanciando istante per istante la forza elettrica che agisce sulla carica in esame • In presenza di altre cariche sulla carica in esame sarà esercitata una forza elettrostatica Fel • Durante il moto è applicata una forza Fm che bilancia la forza Fel Fm • Nel corso del movimento la forza Fm B ds Fel • Potrà "frenare" la carica A • Angolo fra Fm e ds maggiore di π/2 • Lavoro negativo, energia guadagnata dal sistema meccanico, persa dal sistema elettrostatico • Potrà "spingere" la carica • Angolo fra Fm e ds minore di π/2 • Lavoro positivo, energia persa dal sistema meccanico, guadagnata dal sistema elettrostatico Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 30 Energia di un sistema di cariche • L'energia elettrostatica di un sistema di cariche è definita come il lavoro fatto sul sistema (energia guadagnata dal sistema elettrostatico) per costruire una data configurazione di cariche elettriche inizialmente poste all'infinito • Consideriamo il caso più semplice • Un sistema di due cariche poste a distanza d • Consideriamo una carica q1 posta nell'origine • Trasportiamo una carica q2 dall'infinito a una distanza d dalla prima carica • Per semplicità lungo una traiettoria rettilinea • Il lavoro fatto sul sistema elettrostatico è dato dall'integrale y q2 q1 d q2 +∞ x z • Il segno di questo integrale deve essere trattato con cura • L'inversione dell'ordine degli estremi di integrazione introduce un segno meno • Determiniamo prima il segno del risultato sulla base di un ragionamento fisico • Dopo capiremo la matematica Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 31 Energia di un sistema di cariche • Supponiamo, per fissare le idee, che le due cariche abbiano lo stesso segno • La forza elettrica Fel su q2 è repulsiva, diretta nel senso positivo dei vettori posizione che partono dall'origine • La forza meccanica Fm è diretta verso l'origine y Fel • Lo spostamento è diretto verso l'origine • Ricordiamo il lavoro q1 Fm q 2 d x • Lo spostamento e la forza sono nella stessa direzione z • L'integrando, il lavoro infinitesimo dW, è positivo • D'altro canto, l'integrale che abbiamo introdotto • Il segno è negativo, diverso da quanto avevamo previsto Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 32 Energia di un sistema di cariche • Evidentemente l'integrale non è stato definito correttamente • Il motivo risiede nel fatto che gli estremi di integrazione sono nell'ordine inverso rispetto al verso crescente della variabile r • Pertanto se si invertono gli estremi di integrazione occorre anche fare la sostituzione dr → − dr • Un altro modo per definire correttamente l'integrale è considerare il lavoro che vogliamo calcolare come • Il lavoro necessario per spostare la carica dal punto a distanza d fino all'infinito, cambiato di segno Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 33 Il Campo Elettrico • La legge di Coulomb permette di trovare le forze che si esercitano fra le cariche elettriche che costituiscono un sistema elettrostatico • È tuttavia particolarmente interessante formulare il problema in modo differente • Si definisce un sistema elettrostatico fatto da N cariche elettriche q1, … qj, … qN poste nelle posizioni r1, … rj, … rN • Ci si chiede qual è la forza che viene esercitata su una carica q0 posta in una posizione arbitraria r0 • La legge di Coulomb fornisce immediatamente la risposta Abbiamo usato il principio di sovrapposizione (linearità) • A questo punto introduciamo il campo elettrico E nel punto r0 come il rapporto fra la forza F e la carica q0 evidentemente • Il campo elettrico E(r) permette di calcolare la forza su una carica arbitraria q in una posizione arbitraria r: F = q E(r) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 34 Il Campo Elettrico • Per fissare meglio i concetti appena esposti consideriamo in maggiore dettaglio un caso molto semplice • Il campo elettrico di una carica puntiforme q1 posta nel punto r1 • La formula precedente, specializzata al caso di una sola carica è • Il versore punta dalla posizione r1 in cui è posta la carica al punto r0 dove vogliamo conoscere il campo • Semplifichiamo ulteriormente ponendo la carica nell'origine r1 = 0 e chiamando r invece che r0 il punto generico • Il versore diventa il versore che dall'origine punta a r, cioè y x • In definitiva il campo elettrico di una carica puntiforme è z Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 35 Il Campo Elettrico • Quanto fatto fino a ora non aggiunge nulla alla legge di Coulomb • Vedremo tuttavia che il concetto di campo ha delle implicazioni molto importanti che potremo apprezzare completamente quando tratteremo fenomeni variabili nel tempo • Nell'esempio descritto le N cariche elettriche avevano una posizione fissata • In generale sono tenute nelle