C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 2007-08 Fisica Generale Prova del 02-09-08 ESERCIZIO 1 Nel dispositivo rappresentato in figura un corpo puntiforme 1, di massa m1 = 2 kg , scivola senza attrito di un piano orizzontale, così come privi di attrito sono tutti i perni su cui scivola la corda, inestensibile e di massa trascurabile, che collega i due corpi. Si determini quali condizioni deve soddisfare la massa m2 del corpo 2 perché il corpo 1 abbia una accelerazione maggiore di quella che esso stesso avrebbe in caduta libera. Soluzione Le forze che agiscono sul corpo 1 sono il peso, la reazione del piano e la tensione della corda. Si ha: G G G G m1 g + N1 + T1 = m1a1 la cui proiezione sull’asse orizzontale è T1 = m1a1 Per il corpo 2, analogamente, si ha: G G G m2 g + T2 = m2 a2 la cui proiezione sull’asse verticale è m2 g − T2 = m2 a2 Essendo le carrucole e la corda ideali, le tensioni si trasmettono inalterate su tutta la corda. In particolare dall’analisi delle forze che agiscono sulla carrucola C2 , priva di massa, e dall’applicazione della terza Legge di Newton si vede che è verificata la relazione: T2 = 2 T1 Detto s1 uno spostamento (orizzontale) del corpo 1, è facile vedere con considerazioni geometriche che, per il corrispondente scostamento s2 (verticale) del corpo 2, si ha: s1 = 2 s2 e, quindi, derivando due volte rispetto al tempo, si ottiene: a1 = 2 a2 Inserendo le relazioni trovate per le tensioni e le accelerazioni si ottiene quindi: a m2 g − 2 T1 = m2 1 2 da cui a ⎛m ⎞ m2 g = m2 1 + 2 m1a1 = ⎜ 2 + 2 m1 ⎟ a1 2 ⎝ 2 ⎠ da cui infine 2 m2 a1 = g 4 m1 + m2 Affinché sia verificata la condizione richiesta, cioè a1 > g , deve quindi essere: 2 m2 > 1 ⇒ m2 > 4 m1 = 8 kg 4 m1 + m2 ESERCIZIO 2 Un uomo il cui peso è P = 686 N , è fermo su di una piattaforma circolare orizzontale, anch'essa in quiete. ad una distanza r = 2.0 m dal suo centro. La piattaforma, di massa M = 200 kg e raggio R = 3.0 m , può 1 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 2007-08 Fisica Generale Prova del 02-09-08 ruotare senza attrito attorno a un asse fisso verticale passante per il centro. Ad un certo istante l'uomo comincia a correre lungo un percorso circolare concentrico con la piattaforma. Si calcoli il modulo della velocità angolare ω p della piattaforma nel momento in cui l'uomo ha una velocità relativa alla piattaforma vr = 4 m s −1 . Soluzione Si definisca un sistema di riferimento inerziale con l'origine nel centro della piattaforma e asse z parallelo all'asse di rotazione; siano ωu e ω p le velocità angolari, in tale s.d.r., rispettivamente dell'uomo e della piattaforma. Per la conservazione del momento della quantità di moto si deve avere G G I uωu + I pω p = 0 dove I u e I p sono i momenti di inerzia dell'uomo e della piattaforma rispetto all'asse di rotazione, dati da Iu = P 2 1 r e I p = M R2 2 g Si ha pertanto G ωp = − Iu G 2P r 2 G 2m r 2 G ωu = − ω = − ωu u Ip M g R2 MR 2 da cui, in modulo, MR 2 ωu = ωp 2m r 2 avendo definito la massa dell’uomo m = P g = 686 N 9.8 m s −2 = 70 kg D'altronde, chiamata vu = ωu r la velocità dell'uomo nel s.d.r. inerziale, ed essendo vtr = ω p r la sua velocità di trascinamento, si ha G G G vu = vr + vtr ovvero v ωu r = vr − ω p r ⇒ ωu = r − ω p r Utilizzando il valore di ωu ottenuto precedentemente si ha ⎛ ⎞ vr vr ⎛ m vr r 2m r 2 MR 2 ⎞ + = ⇒ = = = 0.47 rad s −1 ω ω 1 ⎜ ⎜ p 2 ⎟ p 2 2 ⎟ 1 r r ⎝ 2m r + MR ⎠ m r 2 + MR 2 ⎝ 2m r ⎠ 2 ESERCIZIO 3 Una bacchetta rigida, è incernierata con un estremo a una parete, e mantenuta in posizione orizzontale da due molle verticali, di costante elastica k1 = 2000 N m −1 e k2 = 1000 N m −1 , che sono applicate rispettivamente al suo centro e al suo estremo. La massa della bacchetta è trascurabile, e in questo stato l'allungamento delle molle rispetto alla lunghezza di equilibrio è nullo. Ad un certo istante all'estremo non incernierato della bacchetta viene attaccato un corpo di massa m = 150 g . Determinare i rispettivi allungamenti ∆x1 e ∆x2 e le tensioni applicate T1 e T2 k1 k2 m Soluzione Una volta caricato l'estremo della bacchetta da con il corpo di massa m, dalla seconda equazione cardinale della dinamica si ottiene, per l'equilibrio: 2 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 2007-08 m g l − k1∆x1 Essendo, d'altronde, ∆x2 = 2∆x1 è quindi Fisica Generale Prova del 02-09-08 l + k2 ∆x2l = 0 2 mg ⎛k ⎞ m g = ⎜ 1 + 2k2 ⎟ ∆x1 ⇒ ∆x1 = = 0.491 mm; ∆x2 = 2∆x1 = 0.982 mm k1 ⎝2 ⎠ + 2k 2 2 Infine, le tensioni applicate alle molle si ricavano dal terzo principio della dinamica e risultano uguali e contrarie alle forze elastiche esercitate dalle molle sulla bacchetta. Si ha quindi: T1 = k1∆x1 = 0.981N ; T2 = k2 ∆x2 = 0.981N ESERCIZIO 4 Una macchina refrigerante, che opera tra le temperature t1 = 27 °C e t2 = −23 °C con un rendimento η ' pari a una frazione ε = 34% del rendimento η di una macchina di Carnot, assorbe una potenza P = 6 kW . Si determini la massa m di ghiaccio alla temperatura t '' = −10 °C che può essere prodotta in un intervallo di tempo τ = 24 h da una riserva d’acqua alla temperatura t ' = 20 °C , attraverso l’assorbimento di calore da parte della macchina refrigerante. Dati: calore specifico dell’acqua ca = 1 kcal ( kg ⋅ K ) , calore specifico del ghiaccio cg = 0.5 kcal ( kg ⋅ K ) , calore latente di solidificazione dell'acqua c f = 79.7 kcal kg Soluzione Si cominci con il calcolare il calore Q2 assorbito durante l'intervallo di tempo τ dalla macchina refrigerante alla sorgente di temperatura minore. Per definizione di rendimento si ha: Q η'= 2 W dove W è il lavoro che occorre fornire alla macchina perché essa assorba la quantità di calore Q2 . D'altronde, per ipotesi, è η ' = εη dove il rendimento η della macchina reversibile vale: T −T η= 1 2 T2 Dalle equazioni precedenti si ricava: T −T Q2 = ε 1 2 W T2 Sostituendo al lavoro la sua espressione in funzione della potenza si ricava, allora: T −T Q2 = ε 1 2 P τ T2 Poiché la massa m di acqua nella sua trasformazione fino a ghiaccio alla temperatura t '' = −10 °C si trova sempre ad una temperatura superiore alla temperatura t2 della sorgente in cui la macchina cede calore, è possibile far fluire per conduzione dalla massa m alla sorgente una quantità di calore Q2 . In questo modo si ha il graduale passaggio della massa m da acqua alla temperatura t ' = 20 °C ad acqua alla temperatura t0 = 0 °C , quindi la sua sola edificazione e, infine, il raffreddamento del ghiaccio così prodotto fino alla temperatura t '' = −10 °C . Per questa trasformazione si deve avere complessivamente Q2 = m ⎡⎣ca ( t '− t0 ) + c f + cg ( t0 − t '') ⎤⎦ 3 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 2007-08 Fisica Generale Si ricava quindi: T −T Pτ m=ε 1 2 = T2 ⎡⎣ ca ( t '− t0 ) + c f + cg ( t0 − t '') ⎤⎦ = ( 0.34 ) Prova del 02-09-08 ( 6 ⋅10 W ) ( 24 ⋅ 3600 s ) ( 50 K ) 3 ( 250.15 K ) ( 4.187 J kcal −1 ) ⎡⎣(1 kcal ( kg ⋅ K ) ) ( 20 K ) + ( 79.7 kcal kg ) + ( 0.5 kcal ( kg ⋅ K ) ) (10 K ) ⎤⎦ = 80.4 kg ESERCIZIO 5 Allo scopo di misurare l’entità della corrente di spostamento, si utilizza un condensatore piatto a cui viene applicata una differenza di potenziale alternata. Le armature del condensatore sono circolari, di raggio r = 40 cm e la sua capacità è C = 100 pF . Il valore di picco della differenza di potenziale è V0 = 171 kV e la sua frequenza ν = 50 Hz . Trovare il valore di picco della corrente di spostamento tra le armature. Soluzione La distanza tra i piani del condensatore si ottiene dalla relazione: 2 −12 2 −2 ε 0 Σ ε 0π r 2 ε 0π r 2 ( 8.85 ⋅10 C N m ) π ( 0.4 m ) C= = ⇒h= = = 0.044 m 100 ⋅10−12 F d h C La corrente di spostamento è data da: G dΦ E d ( ΣE ) ε 0 Σ d ( Eh ) dV is = ε 0 = ε0 = =C dt dt h dt dt Essendo la tensione V ( t ) = V0 sin (ωt ) si ottiene quindi ( ) is = C d ⎡⎣V0 sin (ωt ) ⎤⎦ dt = Cω V0 cos (ωt ) il cui valore di picco è: isM = 2πν CV0 = 2π ( 50 Hz ) (100 ⋅10−12 F )(171⋅103V ) = 5.4 mA ESERCIZIO 6 Un disco di raggio r0 = 10 cm di materiale conduttore di resistività trascurabile ruota intorno ad un suo asse disposto orizzontalmente ed è immerso in un campo magnetico B uniforme e parallelo all'asse di rotazione di modulo B = 1T . Una resistenza R = 5.0 Ω è connessa, tramite fili di resistenza trascurabile, a due contatti striscianti posti l’uno sull'asse e l'altro sul bordo del disco. a) Calcolare la corrente che attraversa la resistenza quando il disco ruota a velocità angolare costante ω = 100 rad s −1 . Il disco viene messo in moto mediante una massa M = 1 kg appesa ad una cordicella lunga, avvolta intorno al perimetro del disco. Se la cordicella è sufficientemente lunga, il sistema raggiungerà una velocità angolare costante ωF . b) Calcolare ωF e la corrente corrispondente. Soluzione a) A una rotazione data da un angolo dθ corrisponde una superficie spazzata da un raggio del disco: 1 d Σ = r02 dθ 2 4 = C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 2007-08 Fisica Generale Prova del 02-09-08 A questa rotazione corrispondono una f.e.m. indotta dΦ ( B) dΣ dθ 1 1 1 2 = −B = − Br02 = − Br02ω = (1T )( 0.1 m ) (100 rad s −1 ) = 0.5 V E= − 2 2 2 dt dt dt e una corrente indotta nella resistenza 0.5V ii = E / R = = 10 mA 50 Ω b) Sotto l’azione del momento causato dalla forza peso agente sulla massa (τ P = Mgr0 ) , il disco ruota in verso orario nel piano come visto in figura. Gli elettroni nel disco esperimentano a causa del suo moto G G G una Forza di Lorentz FL = −ev × B diretta verso il centro. Una carica positiva quindi sente una forza di pari intensità diretta verso l’esterno. Su di un elemento del disco a distanza x dal centro e di larghezza dx agisce quindi una forza meccanica: G G G dF = ii dx × B diretta verso l’alto, che contrasta il moto del disco. L’elemento appena descritto genera quindi un momento dτ i = ii B x dx che integrato fornisce: r0 r0 r2 τ i = ∫ dτ i = ii B ∫ x dx = ii B 0 2 0 0 La velocità limite si raggiunge quando i due momenti danno risultante nulla, ovvero: r02 τ i − τ P = ii B − Mgr0 = 0 2 Sostituendo l’espressione trovata per ii si ottiene: −2 r02 1 Br02 4M g R 4 (1 kg ) ( 9.8 m s ) ( 5.0Ω ) = = 196 ⋅103 rad s −1 ω B = Mgr0 ⇒ ω = 2 3 2 3 2 R 2 B r0 (1T ) ( 0.1 m ) 5