A B P O x y

PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (21 gennaio 2011)
Il sistema in ﬁgura, posto in un piano verticale Oxy, è costituito di un’asta rigida omogenea AB
(massa m, lunghezza 2l) i cui estremi sono vincolati a scorrere, senza attrito, sugli assi del riferimento
cartesiano ortogonale Oxy. Un punto P (massa m) è vincolato a muoversi lungo l’asta AB senza
uscirne.
Sul sistema agiscono, oltre alle forze peso, la forza elastica di costante k = mg/l rappresentata in
ﬁgura e una coppia di momento
M = −4mgl cos θk ,
(k : vers Oz)
agente sull’asta.
Supposti i vincoli ideali e introdotte le coordinate lagrangiane ξ e θ indicate in ﬁgura, si chiede:
1) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio ordinarie e di conﬁne del sistema e studiare, poi, la
stabilità di quelle ordinarie;
2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le conﬁgurazioni di equilibrio ordinarie e
calcolare le reazioni vincolari;
3) Scrivere la funzione lagrangiana L del sistema ed integrare le equazioni linearizzate del moto intorno
alla posizione di equilibrio stabile.
Domanda facoltativa: Calcolare la velocità relativa e la velocità di trascinamento del punto P.
k
B
O
x
i
j
θ
P
ξ
A
y
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (3 febbraio 2011)
Il sistema in ﬁgura, posto in un piano verticale Oxy, è costituito di un’asta rigida omogenea AB (massa
m, lunghezza l) incernierata nel suo estremo A ≡ (0, 0).
Sull’asta agisce, oltre alla forza peso, la forza elastica generata da una molla ideale di costante
k = mg/l che collega l’estremo B dell’asta al punto C≡ (0, −l).
Supposti i vincoli ideali e introdotta la coordinata lagrangiana θ indicata in ﬁgura, si chiede:
1) Determinare i semiassi dell’ellissoide centrale d’inerzia dell’asta;
2) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità. 2)′ Supponendo poi
che θ ∈ [0, π], studiare l’eventuale equilibrio delle conﬁgurazioni di conﬁne;
3) Ritrovare le conﬁgurazioni di equilibrio usando le equazioni cardinali della statica e calcolare la
reazione vincolare che si esercita nella cerniera A sia all’equilibrio che in condizioni dinamiche;
4) Scrivere l’equazione di Lagrange del moto e, successivamente, integrare l’equazione linearizzata del
moto nell’intorno della posizione di equilibrio stabile.
C
B
θ
x
A O
y
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (16 aprile 2011)
Il sistema in ﬁgura, posto in un piano verticale Oxy, è costituito di un’asta rigida omogenea AB
(massa m, lunghezza l) i cui estremi sono vincolati a scorrere, senza attrito, sugli assi del riferimento
cartesiano ortogonale Oxy.
Sull’asta agiscono, oltre alla forza peso, la forza costante F = −F i (i: vers Ox) applicata nel punto A
e la coppia di momento
Fl
M=
cos θ k
(k : vers Oz).
2
Supposti i vincoli ideali e introdotta la coordinata lagrangiana θ indicata in ﬁgura, si chiede:
1) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e le reazioni vincolari usando le equazioni
cardinali della statica. Studiare, poi, la stabilità di tali conﬁgurazioni;
2) Scrivere l’espressione del lavoro virtuale delle forze attive e utilizzarla per ritrovare le posizioni di
equilibrio già determinate nella domanda precedente;
3) Scrivere l’equazione diﬀerenziale del moto del sistema usando le equazioni cardinali della dinamica.
Determinare le reazioni vincolari che si esplicano in condizioni dinamiche.
→
Supposto, ora, che il piano del sistema ruoti con velocità angolare costante −
ω intorno all’asse verticale
Oy,
4) calcolare il risultante del sistema delle forze centrifughe, il suo punto di applicazione e il potenziale
centrifugo.
y
B
θ
M
P
j
i
k
O
F
A
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (6 luglio 2011)
Il sistema in ﬁgura, mobile in un piano verticale Oxy, è costituito di un disco omogeneo D (massa
m, raggio R) che rotola senza strisciare sulla retta Ox inclinata di un angolo α = π/3 rispetto
all’orizzontale. Il disco è vincolato a non oltrepassare due pareti perpendicolari alla retta Ox (con
xA = −R; xB = πR + R).
Oltre alla forza peso, è applicata al disco una coppia di momento M = −a sin θk (a ∈ ℜ, k= vers
Oz).
