Trasformazioni di Lorentz
I postulati di Einstein hanno conseguenze importanti per la misurazione degli intervalli di
tempo e di spazio. Il problema da risolvere e’ trovare la relazione generale fra le coordinate
spazio-temporali (x, y, z, t). Consideriamo il caso di due sistemi di riferimento inerziali in moto
uno rispetto all’altro con velocita’ v lungo l’asse x.
Galileo
x'= x " vt
x = x'+vt
Lorentz
x'= " ( x # vt )
x = " ( x'+vt')
Dove ! e’ una costante che puo’ dipendere da v e c ma non dalle coordinate. Inoltre deve
diventare uguale ad 1 quando v/c tende a 0.
!
!
Per vedere se queste equazioni si possono rendere
compatibili con la relativita’, imponiamo
che c sia la stessa in S e S’. Supponiamo che un lampo di luce venga emesso in x= 0 a t= 0.
Assumiamo che le origini dei sistemi di riferimento coincidano a questo istante, quindi il
lampo di luce e’ emesso a x’=0 e t’ =0. Chiamiamo E1 questo evento. Dopo un certo tempo un
osservatore in x osserva il lampo di luce, evento E2. Quando si produce E2? x = ct. In S’ deve
essere x’ = ct’. Sostituendo nelle due equazioni si ha:
ct'= " (ct # vt ) = "t (c # v )
ct = " (ct'+vt') = "t' (c + v )
Moltiplicando fra loro i primi membri di queste equazioni e poi gli ultimi si ha
c 2 tt'= " 2 tt' (c # v )(c + v )
c 2 = " 2 (c 2 # v 2 )
"=
1
1# v 2 /c 2
=
1
1# $ 2
" = v /c = parametro di velocita '
1
#=
= fattore di Lorentz
2
1$ "
Risolvendo le due equazioni precedenti rispetto a t e t’ si ha
!
x'= " (x # vt) = " [" ( x'+vt') # vt ] = ......
!
$ vx '
t'= " & t # 2 )
% c (
$ vx' '
t = " & t'+ 2 )
% c (
Trasformazioni galileiane e di Lorentz
Trasformazioni galileiane
x'= x " vt
y'= y
z'= z
t'= t
Trasformazioni di Lorentz
x'= " (x # vt)
Le equazioni di trasformazione di Lorenz dicono che
spazio e tempo sono connessi.
Il tempo non e’ assoluto ma dipende dalla posizione e
dalla velocita’. Spazio e tempo vanno considerati
insieme, esiste lo spazio-tempo.
!
y'= y
z'= z
x = " (x'+vt')
y = y'
z = z'
vx
t'= " (t # 2 )
c
vx'
t = " (t'+ 2 )
c
L’ultima equazione mette in evidenza che il valore di t’ dipende non solo da t ma anche
da x. quindi non si puo’ tracciare una netta distinzione tra spazio e tempo visti come
concetti indipendenti. Invece di tre coordinate spaziali e di un tempo indipendente, a
caratterizzare un evento sono quattro coordinate spazio-temporali, che sono
”mescolate” da una trasformazione di Lorentz.
0.1c " # = 1.005
0.2c " # = 1.021
0.3c " # = 1.048
0.4c " # = 1.091
0.5c " # = 1.155
0.6c " # = 1.25
0.7c " # = 1.40
0.8c " # = 1.667
0.9c " # = 2.294
0.99c " # = 7.071
0.999c " # = 22.36
!
Esempio
Un evento e’ caratterizzato nel sistema di riferimento S dalle coordinate x= 1000 m ; y = 0; z =
0; e t = 10-6 s. Calcolare le coordinate dello stesso evento in un sistema di riferimento S’ che si
muova parallelamente all’asse x con velocita’ v = 0.9 c. Le origini dei due sistemi coincidono
per t = t’ = 0.
"=
1
v2
1# 2
c
=
1
1
=
= 2.29
1# 0.81
0.19
x'= " (x # vt) = 2.29(1000 # 0.9c $10#6 ) = 2.29(1000 # 0.9 $ 3$10 8 $10#6 ) =
!
