Formulazione di Chern-Simons
per la Gravità Affine
di Diego Mansi
[email protected]
Sergio Cacciatori
Marco M. Caldarelli
Alex Giacomini
Dietmar Klemm
Dipartimento di Fisica
Università di Milano
via Celoria 16, I-20133 Milano
INFN
Sezione di Milano
via Celoria 16, I-20133 Milano.
Introduzione
I modelli di Chern-Simons sono importanti nell’ambito della
Fisica Teorica contemporanea
Effetto Hall Quantistico e statistica frazionaria
Modelli di gravità in dimensioni dispari (2+1)
Teoria di Stringa e Supergravità
Frequenti legami tra Chern-Simons e Supergravità
Termini di Chern-Simons nelle azioni di Supergravità
Un settore BPS della Supergravità gauged in D=4 N=2
Gravità affine interessante perché permette di studiare le possibili
estensioni dell’invarianza di Lorentz locale a livello geometrico
2
Teorie di gauge topologiche:
modelli di Chern-Simons
Ingredienti
E’ un termine di bordo.
Forma di Chern-Simons
Invarianti topologici in
dimensioni pari
G, G, !·, ·"
MD
S=
A, ∇
Z
MD
!F ∧ . . . ∧ F #
Equazioni del moto in 3D: F = 0
S=
Z
∂MD
Azione di Chern-Simons
in tre dimensioni
!Ψ[D−1]#
S=
Z
2
!A ∧ dA + A ∧ A ∧ A#
3
Spazio delle configurazioni classiche:
A /G
La Gravità di Einstein: Chern-Simons di ISO(2, 1)
1 ab
A = e Pa + ω Jab
2
1 ab
a
F = T Pa + R Jab
2
a
Poincaré non è semi-semplice.
Miracolo delle tre
dimensioni: Esiste!
e la forma Ad-invariante
non-degenere??
W = εabcJ abPc
Possiamo scrivere l’azione,
quindi le equazioni del moto.
S∝
3
Z
M3
e ∧ Ra
a
Ta = 0
Ra=0
La Gravità Conforme: Chern-Simons di SO(3, 2)
La forma Ad-invariante è
quella di Killing
1 ab
A = e Pa + λ Ka − ω Jab + φD
2
a
Azione:
a
Z
!
"
1
1
a
S∝
− ω ∧ dωa + εabcωa ∧ ωb ∧ ωc + λa ∧ Ta − φ ∧ (dφ + ea ∧ λa)
3
M3 2
to dea + ωab ∧ eb − φ ∧ ea = 0dω =
La Torsione è nulla!
dea + ωab ∧ eb − φ ∧ ea = 0
dλa + ωab ∧ λb + φ ∧ λa = 0
Il Cotton è nullo!
dωa + ωab ∧ ωb − ea ∧ λb + eb ∧ λa = 0
λµν è il tensore di Schouten!
dφ + ea ∧ λa = 0
Il Ricci è simmetrico!
Non ha interpretazione diretta
dal punto di vista della Gravità.
λµν = eaµλaν
δφ = −eaσa + . . .
1
λµν = Rµν − Rgµν
4
Se dreibein invertibile posso
“gaugeare” via la φ
4
Schouten
Cαβ µ = ∇αλµβ − ∇βλµα Cotton
La Gravità Conforme: Chern-Simons di SO(3, 2)
La forma Ad-invariante è
quella di Killing
1 ab
A = e Pa + λ Ka − ω Jab + φD
2
a
Azione:
a
Z
!
"
1
1
a
S∝
− ω ∧ dωa + εabcωa ∧ ωb ∧ ωc + λa ∧ Ta − φ ∧ (dφ + ea ∧ λa)
3
M3 2
to dea + ωab ∧ eb − φ ∧ ea = 0dω =
Anche la Nuova Torsione è nulla!
dea + ωab ∧ eb − φ ∧ ea = 0
dλa + ωab ∧ λb + φ ∧ λa = 0
Il Cotton “metrico” è nullo!
dωa + ωab ∧ ωb − ea ∧ λb + eb ∧ λa = 0
λµν è ancora lo Schouten, ma di Rab
dφ + ea ∧ λa = 0
E se tenessimo la 1-forma
legata alle dilatazioni?
