GIAMPAOLO CHIAPPINI
Le tecnologie didattiche nell’apprendimento scientifico: il caso della matematica
Nell’operare con espressioni e proposizioni algebriche, molti studenti compiono una vasta
tipologia di errori che evidenziano gravi difficoltà sul piano della comprensione e dello sviluppo concettuale.1
Le difficoltà di apprendimento dell’algebra hanno radice nelle caratteristiche del linguaggio
simbolico usato per l’attività algebrica2 e in ostacoli di natura epistemologica che hanno caratterizzato lo sviluppo concettuale dell’algebra sul piano storico.3
La didattica dell’algebra incontra difficoltà a costruire condizioni affinché gli studenti possano realizzare gli sviluppi concettuali che sono necessari per interpretare i simboli
dell’algebra.
Questa frase di Bertrand Russell esemplifica molto bene questa difficoltà:
When we come to algebra, and have to operate with x and y, there is a natural desire to know what x and y really are.
4
That, at least, was my feeling: I always thought the teacher knew what they really were, but would not tell me.
Gli oggetti algebrici hanno una natura astratta. Anche per studenti molto motivati ad apprendere la matematica può non essere facile costruirsi un’idea di essi attraverso l’uso dei
segni che li rappresentano. Le difficoltà degli studenti in algebra sono dovute ad un sorta di
paradosso dell’apprendimento che può emergere nell’approccio a questa disciplina.5
1
F. Arzarello, L. Bazzini, G. Chiappini, “A Model for analysing algebraic processes of
thinking”, in Perspectives on school algebra, eds. R. Sutherland, T. Rojano, A. Bell e R. Lins,
Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2002, pp. 61-81; E. Filloy, T. Rojano, G. Rubio,
“Propositions concerning the resolution of arithmetical-algebra problems”, in Perspectives on
school algebra cit., pp. 155-176; C. Kieran, “Cognitive processes involved in learning school
algebra”, in P. Nesher & J. …
2
F. Arzarello, L. Bazzini, G. Chiappini, “A Model for analysing algebraic processes” cit.; A.
Arcavi, “Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics”, For the Learning of
Mathematics, 14, 3, 1994, pp. 24-35; J.-Ph. Drouhard, « Algèbre, calcul symbolique et didactique », in Actes 8ème École d'Été de Did. des Math., dirs. R. Noirfalise e M.-J. Perrin-Glorian,
Clermont-Ferrand, IREM, 1995, pp. …; L. Radford, L. Puig, “Syntax and meaning as sensuous, visual, historical form of algebraic thinking”, Educational Studies in Mathematics, 66,
2007, pp. 145-164.
3
H. Stembring, “What makes a sign a mathematical sign – An epistemological perspective
on mathematical interaction”, Educational Studies in Mathematics, 61, 2006, pp. 133-162; A.
Gallardo, “Historical-epistemological analysis in mathematics education: two works in didactics of algebra”, in Perspectives on school algebra cit., pp. 121-140; L. Puig, “History of algebraic ideas and research on educational algebra”, in Proceedings of ICME 10,
www.icme10.dk/proceedings/pages/regular_pdf/RL_Luis_Puig.pdf; A. Sfard, “On the dual nature
of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the
samecoins”, Educational Studies in Mathematics, 22, 1992, pp. 1-36; Chevallard, 1989, …
4
B. Russell, An Outline of Philosophy, …, …, 1927, p. 68.
5
C. Bereiter, “Toward a solution of the learning paradox”, Review of Educational Research, 55,
1985, pp. 201-226.
Secondo Bereiter, tutti gli apprendimenti concettuali che estendono il range e la complessità delle relazioni di cui gli studenti sono in grado di tenere in considerazione nel loro pensiero e nella loro azione con il linguaggio in uso possono essere caratterizzati da una sorta
di paradosso, in quanto le estensione concettuali coinvolte in tali apprendimenti possono
non trovare alcuna connessione con i concetti già a loro disposizione. Questo è ciò che
spesso succede nell’apprendimento dell’algebra. Quando gli studenti si approcciano
all’algebra si trovano ad operare con dei simboli che traggono il loro significato da idee che
sono specifiche di questo dominio di conoscenza e che sono molto distanti, in molti casi in
aperto conflitto, con quelle di cui hanno fatto esperienza in ambito aritmetico. Filloy e Rojano usano l’espressione didactical cut per descrivere la distanza che si può determinare in algebra tra la prestazione richiesta e l’esperienza pregressa degli studenti.6 Nell’attività didattica che prende vita in classe, si viene spesso a generare un circolo vizioso in cui gli studenti
rispondono alle richieste degli insegnanti attraverso un uso di segni algebrici vuoto di significato. Gli studenti definiti dalla Sfard come pseudo formalisti7 e, più in generale, il vasto
corpo di ricerche riguardanti gli errori degli studenti in algebra, testimoniano le difficoltà
della didattica nel favorire il superamento del paradosso dell’apprendimento descritto.
Sino ad oggi la didattica dell’algebra non è riuscita a realizzare condizioni concrete di mediazione semiotica, riproducibili in contesti diversi, in grado di favorire lo sviluppo dei significati inerenti ai simboli algebrici, in modo contestuale al loro uso nell’attività.