2.29(1000 # 270) = 1671.7m
!
!
$ vx '
$ 0.9c *1000 '
#6
#4
t'= " &1# 2 ) = 2.29&1#
=
2.29
1#
300
*10
=
2.29
1#
3*10
)
(
)
(
)
% c (
%
(
c2
Diagrammi spazio-tempo
ct
x
Simultaneita’
Per Galileo due eventi simultanei in un sistema di riferimento risultano simultanei in
qualunque altro sistema di riferimento.
La trasformazione di Lorentz mostra che questo non e’ vero.
Supponiamo che due eventi accadano nello stesso istante ma in posti diversi nel
sistema di riferimento S, cioe’ t1 = t2 . Cosa succede per un osservatore in S’?
%
v(x 2 $ x1 ) ( + v"x .
#v"x
"t'= # '( t 2 $ t1 ) $
=
#
0
$
=
$
0
*) -,
&
c2
c2 /
c2
Eventi che
! sono simultanei in S non lo sono in generale per un altro osservatore in
S’. La simultaneita’ e’ relativa all’osservatore.
Dilatazione dei tempi.
L’intervallo di tempo tra due eventi che accadono nella stessa posizione in un sistema di
riferimento e’ sempre minore dell’intervallo di tempo tra gli stessi eventi misurato in un altro
sistema di riferimento in cui gli eventi accadono in posizioni diverse.
Consideriamo due eventi che accadono in x’0 agli istanti t’1 e t’2. Per il sistema S si ha
# ' vx '0 &
t1 = " % t1 + 2 (
c '
$
L’intervallo di tempo tra eventi che accadono
# ' vx '0 &
nella stessa posizione in un sistema di
t 2 = " % t 2 + 2 ( ) t 2 * t1 = " (t 2' * t1' ) ) +t = "+t p riferimento e’ detto tempo proprio.
c '
$
!
!
"t 0 =
2L
c
1
1
1
2
2
2
2 ( v"t) + L
2 ( v"t) + ( c"t 0 ) 2
2L'
2
2
2
"t =
=
=
c
c
c
"t 0
"t =
= $"t 0
2
1# (v /c)
" = v /c = parametro di velocita '
1
#=
= fattore di Lorentz
2
1$ "
Occorre fare attenzione al fatto che lo stesso orologio deve essere situato nel
posto dove ogni evento accade per avere il tempo proprio. Facendo riferimento
all’esempio precedente si ha
% ' vx '2 ( % ' vx1' (
"t = t 2 # t1 = $ ' t 2 + 2 * # $ ' t1 + 2 *
c ) &
c )
&
$v
$v
"t = $ ( t 2' # t1' ) + 2 ( x '2 # x1' ) = $"t'+ 2 "x'
c
c
Solo un orologio posizionato dove l’evento avviene puo’ misurare il tempo proprio
!
La dipendenza del periodo di un orologio dal suo moto rispetto ad un osservatore e’
una caratteristica generale dello spazio tempo. Il meccanismo dell’orologio non e’
ovviamente importante.
Se T’ e’ l’intervallo di tempo fra due “tic” misurato nel sistema di riferimento S’ in cui
l’orologio e’ in quiete, T = !T’ e’ l’intervallo di tempo misurato nel sistema di
riferimento in moto S. Poiche’ ! > 1, questo tempo e’ piu’ lungo.
L’interpretazione di questo risultato per un osservatore in S e’ che l’orologio in moto
rimane indietro, cioe’ segna il tempo piu’ lentamente. Questo effetto di allungamento
del tempo per un orologio in moto e’ chiamato dilatazione del tempo.
Tutti i processi fisici in un sistema in moto si svolgono con un ritmo piu’ lento.
$
v(x 2 " x1 ) ' $
v(vT) '
T0' = t 2' " t1' = # &( t 2 " t1 ) "
= # &T " 2 ) =
)
2
%
( %
c
c (
T /#
!
Contrazione di Lorentz
La lunghezza di un corpo misurata nel sistema di riferimento in cui e’ in quiete e’ detta
lunghezza propria. In un sistema di riferimento in cui il corpo e’ in moto la lunghezza
misurata e’ minore della lunghezza propria.
