Ingegneria dei Sistemi Elettrici - Ingegneria elettrica ed elettronica

Ingegneria dei Sistemi Elettrici
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Elettrica
Facoltà di Ingegneria-Università di Cagliari
A.A. 2009/2010
60 ore equivalenti a 6 crediti -II semestre
Docente: Prof.ssa Mariangela Usai
Ultima modifica(01/03/2010)
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1
1
Ing. Mariangela Usai
Assistant Professor
Electrical and Electronics Engineering Dept. –University
of Cagliari
Piazza d'Armi - 09123 Cagliari - Italy
Phone:+39 70 675 5898, Fax: + 39 (70) 675-5900
Mobile Phone : 320 4373026
E_mail : [email protected]
Sito di riferimento:
http://www.diee.unica.it/Elettrotecnica
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Teoria
Teoria è
la sintesi delle cognizioni acquisite mediante
osservazioni, misure ed elaborazioni matematiche.
Storicamente le relazioni circuitali (come la legge di Ohm,
principi di Kirchhoff, legge di Joule, teorema di Boucherot etc.)
sono state introdotte prima e successivamente con metodo
induttivo, esse sono state estese in modo da poterle applicare ai
fenomeni più generali che descrivono i campi .
Ne consegue che:
le relazioni circuitali sono semplicemente espressioni particolari
delle equazioni dei campi e possono essere dedotte da esse.
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Campo
In generale un campo è definito come la distribuzione spaziale di
una quantità, che può essere o non essere funzione del tempo.
Esempi di campi:
Campo gravitazionale ad ogni punto del campo si associa l’energia
immagazzinata ( grandezza scalare) in una massa unitaria, sollevata
al disopra della superficie terrestre compiendo su di essa un lavoro.
Campo termico espresso in funzione della temperatura (grandezza
scalare) misurata in ciascun punto del mezzo.
Campo di forze espresse attraverso un vettore definito con modulo
direzione, verso e punto di applicazione.
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La teoria elettromagnetica o l’elettromagnetismo è lo
studio degli effetti delle cariche elettriche a riposo e in
movimento.
Le cariche elettriche possono essere positive o negative
e entrambe sono sorgenti di campi elettrici.
Le cariche in movimento producono una corrente, che
fa nascere un campo magnetico.
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La teoria elettromagnetica è indispensabile per comprendere i
principi di diversi fenomeni fisici
Sono di seguito riportati alcuni esempi di applicazioni:
•Oscilloscopi a raggi catodici,
•Radar e Comunicazione satellitare,
•Ricezione televisiva,
•Telerilevamento,
•Telecomunicazione,
•Radio astronomia,
•Dispositivi a microonde,
•Comunicazione con fibre ottiche,
•Transitori nelle linee di trasmissione,
•Problemi di compatibilità elettromagnetica,
•Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in casi di visibilità limitata,
•Atom smashers or particle accelerators (subatomic particles),
•Conversione della energia elettromeccanica.
•Studio del funzionamento del corpo umano e animale e così via.
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Un campo elettrico variabile nel tempo è accompagnato da un
campo magnetico e viceversa.
I campi magnetico ed elettrico tempo varianti sono accoppiati
e costituiscono un campo elettromagnetico.
In certe condizioni, i campi elettromagnetici tempo dipendenti,
producono onde che si irradiano dalla sorgente che li ha generati.
I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione di
azioni a distanza.
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Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva
o un caso particolare del concetto di elettromagnetismo.
L’ ipotesi che sta alla base del modello circuitale è che:
le dimensioni d’interesse siano sufficientemente
piccole da poter essere trascurate.
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L’ipotesi di
• assenza di dimensioni è del tutto equivalente a quella di
• velocità di propagazione del fenomeno
elettromagnetico infinita
oppure a quella di
• tempo nullo di trasmissione del fenomeno
elettromagnetico da un punto all’altro della regione
di interesse.
Con la teoria circuitale è possibile trattare i sistemi a parametri
concentrati con una notevole semplificazione nella risoluzione
dei problemi.
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La formulazione delle ipotesi di “costanti concentrate “
riguarda il tempo impiegato dal campo elettromagnetico per
spostarsi da un punto all’altro della regione di interesse.
Affinché tale tempo possa essere considerato trascurabile,
deve essere molto piccolo se confrontato con l’entità delle
variazioni temporali delle grandezze elettriche tipiche della
applicazione considerata.
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Se fmax è la frequenza massima relativa alla banda di frequenza
degli spettri delle grandezze elettriche,
il minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale
di una grandezza elettrica, che è possibile apprezzare:
t min
1
=
2 f max
mentre il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto
all’altro del circuito risulta sempre:
L
t=
v
L
1
v=
µε
dimensione massima nella direzione d’interesse.
velocità di propagazione nel mezzo della regione del campo
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Il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all’altro
del circuito, deve risultare minore del minimo intervallo di tempo
relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica che è
possibile apprezzare:
t<< tmin,
t << t min
⇒
L
1
<<
⇒
v
2 f max
ossia
2L
f max << 1
v
Se si considera la lunghezza d’onda relativa alla frequenza massima
deve essere:
v
2 L <<
= λmax
f max
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Esempi
Premessa
In una linea la velocità di propagazione del segnale dipende
dal mezzo che circonda i conduttori e in cui si propagano il
campo elettrico e magnetico.
