Quaderno Didattico n. 57 - Dipartimento di Matematica e Informatica

Le improbabili avventure matematiche
del signor De Dadis
Massimo Borelli, Sergio Invernizzi
∗
Dipartimento di Matematica e Informatica
Dipartimento di Scienze della Vita
Università degli Studi di Trieste
Via A. Valerio 12/1, 34127 Trieste, Italia
E-mail: [email protected]
Novembre 2011
Sommario
In questo Quaderno Didattico viene presentata una serie di attività a
carattere di laboratorio per introdurre alcune nozioni basilari di probabilità e statistica, adatte alle classi quarte e quinte della Scuola Primaria. Il laboratorio è improntato alla metodologia dell’apprendere
divertendosi e tre simpatici personaggi guidano i bambini alla scoperta
di queste nozioni. L’analisi dei dati viene effettuata in classe dall’insegnante mediante un foglio di calcolo. Simulazioni vengono inoltre
condotte con il pacchetto statistico open source R.
∗
Ciclo di due incontri tenuti presso la classe Quinta del Collegio Dimesse di Trieste.
1
Indice
1 Le improbabili avventure matematiche
1.1 Presentazione . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Per l’insegnante . . . . . . . . . . . . .
1.3 Materiali occorrenti . . . . . . . . . . .
del signor
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De
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Dadis
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3
3
4
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2 Ambientazione
2.1 I personaggi protagonisti . . . . . . .
2.2 Gli antenati della famiglia De Dadis
2.3 Oggi, la famiglia de Dadis .. . . . . .
2.4 Cosa faremo? Cosa impareremo? . .
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7
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3 Il lancio di un dado
3.1 L’avventura di Dado De Dadis
3.2 L’invidioso signor Sacchetti .. .
3.3 La domandona finale . . . . . .
3.4 Riassumiamo: 1 dado . . . . . .
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9
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4 Il lancio di due dadi
4.1 Dadina e Dado De Dadis .
4.2 Riassumiamo: 2 dadi . . .
4.3 La domandona difficilona
4.4 Una domandina premio .
4.5 A che gioco giochiamo? .
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5 E se lanciassimo cinquanta dadi?
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6 Ringraziamenti
16
2
1
Le improbabili avventure matematiche del signor
De Dadis
uscirai all’aperto così come ti trovi
senza nessun preavviso
come la faccia di un dado
che abbia una probabilità sola su sei
su come sei
o come le altre cinque
di cui una la più opposta
e quella più nascosta
è quella che tiene i piedi in terra
e sulla quale poggi.
(Dalle Prime Battute, L. Battisti, 1988)
1.1
Presentazione
Parlare di probabilità nelle scuole primarie (le elementari) è certo una sfida.
Passare dai risultati certi e riconosciuti come tali delle operazioni aritmetiche,
come ad esempio 4 + 3 = 7, a ragionamenti che coinvolgono affermazioni la
cui verità (o falsità) non è certa, ma è solo ’misurata’ con un numero decimale
fra 0 ed 1, non è certo un passo né piccolo né facile; non lo è per gli allievi e
non lo è neppure per l’insegnante, che forse dovrà pure convincere il dirigente
scolastico ed i genitori che pure questo è matematica.
Tuttavia se la scuola deve, come deve, diventare in primo luogo la scuola
del cittadino, questa sfida è da raccogliere. Il ragionamento probabilistico o
statistico farà infatti sempre più parte della vita e potrebbe anche giungere prima o dopo il momento di aver bisogno di interpretare correttamente
una diagnosi medica espressa in termini probabilistici (come l’esito di una
mammografia, di un test per la celiachia, o come nel bitest di valutazione
del rischio che un feto sia affetto dalle sindromi di Edwards o di Down). Vi
sono innumerevoli contributi al problema della probabilità nella fascia d’età
5-10 anni, sia di matematici esperti di didattica, che di psicologi.