Consideriamo un regolo in quiete in S’. Allora x’2-x’1 = lp e’ la lunghezza propria del regolo.
x2-x1 = l = lunghezza in S. In S x2 e x1 vanno misurati allo stesso istante t, cioe’ t1 = t2.
x '2 = " (x 2 # vt 2 )
x1' = " (x1 # vt1 ) $ x '2 # x1' = l p = "l
l e’ la lunghezza del regolo misurata nel sistema di riferimento in moto
!
2
l = l0 1" v /c
2
Il regolo in quiete nel sistema di riferimento S
(Terra), se misurato nel sistema di riferimento S’
(razzo) risulta piu’ corto.
Per l’astronauta un regolo in moto si contrae.
La contrazione delle lunghezze e’ un effetto reciproco. Se il regolo e’ in quiete in S’
apparira’ piu’ corto in S.
Decadimento dei muoni
I muoni decadono secondo la legge
N(t) = N 0e"t / #
" e’ la vita media del muone e vale circa 2 µs per i muoni in quiete. I muoni vengono creati
nell’alta atmosfera, per cui pochissimi dovrebbero essere in grado di arrivare al livello del
mare. Alla velocita’ c potrebbero percorrere la distanza x = c " = 600 m. Pero’ la vita media
misurata nel sistema di riferimento
! della Terra aumenta del fattore
" = "p
1
v2
1# 2
c
= 15" p $ v = 0.998c % x = 9000m
Dal punto di vista del muone, la vita media e’ sempre 2 µs, ma l’atmosfera gli corre incontro
alla velocita’ di 0.998c. Quindi il percorso si contrae nel suo sistema di riferimento da 9000 m a
600 m.
!
Da un punto di vista sperimentale la verifica e’ inconfutabile, in quanto il risultato ottenuto
con o senza la relativita’ e’ molto diverso. Supponiamo che N0 sia 108 :
N = 10 8 e"t / # = 10 8 e"15 = 30.6 $ nonrelativistico
N = 10 8 e"t / # = 10 8 e"1 = 3.7 %10 7 $ relativistico
!
Esempio
Un treno superveloce, la cui lunghezza a riposo e’ 1200 m, passa da una stazione
coperta. Secondo il capostazione, la lunghezza della stazione e’ 900 m e il treno ci
sta dentro esattamente mentre passa. Qual’e’ la velocita’ del treno?
v2
900 = 1200 1" 2
c
2
v 2 # 900 &
1" 2 = %
(
c $1200 '
2
#9&
v = c 1" % ( = 2 )10 8 m /s
$ 12 '
Nota - se riuscissimo a !
eseguire una foto nitida di un corpo che si muove per esempio con v =
0.8 c, l’immagine sarebbe molto deformata. Una foto mostra una superficie come era all’istante
in cui la luce proveniente dal corpo ha raggiunto la macchina. Affinche’ la luce proveniente dalle
parti vicine del corpo e quella proveniente dalle parti lontane arrivino nella macchina fotografica
allo stesso istante, la luce proveniente dalle parti lontane deve partire prima di quella
proveniente dalle parti vicine. Da qui la distorsione dell’immagine.
La contrazione relativistica avviene solo parallela al moto relativo. Osservatori in moto lungo x
misurano le stesse lunghezze rispetto a y e z.
Esempio
L’arrivo di due raggi cosmici e’ rivelato nel laboratorio uno al tempo t0 nel punto xa e il
secondo all’istante t1 nel punto xb (sistema di riferimento S). Qual’e’ l’intervallo di tempo fra I
due eventi in un sistema S’ che si muove con velocita’ v rispetto a S?
$
vx b ' $
vx a '
t " t = # & t1 " 2 ) " # & t 0 " 2 )
%
c ( %
c (
#v
t1' " t 0' = # (t1 " t 0 ) " 2 (x b " x a )
c
'
1
'
0
Nota: se xb=xa allora t1-t0 e’ detto tempo proprio ed e’ il tempo minimo che puo’ essere
misurato fra due eventi.
