1.Mercato Obbligazionario

Università degli Studi di Cagliari
Facoltà di Economia
Economia del Credito e della Finanza
Parte II: Mercati Finanziari
1. Mercato Obbligazionario
Docente: Massimo Pinna
A.A. 2011/2012 - I semestre
Economia del Credito e della Finanza
Indice
Parte II: Mercati Finanziari
Introduzione
3
Prezzi e rendimenti
8
Rating
26
Struttura a termine dei tassi di interesse
34
Rischio tasso di interesse
67
2
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Introduzione
Parte II: Mercati Finanziari
3
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Introduzione
Un obbligazione è un diritto su una serie di flussi di cassa
periodici futuri.
Le obbligazioni sono spesso chiamati titoli a reddito fisso
(fixed
fixed income securities)
securities in quanto promettono un flusso di
reddito prefissato o alternativamente un flusso di reddito
determinato secondo una formula specificata.
Gli elementi fondamentali di un obbligazione sono: valore
nominale (face
face value),
value cedola (coupon
coupon) e scadenza (maturity
maturity).
Le obbligazioni si dividono in: con cedola (fissa o variabile) e
senza cedola (zero
zero--coupon).
coupon
Le obbligazioni con cedola fissa si dividono in: tasso fisso,
fisso
step up (cedola crescente) e step down (cedola decrescente).
Le obbligazioni con cedola variabile si dividono in: tasso
variabile (floater
floater) e reverse floater.
floater
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Introduzione
Tipologie di obbligazioni:
Government Bonds (titoli di Stato) – titoli di debito emessi da
stati sovrani, rappresentano lo strumento di debito meno
rischioso sul mercato;
Corporate Bonds (obbligazioni societarie) – titoli di debito
emessi da aziende private, a differenza dei bond governativi
presentano un rischio di credito (credit risk) remunerato da un
rendimento differenziale chiamato spread
spread;
Callable Bonds (obbligazioni richiamabili) – obbligazioni con
una clausola a favore dell’emittente che permette il riacquisto
(rimborso anticipato) a un prezzo prestabilito prima della
scadenza, di norma il diritto al rimborso anticipato non opera
nei primi anni di vita dell’obbligazione (call protection). Tale
diritto dell’emittente è remunerato attraverso un tasso
cedolare superiore o attraverso un prezzo di emissione
inferiore;
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Introduzione
Puttable Bonds – titoli analoghi ai Callable Bonds ma il cui
diritto di rimborso anticipato è a vantaggio del sottoscrittore. il
costo di tale diritto del sottoscrittore è un minore tasso
cedolare;
Convertible Bonds (obbligazioni convertibili) – obbligazioni
che incorporano il diritto di conversione (a vantaggio del
sottoscrittore) in un numero specificato di azioni
dell’emittente, il costo di tale diritto del sottoscrittore è un
minore tasso cedolare;
Reverse Convertible Bonds – obbligazioni che subordinano il
rimborso del capitale investito al prezzo futuro di un’azione o
di un paniere di azioni. Se alla scadenza del titolo, il prezzo
dell’azione (o del paniere di azioni) è superiore o uguale a un
valore prestabilito, il sottoscrittore ottiene il rimborso del
capitale investito. In caso contrario, il sottoscrittore non viene
rimborsato in contanti ma in titoli cioè con un certo numero di
azioni. Tale diritto dell’emittente è remunerato attraverso un
tasso cedolare superiore o attraverso un prezzo di emissione
inferiore;
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Introduzione
Warrant Bonds – titoli analoghi ai Convertible Bonds ma il cui
diritto di conversione (Warrant) è separabile dall’obbligazione
e le azioni oggetto di conversione possono essere
dell’emittente o di altra società;
Asset-Backed Bonds (o ABS, asset-backed securities) –
Assetobbligazioni i cui flussi (in termini di interessi e di capitale)
sono collegati ai flussi di cassa associati a un insieme di
attività vincolate al servizio del debito. Tipicamente mortgagebacked securities (cartolarizzazione di mutui ipotecari);
Indexed Bonds – (obbligazioni indicizzate) obbligazioni il cui
tasso cedolare e/o valore di rimborso varia al variare di un
determinato indice, generalmente un indice dei prezzi
(inflazione);
Equity Linked Bonds – obbligazioni il cui rimborso dipende
dall’andamento di un parametro cui il titolo è ‘agganciato‘
(linked). Il parametro può essere un indice di borsa, un paniere
di azioni o un fondo comune di investimento;
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Prezzi e rendimenti
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
Il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei flussi di
cassa futuri.
Il tasso di sconto utilizzato deve incorporare i premi per il
rischio relativi alle caratteristiche specifiche del titolo quali:
rischio di credito, rischio di liquidità, rischio di rimborso
anticipato (per i titoli callable) etc.
Inizialmente assumiamo un unico tasso di interesse per tutte
le scadenze (questa assunzione verrà rilassata in seguito).
I flussi di cassa di un obbligazione con cedola sono
rappresentati dalle cedole periodiche (coupon) e dal rimborso
a scadenza (par value at maturity).
Quindi il prezzo di un obbligazione è pari al valore attuale delle
cedole + il valore attuale del valore nominale:
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
Esempio: tasso cedolare annuo 8%, periodicità semestrale,
scadenza 30 anni e valore nominale 1000.
Supponiamo che il tasso di interesse annuo di mercato sia
pari anch’esso al 8%, il prezzo del titolo è:
Il valore attuale del flusso cedolare è pari a 904.94 e il valore
attuale del valore nominale è 95.06, quindi il prezzo del bond è
1000 (il valore nominale). Questo risultato è facilmente
intuibile per il fatto che tasso cedolare e tasso di sconto
coincidono in questo esempio.
Supponiamo ora che il tasso di interesse di mercato salga al
10% (5% semestrale). Il V.A. delle cedole diventa 757.17 e il
V.A. del valore di rimborso 53.54, quindi il prezzo del bond
sarà 810.71.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
La figura sottostante riporta il prezzo dell’obbligazione
descritta nell’esempio in funzione del tasso di interesse di
mercato.
La pendenza negativa mostra la nota relazione inversa tra
prezzi e rendimenti.
Nella
figura
possiamo
individuare i 2
prezzi trovati in
precedenza
in
corrispondenza
del
tasso
di
interesse pari al
8% e al 10%.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
Possiamo notare che la forma della curva implica che l’effetto
di un aumento o di una diminuzione nel tasso di interesse sul
prezzo del bond non è simmetrico, un aumento del tasso
produce una riduzione di prezzo inferiore rispetto
all’incremento di prezzo che risulterebbe da una diminuzione
del tasso di pari entità.
Questa proprietà della relazione prezzo-rendimento dei bond è
chiamata Convexity (convessità).