In questo lavoro viene presentato un modello didattico che è centrato sulla nozione di Laboratorio Didattico di Matematica e che è volto ad analizzare le trasformazioni
dell’insegnamento dell’algebra attraverso l’uso delle tecnologie digitali. Questo modello viene impiegato per evidenziare le potenzialità del sistema AlNuSet, realizzato presso l’Istituto
per le Tecnologie Didattiche (ITD) del CNR, nell’innovare profondamente la didattica
dell’algebra. Prima di illustrare e discutere questo modello è necessario inquadrare due problematiche che caratterizzano il processo di insegnamento/apprendimento dell’algebra. La
prima riguarda la costruzione di un senso per i simboli algebrici e per la comprensione di
cosa essi denotano. La seconda problematica riguarda le nozioni algebriche che è possibile
insegnare nel contesto scolastico. Per inquadrare queste due problematiche faremo riferimento rispettivamente alla semiotica di Peirce e alla teoria della trasposizione didattica di
Chevallard.8
Un quadro semiotico per spiegare la costruzione del senso per i simboli algebrici
La semiotica di Peirce risulta particolarmente interessante per spiegare la costruzione del
senso per i simboli algebrici e la comprensione di ciò che essi denotano.
Il modello semiotico di Peirce è un modello triadico in cui il Segno, inteso come medium
della comunicazione, è determinato dal suo Oggetto Dinamico (cioè l’oggetto quale esso è
nella realtà che spinge a produrre semiosi) e determina il suo Interpretante, che sta per il
suo Oggetto Immediato (cioè il modo in cui l’Oggetto Dinamico viene focalizzato attraverso il segno dell’interpretante).
6
E. Filloy, T. Rojano, “Solving equations: The transition from arithmetic to algebra”, For
the Learning of Mathematics, 9, 2, 1989, p. …
7
A. Sfard, “On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and
objects as different sides of the samecoins”, Educational Studies in Mathematics. 22, 1992, p.
…
8
C. S. Peirce, …, in Opere, a cura di M. Bonfantini, …, Bompiani, 2003, p. …; Y. Chevallard, La Transposition didactique, La Pensée sauvage, …, …, 1985, p. …
A seconda della relazione che il segno stabilisce con il suo oggetto di riferimento, Peirce distingue fra tre generi di segni e cioè tra icone, indici e simboli.
Quando si opera con il linguaggio algebrico generalmente siamo portati a pensare di operare con dei simboli. Osserviamo che nel quadro semiotico di Peirce un simbolo è un segno
che si riferisce ad un oggetto in virtù di una legge, una regola, una convenzione che fa sì
che esso sia interpretato come riferito a quell’oggetto.
Per esempio il segno “+” contenuto nell’espressione 8+4 è un simbolo in quanto è in base
ad una convenzione che può essere interpretato come rappresentante l’operazione di addizione ed è in base ad una disposizione che tale operazione può essere realizzata in modo
socialmente condiviso.
Un simbolo permette di entrare in contatto in modo automatico con un’idea ad esso associata. Questo succede perché il soggetto che usa il simbolo ha già sviluppato un’esperienza
del legame tra il simbolo e l’idea ad esso associata. Un’idea, però, non può essere comunicata ad una persona che non è mai entrata in contatto con essa attraverso un simbolo.9 La
frase di Russsell riportata in precedenza ne è una testimonianza. Un’idea nuova può essere
comunicata per mezzo di figure o metafore o facendo emergere l’aspetto iconico o indicale
sempre presente dietro l’uso convenzionale del simbolo.
L’aspetto interessante della nozione di simbolo in Peirce consiste nella sua osservazione del
fatto che dietro una regola, per esempio una regola formale dell’algebra, ci sono sempre dei
legami indicali e iconici con l’oggetto rappresentato e con le sue proprietà, legami che possono emergere attraverso i suoi interpretanti. Il riconoscimento di questi legami è alla base
dello sviluppo di processi di semiosi che consentono di costruire un significato condiviso
per oggetti e fenomeni ignoti e di risolvere il paradosso dell’apprendimento di Bereiter illustrato precedentemente.
Per analizzare più in dettaglio i processi di semiosi coinvolti nell’apprendimento
dell’algebra, consideriamo l’espressione 2n+1 nel dominio dei numeri naturali e cerchiamo
di comprendere i processi coinvolti nella sua interpretazione, analizzando in che modo
2n+1 si riferisce al suo Oggetto, che è costituito dalla classe dei numeri dispari.
L’interpretazione di 2n+1 comporta innanzitutto la necessità di riconoscere l’oggetto indicato da tale espressione, cioè di riconoscere che 2n+1 rappresenta in modo indeterminato
tutti i numeri dispari. In base alla classificazione operata da Peirce, i segni, in quanto indice,
coinvolgono tre sub-tipi: il tipo deittico, come il dito che indica; il tipo causale, come la
manica vento; il tipo etichetta (label), che indica un oggetto in modo convenzionale. Il legame indicale di 2n+1 con la classe dei numeri dispari può essere colto attraverso
un’inferenza che si determina in base all’esperienza del soggetto. Notiamo che la persona
esperta in algebra interpreta il legame indicale di 2n+1 con i numeri dispari in quanto label
(quindi in modo simbolico), non altrettanto gli studenti che si approcciano all’algebra. Questi ultimi devono prima fare esperienza del rapporto di causa/effetto fra 2n+1 e il suo oggetto di riferimento attraverso la determinazione di valori calcolati delle espressioni. Osserviamo che l’espressione 2n+1 non è in grado di esprimere in modo deittico ciò di cui essa è
indice.
