I triangoli

Capitolo
2
I triangoli
Criteri di congruenza - Triangoli isosceli
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punti
.../...
.../...
Congruenza 1.a Scrivere l’enunciato dei tre criteri di congruenza dei triangoli.
Triangolo isoscele 2.a Definire il triangolo isoscele e scriverne le proprietà principali.
Teorema 3.a In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice coincide con l’altezza relativa alla
base.
1. Scrivere l’enunciato del teorema utilizzando la formulazione “Se... allora...”.
.../...
2. Indicare ipotesi e tesi del teorema utilizzando le lettere presenti nella figura.
.../...
.../...
3. Completare la dimostrazione:
Si considerino i due triangoli ........ e ......... formati dalla bisettrice.
I due triangoli sono ............. per il ......... criterio di ............... perché
hanno:
– ......... ......... per .............
– ......... ......... per .............
– ......... ......... per .............
Allora avranno ........... anche gli altri elementi corrispondenti, e in
particolare ......... ........., che essendo uguali e supplementari sono
anche retti, c.v.d.
.../...
4. Scrivere il teorema inverso del teorema dell’esercizio 3.a.
5. Riscrivere i due teoremi unitamente, utilizzando la locuzione .../...
“Condizione necessaria e sufficiente”.
.../...
3.b Facoltativo. Dimostrare il teorema inverso.
.../...
Quesiti 4.a Vero o falso?
Due triangoli sono congruenti se hanno:
1. tre angoli uguali.
186
V
F
2. tre lati uguali.
V
F
3. due lati e la mediana relativa a uno di essi uguali.
V
F
Se due triangoli sono congruenti allora:
4. le mediane corrispondenti sono congruenti a due a due.
V
F
5. le bisettrici corrispondenti sono congruenti fra loro.
V
F
6. In ogni triangolo isoscele le bisettrici coincidono
con le altezze.
V
F
7. Il triangolo isoscele ha tutte le altezze congruenti.
V
F
8. Un triangolo può essere contemporaneamente isoscele
e rettangolo.
V
F
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Capitolo
I triangoli
2
Criteri di congruenza
Verifica per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Costruendo segmenti congruenti sui prolungamenti dei lati di un triangolo
equilatero nello stesso verso si ottengono triangoli equilateri.
1.
2.
3.
4.
Punti
Disegnare un segmento AB con lo strumento Segmento
.
Disegnare, con centro rispettivamente A e B e raggio AB, due Circonferenze
.
Determinare con Intersezione di due oggetti
le intersezioni tra le due circonferenze.
Dare un nome alle intersezioni con Nomi
(iniziando da C...).
5. Verifica della costruzione
5.a Quante intersezioni vi sono tra le due circonferenze?
5.b Quanti triangoli si possono costruire congiungendo A e B con le intersezioni?
.../...
.../...
6. Congiungere gli estremi del segmento AB con C per formare il triangolo ABC e con lo
strumento Mostra/Nascondi
nascondere le due circonferenze che sono servite per
costruire il triangolo ABC.
7. Misurare la lunghezza di AB, BC e AC con Distanza e lunghezza
:
AB ...; BC ...; AC ... .
: AB̂C ... .
8. Misurare l’angolo AB̂C con Misura dell’angolo
9. Verifica della costruzione
9.a Muovendo il punto B sul foglio di lavoro, come variano le misure trovate?
9.b Fornire una dimostrazione del fatto che il triangolo così costruito è equilatero.
9.c Volendo costruire un triangolo isoscele di base AB, ma non equilatero, quale passaggio della costruzione precedente va modificato?
.../...
.../...
.../...
10. Prolungare i lati del triangolo ABC con lo strumento Retta
.
11. Sulla retta passante per il lato AB, esternamente al lato AB e dalla parte di B, posizionare il punto D con Punto su un oggetto
.
12. Sui prolungamenti degli altri lati riportare la lunghezza del segmento BD con
Compasso
, determinando così i segmenti CE e AF.
13. Congiungere D, E e F per formare il triangolo DEF.
14. Verifica della costruzione
14.a Muovere il punto D sulla costruzione. Come variano le lunghezze di FD, DE e EF?