Questo effetto curvatura riflette il fatto che un aumento
progressivo nei tassi di mercato risulta in riduzioni
progressivamente inferiori nel prezzo del bond.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
Come è noto, un bond quota alla pari quando il suo tasso
cedolare è uguale al tasso di interesse di mercato.
In
questa
circostanza
l’investitore
riceve
un’equa
compensazione, per l’impiego del capitale nel tempo, dal
flusso cedolare del titolo. Nessun ulteriore capital gain è
necessario per ottenere il rendimento richiesto.
Quando il tasso cedolare di un obbligazione è inferiore al
tasso di mercato, l’investitore non ottiene dal solo pagamento
delle cedole il rendimento che altrimenti otterrebbe
impiegando ai correnti tassi di mercato.
Per ricevere un rendimento equo dall’impiego del capitale
l’investitore richiede un ritorno anche dall’apprezzamento del
capitale sotto forma di capital gain. Di conseguenza un titolo
con tasso cedolare inferiore al tasso di mercato deve quotare
sotto la pari (discount bond) per risultare ugualmente attraente
per gli investitori.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
Viceversa, se il tasso cedolare è maggiore del tasso di
mercato l’obbligazione quoterà sopra la pari.
Gli investitori domanderanno il bond (facendone lievitare il
prezzo) finché il suo rendimento (tenuto conto della perdita in
conto capitale) non risulterà allineato con quello di mercato.
La figura illustra il tipico
percorso
seguito
dal
prezzo dei titoli sopra e
sotto la pari al trascorrere
del tempo. Il premium
bond decresce fino a
raggiungere
il
valore
nominale a scadenza e
viceversa
il
discount
bond cresce nel tempo
fino
ad
uguagliare
anch’esso
il
valore
nominale a scadenza.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
Nei mercati finanziari le obbligazioni vengono quotate al corso
secco (flat price) ovvero escludendo il rateo interesse
(accrued interest) della cedola in corso.
Acquistando il bond tra 2 date di stacco cedola il compratore
deve riconoscere al venditore il rateo interesse maturato fino
al momento della transazione.
Il rateo si calcola come: cedola X n. giorni da ultima cedola /
n. giorni tra le 2 cedole.
Il prezzo complessivo pagato dal compratore viene definito
corso tel quel (invoice price) ed è pari alla somma di corso
secco e rateo interessi.
Corso secco e tel quel coincidono solo se la transazione
avviene in coincidenza di una data di stacco cedola.
Parte II: Mercati Finanziari
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Prezzi e rendimenti
Nei mercati finanziari la metodologia standard di calcolo del
rendimento di un’obbligazione è quella del yield to maturity
(YTM) o rendimento a scadenza o tasso interno di rendimento
(TIR).
Quest’ultimo è definito come quel tasso di interesse che
uguaglia il valore attuale dei flussi di cassa di un bond al suo
prezzo.
Esempio: tasso cedolare annuo 8%, periodicità semestrale,
scadenza 30 anni e prezzo di mercato di 1276.76, il TIR si
trova risolvendo per r la formula del prezzo di un bond
Usando excel (o una calcolatrice finanziaria) troviamo che r è
pari al 3% semestrale. Quello trovato è l’yield to maturity
semestrale.
Parte II: Mercati Finanziari
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Prezzi e rendimenti
Nei mercati finanziari la convenzione standard è quella di
riportare tassi di rendimento su base percentuale annua (APR
APR
– annual percentage rate).
La prassi internazionale (mercati USA e UK) utilizza l’interesse
semplice per annualizzare rendimenti espressi in frazione
d’anno (bond equivalent yield), nel nostro esempio il
rendimento su base annua è pari al 6% (3% X 2).
Nel mercato italiano si utilizza il metodo dell’interesse
composto per annualizzare tassi di rendimento in frazione
d’anno (capitalizzazione frazionata), in questo caso si parla di
tasso di rendimento effettivo (TRE), nel nostro esempio
(1+3%)^2 -1 = 6.09%.
Nel seguito di questo corso, se non diversamente specificato,
si utilizzerà il metodo dell’interesse semplice e si indicherà il
rendimento annuo ottenuto come TIR o YTM. Qualora si
utilizzi la capitalizzazione frazionata (interesse composto) si
specificherà che il rendimento ottenuto è il TRE.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
L’yield to maturity può essere interpretato come il tasso di
rendimento composto dell’investimento nell’obbligazione
sotto l’assunzione che il titolo sia mantenuto fino a scadenza e
che le cedole siano reinvestite allo stesso YTM.
In passato si utilizzava una definizione di rendimento che
ignora il trascorrere del tempo e il reinvestimento delle
cedole, questo è il tasso di rendimento immediato (current
current
yield) e si calcola come rapporto tra cedola annua e prezzo.
yield
Nel nostro esempio 80 / 1276.76 = 6.27%.
Il semplice esempio proposto illustra una regola generale
premium bonds
bonds),
nelle obbligazioni. Per i bond sopra la pari (premium
ovvero il cui prezzo è superiore al valore nominale, il tasso
cedolare (coupon rate) è maggiore del rendimento immediato
(current yield) che a sua volta è maggiore dell’YTM.
Viceversa per le obbligazioni che quotano sotto la pari
(discount
discount bonds),
bonds ovvero il cui prezzo è inferiore al valore
nominale, tali relazioni sono invertite.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
L’yield to maturity è calcolato assumendo che il bond sia
portato fino a scadenza. Cosa accade se l’obbligazione è
callable?
La figura sottostante illustra il rischio derivante dalla clausola
call per l’investitore. La linea continua rappresenta il prezzo
di un bond ordinario (straight), ovvero non-callable, con
valore nominale 1000, cedola 8% e scadenza 30 anni.
Possiamo osservare la
nota relazione inversa
tra prezzo e rendimento.
Per livelli di tasso di
interesse bassi il prezzo
è
significativamente
alto.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
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Prezzi e rendimenti
La linea tratteggiata rappresenta un obbligazione identica ma
callable al 110% del valore nominale, ovvero richiamabile da
parte dell’emittente a un prezzo di 1100.
Quando il tasso di interesse di mercato cala il prezzo del
bond sale, ma la clausola call permette all’emittente di
riacquistarlo al prezzo prestabilito (call price) ponendo un
“tetto” alla crescita del prezzo.
In caso di esercizio
della call (tassi calanti)
l’emittente
può
indebitarsi
a
tassi
inferiori
mentre
l’investitore otterrà ora
sul mercato rendimenti
più bassi per la stessa
tipologia di titolo.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Prezzi e rendimenti
L’YTM o TIR si utilizza ex-ante per quantificare il rendimento
prospettico di un bond, ipotizzando di reinvestire le cedole al
medesimo YTM.
Per valutare le performance realizzate ex-post si utilizza un
metodo chiamato del rendimento composto realizzato.
realizzato
Esempio: tasso cedolare annuo 10%, periodicità annuale,
scadenza 2 anni, valore nominale 1000 e prezzo di mercato alla
pari. L’YTM è ovviamente 10%.