Esiste un sistema di riferimento nel quale i due eventi risultino simultanei?
!
t1" " t 0" = 0
# (t1 " t 0 ) =
#v
(x b " x a )
2
c
oppure
% t1 " t 0 (
v
$ = = c'
*
c
x
"
x
& b
a)
!
Esempio
Due eventi accadono nello stesso punto x’0 negli istanti t’1 e t’2 nel sistema di riferimento S’
che si muove con velocita’ v rispetto a S. qual’e’ la separazione spaziale dei due eventi
misurata in S?
x = " (x'+vt')
#x = x 2 $ x1 = " (x '0 + vt 2' ) $ " (x '0 + vt1' ) = "v#t'
Una astronave si muove alla velocita’ v = 0.95c verso la stella alfa centauri distante dlla Terra
4.5 anni luce. Quanto durera’ il viaggio misurato dalla Terra? (1 anno luce = 9.5 1015 m)
!
dT = 4.3"1016 m
d
tT = T = 1.51"10 8 s
v
Quanto durera’ misurato dall’astronave?
!
t a = tT / " = 4.7 #10 7 s
Qual’e’ la distanza Terra stella misurata dall’astronave?
!
da = dT / " = 1.34 #1016 m
Effetto Doppler
Nel caso delle onde e.m. mancando il mezzo di supporto alla propagazione non e’ possibile
distinguere fra moto dell’osservatore rispetto alla sorgente e viceversa. Data la costanza di c e la
mancanza dell’etere l’approccio usato per il suono pertanto non va bene. Consideriamo una
sorgente in moto alla velocita’ V verso un ricevitore nel sistema di riferimento del ricevitore. La
sorgente emetta N onde. La prima onda percorrera’ un cammino c#tr e la sorgente un cammino
V#tr (tempo misurato nel sistema di riferimento del ricevitore). Pertanto le N onde vengono
viste da un osservatore nel sistema di rif. del ricevitore ricoprire la distanza c#tr- V#tr e quindi
"'=
(c#t r $ V#t r )
c
c N
1
N
% & '= =
=
N
" ' c $ V #t r 1$ V /c #t r
Nel sistema di riferimento della sorgente, sia $0 la frequenza propria delle onde em. Le N onde
vengono emesse nel tempo proprio #ts = #tr/! Percio’ quando sorgente e ricevitore si avvicinano
si ha N = " 0!
#t s
1 " 0$t s
"0 1
1# V 2 /c 2
1+ &
" '=
=
=
"0 =
"0
1# V /c $t r
1# V /c %
1# V /c
1# &
!
Se sorgente e ricevitore si allontanano si ha
" '=
1# $
"0
1+ $
! Se V/c << 1 si ha
(1+ " )1/ 2 (1# " )#1/ 2 $ (1+ " /2 # " 2 /8 + ..)(1+ " /2 + 3" 2 /8 + ..)
!
!
" = " 0 (1+ # ) avvicinamento
" = " 0 (1$ # ) allon tan amento
Composizione relativistica delle velocita’
Se siamo su un aereo che vola con v = 1000 km/h e ci muoviamo verso la cabina di
pilotaggio con v’ = 5 km/h noi ci muoviamo, secondo Galileo, con v = 1005 km/h rispetto al
suolo. La relativita’ implica che le misure di t e x varino tra sistemi di riferimento.
Supponiamo che un punto materiale abbia velocita’ u’x = dx’/dt’ in S’, che si muove con
velocita’ V verso destra rispetto a S. La velocita’ del punto in S e’ ux=dx/dt. Dalle
trasformazioni di Lorentz si ha:
dx = " (dx'+Vdt')
dx'
+V
Vdx'
dx " (dx'+Vdt')
u'x + V
dt'
dt = " (dt'+ 2 ) # ux =
=
=
=
Vu'x
c
dt " (dt'+ Vdx' ) 1+ V dx'
1+ 2
c2
c 2 dt'
c
!
