Diffrazione della luce - Misurazione della lunghezza d`onda λ di un

Fisica Roma TRE
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Diffrazione della luce
Esperienze per gli studenti di scuola superiore
θ
Prof. N. Motta
La luce: onde o particelle?
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!C.Huygens (1629-1695)
– Costruisce il più potente telescopio
dell’epoca
– Scopre l’anello di Saturno
– Sostiene la natura ondulatoria della luce
• Basi sperimentali:
– Scarse all’epoca
– Principio di Huygens
• Traité de la lumiére (1690)
• Ogni punto del fronte d’onda può essere
considerato a sua volta sorgente di un’onda
sferica
Diffrazione … 2
La luce: onde o particelle?
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!I.Newton (1642-1727)
– Inventa il primo telescopio a riflessione
– Sostiene la natura corpuscolare della luce
• Lectiones opticae (1669)
• Basi sperimentali:
– La luce si propaga in linea retta
– Gli ostacoli bloccano la luce
– I colori sono composti da particelle di natura
diversa
Diffrazione … 3
Diffrazione della luce
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! Diffrazione e Interferenza:
– Per ostacoli opachi estremamante piccoli o
fenditure molto strette (paragonabili a λ)
– Crisi del modello corpuscolare
! A.Fresnel (1788-1827)
– Spiega il fenomeno della diffrazione basandosi
sul principio di Huygens (prima della teoria del
c.e.m. di Maxwell)
! Dunque: la luce è costituita da onde!
! Ma anche da particelle!
! La meccanica quantistica metterà d’accordo
i due aspetti (1900)
Diffrazione … 4
Diffrazione delle onde
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Vediamo cosa succede quando facciamo
passare un’onda piana attraverso una fenditura
d
3
2
1
d>>λ
4
5
d∼λ
d>λ
ondoscopio
6
d<λ
Diffrazione … 5
Diffrazione delle onde
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d<<λ
Quando d<<λ la fenditura si comporta come una
sorgente puntiforme di onde (principio di Huygens)
Diffrazione … 6
Grafico dell’intesità
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d>>λ
2
4
d∼λ
5
3
d>λ
6
d<λ
Notare:
1) Il picco nella 2 è molto stretto, con piccoli lobi ai lati, ma l’intensità è elevata
2) Il picco si abbassa mano mano che la fenditura si stringe – l’intensità viene
distribuita su un angolo più grande
3) I lobi tendono a scomparire (diffusione da un solo punto)
Diffrazione … 7
Effetti di diffrazione
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!Qualsiasi tipo di onda
– Onda d’urto in un liquido
– Onda d’urto (acustica) in un gas
– Elettromagnetica
– particelle…?
Subisce effetti di diffrazione
Condizione necessaria:
λ ∼ d (dimensione ostacolo)
Diffrazione … 8
Onde elettromagnetiche
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!Il campo elettromagnetico nello spazio
libero può essere rappresentato da
un’onda in movimento con velocità c.
!La lunghezza d’onda e’ caratteristica
del tipo di radiazione:
λ
∼ 10 m
∼ 1 cm
∼ 1 µm
∼ 600 nm
∼ 200 nm
Radiazione
onde radio
microonde
infrarosso
visibile
UV
Diffrazione … 9
Onde elettromagnetiche
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! Cerchiamo di visualizzare il campo e.m. che
si propaga nello spazio.
! E’ un’onda di tipo sinusoidale.
– La propagazione è perpendicolare all’oscillazione
Campo in una dimensione
EHx,tL
1
0.75
0.5
0.25
x
-6
-4
-2
2
4
6
-0.25
-0.5
-0.75
-1
Diffrazione … 10
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Calcolo dell’intensità della luce
che attraversa una fenditura
! Premesse:
– La luce che arriva sulla fenditura proviene da lontano
(onda piana)
– Lo schermo sul quale visualizziamo l’intensità si trova