La prima cedola pari a 100
è reinvestita al 10% e al
termine
dell’anno
successivo sarà cresciuta
a
110.
A
scadenza
l’investitore avrà ricevuto
in totale 1210.
Parte II: Mercati Finanziari
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Prezzi e rendimenti
Il tasso composto di crescita del capitale investito si calcola
facilmente come:
Ovviamente, applicando un tasso di reinvestimento delle
cedole uguale all’YTM il rendimento composto realizzato
coincide con questo.
Se il tasso di reinvestimento è superiore all’YTM anche il
rendimento composto realizzato sarà superiore, e viceversa se
applichiamo un tasso di reinvestimento delle cedole inferiore
all’YTM.
Supponiamo che il tasso di reimpiego delle cedole sia pari
all’8%, al termine dell’anno successivo la prima cedola sarà
cresciuta a 108. A scadenza l’investitore avrà ricevuto in
totale 1208.
Parte II: Mercati Finanziari
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Prezzi e rendimenti
Il rendimento composto
realizzato si trova come il
tasso composto di crescita
del capitale investito:
Questo semplice esempio evidenzia la maggiore criticità
dell’yield to maturity, ovvero l’assunzione di reinvestimento
delle cedole allo stesso tasso.
Per questo motivo in alcune applicazioni si utilizza l’analisi di
scenario (scenario
scenario o horizon analysis),
analysis in cui il tasso di
reinvestimento delle cedole viene ipotizzato sulla base di
previsioni sull’andamento futuro dei tassi di interesse.
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Prezzi e rendimenti
Abbiamo visto che l’YTM assume la detenzione del titolo fino a
scadenza. Nel caso in cui un bond sia venduto prima della
scadenza, un utile misura di rendimento ex-post è l’Holding
Holding
Period Return (HPR
HPR), ovvero il rendimento nel periodo di
detenzione del titolo.
L’HPR si calcola come la percentuale di incremento
dell’investimento (incluse le cedole) in un dato periodo:
Nel caso in cui il periodo di detenzione sia diverso dall’anno si
procede all’annualizzazione utilizzando l’interesse composto:
Parte II: Mercati Finanziari
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Prezzi e rendimenti
Oltre ai titoli con cedola sul mercato si scambiano anche titoli
senza cedola o Zero
Zero--Coupon bond (ZC
ZC), il cui rendimento
deriva unicamente dal differenziale tra prezzo di emissione e
valore di rimborso. Gli ZC hanno un solo pagamento a
scadenza.
Esempi di zero-coupon sul mercato italiano sono i BOT (per le
scadenze inferiori o pari all’anno) e i CTZ (per le scadenze da 1
a 2 anni).
Per scadenze più lunghe, vengono creati e negoziati titoli
denominati STRIPS (Separate Trading of Registered Interest
and Principal of Securities) attraverso la separazione delle
cedole e del rimborso a scadenza di un titolo di Stato.
Ad esempio un bond con scadenza 10 anni e cedole semestrali
può essere diviso in 20 ZC con scadenze da 6 mesi a 10 anni
separandone le cedole e uno ZC con scadenza 10 anni
separando il rimborso a scadenza (mantello). La separazione
delle cedole dal mantello (principal) è chiamata Coupon
Coupon-Stripping.
Stripping
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Rating
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Rating
I bond promettono un flusso futuro di pagamenti (cedole e
rimborso). Alcuni emittenti (tipicamente governi sovrani) sono
considerati privi di rischio di insolvenza (default
default risk
risk), ma
diverse tipologie di emissioni quali le obbligazioni societarie
(corporate
corporate bond)
bond sono soggette al cosiddetto rischio di
credito (credit
credit risk).
risk
rating, le più note agenzie di
Il rischio di credito è misurato dal rating
rating sono: Moody’s
Moody’s, Standard & Poor’s e Fitch
Fitch. Queste
assegnano alle emissioni obbligazionarie un giudizio (in
lettere) che riflette la loro valutazione sul rischio di insolvenza
dell’emittente.
Il rating migliore è AAA (S&P e Fitch) / Aaa (Moody’s). Moody’s
gradua ogni classe di rating con numeri da 1 a 3 (es. Aa2)
mentre S&P e Fitch usano i simboli + e – (es. AA-).
I bond con rating BBB (S&P e Fitch) / Baa (Moody’s) o
superiori vengono definiti investment
investment--grade
grade, mentre quelli
con rating inferiore speculative
speculative--grade o junk bonds (bond
spazzatura) o high
high--yield bonds.
bonds
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Rating
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Rating
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S&P
DEFINIZIONE DI RATING PER TITOLI A LUNGO TERMINE
Moody's
AAA
Ottima qualità della società debitrice con rischio minimo per
gli investimenti. La capacità dell’emittente di coprire gli oneri
finanziari è eccellente. I titoli sono effettivamente sicuri.
Aaa
AA+
AA
AA-
Buona qualità della società debitrice. Elevato livello di
copertura degli oneri finanziari.
Aa1
Aa2
Aa3
A+
A
A-
L’affidabilità creditizia è sempre buona; in caso di mutamenti
congiunturali o politici, potrebbe tuttavia subire qualche
conseguenza negativa.
A1
A2
A3
BBB+
BBB
BBB-
La società è ancora in grado di provvedere adeguatamente al
rimborso del proprio debito, ma in condizioni economiche
avverse potrebbe avere qualche problema di solvibilità.
Baa1
Baa2
Baa3
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1. Mercato Obbligazionario
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Rating
S&P
DEFINIZIONE DI RATING PER TITOLI A LUNGO TERMINE
Moody's
BB+
BB
BB-
Le obbligazioni di questa categoria e delle seguenti hanno
carattere speculativo. Il servizio di debito sembra essere
assicurato solo se le condizioni congiunturali rimangono stabili
o migliorano.
Ba1
Ba2
Ba3
Non vi sono le premesse per un investimento sicuro. La
sicurezza che la società possa far fronte ai suoi oneri per un
lungo periodo è minima.
B1
B2
B3
B+
B
BCCC+
CCC
CCC-
Caa1
Caa2
Caa3
Le obbligazioni di questa categoria sono altamente
speculative. Simili titoli diventano spesso inesigibili.
Ca
C
Probabilità minima di un pagamento del servizio completo e
puntuale.
C
D
Il debitore è in fallimento o comunque molto vicino ad una
situazione fallimentare. Probabilità minime di recupero anche
solo di una parte del prestito
D
CC
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La società presenta una scarsa solidità patrimoniale,
accompagnata da seri problemi di copertura degli impegni
finanziari; la solvibilità che ne consegue è dubbia.
