MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 2 1- Si dispone di 2 kg di soluzione ( di un certo soluto in un certo solvente) concentrata al 38%. Calcolare la quantità di solvente che si deve aggiungere alla soluzione per ottenere una nuova soluzione, concentrata al 20%. (Si ricorda che la concentrazione di una soluzione è data dal rapporto tra quantità del soluto e quantità della soluzione) GUIDA ALL’ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? …..Prima di tutto devi saper leggere con attenzione il testo. Come si calcola una percentuale? Come si ottiene una soluzione concentrata ad un certo tot%? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 16/10/09 e l’Esercitazione del 20/10/09 e l’esercizio su percentuali della prima prova in itinere 08/09 (file:esercizio201009). Dopo avere rivisto le lezioni e l’esercitazione e l’esercizio, prova di nuovo a svolgere l’esercizio assegnato! Ora controlla la tua soluzione con la mia! SOLUZIONE: Indichiamo con x il soluto e con y il solvente, sono date le relazioni: x+y=2, x/(x+y) = 38/100, da cui otteniamo x =76/100, dobbiamo determinare la quantità c di solvente da aggiungere alla soluzione per portarla ad una concentrazione del 20% per cui si ha x/(x+y+c)= 0.76/(2+c) = 20/100 da cui c=1.8 kg. 2-Siano f : R →R e g : R → R due funzioni tali che f(x) ≥ g(x) per ogni x ∈ R. Sapendo che g è crescente, puoi concludere che f è crescente? Se sì, spiega perchè; se no, fai un esempio. GUIDA ALL’ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? …..Come si definisce la crescenza o la decrescenza di una funzione? Quali funzioni crescenti conosci? Ti puoi fare un’idea grafica di quanto può accadere, date le informazioni dell’esercizio, per capire che la risposta è no. Cerca dunque di pensare a due funzioni che conosci e che possano fornirti un esempio (Ricorda! Finora abbiamo parlato soltanto di funzioni polinomiali, potenza, razionali) Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 23 e 27/11/09 e 11 e 14/12/09 e le Esercitazioni del 24/11/09 e 15/12/09 e gli esercizi del file Esercizi vari su funzioni polinomiali e razionali). Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere l’esercizio! Ora controlla la tua soluzione con la mia! SOLUZIONE: Sapere che g(x) è crescente non implica che f(x) lo sia, infatti, ad esempio, la funzione g(x)=x è crescente, la funzione f(x)=x2 + x +1 NON è crescente, pur essendo vero che f(x)≥g(x), infatti, per ogni x reale, si ha x2 + x +1≥ x, essendo x2 +1 ≥ 0. 3- In un mazzo di carte da scopa, si prendono 3 carte, calcola la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi: a) b) c) d) una sola carta è una figura; al più una carta è una figura; almeno una carta è una figura; sono più figure che non. GUIDA ALL’ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? …..Hai chiaro il significato delle parole “al più” e “almeno”? Hai chiaro l’argomento estrazioni ripetute con o senza rimbussolamento? Questo è un problema di estrazioni di carte da un mazzo di carte da scopa (40 carte). Si estrae con o senza rimessa…? Puoi anche ricorrere al calcolo combinatorio; sai contare i casi possibili? E i casi “favorevoli”? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 03 e 13/11/09 e l’Esercitazione del 17/11/09. Dopo avere rivisto le lezioni e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere l’esercizio assegnato! Ora controlla la tua soluzione con la mia! SOLUZIONE: a) 3(12/40)(28/39)(27/38); b) al più una carta è una figura significa o nessuna carta è una figura oppure una sola carta è una figura (e quindi due carte non sono figure come al punto a)), perciò si ha (28/40)(27/39)(26/38) + 3(12/40)(28/39)(27/38); c) almeno una carta è una figura corrisponde all’evento contrario di nessuna carta è una figura, quindi la probabilità richiesta è 1 – (28/40)(27/39)(26/38); d) più figure che non corrisponde a “due figure e una carta che non è una figura ” oppure “tutte figure” , quindi 3(12/40)(11/39)(28/38) + (12/40)(11/39)(10(38). Puoi anche risolvere l’esercizio utilizzando il Calcolo Combinatorio …Come? 4- Il colore del pelo di una razza canina è determinato geneticamente da un gene con tre alleli: l’allele B bianco, l’allele N nero, l’allele F fulvo. Gli alleli B e N sono dominanti su F, mentre il genotipo BN corrisponde ad un pelo maculato. Supponiamo che la popolazione soddisfi la legge di Hardy-Weinberg e sapendo che il 21% dei cani hanno pelo bianco, il 45% pelo nero, il 4% fulvo, il 30% maculato, calcola la probabilità di tutti i possibili genotipi. Qual è la probabilità che un cane abbia pelo fulvo, sapendo che entrambi i genitori ce l’hanno? E sapendo che la madre ha pelo fulvo, mentre il padre non ha il pelo fulvo? GUIDA ALL’ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? …..Come si definisce e come si calcola una probabilità condizionale? Ti sono chiare le applicazioni della probabilità alla genetica viste a lezione ed esercitazione? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 03 e 09 e 13/11/09 e le Esercitazioni del 06 e 10/11/09. Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere l’esercizio assegnato! Ora controlla la tua soluzione con la mia! SOLUZIONE: Indichiamo con x la probabilità dell’allele B, con y quella dell’allele N ed infine con z quella dell’allele F, utilizzando i dati assegnati, calcoliamo la probabilità dei vari genotipi: x2 + 2xz = 0.21 y2 + 2yz= 0.45 z2 =0.04 2xy=0.3, da questo sistema di equazioni otteniamo x=0.3, y=0.5 e z= 0.2. Le probabilità dei vari genotipi sono dunque: P(BB)= 0.09, P(BF)=0.12, P(BN)=0.3, P(NN) =0.25, P(NF) = 0.2, P(FF)=0.04. Essendo “fulvo” il carattere recessivo, la probabilità che da genitori entrambi fulvi (quindi entrambi di genotipo FF), il figlio risulti fulvo (quindi di genotipo FF) è 1. Sapendo che la madre è FF, mentre il padre non è FF (quindi può essere di uno qualsiasi degli altri genotipi), calcoliamo la probabilità che il figlio risulti di genotipo FF: P(FiglioFF | P¬FF ∩ MFF ) =[(0.12)(1/2) + (0.2)(1/2)]/(1 –0.04) = 1/6 5-Stai cercando di descrivere un certo fenomeno attraverso una funzione del tipo f(t)=(a+bt3)/(c+dt3), dove a, b, c, d sono opportune costanti; sai che la funzione deve avere soddisfatte le seguenti condizioni: non deve essere definita per t=1, deve assumere valore 1 per t=-1, deve avere limite per t→+∞ uguale a 2. Che cosa puoi dire delle costanti a,b,c,d? Determina inoltre le funzioni il cui grafico è ottenuto: a) traslando il grafico di f(t) di 1 unità verso il basso b) moltiplicando la funzione per 3 e poi traslando il grafico di 2 unità verso destra GUIDA ALL’ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? …. Che tipo di funzione è la funzione assegnata? Come si determina il suo insieme di definizione o dominio? Come si calcola f(t) per t assegnato? Come si calcolano i limiti di funzioni di questo tipo per t→+∞? Come si ottengono altre funzioni traslando il grafico di una funzione assegnata di tot unità verso destra o verso sinistra, verso l’alto o verso il basso? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 11 e 14 e 18/12/09 e l’Esercitazione 15/12/2009 e il file Esercizi vari su funzioni polinomiali e razionali. Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere l’esercizio! Ora controlla la tua soluzione con la mia SOLUZIONE: Poichè la funzione non è definite in t=1, il denominatore deve annullarsi per t=1, quindi si ha c + d =0; poichè f(-1)=1, si ha (a – b)/(c – d) =1; infine la condizione di limite ci impone b/d = 2; da queste tre condizioni si ricava a=0, c=d, b=2d e quindi la funzione f(t) = (2dt3)/(-d+dt3)= (2t3)/(t3 – 1). a) Per determinare la funzione g(t) il cui grafico è ottenuto da quello di f(t) traslando di 1 unità verso il basso, basta sottrarre 1 all’espressione di f(t), si ha g(t)= f(t) – 1 = (2t3)/(t3 – 1) – 1; b) Per determinare la funzione h(t) il cui grafico è ottenuto da quello di f(t) moltiplicando la funzione per 3 e poi traslando il grafico di 2 unità verso destra, si deve calcolare h(t)=3f(t-2) = 3(2(t-2)3)/((t-2)3 – 1) 6-Si vuole verificare se il livello produttivo del mais dipenda dalla dose di fertilizzante utilizzato. A tal proposito, viene suddiviso un terreno in 10 parcelle nelle quali si usa un dosaggio di fertilizzante diverso e poi si misura il peso della granella di mais. Si hanno i seguenti risultati: Unità fertilizzante Peso granella 171 169 181 173 178 180 185 183 170 174 60 57 71 66 65 78 82 78 62 70 Si può affermare che ci sia una relazione lineare tra le due variabili? Fare una analisi di regressione. GUIDA ALL’ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? …..In che cosa consiste una analisi di regressione? Come si determina una retta di regressione? Come si definisce e come si calcola il CP ( Coefficiente di Pearson)? A che fini si calcola il CP? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 30/1101/12/09 e l’Esercitazione: Esercizi da svolgere di statistica descrittiva (file Es1) Dopo avere rivisto la lezione e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere l’esercizio assegnato! Ora controlla la tua soluzione con la mia! SOLUZIONE: Completiamo la tabella nel modo seguente: X: fertilizzante 171 169 181 173 178 180 185 183 170 174 X*=176.4 Y:Peso granella 60 57 71 66 65 78 82 78 62 70 Y*=68.9 X2 Y2 XY 29241 28561 32761 29929 31684 32400 34225 33489 28900 30276 2 (X )*=31146.6 3600 3249 5041 4356 4225 6084 6724 6084 3844 4900 2 (Y )*=4810.7 10260 9633 12851 11418 11570 14040 15170 14274 10540 12180 (XY)*=12193.6 Possiamo ora facilmente calcolare Y=mX+q, dove m=(12193.6-(176.4)(68.9))/(31146.6-(176.4)2)≈1.34 q=68.9-(1.34)(176.4) ≈ -167.48 Il coefficiente di Pearson CP=(12193.6-(176.4)(68.9))/sqr[(31146.6-(176.4)2)(4810.7-(68.9)2)] ≈ 0.91 Quindi il coefficiente di Pearson è piuttosto vicino ad 1 e mostra una buona approssimazione lineare di Y in funzione di X.