lontano dalla fenditura (raggi paralleli)
– λ ~ larghezza fenditura d
Principio di Huygens:
Ogni punto è sorgente di onde
Diffrazione … 11
Differenza di cammino ottico
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• A grandi distanze trascuriamo le differenze dovute al diverso
angolo di incidenza sullo schermo angoli
• Consideriamo solo le differenze nel cammino iniziale
• Raggi che provengono dai due lati della fenditura:
• d sinθ
θ
d
schermo
θ
θ
d sinθ
θ
Diffrazione … 12
Differenza di cammino ottico
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• Per il principio di Huygens dovremo considerare tutti i punti
interni nalla fenditura come origini di onde
• Raggi che provengono dal centro e da un lato della fenditura:
• Differenza di cammino ottico: (d/2) sinθ
θ
schermo
(d/2) sinθ
θ
d
θ
θ
Diffrazione … 13
Somme su tutti i raggi
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• Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su
tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura
• Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura,
distanti d/2 :
• Differenza di cammino ottico: (d/2) sinθ
θ
schermo
(d/2) sinθ
θ
d
θ
Diffrazione … 14
Somme su tutti i raggi
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• Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su
tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura
• Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura,
distanti d/2 :
• Differenza di cammino ottico: (d/2) sinθ
θ
schermo
(d/2) sinθ
θ
d
θ
Diffrazione … 15
Interferenza distruttiva
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• Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su
tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura
• Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura,
distanti d/2 :
• Differenza di cammino ottico: (d/2) sinθ
θ
• L’intensità avrà un minimo se la differenza di cammino schermo
e’ pari
a mezza lunghezza d’onda:
(d/2) sinθ
θ =λ
λ/2
d sinθ
θ =λ
λ
sinθ
θ =λ
λ/d
(d/2) sinθ
θ
d
θ
Diffrazione … 16
Posizione dei minimi
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• Raggi che provengono da due punti interni alla
fenditura, :
• distanti d/4 - cammino ottico: (d/4) sinθ
θ
• distanti d/n – cammino ottico: (d/n) sinθ
θ
• In generale: L’intensità avrà minimi per sinθ
θ =nλ
λ/d
• d sinθ
θ =λ
λ, 2λ, 3λ, 4λ.......
schermo
(d/4) sinθ
θ =λ
λ/2
d sinθ
θ =2λ
λ
sinθ
θ =2λ
λ/d
n =2
(d/4) sinθ
θ
d
θ
Diffrazione … 17
Calcolo analitico dell’intensità
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• Applichiamo il principio di Huygens
• Campo nel punto P: somma dei contributi
provenienti da tutti i punti della fenditura
• Contributo di un segmento dy della fenditura:
A
ω
dE = cos(ωt − r )dy
r
c
P
r
ro
dy
d
θ
y
Diffrazione … 18
Calcolo analitico dell’intensità
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• Ma r ≈ ro – y sinθ dove ro è la distanza dal
punto medio della fenditura
• Nel denominatore poniamo r ≈ ro
A
ω
ω
dE = cos(ωt − ro − y sin θ)dy
ro
c
c
P
r
ro
dy
d
θ
y
Diffrazione … 19
Calcolo analitico dell’intensità
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• Calcoliamo il campo elettrico derivato da
tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura:
A
ω
ω
E = ∑ dEi = ∑ cos(ωt − ro − y sin θ i )dy
ro
c
c
• Se infittiamo i punti delle somme possiamo
definire l’integrale:
a
E=
2
∫
−a
2
ω
ω
A
cos(ωt − ro − y sin θ)dy
ro
c
c
Diffrazione … 20
Calcolo analitico dell’intensità
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• Il risultato dell’integrale definito è:
ω
ωa
ω
ωa
A
1