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Rating
Le agenzie di rating formulano il loro giudizio principalmente
sull’andamento di alcuni indicatori finanziari:
Coverage ratios – (indici di copertura) rapporti tra utili e costi
fissi, ad esempio EBIT/interessi
EBIT/interessi. Livelli bassi nei coverage
ratios indicano potenziali difficoltà nel fronteggiare i costi
fissi;
Leverage ratio – (leva finanziaria) D/E o debt to equity
equity. Una
leva finanziaria elevata indica potenziali difficoltà nel servizio
del debito ( uscite di cassa per interessi e capitale);
Liquidity ratios – (indici di liquidità) rapportano impieghi e
fonti a breve termine, i due indici più usati sono il current ratio
(indice di disponibilità) ovvero il rapporto tra attivo circolante
e passività a breve e il quick ratio (indice di liquidità o acid
test) cioè il rapporto tra attività immediate (è escluso il
magazzino) e passività a breve. Indicano la capacità di
fronteggiare gli impegni a breve con le attività più liquide;
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Rating
Profitability ratios – (indici di redditività) ad esempio ROI
(return on investments) e ROE (return on equity), sono
indicatori della salute finanziaria generale dell’emittente.
Emittenti con alti indici di redditività, in particolare il ROI,
hanno maggiore facilità nel raccogliere fondi sul mercato
perché i loro investimenti risultano profittevoli;
Cash flow to debt ratio – (rapporto flussi di cassa/debito).
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Rating
Per compensare il rischio di insolvenza, i corporate bond
devono offrire un default premium ovvero un premio per il
rischio di credito.
Il default premium è la differenza tra il rendimento di un
corporate bond e di un titolo di stato con pari caratteristiche.
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Struttura a termine dei tassi di interesse
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Struttura a termine dei tassi di interesse
Nella sezione precedente abbiamo usato, per semplicità, lo
stesso tasso di interesse per scontare flussi con scadenze
diverse.
Nei mercati osserviamo tassi differenti per scadenze differenti
e, di norma, tassi di interesse più elevati per titoli a più lunga
scadenza.
Il tasso di interesse per un dato intervallo di tempo è chiamato
tasso di interesse di periodo (short
short interest rate
rate).
Supponiamo che gli investitori si attendano tassi annuali di
periodo per i prossimi 4 anni come indicato in tabella:
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Questi tassi di periodo non sono visibili esplicitamente sul
mercato, sono tassi impliciti desumibili da prezzi e rendimenti
di bond con scadenze differenti.
Ad esempio il prezzo di uno zero-coupon che rimborserà 1000
tra 1 anno sarebbe pari a 1000/1.08 = 925.93, e quello di uno
ZC con scadenza 2 anni:
841.75 è il valore attuale di un flusso pari a 1000 pagato tra 2
anni, ovvero investendo tale somma oggi otterremmo 841.75 X
(1.08) = 909.09 dopo 1 anno e 909.09 X (1.10) = 1000 al termine
del secondo anno.
In generale possiamo trovare il valore attuale di un Euro
ricevuto dopo n periodi utilizzando i tassi di periodo da 1 a n:
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
In questo modo possiamo trovare anche i prezzi di due ZC a 3
e 4 anni come esposto nella tabella seguente:
Dai prezzi dei bond possiamo ricavare i relativi YTM,
ricordando che l’YTM è il tasso di sconto che uguaglia il valore
attuale dei flussi di un bond al suo prezzo. Poiché il tasso di
periodo varia nel tempo, l’YTM è un tasso medio applicato a
tutti i flussi del bond indipendentemente dalla loro
manifestazione temporale.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Ad esempio, l’YTM dello ZC a 2 anni visto in precedenza è il
tasso che soddisfa la seguente uguaglianza:
ovvero 8.995%. Mentre otteniamo che l’YTM di quello a 3 anni
è pari a 9.660% risolvendo:
Ripetendo lo stesso procedimento per il bond rimanente
otteniamo i risultati riportati in tabella:
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
A questo punto possiamo riportare gli YTM trovati per i 4 bond
in un grafico (con le scadenze in ascissa) e ottenere la yield
curve o curva dei rendimenti:
rendimenti
La curva in figura
presenta
la
“normale” pendenza
positiva,
ovvero
rendimenti crescenti
con le scadenze.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Nei mercati, tuttavia, si osservano spesso diverse forme di
curva dei rendimenti. Nella figura seguente riportiamo 4 tipici
esempi:
La prima figura rappresenta una yield curve inclinata
negativamente (downward-sloping) o invertita, la seconda una
curva inclinata positivamente (upward-sloping), la terza
inclinazione positiva sulle scadenze brevi e negativa su quelle
lunghe e la quarta una curva piatta (flat curve).
Parte II: Mercati Finanziari
40
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
L’YTM di uno zero-coupon con una determinata scadenza è
chiamato tasso spot (spot
spot rate)
rate per quella scadenza.
Dagli esempi precedenti notiamo che i tassi spot differiscono
dai tassi di periodo (short rate) come riportato in figura:
Parte II: Mercati Finanziari
41
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Possiamo notare che il tasso spot a 2 anni (YTM dello ZC a 2
anni) è vicino alla media dei 2 tassi short dei primi 2 anni.
Più precisamente, possiamo esprimere il prezzo dello ZC come
valore attuale del rimborso a scadenza utilizzando come tasso
di sconto indifferentemente l’YTM o la sequenza dei 2 tassi di
periodo:
Da questa relazione isoliamo la seguente uguaglianza:
ovvero
Parte II: Mercati Finanziari
42
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Allo stesso modo possiamo trovare gli YTM dei rimanenti 2
bond in funzione degli short rate come:
In conclusione, abbiamo trovato che il tasso spot di una data
scadenza si trova come media degli short interest rate per pari
orizzonte temporale. Poiché ci troviamo in un regime di
interesse composto, la media da applicare non è aritmetica ma
una media geometrica.
Parte II: Mercati Finanziari
43
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Negli esempi precedenti abbiamo visto come prezzare uno ZC.
La stessa metodologia si applica alle obbligazioni con cedole
periodiche: scontiamo ogni flusso al corrispondente tasso
spot.
Esempio: bond a 3 anni, valore nominale 1000 e cedola 8%
annua. Applichiamo i tassi spot utilizzati negli esempi
precedenti:
P=
80
80
1080
+
+
= 960.41
1.08 1.08995 2 1.09660 3
Ovvero, abbiamo considerato i flussi del bond come singoli ZC
e li abbiamo valutati indipendentemente. Il valore
dell’obbligazione è la somma dei valori attuali dei singoli
flussi.
Parte II: Mercati Finanziari
44
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
L’YTM di tale obbligazione è 9.58%, leggermente inferiore a
quello dello ZC a 3 anni incontrato in precedenza.
Questo risultato non deve sorprendere. Il bond con cedola può
essere considerato come un portafoglio di ZC (uno ZC per
ogni flusso), di conseguenza il suo rendimento è la media
ponderata dei rendimenti dei singoli ZC che lo compongono.