Inoltre Peirce ha evidenziato che il carattere distintivo di un segno convenzionale come
2n+1 è essere un’icona. Per Peirce un’icona è un segno che ha una relazione con l’oggetto
di riferimento sulla base di una somiglianza, cioè il segno e l’oggetto hanno una qualità o
una struttura comune.
Notiamo che la struttura analitica di 2n+1 evidenzia una somiglianza con la seguente proprietà dell’oggetto a cui si riferisce: essere il successivo di un numero pari. Questa proprietà
9
U. Eco, Kant e l’ornitorinco, …, Bompiani, 1997, p. …
dei numeri dispari è riflessa iconicamente nella struttura analitica dell’espressione. Per comprendere i processi coinvolti nell’interpretazione di questo legame iconico occorre osservare che due entità simili (la struttura analitica di 2n+1 e la proprietà dei numeri dispari descritta) possono essere messe in relazione solo da un individuo che abbia già fatto esperienza del contenuto dei simboli algebrici coinvolti nell’espressione e che sia in grado di inferire, nei legami operazionali tra i varie elementi dell’espressione, una somiglianza con la proprietà dell’oggetto di riferimento dell’espressione. In altre parole, l’interpretazione del legame iconico di 2n+1 comporta inferenze di natura simbolica.
Infine Peirce ha evidenziato che un espressione come 2n+1 è un diagramma in quanto può
essere manipolata in base a certe regole convenzionali. Per esempio, trasformazioni diagrammatiche di 2n+1 portano ad ottenere le espressioni n+(n+1) e (n+1)2-n2. La trasformazione algebrica serve a mettere in evidenza nuove verità dell’oggetto di riferimento
nell’espressione che viene trasformata, cioè, in questi casi, le proprietà di essere rispettivamente somma di due numeri consecutivi e differenza dei quadrati di due numeri consecutivi.
Riconoscere i legami iconici e indicali dietro le regole e i simboli dell’algebra sta alla base
dello sviluppo dei processi di semiosi che permettono la costruzione di significati in ambito
algebrico. La didattica attuale dell’algebra non favorisce questo riconoscimento.
La ricerca attuata presso l’ITD ha messo in luce che è possibile usare la tecnologia per rendere disponibili nuovi interpretanti per i simboli algebrici in grado di favorire il riconoscimento dei legami iconici e indicali che le espressioni e le proposizioni algebriche stabiliscono con i loro oggetti di riferimento.
Quali nozioni di algebra è possibile insegnare a scuola?
L’uso del linguaggio algebrico coinvolge un numero variegato di nozioni e di competenze
che devono essere insegnate e apprese.
Con la Teoria della Trasposizione Didattica, Chevallard ha evidenziato che non tutte le conoscenze matematiche sono oggetto di insegnamento esplicito a scuola e ha suddiviso la
conoscenza matematica coinvolta nella pratica didattica in tre categorie.10
Vi sono innanzitutto quelle che egli definisce nozioni matematiche che presentano la caratteristica di poter essere insegnate esplicitamente. Si tratta di nozioni di cui si hanno definizioni
precise e di cui si possono dimostrare proprietà e precisare i modi di impiego.
L’apprendimento di tali nozioni può essere soggetto a valutazione e, quindi, in qualche modo misurato.
Vi sono poi le nozioni paramatematiche. Queste non costituiscono oggetto di insegnamento
esplicito, rivestono un ruolo di strumento dell’attività matematica, hanno un nome (per
esempio, parametro, dimostrazione, formula, espressione, variabile, costante …), non sono
oggetto di insegnamento diretto, ma gli studenti sono esposti ad esse nel corso dello sviluppo della pratica didattica. L’importanza di queste nozioni è percepita, mentre è più difficile
giungere ad una piena condivisione dei significati e valutarne l’apprendimento.
Esistono infine le nozioni protomatematiche che vengono utilizzate nell’attività solo in modo
implicito, non hanno nome né definizioni. Riguardano competenze che si costruiscono nella
pratica e che possono vivere solo come pratica. Costituiscono esempio di nozioni protomatematiche la competenza di riconoscere in un’espressione di grado due la possibilità di una
fattorizzazione semplice o quella di rendersi conto che un calcolo non è terminato. Queste
nozioni, spesso, non vengono neppure percepite nel corso dell’attività didattica.
Se consideriamo il problema di insegnamento messo in luce dalla questione posta da Russell
10
Y. Chevallard, La Transposition didactique cit., p. …
relativa al suo approccio all’algebra, si può notare che la pratica didattica attuale dell’algebra,
di natura essenzialmente logico-simbolica, non è in grado di orientare gli studenti nel compiere l’esperienza di cosa siano realmente x e y in algebra in tempi ragionevoli e con risultati
accettabili sul piano dell’apprendimento. Questo non consente agli studenti di attribuire un
senso appropriato all’uso di tali lettere nel dominio dell’algebra.
Chevallard ha evidenziato che il quadro delle nozioni di cui è possibile realizzare un insegnamento specifico non è statico. Esso, ovviamente, può cambiare se cambia il livello scolare di insegnamento.
Anche l’introduzione di nuovi strumenti per l’attività didattica può, però, modificare profondamente questo quadro.
