La tecnica del raddoppio al casinò mamo139 Su internet si vede un po’ ovunque parlare della tecnica del raddoppio e diverse persone sostengono che tale tecnica possa effettivamente funzionare. Inoltre per curiosità ho letto diverse dimostrazioni, alcune pro e altre contro tale tecnica, ma nessuna secondo me era giusta. Quindi ho deciso di buttare giù un ragionamento un po’ formale su tale tecnica per scoprire se essa almeno in teoria funziona oppure no. Il mio obiettivo è quindi quello di trarre le dovute conclusioni circa la sua profittabilità. Partiamo dalle basi: il gioco del raddoppio consiste nel puntare alla roulette sul nero o sul rosso, partendo da una cifra base e raddoppiando ad ogni sconfitta tale cifra base, in modo tale che quando si consegue una vittoria si viene ripagati di tutte le perdite precedenti e ci si guadagna anche qualcosa in piu. Per semplicità nella nostra analisi supponiamo: - che la probabilità di vincere puntando sul rosso o sul nero sia 0.5, - che non esista lo 0. Tali ipotesi aiutano la posizione dello scommettitore a danno di quella del casinò e quindi non creano problemi al risultato della nostra analisi nel caso in cui la tecnica del raddoppio risulti sconveniente. Innanzitutto bisogna perdere due righe per precisare un concetto fondamentale della statistica, che purtroppo ancora qualche persona ignora. Gli eventi passati non influenzano quelli presenti: il lancio di un dado, di una moneta o della pallina nella roulette sono eventi privi di correlazione con le realizzazioni precedenti e quelle future. Se io tiro un dado 3 volte ed esce 3 volte 6, la probabilità che tirandolo di esca di nuovo 6 rimane inalterata rispetto al primo tiro, è sempre e comunque 1/6. Da qui deriva che alla roulette non c’è nessun motivo per preferire il rosso al nero o viceversa, qualunque cosa sia successa prima. Da qui deriva che tutte le persone al casinò che davanti alla roulette si annotano i numeri precedenti su un foglietto sono ignoranti e che i tabelloni che mostrano le uscite precedenti non servono a niente se non ad incentivare ragionamenti perversi nelle persone. Iniziamo a concentrarci sulla tecnica del raddoppio. La tecnica del raddoppio non si deve basare sulle informazioni precedenti, visto che abbiamo appena detto che sono inutili. Più interessante è invece il fatto che tale tecnica non si basi neanche sulle informazioni che arrivano nel corso del gioco (con gioco intendo una esecuzione di tale tecnica, che consiste nel raddoppiare fino al conseguimento di una vittoria o alla perdita dell’intero capitale). Infatti si è già stabilito fin dalla prima puntata che si raddoppierà fino a vittoria, senza interessarsi di quante volte si perde. Il tutto è quindi meccanico ed indipendente dal fatto che man mano che il gioco si conclude si scoprono più informazioni per calcolare la probabilità di vittoria del gioco stesso. Il giocatore non trae beneficio dalle informazioni posteriori al tempo t = 0. Per dirla in un altro modo al giocatore non interessa nulla del mentre, gli interessa solo l’inizio e la fine. Per questo motivo l’intero gioco può essere ridotto ad un gioco equivalente ma uni periodale (molto più intuitivo da analizzare), con una probabilità di vittoria e una probabilità di sconfitta. Iniziamo la strategia di gioco: essa si basa sulla disponibilità di un capitale iniziale (incrementato dalle vincite) che è determinato dall’ammontare della puntata iniziale e dalla profondità che vogliamo dare al nostro gioco. Tale profondità determina il numero di periodi del gioco e se vogliamo determina un albero in cui possiamo annotare le probabilità delle varie realizzazioni (giocando su un gioco a due realizzazioni si crea per forza di cose un modello binomiale). Infatti se ad esempio analizziamo al tempo 0 dieci puntate alla roulette, possiamo creare un albero che da t0 a t1 si biforca, da t1 a t2 le due biforcazioni si dividono rispettivamente in due di nuovo e così via fino a t10 in cui sono 1024. Interessante notare che una sola di queste biforcazioni porta alla perdita del capitale, le altre al guadagno della somma impiegata alla prima puntata. La strategia di gioco è basata sul fatto che al tempo t[0] è stata fatta una scommessa sulla determinazione di n mani e non sul colore della singola mano. Questo è un punto molto importante, infatti al tempo t[n-1], appena prima dell’ultima giocata, io non sto facendo una puntata autonoma a 5050 di probabilità, ma sto automaticamente facendo quello stabilito al tempo 0 e non mi interesso delle nuove informazioni a me giunte dal gioco e che mi dicono che le possibilità di vittoria sono molto diminuite