Questa nota però ha una caratteristica piuttosto interessante e quasi unica: l’utilizzo di un software (gratuito e open-source) come R per consentire
all’insegnante sia ’di fare i conti’ che soprattutto di simulare al computer
(e ne basta uno minimo) gli esperimenti ed i dati ’aleatori’ da presentare e
discutere in classe. La scelta di usare R (invece di ricorrere a software scritti
ad hoc) è certo meditata e merita qualche commento. In primo luogo con R
si ricorre ad un programma stabile, certificato, garantito nel tempo. Inoltre
il suo utilizzo non deve spaventare l’insegnante, perché, come qui dianzi si
spiega, questi viene condotto quasi ’per mano’ ad un semplice utilizzo dei
comandi necessari (addirittura con un ’copia e incolla’) senza alcuna preoc3
cupazione su come realmente si ottengano le simulazioni. La situazione è per
certi versi la stessa di un vero lancio di due dadi: nessuno si preoccupa di dove i dadi siano stati acquistati, né di quanto siano costati, non ci si preoccupa
di quale legno o resina sintetica siano fatti, di come funzioni la macchina che
li costruisce cubici, né della composizione chimica delle vernici che sono state
utilizzate per dipingere le facce e indicarne i valori. E né tantomeno ci si preoccupa della legge di gravità di Newton, senza la quale i dadi fluttuerebbero
nell’aria come spesso vediamo accadere alle matite degli astronauti in orbita. Personalmente da molti anni seguo il problema dell’insegnamento della
probabilità nel passaggio dalla scuola secondaria all’università e non posso
che congratularmi con l’autore di questo interessante lavoro ad augurare ai
colleghi ed alle colleghe delle scuola primaria buon lavoro.
Sergio Invernizzi
Dipartimento di Scienze della Vita
Università di Trieste
1.2
Per l’insegnante
Io sono convinto che bambini con capacità di partenza uguali possano raggiungere in matematica risultati eccellenti o pessimi a seconda del loro amore o odio per la materia. La passione feconda
il talento, e i genitori e gli insegnanti hanno una considerevole
responsabilità nello sviluppo di un atteggiamento positivo o negativo verso la matematica.
(S. Dehaene, Collège de France)
I programmi della Scuola Elementare (D.P.R. 12 febbraio 1985, n.104)
assegnano - tra gli obiettivi del terzo, quarto e quinto anno relativi alla probabilita, alla statistica ed all’informatica - una importanza educativa notevole
(..) anche a concetti, principi e capacità connessi con la rappresentazione
statistica di fatti, fenomeni e processi e con l’elaborazione di giudizi e di
previsioni in condizioni di incertezza. L’introduzione dei primi elementi di
probabilità, che può trovare posto alla fine del corso elementare, ha lo scopo
di preparare nel fanciullo un terreno intuitivo su cui si possa, in una fase successiva, fondare l’analisi razionale delle situazioni di incertezza. La classica
definizione di probabilità - come rapporto fra il numero dei casi favorevoli
e il numero dei casi possibili in situazioni aleatorie simmetriche - non può
essere assunta come punto di partenza, ma è piuttosto il punto di arrivo di
una ben graduata attività. Nello sviluppo di questo itinerario può realizzarsi la costruzione e l’analisi di procedimenti e di algoritmi - numerici e non
numerici - anche con l’uso iniziale, ma coerente e produttivo, di opportuni
strumenti di calcolo e di elaborazione delle informazioni.
Le improbabili avventure matematiche del signor De Dadis sono
una proposta per una attività di laboratorio di matematica orientata in tal
4
senso. Si tratta di un lavoro che abbiamo realizzato con una classe di studenti
frequentanti la classe quinta, allo scopo di consolidare alcuni concetti basilari
di probabilità e statistica già in parte trattati dall’insegnante seguendo il libro
di testo (ossia, ’con carta e matita’).
Il titolo che abbiamo scelto di dare a questa attività è volutamente scherzoso: in questo laboratorio di matematica non c’è in effetti nulla di improbabile. Si tratta solo di un gioco di parole che mette in luce il fatto che effettueremo degli esperimenti in condizioni di incertezza; esperimenti cui verranno
in ausilio le tecnologie informatiche di base (il foglio elettronico) ed avanzate
(il pacchetto statistico open source R) con la matematica dell’incertezza.
