CONGRUENZA
In geometria due figure si dicono congruenti quando hanno la stessa forma e dimensione. Cioè
quando è possibile trasformare l’una nell’altra per mezzo di una isometria ovvero per mezzo di
traslazioni, rotazioni e riflessioni.
Assiomi di congruenza
1) Primo assioma di congruenza:
- ogni figura è congruente a se stessa (proprietà riflessiva);
- se la figura F1 è congruente alla figura F2, allora F2 è congruente a F1 (proprietà simmetrica);
- se la figura F1 è congruente alla figura F2 e la figura F2 è congruente a F3, allora anche F1 è
congruente a F3 (proprietà transitiva);
2) Congruenza di punti, semirette, rette, piani e semipiani:
- tutti i punti sono congruenti fra loro. La stessa cosa vale per le rette, semirette, i piani e i
semipiani.
La congruenza e i segmenti
Somma di due segmenti= diciamo somma di due segmenti il segmento somma di due
segmenti rispettivamente congruenti a quelli dati e adiacenti fra loro.
Differenza di due segmenti= diciamo differenza di due segmenti AB e CD, con AB maggiore
CD, il segmento che, addizionato a CD, dà come somma AB.
3) Somme e differenze di segmenti congruenti sono congruenti. (assioma di congruenza)
Multipli dei segmenti= un segmento AB si dice multiplo di CD secondo il numero naturale n
maggiore di 1 se è congruente alla somma di n segmenti congruenti a CD.
4) Assioma di divisibilità dei segmenti:
- esiste, ed è unico, il sottomultiplo di un segmento secondo
qualunque numero naturale diverso da zero.
Punto medio= dato un segmento AB, si dice punto medio M di AB il punto che lo divide in
due segmenti congruenti.
La congruenza e gli angoli
Due angoli sono congruenti se hanno la stessa ampiezza. L’ampiezza è la dimensione
dell’angolo.
La somma di angoli= l’angolo somma di due angoli consecutivi è l’angolo che ha come lati i
due lati non comuni.
La differenza di angoli= l’angolo differenza fra due angoli sovrapposti è l’angolo che come
lati i due lati non comuni.
5) Somme o differenza di angoli congruenti sono congruenti.
Multiplo di un angolo= un angolo a si dice multiplo di un angolo b secondo il numero naturale
n maggiore di 1 se è la somma di n angoli congruenti a b.
Scriveremo: a= (congruente) n (numero a caso) x b
6) Divisibilità degli angoli:
- esiste ed è unico il sottomultiplo di un angolo, secondo un qualunque numero naturale n
diverso da zero.
Bisettrice di un angolo= la bisettrice di un angolo è la semiretta che lo divide in due parti
congruenti.
Angolo retto= si dice angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto viene
diviso da una bisettrice.
Angolo acuto= si dice angolo acuto ogni angolo minore di un angolo retto.
Angolo ottuso= si dice angolo ottuso ogni angolo maggiore di un angolo retto e minore di un
angolo piatto.
I primi teoremi della geometria euclida
1) angoli complementari di angoli congruenti= due angoli complementari di angoli congruenti
sono congruenti. Complementari= se la loro somma è un angolo retto.
2) angoli supplementari di angoli congruenti= due angoli supplementari di angoli congruenti
sono congruenti. Supplementari= se la loro somma è un angolo piatto.
3) angoli opposti al vertice= due angoli opposti al vertice sono congruenti.
Triangoli
Classificazione dei triangoli
Un triangolo si dice:
1) equilatero se tutti e tre i suoi lati sono congruenti.
2) isoscele se due suoi lati sono congruenti.
3) scaleno se i suoi lati sono a due a due non congruenti.
Un triangolo si dice:
1) acutangolo se ha tutti gli angoli acuti;
2) ottusangolo se ha un angolo ottuso;
3) rettangolo se ha un angolo retto;
Segmenti notevoli di un triangolo
In un triangolo si possono tracciare alcune corde importanti alle quali si danno un nome
particolare:
1) si chiama bisettrice di un angolo di un triangolo il segmento costituito dai punti della
bisettrice di quell’angolo che appartengono al triangolo;
2) si chiama mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio
del lato opposto;
3) si chiama altezza relativa a un lato il segmento avente un estremo nel vertice opposto a
quel lato e l’altro estremo sul lato stesso che forma con quest’ultimo due angoli retti;
Congruenza nei triangoli
Triangoli congruenti= due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i
tre lati e i tre angoli.
Primo criterio di congruenza per i triangoli:
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso
sono congruenti.
Secondo criterio di congruenza per i triangoli:
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono
congruenti.
Terzo criterio di congruenza per i triangoli:
Due triangoli che hanno tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti.
Proprietà dei triangoli isosceli
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruente.
1) Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.
2) In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa
alla base.
3) Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.
4) Un triangolo è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti.