Nuova connessione:
Non Metrica:
Curvatura:
Il Ricci non è più simmetrico!
Struttura di Weyl
ω̂ab = ωab − δabφ
ˆ = 2φ ⊗ g
∇g
R̂ab = Rab − δabdφ
1
λµν = Rµν − R gµν
4
1
λ[µν] = − (∂µφν − ∂νφµ)
2
Cαβ µ = 0
5
ma
ˆ µ (dφ)
Ĉαβ µ = −∇
αβ
Gravità Affine: Chern-Simons di SL(4,R)
Esiste una forma Ad-Invariante
non degenere per l’algebra? NO!
Gravità con un gruppo di simmetria più ampio
A(3, R) ! GL(3, R) ! R3
ISO(2, 1)
Non esiste Chern-Simons per
il gruppo affine!
Soluzione: immergiamo il gruppo in un
uno “più grande” che sia semisemplice
Algebra:
SL(4, R)
A(3, R) ⊂ G
sl(4, R) ! ∗R3 ⊕ gl(3, R) ⊕ R3
Contiene algebra affine + un nuovo set di traslazioni
A = eaPa + σbaLab + λaKa
Connessione:
Tras. sx:
Ka
Tras. dx:
Pa
Interessanti simmetrie di
dualità tra “sx” e “dx”!
Equazioni del moto
Connessione di spin
completa:
Curvatura:
dea + σab ∧ eb = 0
σa b
dλa + λb ∧ σba = 0
R := dσ + σ c ∧ σ
ab
ab
a
cb
6
Rab + ea ∧ λb + ec ∧ λcηab = 0
Discussione delle E.o.M.s
1
2
dea + σab ∧ eb = 0
Torsione zero per la connessione di spin completa: σab
Componente di Lorentz:
ωab = σ[ab]
Non-metricità:
Q = 2σ
Rab + ea ∧ λb + ec ∧ λcηab = 0
(ab)
ab
∇g = −Q
λµν è la somma degli Schouten relativi ai due Ricci
Non-metricità rompe alcune
simmetrie nel Riemann:
Rαβ µν != −Rβα µν
Ha senso definire due diversi Ricci!
3
Gravità affine
dλa + λb ∧ σba = 0
Rµν := Rαµαν
Rαβ µν != Rµν αβ
Sµν := Rµανα
La somma dei due Cotton si annulla!
Avremo infine due diversi Cotton!
(R)
Rµν → Cαβ µ
Abbiamo costruito un modello di gravità affine!
7
(S)
Sµν → Cαβ µ
Una Soluzione: Spazi di Einstein
Rimane soltanto la
componente di Lorentz
Q=0
Cerchiamo una soluzioni semplici:
Soluzioni metriche
σab = ωab
∇g = 0
E.o.M.s
dea + ωab ∧ eb = 0
dλa + ωab ∧ λb = 0
2R + e ∧ λ − e ∧ λ = 0
ab
a
b
b
a
Torsione nulla! La connessione è di Levi-Civita.
Conferma la costanza di λ
Spazio di Einstein
Cosa accade dal punto
di vista del gruppo?
1 ab
A = ω Jab + eaΠa
2
SL(4, R)
−2λ
Rµν =
gµν
3
Sulla simmetria di dualità
" ! a"
! a "! !
01
e
e
=
−10
λa
λa
λ
Πa = Pa + Ka
3
λ
[Πa, Πb] = Jab
3
SO(2, 2) Anti de Sitter
SO(3, 1) de Sitter
λ a
λ = e
3
a
8
9
Le due traslazioni !
λ =−
sono duali!
λ
Conclusioni
Studiare nuove geometrie non-metriche!
Generica soluzione piatta locale g−1dg
Abbiamo una rapp.
esplicita di SL(4,R)
.
P
.
I
.
W
.
P
.
I
.
W
Studiare la Fisica di questa teoria.
Causalità?!
Sarebbe interessante andare a vedere queste nuove strutture
geometriche dal punto di vista della particella
Interazione determinata
dall’invarianza di gauge
S=
Z
!M, g−1dg + g−1Ag#
γ
!
"
−1
Dτ gMg
=0
Oltre che dal punto di vista classico, questi modelli sono interessanti
da un punto di vista quantistico.
Quantizzazione di Chern-Simons di SL( 4,R)
9
Fine
Grazie!
10