Le costanti µ0 e ε0 del vuoto e la velocità di propagazione nel
vuoto c sono rispettivamente uguali a:
µo = 4 π × 10 −7 [H/m]
1
1
εo = 2 ≅
× 10 −9 ≅ 8.854 × 10 −12 [F/m]
c µ o 36π
1
c=
≅ 3 × 10 8 [m/s]
εo µo
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Esempi
Linee aerea
Le costanti µ e ε dell’aria si possono considerare uguali a quelle
del vuoto per cui la velocità v risulta di trasmissione è uguale a
quella del vuoto co = 3*108 m/s
v 3 ⋅108
=λ
2 L << =
f
50
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linea aerea =
6000 km
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Quindi, essendo
v 3 ⋅108
λ linea aerea per f =50Hz = =
= 6000 km
50
f
si ha che:
•una linea aerea lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a
frequenza industriale (50 Hz), può essere studiata con un
modello circuitale a parametri concentrati, mentre
la stessa linea lunga 100 m, se utilizzata per trasmettere dei
segnali a 6MHz deve essere studiata con un modello a
parametri distribuiti , infatti:
v 3 ⋅108
λ linea aerea per f =6MHz = =
= 50m
6
f 6 ⋅10
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Linea in cavo
mentre la lunghezza d’onda λ è un po più piccola per quelle
con dielettrico diverso dall’aria v ≈ 2 *108 m/s. Infatti nei
dielettrici, la permettività relativa εr varia tra 2÷5, mentre la
permeabilità relativa µr=1
λcavo
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v 2 ⋅108
= =
= 4000 km
f
50
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Per un circuito audio ad alta fedeltà la frequenza più alta è
fmax ≈ 25 kHz
3 ⋅108
v
λ circuito audio = =
= 12 km
3
f 25 ⋅10
Le dimensioni del circuito sono molto più piccole della lunghezza d’onda,
si può utilizzare il modello a parametri concentrati
Per un circuito a microonde
fmax =3 GHz÷300 GHz
3 ⋅108
v
λ microonde = =
= 0.1 ÷ 0.001 m
9
9
f 3 ⋅10 ÷ 300 ⋅10
Le dimensioni del circuito sono molto più grandi della lunghezza d’onda,
per cui si deve usare il modello a parametri distribuiti.
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Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un
caso particolare del concetto di elettromagnetismo.
La teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri
concentrati e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali
ordinarie.
e
La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti
e le equazioni risolutive sono generalmente equazioni
differenziali alle derivate parziali.
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I circuiti sono costituiti da
• elementi a parametri concentrati come le resistenze, le
induttanze e le capacità, mentre
• le tensioni e le correnti sono le variabili principali del sistema
(grandezze concrete o globali)
Nei circuiti in corrente continua (cc):
le variabili del sistema sono costanti e risultano determinabili con
equazioni algebriche.
Nei circuiti in corrente alternata (ac):
le variabili del sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità
scalari e indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni
risolutive sono equazioni differenziali ordinarie.
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La maggior parte delle variabili introdotte nella teoria
elettromagnetica sono funzioni del tempo e delle coordinate
spaziali.
Per definire la maggior parte di queste variabili si utilizzano le
grandezze vettoriali: i vettori e la loro trattazione richiede la
conoscenza dell’algebra e del calcolo vettoriale.
Anche nei casi statici le equazioni risolutive sono generalmente
equazioni alle derivate parziali.
La finalità della teoria dell’elettromagnetismo consiste nel saper
creare e trattare un modello elettromagnetico e le relative
formule di risoluzione.
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Equazioni di Maxwell
Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono espresse
dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono analiticamente
come:
ogni variazione del campo elettrico o magnetico nello spazio
presuppone
l’esistenza o la variazione nel tempo, di un campo di altro tipo
(magnetico o elettrico) nello stesso punto.
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Le Equazioni di Maxwell, corredate
• dalle equazioni di continuità che esprimono il principio di
conservazione della carica elettrica e
• dalle relazioni costitutive consentono di studiare e risolvere
problemi inerenti i campi, di qualunque natura essi siano.
La risoluzione analitica di tale modello matematico presenta
notevoli difficoltà per la complessità di risoluzione e l’entità
dei calcoli.
Attualmente si tende risolvere tali problemi
con metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici di
calcolo:
(Maxwell, Ansys, FEM, COMSOL e altri).
