Riepilogo sulle funzioni e sul campo di esistenza

Tavola riepilogativa degli insiemi numerici
N : insieme dei numeri naturali
Z : insieme dei numeri interi
Q : insieme dei numeri razionali
I : insieme dei numeri irrazionali
R : insieme dei numeri reali
Z+ : insieme dei numeri interi positivi
Z- : insieme dei numeri interi negativi
Zo+ : insieme dei numeri interi positivi compreso lo zero
Zo- : insieme dei numeri interi negativi compreso lo zero
R+ : insieme dei numeri reali positivi
R- : insieme dei numeri reali negativi
Ro+ : insieme dei numeri reali positivi compreso lo zero
Ro- : insieme dei numeri reali negativi compreso lo zero
Come senz'altro ricorderai questa figura rappresenta due insiemi che si rispecchiano:
Alcuni elementi dell'insieme di sinistra hanno il loro corrispondente nell'insieme di destra, ma non
tutti.
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Raggruppiamo gli elementi che hanno una loro immagine in modo da ottenere i due sottoinsiemi
A e B formati dagli oggetti b c d e e le loro rispettive immagini 3 8 6 4 :
Siamo in presenza di una Funzione poiché risponde alle condizioni espresse nella formula
(si legge: per ogni x di A esiste un unico y di B tale per cui y è uguale a f di x)
A e B sono detti rispettivamente DOMINIO e CODOMINIO della funzione f
x e y indicano un generico elemento rispettivamente di A e B
e si scrive
f: A
B
x
y
dove f rappresenta la legge
A
"
il dominio
B
"
il codominio
x
"
un generico elemento del dominio A
y
"
l'elemento del codominio B corrispondente di x
la scrittura y = f(x) significa: y è immagine di x mediante la legge f
A questo punto conosci già le premesse fondamentali indispensabili per affrontare questo L. O.
Cercheremo ora di scoprire che cos'è il Campo di Esistenza di una Funzione Reale a
Variabile Reale.
In particolare in questa 1a parte esamineremo le Funzioni Razionali Intere e Fratte per
scoprire:
• quale può essere il Campo di Esistenza
• in quale modo si determina partendo dalla formula matematica
• l'eventuale regola generale che caratterizza ciascuna tipologia
• come si indica in simboli matematici sintetici
• come si rappresenta:
- sulla retta
- sul piano cartesiano
Prima di cominciare però è bene dare un'ultima rinfrescatina alla classificazioni delle funzioni in
modo da avere ben chiaro che cos'è una Funzione Reale a Variabile Reale:
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI NUMERICHE
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Ad un primo livello di classificazione, l'insieme delle funzioni numeriche si può ripartire in due
grandi categorie:
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI NUMERICHE
Ad un primo livello di classificazione, l'insieme delle funzioni numeriche si può ripartire in
due grandi categorie:
classe delle funzioni empiriche per le quali non esiste alcuna legge o formula matematica
che faccia passare dai valori di x ai corrispondenti valori di y, cioè l'immagine di un elemento
non è ottenibile mediante una legge, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di
rilevazioni (come in economia o statistica).
classe delle funzioni analitiche o matematiche per le quali esiste una legge o formula
matematica che a partire da un x del dominio permette di calcolare la sua immagine mediante
un numero finito di operazioni.
Sono esempi di funzioni empiriche:
- il peso di una persona in funzione della sua età
- la crescita di una pianta al passare del tempo
- la temperatura di un luogo in funzione delle ore della giornata.
Sono esempi di funzioni analitiche:
- la lunghezza del perimetro di un triangolo equilatero (y) in funzione del suo lato (x):
2P = 3l
y=3x
- la spesa per una stoffa (y) in funzione della lunghezza (x):
y = (costo al metro) • x
Questa prima ripartizione è schematizzata nel seguente diagramma:
Tra le funzioni analitiche particolare rilevanza hanno le funzioni reali di variabile reale, cioè
quelle funzioni matematiche il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi dell'insieme dei
numeri reali:
Le funzioni analitiche reali di variabile reale, a loro volta, si suddividono nei due seguenti
sottoinsiemi:
1. classe delle funzioni algebriche, per le quali il valore y della variabile dipendente si
ottiene, a partire dal valore x della variabile indipendente, eseguendo un numero finito di
operazioni algebriche.
