MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN

MATEMATICA CORSO A
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
I PROVA IN ITINERE
COMPITO PROVA 2
1- Si dispone di 2 kg di soluzione ( di un certo soluto in un certo solvente) concentrata
al 38%. Calcolare la quantità di solvente che si deve aggiungere alla soluzione per
ottenere una nuova soluzione, concentrata al 20%. (Si ricorda che la concentrazione di
una soluzione è data dal rapporto tra quantità del soluto e quantità della soluzione)
GUIDA ALL’ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Prima di tutto devi saper leggere con attenzione il testo. Come si calcola una
percentuale? Come si ottiene una soluzione concentrata ad un certo tot%?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 03/11/10 e
l’Esercitazione del 09/11/10
Dopo avere rivisto la lezione e l’esercitazione , prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Indichiamo con x il soluto e con y il solvente, sono date le relazioni:
x+y=2,
x/(x+y) = 38/100, da cui otteniamo x =76/100, dobbiamo determinare la quantità c di
solvente da aggiungere alla soluzione per portarla ad una concentrazione del 20% per
cui si ha x/(x+y+c)=
0.76/(2+c) = 20/100 da cui c=1.8 kg.
2- Assegnata la funzione f(x)= -x2 +3x-2, determina l’insieme imagine. Ha soluzione
la disequazione f(x)≥1? (Giustifica la risposta)
GUIDA ALL’ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Prima di tutto devi conoscere il significato di insieme immagine, devi avere
studiato inoltre l’argomento delle funzioni quadratiche.
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 20/12/10 e
l’Esercitazione del 21/12/10 nonché il compito prova 1 di Buon Fine anno
Dopo avere rivisto la lezione e l’esercitazione , prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: La funzione quadratica assegnata ha per grafico una parabola con la
concavità rivolta verso il basso (infatti il coefficiente del termine di secondo grado è
negativo), basta trovare quindi l’ordinata del vertice per avere il valore massimo
assunto dalla funzione. Il vertice ha ascissa x=3/2 e quindi ordinata y=1/4, dunque
l’insieme immagine è dato dalla semiretta (-∞, 1/4]
3- In un mazzo di carte da scopa, si prendono 3 carte, calcola la probabilità di
ciascuno dei seguenti eventi:
a) una sola carta è una figura;
b) al più una carta è una figura;
c) almeno una carta è una figura;
d) sono più figure che non.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Hai chiaro il significato delle parole “al più” e “almeno”? Hai chiaro l’argomento
estrazioni ripetute con o senza rimbussolamento? Questo è un problema di estrazioni
di carte da un mazzo di carte da scopa (40 carte). Si estrae con o senza rimessa…?
Puoi anche ricorrere al calcolo combinatorio; sai contare i casi possibili? E i casi
“favorevoli”?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 15/11 e
22/11/10 e l’Esercitazione del 7/12/10.
Dopo avere rivisto le lezioni e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: a) 3(12/40)(28/39)(27/38);
b) al più una carta è una figura significa o nessuna carta è una figura oppure una sola
carta è una figura (e quindi due carte non sono figure come al punto a)), perciò si ha
(28/40)(27/39)(26/38) + 3(12/40)(28/39)(27/38); c) almeno una carta è una figura
corrisponde all’evento contrario di nessuna carta è una figura, quindi la probabilità
richiesta è 1 – (28/40)(27/39)(26/38); d) più figure che non corrisponde a “due figure
e una carta che non è una figura ” oppure “tutte figure” , quindi
3(12/40)(11/39)(28/38) + (12/40)(11/39)(10(38).
Puoi anche risolvere l’esercizio utilizzando il Calcolo Combinatorio …Come?
4- Il colore del pelo di una razza canina è determinato geneticamente da un gene con
tre alleli: l’allele B bianco, l’allele N nero, l’allele F fulvo. Gli alleli B e N sono
dominanti su F, mentre il genotipo BN corrisponde ad un pelo maculato. Supponiamo
che la popolazione soddisfi la legge di Hardy-Weinberg e sapendo che il 21% dei cani
hanno pelo bianco, il 45% pelo nero, il 4% fulvo, il 30% maculato, calcola la
probabilità di tutti i possibili genotipi.
