1 Nel dispositivo rappresentato in figura un corpo puntiforme 1, di

C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2007-08
Fisica Generale
Prova del 02-09-08
ESERCIZIO 1
Nel dispositivo rappresentato in figura un corpo puntiforme 1, di massa
m1 = 2 kg , scivola senza attrito di un piano orizzontale, così come privi di
attrito sono tutti i perni su cui scivola la corda, inestensibile e di massa
trascurabile, che collega i due corpi.
Si determini quali condizioni deve soddisfare la massa m2 del corpo 2
perché il corpo 1 abbia una accelerazione maggiore di quella che esso stesso
avrebbe in caduta libera.
Soluzione
Le forze che agiscono sul corpo 1 sono il peso, la reazione del piano e la tensione della corda. Si ha:
G G G
G
m1 g + N1 + T1 = m1a1
la cui proiezione sull’asse orizzontale è
T1 = m1a1
Per il corpo 2, analogamente, si ha:
G G
G
m2 g + T2 = m2 a2
la cui proiezione sull’asse verticale è
m2 g − T2 = m2 a2
Essendo le carrucole e la corda ideali, le tensioni si trasmettono inalterate su tutta la
corda. In particolare dall’analisi delle forze che agiscono sulla carrucola C2 , priva di
massa, e dall’applicazione della terza Legge di Newton si vede che è verificata la
relazione:
T2 = 2 T1
Detto s1 uno spostamento (orizzontale) del corpo 1, è facile vedere con considerazioni
geometriche che, per il corrispondente scostamento s2 (verticale) del corpo 2, si ha:
s1 = 2 s2
e, quindi, derivando due volte rispetto al tempo, si ottiene:
a1 = 2 a2
Inserendo le relazioni trovate per le tensioni e le accelerazioni si ottiene quindi:
a
m2 g − 2 T1 = m2 1
2
da cui
a
⎛m
⎞
m2 g = m2 1 + 2 m1a1 = ⎜ 2 + 2 m1 ⎟ a1
2
⎝ 2
⎠
da cui infine
2 m2
a1 =
g
4 m1 + m2
Affinché sia verificata la condizione richiesta, cioè a1 > g , deve quindi essere:
2 m2
> 1 ⇒ m2 > 4 m1 = 8 kg
4 m1 + m2
ESERCIZIO 2
Un uomo il cui peso è P = 686 N , è fermo su di una piattaforma circolare orizzontale, anch'essa in quiete.
ad una distanza r = 2.0 m dal suo centro. La piattaforma, di massa M = 200 kg e raggio R = 3.0 m , può
1
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2007-08
Fisica Generale
Prova del 02-09-08
ruotare senza attrito attorno a un asse fisso verticale passante per il centro. Ad un certo istante l'uomo
comincia a correre lungo un percorso circolare concentrico con la piattaforma.
Si calcoli il modulo della velocità angolare ω p della piattaforma nel momento in cui l'uomo ha una
velocità relativa alla piattaforma vr = 4 m s −1 .
Soluzione
Si definisca un sistema di riferimento inerziale con l'origine nel centro della piattaforma e asse z parallelo
all'asse di rotazione; siano ωu e ω p le velocità angolari, in tale s.d.r., rispettivamente dell'uomo e della
piattaforma. Per la conservazione del momento della quantità di moto si deve avere
G
G
I uωu + I pω p = 0
dove I u e I p sono i momenti di inerzia dell'uomo e della piattaforma rispetto all'asse di rotazione, dati da
Iu =
P 2
1
r e I p = M R2
2
g
Si ha pertanto
G
ωp = −
Iu G
2P r 2 G
2m r 2 G
ωu = −
ω
=
−
ωu
u
Ip
M g R2
MR 2
da cui, in modulo,
MR 2
ωu =
ωp
2m r 2
avendo definito la massa dell’uomo
m = P g = 686 N 9.8 m s −2 = 70 kg
D'altronde, chiamata vu = ωu r la velocità dell'uomo nel s.d.r. inerziale, ed essendo vtr = ω p r la sua
velocità di trascinamento, si ha
G G G
vu = vr + vtr
ovvero
v
ωu r = vr − ω p r ⇒ ωu = r − ω p
r
Utilizzando il valore di ωu ottenuto precedentemente si ha
⎛
⎞
vr
vr ⎛
m vr r
2m r 2
MR 2 ⎞
+
=
⇒
=
=
= 0.47 rad s −1
ω
ω
1
⎜
⎜
p
2 ⎟ p
2
2 ⎟
1
r
r ⎝ 2m r + MR ⎠ m r 2 + MR 2
⎝ 2m r ⎠
2
ESERCIZIO 3
Una bacchetta rigida, è incernierata con un estremo a una parete, e
mantenuta in posizione orizzontale da due molle verticali, di
costante elastica k1 = 2000 N m −1 e k2 = 1000 N m −1 , che sono
applicate rispettivamente al suo centro e al suo estremo. La massa
della bacchetta è trascurabile, e in questo stato l'allungamento delle
molle rispetto alla lunghezza di equilibrio è nullo.
