11. L’amplificatore di tipo Erbium Doped
Fiber Amplifier (EDFA)
11.1 La struttura
L’amplificatore di tipo EDFA ha alcune caratteristiche in generale
condivise da una grande gamma di amplificatori simili:
- il meccanismo di amplificazione avviene in fibra ottica;
- il meccanismo di amplificazione è prodotto da ioni di “terre rare” cioè
di materiali appartenenti alla famiglia chimica dei “Lantanidi”;
- il meccanismo di pompaggio è ottico.
Vediamo in maggiore dettaglio questi tre meccanismi.
Il fatto che l’amplificazione avvenga in fibra ottica è di fondamentale
importanza: abbiamo infatti visto nei paragrafi precedenti che l’intensità
di “saturazione” è una grandezza molto importante nei meccanismi di
equilibrio delle popolazioni elettroniche: per una intensità pari alla
“saturazione” infatti la popolazione dello stato alto comincia a non essere
più “trascurabile” e quindi comincia ad essere possibile un meccanismo
di amplificazione. Il dato importante è che si parla di “intensità” e non di
“potenza” si parla cioè di una Potenza/Area: assume quindi rilievo la
possibilità di “confinare” il campo ottico in una area piccola affinché se
ne aumenti l’intensità a parità di potenza: questa è proprio la funzione
della fibra ottica in quanto in essa il campo è estremamente più confinato
rispetto a quello che succederebbe per una campo (anche laser) in
propagazione libera. Ad esempio, tipicamente i fasci laser in
propagazione libera hanno aree di coerenza dell’ordine di mm quadrati
mentre le fibre ottiche presentano una area di “confinamento” ovvero di
“coerenza dell’ordine di 60 micron quadrati: quindi 1,3104 volte
maggiore.
L’Erbio è un elemento chimico della famiglia dei “Lantanidi”
caratterizzato da una struttura elettronica del tipo illustrato nella figura
seguente: i numerosi livelli elettronici che presenta sono distanti fra di
loro con gap di energia tipici delle frequenze ottiche: è possibile quindi
prevedere che, in assenza di meccanismi “competitivi”, sia possibile
eccitare e diseccitare (cioè in altri termini, assorbire ed emettere) questi
livelli usando luce. Questi livelli sono poi caratterizzati da sezioni d ‘urto
particolarmente elevate e presentano dei tempi di fluorescenza che, in
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alcuni casi, possono essere particolarmente lunghi ‘ se confrontati con i
tempi di fluorescenza medi degli altri materiali.
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Dal punto di vista della struttura fisica , l’amplificatore di tipo EDFA è
molto semplice e si presenta come nella figura seguente. Vi è una fibra
ottica lunga qualche metro che contiene nel suo “nucleo” degli ioni di
Erbio (si dice anche che l’Erbio è il “drogante” del vetro siliceo che
costituisce la fibra ottica o che è il “materiale attivo”, per sottolineare che
è proprio l’Erbio che produce il processo di amplificazione) : in questa
fibra ottica entra da un estremo il segnale da amplificare ed esce dall’altro
estremo il segnale “amplificato”. Vi è poi un elemento di
“accoppiamento” (potrebbe essere un beam-splitter ma visto che siamo in
una fibra ottica di solito si usa un accoppiatore direzionale a fibra ottica)
che permete di fare entrare nella stessa fibra ottica amplificante un
segnale luminoso ad una altra frequenza, cosiddetto di “pompa” il quale
serve a realizzare la desiderata “inversione di popolazione”. Di solito, la
fibra ottica è terminata agli estremi da dei “diodi” ottici (chiamati
“isolatori” ) che servono prevenire il ritorno di riflessi indesiderati nella
fibra ottica, riflessi che potrebbero pregiudicare il funzionamento
dell’amplificatore.
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11.2 Il meccanismo di pompaggio e di amplificazione
nell’EDFA
Si considerino i primi tre livelli elettronici dell’Erbio: I11/2, I13/2, I15/2.
Chiamiamo I15/2 livello fondamentale o livello 1; I13/2 livello di
amplificazione o livello 2, I11/2 livello di pompaggio o livello 3. Lo
schema così semplificato risulterà come in figura dove sono stati anche
indicati i tempi di fluorescenza (o tempi propri o tempi di decadimento)
delle transizioni in esame: si osserva che il tempo di decadimento 3-2 ,
dell’ordine di qualche microsecondo, è molto più veloce del tempo di
decadimento 2-1, dell’ordine di una decina di millisecondi. Se adesso
mandiamo in fibra ottica (che contiene come drogante l’erbio) un segnale
ottico con fotoni di energia pari al band gap 3-1 (cioè di circa 1 eV cui
corrisponde una lunghezza d’onda di 980 nm) comincerà una azione
progressiva di “inversione di popolazione” fra lo stato 1 e lo stato 3,
inversione che per intensità che si avvicinano o superano l’intensità di
saturazione comincerà a diventare significativa (ad esempio, 1/3
dell’intera popolazione elettronica dello stato 1). Una volta popolato il
livello 3, gli elettroni cominceranno spontaneamente a “decadere” allo
stato 2, secondo il tempo proprio della transizione 3-2: questo
decadimento avviene senza emissione luminosa ma con una cessione di
energia al reticolo cristallino in cui è inserito l’Erbio. In questo modo il
livello 2 comincia a popolarsi e, se anche decade, il tempo di
svuotamento per emissione spontanea è molto inferiore al tempo di
riempimento: proseguendo questa azione si arriva quindi ad una
situazione in cui il livello 2 si trova più popolato del livello 1: questa è la
condizione ricercata di “inversione di popolazione” (inversione fra il
livello 2, normalmente vuoto ed il livello 1, normalmente molto popolato)
che, in presenza di un segnale “stimolante” può produrre amplificazione.
