funzioni trigonometriche - Dipartimento di Matematica

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Esercizi
Funzioni Trigonometriche
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
RICHIAMI DI TEORIA
Definizione: si dice angolo positivo individuato dalla coppia di semirette r e r' uscenti dal punto O, l'insieme dei punti del piano
descritti dai punti di r nella rotazione antioraria che porta r a sovrapporsi con r'.
r'
P'
misura dell' arco AP ′
A
Definizione: si dice misura in radianti dell'angolo positivo (r,r') il numero reale t =
r
O
raggio di C
C
Definizione: una funzione f reale di variabile reale è detta periodica di periodo T se per ogni t∈ dom f risulta anche
t+T ∈ dom f e f ( t ) = f ( t + T ) .
Definizione: Consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza di centro l'origine e
raggio 1). Consideriamo un punto P su di essa e l'angolo t formato dal raggio OP e dall'asse
delle ascisse. L'ascissa e l'ordinata del punto P sono rispettivamente il coseno ed il seno
dell'angolo t: P = ( cos t ,sin t ) .
sin
t
O
P=(cos t, sin t)
t
cos
sin t
π
per t ≠ + kπ , k ∈ Z . Geometricamente rappresenta l'ordinata
cos t
2
del punto di intersezione tra la retta parallela all'asse delle ordinate e passante per A=(1,0) con la retta congiungente l'origine
con il punto P= (cos t, sin t).
Definizione: la funzione tangente è definita come tg t =
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Funzioni Trigonometriche
dom f
im f
periodo
grafico
Grafico della funzione y=sin(x)
2
1.5
1
0.5
f ( x ) = sin x
R
[-1 1]
2π
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-6.2832
-3.1416
0
3.1416
6.2832
Grafico della funzione y=cos(x)
2
1.5
1
0.5
f ( x ) = cos x
R
[-1 1]
2π
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-6.2832
-3.1416
0
3.1416
6.2832
Grafico della funzione y=tg(x)
2
1.5
1
f ( x ) = tg x
R − { x: x = π / 2 + kπ , k ∈Z}
0.5
R
π
0
-0.5
-1
-1.5
-2
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-6.2832
-3.1416
0
3.1416
6.2832
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Funzioni Trigonometriche
Formule trigonometriche fondamentali
• Angoli notevoli
α
0
π/2
π
3π/2
π/6
π/4
π/3
sin α
0
1
0
-1
1/2
1/√2
√3/2
cos α
1
0
-1
0
√3/2
1/√2
1/2
tg α
0
∃/
0
∃/
1/√3
1
√3
• Relazione fondamentale: cos2 t + sin 2 t = 1
• Archi associati
cos(π + t ) = − cos t
cos( -t) = cos( 2π − t ) = cos t
cos(π − t ) = − cos t
π 
cos + t  = − sin t
2 
π 
cos − t = sin t
2 
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sin(π + t ) = − sin t
sin( -t ) = sin ( 2π − t ) = − sin t
sin(π − t ) = sin t
π 
sin + t  = cos t
2 
π 
sin − t = cos t
2 
tg(π + t ) = tgt
tg( -t ) = − tgt
tg(π − t ) = − tgt
cos t
π 
tg + t = −
= -cotg t
2

sin t
π 
tg − t = cotg t
2

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Funzioni Trigonometriche
• Formule di addizione:
cos( t1 − t 2 ) = cos t 1 cos t 2 + sin t 1 sin t 2
cos( t1 + t 2 ) = cos t 1 cos t 2 − sin t 1 sin t 2
sin(t1 − t 2 ) = sin t1 cos t 2 − sin t 2 cost 1
sin(t1 + t 2 ) = sin t1 cos t 2 + sin t 2 cost 1
tg(t 1 − t 2 ) =
tg t1 − tgt 2
1 + tgt 1 ⋅ tgt 2
tg(t 1 + t 2 ) =
tg t1 + tgt 2
1 − tgt 1 ⋅ tgt 2
• Formule di duplicazione
sin 2 t = 2 ⋅ sin t cos t
cos 2t = cos2 t − sin 2 t
tg 2 t =
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2 ⋅ tgt
1 - tg 2 t
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Funzioni Trigonometriche
Proprietà dei triangoli
• Triangoli rettangoli
b = a ⋅ sinβ = a cos γ
b
γ
c = a ⋅ sin γ = a cos β
a
b = c ⋅ tg β
β
• Triangoli qualunque
c = b ⋅ tg γ
c
γ
b
α
a
β
c
a
b
c
Teorema dei seni: in un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
.
=
=
sin α sin β sin γ
Teorema di Carnot: in un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei due
altri lati diminuito del doppio del prodotto delle misure di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ
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ESEMPI
1. Calcolare il valore dell'espressione sin
Osservando che
sin
π
4π
11
5
− 2 cos π + sin
+ cos π .
3
6
3
6
5
π 4π
π 11
π
π =π − ;
= π + ; π = 2π − , utilizzando gli archi associati e gli angoli notevoli otteniamo:
6
6 3
3 6
6
π
5
4π
11
π
π 
π
π
3
3 3 3