Ricorda che, nell'ambito dei numeri reali, sono chiamate algebriche le seguenti operazioni:
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza n-esima, estrazione di
radice n-esima (con
).
2. classe delle funzioni trascendenti, per le quali si passa dai valori di x a quelli di y
mediante operazioni matematiche non algebriche. Appartengono a questa categoria le funzioni
goniometriche, esponenziali e logaritmiche.
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Sono esempi di funzioni algebriche:
Sono esempi di funzioni trascendenti:
Ad un terzo livello di classificazione, le funzioni algebriche si dividono in
- razionali, in cui non è applicata l'operazione di radice n-esima alla variabile x
- irrazionali, che presentano operazioni di radice n-esima applicate alla variabile x.
A loro volta le funzioni razionali ed irrazionali possono essere intere se non è presente
l'operazione di divisione applicata alla variabile x o in caso contrario fratte.
Esempi di funzioni:
Nel seguente diagramma ad albero riassuntivo è schematizzata la classificazione delle funzioni
analitiche
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Il Campo di esistenza di una funzione è il più grande insieme dei numeri reali per cui la
formula ha significato: in pratica è il Dominio
più grande possibile.
Come ricorderai una generica funzione reale a variabile reale viene indicata molto spesso in
modo estremamente semplice con la seguente formula:
[ si legge: ipsilon uguale effe di ics ].
In questa formula le tre lettere hanno tre ruoli diversi:
rappresenta il singolo elemento del Dominio
indipendente
rappresenta l'elemento del Codominio
variabile dipendente
-
indica una generica formula per ottenere
e prende il nome di variabile
corrispondente a
a partire da
e prende il nome di
.
È evidente però che la sola formula non basta per definire una funzione.
Se di una funzione reale a variabile reale viene data soltanto la formula, senza altre
indicazioni, è necessario stabilire almeno il suo dominio e per poter studiare con completezza
la funzione non è opportuno scegliere un dominio a caso, va scelto quello più grande possibile,
cioè il Campo di Esistenza della funzione data.
Iniziamo ora ad esaminare le Funzioni Razionali Intere e Fratte.
esempio n. 1 : Funzione razionale intera (di 1° grado)
Iniziamo con una formula base:
[ si legge: ipsilon uguale ics]
La premessa che devi sempre tenere in mente è la definizione stessa di Campo di Esistenza
cioè: « il più grande insieme dei numeri reali in cui può variare
valore reale di
affinché esista sempre il
e sia unico ».
Per procedere devi sempre porti 3 domande fondamentali (in questo caso le risposte
dovrebbero risultare abbastanza intuitive ma se proprio non ci riesci sposta il mouse sopra la
parola "aiuto" e ti apparirà la spiegazione; non farlo però senza prima aver tentato di
rispondere da solo !)
¨
ci sono valori di
per cui
¨
ci sono valori di
per cui
¨
ci sono valori di
per cui
non esiste ? (in questo caso no)
non è un numero reale ? (in questo caso no)
non è unico ? (in questo caso no)
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La risposta risulta sempre la stessa e cioè che la funzione è sempre calcolabile ovvero, scelto
un qualunque valore di
ottengo con finite operazioni algebriche il corrispondente valore di
.
Perciò il suo Campo di Esistenza è l'insieme di tutti i numeri reali, regola generale
valida per tutte le Funzioni Razionali Intere.
