METODO DEL GRADEX
INTRODUZIONE
Questa parte è il riassunto dei lavori effettuati in occasione del confronto di due metodi di
valutazione della probabilità di piene con frequenza rara. Si troverà una presentazione più
dettagliata nella tesi di dottorato di Abdellatif Djerboua, tesi che sarà discussa a Grenoble alla
fine dell'anno 2000. I bacini presi in considerazione sono quelli dell'Arc chiuso a Bramans
(635 km2 ), da lato francese, e della Stura di Lanzo (582 km2 ), da lato italiano; questi due
bacini hanno un confine comune e sono soggetti a piene molto importanti generate da forti
precipitazioni, che generalmente provengono da sud est. I dati sia pluviometrici sia
idrometrici sono abbastanza abbondanti.
IV-8. RICHIAMI SUL METODO DEL GRADEX
Il metodo del GRADEX è un approccio idro-pluviometrico probabilistico per il calcolo delle
portate di piena catastrofiche, aventi tempo di ritorno superiore a cent'anni. Il metodo si basa
sull'informazione data dalla distribuzione di probabilità della pioggia ragguagliata per valori
elevati. In effetti, si suppone che la funzione di distribuzione della ritenzione idrica del bacino
non cambi per piogge intense, da cui si deduce il comportamento asintotico dei volumi delle
piene a partire dalla distribuzione della pioggia media massima annuale (per un passo
temporale adeguato). La distribuzione delle portate al colmo massime è dedotta dai volumi,
tramite un coefficiente di forma media degli idrogrammi di ruscellamento diretto, rapporto
medio del colmo di una piena per il volume medio, per la durata considerata. Il metodo si
applica a bacini da qualche decina a qualche migliaio di chilometri quadrati, omogenei dal
punto di vista pluviometrico (il metodo non si applica a bacini troppo grandi, in cui il
comportamento asintotico della pioggia areale tende a diventare normale).
Nel nostro caso, visti gli idrogrammi di piena e la dimensione dei bacini, la durata critica
adatta è dell'ordine della giornata, il che ci permette di lavorare con dati pluviometrici, più
numerosi di quelli pluviografici. Essa corrisponde al tempo di passaggio della metà del
volume di una piena generata da una pioggia forte ma breve o anche alla durata durante la
quale la portata è superiore alla metà della piena al colmo.
Ipotesi del metodo GRADEX:
•
•
•
La distribuzione delle piogge da qualche ora a più giorni, puntuali o areali, su un
bacino, decresce in modo esponenziale (distribuzione di Gumbel, distribuzione a
doppia esponenziale o del valore estremo a doppia componente TCEV…).
La distribuzione della ritenzione idrica non cambia per le piogge intense (valido a
partire da un certo tempo di ritorno), cioè il valore atteso della ritenzione idrica
resta costante, da cui il comportamento asintotico dei volumi medi di piene
catastrofiche avrà lo stesso comportamento asintotico delle piogge areali massime
annue.
L'ultima ipotesi si basa sull'invariabilità dell'idrogramma unitario, in altre parole
qualunque sia la quantità di pioggia caduta, la funzione di trasferimento tra la
pioggia efficace e la portata non cambia. Si può esprimere tale ipotesi tramite la
relazione tra portata al colmo massima e la portata media catastrofica, che dà un
coefficiente di forma medio degli idrogrammi di ruscellamento diretto.
IV-9. ANALISI DELLE PIOGGE
Per poter confrontare questo metodo con quello VAPI, sono state selezionate diverse coppie
di bacini idrografici contigui (la Roya a Breil e la Stura di Demonte, il Guil a Montdauphin e
a Pont du Roy e il Pellice Chisone, l'Arc a Bramans et la Stura di Lanzo). La scelta finale è
caduta sull'Arc chiuso a Bramans (635 km²) da lato francese e la Stura di Lanzo (582 km²) da
lato italiano, bacini ricchi di dati pluviometrici e idrometrici.
