Anno Accademico 2011/12
GEOMETRIA COMPUTAZIONALE per la Laurea Magistrale in Matematica
Maurizio Candilera
Gli argomenti del corso sono i seguenti:
Richiami di geometria dello spazio affine, calcolo baricentrico e trasformazioni affini. Spazio metrico euclideo, classificazione delle isometrie e lo ro rappresentazione matriciale. Quaternioni di Hamilton e loro
rappresentazione in M2 (C). SU2 ed il gruppo dei quaternioni unitari, sua rappresentazione tramite matrici
ortogonali speciali. Cenni all’esponenziale. Spherical linear interpolation di quaternioni unitari e confronto
con l’interpolazione lineare di matrici di rotazione nello spazio euclideo. Richiami sulle coordinate omogenee
e le trasformazioni proiettive. Proiezioni centrali con applicazioni alla grafica. Realizzazione della visual
pipeline come composizione di matrici.
Curve di Bézier. Polinomi di Bernstein e loro proprietà. Curve di Bézier di secondo grado come archi di
parabole nel piano affine. Proprietà fondamentali delle curve di Bézier intere e loro trasformazione tramite
affinità dello spazio. Poligono di controllo delle curve di Bézier e aggiunzione di punti. Deformazione di curve
di Bézier per interpolazione lineare dei vertici del poligono di controllo. Algoritmo di de Casteljau e sue
applicazioni al rendering delle curve di Bézier. Curve di Bézier razionali e loro comportamento per trasformazioni proiettive. Variazione dei pesi. Curve di Bézier come curve che ammettono una parametrizzazione
polinomiale.
B-spline interi. Nodi e proprietà dei coefficienti Nij (t) e del poligono di controllo. Positività, supporto
e partizione dell’unità. Derivate dei coefficienti di spline. B-spline, aperti, chiusi, uniformi e periodici.
Algoritmo di de Boor e algoritmo di inserimento di nodi (Boehm). B-spline come curve che ammettono
localmente una parametrizzazione polinomiale. Deformazione di B-spline interi. B-spline razionali e NURBS
(cenni).
Richiami sulle superficie immerse in R3 . Superficie di Bézier e tramite B-spline. Campi tangenti e campi normali per una superficie e loro realizzazione grafica per superficie di Bézier o di spline. Skinning e costruzione
di particolari tipi di superficie (Gordon-Coons).
Cenni di Algebra Computazionale. Moduli e anelli noetheriani. Ideali e ideali monomiali nell’anello dei
polinomi. Lemma di Dickson. Ordinamento monomiale (Term Ordering) e buon-ordinamento sui monomi di
un anello di polinomi. Principali esempi. Algoritmo di divisione e definizione di base di Gröbner di un ideale.
Criterio di Buchberger e determinazioni di basi di Gröbner. Sizigie. Forma normale di un polinomio rispetto
ad un ideale. Sistemi di equazioni polinomiali ed applicazioni delle basi di Gröbner alla loro risoluzione.
Nullstellensatz di Hilbert ed equivalenza di alcune sue forme. Trucco di Rabinowitsch. Ordinamenti di
eliminazione. Qualche esempio di applicazione della tecnica di eliminazione (equazioni di uno scroll).
Durante il corso alcune lezioni sono state dedicate ad una sommaria introduzione all’uso di Metapost ed a
cenni sull’utilizzo di CoCoA.
Testi Consigliati:
D. Marsh: Applied Geometry for computer graphics and CAD. 2nd edition, Springer 2005
J. D Hobby: A User’s Manual for Metapost (www.tug.org/docs/metapost/mpman.pdf)
André Heck: Learning Metapost by doing (staff.science.uva.nl/∼heck/Courses/mptut.pdf)
M. Kreuzer, L. Robbiano: Computational Commutative Algebra I Springer 2005
1