La ricerca attuata presso l’ITD ha messo in luce che è possibile usare la tecnologia per rendere disponibili nuovi interpretanti di espressioni e proposizioni algebriche che consentono
di reificare le principali nozioni astratte dell’algebra elementare mediante rappresentazioni
che sono controllabile sul piano percettivo e motorio. Questo aspetto può modificare profondamente il quadro della pratica didattica, e cioè le nozioni che è possibile insegnare, il
modo in cui possono essere insegnate e i tempi per il loro insegnamento.
Un modello per studiare la trasformazione della didattica mediata dalla tecnologia: la nozione di Laboratorio Didattico di Matematica
In questo lavoro viene presentato un modello didattico per analizzare le trasformazioni che
possono prendere vita attraverso l’uso di tecnologie digitali in ciò che si insegna di algebra e
nel modo in cui lo si insegna. Questo modello usa la nozione di Laboratorio Didattico di
Matematica (LDM) come strumento per orientare l’analisi delle trasformazioni di pratica
didattica mediate dalla tecnologia.11
Gli artefatti digitali di interesse per la nostra analisi sono quelli che consentono di strutturare un nuovo ordine operativo (nuove tecniche per l’azione), rappresentativo (nuove forme
di rappresentazione degli oggetti matematici) e sociale (nuove pratiche didattiche, nuova
sequenzializzazione del sapere, nuovi modi per esternalizzare, comunicare, condividere e
negoziare idee e significati) caratterizzato da interpretanti dei simboli e delle nozioni matematiche che possano essere controllati sul piano percettivo e motorio.
In generale, quando si assoggetta una certa realtà ad un ordine operativo e rappresentativo
diverso da quello “naturale” o da quello storicamente determinato, si fa ciò per poter studiare meglio questa realtà, per poterla meglio investigare. La ricerca in Sociologia della Conoscenza Scientifica ha studiato a fondo questo processo, che è tipico della ricerca scientifi11
Il Laboratorio Didattico di Matematica (LDM) è lo spazio fenomenologico
dell’insegnamento/apprendimento della matematica strutturato dall’uso di un artefatto digitale, in cui vengono indagati i cambiamenti di pratica didattica resi possibili
dall’assoggettamento di una conoscenza matematica all’ordine operativo, rappresentativo e
sociale di questo artefatto, per riconfigurarla in oggetto di insegnamento e investigazione
per gli studenti, consentirne una più facile negoziazione dei significati e farla quindi apprendere più efficacemente. G. Chiappini, “Il laboratorio didattico di matematica: riferimenti teorici per la sua costruzione”, in Il laboratorio matematico scientifico: suggerimenti ed esperienze, a cura di R. Garuti, A. Orlandoni e R. Ricci, allegato a Innovazione Educativa, 8, 2007,
pp. …; G. Chiappini, M. Reggiani, “Toward a didactical practice based on mathematics laboratory activities”, Proceedings of 3rd Conference of the European Society for Research in Mathematics
Education (Bellaria, 2003), www.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings; M. Reggiani, “Il
laboratorio come ‘ambiente’ per l’insegnamento-apprendimento della matematica: riflessioni”, in L’Insegnamento della Matematiche e delle Scienze Integrate, 31, 2008, pp. 645-664.
ca, e ha evidenziato che attraverso di esso la realtà che si intende studiare viene portata in
laboratorio, cioè nello spazio fenomenologico che si struttura proprio in base al nuovo ordine fornito dalla tecnologia del laboratorio.12 Attraverso il nuovo ordine del laboratorio
vengono costruite le fenomenologie che si vogliono indagare, che vengono rappresentate,
osservate e interpretate.
La realtà che viene indagata nel LDM è costituita da un certo sapere matematico o da una
certa conoscenza matematica che si vuole insegnare con più efficacia attraverso l’uso
dell’artefatto digitale.
In questo quadro, la nozione di LDM può costituire uno strumento per orientare l’analisi
dei processi di trasposizione didattica che possono emergere con l’uso di un artefatto digitale,13 in termini di:
• analisi delle fenomenologie relative agli oggetti matematici, alle loro proprietà e relazioni che possono essere costruite attraverso il nuovo ordine operativo, rappresentativo e sociale mediato dall’artefatto. Gli studi di sociologia della conoscenza
scientifica costituiscono il riferimento principale per questa analisi;14
• analisi dei processi di semiosi coinvolti nell’interpretazione di tali fenomenologie e
della possibilità che possano favorire il riconoscimento dei legami iconici e indicali
coinvolti nell’uso dei simboli matematici. La semiotica di Peirce costituisce il riferimento principale per questa analisi;15
• analisi delle nozioni coinvolte nell’interazione con tali fenomenologie e della possibilità che esse possano diventare oggetto di insegnamento e di investigazione per gli
studenti. La teoria della Trasposizione Didattica costituisce il riferimento principale
per questa analisi.16
In questo lavoro si farà riferimento al sistema AlNuSet per illustrare e discutere alcune profonde trasformazioni della pratica didattica di algebra che possono prendere vita con l’uso
di questo sistema.
Breve descrizione del sistema AlNuSet
AlNuSet è un sistema realizzato presso l’ITD nell’ambito del progetto comunitario ReMath
per migliorare i processi di insegnamento e apprendimento dell’algebra, degli insiemi numerici, delle funzioni.17
AlNuSet è composto da tre ambienti strettamente integrati: la Retta Algebrica, il Manipolatore Simbolico e l’ambiente Funzioni. Il primo è stato progettato per favorire lo sviluppo di
un approccio quantitativo all’algebra, il secondo lo sviluppo di un approccio all’algebra delle operazioni formali, il terzo lo sviluppo di un approccio funzionale all’algebra.