Qual è la probabilità che un cane abbia pelo fulvo, sapendo che entrambi i genitori ce
l’hanno? E sapendo che la madre ha pelo fulvo, mentre il padre non ha il pelo fulvo?
GUIDA ALL’ESERCIZIO4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…Conoscere alcune nozioni elementari di genetica, avere studiato le applicazioni
della probabilità alla genetica.
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 18/11 e
22/11/10 e le Esercitazioni del 23/11 e 02/12//10.
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Si è fenotipicamente B, se si ha il genotipo BB o BF, si è
fenotipicamente N, se si ha il genotipo NN oppure NF, si è fenotipicamente F se si è
FF, si è maculati se si è BN. Indichiamo con p, q, r la probabilità rispettivamente
dell’allele B, N, F, valgono le seguenti relazioni:
p2 + 2pr=0.21
q2 + 2qr=0.45
2pq=0.30
r2 = 0.04
p+q+r=1
da cui ricaviamo r=0.2, p= 0.3 , q= 0.5
Probabilità genotipiche: P(BB)=0.09, P(BF)= 0.12, P(NN)=0.25, P(NF)=0.2,
P(FF)=0.04, P(BN)= 0.30.
Se si hanno i genitori entrambi fulvi si è con certezza fulvi
Se la madre ha pelo fulvo MF e il padre no P¬F, la probabilità che il figlio abbia
pelo fulvo FF è data da
P(FF|MF∩P¬F)=P(FF∩MF∩P¬F)/P(MF∩P¬F)=
=0.04[0.12(1/2)+0.2(1/2)]/(0.04(1-0.04)=1/6
Infatti la probabilita che il padre non sia fulvo è 1-0.04=0.96, il figlio potrà essere
fulvo se e solo se il padre è BF oppure NF e, con probabilità 1/2, cede l’allele F al
figlio.
5- La password di un sito web in cui vuoi assolutamente entrare è composta da 8 cifre
numeriche. Un tuo amico hacker è riuscito a scoprire che si tratta di una data (due
cifre per il giorno, due cifre per il mese, quattro cifre per l'anno), che il mese puo'
essere aprile, giugno, settembre o novembre, e che l'anno può variare da 0000 a 9999.
a) Qual è la probabilità che la prima cifra della password sia 3? E che sia 2?
b) Qual è la probabilità che un codice di questo tipo scelto a caso abbia almeno
tre cifre fra le ultime quattro (quelle dell'anno) che coincidono con le cifre
della password nella stessa posizione?
c) Quanti sono le possibili password contenenti la sequenza 1011? (Per esempio, una di queste password è 10115636, e un'altra è 22110110.)
d) Qual è la probabilità che la password non contenga la sequenza 1011?
GUIDA ALL’ESERCIZIO5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
Avere le conoscenze di base della logica, del calcolo combinatorio e della probabilità
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 08/11 e
12/11/10 e l’ Esercitazione del 16/11 /10.
Dopo avere rivisto le lezioni e l’ esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: a) Si osserva che i mesi possibili sono tutti di 30 giorni, per cui la
probabilità che la prima cifra sia 3 è 1/30; la probabilità che la prima cifra sia 2 è
invece 10/30 perché ci sono 10 giorni al mese che iniziano per 2;
b) basta pensare che la probabilità di coincidenza per ogni cifra dell’anno è 1/10, e di
non coincidere è 9/10, la probabilità che almeno tre cifre coincidano significa che o
esattamente tre coincidono o coincidono tutte e quattro; la probabilità che coincidano
tutte è quattro è (1/10)4 mentre la probabilità che coincidano esattamente tre è
4(1/10)3(9/10), quindi la probabilità richiesta è 4(1/10)3(9/10)+ (1/10)4 ;
c) si osserva che sono ammissibili tutte le sequenze 1011****, che sono in tutto 104
(infatti per ogni cifra dell’anno si hanno 10 scelte),
le sequenze *1011*** non sono ammissibili perché avrebbero come mese gennaio;
le sequenze **1011** non sono ammissibili perché avrebbero come mese ottobre;
le sequenze ***1011* sono ammissibili se e solo se la terza cifra è 1 in modo da
corrispondere al mese di novembre e sono in tutto 30·10=300, dove 30 indica i 30
possibili numeri del giorno e 10 le possibili scelte dell’ultima cifra dell’anno;
infine ****1011 sono ammissibili e sono in tutto 30·4=120, quindi il numero delle
password che contengono la sequenza 1011 è in tutto 10000+300+120=10420;
d) la probabilità che una password contenga la sequenza 1011 è quindi
10420/(30·4·104)=10420/1200000, la probabilità che non la contenga è quindi
1- 10420/1200000.