I dati disponibili per lo studio sono le piogge giornaliere per l'insieme delle stazioni dei due
bacini, e i dati delle stazioni del bacino dell'Orco e della Dora Riparia, che confinano con il
bacino della Stura di Lanzo.
IV-9.1. Critica dei dati e ricostituzione dei dati mancanti
Si è voluto lavorare su serie di dati le più lunghe possibili, corrispondenti allo stesso periodo
della serie delle portate. Il periodo comune tra le stazioni dei due bacini va dal 1951 al 1986
(31 anni). Di seguito la lista delle stazioni scelte:
Stazioni italiane pluviometriche: Ala di Stura, Balme di Lanzo, Ceres, Funghera, Lago della
Rossa, Lago Dietro La Torre, Malciaussia, Pessinetto, Usseglio e Viù.
Stazioni francesi pluviometriche: Aussois, Bessans, Bonneval, Grand Scala e Termignon.
Da lato francese sono state soppresse Bessans1 (Avérole) e Mont Cenis, poiché presentano
serie brevi (meno di 30 anni). La stazione di Bonneval presenta una lacuna dal 1978 al 1983
compreso; per sostituire i dati mancanti, è stata fatta una correlazione semplice tra Bonneval e
la stazione più vicina, che è Bessans5. I risultati sono ordinati secondo le diverse correlazioni
fatte sulle piogge giornaliere, totali mensili o totali stagionali:
- debole correlazione per la pioggia giornaliera
- correlazione più o meno forte e costante per i totali stagionali
- una correlazione forte per i totali mensili.
Tabella IV-5: Correlazione tra Bonneval sur Arc (Y) e Bessans (X).
Per facilitare i calcoli, si è scelta la correlazione dei totali mensili, che è più stabile di quella
calcolata su piogge giornaliere. Il problema, con la correlazione delle piogge giornaliere, è il
peso dei giorni senza pioggia, che rappresentano più del 50% del campione; il nostro risultato
sarà distorto a causa di questi valori. Si è pertanto cercato di lavorare sui totali per evitare
questo tipo di problema. Si nota che le correlazioni fatte sulle stagioni sono buone, tranne che
per l'estate, periodo in cui si hanno piogge molto localizzate (temporali) che non sono ben
correlate fra di loro. Abbiamo costatato che la relazione dei totali mensili è vicina alle
relazioni delle stagioni, tranne l'estate. In effetti, la scelta è caduta sulla correlazione dei totali
mensili, una relazione che può essere applicata a tutto l'anno e che è rappresentativa. I dati
mancanti di Bonneval sur Arc dal 1978 al 1983 sono stati sostituiti dalla relazione seguente:
PBonneval =1,0822*PBessans .
Il termine costante è stato trascurato per due motivi: il primo è che quando si verifica una
forte pioggia questo termine diventa trascurabile (il che ci interessa dal punto di vista
estremo); il secondo è non generare una pioggia a Bonneval se non piove a Bessans.
Per la parte italiana, non è stato necessario completare i dati mancanti poiché c'era sempre un
numero sufficiente di stazioni in funzione. Solamente per qualche mese si sono avute 8
stazioni, il che è comunque già sufficiente per stimare l'altezza di pioggia areale giornaliera.
IV-9.2. Analisi in Componenti Principali
L'analisi in Componenti Principali è uno strumento potente; permette una sintesi ed una
miglior comprensione dell'informazione multivariata. Nel nostro caso era importante
analizzare la coerenza spaziale dei dati pluviometrici giornalieri. Partendo da quest'analisi si
può testare l'omogeneità dei dati e la tipologia o la vicinanza tra le stazioni.
Il calcolo dell'analisi in Componenti Principali è effettuato da una parte sulle piogge
giornaliere (valori nulli compresi) e dall'altra sui totali delle quattro stagioni; si è notata
un'incoerenza fra i risultati di queste due analisi. La prima componente principale, che
rappresenta l'effetto della dimensione, era quasi la stessa per tutte le stazioni nel caso dei totali
mensili (il peso di ogni stazione); ma, per le piogge giornaliere, è stata trovata una differenza
notevole tra il peso delle stazioni francesi e il peso delle stazioni italiane. Abbiamo spiegato
questa differenza con lo sfalsamento dell'ordine della giornata fra le misure francesi e quelle
italiane (confermato da V.Anselmo).