Cos’è il pacchetto statistico R? In questa attività di laboratorio la parte per
così dire ’innovativa’ è rappresentata dall’uso del pacchetto statistico open source R. Si tratta di
un software dedicato all’analisi statistica dei dati che è disponibile sia per Windows che per gli
altri comuni sistemi operativi e che ha assunto un’enorme popolarità nel mondo della ricerca e
nella comunità scientifica. Essendo R anche un linguaggio di programmazione con un’interfaccia
a riga di comando, esso è adatto anche all’insegnamento scolastico - a livello di scuola superiore delle nozioni base di programmazione (in luogo, ad esempio, dell’obsoleto Turbo Pascal).
Per un’introduzione adatta agli insegnanti al pacchetto R si possono utilizzare sia i video
disponibili in rete (in lingua inglese), oppure provare ad inserire direttamente alcuni comandi
copiandoli ed incollandoli dai tutorial reperibili in rete.
Il sito web di appoggio per questa attività è reperibile per mezzo del
motore di ricerca Google, digitando la parola chiave massimo borelli
didattica ed, entrati nella pagina web, seguire il percorso scuola elementare. Da lì sarà possibile scaricare copie ulteriori di questa guida per
l’insegnante, nonché:
• la presentazione (’PowerPoint’) da usare in aula
• la scheda 1: il lancio di un dado
• il foglio elettronico per analizzare l’esito del primo esperimento
• la scheda 2: l’estrazione dei bicchieri colorati
• la scheda 3: il lancio di due dadi
• il foglio elettronico per analizzare l’esito del secondo esperimento
• i comandi di R per simulare il lancio di due dadi
• i comandi di R per simulare l’estrazione da un’urna equivalente al lancio
di due dadi
• i comandi di R per simulare il lancio di un dado a dodici facce
• i comandi di R per simulare il lancio di cinquanta dadi per mille lanci
e per un milione di lanci
5
Non occorre sottolineare che questo Quaderno Didattico non è un’introduzione alla probabilità ed alla statistica nella scuola primaria; esistono
numerosi testi ed articoli di letteratura in cui questi temi sono trattati in
maniera eccellente (e ad ogni livello scolastico). Le pagine che seguono sono
delle semplici note illustrative relative alla presentazione disponibile in rete:
niente di più che un filo del discorso che guidi l’insegnante durante l’attività
di laboratorio.
Nelle pagine che seguono abbiamo adottato una convenzione tipografica:
abbiamo evidenziato in grassetto i termini che a nostro avviso è opportuno
introdurre ed utilizzare con gli allievi durante il laboratorio.
1.3
Materiali occorrenti
Per realizzare l’attività abbiamo utilizzato alcuni oggetti comuni:
• dadi da gioco
• un set di dadi per giochi di ruolo
• sei oggetti uguali di diversa colorazione (ad esempio, bicchieri di plastica variopinti)
• una palla giocattolo a sei spicchi colorati
• un cubo di Rubik
• alcune biglie da biliardo
Inoltre sulla cattedra avevamo disposto un computer gestito esclusivamente dall’insegnante e munito di videoproiettore, in cui erano già stati
installati un foglio elettronico (per esempio, MS ExcelTM ), il pacchetto R ed
i file elencati poc’anzi.
In questo Quaderno Didattico volutamente non abbiamo fornito una bibliografia, perché riteniamo che i docenti siano capaci di adattare questa
attività a quanto riportato nei testi in adozione presso la loro scuola. Al
suo posto, abbiamo preferito indicare alcuni siti web dove il docente possa
trovare approfondimenti e spiegazioni.
Possibili riferimenti per il docente:
http://www.ikea.com/it/it/catalog/products/10096907/
http://www.ikea.com/it/it/catalog/products/00159542/
http://it.wikipedia.org/wiki/Editor_di_testo
http://it.wikipedia.org/wiki/Foglio_elettronico
6
Figura 1: I personaggi di questa attività di laboratorio.
http://it.wikipedia.org/wiki/R_(software)
http://www.r-project.org/index.html
http://www.youtube.com/watch?v=mL27TAJGlWc
http://www.dmi.units.it/∼borelli/comesipuofaRe/
2
Ambientazione
2.1
I personaggi protagonisti
L’attività si svolge narrando le vicende di alcuni personaggi di fantasia: il
signor Dado De Dadis (esperimento: lancio di un dado), la moglie Dadina
De Dadis (esperimento: lancio di due dadi), la numerosa famiglia De Dadis
(esperimento: lancio di cinquanta dadi) e l’invidioso signor Sacchetti, vicino
di casa della famiglia De Dadis: quest’ultimo vuole provare ad imitare in
tutto e per tutto le cose che la famiglia De Dadis realizza (esperimento:
estrazione casuale di oggetti con reimbussolamento).