6- La dietologa ti ha prescritto una dieta che prevede un'assunzione giornaliera di
almeno 200 g di carboidrati e di non più di 120 g di grassi. Inoltre, perchè la dieta sia
bilanciata, la quantità di carboidrati assunta in un giorno non deve essere maggiore del
triplo della quantità di grassi. Infine, puoi mangiare solo pecorino e soia. Supponi che
100 g di pecorino contengano 30 g di grassi e 5 g di carboidrati, e costino 5 euro; e
che 100 g di soia contengano 20 g di carboidrati e 6 g di grassi, e costino 2 euro.
Quanto pecorino e quanta soia devi mangiare al giorno per soddisfare le condizioni
indicate dalla dietologa spendendo il meno possibile?
GUIDA ALL’ESERCIZIO6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
Avere le conoscenze di base sul piano cartesiano, le funzioni lineari e le nozioni di
base della programmazione lineare.
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 06 e
09/12/10 e l’ Esercitazione del 14/12 /10.
Dopo avere rivisto le lezioni e l’ esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE:
Indichiamo con x la quantità in etti di pecorino e con y la quantità in etti di soia, la
spesa, in euro, da rendere minima è S(x,y)=5x +2y; la quantità di grassi assunta in un
giorno è data da 30x + 6y, la quantità di carboidrati è data da 5x +20y, devi assumere
almeno 200 grammi di carboidrati, quindi deve valere la relazione 5x + 20y≥ 200,
inoltre devi assumere non più di 120 grammi di grassi e quindi 30x+6y≤120, infine la
quantità di carboidrati non deve superare il triplo della quantità di grassi e quindi
5x+20y ≤ 3(30x+6y), vale a dire 85x –2y≥0;
alla relazione 5x+20y≥200 corrisponde la regione del primo quadrante al di sopra
della retta x+4y=40 (in rosso nella fig. seguente); alla relazione 30x+6y≤120
corrisponde la regione del primo quadrante al di sotto della retta(in verde nella fig. )
5x+y=20;
alla relazione 85x-2y≥0 corrisponde la regione di piano al di sotto della retta(in blu
nella fig.)
85x-2y=0;
al verificarsi contemporaneo delle tre condizioni corrisponde la regione del primo
quadrante corrispondente al triangolo evidenziato in figura. All’intersezione tra le
rette
y=(85/2)x
5x+y=20 corrisponde il vertice A= (8/19, 680/38)
all’intersezione tra le rette
x+4y=40
5x+y=20, corrisponde il vertice B=(40/19, 180/19)
All’intersezione tra le rette
2y=85x
x+4y=40 corrisponde il vertice C=(40/171, 1700/171)
Sappiamo che il valore minimo della spesa S(x,y)=5x+2y va ricercato sui vertici e
quindi calcoliamo S(A)=S(8/19, 680/38)=720/19, circa 37.9 euro,
S(B)=S(40/19,180/19)=560/19 circa 29.5 euro, ed infine
S(C)=S(40/171,1700/171)=3600/171 circa 21 euro che è il valore minimo di spesa,
dunque sei costretto a mangiare circa 23 grammi di pecorino e quasi un chilo di soia
al giorno. Povero te!