Se la velocita’ del punto ha componenti anche lungo
y e z, in modo analogo si ottiene
u'y
dy
dy'
dy' /dt'
uy =
=
=
=
#
# V dx' &
# Vu' &
Vdx' &
dt
" % dt'+ 2 ( " %1+ 2
( " %1+ 2x (
$
$ c dt' '
c '
c '
$
u'z
uz =
# Vu'x &
" %1+ 2 (
c '
$
u'x + V
ux =
Vu'x
1+ 2
c
u'y
uy =
%
Vu'x (
$ '1 + 2 *
c )
&
u'z
uz =
%
Vu'x (
$ '1 + 2 *
c )
&
!
"
"
"
ux # V
u =
Vux
1# 2
c
'
x
uy
u =
%
Vux (
$ '1 # 2 *
&
c )
'
y
uz
u =
%
Vux (
$ '1 # 2 *
&
c )
'
z
Esempi
S
S’
ux =
V
c
c +V
=c
V
1+
c
x
!
S’
"c + V
ux =
= "c
V
1"
c
V
-c
ux = V
c
uy = = c 1# V 2 /c 2
"
!
S’
V
c
u = ux2 + uy2 = c
!
Due osservatori si trovano su due astronavi che hanno velocita’ relativa v = 2.4 108 m/s.
l’osservatore O’ lancia un missile in avanti e ne misura la velocita’ che e’ 1.8 108 m/s. qual’e’
la velocita’ del missile per l’osservatore O?
u'x + v
8
ux =
' = 2.8 "10 m /s < c
vu
1+ 2x
c
! un impulso di luce in avanti. Qual’e’ la velocita’ del’impulso per O?
Supponiamo che O’ lanci
ux =
!
c+v
=c
vc
1+ 2
c
*Due astronavi si avvicinano alla Terra lungo direzioni opposte alla velocita’ 0.8c rispetto
alla Terra. Quanto vale la velocita’ relativa fra le due astronavi?
Sia S’ il sistema solidale alla Terra e S il sistema di un’astronave. S’ si muove con v=0.8c
rispetto a S mentre l’altra astronave si muove con u’= 0.8c rispetto a S’.
u=
S!
u'+v
= 0.98c
2
1+ u'v /c
S’
* Un raggio di luce si propaga a velocita’ c rispetto alla Terra. Uno studente cerca di
inseguire la luce salendo su un razzo che viaggia a v=0.95c rispetto alla Terra. Quanto vale
la velocita’ della luce rispetto al razzo?
Sia S il sistema di riferimento della Terra. Allora u = c. Sia S’ quello del razzo, allora v =
0.95c
u'=
u"v
c " 0.95c
=
=c
1" uv /c 2 1" 0.95c 2 /c 2
Maxwell si rese conto che le sue equazioni non obbediscono al principio di
relativita’ galileiana.
Supponiamo che una carica positiva q si muova nel campo magnetico generato da una
corrente che percorre un filo rettilineo. Supponiamo che la velocita’ di q sia parallela al filo. In
un sistema di riferimento in cui il filo sia in quiete si ha
y
La corrente genera un campo magnetico
v
B=
i
µ0i
2"y
che esercita una forza
!
F = qvB =
µ0 qvi
2" y
Consideriamo ora la stessa situazione in un sistema di riferimento nel quale q sia in quiete.
In questo caso, poiche’ v =0 ne consegue che anche F deve essere zero!
!
Si ha quindi il paradosso che in un sistema di riferimento la carica e’ accelerata, nell’altro no.
Il paradosso viene risolto dalla teoria della relativita’ ristretta: nel
nuovo sistema di riferimento il filo genera un campo elettrico che
esercita la stessa forza sulla carica.
Nel sistema di riferimento del filo le densita’ di cariche positiva e negativa %± sono
identiche, per cui il campo elettrico risultante e’ nullo. In questo sistema le cariche
negative si muovono lungo il filo, supponiamo per semplicita’ con la stessa velocita’ v
della carica.
Nel sistema di riferimento in moto rispetto al filo le due densita’ di carica non sono
piu’ uguali causa la contrazione delle lunghezze. Nel nuovo sistema di riferimento la
densita’ delle cariche positive aumenta, mentre quella delle cariche negative
diminuisce.
