t - (INFN) - Sezione di Milano
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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 4 Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation 7.10.2014 y Inventano il sistema WI-FI nel 1993 y Brevetto nel 1996 y Standard IEEE nel 1999 y Battaglia legale contro compagnia Buffalo y In risposta Dell, Intel, Microsoft, Netgear e Apple intentano una causa contro CSIRO y Causa vinta nel 2009 in TEXAS y http://www.abc.net.au/catalyst/stories/2708730.htm Anno Accademico 2014 - 2015 CSIRO: Parkes Radio Telescope Fisica Nucleare: introduzione y “Le 1er Mars 1896 Henri Becquerel a découvert la radioactivité” y Con queste parole Jean Becquerel inizia il racconto dell’inattesa scoperta del padre che gli varrà il premio Nobel nel 1903 y Si tratta di una scoperta non prevista da alcuna teoria: y La scienza è dominata dalla fisica classica y Non è ancora stato scoperto il nucleo dell’atomo y Non è ancora stata formulata la teoria della relatività y Non è ancora stata formulata la meccanica quantistica y Questa scoperta è una di quelle destinate a cambiare radicalmente la visione fisica del mondo y Fin dall’inizio pone una serie di problemi non spiegabili nell’ambito della teoria classica† y A. Pais – Radioactivity’s two early puzzles – Review of Modern Physics 49, pag 925 (1977) † Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 71 Fisica Nucleare: introduzione y Gli scienziati si resero conto presto che l’energia emessa da un nucleo radioattivo è enorme y La scala di energia della fisica atomica (es. chimica) è ~10 eV (energia di legame degli elettroni esterni) y La scala di energia di un decadimento nucleare è ~1 MeV = 106 eV ! y Da dove origina tanta energia ? y Il decadimento di un nucleo è un fenomeno casuale y L’istante in cui un dato nucleo decade non può essere previsto y Fino all’istante in cui decade il nucleo in questione è uguale a tutti gli altri y Crisi del determinismo della fisica classica y Infine vale la pena notare che per avere una prima comprensione del decadimento β occorre attendere: y 1930: Ipotesi del neutrino di Pauli y 1934: Teoria di Fermi del decadimento β Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 72 Fisica Nucleare: introduzione y Breve cronologia delle principali tappe (enfasi sulle scoperte sperimentali): y 1896: y Scoperta dell’elettrone: rapporto e/m e raggi catodici. P. Zeeman, J.Wiechert, J.J. Thomson (1897) y 1898: y M. Curie scopre che l’intensità della radiazione emessa nel decadimento radioattivo (uranio) è proporzionale alla quantità di uranio y Insieme ad altri (P. Curie e G. Bémont) scopre il Torio, il Polonio, il Radio y 1898: y E. Rutherford scopre che la radiazione emessa dall’uranio è almeno di due tipi: y Una assorbita molto facilmente: α y Una più penetrante: β y 1899: y Ci si rende conto che la radiazione β è costituita dagli stessi elettroni che costituiscono i raggi catodici Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 73 Fisica Nucleare: introduzione y Occorre attendere più di 10 anni per rendersi conto che la radiazione α è costituita da atomi di elio ionizzati due volte (nuclei di He) y 1900: y Osservazione della radiazione γ (Villard) y Occorreranno 14 anni perché Rutherford capisca che i raggi γ sono radiazione elettromagnetica di altissima frequenza y 1911 y Rutherford scopre il nucleo atomico y 1913 y La radiazione β è di origine nucleare (N. Bohr) y 1914 y Lo spettro di emissione della radiazione β è continuo (J. Chadwick) y 1930 Pauli ,1934 Fermi y Pauli ipotizza l’esistenza del neutrino y Fermi scrive l’Hamiltoniana dell’interazione β y 1932: y Scoperta del neutrone (J.Chadwick) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 74 Esperimento di Rutherford y Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger e E. Marsden, iniziarono sotto la direzione di Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester y Con questi esperimenti fu misurata la sezione d’urto di diffusione delle particelle α da parte degli atomi del bersaglio α θ y Il risultato di questi esperimenti avrebbe potuto essere un grafico di questo tipo scala logaritmica y L’osservazione che destò presto l’interesse di Rutherford fu la