2016.03.31 GEO Esercitazione 8 (sistemi lineari e matrici)

Schede di Geometria
Fulvio Di Sciullo
Anno accademico 2015/2016 | Politecnico di Torino
Sommario
Queste schede raccolgono la traccia seguita durante l'esercitazione, i testi degli esercizi svolti in aula
ed ulteriori altri esercizi utili per l'esercitazione autonoma.
8
Esercitazione 31/03/2016
Matrici e sistemi lineari
Richiami sulla riduzione per righe, a scala e sul rango di una matrice.
Ridurre le seguenti matrici e calcolarne il rango (eventualmente discutendone
la dipendenza da un parametro reale).
Esercizio 8.1.
1 4
0 0
(a) A = 
−1 3
2 1

k −k
(b) B =  1 −2
0 1

Quiz 8.2.

h
(c) C = 1
1

0 1
1 1

1 −1
1 1

0 1
−1 0
k


h−1
3 
2−h
h
(d) C =  1
2 − 2h
1

h−1
3 
2−h
Sia M = (1, 0, 1, 0) e sia A = t M · M . Dire quale delle seguenti risposte è corretta.
A) rg(A) = 0
Esercizio 8.3.
una soluzione:
B) rg(A) = 1
Data A =
2
−4
C) rg(A) = 2
D) rg(A) = 3
E) rg(A) = 4
−1
, dire quali delle seguenti equazioni matriciali ha almeno
2
2
8
x
0
=
y
0
x
1
(b) A ·
=
y
0
Esercitazione 31/03/2016
x
1
=
y
−2
x
1
2
(d) A ·
=
y
−2
(a) A ·
(c) A ·
Dato un sistema lineare AX = B con m equazioni e
n incognite, dove A è la matrice di dimensione m × n associata ai coecienti e B la
Teorema di Rouché-Capelli.
matrice dei termini noti, si ha che:
1. il sistema è compatibile se e solo se rg(A) = rg(A|B );
2. se il sistema è compatibile, allora le sue soluzioni dipendono da n −rg(A) parametri
liberi (dove n è il numero di incognite) e scriviamo che il sistema ha ∞n−rg(A)
soluzioni;
3. se il sistema è compatibile e X0 è una sua soluzione particolare, allora le soluzioni
del sistema sono tutte e sole le matrici di forma X = X0 + Y dove Y è una
qualche soluzione del sistema omogeneo associato alla stessa matrice A (ovvero,
in un certo senso, il nucleo della matrice).
Esercizio 8.4.
Dato il seguente sistema lineare



x1 + x2 + x3 = k
x1 − kx2 + x3 = −1


−x + kx + x = k
1
2
3
,
k ∈ R.
(a) Trovare la matrice associata (A|B )
(b) Risolvere il sistema per k = −1
(c) Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare di k ∈ R
Esercizio 8.5.
l'equazione
Dati i vettori v1 = (a, b, c ), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 1, −1) e w = (2, 3, −1) e
x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 = w,
determinare se esistono parametri reali (a, b, c ) tali che:
(a) l'equazione ha una unica soluzione;
(b) l'equazione non ha soluzione;
(c) l'equazione ha innite soluzioni.
Quiz 8.6. Tema d'esame 10/07/2015.
incognite ha innite soluzioni, allora:
(A) rg(A) = 2.
(B) rg(A) < 2.
Se il sistema lineare AX = B di due equazioni in due
(C) rg(A|B ) = 2.
(D) rg(A) 6= rg(2A).
3
Siano A ∈ R2,3 e X ∈ R3,1 . Si supponga A di rango
2. Quale delle seguenti aermazioni è necessariamente vera?
(A) Esiste B ∈ R2,1 tale che il sistema lineare AX = B non ha soluzioni.
(B) Il sistema lineare omogeneo AX = 0 ha una sola soluzione.
(C) Il sistema lineare AX = B ha una sola soluzione, qualunque sia B .
(D) Il sistema lineare AX = B ha innite soluzioni, qualunque sia B .
Quiz 8.7. Tema d'esame 11/07/2014.
Quiz 8.8. Tema d'esame 18/09/2014.
Il sistema lineare



kx + 4y + 5z = 0
x + 2y − z = 0


y + 3z = 0
(A)
(B)
(C)
(D)
non ha soluzioni per k = 1.
ha innite soluioni per k = 0.
ha soluzioni per ogni valore di k .
ha una sola soluzione per k = 1.
Usando il metodo di riduzione, discutere al variare del parametro k ∈ R il
numero di soluzioni del sistema lineare:
Esercizio 8.9.

1
0

0
2
   

2
0
1
x1
0
   2

k −1 1
−1 
 · x2  = k + 3k  .
0
6 k + 5 x3   0 
3
1
2
x4
0
Risolverlo poi per uno degli eventuali valori in cui il sistema è compatibile con innite soluzioni.