Assunto come parametro lagrangiano l’angolo θ rappresentato
in ﬁgura (per θ = 0 sia Co coincidente
√
con O) e introdotto il parametro adimensionale λ = 3mgR/a si chiede:
1) Determinare, in funzione di λ, le conﬁgurazioni di equilibrio ordinarie e di conﬁne esaminando la
stabilità delle prime. Veriﬁcare che, per l’esistenza delle posizioni di equilibrio, deve essere a > 0;
2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le conﬁgurazioni di equilibrio già determinate
nella domanda precedente;
3) Rappresentare graﬁcamente, nel caso λ = 1 , l’energia potenziale V (= −U ) del sistema e determinare, usando tale graﬁco, le posizioni di equilibrio e la loro stabilità;
4) Scrivere l’equazione del moto di Lagrange;
5) Riottenere, usando le equazioni cardinali della dinamica, l’equazione diﬀerenziale del moto.
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
C0
A
xxxxxxxxx
O
xxxxxxG
xxxxxxxxx
xxxxxx
θxxxxxx
xxxxxx
j
xxxxxx mg
i
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
x
x
xx
xx
x
D
C
y
B
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
α = π/3
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 settembre 2011)
Il sistema rappresentato in ﬁgura, mobile in un piano verticale Oxy, è costituito di un disco circolare
pesante omogeneo D (massa M , raggio R) che rotola senza strisciare sulla guida verticale Oy e di un
punto materiale pesante P (massa m) vincolato a muoversi lungo l’asse Ox. Il punto P e il centro G
del disco sono collegati da una molla ideale di costante elastica k(> 0) e di lunghezza a riposo supposta
trascurabile. Il punto P è anche soggetto alla forza elastica F = −kAP (k > 0) essendo A un punto
ﬁsso dell’asse Ox tale che | AO |= 4R.
Si assumano come parametri lagrangiani xP e yG rappresentati in ﬁgura.
1) Supponiamo, dapprima, che sul punto P agisca, oltre alle forze già descritte nel testo, una forza di
attrito coulombiano (con coeﬃciente di attrito statico fs ). In tale situazione, si chiede di determinare
le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e le reazioni vincolari che si esercitano in P e in C.
D’ora innanzi, trascuriamo la forza di attrito e supponiamo ideali tutti i vincoli agenti sul sistema.
In tali condizioni si chiede:
2) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e calcolare le reazioni vincolari in P e C
confrontando i risultati con quelli ottenuti nella domanda precedente. Discutere la stabilità delle
posizioni di equilibrio trovate;
3) Ricavare le equazioni diﬀerenziali del moto sia usando le equazioni cardinali della dinamica che il
metodo lagrangiano. Integrare, poi, le equazioni diﬀerenziali ottenute;
4) Individuare eventuali integrali primi del moto del sistema.
k
i
j
AO =4R
xP
O
A
P (m)
y
G
C
G
Mg
D (M)
y
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (11 gennaio 2012)
Il sistema in ﬁgura, mobile nel piano verticale Oxy, è costituito di un’ asta rigida AB di massa
trascurabile e lunghezza 2l, il cui centro C è vincolato a muoversi, senza attrito, lungo l’asse Ox e
alla cui estremità B è saldato un punto materiale di massa m.
Oltre alla forza peso agisce sul sistema la forza elastica Fe = kAH (k > 0) dovuta all’azione di una
molla ideale che si mantiene sempre orizzontale (vedi ﬁgura).
Introdotti i parametri lagrangiani x (ascissa del punto C) e θ rappresentati in ﬁgura, si chiede:
1) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema studiandone, poi, la stabilità;
2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le posizioni di equilibrio e calcolare la reazione
vincolare che si esercita in C sia in condizioni statiche che dinamiche;
3) Ricavare le equazioni diﬀerenziali di Lagrange del moto;
4) Supposto, ora, che sul sistema non agisca la forza elastica si chiede di determinare eventuali integrali
primi del moto e di interpretarli ﬁsicamente.
y
A
H
l
j
O
C
x
x
i
θ
l
B (m)
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (8 febbraio 2012)
Il sistema in ﬁgura, posto in un piano verticale Oxy, è costituito di una struttura rigida a forma di
T priva di massa e libera di ruotare intorno all’ origine O del sistema di riferimento (| OO′ |= a).
Un punto materiale pesante P (massa m) è vincolato a muoversi, senza attrito, lungo il lato AB
(lunghezza 2a) della struttura. Fra P ed il punto O′ (punto medio di AB) agisce una forza elastica
derivante da una molla ideale di costante k (> 0). I vincoli sono supposti ideali.
Utilizzando le variabili lagrangiane ρ e θ rappresentate in ﬁgura (vedi ﬁgura), si chiede:
1) Determinare, discutendole in funzione della costante elastica k, le conﬁgurazioni di equilibrio del
sistema e studiarne la stabilità;
2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e
calcolare la reazione vincolare che si esercita sul punto P in condizioni statiche.
