Algebra Lineare Numerica - A.A. 2011

Algebra Lineare Numerica - A.A. 2011-2012
Laboratorio Matlab nr.11
Esercizio 1
a) Scrivere una function Arnoldi che implementi il metodo di Arnoldi per una data
matrice quadrata A e vettore iniziale b.
b) Scrivere un programma lemniscata che traccia le lemniscate di Arnoldi come curve
di livello nel piano complesso (usando per es. il comando Matlab contour) del
polinomio caratteristico della matrice di Hessenberg Hn generata da n passi del
metodo di Arnoldi. Tracciare anche gli autovalori esatti e i valori di Ritz di A, con
simboli diversi.
c) Scrivere un programma movie lemniscata che memorizza l’immagine della lemniscata di Arnoldi ad ogni passo n come fotogramma, usando per es. il comando getframe e genera un film (comando movie) dell’evoluzione delle lemniscate al
crescere di n.
d) Applicare quindi Arnoldi, lemniscata, movie lemniscata alla matrice A 100 ×
100, i cui elementi sono distribuiti secondo una normale a media nulla e deviazione
standard 10, cambiando l’elemento A(1, 1) in 1.5, per verificare le immagini della
Fig. 34.3 (e della copertina) del libro di testo. Studiare anche la convergenza del
metodo all’autovalore con parte reale più grande, verificando la Fig. 34.4 del libro.
Algebra Lineare Numerica - A.A. 2011-2012
Laboratorio Matlab nr.11
Exercise 1
a) Write a function Arnoldi that computes the Arnoldi iteration for a given matrix A
and an initial vector b.
b) Write a program lemniscate which plots Arnoldi lemniscates, as level curves in
the complex plane (using the MATLAB command contour), of the characteristic
polynomial of the hessenberg matrix Hn obtained after n Arnoldi iterations. Plot
also the exact eigenvalues and the Ritz values of A.
c) Write a program movie lemniscata that stores at every iteration n the image of
the lemniscate, using getframe, and shows the the evolution of the lemniscate as n
is increasing, with the command movie. memorizza l’immagine della lemniscata di
Arnoldi ad ogni passo n
d) Apply Arnoldi, lemniscata, movie lemniscata to the 100×100 matrix A, whose
entries are independent random numbers from the real normal distribution of mean
0 and standard deviation 10, but changing the element A(1, 1) to 1.5, in order to
obtain Figure 34.3 of the text book. Analyse the convergence of the method to the
eigenvalue with the largest real part, verifying Figure 34.4.
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