t - (INFN) - Sezione di Milano

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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 4
Commonwealth Scientific and
Industrial Research
Organisation
7.10.2014
y Inventano il sistema WI-FI nel 1993
y Brevetto nel 1996
y Standard IEEE nel 1999
y Battaglia legale contro compagnia Buffalo
y In risposta Dell, Intel, Microsoft, Netgear
e Apple intentano una causa contro CSIRO
y Causa vinta nel 2009 in TEXAS
y http://www.abc.net.au/catalyst/stories/2708730.htm
Anno Accademico 2014 - 2015
CSIRO: Parkes Radio Telescope
Fisica Nucleare: introduzione
y “Le 1er Mars 1896 Henri Becquerel a découvert la radioactivité”
y Con queste parole Jean Becquerel inizia il racconto dell’inattesa scoperta del
padre che gli varrà il premio Nobel nel 1903
y Si tratta di una scoperta non prevista da alcuna teoria:
y La scienza è dominata dalla fisica classica
y Non è ancora stato scoperto il nucleo dell’atomo
y Non è ancora stata formulata la teoria della relatività
y Non è ancora stata formulata la meccanica quantistica
y Questa scoperta è una di quelle destinate a cambiare radicalmente la visione
fisica del mondo
y Fin dall’inizio pone una serie di problemi non spiegabili
nell’ambito della teoria classica†
y
A. Pais – Radioactivity’s two early puzzles – Review of Modern Physics 49, pag 925 (1977)
†
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71
Fisica Nucleare: introduzione
y Gli scienziati si resero conto presto che l’energia emessa da un nucleo
radioattivo è enorme
y La scala di energia della fisica atomica (es. chimica) è ~10 eV
(energia di legame degli elettroni esterni)
y La scala di energia di un decadimento nucleare è ~1 MeV = 106 eV !
y Da dove origina tanta energia ?
y Il decadimento di un nucleo è un fenomeno casuale
y L’istante in cui un dato nucleo decade non può essere previsto
y Fino all’istante in cui decade il nucleo in questione è uguale a tutti gli altri
y Crisi del determinismo della fisica classica
y Infine vale la pena notare che per avere una prima comprensione del
decadimento β occorre attendere:
y 1930: Ipotesi del neutrino di Pauli
y 1934: Teoria di Fermi del decadimento β
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72
Fisica Nucleare: introduzione
y Breve cronologia delle principali tappe (enfasi sulle scoperte sperimentali):
y 1896:
y Scoperta dell’elettrone: rapporto e/m e raggi catodici. P. Zeeman,
J.Wiechert, J.J. Thomson (1897)
y 1898:
y M. Curie scopre che l’intensità della radiazione emessa nel decadimento
radioattivo (uranio) è proporzionale alla quantità di uranio
y Insieme ad altri (P. Curie e G. Bémont) scopre il Torio, il Polonio, il Radio
y 1898:
y E. Rutherford scopre che la radiazione emessa
dall’uranio è almeno di due tipi:
y Una assorbita molto facilmente: α
y Una più penetrante: β
y 1899:
y Ci si rende conto che la radiazione β è costituita
dagli stessi elettroni che costituiscono i raggi catodici
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73
Fisica Nucleare: introduzione
y Occorre attendere più di 10 anni per rendersi conto che la radiazione α
è costituita da atomi di elio ionizzati due volte (nuclei di He)
y 1900:
y Osservazione della radiazione γ (Villard)
y Occorreranno 14 anni perché Rutherford capisca che i raggi γ
sono radiazione elettromagnetica di altissima frequenza
y 1911
y Rutherford scopre il nucleo atomico
y 1913
y La radiazione β è di origine nucleare (N. Bohr)
y 1914
y Lo spettro di emissione della radiazione β è continuo (J. Chadwick)
y 1930 Pauli ,1934 Fermi
y Pauli ipotizza l’esistenza del neutrino
y Fermi scrive l’Hamiltoniana dell’interazione β
y 1932:
y Scoperta del neutrone (J.Chadwick)
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74
Esperimento di Rutherford
y Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger
e E. Marsden, iniziarono sotto la direzione di
Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester
y Con questi esperimenti fu misurata la sezione
d’urto di diffusione delle particelle α da parte
degli atomi del bersaglio
α
θ
y Il risultato di questi esperimenti avrebbe potuto
essere un grafico di questo tipo
scala logaritmica
y L’osservazione che destò presto l’interesse di
Rutherford fu la relativa abbondanza di
particelle α diffuse ad elevato angolo
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75
Esperimento di Rutherford
y Perché l’osservazione di Rutherford era così importante ?