relativa abbondanza di particelle α diffuse ad elevato angolo Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 75 Esperimento di Rutherford y Perché l’osservazione di Rutherford era così importante ? y Urto classico (non relativistico) di due particelle v vα o y Conservazione del momento m vo = vα + t vt mα vo2 = mαvo = mαvα + mt vt vα2 mt2 2 m + 2 vt + 2 t vt ⋅ vα mα mα 1 1 1 mαvo2 = mαvα2 + mt vt2 2 2 2 y Conservazione dell’energia cinetica vo2 = vt2 = vα2 m + t vt2 mα mt 2 v + 2vt ⋅ vα mα t vα2 + vt mt mα vt2 = vα2 + mt2 mα2 vt2 + 2 mt mα vt ⋅ vα ⎛ m ⎞ vt2 ⎜⎜ 1 − t ⎟⎟⎟ = 2vt ⋅ vα ⎝ mα ⎠ Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 76 Esperimento di Rutherford y La relazione appena trovata ⎛ m ⎞ vt2 ⎜⎜ 1 − t ⎟⎟⎟ = 2vt ⋅ vα ⎝ mα ⎠ y Ci permette di trarre le seguenti conclusioni y Se mt mα 1− mt >0 mα vt ⋅ vα > 0 y Le velocità dopo l’urto devono essere più o meno in avanti y Viceversa, se mt mα 1 − mt < 0 mα vt ⋅ vα < 0 y Una delle 2 velocità dopo l’urto deve essere più o meno all’indietro Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 77 Esperimento di Rutherford y Il modello di Thomson dell’atomo + y Sappiamo che l’elettrone è molto leggero - y Misura di e/m y Se l’urto fosse con l’elettrone mt ∼ 10−4 mα vo = vα + mt v ≈ vα mα t y La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall’elettrone y Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente distribuita sulle dimensioni dell’atomo deflette apprezzabilmente la particella α Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 78 Sezione d’urto y Consideriamo: y Un bersaglio di spessore dz e densità ρT (bersagli per unità di volume) y Un fascio di particelle di area S ρT = y L’intensità del fascio è il numero di particelle incidenti per unità di tempo Io (particelle/s) y Il numero nT di particelle del bersaglio colpite dal fascio è y Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a: y Numero di particelle incidenti al secondo Io y Numero di particelle del bersaglio nT ρ NA A Io dz S nT = ρTV = ρT Sdz σ dn = I o nT dt S σ = sezione d’urto [σ] = L2 Unità di misura barn y La costante di proporzionalità è definita dal 1 barn = 10−24 cm2 rapporto fra una superficie σ e l’area del fascio S y oppure integrando nel tempo y In definitiva σ dn = I o ρT Sdz dt S dn = I o ρT dz σ dt dn = N o ρT dz σ N o = Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa ∫ Iodt 79 Sezione d’urto y Nel caso lo spessore del bersaglio sia finito beam y La diminuzione del numero n di particelle del fascio è 0 dN = −N ( z ) ρT dz σ λ= y Introduciamo la lunghezza d’interazione y Quindi troviamo per l’intensità del fascio N(z) dN dz =− N (z ) λ N ( z ) = Noe −ρT σz 1 ρT σ = Noe − n ( z ) = No − Noe z λ N(z) n(z) ≈ 1− z λ n ( z ) ≈ No z z ⎛ − ⎞ λ = No ⎜⎜ 1 − e ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ y Se lo spessore è trascurabile z − λ e L z z λ y Possiamo ricavare il numero delle interazioni n(z) − dz z λ z Si ritorna alla formula Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa dn = N o ρT dz σ 80 La misura della sezione d'urto y Vediamo adesso come si misura una sezione d’urto rivelatore y Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile E (condizione che si verifica molto frequentemente) θ y Ciò è equivalente alla condizione ρT dz σ 1 monitor y In queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale y Ad es. una fissata energia E del fascio, un fissato angolo y Il numero no di particelle del fascio è misurato con il rivelatore monitor y Il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore y Inoltre sono ovviamente conosciuti y Lo spessore del bersaglio dz y La densità ρT di atomi/nuclei bersaglio (target) y ρ è la densità, A il numero di massa atomico e NA il numero di Avogadro y La sezione d'urto allora è y Se gli errori su tutte le grandezze sono trascurabili escluso l'errore statistico su n, l'errore statistico sulla sezione d'urto è ρT = σ= ρ N A A 1 n no ρT dz no Δσ n 1 = = σ n n Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 81 Sezione d’urto differenziale y La sezione d’urto differenziale si introduce quando si vuole studiare la dipendenza della sezione d’urto da variabili cinematiche y Nel caso più semplice dagli angoli dΩ y