Nell’esempio, l’YTM del titolo con cedola è molto vicino a
quello dello ZC con pari scadenza in quanto il peso del flusso
al terzo anno (cedola + rimborso) è molto superiore ai pesi dei
flussi dei primi due anni.
Parte II: Mercati Finanziari
45
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Finora abbiamo parlato di YTM (assumendo il possesso del
titolo fino a scadenza). Quale sarà l’HPR dei singoli titoli
supponendo di liquidare l’investimento dopo 1 anno?
Assumiamo (questa semplificazione sarà eliminata nelle
pagine successive) che i tassi short impliciti nei prezzi dei
bond coincidano con i tassi di interesse che effettivamente si
realizzeranno nel mercato nei periodi futuri.
Tutti i bond su questo mercato devono offrire il medesimo
rendimento (atteso) per il medesimo periodo di possesso. Se
ciò non fosse vero nascerebbero delle opportunità di
arbitraggio che riallineerebbero i rendimenti.
Calcoliamo ora gli HPR a 1 anno peri i primi tre ZC. Lo ZC a 1
anno ha prezzo 925.93, rimborso 1000, di conseguenza il
capital gain è pari a 74.07 e il suo HPR è 74.07/925.93 = 8%
(ovviamente pari al suo YTM poiché la scadenza è 1 anno
come il periodo di possesso).
Parte II: Mercati Finanziari
46
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Lo ZC a 2 anni è pagato oggi 841.75, il tasso short per l’anno
successivo è 10% e di conseguenza il suo prezzo tra un anno
sarà
1000/1.10
=
909.09.
Quindi
l’HPR
è
(909.09 – 841.75)/841.75 = 8%.
Analogamente lo ZC a 3 anni è pagato oggi 758.33, tra un anno
sarà venduto a 1000/(1.10)(1.11) = 819.00. Quindi l’HPR sarà
(819.00 – 758.33)/758.33 = 8%.
Possiamo quindi concludere che se i bond sono prezzati
correttamente (assenza di arbitraggio) avranno tutti lo stesso
HPR per pari periodo.
Il fatto che i titoli con scadenza più lontana hanno YTM
superiori riflette le attese del mercato relativamente ai tassi di
interesse futuri. Nei nostri esempi, i tassi short futuri sono
superiori al tasso di interesse corrente e questo fatto è riflesso
nei rendimenti dei bond.
Parte II: Mercati Finanziari
47
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Nei mercati non possiamo osservare direttamente i tassi
short per i periodi futuri. Osserviamo solo i prezzi e i
rendimenti di obbligazioni con varie scadenze, da questi dati
possiamo inferire i tassi short futuri.
Utilizzando i dati degli esempi precedenti (tabella sottostante),
supponiamo di voler conoscere il tasso short per il terzo anno
dati i prezzi dei bond.
In primo luogo possiamo comparare 2 strategie di
investimento su un orizzonte di 3 anni. La prima è investire in
uno ZC a 3 anni. La seconda è investire in uno ZC a 2 anni e
reinvestire il rimborso a scadenza in uno ZC a 1 anno.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Un investimento di 100, con la prima strategia (YTM 9.660%),
garantisce un capitale a scadenza pari a 100(1.0966)^3 =
131.87.
Parte II: Mercati Finanziari
49
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Con la seconda strategia dopo 2 anni il nostro capitale di 100
sarà cresciuto a 100(1.08995)^2 = 118.80. Reinvestito per un
ulteriore anno crescerà di un fattore pari a
.
Parte II: Mercati Finanziari
50
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
In assenza di arbitraggio le due strategie devono generare lo
stesso montante.
Ovvero
.
.
che implica
e quindi
Più in generale questa relazione tra le due strategie stabilisce
che il rendimento di uno ZC a 3 anni è pari a quello di uno ZC a
2 anni capitalizzato per un ulteriore anno (rolling-over):
In modo tale che
.
In generale la formula per inferire il tasso short futuro,
implicito nei rendimenti degli ZC, è la seguente:
Parte II: Mercati Finanziari
51
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
L’interpretazione di quest’ultima formula è intuitiva. Il
numeratore è il fattore di capitalizzazione di un montante in n
anni mentre il denominatore è il fattore di capitalizzazione per
(n – 1) anni. Di conseguenza il loro rapporto è il tasso di
rendimento di un investimento per un periodo di 1 anno,
dall’anno (n – 1) all’anno n.
In questi esempi, utilizzando il concetto di non-arbitraggio,
abbiamo implicitamente assunto che i tassi short futuri siano
noti.
Nella realtà i tassi di interesse futuri sono incerti e quindi non
osservabili. Per questo motivo i tassi impliciti nei rendimenti
delle obbligazioni vengono chiamati tassi di interesse forward
forward.
Quindi chiamando
calcola come:
Parte II: Mercati Finanziari
il tasso forward per l’anno n, questo si
52
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Equivalentemente possiamo esprimere l’ultima equazione
nella forma:
In questa formulazione il tasso forward è interpretabile come il
tasso di break-even che uguaglia il rendimento di un
investimento in uno ZC a n anni al rendimento di una strategia
rolling-over che investe in uno ZC a (n – 1) anni e reinveste il
montante per un ulteriore anno.
Ovviamente, i rendimenti (realizzati) delle due strategie
coincideranno solo nell’ipotesi in cui il tasso forward
(calcolato oggi) coincidesse con il tasso short che prevarrà nel
mercato nell’anno n.
Posto che il tasso di interesse che effettivamente si realizzerà
in futuro non è prevedibile sulla base dei tassi forward, come
vedremo a breve, questi ultimi non necessariamente
coincidono con i tassi di interesse attesi dal mercato.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Negli esempi precedenti, assumendo che i tassi di interesse
futuri fossero noti, abbiamo argomentato che differenti
strategie di investimento con pari scadenza debbano
produrre uguali rendimenti.
Ad esempio abbiamo visto come un investimento in 2 ZC
annuali consecutivi (strategia rolling-over) avesse lo stesso
rendimento di un investimento in uno ZC a 2 anni:
Nella realtà i tassi futuri non sono noti. Ad esempio,
utilizzando i dati degli esempi precedenti, se il tasso di
interesse è attualmente
e il tasso short atteso per l’anno
successivo
lo ZC a 1 anno prezzerebbe 1000/1.08 =
925.93 e quello a 2 anni 1000/((1.08)(1.10)) = 841.75.
Consideriamo ora un investitore con orizzonte temporale di 1
anno. Egli può acquistare lo ZC a 1 anno e garantirsi un
rendimento dell’8% con certezza o acquistare lo ZC a 2 anni e
venderlo dopo 1 anno.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Dopo un anno, il secondo ZC avrà un anno alla scadenza e se
il tasso di interesse futuro coincidesse con quello atteso
(10%) il suo prezzo sarebbe 909.09 e implicherebbe un HPR
pari all’8%.