y Urto classico (non relativistico) di due particelle
v
vα
o
y Conservazione del momento
m
vo = vα + t vt
mα
vo2
=
mαvo = mαvα + mt vt
vα2
mt2 2
m
+ 2 vt + 2 t vt ⋅ vα
mα
mα
1
1
1
mαvo2 = mαvα2 + mt vt2
2
2
2
y Conservazione dell’energia cinetica
vo2
=
vt2 =
vα2
m
+ t vt2
mα
mt 2
v + 2vt ⋅ vα
mα t
vα2
+
vt
mt
mα
vt2
=
vα2
+
mt2
mα2
vt2 + 2
mt
mα
vt ⋅ vα
⎛
m ⎞
vt2 ⎜⎜ 1 − t ⎟⎟⎟ = 2vt ⋅ vα
⎝
mα ⎠
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76
Esperimento di Rutherford
y La relazione appena trovata
⎛
m ⎞
vt2 ⎜⎜ 1 − t ⎟⎟⎟ = 2vt ⋅ vα
⎝
mα ⎠
y Ci permette di trarre le seguenti conclusioni
y Se mt
mα
1−
mt
>0
mα
vt ⋅ vα > 0
y Le velocità dopo l’urto devono essere più o meno in avanti
y Viceversa, se mt
mα 1 − mt < 0
mα
vt ⋅ vα < 0
y Una delle 2 velocità dopo l’urto deve essere più o meno all’indietro
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77
Esperimento di Rutherford
y Il modello di Thomson dell’atomo
+
y Sappiamo che l’elettrone è molto leggero
-
y Misura di e/m
y Se l’urto fosse con l’elettrone
mt
∼ 10−4
mα
vo = vα +
mt
v ≈ vα
mα t
y La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall’elettrone
y Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente
distribuita sulle dimensioni dell’atomo deflette apprezzabilmente
la particella α
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78
Sezione d’urto
y Consideriamo:
y Un bersaglio di spessore dz e densità ρT
(bersagli per unità di volume)
y Un fascio di particelle di area S
ρT =
y L’intensità del fascio è il numero di particelle
incidenti per unità di tempo Io (particelle/s)
y Il numero nT di particelle del bersaglio
colpite dal fascio è
y Il numero di interazioni al secondo dn/dt è
proporzionale a:
y Numero di particelle incidenti al secondo Io
y Numero di particelle del bersaglio nT
ρ
NA
A
Io
dz
S
nT = ρTV = ρT Sdz
σ
dn
= I o nT
dt
S
σ = sezione d’urto
[σ] = L2 Unità di misura barn
y La costante di proporzionalità è definita dal
1 barn = 10−24 cm2
rapporto fra una superficie σ e l’area del fascio S
y oppure integrando nel tempo
y In definitiva
σ
dn
= I o ρT Sdz
dt
S
dn
= I o ρT dz σ
dt
dn = N o ρT dz σ N o =
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∫ Iodt
79
Sezione d’urto
y Nel caso lo spessore del bersaglio sia finito beam
y La diminuzione del numero n di
particelle del fascio è
0
dN = −N ( z ) ρT dz σ
λ=
y Introduciamo la lunghezza d’interazione
y Quindi troviamo per l’intensità
del fascio N(z)
dN
dz
=−
N (z )
λ
N ( z ) = Noe
−ρT σz
1
ρT σ
= Noe
−
n ( z ) = No − Noe
z
λ
N(z)
n(z)
≈ 1−
z
λ
n ( z ) ≈ No
z
z
⎛
− ⎞
λ
= No ⎜⎜ 1 − e ⎟⎟⎟
⎜⎝
⎠
y Se lo spessore è trascurabile
z
−
λ
e
L z
z
λ
y Possiamo ricavare il numero delle interazioni n(z)
−
dz
z
λ
z
Si ritorna alla formula
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dn = N o ρT dz σ
80
La misura della sezione d'urto
y Vediamo adesso come si misura una sezione d’urto
rivelatore
y Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile
E
(condizione che si verifica molto frequentemente)
θ
y Ciò è equivalente alla condizione
ρT dz σ
1
monitor
y In queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale
y Ad es. una fissata energia E del fascio, un fissato angolo
y Il numero no di particelle del fascio è misurato con il rivelatore monitor
y Il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore
y Inoltre sono ovviamente conosciuti
y Lo spessore del bersaglio dz
y La densità ρT di atomi/nuclei bersaglio (target)
y ρ è la densità, A il numero di massa
atomico e NA il numero di Avogadro
y La sezione d'urto allora è
y Se gli errori su tutte le grandezze sono
trascurabili escluso l'errore statistico su n,
l'errore statistico sulla sezione d'urto è
ρT =
σ=
ρ
N
A A
1
n
no ρT dz no
Δσ
n
1
=
=
σ
n
n
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81
Sezione d’urto differenziale
y La sezione d’urto differenziale si introduce
quando si vuole studiare la dipendenza
della sezione d’urto da variabili cinematiche
y Nel caso più semplice dagli angoli
dΩ
y Se invece di considerare tutte le
interazioni si considerano solo quelle
che producono una particella nello
stato finale in un angolo solido d Ω
dΩ =
dS
r2
dn ( θ, φ ) = N o ρT dz
dσ
dΩ
dΩ
d Ω = d φ sin θd θ
y L’unità di misura della sezione d’urto differenziale è barn per steradiante b/sr
y La sezione d’urto differenziale e la sezione d’urto totale sono legate
σ=
y Spesso non c’è dipendenza da φ
d Ω = 2π sin θd θ
∫
dσ
dΩ
dΩ
dn ( θ ) = N o ρT dz
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dσ
d cos θ
d cos θ
82
Scattering di Coulomb
y Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi
y Si può fare un calcolo quantitativo sapendo che l’interazione
fra la particella α e il nucleo è di tipo Coulombiano
V (r ) =
1 ZZ αe 2
4πεo r
b = parametro d’impatto
θ
mαvo
r
b
χ
χο
θ = angolo di scattering
ro
z
y La traiettoria è un ramo di un’iperbole
y Ci sono due costanti del moto
y L’energia totale: il campo è conservativo
y Utilizziamo le coordinate polari r e χ
E ≡
1
1
mαvo2 = mαv 2 + U ( r )
2
2
y Il momento angolare: la forza è
diretta lungo r e ha momento nullo
L = r × mv
y Le coordinate del punto di massimo
avvicinamento sono ro e χo
y Vogliamo trovare la relazione fra b e θ
r×F = 0
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83
Scattering di Coulomb
1 ZZ αe 2
θ
b =
cot
4πεo 2E
2
θ
mαvo
b
r
χ
χο
z
y Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere
y Per i calcoli numerici può essere comodo introdurre
il raggio classico dell’elettrone
−15
re = 2.817 940 × 10
m
y Oppure la costante di struttura fine
1
α=
137.035 999 679
e2
re =
4πεo mec 2
e2
α=
4πεo c
mec 2 ZZ α
θ
b=
re cot
2
2
E
b=
ZZ α c
θ
α cot
2 E
2
c = 197.326 963 MeV fm
1fm = 10-15 m
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84
Sezione d’urto di Rutherford
y A questo punto possiamo calcolare la sezione d’urto di Rutherford
y per un dato parametro d’impatto l’angolo di
scattering è fissato
1 ZZ αe 2
θ
=
b
cot
y Consideriamo un fascio incidente di No particelle distri4πεo 2E
2
buite uniformemente su una superficie S, con densità no
y Non abbiamo dipendenza da φ
y Dalla definizione di sezione d’urto
dσ
dΩ
dΩ
11 ddσσ
dn ( θ ) = N o ρρTTdzS
dzS
ddΩΩ
S
S
d
d
Ω
Ω
nT
dn ( θ ) = N o ρT dz
N
dσ
dn ( θ ) = o nT
dΩ
S
dΩ