14.b Che tipo di triangolo è DEF?
14.c Fornire una dimostrazione. (I triangoli BDE, CEF e AFD sono congruenti perché...)
14.d Se il triangolo ABC anziché equilatero fosse stato soltanto isoscele, il triangolo
DEF sarebbe stato isoscele?
14.e Muovere il punto D sulla figura fino a che AB BD. Misurare i perimetri 2pDEF
e 2pABC e le aree DEF e ABC con Area
.
14.f Stabilire quale delle relazioni è corretta:
a
2pDEF 2
DEF
a
b
ABC
2pABC
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b
2pABC 2
DEF
a
b
ABC
2pDEF
c
a
DEF 2 2pDEF
b
ABC
2pABC
d
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
2pDEF
DEF
ABC
2pABC
187
Capitolo
2
I triangoli
Disuguaglianze triangolari
Verifica per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Sia P un punto interno al triangolo equilatero ABC e siano PD, PE e PF i segmenti di perpendicolare che da P vengono mandati ai lati del triangolo ABC. Determinare
la regione del triangolo ABC a cui deve appartenere P affinché PD, PE e PF siano essi
stessi i lati di un triangolo.
1. Disegnare un Segmento
AB.
Punti
2. Costruire sul segmento AB un triangolo equilatero ABC di lato AB utilizzando gli strumenti Circonferenza
e Intersezione di due oggetti
.
3. Verifica della costruzione
3.a Spostare con il mouse il punto B sul foglio di lavoro per verificare che il triangolo ABC si mantenga equilatero.
3.b Esiste in Cabri uno strumento che permette di disegnare direttamente un triangolo equilatero? Si potrebbe utilizzare in questo caso?
.../...
.../...
.../...
4. Disegnare un punto P internamente al triangolo ABC, tracciare da questo punto le Rette
perpendicolari
ai lati del triangolo e determinare le intersezioni con essi.
5. Chiamare D, E e F i punti in cui le perpendicolari intersecano i lati del triangolo.
6. Verifica della costruzione
ˆ ........ .
6.a Muovere il punto P all’interno del triangolo ABC e verificare che PDA
Costruzione del triangolo di lati PD, PE e PF
7. Con lo strumento Compasso
costruire sul foglio di lavoro, a fianco del triangolo
equilatero ABC, un segmento LM di lunghezza pari a PD.
8. Con centro negli estremi del segmento LM riportare con Compasso
renze di raggio pari a PE e PF rispettivamente.
.../...
due circonfe-
9. Le due circonferenze si intersecano? Se sì, chiamare N uno dei due punti di intersezione e disegnare il triangolo LMN con Triangolo
. Se no, spostare il punto P nel triangolo ABC.
10. Dopo aver costruito il triangolo LMN, iniziare a muovere con il mouse il punto P per
individuare i punti che all’interno del triangolo ABC danno origine al triangolo LMN.
11. Teoria
11.a Perché alcune volte il triangolo LMN non si forma? È un errore di Cabri, un inconveniente dovuto alla nostra costruzione oppure il triangolo non può esistere?
11.b Quale relazione deve sussistere tra tre segmenti qualsiasi affinché si formi un
triangolo?
12. Quesiti sulla costruzione
12.a Dove si deve trovare il punto P affinché il triangolo LMN sia equilatero?
12.b Dove si deve trovare il punto P affinché il triangolo LMN sia isoscele?
12.c Dove si deve trovare il punto P affinché il triangolo LMN esista ma abbia superficie nulla?
13. Qual è la regione interna ad ABC in cui si forma comunque un triangolo LMN?
Disegnare la figura.
188
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
.../...
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Capitolo
2
Rette parallele - Triangoli rettangoli
Verifica per la classe prima
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Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punti
Parallelismo 1.a Con riferimento alla figura, indicare:
a) le coppie di angoli corrispondenti;
.../...
b) le coppie di angoli coniugati interni ed esterni;
c) le coppie di angoli alterni interni ed esterni.
1.b Le due rette in figura sono parallele se:
.../...