Ma nella realtà il tasso di interesse del secondo anno è incerto
ovvero rischioso. Se il tasso futuro si rivelasse superiore a
quello atteso lo ZC si venderebbe a meno di 909.09, viceversa
se il tasso futuro risultasse inferiore a quello atteso.
A questo punto, perché un investitore con orizzonte a 1 anno
dovrebbe acquistare il secondo ZC, che ha identico HPR
atteso (8%) ma è rischioso, piuttosto che acquistare lo ZC a 1
anno che rende l’8% con certezza?
Ovviamente nessun investitore con orizzonte a 1 anno
acquisterà il secondo ZC al prezzo di 841.75, il suo prezzo
dovrà essere inferiore in modo da fornire un rendimento atteso
superiore a compensazione del rischio sul tasso di interesse
futuro.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Ipotizziamo che gli investitori sul mercato siano
prevalentemente di breve periodo e che siano disposti a
comprare lo ZC a 2 anni solo se il prezzo scende a 819. A
questo prezzo l’HPR sale all’11% (909.09/819 = 1.11), quindi il
premio per il rischio è pari al 3% (11% - 8%).
A questi prezzi di mercato (che riflettono l’incertezza sui tassi
futuri) il tasso forward
non coincide più con il valore atteso
del tasso futuro
, l’YTM dello ZC a 2 anni comprato a 819
sarà pari a 10.5% e quindi:
Ovvero
mentre
.
Questo risultato evidenzia il fatto che gli investitori (avversi al
rischio) richiedono un premio per il rischio o premio per la
liquidità (liquidity
liquidity premium)
premium per detenere il bond a scadenza
più lunga. Ovvero deterranno tale titolo solo se il valore atteso
del tasso futuro
sarà inferiore al tasso forward
che
quindi incorporerà il liquidity premium.
Parte II: Mercati Finanziari
56
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Negli esempi precedenti abbiamo visto che investitori con
orizzonte temporale breve non deterrebbero bond a lunga
scadenza se questi non implicassero un tasso forward
superiore al valore atteso del tasso short futuro (liquidity
premium), ovvero
, mentre investitori con orizzonte
temporale a lungo termine richiederebbero
.
In altre parole, entrambe le categorie di investitori richiedono
un premio per detenere bond con scadenze differenti dal loro
orizzonte temporale.
Ipotizzando che gli investitori di breve termine dominino il
mercato, avremo che il tasso forward sarà superiore al tasso
futuro atteso ovvero che il premio per la liquidità sarà positivo.
Per comprendere le diverse implicazioni della presenza o
meno di un premio per la liquidità, consideriamo la situazione
ipotetica in cui i tassi short siano attesi costanti dal mercato,
,
,
etc.
Parte II: Mercati Finanziari
57
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
In assenza di un premio per la liquidità l’YTM a 2 anni si
ricaverebbe come:
Ovvero l’YTM a 2 anni, come quelli su tutte le altre scadenze,
sarebbe pari al10% (curva piatta).
Invece, in presenza di un premio per la liquidità,
superiore a
.
sarebbe
Ad esempio, ipotizzando che
sia pari all’11% e quindi il
premio per la liquidità sia l’1%, per un bond a 2 anni avremmo:
ovvero
Parte II: Mercati Finanziari
.
58
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Allo stesso modo, se anche
è ipotizzato pari all’11%, allora
l’YTM dello ZC a 3 anni sarebbe dato da:
ovvero
.
La curva dei rendimenti in questo scenario sarebbe:
La figura A rappresenta
la tipica forma con
pendenza positiva della
yield
curve.
Tale
risultato è ottenuto con
tassi attesi costanti e
premio per la liquidità
1%.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Se i tassi futuri non sono attesi costanti, anche il premio per
la liquidità potrebbe variare con le scadenze. L’YTM
risulterebbe in questo caso una media dei tassi forward sulle
diverse scadenze. Alcune possibili curve sono illustrate nelle
figure seguenti:
La figura B rappresenta
la tipica forma con
pendenza positiva della
yield
curve.
Tale
risultato è ottenuto con
tassi attesi decrescenti
e premio per la liquidità
crescente.
Parte II: Mercati Finanziari
60
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
La figura C rappresenta una yield curve prima crescente poi
decrescente. Tale risultato è ottenuto con tassi attesi
decrescenti e premio per la liquidità costante.
Parte II: Mercati Finanziari
61
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
La figura D rappresenta una yield curve con pendenza
positiva molto marcata. Tale risultato è ottenuto con tassi
attesi crescenti e premio per la liquidità crescente.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Abbiamo visto in precedenza, assumendo di conoscere i tassi
di interesse futuri, come l’YTM di uno zero-coupon fosse la
media geometrica dei tassi short futuri:
Poiché nella realtà i tassi futuri non sono noti, sostituiamo il
tasso forward al tasso short futuro:
Questa relazione diretta tra rendimenti su diverse scadenze e
tassi forward è fonte di informazioni ricavabili dall’analisi della
curva dei rendimenti (yield curve analysis).
In primo luogo analizziamo i fattori che comportano una yield
curve crescente. Matematicamente, se la curva ha pendenza
positiva allora
è maggiore di
, cioè il tasso forward del
periodo successivo è superiore all’YTM su una data scadenza.
Questo avviene perché l’YTM è una media (anche se
geometrica) di tassi forward.
Parte II: Mercati Finanziari
63
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
Una volta dimostrato che una curva dei rendimenti con
pendenza positiva è sempre associata a un tasso forward
maggiore del tasso spot (YTM corrente), occorre individuare i
fattori che causano il livello dei tassi forward.
I fattori che comportano un determinato livello del tasso
forward sono due, il tasso di interesse atteso e il premio per la
liquidità:
in cui il premio per la liquidità può essere positivo o negativo a
seconda che il mercato sia dominato da investitori
rispettivamente a breve o a lungo termine (sebbene
generalmente si propende per liquidity premia positivi).
Quindi, un tasso forward elevato potrebbe essere dovuto ad
aspettative di tassi crescenti o ad un premio per la liquidità
elevato. Una curva con pendenza positiva non implica
necessariamente aspettative di tassi al rialzo (figure A e B).
Parte II: Mercati Finanziari
64
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
La presenza del liquidity premium rende difficile
l’interpretazione della term structure.
In realtà, la yield curve fornisce utili informazioni sul ciclo
economico (business
business cycle)
cycle nel suo complesso, in quanto i
tassi a lungo termine tendono a salire anticipando un ciclo di
espansione.
Quando la yield curve è ripida (steep) la probabilità di una
recessione è bassa rispetto al caso in cui sia invertita
(pendenza negativa).
La pendenza positiva normalmente osservata sui mercati
fornisce una solida base empirica per un liquidity premium
positivo, i bond a scadenza più lunga offrono generalmente
tassi più alti di quelli a scadenza breve.