dσ
dn ( θ ) = no nT
dΩ
dΩ
S
N0
y Consideriamo infine un solo nucleo (nT = 1)
dS
dn ( θ ) = no
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dσ
dΩ
dΩ
85
Sezione d’urto di Rutherford
y Nella teoria classica degli urti tutte le particelle che attraversano
l’anello ad un parametro d’impatto b sono deflesse ad un angolo θ
y Passano entro l’anello dS
d Ω = 2π sin θd θ
y Sono deflesse entro l’angolo solido dΩ
dn ( θ ) = no 2πbdb
dS = 2πbdb
y Dalla definizione di sezione
d’urto abbiamo visto che
dn ( θ ) = no
dσ
dΩ
dΩ
dS
y Uguagliando ed utilizzando
l’espressione esplicita di dΩ
no 2πbdb = no
dσ
2π sin θd θ
dΩ
bdb =
dσ
sin θd θ
dΩ
y Il segno negativo tiene conto del fatto
che l’angolo θ diminuisce quando b aumenta
dσ
b b dbdb
=−
θ dθθd θ
sinsin
dΩ
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86
Sezione d’urto di Rutherford
y A questo punto il calcolo è immediato
1 ZZ αe 2
θ
b=
cot
4πεo 2E
2
dσ
1
1 ZZ αe 2
θ db
=−
cot
dΩ
sin θ 4πεo 2E
2 dθ
dσ
=−
dΩ
dσ
b db
=−
sin θ d θ
dΩ
1 ZZ αe 2 db
θ 4πεo 2E d θ
2 sin2
2
1
db
1 ZZ αe 2 d
θ
=
cot
dθ
4πεo 2E d θ
2
1 ZZ αe 2 1
=−
4πεo 2E 2
⎛ ZZ αe 2 ⎞⎟2 1
dσ
1
= ⎜⎜
⎟⎟
θ
d Ω ⎜⎝ 4πεo ⎠ ( 4E )2
sin 4
2
1
sin2
θ
2
e2
α=
4πεo c
( ) sin
dσ
c
= ( ZZ α α )2
dΩ
4E
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2
1
4
θ
2
87
Collisione di due particelle
y Supponiamo che due particelle interagiscano tramite un potenziale centrale
che dipende solo dalla distanza fra le due particelle
y L’Hamiltoniano del sistema è
V ( r ) = V ( r2 − r1 )
p12
p22
H =
+
+ V ( r2 − r1 )
2m1
2m2
y Come nel caso classico anche nel caso quantistico il problema dell’urto
fra due particelle si può separare
y Il moto libero di una particella di massa
M = m1 + m2
y L’interazione di una particella di massa μ con il potenziale V(r)
μ=
y Si introducono le variabili
R=
m1 r1 + m2 r2
m1 + m2
r = r1 − r2
y L’Hamiltoniano diventa
H = H cm + H rel
H cm
p=
P = p1 + p2
P2
=
2M
H rel
m1m2
m1 + m2
m2 p1 − m1p2
m1 + m2
p2
=
+V (r)
2μ
y Come anticipato il moto di una particella libera (coordinata R) e una
particella soggetta a potenziale V(r) (coordinata r)
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa
88
Collisione di due particelle
y Perché le conclusioni precedenti valgano anche a livello quantistico è necessario
verificare le relazioni di commutazione
y Partendo dalle regole di commutazione† fra r1 e p1 e fra r2 e p2
si possono facilmente dimostrare le seguenti relazioni
y
I moti delle particelle descritte
[ Pj , rk ] = 0
[ p j , Rk ] = 0
da R e r sono indipendenti
y
[ Pj , Rk ] = δjk i
[ p j , rk ] = δjk i
Sono le regole di commutazione
canoniche di due particelle
y Si verifica inoltre che
[ P, H ] = 0
[ P, H rel ] = 0
[ H , H rel ] = 0
y In particolare la relazione [P,H] = 0 implica che il momento P del centro di
massa è una costante del moto
y Inoltre [Hrel,H] = 0 implica che anche Hrel è una costante del moto
y Le regole di commutazione implicano che si possono cercare soluzioni che siano
contemporaneamente autofunzioni dei 3 operatori P,H e Hrel
y †i commutatori fra una variabile della particella 1 e una variabile della particella 2 sono nulli