Ad un certo istante all'estremo non incernierato della bacchetta
viene attaccato un corpo di massa m = 150 g .
Determinare i rispettivi allungamenti ∆x1 e ∆x2 e le tensioni applicate T1 e T2
k1
k2
m
Soluzione
Una volta caricato l'estremo della bacchetta da con il corpo di massa m, dalla seconda equazione cardinale
della dinamica si ottiene, per l'equilibrio:
2
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2007-08
m g l − k1∆x1
Essendo, d'altronde, ∆x2 = 2∆x1 è quindi
Fisica Generale
Prova del 02-09-08
l
+ k2 ∆x2l = 0
2
mg
⎛k
⎞
m g = ⎜ 1 + 2k2 ⎟ ∆x1 ⇒ ∆x1 =
= 0.491 mm; ∆x2 = 2∆x1 = 0.982 mm
k1
⎝2
⎠
+ 2k 2
2
Infine, le tensioni applicate alle molle si ricavano dal terzo principio della dinamica e risultano uguali e
contrarie alle forze elastiche esercitate dalle molle sulla bacchetta. Si ha quindi:
T1 = k1∆x1 = 0.981N ; T2 = k2 ∆x2 = 0.981N
ESERCIZIO 4
Una macchina refrigerante, che opera tra le temperature t1 = 27 °C e t2 = −23 °C con un rendimento η '
pari a una frazione ε = 34% del rendimento η di una macchina di Carnot, assorbe una potenza
P = 6 kW .
Si determini la massa m di ghiaccio alla temperatura t '' = −10 °C che può essere prodotta in un intervallo
di tempo τ = 24 h da una riserva d’acqua alla temperatura t ' = 20 °C , attraverso l’assorbimento di calore
da parte della macchina refrigerante.
Dati: calore specifico dell’acqua ca = 1 kcal ( kg ⋅ K ) , calore specifico del ghiaccio cg = 0.5 kcal ( kg ⋅ K ) ,
calore latente di solidificazione dell'acqua c f = 79.7 kcal kg
Soluzione
Si cominci con il calcolare il calore Q2 assorbito durante l'intervallo di tempo τ dalla macchina
refrigerante alla sorgente di temperatura minore. Per definizione di rendimento si ha:
Q
η'= 2
W
dove W è il lavoro che occorre fornire alla macchina perché essa assorba la quantità di calore Q2 .
D'altronde, per ipotesi, è
η ' = εη
dove il rendimento η della macchina reversibile vale:
T −T
η= 1 2
T2
Dalle equazioni precedenti si ricava:
T −T
Q2 = ε 1 2 W
T2
Sostituendo al lavoro la sua espressione in funzione della potenza si ricava, allora:
T −T
Q2 = ε 1 2 P τ
T2
Poiché la massa m di acqua nella sua trasformazione fino a ghiaccio alla temperatura t '' = −10 °C si trova
sempre ad una temperatura superiore alla temperatura t2 della sorgente in cui la macchina cede calore, è
possibile far fluire per conduzione dalla massa m alla sorgente una quantità di calore Q2 . In questo modo
si ha il graduale passaggio della massa m da acqua alla temperatura t ' = 20 °C ad acqua alla temperatura
t0 = 0 °C , quindi la sua sola edificazione e, infine, il raffreddamento del ghiaccio così prodotto fino alla
temperatura t '' = −10 °C . Per questa trasformazione si deve avere complessivamente
Q2 = m ⎡⎣ca ( t '− t0 ) + c f + cg ( t0 − t '') ⎤⎦
3
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2007-08
Fisica Generale
Si ricava quindi:
T −T
Pτ
m=ε 1 2
=
T2 ⎡⎣ ca ( t '− t0 ) + c f + cg ( t0 − t '') ⎤⎦
= ( 0.34 )
Prova del 02-09-08
( 6 ⋅10 W ) ( 24 ⋅ 3600 s )
( 50 K )
3
( 250.15 K ) ( 4.187 J kcal −1 ) ⎡⎣(1 kcal ( kg ⋅ K ) ) ( 20 K ) + ( 79.7 kcal
kg ) + ( 0.5 kcal ( kg ⋅ K ) ) (10 K ) ⎤⎦
= 80.4 kg
ESERCIZIO 5
Allo scopo di misurare l’entità della corrente di spostamento, si utilizza un condensatore piatto a cui viene
applicata una differenza di potenziale alternata. Le armature del condensatore sono circolari, di raggio
r = 40 cm e la sua capacità è C = 100 pF . Il valore di picco della differenza di potenziale è V0 = 171 kV
e la sua frequenza ν = 50 Hz .