1. 4 e 5 sono.......................
4. 7 e 3 sono.......................
2. 3 e 5 sono.......................
5. 5 e 2 sono.......................
3. 7 e 1 sono.......................
6. 7 e 2 sono.......................
2.a Quale delle seguenti affermazioni è vera (a, b, c sono sullo stesso piano)? .../...
a Se a non è b e b non è c, allora a non è c.
b
c
d
Se a non è › b e b non è › c, allora a non è › c.
Se a › b e b › c, allora a › c.
Se a b e b c, allora a c.
3.a Dimostrare il seguente teorema:
Una retta parallela a un lato di un triangolo equilatero forma con gli
altri lati (o con i loro prolungamenti) un triangolo equilatero.
(Utilizzare il criterio di parallelismo)
.../...
Angoli 4.a Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
esterni
a Se un triangolo ha due angoli esterni ottusi allora non è rettangolo.
b In un triangolo due angoli esterni sono sempre ottusi.
c Un triangolo non può avere due angoli interni o esterni retti.
d Un triangolo può avere un solo angolo interno ottuso.
.../...
4.b Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a La somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari a 360° se
e solo se il quadrilatero è convesso.
b Le somme degli angoli esterni di un quadrangolo e di un pentagono entrambi convessi sono sempre uguali.
c Gli angoli esterni di un triangolo rettangolo formati sui prolungamenti dell’ipotenusa sono complementari.
d Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore della somma degli
angoli interni a esso non adiacenti.
Triangoli 5.a Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente
congruenti:
rettangoli
V
F
1. un cateto e un angolo qualsiasi.
V
F
2. l’altezza e la mediana relativa all’ipotenusa.
V
F
3. l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa.
V
F
4. la mediana relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa.
5.b Facoltativo. Dimostrare il seguente teorema:
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e la bisettrice dell’angolo retto rispettivamente congruenti.
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.../...
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Capitolo
2
I triangoli
Rette parallele - Triangoli rettangoli
Verifica per la classe prima
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NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema. Due rette r ed s sono incidenti, ma il loro punto d’intersezione cade fuori dei
ˆ formato da r ed s.
margini del foglio di lavoro. Misurare l’angolo convesso rs
Costruire la bisettrice di tale angolo.
1. Disegnare sul foglio di lavoro due Rette
non parallele r ed s tali che il punto P in Punti
cui si intersecano cada fuori del foglio di lavoro.
2. Fissare sulla retta r un punto A con lo strumento Punto su un oggetto
.
3. Tracciare la retta s2 passante per A e parallela a s con lo strumento Retta parallela
4. Misurare l’angolo formato da s2 ed r: Misura dell’angolo
.
sˆ2r ........ .
5. Verifica della costruzione / Teoria
5.a Facoltativo. Invece di utilizzare lo strumento Retta parallela
presente su
Cabri, descrivere un procedimento per la costruzione di una retta parallela a una
retta data.
ˆ e l’angolo sˆ2r ? Perché?
5.b Quale relazione sussiste tra l’angolo sr
ˆ?
5.c Quanto misura l’angolo sr
6. Tracciare la retta b2 bisettrice dell’angolo sˆ2r utilizzando il pulsante Bisettrice
tracciare la retta n2 perpendicolare a b2 e passante
9. Chiamare B l’intersezione della n2 con la retta s, utilizzando lo strumento Nomi
10. Determinare il punto medio del segmento AB con il comando Punto medio
.
.
11. Verifica della costruzione / Teoria
11.a Facoltativo. Descrivere un procedimento che porti alla costruzione del punto
medio di un segmento senza dover utilizzare le macro contenute in Cabri.
ˆ e il segmento AB?
11.b Quale relazione sussiste tra la bisettrice di sr
.../...
.../...
.../...
ˆ.
12. Disegnare la bisettrice b dell’angolo sr
13. Verifica della costruzione
13.a Preso un punto qualsiasi sulla retta b determinare le distanze di tale punto dalle
due rette.
13.b Come sono tra loro queste distanze?
13.c Facoltativo. Fornire una dimostrazione di quest’ultimo risultato.