%
"+
v2
v2
v2 (
v2
#
"'=
# " 1# 2 $ "'1+ 2 #1+ 2 * = " 2
2
c
2c )
c
& 2c
v
1# 2
c
Questa densita’ di carica genera un campo elettrico
"v 2
q"v 2
E=
%F=
2
2#$0 yc
2#$0 yc 2
"v = i
!
$0c 2 = 1/ µ0
µ qvi
F= 0
2# y
!
Dinamica relativistica
La revisione dei concetti di spazio e tempo e il limite massimo c alle velocita’
raggiungibili dai corpi materiali impongono parallelamente anche una revisione dei
concetti di quantita’ di moto, di forza e di energia che sono anche intimamente legati
alle equazioni di trasformazione delle coordinate spazio temporali.
Consideriamo un elettrone accelerato attraverso una differenza di potenziale V,
classicamente la velocita’ finale dell’elettrone puo’ essere molto maggiore di c:
1 2
2eV
2 #1.6 #10$19
eV = mv " v =
=
V = 5.9 #10 5 V m /s
$31
2
m
9.1#10
V = 10 2 V " v = 5.9 #10 6 m /s = 0.02c
V = 10 3 V " v = 1.9 #10 7 m /s = 0.06c
V = 10 5 V " v = 1.9 #10 8 m /s = 0.6c
V = 10 7 V " v = 1.9 #10 9 m /s = 6c %%
V = 1011V " v = 1.9 #1011 m /s = 600c %%%
E’ evidente che l’equazione di partenza che trasforma l’energia potenziale in
energia cinetica
! non e’ corretta ma va modificata.
Anche per la quantita’ di moto e la sua conservazione nei sistemi isolati pongono
problemi. Consideriamo per esempio l’urto elastico fra due masse m1 e m2.
Supponiamo che m2 sia ferma e che m1 abbia una velocita’ iniziale v1i. Le loro
velocita’ finali risultano:
m1 " m2
v1 f =
v1i
m1 + m2
2m1
v2 f =
v1i
m1 + m2
Se m1>>m2 si ha
v 2 f " 2v1i
!
se
v1i = 0.9c # v 2 f " 1,8c $
Quindi se si vuole che l’energia e la quantita’ di moto nei sistemi isolati si
conservino occorre !
ridefinire opportunamente le due grandezze.
Inoltre l’’accelerazione e quindi la forza F = ma non sono piu’ invarianti come previsto dalla
relativita’ Galileiana, l’accelerazione dipende dal sistema di riferimento.
#
&
du
d % ux " v (
ax
'
ax =
= %
=
(
dt' dt' % 1" vux ( ) 3 (1" vux /c 2 ) 3
$
c2 '
'
x
!
La quantita’ di moto classica e’
Cambiando sistema di riferimento si ha
!
r
r
p = mv
r r r
v '= v " V
r r
r
r
r
r
p'= mv '= mv " mV = p " mV
La quantita’ di moto nei due sistemi e’ diversa solo per una costante. Quindi se la quantita’ di
moto si conserva in un sistema si conserva anche nell’altro. Abbiamo invece visto che non si
! p va definita diversamente.
conserva nel caso relativistico e che
La quantita’ di moto definita come p=mv non si conserva piu’ nei sistemi isolati.
Conviene definire una quantita’ di moto relativistica che abbia le seguenti
proprieta’:
-p si conserva nelle collisioni
-p si approssima a mv se v<<c
-la legge della conservazione di p e’ valida se
r
p=
r
mu
u2
1" 2
c
Dove u e’ la velocita’ della particella e non la velocita’ relativa fra due sistemi inerziali.
!
Per u che tende a c la quantita’ di moto tende all’infinito. Questo significa che
nessuna particella che e’ ferma in un sistema di riferimento puo’ viaggiare alla
velocita’ della luce.
m=
m0
1" u 2 /c 2
Massa relativistica
Dove m0 e’ la massa a riposo, cioe’ il valore di m misurato nel sistema in cui la massa e’ in
quiete. La massa in moto e’ sempre piu’ grande di quella a riposo.