Retta Algebrica
La Retta Algebrica di AlNuSet è la retta dei numeri usuale potenziata di possibilità operative e rappresentative di natura algebrica rese disponibili attraverso lo sfruttamento della tecnologia digitale.
12
K. Knorr-Cetina, The Manufacture of Knowledge, Oxford, Pergamon, 1981, p. …
Y. Chevallard, La Transposition didactique cit., p. …
14
K. Knorr-Cetina, The Manufacture of Knowledge, Oxford, Pergamon, 1981, p. …
15
C. S. Peirce, …, in Opere cit., p. …
16
Y. Chevallard, La Transposition didactique cit., p. …
17
AlNuSet è distribuito dalla società DiDiMa srl, spin off della ricerca realizzata presso
l’ITD, www.alnuset.com.
13
Punto di partenza della trasformazione della retta numerica in retta algebrica è la possibilità
di associare una lettera (per esempio la lettera x) ad un punto mobile sulla retta (cioè ad un
punto trascinabile con il mouse).
Tutte le possibilità operative e rappresentative di natura algebrica disponibili in questo ambiente sono di natura visiva, dinamica e spaziale e quindi controllabili sul piano percettivo e
motorio. In questo lavoro ci si riferisce, in particolare, a tale ambiente.
Manipolatore simbolico
Questo ambiente è stato progettato per innovare profondamente l’algebra delle operazioni
formali attuata nel contesto scolastico e per integrarla con un’algebra delle quantità mediata
dall’uso della Retta Algebrica.
Il manipolatore rende disponibile attraverso l’interfaccia un insieme strutturato di regole di
base che consente di realizzare qualsiasi manipolazione algebrica prevista dal curriculum di
algebra della scuola media e della scuola superiore. Queste regole corrispondono alle proprietà di base delle operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, alle proprietà di
uguaglianze e disuguaglianze tra espressioni algebriche, a operazioni di base di tipo logico
tra proposizioni e tra insiemi. Il sistema inoltre consente di creare nuove regole di trasformazione, una volta che esse sono state dimostrate usando i comandi disponibili.
Ambiente Funzioni
Questo ambiente è costituito dalla retta algebrica e da un piano cartesiano. È possibile selezionare un’espressione rappresentata sulla retta algebrica e ottenerne il grafico nel piano
cartesiano in funzione dei valori di una lettera contenuta nella sua forma, scelta come variabile dall’utente. Il trascinamento del punto corrispondente a tale lettera sulla retta algebrica
determina, da una parte, il movimento del punto corrispondente all’espressione sulla stessa
retta algebrica e, dall’altra, il movimento del punto corrispondente alla coppia rappresentata
dal valore della lettera e dal valore dell’espressione sul grafico del piano cartesiano.
Nel seguito, attraverso alcuni esempi centrati sull’uso della Retta Algebrica verrà evidenziato che l’ordine operativo e rappresentativo che emerge nell’uso di AlNuSet può consentire
di attuare un nuovo tipo di didattica per far comprendere cosa è x in algebra.
Nuove fenomenologie mediate da AlNuSet per comprendere cosa è x in algebra
Prima di analizzare più in dettaglio le varie fenomenologie del simbolo x che sono reificate
nell’uso della retta algebrica, vediamo cos’è concretamente x sulla retta algebrica di AlNuSet.
Le immagini riportate nella figura 1 mostrano la retta algebrica di AlNuSet.18
Come si può notare, in questo ambiente la lettera x, una volta editata, diventa qualcosa di
molto concreto, un punto mobile sulla retta che può essere trascinato con il mouse. Se il
punto non viene spostato, x assume un valore ben definito sulla retta. Trascinandolo con il
mouse, varia il valore che x assume sulla retta.
18
In realtà, in questo ambiente le rette sono due, identiche tra loro. Questo per ragioni operative connesse con la disponibilità di un editore geometrico per la costruzione di espressioni algebriche sulla retta. Poiché sono identiche, nel seguito, riferendoci ad esse, parleremo di retta algebrica, al singolare.
figura 1. Due immagini del trascinamento del punto mobile x sulla retta
Il punto mobile associato alla lettera x è un interpretante del simbolo x pienamente controllabile sul piano percettivo e motorio. Nel seguito mostreremo che a seconda di come si
agisce con il punto mobile x nel contesto dell’attività, possono emergere differenti fenomenologie, che possono essere messe in relazione a differenti significati di x che fanno riferimento a nozioni quali quelle di numero generalizzato, costante, variabile, incognita. Tali fenomenologie possono essere efficacemente sfruttate per attuare una didattica specifica relativa a tali nozioni. Osserviamo che nella costruzione di queste fenomenologie non è coinvolta l’attività di manipolazione algebrica. Questo fa sì che sia possibile sviluppare le principali nozioni dell’algebra prescindendo dagli aspetti di calcolo. Questo permette di anticipare l’introduzione di molti concetti algebrici e di capire cosa è x in algebra anche nel primo approccio a questa materia.
Nuove fenomenologie per comprendere ciò di cui x è indice nei vari domini numerici
La Retta Algebrica di AlNuSet può essere instanziata in vari domini numerici scegliendo tra
Numeri Naturali, Interi Relativi, Numeri Razionali e Full Domain. Nei Numeri Naturali x
può assumere solo valori interi positivi, nei Relativi anche quelli negativi, nei Numeri Razionali può assumere valori razionali compresi tra due interi, nel Full Domain può assumere valori relativi alle potenze razionale di numeri razionali.