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Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere
descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwell
in forma differenziale vettoriale
δB
∇× E = −
δt
δD
∇× H = J +
δt
∇⋅ D = ρ
e
in forma integrale vettoriale
Legge di Faraday
dΦ
∫C E ⋅ d l = − d t
Legge di Ampere
∂D
∫C H ⋅ d l = I + ∫S ∂t ⋅ d s
Legge di Gauss
∫ D⋅ds = Q
S
∫ B⋅ds = 0
∇⋅B = 0
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S
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Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi
E
Campo elettrico
[V/m]
B
Induzione magnetica
[T]
H
Campo magnetico
[A/m]
D
Spostamento elettrico [C/m2]
J
Densità di corrente [A/m2]
Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili vettorialmente.
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Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle
seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate dalle
proprietà del mezzo:
D=ε E
B = µH
J =γ E
dove:
ε
µ
γ
ρ
permettività
[F/m]
permeabilità magnetica
[H/m]
conducibilità elettrica
[S/m]
densità volumica
[C/m3]
del mezzo della regione spaziale in cui si manifestano i campi.
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ε = ε0 εr è la permettività assoluta
εr permettività relativa
ε0 permettività nel vuoto ossia la costante di
proporzionalità fra la densità di flusso elettrico D
e l’intensità del campo elettrico E nel vuoto:
D = εo E
µ= µ0 µr è la permeabilità magnetica assoluta
µ R permeabilità relativa
µ 0 permeabilità nel vuoto, ossia la costante di
proporzionalità fra la densità di flusso magnetico B
e l’intensità del campo magnetico H nel vuoto:
1
H=
Bo
µo
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Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti universali:
εo µo e c dove c è la velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche (compresa la luce) e
1
c=
≅ 3 × 10 8 [m/s]
εo µo
I valori di εo e di µo sono:
• definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e
• non sono indipendenti.
Nel Sistema Internazionale (SI):
µo = 4 π × 10 −7 [H/m]
εo =
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1
c 2 µo
≅
1
× 10 −9 ≅ 8.854 × 10 −12 [F/m]
36π
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Esistono due approcci fondamentali per lo studio dei
campi e dell’elettromagnetismo:
• Approccio induttivo: si parte da leggi sperimentali
che vengono generalizzate per essere poi sintetizzate
nella forma delle equazioni di Maxwell,
• Approccio deduttivo: partendo dalle equazioni di
Maxwell, si identifica ciascuna equazione con una
appropriata legge sperimentale e si adattano le
equazioni generali a condizioni o a situazioni statiche
o tempo varianti
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In generale per lo studio un fenomeno scientifico attraverso
la definizione di un modello ideale, sono previsti tre fasi
fondamentali:
•I° fase: definizione di alcune grandezze fondamentali
pertinenti al fenomeno in studio;
•II° fase: specificazione delle formule matematiche di
queste grandezze;
•III° fase : definizione delle relazioni fondamentali con
postulati o leggi
M. Usai
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Per lo studio della teoria dell’elettromagnetismo attraverso la
definizione di un modello ideale elettromagnetico, sono previsti
tre fasi fondamentali:
•I° fase: definizione delle grandezze fondamentali
dell’elettromagnetismo;
•II° fase: specificazione delle formule matematiche che legano
queste grandezze (algebra e calcolo vettoriale ed
equazioni alle derivate parziali);
•III° fase : definizione dei postulati fondamentali per i campi
magnetici statici, campi magnetici permanenti e campi
elettromagnetici
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I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni
sperimentali acquisite in condizioni controllate e efficacemente
sintetizzate.
Le grandezze del modello matematico possono essere suddivise
grossolanamente in due categorie:
•Le grandezze sorgenti ( cariche elettriche invariabili: fisse o in
movimento) e
•Le grandezze del campo generato dalle sorgenti.
La carica elettrica si indica con la lettera q o Q.
Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come
multiplo positivo o negativo della carica elettrica elementare di
un elettrone –e
e = 1.60 × 10 −19 [C]
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Il principio della conservazione della carica elettrica è un
postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce che la
carica elettrica è conservativa, cioè che non può essere ne creata
ne distrutta.
Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in qualunque
circostanza ed è rappresentato matematicamente attraverso
l’equazione di continuità.
Il primo principio di Kirchhoff della teoria circuitale afferma la
proprietà di conservazione della carica elettrica, ossia che non
c’è accumulo di cariche in una connessione.
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Si definisce densità di carica volumica ρ:
∆q
ρ = lim
[C/m 3 ]
∆v→0 ∆v
dove ρ è la quantità di carica in un volume molto piccolo ∆v.
In alcune situazioni fisiche una quantità di carica ∆q può
essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l ,
in questi casi si definisce la densità di carica superficiale ρs :
∆q
ρs = lim
[C/m 2 ]
∆s →0 ∆s
o la densità di carica lineare ρl :
∆q
ρl = lim
[C/m]
∆l →0 ∆l
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Le densità di carica definite variano generalmente da punto a
punto con le coordinate spaziali.
La corrente I è velocità della variazione della carica rispetto al
tempo, cioé:
dq
I=
[C/s] o [A]
dt
In elettromagnetismo di definisce la densità di corrente J
che misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l’unità di
superficie normale alla direzione del flusso di corrente.
J è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di
superficie [A/m2] la cui direzione e verso sono quelle del flusso
di corrente.
M. Usai
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