− 2 cos π + sin
+ cos π = sin − 2 − cos  +  − sin  + cos = 2
+
=

3
6
3
6
3
6 
3
6
2
2
2
2. Calcolare l'espressione
cos(π − α ) − tg( π + α) + sin( −α )
.
π

tg(π − α ) − cos α −  − cos( −α)

2
Utilizzando gli archi associati, otteniamo:
cos(π − α ) − tg(π + α) + sin( −α)
− cosα − tgα − sin(α )
=
=1
π
-tg α − sin(α) − cos(α)

tg(π − α) − cos α −  − cos( −α)

2
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2
sin 2α
1 − cos 2α sin α
3. Semplificare l'espressione
+
−
.
1 + cos 2α
sin 2α
sin 2α
Utilizzando la relazione fondamentale e le formule di duplicazione otteniamo:
2 sinα cosα
sin 2α + cos 2α − cos 2α + sin 2α
sin 2α
1
3
=
+
−
= tgα + tgα − tgα = tgα
2
2
2
2
sin α + cos α + cos α − sin α
2sinα cosα
2sinα cosα
2
2
4. Risolvere in R le seguenti equazioni elementari:
• sin x =
3
2
Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la
funzione seno e la retta y=√3/2 (esistono punti di intersezione in quanto -1<√3/2<1).
Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π π]: tutte le altre soluzioni si otterranno da
quelle trovate in tale intervallo per periodicità.
Indicando con x1 la soluzione contenuta nell'intervallo [-π/2 , π/2], la seconda
soluzione x2 è la simmetrica di x1 rispetto alla retta x= π/2: x 2 = π − x1 .
π
π 2
Abbiamo x 1 = e x 2 = π − = π .
3
3 3
π
2π
Le soluzioni in R sono: x = + 2kπ e x =
+ 2kπ , con k∈Z.
3
3
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1.5
1
y=sin(x)
y=rad(3)/2
x=pi/2
Punti di intersezione
0.5
0
x1
x2
-0.5
-1
-1.5
-3.1416
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-1.5708
0
1.5708
3.1416
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• cos x =
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1
2
Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la
funzione coseno e la retta y=1/2 (esistono punti di intersezione in quanto -1<1/2<1).
Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π π]: tutte le altre soluzioni si otterranno da
quelle trovate in tale intervallo per periodicità.
Indicando con x1 la soluzione contenuta nell'intervallo [0, π], la seconda soluzione x2
π
π
è la simmetrica di x1 rispetto alla retta x= 0 x2 = − x1 . Abbiamo x1 = e x 2 = − .
3
3
π
π
Le soluzioni in R sono: x = + 2 kπ e x = − + 2kπ , k∈Z.
3
3
1.5
y=cos(x)
y=1/2
Punti di intersezione
1
0.5
0
x2
x1
-0.5
-1
-1.5
-3.1416
-1.5708
0
1.5708
3.1416
• tg x = 1
Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la
funzione tangente e la retta y=1.
Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π/2 π/2]: tutte le altre soluzioni si otterranno
da quelle trovate in tale intervallo per periodicità.
L'equazione ha una sola soluzione x1 nell'intervallo [-π/2, π/2].
π
π
Abbiamo x1 = . Le soluzioni in R sono: x = + kπ , con k∈Z.
4
4
2
1.5
1
0.5
0
x1
-0.5
y=tg(x)
y=1
Punto di intersezione
-1
-1.5
-2
-1.5708
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-0.7854
0
0.7854
1.5708
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5. Risolvere le seguenti equazioni:
π
π