Perché ciò avvenga il segnale stimolante deve contenere fotoni di energia
esattamente pari al band-gap 2-1. La presenza di una forte intensità di
segnale “stimolante” provoca un rapido svuotamento del livello 2 il cui
riempimento deve essere compensato da una opportuna azione di
“pompaggio”. Siamo in presenza quindi di una dinamica complessa fra le
popolazioni dei livelli 1, 2 e 3, i loro tempi propri e le intensità di
pompaggio e di segnale.
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Proviamo a vedere un modello matematico semplificato di questo,
scrivendo una equazione di bilancio fra le diverse popolazioni in gioco a
partire da una equazione probabilistica. Si avrà che per la popolazione N1
dN1
= N1B12W ( segnale ) N1B13W ( pompa ) + N 2 B21W ( segnale ) + N 2 A21
dt
la sua variazione nel tempo sarà cioè il bilancio fra due contributi
negativi (che riflettono le probabilità di assorbimento dovute all’azione
della pompa e del segnale) e due contributi positivi dovuti alla emissione
stimolata ed all’emissione spontanea. Scrivendo la stessa equazione con i
parametri e , prima introdotti, avremo che
dN1
1
= N1 sa s N1 pa p + N 2 se s + N 2
dt
s
in questa espressione vengono riportati due valori distinti per le sezioni
d’urto di assorbimento e di emissione stimolata dell’Erbio: in effetti
anche se teoricamente queste due sezioni d’urto dovrebbero essere
identiche, la presenza di un materiale attorno ali atomi di Erbio, modifica
leggermente le leggi di emissione ed assorbimento, producendo valori
delle sezioni d’urto leggermente diversi ed in funzione della lunghezza
d’onda.
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Chiamiamo questo rapporto:
( ) =
se
sa
e quindi
dN1
1
= N1 sa s N1 pa p + N 2 sa s + N 2
dt
s
Allo stato stazionario, quando l’azione di pompaggio è bilanciata dalla
azione di emissione stimolata e di emissione spontanea, posso ricavare il
valore relativo delle popolazioni del livello alto e basso. Infatti ponendo
dN1/dt = 0, ottengo:
1 N 2 sa ss +
= N1 ( pa p + sa s )
sp E’ conveniente a questo punto introdurre le espressioni delle intensità di
saturazione definite ai paragrafi precedenti. Si definiscono due valori
“pratici” di Isat: la prima è la Isat di “pompa” definita come
Isat pump =
h p
pa sp
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in questa definizione compare come tempo di decadimento il solo valore
del tempo della transizione 2-1, in quanto è questa transizione che collega
il livello 3 al livello 1.
La seconda è la Isat di segnale definita come
Isat sign =
h s
( sa + se ) sp
dove s rappresenta la frequenza ottica relativa alla transizione 2-1.
Ancora una volta siamo di fronte ad una definizione ibrida di Isat, al cui
denominatore c’è la somma di due sezioni d’urto e non di una sola:
sapendo poi che i due valori sono molto uguali, questa definizione
raccoglie il fattore 2 che avevamo già incontrato come possibile
alternativa definizione di Isat (quella che garantiva un N pari a ).
Introducendo in quest’ultima espressione il rapporto fra sezione d’urto
di emissione stimolata e assorbimento, ottengo anche che
Isat sign =
h s
(1+ ) sa sp
valutiamo ora alla luce di queste definizioni il rapporto fra le popolazioni
N2 e N1 allo stato stazionario. Si ha che:
N 2 ( pa p + sa s ) sp ( pa p + sa s )
=
=
N1 sp sa ss + 1
1 sa ss +
sp e, ricordando che in generale =I/h ottengo
N2
=
N1
Ip
I
+ sp sa s
h p
h s
I
sp sa s s + 1
h s
sp pa
ed introducendo le precedenti definizioni di Isat sia per la pompa che per
il segnale:
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Ip
Is
1
N 2 I pump sat (1+ ) Isignal sat
=
Is
N1
+1
Isignal sat 1+ +
Riprendiamo ora la condizione la condizione precedentemente espressa
per avere amplificazione. Avevamo visto al capitolo 10 che era
necessario avere
(N 2 N1 ) > 0 condizione per l' amplificazione
ovvero introducendo il parametro , e raccogliendo N1
N2 1 > 0
N1 da cui riprendendo l’espressione precedente del rapporto N2/N1, ottengo
I p
N 2
1 =
1 > 0
N1
I pump sat
e quindi:
Ip >
I sat pump
cioè comincerò avere amplificazione quando l’intensità di pompa supera
l’intensità di saturazione della pompa stessa od in altri termini quando il
flusso di fotoni che alimenta il livello di pompa è maggiore del numero di
fotoni che decadono spontaneamente.
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11.3 Funzionamento semplificato ed in regimi vicino alle
saturazioni
Abbiamo visto ai paragrafi precedenti, l’importanza delle Intensità di
Saturazione per la pompa e per il segnale ed abbiamo visto la condizione
che occorre raggiungere per iniziare ad avere una amplificazione. Il
processo di amplificazione ottica si svolge nelle coordinate “z e “t”” di
propagazione del segnale e della pompa in fibra ottica. Via via che il
meccanismo di amplificazione procede, assisteremo ad una parallela
diminuzione della potenza di pompa, che viene attenuata in seguito
all’assorbimento da parte degli ioni Erbio. Alla stessa coordinata “z”, il
segnale aumenterà di intensità e questo aumento porterà ad un aumento
della probabilità di emissione stimolata che concorrerà allo svuotamento
veloce del livello 2 dell’amplificatore. A quel punto, la diminuzione della
potenza di pompa potrà arrivare a far mancare la necessaria popolazione
di livello alto e portare quindi ad un regime in cui l’amplificazione torna
a diminuire come valore sino a terminare. Come si vede, siamo quindi di
fronte ad un meccanismo in due variabili, spazio-temporali che formano
un sistema di equazioni che debbono essere risolte insieme. A questo
meccanismo occorre poi sovrapporre un meccanismo di propagazione in
fibra ottica. Infatti, normalmente la lunghezza d’onda di pompa è distante
dalla lunghezza d’onda di segnale ed il regime propagativo non è lo
stesso. Se la fibra ottica infatti risulta monomodale per la lunghezza
d’onda di segnale, non è detto che lo risulti anche per la lunghezza
d’onda di pompa. (anzi, normalmente se la lunghezza d’onda di segnale è
dell’ordine di 1550 nm, la lunghezza d’onda di pompa a 980 nm si trova a
propagare in regime multimodale) ed il risultato è che l’efficienza
complessiva di trasferimento dell’energia di pompaggio può risultare non
ottimale. Lo studio completa della dinamica di un Amplificatore ottico si
può fare solo per via numerica, vediamo però nel seguito di cogliere
alcuni meccanismi importanti nei diversi regimi.
