costruzione dello spazio di Bernoulli infinito simmetrico, I

Sia Ω l’insieme delle sequenze infinite di simboli t (testa) e c (croce), ovvero Ω = {t, c}N .
Indica con ωn l’n-ma componente di ω, cosicché ω = (ω1 , ω2 , . . .).
Definisci cilindro di dimensione n un insieme
C = {ω : ωil = uil l = 1, . . . , n},
con il ∈ N\{0}, l = 1, . . . , n tali che i1 < . . . < in (base del cilindro) e ui1 , . . . , uin sequenza di simboli in
{t, c}.
Assegna ad ogni cilindro P-misura pari a 2−n .
Introduci la famiglia A che comprende l’insieme vuoto e le unioni finite e disgiunte di cilindri, ovvero gli
insiemi della forma
∪ •
A=
Ck .
1≤k≤m
Poni
P(∅) =: 0, P(A) :=
m
∑
P(Ck ).
k=1
Dimostra che la famiglia A è un’algebra, P è funzione di insieme additiva su A e P(Ω) = 1.
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La famiglia A contiene Ω poiché Ω = {ω : ω1 = t}
∪•
{ω : ω1 = c}.
Per n ∈ N, sia Ωn l’insieme delle sequenze lunghe n di simboli t e c. Fissato A ∈ A sia nk la dimensione del
(k)
(k)
k-mo cilindro che compone A e i1 , . . . , ink la sua base.
( ∪ (
))
(k)
d := card
i1 , . . . , i(k)
,
nk
Posto
1≤k≤m
esiste una sequenza di indici i1 < . . . < id e un insieme F ∈ P(Ωd ) tale che
A = {ω : (ωi1 , . . . , ωid ) ∈ F }.
Infatti il generico cilindro è della forma
(k)
Ck = {ω : ωi(k) = ul
l
(k)
l = 1, . . . , nk }
(k)
con u1 , . . . , unk simboli fissati in {t, c} e si rappresenta anche come
{ω : (ωi1 , . . . , ωid ) ∈ F (d, Ck )}
(k)
con F (d, Ck ) ∈ P(Ωd ). Precisamente posto ul := ul
F (d, Ck ) :=
(k)
(k)
se il ∈ (i1 , . . . , ink ), si definisce
∪
(u1 , . . . , ud )
(
)
(k)
(k)
dove l’unione è al variare di ul in {t, c}, per il ∈
/ (i1 , . . . , ink ). Si noti che card F(d, Ck ) = 2d−nk .
In conclusione
F =
m •
∪
F (d, Ck )
k=1
e quindi
card(F) =
m
∑
m
(
) ∑
card F(d, Ck ) =
2d−nk .
k=1
k=1
Viceversa appartiene ad A ogni insieme della forma {ω : (ωi1 , . . . , ωid ) ∈ F } con il ∈ N\{0}, l = 1, . . . , d
tali che i1 < . . . < id (base del cilindro) per d ≥ 1 e F ∈ P(Ωd ) poiché unione finita disgiunta dei cilindri
{ω : ωil = ul , l = 1, . . . , d} al variare di (u1 , . . . , ud ) in F .
Va osservato che la rappresentazione di un insieme in A come
∪ unione finita di cilindri disgiunti non è unica:
basta pensare al caso {ω : ω1 = t} = {ω : ω1 = t, ω2 = t} {ω : ω1 = t, ω2 = c}.
Per dimostrare che A è un’algebra, per ogni A in A si considera d(A) il minimo tra gli interi d ≥ 1 per i
quali A si rappresenta come {ω : (ωi1 , . . . , ωid ) ∈ F } e FA l’insieme corrispondente, cosicché
A = {ω : (ωiA , . . . , ωiA ) ∈ FA }
1
d(A)
A
per una sequenza ordinata di indici iA
1 , . . . , id(A) che possiamo chiamare la minima base di A.
È immediato allora che se A ∈ A vale Ac = {ω ∈ Ω : (ωiA , . . . , ωiA ) ∈ FAc } e quindi Ac ∈ A.
1
d(A)
1,2
Se A1 ∈ A e A2 ∈ A allora, indicata con i1,2
1 < . . . < id(1,2) l’unione ordinata delle basi minime di A1 e A2 ,
esistono F1 , F2 ∈ P(Ωd(1,2) ) tali che
A1 = {ω : (ωi1,2 , . . . , ωi1,2 ) ∈ F1 }, A2 = {ω : (ωi1,2 , . . . , ωi1,2 ) ∈ F2 }
1
e
1
d(1,2)
∪
A2 = {ω : (ωi1,2 , . . . , ωi1,2 ) ∈ F1
1
d(1,2)
∪
con F1 e F2 in P(Ωd(1,2) ) e quindi A1 A2 ∈ A.
A1
Dunque A è un’algebra,
Dalla definizione di P segue che se A =
∪m
•
k=1
Ck allora
m
m
∑
∑
1
2d−dk
=
P(A) =
2dk
2d
k=1
k=1
e quindi, per quanto osservato in merito alla cardinalità di F ,
P(A) =
Naturalmente vale anche
P(A) =
card(F)
.
2d
card(FA )
.
2d(A)
I due risultati sono coerenti poiché chiaramente
card(F) = card(FA )2d−d(A)
d(1,2)
∪
F2 }
(1)
dal momento che gli elementi di F sono tutti e soli gli elementi di F (A) saturati nelle posizioni fuori della
base minima con i simboli t e c in tutti i modi possibili, 2d−d(A) .
Dunque la definizione di P è ben posta.
È immediato dimostrare che la misura è additiva: infatti se A1 e A2 sono disgiunti, F1 e F2 nella rappresentazione (1) sono disgiunti e quindi
∪•
card(F1
F2 ) = card(F1 ) + card(F2 )
ovvero
P(A1
∪•
A2 ) =
Infine
P(Ω) = P({ω : ω1 = t}
∪•
card(F1 ) + card(F2 )
= P(A1 ) + P(A2 ).
2d(1,2)
{ω : ω1 = c}) = P({ω : ω1 = t}) + P({ω : ω1 = c}) = 1.