Se si seleziona Full Domain e vengono costruiti o editati numeri come (2)½ oppure 2/3,
questi vengono rappresentati sulla retta come nella prima immagine della figura 2. Muovendo il punto x con il mouse è possibile spostarlo su uno di questi valori e su qualunque
altro valore razionale o irrazionale rappresentato su di essa.
Se ora si seleziona il dominio dei numeri razionali emerge un importante evento. Il punto
corrispondente al valore (2)½ scompare dalla retta (si veda seconda immagine della figura 2).
Di conseguenza x non può più essere spostato su questo valore. Analogamente, se si seleziona il dominio dei numeri interi il numero 2/3 scompare dalla retta e x non può essere
più spostato su questo valore (si veda terza immagine della figura 2). Notiamo che in
quest’ultimo caso il punto mobile x, se trascinato, si “muove” in modo discreto sui punti
della retta che corrispondono ai numeri interi.
figura 2. Fenomenologia di ciò di cui x è indice in differenti domini numerici
Se invece sulla retta si inseriscono (4)½ e 4/2, questi due numeri vengono a coincidere nello
stesso punto di 2, risultano rappresentati sulla retta in tutti i domini numerici e il punto
mobile x può essere trascinato su di essi (si veda quarta immagine della figura 2).
Le fenomenologie descritte possono essere sfruttate sul piano didattico per discutere problematiche riguardanti ciò che x indica nei vari domini numerici, l’appartenenza o meno di
numeri ad un insieme numerico, la chiusura o meno delle operazioni nei vari insiemi numerici.
Questo è un primo tipo di esperienza che la Retta Algebrica di AlNuSet consente di compiere per esplorare cosa è concretamente x in algebra, cioè l’esperienza di simbolo per indicare in modo indeterminato e generale tutti gli elementi di un insieme numerico o un particolare elemento di tale insieme. Il punto mobile associato a x è un interpretante di questo
simbolo che permette di riconoscere il legame indicale che x stabilisce con gli elementi di
un insieme numerico che esso rappresenta in modo indeterminato. Parafrasando una frase
di Peirce, possiamo dire che con il trascinamento del punto mobile, x si impadronisce dei
nostri occhi e li costringe verso gli oggetti numerici che rappresenta e che il suo interpretante, il punto mobile, indica in modo concreto.
Nuove fenomenologie per comprendere la nozione di variabile e per attuare una didattica sulle espressioni
algebriche
La Retta Algebrica consente di compiere anche un’altra esperienza del simbolo x, ovvero
l’esperienza di variabile, cioè di numero che varia nell’ambito di una sua relazione funzionale con un’espressione che contiene tale variabile.
Nell’ordine operativo e rappresentativo di questo ambiente la lettera x è un punto mobile
con una sua indipendenza di movimento; questa caratteristica operativa può essere usata
metaforicamente per costruire un’idea per la nozione di “variabile indipendente”. Invece,
l’espressione contenente x è associata ad un punto la cui posizione è dipendente dal trascinamento di x; questa caratteristica può essere usata metaforicamente per costruire un’idea
per la nozione di “variabile dipendente”. Quando x non viene spostato, x rappresenta una
costante e l’espressione che la contiene indica il valore calcolato in base alle operazioni contenute nella sua forma.
Con AlNuSet è possibile realizzare, già nel primo approccio all’algebra, un insegnamento
specifico per nozioni e competenze coinvolte nell’uso di espressioni algebriche che nella
pratica didattica corrente è molto posticipato o addirittura mai realizzato. Vediamo alcuni
esempi.
Alla seguente domanda: È vero che le espressioni –x e –x2 rappresentano sempre un numero negativo?,
numerosi studenti rispondono che ciò è vero per –x, mentre non è vero per –x 2. Per questi
studenti –x 2 rappresenta sempre un numero positivo, in quanto determinato dal prodotto
di –x per –x che dà come risultato un numero positivo.
Queste interpretazioni errate sono piuttosto diffuse e rivelano grosse difficoltà nella padronanza del linguaggio algebrico sul piano sintattico e semantico.
Le immagini della figura 3 mostrano ciò che emerge con il trascinamento del punto mobile
x dopo aver rappresentato sulla retta algebrica –x, –x2 e altre due espressioni, –(x)2 e (-x)2,
utili per favorire la comprensione della funzione del simbolo “–” sul piano semantico
figura 3. Fenomenologia relativa alla positività di alcune espressioni con il trascinamento di x
Questa fenomenologia può avere una grande rilevanza sul piano didattico perché è particolarmente utile per modificare le concezioni errate degli studenti. Consente agli studenti che
credono che –x rappresenti sempre un numero negativo di fare l’esperienza che se x assume valori negativi, –x assume valori positivi, e viceversa. Inoltre, favorisce lo sviluppo dei
processi di semiosi coinvolti nella comprensione del significato di opposto svolta dal segno
“–” posto davanti ad una variabile o ad una parentesi, anche in relazione all’operazione di
elevamento ad una potenza pari. Esperienze di questo tipo possono essere particolarmente
efficaci per la costruzione di un senso condiviso per i segni e le regole algebriche perché
consentono di legare strettamente la riflessione sintattica con quella semantica.