• sin 2x −  = sin x + 


4
3
E' semplice verificare che si ha sinα = sin β ↔ α = β + 2 kπ ∪ α = π − β + 2 kπ , con k∈Z.
Quindi:
π
π
7
= x + + 2 kπ ↔ x = π + 2 kπ
4
3
12
∪
, con k∈Z.
π
π
11
2
2 x − = π − x − + 2 kπ ↔ x = π + k π
4
3
36
3
2x −
π

• cos x −  = cos( 3x − π )

5
In generale si ha cosα = cosβ ↔ α = β + 2kπ ∪ α = − β + 2 kπ ,con k∈Z. Quindi
π
2
= 3x − π + 2 kπ ↔ x = π + k π
5
5
∪
, con k∈Z.
π
3
π
x − = −3x + π + 2 kπ ↔ x = π + k
5
10
2
x−
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6. Risolvere in R l'equazione sin x + 3 cos x − 1 = 0
Le equazioni della forma a sin x + b cos x = c con a , b, c ∈R sono dette equazioni lineari in seno e coseno.
Vi sono diversi modi per risolverle: descriviamo quello che si basa sull'idea di scriverle sotto la forma
sin( x + α) = h ↔ sin x cosα + sinα cos x = h .
Dobbiamo fare in modo che i coefficienti del seno e del coseno siano in modulo minori di 1, al fine di poterli considerare seno e
coseno di uno stesso angolo α. Per comodità possiamo supporre quest'ultimo compreso tra 0 e 2π. Dividiamo, quindi, ambo i
2
1
3
1
membri dell'equazione per la quantità non nulla a 2 + b 2 = 12 + 3 = 2 : sin x +
cos x = .
2
2
2
( )

cosα =
Quindi deve essere 
sinα =

1
2
3
2
→α=
π
e l'equazione diventa:
3
π π
π
= + 2k π ↔ x = − + 2k π
3 6
6
1
3
1
π
π
1
π 1

sin x +
cos x = ↔ cos sin x + sin cos x = ↔ sin x +  = ↔
∪
, con k∈Z.

2
2
2
3
3
2
3 2
π
π
π
x + = π − + 2kπ ↔ x = + 2kπ
3
6
2
x+
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7. Risolvere in R l'equazione 5sin 2 x − 2 3sin x cos x − cos 2 x = 2
Si tratta di un' equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, che, in generale, ha la forma
a sin2 x + bsin x cos x + c cos2 x = d , con a , b, c, d ∈ R
Possiamo ricondurci ad una equazione con secondo membro nullo grazie alla relazione fondamentale:
5sin 2 x − 2 3sin x cos x − cos2 x = 2 ↔ 5sin 2 x − 2 3sin x cosx − cos2 x = 2( cos2 x + sin 2 x) ↔ 3sin 2 x − 2 3sin x cos x − 3 cos2 x = 0
Dividendo ambo i membri per cos 2 x (si verifica facilmente che, se a≠d, gli x per cui cos x=0 non sono soluzioni), otteniamo:
3
sin2 x
sin x cos x
cos2 x
1
tgx = t
−
2
3
−
3
= 0 ↔ 3tg 2 x − 2 3tgx − 3 = 0 ←
→ 3t 2 − 2 3t − 3 = 0 ↔ t = −
∪t= 3
2
2
2
cos x
cos x
cos x
3
tg x = −
Quindi
1
3
↔x=−
∪
π
+ kπ
6
π
tg x = 3 ↔ x = + kπ
3
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, con k∈Z.
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8. Risolvere in R la disequazione 2 cos( 3x ) > 1
Risolviamo la disequazione in modo grafico, disegnando la funzioni f ( x ) = 2 cos( 3x ) e la retta y = 1.
Osserviamo che f(x) è una funzione periodica di periodo T=2π/3: possiamo dunque limitare lo studio all'intervallo [-π/3 π/3] di
ampiezza T.
3
y=2cos(3x)
y=1
Punti di intersezione
soluzione
2
Otteniamo il grafico di f(x) a partire dal grafico di y=cos x con una dilatazione
δ(1/3,2).
La soluzione della disequazione nell'intervallo [-π/3 π/3] è x2<x<x1.
1
x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione 2 cos( 3x ) = 1 in [-π/3 π/3]:
π
π
x1 = e x 2 = − .
9
9
0
x2
x1
-1
-2
-3
-1.0472
-0.5236
0
0.5236
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1.0472
2
π
2
 π

La soluzione della disequazione in R è x:− + k π < x < + k π , k ∈ Z
9
3
9
3


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