Possiamo scrivere quanto sopra esposto riprendendo la equazione di
“guadagno” dell’intensità del segnale in fibra ottica e mettendola a
sistema della equazione di “attenuazione” della sola intensità di pompa:
sono
entrambe
equazioni
ricavabili
dalla
legge
di
“attenuazione/guadagno” di un segnale in propagazione:
dIs
dz = sa N1Is + sa N 2 Is
dIp = N Ip
pa 1
dz
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la prima equazione è anche ricavabile dalla equazione di bilancio
precedentemente scritta,
dN1
1
= N1 sa s N1 pa p + N 2 sa s + N 2
dt
s
nella ipotesi di considerare solo i termini che contribuiscono al segnale (e
quindi di trascurare il decadimento spontaneo, che fornisce solo rumore,
ed il termine di pompaggio), e di ipotizzare che ad ogni “aumento” del
livello di popolazione N1corrisponda un aumento del numero di fotoni
emessi, e quindi di ns, cioè
dn s dN1
=
= N1 sa s + N 2 sa s
dt
dt
e sostituendo a dt la variabile differenziale dz=cdt e moltiplicando per hn
entrambi i termini, ri-ottengo la prima delle equazioni differenziali a
sistema
dIs
= sa N1Is + sa N 2 Is
dz
Studiamo ora alcuni comportamenti significativi dell’amplificatore ottico.
Decadimento della pompa. La soluzione della singola equazione
differenziale del sistema ci fornisce l’andamento della pompa che è il
classico andamento esponenziale negativo:
I p = I poe
pa N1 z
che avviene con una “costante” di decadimento pari a = pa N1 ed
all’inizio del pompaggio quando praticamente ho che Ntotale=N1, posso
valutare quando esso può valere. Ad esempio, per una densità di
“drogaggio” (cioè di atomi di Erbio immessi nel nucleo della fibra, che si
esprime in Unità di parti-per-milione di Mole/m3 cui corrispondono circa
5,73 1022 Atomi/m3) di circa 10 ppm, ottengo che vale:
= 3,11025 10 5,7310 22 = 178 103 = 0,17m1
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cioè ho un valore pari a 1/e dopo 5,8 metri. Per un valore piccolo
dell’assorbimento ho anche che l’espressione precedente vale
(sviluppando in serie l’esponenziale)
(
I p = I po 1 pa N1z
)
questi due andamenti, esponenziale e lineare, sono illustrati nella figura
seguente per un caso reale di EDFA con diversi valori di Intensità di
Pompa.
Vediamo anche qualche valore tipico di Ipump sat. Per l’Erbio la pa a
980 nm (cui corrisponde una frequenza di 3,06 1014 Hz ed una energia del
fotone di circa 20 10-20 Joule) vale circa 3,1 10-25 m2, per cui:
Isat pump =
h p
pa sp
=
20,2 1020
= 5,4 10 7 W /m 2
3,11025 12 103
dove si è preso un valore di 12 msec per il tempo di decadimento
spontaneo. E’ grande o piccola questa intensità? Se sono in spazio libero
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e suppongo che essa provenga da una sorgente laser collimata di circa 0,5
mm di raggio di fascio, essa equivale a circa 42,4 Watt, un valore
relativamente molto elevato per una sorgente in continua. Se invece sono
in uno spazio confinato come quello di una fibra ottica, in cui il “raggio”
del modo trasportato è all’incirca di 5 micron, ottengo 4,24 mW: un
valore relativamente molto piccolo.
Decadimento del segnale. Consideriamo ora un regime di funzionamento
per il quale risulti la pompa spenta. In questo caso tutti gli atomi si
troveranno nel livello N1 e l’ “equazione di guadagno” si trasforma nella
classica “equazione di attenuazione”
dIs
= sa N1Is
dz
e quindi il segnale decade esponenzialmente con andamento
Is = Isoe sa N1 z
e costante di decadimento = sa N1. Ad esempio, se uso il drogaggio
precedente di 10 ppm-mole di Erbio, cui corrispondono circa 5,73 1023
Atomi/m3) e con una sa pari a circa 4,64 10-25 m2 ottengo che vale:
= 4,641025 5,7310 23 = 26,6 102 = 0,26 m1
cioè il segnale è ridotto al valore di 1/e dopo soli 3,84 metri.
Funzionamento regolare per segnali con Is <Is sat. Consideriamo ancora
l’equazione di Guadagno del termine Is (la prima delle due equazioni
differenziali a sistema)
dIs
= sa N1Is + sa N 2 Is
dz
ed esprimiamo N2 in funzione di N1 con l’ausilio della relazione ricavata
al paragrafo precedente
Ip
1
Is
(1+ ) Isignal sat
I
N 2 = pump sat
N1
Is
+1
Isignal sat 1+ +
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che per segnali Is piccoli rispetto ai valori di saturazione Isignal sat,
diventa:
N2 =
Ip
I pump sat
N1
e quindi ottengo per l’equazione di guadagno
Ip
dIs
= sa N1Is + sa
N1Is
dz
I pump sat
Questa equazione è molto importante perché ci dice come va il guadagno
del mio amplificatore in funzione della potenza di pompa: infatti,
integrando l’equazione precedente ottengo:
Is = Isoe
Ip
1N1 z
I pump sat cioè il segnale si amplifica via via che propaga in z ed il fattore di
guadagno
G=
Is
Iso
dipende dal valore della Intensità di pompaggio comparato con l’Intensità
di pompaggio di saturazione. (in figura sono illustrati questi due
andamenti con pre-fissati valori di I pump). Si osserva anche da questa
equazione che, per segnali di Intensità piccola confrontata con l’Intensità
di saturazione, il Guadagno dipende solo dal valore della Intensità di
pompaggio e quindi è costante in funzione della intensità di segnale (vedi
figura seguente): questa è una caratteristica molto importante
dell’Amplificatore ottico. Ugualmente si vede che il Guadagno è
proporzionale alla lunghezza di fibra ottica drogata.
