Laurea specialistica - Corso di Laurea in Ingegneria Civile –
Appunti integrativi sull’interazione tra oggetti e correnti
IDRAULICA II - prof. Vittorio Bovolin
Alcuni aspetti elementari relativi all’interazione tra corpi
solidi e fluidi in moto relativo tra di loro
Quando un fluido è in moto relativo rispetto ad un oggetto i due elementi interagiscono tra di loro
generando la nascita di una forza di natura idrodinamica che tende a rallentare l’elemento più
veloce ed ad accelerare quello più lento.
I fenomeni idrodinamici di interazione sono estremamente complessi, ed una loro iniziale
comprensione può essere avviata facendo riferimento a due schemi semplificati:
1. moto in prossimità di un elemento idealmente privo di dimensioni trasversali rispetto alla
direzione assunta dalla velocità relativa (es. una lastra piana disposta parallelamente alla
corrente);
2. moto attorno ad un corpo tozzo (es. cilindro o sfera)
In generale la presenza di una superficie di separazione caratterizzata da una differente velocità
rispetto al fluido circostante comporta la modifica nel campo di moto all’interno del fluido stesso in
una sottile zona, detta strato limite, prossima alla parete.
La viscosità del fluido comporta che in corrispondenza della superficie solida sia nulla la velocità
relativa tra oggetto e fluido. La differenza di velocità esistente tra oggetto e fluido tende cioè
progressivamente ad annullarsi a mano a mano che ci si avvicina all’oggetto. Per effetto della
diminuzione di velocità il profilo di velocità in corrispondenza della superficie dell’oggetto presenta
un gradiente non nullo che comporta la nascita di uno sforzo tangenziale lungo la superficie stessa.
Nel primo caso l’incapacità della teoria del moto a potenziale (fluido ideale privo di viscosità) di
descrivere correttamente lo sforzo di trascinamento che un fluido in movimento relativo rispetto ad
una superficie piana esercita sulla superficie stessa spinse Prandtl a sviluppare una teoria per
interpretare il comportamento dello strato di fluido (detto strato limite) posto immediatamente
adiacente ad una superficie solida.
Le principali assunzione di Prandtl sono:
1. quando una corrente ad elevato numero di reynolds passa in prossimità di un ostacolo lo
spazio prossimo all’ostacolo può essere suddiviso in 2 regioni
a.
una regione lontana dalla superficie dell’oggetto nella quale gli effetti viscosi
tendono ad essere trascurabili e risulta accettabile l’ipotesi di moto a potenziale.
b.
una sottile regione, prossima alla parete, detta strato limite nella quale si
concentrano gli effetti viscosi che risultano importanti tanto quanto l’inerzia e
non possono quindi essere trascurati.
2. la variazioni di pressione nella regione esterna possono essere calcolate indipendentemente
da quanto avviene nello strato limite e tale pressione può essere “imposta” al di sopra dello
strato limite.
Procedendo nel verso della corrente il moto all’interno dello strato limite risulta inizialmente
laminare per divenire successivamente turbolento.
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La transizione tra i due regimi avviene quando il numero di reynolds definito come
raggiunge il valore
.
Per quanto riguarda l’andamento dello spessore δ dello strato limite valgono le seguenti espressioni
approssimate.
Strato limite laminare
Strato limite turbolento
Le caratteristiche del moto intorno ad un corpo tozzo risultano più complicate rispetto a quelle della
lastra piana e verranno esemplificate con riferimento al caso di un flusso intorno ad un cilindro di
diametro D.
Nel caso di un corpo tozzo al meccanismo di interazione evidenziato dallo studio della lastra piana,
se ne aggiunge un secondo dovuto al distacco dello strato limite dalla superficie dell’oggetto che
comporta la formazione di zone di scia che comportano una significativa variazione nel regime
della pressioni presenti intorno all’oggetto con conseguente risultato di incremento della forza di
interazione.
Nella parte anteriore del corpo la corrente accelera trasformando in base al teorema di Bernoulli
energia di pressione in energia cinetica nella parte posteriore dovrebbe avvenire il processo inverso,
ma nella zona di strato limite la pressione “imposta” dal moto nella zona esterna allo strato limite
risulta maggiore di quella presente all’interno dello strato limite stesso e porta al distacco dello
strato limite dalla superficie solida ed alla formazione di zone di ricircolazioni parassite (scie) che
assorbono parte dell’energia cinetica posseduta dalla corrente ed impediscono in tal modo alla
pressione di ritornare al valore presente a monte dell’ostacolo. La differenza tra i diagrammi di
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pressione presenti nelle zone di monte ed di valle comporta una spinta sulla sfera nella direzione del
moto.