!
il principio di conservazione della quantita’ di moto rimane valido mentre la seconda legge
di Newton e’ ancora valida nella meccanica relativistica solo nella forma
r dpr d # m0 ur &
F=
= %
(
dt dt $ 1" u 2 /c 2 '
Energia relativistica
Deve avere le due proprieta’ seguenti:
-- l’energia totale di un sistema isolato si conserva
-- l’energia approssima il valore classico quando v<<c
-Come per la fisica classica, l’energia cinetica e’ definita come il lavoro compiuto dalla
risultante delle forze nell’accelerare una particella per es. dalla quiete a una velocita’ u. In una
dimensione si ha:
u
Ek =
u
" Fdx = "
u= 0
0
d(#mu)
dx =
dt
u
" ud(#mu)
0
% u 2 ($3 / 2
d(#mu) = m'1$ 2 * du
& c )
%
(
% u 2 ($3 / 2
1
2
E k = " m'1$ 2 * udu = mc ''
$1**
2
2
& c )
0
& 1$ (u /c ) )
u
E k = #mc 2 $ mc 2 energia cinetica relativistica
!
mc2 = energia di riposo
Nel limite di piccole velocita’ otteniamo per l’energia cinetica l’espressione classica
$ u 2 '#1/ 2
$
' 1 2
u2
u2
2
" = &1# 2 ) * 1+ 2 + ... + E k = mc &1+ 2 + ...#1) * mu per u << c
2c
% c (
% 2c
( 2
L’energia relativistica totale e’ data dalla somma dell’energia cinetica+quella a riposo
E = E K + mc 2 = "mc 2
!
Prima della teoria della relativita’ la massa era considerata immutabile, la stessa
cioe’ di prima e dopo qualunque evento possibile.
Nei sistemi isolati si conserva E, non Ek o mc2
!
Un’unita’di misura per le masse delle
particelle atomiche e’ in MeV/c2 che e’
l’energia di riposo della particella
diviso c2.
particella
Energia di quiete
MeV
fotone
0
elettrone
0.511
protone
938.280
neutrone
939.573
muone
105.7
Massa e energia
Immaginiamo di avere una scatola chiusa di massa M e lunghezza L. Un lampo di luce viene
emesso da un estremo della scatola. La luce trasporta energia E e quantita’ di moto p=E/c. Al
momento del flash per conservare la quantita’ di moto , la scatola deve rinculare. Se la massa
della scatola e’ grande, allora la sua velocita’ e’ piccola e quindi
E
E
Mu = " u =
c
Mc
La luce si propaga nella scatola per un tempo
"t =
!
L
EL
# "x = u"t!
=
c
Mc 2
dove #x e’ lo spazio percorso dalla scatola
Quando il lampo raggiunge l’estremita’ della scatola, cede il suo impulso e arresta
nuovamente la scatola. Ma ora e’ in una posizione diversa. E’ come se il suo centro di massa
si fosse spostato e tuttavia la scatola e’ un sistema isolato, il cui centro di massa non puo’
muoversi. Einstein propose allora che la luce trasporti anche massa:
mL = M"x # m =
!
M"x M EL
E
2
=
=
#
E
=
mc
L
L Mc 2 c 2
Una espressione utile per calcolare la velocita’ di una particella e’
2
pc =
!
mc 2 u
1" u 2 /c 2
= Eu #
u pc
=
c E
E’ importante notare che al tendere di u a c l’energia totale tende all’infinito. Come conseguenza
una particella in quiete in un sistema di riferimento non puo’ raggiungere la velocita’ c in
nessun altro sistema di riferimento.
E’ utile ricordare la seguente equazione:
E
E 2 = p 2c 2 + (mc 2 ) 2
pc
mc2
!
L’espressione E= mc2 ha validita’ generale. L’energia come la massa ha una inerzia. E’
lievemente piu’ difficile accelerare un corpo caldo che uno freddo. Se un corpo perde energia
perde anche massa. Il Sole irraggia 3.9 1026 W da cui
dm 1 dE 3.9 "10 26
= 2
=
= 4.3 "10 9 kg /s
2
dt c dt ( 3 "10 8 )
Particelle prive di massa a riposo.
mc2 = 0 --> E = pc --> u = c
!