Se invece di considerare tutte le interazioni si considerano solo quelle che producono una particella nello stato finale in un angolo solido d Ω dΩ = dS r2 dn ( θ, φ ) = N o ρT dz dσ dΩ dΩ d Ω = d φ sin θd θ y L’unità di misura della sezione d’urto differenziale è barn per steradiante b/sr y La sezione d’urto differenziale e la sezione d’urto totale sono legate σ= y Spesso non c’è dipendenza da φ d Ω = 2π sin θd θ ∫ dσ dΩ dΩ dn ( θ ) = N o ρT dz Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa dσ d cos θ d cos θ 82 Scattering di Coulomb y Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi y Si può fare un calcolo quantitativo sapendo che l’interazione fra la particella α e il nucleo è di tipo Coulombiano V (r ) = 1 ZZ αe 2 4πεo r b = parametro d’impatto θ mαvo r b χ χο θ = angolo di scattering ro z y La traiettoria è un ramo di un’iperbole y Ci sono due costanti del moto y L’energia totale: il campo è conservativo y Utilizziamo le coordinate polari r e χ E ≡ 1 1 mαvo2 = mαv 2 + U ( r ) 2 2 y Il momento angolare: la forza è diretta lungo r e ha momento nullo L = r × mv y Le coordinate del punto di massimo avvicinamento sono ro e χo y Vogliamo trovare la relazione fra b e θ r×F = 0 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 83 Scattering di Coulomb 1 ZZ αe 2 θ b = cot 4πεo 2E 2 θ mαvo b r χ χο z y Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere y Per i calcoli numerici può essere comodo introdurre il raggio classico dell’elettrone −15 re = 2.817 940 × 10 m y Oppure la costante di struttura fine 1 α= 137.035 999 679 e2 re = 4πεo mec 2 e2 α= 4πεo c mec 2 ZZ α θ b= re cot 2 2 E b= ZZ α c θ α cot 2 E 2 c = 197.326 963 MeV fm 1fm = 10-15 m Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 84 Sezione d’urto di Rutherford y A questo punto possiamo calcolare la sezione d’urto di Rutherford y per un dato parametro d’impatto l’angolo di scattering è fissato 1 ZZ αe 2 θ = b cot y Consideriamo un fascio incidente di No particelle distri4πεo 2E 2 buite uniformemente su una superficie S, con densità no y Non abbiamo dipendenza da φ y Dalla definizione di sezione d’urto dσ dΩ dΩ 11 ddσσ dn ( θ ) = N o ρρTTdzS dzS ddΩΩ S S d d Ω Ω nT dn ( θ ) = N o ρT dz N dσ dn ( θ ) = o nT dΩ S dΩ dσ dn ( θ ) = no nT dΩ dΩ S N0 y Consideriamo infine un solo nucleo (nT = 1) dS dn ( θ ) = no Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa dσ dΩ dΩ 85 Sezione d’urto di Rutherford y Nella teoria classica degli urti tutte le particelle che attraversano l’anello ad un parametro d’impatto b sono deflesse ad un angolo θ y Passano entro l’anello dS d Ω = 2π sin θd θ y Sono deflesse entro l’angolo solido dΩ dn ( θ ) = no 2πbdb dS = 2πbdb y Dalla definizione di sezione d’urto abbiamo visto che dn ( θ ) = no dσ dΩ dΩ dS y Uguagliando ed utilizzando l’espressione esplicita di dΩ no 2πbdb = no dσ 2π sin θd θ dΩ bdb = dσ sin θd θ dΩ y Il segno negativo tiene conto del fatto che l’angolo θ diminuisce quando b aumenta dσ b b dbdb =− θ dθθd θ sinsin dΩ Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 86 Sezione d’urto di Rutherford y A questo punto il calcolo è immediato 1 ZZ αe 2 θ b= cot 4πεo 2E 2 dσ 1 1 ZZ αe 2 θ db =− cot dΩ sin θ 4πεo 2E 2 dθ dσ =− dΩ dσ b db =− sin θ d θ dΩ 1 ZZ αe 2 db θ 4πεo 2E d θ 2 sin2 2 1 db 1 ZZ αe 2 d θ = cot dθ 4πεo 2E d θ 2 1 ZZ αe 2 1 =− 4πεo 2E 2 ⎛ ZZ αe 2 ⎞⎟2 1 dσ 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ θ d Ω ⎜⎝ 4πεo ⎠ ( 4E )2 sin 4 2 1 sin2 θ 2 e2 α= 4πεo c ( ) sin dσ c = ( ZZ α α )2 dΩ 4E Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 2 1 4 θ 2 87 Collisione di due particelle y Supponiamo che due particelle interagiscano tramite un potenziale centrale che dipende solo dalla distanza fra le due particelle y L’Hamiltoniano del sistema è V ( r ) = V ( r2 − r1 ) p12 p22 H = + + V ( r2 − r1 ) 2m1 2m2 y Come nel caso classico anche nel caso quantistico il problema dell’urto fra due particelle si può separare y Il moto libero di una particella di massa M = m1 + m2 y L’interazione di una particella di massa μ con il potenziale V(r) μ= y Si introducono le variabili R= m1 r1 + m2 r2 m1 + m2 r = r1 − r2 y L’Hamiltoniano diventa H = H cm + H rel H cm p= P = p1 + p2 P2 = 2M H rel m1m2 m1 + m2 m2 p1 − m1p2 m1 + m2 p2 = +V (r) 2μ y Come anticipato il moto di una particella libera (coordinata R) e una particella soggetta a potenziale V(r) (coordinata r) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 88 Collisione di due particelle y Perché le conclusioni precedenti valgano anche a livello quantistico è necessario verificare le relazioni di commutazione y Partendo dalle regole di commutazione† fra r1 e p1 e fra r2 e p2 si possono facilmente dimostrare le seguenti relazioni y I moti delle particelle descritte [ Pj , rk ] = 0 [ p j , Rk ] = 0 da R e r sono indipendenti y [ Pj , Rk ] = δjk i [ p j , rk ] = δjk i Sono le regole di commutazione canoniche di due particelle y Si verifica inoltre che [ P, H ] = 0 [ P, H rel ] = 0 [ H , H rel ] = 0 y In particolare la relazione [P,H] = 0 implica che il momento P del centro di massa è una costante del moto y Inoltre [Hrel,H] = 0 implica che anche Hrel è una costante del moto y Le regole di commutazione implicano che si possono cercare soluzioni che siano contemporaneamente autofunzioni dei 3 operatori P,H e Hrel y †i commutatori fra una variabile della particella 1 e una variabile della particella 2 sono nulli Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 89 Collisione di due particelle y La soluzione ha la forma Ψ ( R, r ) = e iK⋅R ψ ( r ) y Dove ψ(r) è la soluzione dell’equazione per il moto relativo H rel ψ ( r ) = E ψ ( r ) y Inoltre, ovviamente H cme y E per finire i K⋅ R K2 iK⋅R = e 2M H Ψ ( R, r ) = Etot Ψ ( R, r ) 2 Etot 2 K2 = +E 2M y Il problema si riduce pertanto alla ricerca delle autofunzione di Hrel y Si tratta del problema di una particella in un potenziale dato V(r) y Trattiamo pertanto il problema della diffusione di una particella da parte di un potenziale V(r) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 90 Sezione d’urto in meccanica quantistica y Nella meccanica quantistica un urto viene descritto nel modo seguente: y Una particella (pacchetto d’onda) propaga senza interagire y Si avvicina ad un bersaglio y Potenziale a corto range y Interagisce y Nello stato finale possiamo avere due diverse situazioni y La particella non ha interagito y Un pacchetto che propaga senza interagire nella stessa direzione della particella incidente y La particella ha interagito y Un pacchetto che propaga in una direzione differente Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 91 Sezione d’urto in meccanica quantistica y Per la descrizione dettagliata occorre risolvere l’equazione di Schrödinger ( Ho + V ) ψ ( r, t ) = i ∂ ψ ( r, t ) ∂t y La soluzione può essere complicata e non verificabile direttamente y Senza un confronto con l’esperimento non è interessante y Ci interessiamo allora agli stati asintotici (t → ±∞) y Pacchetti d’onda che propagano senza interagire y Soluzioni dell’equazione di Schrödinger senza potenziale y Possiamo pertanto riformulare il problema y Abbiamo una particella libera nel passato: t → −∞ y Sufficientemente passato perché la particella sia lontana dal potenziale y Descritta da un pacchetto costruito con le soluzioni dell’equazione per una particella libera y Quale sarà la sua descrizione nel futuro t → +∞ y Sufficientemente futuro perché la particella sia di nuovo lontana dal potenziale (di nuovo particella libera) y Non troppo nel futuro affinché il pacchetto non si sia disperso Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 92 Analogo Classico y Un analogo classico y Orbita di una particella intorno a un centro y La particella descrive un’orbita complicata y L’orbita è complicata nella zona vicina alla sorgente del potenziale y Non siamo interessati ai dettagli nelle vicinanze del centro diffusore regione dell’interazione y Siamo invece interessati agli stati asintotici y Traiettoria rettilinea che descrive lo stato iniziale y Traiettoria rettilinea che descrive lo stato finale y Lo stato esatto è l’orbita completa y Gli stati asintotici sono “stati liberi” (“orbite rettilinee”) y Approssimano l’orbita nel passato remoto y Approssimano l’orbita nel futuro remoto y La teoria dello scattering permette di calcolare la probabilità di passare da uno stato “in” ad uno stato “out” Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa 93