2.2
Gli antenati della famiglia De Dadis
Fantasticare sull’albero genealogico della famiglia De Dadis consente di tratteggiare l’evoluzione del gioco ai dadi, richiamando alcune nozioni storiche
legate alle popolazioni mesopotamiche ed al gioco reale di Ur; ad Achille ed
Aiace che giocano con gli astragali; a Giulio Cesare che pronuncia la frase
Alea iacta est. La slide successiva è dedicata invece ai problemi posti nel
1600 dal cavalier de Méré a Pascal e Fermat, che segnano l’inizio del calcolo della probabilità (e in definitiva, anche della statistica) come disciplina
matematica a se stante.
Possibili riferimenti per il docente:
7
http://en.wikipedia.org/wiki/Royal_Game_of_Ur
http://it.wikipedia.org/wiki/Exekias
http://la.wikipedia.org/wiki/Alea_iacta_est
http://en.wikipedia.org/wiki/Antoine_Gombaud
http://mathworld.wolfram.com/deMeresProblem.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Storia_della_statistica
2.3
Oggi, la famiglia de Dadis ..
Che lavoro fa, oggi, il signor De Dadis? Questa domanda fornisce il pretesto
per ribadire la rilevanza che la Statistica ha nella vita quotidiana dei cittadini
(e degli studiosi). Il censimento che molte famiglie stanno affrontando a fine
anno 2011, o la crisi finanziaria raffigurata dall’andamento altalenante (ed
aleatorio, nel senso di imprevedibile) degli indici di borsa, possono essere
immagini alla portata del vissuto degli allievi. Più sorprendente sarà per
loro sapere che la biologia e la medicina, incontrandosi con il mondo della
probabilità, della statistica e dell’informatica, consentono oggi di studiare e
sperimentare per esempio nuove terapie a livello nanotecnologico.
2.4
Cosa faremo? Cosa impareremo?
Questa attività di laboratorio è un’occasione per richiamare alcuni vocaboli
pertinenti alla terminologia matematica; infatti, gli allievi eseguiranno degli
esperimenti (il lancio di un dado ed il lancio di due dadi) e dovranno tener
nota degli eventi che via via si manifesteranno, segnandoli su delle schede
che consegneremo loro. Con l’aiuto del foglio elettronico e del pacchetto
R l’insegnante analizzerà le frequenze osservate degli eventi proponendo
dei grafici a barre1 e, dal confronto dei grafici, gli studenti coglieranno la
diversità tra la forma rettangolare del grafico relativo al lancio di un dado e
la forma triangolare della distribuzione degli eventi relativa al lancio di due
dadi. Durante l’attività ci sarà anche occasione per fare qualche operazione
che coinvolga la somma di frazioni, la rappresentazione percentuale di un
numero decimale e la divisione con quoziente decimale.
1
E’ ben nota agli statistici la differenza che intercorre tra un grafico a barre ed un
istogramma (che in molti casi si riduce ad essere un grafico a barre). Giova solo qui
ricordare che in molti fogli di calcolo vi è una confusione tra i due termini e che gli allievi
potrebbero chiederne ragione!
8
3
Il lancio di un dado
3.1
L’avventura di Dado De Dadis
Agli studenti viene ora consegnata ed illustrata la struttura della prima scheda di lavoro. Nella prima fase, dedicata alla raccolta dei dati, gli allievi (riuniti possibilmente in gruppi di lavoro di due o tre persone) lanceranno il dado
e terranno nota dell’evento occorso, segnando una crocetta nella casella corrispondente alla faccia del dado che è sortita. L’esperimento verrà ripetuto
più e più volte; come criterio di arresto dell’esperimento si conviene che il
gruppo si fermi non appena venga raggiunta la decima colonna (quella con lo
sfondo grigio). In tal modo, l’insegnante ha la garanzia che ciascun gruppo
avrà innanzi a sé una distribuzione aleatoria unimodale e non vi saranno
possibili ambiguità nella prosecuzione dell’attività.
