Esercizi per il corso di “Complementi di Geometria Superiore”, Prof

Esercizi per il corso di “Complementi di Geometria Superiore”,
Prof. Fioresi 2016. Foglio 3.
Rappresentazioni di Gruppi
1. Sia V uno spazio vettoriale complesso finito dimensionale e si consideri
per ogni trasposizione elementare si = (i, i + 1) in Sn l’automorfismo di
W = V ⊗ · · · ⊗ V cosi’ definito:
L(si )(v1 ⊗ · · · ⊗ vi ⊗ vi+1 ⊗ . . . vn ) = v1 ⊗ . . . vi+1 ⊗ vi ⊗ . . . vn
a) Si dimostri che
L(si )L(si+1 )L(si ) = L(si+1 )L(si )L(si+1 )
e si concluda che le L(si ) definiscono in modo unico un’azione L di tutto il
gruppo Sn su W .
b) Si dimostri che se s ∈ Sn :
L(s)(v1 ⊗ · · · ⊗ vn ) = vs−1 (1) ⊗ · · · ⊗ vs−1 (n)
c) Si supponga ora che V sia un G-modulo e che W sia un G-modulo con
l’azione ρ indotta dall’azione di G su V . Si verifichi che azioni L e ρ commutano tra di loro, cioe’:
ρ(g)L(s) = L(s)ρ(g),
∀g ∈ G, ∀s ∈ Sn
In realta’ questa e’ una (minima) parte del Teorema del commutatore che dice
che tutti gli endomorfismi che commutano con L(Sn ) sono proprio ρ(GL(V ))
(riferimento, “Representation and Invariants of classical groups”, R. Goodman, N. R. Wallach, pag. 136).
2. Si dimostri che SL2 (R) non ammette rappresentazioni unitarie non banali.
0 1
a) Sia A(t) = exp(I + tX) ove X =
e sia T (m) = diag(m, m−1 ) con
0 0
m ∈ Z. Si dimostri che
2
cT (m) A(t) = A(m2 t) = A(t)m
ove cT (m) denota il coniugio per l’elemento T (m).
1
b) Sia ρ : SL2 (R) −→ U(n) una rappresentazione unitaria di SL2 (R). Si
dimostri che gli autovalori di ρ(A(t)) sono tutti radici dell’unita’ e si concluda
che devono tutti essere uguali a 1.
c) Si mostri che il sottogruppo normale generato da A(t) e’ tutto SL2 (R).
3. Si dimostri che c’e’ un isomorfismo di algebre di Lie tra so(3) e R3 ove la
bracket e’ data dal prodotto vettoriale.
4. Elemento di Casimir. Siano Z1 , Z2 , Z3 i tre generatori di so(3), [Z1 , Z2 ] =
Z3 , [Z2 , Z3 ] = Z1 , [Z3 , Z1 ] = Z2 .
a) Si dimostri che r : so(3) −→ End(R3 ),
r(Z1) = x3 ∂2 − x2 ∂3 , r(Z2 ) = x1 ∂3 − x3 ∂1 , r(Z3 ) = x2 ∂1 − x1 ∂2 ,
e’ una rappresentazione (fedele) di so(3).
b) Si consideri l’elemento di Casimir C = −r(Z1 )2 − r(Z2 )2 − r(Z3 )2 e si
dimostri che commuta con tutti gli elementi di r(so(3)).
c) Si mostri che
C = −|x|2 ∆ + E(E + 1)
ove ∆ e’ il laplaciano, cioe’
∆ = ∂12 + ∂22 + ∂32
e E l’operatore di Eulero, cioe’:
E = x1 ∂1 + x2 ∂2 + x3 ∂3
(|x| e’ la moltiplicazione per il modulo del vettore x = (x1 , x2 , x3 )).
d) Si mostri che C(f ) = l(l + 1)f con f ∈ Hl polinomi armonici, cioe’:
Hl = {f ∈ Pl | ∆f = 0}
e) Si dimostri che C e’ un multiplo dell’identita’ su ogni modulo irriducibile
di funzioni R3 −→ C [Aiuto: si usi il lemma di Schur.]
f) Si trovi l’espressione di C in termini di X, Y , H generatori di sl2 (C) ∼
=
so(3) ⊗ C nell’isomorfismo H 7→ 2iZ3 , X 7→ Z1 + iZ2 , Y 7→ Z1 − iZ2 .
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Compatto massimale
1. Sia V uno spazio vettoriale complesso o reale e sia X ∈ gl(V ). Si dimostri
che gli autovalori di ad(X) sono λ − µ, ove λ e µ sono autovalori di X.
2. Sia G0 il gruppo di Lie reale soggiacente G = GLn (C) e g0 la sua algebra
di Lie. Sia U(n) il sottogruppo di G0 unitario e u ⊂ g0 la sua algebra di
Lie (in un es. precedente sappiamo che consiste delle matrici antihermitiane,
cioe’ A = −A∗ ). Sia p0 il sottospazio delle matrici hermitiane (cioe’ A = A∗ ),
si dimostri che:
g0 = u ⊕ p0
[u, p0] ⊂ p0 ,
[p0 , p0 ] ⊂ u,
[u, u] ⊂ u
Si dimostri inoltre che
(u, X) 7→ ueX
U(n) × p0 −→ G0 ,
e’ un diffeomorfismo (si pensi anche alla decomposizione polare, questa e’
una delle sue versioni).
3. Sia la notazione come nell’es. precedente e sia G sottogruppo chiuso
connesso di G0 , g = Lie(G).
a) Si mostri che G = G∗ se e solo se g = g∗ (∗ denota l’aggiunta).
b) Se g = g∗ e k = u ∩ g, p = p0 ∩ g, si mostri che:
g=k⊕p
[k, p] ⊂ p,
[p, p] ⊂ k,
[k, k] ⊂ k
g = k ⊕ p si dice decomposizione di Cartan di g.
c) Se K e’ il sottogruppo corrispondente a k si mostri che
(u, X) 7→ ueX
K × p −→ G,
e’ un diffeormorfismo e che K e’ un compatto massimale entro G.
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