190
.../...
.../...
ˆ?
Quale relazione sussiste tra la bisettrice b2 e la bisettrice b dell’angolo sr
8. Con Retta perpendicolare
per A.
.../...
.../...
.
7. Verifica della costruzione / Teoria
7.a Facoltativo. Descrivere un procedimento che porti alla costruzione della bisettrice senza dover utilizzare le macro contenute in Cabri.
7.b
.../...
.../...
.../...
.../...
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I triangoli
Capitolo
2
Triangoli - Rette parallele - Disuguaglianze
Test a risposta multipla per la classe prima
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NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte, fornendo una giustificazione alle
risposte.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1. Date le rette r ed s tagliate dalla trasversale t, indicare quale tra le
seguenti rappresenta una coppia di angoli corrispondenti:
a
(1; 2)
b
(3; 5)
c
(5; 1)
d
(4; 5)
2. Con riferimento al quesito 1, indicare quale tra le seguenti rappresenta una coppia di angoli coniugati:
a
(1; 2)
b
(3; 5)
c
(5; 1)
d
(4; 5)
3. Le bisettrici di una coppia di angoli corrispondenti formati da
due rette parallele tagliate da una trasversale sono:
a
parallele.
c
coincidenti.
b
perpendicolari.
d
dipende dall’ampiezza degli angoli.
4. Uno dei seguenti enunciati è falso.
a
b
c
d
Un angolo esterno di un triangolo può essere congruente a un angolo interno a esso adiacente.
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
La somma degli angoli esterni di un triangolo è pari alla somma degli angoli interni.
Ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno a esso non adiacente.
5. Quale dei seguenti enunciati è falso?
Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti:
a
b
gli angoli alla base.
un lato obliquo e la base.
c
d
i lati obliqui e l’angolo al vertice.
la base e un angolo esterno.
6. Con riferimento alla figura, uno dei seguenti enunciati è falso.
a
b
c
d
CH è la proiezione ortogonale di BC sulla retta AC.
H è la proiezione ortogonale di B sulla retta AC.
BH è la distanza di B dalla retta AC.
AH è la distanza di AC da BH.
7. Con riferimento al quesito 6, la distanza di B da AC è:
a
AB
b
AH
c
BH
d
AC
8. La proiezione ortogonale di un segmento non nullo su una retta è:
a
un punto, se il segmento è alla retta.
c
un segmento, se il segmento è › alla retta.
b
un punto, se il segmento è › alla retta.
d
sempre un punto.
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191
9. Quale dei seguenti enunciati è falso?
La distanza di un punto P da una retta:
a può assumere qualsiasi valore reale.
b è la lunghezza minima del segmento che ha come estremi il punto e un punto sulla retta.
c è la lunghezza del segmento di perpendicolare condotta dal punto alla retta.
d è nulla se il punto si trova sulla retta stessa.
10. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo:
a divide il lato opposto in due parti uguali per qualsiasi triangolo.
b divide il lato opposto in due parti disuguali per qualsiasi triangolo.
c può non incontrare il lato opposto.
d non soddisfa nessuna delle precedenti.
11. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
In un triangolo scaleno l’altezza relativa a un lato è sempre
a minore della mediana corrispondente allo stesso lato.
b minore della bisettrice corrispondente allo stesso lato.
c minore del lato corrispondente.
d minore di ciascuno dei lati adiacenti.
12. In un triangolo qualsiasi si congiunga il vertice C con un punto P qualsiasi del lato opposto. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a CP è sempre minore di CB.
b CP è sempre minore dell’altezza CH.
c CP è sempre minore del semiperimetro.
d CP può essere maggiore del semiperimetro.
13. Con riferimento al triangolo in figura, quale delle seguenti affermazioni è vera?
ˆ 6 BAC
ˆ 6 ACB
ˆ
ˆ
a DBC
c DBC
ˆ ACB
ˆ 6 BAC
ˆ
b DBC
d nessuna delle precedenti
14. In un triangolo isoscele:
a le altezze relative ai lati obliqui sono sempre minori dell’altezza relativa alla base.
b le altezze relative ai lati obliqui sono sempre minori della base.
c le altezze relative ai lati obliqui possono essere maggiori dei lati obliqui.
d le tre altezze sono sempre uguali.