Quando tutti i gruppi avranno concluso la prima fase si potrà passare
alla seconda fase, dedicata al riassunto statistico dei dati. Con l’aiuto delle
slide esemplificative l’insegnante guiderà gli allievi a compilare la tavola delle frequenze osservate, nelle cui caselle gli allievi devono semplicemente
contare e riportare il numero totale (cioè le frequenze assolute) dei singoli
eventi elementari.
Gli allievi ora devono determinare il valore degli indici di centralità:
moda, mediana e il valore atteso, o media. Per trovare l’evento modale,
gli allievi devono semplicemente individuare l’evento con la ’riga più lunga’
(ossia la riga in cui ’è stata raggiunta la casella grigia’).
Per determinare l’evento mediano invece si può procedere in due modi
equivalenti:
1. guardando la tabella della raccolta dei dati si contano quante crocette
sono state segnate, ossia quanti lanci sono stati effettuati dal gruppo
(per esempio, 44); si divide tale numero a metà (nell’esempio, 22) e
si va ad individuare dove è posizionata, continuando nell’esempio, la
22-esima crocetta, iniziando a contare naturalmente dall’evento 1;
2. guardando la tavola delle frequenze osservate, si vanno ad esaminare le
frequenze cumulate e si determina l’evento nel quale ricade la metà
del numero di lanci. Esemplificando, supponiamo che la distribuzione
delle frequenze assolute sia quella riportata nella Figura 2; le frequenze
cumulate sono 8, 8 + 10 = 18, 18 + 7 = 25, 25 + 5 = 30, 30 + 8
= 38, 38 + 6 = 44; la metà di 44 è 22; 22 è superiore a 8 e 18; ma è
inferiore a 25 e perciò il 3 è l’evento mediano.
Con la funzione somma del foglio elettronico l’insegnante potrà controllare l’esattezza del computo del numero di lanci effettuati da ciascun
gruppo.
Lasciamo per il momento in sospeso il calcolo della media, per ragioni
che appriranno chiare tra poco.
9
Figura 2: Un esempio compilato di tavola delle frequenze osservate.
3.2
L’invidioso signor Sacchetti ..
Vogliamo mostrare agli allievi che, da un punto di vista probabilistico, il
lancio ripetuto di un dado a sei facce è un esperimento equivalente a quello
dell’estrazione con reimbussolamento di sei palline numerate (o colorate diversamente). A tale proposito possiamo far estrarre ad un gruppo di allievi
degli oggetti (la nostra preferenza è andata verso dei bicchieri di plastica
colorata estratti da un sacco nero dell’immondizia), reimbussolando (ossia
rimettendo dentro al sacchetto di volta in volta il bicchiere estratto) e far
compilare la tabella di raccolta dati e la tavola delle frequenze osservate della scheda2. Fatto ciò, possiamo porre le seguenti domande a carattere di
verifica formativa:
Leggendo solamente le frequenze osservate, si riuscirebbe con
certezza a distinguere il signor De Dadis dal signor Sacchetti?
Gli studenti, ragionando su questo quesito, possono cogliere il fatto che
i due esperimenti hanno in comune un ’oggetto matematico’ (i.e. il concetto di variabile aleatoria finita) che viene rappresentato dalla tavola delle frequenze. Ulteriori domande possono venir poste ora agli allievi; ad
esempio:
Se ’riuniamo’ tutti i vostri esperimenti e facciamo un unico grafico
a barre, c’è ancora tanta ’diversità’ tra le frequenze osservate in
ciascuno dei gruppi?
L’insegnante può mostrare che vi è parecchia eterogeneità tra le schede
raccolta dati di ciascun gruppo di lavoro. Per fare ciò, è sufficiente mostrare
alla classe un paio di schede di lavoro, ruotandole di 90 gradi, in modo
da ’trasformarle’ in una rappresentazione grafica simile ad un diagramma a
barre.
Tuttavia, utilizzando il foglio di calcolo analisischeda1, inserendo i
dati nella prima cartella e realizzando un istogramma, gli allievi osserveranno
immediatamente che la variabilità dei risultati è più contenuta.