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Funzionamento in condizioni di Is vicino a Isignal sat. Quando l’intensità
del segnale comincia a crescere nella fibra ottica, lo “svuotamento” del
livello alto comincia a diventare sensibile ed, ad un certo punto, la
potenza della pompa non è più capace di garantire un adeguato livello di
guadagno: il G comincia allora a diminuire. In pratica non posso più
rendere “trascurabile” il depopolamento che opera Is nella espressione
che lega la popolazione N2 a N1: si può allora dimostrare che occorre
inserire un termine “correttivo” nella espressione di guadagno
dell’amplificatore che diventa
Is = Isoe
Ip
Is
1N1 z
I
I
pump
sat
signal
sat
quando quindi Is diventa molto inteso mi fa cadere il guadagno, come
illustrato nella figura precedente per alti valori di Is. Convenzionalmente
si definisce una Intensità di saturazione a 3dB, quel valore di intensità di
uscita che fa cadere di un fattore 2 il valore del G: questa intensità è un
multiplo (anche molto elevato) di Isignal sat, ed è una funzione del livello
di pompa usato. Essa oggi può arrivare anche ad 1 watt negli
amplificatori di potenza od essere tipicamente dell’ordine di decine di
mW nei preamplificatori .
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Vediamo alcuni valori di Isignal sat. Per l’Erbio, la sezione d’urto di
assorbimento equivale a quella di emissione stimolata e vale circa 4,64
10-25 m2, s abbiamo già visto che si può assumere pari a 12 msec, per cui
Isignal sat =
h
13,21020
=
= 1,210 7 W /m 2
2 sa sp 2 4,641025 12103
in una fibra ottica monomodale di circa 5 mm di nucleo, questo equivale
a 0,9 mW: un segnale piuttosto piccolo. Questo significa che se io non
provvedessi ad alimentare in continuazione con pompaggi molto forti il
livello “alto” dell’amplificatore, un segnale relativamente piccolo come
questo mi porterebbe la differenza di popolazione ad e mi farebbe
cessare l’amplificazione.
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11.4 Bande caratteristiche degli amplificatori EDFA
Il meccanismo di amplificazione ottica descritto ai paragrafi precedenti
appare, in sé, un meccanismo molto selettivo in lunghezza d’onda perché
ho amplificazione nella misura in cui produco fotoni per emissione
stimolata indistinguibili dai fotoni stimolanti, ovvero dai fotoni della
intensità di segnale. Se così fosse, l’applicazione degli amplificatori ottici
sarebbe molto limitata e non avrebbe aperto lo sviluppo delle reti WDM.
Questo tipo di amplificazione corrisponde spettralmente ad un materiale
che decade secondo livelli molto precisi (vedi figura), ovvero che dispone
di un solo band-gap. Spettralmente parlando questo significa che lo
spettro di emissione del materiale è a singola riga. Questo non
corrisponde alla realtà. Vi sono infatti nella materia diversi meccanismi
che provvedono (sia per le bande di pompa che per le bande di segnale) a:
- Moltiplicare le righe;
- Allargare le righe.
È l’insieme di questi due meccanismi che produce una grande banda di
amplificazione nell’EDFA. Vediamoli in dettaglio per quello che riguarda
l’EDFA, ma i meccansimi descritti sono presenti in tutti gli amplificatori
ottici, seppure in misura diversa.
Moltiplicazione delle righe. Il meccanismo che produce una
moltiplicazione dei livelli si chiama Stark splitting (dal termine inglese
split = divisione e dal fisico Stark): esso è dovuto al fatto che gli orbitali
elettronici dell’EDFA (cui corrispondono i livelli energetici e qundi le
“righe”) quando l’atomo del materiale (in questo caso lo ione Erbio) è
posto all’interno di reticoli cristallini sente il campo elettrico esterno
degli atomi vicini che provoca una inevitabile divisione dei livelli,
illustrati nella seguente figura. Come si vede il livello che abbiamo
chiamato 2 si divide in 4 sotto-livelli ed il livello fondamentale (che
abbiamo chiamato 1) in 5 sotto-livelli. In linea di principio posso avere
interazioni di assorbimento e di emissione fra tutte le possibili
combinazioni di questi sotto-livelli (e quindi avrei per ognuna di queste
transizioni specifici valori di a e di e) ognuno dei quali avrà diversa
popolazione N1i ed N2j e quindi capacità di produrre amplificazione a
diversi valori di energia:
E ij = (E 2 j E1i )
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Come si osserva anche dalla figura, la “distanza” energetica fra questi
livelli è molto piccola, nella scala della figura minore di 100 cm-1, cui
corrisponde un E espresso in eV pari a 12 meV, infatti
E=h
c
1
310 8 1 34
= 12,3105 eV /m
=
6,610
19
19 1,610
1,610 Questo “salto energetico” è, alla temperatura ambiente inferiore al kT: in
altri termini vi è un continuo interscambio della popolazione da un livello
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Stark ad un altro (almeno alla temperatura ambiente: per temperature
prossime allo zero assoluto, i livelli sono ben identificabili). Se l’EDFA
funzionasse secondo i soli livelli Stark, avrei uno spettro di
amplificazione del tipo illustrato in figura: non a singola riga ma
comunque a poche righe disposte secondo la distanza energetica dei
livelli. Questo non succede, almeno a temperatura ambiente perché vi è il
meccanismo di:
Allargamento di riga. Avevamo già accennato nel capitolo della coerenza
come le emissioni spettrali delle sorgenti luminose siano caratterizzate da
allargamenti di riga dovuti a salti di fase prodotti da processi d’urto. Allo
stesso modo, i “livelli “energetici dello ione Erbio sono sottoposti ad un
allargamento di riga le cui cause esatte non sono ancora ben conosciute.