Un secondo esempio di attività didattica sulle espressioni riguarda l’uso del linguaggio algebrico per studiare proprietà dei numeri. Consideriamo il seguente compito:
Nell’ambiente retta algebrica di AlNuSet seleziona il dominio dei numeri naturali, usa appropriati nomi per indicare in
modo generale due numeri dispari consecutivi, rappresenta tali nomi sulla retta algebrica e verifica che superino il test del
trascinamento. Usa tali nomi per scrivere l’espressione che rappresenta la somma di due numeri dispari consecutivi e usa
la retta algebrica per esplorare la proprietà che caratterizza i numeri da essa indicati. Esprimi questa proprietà con un
enunciato. Esprimi l’espressione in un’altra forma che consenta di evidenziare più esplicitamente la proprietà individuata. Usa il test del trascinamento per verificare che le espressioni sono tra loro equivalenti.
Il test di trascinamento citato nel primo paragrafo del testo consiste nella verifica che i nomi rappresentati sulla retta indicano una coppia di numeri dispari consecutivi durante il trascinamento dei punti mobili contenuti nelle loro forma. Se uno studente usa come nomi,
per esempio, x e y, oppure d e d+2 (evento piuttosto frequente), il test di trascinamento
consente immediatamente di evidenziare che essi non sono appropriati per indicare una
qualsiasi coppia di numeri che, in base al testo, devono presentare la proprietà di essere dispari e consecutivi. Il trascinamento dei punti mobili svolge una funzione di validazione per
il processo di nominalizzazione. Lo sfruttamento sul piano didattico di questa funzione di
validazione permette di attuare un insegnamento specifico sulla nominalizzazione,19 di difficile realizzazione in un ordine operativo e rappresentativo diverso. Inoltre nella soluzione
di questo compito, il trascinamento del punto mobile svolge anche una funzione didattica
di mediazione nella costruzione e nella verifica di congetture. Infatti rappresentata sulla retta l’espressione relativa alla somma di due numeri dispari consecutivi (2x+1+2x+3), il trascinamento del punto x può essere usato per esplorare e cogliere regolarità numeriche in
ciò che questa espressione indica. Il trascinamento può, infine, essere usato per verificare
che esistono forme equivalenti dell’espressione (4*x+4; 4*(x+1)) in grado di evidenziare
con più efficacia la proprietà individuata. Il test di trascinamento consente di validarne
l’equivalenza.
L’ordine operativo e rappresentativo della Retta Algebrica consente di attuare una didattica
specifica sulle nozioni di uguaglianza ed equivalenza tra espressioni algebriche.
Osserviamo che nell’ambiente Retta Algebrica se si inseriscono due espressioni sulla retta, è
possibile che per qualche valore di x le due espressioni facciano riferimento ad uno stesso
punto, cioè abbiano lo stesso valore.
Con il trascinamento della variabile x sulla retta possono emergere differenti fenomenologie che possono essere messe in relazione con differenti significati relativi all’uguaglianza
algebrica. La coincidenza di due espressioni in un punto della retta durante il trascinamento
del punto mobile x è indice di:
• uguaglianza condizionata dal valore della variabile, se le due espressioni coincidono
tra loro sulla retta solo per alcuni valori delle variabili durante il loro trascinamento
sulla retta (per esempio l’espressione 2*x+3 e l’espressione 5*x coincidono tra loro
solo per x=1);
• equivalenza, se le due espressioni coincidono tra loro sulla retta per ogni valore assunto dalla variabile durante il suo trascinamento sulla retta (per esempio
l’espressione 2*x+3*x e l’espressione 5*x, oppure le espressioni 4*(x+1) e
2x+1+2x+3;
• equivalenza con restrizione, se le due espressioni coincidono tra loro per ogni valore assunto dalla variabile durante il suo trascinamento sulla retta, escluso uno o più
valori, per cui una delle due espressioni scompare dalla retta e avendo la possibilità
di verificare concretamente che non è più presente su di essa (per esempio,
l’espressione (x2+x)/x e l’espressione x+1 coincidono tra loro per ogni valore di x
tranne che per il valore x=0, per il quale la prima espressione scompare dalla retta).
Nuove fenomenologie per comprendere la nozione di incognita e per attuare una didattica sulle proposizioni
algebriche
Se nell’ambiente Retta Algebrica oltre alle espressioni 2x+3, 2x+3x, 5x vengono editate anche le due uguaglianza 2x+3=5x e 2x+3x= 5x, queste ultime vengono riportate in una
specifica finestra dell’ambiente denominata Sets (figura 4). Notiamo che, mentre le espressioni sono punti sulla retta, le proposizioni (per esempio, le uguaglianze) sono associate ad
un marcatore colorato, cioè ad un pallino che può essere verde o rosso, a seconda del valore rispettivamente vero/falso che assume l’uguaglianza in base al valore corrente della lettera sulla retta.
19
F. Arzarello, L. Bazzini, G. Chiappini, “The process of naming in algebraic thinking”, in
Proceedings of the 18th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, eds. J. P. da Ponte J. F. Matos, …, …, 1994, 2, pp. 40-47.