In quest’ottica, una curva con pendenza negativa può essere
interpretata come un segnale di tassi attesi in calo. Se il term
premium (lo spread tra i tassi a lunga e a breve) è
normalmente positivo, allora una curva declinata potrebbe
anticipare un calo nei tassi di interesse futuri.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Struttura a termine dei tassi di interesse
La figura riporta i tassi sui T-Bill a 90 giorni e sui titoli di stato
USA a lungo termine dal 1970 al 2000.
Notiamo che i tassi a lunga generalmente superano quelli a
breve, ovvero la yield curve è generalmente crescente. Inoltre,
le eccezioni (differenziale negativo) sembrano anticipare fasi
di tassi a breve in calo.
Nel periodo 19801982 i tassi a breve
sono superiori a
quelli
a
lunga.
Questo biennio è
seguito da una fase
di crollo dei tassi di
interesse.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Nelle sezioni precedenti abbiamo analizzato la relazione
inversa tra tassi d’interesse e prezzi dei bond. Abbiamo visto
inoltre come i tassi di mercato non siano costanti ma varino
nel tempo.
Queste fluttuazioni nei tassi, che si riflettono in variazioni dei
prezzi, rendono gli investimenti in obbligazioni (anche con
rischio di credito nullo come i titoli di stato) rischiosi. Questo è
interesse
il rischio tasso di interesse.
La sensibilità di un obbligazione alle variazioni nei tassi
d’interesse è un elemento fondamentale della valutazione del
suo rischio.
In precedenza abbiamo visto che:
Parte II: Mercati Finanziari
1.
prezzi e tassi sono inversamente correlati, un rialzo dei
tassi comporta un calo dei prezzi e viceversa;
viceversa;
2.
un rialzo dei tassi produce una riduzione di prezzo
inferiore all’incremento di prezzo che risulterebbe da una
diminuzione dei tassi di pari entità (convexity)
(convexity)..
68
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La figura riporta le variazioni percentuali del prezzo di 4 bond
con caratteristiche diverse (cedola, scadenza e YTM iniziale)
al variare dei rispettivi YTM.
I bond A e B differiscono solo per la diversa scadenza.
Notiamo come il secondo esibisca una sensibilità maggiore.
Parte II: Mercati Finanziari
69
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Quest’ultima relazione illustra un’altra proprietà:
3.
i prezzi dei bond a più lunga scadenza sono più sensibili
alle variazioni dei tassi rispetto ai bond a scadenza più
breve..
breve
Notiamo inoltre che sebbene il bond B abbia una scadenza 6
volte maggiore del bond A, la sua sensibilità a cambiamenti
nei tassi è meno di 6 volte rispetto a quella di A. La sensibilità
sembra si crescere con la scadenza ma in misura meno che
proporzionale. Questo soddisfa un’ulteriore proprietà:
4.
Parte II: Mercati Finanziari
la sensibilità dei prezzi dei bond alle variazioni dei
rendimenti cresce a un tasso decrescente rispetto alla
scadenza, ovvero il rischio tasso è meno che
proporzionale rispetto alla scadenza.
scadenza.
70
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
I bond B e C differiscono solo nella cedola. Notiamo che C ha
una sensibilità maggiore. Questo illustra un’altra proprietà:
5. il rischio tasso è inversamente correlato al livello della
cedola.. I prezzi dei bond con cedola alta sono meno
cedola
sensibili rispetto a quelli con cedola bassa.
bassa.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
I bond C e D differiscono solo nell’YTM. Notiamo che C ha
una sensibilità minore. Questo illustra l’ulteriore proprietà:
6.
Parte II: Mercati Finanziari
la sensibilità del prezzo di un bond è inversamente
correlata al livello dell’yield to maturity iniziale del bond
bond..
72
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Le prime 5 proprietà illustrate sono note come le relazioni di
Malkiel, mentre l’ultima è nota come proprietà di Homer
Malkiel
Homer-Liebowitz.
Liebowitz
Queste proprietà dimostrano come la scadenza sia un fattore
determinante del rischio tasso. Ma mostrano anche che non è
l’unico fattore importante, anche cedole e YTM influenzano la
sensibilità ai tassi di interesse.
La tabella seguente riporta i prezzi di 3 bond (con cedola) con
scadenze diverse per 2 livelli di YTM, 8% e 9%. Osserviamo
come il bond più corto perda il 0.94% quando l’YTM passa da
8% a 9%, il secondo perda il 6.50% e il più lungo il 9.20%.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La tabella successiva riporta, invece, i prezzi di 3 zerocoupon con le stesse scadenze. Notiamo subito che per un
pari incremento nell’YTM (da 8% a 9%) gli ZC mostrano
maggiori variazioni nei prezzi.
Questo risultato evidenzia che la scadenza di per se non è un
indicatore sufficiente per valutare la natura a lungo o breve
termine di un investimento.
Abbiamo visto come un bond con cedola possa essere
considerato come un portafoglio di ZC, di fatto la sua
scadenza “effettiva” è una media (ponderata) delle scadenze
dei singoli flussi che lo compongono.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Abbiamo quindi bisogno di una misura che sintetizzi la
scadenza media dei flussi che compongono un’obbligazione
con cedola e che, di conseguenza, sia un indicatore del
rischio tasso di interesse del bond.
Questo indicatore è stato concepito da Frederick Macaulay
nel 1938 ed è di conseguenza chiamato duration di Macaulay
(Macaulay’s duration) o semplicemente duration.
La duration è calcolata come media ponderata delle scadenze
dei singoli flussi (cedole e rimborso). Poiché, come è noto, il
prezzo di un bond è la somma dei valori attuali dei suoi flussi,
il peso attribuito ad ogni flusso è il rapporto tra il VA del
singolo flusso e il prezzo del bond.
Parte II: Mercati Finanziari
75
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La figura mostra i pagamenti relativi a un bond con scadenza
8 anni, cedola annua del 9% e YTM del 10%. L’altezza delle
colonne rappresenta l’entità del flusso e la parte più scura il
VA del flusso (scontato all’YTM).
Notiamo che la duration (5.97 anni) è minore ma non lontana
dalla scadenza dell’ultimo flusso, questo perché nella media
ponderata il flusso relativo al rimborso (pur attualizzato) ha il
peso maggiore.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
I pesi associati ad ogni scadenza, come detto, sono calcolati
come le proporzioni dei VA dei singoli flussi sul prezzo:
la somma dei pesi è ovviamente pari a 1 in quanto il prezzo di
un bond è la sommatoria dei VA dei suoi flussi.
Trovati i pesi, calcoliamo la duration come media ponderata
delle scadenze:
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La tabella seguente mostra come impostare su un foglio di
calcolo la duration di un bond con cedola 8% semestrale e di
uno ZC, entrambi con scadenza 2 anni. Nell’esempio si è
usato un YTM del 10% (5% semestrale).