3) Rappresentare la velocità relativa e di trascinamento del punto P e la sua energia cinetica. Ricavare,
poi, le equazioni di Lagrange del moto.
4) Nel caso in cui sia k = 2mg/a, linearizzare le equazioni del moto intorno alla conﬁgurazione di
equilibrio stabile.
y
j
n
i
θ
O
B
a
O
a
A
P
ρ
a
t
x
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (16 giugno 2012)
Il sistema in ﬁgura, mobile nel piano orizzontale Oxy, è formato da una circonferenza C omogenea,
pesante, di raggio r e massa m il cui punto A del bordo è ﬁssato in O mediante una cerniera il cui
asse è sovrapposto all’asse Oz.
Oltre alla forza peso peso, agisce sul sistema una coppia di momento costante M = M b
k ( con M > 0
eb
k = vers Oz) e la forza elastica Fe = kBQ (k > 0 e Q≡ (0, −r, 0)).
Supposti i vincoli ideali e introdotto il parametro lagrangiano θ rappresentato in ﬁgura, si chiede:
1) Determinare, in funzione della costante elastica k, le conﬁgurazioni di equilibrio discutendone, poi,
la stabilità. Ritrovare le posizioni di equilibrio usando le equazioni cardinali della statica;
2) Ricavare l’equazione di Lagrange del moto;
3) Ricavare ed integrare l’equazione linearizzata del moto intorno alla posizione di equilibrio stabile
che si ha nel caso M = kr2 .
Domanda facoltativa.
Supponiamo che la circonferenza abbia uno spessore ﬁnito d e che il vincolo in O sia realizzato tramite
due punti ﬁssi P1 e P2 assimilabili, rispettivamente, ad una cerniera ﬁssa e ad un anellino liscio come
in ﬁg.b (si realizza in tal modo un corpo rigido con asse fisso...). Si chiede, in tale situazione, di
determinare le reazioni vincolari Φ1 e Φ2 che si esercitano in condizioni statiche.
z
fig. b
z
Φ2
P
2
d
Φ1
P1
k
Q (0, -r, 0)
x
A=O
y
θ
C
B
x
y
M
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (5 luglio 2012)
Nel piano verticale Oxy è mobile, intorno all’asse orizzontale passante per O, un corpo rigido a forma
di T costituito di due aste uguali, pesanti, omogenee, ciascuna di massa m e lunghezza 2l saldate
ortogonalmente nel punto O. Nei punti A e B sono applicate due forze elastiche, sempre verticali,
derivanti da molle di costante elastica εk (FB = εk BB′ = -FA ; ε ≥ 0, k > 0).
Supposti i vincoli ideali, introdotto il parametro lagrangiano θ rappresentato in ﬁgura e il parametro
+
adimensionale λ = mg
kl ∈ ℜ si chiede:
1) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema, discutendole in funzione del parametro λ,
sia nel caso ε = 0 che nel caso ε > 0. Discutere poi, limitatamente al caso ε = 0, la stabilità delle
conﬁgurazioni di equilibrio;
2) Determinare la reazione vincolare che si esercita in O sia in condizioni statiche che dinamiche.
Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le conﬁgurazioni di equilibrio;
3) Scrivere l’equazione di Lagrange del moto sia nel caso ε > 0 che nel caso ε = 0. In quest’ultima
situazione studiare le piccole oscillazioni del sistema intorno alla posizione di equilibrio stabile.
y
B
εk
A
O
x
B
εk
A
θ
C
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (10/11/2012)
Il sistema rappresentato in ﬁgura, posto in un piano verticale Oxy, è costituito di un’ asta pesante
omogenea (massa m, lunghezza 2l) il cui estremo A è vincolato a scorrere senza attrito sull’asse Ox.
Agli estremi dell’asta sono applicate forze elastiche, di eguale costante k, che si mantengono sempre
orizzontali (vedi ﬁgura).
Scelti come parametri lagrangiani l’ angolo θ tra l’asta e la verticale e l’ascissa x = xG del baricentro
dell’asta (vedi ﬁgura), si chiede:
1) Determinare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità in funzione della
costante elastica k;
2) Utilizzando le equazioni cardinali della statica ritrovare le conﬁgurazioni di equilibrio del sistema e
determinare la reazione vincolare che si esercita nel punto A;
3) Ricavare le equazioni di Lagrange del moto;
4) Studiare le piccole oscillazioni intorno ad una delle conﬁgurazioni di equilibrio stabile che si hanno
quando k > mg/2l.
y
B
B0
G
θ
O
A
xG
x