Isaac Newton (1642-1725)
Tutti conoscono la storia della mela di Newton ...
La mela cade. Perchè la luna non cade?
Anche la luna cade.
Continua a cadere ripercorrendo una
traiettoria chiusa (ellisse)
Se la terra avesse tutta la massa concentrata al
centro anche il sasso lanciato in aria
percorrerebbe una traiettoria ellittica.
La parabola calcolata nei giorni scorsi è
un'approssimazione
(forza costante F=mg)
Biografia a fumetti: William Rankin, Newton, Universale
Economics Feltrinelli
Legge di Gravitazione Universale
Perchè universale?
Perchè la medesima legge vale per corpi celesti e corpi massivi sulla terra
Evidenza sperimentale dal moto dei pianeti: le leggi di Keplero
(1571-1630), basate sulle osservazioni di Ticho Brahe (1546-1601)
Nell'antichità si credeva che i pianeti, il sole e le stelle ruotassero attorno alla terra
Moto apparente
retrogrado dei
pianeti; Tolomeo
(120-190) l'aveva
spiegato con orbite
circolari ed epicicli
Copernico (14731543): orbite
circolari dei pianeti e
delle stelle attorno al
Sole; non spiegano i
moti retrogradi
Legge di Gravitazione Universale
Osservazioni precise di
Ticho Brahe (1546-1601), spiegate da
Keplero (1571-1630) con le seguenti leggi empiriche:
Le orbite dei pianeti (della Terra) sono ellissi; il
Sole occupa uno dei due fuochi
Periodo: T2 proporzionale a R3
Aree uguali spazzate in tempi uguali
Newton le giustifica
Leggi di Keplero
Derivazione di Newton
Le orbite dei pianeti (della Terra) sono ellissi
I principi della dinamica forniscono il moto
nel cui fuoco sta il Sole
(orbita e legge oraria) se si conosce F
Periodi: T2 proporzionali a R3
Newton ipotizzò che:
Aree uguali spazzate in tempi uguali
per il terzo principio
perchè così il secondo principio
giustifica la legge dei periodi
ossia:
Legge di Gravitazione Universale
Leggi di Keplero
Le orbite dei pianeti (della Terra) sono
ellissi nel cui fuoco sta il Sole
Forza di Newton
Masse puntiformi (piccole rispetto alla
loro distanza)
Direzione della forza lungo la
congiungente
Periodi: T2 proporzionali a R3
ossia:
Aree uguali spazzate in tempi uguali
Accelerazione di gravità
Sulla superficie della terra l'accelerazione si ricava come rapporto tra la forza e la massa del
corpo che la subisce.
Corpo di massa m
Terra di massa M
Raggio medio della terra R=6370 km
La costante G non si può ricavare dalla misura di |g| se non
si "pesa" la terra.
Esperimento di Cavendish (1798)
Henry Cavendish determinò la costante di gravitazione universale, G, della legge di Newton
Ottenne
G=6.67 10-11 N m2kg-2.
Conoscendo il raggio terrestre, RT=6370
km, esperimento equivalente a pesare la
terra:
M = gRT2/G = 5.97 1024 kg
Utilizzò quattro sfere di piombo e una bilancia di
torsione
Masse estese
Newton formulò la sua legge per masse puntiformi
Se supponiamo che valga il principio di sovrapposizione
si può ricavare la forza risultante dovuta ad una massa
estesa su di un oggetto piccolo come una somma (integrale)
di
Newton spese molto tempo a convincersi che la legge valeva anche per masse sferiche, come
quella terrestre
Che forza esercita la terra su un satellite?
Diretta verso il centro della terra
In modulo pari a quella che M eserciterebbe se
fosse puntiforme (v. Gauss)
F=GmM/r2
La forza fuori dalla sfera ha questo
valore grazie alla sua dipendenza dalla
distanza (r2).
Masse estese
Dentro un guscio sferico che forza si sente?
Al centro nulla. Infatti se un pezzo di crosta esercita una forza attrattiva
ce n'è uno simmetrico che esercita una forza uguale e contraria.
Per vedere cosa succede in un altro punto interno alla cavità sferica ricorriamo al concetto di
angolo solido
Definizione di angolo:
Definizione di angolo solido (cono).
La stessa relazione
consideriamo la relazione che lega in un cerchio si può trovare nella superficie della sfera tra
la lunghezza d'arco e l'angolo al centro
una sua porzione e il quadrato del raggio.
Siccome le masse M, M' di due pezzi di crosta sferica sono proporzionali all'area
in analogia con il punto al centro ...
... consideriamo due porzioni di crosta
simmetriche sottese dagli stessi coni
(angoli solidi). Quindi =M/r2=M'/r'2
Anch'esse danno contributi uguali ed
opposti. Questo è un effetto di
F(r)=GmM r-2
Viaggio al centro della terra
Se si scavasse un tunnel che passa attraverso il centro della terra quanto varrebbe g nei diversi
punti del tunnel?
In particolare: quanto vale la forza di gravità al
In un punto intermedio del tunnel, a distanza
centro della terra?
r dal centro?
La massa circostante può essere suddivisa in
croste sferiche concentriche.
Ciascuna di esse non esercita forza al centro.
La forza totale è nulla
Esercita attrazione solo la massa M' con r'<r
(colore chiaro)
Quanto vale M'?
Campo di forze
La forza di gravità si esercita in ogni punto attorno alla terra
La proprietà della terra non
dipende dalla massa m su cui si
esercita la forza.
Chiamiamo campo gravitazionale
la forza di gravità divisa per la
massa di prova
g(r) = -G M/r3 r
Si tratta di un campo di forze prodotto dalla massa della terra
(si tratta di un'accelerazione ed
esiste in ogni punto dello spazio
attorno ad M)
Riassunto: Gravità
Una legge universale regola la forza attrattiva tra masse
F(r)=-GmM/r2
diretta come la congiungente
L'esperimento di Cavendish misura la costante G della forza (e pesa la terra)
La dipendenza da r-2 fa si' che anche la terra eserciti la forza
F(r)=-GmM/r2
Entrando nella terra la forza diventa
F(r)=-GmMr/R3
Conviene pensare ad un campo gravitazionale che circonda i corpi massivi
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