Il marcatore rosso/verde associato ad un’uguaglianza algebrica (e, in generale, a qualsiasi
proposizione algebrica) costituisce un interpretante per la nozione di valore di verità di una
proposizione che è sotto il pieno controllo della percezione e dell’azione. Questo marcatore
consente di fare esperienza di questa nozione, di parlare di essa. Consideriamo, per esempio, le immagini sotto riportate della figura 5. Si può notare che quando il punto variabile x
viene trascinato sul valore 1, entrambi i pallini delle due uguaglianze sono verdi. Ciò è indice del fatto che per questo valore di x entrambe sono vere. Trascinando il punto mobile x,
è possibile notare che per ogni altro valore associato alla variabile x, il pallino accanto
all’equazione 2x+3=5x è rosso, e ciò è indice del fatto che per tutti questi valori tale uguaglianza è falsa, mentre quello relativo all’uguaglianza 2x+3x=5x è sempre verde, e ciò è indice del fatto che per tutti i valori del trascinamento tale uguaglianza è vera.
figura 4. Fenomenologia per lo sviluppo della nozione di valore di verità di un’uguaglianza
Queste fenomenologie emergono nel corso dell’azione di trascinamento del punto mobile
x, sono sotto il pieno controllo della percezione e sono in grado di favorire la costruzione
di un senso per nozione quali valore di verità di un’uguaglianza, uguaglianza condizionata,
identità.
Inoltre tale ambiente offre la possibilità di usare un editore grafico per costruire l’insieme
verità delle uguaglianze. La costruzione dell’insieme verità si realizza per mezzo di una barra posta sotto una retta algebrica in cui è possibile selezionare con il mouse singoli elementi
numerici o intervalli numerici (prima immagine della figura 5). Ad ogni click del mouse il
sistema provvede a tradurre l’azione di selezione compiuta nella notazione insiemistica
formale. Una volta definiti gli insiemi verità delle due uguaglianze, questi possono essere
validati sfruttando uno specifico feedback del sistema. Le successive due immagini della figura 5 mostrano che non solo le proposizioni ma anche gli insiemi numerici sono associati a
marcatori colorati (verde/rosso) che sono sotto il controllo del sistema. Notiamo che il colore verde/rosso del marcatore dell’insieme numerico è indice del fatto che il valore assunto dalla variabile sulla retta durante il trascinamento rispettivamente è/(non è) un elemento
di quell’insieme.
La concordanza di colore tra il marcatore dell’uguaglianza e il marcatore dell’insieme durante il trascinamento della variabile sulla retta permette di validare l’insieme numerico costruito come insieme verità dell’uguaglianza (si veda la figura 5).
figura 5. Fenomenologia della costruzione dell’insieme verità di uguaglianze e della loro validazione
La fenomenologia descritta può essere proficuamente sfruttata per introdurre le nozioni di
insieme verità di una proposizione algebrica e per sviluppare un discorso sul fatto che esso
rappresenta la soluzione delle equazioni relative alle due uguaglianze. Inoltre può anche essere usata per costruire una narrazione sui quantificatori esistenziale e universale che sono
soggiacenti alla nozione di uguaglianza condizionata e a quella di identità.
Nel concludere questa riflessione osserviamo che sul piano didattico la fenomenologia descritta consente di rompere atteggiamenti rigidi che si evidenziano nell’approccio alle equazioni di studenti, definiti dalla Sfard come pseudo-formalisti.20 Questi studenti nel risolvere
equazioni ragionano spesso in questo modo: ho fatto le manipolazioni magiche e sono giunto a
x=1/3, quindi ho terminato e 1/3 è la soluzione. Per costoro “soluzione” significa processo
terminato e “verifica” significa sostituisci 1/3 nell’equazione e trovi per esempio che
14/3=14/3, il che segnala che tutto va bene. L’ordine operativo e rappresentativi di AlNuSet offre la possibilità di guardare alla soluzione dell’equazione come ricerca di un insieme
di numeri che conferisce uno statuto di verità all’uguaglianza. Lo sviluppo di questa capacità segna il passaggio ad una forma più matura e astratta di concepire le equazioni.21
Nell’ordine operativo e rappresentativo della Retta Algebrica lo sviluppo di questa capacità
può essere perseguito fin dal primo approccio all’algebra.
Conclusioni
In questo lavoro è stato presentato un modello didattico per analizzare le trasformazioni
che possono prendere vita attraverso l’uso di tecnologie digitali in ciò che si insegna di algebra e nel modo in cui lo si insegna. Il modello si basa sulla nozione di Laboratorio Didattico di Matematica.
La nozione di LDM è stata usata per descrivere le nuove fenomenologie che possono
emergere nel processo di insegnamento/apprendimento dell’algebra, con l’assoggettamento
delle nozioni da insegnare alle condizioni dell’ordine operativo, rappresentativo e sociale
strutturato dall’uso di AlNuSet. La descrizione delle fenomenologie ha consentito di analizzare i processi di semiosi coinvolti nell’interpretazione dei fenomeni che emergono
nell’interazione con AlNuSet e di valutare che essi possono favorire il riconoscimento dei
legami iconici, indicali e simbolici che i segni dell’algebra stabiliscono con i loro oggetti di
riferimento. Inoltre la descrizione delle fenomenologie ha consentito di analizzare le nozioni coinvolte nell’attività mediata da AlNuSet e di valutare che queste possono diventare og20
A. Sfard, “On the dual nature of mathematical conceptions” cit., p. …
A. Sfard, L. Linchevski, “The gains and the pitfalls of reification. The case of algebra”,
Educational Studies in Mathematics, 26, 2-3, 1994, pp. 191-228.
21
getto di insegnamento e investigazione per gli studenti. L’analisi compiuta ha evidenziato
che l’uso di AlNuSet può modificare profondamente la pratica didattica relativa all’algebra.
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