sin(
ω
−
sin
θ
)
−
sin(
ω
−
sin
θ
)
E=
t
r
t
r
+
−
o
o

ro (ω / c ) sin θ 
c
c
2c
2c

• Sfruttando l’identità trigonometrica:
sin α − sin β = 2 cos
α+β
α−β
sin
2
2
• otteniamo:
ω
ωa
2A


cos(
ω
t
−
r
)
sin(
sin
θ
)
E=
o

ro (ω / c ) sin θ 
c
2c

Diffrazione … 21
Calcolo analitico dell’intensità
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• L’intensità della luce è pari al valor
medio E2 su un periodo:


2A
2

E = 
 ro (ω / c ) sin θ 
2
ω
ωa


−
cos(
ω
t
r
)
sin(
sin
θ
)
o


2c
c


2
• L’integrale sul periodo trasforma il
fattore cos(ω
ωt-ω
ωc/r) in una costante.
Diffrazione … 22
Calcolo analitico dell’intensità
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• Intensità = E2:
1 sin 2 ( πd / λ sin θ)
I∝ 2
ro
sin 2 θ
• Ovvero
2
sin x
I = Io
2
x
• con
x = [(πd / λ )senθ ]
Diffrazione … 23
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Grafico dell’intensità sullo
schermo
Sin @xD2êHxL2
1
*grafico effettuato con Mathematica
0.8
0.6
0.4
0.2
xêPi
-3
-2
-1
1
2
3
2
sin x
f ( x) =
2
x
Diffrazione … 24
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Fattori che determinano la
posizione dei minimi
!La funzione
2
sin x
f ( x) =
x2
!Ha minimi per x= ±π, ± 2π, ± 3π...
!Ovvero essendo
x = [(πd / λ )senθ ]
!per
sin ϑ = ±
λ
d
, ±2
λ
λ
,±3 .....
d
d
Diffrazione … 25
Fattori che determinano la
posizione dei minimi
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0.05 =d
Sin @x∗dD2êHx∗dL2
0.5
0.0913043 =d
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
x
x
-10
-5
0.380435 =d
Sin @x∗dD2êHx∗dL2
0.5
5
-10
10
Sin @x∗dD2êHx∗dL2
0.5
-5
1. =d
5
10
Sin @x∗dD2êHx∗dL2
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
x
-10
-5
5
x
10
sin ϑ = ±
-10
λ
d
, ±2
λ
-5
5
10
λ
,±3 .....
d
d
Diffrazione … 26
Grafico animato
(micro.magnet.fsu.edu/primer/java/diffraction/index.html)
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! Visualizzazione della distribuzione
dell’intensità della luce su uno schermo
Distribuzione dell’intensità della luce diffratta
Intensità
massima
Ordini
superiori
senθ
θ
Schermo
!Altro applet java su www.ba.infn.it/~zito/museo
Diffrazione … 27
Diffrazione nei cristalli
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!Anche nei cristalli, si ha un fenomeno
simile
– Atomi: centri diffusori
-8
– Distanze d ~ 1 Å (10 cm)
– λ - Raggi X
! Esempio:
– Applet Java per calcolare l’effetto
Diffrazione … 28
Diffrazione di elettroni
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! Anche gli elettroni si comportano come
onde!
! La lunghezza d’onda è data dalla relazione
di De Broglie:
h
h
λ= =
p
2mE
! si possono ottenere effetti di diffrazione
anche con le particelle materiali!
– Energie di qualche eV : λ −> alcuni Å
! Meccanica quantistica
– Atomi: centri diffusori
Diffrazione … 29
Diffrazione di elettroni
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“Recinto quantistico” ovvero trappola per elettroni
realizzata all’IBM di Almaden (CA)
da 48 atomi di Fe disposti in cerchio tramite la punta STM.
La punta e’ stata poi utilizzata per ottenere l’immagine
Altri dettagli al seminaro di struttura della materia…
Diffrazione … 30
In Pratica…
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!
!
!
!
!
!
!
Materiale in dotazione:
1. Banco ottico con tre cavalieri.
2.
Fenditure rettangolari; 0.2 mm, 0.3 mm e 0.4 mm.
3. Rivelatore a stato solido montato su guida XY.
4.
Voltmetro digitale.
5. Metro.
6. Resistenza R > 1 MΩ
Ω.
Laser
Fenditura
Rivelatore
Diffrazione … 31
In Pratica…
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! Muovendo il rivelatore verticalmente e orizzontalmente,
cercare il punto in cui il voltmetro restituisce il valore più alto,
a questo punto gli strumenti sono ben tarati e si può
procedere alla misura vera e propria.
! Misurare le distanza L tra la fenditura e il rivelatore.
! Spostando orizzontalmente il rivelatore, riportare in una
tabella il valore dell’intensità in funzione dello spostamento.
! Individuare i primi due o tre massimi e minimi di intensità e
annotarne i relativi spostamenti.
Diffrazione … 32
In Pratica…
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! Si misurerà l’intensità in funzione della posizione y del
rivelatore, posto ad una distanza L nota.
! Dalla tabella ottenuta (Intensità (in V) –Y (in mm)) si ricaverà il
grafico della funzione di diffrazione:
Intensità
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
-0.01
-0.005
0.005
0.01
yêL
! Grafico della funzione di diffrazione in funzione di y/L
Diffrazione … 33
In Pratica…
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! Grafico dei minimi in funzione di n (numero del minimo a
partire dal massimo centrale):
minimi in funzione di n
0,3
0,2
y/L= (λ/d)*n
coeff. angolare della retta = λ/d
0,1
y/L
0,0
Minimi
-0,1
-0,2
-0,3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
! Da questo grafico si può ottenere il coefficiente angolare della
retta, pari a λ/d, e quindi ricavare λ.
Diffrazione … 34
Per chi vuol saperne di più
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Applet sulla diffrazione
WEBLAB: http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/
ZITO: http://www.ba.infn.it/www/didattica.html
Olympus: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/diffraction/index.html
Testi di riferimento:
Feynman-Leighton- Sands La fisica di Feynman Addison Wesley cap 28-29
C.Mencuccini – V.Silvestrini Fisica II Liguori editore. Pag. 560. par. X.10.1
D.Halliday-R.Resnik-J.Walker Fondamenti di Fisica. II cap 36. III par 39.5.
Diffrazione … 35