posizioni date da forze di tipo non elettrico che mantengono le cariche nelle posizione date • Quando introdurremo i conduttori tratteremo problemi in cui le cariche possono muoversi • Il questi casi occorre assicurarsi che l'introduzione della carica q0 non modifichi la posizione delle cariche • In pratica q0 deve essere molto piccola • Si esprime questo requisito modificando la definizione di campo elettrico • Questa espressione definisce matematicamente il campo elettrico • Tuttavia sperimentalmente si scontra con la circostanza che la carica più piccola osservata è la carica dell'elettrone e • Sperimentalmente si chiede che la carica q0 non modifichi il sistema Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 36 Il Campo Elettrico • Continuiamo a elaborare il concetto di campo • Il sistema di N cariche elettriche q1, … qj, … qN genera una proprietà dello spazio • Ad ogni punto dello spazio è assegnato un vettore, il vettore di E(r), che descrive in modo esauriente l'interazione di una carica arbitraria q con il sistema di N cariche • Le N cariche sono le sorgenti del campo • Si dice anche che le N cariche elettriche generano il campo elettrico E • Nello spazio vuoto, fissate le cariche elettriche (il loro valore e la loro posizione) il campo elettrico può essere calcolato con la formula • Nella materia o in presenza di conduttori occorre sviluppare dei metodi più potenti per calcolare il campo elettrico • Si utilizzano le equazioni differenziali alle derivate parziali • Si fissano opportune condizioni al contorno Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 37 Il Campo Elettrico • Sottolineiamo un aspetto importante di questa formulazione • Il campo elettrico è una proprietà locale dello spazio • In linea di principio, potrebbe succedere che • In un dato punto dello spazio una carica di valore q Coulomb sente una forza F • Nello stesso punto una carica del valore 2q potrebbe sentire una forza diversa da 2F • La forza potrebbe dipendere dalla disposizione e dai valori di tutte le cariche che costituiscono il sistema, inclusa la carica 2q • Se fosse così l'introduzione del Campo Elettrico sarebbe inutile • Invece la conoscenza del campo in un punto e nell'intorno è tutto quello che serve per determinare la forza su una carica arbitraria • Non importa come il campo è stato generato • Questo è il significato dell'aggettivo "locale" Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 38 Visualizzazione del Campo Elettrico • Con il calcolo del Campo Elettrico si assegna ad ogni punto r dello spazio un vettore E(r) • È sottinteso che E(r) è un vettore applicato nel punto r • La visualizzazione di un campo elettrico con metodi grafici è difficile • Comunque inadeguata. Un'approssimazione • Il metodo più utilizzato è quello delle linee di campo • Si tratta di linee curve che sono tangenti al campo elettrico in ogni punto • Consideriamo per cominciare il campo elettrico di una carica puntiforme • Tracciamo una linea allontanandoci dalla carica positiva richiedendo che sia sempre tangente a E(r) • Lo stesso per le altre • Notiamo che le linee "escono" dalla carica positiva • È una sorgente • Per una carica negativa la situazione è analoga • Le linee "entrano" nella carica negativa • È un pozzo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 39 Visualizzazione del Campo Elettrico • Consideriamo adesso il campo generato da una carica q+ = +3 e una carica q− = −1 (unità arbitrarie) • Tracciamo una linea allontanandoci dalla carica positiva richiedendo che sia sempre tangente a E(r) • Lo stesso per le altre Bassa densità di linee campo elettrico piccolo Alta densità di linee campo elettrico elevato Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 40 Visualizzazione del Campo Elettrico • Si potrebbe dare una definizione analitica delle linee di campo • Un breve accenno e un esempio si trovano nel testo di Mazzoldi, Nigro, Voci • Non ci addentreremo nella descrizione analitica delle linee di campo • Potreste utilizzare il vostro computer e le tecniche di programmazione dei laboratori di informatica per rappresentare graficamente alcuni campi elettrici • È bene tenere presente alcune proprietà delle linee di campo • In ogni punto la tangente alla linea dà la direzione del campo elettrico • La densità locale delle linee di campo è maggiore dove il campo elettrico è più intenso • In pratica si disegnano un numero di linee proporzionale al valore delle cariche positive • Termineranno sulle cariche negative o all'infinito • Le linee di campo non si incrociano mai • Se si incrociassero nel punto di incrocio il campo elettrico avrebbe due direzioni simultaneamente ? Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 41 Visualizzazione del Campo Elettrico • Le linee di campo originano dalle cariche positive e terminano su quelle negative • Oppure possono partire o terminare all'infinito • Il numero di linee che originano da una carica (o terminano su una carica) è proporzionale alla grandezza della carica • Caso particolare: in un sistema con due cariche uguali tutte le linee che originano dalla carica positiva terminano sulla carica negativa • Eventualmente passando per l'infinito • Anche per sistemi con più di una carica, a distanze molto piccole dalle cariche puntiformi le linee di campo sono radiali Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 42 Distribuzioni di carica • Fino ad ora abbiamo considerato solo cariche puntiformi • Particelle cariche di dimensioni trascurabili • Matematicamente punti senza dimensione • Risulta tuttavia conveniente generalizzare il concetto di carica e ammettere che la carica possa essere una sorta di sostanza continua caratterizzata da una densità volumetrica di carica ρ ( Coulomb/m3) • Un volume dV = dxdydz contiene una carica dq • Abbiamo già visto che la materia contiene dell'ordine di 1023 elettroni per cm3 • Un numero estremamente elevata che giustifica la trattazione continua • Almeno finché dV è piccolo ma sempre di dimensioni macroscopiche, non atomiche • Naturalmente la densità di carica è, in generale, una funzione della posizione • Accanto alla densità volumetrica si usano anche • La densità superficiale σ: dq = σ dS • La densità lineare λ: dq = λ dl Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 43 Distribuzioni di carica • Richiamiamo la formula scritta per il calcolo del campo elettrico • Per una data configurazione di cariche puntiformi y • La formula può essere generalizzata al caso di distribuzioni continue di carica • Consideriamo un oggetto con una generica distribuzione di carica descritta dalla funzione ρ(r) • Individuiamo un volume dV = dxdydz ≡ d3r all'interno • La sua carica è ρ(r)d3r • È la generalizzazione di qj • La somma è sostituita da un integrale • Il campo in r0 è r r0 x z • Il versore punta dalla carica al punto r0 • L'integrale è esteso a tutto il volume dell'oggetto Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 44 Campo generato da un anello • Consideriamo un anello di carica Q e di raggio r. z Calcolare il campo elettrico in un generico punto sull'asse • Supponiamo che le dimensioni trasversali dell'anello sia trascurabili rispetto al raggio r h α • Possiamo modellizzarlo come una distribuzione y lineare di carica di densità λ = Q/(2πr) θ • Consideriamo un elemento di carica sull'anello • La lunghezza dell'elemento è dl = r dθ x • La carica dell'elemento è dQ = λdl • Consideriamo un punto ad altezza h dal piano che contiene l'anello di carica • La distanza del punto considerato dall'elemento di carica è d • Il modulo del campo elettrico è dE • Il campo elettrico generato dall'elemento forma un angolo α con l'asse z • La proiezione lungo l'asse z del campo è dEz = dE cosα • La proiezione perpendicolare all'asse z si elide con il contributo dell'elemento sull'anello posto ad un angolo θ + π • Il campo elettrico totale si trova integrando Ez su θ • Per z < 0 il campo cambia segno • Sufficiente considerare h con segno Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 45 Campo all'interno di un guscio sferico • Calcolare il campo elettrico all'interno di un guscio sferico cavo di raggio R e carica totale Q distribuita uniformemente sulla superficie z • Il guscio può essere modellizzato come una distribuzione di carica superficiale uniforme σ = Q/4πR2 • Consideriamo un generico punto P all'interno del guscio, P a distanza c dal centro c • Non si perde generalità nella soluzione se si c P considera il punto P sull'asse z R • Il problema può adesso essere risolto suddividendo il y guscio in tanti anelli e utilizzare la soluzione trovata per il campo generato da un anello (sull'asse) • Un generico anello è individuato dall'angolo polare θ • E dalla sua estensione trasversale infinitesima dθ • La superficie dell'anello è c • La carica dell'anello è dθ θ θ0 • L'altezza (con segno) del punto P sul piano dell'anello Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 46 x Campo all'interno di un guscio sferico • Riepilogando • Il campo generato dall'anello è dθ c θ θ0 • Sostituendo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 47 Campo all'interno di un guscio sferico • Pertanto • Operiamo un cambio di variabile • I limiti di integrazione diventano • Sostituendo (cambiando l'ordine di integrazione) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 48 Campo all'interno di un guscio sferico • L'integrale si trova nelle tabelle di integrali • Posto • Nel nostro problema • Calcoliamo esteso fra gli estremi di integrazione Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 49