Come nell’allargamento delle sorgenti, anche in questo caso possiamo
identificare dei meccanismi “omogenei” di allargamento dovuti alla
interazione degli ioni (e dei relativi orbitali elettronici) con le vibrazioni
reticolari organizzate del reticolo cristallino che costituisce la “matrice
ospite” dell’Erbio: queste vibrazioni sono chiamate “fononi” (perché
sono a frequenze discrete che possono andare dai GHz ai THz) e
colpiscono in modo indifferenziato tutti gli ioni Erbio (da cui la dizione
“omogeneo”). Siccome la popolazione dei” fononi” è temperatura
dipendente, questo allargamento si presenta funzione della temperatura.
Vi sono poi dei meccanismi di allargamento anche in-omogenei, dovuti
alla perturbazione degli orbitali elettronici dell’Erbio indotta da difetti
reticolari, presenza di altri atomi nella matrice, difetti reticolari, ecc.
L’insieme di questi due allargamenti produce a temperatura ambiente uno
spettro continuo di emissione ed assorbimento caratteristico dell’EDFA,
illustrato in figura: esso si estende da 1,43 ad oltre 1,64 μm e presenta un
picco a circa 1,53 μm. Questo spettro comprende quindi sia lo splitting
Stark che gli allargamenti omogenei ed inomogenei. Se in ordinata
portiamo la “forza” dell’interazione radiazione materia espressa in
sezione d’urto , essa risulta al picco dell’ordine di 6-10 10-25 m2. Risulta
evidente da quanto abbiamo detto che questo spettro, pur essendo
continuo non è uniforme. Esso si presenta inoltre leggermente diverso per
quello che riguarda la sezione d’urto di emissione stimolata e di
assorbimento. Utilizzando questo spettro di emissione , la banda di
amplificazione dell’EDFA risulta come in figura: abbiamo finalmente
ottenuto una banda continua con una larghezza significativa, tale da
permettere una amplificazione di diverse lunghezze d’onda e quindi di
aprire i sistemi di comunicazione ottica alla multiplazione di tipo WDM.
Convenzionalmente viene accettato che lo spettro di guadagno
dell’amplificatore EDFA abbia una “larghezza a metà altezza” di circa 35
nm attorno a 1,53 μm, cui corrispondono circa 4,375 THz. Praticamente
oggi, con accorgimenti speciali sia di pompaggio sia di filtraggio, si
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riescono ad ottenere bande di amplificazione che eccedono questo valore
e si producono EDFA specializzati nei diversi segmenti della griglia ITU.
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22
Spettro di assorbimento e di emissione, spettro di fluorescenza e curva di
guadagno. Dal punto di vista terminologico e per quanto detto ai
paragrafo precedenti, risulta evidente che vi è una sostanziale coincidenza
fra la banda di guadagno dell’amplificatore ottico e la banda di emissione
naturale o spontanea del materiale Erbio contenuto nella matrice silicea
della fibra ottica: quest’ultima banda è conosciuta anche come spettro di
fluorescenza del materiale perché rappresenta la “fluorescenza” residua
del materiale una volta eccitato. La “fluorescenza” altro non è che il
decadimento spontaneo degli stati elettronici alti (del livello 2) verso il
livello 1 per emissione spontanea. La “fluorescenza” si manifesta quindi
come una luminosità che permane una volta che lo stimolo luminoso che
ha provocato l’eccitazione del livello “alto” cessa: questa luminosità
rimane per una costante di tempo apri al sp ovvero, per quanto detto
all’inverso del coefficiente A21.
Per quanto detto prima, la banda di guadagno e lo spettro di fluorescenza
dell’EDFA è un risultato “naturale” del fenomeno complesso dello
splitting e dell’allargamento di riga dei livelli elettronici degli ioni Erbio.
Nella figura seguente si osserva come questo spettro sia dipendente dalla
“matrice” solida che contiene gli ioni erbio e dalle impurezze (droganti)
in essa presente: tipicamente si hanno matrici a base Silicea con droganti
a base di Ossidi di Alluminio, ossidi di germanio ed Ossidi di Fosforo. A
parità di matrice, la temperatura di impiego degli amplificatori può
significativamente perturbare lo spettro di guadagno: nella figura
seguente si nota l’effetto della temperatura sulla forma e larghezza dello
spettro a temperatura ambiente, a temperature dell’azoto liquido e
prossime allo zero assoluto.
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 11, Edizione Gennaio 2009
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11.5 Tempi caratteristici dell’amplificatore EDFA
Abbiamo visto nel paragrafo precedente come si arriva a definire la
“banda ottica di guadagno” dell’EDFA. Ci chiediamo ora quali sono
caratteristiche di risposta temporale di un EDFA. La risposta a questa
domanda diventa semplice che si separano nettamente due regimi di
funzionamento dell’EDFA: un regime di funzionamento “normale” in cui
il segnale amplificato rimane lontano dalla intensità di saturazione ed in
cui quindi non si perturbano le popolazioni elettroniche dei livelli di
pompa e di segnale (regime di piccolo segnale); un regime di
funzionamento in cui le intensità del/dei segnali da amplificare perturba
le popolazioni elettroniche in modo significativo.
