Solo quello che ti interessa | Geometria ellittica - Geometria del globo terrestre
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Geometria ellittica - Geometria del globo
terrestre
- Il matematico ungherese George Polya (1887-1985), in merito alla geometria
della terra, ha proposto due problemi:
- Problema dell’orso polare. “Un cacciatore abbandona il suo
accampamento e cammina a Sud per 1 Km, poi svolta e cammina ad Est
per 1 Km. Qui avvista un orso, lo uccide. Soddisfatto per la caccia, il
cacciatore si incammina verso Nord per 1 Km e si ritrova al punto di
partenza. Di che colore è l’orso ?”. L’orso è bianco, perché tale percorso è
percorribile solo al polo nord. La traiettoria del cacciatore descrive un
arco di meridiano verso Sud, un arco di parallelo verso Est e di nuovo un
arco di meridiano verso Nord. Se il cacciatore ritorna al punto di partenza
significa che è partito dal polo nord, e qui esistono solo orsi bianchi.
- Problema di Roberto. “Roberto vuole un terreno più piano possibile ,
delimitato da quattro linee rette. Due di queste dovranno avere direzione
nord-sud, mentre le altre due est-ovest. Ciascun lato dovrà misurare
1.000 metri. Roberto potrà trovare questo terreno in' Messico ?” Il terreno
così definito può essere delimitato solo da due paralleli e due meridiani
che si allontanano dall’equatore: l’arco di questo parallelo mobile
intercettato dai due meridiani fissi diminuisce considerevolmente. Il
centro del terreno con queste caratteristiche potrà trovarsi solo
all’equatore, e quindi questo terreno non può trovarsi in Messico.
Paralleli e meridiani
- I circoli massimi che passano per i poli sono denominati meridiani, e le
perpendicolari ad essi sono i paralleli.
- Di tutti i paralleli, quello del circolo massimo si chiama equatore, mentre si
definisce meridiano zero quello che passa per la località di Greenwich.
- Sin dai tempi di Pitagora fino al GPS (Global Position System) si è utilizzato il
sistema di localizzazione, basato sui concetti di longitudine e latitudine. La
longitudine è la distanza verso Est o Ovest dal meridiano zero. La
latitudine è la distanza verso Nord o Sud dall’equatore. Le distanze sono
misurate in gradi angolari: la longitudine arriva fino a 180° (Est o Ovest),
mentre la latitudine arriva fino a 90° (Nord o Sud)
- Quindi per individuare una località sulla terra occorrono due coordinate, e si
dirà: X gradi latitudine Nord o Sud, e Y gradi longitudine Est od Ovest. Ad
esempio New York si trova a 40,47° latitudine Nord, 73,58° longitudine Ovest e
Sydney si trova a 33,13° latitudine Sud, 151,42° longitudine Est. Benché non si
noti immediatamente, ma queste due località sono quasi diametralmente
opposti.
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Dal mappamondo al Google Earth
- La versione piana del mappamondo si chiama planisfero. Le divisioni verticali
a sinistra indicano la longitudine Ovest, quelle a destra determinano la
posizione della longitudine Est. Le divisioni orizzontali sopra indicano la
latitudine Nord, quelle sotto la latitudine Sud.
- Supponiamo di voler trovare la distanza tra Barcellona e Tokio. La
posizione di Barcellona è 2°E, 41°N, mentre quella di Tokio è 140°E, 36°N. Se
consideriamo il triangolo sferico determinato dai vertici A (Barcellona), B
(Tokio) e D (Polo Nord).
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- Chiamiamo d la geodetica che unisce Barcellona a Tokio, cioè la distanza
minima. Per calcolarne la lunghezza possiamo usare il teorema del coseno:
cos d = cos a × cos b + sin a × sin b × cos D
- Al momento ci mancano i valori di a, b e D. Per calcolare la lunghezza di un
lato consideriamo l’equatore come l’asse delle ascisse di un piano cartesiano,
e alla latitudine in gradi del punto in questione si sottrarranno 90°. Per l’angolo
D si procederà allo stesso modo, considerando il meridiano di Greenwich come
asse delle ordinate:
a=90° - 41°=49°
b=90° - 36°=54°
D=140°-2°=138°
- Sostituendo questi valori nella formula dei coseni otteniamo:
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cos(d)=cos(49°)cos(54°)+sin(49°)sin(54°)cos(138°)=-0,06812225162
- Calcolando la funzione inversa (cos-1) otteniamo d=93,90614266°. Però questa
è una misura in gradi. Per ottenere la misurazione in Km, calcoliamo prima la
circonferenza della terra, sapendo che il suo raggio è R=6.350,
C=2*6.350*π=39.898,23 Km, che corrispondono a 360°. Per conoscere a
quanti Km corrispondono ad un angolo di 93,90614266°, su questa
circonferenza, basta applicare la regola delle proporzioni
360 : 39.898,23 = 93,90614266 : x
- Da cui x = (39.898,23*93,90614266)/360=10.407,11878 Km. Quindi la
distanza tra Barcellona e Tokio è di circa 10.407 Km.
- Questo significa che attraverso un semplice un mappamondo è possibile
individuare la distanza tra due località.
- Algoritmi sofisticati, come quelli di Google Earth, consentono di ottenere
risultati molto precisi (anche per individuare la posizione di un numero civico)
e in modo molto rapido. Il calcolo della distanza Barcellona-Tokio con questo
algoritmo produce come risultato il valore 10.442,62 Km, un valore molto
simile al nostro, calcolato con metodi domestici.
- Un livello così sofisticato è impossibile da ottenere su una tradizionale carta
geografica. Di fatto l’uso dei computer ha dato origine ad una nuova disciplina
chiamata geometria computazionale.
- NOTA: Già Platone nel suo dialogo Timeo, o della Natura disse che la terra
era sferica per volere di Dio, perché la sfera è la forma più perfetta.
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