Abbiamo sfalsato i dati italiani di un giorno in meno, e successivamente abbiamo applicato
l'analisi in Componenti Principali. Abbiamo così ottenuto una coerenza fra i risultati delle
piogge giornaliere e i totali delle quattro stagioni (Figura IV-6). Le prime tre componenti
principali sono state prese in considerazione poiché spiegano più dell'84% della varianza
totale per ogni stagione.
Figura IV-6: Presentazione della prima componente principale di ogni stagione secondo la
stagione
L'analisi ha permesso di raggruppare le stazioni in tre classi omogenee che cambiano secondo
le stagioni; tuttavia in primavera si sono trovati quattro raggruppamenti omogenei.
Figura IV-7: Presentazione delle stazioni nello spazio delle componenti principali (CP2,
CP3)
In pratica si osserva che per tutte le stagioni si hanno tre gruppi omogenei (Figura IV-7), due
gruppi italiani e uno francese. Il gruppo francese è stato diviso in due gruppi, tranne che per la
stagione primaverile. Per ogni stagione esiste una stazione di passaggio tra i gruppi, che
cambia secondo la stagione per il lato italiano. La stazione Gran Scala tende ad essere più
vicina ed omogenea alle stazioni italiane; d'altronde lo si nota in primavera, dove Gran Scala
appartiene ad un gruppo italiano. E' una stazione di raccordo tra le stazioni francesi e italiane.
L'analisi in Componenti Principali ha dimostrato che esiste una continuità della precipitazione
nello spazio tramite stazioni che raccordano gruppi omogenei.
Tabella IV-6: Classificazione delle stazioni secondo il raggruppamento dell'ACP.
IV-9.3. Calcolo dell'altezza di pioggia ragguagliata
La stima dell'altezza di pioggia media areale può essere fatta secondo metodi diversi:
-
media aritmetica delle piogge puntuali sul bacino;
-
poligoni di Thiessen, abitualmente usata dagli idrologi;
cartografia degli eventi per valutare le altezze di pioggia medie;
metodi più sofisticati (es.: kriging, cokriging, …).
Per ragioni pratiche, si è scelta la media aritmetica, poiché nelle serie fornite ci sono dati
mancanti; l'errore del calcolo del gradex non dovrebbe essere molto grande. La stima della
pioggia media è calcolata su 3-5 stazioni per il bacino dell'Arc chiuso a Bramans, e su 8-10
stazioni per il bacino della Stura di Lanzo.
IV-9.4. Calcolo del gradex delle piogge areali
L'ipotesi sulle piogge si basa sulla legge di esaurimento esponenziale asintotica di tutte le
piogge puntuali o areali, da qualche ora a più giorni. Si propongono due distribuzioni di
probabilità ad esaurimento esponenziale:
Distribuzione di Gumbel :
Distribuzione di probabilità spesso usata per i valori estremi:
F(x)=exp-(-exp(-(x-x0 )/a))
a = √6/π×σx
parametro di scala (il gradex)
x0 = µx -0.455×σx
parametro di forma (la moda)
µx, σx media e deviazione standard della popolazione
Distribuzione a doppia esponenziale (o del valore estremo a doppia componente):
La distribuzione di tutte le piogge, valori nulli compresi (adattata a tutte le piogge successive
di durata compresa tra 4 e 72 ore):
α =1/CV²
1-F(0)=α+β
F(x)=1-α×e(-x/a)-β×e(-x/c)
verificati sperimentalmente
probabilità dei valori non nulli
µ β α + β
2
1
+
−
1
CV
il gradex dei valori elevati
α + β α 2
c=(µ-a×α)/β
pendenza dei valori bassi (parametro decisamente
inferiore ad a)
CV=σ/µ
coefficiente di variazione
a=
(
)
Il parametro "a", che noi chiamiamo gradex (gradiente dei valori estremi), rappresenta i rischi
delle precipitazioni intense. E' la pendenza della retta di Gumbel su un cartogramma
probabilistico.