Regime di piccolo segnale. Abbiamo visto che il fenomeno della
amplificazione ottica è regolato dalla legge di emissione stimolata, legge
che è indipendente dallo schema di pompaggio o dalle caratteristiche
della inversione: questa è inoltre una legge di tipo probabilistico che non
presenta costanti di tempo. Nella misura in cui i livelli elettronici siano
“predisposti per amplificare” il fenomeno dell’amplificazione ottica
avviene senza limiti temporali ed il segnale amplificante che entra in
fibra si amplifica alla velocità di gruppo del segnale stesso. Quindi si può
concludere che l’amplificazione ottica è una tecnica completamente
trasparente alla banda del segnale amplificato. L’amplificazione ottica a
differenza dell’amplificazione elettrica, non presenta costanti di tempo e
filtri di tipo passa basso di alcun genere: un segnale comunque veloce è
sempre amplificabile con l’amplificazione ottica.
Regime di grande segnale. Abbiamo visto che il meccanismo di
inversione di popolazione comprende due costanti di tempo: il tempo di
decadimento spontaneo del livello 3 verso il 2, 32, ed il tempo di
decadimento spontaneo del livello 2 verso 1, 21 o sp. E’ quindi
comprensibile come la dinamica di un amplificatore ottico, cioè il suo
comportamento in presenza di transitori del segnale di pompa o del
segnale amplificante di intensità tale da incidere sul livello di queste
popolazioni, sia regolato da questi tempi. Aspetti di transiente
avvengono:
all’atto dell’accensione o dello spegnimento, quando le popolazioni
elettroniche debbono ancora assestarsi;
all’atto dell’estrazione o dell’inserimento di importanti canali WDM.
In queste condizioni occorre considerare le popolazioni Ni (con i che vale
1, 2 e 3) dei 3 livelli elettronici che sotto l’azione di un “gradino” di
ingresso andranno a regime con leggi del tipo
N i (t) = aiet / t1 + biet / t2 + c i
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dove t1 si riferisce al tempo di fluorescenza del livello 3-2 e t2 al tempo di
fluorescenza del livello 2-3 e valgono
21
t1 =
1+
Ps
Psat segnale
+
Pp
Psat pompa
e
32
t2 =
1+
32 Pp
21 Psat pompa
come si osserva t1 è modificabile sia dalla presenza di forti potenze di
segnale che di pompa e può addirittura risultare più piccolo del tempo
naturale di fluorescenza. Il tempo t2 è invece modificato solo dalla
potenza di pompa che pure tende a ridurre il tempo proprio 32.
L’evoluzione temporale dei segnali amplificati in questi regime si studia
con le stesse metodiche della dinamica dei sistemi. In figura si vedono
queste dinamiche in presenza di segnali addizionati ed estratti.
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11.6 Alcuni parametri pratici
Nello sviluppo pratico degli Amplificatori Ottici si definiscono alcune
grandezze pratiche che forniscono una idea di quanto effciente sia il
processo di amplificazione.
Power Conversion Efficiency e Quantum Conversion Efficiency
Nello schema 3 livelli che esemplifica l’amplificatore EDFA, e nella
ipotesi di utilizzare un pompaggio ottico, si può scrivere una “equazione
di bilancio” per i flussi fotonici di ingresso ed uscita
IN
IN
OUT
signal pump + signal
questa equazione stabilisce semplicemente che il movimento dei fotoni si
conserva in quanto i fotoni di “pompa” sono convertiti in stati elettronici
eccitati che poi vengono tutti utilizzati per produrre segnale: chiaramente
questa equazione pone un limite superiore a questo processo, in cui si
ipotizza di non avere produzione di rumore ed una piena efficienza di
emissione stimolata. Moltiplicando entrambi i membri della espressione
precedente per h, convertiamo l’equazione nella più pratica espressione
con le potenze:
IN
IN
h s OUT
signal h s pump + h s signal
IsOUT hv s
I pump + IsIN
hv p
da cui
PSOUT p
Pp + PSIN
s
e se chiamo Power Conversion Efficiency
PCE =
PSOUT PSIN p
=
<1
Pp
s
Applicato all’EDFA questa espressione mi indica che lo schema di
pompaggio più efficiente è quello che prevede una lunghezza d’onda di
pompa il più vicino possibile alla lunghezza d’onda del segnale.
Nell’EDFA, questa lunghezza d’onda alternativa al 980 nm esiste ed è
posta al margine della banda di guadagno a circa 1480 nm.
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 11, Edizione Gennaio 2009
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Si definisce anche una Quantum Conversion Efficiency come:
IN
s
OUT
S
S
QCE =
=
PCE
p
p
Lo sviluppo degli Amplificatori di tipo EDFA è frutto di un complesso
lavoro di ottimizzazione di tutti i parametri che concorrono a formare un
efficiente sistema di conversione ottico-ottico fra la potenza della pompa
e la potenza rilasciata al segnale. Si ottengono oggi AO di tipo EDFA con
efficienze PCE sino al 50% se pompati a 980 nm e 75% se pompati a
1480 nm e si arriva ad avere potenze di uscita sino a 27 dBm.
Guadagno e Coefficiente di Guadagno
Se considero il parametro Guadagno G, definito come
PSOUT
G = IN
PS
ottengo dalla relazione precedente
p
Pp + PSIN
pPp
p
s
G=
= 1+
= 1+ IN
IN
IN
S
PS
sPs
Questa espressione indica:
che il maggiore guadagno ottenibile si ha quando tutti i fotoni di pompa
sono convertiti in livelli elettronici eccitati e da questi in fotoni di segnale
e che questo processo avviene con una efficienza che è tanto maggiore
quanto più le lunghezze d ‘onda di pompa e di segnale sono vicine;
che per segnali di ingresso “alti” il guadagno può scendere sino ad 1:
condizione di trasparenza o di “saturazione di segnale di ingresso”.