e sono diventate 50-50 in questo specifico gioco. http://mamo139.altervista.org 1 Se uno segue la tecnica del raddoppio fa una puntata al tempo 0 per una realizzazione che si scopre al tempo n (tralasciamo che si può scoprire prima se l’esito è positivo, non cambia niente), il fatto che il pagamento sia dilazionato nel tempo non ci interessa, è come comprare un biglietto della lotteria a rate, il fatto che lo paghi a rate non ne influenza gli schemi probabilistici. Prendete il lancio di n dadi: che io li lanci contemporaneamente o che li lanci uno alla volta, senza fare niente fino a quando non li ho lanciati tutti cambia qualcosa? No, non cambia niente. Qui succede la stessa cosa. Definiamo: x = l’ammontare giocato alla prima mano n = la profondità del gioco t[0] = la situazione prima del gioco t[1] = la situazione dopo la prima giocata ma prima della seconda t[n] = la situazione alla fine del gioco Da questi valori possiamo ricavare: 2 x n 1 C = capitale necessario = i i 0 P = probabilità di sconfitta in t[0] = 1 2 n 1 – p = probabilità di vittoria in t[0] Carino quanto inutile (per ora) notare che se x = 1, p 1 C 1 . Pensiamo al parallelismo fatto con la lotteria: noi in questo gioco stiamo comprando un biglietto della lotteria al prezzo C, che ci fa vincere con probabilità 1 – p la somma C + x. Facciamo un esempio con i numeri che magari è più chiaro: se pago un biglietto della lotteria 1023 euro, ho il 99.9023% di possibilità di vincere 1024 euro. Guadagno netto 1 euro, ovvero l’ammontare della prima puntata. La cosa più semplice a questo punto è calcolare il valore atteso del gioco, o meglio del capitale investito nel gioco. Se il valore atteso, ovvero la media ponderata per le probabilità delle future entrate, eccede il capitale il gioco è vantaggioso, altrimenti non lo è. In altre parole ci stiamo chiedendo questo: E p Cn C0 x E p Cn C0 0 ? 1 1 n1 i 0 1 2 x x C n n 2 2 i 0 n 1 x 1 n1 i i x 2 x 2 C 2n 2 n i 0 i 0 1 1 x 1 n n 2 2 2 0 n 1 i i 0 Il tutto ricordandoci che se x = 1, allora Quindi E p Cn C0 0 p 1 C 1 , e che quindi C 2 n 1 e ciò significa che il gioco fatto una volta non è ne vantaggioso ne svantaggioso. http://mamo139.altervista.org 2 Qui già c’è una prima importante conclusione: essendo il profitto atteso nullo, uno scommettitore non può aspettarsi un profitto sistematicamente positivo da tale strategia. Da ciò ne consegue che nessuna persona avversa al rischio dovrebbe prendere in considerazione l’idea di utilizzare la tecnica del raddoppio. Ma c’è un fattore molto importante da considerare: la tecnica del raddoppio è stata creata per essere utilizzata una sola volta oppure per conseguire enormi guadagni? Ovviamente per conseguire enormi guadagni. Visto che si guadagna x ogni volta che si utilizza la tecnica del raddoppio, definiamo k il numero di vittorie che bisogna fare per ottenere un guadagno di k x. Inutile dire che se si vuole raddoppiare il 2 . Ma quale è la n 1 capitale che si investe nel gioco bisogna giocare un numero di volte k tale che k = i i 0 probabilità di vincere (1 p) k kx ? Se la possibilità di vincere x è 1 – p, la probabilità di vincere kx diventa (la probabilità di vincere k giochi consecutivamente, senza poterne perdere neanche uno). Calcolando il valore atteso di questa nuova scommessa, che altro non è che una generalizzazione del caso appena sviluppato, si ottiene che: k 1 n1 E p;k Cn C0 1 n 2 i x k x C 2 i 0 Una volta calcolato che E p;k C C E p C C per k > 1, si deduce che utilizzare la tecnica del raddoppio più di una volta è più svantaggioso che utilizzarla una sola volta. Infatti facendo la derivata del valore atteso rispetto a k si dimostra che più volte si utilizza la tecnica del raddoppio più essa diventa sfavorevole. 1 n1 1 n 2 i x k x C 2 i 0 0 k k per k,n,x >= 1, le altre situazioni non ci interessano. Per concludere, meno si utilizza tale tecnica meglio è per il nostro portafogli. Per convincerci facciamo un piccolo esempio con i numeri: un giocatore con x = 1, C = 1023, n = 10, quante probabilità ha di raddoppiare il capitale con la tecnica del raddoppio? (1023/1024)^1023 = 0,368059172 Quindi iniziando il nostro gioco del raddoppio al casinò con 1023 euro e la speranza di portarne a casa 2046, le probabilità di tornare a casa con 2046 euro sono del 37%, contro il 63% di perdere i propri soldi e tornare a casa a mani vuote. Per concludere abbiamo imparato che se avete x euro, volete uscire dal casinò con k x e non sapete se puntarli tutti sul nero oppure se iniziare ad usare il seducente metodo del raddoppio... mi raccomando puntate sul nero, sarebbe una mossa più razionale. http://mamo139.altervista.org 3