Ed ecco i diversi modi in cui possiamo rappresentarlo in modo sintetico
C.E. :
R
oppure
(-∞; +∞)
oppure
] - ∞; + ∞ [
In termini più visualizzabili potremmo dire che in questo caso il Campo di Esistenza è
l'insieme di tutti i punti della retta reale.
esempio n. 1a : Funzione razionale intera (di 2° grado)
Adesso procediamo nello stesso modo ma con una formula un po' più complessa:
Riesci a determinare il Campo di Esistenza ?
Poiché la funzione data è razionale intera il valore di
numeri reali.
resta sempre nel campo infinito dei
Soluzione: il Campo di Esistenza è rappresentato dall'insieme
dei numeri reali.
Trovato il Campo di Esistenza, sei in grado di rappresentarlo in simboli matematici sintetici ?
Soluzione:
C.E. : R oppure (-∞; +∞) oppure ] - ∞; + ∞ [
esempio n. 2 : Funzione razionale fratta
Come al solito iniziamo con una formula base:
Per aiutarti a trovare la strada giusta ti proponiamo queste divisioni ponendoti la domanda:
«Hanno una soluzione possibile e con un numero reale e unico ?»
•
5/5 (la soluzione è possibile ed è =1)
•
1/1 (la soluzione è possibile ed è =1)
•
0/1 (la soluzione è possibile ed è =0)
•
1/0 (la soluzione è impossibile poiché non si può dividere per 0)
•
0/0 (il valore è indeterminato perciò non esiste una soluzione)
La conclusione del ragionamento è che la funzione è sempre calcolabile ad eccezione di quando
la variabile
assume il valore di zero poiché la divisione per zero non è possibile !
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Perciò il Campo di Esistenza è l'insieme degli
che
sia diverso da
appartenenti ai numeri reali
tali
.
Ecco come si può rappresentare in modo sintetico, in simboli matematici:
[ si legge: campo di esistenza uguale ics che appartiene a erre e ics diverso da zero]
oppure
[ si legge: campo di esistenza uguale a meno infinito virgola zero unione zero virgola più
infinito]
In termini più visualizzabili potremmo dire che in questo caso il Campo di Esistenza è
l'insieme di tutti i punti della retta reale escluso il punto
.
esempio n. 2a : Funzione razionale fratta
Procediamo ancora una volta con una formula un po' più complessa:
Soluzione: La funzione data è razionale fratta, perciò è necessario trovare il valore di
x che rende il denominatore uguale a zero ed escluderlo dal campo di esistenza.
Va risolta l'equazione
2x+1 = 0
2x = -1
x = -1/2
il Campo di Esistenza è l'insieme degli
numeri reali
tali che
appartenenti all'insieme dei
sia diverso da -1/2
Ecco le due tipologie di notazione in simboli matematici che si possono usare:
( si legge: "campo di esistenza per ics appartenente all'insieme dei numeri reali con ics minore
od uguale a 2 e/o maggiore od uguale a 3" )
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( si legge: "meno infinito 2 compreso, unione 3 più infinito con 3 compreso" o meglio ancora
"il Campo di Esistenza è l'unione dei due intervalli numerici da meno infinito a 2 con 2 non
compreso, e da 3 a più infinito con 3 compreso)
Conclusa questa 1a parte abbiamo scoperto quali sono le diverse tipologie di funzioni ed
abbiamo focalizzato sulle funzioni reali a variabile reale ed in particolare le funzioni razionali
intere e fratte.
Di queste ultime abbiamo visto:
• in quale modo se ne determina il C. di E. partendo dalla loro formula matematica
• come lo si indica in simboli matematici
• come lo si rappresenta
- sulla retta
- sul piano cartesiano
• l'eventuale regola generale che caratterizza il C. di E. di ciascuna tipologia
Esempio n. 1 :
Funzione irrazionale intera (con indice di radice pari)
Iniziamo con la consueta formula base:
[ si legge: ipsilon uguale radice quadrata di ics ]
Come al solito devi porti le consuete 3 domande fondamentali:
¨ ci sono valori di
per cui
non esiste ? (per valori inferiori allo 0)
¨ ci sono valori di
per cui
non è un numero reale ? (per valori inferiori allo 0)
¨ ci sono valori di
per cui
non è unico ? (per valori inferiori allo 0)
Possiamo determinare che la funzione è sempre calcolabile ad eccezione di quando la variabile
assume il valore inferiore allo zero poiché la radice è definita solo per valori non negativi del
radicando.