Il rapporto fra il Guadagno e la potenza di pompaggio prende il nome di
Coefficiente di guadagno (Gain Coefficient)
gain coefficient =
G
Pp
[dB /mW ]
esso vale per i migliori EDFA anche 11 dB/mW quando uso come
lunghezza d’onda di pompaggio 980 nm: è un valore molto alto se
confrontato con valori ottenuti con altri schemi di pompaggio (vedi
figura)
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11.7 Il rumore ASE
Come già ricordato ai paragrafi precedenti, il fenomeno della
amplificazione ottica è sempre inevitabilmente accompagnato dalla
generazione di un rumore non-eliminabile conosciuto in letteratura come
rumore ASE ovvero rumore di Amplified Spontaneous Emission o
rumore di emissione spontanea amplificata. Il rumore ASE è originato dal
fatto che, come abbiamo visto al Paragrafo 10.1 relativo
all’amplificazione ottica, la legge di emissione è sempre duale e prevede
accanto alla emissione stimolata ( legge perfettamente simmetrica a
quella di assorbimento) la emissione spontanea:
probabilità di transire dallo stato 2 allo stato 1 e di emettere un fotone h
= A21
atomo secondo
caratterizzata dal Coefficiente di Einstein A che è pari all’inverso del
tempo di fluorescenza che caratterizza la transizione elettronica in esame
A21 =
1
fluor
Per ricavare una stima della entità di questo rumore è utile introdurre
l’equazione “fotonica” dell’amplificatore, l’equazione cioè di bilancio
scritta in termini di “fotoni” ovvero dell’intensità della luce che
supponiamo propaghi in una fibra ottica monomodo. Per ottenere questo
si può riprendere l’espressione già vista al paragrafo 11.3 per l’intensità
di segnale ( in cui per semplicità sia posto = 1 ) e completarla con il
termine di emissione spontanea (non considerato invece al paragrafo 11.3
in quanto non interessante ai fini di quelle valutazioni)
dI
= sa N1I + sa N 2 I + termine di spontanea nel modo di fibra
dz
Dalla definizione di processo spontaneo ho che l’intensità emessa nel
tratto dz “spontaneamente” dal mio amplificatore (supposto ovviamente
eccitato, cioè con la popolazione invertita) in tutte le direzioni ( e quindi
non solo nel modo della fibra ottica) sarà
termine di spontanea = A21hN 2
La valutazione del termine di spontanea richiede un passaggio ulteriore
in quanto l’emissione spontanea avviene, per definizione, in qualsiasi
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 11, Edizione Gennaio 2009
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direzione spaziale, e quindi non necessariamente nel modo di fibra ottica
( ricordiamo che stiamo considerando un processo di amplificazione in
fibra ottica). Questo aspetto della emissione ( e dell’assorbimento) non si
pone per i coefficienti di emissione stimolata in quanto sappiamo, per
definizione degli stessi, che il fotone emesso avrà lo stesso vettore d’onda
del fotone stimolante ( ovvero dell’intensità del segnale Is).
Supponiamo, per fissare le idee ( e senza perdita di generalità) di
considerare una propagazione monomodale. In questo caso, il contributo
di spontanea che dobbiamo considerare sarà la frazione monomodale
dell’intero numero di modi permesso al decadimento spontaneo
nell’intorno di frequenze compreso fra e +d. Sarà quindi da
considerare un fattore pari a
1
1
modo fondamentale
dv
d = propagazione d =
2
numero di modi possibili di propagazione (2 ) c
2c 3
hv
=
dv
Ws c
dove Ws è la densità di energia di saturazione già definita che è stata
moltiplicata per c perché consideriamo l’energia “in propagazione”.
Questo termine coincide con una Intensità di saturazione del segnale per
cui possiamo anche scrivere in modo semplificato
modo fondamentale
h
d
d =
Isigsat
numero di modi possibili di propagazione Questo fattore andrà quindi a moltiplicare il contributo “spontaneo” e
quindi l’equazione differenziale cercata diventa
dI
h
= sa N1I + sa N 2 I + A21hN 2
d
dz
Isigsat
Notiamo che adesso l’intensità I non è più Is ( cioè I segnale) perché essa
contiene luce (cioè fotoni) derivante sia dal contributo stimolato che da
quello spontaneo. Utilizzando le relazioni che legano fra di loro i
coeffcienti di Einstein e le sezioni d’urto otteniamo poi per il “termine di
spontanea”
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A21hN 2
h
Isigsat
d = B21WshN 2
h
Isigsat
d = sa
Isigsat
h
hN 2
h
Isigsat
d =
= h sa N 2 d
e quindi
dI
= sa ( N 2 N1 ) I + h sa N 2 d
dz
questa è ancora una volta l’equazione di bilancio della intensità della luce
dell’amplificatore espressa in funzione del parametro di propagazione
“z”. Siccome essa contiene anche il termine di “spontanea” riassume sia
le proprietà di segnale che di rumore dell’amplificatore ottico realizzato
in una fibra ottica monomodale.
La soluzione più generale di questa equazione differenziale è
C ( N1 N 2 ) e( N1 N 2 ) sa z + hN 2 d
I=
( N1 N 2 )
dove la costante C è determinabile se supponiamo che alla coordinata z=0
l’intensità di ingresso dell’amplificatore sia luce coerente di intensità I0
da cui
C = I0 hN 2 d
(N1 N 2 )
e quindi
hN 2 N N z
I0 ( N1 N 2 ) e ( 1 2 ) sa + hN 2 d
( N1 N 2 ) I=
( N1 N 2 )
[I0 (N1 N 2 ) hN 2 ]e( N N )
1
=
2
sa z
+ hN 2 d
( N1 N 2 )
ovvero
I = I0e( N1 N 2 ) sa z +
hN 2 dv
1 e( N1 N 2 ) sa z
( N1 N 2 )
(
)
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33
A questo punto, siccome sono in regime di inversione di popolazione,
cambio il segno della parentesi delle differenze di popolazione e pongo le
seguenti definizioni
Guadagno G = e( N 2 N1 ) sa z
Fattore di Inversione della Popolazione n sp =
N2
N 2 N1
e quindi
I = I0G + hn sp (G 1) d
in cui riconosco l’espressione completa della intensità presente all’uscita
della fibra ottica amplificatrice ( cioè dell’EDFA) che presenterà il fattore
di amplificazione G che agisce a moltiplicare il segnale coerente I0 più il
termine additivo di rumore spontaneo hn sp (G 1)d . Questa intensità
integrata sull’intera aerea occupata dal modo fondamentale in fibra ottica,
è equivalente alla potenza ottica emergente dall’amplificatore, per cui
posso anche scrivere
P = P0G + hn sp (G 1) d
Da questa espressione emerge con chiarezza il significato del termine nsp:
esso indica quanto è “preparato” l’amplificatore ovvero quanto è
occupato lo stato “alto” rispetto alla differenza di popolazione alto-basso.