L’insegnante, se vorrà, potrà ora anche far notare agli allievi il fatto
che l’evento modale sia molto più ’variabile’ (nel senso di una maggiore
eterogeneità, di una maggiore dispersione) dell’evento mediano, che invece si
attesta ’quasi sempre’ sui valori di 3 o 4.
10
Figura 3: Schermata esemplificativa del foglio di calcolo analisischeda1 con la
prima cartella compilata.
Inoltre, copiando i dati ed incollandoli nella cartella seguente, denominata
tutte_le_scuole, il grafico_totale si autoaggiornerà e l’insegnante
avrà modo di far cogliere il fatto che ormai le barre hanno pressoché la stessa
altezza. Gli allievi quindi saranno in grado di capire in modo autonomo che
il rettangolo è la risposta alla successiva domanda:
Il diagramma a barre di tutti gli esperimenti di tutte le scuole ci
suggerisce una figura geometrica: quale?
3.3
La domandona finale
L’insegnante ora potrà mostrare la quarta cartella del foglio analisischeda1, denominata frequenze_relative, nella quale è riportato il calcolo
appunto di quest’ultime. Il docente stimolerà l’osservazione degli allievi,
chiedendo di notare la sostanziale uguaglianza delle frequenze e successivamente mostrerà alla classe questa slide, chiedendo di trarre in modo autonomo le conclusioni di questa prima scheda; e cioè, che effettuando un
gran numero di prove ripetute, come ipotizzato dall’approccio frequentista
alla teoria della probabilità, le frequenze osservate convergono alle frequenze teoriche che si possono dedurre con semplici considerazioni di simmetria
sull’esaedro. Questa può essere anche un’ottima occasione per consolidare
il nesso tra la divisione, le frazioni e la rappresentazione percentuale di un
numero decimale.
Con le frequenze teoriche ora possiamo completare la prima scheda di
laboratorio calcolando la media (da noi intesa in questa attività come valore atteso della variabile aleatoria ’lancio di un dado’ e non come indice di
centralità del singolo esperimento effettuato da ciascun gruppo di allievi).
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Probabilità
http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso
11
3.4
Riassumiamo: 1 dado
A conclusione di questa prima attività di laboratorio, è opportuno riassumere i punti salienti che gli allievi dovranno aver acquisito. Nell’esperimento
lancio di un dado gli eventi elementari sono sei, ciascuno con probabilità uguale ad 1/6. Calcolando il valore decimale di questa frazione, ossia
calcolando il quoziente del dividendo 1 e del divisore 6, si ottiene un numero approssimativamente uguale a 0,17; lo stesso numero si otterrebbe se
si considerassero i successi ottenuti in un gran numero di prove ripetute
divisi per il numero totale delle prove effettuate. Questo numero decimale
si può rappresentare anche nella forma percentuale, 17%. Infine, se si rappresentano le probabilità con un istogramma, le barre ci ricordano la figura
geometrica del rettangolo.
4
Il lancio di due dadi
4.1
Dadina e Dado De Dadis
Soffermandosi scherzosamente sul reciproco e profondo affetto che vive tra
i coniugi De Dadis e che li rende indistinguibili l’uno dall’altro, possiamo
ora consegnare una coppia di dadi ad ogni gruppo di allievi ed iniziare a
compilare la scheda 3 relativa alla somma dei punti ottenuti nel lancio di
due dadi. Alla classe verrà richiesto di individuare in maniera autonoma
quali siano gli eventi elementari da riportare nella scheda (il docente avrà
cura di controllare che tutti indichino come eventi possibili i numeri da 2 a
12, essendo l’1 un evento impossibile nel lancio contemporaneo di due dadi). Giunti alla fase del riassunto dei dati, sarà interessante far notare agli
allievi che mentre nel lancio di un dado l’evento modale era stato caratterizzato da notevole variabilità, in questo nuovo esperimento la moda è per lo
più concentrata attorno al numero sette. Chiediamo anche di determinare
la mediana e lasciamo in sospeso come in precedenza avvenuto la media.
