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Esame di geometria e algebra
— 28 febbraio 2013 — Traccia I
Laurea Ing.
NOME
COGNOME
1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e1 −e2 , e3 , e4 ), K = L(e1 −e2 , e1 +e2 , e1 ).
Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K.
2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t al variare del parametro reale h:

 x +hy +z +t = −1
2x +y +z +t = −1

hz +ht = −1
e lo si risolva, se è possibile, per h = 1.
3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cosı̀ definita
f (x, y, z) = (x, 3x − 2y, −3x + 3y + z)
(a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f è surgettiva e/o ingettiva.
(b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A è
diagonalizzabile.
4 Fissato nello spazio un riferimento metrico
 R(O, x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni,
 x=0
x=3
y = −t , t ∈ R
rispettivamente r :
, s:
2y + z − 2 = 0

z = 2t
(a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene.
(b) Determinare la distanza tra le due rette.
(c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva

 x=t
y = t2 − 1 , t ∈ R
γ:

z =1+t

 x=t
y=0
attorno alla retta a :
,t ∈ R

z = 1 − 2t
5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica
C : x2 + y 2 − xy − 7x + 8y + 7 = 0
Classificare C e ridurla a forma canonica.
Argomenti teorici
• Dare la definizione di gruppo e di gruppo abeliano. Fornire esempi e controesempi. Dimostrare che
in un gruppo l’unico elemento idempotente è l’elemento neutro.
• Dare le definizioni di autovalore e di autovettore di una matrice quadrata. Dimostrare che autovettori
relativi a due autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
• Scrivere la definizione di minima distanza tra due rette sghembe nello spazio ordinario e mostrare
un metodo per calcolarla.
Traccia I — 1
Esame di geometria e algebra
— 28 febbraio 2013 — Traccia II
Laurea Ing.
NOME
COGNOME
1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e3 −e4 , e1 , e2 ), K = L(e3 −e4 , e3 +e4 , e3 ).
Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K.
2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t

 hx +y +z +t
x +y +z +2t

hy +hz
al variare del parametro reale h:
=2
=2
=2
e lo si risolva, se è possibile, per h = 1.
3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cosı̀ definita
f (x, y, z) = (3x + 2y, −x, −x − 2y + 2z)
(a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f è surgettiva e/o ingettiva.
(b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A è
diagonalizzabile.
4 Fissato nello spazio un riferimento metrico
R(O, x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni,

 x=3
x=0
y=t
rispettivamente r :
, s:
,t ∈ R
2y + z = 0

z = 2 − 2t
(a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene.
(b) Determinare la distanza tra le due rette.
(c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva

 x = 1 − t2
y=t
γ:
,t ∈ R

z =1−t

 x=0
y=t
attorno alla retta a :
,t ∈ R

z = 1 + 2t
5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica
C : x2 + y 2 − xy − 4x + 5y − 5 = 0
Classificare C e ridurla a forma canonica.
Argomenti teorici
• Dare la definizione di campo fornendo esempi e controesempi. Dimostrare che in un campo vale la
legge di annullamento del prodotto.
• Dare le definizioni di applicazione lineare e di nucleo di un’applicazione lineare. Dimostrare che
un’applicazione lineare f : V → U è ingettiva se e solo se il suo nucleo è ridotto al vettore nullo.
• Scrivere la definizione di parametri direttori di una retta e descrivere un modo per calcolarli a seconda
di come viene rappresentata la retta.
Traccia II — 1
Esame di geometria e algebra
— 28 febbraio 2013 — Traccia III
Laurea Ing.
NOME
COGNOME
1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e1 −e3 , e2 , e4 ), K = L(e1 −e3 , e1 +e3 , e1 ).
Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K.
2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t

 x +y +z +ht
x +2y +z +t

hx
+hz
al variare del parametro reale h:
= −2
= −2
= −2
e lo si risolva, se è possibile, per h = 1.
3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cosı̀ definita
f (x, y, z) = (2x, −x + 2y − z, 2x + 4z)
(a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f è surgettiva e/o ingettiva.
(b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A è
diagonalizzabile.
4 Fissato nello spazioun riferimento metrico R(O,
x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni,
x=3
x=0
rispettivamente r :
, s:
x − 2y − z − 1 = 0
x − 2y − z = 0
(a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene.
(b) Determinare la distanza tra le due rette.
(c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva

 x=1−t
y=t
γ:
,t ∈ R

2
z =1−t

 x = 1 + 2t
y=t
attorno alla retta a :
,t ∈ R

z=0
5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica
C : x2 + y 2 − xy − 8x + 7y + 7 = 0
Classificare C e ridurla a forma canonica.
Argomenti teorici
• Dare la definizione di spazio vettoriale V su un campo K. Dimostrare che, per ogni h ∈ K e per ogni
v ∈ V si ha che hv = 0 se e solo se h = 0 oppure v = 0.
• Scrivere le definizioni di applicazione lineare, di nucleo e di immagine di un’applicazione lineare.
Enunciare il teorema della dimensione. Se dim(V) = dim(U) = n, dimostrare che un’applicazione
lineare f : V → U è ingettiva se e solo se è surgettiva.
• Scrivere la definizione di angolo tra una retta e un piano e descrivere un modo per determinarlo.
Traccia III — 1
Esame di geometria e algebra
— 28 febbraio 2013 — Traccia IV
Laurea Ing.
NOME
COGNOME
1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e1 −e4 , e2 , e3 ), K = L(e1 −e4 , e1 +e4 , e1 ).
Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K.
2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t

 x +hy +z +t
x +y +2z +t

hx
+ht
al variare del parametro reale h:
=1
=1
=1
e lo si risolva, se è possibile, per h = 1.
3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cosı̀ definita
f (x, y, z) = (x, −2x + y − 2z, 3x + 4z)
(a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f è surgettiva e/o ingettiva.
(b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A è
diagonalizzabile.
4 Fissato nello spazio un riferimento metrico R(O,
 x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni,
 x=0
x=3
y=t
rispettivamente r :
, s:
,t ∈ R
x + 2y + z − 5 = 0

z = −2t
(a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene.
(b) Determinare la distanza tra le due rette.
(c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva

 x = t2 − 1
y = 1 + t ,t ∈ R
γ:

z=t

 x=0
y = 1 − 2t , t ∈ R
attorno alla retta a :

z=t
5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica
C : x2 + y 2 − xy − 6x + 9y + 9 = 0
Classificare C e ridurla a forma canonica.
Argomenti teorici
• Scrivere la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale. Dimostrare che l’insieme
S delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo Σ di m equazioni in n incognite è un sottospazio
vettoriale di Rn .
• Scrivere la definizione di matrice diagonalizzabile. Enunciare un criterio di diagonalizzabilità. Spiegare per quale motivo una matrice A ∈ Mn (K) avente n autovalori distinti è diagonalizzabile.
• Scrivere la definizione di prodotto scalare tra vettori liberi di V3 e dimostrare la formula che consente
di calcolare tale prodotto, note le componenti dei vettori rispetto ad una base ortonormale.
Traccia IV — 1