La funzione
n sp =
N2
N 2 N1
ha un andamento complesso: per situazione di inversione di popolazione
essa rimane sempre >0 e può andare da valori molto grandi appena oltre
la soglia di inversione al valore limite 1 in piena inversione.
Tornando all’espressione precedente
I = I0G + hn sp (G 1) d
essa può essere vista come
I = I coh + I cao
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L’evoluzione della statistica fotonica all’uscita dall’amplificatore EDFA
è condizionata dalla evoluzione di questi due termini di intensità. In
particolare si possono avere i seguenti casi:
a) Segnale di ingresso assente ed amplificatore funzionante. Allora sarà
tutta l’intensità di uscita sarà dovuta la contributo ASE e quindi
I = I cao
b) Segnale di ingresso presente ed amplificatore funzionante. Allora il
rapporto fra le due componenti di intensità andrà come
I coh
GI0
I0
n hd
n
=
= 0
= 0
cao
I
(G 1) n sp hd n sp hd n sp hd n sp
dove n0 sono i fotoni “coerenti” entranti nell’amplificatore. Questo
numero di fotoni rimane invariato in piena inversione (nsp=1) ed in questo
caso il processo di amplificazione tende a conservare la coerenza della
luce entrante; viene ridotto quando nsp >>1, un regime per il quale diventa
prevalente il contributo caotico.
Per concludere questo paragrafo si richiama esplicitamente il fatto che
siccome il rumore ASE dell’amplificatore è generato dalla emissione
spontanea, la sua banda ottica verrà a coincidere completamente con la
banda di guadagno dell’amplificatore stesso ovvero con il suo spettro di
fluorescenza e tutte le considerazioni svolte al paragrafo 11.4 sulla
dipendenza di questo spettro dai parametri termici e di materiale
dell’EDFA sono trasportabili allo spettro di emissione ASE
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11.8 Valutazione della Figura di Merito di un
Amplificatore Ottico
La disponibilità della espressione completa dell’intensità in uscita
dall’amplificatore ottico ricavata al paragrafo precedente ci permette di
stimare la Figura di Merito F dell’amplificatore ottico in generale ed in
particolare dell’EDFA. Per definizione è
F=
SNRIN
SNROUT
La F rappresenta quanto “degrado” ha comportato sul SNR il passaggio
attraverso il processo di amplificazione: sappiamo che questo degrado
esiste ed è dovuto al processo di emissione spontanea che accompagna
sempre una amplificazione ottica.
Sappiamo che in generale SNR vale
SNR =
μs2
2
(μ)
dove al numeratore abbiamo la media al quadrato del segnale ovvero il
numero medio al quadrato dei fotoni “segnale”, ed al denominatore la
varianza del processo. Da quanto ricavato al paragrafo precedente
sappiamo che la statistica fotonica della luce in uscita dall’amplificatore
ubbidirà ad una distribuzione di Laguerre in quanto inevitabilmente
formata da una miscela di luce coerente ( quella di ingresso amplificata) e
luce caotica ( quella della componente ASE). Sarà quindi
Ps
n coh h n coh
μs =
=
=
= n coh
hB
hB
B
dove Ps è la potenza di segnale, B l’inverso del tempo di integrazione e
ncoh i fotoni del segnale coerente di ingresso. Sarà poi
2
(μ) = μs + μn +
μn2
μμ
+2 s n
M
M
Per semplicità possiamo poi supporre che M=1, cioè che la banda ottica e
la banda di integrazione coincidano. Sappiamo inoltre che
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μn =
(G 1)n sp hB 1
B
h
= (G 1) n sp
dove si è supposto per semplicità che l’ASE abbia una banda piatta in
tutta l’estensione B.
Sarà quindi
SNRIN =
μs2
coh
2 = μs = n
(μ)
SNROUT =
(
2
s
Gn coh
)
2
μ
2 =
(μ) Gn coh + (G 1) n sp + (G 1) 2 n sp2 + 2(G 1) n sp Gn coh
[
]
e quindi F sarà
[
2
Gn coh + (G 1) n sp + (G 1) n sp2 + 2(G 1) n sp Gn coh
SNRIN
F=
= n coh
2
SNROUT
G2 n
( )
]=
coh
2
=
2
1 (G 1) n sp (G 1) n sp 2(G 1) n sp G
+ 2
+
+
G G n coh
G2
G 2 n coh
( )
( )
e nella condizione abbastanza comune per cui sia 1 trascurabile rispetto a
G
F=
n sp
n2
1
+
+ sp + 2n sp
G G n coh
n coh
( ) ( )
e per G>>1
F=
n sp2
(n )
+ 2n sp
coh
Questa espressione può essere interpretata in due casi limite:
a) Situazione di bassa inversione di popolazione e di un debole segnale di
ingresso. In questo caso siccome nsp è grande e ncoh è piccolo il fattore di
merito può anche essere alto e l’attraversamento dell’amplificatore ottico
pregiudica sensibilmente il rapporto segnale/rumore.
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b) Situazione di alta inversione di popolazione ed alto segnale di
ingresso. In questo caso, che è il più frequente
F 2n sp
ed in particolare in un regime di piena inversione di popolazione, la
Figura di Merito tende al valore limite di 3 dB.
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