Il parametro determinante in questa fenomenologia e' di nuovo il numero di Reynolds Re, calcolato
pero' questa volta, assumendo come lunghezza caratteristica il diametro D del cilindro.
Come velocità V si assume quella della corrente, considerata ad una distanza sufficiente da non
essere disturbata dalla presenza del corpo ("velocità asintotica").
Anche in questo caso il numero di Reynolds rappresenta il rapporto tra le forze d'inerzia e le forze
viscose.
La figura illustra i diversi regimi di moto, che verranno brevemente discussi nel seguito.
Reynolds molto bassi (Re< 30-50 )
Il regime e' governato unicamente dalle forze di origine viscosa; compaiono dei vortici - stabili nella scia, che e' stretta e diritta a valle di questi.
In un certo senso questo regime e' l'analogo del regime di Poiseille nei tubi; la resistenza (cioè la
forza esercitata dal fluido sul corpo nella direzione del moto relativo) e' dovuta unicamente allo
sforzo viscoso esercitato dallo strato di fluido sulla parete ("skin friction").
Regime di Von Karman (Re 40-300)
Compaiono oscillazioni del fluido a valle del corpo; che si staccano, alternativamente nei due sensi
di rotazione, dei vortici che vengono trascinati via dalla corrente.
E' degno di nota, concettualmente e praticamente, il fatto che da una situazione originariamente
stazionaria nasca un fenomeno dipendente dal tempo.
I vortici hanno una forma ed una frequenza di distacco ben definita; si tratta ancora di un regime
governato da forze viscose, senza presenza di turbolenza.
La frequenza n di distacco viene solitamente data attraverso un nuovo numero adimensionale, il
numero di Strouhal S = n D / V; questo numero, nel regime che stiamo esaminando vale circa 0,2.
A partire da numeri di Reynolds maggiori di 150 inizia una situazione di transizione al regime
successivo, il cosiddetto
Regime subcritico ( Re 300- 2*105)
Si forma, sulla parte anteriore del cilindro, uno strato di fluido in cui la velocità passa dal valore
nullo, assunto per continuità sulla superficie solida, al valore della corrente.
Questo strato prende il nome di "strato limite", ed e' in esso che si concentrano gli effetti viscosi. La
corrente esterna e' governata unicamente da effetti inerziali ( il numero di Reynolds e' ormai molto
alto).
Nella parte di cilindro a valle lo strato limite da' luogo a vortici ("distacco dello strato limite"), che
pero' - a differenza del caso precedente - non hanno una frequenza ben definita e regolare, ma
degenerano in un moto caotico ed irregolare nella scia (turbolenza di scia).
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La pressione, nella zona a valle del corpo e' approssimativamente quella della corrente indisturbata,
o anche più bassa poiché la velocità e più alta (teorema di Bernoulli); nella zona anteriore, dove la
corrente e' rallentata, la pressione e' invece più alta.
Questa differenza di pressione fa si' che sul corpo agisca una forza, che ha la direzione ed il verso
del moto, e si indica come "resistenza di pressione" ("pressure drag"); tale resistenza e'
preponderante rispetto allo sforzo viscoso.
Mano a mano che si aumenta il numero di Reynolds, l'innesco della turbolenza avviene sempre più
vicino al corpo, finche' a essa per valori di circa 2 * 102 la turbolenza nasce in vicinanza della
superficie del corpo.
Siamo in
Regime critico (Re 2*105 - 6*105)
Il fenomeno e' ora assai complesso ( tanto che esso e' stato definitivamente chiarito solo negli anni
60 ).
Dopo un primo distacco (distacco laminare), lo strato limite diventa turbolento, ciò che provoca il
suo riattacco; successivamente si ha un nuovo distacco, in regime turbolento (Distacco turbolento).
La scia e' più stretta rispetto al caso precedente, ciò che provoca una riduzione della resistenza di
pressione e quindi della resistenza totale; l'intero fenomeno e' pero alquanto instabile e può essere
influenzato da effetti quali la turbolenza preesistente nella corrente o la scabrezza della superficie.
(E' questo il motivo per cui le palle da golf si rendono volutamente scabre).
Regime supercritico ( Re 6*105-3*106 )
Aumentando ancora il numero di Reynolds la turbolenza si innesca nello strato limite ancor prima
che avvenga il distacco, in un certo numero di punti lungo il cilindro ("Cunei di turbolenza").
Cessa ogni regolarità nella formazione dei vortici, ed a valle si forma quindi una scia altamente
turbolenta; inoltre iniziano effetti tridimensionali (variazione delle pressioni e delle velocità lungo
l'asse del cilindro).