Perciò il Campo di Esistenza è l'insieme degli
che
è maggiore od uguale a
appartenenti ai numeri reali
tali
.
In modo sintetico, usando simboli matematici, si può rappresentare così:
[ si legge: campo di esistenza uguale ics che appartiene a erre e ics maggiore o uguale a zero]
oppure così:
[ si legge: campo di esistenza uguale a zero virgola più infinito]
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In termini più visualizzabili potremmo dire che in questo caso il Campo di Esistenza è
l'insieme di tutti i punti della retta reale maggiori od uguali a
.
La regola generale che possiamo dedurre è che il campo di esistenza di una funzione
irrazionale intera con radicali di indice pari è l'insieme dei valori che rendono i
radicandi non negativi.
Esempio n. 1a : Funzione irrazionale intera (sempre con indice di radice pari)
Procediamo nello stesso modo con una formula un po' più complessa !
Riesci a determinare il Campo di Esistenza ? (ricorda che essendo pari l'indice di radice occorre
che il radicando non risulti negativo)
Soluzione:
per trovare il Campo di Esistenza deve essere risolta la disequazione :
x2 - 5x + 6 ≥ 0 , disequazione di secondo grado che risulta vera per i valori esterni alle
radici del trinomio dato, cioè per tutti i numeri reali
o anche
Trovato il Campo di Esistenza, sei in grado di rappresentarlo in simboli matematici sintetici ?
Può essere rappresentato in modo sintetico nei seguenti simboli matematici:
[ si legge: campo di esistenza per ics minore o uguale a 2 e ics maggiore o uguale a 3]
Esempio n. 2 :
Funzione irrazionale intera (con indice di radice dispari)
[ si legge: ipsilon uguale radice cubica di ics ]
Il campo di esistenza delle funzioni irrazionali con indice di radicandi dispari non dà
problemi poiché è l'insieme di tutti i numeri reali
.
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Esempio n. 3 :
Funzione irrazionale fratta (con indice di radice pari)
[ si legge: ipsilon uguale radice quadrata di due ics più cinque fratto tre ics quadro meno tre]
L'equazione della funzione è irrazionale di indice pari con radicando frazionario. Pertanto deve
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essere verificata la disequazione (2x+5)/(3x -3) > = 0.
Da tutto quello che abbiamo appreso in precedenza il Campo di Esistenza della funzione è
l'intervallo di soluzione della disequazione fratta, ossia:
Esempio n. 4 :
Funzione irrazionale fratta (con indice di radice dispari)
[ si legge: y uguale radice cubica di x quadro più 18 fratto x quadro -9]
L'equazione della funzione è irrazionale di indice dispari con radicando frazionario. Pertanto
occorre escludere tutti i valori che annullano il denominatore:
(x2 - 9) = 0
x2 = +9
x = √+9
x = +3, -3
Da tutto quello che abbiamo appreso in precedenza il Campo di Esistenza della funzione
risulta vera per tutti i valori della retta reale esclusi i valori 3 e - 3.
Conclusa questa 2a parte abbiamo scoperto le Funzioni Irrazionali:
• intere con indice di radice pari e dispari
• fratte con indice di radice pari e dispari
In particolare abbiamo scoperto:
• in quale modo se ne determina il C. di E. partendo dalla loro formula matematica
• come lo si indica in simboli matematici
• come lo si rappresenta
- sulla retta
- sul piano cartesiano
Nella sezione precedente abbiamo scoperto come si determina il Campo di Esistenza delle
tipologie di Funzioni Reali a Variabile Reale ed in particolare ci siamo dedicati alle Funzioni
Razionali Intere e Fratte e a quelle Irrazionali.
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