15. Considerando un triangolo ABC, quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a
AC AB 6 BC
c
AC AB 7 BC
b
AC 6 AB BC
d
AC 7 AB BC
16. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
In un triangolo rettangolo:
a l’ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto.
b l’ipotenusa è sempre opposta all’angolo maggiore.
c l’ipotenusa è sempre adiacente all’angolo minore.
d
192
l’ipotenusa è sempre adiacente all’angolo maggiore.
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17. Quale dei seguenti triangoli esiste?
a
AB 12; BC 5; AC 6
c
AB 12; BC 20; AC 6
b
AB 12; BC 16; AC 5
d
AB 12; BC 16; AC 30
18. Quale dei seguenti triangoli esiste?
a
BC 4,6; AC 8,22; B̂ 30°; Â 116°
b
BC 4,06; AC 8,22; Â 70°; B̂ 116°
c
BC 8,22; AC 4,06; B̂ 90°; Ĉ 60°
d
BC 4,6; AC 8,22; B̂ 116°; Â 30°
19. Due triangoli hanno due lati corrispondenti congruenti: AB AB 7 e AC AC 6.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a
I due triangoli sono congruenti.
b
Se  7 ¿ solo uno dei due triangoli esiste.
c
Se  7 ¿ allora BC 7 B¿C¿.
d
Se  7 ¿ allora B¿C¿ 7 BC.
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193
Capitolo
2
I triangoli
Criteri di congruenza - Triangoli isosceli: verifica,
prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di Cabri
Obiettivi
Verifica
Conoscere/Applicare i criteri di congruenza dei triangoli
Classificare i triangoli in isosceli, scaleni, equilateri
Dimostrare/Applicare semplici proprietà del triangolo isoscele
●
●
Lab.
Cabri
Test
Teoria al
paragrafo
★
★
★
1.a; 3.a; 4.a
2.a; 3.a; 4.a
3.a; 3.b; 4.a 5, 10
Soluzioni degli esercizi
§3
§1
§3
tempo previsto: 60 min
3.a
1. F; 2. V; 3. V; 4. V; 5. V; 6. F; 7. F; 8. V
Rette parallele - Triangoli rettangoli: verifica,
prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di Cabri
Obiettivi
Verifica
Riconoscere angoli alterni, coniugati, corrispondenti
Dimostrare/Applicare il criterio di parallelismo
Conoscere le proprietà della relazione di parallelismo
Dimostrare/Applicare teoremi sull’angolo esterno e sulla somma degli
angoli interni
Dimostrare/Applicare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli
Costruire il segmento che identifica la distanza di un punto da una retta
Costruire la proiezione ortogonale di un segmento su una retta
●
●
●
●
Lab.
Cabri
Test
1.a
1, 2, 3
1.b; 2.a; 3.a
3.a
4
4.a; 4.b
Teoria al
paragrafo
§4
§4
§4
§5
★
5.a; 5.b
6, 7, 9, 11
6, 8
Soluzioni degli esercizi
§6
§7
§ 7, 9
★
tempo previsto: 60 min
3.a
4.a
4.b
5.a
d
a
b
1. F; 2. V; 3. V; 4. F
Disuguaglianze triangolari: prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di Cabri
Obiettivi
Lab.
Cabri
Test
Dimostrare/Applicare i teoremi sulle disuguaglianze triangolari
12, 13, 15, 16, 17,
18, 19
14
Dimostrare/Applicare semplici proprietà del triangolo isoscele
Teoria al
paragrafo
★
§8
★
§3
Soluzioni laboratorio di Cabri
tempo previsto: 60 min
La regione in cui si forma comunque il triangolo LMN è il triangolo equilatero avente i vertici sui punti medi del triangolo
ABC.
Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multipla
tempo previsto: 45 min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
c
d
a
c
a
d
c
b
a
d
c
c
d
b
a
d
b
d
c
194
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