Regime transcritico ( Re > 3*106 )
In questo regime, relativamente poco studiato a causa delle difficoltà sperimentali, si ha uno strato
limite completamente turbolento e una ripresa della formazione di vortici con una certa regolarità.
La scia e' dunque anche qui completamente turbolenta, ma il suo spettro di energia presenta dei
picchi in determinate frequenze.
Lo sforzo alla parete e' in assoluto maggiore rispetto ai casi precedenti, perché lo strato limite e'
turbolento; esso tuttavia continua ad essere trascurabile rispetto alla resistenza di pressione.
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1. La forza idrodinamica su una sfera inizialmente aumenta con la velocità della corrente, ma
ad un certo valore della velocità la forza di trascinamento all’improvviso diminuisce. Ciò
avviene perché lo strato limite, inizialmente laminare
2. La forza di trascinamento su una sfera scabra può in certi campi di velocità risultare minore
rispetto alla forza di trascinamento che si esercita su una sfera liscia. Questo fenomeno può
essere spiegato osservando che nel caso della sfera scabra lo strato limite diventa turbolento
a velocità minori rispetto al caso della sfera liscia, ciò comporta un avanzamento del punto
di separazione nella porzione posteriore della sfera per cui si riduce la porzione di scia con
essa l’effetto di trascinamento dovuto alla pressione
3. Nel caso di flussi ad alto numero di reynolds la forza di trascinamento che si esercita su un
oggetto di forma “ aerodinamica” risulta inferiore rispetto a quella che si esercita su un
corpo tozzo che presenta la medesima sezione retta, mentre, nel caso di moti a basso numero
di reynolds, avviene il contrario cioè la forza di trascinamento risulta maggiore per il corpo
aerodinamico rispetto a quello tozzo. La spiegazione di tale fenomeno risiede nel fenomeno
di separazione che si verifica ad alti numeri di reynolds nel caso di un corpo tozzo.
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La forma aerodinamica dell’oggetto è destinata ad impedire la formazione di zone di
separazione (scia) nella parte posteriore del corpo stesso. Così nel caso di bassi valori del
numero di reynolds, quando per il corpo tozzo non si verifica alcuna separazione la forma
aerodinamica non offre alcun vantaggio, al contrario la maggiore superficie comporta una
risultante degli sforzi tangenziali più elevata rispetto la caso di un corpo tozzo che presenza una
superficie complessivamente minore.
All’aumentare del numero di reynolds a valle del corpo tozzo tende la formarsi una scia che
comporta l’incremento della forza di trascinamento.
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Table 1: Drag Coefficients for bluff bodies
Rough Shere (Re=10^6)
Smooth Sphere (Re=10^6 [0]
Hollow semi-sphere opposite stream
Hollow semi-sphere facing stream
Hollow semi-cylinder opposite stream
Hollow semi-cylinder facing stream
Squared flat plate at 90°
Long flat plate at 90°
Open Wheel, rotating, h/D=0.28
0.40
0.10
1.42
0.38
1.20
2.30
1.17
1.98
0.58
Table 2: drag coeffs for streamlined bodies
Laminar flat plate (Re=10^6)
Turbulent flat plate (Re=10^6)
Airfoil Section, minimum [typical]
Airfoil Section, at stall [typical]
Subsonic Aircraft Wing, minimum [typical]
Subsonic Aircraft Wing, at stall [typical]
0.001
0.005
0.006
0.025
0.05
0.16
Table 3: drag coeffs for transport systems
Subsonic Transport Aircraft
0.012
Supersonic Fighter, M=2.5
0.016
Airship
0.020-0.025
Helicopter
0.4-1.2
Sports Car
0.3 -0.4
Ecomony Car
0.4 -0.5
Pickup Truck
0.5
Tractor-Trailer, with fairings
0.6-0.7
Tractor-Trailer
0.7-0.9
Trailer alone
0.9
Racing Car
0.65-1.10
Table 4: drag coeffs of Human
Man (upright position)
Ski jumper
Skier
Parachutist
1.0 - 1.3
1.2 - 1.3
1.0 - 1.1
1.0 - 1.4
Table 5: Drag coefficients for some passenger vehicles
Vehicle (class)
CD
CD × A (m²)
VW Polo (class A)
0.37
0.636
Ford Escort (class B)
0.36
0.662
Open Vectra (class C)
0.29
0.547
BMW 520i (class D)
0.31
0.649
Mercedes 300SE (class E)
0.36
0.785
Table 6: drag coeffs of other systems
Wires and cables
Empire State Building
Eiffel Tower
1.0 - 1.3
1.3 - 1.5
1.8 - 2.0
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