Raccogliamo i dati nel foglio di calcolo analisischeda3 e li illustriamo con
un istogramma. Per meglio mettere in evidenza la diversa distribuzione di
probabilità dei due esperimenti sin qui condotti, possiamo copiare le istruzioni contenute nella pagina web denominata il lancio di Dadina e Dado De
Dadis ed incollarle nella finestra del pacchetto R. Come output si otterrà un
diagramma simile alla Figura 4.
Potremo spiegare brevemente agli allievi la sintassi dei comandi: dopo aver definito la costante quantilanci uguale a un milione, simuleremo
il lancio del DadoDeDadis e del DadinaDeDadis per un milione di volte e
sommeremo i loro valori nella variabile duedadi, chiedendo infine con il comando hist di visualizzare la situazione finale con un istogramma di colore
arancione.
Possibili riferimenti per il docente:
12
100000
0
Frequency
Histogram of risultato
2
4
6
8
10
12
risultato
Figura 4: Istogramma relativo alla somma dei punti totalizzati lanciando due dadi
a sei facce. Simulazione ottenuta con il comando sample di R.
http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_pseudo-casuali
4.2
Riassumiamo: 2 dadi
Come abbiamo fatto in precedenza, vogliamo porre l’attenzione sui concetti
salienti emersi durante questa attività: nell’esperimento lancio di due dadi
gli eventi elementari sono undici, ma in questo caso le probabilità degli
eventi elementari non sono tutte uguali tra loro; in termini più precisi, la
distribuzione delle probabilità non è uniforme. Il sette è l’evento più probabile, il due ed il dodici sono gli eventi meno probabili e la simmetria delle
barre dell’istogramma delle frequenze ci richiama la figura geometrica del
triangolo isoscele. Volutamente non diciamo agli allievi quale sia il valore di
tali probabilità (ma il signor Sacchetti è in agguato ..)
4.3
La domandona difficilona
Per invitare gli allievi a ragionare ed esplicitare quanto valgano esattamente
le probabilità degli eventi nel lancio di due dadi, si può scherzare chiedendo
loro come l’invidioso signor Sacchetti possa fare per ’copiare’ Dadina e Dado
de Dadis. In altri termini, se il signor Sacchetti avesse a disposizione numerosi oggetti diversamente colorati (per esempio, molte biglie da biliardo
numerate, oppure molte palline della tombola), quante palline contrassegnate
con il 2, quante con il 3 e via via sino al 12, egli dovrebbe mettere nel sac-
13
chetto? Il suggerimento può essere l’immagine che Lucio Lombardo Radice e
Lina Mancini Proia utilizzarono nella copertina dei loro testi di trent’anni fa,
intitolati Il metodo matematico. Seguendo i dadi con un cammino simile a
quello dalla funzione coppia di Cantor e riflettendo anche sulla simmetria del
triangolo esibito nell’istogramma delle frequenze, gli allievi potranno giungere alla risposta esatta. Sarà questa anche l’occasione per ’far scoprire’ agli
allievi che conoscano l’elevamento a potenza, che:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 62
Sarà questa anche un’occasione per procedere per analogia, chiedendo
quanti eventi elementari si debbano considerare se si lanciassero tre dadi,
quattro dadi e così via ( 63 , 64 , ..).
Per fissare ulteriormente le idee, la pagina web denominata l’invidioso
signor Sacchetti riporta il codice per raffrontare l’istogramma del lancio di
due dadi con l’estrazione da un sacchetto con 36 palline.
Possibili riferimenti per il docente:
http://www.bergogliolibri.it/book/Lombardo_Radice_Lucio/
METODO_MATEMATICO_Corso_matematica_scuole_SM1307-IT.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_pairing_function
4.4
Una domandina premio
Al posto di giocare con due dadi a sei facce, è la stessa cosa
giocare con un dado a dodici facce?
La risposta negativa è dovuta innanzitutto al fatto che in un dado a dodici facce gli eventi elementari sono dodici, mentre nel lancio di due dadi si
ha a che fare solamente con undici eventi elementari. Ma a questo problema
possiamo facilmente ovviare: è sufficiente prendere il dado a dodici facce e
con un pennarello, o con il correttore bianco, trasformare la ’I’ dell’evento ’uno’ in una R, attribuendo a questo evento il significato di ’ritenta’, ’rilanciare
il dado’.