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89
Collisione di due particelle
y La soluzione ha la forma
Ψ ( R, r ) = e iK⋅R ψ ( r )
y Dove ψ(r) è la soluzione dell’equazione per il moto relativo
H rel ψ ( r ) = E ψ ( r )
y Inoltre, ovviamente
H cme
y E per finire
i K⋅ R
K2 iK⋅R
=
e
2M
H Ψ ( R, r ) = Etot Ψ ( R, r )
2
Etot
2
K2
=
+E
2M
y Il problema si riduce pertanto alla ricerca delle autofunzione di Hrel
y Si tratta del problema di una particella in un potenziale dato V(r)
y Trattiamo pertanto il problema della diffusione di una particella da parte di
un potenziale V(r)
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90
Sezione d’urto in meccanica quantistica
y Nella meccanica quantistica un urto viene descritto nel modo seguente:
y Una particella (pacchetto d’onda) propaga senza interagire
y Si avvicina ad un bersaglio
y Potenziale a corto range
y Interagisce
y Nello stato finale possiamo avere due diverse situazioni
y La particella non ha interagito
y Un pacchetto che propaga senza interagire nella
stessa direzione della particella incidente
y La particella ha interagito
y Un pacchetto che propaga in una direzione differente
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91
Sezione d’urto in meccanica quantistica
y Per la descrizione dettagliata occorre risolvere
l’equazione di Schrödinger
( Ho
+ V ) ψ ( r, t ) = i
∂
ψ ( r, t )
∂t
y La soluzione può essere complicata e non verificabile direttamente
y Senza un confronto con l’esperimento non è interessante
y Ci interessiamo allora agli stati asintotici (t → ±∞)
y Pacchetti d’onda che propagano senza interagire
y Soluzioni dell’equazione di Schrödinger senza potenziale
y Possiamo pertanto riformulare il problema
y Abbiamo una particella libera nel passato: t → −∞
y Sufficientemente passato perché la particella sia
lontana dal potenziale
y Descritta da un pacchetto costruito con le soluzioni
dell’equazione per una particella libera
y Quale sarà la sua descrizione nel futuro t → +∞
y Sufficientemente futuro perché la particella sia di
nuovo lontana dal potenziale (di nuovo particella libera)
y Non troppo nel futuro affinché il pacchetto non si sia disperso
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92
Analogo Classico
y Un analogo classico
y Orbita di una particella intorno
a un centro
y La particella descrive un’orbita
complicata
y L’orbita è complicata nella zona vicina
alla sorgente del potenziale
y Non siamo interessati ai dettagli nelle
vicinanze del centro diffusore
regione dell’interazione
y Siamo invece interessati agli stati asintotici
y Traiettoria rettilinea che descrive lo stato iniziale
y Traiettoria rettilinea che descrive lo stato finale
y Lo stato esatto è l’orbita completa
y Gli stati asintotici sono “stati liberi” (“orbite rettilinee”)
y Approssimano l’orbita nel passato remoto
y Approssimano l’orbita nel futuro remoto
y La teoria dello scattering permette di calcolare la probabilità
di passare da uno stato “in” ad uno stato “out”
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93
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