Una particella con massa a riposo nulla si muove alla velocita’ della luce. Queste particelle
sono:
Fotoni
Gluoni : portatore dell’interazione forte fra quarks
Gravitoni : gravita’
neutrino (?)
Ogni volta che una energia #E di qualunque natura essa sia viene ceduta al sistema la
massa del sistema cresce di #E/c2
La massa di un sistema legato e’ minore di quella delle particelle separate di una quantita’
Eb(energia di legame)/c2
Creazione e annichilazione di particelle
L’equivalenza relativistica fra massa e energia implica un altro importantissimo processo.
Particelle e antiparticelle possono combinarsi e convertirsi completamente in energia. Esempio
dato da elettrone+positrone (previsione di Dirac 1928). E’ possibile anche il processo inverso.
Consideriamo un urto perfettamente anelastico fra due particelle di massa a riposo m10 e m20
1
2
1+2
E i = E1 + E 2
K i = K1 + K 2 = ( E1 " m10c 2 ) + ( E 2 " m20c 2 )
K f = E f " Mc 2
K i " K f = ( E1 " m10c 2 ) + ( E 2 " m20c 2 ) " (E f " Mc 2 )
imponendo E = cost.
K i " K f = [ M " m10 " m20 ]c 2 = #mc 2
!
Un elettrone inizialmente in quiete viene accelerato in un tubo a raggi X da una differenza di
potenziale V = 2 105 V. Determinare la velocita’ finale dell’elettrone e la quantita’ di moto.
I muoni prodotti nell’alta atmosfera hanno una velocita’ pari a 0.998c. Se la loro energia di quiete
e’ 105.7 MeV, quale sara’ l’energia totale dei muoni misurata da un osservatore sulla Terra?
Quale la massa?
E = "mc 2 =
"m =
1
1# (0.998c) 2 /c 2
$105.7
MeV 2
c = 1670MeV
c2
E
= 1670MeV /c 2
2
c
L’energia totale di un elettrone prodotto in una certa reazione nucleare e’ 2.40 MeV. Trovare il
! dell’elettrone e la sua velocita’ nel sistema di riferimento del laboratorio. [me=9.11
momento
10-31 kg, energia di quiete 0.511MeV].
pc = E 2 " (mc 2 ) 2 = 2.40 2 " 0.5112 = 2.34 MeV
p = 2.34 MeV /c
!
u pc 2.34
=
=
= 0.975
c E 2.40
Esempio
Un oggetto di 2 kg viene sollevato di 30 cm. di quanto varia la sua massa?
"E = c 2"m
"E mgh
"m = 2 = 2 = 6.5 #10$17 kg
c
c
Un elettrone viene !
accelerato da una differenza di potenziale di 1.5 MeV. Trovare la
sua velocita’ e la sua massa
E = "mc 2 = (1.5 + 0.5)MeV
2
"=
= 4 # v = 0.967c
0.5
m = 3.58 $10%30 kg
!
Relativita’ generale
Nel 1916 Einstein estese la teoria della relativita’ in modo da includervi anche I
sitemi di riferimento non inerziali. La struttura formale e’ molto complessa!
Principio di equivalenza:
Nessun esperimento effettuato localmente puo’ distinguere tra un riferimento dotato
di accelerazione costante e un riferimento inerziale in un campo gravitazionale
uniforme. Il principio e’ connesso all’equivalenza tra massa inerziale e massa
gravitazionale.
La relativita’ generale tratta la gravitazione come una curvatura dello spazio-tempo.
La curvatura e’ determinata dalla presenza della massa.
Effetti previsti !
gli orologi vicino ad un campo gravitazionale
rallentano.
Gli oggetti si accorciano in direzione radiale
i raggi luminosi si incurvano passando vicino a
grandi masse
Le orbite dei pianeti non sono piu! ellittiche
(precessione).
