prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) – 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico “Marconi” di Grosseto – pagina 1 di 5
Extracorrente di chiusura in un circuito “
Consideriamo il circuito “
”
” in figura:
All’istante di tempo
viene chiuso
l’interruttore : la corrente in tale istante
è nulla, cioè
.
Da tale istante nel circuito inizia a
circolare una corrente di intensità
variabile
; partendo da un punto
arbitrario
del circuito, è possibile
scrivere, per la seconda legge di Kirchhoff
(equazione della maglia in senso orario),
l’equazione del circuito:
Ricordiamo che la caduta di tensione sul resistore , per la prima legge di Ohm, è data da
Effettuando le opportune semplificazioni-sostituzioni nell’equazione del circuito si ottiene:
Consideriamo, inizialmente, l’equazione omogenea associata alla precedente:
Separiamo le variabili:
Integriamo membro a membro la precedente espressione:
Il fattore
è costante rispetto alla variabile di integrazione per cui può essere “portato fuori
dal segno di integrale”; risolvendo l’integrale si ottiene:
Passando all’esponenziale:
prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) – 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico “Marconi” di Grosseto – pagina 2 di 5
Il simbolo di valore assoluto è superfluo in quanto la corrente è stata uguagliata ad una funzione
esponenziale per cui non può essere negativa.
Abbiamo trovato la soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata a quella iniziale:
dove
La soluzione particolare dell’equazione differenziale (non omogenea) è il prodotto della soluzione
omogenea (privata della costante) e di una opportuna funzione
, per cui ha la forma
Sostituiamo tale soluzione nell’equazione differenziale iniziale:
Alcuni passaggi:
Anche questa è un’equazione differenziale a variabili separabili:
Integriamo membro a membro la precedente espressione:
Il fattore
è costante rispetto alla variabile di integrazione per cui può essere “portato fuori
dal segno di integrale”; risolvendo l’integrale si ottiene (omettendo la costante arbitraria):
La
soluzione
particolare
dell’equazione
differenziale
è
cioè
La soluzione completa dell’equazione differenziale associata al circuito è data dalla somma della
soluzione particolare e di quella omogenea
.
prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) – 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico “Marconi” di Grosseto – pagina 3 di 5
Per determinare il valore della costante è necessario valutare le condizioni iniziali (problema di
Cauchy): all’istante di tempo
l’intensità di corrente che circola nel circuito è nulla
(
) per cui da
si deduce che
.
In definitiva l’extracorrente di chiusura, in funzione del tempo, è data da:
La quantità
ha le dimensioni di un tempo e viene detta costante di tempo (caratteristico) del
circuito; denotando tale costante con “ ”, la precedente relazione diventa:
Analizziamo i casi limiti:
Dal grafico si deduce che inizialmente nel circuito non circola corrente in quanto l’aumento di
questa determina una variazione del flusso autoconcatenato nell’induttore tale da generare in
esso una corrente contraria a quella che ha dato luogo alla variazione. L’asintoto orizzontale
mostra che dopo un tempo sufficientemente grande (circa ), la corrente si è stabilizzata al suo
valore massimo (dato dalla prima legge di Ohm).
Riepilogando:
dove
prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) – 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico “Marconi” di Grosseto – pagina 4 di 5
Extracorrente di chiusura in un circuito “
Consideriamo il circuito “
”
” in figura:
All’inizio nell’induttore
è concatenato un
flusso
; all’istante di tempo
viene aperto l’interruttore : la corrente
che circola in tale istante è
.
Da tale istante, a causa dell’induttore nel
circuito, circola una corrente di intensità
variabile
; partendo da un punto
arbitrario
del circuito, è possibile
scrivere, per la seconda legge di Kirchhoff
(equazione della maglia in senso orario),
l’equazione del circuito:
Effettuando le opportune semplificazioni-sostituzioni nell’equazione del circuito si ottiene:
Si tratta di un’equazione differenziale omogenea del primo ordine a variabili separabili; separiamo
le variabili e integriamo:
La cui soluzione è data da:
Passando all’esponenziale:
Il simbolo di valore assoluto è superfluo in quanto la corrente è stata uguagliata ad una funzione
esponenziale per cui non può essere negativa.
La soluzione dell’equazione differenziale è:
dove
prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) – 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico “Marconi” di Grosseto – pagina 5 di 5
Per determinare il valore della costante è necessario valutare le condizioni iniziali (problema di
Cauchy): all’istante di tempo
la corrente che circola nel circuito è quella massima (data
dalla prima legge di Ohm):
per cui da
si deduce che
.
In definitiva la corrente di apertura, in funzione del tempo, è data da:
Ricordando che
del tempo è data da:
è la costante di tempo (caratteristico) del circuito, la corrente in funzione
Analizziamo i casi limiti:
Dal grafico si deduce che inizialmente la corrente che circola nel circuito ha valore massimo (dato
dalla prima legge di Ohm)
; nel tempo la diminuzione di corrente e dunque di flusso
autoconcatenato con l’induttore crea una corrente concorde con quella precedente che dunque
non si annichilisce istantaneamente.
Riepilogando:
dove