Ma, nonostante questa modifica, possiamo facilmente convincere gli allievi della profonda diversità che caratterizza i due esperimenti, eseguendo
una simulazione con R: nella pagina web denominata il lancio di un dado
ad undici facce sono riportati i comandi per confrontare visivamente le due
distribuzioni di frequenza e convincersi immediatamente che giocare con un
dado a dodici (anzi, undici, a dire il vero, stante la nostra modifica) facce
’assomiglia di più’ al gioco con un dado a sei facce che non a quello con due
dadi.
14
0
40000
Histogram of dodicifacce
Frequency
0
Frequency
100000
Histogram of duedadi
2 4 6 8
12
2 4 6 8
duedadi
12
dodicifacce
Figura 5: Istogrammi relativi alla somma dei punti totalizzati lanciando due dadi
a sei facce e lanciando un dado a dodici facce. Simulazione ottenuta con il comando
sample di R.
4.5
A che gioco giochiamo?
Se un amico vi invitasse a giocare a dadi, quale di questi tre giochi
che abbiamo visto scegliereste e su quale evento vi converrebbe
giocare?
Non è superfluo ricordare qui che le ’Indicazioni didattiche’ del D.P.R.
12 febbraio 1985, n. 104 affermano che Quanto alle prime nozioni di probabilità (..) si può raggiungere molto bene questo scopo mediante il gioco:
molti giochi hanno carattere aleatorio o ricorrono alla sorte per l’assegnazione di particolari ruoli. L’abilità del giocatore consiste nel saper scegliere, fra
le varie mosse possibili, quella che offre maggiore probabilità di vittoria; si
tratta dunque, in primo luogo di condurre l’alunno a compiere confronti di
probabilità.
Gli allievi giunti a questo punto opereranno molto facilmente il confronto
tra i tre giochi e senza esitazione risponderanno che conviene giocare sul ’7’.
Il docente peraltro potrebbe cogliere questa occasione per aprire una
discussione inerente ai rischi connessi al gioco d’azzardo ed alla diffusione
del gioco delle ’slot machines’ tra i minori in Italia.
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_d’azzardo
15
http://www.camera.it/417?idSeduta=356&resoconto=btind&param=
http://consumatori.myblog.it/archive/2010/05/10/
in-italia-aumenta-il-gioco-d-azzardo-tra-i-minorenni.html
5
E se lanciassimo cinquanta dadi?
Gli allievi si mettono a ridere quando scoprono che la numerosa famiglia
De Dadis è composta dalla mamma, dal papà e da altri quarantotto vivaci
bambini e che dunque ora stiamo per chiedere ’ai più bravi della classe’ di
lanciare 50 dadi per mille volte e fare a mente la somma .. Per rendere più
veridica la narrazione abbiamo estratto dalla borsa un vero set di 50 dadi da
gioco!
In realtà, il terzo esperimento lo effettuiamo solamente con una simulazione; in questi frangenti R si rivela un software particolarmente adatto e
veloce nel gestire mille, centomila e persino un milione di lanci di 50 dadi.
Agli allievi si può chiedere ora di provare ad immaginare di che ’forma
geometrica’ sarà l’istogramma risultante. Di solito, nessun allievo si immagina che da un rettangolo e da un triangolo isoscele si possa passare alla figura
che un tempo era illustrata sulla banconota di dieci Marchi tedeschi accanto
al ritratto di Carl Friedrich Gauß: la famosa ’curva a campana’.
Non appare opportuno soffermarsi più approfonditamente sulle peculiarità di questo ’ingrediente essenziale’ della statistica. Sarà sufficiente dare
alcuni esempi tratti dalla realtà, come per esempio l’istogramma della statura
di 65 studenti universitari:
www <- "http://www.dmi.units.it/~borelli/dataset/studentiannoscorso.txt"
dataset <- read.table( www , header = TRUE )
attach(dataset)
hist(statura)
detach(dataset)
oppure si potrà ricordare che un andamento simile è evidenziato dalla distribuzione del peso dei neonati oppure, per citare un esempio più raffinato,
dalla pressione intraoculare.
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
6
Ringraziamenti
Un ringraziamento speciale va a Meri Zanolla, per avere curato e realizzato
la grafica dei personaggioni simpaticoni di questa attività.
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