Quest'ultima distribuzione di probabilità è la più vicina alla realtà, per il suo comportamento
all'origine (inflessione nella parte inferiore della distribuzione) e in corrispondenza di valori
elevati. Con una semplice traslazione di -ln(n) sul grafico (x, -ln(-ln(F))), si può determinare
la distribuzione della pioggia giornaliera massima di n giorni, poiché essa ha per espressione
[(F(x)]n , nell'ipotesi che le piogge siano indipendenti e abbiano la stessa distribuzione durante
il periodo della stagione considerata:
-Ln[-Ln(F(x) n )]=- Ln[-Ln(F(x))]-Ln(n)
Il parametro "a", o gradex, varia con la stagione e secondo il clima regionale. Infatti, si fa una
suddivisione stagionale, prendendo i mesi che hanno un gradex confrontabile (dal 10 al 20%
di differenza). Il gradex delle piogge giornaliere massime annuali è lo stesso della stagione a
maggiore rischio (con un traslazione sulla distribuzione delle piogge giornaliere stagionali di Ln(n), essendo n il rapporto tra la dimensione delle piogge giornaliere e la dimensione della
stagione).
Il gradex mensile puntuale e areale è stato calcolato partendo da dati giornalieri. Le stagioni
sono state definite in modo che i gradex dei mesi della stessa stagione fossero vicini. Dopo
aver definito la stagione, la suddivisione stagionale è stata applicata all'insieme dei dati, sia
puntuali sia areali. Le stagioni sono state definite con la suddivisione seguente:
-
Autunno: settembre, ottobre, novembre
Inverno: dicembre, gennaio, febbraio
Primavera: aprile, maggio, giugno
Estate: luglio, agosto
Dopo aver verificato la suddivisione stagionale, si rifà il calcolo del gradex utilizzando i dati
giornalieri di una stessa stagione.
Tabella IV-7: gradex stagionali puntuali e areali (in mm / 24 ore).
L'autunno rappresenta la stagione a maggior rischio per i entrambi i bacini, e presenta il
gradex maggiore delle quattro stagioni. Partendo dalla distribuzione delle piogge giornaliere
autunnali, si arriva a determinare la distribuzione dei massimi autunnali, che ha lo stesso
gradex delle piogge giornaliere. Si considera che la distribuzione dei massimi della stagione a
maggior rischio sia la distribuzione dei massimi annuali per i valori elevati.
Coefficiente di abbattimento:
E' il rapporto tra il gradex puntuale e il gradex dell'altezza di pioggia sul bacino. Un primo
modo di procedere è fare la media dei gradex puntuali delle stazioni che appartengono al
bacino, e determinare un coefficiente d'abbattimento empirico, funzione della correlazione tra
le stazioni. Infatti, prendere come gradex areale la media dei gradex equivale a dire che tutte
le correlazioni sono uguali a uno, il che porta ad una sovrastima. Il risultato del calcolo dà un
coefficiente d'abbattimento che varia dall'80 fino al 92% secondo la stagione.
Figura IV-8: Distribuzione delle piogge areali giornaliere estreme dei 3 mesi autunnali nel
bacino dell’Arc a Bramans
Figura IV-9: Distribuzione delle piogge areali giornaliere estreme dei 3 mesi autunnali nel
bacino della Stura di Lanzo
IV-10. ANALISI DELLE PORTATE
IV-10.1 Analisi delle portate medie giornaliere catastrofiche
Il principio dell'analisi delle portate si compone di due tappe:
v Adattare una distribuzione di Gumbel alle portate medie giornaliere massime annuali o
stagionali.
v Partendo da un dato tempo di ritorno (decennale o ventennale; nel nostro caso decennale)
si estrapola la distribuzione dei volumi giornalieri di piena parallelamente alla
distribuzione delle piogge medie areali giornaliere della stagione a rischio elevato (nello
stesso sistema d'unità e per la stessa durata caratteristica, in questo caso 24 ore). Si
ammette che per tale tempo di ritorno il limite della ritenzione idrica media, o deficit, sia
raggiunto a partire da una piena decennale.