Trovare il valore di picco della corrente di spostamento tra le armature.
Soluzione
La distanza tra i piani del condensatore si ottiene dalla relazione:
2
−12 2
−2
ε 0 Σ ε 0π r 2
ε 0π r 2 ( 8.85 ⋅10 C N m ) π ( 0.4 m )
C=
=
⇒h=
=
= 0.044 m
100 ⋅10−12 F
d
h
C
La corrente di spostamento è data da:
G
dΦ E
d ( ΣE ) ε 0 Σ d ( Eh )
dV
is = ε 0
= ε0
=
=C
dt
dt
h
dt
dt
Essendo la tensione V ( t ) = V0 sin (ωt ) si ottiene quindi
( )
is = C
d ⎡⎣V0 sin (ωt ) ⎤⎦
dt
= Cω V0 cos (ωt )
il cui valore di picco è:
isM = 2πν CV0 = 2π ( 50 Hz ) (100 ⋅10−12 F )(171⋅103V ) = 5.4 mA
ESERCIZIO 6
Un disco di raggio r0 = 10 cm di materiale conduttore di resistività trascurabile
ruota intorno ad un suo asse disposto orizzontalmente ed è immerso in un campo
magnetico B uniforme e parallelo all'asse di rotazione di modulo B = 1T . Una
resistenza R = 5.0 Ω è connessa, tramite fili di resistenza trascurabile, a due
contatti striscianti posti l’uno sull'asse e l'altro sul bordo del disco.
a) Calcolare la corrente che attraversa la resistenza quando il disco ruota a
velocità angolare costante ω = 100 rad s −1 .
Il disco viene messo in moto mediante una massa M = 1 kg appesa ad una
cordicella lunga, avvolta intorno al perimetro del disco. Se la cordicella è
sufficientemente lunga, il sistema raggiungerà una velocità angolare costante ωF .
b) Calcolare ωF e la corrente corrispondente.
Soluzione
a) A una rotazione data da un angolo dθ corrisponde una superficie spazzata da un raggio del disco:
1
d Σ = r02 dθ
2
4
=
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2007-08
Fisica Generale
Prova del 02-09-08
A questa rotazione corrispondono una f.e.m. indotta
dΦ ( B)
dΣ
dθ
1
1
1
2
= −B
= − Br02
= − Br02ω = (1T )( 0.1 m ) (100 rad s −1 ) = 0.5 V
E= −
2
2
2
dt
dt
dt
e una corrente indotta nella resistenza
0.5V
ii = E / R =
= 10 mA
50 Ω
b) Sotto l’azione del momento causato dalla forza peso agente sulla massa (τ P = Mgr0 ) , il disco ruota in
verso orario nel piano come visto in figura. Gli elettroni nel disco esperimentano a causa del suo moto
G
G G
una Forza di Lorentz FL = −ev × B diretta verso il centro. Una carica positiva quindi sente una forza
di pari intensità diretta verso l’esterno. Su di un elemento del disco a distanza x dal centro e di
larghezza dx agisce quindi una forza meccanica:
G
G G
dF = ii dx × B
diretta verso l’alto, che contrasta il moto del disco. L’elemento appena descritto genera quindi un
momento
dτ i = ii B x dx
che integrato fornisce:
r0
r0
r2
τ i = ∫ dτ i = ii B ∫ x dx = ii B 0
2
0
0
La velocità limite si raggiunge quando i due momenti danno risultante nulla, ovvero:
r02
τ i − τ P = ii B − Mgr0 = 0
2
Sostituendo l’espressione trovata per ii si ottiene:
−2
r02
1 Br02
4M g R 4 (1 kg ) ( 9.8 m s ) ( 5.0Ω )
=
= 196 ⋅103 rad s −1
ω B = Mgr0 ⇒ ω =
2
3
2 3
2 R
2
B r0
(1T ) ( 0.1 m )
5