Notiamo che la duration del bond con cedola (1.8852) è
minore di quella dello ZC (che coincide con la scadenza).
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La figura riporta le formule di excel relative all’esempio
precedente.
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Abbiamo visto come le obbligazioni a lungo termine siano più
sensibili ai movimenti nel tasso di interesse rispetto a quelle
a breve termine. La duration ci permette di quantificare
questa relazione.
In particolare, la variazione del prezzo di un bond
relativamente alla variazione del suo YTM è legata dalla
relazione:
ovvero la variazione proporzionale del prezzo è pari alla
variazione proporzionale dell’YTM moltiplicata per la duration.
Parte II: Mercati Finanziari
80
1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Nella pratica si utilizza quest’ultima relazione in un’altra
forma. Si utilizza il concetto di modified duration (duration
modificata)
e si riscrive l’equazione precedente
come:
si noti che nelle due formule
.
Quindi, la variazione percentuale del prezzo di un bond può
essere espressa come il prodotto tra la variazione
percentuale del suo YTM e la sua modified duration.
Per questo la modified duration può considerarsi la misura
migliore dell’esposizione di un bond al rischio tasso di
interesse. Questa è però, come vedremo, precisa solo per
variazioni piccole dell’YTM, essendo essa proporzionale alla
derivata prima del prezzo rispetto al rendimento:
Parte II: Mercati Finanziari
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1. Mercato Obbligazionario
Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La duration sintetizza la sensibilità di un bond alle variazioni
dei tassi d’interesse, è quindi importante comprendere quali
ne siano i fattori determinanti.
Le caratteristiche di un bond che influenzano la sua duration
sono 3: scadenza, tasso cedolare e YTM.
La figura riporta
la
duration
in
funzione
della
scadenza di bond
con
differenti
cedole e YTM.
Parte II: Mercati Finanziari
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Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
In sintesi, possiamo riassumere le seguenti proprietà per la
duration:
1.
la duration di uno zerozero-coupon è pari alla sua scadenza;
scadenza;
2.
a parità di scadenza, la duration è maggiore quando la
cedola è minore;
minore;
3.
a parità di tasso cedolare, la duration aumenta con la
scadenza;;
scadenza
(questa regola vale sempre per i bond alla pari o sopra la
pari, a volte non è soddisfatta per i bond spazzatura con
prezzi molto sotto la pari)
4.
Parte II: Mercati Finanziari
mantenendo le altre caratteristiche costanti, la duration di
un bond con cedola è maggiore quando il suo YTM è
minore..
minore
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Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
La duration è uno strumento chiave per la valutazione del
rischio di un’obbligazione. Abbiamo già anticipato però che è
una misura accurata solo per piccole variazioni dei tassi.
Abbiamo visto nelle pagine precedenti come la variazione
percentuale del prezzo di un bond fosse pari al prodotto della
modified duration per la variazione del suo rendimento:
se questa relazione fosse corretta, il grafico della variazione
del prezzo sulla variazione del rendimento sarebbe una linea
retta con pendenza negativa uguale alla modified duration.
Ma abbiamo già visto in precedenza (proprietà 2 di Malkiel)
come tale relazione non sia lineare. La duration è quindi
un’ottima approssimazione per piccole variazioni dei tassi,
mentre è una misura meno accurata per ampie variazioni.
Parte II: Mercati Finanziari
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Rischio tasso di interesse
La figura riporta la variazione di prezzo rispetto a variazioni
nel rendimento per un bond a 30 anni, cedola 8% e con YTM
iniziale dell’8%. La modified duration del bond è pari a 11.26
anni.
La linea retta in
figura
rappresenta
la
modified
duration ovvero:
Mentre la linea
curva
rappresenta
la
variazione
effettiva
del
prezzo.
Parte II: Mercati Finanziari
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Rischio tasso di interesse
Possiamo notare come le due linee siano tangenti quando
l’YTM è al suo livello iniziale (variazione pari a zero), e come
per piccole variazioni la linea retta fornisca una buona
approssimazione.
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Rischio tasso di interesse
Notiamo inoltre come la modified duration sottostimi sempre
il reale valore del bond. Sottostima il rialzo del prezzo quando
i tassi calano e sovrastima la perdita quando i tassi crescono.
Parte II: Mercati Finanziari
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Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Quest’ultima relazione è dovuta alla forma convessa della
relazione prezzo/rendimento di un bond. Per questo motivo
tale proprietà delle obbligazioni è chiamata convexity
convexity.
Di fatto la convexity è il tasso di variazione della pendenza
della curva prezzo/rendimento, ovvero la sua derivata
seconda divisa per il prezzo del bond:
La convexity ci permette quindi di migliorare la formula per la
variazione di prezzo in funzione di una variazione del
rendimento:
nella quale i tassi di interesse vanno espressi in decimali.
Notiamo come il primo termine sia quello presente nella
formula con la duration, e come il termine relativo alla
convexity sia sempre positivo.
Parte II: Mercati Finanziari
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Rischio tasso di interesse
Esempio: utilizziamo i dati relativi al bond analizzato nelle
ultime figure, scadenza 30 anni, cedola 8% e YTM iniziale 8%.
Il bond prezza ovviamente alla pari, la sua modified duration è
11.26 e la sua convexity è 212.4.
Ipotizziamo un rialzo del rendimento dall’8% al 10%, il prezzo
del bond scende a 811.46 ovvero perde il 18.85%.
La regola della duration avrebbe previsto:
sovrastimando la perdita.
Includendo anche la convexity avremmo:
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Economia del Credito e della Finanza
Rischio tasso di interesse
Abbiamo quindi visto come la convexity permetta una misura,
sebbene non perfettamente esatta, molto accurata del rischio
di tasso nel caso di variazioni rilevanti dei tassi.
Ipotizziamo ora un rialzo molto minore del rendimento, pari
allo 0.1%, dall’8% all’8.1%. Il prezzo del bond scenderà in
questo caso a 988.85 ovvero subirà una perdita del 1.115%.
La regola della duration avrebbe previsto:
Mentre includendo la convexity:
Notiamo quindi come per variazioni piccole dei tassi la
modified duration fornisca un’ottima approssimazione.
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Rischio tasso di interesse
Abbiamo visto come il termine relativo alla convexity sia
sempre positivo. Questo la rende quindi una caratteristica
attraente delle obbligazioni. Bond con convexity maggiore
guadagnano di più quando i tassi calano e perdono di meno
quando i tassi crescono.
La figura riporta la
relazione
prezzorendimento per 2
bond con identica
duration (al livello
iniziale dell’YTM) ma
differente convexity.
Il
bond
A
ha
convexity maggiore
ed è soggetto a
incrementi di prezzo
maggiori
e
decrementi
minori
rispetto al bond B.
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