Appunti delle lezioni di
Meccanica Razionale
Giorgio Tondo
a.a. 2011-2012
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INDICE
Capitolo 3
Gradi di libertà e vincoli di un
sistema materiale
3.1
Gradi di libertà
Per individuare la configurazione, cioè l’insieme delle posizioni dei punti di un sistema materiale,
immerso nello spazio affine euclideo E3 , abbiamo bisogno di un certo numero (eventualmente ∞)
di parametri: ad esempio le coordinate cartesiane dei punti del sistema. Introduciamo la seguente
definizione:
Definizione 3.1.1. I gradi di libertà (l)di un sistema materiale (soggetto a vincoli olonomi) sono
pari al numero delle coordinate indipendenti (o libere) sufficienti a individuare univocamente tutte
le configurazione che il sistema può assumere.
Esempio
1) Un punto materiale libero nello spazio ha 3 gradi di libertà.
2) Lo stesso punto vincolato a stare su un piano ha 2 gradi di libertà.
3) Lo stesso punto vincolato a stare su una curva ha 1 grado di libertà.
N.B. Si noti che la scelta delle coordinate libere, a differenza dei gradi di libertà di un modello,
non è univoca. Per esempio, nel caso 1) possiamo scegliere come coordinate libere le coordinate
cartesiane oppure le coordinate polari sferiche; si passerà da uno all’altro sistema di coordinate
mediante una legge di trasformazione differenziabile ed invertibile.
⎧
⎪
⎨x = ρ sin θ cos ϕ
y = ρ sin θ sin ϕ
⎪
⎩
z = ρ cos θ
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CAPITOLO 3. GRADI DI LIBERTÀ E VINCOLI DI UN SISTEMA MATERIALE
ρ > 0,
0 < θ < π,
0 ≤ ϕ < 2π
Analogamente, nel caso 2) possiamo scegliere coordinate cartesiane o coordinate polari piane.
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
ρ > 0,
−π < ϕ ≤ π
Nel caso 3) possiamo scegliere, ad esempio, una delle coordinate cartesiane del punto (se la
curva è regolare a tratti, l’altra coordinata si può esprimere in funzione della prima) oppure l’ascissa
curvilinea s del punto sulla curva.
N.B. La scelta delle coordinate dipende di volta in volta dal problema da risolvere. Trovare un
insieme di coordinate che meglio si “adattano” al problema specifico è spesso una questione delicata
che necessita di una buona dose di “intuito”.
3.2. CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI
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Esempio 3.1.1. Un insieme di N punti materiali liberi (cioè non vincolati) nello spazio E3 ha 3N
gradi di libertà. Come coordinate libere si possono scegliere, per esempio, le coordinate cartesiane
di ciascun punto.
La possibilità di lavorare con spazi N , con N >3, ci permette di introdurre una notevole rappresentazione geometrica. Infatti, consideriamo nello spazio 3N il punto P di coordinate P =
(x1 , y1 , z1 ; . . . ; xN , yN , zN ): tale punto rappresenta in 3N il modello costituito da N punti materiali nello spazio E3 . Dunque, il moto di P nell’iperspazio 3N equivale al moto dei punti P1 , . . . , PN
in E3 . Lo spazio 3N in cui vive il punto P si chiama spazio delle configurazioni del sistema. Si
osservi che la dimensione di tale spazio coincide con i gradi di libertà del sistema.
Esempio 3.1.2. Lo spazio delle configurazioni di due cariche elettriche libere è
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D’ora in poi denoteremo con C lo spazio delle configurazioni di un modello meccanico, cioè
l’insieme di tutte le configurazioni che un modello può assumere; inoltre
dim C = l
Esempio 3.1.3. Consideriamo un “pendolo ad asta”, cioè un punto materiale posto ad un estremo
di un’ asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile, che ha l’altro estremo fissato in un punto O.
Il punto P è vincolato dall’asta a stare sulla superficie sferica di raggio L e centro O. Quindi,
il suo spazio delle configurazioni è bidimensionale e il punto P ha 2 gradi di libertà.
C= P ∈
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| d (O, P ) = L =⇒ l = 2 .
Dobbiamo scegliere 2 coordinate libere, ad esempio le coordinate sferiche ϑ e ϕ. Si osservi che
la coordinata radiale ρ non è libera perché è vincolata dall’equazione ρ = L.
3.2
Classificazione dei vincoli
Chiameremo vincolo un qualsiasi dispositivo che limita le configurazioni che un modello meccanico
può assumere e/o che limita la velocità dei suoi punti.
Distinguiamo tra:
vincoli olonomi: quelli che limitano solo le configurazioni accessibili ad un sistema e sono detti
anche vincoli di posizione;