Figure IV-10 e IV-11: Estrapolazione della distribuzione delle portate oltre la piena
decennale.
Le piene dell'Arc a Bramans sono influenzate dalla derivazione del Doron di Termignon, le
derivazioni a monte e a valle del Moncenisio, nonchè la derivazione dell'Arc verso Tignes, ma
queste influenze hanno un'importanza minima per le portate elevate. I dati di portata utilizzati
nel calcolo sono quelli influenzati dalle derivazioni.
I risultati sono riassunti nella seguente tabella:
Tabella IV-8: Portate medie giornaliere per tempi di ritorno da 10 a 10000 anni.
Esistono più di 250 studi fatti a EDF sul metodo del gradex; essi hanno costatato che la
pioggia decennale è dell'ordine di 5 volte il valore del gradex, e la piena con tempo di ritorno
di 1000 anni è dell'ordine di grandezza di 2 volte la piena centennale. I nostri risultati sono in
accordo con le constatazioni degli studi anteriori.
Si nota che le ritenzioni medie limite dei due bacini sono quasi identiche, il che indica che i
due bacini hanno un comportamento idrologico simile, ma che le piogge sono assai diverse.
IV-10.2. Coefficiente di forma
E' il rapporto tra la portata al colmo massima e la portata media giornaliera massima. Questo
coefficiente serve per definire la distribuzione di probabilità delle portate al colmo massime,
partendo dalla distribuzione dei volumi delle piene catastrofiche, moltiplicando i valori trovati
con questi volumi, espressi in portata media giornaliera, per il coefficiente di forma medio
degli idrogrammi di ruscellamento diretto. Poiché questo rapporto non è costante, si cerca la
correlazione logaritmica tra portata al colmo e portata media; la differenza della media dei
logaritmi delle portate al colmo e la media dei logaritmi delle portate medie definisce il
logaritmo di tale rapporto.
Figure IV-12 e IV-13: Calcolo del coefficiente di forma per i due bacini idrografici.
Si può notare che tale coefficiente è calcolato sul periodo 1972-1995 per il bacino dell'Arc
chiuso a Bramans, e determinato partendo dai valori della stagione a maggior rischio, vale a
dire l'autunno. Per il bacino della Stura di Lanzo, il coefficiente è calcolato partendo dalle
portate massime annuali disponibili per il periodo che va dal 1937 fino al 1994.
IV-10.3. Risultati globali
Le portate massime al colmo per ogni tempo di ritorno sono determinate moltiplicando le
portate medie per un "coefficiente di affinità" (fattore di frequenza caratteristico della
distribuzione). Nella tabella seguente sono indicate le portate al colmo per i due bacini:
Tabella IV-9: Calcolo delle portate massime al colmo.
Si osserva che il gradex della Stura di Lanzo è due volte maggiore di quello dell'Arc a
Bramans. Il rapporto delle portate di piena (medie o al colmo) superiori alla decennale varia
tra 2 e 3.
IV-11. CONCLUSIONI
L'analisi di due bacini idrografici, che sono certamente vicini per la posizione e la
dimensione, ma che ricevono precipitazioni assai diverse, molto più forti da lato italiano che
da lato francese, è molto interessante. Infatti ci si rende conto che le piene dell'Arc a Bramans,
con tempo di ritorno superiore a 100 anni, sono molto più forti di quello che ci si potrebbe
aspettare dalla sola rappresentazione probabilistica delle piene, con un rapporto vicino a due.
Invece, per il bacino italiano, il metodo del gradex dà un'estrapolazione relativamente attesa,
se confrontata con le piene già registrate.
