Esercizio 1 Un fascio di elettroni viaggia nel piano x

Esercizio 1
y
a
h
v
x
Un fascio di elettroni viaggia nel piano x-y con velocità parallela all’asse x. Gli elettroni entrano al centro
di un condensatore a facce piane parallele, distanti
h = 1cm e larghe a=2,5 cm. Tra le armature, il
campo elettrico misura 30 V/m. Al centro dell’armatura carica positivamente è presente una sottilissima
fenditura, determinare il valore iniziale della velocità degli elettroni che riescono ad attraversarla
trascurando il contributo della forza gravitazionale.
Al di fuori del condensatore, gli elettroni incontrano una regione in cui è presente un campo magnetico
uniforme B= 5T, orientato secondo l’asse z. Determinare il raggio di curvatura degli elettroni in questa
regione.
Soluzione
Gli elettroni hanno, velocità simili, ragionevolmente prossime alla media, che chiameremo <v>, ma non
completamente uguali.
Entrando nel condensatore, essi modificano solo la componente y della loro velocità che, infatti
diventa: v y =
eE
t , dove E è il campo elettrico, costante, orientato dalla lastra positiva alla negativa, -e
m
indica la carica degli elettroni. La velocità è diretta verso la lastra positiva. Gli elettroni che raggiungono
La fenditura sono quelli per i quali valgono le due condizioni:
⎧ x(T) = v x T = a / 2
⎪
,
⎨
eE 2
⎪⎩ y(T) = 2m T + h / 2 = h
dove T indica il tempo necessario a raggiungere l’armatura positiva.
Si ricava facilmente il valore T=43,5 ns che porta ad un valore della velocità iniziale uguale a 2,87 105 m/s.
b) Gli elettroni che escono dalla fenditura (t>T), non essendo più soggetti al campo elettrico, hanno
velocità costante con le componenti x ed y uguali a:
⎧ vx = v
⎪
eE
⎨
⎪⎩ v y = m T
→ V = 3, 67 ⋅105 m / s
La forza di Lorentz non modifica il modulo della velocità, essendo ortogonale a questa grandezza, e
risulta:
r
r r
ˆ .
F = −ev × B = eB(− v y xˆ + v x y)
Il moto viene comunque modificato e diventa circolare.
Il raggio di curvatura si ottiene eguagliando la forza di Lorentz e quella centripeta (vd. V.3):
R=
mV
= 0,413 µm
eB
Esercizio 2
Un solenoide cilindrico lungo l= 2m, è costituito da n=2000m-1 spire per metro, ciascuna di raggio R=1cm. Il
solenoide è attraversato da una corrente i(t)=I sin(ωt), con I=0,75 A. Determinare: a) il valore massimo del campo
magnetico al suo interno; b) il valore massimo del campo elettrico su ciascuna spira; c) il valore del coefficiente di
auto-induzione.
l
E
B
Soluzione
a) Il campo di induzione magnetica all’interno del solenoide, nell’approssimazione di solenoide lungo, viene
determinata applicando la legge di Ampere ad un circuito contenuto nel piano ortogonale al solenoide, contenente
l’asse del cilindro (vedi figura).
Considerando il campo B strettamente parallelo all’asse (il solenoide è ben impacchettato) e confinato all’interno del
cilindro (il solenoide è lungo, ovvero trascuriamo gli effetti di bordo), si ha:
r
r
∫ B(t) ⋅ d l = lB(t) = µ0i(t)N
dove N indica il numero di spire attraversate dal percorso (n=N/l) .
Segue:
B(t) = µ 0 nI sin(ωt)
con direzione parallela all’asse; ed infine:
BMAX= 1,88 10-3T
b) La legge di Faraday-Lenz collega la variazione di flusso di B nel solenoide alla forza elettromotrice indotta (f.e.m.)
r r
d
Φ B (t) = −ε = ∫ E ⋅ d l
dt
dove E indica il campo elettrico indotto.
Per calcolare il flusso del campo B ricorriamo all’ espressione ottenuta al punto a); segue che attraverso ciascuna spira
il flusso di B è
v r
Φ B = ∫ B ⋅ dS = B(t)(πR 2 ) = πR 2µ0 nIsin(ωt)
S
e la sua variazione nel tempo è
d
Φ B (t) = πR 2µ 0 nIω cos(ωt) .
dt
Pertanto:
r
r
∫ E ⋅ d l =πR µ nIω cos(ωt) = 2EπR
2
0
Rµ 0 nIω cos(ωt)
E(R, t) =
2
Il campo elettrico è tangente alle spire.
Infine:
EMAX= 20 µV/m .
c) Il flusso di B è descritto anche tramite il coefficiente di auto-induzione, L:
L=
ΦB
= NπR 2µ0 nIsin(ωt) = NπR 2µ0 n
i
Esercizio 3
Un filo indefinito ed una spira quadrata di lato l=1mm, sono disposti come in figura. All’istante t=0 nel filo circola
una corrente i0=1A e la distanza d0 vale 1mm.
Si calcolino: a) la forza elettromotrice indotta nella spira all’istante t1=1,57s, se la distanza d resta costante ma la
corrente nel filo varia secondo la legge i(t)= i0 cosωt , (ω=1rad/s) ; b) la forza elettromotrice indotta al tempo t=1s,
nel caso in cui la corrente rimanga costante nel tempo e la distanza d vari con la legge d(t)=d0 + vt (v=1mm/s).
i
d
v
Soluzione
a) La variazione di corrente induce una variazione di intensità del campo B(t) , e di conseguenza, un flusso nella spira
variabile nel tempo.
r µ i( t ) d + l 1
r
µ i( t )
⎛d+l⎞
Φ B = ∫ B( t ) ⋅ dS = o l ∫ ds = o
l ln ⎜
⎟
2π d s
2π
⎝ d ⎠
Ciò produce una f.e.m. la cui intensità è:
µ i ω sin(ωt )
d
⎛d+l⎞
l ln ⎜
ε = ΦB = o o
⎟
dt
2π
⎝ d ⎠
Da cui: ε (t1) =1.39 10-10 V
b) In questo caso la causa della variazione di flusso è l’allontanamento del filo rispetto alla spira, pertanto:
⎛
⎞
µi
d
l
ε = Φ B = o o l2 ⎜⎜
⎟⎟ v
dt
2π
⎝ d ( d + l) ⎠
dove d va inteso come d(t)
quindi : ε(t1) =3.33 10-11 V
Esercizio 4
Una spira quadrata di superficie A =1 dm2 e resistenza totale R =200 Ω è inserita in un campo magnetico costante,
ortogonale alla superficie stessa e di intensità B0=0,75 T. All’istante t=0 il valore del campo inizia a diminuire
esponenzialmente, seguendo la legge : B(t) = B0 exp(− t / τ) , τ=2.5 10-9s. Calcolare il momento di dipolo magnetico
all’istante T=2τ ed il momento delle forze magnetiche in funzione di t.
Soluzione
La variazione del campo magnetico produce una f.e.m. nella spira, che, a sua volta, induce una corrente i(t):
A
f .e.m 1 d
i(t) =
=
ΦB =
B0 exp(− t / τ)
R
R dt
Rτ
La corrente diminuisce esponenzialmente nel tempo.
A2
B0 exp(− t / τ) ,
A questa corrente possiamo associare un momento di dipolo magnetico m(t) =
Rτ
antiparallelo a B(t) e che si annulla assieme alla corrente ed a B stesso.
m(T)=2030 Am2
r r r
Il momento delle forze magnetiche: M = m × B è, pertanto nullo, in ogni istante.